Projeto Ótimo de um Manipulador Paralelo Planar de dois...
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UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁDEPARTAMENTO ACADÊMICO DE MECÂNICA
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA
VICTOR RENAN BOLZON
PROJETO ÓTIMO DE UM MANIPULADOR PARALELO PLANAR DEDOIS GRAUS DE LIBERDADE
DISSERTAÇÃO DE MESTRADO
CORNÉLIO PROCÓPIO2018
VICTOR RENAN BOLZON
PROJETO ÓTIMO DE UM MANIPULADOR PARALELO PLANAR DEDOIS GRAUS DE LIBERDADE
Dissertação apresentada ao Programade Pós-Graduação em Engenharia Mecâ-nica da Universidade Tecnológica Fede-ral do Paraná – Câmpus Cornélio Procó-pio, como requisito para a obtenção dotítulo de Mestre em Engenharia Mecâ-nica.
Orientador: Prof. Dr. Fabian Andres LaraMolina
CORNÉLIO PROCÓPIO2018
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação
B694 Bolzon, Victor Renan
Projeto ótimo de um manipulador paralelo planar de dois graus de liberdade / VictorRenan Bolzon. – 2018.
90 f. : il. color. ; 31 cm.
Orientador: Fabian Andres Lara Molina.Dissertação (Mestrado) – Universidade Tecnológica Federal do Paraná. Programa
de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica. Cornélio Procópio, 2018.Bibliografia: p. 79-82.
1. Manipuladores (Mecanismo). 2. Projetos ótimos (Estatísticas). 3. Elastômeros. 4.Engenharia Mecânica – Dissertações. I. Molina, Fabian Andres Lara, orient. II.Universidade Tecnológica Federal do Paraná. Programa de Pós-Graduação emEngenharia Mecânica. III. Título.
CDD (22. ed.) 620.1
Biblioteca da UTFPR - Câmpus Cornélio ProcópioBibliotecários/Documentalistas responsáveis:
Simone Fidêncio de Oliveira Guerra – CRB-9/1276Romeu Righetti de Araujo – CRB-9/1676
Ministério da Educação Universidade Tecnológica Federal do Paraná
Câmpus Cornélio Procópio Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica
Av. Alberto Carazzai, 1640 - 86.300-000- Cornélio Procópio – PR. Tel. +55 (43) 3520-3939 / e-mail: [email protected] / www.utfpr.edu.br/cornelioprocopio/ppgem
Título da Dissertação Nº 025:
“Projeto Ótimo de um Manipulador Paralelo de Dois Graus de Liberdade”.
por
Victor Renan Bolzon
Orientador: Prof. Dr. Fabian Andres Lara Molina
Esta dissertação foi apresentada como requisito parcial à obtenção do grau de MESTRE EM ENGENHARIA MECÂNICA – Área de Concentração:
Ciências Mecânicas, linha de pesquisa: Dinâmica De Sistemas Mecânicos, pelo
Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica – PPGEM – da Universidade Tecnológica Federal do Paraná – UTFPR – Câmpus Cornélio Procópio, às 10h do
dia 05 de março de 2018. O trabalho foi aprovado pela Banca Examinadora, composta pelos professores:
__________________________________ Prof. Dr. Fabian Andres Lara Molina
(Orientador – UTFPR - CP)
__________________________________ Profa. Dra. Sandra Mara Domiciano
(UTFPR - CP)
_________________________________ Prof. Dr. Ricardo Breganon
(IFPR – Campus Jacarezinho)
Visto da coordenação:
__________________________________ Prof. Dr. Vagner Alexandre Rigo
Coordenador do Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica
UTFPR Câmpus Cornélio Procópio
Persistence is the shortest path to success.(Charles Chaplin)
AGRADECIMENTOS
Agradeço, em primeiro lugar, a Deus que iluminou o meu caminho duranteesta caminhada.
Gostaria de agradecer o professor Dr. Fabian pela confiança, pela oportuni-dade de trabalhar neste tema e incentivo que tornaram possível a conclusão destetrabalho.
Aos professores do PPGEM, por todo o conhecimento, suporte e ensinamen-tos que foram o alicerce para o meu desenvolvimento acadêmico e realização destetrabalho.
Depois a minha família, em especial aos meus pais João Roberto e Lisete, eminha irmã Isabela, pelo apoio, dedicação, amor, carinho e compreensão, sem vocêsnada disso seria possível.
A minha namorada, Ana Carolina, por toda a força, companheirismo, apoio eprincipalmente com paciência para enfrentar os problemas.
Leandro Martins, Erik, Daniel, William e Felipe Bertola muito obrigado pelastrocas acadêmicas, por todos os cafés feitos no laboratório e por todas as conversas.
A CAPES pelo apoio financeiro, fundamental para a realização deste trabalho.
RESUMO
BOLZON, V. R. Projeto Ótimo de Um Manipulador Paralelo Planar de Dois Graus deLiberdade. Dissertação de Mestrado em Engenharia Mecânica – Área: Sistemas Di-nâmicos – Universidade Tecnológica Federal do Paraná. Cornélio Procópio, 2018.
Este trabalho visa propor um procedimento alternativo para o projeto ótimo de ummanipulador paralelo planar flexível de dois graus de liberdade, utilizando índices dedesempenho baseado em critérios cinemáticos e dinâmicos simultaneamente. A mo-delagem cinemática e dinâmica completa permite estabelecer o tamanho do espaçode trabalho e o desempenho elastodinâmico, respectivamente. Baseado nos critériosde desempenho será apresentada também uma metodologia para realizar o projeto domanipulador solucionando o problema de otimização multiobjetivo para obter os com-primentos dos elos. Inicialmente, os critérios de desempenho são otimizados separa-damente. E em seguida, será realizada uma otimização multiobjetivo para solucionaro projeto ótimo multiobjetivo. Os Algoritmos Genéticos foram utilizados como uma fer-ramenta para solução dos respectivos problemas de otimização. Os resultados dessaotimização permitiram encontrar o conjunto de soluções ótimas denominada fronteirade Pareto. Esses resultados foram analisados para determinar os parâmetros estrutu-rais do manipulador paralelo para encontrar a solução mais adequada para a aplica-ção desejada. A construção do protótipo do manipulador paralelo planar foi realizadaa partir dos parâmetros ótimos determinados.
Palavras-chaves: Projeto Ótimo, Manipulador Paralelo, Índice de Desempenho Elas-todinâmico, Espaço de Trabalho, Otimização Multiobjetivo.
ABSTRACT
BOLZON, V. R. Optimal Design of a Planar Parallel Manipulator of Two Degrees ofFreedom. MSc. Thesis, Federal Technological University of Paraná. Cornélio Procópio,2018.
This work aims at proposing an alternative procedure for the optimal design of a flexibleplanar parallel manipulator of two degrees of freedom by using performance indexesbased on kinematic and dynamic criteria simultaneously. The complete kinematic anddynamic models allow establishing the workspace size and the elastodynamic perfor-mance, respectively. The manipulator design methodology, based on the performancecriteria, is obtained by solving a multiobjective optimization problem. The optimal de-sign variables derived from the optimization process are the optimal links lengths. Inthe optimal design procedure, initially, the performance criteria will be optimized sep-arately. Then, a multiobjective optimization will be performed to obtain the optimalmultiobjective design. The Genetic Algorithms were used as a tool to solve the corre-sponding optimization problems. The results of these optimizations allowed to find theset of optimal solutions denominated the Pareto Front. These results were analyzedin order to determine the structural parameters of the parallel manipulator to find themost suitable configuration for the desired application. Once the optimal and suitableparameters were established, it was carried out the construction of the prototype of theparallel planar manipulator.
Key-words: Optimal Design, Parallel Manipulator, Elastodynamic Performance, Workspace,Multiobjective Optimization.
