Protokol – „SADA DUM“ · Lineární funkce – graf lineární funkce – Pracovní list –...
Transcript of Protokol – „SADA DUM“ · Lineární funkce – graf lineární funkce – Pracovní list –...
Vytvořeno v rámci projektu OP VK zavedení nové oblasti podpory 1.5 s názvem Zlepšení podmínek pro
vzdělávání na středních školách.
Stránka 1 z 1
Protokol – „SADA DUM“
Číslo sady DUM: VY_42_INOVACE_MA_2
Název sady DUM: Funkce a rovnice I.
Název a adresa školy: St řední pr ůmyslová škola, Hronov, Hostovského 910, 549 31 Hronov
Registra ční číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0596
Číslo a název šablony: IV/2 Inovace a zkvalitn ění výuky sm ěřující k rozvoji
matematické gramotnosti žák ů SŠ
Obor vzd ělávání: 26-41-M/01 Elektrotechnika, 23-41-M/01 Strojírenství
Tématická oblast ŠVP: Počítačové řídicí systémy – Lineární funkce, rovnice a nerovnice, Kvadratická funkce, rovnice a nerovnice, Goniometrie a trigonometrie, Funkce, Přehled elementárních funkcí, limita funkce Výrobní a informační systémy - Lineární funkce, rovnice a nerovnice, Kvadratická funkce, rovnice a nerovnice, Goniometrie a trigonometrie, Funkce, Přehled elementárních funkcí, limita funkce Předmět a ročník: Matematika, 1.-4. ro čník Autor: Mgr. Lucie Pošvá řová, Mgr. Vladimír Klikar
Použitá literatura: Doc. RNDr. BOČEK, CSc., Leo; RNDr. BOČKOVÁ, Jana; RNDr. CHARVÁT, CSc., Jura. Matematika pro gymnázia Rovnice a nerovnice. Praha: Prometheus, 1995, ISBN 80-7196-001-2,
Doc. RNDr. ODVÁRKO, DrSc., Oldřich. Matematika pro gymnázia Funkce. Praha: Prometheus, 2000, ISBN 80-7196-164-7,
RNDr. HRUBÝ, Dag; RNDr. KUBÁT, Josef. Matematika pro gymnázia Diferenciální a integrální počet. Praha: Prometheus, 2005, ISBN 80-7196-210-4
Doc. RNDr. ODVÁRKO, DrSc., Oldřich. Matematika pro gymnázia Goniometrie. Praha: Prometheus, 1997, ISBN 80-7196-000-4
Datum vytvo ření: leden – říjen 2013
Anotace Využití ve výuce
Sada obsahuje prezentace, pracovní listy, testy a
hru– funkční rozcvička.
Vysvětlení nového učiva i možné samostudium,
které je podpořeno názornými ukázkami na
obrázcích a příkladech. Seznámení s novými
pojmy i jejich upevnění, procvičení vysvětlené
látky na příkladech.
5.2.2014
1
VY_42_INOVACE_MA_2_01
AKTIVITA JE SPOLUFINANCOVÁNA EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FO NDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY
Vytvořila: Mgr. Lucie PošvářováLeden 2013
V rámci školního projektu:Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Registrační číslo projeku:CZ.1.07/1.5.00/34.0596 Z.1.07/1.5.00/34.0596 Vlastnosti funkcí
VY_42_INOVACE_MA_2_01
Leden 2013
Klesající funkce
( )
( ) ( )( ). klesá , rostoucím S
.pak , li-je
:platí , všechnapro když právě ,intervalu vklesající
nazývá se Funkce
. interval a funkce dána Je
2121
21
xfx
xfxfxx
JxxJ
f
fDJf
><∈
⊆
Rostoucí funkce( )
( ) ( )( ). roste , rostoucím S
.pak , li-je
:platí , všechnapro když právě ,intervalu vrostoucí
nazývá se Funkce
. interval a funkce dána Je
2121
21
xfx
xfxfxx
JxxJ
f
fDJf
<<∈
⊆
5.2.2014
2
Prostá funkce( )
( ) ( ).pak , li-je
:platí, všechnapro když právě prostá, nazývá se Funkce
2121
21
xfxfxx
fDxxf
≠≠∈
ANO
NE
!
Sudá funkce
( ) ( )( ) ( ) ( ). je každé Pro 2.
takéje každé Pro 1.
:zároveň platí když právě sudá, nazývá se Funkce
xfxffDx
fDxfDx
f
=−∈∈−∈
Lichá funkce
( ) ( )( ) ( ) ( ). je každé Pro 2.
takéje každé Pro 1.
:zároveň platí když právě lichá, nazývá se Funkce
xfxffDx
fDxfDx
f
−=−∈∈−∈
Prameny a literatura
Materiály jsou určeny pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škola školských zařízení. Jakékoliv další využití podléhá autorskému zákonu.
Všechny neocitované kliparty a další grafické objekty jsou součástí prostředků MS Office nebo dílem autora za použití programu Funkce 2.01 (Freeware).
Doc. RNDr. Odvárko, DrSc., Oldřich.Matematika pro gymnázia Funkce.Praha: Prometheus, 2000, ISBN 80-7196-164-7
VY_42_INOVACE_MA_2_02
1
Střední průmyslová škola, Hronov, Hostovského 910
VY_42_INOVACE_MA_2_02 Vytvořila: Mgr. Lucie Pošvářová Leden 2013 V rámci školního projektu: Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Registrační číslo GP: CZ.1.07/1.5.00/34.0596
AKTIVITA JE SPOLUFINANCOVÁNA EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FO NDEM
A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY
VY_42_INOVACE_MA_2_02
2
Vlastnosti funkcí - Pracovní list – zadání, záznamový arch
1. Určete, které z níže uvedených grafů funkcí představují funkci prostou na celém
definičním oboru. a) b)
c) d)
VY_42_INOVACE_MA_2_02
3
2. Určete, která z níže uvedených funkcí je klesající na intervalu ( )2;∞− a která je
rostoucí na intervalu ( )∞;2 . a) b)
c) d)
3. Dokončete graf funkce tak, aby funkce byla: a. sudá b. lichá
VY_42_INOVACE_MA_2_02
4
Vlastnosti funkcí
- Pracovní list – řešení
1. a) prostá b) není prostá c) prostá d) prostá
2. a) klesající na intervalu ( )2;∞−
d) rostoucí na intervalu ( )∞;2
3. sudá lichá
VY_42_INOVACE_MA_2_02
5
Prameny a literatura Doc. RNDr. Odvárko, DrSc., Oldřich. Matematika pro gymnázia Funkce. Praha: Prometheus, 2000, ISBN 80-7196-164-7 Materiály jsou určeny pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škol a školských zařízení. Jakékoliv další využití podléhá autorskému zákonu. Všechny neocitované kliparty a další grafické objekty jsou součástí prostředků MS Office nebo dílem autora za použití programu Funkce 2.01 (Freeware).
VY_42_INOVACE_MA_2_03
1
Střední průmyslová škola, Hronov, Hostovského 910
VY_42_INOVACE_MA_2_03 Vytvořila: Mgr. Lucie Pošvářová Leden 2013 V rámci školního projektu: Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Registrační číslo GP: CZ.1.07/1.5.00/34.0596
AKTIVITA JE SPOLUFINANCOVÁNA EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FO NDEM
A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY
VY_42_INOVACE_MA_2_03
2
Vlastnosti funkcí – test Skupina A Určete intervaly monotónnosti, zda je funkce prostá. Ponechte jen část grafu pro 5;0∈x ,
pak jej doplňte pro )0;5−∈x tak, aby se jednalo o funkci sudou.
VY_42_INOVACE_MA_2_03
3
Vlastnosti funkcí – test Skupina B Určete intervaly monotónnosti, zda je funkce prostá. Ponechte jen část grafu pro 0;5−∈x ,
pak jej doplňte pro ( 5;0∈x tak, aby se jednalo o funkci lichou.
VY_42_INOVACE_MA_2_03
4
Prameny a literatura Doc. RNDr. Odvárko, DrSc., Oldřich. Matematika pro gymnázia Funkce. Praha: Prometheus, 2000, ISBN 80-7196-164-7 Materiály jsou určeny pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škol a školských zařízení. Jakékoliv další využití podléhá autorskému zákonu. Všechny neocitované kliparty a další grafické objekty jsou součástí prostředků MS Office nebo dílem autora za použití programu Funkce 2.01 (Freeware).
8.2.2014
1
VY_42_INOVACE_MA_2_04
AKTIVITA JE SPOLUFINANCOVÁNA EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FO NDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY
Vytvořila: Mgr. Lucie PošvářováLeden 2013
V rámci školního projektu:Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Registrační číslo projeku:CZ.1.07/1.5.00/34.0596 Z.1.07/1.5.00/34.0596
Lineární funkce
VY_42_INOVACE_MA_2_04
Leden 2013
Lineární funkce je funkce daná předpisem:
baxy += ℜ∈ba,
0≠a
.
