Przetwarzanie sygnalow MK
Transcript of Przetwarzanie sygnalow MK
Materiały pomocnicze do wykładu
1
Plan zajęć Podstawowe wiadomości o sygnałach
Szeregi Fouriera
Ciągła Transformata Fouriera
Sygnały cyfrowe
Próbkowanie sygnałów. Zjawisko aliasingu
Dyskretna i Szybka Transformata Fouriera
Przekształcenie Z
Filtry cyfrowe FIR i IIR
2
3
1. Tomasz P. Zieliński - Cyfrowe przetwarzanie sygnałów. Od teorii do zastosowań , WKŁ, 2009,
2. Richard G. Lyons, Wprowadzenie do cyfrowego przetwarzania sygnałów, WKŁ, 2010 (wyd. 2 rozszerzone),
3. Jerzy Szabatin, Podstawy teorii sygnałów, WKŁ, 1982 i późniejsze,
4. Izydorczyk J., Płonka G., Tyma G. - Teoria sygnałów. Wstęp. Wydanie II, Helion 2006
4
pojecie sygnału jest rozumiane jako proces zmian w czasie pewnej
wielkości fizycznej lub stanu obiektu fizycznego.
za modele matematyczne sygnałów przyjmujemy funkcje, których
argumentem jest czas t gdyż opisują one ewolucje sygnałów w czasie.
W najprostszym przypadku są to funkcje tylko jednej zmiennej t.
W przypadkach bardziej złożonych, np. w teorii linii długich lub
zagadnieniach przetwarzania obrazów, mogą to być funkcje wielu
zmiennych: czasu i współrzędnych przestrzennych.
5
Klasyfikacja (podział sygnałów)
- ze względu na model matematyczny:
- rzeczywiste.
- zespolone,
- dystrybucyjne
-ze względu na możliwość przewidywania wartości sygnału w danej chwili:
-deterministyczne,
-losowe,
- ze względu na dziedzinę określoności:
- ciągłe,
- dyskretne,
6
sygnały ciągłe:
•Sygnały określone w zbiorze ciągłym osi czasu są nazywane
sygnałami ciągłymi w czasie lub krótko sygnałami ciągłymi .
•Najczęściej dziedziną takich sygnałów jest cała os (−∞, ∞) , dodatnia półoś [0,
∞) lub odcinek [t1, t2] osi czasu.
sygnały dyskretne:
•Sygnały określone w dyskretnym (przeliczalnym lub skończonym) zbiorze
punktów osi czasu (. . . , t−1, t0, t1, t2, . . . ) i nieokreślone w pozostałych
punktach są nazywane sygnałami dyskretnymi w czasie lub krótko sygnałami
dyskretnymi.
•Najczęściej dziedziną tych sygnałów jest zbiór chwil tn = nTs, n ∈ ∁, odległych
od siebie o stały odstęp Ts nazywany przedziałem dyskretyzacji
7
- ze względu na przybieranie wartości różnych od zera:
- w przedziale nieskończonym – sygnały o nieskończonym czasie trwania,
- w przedziale skończonym – sygnały o skończonym i czasie trwania.
- ze względu na dziedzinę i przeciwdziedzinę (zbiór wartości)
– ciągłe w czasie i ciągłe w amplitudzie (nazywane także analogowymi),
– ciągłe w czasie i dyskretne w amplitudzie,
– dyskretne w czasie i ciągłe w amplitudzie,
– dyskretne w czasie i dyskretne w amplitudzie
szczególny rodzaj – sygnały binarne (przybierają tylko wartości 0 i 1)
8
Sygnał i informacja
Czy każdy sygnał niesie ze sobą informacje?
Jeśli sygnał jest deterministyczny, znamy dokładnie jego przebieg w
przeszłości, wartość w chwili bieżącej i zachowanie sie w przyszłości.
Nasza wiedza o nim jest pełna. Nie może on nam zatem dostarczyć
informacji, np. funkcja sin(t).
Informacje przekazują tylko takie sygnały,
które dla odbiorcy są losowe
Sygnałami losowymi są:
sygnały transmitowane w systemach komunikacyjnych powszechnego
użytku: telefonicznych, radiowych, telewizyjnych.