LISTA DE ILUSTRAÇÕES
Figura 1 – Componentes de um sistema robótico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23Figura 2 – Componentes de um manipulador robótico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24Figura 3 – Manipulador paralelo 3-PRC.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28Figura 4 – Modelo do manipulador de três graus de liberdade no Adams R○. . . . . 29Figura 5 – Protótipo do manipulador 5 barras. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29Figura 6 – Protótipo do manipulador de dois graus de liberdade PKM. . . . . . . . . . . 30Figura 7 – Robô paralelo planar de dois graus de liberdade. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37Figura 8 – Espaço de trabalho útil e 𝑀𝐼𝐶. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40Figura 9 – Cadeia cinemática com flexibilidade na junta ativa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41Figura 10 – Estrutura do NSGA-II. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52Figura 11 – Fronteira de Pareto para duas funções objetivo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55Figura 12 – Espaço de projeto do mecanismo paralelo planar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57Figura 13 – Atlas do raio do MIC, 𝑟𝑀𝐼𝐶 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58Figura 14 – Atlas de desempenho elastodinâmico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60Figura 15 – Análise dinâmica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63Figura 16 – Comprimentos dos elos durante a otimização do espaço de tra-
balho. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65Figura 17 – Otimização do espaço de trabalho e desempenho elastodinâmico. 65Figura 18 – Comprimento dos elos durante a otimização do desempenho
elastodinâmico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66Figura 19 – Otimização do desempenho elastodinâmico e espaço de trabalho. 67Figura 20 – Fronteira de Pareto no espaço de critério. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68Figura 21 – Fronteira de Pareto no espaço de projeto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68Figura 22 – Representação dos manipuladores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70Figura 23 – Desempenho elastodinâmico dentro do espaço de trabalho. . . . . . . . 71Figura 24 – Modelo 3D CAD do robô paralelo de dois graus de liberdade. . . . . . . 72Figura 25 – Vista frontal e lateral do robô. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73Figura 26 – Posição, velocidade e aceleração durante a trajetória. . . . . . . . . . . . . . . 74Figura 27 – Torques dos atuadores durante a execução da trajetória. . . . . . . . . . . . 75Figura 28 – Primeira cadeia cinemática construída. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76Figura 29 – Projeto e juntas fabricadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76Figura 30 – Montagem completa do manipulador. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
LISTA DE TABELAS
Tabela 1 – Parâmetros do Algoritmo Genético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65Tabela 2 – Parâmetros utilizados no NSGA-II. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67Tabela 3 – Valores da função objetivo obtidos e as variáveis correspondentes. 69Tabela 4 – Comprimento adimensionais dos elos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70Tabela 5 – Propriedades gerais dos elos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73Tabela 6 – Premissas da escolha dos motores do projeto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74Tabela 7 – Especificações do Motor DC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
LISTA DE SIGLAS E ABREVIATURAS
3-PRC Robô com juntas prismáticas, angulares e cilíndricas3-RRR Robô com três juntas angularesGAS Algoritmos GenéticosGDL Graus de LiberdadeCAD Desenho assistido por computadorISO Organização Internacional para NormalizaçãoMIC Círculo Máximo InscritoMIW Espaço de trabalho Máximo InscritoNSGA-II Non-dominated Sorting Genetic Algorithm IIPRRRP Robô com duas juntas prismáticas e três angulares
LISTA DE SÍMBOLOS
𝑟𝑖 Comprimento dos elos
��𝑝 Posição do efetuador final no eixo x
𝑦𝑝 Posição do efetuador final no eixo y
𝜏 Torque das juntas
𝜏 𝑎 Torque das juntas ativas
𝜃𝑖 Vetor do torque nas juntas ativas e passivas
𝜃𝑚 Posição angular dos motores antes da flexibilidade das juntas ativas
𝜆𝑒 Critério de desempenho elastodinâmico
C𝑖 Matriz de Coriolis
D Matriz dinâmica
f𝑖 Vetor do atrito das juntas passivas e ativas
f𝑝 Atrito nas juntas passivas
f𝑘𝑎 Torque elástico nas juntas ativas
f𝑘𝑖 Torque elástico das juntas ativas
f𝑘𝑝 Torque elástico nas juntas passivas
f𝑘 Torque elástico nas juntas
J Matriz Jacobiana
KC Matriz de rigidez nas coordenadas cartesianas
K Matriz de rigidez
MC Matriz de massa nas coordenadas cartesianas
M Matriz de massa
M𝑖 Matriz de inércia
p Ponto de localização do efetuador final
𝜃𝑎𝑖 Ângulos das juntas ativas
𝐴𝑖 Localização das juntas ativas
𝐵𝑖 Localização das juntas passivas
𝐶𝑟 Critério de Convergência NSGA-II
𝑐𝑎𝑖 Cosseno de 𝜃𝑎𝑖
𝑑𝑗𝑖 Centro de massa dos elos
𝑓(𝑋) Função objetivo
𝐹 (𝑥𝑛) Função de aptidão
𝐹1 Soluções do melhor conjunto não dominado
𝑔𝑗 Restrições de inequalidade
𝑖 Contador 1
𝑖𝑚𝑎𝑥 Número máximo de gerações
𝐼𝑧𝑗𝑖 Momento de inércia dos elos
𝑗 Contador 3
𝑘𝑖 Mola de torção elástica
𝑘𝑖 Rigidez adimensional dos elos
𝑘𝑡 Rigidez das juntas
𝑙𝑗 Restrições de igualdade
𝑚 Tamanho da população
𝑚𝑡 Massa dos elos
𝑚𝑗𝑖 Massa adimensional dos elos
𝑁 Tamanho da população
𝑛 Dimensão da matriz ou vetor
𝑂 Ponto de referência fixo
𝑃0 População de pais
𝑝𝑐 Probabilidade de cruzamento
𝑝𝑚 Probabilidade de mutação
𝑄0 População filha
𝑅𝑡 População combinada
𝑟𝑀𝐼𝐶 Raio do Círculo Máximo Inscrito
𝑠𝑎𝑖 Seno de 𝜃𝑎𝑖
𝑠𝑓𝑚𝑎𝑥 Desvio Padrão máximo para o critério de convergência
𝑡 Contador 2
𝑊 Espaço de Trabalho Dimensional
𝑊𝑛 Espaço de Trabalho Adimensional
𝑋 Vetor de projeto
𝑥𝑛 Variáveis de projeto
𝑟𝑖 Comprimento adimensional dos elos
𝑥𝑝 Posição do efetuador final no eixo x adimensionalizadas
𝑦𝑝 Posição do efetuador final no eixo y adimensionalizadas
∆x Deslocamento incremental do corpo rígido
∆𝜃 Vetor da aceleração das juntas
∆𝜃 Vetor da velocidade das juntas
∆𝜏 Vetor perturbação no sistema
∆𝜃 Vetor do deslocamento das juntas
𝜆𝑖 Conjunto de Autovalores da Matriz dinâmica D
𝜑𝑖 Conjunto de Autovetores da Matriz dinâmica D
D Variável para adimensionalizar
SUMÁRIO
Lista de ilustrações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8Lista de tabelas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1 INTRODUÇÃO. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.1 PROBLEMA DA PESQUISA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.2 JUSTIFICATIVAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.3 OBJETIVOS .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.3.1 Objetivo Geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.3.2 Objetivos Específicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.4 ORGANIZAÇÃO DESTE TRABALHO .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.1 INTRODUÇÃO AOS SISTEMAS ROBÓTICOS .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.1.1 Sensores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.1.2 Controlador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.1.3 Efetuador Final . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.1.4 Atuadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.1.5 Elos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.1.6 Classificação de Robôs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.2 REVISÃO DE TRABALHOS .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.2.1 Modelagem de Manipuladores Paralelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.2.2 Projeto e Construção de Robôs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.2.3 Projeto Ótimo de Manipuladores Paralelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.1 METODOLOGIA DE PROJETO DE ROBÔS .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.1.1 Processos para o Desenvolvimento de um Manipulador. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.1.2 Critérios de Desempenho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.2 MODELAGEM DO ROBÔ PARALELO .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.2.1 Modelo Cinemático. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.2.1.1 Matriz Jacobiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.2.1.2 Espaço de Trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.2.2 Modelo Dinâmico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.2.2.1 Dinâmica das Cadeias Cinemáticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.2.2.2 Modelo Dinâmico Completo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.3 OTIMIZAÇÃO .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.3.1 Definições de um Problema de Otimização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443.3.1.1 Vetor de Projeto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.3.1.2 Restrições de Projeto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.3.1.3 Função Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.3.2 Algoritmos Genéticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463.3.2.1 Operações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483.3.2.2 Algoritmo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.3.3 NSGA-II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.3.3.1 Algoritmo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523.3.4 Fronteira de Pareto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534 METODOLOGIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564.1 CRITÉRIOS DE DESEMPENHO .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564.1.1 Espaço de Projeto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564.1.2 Critério Baseado no Espaço de Trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584.1.3 Critério de Desempenho Elastodinâmico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584.2 DEFINIÇÃO DO PROBLEMA DA OTIMIZAÇÃO.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 604.3 DIMENSIONALIZAÇÃO DOS PARÂMETROS ESTRUTURAIS . . . . . . . . . . . . . . . 614.4 ANÁLISE DINÂMICA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 625 RESULTADOS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 645.1 MAXIMIZAÇÃO DO ESPAÇO DE TRABALHO .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 645.2 MAXIMIZAÇÃO DA PERFORMANCE ELASTODINÂMICA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 665.3 OTIMIZAÇÃO MULTIOBJETIVO .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 675.4 PROJETO ESTRUTURAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 715.5 ESTUDO DINÂMICO .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 735.6 CONSTRUÇÃO DO PROTÓTIPO.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 756 CONCLUSÕES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 786.1 TRABALHOS FUTUROS .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
ANEXOS 84ANEXO A – MODELAGEM DINÂMICA DETALHADA . . . . . . . . . . . . . . . 85ANEXO B – TRAJETÓRIA PARA ANÁLISE DINÂMICA . . . . . . . . . . . . 89ANEXO C – PROJETO E LISTA DE PEÇAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
16
1 INTRODUÇÃO
Os robôs estão presentes em muitos aspectos na vida humana. Eles podem
substituir seres humanos em ambientes perigosos, apresentam alta precisão e repeti-
tividade em suas tarefas, e além disso podem trabalhar por dias sem descanso.
Um robô paralelo é constituído por um efetuador final com n graus de liber-
dade e de uma base fixa, unidos entre si por ao menos duas cadeias cinemáticas
independentes. A atuação ou movimento das cadeias cinemáticas ocorre através de
n atuadores (MERLET, 2006).
Devido as suas características, as aplicações de robôs paralelos são bem am-
plas, podem-se destacar: simuladores de voo (STEWART, 1965) simuladores veicular
(ZHANG; ZHANG, 2013), treliças ajustáveis articuladas (XU; FAN; LI, 2001), sensores
de força e torque (RANGANATH et al., 2004) e máquinas industriais (PIERROT et al.,
2009). Adicionalmente, em virtude de sua alta precisão são utilizados como robôs
cirúrgicos (WAPLER et al., 2003). Os robôs paralelos apresentam algumas vantagens
potenciais em relação aos robôs seriais, tais como baixa inércia, alta velocidade de
operação, alta rigidez e melhor precisão de posicionamento (TSAI, 1999). Em contra-
partida, estes têm um espaço de trabalho reduzido e singularidades cinemáticas no
interior do espaço de trabalho (GOGU, 2008).
Para que os robôs desempenhem sua tarefa da melhor forma possível, o pro-
jeto do manipulador robótico visando uma performance superior deve ser realizado
com base nos critérios de desempenho. Para realizar o projeto de um robô paralelo,
existem basicamente duas abordagens diferentes, tentativa e erro e o projeto ótimo.
A primeira consiste em modificar manualmente os parâmetros geométricos do meca-
nismo e depois avaliar o desempenho após cada modificação, até que seja obtido um
mecanismo que seja considerado satisfatório. Esta abordagem depende muito da in-
tuição e experiência. E o número de parâmetros necessários para definir a geometria
de um manipulador paralelo dificulta o uso dessa técnica.
Enquanto que o projeto ótimo é um procedimento numérico para determinar a
17
geometria do mecanismo, utilizando técnicas de otimização, como por exemplo Algo-
ritmos Genéticos (GAO et al., 2010), Enxame de Partículas (KUCUK, 2013), Evolução
Diferencial (WANG; HAO; CHENG, 2008), Algoritmos Genéticos Multiobjetivo (BOU-
NAB, 2016), NSGA-II (DANESHMAND et al., 2016), entre outros, de modo que um
ou vários critérios de desempenhos sejam otimizados. Para melhor compreender e
comparar o desempenho de robôs paralelos, são definidos critérios de desempenhos
propostos para caracterizar suas propriedades (KHALIL et al., 2007).
O projeto ótimo de robôs paralelos tem como objetivo determinar os parâ-
metros estruturais, como por exemplo, as dimensões dos elos a fim de alcançar um
desempenho ótimo com base em critérios de desempenho preestabelecidos. Muitos
trabalhos propostos previamente na literatura sobre projeto ótimo de robôs paralelos
consideraram diferentes metodologias e critérios de desempenho a serem otimiza-
dos. Os principais critérios de desempenho considerados consistem na otimização
da rigidez (GAO et al., 2010), maximização da destreza cinemática (HOSSEINI; DA-
NIALI; TAGHIRAD, 2011), minimização do consumo energético (KUCUK, 2013), oti-
mização do torque dos atuadores (SAAFI; LARIBI; ZEGHLOUL, 2017), otimização do
desempenho dinâmico (LARA-MOLINA; KOROISHI; DUMUR, 2016), maximização do
espaço de trabalho (YUN; LI, 2011), entre outros.
