PROPORCIONALIDADE 6ª série Mafalda/ Quino,1992. Repare no último quadrinho.Você seria capaz de...
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PROPORCIONALIDADE 6ª série
Mafalda/ Quino,1992
Repare no último quadrinho.Você seria capaz de representar o pensamento da Mafalda em linguagem matemática?
Mafalda/ Quino,1992
Mafalda está comparando a quantidade de nomes Silva que consta na lista telefônica com o total de nomes da lista.
E está comparando o número de chineses com o total da população mundial.
listadanomesdetotaln
Silvanomesden
º
º
mundialpopulaçãodatotaln
chinesesden
º
º
E finalmente ela compara estas duas razões entre si, concluindo que as duas razões são equivalentes. É isto que entendemos quando dizemos que estão na mesma proporção.
=listadanomesdetotaln
Silvanomesden
º
ºmundialpopulaçãodatotaln
chinesesden
º
º
A população da China é de 1,307 bilhões de pessoas e a população mundial de 6,6 bilhões de pessoas.
5
1
10
22,0
6,6307,1 bilhõesbilhões
O que você pode dizer da população da China em relação à população mundial?
Razão e proporçãoPara entender as proporções, começaremos com razões. Uma razão é uma divisão de duas grandezas, que nos mostra quantas vezes uma é maior ou menor que a outra. São intimamente ligadas aos números Racionais, do conjunto
São exemplos de razão:
Proporção
Uma proporção é uma igualdade que compara razões.
Ela significa que as quantidades descritas podem não ser iguais, mas estão igualmente divididas.
Como se tivéssemos um jarra com 2 litros(2000ml) de água com 20 gramas de açúcar.
Clip-art
Ao retirarmos um copo, teremos 250ml de água e 2,5 gramas de açúcar.
A quantidade é diferente, mas a proporção se mantém, equacionamos:
Estas razões indicam que sempre há 100
vezes mais água que açúcar em razão do
volume por massa (ml/g).
A proporção da mistura é de 100 mililitros
de água por grama de açúcar.
Clip-art
Proporcionalidade Inversa
Como o nome indica, é a proporcionalidade entre um número e o inverso de outro.
A principal propriedade deste tipo de proporção é que se mantida, ao contrário do que acontece no exemplo anterior, de quanto mais água mais açúcar, quanto MAIS de um elemento da proporção MENOS de outro.
Vejamos um exemplo:
Um motorista profissional que viajava constantemente de BH para Uberlândia, fez a seguinte tabela,após calcular a velocidade
média. (V=Distância/tempo)
Obs: distância aproximada
Distância percorrida
Velocidade média
Tempo gasto
560 Km 60 Km/h 9h20min
560 Km 70 Km/h 8h
560 Km 80 Km/h 7h
560 Km 120 Km/h 4h40min
560 Km 140 Km/h 4h
Observe a tabela.
Quando a velocidade aumenta, o que acontece com tempo gasto na viagem?
Quando a velocidade dobra o que acontece com o tempo gasto na viagem?
Compondo Proporções
Trabalhamos com proporções fixas, que simplesmente ditavam que uma fração deveria permanecer constante. Mas o que acontece se uma grandeza é proporcional a várias grandezas ao mesmo tempo?
Podemos trabalhar cada proporcionalidade individualmente, mas há um método para resolvê-las com uma única equação.
Começaremos com o clássico problema:
Sr. José precisava consertar
uma cerca quebrada
em sua fazenda.
Pesquisa google(23/06/2008)
501 x 375 - 68k - jpgbloglog.globo.com
Como a boiada voltaria das pastagens novas em uma semana, precisava decidir quantos trabalhadores contratar para terminar a cerca a tempo.
Na construção original da cerca, ele empregou 24 homens que ergueram os 100 metros de cerca em duas semanas.
Sabendo que o buraco se extende por apenas 25 metros, quantos homens serão nescessários?
O número de homens é inversamente proporcional ao tempo
O tamanho da cerca é diretamente proporcional ao tempo
O tamanho da cerca é diretamente proporcional ao número de homens
Para facilitar o trabalho, escrevemos uma tabela:
Homens Tempo Tamanho
24 2 semanas 100m
X 1 semana 25m
Cada uma das proporções diz algo a respeito do valor total:
O que acontece com a quantidade de homens depende das razões de tempo e tamanho, que deverão multiplicar o número final de homens de acordo com o tipo de proporcionalidade.
Acontece então que o número final de homens deve dobrar, pois o de tempo diminuiu a metade. Deve também diminuir 4 vezes pois o mesmo aconteceu com o tamanho.
Regra de TrêsA regra de três é simplesmente um método
para resolver as proporções sem precisar de armá-las.
A regra de três ganha seu nome do seu uso, pois é usada para determinar um quarto valor de um proporção quando são conhecidos três deles.
Tabela de Valores
A regra de três se vale muito de tabelas para a fácil visualização do problema.
Faz-se assim:
Manoel decide fazer um túnel de1Km de extensão.
Como o túnel em questão é estreito, somente um máximo de 20 trabalhadores pode trabalhar na escavação ao mesmo tempo.
Pesquisa google;julho 2008
Como dispunha de 30 trabalhadores, Manoel resolveu dividi-los em 2 grupos de 15 trabalhadores, cada grupo escavando de um lado da montanha a fim de aumentar produtividade.
Originalmente, a escavação gastaria 3 meses. Em quanto tempo terminará a escavação com o novo arranjo?
Primeiro colocamos o problema em uma tabela:
Importante lembrar que devemos sempre usar a mesma unidade para grandezas do mesmo tipo nas tabelas.
Agora, marcamos o sentido de crescimento, das grandezas, com setas. Neste caso o tempo diminuiu por que o número de trabalhadores aumentou.
Se as setas marcam o mesmo sentido, as grandezas são diretamente proporcionais. Se marcam sentidos opostos, são inversamente proporcionais.
No caso de proporção inversa, multiplicamos os valores da tabela em linha reta e igualando, obtendo:
Que é a própria proporção inversa em forma de produto, previamente mostrada.
O túnel em questão media 1km, se 30 trabalhadores terminaram essa distância em 2 meses, qual distância cada grupo de 15 trabalhadores percorreu no mesmo intervalo de tempo?
Proporção direta, multiplica-se cruzado e igual a:
Observamos que a relação obtida é uma forma da proporção:
Regra de Três compostaPodemos interpretar de outra maneira o problema anterior:
Ao dividir os grupos, de 20 trabalhadores cavando 1km em 3 meses, chegamos ao problema de quanto tempo levou para que os 30 trabalhadores cavassem apenas a metade, 500m?
Devemos agora, assumir um sentido arbitrário para o tempo. No caso, consideramos o tempo diminuindo. Em relação aos trabalhadores, quanto menos tempo mais trabalhadores são necessários. Em relação a distância, menos tempo faz com que a distância diminua.
Separamos a incógnita de um lado da tabela e começamos um processo de multiplicações sucessivas. A primeira segue as mesmas regras da regra de três simples, e neste caso será cruzada.
Depois, quando as duas grandezas vizinhas forem diretamente proporcionais (setas na mesma direção), multiplica-se cruzado, quando inversamente proporcionais (setas em posição invertida), multiplica-se cruzado. Igualamos os caminhos.
Obtemos então a solução:
2 meses
QUINO, Mafalda – São Paulo: Martins Fontes,1992