9
Sygnały analogowe - podstawy
notacja – x(t), y(t), z(t) itd...
parametry –
- wartość średnia,
- wartość skuteczna
- energia,
- moc,
Wartość średnia
Wartość średnia analogowego impulsowego sygnału
deterministycznego x(t) określonego w przedziale [t1, t2] jest całka z
tego sygnału w przedziale
[t1, t2] odniesiona do szerokości tego przedziału:
W przypadku sygnałów o nieskończonym czasie trwania wartość
średnia jest
określona jako wielkość graniczna:
Wartość średnia
W szczególnym przypadku, gdy sygnał o nieskończonym czasie
trwania jest sygnałem okresowym o okresie To, uśrednianie w
czasie nieskończonym jest równoważne uśrednianiu za okres:
przy czym chwila to jest dowolna.
Energia i Moc sygnału
Energią analogowego sygnału deterministycznego x(t)
nazywamy wielkość:
Mocą (średnia) analogowego sygnału deterministycznego x(t)
nazywamy wielkość graniczną:
W przypadku sygnałów okresowych
wzór przybiera postać:
gdzie To jest okresem, a to – dowolna chwila.
• zdefiniowane wielkości energii i mocy sygnału nie maja sensu nadawanego
im w fizyce i należy je rozumieć w znaczeniu uogólnionym,
• przy przyjętym założeniu bezwymiarowości sygnałów wymiarem energii
sygnału jest sekunda, a moc jest bezwymiarowa,
• gdyby jednak sygnał był sygnałem napięcia lub prądu, to wydzieliłby na
oporze jednostkowym 1Ω energie (lub moc) równa liczbowo wielkości
wyznaczonej na podstawie podanych zależności.
UWAGA:
Wartość skuteczna
Wartością skuteczną sygnału jest nazywany pierwiastek z jego
mocy:
czyli:
1) Sygnał x(t) jest nazywany sygnałem o ograniczonej energii , jeśli:
2) Sygnał x(t) jest nazywany sygnałem o ograniczonej mocy , jeśli:
• Energia i moc charakteryzują właściwości energetyczne sygnału.
• Na ich podstawie sygnały deterministyczne są dzielone na dwie
podstawowe rozłączne klasy.
• moc sygnałów o ograniczonej energii jest równa zeru.
• energia sygnałów o ograniczonej mocy jest nieskończona.
• klasa sygnałów o ograniczonej energii obejmuje oczywiście wszystkie sygnały impulsowe
ograniczone w amplitudzie, ale nie tylko. Do klasy tej należą także sygnały o
nieskończonym czasie trwania, których wartości maleją dostatecznie szybko w funkcji
czasu.
• sygnały o ograniczonej mocy i ograniczone w amplitudzie są sygnałami o nieskończonym
czasie trwania. Szczególna podklasa tych ostatnich są sygnały okresowe.
16
Sygnał harmoniczny
parametry sygnału
harmonicznego:
- amplituda – X0,
- pulsacja - ꙍ0,
- faza początkowa – φ0
gdzie: fo – częstotliwość,
To - okres
Każdy okresowy sygnał ciągły f(t) spełniający warunki Dirichleta można zapisać w postaci nieskończonej sumy składowych sinusoidalnych:
17
gdzie: a0 – jest wartością średnią sygnałuak i bk są trygonometrycznymi współczynnikami Fouriera
18
Korzystając z właściwości iż każdą liczbę zespoloną można zapisać w postaci wykładniczej i trygonometrycznej funkcję f(t) można przedstawić w postaci nieskończonego zespolonego szeregu wykładniczego:
gdzie ck są zespolonymi współczynnikami Fouriera:
19
uwzględniając zależności Eulera:
trygonometryczne współczynniki Fouriera można wyznaczyć ze współczynnika zespolonego:
20
Widmo amplitudowe sygnału f(t):
Widmo fazowe sygnału f(t):
21
22
przykład: znaleźć trygonometryczne
współczynniki Fouriera sygnału
prostokątnego:
W miarę wzrostu N sygnał prostokątny będzie dokładniej aproksymowany
23
N=1 N=5 N=11
N=30 N=150
24
widmo amplitudowe widmo fazowe
Dyskretne widmo Fouriera istnieje dla sygnałów okresowych. Natomiast wpraktycznych zastosowaniach istnieje konieczność analizy sygnałównieokresowych. Jeśli sygnał nieokresowy potraktuje się jako sygnał periodyczny ookresie dążącym do nieskończoności, to dyskretne widmo Fouriera takiegosygnału przechodzi w granicy w widmo ciągłe.
