PRST (PST)
-
Upload
eliana-moody -
Category
Documents
-
view
40 -
download
2
description
Transcript of PRST (PST)
![Page 1: PRST (PST)](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081503/56813322550346895d99f85e/html5/thumbnails/1.jpg)
PRST (PST)Pravdepodobnosť & jej využitie
![Page 2: PRST (PST)](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081503/56813322550346895d99f85e/html5/thumbnails/2.jpg)
Grécke písmená
![Page 3: PRST (PST)](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081503/56813322550346895d99f85e/html5/thumbnails/3.jpg)
Koľko vás je?
5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16
Vpred!
![Page 4: PRST (PST)](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081503/56813322550346895d99f85e/html5/thumbnails/4.jpg)
30b1
15b1
12b2
10b1
15b1
12b3
10b1
Vpred!Vzad!
![Page 5: PRST (PST)](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081503/56813322550346895d99f85e/html5/thumbnails/5.jpg)
30b1
15b2
12b2
10b1
15b2
12b3
10b1
Vzad! Vpred!
![Page 6: PRST (PST)](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081503/56813322550346895d99f85e/html5/thumbnails/6.jpg)
35b1
15b2
12b2
10b2
15b2
12b3
10b2
Vzad! Vpred!
![Page 7: PRST (PST)](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081503/56813322550346895d99f85e/html5/thumbnails/7.jpg)
40b1
15b1
12b2
11b2
10b2
15b2
12b2
11b2
10b2
Vzad! Vpred!
![Page 8: PRST (PST)](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081503/56813322550346895d99f85e/html5/thumbnails/8.jpg)
40b1
15b2
12b2
11b2
10b2
15b2
12b2
11b3
10b2
Vzad! Vpred!
![Page 9: PRST (PST)](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081503/56813322550346895d99f85e/html5/thumbnails/9.jpg)
15b2
12b2
11b3
10b3
30b2
15b2
12b2
11b2
10b2
Vzad! Vpred!
![Page 10: PRST (PST)](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081503/56813322550346895d99f85e/html5/thumbnails/10.jpg)
35b2
15b2
12b2
11b3
10b2
15b2
12b3
11b3
10b3
Vzad! Vpred!
![Page 11: PRST (PST)](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081503/56813322550346895d99f85e/html5/thumbnails/11.jpg)
35b2
15b2
12b2
11b3
10b3
15b3
12b3
11b3
10b3
Vzad! Vpred!
![Page 12: PRST (PST)](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081503/56813322550346895d99f85e/html5/thumbnails/12.jpg)
35b2
15b2
12b3
11b3
10b3
15b3
12b3
11b4
10b3
Vzad! Vpred!
![Page 13: PRST (PST)](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081503/56813322550346895d99f85e/html5/thumbnails/13.jpg)
35b2
15b3
12b3
11b3
10b3
15b3
12b3
11b4
10b4
Vzad! Vpred!
![Page 14: PRST (PST)](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081503/56813322550346895d99f85e/html5/thumbnails/14.jpg)
30b3
15b3
12b3
11b3
10b3
15b3
12b4
11b4
10b4
Vzad! Vpred!
![Page 15: PRST (PST)](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081503/56813322550346895d99f85e/html5/thumbnails/15.jpg)
30b3
15b3
12b3
11b4
10b3
15b4
12b4
11b4
10b4
Vzad! Vpred!
![Page 16: PRST (PST)](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081503/56813322550346895d99f85e/html5/thumbnails/16.jpg)
Na čo to komu bude?
Uľahčenie práce Zjednodušenie problému Predpovedanie budúcnosti
![Page 17: PRST (PST)](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081503/56813322550346895d99f85e/html5/thumbnails/17.jpg)
Čo budeme skúmať?
