Proračun-pomjeranja_štapa

Teorija linijskih nosa~a II Prora~un pomjeranja {tapa

3. PRORAÛN POMJERANJA [TAPA

U ovom poglavlju }e se, na osnovu jedna~ina {tapa, izvesti diferencijalne jedna~ine kojima se direktno povezuju vanjski uticaji (optere}enje i promjena temperature) i pomjeranja. Bi}e pokazano i rje{avanje ovih diferencijalnih jedna~ina direktno i Mohr-ovom analogijom. Tako|e pokazat }e se i izrazi za pomjeranja i sile preko po~etnih parametara.

3.1. Deformaciona linija {tapa

Deformaciona linija {tapa predstavlja dimenzije i oblik {tapa nakon deformacije.

Ukoliko analiziramo djelovanje popre~nog optere}enja na prav {tap u ravni, {tap mijenja samo oblik. Linija kojom se prikazuje promjena oblika naziva se ugibna linija i njene ordinate predstavljaju pomjeranja pojedinih ta~aka osovine {tapa u pravcu okomitom na osovinu {tapa. U literaturi se moè na}i i pojam nagibna linija, ~ije ordinate predstavljaju rotaciju popre~nih presjeka u pojedinim ta~kama osovine {tapa.

Kod prora~una sloènih modela, prva kontrola prora~una se vr{i tako {to se

posmatra deformaciona linija nosa~a i utvr|uje se da li dobivena deformaciona linija odgovara zadatim rubnim uvjetima i datom optere}enju. Nelogi~na deformaciona linija ukazuje na to da postoje gre{ke u modelu ili u prora~unu. Napominje se da je inspekcija deformacione linije za sloène sisteme ~esto mnogo jednostavnija nego kontrola presje~nih sila, jer se za takve sisteme moè lak{e predvidjeti o~ekivana deformaciona linija, nego o~ekivane raspodjela presje~nih sila.

Pri izvo|enju diferencijalne jedna~ine kojom se povezuju vanjski uticaji i

pomjeranja, krenu}emo od diferencijalnih jedna~ina izvedenih za prav {tap:

2

2

2

2

2

2

)

) 0 0

)

yy

y y z y y

yt t

d ua du dx d dx

dxd Mb dT p dx dM T dx pdx

d uM t McEJ h dx EJ h

ϕ ϕ κ κ

κ α α

= = ⇒ =

− = + = ⇒ = −

tΔ Δ= + ⇒ = +

Dvostrukom integracijom jedna~ine c) dobiva se: 4 2

4

1yd u d Mdx EJ dx

= 2 (3.1)

Ubacivanjem jedna~ine (3.1) u b) imamo: 4

4yd u p

dx EJ= − y (3.2)

ili iz jedna~ine c): 2

2y

t

d u M tdx EJ h

α Δ= + (3.3)

27


Izvo|enje gornjih jedna~ina je obavljeno pod pretpostavkom da pozitivno optere}enje okomito na osovinu {tapa djeluje u suprotnom smjeru od y ose lokalnog koordinatnog sistema, dok je pozitivno pomjeranje u smjeru y ose. Ukoliko predznak optere}enja i pomjeranja definiramo na isti na~in, gornje jedna~ine se mijenjaju:

2

2 yd M pdx

= (3.4)

4

4yd u p

dx EJ= y (3.5)

Jedna~ina (3.5) predstavlja diferencijalnu jedna~inu ugibne linije pravog {tapa. Ukoliko je poznata funkcija promjene momenata, tada se moè koristiti jedna~ina (3.3). Pri analizi linijskih modela, kako je naprijed re~eno, presje~ne sile je mogu}e dobiti nezavisno od deformacija jedino za stati~ki odre|ene nosa~e, {to zna~i da se jedna~ina (3.3) moè koristiti jedino za takve nosa~e.

Prora~un ugibnih linija rje{avanjem diferencijalnih jedna~ina se u praksi ne koristi, jer se kod sloènih nosa~a javljaju po 4 konstante integracije za svaki {tap. Konstante integracije se rje{avaju iz jedna~ina koje se dobivaju iz rubnih uvjeta, {to kod sistema sa velikim brojem {tapova rezultira velikim brojem jedna~ina, {to znatno oteàva postupak. Primjeri iznalaènja ugibne linije za jednostavne nosa~e su dati u [4]. Ovdje }e se pokazati primjer proste grede optere}ene ~istim savijanjem i neravnomjernom promjenom temperature, te primje robostrano uklje{tene grede.

Primjer 3.1.

Greda je konstantnog popre~nog presjeka, raspona L. Poznato je da je dijagram momenata po duìni grede konstantan, tj.

( ) .M x M const= =

( ) 0T x =

EI

M M x

y

Slika 3.1. Greda optere}ena ~istim savijanjem

Prema jedna~ini (3.3) diferencijalna jedna~ina za pomjeranje glasi: 2

2yd u M

dx EI= , te:

1 .M constEI

κρ

= = =

Dakle, zakrivljenost i polupre~nik krivine deformisane konfiguracije grede su konstantni, {to zna~i da je deformaciona linija kru`nica. Integriraju}i gornju diferencijalnu jedna~inu dobiva se:

21 1;

2y

y

du M M2x C u x C x

dx EI EI= + = + +C

28


Konstante integracije se odre|uju iz geometrijskih rubnih uvjeta (stati~ki su iskori{teni za odre|ivanje momentne linije):

( ) 20, 0 0 0yx u C= = ⇒ =

( ) 1, 02yMLx L u L CEI

= = ⇒ = −

Kona~ne jedna~ine ugibne i nagibne linije su:

( ) ( ) ( ) ( ); 22 2

yy

duM Mu x x x L x x LEI dx EI

ϕ= − = = −

Maksimalni ugib ima ta~ka koja se nalazi na sredini grede: 2

2 8yL MLu

EI⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

Uglovi nagiba na krajevima grede su:

( ) ( )02MLLEI

ϕ ϕ= − = −

Kako je vidljivo, rje{avanjem diferencijalne jedna~ine (3.3) dobiva se ugibna linija u obliku parabole. Obzirom da je radijus zakrivljenosti konstantan, jasno je da ugibna linija mora biti dio kru`nice. Dobivena parabola ustvari predstavlja najbolju aproksimaciju kru`nice polinomom drugog reda. Ovakav rezultat je ustvari posljedica pretpostavke o malim deformacijama, kojima smo linearizovali geometrijske jedna~ine, tako da daje zadovoljavaju}e rezultate u slu~ajevima kada se radi o malim deformacijama.

Ukoliko razmatramo gredu pod uticajem neravnomjerne promjene temperature, dobivamo diferencijalnu jedna~inu istog oblika :

.1 constht

t =Δ

== αρ

κ

Napominje se da je momenat na prostoj gredi od neravnomjerne promjene temperature jednak nuli. Rje{avanjem ove diferencijalne jedna~ine na isti na~in kako je gore pokazano, dobiva se jedna~ina ugibne linije za neravnomjernu promjenu temperature:

( ) ( Lxxhtxu ty −

Δ=

2α )

Primjer 3.2.

q

L EI

Slika 3.2. Obostrano uklje{tena greda

29


Po{to je sistem stati~ki neodre|en, polazi se od diferencijalne jedna~ine :

( )EI

qEI

xpdxdu yy −

==4

4

Ovom diferencijalnom jedna~inom zanemaren je uticaj smi~u}ih napona na ugibnu liniju. Kako }e se poslije pokazati, taj uticaj se u ve}ini slu~ajeva moè zanemariti. Integriraju}i gornju jedna~inu ~etiri puta dobiva se:

( ) 43

2

2

3

14

2624CxCxCxCx

EIqxuy ++++−=

Gornji sistem ima svih {est rubnih uvjeta po pomjeranjima. Zanemaruju}i aksijalnu deformaciju preostaju ~etiri rubna uvjeta:

( )( )

( )

( ) EIqLC

EIqLC

LCLCLEIqL

LCLCLEIqLu

C

Cu

y

y

12;

20

260

02624

0

000

000

2

21

2

2

13

2

2

3

14

3

4

−==⇒

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

=++−⇒=

=++−⇒=

=⇒=

=⇒=

ϕ

ϕ

Koriste}i ove rezultate mogu}e je napisati jedna~ine za ugib, nagib, momenat savijanja i transverzalnu silu u bilo kojem presjeku grede:

( )

( )

( )

( )2

1222

1246

241224

22

2

2

223

22

34

qLqxdxdMxT

qLxqLxqdx

udEJxM

xEI

qLxEI

qLxEIqx

xEI

qLxEI

qLxEIqxu

y

y

−=−=

−+−==

−+−=

−+−=

ϕ

Na slici 3.3. su prikazane grafi~ki gornje funkcije. Kako je ranije re~eno ovakav pristup rje{avanju konstruktivnih sistema je racionalan jedino kod jednostavnih nosa~a. U svim navedenim primjerima usvojeno je da je moment inercije konstantan i da je funkcija optere}enja neprekidna funkcija. Ukoliko imamo kontinuiranu promjenu popre~nog presjeka, gdje je moment inercije mogu}e prikazati neprekidnom funkcijom, problem se uslo`njava utoliko {to moment inercije ostaje pod integralom, tako da je podintegralna funkcija sloènija i time je rje{avanje integrala ne{to komplikovanije. Naravno, popre~ni presjek du` grede moè biti zadat i tako da postoji nagla promjena momenta inercije U tom slu~aju se za svaki dio grede gdje je moment inercije konstantan ili se moè izraziti neprekidnom funkcijom rje{ava posebna diferencijalna jedna~ina, a rubni uvjeti se postavljaju na krajnjm ta~kama tako formiranih polja. Sli~no se postupa i u slu~aju da funkcija optere}enja ima prekide. Na primjer u slu~aju djelovanja koncentrisane vertikalne sile intenziteta F u nekoj ta~ki A na udaljenosti a od lijevog kraja, potrebno je za tu ta~ku postaviti ~etiri rubna uvjeta za stati~ki neodre|en nosa~, odnosno dva za stati~ki odre|en :

30


( ) ( ) DyAyy

LyA uauauu =+=−= εε ; ( ) ( ) D

ALA aa ϕεϕεϕϕ =+=−=

( ) ( ) DA

LA MaMaMM =+=−= εε ; ( ) ( ) FTFaTaTT D

AL

A +=++=−= εε

Jasno, druga dva uvjeta za stati~ki odre|ene nosa~e se primjenjuju odvojeno u fazi prora~una presje~nih sila i tada se polazi od jedna~ine (3.3), koja se postavlja za svaki dio {tapa gdje funkcija momenata nema prekida prve i druge vrste (u svakoj ta~ci je jednozna~no definirana funkcija i njena prva derivacija).