00
2
12n
d
Td
TT
)()()(
)()()(
jXFdejXtx
txFdtetxjX
tj
tj
1
2
1
Para transformat Fouriera
transformata prosta
zespolone widmo sygnału
transformata odwrotna
25
22 jjjX Im()Re()(
)Re(
)Im(tg
j
jarc
widmo amplitudowesygnału
widmo fazowesygnału
26
Transformata Fouriera przekształca sygnał z dziedziny czasu na dziedzinę
częstotliwości (widmo) nco często upraszcza analizę sygnału.
- widmo sygnału ciągłego jest widmem ciągłym
27
)()()()( bYaXtbytax
aX
aatx
1)(
liniowość
zmiana skali (podobieństwo)
Jeśli a>1, to skala czasu jest rozszerzana, sygnał jest „rozciągnięty” w czasie.Rozszerzenie skali czasu powoduje zawężenie skali częstotliwości i jednocześniezwiększa się a-krotnie gęstość widmowa. Fizycznie oznacza to, że zmniejsza sięszybkość zmian sygnału, a widmo skupia się wokół małych częstotliwości, jegogęstość w tym zakresie wzrasta.Dla 0<a<1 sygnał jest „ściśnięty” w czasie, a efekty w dziedzinie częstotliwościsą przeciwne.
28
00
tjeXttx
)()(
przesunięcie w dziedzinie czasu
Widmo amplitudowe sygnału przesuniętego nie ulega zmianie wstosunku do widma amplitudowego sygnału nieprzesuniętego. Natomiastwidmo fazowe powiększa się o składnik (-0t). Jest to całkowicie zgodnez sensem fizycznym przesunięcia sygnału na osi czasu. Strukturaczęstotliwościowa amplitud poszczególnych harmonicznych sygnału niezmienia się. Zmieniają się natomiast fazy poszczególnych harmonicznychwzględem układu odniesienia.
Przesunięcie sygnału na osi czasu o t0 odpowiada pomnożeniu widma przez czynnik zespolony.
29
)()( 00
Xetxtj
)()( 00
Xetxtj
)()( 00
Xetxtj
Przesunięcie widma sygnału w lewo o wartość 0>0 odpowiada pomnożeniusygnału przez sygnał zespolony , a więc
tje 0
przesunięcie w dziedzinie częstotliwości (modulacja)
Jeśli widmo sygnału przesuwa się w prawo o wartość 0>0, to sygnał należypomnożyć przez sygnał wykładniczy zespolony , czyli
tje 0
30
Dodając stronami powyższe pary transformat otrzymuje się
)()(cos)( 0002
1 XXttx
Z powyższej zależności wynika, że pomnożenie sygnału harmonicznegoprzez sygnał x(t) powoduje rozszczepienie widma na dwie częściprzemieszczone w prawo i w lewo o wartość 0. Operacja ta nazywanajest modulacją i wykorzystywana jest w telekomunikacji do przesyłaniasygnałów na dalsze odległości. Sygnałem modulowanym jest sygnałharmoniczny (informacja zawarta jest w jego częstotliwości), a sygnałemmodulującym sygnał x(t).
31
impuls prostokątny
t
x(t)
t
-/2 /20
A
2
4
2
4
A
2
2
2
2
2
22
2222
2
2
2
2
SaAA
A
jj
Aee
j
Ae
j
AdtAeX
jjtjtj
sin
sin)sin()(/
/
/
/
32
x(t)
t
-/4 /40
A
x(t)
t
- 0
A
2
A
A2
4
4
8
8
4
8
4
8
41
• Obliczanie transformaty bezpośrednio ze wzoru jest
nieefektywne ze względu na zbyt dużą złożoność
obliczeniową.