Pokusy sa delia na: Deterministické (nenáhodné) Stochastické (náhodné)
Budeme sledovať pokusy, ktorých výsledkami budú javy
Javy, ktoré vykazujú štatistickú stabilitu:
![Page 18: PRST (PST)](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081503/56813322550346895d99f85e/html5/thumbnails/18.jpg)
Merateľný priestor
Ω – neprázdna množina obsahujúca všetky možné výsledky pokusu; priestor elementárnych javov
ω – elementárny jav; A – neprázdny systém podmnožín Ω, ktorá je
σ-aditívna, čiže: A A A A
– jav, A (Ω, A) sa nazýva javové pole alebo merateľný
priestor
![Page 19: PRST (PST)](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081503/56813322550346895d99f85e/html5/thumbnails/19.jpg)
Definícia pstnej funkcie
Nech (Ω, A) je javové pole, je zobrazenie také, že
(normovanosť) A: (nezápornosť) A sú po dvoch disjunktné (), potom (σ-
aditivita) Potom je funkcia pravdepodobnostná a
svätá trojica (Ω, A, ) sa nazýva pravdepodobnostný priestor
![Page 20: PRST (PST)](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081503/56813322550346895d99f85e/html5/thumbnails/20.jpg)
Vlastnosti pstnej funkcie
Odvoditeľné z definície
(subtraktívnosť) (monotónnosť)
![Page 21: PRST (PST)](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081503/56813322550346895d99f85e/html5/thumbnails/21.jpg)
Klasická psť
Definovaná vzťahom:
Príklad: Aká je pravdepodobnosť, že keď hodíme kockou, padne 6?
Riešenie:
![Page 22: PRST (PST)](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081503/56813322550346895d99f85e/html5/thumbnails/22.jpg)
Podmienená psť
Definovaná vzťahom:
Pripomenňme, že , inak nemá vzorec zmysel
Príklad: Na kôpke sú celé čísla od 1 po 10. Janko vyhrá, ak si vyberie číslo väčšie ako Anička. Aká je pravdepodobnosť, že vyhrá, ak si Anička vytiahla 4?
Riešenie: , z toho:
![Page 23: PRST (PST)](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081503/56813322550346895d99f85e/html5/thumbnails/23.jpg)
Vlastnosti podmienenej psti
Klasická psť je prípad podm., kedy :
Zo vzorca podm. psti vyplýva:
Predchádzajúci vzorec sa dá zovšeobecniť:
![Page 24: PRST (PST)](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081503/56813322550346895d99f85e/html5/thumbnails/24.jpg)
Príklad
V nádobe máme 3 čierne (B) a 3 biele guličky (W). Vytiahneme 3 guličky. Aká je pravdepodobnosť, že budú rovnakej farby?
Odpoveď:
![Page 25: PRST (PST)](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081503/56813322550346895d99f85e/html5/thumbnails/25.jpg)
Úplný systém javov
Majme (Ω, A, ) pravdepodobnostný priestor. Javy A tvoria úplný systém javov, ak platí:
Pre takýto systém javov potom platí:
![Page 26: PRST (PST)](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081503/56813322550346895d99f85e/html5/thumbnails/26.jpg)
Bayes
Nech A tvoria úplný systém javov v (Ω, A, ) tak, že 0 a tiež 0 . Ptm:
![Page 27: PRST (PST)](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081503/56813322550346895d99f85e/html5/thumbnails/27.jpg)
Príklad
Náhodná osoba bola vybratá na test choroby, ktorú má 1 % populácie. Test zdravého človeka ohodnotí ako zdravého s pravdepodobnosťou 0,95, nezdravého človeka ako nezdravého s pravdepodobnosťou 0,99. Náhodnej osobe ukázal test, že je chorá. S akou pravdepodobnosťou je osoba naozaj chorá?
Výsledok:
![Page 28: PRST (PST)](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081503/56813322550346895d99f85e/html5/thumbnails/28.jpg)
Váhová psť
Nech v (Ω, A, ) máme Ω spočetnú, kde každý jav má určenú pravdepodobnosť tak, že a . Potom (Ω, A, ) je pstný priestor.
![Page 29: PRST (PST)](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081503/56813322550346895d99f85e/html5/thumbnails/29.jpg)
Geometrická psť
Pstná funkcia definovaná predpisom:
Pod (miera) máme na mysli zobrazenie splňujúce nezápornosť, σ-aditivitu a .
Predpokladáme, že je borelovská.
