Propedeutico de matematicas (Aritmética Básica Parte I)
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1 I.S.C. Oscar Eduardo Roa Vela | Curso Propedéutico de Matemáticas Febrero, 2012
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INGENIERÍA EN GESTIÓN EMPRESARIAL Curso Propedéutico de Matemáticas
Tema 1: Aritmética
1. Números Reales. 2. Múltiplos y divisores. 3. Criterios de divisibilidad. 4. Números primos, compuestos y la unidad. 5. Mínimo común múltiplo y Máximo común divisor. 6. Factorización. 7. Adición, substracción, multiplicación y división de números enteros. 8. Fracciones 9. Simplificación de fracciones. 10. Conversión de fracciones. 11. Operaciones con fracciones. 12. Leyes de exponentes y radicales. 13. Radicación y potenciación. 14. Operaciones básicas con radicales. 15. Razones y proporciones.
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Números Reales
Números Naturales: N = {0, 1, 2, 3, ∞} Números Enteros: Z = {-∞, -3, -2, -1, 0 , 1, 2, 3, ∞} Zahlen Números Racionales: Q = {a/b | a, b ∈ Z y b ≠ 0 } Quotient Ejemplos:
½ -3/7 50 = 50/1 0.17 = 17/100 1/3 = 0.3
“Un número es racional si, y solo si, su expresión decimal es periódica”
Número Irracionales: I = {a/b | a, b ∉ Z y b ≠ 0 }
“Un número es irracional si, y solo si, su expresión decimal es NO periódica”
Ejemplos:
¶ = 3.14159… e = 2.718281….
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Números Reales
Números Reales:
El conjunto R de los números reales es el conjunto formado por la unión del
conjunto de los números racionales con el conjunto de los números irracionales.
R = Q U {irracionales}
Z+=N Z- 0
Z Fracciones
Q = a/b a, b ∈ Z
b ≠ 0
I = a/b a, b ∉ Z
b ≠ 0
R
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Operaciones con Números Reales
Valor Absoluto. El Valor Absoluto de un número es siempre ese número pero con signo positivo.
|+a| = a |-a| = a
Ejemplo:
|+10| = 10 |-10| = 10
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Operaciones con Números Reales
Suma de Enteros: Se da cuando lo signos de los operandos es el mismo, por lo tanto, el signo del resultado será el mismo que el de los operandos.
Positivos
+a + ( +b ) = +c
+2 +7 = +9
+2 + (+7) = +9
Negativos
-a + ( –b )= -c
-2 + -7 = -9
-2 + (-7) = -9
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Operaciones con Números Reales
Resta de Enteros: Se da cuando lo signos de los operandos es diferente, por lo tanto, el signo del resultado será el del número con mayor magnitud en la operación
+a - b = ?c -a +b = ?c
-2 +7 = +5
+2 -7 = -5
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Operaciones con Números Reales
Multiplicación de Enteros: Un producto de números se representa por el carácter (.) o por la ausencia de este, de igual forma los paréntesis representan a la multiplicación. Para este proceso se utiliza la ley de los signos.
ab a.b a(b) (a)b (a)(b)
(+5) (-2) = -10
+5.-2 = -10
-5 (-2) = +10 5(2) = +10
Ley de los signos
+ . + +
+ . - -
- . + -
- . - +
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Operaciones con Números Reales
División de Enteros: Una división de número se representa mediante el carácter (/) y si aplica la ley de los signos.
a/b
+27 / +9 = +3 -27 / -9 = +3
-27 / +9 = -3 +27 / -9 = -3
Ley de los signos
+ . + +
+ . - -
- . + -
- . - +
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Propiedades con Números Reales
Reflexiva : Para todo número que tengamos será igual al él mismo
a = a
10 = 10 20 = 20
100 = 100 -90 = -90
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Propiedades con Números Reales
Simétrica: Para todo número a que sea igual a b, si los invertimos siguen siendo iguales.
a = b b = a
x = 2 2 = x x = 12 12 = x
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Propiedades con Números Reales
Transitiva: Si a es igual a b y b es igual a c, por lo tanto, a es igual a c
a = b y b = c a = c
x = 2 , 2 = y x = y x = y , y = z x = z
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Propiedades con Números Reales
Sustitución: Si a es igual a b, entonces si sustituimos el valor de a por b o viceversa en cualquier expresión debe dar el mismo resultado.