• Wzrost wydajności przy zastosowaniu FFT
• Algorytm FFT zmniejsza ilość operacji matematycznych
potrzebnych do obliczenia wartości transformaty
sygnały analogowe – ciągłe w czasie i amplitudzie
sygnały cyfrowe – dyskretne w amplitudzie i czasie –ciąg dyskretnych wartości danej wielkości fizycznej
gdzie tp – okres próbkowania
x(0) = 0 , (pierwsza wartość ciągu, n=0 )
x(1) = 0.58779 , (druga wartość ciągu, n=1 )
x(2) = 0.95106 , (trzecia wartość ciągu, n=2 )
x(3) = 0.95106 , (czwarta wartość ciągu, n=3 )
x(n) – ciąg x argumentu n,
n ts - wartości czasu dyskretnego
poza wartościami nts sygnał dyskretny nie jest określony
44
System dyskretny – układ przekształcający dyskretny ciąg wejściowy próbek x(n) w ciąg wyjściowy y(n)
System dyskretnyx(0), x(1), x(2), x(3) ... y(0), y(1), y(2), y(3) ...
System dyskretnyx(n) y(n)
+a(n)
b(n
)
c(n) c(n)=a(n)+b(n)
+a(n)
b(n
)
c(n) c(n)=a(n)-b(n)+
-
dodawanie
odejmowani
e
+
b(n)
b(n+1)
b(n+2)
b(n+3)
sumowanie
gdy n = 0 , k zmienia się od 0 do 3 , a(0) = b(0) + b(1) + b(2) + b(3)
gdy n = 1 , k zmienia się od 1 do 4 , a(1) = b(1) + b(2) + b(3) + b(4)
gdy n = 2 , k zmienia się od 2 do 5 , a(2) = b(2) + b(3) + b(4) + b(5)
gdy n = 3 , k zmienia się od 3 do 6 , a(3) = b(3) + b(4) + b(5) + b(6)
a(n)
b(n
)
c(n) c(n)=a(n)·b(n)
mnożenie
c(0)=a(0) ·b(0)
c(1)=a(1) ·b(1)
c(2)=a(2) ·b(2), itd.....
opóźnienie
opóźnienie
z-1
a(n) b(n)
a(n) b(n)b(n) = a(n-1)
proces reprezentowania sygnału o czasie ciągłymza pomocą próbek pobieranych w dyskretnych chwilach czasu.
Problem:z jaką szybkością sygnał musi być próbkowany w celu zachowania jego zawartości informacyjnej ?
dany jest ciąg próbek:
x(0) = 0,x(1) = 0.86603,x(2) = 0.86603,x(3) = 0,x(4) = -0.86603,x(5) = -0.86603,x(6) = 0,
Przykład:
Pytanie:Jaki sygnał jest reprezentowany przez dany ciąg próbek?
?
Pytanie:Jaki sygnał jest reprezentowany przez dany ciąg próbek?
?
Niejednoznaczność częstotliwości – dwa różne przebiegi są
reprezentowane przez ten sam ciąg dyskretny , nie można
jednoznacznie określić częstotliwości jedynie na podstawie wartości
próbek ciągu wejściowego
Dany jest sygnał:
x(t) = sin(2πf0t)próbkujemy sygnał x(t) z szybkością fs próbek/s tj. w
równomiernych odstępach ts sekund gdzie ts=1/fs
Rozpoczynając próbkowanie w chwili 0ts , 1ts , 2ts itd.. wartości n
kolejnych próbek mają wartości:
0 próbka: x(0) = sin(2πf00 ts)
1 próbka: x(1) = sin(2πf01 ts)
2 próbka: x(2) = sin(2πf02 ts)
..... .....
nta próbka: x(n) = sin(2πf0n ts)
Wartość n-tej próbki ciągu x(n) jest równa wartości oryginalnego sygnału
sinusoidalnego w chwili n·ts
Dwie wartości przebiegu sinusoidalnego są identyczne gdy odległe są o
całkowitą wielokrotność 2π radianów tj:
sin(α) = sin(α+ 2πm), gdzie m jest dowolną liczb. całk.
Korzystając z tej zależności:
zakładając, że m będzie całkowitą wielokrotnością n
tj. m = k·n
Z uwagi na to że:
i wiedząc że:
fs = 1/ts
stąd:
co oznacza, że ciąg x(n) próbek reprezentujących przebieg
sinusoidalny o częstotliwości f0 równie dokładnie reprezentuje
przebiegi sinusoidalne o innych częstotliwościach
tj.: f0 + kfs
Podsumowując:
Podczas próbkowania z szybkością fs próbek/s , jeślik jest dowolną liczbą całkowitą, nie jesteśmy wstanie rozróżnić spróbkowanych wartości przebiegusinuisodalnego o częstotliwości f0 oraz przebiegusinusoidalnego o częstotliwości (fo+kfs).
