Præskriptiv modellering – udfordringer og muligheder

Mogens Niss, IMFUFA/NSM, Roskilde Universitet

Introduktion

• Den klassiske tilgang: Formålet med modellering er at indfange, repræsentere, forstå, eller analysere foreliggende extra-matematiske fænomener/situationer/områder, oftest som et middel til at besvare praktiske, intellektuelle eller videnskabelige spørgsmål, og til at løse problemer i tilknytning til et givet område.

For eksempel: • Hvilket internet abonnement skal jeg vælge? • Hvornår skal en vinavler høste sine druer for at opnå

den bedste balance mellem kvantitet og kvalitet?

• Hvad er udviklingen af den danske befolkning på langt sigt, i alt og fordelt på aldersgrupper?

• Hvor høj er kæmpekranen derovre?

• Vil Nordpolen blive isfri på noget tidspunkt før 2050?

Lad os kort kalde modellering med sådanne formål ”deskriptiv modellering”. I deskriptiv modellering forsøger vi at få hold på, og måske handle i en del af ”verden”, dvs. et foreliggende extra-matematisk område.

• Traditionelt har didaktikken for matematiske

modeller og modellering - et delområde af matematikkens didaktik - fokuseret på ”deskriptiv modellering”.

• Deskriptiv modellering repræsenteres gerne af en version af den såkaldte ”modelleringscyklus”, fx:

Modelleringscyklussen

Extra-matematisk område D

Speci- fikation

Ideali- sering

Idealiseret situation med

spørgsmål

Matematisk univers M

Matematiseret situation

med spørgsmål

Matematiske svar

Af-matematisatering

Matematisering f

oversættelse

svar

fortolkning

Det er modelleringsformålet der er deskriptivt, ikke modellen!

• Det at kunne modellere er svært at lære!

– Belagt med massiv forskningsmæssig evidens

• Det er ikke nok at kunne meget matematik og at kunne den godt.

• Hvis vi ønsker, at folk skal lære at modellere, må vi undervise dem i det.

Forskningen på feltet har navnlig fokuseret på de centrale (del)processer i modelleringscyklussen: • Præparering af det extra-matematiske område D til

modellering ved at specificere og idealisere den betragtede situation, gøre antagelser om den, og ved at udvælge og formulere de spørgsmål der skal besvares – kort kaldet præmatematisering.

• Matematisering af den idealiserede situation samt

spørgsmål, ved at oversætte (gennem en afbildning, f) alle objekter, fænomener, relationer, antagelser og spørgsmål i D til matematiske ”repræsentanter” for dem i et matematisk domæne M. Derved opstår modellen (D,M,f), som skal betragtes som et tripel.

• Benytte matematiske begreber, betragtninger, sætninger, procedurer, teknikker og ræsonnementer til udledning og retfærdiggørelse af svar på de matematiske spørgsmål som fulgte af matematiseringen – kort benævnt matematisk behandling

• Af-matematisering af de matematiske resultater af den foretagne matematiske behandling ved at oversætte (fortolke) dem tilbage til extra-matematiske svar på de oprindelige extra-matematiske spørgsmål, som i første omgang gav anledning til modelleringen.

• Validering af modellen gennem (a) konfrontation af model-output med kendte realiteter vedrørende det extra-matematiske område, og gennem (b) evaluering af kvaliteten og relevansen af de opnåede svar i forhold til hele formålet med modelleringsøvelsen.

I litteraturen er alle disse (del)processer af modellerings cyklussen blevet grundigt studeret, både fra teoretiske, empiriske og praktiske synsvinkler.

MEN der er også andre formål med matematisk modellering, nemlig: • At specificere eller designe objekter eller

strukturer med visse krævede eller ønskede egenskaber til installation i et eller andet extra-matematisk område

For eksempel: • Hvor bør et nyt kraftværk eller

kæmpeindkøbscentercenter blive placeret? • Hvordan bør mandaterne fordeles mellem

partierne efter et folketingsvalg?

• På hvilken måde skal de m medlemmer af en bestyrelse vælges blandt p kandidater (m < p)?

• Hvad vil være et godt mål for surhedsgraden af substanser?

• Hvad vil være et godt mål for viskositeten af en væske?

• Hvordan skal vi specificere amortiseringsreglerne for et lån, så det opfylder bestemte krav/har bestemte egenskaber?