M 8

2qL {

24

2qL

12

2qL

12

2qL

ϕ

384

4qL uy

Slika 3.3. Dijagram momenata, nagibna i ugibna linija obostrano uklje{tene grede

UGIBNA LINIJA USLIJED SMICANJA

Kako je vidljivo iz gornjih razmatranja, dosada je ugibna linija tra`ena kao posljedica savijanja, a uticaj smi~u}ih napona je zanemaren radi Bernoullijeve hipoteze o ravnim i okomitim popre~nim presjecima. Ovakav model grede naziva se i Bernoulli-jeva greda. Ukoliko pretpostavimo da popre~ni presjek ostaje ravan, ali ne i okomit na deformisanu os {tapa, tada smi~u}a deformacija uti~e na veli~inu pomjeranja. Ovakav model grede se naziva Timo{enko-va greda. Sada }e se izvesti izraz za ugibnu liniju uslijed ~istog smicanja. Analiza po~inje od izvedenih jedna~ina za {tap:

0; 0; ;y yzy y

dT dudM kTp Tdx dx GA dx

γ γ+ = + = = =

Kombinuju}i gornje jedna~ine, uz kori{tenje jedna~ine (3.4), mo`emo dobiti diferencijalnu jedna~inu za ugibnu liniju uslijed djelovanja ~istog smicanja:

;02

2

=+ yy p

GAk

dxud

(3.6)

31


Rje{avanjem gornje diferencijalne jedna~ine, uz kori{tenje jedna~ina ravnoteè, dobiva se izraz za ugibnu liniju uslijed ~istog smicanja:

( ) ( ) 21 CxCxMGAkxuy ++= (3.7)

Konstante integracije se ra~unaju iz rubnih uvjeta datih za odre|eni problem. Ovdje treba primijetiti da je faktor kojim se mnoì momentna linija daleko manji od faktora koji imamo u izrazu za ugibnu liniju od savijanja (3.3), tako da je opravdano ovaj uticaj zanemariti pri prora~unu ugibnih linija.

3.2. Prora~un ugibne linije metodom Mohr-ove analogije

Jedna od metoda rje{avanja gore navedenih diferencijalnih jedna~ina jeste metoda Mohr-ove analogije. Ova metoda se zasniva na sli~nosti diferencijalne jedna~ine kojom se ugib izraàva preko funkcije momenata sa diferencijalnom jedna~inom ravnoteè, kojom se momenat izraàva preko optere}enja:

EIM

dxud zy =2

2

yz p

dxMd

=2

2

(3.8)

Obzirom da su gornje jedna~ine potpuno istog oblika, odnos momenata i optere}enja je jednak odnosu ugiba i momenata. Prema ugibnu liniju je mogu}e na}i kao momentnu liniju od fiktivnog optere}enja koje je ustvari jednako dijagramu momenata. Problem ovog pristupa je {to rubni uvjeti, kao sastavni dio diferencijalnih jedna~ina, u ve}ini slu~ajeva nisu jednaki za momente i ugibe. Radi toga se fiktivno optere}enje (dijagram momenata osnovnog sistema) postavlja na konjugovani nosa~. Konjugovani nosa~ predstavlja takav nosa~ ~iji rubni uvjeti za momente i transverzalne sile odgovaraju rubnim uvjetima za pomjeranja i uglove zaokreta (ugibe i nagibe). jasno je da ako vrijedi ekvivalencija izme|u momenata na konjugovanom nosa~u i ugiba na osnovnom nosa~u, vrijedi i ekvivalencija transverzalnih sila na konjugovanom nosa~u i nagiba na osnovnom nosa~u. Ovako postavljena analogija, gdje se zanemaruju aksijalne deformacije, ima jako velika ograni~enja u primjeni. Naime, ukoliko èlimo dobiti konjugovani stati~ki odre|eni nosa~, rubni uvjeti za pomjeranja svakog {tapa na osnovnom (stati~ki odre|enom) nosa~u moraju biti zadata isklju~ivo preko pomjeranja u traènom pravcu i uglova zaokreta. Stoga je jako jednostavno na}i konjugovani nosa~ za primjere prikazane na slici 3.4. ukoliko traìmo liniju vertikalnog pomjeranja. Me|utim, postoji veliki broj primjera gdje nije mogu}e primijeniti ovako definisanu Mohr-ovu analogiju, ve} je potrebno uspostaviti kompletniju analogiju izme|u pomjeranja i odgovaraju}ih momenata u globalnom ili lokalnom koordinatnom sistemu.

osnovni sistem konjugovani sistem

Slika 3.4. Osnovni i konjugovani sistemi za prora~un vertikalnih pomjeranja

uy=0 uy=0 0M =

uy=0; ϕ=0 0; 0M T= =

0M =

32


Generalizirana Mohr-ova analogija [5] omogu}ava da se za jedan stati~ki odre|eni sistem jednozna~no definira konjugovani sistem koji se moè koristiti za prora~un bilo kojeg pomjeranja. Da bi se formulisala ova analogija iskorist}emo jedna~ine pomjeranja za prav {tap, date u globalnom koordinatnom sistemu X-Y:

cos sincos sin

X

Y

du dX dY ds dsdu dX dY ds dsd ds

ε ϕ ε α ϕ αϕ ε ϕ α ε α

ϕ κ

= − = −= + = +=

(3.9)

Ukoliko isti element {tapa opteretimo optere}enjem koje je okomito na ravan {tapa, tj. u smjeru z i momentom torzije kako je prikazano na slici 3.5. Znak ⊗ predstavlja djelovanje sile prema ravni {tapa, a djelovanje sile od ravni {tapa prema posmatra~u.

Y

pz

Tz

Tz+dTz m Mx+dMx

My+dMy Mx

X

My

Slika 3.5. [tap u ravni optere}en okomito na ravan {tapa

Postavljaju}i jedna~ine ravnoteè za posmatrani element {tapa dobivaju su slijede}e jedna~ine:

0

0

0

z z

y y z

x x z

Z dT p ds

M dM T dX mdY

M dM T dY mdX

= ⇒ =

= ⇒ = +

= ⇒ = − +

∑∑∑

(3.10)

Upore|uju}i jedna~ine (3.9) i (3.10) moè se uspostaviti potpuna analogija, na osnovu koje je mogu}e ra~unati pomjeranja na osnovnom sistemu kao presje~ne sile na konjugovanom sistemu. Optere}enje i rubni uvjeti konjugovanog sistema se mogu odrediti prema slijede}oj analogiji:


yu yM

xu xM ϕ

zT ε m κ zp

Tabela 3.1. Analogija kinematskih veli~ina na osnovnom sistemu i stati~kih na konjugovanom sistemu

33



0, 0, 0x yu u ϕ= = ≠ 0, 0, 0x y zM M T= = ≠

0; 0; 0x yu u ϕ≠ = ≠ 0, 0, 0x y zM M T≠ = ≠

0; 0; 0x yu u ϕ≠ ≠ ≠ 0, 0, 0x y zM M T≠ ≠ ≠

0; 0; 0x yu u ϕ= = = 0, 0, 0x y zM M T= = =

0; 0; 0x yu u ϕ= ≠ = 0, 0, 0x y zM M T= ≠ =

L Dϕ ϕ≠ L Dz zT T≠

Tabela 3.2. Analogija rubnih uvjeta

Primjena ovako definisane Mohr-ove analogije }e se pokazati na primjeru trozglobnog luka, na koji se ne mo`e primijeniti klasi~na Mohr-ova analogija.

Primjer 3.3 Na}i ugibnu i nagibnu liniju, kao i liniju horizontalnog pomjeranja za dati trozglobni luk.

Konjugovani sistem:

1 26 150 450 3 150 225;2 2

P PEI EI EI EI⋅ ⋅

= = = =

1 20 2 4 2 6 6A BxM P P G− 0= ⇒ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ =∑

8 450 225 105026

GEI EI E

= − ⋅ − ⋅ = −I

2 2 10 1 5 3 6 6A Cy BM P P G P R− 0= ⇒ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ =∑

225 1050 450 150

2BREI EI EI E

= − + − = −I

P=100 kN

3 3 6

150 150 C D G

Mz

A B

2P 2P

A AR ϕ= B BR ϕ=

L DG GG ϕ ϕ = −

1P 1P

X

Y

34


1 2 21500 6 5 3 1 6 0B D

y AM P P G P R RB EI− = ⇒ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⇒ = −∑

Nagibna linija odgovara dijagramu transverzalnih sila ZT , linija vertikalnog

pomjeranja dijagramu YM , a linija horizontalnog pomjeranja dijagramu XM :

Dio A-C: ( ) ( ) ( )2150 150 300; 0 ; 6

6 2Z A A CYY T R Y Y

EI EIϕ ϕ ϕ−

= = + = = = =EI

( ) 0;Y Yu Y M= =

( )2

max150 ; 0, 0, 12 26 6X X A XA XC

Yu Y M R Y Y u u YEI

= = ⋅ + ⋅ = = = = 3

max346.40

XuEI

=

Dio C-G:

( ) ( ) ( )

( ) ( )

1

3150 150 300 75 25 3 ;2 3 2

300 525 525 1050 5250 ; 3 ;

Z A

L DC G G

X XXX T R P X X XEI EI EI EI

X XEI EI EI EI EI

ϕ

ϕ ϕ ϕ

−= = + + + = + + −

= = = = = − = −

( ) ( ) ( ) ( )22

2 21

3150 150 300 50 25 33 3 6 3Y Y A

X XXu X M R P X X X X XEI EI EI EI EI

−= = + ⋅ + + = + + −

13500,YC YGu uEI

= =

( ) 16 2X X Au X M R P= = ⋅ − ⋅ = 0

Desni dio nosa~a obzirom na simetriju nije potrebno ra~unati.