-grafem lineární funkce je přímka , která je různoběžná s osou y
[ ]0;xPx [ ]yPy ;0 [ ]bPy ;0
- pro načrtnutí grafu nám tedy stačí určit dva body
- průsečíky s osami soustavy souřadnic:
?
- průsečík s osou y0=b přímá úm ěra axy =
Graf vždy prochází počátkem soustavy souřadnic.
xyf =:1
xyf
xyf
xyf
2
1:
5:
2:
4
3
2
=
==
Čím vetší je číslo , atím strmější je přímka.
8.2.2014
2
0=b přímá úm ěra axy =Graf vždy prochází počátkem soustavy souřadnic.
xyf −=:1
xyf
xyf
xyf
2
1:
5:
2:
4
3
2
−=
−=−=
0≠b baxy +=Graf je rovnoběžný s grafem funkce y = ax a prochází na ose y bodem b.
42:
12:
62:
82:
4
3
2
1
−=−=+=+=
xyf
xyf
xyf
xyf
xyf 2: =
f
0=a Konstantní funkce by =Grafem je přímka rovnoběžná s osou x a procházející na ose y bodem b.
0:
7:
5:
3
2
1
=−=
=
yf
yf
yf
osa x
Lineární funkce - shrnutí
baxy +=ℜ∈ba, 0≠a
. - průsečík s osou y
0>a 0<a
- rostoucí - klesající
8.2.2014
3
Prameny a literatura
Materiály jsou určeny pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škol
a školských zařízení. Jakékoliv další využití podléhá autorskému zákonu.
Všechny neocitované kliparty a další grafické objekty jsou součástí prostředků MS Office nebo dílem autora za
použití programu Funkce 2.01 (Freeware).
Doc. RNDr. Odvárko, DrSc., Oldřich.Matematika pro gymnázia Funkce.Praha: Prometheus, 2000, ISBN 80-7196-164-7
VY_42_INOVACE_MA_2_05
1
Střední průmyslová škola, Hronov, Hostovského 910
VY_42_INOVACE_MA_2_05 Vytvořila: Mgr. Lucie Pošvářová Leden 2013 V rámci školního projektu: Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Registrační číslo GP: CZ.1.07/1.5.00/34.0596
AKTIVITA JE SPOLUFINANCOVÁNA EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FO NDEM
A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY
VY_42_INOVACE_MA_2_05
2
Lineární funkce – graf lineární funkce – Pracovní list – zadání, záznamový arch
1. Do téže soustavy souřadnic načrtněte grafy funkcí daných předpisem: a. xyf =:1
xyf
xyf
2
1:
3:
3
2
−=
=
b. 12:1 += xyg
32:2 −= xyg
VY_42_INOVACE_MA_2_05
3
2. Načrtněte graf funkce a určete obor hodnot: a. ( 1;323: −∈∧−−= xxyf
b. (
)(
∞∈−
∞−∈−=
;0,32
1
0;,3:
xx
xyg
VY_42_INOVACE_MA_2_05
4
Lineární funkce – graf lineární funkce – Pracovní list – řešení
1.a 1.b 2.a 2.b
( ) )7;5−=fH ( ) )∞−= ;3gH
VY_42_INOVACE_MA_2_05
5
Prameny a literatura Doc. RNDr. Odvárko, DrSc., Oldřich. Matematika pro gymnázia Funkce. Praha: Prometheus, 2000, ISBN 80-7196-164-7 Materiály jsou určeny pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škol a školských zařízení. Jakékoliv další využití podléhá autorskému zákonu. Všechny neocitované kliparty a další grafické objekty jsou součástí prostředků MS Office nebo dílem autora za použití programu Funkce 2.01 (Freeware).
VY_42_INOVACE_MA_2_06
1
Střední průmyslová škola, Hronov, Hostovského 910
VY_42_INOVACE_MA_2_06 Vytvořila: Mgr. Lucie Pošvářová Leden 2013 V rámci školního projektu: Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Registrační číslo GP: CZ.1.07/1.5.00/34.0596
AKTIVITA JE SPOLUFINANCOVÁNA EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FO NDEM
A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY
VY_42_INOVACE_MA_2_06
2
Lineární funkce – graf lineární funkce – Test Skupina A
1. Přiřaďte k sobě předpisy funkcí a grafy:
53:
53:
2
1
−−=+=xyf
xyf
2. Načrtněte do výše znázorněné soustavy souřadnic graf funkce 2: −= xyf , ℜ∈x .
VY_42_INOVACE_MA_2_06
3
Lineární funkce – graf lineární funkce – Test Skupina B
1. Přiřaďte k sobě předpisy funkcí a grafy:
53:
53:
2
1
+−=−=xyf
xyf
2. Načrtněte do výše znázorněné soustavy souřadnic graf funkce 2: +−= xyf , ℜ∈x .
VY_42_INOVACE_MA_2_06
4
Prameny a literatura Doc. RNDr. Odvárko, DrSc., Oldřich. Matematika pro gymnázia Funkce. Praha: Prometheus, 2000, ISBN 80-7196-164-7 Materiály jsou určeny pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škol a školských zařízení. Jakékoliv další využití podléhá autorskému zákonu. Všechny neocitované kliparty a další grafické objekty jsou součástí prostředků MS Office nebo dílem autora za použití programu Funkce 2.01 (Freeware).
VY_42_INOVACE_MA_2_07
1
Střední průmyslová škola, Hronov, Hostovského 910
VY_42_INOVACE_MA_2_07 Vytvořila: Mgr. Lucie Pošvářová Leden 2013 V rámci školního projektu: Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Registrační číslo GP: CZ.1.07/1.5.00/34.0596
AKTIVITA JE SPOLUFINANCOVÁNA EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FO NDEM
A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY
VY_42_INOVACE_MA_2_07
2
Lineární funkce a rovnice – grafické řešení lineárních rovnic Lineární rovnice o jedné neznámé ℜ∈x je rovnice ve tvaru:
0=+ bax , kde ℜ∈ba, .
Taková rovnice může mít:
1. Jedno řešení ve tvaru a
bx −= pro 0≠a .
Jednotlivé strany rovnice můžeme chápat jako dvě funkce. Levou stranu jako lineární funkci baxy += . Protože 0≠a , jedná se o přímku různoběžnou s osou x . Pravá strana představuje konstantní funkci 0=y , jejímž grafem je osa x . Řešení rovnice je vlastně hledání společného bodu těchto dvou přímek, tedy průsečíku přímky
baxy += a osy x . Ukážeme si to na příkladu. Př. Řešte graficky rovnici pro ℜ∈x :
042 =+x 1. Načrtneme si tyto funkce: 42:1 += xyf a 0:2 =yf 2. Určíme jejich průsečík. 3. Množinu řešení zapíšeme jako { }2−=K
2. Nekonečně mnoho řešení, je-li 00 =∧= ba . Rovnice má tvar 00 = , obě strany představují tutéž přímku, osu x . Mají tak přímku společných bodů, osu x . Množinu řešení zapíšeme jako ( )∞∞−= ;K .
VY_42_INOVACE_MA_2_07
3
3. Prázdnou množinu řešení. (Rovnice nemá řešení.) Tento případ nastane, pokud je 00 ≠∧= ba . Dostaneme tak například rovnici 06 =− . První funkce má předpis
6−=y . Je to přímka rovnoběžná s osou x . Nemají tedy žádný společný bod.
Výsledek zapíšeme jako { }=K nebo jako K=Ø.
VY_42_INOVACE_MA_2_07
4
Pozn. Rovnice nemusí být v základním tvaru. Může být například zadaná takto: 2314 −=− xx
Potom načrtneme dvě přímky: 14:1 −= xyf a 23:2 −= xyf . Řešením je opět jejich
průsečík, { }1−=K .
VY_42_INOVACE_MA_2_07
5
Prameny a literatura Doc. RNDr. Odvárko, DrSc., Oldřich. Matematika pro gymnázia Funkce. Praha: Prometheus, 2000, ISBN 80-7196-164-7 Materiály jsou určeny pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škol a školských zařízení. Jakékoliv další využití podléhá autorskému zákonu. Všechny neocitované kliparty a další grafické objekty jsou součástí prostředků MS Office nebo dílem autora za použití programu Funkce 2.01 (Freeware).
VY_42_INOVACE_MA_2_08
1
Střední průmyslová škola, Hronov, Hostovského 910
VY_42_INOVACE_MA_2_08 Vytvořila: Mgr. Lucie Pošvářová Leden 2013 V rámci školního projektu: Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Registrační číslo GP: CZ.1.07/1.5.00/34.0596
AKTIVITA JE SPOLUFINANCOVÁNA EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FO NDEM
A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY
VY_42_INOVACE_MA_2_08
2
Lineární funkce a rovnice – grafické řešení soustav lineárních rovnic Soustava dvou lineárních rovnic o dvou neznámých Pokud řešíme soustavu dvou lineárních rovnic o dvou neznámých, nejprve si z každé rovnice vyjádříme y v závislosti na x . Potom můžeme každou rovnici chápat jako lineární funkci, jejímž grafem je přímka. Hledání řešení soustavy je tak vlastně určení průsečíku těchto přímek. Mohou nastat tři případy, které si popíšeme na příkladech:
1. Přímky budou různoběžné a soustava bude mít jedno řešení. Př. Řešte graficky soustavu rovnic pro 2, ℜ∈yx :
0
0624
=−=++
yx
yx
Nejprve z každé rovnice vyjádříme y :
xy
xy
=−−= 32
Načrtneme grafy příslušných funkcí a určíme souřadnice průsečíku. Výsledek zapíšeme jako [ ]{ }1;1−−=K .