1.1 PROBLEMA DA PESQUISA
O projeto ótimo dos robôs paralelos é uma área de pesquisa amplamente es-
tudada na atualidade que visa determinar os parâmetros construtivos do robô para
otimizar seu desempenho. Consequentemente, muitos trabalhos têm sido desenvol-
vidos com o objetivo de otimizar critérios de desempenho específicos resultando em
um projeto ótimo de um robô, que considera um único objetivo (CHABLAT; WENGER,
2003) (KUCUK; BINGUL, 2005) (ALESSANDRO; ROSARIO, 2014). Alternativamente,
diversos autores têm desenvolvido o projeto multiobjetivo de manipuladores rígidos
(DANESHMAND et al., 2016) (ABDOLSHAH et al., 2017) e considerando unicamente
18
critérios de desempenho dinâmicos (GAO et al., 2010) (ALESSANDRO; ROSARIO,
2014).
No entanto, este trabalho propõe desenvolver uma nova abordagem para o
projeto ótimo de um manipulador paralelo planar com juntas ativas flexíveis. Para isto,
critérios de desempenho serão estabelecidos com base na cinemática e dinâmica do
robô paralelo. Através dos critérios estabelecidos, será definido um problema de oti-
mização multiobjetivo para obter os parâmetros geométricos do robô paralelo. Esses
parâmetros serão avaliados para a elaboração do projeto final do manipulador com o
objetivo da construção do protótipo.
1.2 JUSTIFICATIVAS
A utilização de robôs na indústria cresceu muito nos últimos anos com o
avanço tecnológico obtido através das pesquisas realizadas. Porém, para que um
robô seja utilizado industrialmente é preciso que apresente características como alta
precisão, velocidade e bom desempenho dinâmico. Apesar das vantagens oferecidas
por manipuladores paralelos, que serão abordadas no próximo capítulo, a extensa
pesquisa na área levou à conclusão de que apresentam um espaço de trabalho limi-
tado e com configurações singulares (TSAI, 1999).
Alguns robôs industriais são construídos maciços, para aumentar a rigidez e
assim, movem-se a velocidades inferiores à frequência natural fundamental do sis-
tema devido às limitações no torque do atuador. Entretanto, um manipulador robótico
mais leve pode ter vantagens, como maior velocidade, melhor eficiência energética e
maior relação peso e carga. No entanto, em altas velocidades de operação, as forças
inerciais aumentam, que podem levar a uma deformação considerável dos braços,
gerando fenômenos de vibração indesejados (WANG; GAO, 2003).
Muitos trabalhos foram desenvolvidos neste sentido para otimizar o desempe-
nho dos robôs paralelos. Carbone et al. (2008) utilizaram uma otimização multiobjetivo
com algoritmos genéticos para obter uma solução numérica eficiente no planejamento
19
da trajetória de um robô paralelo de três graus de liberdade, como critérios ótimos
foram definidas a energia gasta pelos atuadores e tempo de viagem da trajetória do
robô. Kucuk e Bingul (2005) elaboraram o projeto ótimo de um robô serial, encon-
trando as dimensões dos braços com a finalidade de otimizar o espaço de trabalho.
Alessandro e Rosario (2014) otimizaram a performance elastodinâmica de um robô
delta com o objetivo de diminuir a primeira frequência natural da estrutura do robô pa-
ralelo. Abdolshah et al. (2017) estudaram o projeto ótimo de um manipulador paralelo
com cabos flexíveis que otimiza simultaneamente dois critérios de desempenho: rigi-
dez e destreza. Daneshmand et al. (2016) realizaram o projeto ótimo de um manipu-
lador paralelo esférico, através da otimização multiobjetivo do critério de performance
cinestático e o espaço de trabalho.
A modelagem é fundamental para que se conheça não somente as caracterís-
ticas cinemáticas do manipulador, mas a dinâmica envolvendo o comportamento dos
atuadores e as forças que agem no manipulador.
Visando um melhor desempenho, faz-se necessário o uso de uma otimiza-
ção multiobjetivo com os critérios de desempenho preestabelecidos para que sejam
conhecidos e possíveis erros de projetos evitados computacionalmente, o que acaba
diminuindo os custos do desenvolvimento do projeto e de falha. Tornando o manipu-
lador robótico competitivo industrialmente.
1.3 OBJETIVOS
1.3.1 Objetivo Geral
O objetivo principal desse trabalho é definir um procedimento alternativo para
realizar o projeto ótimo do manipulador paralelo de dois graus de liberdade, visando
obter os parâmetros dimensionais para a construção de um protótipo.
20
1.3.2 Objetivos Específicos
∙ Desenvolver a modelagem cinemática e dinâmica do manipulador paralelo de
dois graus de liberdade;
∙ Utilizar o software Matlab R○ para realizar a implementação computacional da mo-
delagem cinemática e dinâmica do manipulador paralelo de dois graus de liber-
dade;
∙ Definir os critérios de desempenho que serão utilizados na otimização dos parâ-
metros estruturais do manipulador;
∙ Realizar o projeto ótimo mediante uma otimização multiobjetivo seguindo os cri-
térios de desempenho definidos;
∙ Analisar os resultados obtidos com as simulações realizadas, otimização mul-
tiobjetivo, o projeto do protótipo para a construção do manipulador paralelo de
dois graus de liberdade;
∙ Fazer uma análise dinâmica para o dimensionamento dos motores e definição
de componentes a serem utilizados;
∙ Desenvolver o projeto do manipulador e elaborar o modelo 3D CAD;
∙ Construir o protótipo experimental, com base no modelo CAD e nos resultados
da otimização multiobjetivo.
1.4 ORGANIZAÇÃO DESTE TRABALHO
Este trabalho está organizado em 6 capítulos. No segundo capítulo será apre-
sentada uma revisão bibliográfica e também serão abordados trabalhos relacionados
com o tema desta dissertação. No capítulo 3 é apresentada a modelagem do robô
utilizado nesta contribuição e a definição das técnicas de otimização utilizadas e seus
21
respectivos termos. O capítulo 4 definirá a metodologia que será utilizada para atingir
o escopo deste trabalho, serão apresentados os critérios de desempenho e a definição
do problema da otimização associado do projeto ótimo. No capítulo 5 serão apresenta-
dos os resultados. Finalmente, no último capítulo apresentará as considerações finais
e conclusões deste trabalho.
22
2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA
Este capítulo realiza uma introdução sobre sistemas robóticos apresentando
conceitos fundamentais abordados no trabalho. Adicionalmente, uma revisão sobre
trabalhos relacionados ao tema desta contribuição será apresentada.
2.1 INTRODUÇÃO AOS SISTEMAS ROBÓTICOS
Com base na definição da Organização Internacional para Normalização (ISO
8373:2012), um robô é um "mecanismo atuado programável em dois ou mais eixos
com um grau de autonomia, movendo-se em seu ambiente, para realizar tarefas pre-
tendidas". Segundo a designação da Robotics Institute of America, um robô é um
manipulador multifuncional reprogramável projetado para mover materiais, partes, fer-
ramentas ou dispositivos específicos através de movimentos variáveis programados
para o desempenho de uma variedade de tarefas (JAZAR, 2010). Um robô pode ser
definido também, como um dispositivo mecânico controlado que muitas vezes substitui
ou pode substituir parcialmente um trabalhador no meio industrial. Em casos onde são
necessários alta velocidade e precisão dos movimentos ou em ambientes inadequa-
dos a presença humana. Embora a versatilidade dos robôs não seja igual a dos seres
humanos, são muito mais flexíveis e universais do que as máquinas automatizadas.
Um sistema robótico é representado, como pode ser observado na Figura 1, basi-
camente pelos seguintes componentes: o manipulador robótico, sistema de controle,
efetuador final, computador e sensores.
Na Figura 2, pode-se observar com mais detalhes os componentes de um
manipulador robótico e a seguir são descritas as funcionalidades de cada um dos
componentes.
23
Figura 1 – Componentes de um sistema robótico.Fonte – Autoria Própria.
2.1.1 Sensores
Os sensores são elementos utilizados para detectar e coletar informações so-
bre a condição dos manipuladores. Segundo Craig (2005), sensores podem ser agru-
pados em dois grupos: Sensores internos que medem variáveis dentro da estrutura
do robô. Estes podem incluir sensores de posição, velocidade e força. Sensores ex-
ternos que reúnem informações sobre o ambiente do robô. Fazem parte desse grupo
os sensores de visão e toque.
2.1.2 Controlador
O controlador contém todos os dispositivos necessários para direcionar, rota-
cionar e mover os elos do robô, a base e o efetuador final. Os robôs são ativados
por algum tipo de computador, desde microprocessadores até minicomputadores. Os
robôs avançados requerem processamento contínuo e cálculos. No entanto, isso re-
24
Figura 2 – Componentes de um manipulador robótico.Fonte – Autoria Própria.
quer computadores de alta velocidade. De acordo com Jazar (2010), os controladores
têm três funções:
1. Função de informar, que consiste em coletar e processar as informações obtidas
através dos sensores.
2. Função de decidir, que implica em planejar o movimento geométrico da estrutura
do robô.
3. Função de comunicação, que engloba a organização da informações do robô e
de seu meio.
2.1.3 Efetuador Final
Em um sistema robótico, o efetuador final é normalmente localizado no fim do
braço do robô. Ele é responsável por auxiliar o manipulador robótico a realizar tarefas
como transporte, manipulação ou usinagem. Os efetuadores finais mais comuns são
garras, pinças, ferramentas e captadores de vácuo.
25
2.1.4 Atuadores
De acordo com Craig (2005), antigamente os atuadores mais utilizados eram
os hidráulicos e pneumáticos. Eles desenvolviam força suficiente para acionar as
juntas sem um sistema de redução. Porém, atuadores hidráulicos requerem muitos
equipamentos como: bombas, acumuladores, mangueiras e válvulas. E com o avanço
de novas técnicas de controle, o atrito causado pelos seus selos, tornou os atuadores
hidráulicos inferiores.
Os atuadores pneumáticos, embora tenham algumas vantagens, eles são
muito difíceis de controlar com precisão, devido a compressibilidade do ar e o nível
elevado de atrito nos seus selos.
Portanto, os atuadores mais utilizados em robôs são os atuadores elétricos.
Apesar de não ter a mesma relação peso e potência que atuadores hidráulicos e
pneumáticos, a facilidade, sua controlabilidade e interface torna o seu uso interessante
para manipuladores robóticos.