-0.30

-1350.88

-0.30

35


Pomjeranja i presje~ne sile izraène preko po~etnih parametara

Veza izme|u vanjskog optere}enja i pomjeranja, kako je naprijed pokazano, koriste}i jedna~ine {tapa, moè se izraziti preko diferencijalnih jedna~ina:

( )

EAxp

dxud xx −=2

2

(3.11)

( )EI

xpdx

ud yy =4

4

(3.12)

( )GA

xpk

dxud yy −=2

2

(3.13)

Rje{enje gornjih diferencijalnih jedna~ina sadrì konstante integracije, koje se

dobivaju iz rubnih uvjeta. Ukoliko konstantama integracije damo fizi~ko zna~enje (pomjeranja i sile u rubnim ta~kama), tada se funkcija pomjeranja moè izraziti preko pomjeranja i sila u krajnjim (po~etnim) ta~kama. Sile se potom mogu dobiti derivacijom ove funkcije.

PODU@NO OPTERE]ENJE Posmatrajmo prav {tap konstantnog popre~nog presjeka, duìne L, optere}en

podu`nim optere}enjem i ravnomjernom promjenom temperature. Iz ranije izvedenih jedna~ina, jasno je da ovakvi uticaji mogu za posljedicu imati isklju~ivo aksijalnu deformaciju, aksijalne presje~ne sile i pomjeranja du` osi {tapa.

y

px(x)

si j

Slika 3.6. [tap optere}en podu`nim optere}enjem

L

Diferencijalna jedna~ina (3.11) predstavlja nehomogenu diferencijalnu

jedna~inu drugog reda. Kako je poznato iz matematike, rje{enje se traì kao zbir homogenog i partikularnog rje{enja. Homogeno rje{enje ima oblik: , gdje su integracione konstante. Prema Cauchy-jevoj metodi odre|ivanja partikularnog integrala uvodimo novu varijablu s, sa istom domenom koju ima i varijabla x : 0<s<L. Sada je partikularni integral jednak :

xCCuHx 10 +=

10 , CC

( ) ( ) ( ) ( )∫∫ −−==x

x

xxP

x dsSpsxEA

dsEA

spsxu00

1,ψ

pa je kona~no rje{enje jedna~ine (3.11):

( ) ( )∫ −−+=x

xx dsspsxEA

xCCu0

101

(3.14)

36


Konstante integracije }emo odrediti iz rubnih uvjeta da funkcija za x=0 ima vrijednost pomjeranja ta~ke i, te da joj je u toj ta~ki vrijednost prvog izvoda jednak deformaciji u ta~ki i:

xu

( )

( ) 01'

0

0

;0

tEANCu

uCuu

ti

iix

xixix

αεε +==⇒=

=⇒=

Uvr{tavaju}i to u jedna~inu (3.14) :

( ) ( ) ( )∫ −−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++=

x

xti

xix dsspsxEA

xtEANuxu

00

1α (3.15)

( ) ( ) ( )∫−+==x

xti

x dsspEA

tEANxxu

00

' 1αε (3.16)

( ) ( )∫−=x

xix dsspNxN0

(3.17)

Na taj na~in su prikazana pomjeranja, deformacije i presje~ne sile u svakom presjeku {tapa u funkciji optere}enja, temperaturne promjene i poznatih pomjeranja i sila u po~etnoj ta~ci {tapa. Ukoliko su poznata pomjeranja i sile na lijevom kraju {tapa, tj. u ta~ci j, lako se dobivaju izrazi:

( ) ( ) ( ) ( )∫ −+−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−=

L

xxt

jxlx dsspsx

EAxLt

EAN

uxu 10α (3.18)

( ) ( ) ( )∫++==x

xtj

x dsspEA

tEAN

xxu0

0' 1αε (3.19)

( ) ( )∫+=L

xxjx dsspNxN (3.20)

POPRE^NO OPTERE]ENJE

py(x)

L

x

y

i j s

Slika 3.7. [tap optere}en popre~nim optere}enjem Posmatrajmo isti {tap optere}en popre~nim optere}enjem. Zanemaruju}i uticaj

smi~u}ih deformacija na ugibnu liniju, funkcija pomjeranja koja su okomita na osovinu {tapa se mogu dobiti iz diferencijalne jedna~ine (3.12). Sada se radi o nehomogenoj

37


diferencijalnoj jedna~ini ~etvrtog reda. Primjenjuju}i isti metod rje{avanja, mo`e se do}i do slijede}eg op{teg rje{enja:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )∫

∫

∫

∫

+=

−++=

−+++=

−++++=

x

yy

x

yy

x

yy

x

yy

dsspEI

Cxu

dsspsxEI

xCCxu

dsspsxEI

xCxCCxu

dsspsxEI

xCxCxCCxu

03

'''

032

''

0

22321

'

0

333

2210

16

162

2132

61

(3.21)

Obzirom da je cilj konstantama dati fizi~ko zna~enje, potrebno je lijevim stranama svih gornjih jedna~ina dati fizi~ko zna~enje:

( ) ( )xxuy ϕ=' - prvi izvod pomjeranja je ugao zaokreta

( ) ( )ht

EIxMxu ty

Δ+= α'' - drugi izvod pomjeranja je proporcionalan momentu

savijanja

( ) ( )EI

xTxuy −=''' - tre}i izvod pomjeranja je proporcionalan transverzalnoj sili

Sada za x=0, mo`emo napisati :

( ) yiyiy uCuu =⇒= 00

( ) iiy Cu ϕϕ =⇒= 1' 0

( )ht

EIMC

ht

EIMu t

it

iy 22

0 2'' Δ

+=⇒Δ

+= αα

( )EITC

EITu ii

y 60 3

''' −=⇒−=

Uvr{tavaju}i ove konstante u (3.21) dobiva se :

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )∫

∫

∫

∫

−=

−+−=

Δ+−+−+=

Δ+−+−++=

x

yi

x

yii

t

x

yii

i

t

x

yii

iyiy

dsspEI

TxT

dsspsxxTMxM

xhtdsspsx

EIx

EITx

EIMx

xhtdsspsx

EIx

EITx

EIMxuxu

0

0

0

22

2

0

332

1

21

2

61

62

αϕϕ

αϕ

(3.22)

Jedna~inama (3.22) su definisana pomjeranja, uglovi zaokreta, momenti savijanja i transverzalne sile u funkciji optere}enja, temperaturnih promjena i pomjeranja i presje~nih sila na po~etku {tapa, pa se ove jedna~ine nazivaju jedna~ine po~etnih

38


parametara. Ukoliko su poznati parametri na desnom kraju {tapa (ta~ka j) tada gornje jedna~ine dobivaju oblik:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )∫

∫

∫

∫

+=

−−−+=

−Δ

−−−−−−−=

−Δ

+−−−+−+−−=

L

xyj

L

xyjj

t

L

xy

jjj

t

L

xy

jjjyjy

dsspEI

TxT

dsspsxxLTMxM

xLhtdsspsx

EIxL

EIT

xLEIM

x

xLhtdsspsx

EIxL

EIT

xLEI

MxLuxu

1

21

2

61

62

22

2332

αϕϕ

αϕ

(3.23)

Pomo}u jedna~ina (3.22) i (3.23) mogu se izra~unati sve presje~ne sile i pomjeranja u proizvoljnoj ta~ci {tapa, ukoliko su poznate presje~ne sile i pomjeranja neke ta~ke tog {tapa i ukoliko je optere}enje izme|u te dvije ta~ke neprekidna funkcija.

3.3. Osnovni zakoni i teoreme teorije elasti~nosti

U ovom poglavlju }e se prikazati zakoni i teoreme koji vrijede za sva elasti~na

tijela, a posebno }e se obraditi njihova primjena za {tapne sisteme. Ve}ina ovih zakona i teorema su zasnovani na zakonima o radu i energiji u potencijalnom polju, koji su izu~avani u predmetu Mehanika II.

DEFORMABILNO TIJELO

Sistem materijalnih ta~aka je skup materijalnih ta~aka vezanih tako da pomjeranje jedne materijalne ta~ke zavisi od pomjeranja drugih materijalnih ta~aka tog sistema. Ukoliko je ta veza definirana tako da je odstojanje izme|u bilo koje dvije ta~ke sistema konstantno, tada se radi o krutom tijelu. Posmatrajmo pomjeranje krutog {tapa u ravni, prikazanog na slici 3.6. Po{to se radi o krutom {tapu, pomjeranje svih ta~aka {tapa, kojih ima beskona~no, moè se odrediti iz pomjeranja neke dvije ta~ke {tapa (A i B). Dakle, pomjeranje bilo koje ta~ke se dobiva iz uvjeta da je njeno rastojanje od ta~aka A i B konstantno. Dakle, pomjeranje {tapa AB se moè jednozna~no odrediti ukoliko su poznati vektori pomjeranja ta~aka A i B. Po{to se svaki vektor u ravni defini{e sa dvije projekcije na osi pravouglog koordinatnog sistema, potrebno je odrediti 4 veli~ine da bi se odredilo pomjeranje {tapa: , , ,A A B B

X Y X Yu u u u . Konstantna udaljenost izme|u ta~aka A i B konstantna ima za posljedicu jednu vezu izme|u koordinata pomjerenog {tapa, tako da se novi poloàj {tapa moè definirati preko tri nezavisna parametra. Kako je pokazano u predmetu Mehanika II, pomjeranje {tapa u ravni se jednozna~no moè definirati preko translacije jedne ta~ke {tapa (dva parametra - projekcije na osi X i Y) i rotacije ϕ . To zna~i da {tap u ravni ima tri stepena slobode kretanja. Naravno, novi poloàj {tapa se moè definirati i preko druga tri paramatra, npr. , ,A A B

X Y Xu u u . To zna~i da pomjeranje krutog {tapa u ravni moèmo definirati preko bilo koja tri nezavisna pomjeranja. Po{to ta pomjeranja mogu biti i translacije i rotacije nazva}emo ih generalisanim pomjeranjima i prikaza}emo ih u obliku vektora:

39


1

2

3

qqq

⎧ ⎫⎪ ⎪= ⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭

q

Dakle, vektor generalisanih pomjeranja krutog {tapa u ravni ima tri komponente. O~igledno je da broj kompenenata vektora generalisanih pomjeranja jeste jednak stepenu slobode kretanja nekog sistema. Naravno, vektor sa n komponenata se definira u n-dimenzionalnom prostoru, {to je te{ko predstaviti za n>3. Me|utim, bitno je da vektorski ra~un, koji vaì za vektore u trodimenzionalnom pravouglom koordinatnom sistemu, vaì i za vektora sa n parametara.

