Proyecto Calculo Vectorial
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PROYECTO CALCULO VECTORIAL “COORDENADAS ESFERICAS”.
PRESENTADO POR:
JUAN CARLOS CAICEDO
DIEGO FERNANDO VALENCIA
STEFANIA JIMENEZ VALENCIA
DUVAN PIZARRO
GRUPO:
802
SANTIAGO DE CALI JULIO 8 DEL 2015
INSTITUCION UNIVERSITARIA ANTONIO JOSE CAMACHO.
PROYECTO CALCULO VECTORIAL “COORDENADAS ESFERICAS”.
PRESENTADO A:
ALEXANDER ARÉVALO
SANTIAGO DE CALI JULIO 8 DEL 2015
INSTITUCION UNIVERSITARIA ANTONIO JOSE CAMACHO.
INTRODUCCION
Un sistema de coordenadas es una forma sistemática para representar un
punto en algún espacio especificando solo algunos números. El sistema de
coordenadas más familiar es el sistema de coordenadas rectangulares. En
R³ funciona especificando las coordenadas X, Y y Z que representan las
distancias en los ejes X, Y y Z respectivamente. Las coordenadas
rectangulares a veces resultan extremadamente difíciles cuando se trata de
definir ciertas formas comunes, como cilindros, superficies de revolución y
esferas. Una segunda forma para determinar la ubicación de un punto en
tres dimensiones es utilizando coordenadas cilíndricas y esféricas que
están relacionadas con las coordenadas polares en el plano, ya que
trabajar con este tipo de coordenadas resulta más fácil.
OBEJTIVOS.
Explicar el concepto de coordenadas esféricas y cuáles son sus
componentes = es la distancia que hay desde el origen hasta P.
= Es el ángulo x que forma con el eje la proyección del radio vector sobre el plano .
= es el ángulo entre el eje positivo Z y el segmento de la recta OP.
Aprender cómo convertir coordenadas rectangulares a esféricas y viceversa.
Demostrar con ejemplos que las coordenadas esféricas desempeñan un papel muy trascendente en algunos cálculos que se presentan con integrales dobles y triples y que son tediosos y difíciles de efectuar en el sistema de coordenadas rectangulares.
Llenar las expectativas del profesor respecto a nuestro trabajo e investigación, así sacar una muy buena nota.
COORDENADAS ESFERICAS.
El sistema de coordenadas esféricas se basa en la misma idea que las coordenadas polares y se utiliza para determinar la posición espacial de un punto mediante una distancia y dos ángulos.
Las coordenadas esféricas son útiles en problemas que tienen simetría alrededor de un punto, el paso a seguir es seleccionar el punto de manera que coincida con el origen.
Las coordenadas esféricas de un punto P en el espacio que se
muestran en la fig 1. Dónde: =|OP| es decir la distancia que hay desde el
origen O hasta P (ro), es el mismo ángulo que se usa en coordenadas
cilíndricas, en los ejes X Y, es el ángulo entre el eje positivo Z y el
segmento de la recta OP ( ).
Se pueden encontrar relación entre coordenadas esféricas y rectangulares
como se muestra en la fig 2. A partir de los triángulos OPQ y OPP’:
Por lo tanto tenemos que:
Z= cos r= sen
Como x= r cos y y= r sen , entonces para convertir en coordenadas
esféricas en rectangulares usamos las ecuaciones:
Así mismo, la fórmula de la distancia muestra que:
Aplicamos esta ecuación para convertir coordenadas rectangulares a
esféricas.
El sistema de coordenadas esféricas es útil principalmente para superficies
en el espacio que tiene un punto o centro de simetría. Por ejemplo, la fig. 3
muestra tres superficies con ecuaciones esféricas sencillas.
EJEMPLOS:
1) El punto (2, π4 ,
π3 ) está en coordenadas esféricas. Encuentre sus
coordenadas rectangulares.
SOLUCION: En este problema usamos la ecuación 1.
2) En el punto (0,2√3 , -2) ésta en coordenadas rectangulares.
Determine sus coordenadas esféricas.
SOLUCION: En este problema usamos la ecuación 2 y luego la
ecuación 1.
.
APLICACIONES:
Las coordenadas esféricas son utilizadas para hallar volumen, áreas en figuras de esferas o relacionadas a estas.
EJEMPLO:
Calcule el volumen del solido que se encuentra dentro de la esfera x²+y²+z²=16, fuera del cono z=√ x ²+ y ² y por encima del plano xy.
SOLUCION.
CONCLUSIONES.
*Es de gran importancia saber manejar coordenadas esféricas, ya que es mucho más fácil trabajar con estas principalmente para superficies en el espacio que tiene un punto o centro de simetría que con coordenadas rectangulares.
*Aprendimos que las coordenadas esféricas tienen gran variedad de aplicaciones que son usados para ingeniería, entre otros.
* Si necesitamos dar un resultado en coordenadas rectangulares pasamos las coordenadas a esféricas se hacen las ecuaciones y al final de hallar lo que se necesite se pueden pasar nuevamente a esféricas.
BIBLIORGRAFIA
Calculo conceptos y contextos James Stewart. Cálculo 2 de varias variables Novena edición, Ron Larson, Bruce
H. Edwards. https://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_esf%C3%A9ricas https://www.youtube.com/watch?v=RuAy6tQ0zcc https://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_cil%C3%ADndricas Docente Jhonny Ospina Loaiza.