2.1.5 Elos
Os elos são responsáveis por posicionar o efetuador final em relação à base,
ou seja, um robô consiste em vários elos ligados por juntas. Um elo robótico é um
membro que tem movimento relativo em relação aos outros elos. Do ponto de vista
cinemático, se dois ou mais membros estiverem conectados e não houver movimento
relativo entre eles, são considerados um único elo. Alguns autores se referem aos
elos como braços ou utilizam o termo em inglês links (OLIVEIRA et al., 2008) (LARA-
MOLINA, 2008).
26
2.1.6 Classificação de Robôs
Existem várias formas de classificar robôs, uma delas é utilizar sua estrutura
cinemática para a classificação. Existem três arquiteturas básicas para robôs mani-
puladores. Elas são caracterizadas pelo tipo de cadeias cinemáticas que conectam o
efetuador final do manipulador a base através dos elos. As três arquiteturas básicas
do robô são:
∙ Seriais;
∙ Paralelos;
∙ Híbridos.
A comparação das características dos manipuladores é importante para iden-
tificar a melhor aplicabilidade de cada um, levando em consideração as particularida-
des mecânicas e também os problemas de controle. Os manipuladores seriais, em
termos mecânicos, são compostos por atuadores nas suas partes móveis, que resul-
tam em momentos de inércia relativamente altos. Nos manipuladores paralelos, todos
os atuadores são montados próximos a base, possibilitando assim uma redução da
massa nas suas partes móveis. Isso implica, que os manipuladores paralelos apre-
sentam características dinâmicas superiores em relação aos manipuladores seriais
(LARA-MOLINA, 2008).
2.2 REVISÃO DE TRABALHOS
Nesta seção será apresentado uma revisão relacionada a trabalhos relaci-
onados à modelagem, projetos, construção e otimização de robôs paralelos. Com o
objetivo de apresentar uma perspectiva dos trabalhos relacionados e que foram desen-
volvidos recentemente, abordando principalmente os conceitos básicos, aplicações e
os métodos que são empregadas nestes problemas.
27
2.2.1 Modelagem de Manipuladores Paralelos
A modelagem cinemática descreve o movimento do mecanismo. No entanto,
o movimento é produzido por forças e torques, logo elas não podem ser ignoradas
na modelagem. O modelo dinâmico é responsável por descrever essas forças no sis-
tema, que sofrem mudanças ao longo de um determinado movimento. A modelagem
é um procedimento fundamental para o projeto de um robô, pois é utilizada para a
simulação computacional do movimento do robô, elaboração das leis de controle ade-
quadas e avaliação do desempenho dinâmico do projeto. Muitas contribuições têm
proposto novas formulações para realizar o modelo dinâmico, alguns trabalhos serão
apresentados a seguir.
Martins et al. (2003) realizaram a modelagem dinâmica de sistemas com es-
truturas mecânicas e atuadores diferentes. Foram consideradas as diferentes geome-
trias e propriedades dos materiais utilizados em cada um dos manipuladores para a
realização da modelagem. Então, foram validadas as modelagens através de simula-
ções, tal como algumas comparações de desempenho dos manipuladores diferentes.
Li e Xu (2006) desenvolveram o projeto de um novo manipulador paralelo
translacional de 3 graus de liberdade, chamado 3-PRC. Apresentaram então a mo-
delagem completa do manipulador, que através de análises do modelo cinemático,
permitiu um projeto de um manipulador em que fossem eliminadas todas as singulari-
dades e fosse isotrópico. O desenho do manipulador 3-PRC, pode ser observado na
Figura 3.
Em relação ao estudo dinâmico da plataforma de Stewart-Gough, Liu, Li e Li
(2000) implementaram no software Matlab R○, a formulação da dinâmica direta da Pla-
taforma de Stewart-Gough baseada na equação de Kane, onde são fornecidas forças
para cada atuador e condições iniciais de posição e velocidade inicial, encontrando
então a posição e a orientação do manipulador e para os atuadores são encontradas
as velocidades lineares e posições de cada um.
Lopes (2009) fez a modelagem da Plataforma de Stewart-Gough utilizando
28
Figura 3 – Manipulador paralelo 3-PRC.Fonte – (LI; XU, 2006)
uma aproximação chamada momento generalizado, que é usado para calcular a com-
ponente cinética da força generalizada agindo em cada parte rígida do manipulador.
2.2.2 Projeto e Construção de Robôs
No projeto de um robô são definidos os parâmetros geométricos, materiais e
as tarefas que o robô executará, com o objetivo de construir um protótipo. Assim, cri-
térios de desempenho devem ser considerados para avaliar o desempenho do projeto,
por exemplo, critérios baseados nas análises cinemáticas, vibracionais, dinâmicas e
assim por diante. Portanto, alguns trabalhos que desenvolveram o projeto ótimo de
robôs serão discutidos para destacar as metodologias que foram utilizadas.
Li et al. (2003) apresentaram a formulação dinâmica de um robô paralelo de
três graus de liberdade através da formulação de Newton-Euler, onde o robô apre-
senta dois graus de liberdade translacional e um rotacional. É analisado, em primeiro
lugar, a cinemática inversa de forma fechada. E de acordo com as restrições cine-
máticas das pernas e da plataforma é definido um algoritmo para solucionar as forças
do atuador. Para validar os resultados das simulações matemáticas são comparados
com os resultados do software Adams R○. O modelo implementado no Adams R○, pode
29
ser visto na Figura 4.
Figura 4 – Modelo do manipulador de três graus de liberdade no Adams R○.Fonte – Adaptado de (LI et al., 2003)
Campos et al. (2010) desenvolveram o projeto e a construção de um protótipo
de um robô paralelo 5 barras para executar a função pick and place, para o projeto
foi proposto que os elos do robô deveriam ter o mesmo tamanho. Neste trabalho os
autores mostram detalhes da construção do protótipo que podem ser visto na Figura
5.
Figura 5 – Protótipo do manipulador 5 barras.Fonte – (CAMPOS et al., 2010)
Zhang e Zhang (2013) apresentaram um novo manipulador paralelo de dois
graus de liberdade com três pernas que é utilizado como simulador veicular. Antes
da construção do protótipo, que pode ser observado na Figura 6, foram estudados a
30
cinemática e o espaço de trabalho do mecanismo e construído um modelo através do
software Catia R○.
Figura 6 – Protótipo do manipulador de dois graus de liberdade PKM.Fonte – (ZHANG; ZHANG, 2013)
2.2.3 Projeto Ótimo de Manipuladores Paralelos
Nesta seção, diversos trabalhos que utilizaram ou propuseram metodologias
de otimização dos critérios de desempenho para realizar o projeto ótimo de robôs
paralelos são apresentados. O projeto ótimo desses robôs implica basicamente no
ajuste adequado das variáveis de projeto para encontrar uma relação conveniente
entre os critérios de desempenho estabelecidos.
Para realizar o projeto cinemático ótimo de um robô paralelo PRRRP, Liu,
Wang e Pritschow (2006b) analisaram o desempenho do manipulador, que é atuado
verticalmente através de dois atuadores lineares. Para o projeto, foram utilizados gráfi-
cos de desempenho como é feito na maioria dos projetos industriais. Foram definidos
e investigados critérios de desempenho para avaliar o espaço de trabalho, precisão do
controle, velocidade, capacidade de carga e rigidez. Com base nos gráficos gerados,
foi possível identificar a região ótima, que é a intersecção dos resultados dos gráficos
de performances.
Oliveira et al. (2008) utilizaram o Método dos Objetivos Ponderados e o Mé-
todo do Critério Global para fazer o projeto ótimo de um manipulador paralelo 3R, que
31
possui três juntas rotacionais. A otimização visou maximizar o volume do espaço de
trabalho, rigidez do sistema de juntas e a destreza do manipulador. Na otimização do
Método dos Objetivos Ponderados cabe ao projetista definir a prioridade de cada uma
das funções objetivos. E no Método do Critério Global a solução ótima é um vetor de
variáveis de decisão que minimiza algum dos critérios globais.
Xu e Li (2006) desenvolveram um projeto de um nano robô para nano escala
de manipulação. Com o objetivo de alcançar um espaço de trabalho máximo sujeito ao
critério da destreza, foi realizada uma otimização cinemática dos parâmetros de pro-
jetos, para assim poder satisfazer os requisitos operacionais. Foi realizado também,
uma análise de elementos finitos para validar a modelagem analítica e a influência dos
parâmetros na estrutura do manipulador.
Para otimizar a arquitetura de um robô paralelo projetado para aplicações de
usinagem, Chablat e Wenger (2003) fundamentaram-se na otimização do espaço de
trabalho com a performance cinoestática estabelecida. Foram estabelecidos critérios
de projeto para serem seguidos no desenvolvimento do Orthoglide, um robô paralelo
com três juntas fixas paralelas, que são montadas ortogonalmente.
Weihmann, Martins e Coelho (2012) utilizaram uma técnica modificada de evo-
lução diferencial para a otimização de um manipulador paralelo 3-RRR, onde o obje-
tivo era maximizar uma força que o manipulador poderia aplicar em uma dada direção,
assegurando a semelhança com a cadeia cinemática. A abordagem proposta foi va-
lidada em um problema de otimização da força, onde a capacidade da força de um
manipulador paralelo planar 3-RRR são avaliadas considerando limites de atuação e
diferentes modos de montagem.
32
3 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
Neste capítulo será apresentado a fundamentação teórica para atingir o es-
copo deste trabalho. Inicialmente, se apresentará os fundamentos teóricos da me-
todologia para o projeto de robôs e também os critérios de desempenho. Na seção
seguinte, o robô paralelo será apresentado e sua modelagem cinemática e dinâmica.
Por fim, serão mostradas as técnicas de otimização utilizadas, tais como as definições
dos termos, representações e algoritmos.
3.1 METODOLOGIA DE PROJETO DE ROBÔS
Esta seção visa apresentar uma metodologia para iniciar a etapa de projeto
com a definição de um plano geral do projeto. Assim, no projeto de um manipulador,
serão considerados os requisitos e as restrições de projeto, o robô paralelo deve ser
projetado para seguir e satisfazer os critérios e meios de avaliar o desempenho de
um manipulador robótico serão estabelecidos. Diferente de máquinas com apenas um
grau de liberdade, robôs não são desenvolvidos para realizar apenas uma atividade,
mas para desenvolver uma variada gama de tarefas. Portanto, é um desafio na fase de
projeto considerar as incertezas de todas as tarefas que o manipulador irá executar.