VY_42_INOVACE_MA_2_08
3
2. Pokud budou přímky rovnoběžné různé, nebudou mít žádný společný bod a soustava nebude mít řešení. Výsledek zapíšeme jako { }=K nebo jako K=Ø. Tento případ můžeme demonstrovat na následujícím příkladu:
Př. Řešte graficky soustavu rovnic pro 2, ℜ∈yx :
02
0624
=+=++
yx
yx
Pokud vyjádříme y , dostaneme funkce:
xy
xy
2
32
−=−−=
3. Pokud budou přímky rovnoběžné totožné, bude mít soustava jednoparametrické řešení. Př. Řešte graficky soustavu rovnic pro 2, ℜ∈yx :
032
0624
=++=++
yx
yx
Vyjádříme-li y , dostaneme funkce:
32
32
−−=−−=
xy
xy
Je tedy patrné, že obě rovnice představují tutéž přímku. Můžeme si ji načrtnout.
VY_42_INOVACE_MA_2_08
4
Soustava má tedy nekonečně mnoho řešení, protože tyto dvě přímky mají nekonečně mnoho společných bodů. Ale ne ledajakých bodů. Tyto body leží na přímce dané předpisem 32 −−= xy . Souřadnice těchto bodů jsou tak na sobě závislé. Tuto závislost vyjádříme pomocí parametru a tím dostaneme již zmíněné jednoparametrické řešení. Za x zvolíme parametr, například t . Druhou souřadnici všech bodů, které jsou řešením soustavy vypočítáme jako 32 −− t . Řešení zapíšeme jako [ ]{ }32; −−= ttK ,
ℜ∈t .
VY_42_INOVACE_MA_2_08
5
Prameny a literatura Doc. RNDr. Odvárko, DrSc., Oldřich. Matematika pro gymnázia Funkce. Praha: Prometheus, 2000, ISBN 80-7196-164-7 Materiály jsou určeny pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škol a školských zařízení. Jakékoliv další využití podléhá autorskému zákonu. Všechny neocitované kliparty a další grafické objekty jsou součástí prostředků MS Office nebo dílem autora za použití programu Funkce 2.01 (Freeware).
5.2.2014
1
VY_42_INOVACE_MA_2_09
AKTIVITA JE SPOLUFINANCOVÁNA EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY
Vytvořila: Mgr. Lucie PošvářováLeden 2013
V rámci školního projektu:Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Registrační číslo projeku:CZ.1.07/1.5.00/34.0596 Z.1.07/1.5.00/34.0596 Kvadratická funkce
VY_42_INOVACE_MA_2_09
Posuny na grafech
Leden 2013
23xy =•každou funkční hodnotu funkce y=x2 vynásobíme 3
030 =⋅�co bylo v nule, zůstane v nule
331 =⋅�co bylo v 1, přejde do 3
933 =⋅�co bylo ve 3, přejde do 9
52 −= xy•každou funkční hodnotu funkce y=x2 posuneme o 5 dolu ve směru osy y
5.2.2014
2
( )25−= xy•dané funkční hodnoty funkce y=x2 budeme dostávat pro x o 5 větší než původní
•graf y=x2 se nám tak posune o 5 doprava po ose x („proti znaménku“)
Prameny a literatura
Materiály jsou určeny pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škola školských zařízení. Jakékoliv další využití podléhá autorskému zákonu.
Všechny neocitované kliparty a další grafické objekty jsou součástí prostředků MS Office nebo dílem autora za použití programu Funkce 2.01 (Freeware).
Doc. RNDr. Odvárko, DrSc., Oldřich.Matematika pro gymnázia Funkce.Praha: Prometheus, 2000, ISBN 80-7196-164-7
VY_42_INOVACE_MA_2_10
1
Střední průmyslová škola, Hronov, Hostovského 910
VY_42_INOVACE_MA_2_10 Vytvořila: Mgr. Lucie Pošvářová Leden 2013 V rámci školního projektu: Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Registrační číslo GP: CZ.1.07/1.5.00/34.0596
AKTIVITA JE SPOLUFINANCOVÁNA EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FO NDEM
A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY
VY_42_INOVACE_MA_2_10
2
Kvadratická funkce – posuny na grafech - Pracovní list, záznamový arch
Vycházíme ze základního grafu kvadratické funkce 2: xyf = . Načrtněte následující funkce:
2xy −= 222
4
1;4;2 xyxyxy ===
12 += xy 32 −= xy
VY_42_INOVACE_MA_2_10
3
( )22+= xy ( )24−= xy
( ) 23 2 −+= xy
VY_42_INOVACE_MA_2_10
4
( ) 315
1 2 +−−= xy
VY_42_INOVACE_MA_2_10
5
Kvadratická funkce – posuny na grafech - Výsledky
VY_42_INOVACE_MA_2_10
6
VY_42_INOVACE_MA_2_10
7
Prameny a literatura Doc. RNDr. Odvárko, DrSc., Oldřich. Matematika pro gymnázia Funkce. Praha: Prometheus, 2000, ISBN 80-7196-164-7 Materiály jsou určeny pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škol a školských zařízení. Jakékoliv další využití podléhá autorskému zákonu. Všechny neocitované kliparty a další grafické objekty jsou součástí prostředků MS Office nebo dílem autora za použití programu Funkce 2.01 (Freeware).
1
VY_42_INOVACE_MA_2_11
AKTIVITA JE SPOLUFINANCOVÁNA EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY
Vytvořila: Mgr. Lucie PošvářováLeden 2013
V rámci školního projektu:Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Registrační číslo projeku:CZ.1.07/1.5.00/34.0596 Z.1.07/1.5.00/34.0596
Funkce absolutní hodnota
VY_42_INOVACE_MA_2_11
Leden 2013
Nejprve si připomeneme definici absolutní hodnoty.
Absolutní hodnota reálného čísla a je číslo,pro které platí:
aaa =≥ pak ,0 li-je
aaa −=< pak ,0 li-je
Funkce absolutní hodnota
- je dána předpisem
xy =
2
Graf se bude skládat ze dvou částí:
) xyx =∞∈ funkce bude to;0 pro
y=x y=-x
)( xyx −=∞−∈ funkce bude to0; pro
Graf funkce absolutní hodnota
Prameny a literatura
Materiály jsou určeny pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škola školských zařízení. Jakékoliv další využití podléhá autorskému zákonu.
Všechny neocitované kliparty a další grafické objekty jsou součástí prostředků MS Office nebo dílem autora za použití programu Funkce 2.01 (Freeware).
Doc. RNDr. Odvárko, DrSc., Oldřich.Matematika pro gymnázia Funkce.Praha: Prometheus, 2000, ISBN 80-7196-164-7
VY_42_INOVACE_MA_2_12
1
Střední průmyslová škola, Hronov, Hostovského 910
VY_42_INOVACE_MA_2_12 Vytvořila: Mgr. Lucie Pošvářová Leden 2013 V rámci školního projektu: Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Registrační číslo GP: CZ.1.07/1.5.00/34.0596
AKTIVITA JE SPOLUFINANCOVÁNA EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FO NDEM
A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY
VY_42_INOVACE_MA_2_12
2
Funkce s absolutními hodnotami - Pracovní list – zadání, záznamový arch
1. Do téže soustavy souřadnic zakreslete grafy následujících funkcí:
xyf 2:1 =
22:2 += xyf
42:3 −= xyf
VY_42_INOVACE_MA_2_12
3
2. Do téže soustavy souřadnic zakreslete grafy následujících funkcí: xyg =:1
xyg −=:2
2:3 −= xyg
VY_42_INOVACE_MA_2_12
4
3. Řešte graficky rovnici pro ℜ∈x : 332 −+=+− xx
VY_42_INOVACE_MA_2_12
5
Funkce s absolutními hodnotami - Pracovní list – řešení
1. 2.
3. Každá strana rovnice nám představuje jednu funkci:
2: +−= xyf
33: −+= xyg
gf =
{ }1;4−=K
VY_42_INOVACE_MA_2_12
6
Prameny a literatura Doc. RNDr. Odvárko, DrSc., Oldřich. Matematika pro gymnázia Funkce. Praha: Prometheus, 2000, ISBN 80-7196-164-7 Materiály jsou určeny pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škol a školských zařízení. Jakékoliv další využití podléhá autorskému zákonu. Všechny neocitované kliparty a další grafické objekty jsou součástí prostředků MS Office nebo dílem autora za použití programu Funkce 2.01 (Freeware).