Przykład:Spróbkujmy sygnał o częstotliwości 7kHz z szybkością 6000 próbek/s.czyli : f0=7kHz, fs=6kHz, k=-1
f0+kfs = [7+ (-1)·6] = 1kHz
stąd wynikałoby, że ciąg wartości
próbek będzie identyczny dla
częstotliwości 1kHz
Wartości próbek nie zmienią się gdyby próbkowany był sygnał o
częstotliwości 1kHz z tą sama szybkością:
Odpowiedź na pytanie która częstotliwość odpowiada wartościom próbek
zaznaczonych na niebiesko brzmi: NIE WIADOMO !!! – istnieje
nieskończenie wiele częstotliwości odpowiadających tym próbkom.
Przykład 2:Spróbkujmy sygnał o częstotliwości 4kHz z szybkością 6000 próbek/s.
f0+kfs = [4+ (-1·6)] = -2kHz
stąd wynikałoby, że ciąg wartości
próbek będzie identyczny dla
częstotliwości -2kHz
sin(2π·4000t)
sin(2π·(-2000)t)
Jeśli ograniczymy nasze zainteresowanie do pasma w zakresie częstotliwości od –fs/2 do fs/2 okaże się, że w danym paśmie będzie można jednoznacznie odtworzyć sygnał z próbek.
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
częstotliwość
kHz-fs/2 fs/2
fs
interesujące
nas pasmo częstotliwości
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
-1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4
częstotliwość kHz-fs/2 0 fs/2 fs 2fs 3fs
interesujące
nas pasmo częstotliwości powielenie powielenie powielenie
- wartości szczytowe położone są przy wielkrotności częstotliwości próbkowania,
- próbkowanie sygnału sin. o częst. 7kHz z częst. 6kHz dostarczy dyskretnego ciągu
liczb, które dokładnie w taki sam sposób opiszą sygnał o częst. 13kHz , 19kHz itd...
- podobnie z sygnałem sin o częst. 4 kHz....
Idealny sygnał dolnopasmowy:
Dany jest sygnał dolnopasmowy ( o ograniczonym paśmie) o widmie:
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
-6 -3 0 3 6
-Widmo jest symetryczne względem osi częstotliwości,
- w sygnale nie ma częstotliwości |ꙍ|>ꙍ0
Próbkowanie tego sygnału spowoduje powielenie widma względem częstotliwości próbkowania fs.
Jeżeli fs > 2ꙍ0 widmo sygnału spróbkowanego:
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
-21 -18 -15 -12 -9 -6 -3 0 3 6 9 12 15 18 21-ꙍ0 -ꙍ0
Kryterium Nyquista – aby odseparować od siebie powielone widma przy częstotliwościach ±fs/2 częstotliwość próbkowania spełniać związek:
fs ⩾ 2ꙍ0
Twierdzenie Kotielnikowa – ShannonaSygnał ciągły może być wiernie odtworzony z ciągu swoich próbek tworzących sygnał dyskretny, jeśli próbki te zostały pobrane z częstotliwością co najmniej dwukrotnie większą od granicznej częstotliwości swego widma (warunek Nyquista).
aliasing aliasing aliasing aliasing
częstotliwość-2fs -fs -fs/2 fs/2 fs
-ꙍ0 ꙍ0/2 ꙍ0 /2 ꙍ0
Części powieleń widma łączą się z widmem oryginalnym – rezultatem jest
tzw. błąd aliasingu.
Dyskretne widmo spróbkowane nie reprezentuje oryginalnego sygnału.
Widmo w pasmach: -ꙍ0 do -ꙍ0/2 i ꙍ0 do ꙍ0 /2 zostało zniekształcone pojawił
się aliasing – przeciek widma z jednego powielenia do drugiego.
Wszystkie składowe oryginalnego sygnału spróbkowanego będą znajdować się w paśmie zainteresowania tj. – fs/2 do fs/2.
Efektem tego jest to, że każda składowa powyżej ꙍ0 i poniżej - ꙍ0 zawsze znajdzie się w interesującym nas paśmie –niezależnie od szybkości próbkowania.