• Hvordan skal plane tegninger konstrueres så de leverer en virkelighedstro gengivelse af vore synsbilleder?

• Hvilke dimensioner skal en kasse (et ret parallepipedum) som rummer 1 l have så materialeforbruget minimiseres?

• +++ millioner af andre eksempler

Formålet med sådan modellering er ikke først og fremmest at få hold på en del af den givne verden, bredt forstået, men at designe, foreskrive, organisere eller strukturere aspekter af den.

Lad os, med Phil Davis (1991), kalde modellering med sådanne formål ”præskriptiv modellering”.

• I præskriptiv modellering er hensigten at

muliggøre handlinger ud fra beslutninger der træffes ud fra (en særlig slags) matematisk modellering.

Didaktiske træk ved præskriptiv matematisk modellering er i fokus for resten af dette oplæg.

• For at give diskussionen et grundlag, lad os

analysere tre – simple - eksempler i detaljer.

Eksempler • BMI (Body Mass Index) En persons body mass index defineres som BMI = v/h2

hvor v er personens vægt (i kg), og h er personens højde (i m). Enheden er altså kg/m2. Sammenknyttet med en intervalinddeling: (Siden modificeret til: BMI ≤ 20, 20 ≤ BMI ≤ 30, 30 ≤ BMI)

BMI ≤ 18.5 18.5 ≤ BMI ≤ 25

25 ≤ BMI ≤ 30

30 ≤ BMI

undervægtig normalvægtig overvægtig svært overvægtig

Hvad er der på færde her, fra et modelleringssynspunkt? • Formål: At opstille et ”tyngdeindex” for medlemmerne

af en population. Et meta-spørgsmål! • Hvert individ matematiseres (parametriseres) ved

hjælp af en 2-vektor (v,h) ∊ ℜ2, der tjener som argument for en funktion f(v,h) = v/h2. Derved defineres et bestemt ”relativt tyngde”- mål, der kombinerer vægt og højde.

• Ved hjælp af dette mål matematiseres videre mængden af alle mennesker – verdens befolkning – gennem placering i et af fire (nu om dage: tre) intervaller, ]0 ; 18.5], [18.5 ; 25], [25 ; 30], [30; ∞[.

• Matematiseringen oversætter virkelige entiteter (individer og populationer, vægte og målestokke) til et matematisk domæne af reelle talrum og (rationale) funktioner på dem. Den matematiske behandling af de matematiske entiteter: (a) udregning af et individs BMI fra v og h, og (b) placering af resultatet i et (eller to) af intervallerne.

• Af-matematiseringen består simpelthen i at sætte ”virkelighedsetiketter” på hvert individ, baseret på hans/hendes BMI-værdi: undervægtig, normalvægtig, overvægtig, eller svært overvægtig.

• Ad validering: Det giver næppe mening at konfrontere det af-matematiserede modelresultat med den extra-matematiske virkelighed (med mindre vi har et uafhængigt ikke-impressionistisk må for relativ tyngde). Det samme gælder evaluering af kvalitet og relevans af de opnåede svar set i relation til modellens formål. Validering er, til forskel fra deskriptiv modellering, ikke rigtig mulig.

• BMI-modellen kan ikke falsificeres! Men den kan

kritiseres og meta-valideres: (a) Hvad hvis et andet mål var valgt (fx v/hα, med α ≠ 2)? (b) Hvad hvis intervalgrænserne blev ændret? (c) Hvorfor skelner modellen ikke mellem mænd og kvinder, unge og ældre? (d) Hvorfor tages kropsbygning ikke i betragtning? Etc.

Ergo er modelleringscyklussen her særdeles rudimentær: • Intet egentligt modelleringsspørgsmål, blot et

meta-spørgsmål. Kun trivielle extra-matematiske facts eller antagelser indgår.

• Matematisering: Formlen BMI = v/h2 og intervallerne kommer ud af det blå.

• Matematisk behandling: Blot udregning af den specifikke værdi af BMI for givne v og h, samt opsøgning af det interval, værdien ligger i.

• Af-matematisering: Påhæftning af vægtklasseetiket til den fundne værdi.

• Validering: Ingen. Meta-validering: Masser!