VY_42_INOVACE_MA_2_13
1
Střední průmyslová škola, Hronov, Hostovského 910
VY_42_INOVACE_MA_2_13 Vytvořila: Mgr. Lucie Pošvářová Leden 2013 V rámci školního projektu: Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Registrační číslo GP: CZ.1.07/1.5.00/34.0596
AKTIVITA JE SPOLUFINANCOVÁNA EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FO NDEM
A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY
VY_42_INOVACE_MA_2_13
2
Funkce s absolutními hodnotami – Test
Skupina A
1. Přiřaďte k sobě předpisy funkcí a grafy (Obr.1): 5:1 −= xyf
7:2 −= xyf
85:3 −+= xyf
2. Dokreslete do grafu k dané funkci ( )xf (Obr.2) funkci ( )xf :
Obr.1 Obr.2
3. Řešením rovnice 64 +−=+ xx je:
a. { }5;1=K
b. { }1;5−=K
c. { }5;1;5−=K
d. 1;5−=K
VY_42_INOVACE_MA_2_13
3
Skupina B
1. Přiřaďte k sobě předpisy funkcí a grafy (Obr.1): 5:1 += xyf
2:2 += xyf
85:3 −−= xyf
2. Dokreslete do grafu k dané funkci ( )xf (Obr.2) funkci ( )xf :
Obr.1 Obr.2
3. Řešením rovnice 64 +−=− xx je:
a. 6;6−=K
b. { }5;1=K
c. { }5;1−=K
d. { }5;1;1−=K
VY_42_INOVACE_MA_2_13
4
Prameny a literatura Doc. RNDr. Odvárko, DrSc., Oldřich. Matematika pro gymnázia Funkce. Praha: Prometheus, 2000, ISBN 80-7196-164-7 Materiály jsou určeny pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škol a školských zařízení. Jakékoliv další využití podléhá autorskému zákonu. Všechny neocitované kliparty a další grafické objekty jsou součástí prostředků MS Office nebo dílem autora za použití programu Funkce 2.01 (Freeware).
5.2.2014
1
VY_42_INOVACE_MA_2_14
AKTIVITA JE SPOLUFINANCOVÁNA EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY
Vytvořila: Mgr. Lucie PošvářováÚnor 2013
V rámci školního projektu:Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Registrační číslo projeku:CZ.1.07/1.5.00/34.0596 Z.1.07/1.5.00/34.0596 Funkční rozcvička
VY_42_INOVACE_MA_2_14
Než začneme cvičit…
• postavte se, prosím• udělejte si kolem sebe místo na rozpažení
• vaše tělo představuje osu y• vaše paže jsou grafem funkce• panáček k vám stojí zády
Naznačte pažemi rostoucí funkci.
5.2.2014
2
Naznačte pažemi klesající funkci. Naznačte pažemi konstantní funkci.
Naznačte pažemi tyto funkce:
xy =
Naznačte pažemi tyto funkce:
xy ⋅= 2
5.2.2014
3
Naznačte pažemi tyto funkce:
xy −=
Naznačte pažemi tyto funkce:
2=y
Naznačte pažemi tyto funkce:
2−=y
Naznačte pažemi tyto funkce:
xy =
5.2.2014
4
Naznačte pažemi tyto funkce:
xy −=
Naznačte pažemi tyto funkce:
2−= xy
Naznačte pažemi tyto funkce:
2−= xy
Naznačte pažemi tyto funkce:
2xy =
5.2.2014
5
Naznačte pažemi tyto funkce:
2xy −=
Naznačte pažemi tyto funkce:
12 += xy
Naznačte pažemi tyto funkce:
( )21+= xy
Dodělejte funkci, aby byla sudá:
5.2.2014
6
Dodělejte funkci, aby byla lichá: Naznačte pažemi ve trojicích tyto funkce:
tgxy =)π2;0∈x
Naznačte pažemi ve dvojicích tyto funkce:
gxy cot=( )π2;0∈x
Naznačte pažemi tyto funkce:
xy sin=ππ ;−∈x
5.2.2014
7
Naznačte pažemi tyto funkce:
3xy =
Naznačte pažemi tyto funkce:
3xy −=
Naznačte pažemi tyto funkce:
xey =
Prameny a literatura
Materiály jsou určeny pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škola školských zařízení. Jakékoliv další využití podléhá autorskému zákonu.
Všechny neocitované kliparty a další grafické objekty jsou součástí prostředků MS Office nebo dílem autora za použití programu Funkce 2.01 (Freeware).
Doc. RNDr. Odvárko, DrSc., Oldřich.Matematika pro gymnázia Funkce.Praha: Prometheus, 2000, ISBN 80-7196-164-7
1
VY_42_INOVACE_MA_2_15
AKTIVITA JE SPOLUFINANCOVÁNA EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY
Vytvořila: Mgr. Lucie PošvářováÚnor 2013
V rámci školního projektu:Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Registrační číslo projeku:CZ.1.07/1.5.00/34.0596 Z.1.07/1.5.00/34.0596 Mocninné funkce
VY_42_INOVACE_MA_2_15
Únor 2013
Mocninné funkce s přirozeným exponentem
• n liché
nxy =Nn ∈
xyf =:3: xyg =5: xyh =
Mocninné funkce s přirozeným exponentem
• n sudé
nxy =Nn ∈
2: xyf =4: xyg =6: xyh =
2
Mocninné funkce s celým exponentem
• specifický případ• nemůžeme na nultou
umocnit nulu• definiční obor jsou
všechna reálná čísla, kromě nuly
nxy =0=n
0: xyf =( ) ( ) ( )∞∪∞−= ;00;fD
Mocninné funkce s celým exponentem
• -n liché• můžeme také psát jako:
nxy =−∈ Zn
1: −= xyf 3: −= xyg 5: −= xyh
nxy −= 1
( ) ( ) ( )∞∪∞−= ;00;fD
Mocninné funkce s celým exponentem
• -n sudé• můžeme také psát jako:
nxy =−∈ Zn
2: −= xyf 4: −= xyg 6: −= xyh
nxy −= 1
( ) ( ) ( )∞∪∞−= ;00;fD
Přehlednxy =
4xy =
3xy =
2−= xy
3−= xy
3
Mocninné funkce
Změny na grafech
4
2
1: −= xyf můžeme také psát:
42
1:
xyf =
( ) ( ) ( )∞∪∞−= ;00;fDkaždou funkční hodnotuvynásobíme 0,5
1: 7 += −xyf můžeme také psát: 11
:7
+=x
yf
( ) ( ) ( )∞∪∞−= ;00;fD
posune se o 1 nahoru
( ) 21: −+= xyf můžeme také psát:
( )21
1:
+=
xyf
( ) ( ) ( )∞−∪−∞−= ;11;fD
posune se o 1 doleva
4
5: xyf = ( ) ( )∞∞−= ;fD
záporné funkční hodnoty se stanou kladnými
Pro zajímavost
4)2(3: 6 +−−= xyf
( ) ( )∞∞−= ;fD
Prameny a literatura
Materiály jsou určeny pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škola školských zařízení. Jakékoliv další využití podléhá autorskému zákonu.
Všechny neocitované kliparty a další grafické objekty jsou součástí prostředků MS Office nebo dílem autora za použití programu Funkce 2.01 (Freeware).
Doc. RNDr. Odvárko, DrSc., Oldřich.Matematika pro gymnázia Funkce.Praha: Prometheus, 2000, ISBN 80-7196-164-7
VY_42_INOVACE_MA_2_16
1
Střední průmyslová škola, Hronov, Hostovského 910
VY_42_INOVACE_MA_2_16 Vytvořila: Mgr. Lucie Pošvářová Únor 2013 V rámci školního projektu: Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Registrační číslo GP: CZ.1.07/1.5.00/34.0596
AKTIVITA JE SPOLUFINANCOVÁNA EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FO NDEM
A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY
VY_42_INOVACE_MA_2_16
2
Mocninné funkce – Pracovní list – zadání, záznamový arch
1. Načrtněte grafy daných funkcí:
2−−= xy 222
4
1;4;2 −−− === xyxyxy
12 += −xy 32 −= −xy
VY_42_INOVACE_MA_2_16
3
( ) 22 −+= xy ( ) 24 −−= xy
( ) 23 2 −+= −xy
VY_42_INOVACE_MA_2_16
4
2. Pomocí grafu vhodné mocninné funkce porovnejte následující čísla:
a. ( ) 32 −−=A 32−=B
b. ( )79,0−=A
( )78,0=B
VY_42_INOVACE_MA_2_16
5
Mocninné funkce – Pracovní list – řešení
VY_42_INOVACE_MA_2_16
6
VY_42_INOVACE_MA_2_16
7
Prameny a literatura Doc. RNDr. Odvárko, DrSc., Oldřich. Matematika pro gymnázia Funkce. Praha: Prometheus, 2000, ISBN 80-7196-164-7 Materiály jsou určeny pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škol a školských zařízení. Jakékoliv další využití podléhá autorskému zákonu. Všechny neocitované kliparty a další grafické objekty jsou součástí prostředků MS Office nebo dílem autora za použití programu Funkce 2.01 (Freeware).
