1

PROPIEDADES MAGNÉTICAS DE LA MATERIA

Antonio J. BarberoDpto. Física Aplicada UCLM

C.A. UNED Albacete

RESUMEN FUNDAMENTOS

PROBLEMA 1. CABLE COAXIALPROBLEMA 2. TOROIDE MATERIAL FERROMAGNÉTICO

PROBLEMA 3. IMÁN PERMANENTEPROBLEMA 4. CÁLCULO INDUCTANCIAPROBLEMA 5. CIRCUITO MAGNÉTICO

2

RESUMEN FUNDAMENTOS

Vd

rrrrrMrA 3

0

4

Potencial magnético vector debido a corrientes de imanación

Imanación (magnetización)

Vd

m

Vd

M

mV

MV

1lim0

NuSIm

m

I

S

Nu

S.I. A·m2

S.I. A·m-1

Momento magnético (corriente I)

S.I. Wb·m-1

Vd

rr

rMrrrrrrrMrB 3

2

0 ·34

AB

S.I. T (= Wb·m-2)X

Y

Z

Vd

rM

rr r

r

rA

Material imanado

3

RESUMEN FUNDAMENTOS / 2

Corrientes de imanación

MJm

Nm uMK

Volumétrica

Superficial

S.I. A·m-2

S.I. A·m-1

Potencial magnético vector en función de densidades de corrientes de imanación

SdrrrKVd

rrrJrA mm

4400

S.I. Wb·m-1

MBH

0

0· B mf JJB

0

Corrientes libresCorrientes de

imanación

Ecuaciones de la magnetostática en medios materiales

Campo H S.I. A·m-1

MBH

0

·· MH

··

Densidad de “carga

magnética”

MBH

0MB

0

1

J

fJH

Corrientes

libres

m

Condiciones en los límitescampo B: sus componentes normales son continuas

1B

2B

NB2

NB1

NN BB 21

Medio 1

Medio 2

Condiciones en los límites campo H: Si no hay corrientes superficiales sus componentes tangenciales son continuas

1H

2H

tH1

tH2

tt HH 21

Medio 1

Medio 2

Si hay corrientes superficiales K

1H

2H

tH1

tH2

KHH tt 12

Medio 1

Medio 2K

4

RESUMEN FUNDAMENTOS / 3

MEDIOS MAGNÉTICOS LINEALES

La imanación M es proporcional al campo H HM m

m

Susceptibilidad magnética

(adimensional)

El campo B también: MHB

0 HB m

10

rm 1 m10 Permeabilidad magnética del medio Permeabilidad relativa

MEDIOS DIAMAGNÉTICOS

En casi todos ellos0mSusceptibilidad negativa 1m 0

MEDIOS PARAMAGNÉTICOS

En muchos casos0mSusceptibilidad positiva 1m 0

INDUCTANCIA

SB

I

El flujo magnético debido a la corriente que circula por un circuito es proporcional al valor de dicha corriente

IL

IL Coeficiente de proporcionalidad entre

flujo y corriente L autoinducción Unidades S.I. H

Si se trata del flujo magnético inducido en un circuito (1) por la corriente que circula por otro circuito (2) inducción mutua

2

112 I

M

1

221 I

M 2112 MM Unidades S.I. H

5

H

M

Campo magnético aplicado

Imanación del material

Material imanado hasta saturación por alineación

de dominios

Curva de primera imanación cuando el material ferromagnético se imana

desde campo cero

El ciclo de histéresis muestra que la imanación de un material ferromagnético depende de su

historia previa. Una vez se ha llevado el material a saturación el campo aplicado H puede ser

reducido a cero pero el material retiene buena parte de su imanación (“recuerda su historia”).

Cuando el campo magnético aplicado cae a cero, sigue existiendo magnetismo remanente (esto tiene utilidad para

almacenamiento magnético de datos)

El campo magnético aplicado debe invertirse y alcanzar un valor llamado

campo coercitivo para que la imanación vuelva a ser nula

Saturación en sentido opuesto

MATERIALES FERROMAGNÉTICOS. CICLO DE HISTÉRESIS

En el eje de ordenadas puede representarse bien la imanación M o bien el campo B

RESUMEN FUNDAMENTOS / 4

6

RESUMEN FUNDAMENTOS / 5

CIRCUITOS MAGNÉTICOSCuando la permeabilidad de los materiales que intervienen es alta, puede suponerse que las líneas de campo magnético permanecen confinadas dentro del material, y que el flujo magnético no se dispersa. En esas condiciones el flujo desempeña un papel análogo al de la intensidad de corriente y puede procederse por analogía con un circuito eléctrico y resolver el problema considerando las equivalencias entre magnitudes eléctricas y magnéticas que se indican a continuación.