• A-papirformater (DIN) Antag, at vi vil designe et system af papirformater med disse egenskaber: (1) Hvert ark papir er rektangulært (2) Arealet af det største ark papir i system et er 1m2 (3) Hvis et ark papir i systemet halveres langs

midtpunktstransversalen mellem de to længste sider, er også hvert halvark med i systemet og er ligedannet med det foregående, dvs. forholdet mellem siderne forbliver det samme.

Ad modelleringscyklussen: • Modelleringens formål er at designe et system af

papirformater ved at specificere sidelængderne af samtlige ark i systemet.

• Antagelser er erstattet af krav/ønsker. Modelleringsspørgsmålene er: Kan disse krav / ønsker opfyldes? Hvis ja, hvordan?

• Matematisering: Vi benævner det n’te ark i

systemet An , n ≥ 0. An matematiseres som et rektangel, defineret ved dets dimensioner (ln , sn), hvor ln angiver den længste side, sn den korteste (ln ≥ sn).

(matematisering fortsat): • De resterende krav matematiseres således

– Enheden for længde er cm, for areal cm2

– (a) l0 ∙ s0 = 10.000 (cm2) – (b) Ligedannethed: For hvert n ≥ 0 må vi have

ln+1/sn+1 = ln/sn, og tillige ln+1 = sn og sn+1 = ln/2, • De matematiserede spørgsmål er:

– Findes der en følge (ln, sn), n ≥ 0, med positive komposanter, som tilfredsstiller (a) og (b)?

– I så fald, hvilke elementer har den / kan den have?

• Det matematiske domæne M: reelle tal og følger.

• Matematisk behandling: • Først ses, at eftersom for alle n ≥ 0,

ln+1/sn+1 = ln/sn og ln+1 = sn og sn+1 = ln/2, fås ln/sn = ln+1/sn+1 = sn / (ln/2), hvilket giver 2sn

2 = ln2 , dvs. ln = 21/2 sn.

• Dette gælder også for n = 0, hvorved l0 = 21/2 s0. Da samtidig l0s0 = 104, får vi ved indsættelse 21/2 s0

2 = 104 , dvs. s0 = 102/21/4 . Ergo er l0 = 21/2 s0 = 21/2 102 / 21/4 = 21/4 102 . I alt finder vi l0 = 21/4 102, and s0 =102/21/4.

• Dernæst har vi l1 = s0 = 102/ 21/4 og s1 = l0/2 = 21/4 102/2 = 102/23/4. Fortsættes ved rekursion og induktion, opnår vi for vilkårligt n ≥ 0 ln = 102/ 2(2n-1)/4 og sn = 102/ 2(2n+1)/4

.

• Af-matematisering: Tilføj enheden cm for at besvare det oprindelige spørgsmål: Ja, der findes en entydigt bestemt (uendelig!) følge af papirformater, der tilfredsstiller kravene / ønskerne. Dimensionerne af ark An er hhv. ln = 100/ 2(2n-1)/4 cm og sn = 100/ 2(2n+1)/4

cm. For eksempel er dimensionerne af A4–arket lig l4 = 100/27/4 ~ 29.7301778751 (!) cm og s4 = 100/29/4 ~ 21.0224103813 (!) cm.

• Validering: De stillede spørgsmål blev besvaret bekræftende og entydigt. Designet skaber virkelighed, det beskriver den ikke! Derved bliver konfrontation af modellen med virkeligheden enten triviel eller meningsløs.

Også denne modelleringscyklus er meget rudimentær: • Indledningsvis fandtes intet foreliggende extra-

matematisk område at modellere (kun i en meget generel og vag forstand: rektangulære papirark). Vi ønskede at skabe et, ved at specificere nogle krav / ønsker til vores design, om muligt. Disse krav / ønsker er allerede af en præ-matematisk natur. Ingen antagelser på færde.

• Matematisering bestod i at oversætte de opstillede krav til matematiske krav på en form som muliggør matematisk behandling.

• Selve den matematiske behandling udgjorde kernen i arbejdet.

• Af-matematiseringen var triviel: Hæft enhed på tallene og producer arkene som foreskrevet!

• Ingen validering var mulig ud over den blotte

konstatering af, at (entydige) positive og tilfredsstillende svar på design spørgsmålene findes. Konfrontation med egenskaberne ved en foreliggende extra-matematisk realitet giver ingen mening.

• (Situationen ville være helt anderledes, hvis vi ønskede at finde ud af om de eksisterende A-formatpapirark fulgte et underliggende mønster. Så ville vi udføre deskriptiv, ikke præskriptiv modellering!)