1
VY_42_INOVACE_MA_2_17
AKTIVITA JE SPOLUFINANCOVÁNA EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY
Vytvořila: Mgr. Lucie PošvářováÚnor 2013
V rámci školního projektu:Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Registrační číslo projeku:CZ.1.07/1.5.00/34.0596 Z.1.07/1.5.00/34.0596 Kvadratické nerovnice
VY_42_INOVACE_MA_2_17
Únor 2014
Kvadratickou nerovnicí o jedné neznámé je každá nerovnice,
kterou lze ekvivalentními úpravami převést na jeden z tvarů:
02 ≤++ cxbxa
02 <++ cxbxa
02 ≥++ cxbxa
02 >++ cxbxa
Řešení kvadratické nerovnice
0652 ≤+− xx
0652 =+− xx( )( ) 032 =−− xx
21 =x 32 =x
3;2∈x
nejprve vyřešíme příslušnou kvadratickou rovnici
kořeny této rovnice jsou průsečíkypříslušné funkce s osou x
kvadratická funkce y=x2-5x+6 je konvexní,
protože koeficient u kvadratického členu je kladný
zjistíme, kdy jsou funkční hodnoty záporné nebo rovny nule- když parabola protíná osu x nebo je pod osou x
+
-
- to je pro
2
Další příklady na procvičení
04
054
02510
0107
2
2
2
2
≥−−
≥++<−+−
>++
x
xx
xx
xx
01072 >++ xx
01072 =++ xx
( )( ) 052 =++ xx
21 −=x
52 −=x
( ) ( )∞−∪−∞−∈ ;25;x
025102 <−+− xx
025102 =−+− xx
( ) 05 2 =−x
521 == xx
( ) ( )∞∪∞−∈ ;55;x
025102 =+− xx
Další možnosti
025102 ≤−+− xx
ℜ∈x
3
Další možnosti
025102 >−+− xx
∈x
NIC
Ø
Další možnosti
025102 ≥−+− xx
{ }5∈x
0542 ≥++ xx
ℜ∈x
0542 =++ xx
cabD 42 −=420165416 −=−=⋅−=D
kvadratická rovnice nemá řešení
-příslušná kvadratická funkcenemá průsečíky s osou x
- protože koeficient u kvadratického členu je kladný, kvadratická funkce y=x2+4x+5 je konvexní
- parabola bude celá nad osou x
0542 >++ xx
ℜ∈x
Další možnosti
4
0542 <++ xx
Další možnosti
NIC
∈x Ø
0542 ≤++ xx
Další možnosti
NIC
∈x Ø
042 ≥−− x
042 =−− x ( )1/ −⋅
042 =+x
42 −=xkvadratická rovnice nemá řešení
- příslušná kvadratická funkcenemá průsečíky s osou x
- protože koeficient u kvadratického členu je záporný,kvadratická funkce y= - x2 - 4 je konkávní
- parabola bude celá pod osou x
NIC
∈x Ø
Prameny a literatura
Materiály jsou určeny pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škola školských zařízení. Jakékoliv další využití podléhá autorskému zákonu.
Všechny neocitované kliparty a další grafické objekty jsou součástí prostředků MS Office nebo dílem autora za použití programu Funkce 2.01 (Freeware).
Doc. RNDr. Odvárko, DrSc., Oldřich.Matematika pro gymnázia Funkce.Praha: Prometheus, 2000, ISBN 80-7196-164-7
VY_42_INOVACE_MA_2_18
1
Střední průmyslová škola, Hronov, Hostovského 910
VY_42_INOVACE_MA_2_18 Vytvořila: Mgr. Lucie Pošvářová Březen 2013 V rámci školního projektu: Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Registrační číslo GP: CZ.1.07/1.5.00/34.0596
AKTIVITA JE SPOLUFINANCOVÁNA EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FO NDEM
A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY
VY_42_INOVACE_MA_2_18
2
Inverzní funkce – Pracovní list – zadání, záznamový arch
U následujících grafů funkcí určete definiční obor ( )fD , obor hodnot ( )fH , načrtněte
k funkci f inverzní fukci 1−f (pokud existuje) a napište její definiční obor ( )1−fD , obor
hodnot ( )1−fH . a)
b)
VY_42_INOVACE_MA_2_18
3
c)
d)
VY_42_INOVACE_MA_2_18
4
e)
f)
VY_42_INOVACE_MA_2_18
5
Inverzní funkce – Pracovní list – řešení
a) b)
funkce není prostá, neexistuje k ní inverzní funkce
( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )∞∞−=
∞∞−=
∞∞−=∞∞−=
−
−
;
;
;
;
1
1
fH
fD
fH
fD
( ) ( )( ) )∞=
∞∞−=;0
;
fH
fD
c) d)
( ) )( ) )( ) )( ) )∞=
∞=
∞=
∞=
−
−
;0
;0
;0
;0
1
1
fH
fD
fH
fD
( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )∞∞−=
∞−=
∞−=∞∞−=
−
−
;
;4
;4
;
1
1
fH
fD
fH
fD
VY_42_INOVACE_MA_2_18
6
e) f)
( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )∞∞−=
∞=
∞=∞∞−=
−
−
;
;0
;0
;
1
1
fH
fD
fH
fD
( ) (( ) )( ) )( ) ( 3;
;4
;4
3;
1
1
∞−=
∞−=
∞−=
∞−=
−
−
fH
fD
fH
fD
VY_42_INOVACE_MA_2_18
7
Prameny a literatura Doc. RNDr. Odvárko, DrSc., Oldřich. Matematika pro gymnázia Funkce. Praha: Prometheus, 2000, ISBN 80-7196-164-7 Materiály jsou určeny pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škol a školských zařízení. Jakékoliv další využití podléhá autorskému zákonu. Všechny neocitované kliparty a další grafické objekty jsou součástí prostředků MS Office nebo dílem autora za použití programu Funkce 2.01 (Freeware).
5.2.2014
1
VY_42_INOVACE_MA_2_19
AKTIVITA JE SPOLUFINANCOVÁNA EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FO NDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY
Vytvořila: Mgr. Lucie PošvářováBřezen 2013
V rámci školního projektu:Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Registrační číslo projeku:CZ.1.07/1.5.00/34.0596 Z.1.07/1.5.00/34.0596
Logaritmy
Intelektuální čísla
VY_42_INOVACE_MA_2_19
Březen 2013
Od námořní dopravy k logaritmům
� Tycho de Brahe (1546 – 1601)
� dánský astronom
� kreslil nejpřesnější mapy v 16. stol.
Logaritmické pravítko
5.2.2014
2
Logaritmické tabulky
� Stránka s logaritmickými tabulkami pocházející z díla
„Mirifici logarithmorum canonis constructio“ Johna Napiera
� Napierovy tabulky byly prvními logaritmickými tabulkami
� s nadšením přijaty námořníky a astronomy
Logaritmické tabulky
� nutnost v mnoha vědních oborech
� nejlepší tabulky sestavil anglický matematikMichael Taylor
� (1756 – 1789)� obsahují logaritmy
101000 přirozených čísel
Ještě že máme... Johannes Kepler
� svým dílem přispěl k rozšíření pojmu logaritmus
v Německu
5.2.2014
3
Logaritmická spirála
� Vzniká pohybem daného bodu konstantní úhlovou rychlostí kolem jiného bodu a zároveň se exponenciálně zvětšuje poloměr otáčení
Určování síly zemětřesení Intenzita zvuku
5.2.2014
4
Definice logaritmu
lnz =lognz l =
0>z1≠z
0>n
logaritmus n o základu z
Hodnoty logaritmu
=zzlog
1
=1log z 0=a
z zlog
a
lnz =log nz l =nápověda:
Dekadický logaritmus
lnn == 10loglog
nl =100>n
Přirozený logaritmus
lnn e == logln
…28718,2=e
0>n
ne l =Eulerovo číslo
5.2.2014
5
nn =log10
ne n =ln
Vlastnosti logaritmů
( ) baba zzz logloglog +=⋅Tento obrázek nyní nelze zobrazit.
bab
azzz logloglog −=
ana zn
z loglog ⋅=
Prameny a literatura
Materiály jsou určeny pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škola školských zařízení. Jakékoliv další využití podléhá autorskému zákonu.
Všechny neocitované kliparty a další grafické objekty jsou součástí prostředků MS Office nebo dílem autora za použití programu Funkce 2.01 (Freeware).
