PROPIEDADES DE DETERMINANTES - algebra lineal
6
PROPIEDADES DE DETERMINANTES 1. Si todos los elementos de una fila o columna de una matriz cuadrada A son nulos, el determinante 0 A a) Si 0 0 5 3 A 0 0 5 3 A = 30-50=0 b) Si 0 1 4 0 5 3 0 2 1 B 0 1 4 0 5 3 0 2 1 B =1 0 1 0 5 -2 0 4 0 3 +0 1 4 5 3 =0 2. Si A es una matriz cuadrada, entonces A A t a) Si 7 8 3 4 A 7 8 3 4 A =47-38=4 7 3 8 4 t A =47-83=4 b) Si 5 4 0 0 2 2 4 1 3 B 5 4 0 0 2 2 4 1 3 B =3 5 4 0 2 -1 5 0 0 2 +4 4 0 2 2 =52 5 0 4 4 2 1 0 2 3 t B =3 5 0 4 2 -2 5 4 4 1 +0 0 4 2 1 =5 3. Si todos los elementos de una fila o columna de una matriz A se multiplica por un numero real (k), entonces el determinante queda multiplicado por k, entonces A A n 9 4 3 2 A =4
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PROPIEDADES DE DETERMINANTES
1. Si todos los elementos de una fila o columna de una matriz cuadrada A son nulos, el
determinante 0 A
a) Si
00
53 A
00
53 A = 30-50=0
b) Si
014
053
021
B
014
053
021
B =101
05-2
04
03+0
14
53=0
2. Si A es una matriz cuadrada, entonces A At
a) Si
78
34 A
78
34 A =47-38=4
73
84t
A =47-83=4
b) Si
540
022
413
B
540
022
413
B =3
54
02-1
50
02+4
40
22=52
504
421
023
t B =3
50
42-2
54
41+0
04
21=5
3. Si todos los elementos de una fila o columna de una matriz A se multiplica por un numero real
(k), entonces el determinante queda multiplicado por k, entonces A An
94
32 A =4
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A An
94
324
94
324
94
32
464
24=46
4. Si en una matriz cuadrada se intercambia entre sí, dos filas o dos columnas, el determinante
cambia de signo.
Sean
453
232
341
A intercambiamos la 1ra y 2da fila
453
341
232
1 A
453
232
341
A =145
23-4
43
22+3
53
32= -3
453
341
232
1 A =2
45
34-3
43
31+2
53
41= +3
Luego se cumple que1
A A
5. Si una matriz tiene dos filas o dos columnas iguales o proporcionales, entonces su determinante
es nulo.
a) Si
342
521
342
A
342
521
342
A =234
52-4
32
51+3
42
21=0
b) Si
044
022
413
B
044
022
413
B =304
02-1
04
02+4
44
22=0
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6. Sea dos matrices que al multiplicarse y obtener su determinante es igual a la multiplicación de
los determinantes de cada matriz, entonces B A B A ..
Si
78
34
A y
94
32
B
B A B A ..
94
32
78
34
94
32
78
34
24=46
Resolviendo
78
34 A =47-38=4
94
32 B =29-43=6
94
32
78
34=
8744
3920=
8744
3920=2087-3944=24
7. El determinante de una matriz inversa es igual al cociente de la unidad entre el determinante de
la matriz, entonces A
AI 1
Si
121
032
021
A
100
010
001
121
032
021
I
A
101
012
023
100
010
001
I
A
101
012023
I A
Hallando el determinante de la inversa de la matriz:
101
012
023
I A =-3
10
01-2
11
02
+0
01
12
= -1
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Hallando el determinante de la matriz
121
032
021
A =112
03-2
11
02+0
21
32=-1
A A
I 1
101
012
023
=
121
032
021
1=-1
8. Si una matrizn ji
a A es triangular, entonces el determinante esnmaaaa A ......
332211
a) La matriz cuadradan
A es triangular superior si 0 ji
a ji
44
3433
242322
14131211
000
00
0
a
aa
aaa
aaaa
A
nmaaaa A ......332211
Si
4000
41300
2320
52851
A
A =1234=24
b) La matriz cuadradan
A es triangular superior si 0 jia ji
44434241
333231
2221
11
0
00
000
aaaa
aaa
aa
a
A
nmaaaa A ......332211
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Si
441252
0338
0025
0001
A
A =1234=24
9. El determinante de una identidad cuadrada es igual a la unidad. 1n I
33100
010
001
I
100
010
001
I
1 I
10. mm
A A , Z m
Si
121
032
021
A
121
032
021
A
1 A
mm A A
22
121
032
021
121
032
021
2
121
032
021
121
032
021
121
032
021
211.1