3.1.1 Processos para o Desenvolvimento de um Manipulador
A partir da definição das premissas funcionais e das especificações de pro-
jeto, Angeles e Park (2008) apresentam algumas etapas a serem seguidas durante o
projeto de um manipulador robótico:
1. Determinar a estrutura cinemática do manipulador, que deve se considerar pri-
meiramente o tipo do robô: paralelo, serial ou híbrido. Em seguida, os tipos das
juntas devem ser definidas com base nas cadeias cinemáticas;
33
2. Estabelecer as dimensões geométricas dos elos, para assim definir a estrutura
do robô;
3. Dimensionar todas as juntas e elos, para satisfazer os requisitos de carga es-
tática, onde estão incluídos as forças e os momentos das prováveis operações
que poderão ser realizadas;
4. Dimensionar as juntas e elos, para satisfazer os requisitos de carga dinâmica,
considerando as cargas como efeitos de inércia e dos objetos a serem manipu-
lados;
5. Determinar o dimensionamento elastodinâmico de toda a estrutura mecânica, in-
cluindo a dinâmica do atuador, para evitar um espectro específico de frequências
de excitação nos regimes de operações mais prováveis;
6. Selecionar os atuadores e as transmissões mecânicas para as condições de
operação adotadas afim de lidar com a incerteza das tarefas a serem realizadas.
3.1.2 Critérios de Desempenho
De acordo com Angeles e Park (2008), no projeto de um robô o espaço de
trabalho é uma consideração importante quando definirmos as características neces-
sárias do robô. Este é um problema fundamental no projeto clássico do mecanismo e
levanta a questão de como o projetista pode especificar essas características.
Junto ao problema da especificação do espaço de trabalho está o problema
da especificação de uma tarefa. No projeto de um mecanismo é comum, de acordo
com Angeles e Park (2008), especificar um conjunto de coordenadas no espaço e pro-
jetar um mecanismo que consegue atingir essas coordenadas. Ou também pode ser
definida, por exemplo, uma lista de coordenadas prioritárias que devem ser atingidas,
quando não for possível alcançar todas as coordenadas. Algumas considerações para
o dimensionamento de um manipulador, segundo Angeles e Park (2008), são:
34
1. Atingir exatamente algumas coordenadas pode não ser sempre possível ou de-
sejado, em alguns casos, é preferível utilizar uma abordagem ótima que permite
determinar as posições, que serão atingidas dentro de um erro mínimo;
2. A análise dos intervalos não permite somente um conjunto discreto das posições
desejadas, mas também um espaço de trabalho de seis dimensões a serem
atingidos, levando em consideração os erros de fabricação;
3. Um problema que ocorre em mecanismos de um grau de liberdade também pode
ocorrer no desenvolvimento de um robô: uma solução de projeto baseada em
pontos, pode atingir alguns pontos estabelecidos, mas nem todas podem ser
alcançadas com a mesma configuração;
4. Um robô pode ser projetado para alcançar, através do seu efetuador final, algu-
mas posições específicas estabelecidas, porém o propósito de um robô é exe-
cutar uma série de tarefas.
Existem muitos estudos, conforme Angeles e Park (2008), sobre a relação
entre a geometria cinemática do manipulador e seu espaço de trabalho. A maioria dos
estudos classificam o espaço de trabalho em dois componentes, o útil e hábil. Dado
um ponto de referência p anexado ao efetuador de um robô, o espaço de trabalho útil
é definido como o conjunto de pontos no espaço físico que podem ser alcançados por
p. O hábil, por outro lado, é o conjunto de pontos que podem ser alcançados por p
com orientações arbitrárias do efetuador final.
Segundo Angeles e Park (2008), é importante considerar que o volume de
espaço de trabalho de mecanismos espaciais não deve depender de uma referência
fixa, ou seja, não deve depender do ponto do braço onde o efetuador final é fixo.
Portanto, se o efetuador final for aumentado ou encolhido, então o robô apresentaria
o mesmo volume de espaço de trabalho. O volume de espaço de trabalho de um robô
depende, então, apenas dos eixos das juntas.
O desempenho elastodinâmico avalia em uma postura específica do robô os
modos e frequências naturais da estrutura do robô originados por elementos flexíveis
35
da estrutura. O modelo linearizado de um robô serial em uma posição dada por 𝜃0,
não considerando o amortecimento é:
MΔ𝜃 + KΔ𝜃 = Δ𝜏 (3.1)
Onde M representa a matriz de massa definida positiva (𝑛 x 𝑛). K é definido
como a matriz de rigidez (𝑛 x 𝑛) no espaço. ∆𝜃 representa o vetor do deslocamento
elástico das juntas. Esses deslocamentos são produzidos, quando as juntas estão
bloqueadas no valor 𝜃0 e tornando-se assim molas lineares ideais, o robô está sujeito a
uma perturbação ∆𝜏 que neste trabalho é o torque aplicado aos motores, a condições
iniciais não nulas, ou a uma combinação das duas.
Sob vibração livre, ou seja, sob um movimento do sistema causado por con-
dições iniciais diferentes de zero e uma excitação zero ∆𝜏 , a equação (3.1) pode ser
resolvida para ∆𝜃:
Δ𝜃 = −DΔ𝜃, D = M−1K (3.2)
em que a matriz D, é conhecida como a matriz dinâmica, que determina o compor-
tamento do sistema, como os autovalores {𝜆𝑖}𝑛1 , que representam as frequências na-
turais do sistema e os autovetores {𝜑𝑖}𝑛1 os vetores modais. Sob condições inicias
[∆𝜃(0),∆𝜃(0)]𝑇 , em que ∆𝜃(0) é proporcional ao enésimo autovetor de D e ∆𝜃(0) = 0,
onde o movimento resultante é da forma de ∆𝜃(𝑡) = ∆𝜃(0)𝑐𝑜𝑠𝜔𝑖𝑡. Alterando as variá-
veis, a equação (3.1) é alterada:
MJ−1Δx + KJ−1Δx = JTΔw (3.3)
Após multiplicar ambos os lados da equação (3.3) por J−1, é obtido o modelo
elastodinâmico nas coordenadas cartesianas:
J−TMJ−1Δx + J−TKJ−1Δx = Δw (3.4)
36
em que o primeiro coeficiente da matriz é a matriz de massa MC nas coordenadas
cartesianas, e o segundo é identificado como KC.
MC = J−TMJ−1 (3.5)
Então, o modelo elastodinâmico em coordenadas cartesianas assume a se-
guinte forma:
MCΔx + KCΔx = Δw (3.6)
3.2 MODELAGEM DO ROBÔ PARALELO
Uma representação esquemática do mecanismo do robô paralelo de dois
graus de liberdade apresenta-se na Figura 7. O mecanismo possui duas cadeias
cinemáticas idênticas. A sua vez, cada cadeia cinemática possui uma junta ativa ou
articulada, que está localizada no ponto 𝐴𝑖, e uma junta passiva ou livre, localizada
no ponto 𝐵𝑖 para 𝑖 = 1, 2, além de dois elos rígidos solidários com as respectivas jun-
tas. A flexibilidade é considerada na junta ativa, esta flexibilidade é modelada como
uma mola de torção elástica (𝑘𝑖) que acopla os rotores do motor com os elos. Neste
trabalho o mecanismo é considerado como simétrico, então o tamanho dos elos é de-
finido como 𝑟1, 𝑟2, respectivamente. O efetuador final é localizado no ponto p, onde
sua posição é definida mediante as coordenadas cartesianas (��𝑝, 𝑦𝑝). Um sistema de
referência fixo 𝑂 é definido entre 𝐴1 e 𝐴2, em relação a este sistema de referência é
definida a posição do efetuador final. A aceleração gravitacional atua perpendicular-
mente ao plano 𝑥𝑦 que o mesmo plano no qual o manipulador se movimenta.
O comprimento dos elos, conforme observado na Figura 7, é definido por 𝑟1, 𝑟2
e 𝑟3, respectivamente. O comprimento dos elos pode ser definido entre zero e infinito.
No entanto, os comprimentos dos elos são adimensionalizados com a finalidade de
realizar a análise e otimização. Então, a variável auxiliar 𝐷 é definida da seguinte
forma 𝐷 = (𝑟1 + 𝑟2 + 𝑟3)/3. Consequentemente, os três parâmetros adimensionais, 𝑟𝑖,
37
Figura 7 – Robô paralelo planar de dois graus de liberdade.Fonte – (LARA-MOLINA; KOROISHI; DUMUR, 2016)
para 𝑖 = 1, 2, 3, são definidos a seguir:
𝑟1 = 𝑟1/𝐷 𝑟2 = 𝑟2/𝐷 𝑟3 = 𝑟3/𝐷 (3.7)
Com 𝑟1 + 𝑟2 + 𝑟3 = 3.
Além disso, as coordenadas do efetuador final são também adimensionaliza-
das da seguinte forma: 𝑥𝑝 = 𝑥𝑝/𝐷 e 𝑦𝑝 = 𝑦𝑝/𝐷.
3.2.1 Modelo Cinemático
O modelo cinemático do robô é usado para resolver a relação de movimento
entre as entradas e saídas, como posição, velocidade e aceleração e também os
parâmetros da configuração geométrica dos atuadores ou juntas. Para o robô paralelo
de dois graus de liberdade, a modelagem cinemática será utilizada para encontrar a
relação entre os ângulos do atuador de entrada e a posição de saída do efetuador
final.