![Page 30: PRST (PST)](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081503/56813322550346895d99f85e/html5/thumbnails/30.jpg)
Príklad
Aká je psť, že náhodne vygenerované čísla x, y z intervalu budú vyhovovať podmienke:
Výsledok:
![Page 31: PRST (PST)](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081503/56813322550346895d99f85e/html5/thumbnails/31.jpg)
Náhodná veličina (premenná)
Výsledok náhodného pokusu Zobrazenie také, že:
Príklady: Počet padnutých 6 po n hodoch Počet hodov, kým nepadne 6 Výška jedincov v populácii
Delenie: Diskrétna náhodná veličina Spojitá náhodná veličina
![Page 32: PRST (PST)](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081503/56813322550346895d99f85e/html5/thumbnails/32.jpg)
Distribučná funkcia
Definovaná pre danú na (Ω, A, ):
Distribučná funkcia má nasledovné vlastnosti:
Neklesajúca Spojitá sprava a 1
![Page 33: PRST (PST)](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081503/56813322550346895d99f85e/html5/thumbnails/33.jpg)
Príklad
Hádžeme obyčajnou kockou. Náhodná veličina X je počet hodených 6 po 3 hodoch. Nájdite distribučnú funkciu.
Riešenie
![Page 34: PRST (PST)](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081503/56813322550346895d99f85e/html5/thumbnails/34.jpg)
Riešenie
Určíme pre . Otázka je, aká je psť, že po 3 hodoch kockou padne 6 práve -krát? Ak je záporné, tak, keďže kocka padne najmenej 0 krát.
Určíme pre . Psť, že 6 padne po 3 hodoch 0-krát alebo menej je rovná .
![Page 35: PRST (PST)](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081503/56813322550346895d99f85e/html5/thumbnails/35.jpg)
Riešenie (pokr.)
Určíme pre . Napr. pre sa pýtame, aká je psť, že počet padnutých 6 bude menší alebo rovný . Logicky, 6 padne buď 0-krát, alebo aspoň 1-krát. Nemôže padnúť - krát. Pre tento interval vyhovuje teda iba 0, čiže
![Page 36: PRST (PST)](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081503/56813322550346895d99f85e/html5/thumbnails/36.jpg)
Riešenie (pokr.)
Určíme pre . Šestka môže tentokrá padnúť 0 alebo 1 krát. Vypočítame ako:
Zvyšok si skúste spraviť sami. Riešenie je ďalej.
![Page 37: PRST (PST)](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081503/56813322550346895d99f85e/html5/thumbnails/37.jpg)
Výsledok
Distribučná funkcia pre našu náhodnú veličinu v plnej kráse:
a inak.
![Page 38: PRST (PST)](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081503/56813322550346895d99f85e/html5/thumbnails/38.jpg)
Diskrétna náhodná veličina
Postupnosť nenulových pravdepodobností
Opisuje ju pravdepodobnostná funkcia:
Pre pstnú funkciu a distribučnú funkciu platí vzťah:
![Page 39: PRST (PST)](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081503/56813322550346895d99f85e/html5/thumbnails/39.jpg)
Príklad
Uvažujme náhodnú veličinu X ako v predchádzajúcom príklade. Určime jej pstnú funkciu.
Riešenie: Najprv uvážme hodnotu pstnej funkcie na množine . Psť, že počet padnutých 6 bude v tejto množine je logicky 0. Preto:
![Page 40: PRST (PST)](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081503/56813322550346895d99f85e/html5/thumbnails/40.jpg)
Riešenie
Vyriešme pstnú funkciu pre . Psť, že kocka padne práve 0 krát je:
Vyriešme pre :
![Page 41: PRST (PST)](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081503/56813322550346895d99f85e/html5/thumbnails/41.jpg)
Riešenie
Podobne sa pre dopracujeme k výsledku pre 2 a 3. Riešením je:
![Page 42: PRST (PST)](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081503/56813322550346895d99f85e/html5/thumbnails/42.jpg)
Príklady diskrétnych rozdelení
Alternatívne rozdelenie Binomické rozdelenie Poissonovo rozdelenie
![Page 43: PRST (PST)](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081503/56813322550346895d99f85e/html5/thumbnails/43.jpg)
Alternatívne rozdelenie
Jeden pokus, jav buď nastane, alebo nenastane. Náhodná veličina je počet javov, ktoré nastanú. Ak jav nastane s pravdepodobnosťou , potom:
a 0 inak
![Page 44: PRST (PST)](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081503/56813322550346895d99f85e/html5/thumbnails/44.jpg)
Binomické rozdelenie
Jav nastane s psťou . Náhodná veličina je počet pokusov, kedy jav nastal. Pokus opakujeme -krát. Potom:
pre , 0 inak
![Page 45: PRST (PST)](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081503/56813322550346895d99f85e/html5/thumbnails/45.jpg)
Poissonovo rozdelenie
Jav nastáva s hustotou λ. Náhodná veličina je počet javov, ktoré za dané obdobie nastanú. Potom platí:
pre N, 0 inak
![Page 46: PRST (PST)](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081503/56813322550346895d99f85e/html5/thumbnails/46.jpg)
Príklad
V Brnenskej nemocnici denne porodia v priemere 5 bábätiek. Aká je psť, že zajtra sa nenarodí ani jedno?