• Meta-validering: ikke relevant her.

• Gini koefficienten som ulighedsmål • Vi ønsker at skabe et index for indkomstulighed i

en befolkning. • Til det formål fastlægges først den brøkdel L(p)

(∈ [0; 1]) af befolkningens samlede indkomst der ejes af den brøkdel p (∈ [0; 1]) af befolkningen der har den laveste indkomst – de 100p % ”fattigste”. L kaldes Lorenz-funktionen og dens graf i [0; 1] × [0; 1] for Lorenz-kurven.

• Ved fuld lighed, ville brøkdelen p med den laveste indkomst eje brøkdelen p af den samlede indkomst, dvs. L(p) = p for alle p. Ved maksimal ulighed ville en ”person” eje alting, dvs. L(p) = 0 for p < 1 and L(1) = 1.

1

1

0 0

Brøkdel af total indkomst

Brøkdel af befolkning

Lorenz kurven

P

• I Corrado Gini’s ulighedsindex (1912) ser vi først på den ”faktiske kumulerede ulighed”, specificeret som den integrerede differens mellem Lorenz-funktionen for fuld lighed og den faktiske Lorenz-funktion, dvs. arealet mellem de to kurver

IL =∫ 𝑝𝑝 − 𝐿𝐿 𝑝𝑝 𝑑𝑑𝑝𝑝10 = ½ − ∫ 𝐿𝐿 𝑝𝑝 𝑑𝑑𝑝𝑝.1

0 Under maksimal ulighed er den kumulerede ulighed ∫ 𝑝𝑝𝑑𝑑𝑝𝑝10 = ½

• Gini koefficienten defineres så som forholdet

mellem den faktiske kumulerede ulighed og maksimal ulighed, dvs.

G = 12 −∫ 𝐿𝐿 𝑝𝑝 𝑑𝑑𝑝𝑝1

01/2

= 1 - 2∫ 𝐿𝐿 𝑝𝑝 𝑑𝑑𝑝𝑝10 ,

altså to gange arealet mellem Lorenz-kurven og linjen for fuld lighed. Åbenbart har vi, G ∊ [0; 1], hvor G = 0 svarer til fuld lighed og G = 1 til maksimal ulighed. G måler graden af indkomstulighed. Målet muliggør sammenligning af indkomstulighed, mellem fx lande, eller over tid.

• Ad modelleringscyklussen:

• Formålet med bestræbelsen er at skabe et index mål,

som indfanger indkomstulighed i en befolkning. Begrebet ”indkomst” må præciseres. Det antages at hvert individ har en kendt veldefineret indkomst.

Kravene til målet er:

• Indexet må være defineret for enhver population, hvori individernes indkomster er kendt.

• Indexet må være baseret på et begreb om faktisk kumuleret ulighed i forhold til den maksimalt mulige ulighed.

Matematisering: • Først rangordnes alle individer efter indkomst i

ikke-aftagende orde. Så matematiseres den kumulerede indkomstfordeling ved Lorenz-funktionen L: [0; 1] → [0; 1]. Det matematiske domæne består af reelle funktioner af en reel variabel.

• Benyt dette til at matematisere fuld lighed ved Le(p) = p for alle p, og maksimal ulighed, ved Lmi(p) = 0, for p < 1, Lmi(1) = 1. Matematiser dernæst kumuleret faktisk ulighed ved

IL =∫ 𝑝𝑝 − 𝐿𝐿 𝑝𝑝 𝑑𝑑𝑝𝑝10

• Sluttelig matematiseres graden af indkomstulighed i en befolkning ved Gini koefficienten

GL = IL/Imi En ret kompleks matematiseringsproces! • Matematisk behandling: (a) Udregn IL og Imi og

videre (b) GL = IL / Imi =1 - 2∫ 𝐿𝐿 𝑝𝑝 𝑑𝑑𝑝𝑝10 ∊ 0; 1 .

Lige ud ad landevejen.

• Af-matematisering: Intet andet end at udsige: Gini indkomstuligheds indexet for populationen P er G!

• Ad validering: Som for BMI: Det giver næppe mening at konfrontere det af-matematiserede model output med virkeligheden i det extra-matematiske område (med mindre vi har et andet uafhængigt ikke-impressionistisk mål for indkomstulighed som reference). Det samme gælder evaluering af kvalitet og relevans af de fundne svar i relation til modelleringens formål. I modsætning til i deskriptiv modellering er validering ikke rigtig mulig.