A posição do efetuador final em relação ao ponto de referência fixo 𝑂 é defi-
nida pelo vetor cartesiano p =
[𝑥𝑝 𝑦𝑝
]𝑇. Da mesma maneira, a posição dos pontos
𝐵𝑖 (para 𝑖 = 1, 2) com relação a sistema de referência fixo 𝑂 é definido pelo vetor
b1 =
[𝑟1 cos(𝜃𝑎1) − 𝑟3 𝑟1 sin(𝜃𝑎1)
]𝑇e b2 =
[𝑟1 cos(𝜃𝑎2) + 𝑟3 𝑟1 sin(𝜃𝑎2)
]𝑇, respectiva-
mente. 𝜃𝑎1 e 𝜃𝑎2 são os ângulos das juntas ativas. Portanto, a cinemática inversa é
38
resolvida com base na restrição cinemática: |b𝑖p| = 𝑟2, portanto:
(𝑥𝑝 − 𝑟1 cos(𝜃𝑎1) + 𝑟3)2 + (𝑦𝑝 − 𝑟1 sin(𝜃𝑎1))
2 = 𝑟22 (3.8)
(𝑥𝑝 − 𝑟1 cos(𝜃𝑎2) − 𝑟3)2 + (𝑦𝑝 − 𝑟1 sin(𝜃𝑎2))
2 = 𝑟22 (3.9)
3.2.1.1 Matriz Jacobiana
Para derivar a matriz Jacobiana do mecanismo, as equações (3.8) e (3.9)
são derivadas em relação ao tempo e escritas na forma matricial:
A��𝑎 = Bp (3.10)
onde p =
[��𝑝 ��𝑝
]𝑇, ��𝑎 =
[𝜃𝑎1 𝜃𝑎2
]𝑇e as matrizes 2×2 A e B, são definidas por:
A =
⎡⎢⎣𝑦𝑝𝑐𝑎1 − (𝑥𝑝 + 𝑟3)𝑠𝑎1 0
0 𝑦𝑝𝑐𝑎2 + (𝑟3 − 𝑥𝑝)𝑠𝑎2
⎤⎥⎦ (3.11)
B =
⎡⎢⎣𝑥𝑝 + 𝑟3 − 𝑟1𝑐𝑎1 𝑦𝑝 − 𝑟1𝑠𝑎1
𝑥𝑝 − 𝑟3 − 𝑟1𝑐𝑎2 𝑦𝑝 − 𝑟1𝑠𝑎2
⎤⎥⎦ (3.12)
com cos(𝜃𝑎𝑖) = 𝑐𝑎𝑖 e sin(𝜃𝑎𝑖) = 𝑠𝑎𝑖 para 𝑖 = 1, 2. Então, a matriz Jacobiana é definida
como:
J = A−1B (3.13)
3.2.1.2 Espaço de Trabalho
O espaço de trabalho útil é definido como a área que o efetuador final pode
alcançar, livre de singularidades. Adicionalmente, o Círculo Máximo Inscrito (𝑀𝐼𝐶)
é um índice útil para avaliar o tamanho do espaço de trabalho. O 𝑀𝐼𝐶 é inscrito no
espaço de trabalho útil e tangente aos limites que definem as singularidades dentro
do espaço de trabalho útil (LIU; WANG; PRITSCHOW, 2006c). O espaço de trabalho
Máximo Inscrito (𝑀𝐼𝑊 ) é definido como o espaço de trabalho limitado pelo 𝑀𝐼𝐶. O
39
𝑀𝐼𝐶 é definido mediante as equações apresentadas a seguir:
𝑥2 + (𝑦 − 𝑦𝑀𝐼𝐶)2 = 𝑟2𝑀𝐼𝐶 (3.14)
onde 𝑟𝑀𝐼𝐶 é o raio e (0, 𝑦𝑀𝐼𝐶) é o centro do 𝑀𝐼𝐶. Para os casos que 𝑟1 + 𝑟3 < 𝑟2, o
𝑀𝐼𝐶 é definido por:
𝑟𝑀𝐼𝐶 = (𝑟1 + 𝑟2 − |𝑟1 − 𝑟2|)/2
𝑦𝑀𝐼𝐶 =√
(𝑟1 + 𝑟2 + |𝑟1 − 𝑟2|)2/4 − 𝑟23 (3.15)
Para os casos em que 𝑟1 + 𝑟3 > 𝑟2, o raio e o centro do 𝑀𝐼𝐶 são definidos por:
𝑟𝑀𝐼𝐶 = |𝑦𝑀𝐼𝐶 | − 𝑦𝑐𝑜𝑙
𝑦𝑀𝐼𝐶 =(𝑟1 + 𝑟2 + 𝑦𝑐𝑜𝑙)
2 − 𝑟232(𝑟1 + 𝑟2 + 𝑦𝑐𝑜𝑙)
(3.16)
com 𝑦𝑐𝑜𝑙 =√𝑟21 − (𝑟2 − 𝑟3)2.
Além disso, o espaço de trabalho útil e o 𝑀𝐼𝑊 são obtidos considerando três
comprimentos diferentes dos elos como especificado a seguir:
∙ Para o caso (a), onde 𝑟1 = 1, 2, 𝑟2 = 1, 0, 𝑟3 = 0, 8, observar (Fig. 8(a));
∙ Para o caso (b), onde 𝑟1 = 1, 7, 𝑟2 = 0, 5, 𝑟3 = 0, 8, observar (Fig. 8(b));
∙ Para o caso (c), onde 𝑟1 = 0, 5, 𝑟2 = 1, 5, 𝑟3 = 1, 5, observar (Fig. 8(c)).
3.2.2 Modelo Dinâmico
A modelagem dinâmica aborda a relação entre as forças, os torques e o mo-
vimento do robô. O objetivo da análise dinâmica é construir um modelo matemático
para avaliar o desempenho dinâmico do mecanismo. É a base da concepção do sis-
tema robótico. Os resultados da simulação podem ser usados para encontrar as forças
necessárias, torques do atuador e para otimizar o algoritmo de controle.
Inicialmente, os parâmetros dinâmicos devem ser adimensionalizados. Con-
siderando a massa dos elos e a rigidez das juntas, definem-se as variáveis auxiliares
40
(a) (b)
(c)Figura 8 – Espaço de trabalho útil e 𝑀𝐼𝐶.Fonte – Autoria Própria.
𝑚𝑡 e 𝑘𝑡 assim: 𝑚𝑡 = (𝑚1𝑖 + 𝑚2𝑖)/2 e 𝑘𝑡 = (𝑘1 + 𝑘2)/2. Consequentemente, as massas
adimensionais dos elos e a rigidez das juntas adimensionais são definidas como:
𝑚1𝑖 = 𝑚1𝑖/𝑚𝑡 𝑚2𝑖 = 𝑚2𝑖/𝑚𝑡 𝑚1𝑖 + 𝑚2𝑖 = 2
𝑘1 = 𝑘1𝑖/𝑘𝑡 𝑘2 = 𝑘2𝑖/𝑘𝑡 𝑘1 + 𝑘2 = 2
O momento de inércia e o centro das massas dos elos são definidos como uma função
das massas adimensionais e comprimento dos elos, portanto: 𝑑1𝑖 = 𝑟1/2, 𝑑2𝑖 = 𝑟2/2,
𝐼𝑧1𝑖 =1
12𝑚1𝑟
21, 𝐼𝑧2𝑖 =
1
12𝑚2𝑟
22.
3.2.2.1 Dinâmica das Cadeias Cinemáticas
Primeiramente é considerada a dinâmica de somente uma cadeia cinemática.
Na Figura 9 é apresentada a cadeia cinemática com as juntas ativas flexíveis.
41
Figura 9 – Cadeia cinemática com flexibilidade na junta ativa.Fonte – (LARA-MOLINA; KOROISHI; DUMUR, 2016)
A equação dinâmica de cada cadeia cinemática é obtida através da formu-
lação de Lagrange baseado em Khalil e Dombre (2004) e pode ser vista com mais
detalhes no anexo A. Portanto, a equação dinâmica de cada uma das cadeias cine-
máticas é modelada pela equação a seguir:
𝜏 𝑖 − f𝑖 = M𝑖(𝜃𝑖)𝜃𝑖 + C𝑖(𝜃𝑖, ��𝑖)𝜃𝑖 + f𝑘𝑖 (3.17)
onde:
∙ 𝜃𝑚 =
[𝜃𝑚1 𝜃𝑚2
]𝑇é a posição angular dos motores antes da flexibilidade das
juntas ativas.
∙ M𝑖(𝜃𝑖) e C𝑖
(𝜃𝑖, ��𝑖
)são as matrizes de inércia e Coriolis, respectivamente.
∙ f𝑘𝑖 =
[𝑘𝑖(𝜃𝑎𝑖 − 𝜃𝑚𝑖) 0
]𝑇é o torque elástico das juntas ativas.
∙ 𝜏 𝑖 = (𝜏𝑎𝑖, 𝜏𝑝𝑖)𝑇 é o vetor do torque nas juntas ativas e passivas.
∙ f𝑖 = (𝑓𝑎𝑖, 𝑓𝑝𝑖)𝑇 é o vetor do atrito das juntas ativas e passivas.
∙ 𝜃𝑖 = (𝜃𝑎𝑖, 𝜃𝑝𝑖)𝑇 é o vetor das juntas.
∙ ��𝑖 = (𝜃𝑎𝑖, 𝜃𝑝𝑖)𝑇 é a aceleração das juntas.
42
O modelo dinâmico para as duas cadeias cinemáticas é formulado simulta-
neamente considerando o modelo das duas cadeias cinemáticas da equação (3.17),
assim:
M(𝜃)�� + C(𝜃, ��
)�� + f + f𝑘 = 𝜏 (3.18)
com:
∙ 𝜃 = (𝜃𝑇𝑎 ,𝜃
𝑇𝑝 )𝑇 , �� = (��
𝑇
𝑎 , ��𝑇
𝑝 )𝑇 , f = (f𝑇𝑎 , f𝑇𝑝 )𝑇 e 𝜏 = (𝜏 𝑇
𝑎 , 𝜏𝑇𝑝 )𝑇 .
∙ f𝑘 = (f𝑇𝑘𝑎, f𝑇𝑘𝑝)
𝑇 é o torque elástico nas juntas ativas e passivas, respectivamente.
∙ f𝑘𝑎 = (𝑘1(𝜃𝑎1 − 𝜃𝑚1), 𝑘2(𝜃𝑎2 − 𝜃𝑚2))𝑇 é o torque elástico nas juntas ativas.
∙ Considerando as juntas passivas: f𝑘𝑝 = (0, 0)𝑇 como não é considerada a flexibi-
lidade e nenhum torque é aplicado nas juntas passivas, então 𝜏 𝑝 = (0, 0)𝑇 .
∙ f𝑝 = (0, 0)𝑇 é o atrito nas juntas passivas.
∙ M(𝜃) and C(𝜃, ��
)são as matrizes de inércia e Coriolis das duas cadeias cine-
máticas.
3.2.2.2 Modelo Dinâmico Completo
Finalmente, o modelo dinâmico completo é obtido considerando o acopla-
mento das cadeias cinemáticas nas juntas passivas do ponto p. As restrições ci-
nemáticas do acoplamento são derivadas da matriz Jacobiana. Utilizando o princípio
de D’Alembert e o princípio do trabalho virtual (LE; KANG; SUH, 2013). Assim, os
torques das juntas ativas 𝜏 𝑎 e o torque das juntas 𝜏 satisfazem a relação:
𝜏 𝑎 = Ψ𝑇𝜏 (3.19)
onde Ψ = 𝜕𝜃/𝜕𝜃𝑎, que representa a matriz Jacobiana de todos as juntas em relação
às juntas ativas.
Portanto, a equação dinâmica total é representada como:
M𝑡��𝑎 + C𝑡��𝑎 + f𝑎 + K(𝜃𝑎 − 𝜃𝑚) = 𝜏 𝑎 (3.20)
43
onde M𝑡 = Ψ𝑇M(𝜃)Ψ e C𝑡 = Ψ𝑇M(𝜃)Ψ + Ψ𝑇C(𝜃, ��
)Ψ.
