Seja R uma relação.

Propriedades da Equivalência

Sejam p, q e r proposições, V tautologia e F contradição 1. Idempotência: , 2. Comutatividade: , 3. Associatividade:

4. Distributividade:

5. Identidade: Elemento Neutro Elemento Absorvente

, , 6. Complementares: , 7. Dupla Negação / Involução: 8. Leis de De Morgan: 9. Absorção: , 10. Transitividade:

Para conjuntos,

Conjunto das partes de A

Lista 3 – Ex 1. a) A soma de dois pares é um par b) A soma de dois ímpares é um par c) A soma de um par com um ímpar é

um ímpar d) A soma de 3 ímpares é um ímpar e) A soma de 4 ímpares é um par f) g) h) i)

2. A soma de três números naturais

consecutivos é um número natural múltiplo de três

3. 4. Se a soma de dois primos é um

primo, então um deles é dois. 5. Existem infinitos números primos 6.

7. 8.

9.

Distributividade do produto cartesiano sobre a união e a intersecção:

Lista 1 – Ex 2.

Ex 4.

a) b)

(contraposição) c)

(redução ao absurdo) d) e) f) g) h) i)

é subconjunto de qualquer conjunto

Diagonal principal da matriz possui somente 1

Matriz simétrica em relação à diagonal principal

Cada elemento de A está relacionado com, no máximo, um elemento de B.

Matriz: Existe, no máximo, um 1 por linha Grafo: Existe, no máximo, uma aresta partindo de cada nodo

Cada elemento de B está relacionado com, no máximo, um elemento de A.

Matriz: Existe, no máximo, um 1 por coluna Grafo: Existe, no máximo, uma aresta chegando em cada nodo

Domínio = Origem Cada elemento de A está relacionado com ao menos um

elemento de B. Matriz: Existe, ao menos, um 1 por linha

Grafo: Existe, ao menos, uma aresta partindo de cada nodo

Imagem = Destino Cada elemento de B está relacionado com, ao menos, um

elemento de A. Matriz: Existe, ao menos, um 1 por coluna

Grafo: Existe, ao menos, uma aresta chegando em cada nodo

Relação Dual = Inversa

Matriz: Transposta. Grafo: Sentidos opostos. Funcional é o dual de injetora e vice-versa Total é o dual de sobrejetora e vice-versa

Associatividade da composição de relações:

Lista 4 – Ex 9.

a) b) c) d) e) f) g) h) i) j)

k) l) m)

Seja R uma relação não-reflexiva. Fecho reflexivo = menor relação que contém R e é reflexiva.

Matriz: Troca-se os 0s da diagonal principal de R por 1s

Seja R uma relação não-simétrica. Fecho simétrico = menor relação

que contém R e é simétrica

Seja R uma relação não-transitiva. Fecho transitivo = menor relação

que contém R e é transitiva

Adição:

Simplificação:

Vacuidade:

Trivial:

Seja

Todo conjunto finito totalmente ordenado é bem ordenado

Ordem Lexicográfica

É a ordem lexicográfica induzida de A* em A

Podemos representar uma ordem parcial em um conjunto finito procedendo do seguinte modo:

Iniciamos com o grafo que representa a relação I. Como a relação é reflexiva, temos um loop em cada nodo. Remova-os. II. Como a relação é transitiva, temos várias arestas só de transitividade.

Remova-as III. Rearranje os nodos de modo que os nodos iniciais fiquem abaixo dos finais

IV. Remova todas as setas. O diagrama final é chamado DIAGRAMA DE HASSE da relação, e contém

informação suficiente para determinar a ordem

Seja um conjunto parcialmente ordenado.

Os elementos minimais e maximais não são necessariamente únicos.

Sejam um conjunto parcialmente ordenado e

Termo inicial = Razão = r

Termo inicial = Razão = r

Seja S um conjunto qualquer.

Uma seqüência é uma função de um subconjunto

de em S.

Seja um conjunto parcialmente ordenado, dizemos que é um RETICULADO se, e somente se, o conjunto formado por quaisquer dois elementos de A possui sup e inf. Ou

seja:

Dados se , entao inf {a,b} = a e sup {a,b} = b Logo, se dois elementos estão relacionados, seu sup e seu inf sempre existem. Desse modo,

para mostrar que um conjunto é um reticulado, basta mostrar que cada par de elementos não comparáveis (não relacionados) possui sup e inf.

Dizemos que uma ordem total T é compatível com uma ordem parcial R se, e somente se, aTb sempre que aRb.

Lema: Seja um conjunto parcialmente ordenado e finito, então A possui pelo menos um elemento minimal

Procedimento: Dados e finito, conjunto parcialmente ordenado

Tomamos a1=elemento minimal de A (existe pelo lema) é um conjunto finito parcialmente ordenado

Se ( , existe, pelo lema, um elemento minimal de .

Tomamos a2=elemento minimal de

Somas e séries

Somas duplas

Troca de Índices

Propriedades das somas

Soma Telescópica

Princípio da Indução

Uma construção é definida indutivamente ou recursivamente se:

A base de indução explica casos elementares

O passo de indução determina como os demais casos são definidos em termos dos anteriores

Uma operação binária (domínio = dois conjuntos), interna (domínio = conjuntos iguais) e fechada (contradomínio = domínio) em um conjunto A é

uma relação Dada uma operação

Dado um conjunto e dada uma operação binária e interna , dizemos que é um:

(sua tabela de operações é simétrica em relação à diagonal principal)

Proposições: 7.2.1: O elemento neutro de

um grupo é único 7.2.2: Seja um grupo e

, então o inverso de é único

7.2.3: (Lei do Cancelamento) Seja um grupo e

, então

Se é um conjunto finito, dizemos que é um

grupo finito Se , dizemos que a

ordem do grupo é .

Pela lei do cancelamento, . Logo, na tabela de operações de um grupo finito não pode haver elementos repetidos na mesma linha ou coluna. Além disso, em cada linha e coluna deve aparecer

o elemento neutro, e onde este aparecer, temos o inverso do elemento. Lista 10 1.Seja uma álgebra de Boole: a) b) c) d)

e) 2. a) b)

(Elemento Neutro) (Elemento Absorvente) (Elemento Absorvente)

(Elemento Neutro)