Riešenie: Náhodná veličina počet narodených bábätiek má Poissonovo rozdelenie. Vypočítame:
![Page 47: PRST (PST)](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081503/56813322550346895d99f85e/html5/thumbnails/47.jpg)
Spojité náhodné veličiny
Opisuje ju pravdepodobnostná funkcia:
Následne potom:
Kde sa nazýva hustota rozdelenia pravdepodobnosti
![Page 48: PRST (PST)](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081503/56813322550346895d99f85e/html5/thumbnails/48.jpg)
Vlastnosti hustoty
![Page 49: PRST (PST)](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081503/56813322550346895d99f85e/html5/thumbnails/49.jpg)
Spojité rozdelenia
Rovnomerné rozdelenie Exponenciálne rozdelenie Normálne rozdelenie Gamma rozdelenie
![Page 50: PRST (PST)](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081503/56813322550346895d99f85e/html5/thumbnails/50.jpg)
Rovnomerné rozdelenie
Náhodná veličina má rovnomerné rozdelenie na intervale , ak psti každého bodu sú „rovnaké“, inak povedané, hustota je konštantná. Čiže:
![Page 51: PRST (PST)](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081503/56813322550346895d99f85e/html5/thumbnails/51.jpg)
Príklad
Šalina chodí každých 5 minút. Aká je psť, že na ňu budeme čakať najviac 2 minúty?
Riešenie: Náhodná veličina čakaný čas má rovnomerné rozdelenie, čiže:
Preto výsledkom je:
![Page 52: PRST (PST)](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081503/56813322550346895d99f85e/html5/thumbnails/52.jpg)
Exponenciálne rozdelenie
je psť, že jav nenastane po časte pri priemernom výskyte -krát za určitý čas
Náhodnou veličinou je následne množstvo času, kým dôjde k udalosti
Platí:
![Page 53: PRST (PST)](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081503/56813322550346895d99f85e/html5/thumbnails/53.jpg)
Príklad
V čakárni u zubára sa čaká v priemere 30 minút. Aká je psť, že nebudeme čakať viac než 10 minút?
Riešenie: Náhodná veličina čakaný čas má exponenciálne rozdelenie. Preto:
![Page 54: PRST (PST)](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081503/56813322550346895d99f85e/html5/thumbnails/54.jpg)
Normálne (gaussovské) rozdelenie
Hustota náhodnej veličiny v tvare:
Má ju náhodná veličina vzniknutá súčtom veľkého počtu nezávislých náhodných veličín
![Page 55: PRST (PST)](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081503/56813322550346895d99f85e/html5/thumbnails/55.jpg)
Gamma rozdelenie
Hustota náhodnej veličiny v tvare:
Zaujímavosťou na tomto rozdelení je gamma funkcia je definovaná:
Zaujímavé vlastnosti: pre n N
![Page 56: PRST (PST)](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081503/56813322550346895d99f85e/html5/thumbnails/56.jpg)
Nezávislosť javov
Majme javy A, B. Tie sú vzhľadom k psti nezávislé, ak:
Pri viacerých javoch platí, že sú nezávislé, ak ľubovoľná n-tica je nezávislá, nestačí totiž nezávislosť po dvojiciach.
![Page 57: PRST (PST)](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081503/56813322550346895d99f85e/html5/thumbnails/57.jpg)
Zdroje
Prof. Gejza Wimmer: Pravdepodobnosť a štatistika I (prednášky
![Page 58: PRST (PST)](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081503/56813322550346895d99f85e/html5/thumbnails/58.jpg)
Ďakujem za pozornosť