Como complemento à equação dinâmica total e com a finalidade de realizar a
análise dinâmica para o projeto ótimo, considera-se o caso no qual o robô encontra-se
em uma posição fixa, sem atrito nas juntas e não é aplicado um torque nas juntas
ativas, portanto a equação dinâmica assume as condições enumeradas a seguir: 𝑖)
��𝑎 = (0, 0)𝑇 , 𝑖𝑖) f𝑎 = (0, 0)𝑇 e, 𝑖𝑖𝑖) 𝜏 𝑎 = (0, 0)𝑇 . Então, a equação dinâmica (3.20) sob
estas condições é dada por:
M𝑡��𝑎 + C𝑡��𝑎 + f𝑎 + K(𝜃𝑎 − 𝜃𝑚) = 0 (3.21)
A equação dinâmica simplificada (3.21), pode ser representada nas coordena-
das cartesianas como apresentado previamente por (ANGELES; PARK, 2008), assim:
J−𝑇M𝑡J−1��𝑎 + J−𝑇KJ−1(𝜃𝑎 − 𝜃𝑚) = 0 (3.22)
3.3 OTIMIZAÇÃO
Uma das definições de otimização é encontrar a melhor solução para um pro-
blema em determinadas circunstâncias. No projeto, construção e manutenção de um
mecanismo ou máquina, cabe ao engenheiro tomar decisões para a resolução dos
problemas com o menor custo, esforço e obtendo o maior benefício possível. Na
otimização, o problema em questão é formalizado na forma matemática e a melhor
solução para o problema é encontrada usando algoritmos matemáticos. Papalambros
e Wilde (2000) definiram a otimização de projetos da seguinte forma:
1. Selecionar um conjunto de variáveis para descrever as alternativas de projeto;
2. A seleção de um objetivo, expresso em termos das variáveis de projeto, no qual
o objetivo é minimizar ou maximizar;
3. A determinação de um conjunto de restrições, expressas em termos de variáveis
de projeto, que devem ser satisfeitas para um projeto adequado;
44
4. A determinação de um conjunto de valores para as variáveis de projeto, que
minimizam ou maximizam o objetivo, enquanto satisfazem todas as restrições.
Na otimização de projetos, existem muitos algoritmos de otimização diferen-
tes. E podem ser divididos em métodos com e sem gradiente. Os métodos com gradi-
entes foram estudados e na literatura é possível encontrar muitas referências sobre o
assunto (CHAPRA; CANALE, 2008). No entanto, os métodos baseados em gradien-
tes são adequados para problemas com variáveis contínuas e funções diferenciáveis,
pois operam com gradientes das funções do problema. Portanto, no desenvolvimento
deste trabalho foram escolhidas as técnicas dos Algoritmos Genéticos e NSGA-II, pois
eles não necessitam do conhecimento do gradiente, estão menos sujeitos a resultados
ótimos locais e fornecem uma resposta relativamente rápida e barata ao projetista.
No desenvolvimento de um projeto ótimo, as variáveis do projeto devem ser
determinadas de acordo com as funções objetivos e restrições. Serão apresentadas
a seguir algumas definições que serão utilizadas neste trabalho para realizar o projeto
ótimo de um robô paralelo de dois graus de liberdade. Em seguida, serão apresenta-
das as técnicas de otimização para maximizar as funções objetivo definidas.
3.3.1 Definições de um Problema de Otimização
De acordo com a definição de Rao (2009), um problema de otimização pode
ser formulado matematicamente como:
Encontrar o 𝑋 =
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
𝑥1
𝑥2
...
𝑥𝑛
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦que minimiza ou maximiza 𝑓(𝑋).
Sujeito as seguintes restrições:
𝑔𝑗(𝑋) ≤ 0, 𝑗 = 1, 2, ...,𝑚
𝑙𝑗(𝑥) = 0, 𝑗 = 1, 2, ..., 𝑝(3.23)
45
Em que 𝑋 representa um vetor de dimensão 𝑛, que é chamado de vetor de
projeto. 𝑓(𝑋) é a função objetivo. E 𝑔𝑗(𝑋) e 𝑙𝑗(𝑥) são as restrições de inequalidade
e igualdade, respectivamente. O problema apresentado é chamado problema de oti-
mização com restrições. Alguns problemas podem não ter ou considerar restrições e
são chamados problemas de otimização sem restrições.
3.3.1.1 Vetor de Projeto
Em Rao (2009), é definido um sistema ou componente de engenharia por
um conjunto de quantidades, em que algumas são vistas como variáveis durante o
projeto. Normalmente, certas quantidades são definidas no início do projeto e são
chamadas de parâmetros preestabelecidos. As outras quantidades são definidas
como variáveis no processo de projeto e são chamadas variáveis de decisão ou pro-
jeto, 𝑥𝑖, 𝑖 = 1, 2, ..., 𝑛. As variáveis são representadas juntas pelo vetor de projeto
𝑋 = 𝑥1, 𝑥2, ..., 𝑥𝑛𝑇 .
3.3.1.2 Restrições de Projeto
Nos problemas reais de engenharia, as variáveis de projeto não são esco-
lhidas arbitrariamente. As restrições devem ser satisfeitas para produzir um projeto
aceitável, que são coletivamente chamadas restrições de projeto. As restrições repre-
sentam limitações sobre o comportamento ou o desempenho do sistema são deno-
minadas restrições de comportamentos ou funcionais. As restrições que representam
limitações físicas nas variáveis de projeto são conhecidas como restrições geométri-
cas.
46
3.3.1.3 Função Objetivo
Os procedimentos de um projeto ótimo convencional visa encontrar um re-
sultado aceitável ou adequado que satisfaça os requisitos do problema. Em geral,
haverá mais de um resultado aceitável, e o objetivo da otimização é escolher o melhor
dos muitos projetos aceitáveis disponíveis. Assim, um critério deve ser escolhido para
comparar os diferentes projetos aceitáveis alternativos e assim, selecionar o melhor. O
critério em relação ao qual o projeto é otimizado, quando expresso como uma função
das variáveis de projeto, é conhecido como função objetivo (RAO, 2009).
Um exemplo de função objetivo para minimização é o peso, em projetos estru-
turais aeronáuticos. Nos projetos estruturais de engenharia civil, o objetivo pode ser
adotado como a minimização do custo. Em sistemas mecânicos, a maximização da
eficiência mecânica pode ser utilizado como um objetivo no projeto. Podem haver ca-
sos em que a otimização em relação a um critério particular encontre resultados que
podem não ser satisfatórios em relação a outro critério. A seleção da função objetivo
pode ser uma das decisões mais importantes no projeto ótimo.
Em alguns casos, pode ser necessário satisfazer mais de um critério simulta-
neamente. Por exemplo, um par de engrenagens pode ter que ser projetado para um
peso mínimo e uma eficiência máxima ao transmitir uma potência especificada. Um
problema de otimização envolvendo múltiplas funções objetivas é conhecido como um
problema multiobjetivo. Com múltiplos objetivos, surge uma possibilidade de conflito,
e uma maneira simples de lidar com o problema é construir uma função objetiva global
como uma combinação linear das funções de múltiplos objetivos conflitantes.
3.3.2 Algoritmos Genéticos
Muitos problemas de projeto ótimos práticos são caracterizados por variáveis
discretas e contínuas e espaços de projeto descontínuos e não convexos. Se as téc-
nicas de programação não-linear padrão fossem usadas para este tipo de problema,
47
elas seriam ineficientes, computacionalmente caras e, na maioria dos casos, encon-
trariam um ótimo relativo o mais próximo do ponto de partida. Os algoritmos genéticos
(GAs) são bem adequados para resolver esses problemas e, na maioria dos casos,
eles podem encontrar a solução global otimizada com alta probabilidade. Os GAs fo-
ram propostos incialmente por Holland (1992) e é um algoritmo de busca heurística
baseado no mecanismo da seleção natural e na genética natural. GAs são utilizados
amplamente no campo da engenharia para a resolução de problemas ótimos, como
em (IGHOSE et al., 2017) e (AHMADI; AHMADI; FEIDT, 2016), por ser um método
robusto e com um bom desempenho.
Em geral, GAs apresentam algumas características essenciais, que o diferen-
ciam dos métodos tradicionais de otimização, conforme Rao (2009):
∙ Uma população de pontos (vetores de projeto experimentais) é usada para ini-
ciar o procedimento em vez de um único ponto. Se o número de variáveis de
projeto for 𝑛, geralmente o tamanho da população é tomado de 2𝑛 a 4𝑛. Uma
vez que vários pontos são usados como possíveis soluções, os GAs são menos
propensos a ficar presos em um ótimo local;
∙ Os GAs usam apenas os valores da função objetivo. As derivadas não são
usadas no procedimento de busca;
∙ Nos GAs as variáveis de projeto são representadas como vetores de variáveis
binárias, que correspondem aos cromossomos na genética natural. Assim, o
método de busca é naturalmente aplicável para resolver problemas de progra-
mação discretos e inteiros;
∙ Em todas as novas gerações, um novo conjunto de vetores são produzidos
usando a seleção de pais aleatórios e cruzamento da geração anterior do vetor
antigo. Embora aleatórios, os GAs não são técnicas simples de busca aleatória.
Eles exploram de forma eficiente as novas combinações com os conhecimentos
disponíveis para encontrar uma nova geração com melhor capacidade física ou
objetivo.
48
3.3.2.1 Operações
A solução de um problema de otimização por GAs começa com uma popula-
ção de cadeias aleatórias, que denotam a população de vários vetores de projeto. O
tamanho da população em GAs 𝑛 geralmente é definido pelo usuário. Cada vetor de
projeto é avaliado para encontrar seu valor de aptidão. A população é operada por três
processos, chamados de reprodução, cruzamento e mutação, para produzir uma nova
população. A nova população é ainda avaliada para encontrar os valores de aptidão e
testar a convergência do processo.
Um ciclo de reprodução, cruzamento e mutação e a avaliação dos valores de
aptidão é conhecida como uma geração do GAs. Se o critério de convergência não
for satisfeito, a população é operada iterativamente pelos três operadores e a nova
população resultante é avaliada quanto aos valores físicos. O procedimento é conti-
nuado através de várias gerações até que o critério de convergência seja satisfeito ou
o número máximo de gerações definidos pelo usuário seja alcançado e o processo
encerrado.
A reprodução é a primeira operação aplicada à população para selecionar
bons indivíduos da população para formar um grupo de acasalamento. O operador
de reprodução, também é chamado de operador de seleção, porque seleciona bons
indivíduos da população. O operador de reprodução é usado para escolher os indiví-
duos acima da média da população atual e inserir suas múltiplas cópias no acasala-
mento com base em um procedimento probabilístico. Em um operador de reprodução
comumente usados, um indivíduo é selecionado a partir do acasalamento com uma
probabilidade proporcional à sua aptidão física.