Deformabilno tijelo se razlikuje od krutog tijela po tome {to udaljenost izme|u dvije ta~ke tijela ne mora biti konstantna. To zna~i da se udaljenost izme|u dvije ta~ke mijenja prema nekoj usvojenoj zakonitosti. Kod deformabilnih sistema, ne moè se uspostaviti direktna zavisnost izme|u virtuelnih pomjeranja1 pojedinih ta~aka, jer ona ovisi i od optere}enja. Dakle, posmatraju}i samo virtuelna pomjeranja nekog deformabilnog sistema, moè se zaklju~iti da takav sistem ima beskona~no stepeni slobode kretanja. Ovisnost pomjeranja pojedinih ta~aka se tada izvodi analizom beskona~no malih elemenata, koriste}i jedna~ine mehanike. Ovakav pristup dovodi do sistema diferencijalnih jedna~ina, ~ija komplikovanost ovisi od usvojenih pretpostavki. Naprimjer, za analizu elasti~nog {tapa po teoriji prvog reda, ta zakonitost je prikazana preko devet jedna~ina izvedenih u prethodnom poglavlju, kojom je obezbije|ena linearna veza izme|u sila i odgovaraju}ih pomjeranja. Tako|er je pokazano da se iz tih diferencijalnih jedna~ina moè uspostaviti jednozna~na veza izme|u presje~nih sila i pomjeranja susjednih ta~aka {tapa. Pri analizi elasti~nih {tapnih sistema po teoriji prvog reda, obi~no se ne ra~unaju numeri~ke vrijednosti presje~nih sila i pomjeranja u svim ta~kama, ve} se bira kona~an broj ta~aka (karakteristi~ne ta~ke) u kojima se ra~unaju presje~ne sile i pomjeranja. Najmanji broj karakteristi~nih ta~aka na jednom sistemu odgovara broju ~vorova sistema. Ponovi}emo da se pod ~vorom podrazumijeva ta~ka gdje se javlja diskontinuitet deformisane osi sistema. Ovaj diskontinuitet moè biti posljedica izlomljene geometrije nedeformisanog nosa~a (svi spojevi dva {tapa pod nekim uglom ili vi{e {tapova) ili prisustvo nultog polja za neku od unutra{njih sila. Ukoliko na pravom {tapu postoji npr. zglob (nulto polje za momenat), njegova nedeformisana konfiguracija jeste glatka, ali deformisana nije. Maksimalan broj ta~aka gdje }emo ra~unati presje~ne sile i pomjeranja nije ni~im definiran.

Podjela nekog modela na kona~an broj elemenata i ~vorova, gdje }e se ra~unati pomjeranja ili presje~ne sile naziva se diskretizacija. Diskretizacija je neminovan dio analize kompleksnih problema mehanike, koji se ne mogu rije{iti analiti~ki i gdje se koriste numeri~ke metode. Tada na ta~nost rezultata, izme|u ostalog, uti~e i broj ~vorova. Naime, ve}im brojem ~vorova i elemenata dobivaju se ta~niji rezultati. Primjer takve diskretizacije kod {tapnih modela moè se javiti u slu~ajevima kada je funkcija optere}enja jako neregularna. Takvo optere}enje se moè zamijeniti nizom koncentrisanih sila ili regularnijim optere}enjem i pribli`no sra~unati vrijednosti pomjeranja u odabranim ta~kama. Bitno je naglasiti da uobi~ajena diskretizacija {tapnih modela (prora~un presje~nih sila i pomjeranja u karakteristi~nim ta~kama) ne uti~e na ta~nost rezultata, jer ta~nost izvedenih izraza za presje~ne sile i pomjeranja u jedna~inama (3.22) i (3.23) ne zavise od duìne {tapa. 1 Pomjeranja koja omogu}uju me|usobne veze izme|u ta~aka i veze sa okolinom (Mehanika II).

40


Kako je ranije navedeno, teorijom prvog reda se uspostavlja linearan odnos izme|u optere}enja i pomjeranja. Na slici 3.8. su dati razli~iti primjeri, odakle je vidljivo da se pomjeranja linearno pove}avaju sa optere}enjem.

PP

EAPLL =Δ

∆L L ∆L

M M

EIML3

=ϕ

L

φ

φ P

P

EIPLf3

3

=

f f Slika 3.8. Linearan odnos vanjskih sila i pomjeranja

Nagla{ava se da je to posljedica toga {to je u teoriji prvog reda odnos izme|u svih veli~ina linearan: izme|u vanjskog optere}enja i unutra{njih sila, unutra{njih sila i deformacija, te deformacija i pomjeranja. Dakle, ako neko pomjeranje ili ugao zaokreta (generalisano pomjeranje) ozna~imo sa , a odgovaraju}u generalisanu silu sa , tada mo`emo re}i da za teoriju prvog reda uvijek va`i:

q Q

kqQQq == δ

U koordinatnom sistemu qQ − ova zavisnost je predstavljena pravcem kako je pokazano na slici 3.9.

Q

q

Slika 3.9. Dijagram generalisanih sila i pomjeranja po teoriji prvog reda

Koeficijent k se naziva krutost i predstavlja silu potrebnu da se postigne odgovaraju}e jedini~no pomjeranje. Veli~ina δ predstavlja koeficijent deformabilnosti ili fleksibilnosti i predstavlja pomjeranje uslijed djelovanja odgovaraju}e jedini~ne sile. Jasno je da su krutost i fleksibilnost obrnuto proporcionalni.

Pretpostavimo da na neko deformabilno tijelo djeluje vi{e generalisanih sila (koncentrisane sile ili momenti) . Odgovaraju}a generalisana pomjeranja nQQQ ,..., 21

41


(pomjeranja na mjestu i u pravcu apliciranih generalisanih sila) ozna~imo sa kao na slici 3.10. Ukupno generalisano pomjeranje je jednako zbiru pomjeranja od svih sila kao da one djeluju zasebno. Drugim rije~ima, za pomjeranja kao i za presje~ne sile vrijedi zakon superpozicije.

nqqq ,..., 21

1q

Q2

qn q1

Qn

Q1

Slika 3.10. Djelovanje niza generalisanih sila na deformabilno tijelo

Za sistem sa n generalisanih sila i generalisanih pomjeranja mo`emo napisati slijede}i set jedna~ina:

∑

∑

∑

=

=

=

=+++=

=+++=

=+++=

n

kknknnnnnn

n

kkknn

n

kkknn

QQQQq

QQQQq

QQQQq

12211

1222221212

1112121111

...

...

...

δδδδ

δδδδ

δδδδ

M

(3.24)

U gornjim jedna~inama ijδ predstavlja pomjeranje ta~ke na mjestu i u pravcu

djelovanja sile uslijed djelovanja jedini~ne sile na mjestu i u pravcu sile .

Jedna~ina (3.24) se mo`e napisati u matri~nom obliku: iQ jQ

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

nnnnn

n

n

n Q

QQ

q

qq

.

.

.

............

...

...

.

.

.2

1

21

22221

11211

2

1

δδδ

δδδδδδ

ili :

δQq = (3.25)

42


Vidljivo je da se matri~nim na~inom pisanja nagla{ava analogija izme|u sistema sa n generalisanih sila i sistema sa jednom generalisanom silom. Vidljivo je da indeksi komponenata matrice , osim obja{njenog fizikalnog zna~enja imaju i matematsko zna~enje, jer je pomo}u njih definirano njihovo mjesto u matrici.

δ

Posmatrajmo isti sistem i zamislimo da smo u pravcu i na mjestu generalisanih sila postavili odgovaraju}e opruge, te da smo potom svakoj ta~ki dali odgovaraju}e pomjeranje . Uslijed jedini~nog pomjeranja ,..., 21 qq 11 =q sila u opruzi 1 je , a u opruzi i : . Koriste}i princip superpozicije mo`e se sra~unati sila u svakoj od opruga, odnosno izraziti generalisane sile preko generalisanih pomjeranja:

11k

1ik

∑

∑

∑

=

=

=

=+++=

=+++=

=+++=

n

kknknnnnnn

n

kkknn

n

kkknn

qkqkqkqkQ

qkqkqkqkQ

qkqkqkqkQ

12211

1222221212

1112121111

...

...

...

M

(3.26)

Ili :

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

nnnnn

n

n

n q

qq

kkk

kkkkkk

Q

QQ

.

.

.

............

...

...

.

.

.2

1

21

22221

11211

2

1

kqQ = (3.27)

Matrica k u jedna~ini (3.27) se naziva matrica krutosti mekog sistema i predstavlja vezu izme|u pomjeranja i odgovaraju}ih sila. Iz jedna~ina (3.25) i (3.27) vidljivo je da se matrica krutosti mo`e dobiti invertiranjem matrice fleksibilnosti i obrnuto.