Doc. RNDr. Odvárko, DrSc., Oldřich.Matematika pro gymnázia Funkce.Praha: Prometheus, 2000, ISBN 80-7196-164-7
Sbírka Mozkolam, ISBN: 978-83-248-0821-2 (č.9)
1
VY_42_INOVACE_MA_2_20
AKTIVITA JE SPOLUFINANCOVÁNA EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FO NDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY
Vytvořila: Mgr. Lucie PošvářováBřezen 2013
V rámci školního projektu:Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Registrační číslo projeku:CZ.1.07/1.5.00/34.0596 Z.1.07/1.5.00/34.0596 Exponenciální funkce
VY_42_INOVACE_MA_2_20
Graf a vlastnosti
Březen 2013
Exponenciální funkce o základu a
xayf =:
0>a1≠a
( ) ( )∞∞−= ;fD
Exponenciální funkce o základu axay =( )1;0∈a
x
yf
=9
8:
x
yg
=5
4:
x
yh
=3
1:
2
Exponenciální funkce o základu axay =( )∞∈ ;1a
( )xyf 3: =
x
yg
=2
3:
x
yh
=10
11:
Exponenciální funkce o základu 10
xy 10=
Exponenciální funkce o základu e
xey =
…28718,2=e
Eulerovo číslo
xay =( )1;0∈a ( )∞∈ ;1a( ) ( )∞∞−= ;fD
( ) ( )∞= ;0fH
Je rostoucína celém definičním oboru.
Je klesajícína celém definičním oboru. Je prostá.
( ) 10 =f
3
Prameny a literatura
Materiály jsou určeny pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škola školských zařízení. Jakékoliv další využití podléhá autorskému zákonu.
Všechny neocitované kliparty a další grafické objekty jsou součástí prostředků MS Office nebo dílem autora za použití programu Funkce 2.01 (Freeware).
Doc. RNDr. Odvárko, DrSc., Oldřich.Matematika pro gymnázia Funkce.Praha: Prometheus, 2000, ISBN 80-7196-164-7
1
VY_42_INOVACE_MA_2_21
AKTIVITA JE SPOLUFINANCOVÁNA EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FO NDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY
Vytvořila: Mgr. Lucie PošvářováBřezen 2013
V rámci školního projektu:Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Registrační číslo projeku:CZ.1.07/1.5.00/34.0596 Z.1.07/1.5.00/34.0596 Logaritmická funkce
VY_42_INOVACE_MA_2_21
Graf a vlastnosti
Březen 2013
Logaritmická funkce o základu a
xyf alog:1 =−
0>a1≠a
( ) ( ) ( )∞∞−==− ;1 fHfD
je inverzní k exponenciální funkci o stejném základu
xayf =:
Logaritmická funkce o základu axy alog=
( )1;0∈ax
yf
=5
4:
xyf5
41 log: =−
2
Logaritmická funkce o základu axy alog=
( )∞∈ ;1a
xyf 2: =
xyf 21 log: =−
Logaritmická funkce o základu 10
xy 10log=
xy log=
Dekadický logaritmus
Logaritmická funkce o základu e
xy ln=
…28718,2=e
Eulerovo číslo
xy elog=
Přirozený logaritmus
xy alog=
( )1;0∈a ( )∞∈ ;1a( ) ( )∞= ;0fD
( ) ( )∞∞−= ;fH
Je rostoucína celém definičním oboru.
Je klesajícína celém definičním oboru. Je prostá.
( ) 01 =f
3
Prameny a literatura
Materiály jsou určeny pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škola školských zařízení. Jakékoliv další využití podléhá autorskému zákonu.
Všechny neocitované kliparty a další grafické objekty jsou součástí prostředků MS Office nebo dílem autora za použití programu Funkce 2.01 (Freeware).
Doc. RNDr. Odvárko, DrSc., Oldřich.Matematika pro gymnázia Funkce.Praha: Prometheus, 2000, ISBN 80-7196-164-7
VY_42_INOVACE_MA_2_22
1
Střední průmyslová škola, Hronov, Hostovského 910
VY_42_INOVACE_MA_2_22 Vytvořila: Mgr. Lucie Pošvářová Březen 2013 V rámci školního projektu: Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Registrační číslo GP: CZ.1.07/1.5.00/34.0596
AKTIVITA JE SPOLUFINANCOVÁNA EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FO NDEM
A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY
VY_42_INOVACE_MA_2_22
2
Exponenciální funkce – využití grafu v úlohách - Pracovní list – zadání, záznamový arch
1. Užitím grafu vhodné exponenciální funkce rozhodněte, která z rovností platí:
a. 12
36,0
<
b. 12
36,0
>
2. Užitím grafu vhodné exponenciální funkce rozhodněte, které z čísel A , B je větší:
a. 8,0
6,0
3,0
3,0
==
B
A
b. 8,3
6,3
8
13
8
13
=
=
B
A
VY_42_INOVACE_MA_2_22
3
3. Užitím grafu vhodné exponenciální funkce rozhodněte, které z čísel m , n je větší:
a. nm
>
8
5
8
5
b. nm
<
5
8
5
8
4. Rozhodněte, jaký je základ a exponenciální funkce xay = , pokud platí:
a. 35 −− < aa
b. 3
4
4
5
aa >
VY_42_INOVACE_MA_2_22
4
Exponenciální funkce – využití grafu v úlohách - Řešení
1. Užitím grafu vhodné exponenciální funkce rozhodněte, která z rovností platí:
12
36,0
<
2. Užitím grafu vhodné exponenciální funkce rozhodněte, které z čísel A , B je větší:
a. 8,0
6,0
3,0
3,0
==
B
A
b. 8,3
6,3
8
13
8
13
=
=
B
A
VY_42_INOVACE_MA_2_22
5
3. Užitím grafu vhodné exponenciální funkce rozhodněte, které z čísel m , n je větší:
a. nm
>
8
5
8
5
b. nm
<
5
8
5
8
4. Rozhodněte, jaký je základ a exponenciální funkce xay = , pokud platí:
a. 35 −− < aa S rostoucím x …… 35 −<− , roste y ……( 35 −− < aa ).
Funkce xay = je rostoucí, 1>a .
b. 3
4
4
5
aa >
S rostoucím x ……3
4
4
5 < ,
klesá y ……( 3
4
4
5
aa > ).
Funkce xay = je klesající, ( );10∈a .
VY_42_INOVACE_MA_2_22
6
Prameny a literatura Doc. RNDr. Odvárko, DrSc., Oldřich. Matematika pro gymnázia Funkce. Praha: Prometheus, 2000, ISBN 80-7196-164-7 Materiály jsou určeny pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škol a školských zařízení. Jakékoliv další využití podléhá autorskému zákonu. Všechny neocitované kliparty a další grafické objekty jsou součástí prostředků MS Office nebo dílem autora za použití programu Funkce 2.01 (Freeware).
VY_42_INOVACE_MA_2_23
1
Střední průmyslová škola, Hronov, Hostovského 910
VY_42_INOVACE_MA_2_23 Vytvořila: Mgr. Lucie Pošvářová Březen 2013 V rámci školního projektu: Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Registrační číslo GP: CZ.1.07/1.5.00/34.0596
AKTIVITA JE SPOLUFINANCOVÁNA EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FO NDEM
A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY
VY_42_INOVACE_MA_2_23
2
Logaritmická funkce – využití grafu v úlohách - Pracovní list – zadání, záznamový arch
1. Užitím grafu vhodné logaritmické funkce rozhodněte, která z rovností platí:
a. 02log 3,0 <
b. 02log 3,0 >
2. Užitím grafu vhodné logaritmické funkce rozhodněte, které z čísel A , B je větší:
a. 6log
5log
4
4
==
B
A
b. 6log
5log
5
4
5
4
=
=
B
A
VY_42_INOVACE_MA_2_23
3
3. Užitím grafu vhodné logaritmické funkce rozhodněte, které z čísel m , n je větší:
a. nm8
5
8
5 loglog >
b. nm5
8
5
8 loglog >
4. Rozhodněte, jaký je základ a logaritmické funkce xy alog= , pokud platí:
a. 5log3log aa <
b. 3
4log
4
5log aa >
VY_42_INOVACE_MA_2_23
4
Logaritmická funkce – využití grafu v úlohách - Řešení
1. Užitím grafu vhodné logaritmické funkce rozhodněte, která z rovností platí:
02log 3,0 <
2. Užitím grafu vhodné logaritmické funkce rozhodněte, které z čísel A , B je větší:
a. 6log
5log
4
4
==
B
A
b. 6log
5log
5
4
5
4
=
=
B
A
VY_42_INOVACE_MA_2_23
5
3. Užitím grafu vhodné logaritmické funkce rozhodněte, které z čísel m , n je větší:
a. nm8
5
8
5 loglog >
b. nm5
8
5
8 loglog >
4. Rozhodněte, jaký je základ a logaritmické funkce xy alog= , pokud platí:
a. 5log3log aa < S rostoucím x …… 53 < , roste y ……( 5log3log aa < ).
Funkce xy alog= je rostoucí, 1>a .
b. 3
4log
4
5log aa >
S rostoucím x ……3
4
4
5 < ,
klesá y ……(3
4log
4
5log aa > ).
Funkce xy alog= je klesající, ( );10∈a .
VY_42_INOVACE_MA_2_23
6
Prameny a literatura Doc. RNDr. Odvárko, DrSc., Oldřich. Matematika pro gymnázia Funkce. Praha: Prometheus, 2000, ISBN 80-7196-164-7 Materiály jsou určeny pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škol a školských zařízení. Jakékoliv další využití podléhá autorskému zákonu. Všechny neocitované kliparty a další grafické objekty jsou součástí prostředků MS Office nebo dílem autora za použití programu Funkce 2.01 (Freeware).