Z tego powodu zawsze przed przewarzaniem AC stosowane są filtry dolnoprzepustowe – ograniczające pasmo do interesującej szerokości
Rzeczywiste sygnały w swoim widmie oprócz istotnych informacji
zawartych w swoim paśmie zawierają szum – który jest nieistotny a
w wyniku operacji próbkowania może zniekształcić widmo sygnału
spróbkowanego.
częstotl.
szum szuminteresujące
pasmo
-fs -fs/2 fs/2
fs
-fs - fs/2 fs/2 fs
- Próbkowanie sygnału dolnopasmowego (wraz z towarzyszącym mu szumem)
z częstotliwością próbkowania fs > 2 ꙍ0 zapobiega nakładaniu się widma
interesującego sygnału,
-nie chroni to jednak przed pojawieniem się energii szumu w paśmie pomiędzy
–fs/2 a fs/2.
Analogowy filtrdolnoprzepustowyczęst. graniczna ꙍ0
PrzetwornikA/C
oryginalny
sygnał ciągły
przefiltrowany
sygnał ciągły próbki dyskretne
-ꙍ0
ꙍ0
szum szum
W praktyce często próbkowane są analogowe sygnały pasmowe czyli takie, których ograniczone pasmo jest skupione wokół pewnej częstotliwości różnej od zera.
Do tego typu sygnałów można z powodzeniem stosowad próbkowanie dolnopasmowe, jednak zastosowanie specjalnej techniki zwanej próbkowaniem pasmowym pozwala znacznie zmniejszyd koszty realizacji sprzętowej, polegającej na zmniejszeniu szybkości przetwornika A/C oraz zmniejszeniu pamięci wymaganej do pamiętania wartości próbek.
Jako przykład próbkujmy przebieg pasmowy o szerokości pasma B=5kHz, skupiony wokół częstotliwości fBcB=20kHz.
Zgodnie z kryterium Nyquista, ponieważ najwyższa składowa częstotliwościowa w sygnale ma wartośd 22,5kHz należy próbkowad sygnał z częstotliwością nie mniejszą niż 45kHz.
Unikamy aliasingu. Okazuje się że próbkowanie z częstotliwością 45kHz nie jest konieczne.
Próbkowanie tego sygnału z częstotliwością znacznie mniejszą, równą 17,5 kHz.
Można zauważyd, że mimo mniejszej częstotliwości próbkowania powielenia widma nie zniekształcają widma oryginalnego skupionego wokół częstotliwości fc.
Dany jest ciągły sygnał pasmowy o szerokości pasma B, o częstotliwości nośnej fc. Próbkujemy ten sygnał z dowolną częstotliwością fc. Maksymalna częstotliwośd próbkowania :
Przy arbitralnej liczbie powieleo widma m w przedziale 2fc-B sygnał można próbkowad z maksymalną częstotliwością fp1 taką że:
Widmo sygnału dyskretnego, w przedziale 2fc-B sygnał można próbkowad z maksymalną częstotliwością fp1:
Minimalna częstotliwośd próbkowania:
Jeżeli szybkośd próbkowania zmniejsza się to powielenia przesuwają się i osiągamy dolną granicę częstotliwości próbkowania fp2.
Przy arbitralnej liczbie powieleo widma m w przedziale 2fc+B sygnał można próbkowad z minimalną częstotliwością fp2 taką że:
Widmo sygnału dyskretnego, w przedziale 2fc+B, sygnał można próbkowad z minimalną częstotliwością fp2:
W ten sposób otrzymujemy zależnośd definiującą zakres częstotliwości próbkowania pasmowego zależną od szerokości pasma sygnału, częstotliwości nośnej i liczby powieleo:
przy czym m jest dowolną liczbą naturalną zapewniającą spełnianie kryterium Nyquista w odniesieniu do szerokości pasma sygnału
Przykład:
Przebieg pasmowy o szerokości pasma B=5kHz i częstotliwości nośnej fc=20kHz.
Za optymalną częstotliwośd próbkowania przyjmuje się taką przy której powielenia widma stykają się ze sobą w punkcie f = 0Hz. Przy tak przyjętej częstotliwości próbkowania błędy związane dalszym przetwarzaniem cyfrowym (np. filtrowaniem) sygnału są minimalne
Zdefiniujemy nowy parametr R jako stosunek częstotliwości najwyższej w paśmie sygnału do szerokości pasma
Wykreślimy zależnośd minimalnej częstotliwości próbkowania od parametru R dla różnych wartości m
Wynika z tego, że niezależnie od R minimalna częstotliwośd próbkowania nie przekracza 4B i zmniejsza się dążąc do 2B przy zwiększaniu częstotliwości nośnej (wzrost R).