3.4. Rad vanjskih sila

Kako je poznato iz predmeta Mehanika II elementarni mehani~ki rad sile koja djeluje na materijalnu ta~ku, koja se pomjerila za vektor , jednak je skalarnom proizvodu tog vektora i vektora kojom je definisana sila. Posmatrajmo oprugu krutosti k optere}enu silom Q koja postepeno raste od nule do svoje krajnje vrijednosti kako je prikazano na slici 3.11. Prirast sile }emo definirati pomo}u parametra

dr

λ , ~ija se vrijednost kre}e od 0 do 1, tako da je veli~ina sile u svakom trenutku Qλ ⋅ . Sa prirastom sile raste i pomjeranje, koje ima vrijednost qλ . Elementarni rad na prirastu pomjeranja je jednak proizvodu sile i prirasta pomjeranja: ( )dA Q d q q Q dλ λ= ⋅ = ⋅ ⋅λ λ , obzirom da

je pri ovako definisanom prirastu sile jedino promjenjiva parametar λ . Ukupni rad koji napravi sila tokom svog prirasta je :

43


1 1 22

0 0 2 2kq Q qA Qq d kq dλ λ λ λ= = = =∫ ∫ (3.28)

Q

λQ

Q q dλq

Slika 3.11. Rad sile na elasti~nom sistemu

Dakle, mehani~ki rad u polju elasti~nih sila je jednak polovini proizvoda krajnje sile i krajnjeg pomjeranja, kako je to pokazano i u predmetima Otpornost materijala i Mehanika II. Na slici 3.11. to odgovara povr{ini trougla ispod pravca.

Elementarni komplementarni mehani~ki rad se dobiva kao proizvod pomjeranja i prirasta sile: ( )* 2dA qd Q Q dλ λ δ λ= = λ . Ukupni komplementarni mehani~ki rad je

jednak: 1 1 2

* 2

0 0 2 2Q QA Qq d Q d δλ λ δ λ λ= = = =∫ ∫

q (3.29)

Dakle za linearno elasti~ni sistem komplementarni rad je jednak direktnom radu. Na slici 3.11. komplementarni rad predstavlja povr{inu izme|u pravca i vertikalne ose. Ukoliko veza izme|u sile i pomjeranja nije linearna, tada komplementarni i direktni rad nisu jednaki.

Ukoliko analiziramo sistem optere}en sa vi{e generalisanih sila, kao na slici 3.12, tada je ukupni mehani~ki rad jednak zbiru radova svake generalisane sile na odgovaraju}em pomjeranju:

1 1*

1 1 10 0 2

n n ni i

i i i ii i i

Q qA Q q d Q q d Aλ λ λ λ= = =

= = =∑ ∑ ∑∫ ∫ = (3.30)

Qn

qn qi q2 q1

Q1 Q2 Qi

Slika 3.12. Rad sistema sila na elasti~nom sistemu

Skalarani proizvod dva vektora se u matri~noj notaciji pi{e kao:

1 12 2

A = =T Tq Q q kq , odnosno * 1 12 2

A = =T TQ q Q δQ (3.31)

44


Jedna~ine (3.31) se mogu napisati i u obliku:

1 1

12

n n

ik k ii k

A k= =

= ∑∑ q q (3.32)

*

1 1

12

n n

ik k ii k

A δ= =

= ∑∑ Q Q (3.33)

Treba naglasiti da je uvjet za postojanje jednozna~nog rje{enja to da rad vanjskih sila (kao i komplementarni) mora uvijek biti pozitivan, mada neki ~lanovi sume u jedna~inama (3.32) i (3.33) mogu biti negativni.

3.5. Rad unutra{njih sila

Ukoliko analiziramo {tap u ravni, pod unutra{njim silama se podrazumijevaju normalna i transverzalna sila, te momenat savijanja. Mehani~ki rad ovih sila se vr{i na odgovaraju}em prirastu pomjeranja osovine {tapa. Ova pomjeranja se mogu izraziti preko deformacionih veli~ina, kako je pokazano na slici 3. 13.

Slika 3.13. Pomjeranja koja odgovaraju presje~nim silama

Normalnoj sili odgovaraju podu`na pomjeranja: xdu dsε=

Transverzalnoj sili odgovara popre~no pomjeranje uslijed smicanja: ydu dsγ=

Momentu savijanja odgovara ugao zaokreta: d dsϕ κ=

Ukupni rad svih sila na deformaciji elementa duìne ds je sada dat izrazom:

( )uA ds N ds M ds T dsε κ γ= + + (3.34)

Na slici 3.13, kako je uobi~ajeno, na elementu {tapa su prikazane sile koje djeluju kao vanjsko optere}enje na element. Me|utim, unutra{nje sile u elementu su istog intenziteta i pravca, ali suprotnog smjera. Drugim rije~ima, unutra{nje sile uvijek pruàju otpor deformaciji i nastoje vratiti elasti~ni sistem u nedeformisani poloàj (vidi primjer prikazan na slici 3.11). To zna~i da su unutra{nje sile uvijek usmjerene suprotno od deformacije, pa je rad unutra{njih sila uvijek negativan:

( )uA ds N ds M ds T dsε κ γ= − − − (3.35)

Veza izme|u unutra{njih sila i odgovaraju}ih pomjeranja je linearna i dobiva se direktno iz konstitutivnih jedna~ina za {tap, uz mnoènje sa ds:

; ;Nds Mds Tdsds ds ds kEA EI

ε κ γ= = =GA

(3.36)

εds

N N M

M

γds κds T T

45


Prirast presje~nih sila i odgovaraju}ih pomjeranja }emo defirnirati na isti na~in kao kod vanjskih sila, pomo}u parametra : 0 1λ λ≤ ≤ , pa se elementarni mehani~ki rad na prirastu deformacija moè napisati u obliku:

( ) ( ) ( ) ( )udA ds Nd ds Md ds Td dsλ λε λ λκ λ λγ= − − −

Uzimaju}i u obzir da je ( ) ( ) ( ); ;d ds d ds d ds d ds d ds d dsλε ε λ λκ κ λ λγ γ λ= = = , jer

posmatramo prirast deformacija na {tapu ~ija je nedeformisana duìna ds konstantna. Integriraju}i elementarni rad koji unutra{nje sile naprave do dostizanja njihove pune vrijednosti na infinitezimalnoj duìni {tapa je:

( ) ( )1

0 2 2 2uN ds M ds T dsA ds N M T d ε κ γε κ γ λ λ= − + + = − − −∫ (3.37)

Ukupni mehani~ki rad po cijeloj duìni {tapa, uz kori{tenje jedna~ina (3.36) i (3.37) je jednak:

2 2 2

0 0 02 2 2

L L L

uN M TA ds ds k dsEA EI GA

= − − −∫ ∫ ∫ (3.38)

Ukoliko imamo sistem {tapova, ukupni deformacioni rad se dobiva sabiranjem radova unutra{njih sila po {tapovima. Izraàvaju}i sile preko odgovaraju}ih deformacija, tada dobivamo deformacioni rad u funkciji deformacija:

2 2

0 0 02 2

L L L

u

2

2A EA ds EI ds kGA dsε κ γ

= − − −∫ ∫ ∫ (3.39)

3.6. Lagrange-ov princip virtuelnih radova

Iz predmeta Mehanika II poznato je da Lagrange-ov princip glasi: Sistem krutih {tapova je u ravnoteì ako i samo ako je suma elementarnih mehani~kih radova zadanih stvarnih sila na virtuelnim pomjeranjima sistema jednak nuli. U predmetu Mehanika II ra~unate su presje~ne sile na stati~ki odre|enim nosa~ima, tako {to su ukidane pojedine veze, zamijenjivane vanjskim silama i potom kori{ten ovaj princip na sistemu sa jednim stepenom slobode kretanja.

Kada analiziramo deformabilan sistem, svaka ta~ka ima nezavisno virtuelno pomjeranje (osim oslona~kih), tako da deformabilan sistem ima beskona~an broj virtuelnih pomjeranja. Za razliku od krutih sistema, kod deformabilnih sistema postoji i rad unutra{njih sila na virtuelnim pomjeranjima, tako da op{ti Lagrage-ov princip glasi: Sistem {tapova je u ravnoteì ako i samo ako je suma elementarnih mehani~kih radova zadanih stvarnih sila na virtuelnim pomjeranjima sistema i stvarnih unutra{njih sila na deformacionim pomjeranjim jednak nuli.

0v uA A Aδ δ δ= + = (3.40)

gdje je: 1

m

v i ii

A Q qδ δ=

= =∑ Tδq Q⋅

46


1

n

ui

A N ds M ds T dsδ δε δκ δγ=

= − + +∑∫ ∫ ∫

U gornjim jedna~inama m je broj generalisanih sila koje djeluju na sistem, a n

je broj {tapova.

Sli~no kao pri razmatranju realnih radova i ovdje se moè definisati pojam komplementarnog virtuelnog rada koji predstavlja rad virtuelnih vanjskih i unutra{njih sila na realnim pomjeranjima:

*v i i

iA Q qδ δ= =∑ TδQ q⋅ (3.41)

*u

jA N ds M ds T dsδ δ ε δ κ δ γ= − + +∑∫ ∫ ∫ (3.42)

Iz gornjih jedna~Ina je vidljivo da u izrazima za virtuelni rad i komplementarni virtuelni rad nema faktora 1 2 , jer virtuelna pomjeranja nisu posljedica djelovanja sila koje vr{e rad.

Koriste}i jedna~inu (3.40) lako se moè dokazati da je rad unutra{njih sila jednak negativnoj vrijednosti rada vanjskih sila koje djeluju na neki sistem. Obzirom na poznatu ~injenicu da je svako stvarno pomjeranje ujedno i virtuelno, u jedna~inu (3.40) moèmo umjesto virtuelnih uvrstiti stvarna pomjeranja i tada imamo:

2 2 2

i iN ds M ds kT dsQ qEA EI GA

⎛ ⎞= + +⎜ ⎟

⎝ ⎠∑ ∑ ∫ ∫ ∫

Mnoè}i gornju jedna~inu sa 1 2 dobivamo na lijevoj strani izraz za rad vanjskih sila, a na desnoj negativnu vrijednost rada unutra{njih sila.