5.2.2014
1
VY_42_INOVACE_MA_2_24
AKTIVITA JE SPOLUFINANCOVÁNA EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FO NDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY
Vytvořila: Mgr. Lucie PošvářováBřezen 2013
V rámci školního projektu:Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Registrační číslo projeku:CZ.1.07/1.5.00/34.0596 Z.1.07/1.5.00/34.0596 Exponenciální rovnice
VY_42_INOVACE_MA_2_24
Březen 2013
Řešte v R exponenciální rovnici:
93 =x
233 =x
2=x
{ }2=K
Graficky: Početně:
Protože exponenciální funkce
je prostá!
Řešte v R exponenciální rovnici:16
2
153
=+x
( ) 4153 22 =−+x
{ }3−=K
Graficky: Početně:
453 22 =−− x
453 =−− x
93 =− x
3−=x
5.2.2014
2
Řešte v R exponenciální rovnici: 065,025,0 =−+ xx
062
1
4
1 =−
+
xx
{ }1−=KSubstituce:
062
1
2
12
=−
+
xx
062
1
2
12
=−
+
xx
yx
=
2
1
062 =−+ yy
( ) ( ) 023 =−⋅+ yy
31 −=y 22 =y
22
1 =
x
NEVYHOVUJE
1
2
1
2
1−
=
x
1−=x
0>xa
Řešte v R exponenciální rovnici: 065,025,0 =−+ xx
{ }1−=K
Graficky:
Prameny a literatura
Materiály jsou určeny pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škola školských zařízení. Jakékoliv další využití podléhá autorskému zákonu.
Všechny neocitované kliparty a další grafické objekty jsou součástí prostředků MS Office nebo dílem autora za použití programu Funkce 2.01 (Freeware).
Doc. RNDr. Odvárko, DrSc., Oldřich.Matematika pro gymnázia Funkce.Praha: Prometheus, 2000, ISBN 80-7196-164-7
5.2.2014
1
VY_42_INOVACE_MA_2_25
AKTIVITA JE SPOLUFINANCOVÁNA EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FO NDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY
Vytvořila: Mgr. Lucie PošvářováBřezen 2013
V rámci školního projektu:Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Registrační číslo projeku:CZ.1.07/1.5.00/34.0596 Z.1.07/1.5.00/34.0596
Logaritmické a exponenciální rovnice
VY_42_INOVACE_MA_2_25
Březen 2013
Řešte v R logaritmickou rovnici: ( ) ( )xx 5log14log 32
3 −=−
xx 5142 −=−
71 −=x
{ }7−=K
Protože logaritmická funkce je prostá:
01452 =−+ xx
( ) ( ) 027 =−⋅+ xx
22 =x
0142 >−x 05 >− x
( ) ( ) 01414 >−⋅+ xx 0<x
Podmínky:
∧
∧
( ) ( )∞∪−∞−∈ ;1414;x
( )0;∞−∈x
průnik
( )14;−∞−∈x
NEVYHOVUJE
Řešte v R exponenciální rovnici: 06loglog2 =−+ xx
{ }2=K
Substituce: yx =log
062 =−+ yy
( ) ( ) 023 =−⋅+ yy
31 −=y
22 =y
NEVYHOVUJE
Podmínky: 0>x
5.2.2014
2
Řešte v R exponenciální rovnici:17
2
153
=+x( ) 172153 =−+x
17log2log 53 =−− x
( ) 17log2log53 =−− x
•číslo 17 nelze napsat jako mocninu dvou
•celou rovnici zlogaritmujeme
2log
17log53 =+− x
52log
17log3 −=− x
2log
2log517log3
−=− x
2log3
17log2log 5
⋅−=x
32log17
25log
=x
8log17
25log
=x
=8log
17
25log
K
Prameny a literatura
Materiály jsou určeny pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škola školských zařízení. Jakékoliv další využití podléhá autorskému zákonu.
Všechny neocitované kliparty a další grafické objekty jsou součástí prostředků MS Office nebo dílem autora za použití programu Funkce 2.01 (Freeware).
Doc. RNDr. Odvárko, DrSc., Oldřich.Matematika pro gymnázia Funkce.Praha: Prometheus, 2000, ISBN 80-7196-164-7
1
VY_42_INOVACE_MA_2_26
AKTIVITA JE SPOLUFINANCOVÁNA EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FO NDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY
Vytvořila: Mgr. Lucie PošvářováČerven 2013
V rámci školního projektu:Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Registrační číslo projeku:CZ.1.07/1.5.00/34.0596 Z.1.07/1.5.00/34.0596 Jednotková kružnice
VY_42_INOVACE_MA_2_26
Červen 2013
Jednotková kružnice je kružnice o poloměru jedna.
( )1; =rSk
délka jednotkové kružnice je: ro ⋅⋅= π2π⋅= 2o
(
délka kružnicového oblouku AB je:
=⋅360
2 π180
π
2
stupňová míra – velikost úhlu – ve stupních- stupně – minuty – vteřiny
0360061 ′′=′=�
oblouková míra – velikost úhlu – v radiánech
rad1Radián je středový úhel, který na jednotkové kružnici přísluší oblouku o délce 1.
nemusí se psát
Příklad: Vyznačte na jednotkové kružnici úhly o dané velikosti.
π2 π
2
π π2
3
Příklad: Doplňte tabulku.
αx
�0 �30 �45 �60 �90 �180 �270 �360
0 6
π4
π3
π2
π π π2
3 π2
Orientovaný úhel
- uspořádaná dvojice polopřímek se společným počátkem
- víme, které rameno je počáteční a které koncové
3
Základní velikost orientovaného úhluje velikost toho z úhlů,který opíše polopřímka VA při otočení kolem vrcholu Vz počátečního ramene VA do koncového ramene VBv kladném smyslu
má základní velikost .Nulový orientovaný úhel rad00 =�
- pro základní velikost orientovaného úhlu platí:
πα 20 <≤�� 3600 <≤ α
Velikost orientovaného úhlu
je každé číslo , , kde je základní velikost.πα 2⋅+ k αZk ∈�360⋅+ kα
Příklad: Vyznačte na jednotkové kružnici úhly o dané velikosti.
π4
π3−
π2
7
Prameny a literatura
Materiály jsou určeny pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škola školských zařízení. Jakékoliv další využití podléhá autorskému zákonu.
Všechny neocitované kliparty a další grafické objekty jsou součástí prostředků MS Office nebo dílem autora za použití programu Funkce 2.01 (Freeware).
Doc. RNDr. Odvárko, DrSc., Oldřich.Matematika pro gymnázia Goniometrie.Praha: Prometheus, 1997, ISBN 80-7196-000-4
5.2.2014
1
VY_42_INOVACE_MA_2_27
AKTIVITA JE SPOLUFINANCOVÁNA EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FO NDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY
Vytvořila: Mgr. Lucie PošvářováČerven 2013
V rámci školního projektu:Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Registrační číslo projeku:CZ.1.07/1.5.00/34.0596 Z.1.07/1.5.00/34.0596
Funkce sinus a kosinus na jednotkové kružnici
VY_42_INOVACE_MA_2_27
Červen 2013
- soustava souřadnic, jednotková kružnice
- pravoúhlý trojúhelník ABC:
( ) [ ]0;0,1; SrSk =[ ] xCkBA ∈∈ ,,0;0
[ ]abB ;
c
a=αsin
a=αsin
c
b=αcos
b=αcos
[ ]αα sin;cosB
- rozšíříme definici funkcí sinus a kosinus pro R na 2
;0 ∈
∈ απα
[ ]LL yxL ;
[ ]xxL sin;cos
5.2.2014
2
αsin
αcos
α2
;0π ππ
;2
ππ2
3; ππ 2;
2
3
Roste nebo klesá?
roste klesá rosteklesá
klesá klesá roste roste
αsin
αcos
α
2;0π
ππ;
2
ππ2
3;
ππ 2;2
3
+
Kladné nebo záporné?
+ - -
+ - - +
Periodické
( ) xkx sin2sin =⋅+ π
( ) xkx cos2cos =⋅+ πPerioda je π2
αsin
αcos
α 0 2
π π π2
3
Doplň hodnoty!
0
1
0
1−0
01
1−
Sudá nebo lichá?
( ) xx sinsin −=−
( ) xx coscos =−
lichá
sudá
Prameny a literatura
Materiály jsou určeny pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škola školských zařízení. Jakékoliv další využití podléhá autorskému zákonu.
Všechny neocitované kliparty a další grafické objekty jsou součástí prostředků MS Office nebo dílem autora za použití programu Funkce 2.01 (Freeware).