Wprowadzając na wykresie warunek ograniczający częstotliwośd z góry (maksymalną) otrzymamy obszary częstotliwości zakazanych i dozwolonych związanych z odpowiednią wartością parametru m.
Wprawdzie z rysunku wynika, że możemy stosowad częstotliwości próbkowania, które leżą na granicy strefy zakazanej i dozwolonej, jednak w praktycznych zastosowaniach należy wybierad częstotliwości nieco oddalone od tych granic.
Takie postępowanie pozwala uniknąd np. problemów związanych z niedokładnością filtrów pasmowych, niestabilnością zegara układu próbkującego itp.
Uwzględnienie niedokładności próbkowania Δfp oraz marginesu zmian widma sygnału ΔB
Przekształcenie Laplace’a:
Funkcja F(s) jest transformatą Laplace’a funkcji f(t)
zmienna s jest liczbą zespoloną: s= σ +jω
Czynnik e -st jest zespoloną wirującą tłumioną
sinusoidą:
Przekształcenie Z
Funkcja transmitancji:
iloraz transformaty Laplace’s wielkości
wejściowej X(s) przez transformatę
Laplace’a wartości wyjściowej Y(s)
X(s) H(s) Y(s)
Czyli w dziedzinie operatorowej:
Y(s) = X(s)∙H(s)
Przekształcenie Z
Odpowiedź impulsowa układu:
Odpowiedź układu liniowego na wymuszenie w postaci bardzo wąskiego i bardzo
wysokiego impulsu o powierzchni jednostkowej, który można uznać, w przypadku
układów ciągłych, za przybliżenie delty Diraca - przy zerowych warunkach
początkowych (w przypadku układów dyskretnych impulsem tym jest impuls
Kroneckera).
Odpowiedź impulsowa układu jest odwrotną transformatą Laplace’a funkcji
transmitancji H(s)
Przekształcenie Z
Związek pomiędzy transmitancją a odpowiedzią
impulsową układu
gdzie:
h(t)*y(t) jest splotem odpowiedzi impulsowej układu i pobudzenia
Przekształcenie Z
Przekształcenie Z
Przekształcenie Z
Przekształcenie Z
Przekształcenie Z
Przekształcenie Z
Przekształcenie Z
Przekształcenie Z
Przekształcenie Z
Przekształcenie Z
Przekształcenie Z
Przekształcenie Z
Przekształcenie Z
Przekształcenie Z
Przekształcenie Z
Przekształcenie Z
Przekształcenie Z
Filtr o skończonej odpowiedzi impulsowej - (Finite Impulse Response filter –
FIR )
Nazwa FIR oznacza filtr o skończonej odpowiedzi impulsowej (polski skrót tej nazwy to
filtr SOI). Oznacza to tyle, że reakcja na wyjściu tego układu na pobudzenie o skończonej
długości jest również skończona (przez długość pobudzenia i odpowiedzi rozumiemy tu
długość odcinka czasu, dla którego próbki sygnału przyjmują wartości niezerowe). Aby
warunek ten był spełniony, w filtrach tego typu nie występuje pętla sprzężenia zwrotnego.
Filtry cyfrowe FIR i IIR
Filtry cyfrowe FIR i IIR
Filtry cyfrowe FIR i IIR
Filtry cyfrowe FIR i IIR
Filtry cyfrowe FIR i IIR
Filtry cyfrowe FIR i IIR
Filtry cyfrowe FIR i IIR
Filtr IIR
jest jednym z rodzajów filtrów cyfrowych, który w odróżnieniu od filtrów FIR jest układem
rekursywnym. Skrót IIR (ang. Infinite Impulse Response) oznacza nieskończoną odpowiedź
impulsową (w polskiej literaturze stosowany jest również skrót NOI). Znaczy to tyle, że
reakcja na pobudzenie o skończonym czasie trwania jest teoretycznie nieskończenie długa.
Jest to efektem występowania pętli sprzężenia zwrotnego
Filtry cyfrowe FIR i IIR