3.7. Betti-jeva teorema - teorma o uzajamnosti radova

Pretpostavimo da na neki sistem, koji se sastoji od S {tapova, djeluju dva nezavisna sistema sila, od koji je jedan realni, a jedan virtuelni. Pretpostavimo da se realni sistem sila sastoji od k generalisanih sila i ozna~imo ga sa: , te da

postoji l virtuelnih generalisanih sila:

, 1, 2,...,nQ n k=

, 1,2,...,mQ m l= . Oba sistema sila izazivaju na elasti~nom sistemu reakcije, unutra{nje sile, deformacije i pomjeranja. Pretpostavimo da pored djelovanja sila postoje i pomjeranja oslonaca, kojih ima j. Oznake svih relevantnih veli~ina su date u Tabeli 3.14.

veli~ine realni sistem virtuelni sistem

vanjske sile nQ mQ

reakcije oslonaca iR iR

presje~ne sile , ,N T M , ,N T M

deformacije , ,ε κ γ , ,ε κ γ

pomjeranja nq mq

47


pomjeranja oslonaca ic ic

Tabela 3.3. Realne i virtuelne veli~ine

Po definiciji je virtuelni rad jednak radu realnih sila na virtuelnim pomjeranjima. Dakle, virtuelni rad vanjskih sila, uklju~uju}i i reakcije je jednak:

1 1

jk

v n nn i

A Q q Rδ= =

= +∑ ∑ i ic

Unutra{nji virtuelni rad je:

( )1 1

S S

us s

NN MM TTA N ds M ds T ds ds ds k dsEA EI GA

δ ε κ γ= =

⎛ ⎞= − + + = − + +⎜ ⎟

⎝ ⎠∑ ∑∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

S druge strane, komplementarni virtuelni rad vanjskih i unutra{njih sila je:

*

1 1

jl

v m mm i

A Q q Rδ= =

= +∑ ∑ i ic

( )*

1 1

S S

us s

NN MM TTA N ds M ds T ds ds ds k dsEA EI GA

δ ε κ γ= =

⎛ ⎞= − + + = − + +⎜ ⎟

⎝ ⎠∑ ∑∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

Koriste}i princip virtuelnih radova, za sistem u ravnoteì vaì:

0v u v uA A A Aδ δ δ+ = ⇒ = −δ

*u

* * *0v u vA A A Aδ δ δ+ = ⇒ = −δ

Iz gornjih jedna~ina vidljivo je da je iz ~ega slijedi: *uu AA δδ =

∑∑∑∑====

+=+⇒=j

iii

l

mmm

j

iii

k

nnnvv cRqQcRqQAA

1111

*δδ (3.43)

Jedna~ina (3.43) predstavlja matematsku formulaciju Betti-jeve teoreme, koja glasi: Ako na elasti~ni sistem djeluju dva sistema generalisanih sila, onda }e virtuelni rad prvog sistema sila na pomjeranjima izazvanim drugim sistemom sila biti jednak virtuelnom radu drugog sistema sila na pomjeranjima izazvanim prvim sistemom sila.

3.8. Maxwell-ova teorema - teorema o uzajamnosti pomjeranja

Maxwell-ova teorema glasi: Pomjeranje napadne ta~ke jedini~ne sile u njenom pravcu izazvano djelovanjem druge jedini~ne sile je jednako pomjeranju napadne ta~ke druge jedini~ne sile u njenom pravcu uslijed djelovanja prve jedini~ne sile.

Ova teorema se lako moè izvesti iz Betti-jeve teoreme. Napi{imo jedna~inu (3.43) uz pretpostavku da nema pomjeranja oslonaca:

∑∑==

=l

mmm

k

nnn qQqQ

11 (3.44)

Pretpostavimo da postoji samo jedna realna i jedna virtuelna sila i da obje imaju intenzitet 1.0, te da realna sila djeluje u ta~ki i, a virtuelna u ta~ki j, kako je pokazano na slici 3.14.

48


Sada jedna~ina (3.44) postaje:

ji qq = (3.45)

gdje je iq pomjeranje ta~ke i uslijed virtuelnog sistema sila, tj. uslijed sile 0.1=jQ

0.1=iQ

i

iq iq

0.1=jQ

jq jq

j j i

Slika 3.14. Pomjeranja uslijed realnog i virtuelnog sistema sila

Po{to pomjeranja mo`emo napisati kao proizvod koeficijenata fleksibilnosti i sila imamo:

jjjjjjijjiji

jiijijiiiiii

QqQq

QqQq

δδδδ

δδδδ

====

====

;

;jiij

jed δδ =⎯⎯⎯ →⎯ )45.3(. (3.46)

Uzimaju}i u obzir definiciju koeficijenata ijδ i jiδ (vidi jedna~inu (3.24)) mo`e

se re}i da je Maxwell-ova teorema dokazana.

Neposredna i sasvim o~igledna posljedica Maxwell-ove teoreme je da je matrica fleksibilnosti simetri~na. Nadalje, inverzna matrica simetri~ne matrice mora biti simetri~na, {to zna~i da je i matrica krutosti simetri~na:

kkδkδδ T1T =⇒== −,

3.9. I Rayleigh-eva teorema - teorema o uzajamnosti reakcija

Prva Rayleigh-eva teorema glasi: Reakcija veze p izazvana jedini~nim pomjeranjem na mjestu i u pravcu veze q je jednaka reakciji veze q izazvane jedini~nim pomjeranjem na mjestu i u pravcu veze p.

Da bi dokazali ovu teoremu posmatrajmo sistem prikazan na Slici 3.15. Razmatrajmo dva ravnote`na stanja neoptere}enog nosa~a. Neka je prvo, realno, stanje karakterizirano podizanjem srednjeg oslonca za jedinicu 0.13 =c , a virtuelno uglom zaokreta u uklje{tenju 0.11 =c . Indeksi 1 i 3 su odabrani proizvoljno.

49

3R

1R 0.13 =c

01 =c

1R

0.11 =c 3R


Slika 3.15. Pomjeranja oslonaca sistema

Primjenjuju}i Betti-jevu teoremu na prikazani sistem, vode}i ra~una da su pomjeranja svih oslonaca na prvom sistemu jednaki nuli, izuzev , a da je na drugom jedino pomjeranje

3c

1c razli~ito od nule, dobivamo:

31331111

RRcRcRcRcRj

iii

j

iii =⇒=⇒=∑∑

==

Obzirom da su indeksi 1 i 3 odabrani potpuno proizvoljno, mogu se zamijeniti op}im indeksima p i q i tada imamo:

qppq RR = (3.47)

gdje je reakcija u osloncu p od jedini~nog pomjeranja oslonca q, a pqR qpR reakcija u

osloncu q od jedini~nog pomjeranja oslonca p. Ako krutu vezu u nekom presjeku nosa~a zamijenimo nultim poljem, uklonili smo unutra{nju vezu koja spre~ava relativno pomjeranje lijeve u odnosu na desnu stranu presjeka. Kao primjer posmatrajmo nosa~ prikazan na Slici 3.16 a). Uslijed nametnutog jedini~nog pomjeranja oslonca q za

u ta~ki p se javlja momenat . Na Slici 3.16. b) je prikazan ekvivalentan

sistem, gdje je u ta~ku p uba~en zglob, a ukinuta veza zamijenjena momentima. Sada rotacija u ta~ki p nije definisana, tj. rotacija presjeka lijevo od ta~ke p je nezavisna od rotacije desnog presjeka. Pretpostavimo da je na tom sistemu zadata relativna rotacija tog presjeka za ugao

0.1=qc pM

0.1=pϕ , i da je reakcija u osloncu q od te rotacije jednaka . qR

pM pM

qR

p

0.1=pϕ

pM pM

p

1=qc

a)

b)

qR

Slika 3.16. Unutra{nja veza definisana preko nultog polja

Primjenjuju}i Betti-jevu teoremu na isti na~in kao za prethodni primjer dobivamo:

qppq cMR =ϕ

50


Ako momenat unutra{nje veze shvatimo kao generalisanu silu i uvrstimo jedini~ne vrijednosti pomjeranja, tada dobivamo potpuno isti izraz kao u jedna~ini (3.47), samo {to sada ta jednakost ima op{tiji karakter i odnosi se i na reakcije unutra{njih veza, tj. unutra{nje sile. Time je teorema o uzajamnosti reakcija dokazana.

51


3.10. II Rayleigh-eva teorema - teorema o uzajamnosti reakcija i pomjeranja

Druga Rayleigh-eva teorema glasi: Reakcija veze p izazvana jedini~nom generalisanom silom je jednaka negativnoj vrijednosti pomjeranja hvati{ta te sile izazvanog jedini~nim pomjeranjem na mjestu i u pravcu veze p.

1=iQ

Da bi dokazali ovu teoremu posmatrajmo sistem prikazan na Slici 3.17. Razmatrajmo dva ravnote`na stanja : prvo, takvo da je sistem optere}en samo jednom realnom silom , koja izaziva reakcije u svim vezama, pa tako i u reakciju u osloncu p, te drugo, gdje je na sistem aplicirano jedini~no pomjeranje u pravcu reakcije veze p.

0.1=iQ

Slika 3.17. II Rayleigh-eva teorema

Primjenjuju}i Betti-jevu teoremu, odnosno jedna~inu (3.43) na ovakav sistem imamo:

ipppiivv qRcRqQAA −=⇒=+⇒= 0*δδ (3.48)

jer je: 0,00* ==⇐= piv cQAδ

Ukoliko u jedna~ini (3.48) pro{irimo indekse dodavanjem jo{ jednog indeksa koji ozna~ava uzrok reakcije, odnosno pomjeranja, dobivamo:

ippi qR −= (3.49)

Sli~no kao kod prve Rayleigh-eve teoreme, ovaj se izraz moè pro{iriti i na reakcije unutra{njih veza.

3.11. Uticajne linije za pomjeranja

Prema svojoj definiciji uticajna linija za neko generalisano pomjeranje prikazuje vrijednosti tog pomjeranja u zavisnosti od poloàja jedini~ne sile, koja se kre}e du` nosa~a. Prora~un uticajne linije za pomjeranja zasniva se na Maxwell-ovoj teoremi. Postupak prora~una }emo pokazati na primjeru proste grede prikazane na slici 3.18.