Doc. RNDr. Odvárko, DrSc., Oldřich.Matematika pro gymnázia Goniometrie.Praha: Prometheus, 1997, ISBN 80-7196-000-4
5.2.2014
1
VY_42_INOVACE_MA_2_28
AKTIVITA JE SPOLUFINANCOVÁNA EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FO NDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY
Vytvořila: Mgr. Lucie PošvářováČerven 2013
V rámci školního projektu:Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Registrační číslo projeku:CZ.1.07/1.5.00/34.0596 Z.1.07/1.5.00/34.0596 Graf funkce sinus
VY_42_INOVACE_MA_2_28
Červen 2013
xy sin=
SINUSOIDA
( ) RfD =
( ) 1;1−=fH
xy sin5=Načrtněte graf funkce
xay sin=
mění obor hodnot
( ) aafH ;−=
( ) 5;5−=fH
amplituda
5.2.2014
2
Načrtněte graf funkce
xy sin2
1=
( )2
1;
2
1−=fH
xy sin=Načrtněte graf funkce
( ) 1;0=fH
dvoucestně usměrněný signál
xy 2sin=Načrtněte graf funkce
bxy sin=
mění periodu
b
π2
do původního grafu se vejde b změněných
xy2
1sin=
Načrtněte graf funkce
5.2.2014
3
Načrtněte graf funkce
−=4
sinπ
xy
posouvá graf ve směru osy x„proti“ znaménku
fázový posun
( )cxy += sin
3sin += xy
Načrtněte graf funkce
dxy += sin
posouvá graf po ose y„po“ znaménku
stejnosměrná složka
1sin −= xy
Načrtněte graf funkce
stejnosměrná složka
Prameny a literatura
Materiály jsou určeny pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škola školských zařízení. Jakékoliv další využití podléhá autorskému zákonu.
Všechny neocitované kliparty a další grafické objekty jsou součástí prostředků MS Office nebo dílem autora za použití programu Funkce 2.01 (Freeware).
Doc. RNDr. Odvárko, DrSc., Oldřich.Matematika pro gymnázia Goniometrie.Praha: Prometheus, 1997, ISBN 80-7196-000-4
5.2.2014
1
VY_42_INOVACE_MA_2_29
AKTIVITA JE SPOLUFINANCOVÁNA EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FO NDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY
Vytvořila: Mgr. Lucie PošvářováČerven 2013
V rámci školního projektu:Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Registrační číslo projeku:CZ.1.07/1.5.00/34.0596 Z.1.07/1.5.00/34.0596 Graf funkce kosinus
VY_42_INOVACE_MA_2_29
Červen 2013
xy cos=KOSINUSOIDA
( ) RfD =
( ) 1;1−=fH
- posuny na grafu jsou stejnéjako u funkce sinus
xy cos=
xy sin=
xy cos=
xy sin=)
2(sincos
π+= xx
5.2.2014
2
Prameny a literatura
Materiály jsou určeny pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škola školských zařízení. Jakékoliv další využití podléhá autorskému zákonu.
Všechny neocitované kliparty a další grafické objekty jsou součástí prostředků MS Office nebo dílem autora za použití programu Funkce 2.01 (Freeware).
Doc. RNDr. Odvárko, DrSc., Oldřich.Matematika pro gymnázia Goniometrie.Praha: Prometheus, 1997, ISBN 80-7196-000-4
5.2.2014
1
VY_42_INOVACE_MA_2_30
AKTIVITA JE SPOLUFINANCOVÁNA EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FO NDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY
Vytvořila: Mgr. Lucie PošvářováČerven 2013
V rámci školního projektu:Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Registrační číslo projeku:CZ.1.07/1.5.00/34.0596 Z.1.07/1.5.00/34.0596
Funkcetangens a kotangensna jednotkové kružnici
VY_42_INOVACE_MA_2_30
Červen 2013
- soustava souřadnic, jednotková kružnice ( ) [ ]0;0,1; SrSk =xy tg=
5.2.2014
2
- soustava souřadnic, jednotková kružnice ( ) [ ]0;0,1; SrSk =xy cotg=
αtg
αcotg
α2
;0π ππ
;2
ππ2
3; ππ 2;
2
3
Roste nebo klesá?
roste roste rosteroste
klesá klesá klesá klesá
αtg
αcotg
α
2;0π
ππ;
2
ππ2
3;
ππ 2;2
3
+
Kladné nebo záporné?
- + -
+ - + -
Periodické
( ) tgxkxtg =⋅+ π
( ) xkx cotgcotg =⋅+ π Perioda je π
αtg
αcotg
α 0 2
π π π2
3
Doplň hodnoty!
0
*
0
*
0
0*
*
5.2.2014
3
Sudá nebo lichá?
( ) tgxxtg −=−
( ) xx cotgcotg −=−
lichá
lichá
Prameny a literatura
Materiály jsou určeny pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škola školských zařízení. Jakékoliv další využití podléhá autorskému zákonu.
Všechny neocitované kliparty a další grafické objekty jsou součástí prostředků MS Office nebo dílem autora za použití programu Funkce 2.01 (Freeware).
Doc. RNDr. Odvárko, DrSc., Oldřich.Matematika pro gymnázia Goniometrie.Praha: Prometheus, 1997, ISBN 80-7196-000-4
5.2.2014
1
VY_42_INOVACE_MA_2_31
AKTIVITA JE SPOLUFINANCOVÁNA EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY
Vytvořila: Mgr. Lucie PošvářováČerven 2013
V rámci školního projektu:Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Registrační číslo projeku:CZ.1.07/1.5.00/34.0596 Z.1.07/1.5.00/34.0596
Graf funkcetangens a kotangens
VY_42_INOVACE_MA_2_31
Červen 2013
x
xtgx
cos
sin=
0cos ≠x( )
212
π+≠ kx
Zk ∈
2
πliché násobky
x
xx
sin
coscotg =
0sin ≠x
π⋅≠ kx
celé násobky π
Zk ∈
5.2.2014
2
x
xtgx
cos
sin=x
xx
sin
coscotg =
xx
tg
1cotg =
xtgx
cotg
1=
1cotgtg =⋅ xx
xy tg=
( )2
12π+≠ kx
liché násobky
2
π
xy cotg=
π⋅≠ kx
celé násobky π
Prameny a literatura
Materiály jsou určeny pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škola školských zařízení. Jakékoliv další využití podléhá autorskému zákonu.
Všechny neocitované kliparty a další grafické objekty jsou součástí prostředků MS Office nebo dílem autora za použití programu Funkce 2.01 (Freeware).
Doc. RNDr. Odvárko, DrSc., Oldřich.Matematika pro gymnázia Goniometrie.Praha: Prometheus, 1997, ISBN 80-7196-000-4
1
VY_42_INOVACE_MA_2_32
AKTIVITA JE SPOLUFINANCOVÁNA EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FO NDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY
Vytvořil: Mgr. Vladimír KlikarSrpen 2013
V rámci školního projektu:Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Registrační číslo projeku:CZ.1.07/1.5.00/34.0596 Z.1.07/1.5.00/34.0596 Goniometrické rovnice
VY_42_INOVACE_MA_2_32
Červen 2013
Řešte v R goniometrickou rovnici: 5,0sin −=x
5,0sin =x
ππkx 2
60 +=Graficky:
Početně:
v I. kv.
ve III. kv. 01 xx += π
πππ kx 261 ++=
ππ kx 26
71 +=
ve IV. kv. 02 2 xx −= π
πππ kx 26
22 +−=
ππ kx 26
112 += ∪
Zk
kkK∈
++= ππππ 2
6
11;2
6
7
5,0sin −=x
2
Řešte v R goniometrickou rovnici: ( ) 13sin2 −=+ πx
yx =+ π3substituce: 1sin2 −=y
2
1sin −=y
podle předchozího příkladu:
ππ ky 26
71 += ππ ky 2
6
112 +=
πππ kx 26
73 1 +=+
πππ kx 26
73 1 +−=
ππkx 2
63 1 +=
ππkx
3
2
181 +=
πππ kx 26
113 2 +=+
πππ kx 26
113 2 +−=
ππ kx 26
53 2 +=
ππ kx3
2
18
52 +=
y∪
Zk
kkK∈
++= ππππ
3
2
18
5;
3
2
18
Řešte v R goniometrickou rovnici: 03cos7cos2 2 =+− xx
ux =cossubstituce:
0372 2 =+− uu
252449 =−=D
nevyhovuje
2
1cos =x
34
571 =+=u
2
1
4
572 =−=u
u u
Proč?
Řešení
3
Zpět
3
5,0cos =x
Graficky: Početně:
v I. kv. ππkx 2
31 +=
ve IV. kv. 12 2 xx −= π
πππ kx 23
22 +−=
ππ kx 23
52 +=
5,0cos =x
∪Zk
kkK∈
++= ππππ
23
5;2
3
Prameny a literatura
Materiály jsou určeny pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škola školských zařízení. Jakékoliv další využití podléhá autorskému zákonu.
Všechny neocitované kliparty a další grafické objekty jsou součástí prostředků MS Office nebo dílem autora za použití programu Funkce 2.01 (Freeware).
Doc. RNDr. Odvárko, DrSc., Oldřich.Matematika pro gymnázia Goniometrie.Praha: Prometheus, 1997, ISBN 80-7196-000-4