• Gini koefficientmodellen kan ikke falsificeres! Men

den kan kritiseres og meta-valideres: (a) Er valget af indkomster der tages i betragtning, rimeligt? (b) Hvilke befolkningsudsnit tages i betragtning? Hvordan indgår børn? Gør det befolkningssammenligninger rimelige? (c) Hvad med andre ulighedsmål? Etc.

• Endnu en rudimentær modelleringscyklus! • Det extra-matematiske område bestående af

mennesker og befolkninger og indkomster findes sandelig(!) og er komplekst, ligesom de træk man har valgt at tage i betragtning.

• Matematiseringen var kringlet og sammensat. • Den matematiske behandling var nærmest

triviel, eller i det mindste meget simpel. • Af-matematiseringen var triviel. • Direkte validering var ikke mulig. Kun meta-

validering angående hensigtsmæssighed etc.

Præskriptiv modellering i matematikundervisningen

• Eksemplerne viser, at

modelleringscyklussen for præskriptiv modellering typisk er meget rudimentær på afgørende punkter.

• Afhængigt af de (del)processer der påvirkes, skaber dette vigtige udfordringer for undervisning og læring!

• Hvis modelleringsformålet er meget generelt eller vagt defineret og komplekst (fx ”skab et mål for…”), er det normalt ikke realistisk for elever eller studerende at gennemføre matematiseringen og håndtere dens forudsætninger (i nogle sammenhænge vil det faktisk være videnskabeligt arbejde). Derfor vil modelleringsprocessen stoppe, med mindre den guides. – Undtagelse: Hvis modelleringsformålet er elementært

fx angående ratioer: ”noget” pr. ”noget”

• For elever/studerende bliver matematiseringen i bedste fald passiv, mens den matematiske behandling og af- matematiseringen i princippet bliver simple.

• Validering giver ingen mening, men det gør meta-validering i høj grad!

• Hvis modelleringsformålet er veldefineret, og hviler på klart formulerede specifikke krav / ønsker, ligner modelleringsprocessen den for deskriptiv modellering, om end med en stærkt reduceret eller rudimentær modelleringscyklus:

• Matematiseringen giver ofte sig selv, den matematiske behandling bliver kerneaktiviteten, mens af-matematiseringen og valideringen typisk er simple, hvis ikke trivielle.

• Også meta-validerinen er typisk simpel og tenderer mod at fokusere på indebyrden af krav / ønsker.

• Med andre ord er denne type præskriptiv modellering inden for rækkevidde for elever.

• Præskriptiv modellering er allestedsnærværende og højst vigtig, med markant samfundsmæssig og videnskabelig indflydelse. Den bør i almindelighed underkastes omhyggelig meta-validering. Matematikundervisningen kan give vigtige bidrag, så vi må programsætte præskriptiv modellering såvel i matematikundervisningen som i matematikkens didaktik.

• Dette giver anledning til både udfordringer og muligheder.

Udfordringer og muligheder Vi må skabe undervisnings- og læringsaktiviteter med præskriptiv modellering, også med situationer, hvor elever / studerende ikke kan gennemløbe den reducerede modelleringscyklus uden hjælp. • To fokuspunkter for sådanne ativiteter

(muligheder): • Elever / studerende bør engageres i at analysere

de implicitte eller eksplicitte antagelser, krav, ønsker og forudsætninger som ligger bag den foretagne eller påtænkte matematisering.

• Elever / studerende bør engageres i meta-validering af modeller dannet ved præskriptiv modellering, vedrørende (bl.a.) – Konsekvenserne af modelleringsresultaterne, fx

for diskussionen om de spørgsmål modelleringshensigten angår

– Sammenligning og modstilling af eksisterende eller potentielle alternative modeller

– Undersøge konsekvenserne for modelleringsresultaterne af ændrede krav / ønsker.

• M.m.m

• Sidst men bestemt ikke mindst:

Vi må designe og udføre meget mere teoretisk og empirisk forsknings- og udviklingsarbejde angående undervisning i og læring af præskriptiv modellering, specielt vedrørende ligheder og forskelle i forhold til deskriptiv modellering. Det er vi kun lige begyndt på!

Tak for opmærksomheden!