Dakle, zadatak je na}i uticajnu liniju za vertikalno pomjeranje ta~ke C ili, drugim rije~ima, funkciju , gdje se sa x definira poloàj vertikalne pokretne

jedini~ne sile u odabranom koordinatnom sistemu. Prema definiciji uticajne linije ovaj

( )xuCy

pR iq

0.1=iQ

0.1=pc iq

pR

52


zadatak moèmo rije{iti tako {to bi ra~unali pomjeranje ta~ke C za svaki mogu}i poloàj jedini~ne sile. Analizirajmo jedan od tih poloàja, kada se sila nalazi u proizvoljnoj ta~ki P.

1.0 x

C P x

C P

1.0

δCP δPC Slika 3.18. Uticajna linija za pomjeranja Traèno vertikalno pomjeranje ta~ke C uslijed djelovanja jedini~ne sile u ta~ki

P je jednako: CPδ . Prema Maxwell-ovoj teoremi ovo pomjeranje je jednako vertikalnom pomjeranju ta~ke P uslijed djelovanja vertikalne jedini~ne sile u ta~ki C: PCCP δδ = . Ukoliko ovu logiku primijenimo za svaku ta~ku nosa~a u kojoj se pokretna sila moè na}i, moèmo re}i da je pomjeranje ta~ke C uslijed djelovanja jedini~ne sile u nizu ta~aka nosa~a jednaka pomjeranju tih istih ta~aka uslijed djelovanja jedini~ne sile u ta~ki C. Drugim rije~ima, uticajna linija za vertikalno pomjeranje ta~ke C je jednaka ugibnoj liniji nosa~a uslijed djelovanja vertikalne sile u ta~ki C.

)0( Lx ≤≤

U op{tem slu~aju, uticajna linija za generalisano pomjeranje neke ta~ke se dobiva na taj na~in {to se u tu ta~ku postavlja jedini~na sila u pravcu traènog pomjeranja i potom traì linija pomjeranja onog dijela nosa~a kuda se kre}e jedini~na sila, jednom od metoda za iznalaènje ugibne linije. Pravac ovog pomjeranja odgovara pravcu sile za koju se traì uticajna linija. Naprimjer, uticajna linija za ugao zaokreta ta~ke A na Slici 3.19. jednaka je liniji horizontalnog pomjeranja {tapa AC uslijed djelovanja jedini~nog momenta u ta~ki A.

Slika 3.19. Uticajna linija za ugao zaokreta

3.12. Ugibna linija re{etkastog nosa~a — metod elasti~nih teìna Metod elasti~nih teìna ustvari predstavlja numeri~ku aproksimaciju Mohr-ove

analogije. Ovaj metod se upotrebljava u slu~ajevima kada je zamjenjuju}e optere}enje ( )( )xEIxM

na konjugovanom nosa~u, radi sloènog optere}enja ili neregularne promjene

popre~nog presjeka, tako neregulrno da se dijagram momenata (ugibna linija osnovnog nosa~a) ne moè odrediti. Primjena ove metode pri odre|ivanju ugibne linije re{etkastih

A

C C

A M=1

53


nosa~a je neizbje`na, jer je poznato da se u {tapovima re{etke javljaju isklju~ivo aksijalne sile.

Pretpostavimo da treba odrediti ugibnu liniju za neki nosa~ koji je optere}en neregularnim optere}enjem i koji ima nepravilnu promjenu popre~nog presjeka, kako je {ematski prikazano na slici 3.20. Nakon pronalaènja dijagrama momenata2 vr{i se redukcija momentne linije da bi se dobilo fiktivno optere}enje za konjugovani nosa~. Redukcijom momentne linije se dobiva fiktivno optere}enje. Po{to je ovo optere}enje uvijek mnogo komplikovanije od stvarnog, ~esto se ukazuje potreba da se izvr{i njegova zamjena koncentrisanim silama, koje se nazvaju elasti~nim teìnama.

Slika 3.20. Postupak odre|ivanja elasti~nih teìna

Wn Wi+1 Wi W1

p1 p2 pi pi+1 pn

Mn Mi+1 Mi M2 M1

p(x)

U op{tem slu~aju postupak se sastoji u slijede}em:

a) sra~unaju se vrijednosti stvarnih momenata u n ta~aka

b) u svakoj ta~ci se ova vrijednost redukuje odgovaraju}im momentom inercije:

i

ii EI

Mp =

c) izvr{i se prora~un elasti~nih teìna kao {to se radi kod indirektno optere}enih nosa~a:

632

6

...63

26

63

11

21011

1000

λλλ

λλλ

λλ

+− ++==

++==

+==

iiiii

pppWP

pppWP

ppWP

d) Crta se dijagram momenata na konjugovanom nosa~u od elasti~nih teìna. Dobiveni dijagram predstavlja poligonalnu aproksimaciju stvarne ugibne linije nosa~a. Transverzalne sile na konjugovanom sistemu se konstantne uu svakom polju i mogu se izraziti preko momenata:

2 Ukoliko je realno optere}enje tako nepravilno da pronalaènje dijagrama momenata izaziva velike te{ko}e, nosa~ se moè podijeliti na n dijelova i optere}enje na svakom od tih dijelova zamijeniti koncentrisanom silom. Tako dobiveni dijagram momenata je poligonalan.

54


1

111 ;

+

+−−

−=

−=

i

iii

i

iii

MMTMMTλλ

Obzirom da je iiii TTPW −== −1 , moè se elasti~na teìna dobiti preko fiktivnih momenata, odnosno preko ugiba:

( ) ( )

1

1

1

1

1

1

1

1 1111

+

+

+

−

+

+

+

− −⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++−=−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++−=

i

iy

iiyi

i

iy

i

i

iii

i

ii

uu

uMMMWλλλλλλλλ

(3.50)

Kod re{etkastih nosa~a stvarna ugibna linija jeste poligon, jer se pretpostavlja da {tapovi re{etke imaju samo aksijalnu deformaciju. To zna~i da ugibnu liniju re{etkastog nosa~a moèmo shvatiti kao ugibnu liniju ekvivalentnog punog nosa~a istog raspona. Takvu ugibnu liniju moèmo, prema Mohr-ovoj analogiji, dobiti kao momentu liniju od uticaja elasti~nih teìna koje djeluju u ~vorovima re{etke. Time se problem svodi na odre|ivanje elasti~nih teìna.

Da bi rije{ili ovaj problem iskoristi}emo princip komplementarnih virtuelnih radova. Posmatrajmo re{etkasti nosa~ optere}en sa sistemima realnih i virtuelnih sila, koji su nezavisni. Uslijed n realnih sila u svakom od S {tapova javlja se normalna

sila , pomjeranja ~vorova i aksijalna deformacija svako {tapa iP

sN yku sε . Uslijed m

virtuelnih sila jP , javljaju se normalne sile, pomjeranja i deformacije: syks uN ε,, .

Prema principu komplementarnih virtuelnih radova primjenjenog na re{etkasti nosa~ imamo:

∑∑∑∑====

=⋅⇒=−⋅S

ss

s

ssm

jyjj

S

ss

s

ssm

jyjj L

EANNuPL

EANNuP

11110 (3.51)

Pretpostavimo da je sistem virtuelnih sila sastavljen od tri sile, pri ~emu jedna

djeluje u ~voru i-1 i ima intenzitet iλ

1− , druga djeluje u ~voru i sa intenzitetom

1

11

+

+ii λλ

i tre}a u ~voru i+1 sa intenzitetom 1

1

+

−iλ

, kako je pokazano na slici 3.21.

1iλ

1

1 1i iλ λ ++

1

1iλ +

i i-1

i+1

Slika 3.21.

Ukoliko napi{emo jedna~inu (3.51) za ovakav sistem sila imamo:

( ) ( ) ∑=+

+

+

− =−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++−

S

ss

s

ss

i

iy

iiyi

i

iy LEA

NNuu

u

11

1

1

1 11λλλλ

, te uzimaju}i u obzir (3.50):

∑=

=S

ss

s

ssi L

EANNW

1 (3.52)

55


gdje je - elasti~na teìna u ~voru i; - normalna sila u {tapu s od stvarnog

optere}enja; iW sN

sN - normalna sila u {tapu s od opisanog virtuelnog optere}enja; - duìna i povr{ina popre~nog presjeka {tapa s.

ss AL ,

Dakle, elasti~na teìna za neki ~vor i se dobiva premnoàvanjem dijagrama normalnih sila od stvarnog i fiktivnog optere}enja, koje se sastoji od tri sile. Te tri sile, kako je vidljivo sa slike 3.21. predstavljaju ustvari dva jedini~na sprega, koja se me|usobno uravnoteùju. Prema tome, postupak odre|ivanja ugibne linije re{etke metodom elasti~nih teìna se sastoji u slijede}em:

1. Odre|uju se sile u {tapovima od datog optere}enja

2. Na svaki ~vor i dva susjedna ~vora (u gornjem ili donjem pojasu, zavvisno gdje se traì ugibna linija) postavlja se sistem od tri sile sa intenzitetima

11 1,11,1 ++ −+− iiii λλλλ . Za takvo optere}enje se ra~unaju sile u svim {tapovima re{etke. Ovaj se postupak ponavlja za sve ~vorove odre|enog pojasa.

3. Ra~unaju se elasti~ne teìne u svakom ~voru, premnoàvanjem dijagrama normalnih sila u skladu sa jedna~inom (3.52)

4. Odre|uje se ekvivalentni konjugovani puni nosa~, koji se optere}uje sra~unatim elasti~nim teìnama. Dobiveni dijagram momenata predstavlja ugibnu liniju re{etke. Ukoliko se traè pomjeranja svih ~vorova sile se postavljaju i na donji i na gornji pojas.

Metoda elasti~nih teìna je izvedena iz Mohr-ove analogije za sisteme u ravni i ima sva ograni~enja koja ima i Mohr-ova analogija.