0I

0I

0N

Wb

A·v/Wb R

SLR

R 0

1

00 INfmm A I

V

R

RI

Fuerza electromotriz (fem)

Ley de OhmL = longitud media del

circuito (línea discontinua)

r = permeabilidad relativa del material del circuito

Circuito eléctrico Circuito magnéticoCircuito magnético equivalente

A·v fmm

Fuerza magnetomotriz (fmm)

Reluctancia (A·v/Wb)

S = área de la sección recta del circuito

La reluctancia magnética de un medio depende de su permeabilidad r0, su longitud L y del área de su sección recta S.

SLR

1

La resistencia eléctrica de un conductor depende de su conductividad , su longitud L y del área de su sección recta S.

fmm femflujo magnético intensidad I

reluctancia resistencia Rfmm

Equivalente ley de Ohm para circuitos

magnéticos

Equivalencias

7

PROBLEMAS RESUELTOS

88

El modelo de cable coaxial consiste en un conductor cilíndrico no magnético infinitamente largo, de radio a, rodeado por una funda exterior conductora de radio b > a y grosor infinitesimal, la cual lleva la corriente de retorno. Entre ambos conductores hay un material magnético no conductor, homogéneo y lineal de susceptibilidad m. Por el conductor interior circula una densidad de corriente uniforme J0 A·m-2.

P1. CABLE COAXIAL

Explicar cómo está distribuida la corriente de retorno en el conductor exterior y calcular los valores de los vectores magnéticos H, M y B en todos los puntos del espacio.

20 A·m ZuJJ

(A) 200 aJI

12

000 A·m

2

2

baJ

bIK

Densidad de corriente

Intensidad = flujo densidad de corriente

La corriente de retorno transporta la misma intensidad distribuida en una película muy fina sobre la superficie del conductor exterior: se trata de una densidad superficial de corriente cuyo sentido es contrario al del vector J del conductor interno.

Y

Z

ZuJJ 0

X

b

a

Material magnético no conductor m

Conductor interior no magnético

Conductor exterior (funda de grosor infinitesimal)

ZuKK

0

9

Conductor interno arr 1

Ley de Ampère: IldHC

1

·

IrHdlHudluHCC

1111 2····

11

C1 es la circunferencia centrada en el origen y de radio r1 e I es la corriente encerrada por C1.

Y

X

1r1H

a

Vista desde arriba, eje Z salienteConductor interno

ZuJJ

0Densidad de corriente

u

La corriente libre I genera un campo que sólo tiene componente

1HH

u

ya que J

sólo tiene componente Z.

1C

2

212

0 araJ

urJH

10

1 2

2

21

0 arI

arr 1

Válido en

Campo B

Campo M

La susceptibilidad del conductor interior es (material no magnético) 01 m0111 HM m

10

1 HB

101 HB

urJB

10

01 2

Campos H, M, B

Y

Z

X

ZuJJ

0

ZuKK 0

b

a 1r

1C

1H

u

P1. Cable coaxial / 2

101010

Material magnético bra 2

Ley de Ampère: IldHC

1

·

Y

Z

X

ZuJJ

0

b

a

ZuKK 0

IrHdlHudluHCC

2222 2····

22

C2 es la circunferencia centrada en el origen y de radio r2 e I es la corriente encerrada por C2.

20 aJ u

raJH

1

2 2

20

2 0I bra 2

Válido en

Campo B

Campo M

La susceptibilidad del material magnético es mm 2 ur

aJHM mm

2

20

221

2

220

2 MHB

202 1 HB m

Y

X

2r2Hb

Vista desde arriba, eje Z salienteMaterial magnético

ZuJJ

0Densidad de corriente

u

La corriente libre I genera un campo que sólo tiene componente

2HH

u

ya que J

sólo tiene componente Z.