Si a = b (a) + c = d y (b) + c = d
a = 10, b = a, c=8
(a) + c = 18 (b) + c = 18
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Propiedades con Números Reales
Transitiva de Orden:
Si a < b y b < c a < c
a = 2, b = 4, c = 5
a < c
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Propiedades con Números Reales
Tricotomía: Al comparar a con b se tiene que cumplir una sola condición.
a < b
a = b
a > b
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Propiedades con Números Reales
Para la Suma y Multiplicación
Nombre Suma Multiplicación
Cerradura (a + b) = c (a . b) = c
Conmutativa a +b = b + a a . b = b . a
Asociativa (a + b) + c = a + (b + c) (a . b) c = a (b . c)
Identidad a + 0 = a a . 1 = a
Inverso a + (-a) = 0 a (1/a) = 1 a ≠ 0
Nombre Suma Multiplicación
Distributiva
por la Izquierda a (b + c) = a . b + a . c
por la Derecha (a + b) c = a . c + b . c
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Simétrico de un número real
El Simétrico de un número real es buscar el opuesto del número.
El simétrico de 5 es -5
El simétrico de -8 es 8
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Simplificación de Expresiones
Signos de Agrupación
( ) paréntesis
[ ] corchetes
{ } llaves
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Simplificación de Expresiones
Simplificación de Expresiones con números reales
13 + (-2) + 5 = ? 13 -2 + 5 = ? 11 + 5 = 16
8 + (-5) + 7 + (-23) = ?
8 - 5 + 7 – 23 = ? 15 – 28 = -13
(-6) + (2)(-5) + 9/5-(-2) = ?
-6 +(-10) + 9 / 5 + 2 = ? -16 + 9 / 7 = ?
-7/7 = -1
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Simplificación de Expresiones
Eliminación de signos de agrupación
5 + (2 - 3) = ? 5 – 1 = 4
[30 – (2 + 6 -1)] + 9 = ?
[30 -7] + 9= ? 23 + 9 = 32
-11 – {2 + [5 – (6 – 7 + 3)] + 12 } – 1 = ?
-11 – {2 + [5 – 2] + 12 } – 1 = ? -11 – {2 + 3 + 12 } – 1 = ?
-11 – 17 – 1 = -29
- ( -( -( -1 + 6 ) ) ) - ( -( -( 5 ) ) ) - ( -( - 5 ) )
-( 5 ) -5
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Simplificación de Expresiones
Eliminación de signos de agrupación por Jerarquía: 1º. Efectuar las operaciones entre paréntesis, corchetes y llaves. 2º. Calcular las potencias y raíces. 3º. Efectuar los productos y divisiones. 4º. Realizar las sumas y restas
2 – 5 . 3 = ? 2 – 15 = -13
30 – 7 x 5 + 33 + 15 = ? 30 -7 x 5 + 27 + 15 = ? 30 - 35 + 27 + 15 = ? 30 - 35 + 27 + 15 = ?
72 – 35 = 37
(-2)2(-4)3-33(-1)2
(4)(-64)-27(1) -256-27
-283
160 / (-4)2 – 5 (-2)3
160/16 – 5 . -8 10 + 40
50
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Fracciones
Operaciones con números racionales
2 — 3
Numerador
Denominador
Denominador. Indica en cuantas partes de divide un Entero
Numerador. Indica cuantas partes del Entero se tomarán
Fracciones
Propias
Impropias. Son aquellas que se convierten a fracciones mixtas
7 — 5
5 — 7
Aquí el numerador es mayor que el denominador
SI HAY ENTEROS
Aquí el numerador es menor que el denominador
NO HAY ENTEROS
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Fracciones
Fracciones Equivalentes
2 — 4
1 — 2
Fracciones Equivalentes.
Numéricamente son diferentes
Pero toman la misma parte del entero
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Fracciones
Simplificación de Fracciones. Llegar hasta la fracción irreducible no importa el signo de la fracción si es positiva será positiva y si es negativa será negativa.
2 — 4
1 — 2
Fracción Irreducible
12 — 16
6 — 8
Fracción Irreducible
3 — 4
24 — 42
12 — 21
Fracción Irreducible
4 — 7
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Fracciones
Conversión de Fracciones •De Mixta a Impropia. Se multiplica el denominador por el entero y al resultado se la suma el numerador.
•De Impropia a Mixta. Se divide el denominador por el numerador y se toma el resultado de la división como el total de enteros y el residuo como la parte fraccionaria.
100 — 42
5 =
310 — 42
310 — 42
=
100 — 42
7
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Fracciones
Simplificación de Fracciones usando Factores. •Buscar números que multiplicados te den los miembros de la fracción.
105 — 42
3 x 35 ——— 2 x 21
3 x 5 x 7 ———— 2 x 3 x 7
5 — 2