Pored ove metode postoji i grafi~ki postupak za odre|ivanje pomjeranja {tapova re{etke, koji se naziva Williot-ov plan pomjeranja. Ova metoda se zasniva na tome da se na osnovu sra~unatih sila prvo izra~unaju aksijalne deformacije svakog {tapa. Pomjeranja svakog ~vora se potom crtaju preko poznatih pomjeranja susjednih ta~aka i aksijalnih deformacija {tapa kojima je ~vor vezan za susjedne ta~ke. Detaljan opis ovog postupka se moè na}i u starijoj literaturi.

Treba napomenuti da se u dana{nje vrijeme prora~un pomjeranja, kao i sila u {tapovima, re{etkastih nosa~a vr{i pomo}u ra~unara. Kontrola dobivenih rezultata se, u najve}em broju slu~ajeva, vr{i usporedbom sa o~ekivanim pomjeranjima i naprezanjima ekvivalentnih punih nosa~a.

3.13. Maxwell-Mohr-ovi obrasci za pomjeranja

Posmatrajmo sistem {tapova u ravni pod uticajem proizvoljnog optere}enja, jednolike i nejednolike promjene temperature, te pomjeranju oslonaca za konstantne veli~ine. Posljedica gornjih uticaja su pomjeranja ta~aka sistema. Uo~imo bilo koju ta~ku N na nedformisanoj konfiguraciji, a njen poloàj na deformisanom nosa~u

ozna~imo sa N'. Zadatak je na}i vektor 'NN je nepoznat po intenzitetu, pravcu i smjeru. Po{to se radi o sistemu u ravni, ovaj zadatak se moè rije{iti odre|ivanjem pomjeranja ta~ke N u dva pravca. Dakle, problem se svodi na odre|ivanje pomjeranja proizvoljne ta~ke u nekom pravcu, kojeg }emo ozna~iti sa n-n.

56


Da bi rije{ili ovaj zadatak, ponovo }emo iskoristiti princip virtuelnih radova. U tu svrhu }emo posmatrani sistem {tapova opteretiti virtuelnim sistemom sila koji se sastoji od jedne jedini~ne sile 1.0Q = , koja djeluje u pravcu n-n, kako je pokazano na Slici 3.22.

n

N

1.0Q =

n nNq −

N

n

'N

Slika 3.22. Odre|ivanje pomjeranja ta~ke

Po{to se traì realno pomjeranje ta~ke N u pravcu n-n, primijneit }e se Lagrange-ov princip komplementarnog virtuelnog rada:

* *

*

1

*

1 0 0 0

0

s s s

v uj

n nv N i i

i

L L LS

us

A A

A Q q R c

A N ds M ds T ds

δ δ

δ

δ ε κ

−

=

=

+ =

= ⋅ +

⎛ ⎞= − + +⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

∑

∑ ∫ ∫ ∫ γ

Uvr{tavaju}i u izraz za unutra{nji komplementarni virtuelni rad jedna~ine kojima su definisane deformacije od uticaja optere}enja i promjene temperature, dobiva se:

01 1 0 0 0

s s sL L Lj Sn nN i i t t

i s s s s

N M t

s

kTR c N t ds M ds T dsEA EI h GA

α α−

= =

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞Δ+ = + + + +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦∑ ∑ ∫ ∫ ∫

N

Qq

Ako promijenimo oznaku generalisanog pomjeranja: n nNq − = Δ i uzmemo u obzir

da je 1.0Q , dobivamo: =

01 1 1 1 10 0 0 0

s s s sL L L L jS S S S S

N t ts s s s s is s s s

NN MM kTT tds ds T ds M ds N t ds R cEA EI GA h

α α= = = = =

ΔΔ = + + + + −∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑∫ ∫ ∫ ∫

1i i

=

(3.53)

Napominje se da ovaj izraz vrijedi za sisteme u ravni sastavljene od pravih {tapova i izloène djelovanju optere}enja u ravni, promjeni temperature i slijeganju oslonaca. Jedna~ina (3.53) se moè primijeniti za prora~un bilo kojeg generalisanog pomjeranja u bilo kojem pravcu, {to se odre|uje izborom generalisane jedini~ne sile. Postupak se sastoji u tome da se odrede dijagrami presje~nih sila od datog optere}enja, postavi jedini~na sila u ta~ku ~ije se pomjeranje traì i to u pravcu traènog pomjeranja, a zatim se nacrtaju dijagrami presje~nih sila od jedini~nog pomjeranja. Nakon toga se izra~unava traèno pomjeranje prema jedna~ini (3.53).

57


U zavisnosti od toga kakvu generalisanu silu postavljamo, mogu se ra~unati slijede}a pomjeranja:

1. linijsko pomjeranje u nekom pravcu - koncentrisana sila

2. ugao zaokreta - koncentrisani momenat

3. promjena rastojanja izme|u dvije ta~ke (A i B) - dvije koncentrisane sile suprotnih smjerova u pravcu odre|enom ta~kama A i B

4. relativna rotacija dva presjeka, tj. promjena ugla izme|u tangenti na dva presjeka - dva koncentrisana momenta suprotnih smjerova

5. ugao zaokreta {tapa - dvije koncentrisane sile koje ~ine jedini~ni spreg

Ukoliko se nakon izra~unavanja pomjeranja prema jedna~ini (3.53) dobije negativan rezultat, tada je traèno pomjeranje u suprotnom smjeru od aplicirane jedini~ne sile.

U jedna~ini (3.53) su obuhva}eni svi vanjski uticaji i doprinos svih unutra{njih sila. U praksi se naj~e{}e koristi samo integral gdje su podintegralne funkcije momenti. Razlog tome je to {to je vrijednost ovog integrala obi~no mnogo ve}a od vrijednosti integrala sa transverzalnim i normalnim silama. Naime, momenti, transverazalne i normalne sile imaju isti red veli~ine kada se momenti izraàvaju u kNm, ali su momenti inercije mnogostruko puta manji od povr{ine popre~nih presjeka kada se ove veli~ine izraàvaju u m4, odnosno m2.

Integrali jedna~ine (3.53) se mogu ra~unati na razli~ite na~ine. U statici konstrukcija se najvi{e koristi tzv. postupak Vere{~agina. Ovaj postupak je izveden za prora~un integrala gdje je podintegralna funkcija jednaka proizvodu dvije funkcije, od kojih je jedna linearna. U op{tem slu~aju, dakle, imamo:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

1

1

b b b b

a a a a

T T T

f x f x dx a bx f x dx a f x dx b xf x dx

aA bx A A a bx Af x

= + = +

= + = + =

∫ ∫ ∫ ∫ (3.54)

gdje je A povr{ina ispod funkcije ( )f x , a ( )1 Tf x ordinata linearne funkcije u ta~ki

teì{ta povr{ine A. Prema tome, postupkom Vere{~agina se ra~una integral proizvoda dvije funkcije, od kojih bar jedna mora biti linearna, na taj na~in {to se sra~una povr{ina ispod nelinearne funkcije, na|e njeno teì{te i pomnoì sa ordinatom linearne funkcije u ta~ki tog teì{ta. Iz prikazanog izvo|enja, sasvim je jasno da se ne moè isti integral ra~unati tako {to }e se povr{ina ispod linearne funkcije mnoìti sa ordinatom nelinearne funkcije iznad teì{ta.

U slu~aju da {tap ima promjenjiv popre~ni presjek, integracija se ne moè izvesti postupkom Vere{~agina. Tada se integraljenje moè izvr{iti jednom od metoda numeri~ke integracije, kojima se dobiva pribli`no rje{enje integrala. U su{tini sve metode integracije se zasnivaju na tome da se podintegralna funkcija zamijeni polinomom koji u odre|enom broju ta~aka ima iste vrijednosti kao podintegralna funkcija. Ovdje }e biti pokazane dvije metode: trapezno pravilo, gdje je zamjenjuju}i polinom linearan, te Simpsonovo pravilo gdje je polinom kvadratna funkcija.

Na Slici 3.23. data je ilustracija trapeznog i Simpsonovog pravila. Primjenom trapeznog pravila, stvarna povr{ina ispod podintegralne funkcije (vrijednost integrala) se

58


pribli`no ra~una kao zbir povr{ina niza trapeza ~ije su osnovice jednake vrijednostima podintegralne funkcije:

( ) ( )10 1 1

02 ... 2

2 2

b ni i

n nia

f ff x dx f f f fλλ +−

=

+≅ = + + +∑∫ + (3.55)

Sasvim je jasno da ta~nost dobivenog rezultata ovisi o gustini podjele tra`ene povr{ine. Sitnija podjela daje ta~niji rezultat.

Slika 3.23. Trapezno i Simsonovo pravilo

Simpsonovo pravilo podrazumijeva da se vrijednosti podintegralne funkcije povezuju kvadratnom parabolom. Op{ta jedna~ina parabole glasi: . Parametre a, b i c }emo dobiti iz uvjeta da parabola prolazi kroz tri ta~ke:

2y ax bx c= + +

( ) ( ) ( )1, , 0, , ,i i 1if f fλ −− λ + . Ovakva definicija podrazumijeva da se interval integrala dijeli

na paran broj dijelova, od kojih svaki ima du`inu λ .

( )21

1 1 1 12

21

2 ; ;2 2

i

i i i i ii i

i

f a b cf f f f ff c a b

f a b c

λ λ

λ λλ λ

−

− + + −

+

⎫= − − +⎪ − + −⎪= ⇒ = =⎬⎪= + + ⎪⎭

c f=

Povr{ina ispod kvadratne parabole u intervalu [ ],λ λ− jednak je:

( ) ( )21 14

3 i i iax bx c dx f f fλ

λ

λ− +

−

+ + = + +∫

Kona~no, vrijednost integrala na inekom intervalu [ ],a b je:

( ) ( )0 1 2 3 4 2 14 2 4 2 ... 2 43

b

n na

nf x dx f f f f f f f fλ− −≅ + + + + + + + +∫ (3.56)

Simpsonovim pravilom se, za isti broj podjela, dobivaju ta~niji rezultati u odnosu na trapezno pravilo.

λ λ

1if +

if 0f nf

a

1if −

λ λ

1if +

if 0f nf

a

1if −

b b

59

Proračun-pomjeranja_štapa

Documents

Transcript of Proračun-pomjeranja_štapa