2Cradio a

2 1 Hm

Material magnético

lineal

ur

aJB m

12

12

20

02

Campos H, M, B

2C

2r u2H

P1. Cable coaxial / 3

11

Zona exterior br 3 Campos H, M, B

Y

Z

X

b

a

ZuKK 0

ZuJJ

0

Densidad de corrienteVista desde arriba, eje Z saliente

Material magnético

ZuJJ

0

Y

X

3rb

2Cradio a

3C

3ru

3H

Ley de Ampère: IldHC

3

· C3 es la circunferencia centrada

en el origen y de radio r3 e I es la corriente encerrada por C3.

Como la línea C3 abraza la corriente I0 del conductor interno y la corriente –I0 del conductor externo, la corriente neta que abarca es nula, y por tanto el campo H es igual a cero para r > rb. Además, al estar fuera del material magnético, M también es igual a cero, y por tanto también B es igual a cero. Fuera del cable coaxial todos los campos son nulos.

P1. Cable coaxial / 4

12

a b r

baJ 1

2

20

aaJ 1

2

20

H

arrJ

20

brar

aJ 1

2

20

br 0

H

a b

r

aaJ 1

2

20

0

baJ 1

2

20

aaJ 1

2

20

B

ar 0

brar

aJm 1

2

20

br 0

M

a b

r

baJ

m1

2

20

aaJ

m1

2

20

M

brar

aJ 1

2

20

m 10

arrJ

20

0

br 0

B

Gráficas campos H, M, B

ZuJJ

0

ZuKK

0

No hay discontinuidad en H porque en la superficie del conductor interior r = a no hay densidad superficial de corriente libre.

La densidad de corriente libre superficial K en r = b es la causa de la discontinuidad de H.

Las densidades de corrientes superficiales de imanación Km‘s son la causa de la discontinuidad de M en r = a y en r = b.

El campo B sólo tiene componentes tangentes, aparecen discontinuidades en r = a y en r = b.

Cálculo de corrientes de imanación en

transparencia siguiente

P1. Cable coaxial / 5

13

ar 0

brar

aJm 1

2

20

br 0

M

a b

r

baJ

m1

2

20

aaJ

m1

2

20

M

a

b

Z

Nm uMK

Nu

dirigido desde dentro del material magnético hacia fuera

rmm uuaJaK

20

Zm uaJ 20

Zr uuu

rmm uub

aJbK

12

20 Zm u

baJ

1

2

20

Corriente superficial de imanación

Zr uuu

uaM

ubM

rN uau

rN ubu

Y

Z

X

ba

ZuJJ

0 bruKK Z en 0

Zmm uaJaK

20

Zmm ub

aJbK

1

2

20

Densidades corriente superficial

Libre:

De imanación:

CORRIENTES SUPERFICIALES DE IMANACIÓNP1. Cable coaxial / 6

1414

Un toroide de material ferromagnético de espesor muy pequeño comparado con su diámetro tiene un entrehierro d = 2 mm. Sobre él se enrollan N = 517 espiras por las que se hace pasar una corriente I = 2 A. La circunferencia completa de la sección central del toroide mide L = 942 mm (línea discontinua en la figura). La gráfica es la curva de primera imanación del material ferromagnético. Determinar el campo magnético en el entrehierro. ¿Cuál es la permeabilidad de este material ferromagnético en las condiciones de operación indicadas?

N

I

d

0 200 400 600 800 1000 1200 14000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

1A·m H

T B Solución: Ley de Ampère aplicada a lo largo de la línea discontinua:

B

fH

0H

fH

INdHdLH f 0

Continuidad componente normal de B:0BB f 00H

ff Hd

dLd

INB

00

ff HB 410 · 91.565.0

65.0 0 :1 ff BHP0 1100 :2 ff BHP

Subíndices: f, ferromag; 0, entrehierro

1P

2P

T 38.00 B

157

0

00 A·m 10 · 02.3

10 · 438.0

BH

d

fBB

0

INdB

dLH ff

0

Permeabilidad del materialf

fff H

BBH

711

0

r

14 H·m 10 · 94.825438.0

1A·m 425 fH

P2. TOROIDE MATERIAL FERROMAGNÉTICO

15

Determinar el campo magnético en el eje de un cilindro recto imanado de radio R y altura L, cuya imanación constante es Representar gráficamente.zuMM

0

'z

zuMM 0

L

R

(0,0,z)

'dz

X

Y

Z

ruzu u

ruzu

u

rs uMJ

rz uuM 0 uM 0

2/3220

20

)'(2

'

Rzz

udzMRBd z

zuRz

IRB 2/322

20

2

El cilindro imanado se comporta como una lámina cilíndrica por la que circula una corriente superficial Js cuyo módulo es M0 (A/m)

sJ

Las fuentes del campo B son las cintas de altura dz’ que transportan la corriente superficial Js. Cada una de esas cintas se encuentra a una altura z’ sobre el plano XY, y cada punto de la cinta situada en z’ se encuentra a una distancia del punto donde hay que determinar el campo magnético.

22)'( Rzz

El campo magnético de una espira circular (radio R) que transporta la corriente I en un punto z de su eje es

Análogamente el campo creado en z por cada una de las cintas que transportan la corriente M0dz’ es

P3. IMAN PERMANENTE

L

z

Rzz

udzMRBdB0

2/3 220

20

)'(2

' zu

RLzLz

RzzM

222200

)(2

22222

0

2/3 22

1

)'(

'

RLz

LzRz

zRRzz

dzL

16

Representación gráfica del módulo del campo B frente a z/L para distintos valores de R/L

2222

00

)(2 RLzLz

RzzMB

2222

00

1

1

2

LR

Lz

Lz

LR

Lz

Lz

M

-3 -2 -1 0 1 2 3 40,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

B (u

nida

des 0

M0)

z/L-3 -2 -1 0 1 2 3 4

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

B (u

nida

des 0

M0)

z/L-3 -2 -1 0 1 2 3 4

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

B (u

nida

des 0

M0)

z/L-3 -2 -1 0 1 2 3 4

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

B (u

nida

des 0

M0)

z/L

1LR

5.0LR

2LR

10LR

P3. IMAN PERMANENTE / 2

17

Partiendo del resultado anterior, determinar el campo magnético H en el eje de un cilindro recto imanado de radio R y altura L, cuya imanación constante es: Representar gráficamente para R/L = 0.25

zuMM 0

zuRLz

Lz

Rz

zMB

222200

)(2

zu

LR

Lz

Lz

LR

Lz

Lz

M

1

1

2 222200

MHB

0

MBH

0

1

1

1

21

22220

LR

Lz

Lz

LR

Lz

Lz

uM z

Dentro del imán 0 z/L 1

Fuera del imán

0BH

zu

LR

Lz

Lz

LR

Lz

Lz

M

1

1

2 22220

-0.50 -0.30 -0.10 0.10 0.30 0.50 0.70 0.90 1.10 1.30 1.50

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6 H

B

Lz /

25.0/ LR

Fuera del imán H tiene el mismo sentido que B; dentro tiene sentido contrario.

0 unidades M

P3bis. IMAN PERMANENTE / 3

18

P4. CÁLCULO INDUCTANCIA

xd x

a2a2

X

Y

1 2

dx

l

dxldS

I I

dx

1B

2BVista en

perspectiva

xIB 2 0

1

xdIB

2 0

2

Zona donde hay que calcular el flujo magnético

1B

2B

xdx

IBBB 112

021

ax adx

X

Z

Y

a2

d

lI

IS

Campo total:

Flujo:

adx

axS

dxlxdx

ISdB · 112

· 0

adx

ax

adxax xd

xlIxdxlI

ln · 2

lnln · 2

00

a

adlIad

aa

adlI

ln · lnln · 2

00

Relación flujo / autoinducción IL

dadadlI

aadlIIL

ln · ln · 00

Coeficiente de autoinducción por unidad de longitud: H/m ln 0

ad

lL

Calcular la inductancia por unidad de longitud de una línea bifilar de cables paralelos de radio a cuyos centros están separados en el vacío una distancia d (d >> a).

Campo magnético creado por cada conductor a la distancia x de su respectivo centro (ley de Ampère)

19

P5. RESOLUCIÓN CIRCUITO MAGNÉTICO

El contorno exterior del doble cuadro de la figura está formado por un material de permeabilidad relativa 5024 cuya longitud media (línea discontinua abcdefa) es 40 cm. El material del separador central tiene una permeabilidad relativa de 3024, y su longitud es 5 cm. El arrollamiento de la parte izquierda está formado por 100 espiras, por las que se hace circular una corriente de 1.2 A. Determinar el flujo magnético , el campo B y el campo H en las tres ramas del doble cuadro. (Pueden despreciarse las pérdidas de flujo).Datos: Permeabilidad magnética del vacío: 0 = 4·10-7 H/m. El área de sección recta del doble cuadro es S = 10 cm2.

Solución. Veamos el circuito magnético equivalente

A 2.1I

A 2.1I

a b c

def

a b c

def

cm 5

A 2.1I

A 2.1I

1 2 3

1RRefab

2RRbe 3RRbcde

SLRR efab

2/11

SLRR be

1

2

SLRR bcde

2/13

100N

INfmm ·

b

e

Rama Longitud Propiedades magnéticasH/m 10·31.65024 m 20.02/ 1 3

0 abcdefaefab LLL

H/m 10·80.30243 m 05.0 2 30

beLLH/m 10·31.65024 m 20.02/ 3 3

0 abcdefabcde LLL

Av/Wb 10 · 17.3 4

Reluctancias del circuito magnético

Av/Wb 10 · 17.3 4

Av/Wb 10 · 32.1 4

Rama 1 Rama 3

Ram

a 2

20

P5. RESOLUCIÓN CIRCUITO MAGNÉTICO /2

Av 120· INfmm

1 2 3

1RRefab

2RRbe 3RRbcde

SLRR efab

2/11

SLRR be

1

2

SLRR bcde

2/13

INfmm ·

b

e

Av/Wb 10 · 17.3 4

Reluctancias del circuito magnético

Av/Wb 10 · 17.3 4

Av/Wb 10 · 32.1 4

Asociación de reluctancias en paralelo R2//R3

1

2

1RRefab

INfmm ·

b

e

32

3232

·//RR

RRRR

321

Av/Wb 10 · 30.9 3

Reluctancia equivalente del circuito: serie + paralelo R1 + (R2//R3)

Fuerza magnetomotriz:

Ecuación del circuito: 3211 // · RRRfmm 3211 // RRR

fmm

Wb10 · 93.2 3

Flujo en el bobinado:

Cálculos de flujo en ramas 2 y 3: hay un “divisor de flujo” similar al divisor de corriente en un circuito eléctrico.

3

2R 3R

1

1

12

322

//

RRR 22321 ·// · RRR

13

323

//

RRR 33321 ·// · RRR

Wb10 · 07.2 3

Wb10 · 59.8 4

21

a b c

def

A 2.1I

A 2.1I

100N1

2 3

Wb10 · 93.2 31

Wb10 · 07.2 32

Wb10 · 59.8 43

Cálculos de campos B S

B

SB 1

1

SB 2

2

SB 3

3

T 93.2

T 07.2

T 86.0

Campos B en el interior

Cálculos de campos H BH

1

1BH

2

2BH

3

3BH

A/m 87.463

A/m 51.544

A/m 13.136

1B

2B3B

1H

2H3H

a b c

def

Comprobación de Ampère bucle izquierdo, camino efabe

A/m 120·· 21 LHLH

m 05.0 m 20.0 LL be efab bcde

(hay fmm)A 2.1I

A 2.1I

Comprobación de Ampère bucle derecho, camino bcdeb

0·· 23 LHLH (no hay fmm)

Comprobación de Ampère bucle exterior, camino efabcde

A/m 120·· 31 LHLH (hay fmm)

23 m 10S

P5. RESOLUCIÓN CIRCUITO MAGNÉTICO /3

BIBLIOGRAFÍA

LIBROS1. Kraus J.D. Electromagnetismo, 3ª edición. Caps. 5 y 6. McGraw-Hill2. Wangsness R.K. Campos electromagnéticos. Cap. 20. Limusa.3. Cheng D.K. Fundamentos de electromagnetismo para ingeniería. Cap. 5. Addison-Wesley.4. Ulaby F.T. et al. Fundamentals of Applied Electromagnetics. Chapter 5. 6th Ed. Prentice-Hall.

http://www.uclm.es/profesorado/ajbarbero/EMO2.htm

RECURSOS EN LA RED

http://scienceworld.wolfram.com/physics/topics/Electromagnetism.html

22

http://laplace.us.es/wiki/index.php/Materiales_magn%C3%A9ticos