Após a reprodução, o operador de cruzamento é implementado. O objetivo
do cruzamento é criar novos indivíduos trocando informações entre os indivíduos do
acasalamento ou pais. Muitos operadores de cruzamento foram usados na literatura
de GAs. A maioria dos operadores de cruzamento, dois vetores de indivíduos são
selecionados aleatoriamente do acasalamento gerado pelo operador de reprodução e
49
alguns indivíduos são trocados entre os vetores. No processo comumente utilizado,
conhecido como operador de cruzamento de ponto único, um local de cruzamento é
selecionado aleatoriamente ao longo do comprimento do vetor, e os dígitos binários
situados no lado direito do cruzamento são trocados entre os dois vetores. Os dois ve-
tores selecionados para participação nos operadores de cruzamento são conhecidos
como pais e os vetores gerados pela operação de cruzamento são conhecidos como
filhos.
O cruzamento é o operador principal pelo qual novos vetores com melhores
valores de aptidão são criados para as novas gerações. O operador de mutação é
aplicado nos novos vetores com uma pequena probabilidade de mutação específica.
Existe também o operador de elitismo, que preserva as soluções encontradas
anteriormente. Isso significa que a melhor solução não irá desaparecer nas gerações
seguintes. Uma forma de implementar elitismo é copiar diretamente 𝑛% das soluções
da população atual à população seguinte. O restante das (100 − 𝑛)% soluções é ge-
rada usando os operadores genéticos usuais sobre a população atual. Desta forma,
as melhores soluções passam diretamente para população seguinte, além de parti-
cipar da criação do resto de soluções da população seguinte. Pesquisas mostram
que o elitismo pode acelerar significativamente o desempenho da GAs, o que também
pode ajudar a prevenir a perda de boas soluções, uma vez que elas são preservadas
(ZITZLER; DEB; THIELE, 2000).
3.3.2.2 Algoritmo
O procedimento computacional envolvido na maximização da função de apti-
dão 𝐹 (𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, ..., 𝑥𝑛) no algoritmo genético pode ser descrito pelos seguintes pas-
sos:
1. Escolher um comprimento do vetor adequado para representar as 𝑛 variáveis
de projeto do vetor de projeto 𝑋. Definir valores adequados para os seguintes
parâmetros: tamanho da população 𝑚, probabilidade de cruzamento 𝑝𝑐, proba-
50
bilidade de mutação 𝑝𝑚, valor permitido do desvio padrão dos valores físicos da
população 𝑠𝑓𝑚𝑎𝑥, para usar como critério de convergência e número máximo de
gerações 𝑖𝑚𝑎𝑥 para ser usado um segundo critério de convergência.
2. Gerar uma população aleatória de tamanho 𝑚, cada consistindo de uma sequên-
cia de comprimento 𝑙 = 𝑛𝑞. Avaliar os valores de aptidão 𝐹𝑖, 𝑖 = 1, 2, ...,𝑚, dos
vetores 𝑚.
3. Executar o processo de reprodução.
4. Executar a operação de cruzamento usando a probabilidade de cruzamento 𝑝𝑐.
5. Executar a operação de mutação usando a probabilidade de mutação 𝑝𝑚 para
encontrar a nova geração de cordas 𝑚.
6. Avaliar os valores de aptidão 𝐹𝑖, 𝑖 = 1, 2, ...𝑚, das 𝑚 cordas da nova população.
Encontrar o desvio padrão dos valores 𝑚 fitness.
7. Testar a convergência do algoritmo. Se 𝑠𝑓 ≥ 𝑠𝑓𝑚𝑎𝑥, o critério de convergência
é satisfeito e, portanto, o processo pode ser interrompido. Caso contrário, ir ao
para o passo 8.
8. Verificar o número máximo de gerações. Se 𝑖 ≤ 𝑖𝑚𝑎𝑥, os cálculos foram realiza-
dos para o número máximo permitido de gerações e, portanto, o processo deve
ser interrompido. Caso contrário, aumentar o contador como 𝑖 = 𝑖 + 1 e retornar
ao passo 3.
3.3.3 NSGA-II
O NSGA-II é um algoritmo para a otimização multiobjetivo com rápida con-
vergência que realiza um ordenamento elitista por não dominância, proposto por Deb
et al. (2002), para o qual, a solução consiste em um conjunto de soluções ótimas
denominadas fronteira de Pareto (DEB, 1999).
51
Inicialmente, é criada uma população aleatória de pais 𝑃0 que é ordenada por
não dominância. Cada solução recebe uma condição de classificação igual ao seu
nível de não dominância, em que 1 é o melhor nível, 2 é o próximo nível melhor, e
assim por diante. Em seguida, através das operações usuais de seleção, cruzamento
e mutação são usados para criar uma população filha 𝑄0 de tamanho 𝑁 . No conjunto
𝑅0 são acumuladas as duas populações.
Uma vez que o elitismo é introduzido, será comparada a população atual com
as melhores soluções não definidas encontradas previamente, o procedimento é dife-
rente após a geração inicial. Primeiramente, é combinado uma população 𝑅𝑡 = 𝑃𝑡∪𝑄𝑡.
Então a população 𝑅𝑡, de tamanho 2𝑁 , é ordenada por não dominância. Como todos
os membros da população anterior e atuais estão incluídos em 𝑅𝑡, o elitismo é ga-
rantido. Então, as soluções pertencentes ao melhor conjunto não dominado 𝐹1 são
as melhores soluções na população combinada e devem ser destacadas das outras
soluções. Se o tamanho de 𝐹1 for menor que 𝑁 , então, deve se escolher os mem-
bros do conjunto para 𝐹1 a nova população 𝑃𝑡+1. Os membros da população 𝑃𝑡+1
são escolhidos a partir da fronteiras não dominadas pela ordem de sua classificação.
Assim, as soluções do conjunto 𝐹2 são escolhidas na sequência, seguidas de solu-
ções do conjunto 𝐹3, e assim por diante. Esse procedimento é continuado até que
nenhum conjunto mais possa ser acomodado. Se o conjunto 𝐹𝑙 é o último conjunto
não dominado, nenhum outro conjunto pode ser acomodado.
Geralmente, a contagem de soluções em todos os conjuntos de 𝐹1 para 𝐹𝑙
seria maior que o tamanho da população. Para escolher exatamente os 𝑁 membros
da população, são classificadas as soluções da última fronteira utilizando um operador
de comparação e escolhidas as melhores soluções necessárias para preencher todos
os espaços da população. Finalmente, na população 𝑃𝑡+1 de tamanho 𝑁 é realizada a
seleção, cruzamento, e mutação para criar uma nova população 𝑄𝑡+1 de tamanho 𝑁 .
O processo do NSGA-II é mostrado na Figura 10.
Uma das principais vantagens do NSGA-II refere se ao modo de como são
mantidas a diversidade entre as soluções não dominadas. A complexidade computa-
52
Figura 10 – Estrutura do NSGA-II.Fonte – (LOBATO, 2008)
cional é obtida com a soma de três cenários, de acordo com Deb et al. (2002):
1. Na ordenação não-dominada é preciso comparar as 2𝑁 soluções com a 2𝑁 − 1
para cada um dos 𝑀 objetivos, 𝑂(𝑀(2𝑁)2);
2. A distância da multidão da pior situação, quando as soluções de 𝑅 estão em 𝐹1,
logo se faz necessário a ordenação para cada um dos objetivos, 𝑂(𝑀(2𝑁)𝑙𝑜𝑔(2𝑁));
3. Para transferir as soluções de 𝐹1 para 𝑃𝑡+1, são ordenados de acordo com o
operador, 𝑂(2𝑁𝑙𝑜𝑔(2𝑁)).
Logo a complexidade total do algoritmo NSGA-II é de ordem 𝑂(𝑀𝑁2).
3.3.3.1 Algoritmo
O funcionamento do algoritmo NSGA-II, segundo Konak, Coit e Smith (2006),
consiste em uma população pai 𝑃 , que gera uma população filha 𝑄, análogo aos
algoritmos genéticos, a seguir é apresentado o algoritmo:
1. Definir o contador das gerações 𝑡 = 0;
53
2. Gerar uma população aleatória 𝑃0 de tamanho 𝑁 ;
3. Para produzir uma população descendente 𝑄0, de tamanho 𝑁 , é aplicado a se-
leção, cruzamento e mutação no 𝑃0;
4. Se o critério de convergência 𝐶𝑟 é satisfeito, o algoritmo deve parar e exibir 𝑃𝑡;
5. Combinar populações dos pais 𝑃𝑡 e dos descendentes 𝑄𝑡, 𝑅𝑡 = 𝑃𝑡 ∪𝑄𝑡;
6. Realizar a ordenação não-dominada em 𝑅𝑡 e identificar as diferentes fronteiras:
𝐹1, 𝐹2, ..., 𝐹𝑘;
7. Enquanto 𝑖 = 1, ..., 𝑘, deve-se:
a) Calcular a distância da multidão das soluções de 𝐹𝑖;
b) Caso |𝑃𝑡+1|+ |𝐹𝑖| ≤ 𝑁 , a população deve receber as soluções das fronteiras
𝑃𝑡+1 = 𝑃𝑡+1 ∪ 𝐹𝑖, ou se |𝑃𝑡+1 + 𝐹𝑖| > 𝑁 , deve se incluir as soluções menos
dispersas da multidão (𝑁 − |𝑃𝑡+1) de 𝐹𝑖 em 𝑃𝑡+1;
8. Executar a seleção, cruzamento e mutação para gerar a nova população em 𝑃𝑡+1
para obter uma população descendente 𝑄𝑡+1 de tamanho 𝑁 ;
9. Incrementar o contador 𝑡 = 𝑡+ 1 e retornar ao passo 4, caso 𝑡 ≥ 𝑡𝑚𝑎𝑥 o algoritmo
deve ser encerrado.
3.3.4 Fronteira de Pareto
Na otimização multiobjetivo quando comparada com a otimização de um único
objetivo, não se obtém um único resultado, mas um conjunto de soluções ótimas. Este
conjunto de soluções ótimas denomina-se conjunto de soluções não-dominadas ou
fronteira de Pareto. A principal característica dos elementos da fronteira de Pareto é
que a melhora de um objetivo implica em uma degradação de outro no mínimo. Para
ilustrar o conceito do fronteira de Pareto, a representação adequada da otimização
multiobjetivo é:
54
min{𝑧1 = 𝑓1(𝑥), 𝑧2 = 𝑓2(𝑥), ..., 𝑧𝑞 = 𝑓𝑞(𝑥)}
sujeito a
𝑔𝑗(𝑥) ≤ 0 𝑗 = 1, 2, ...,𝑚 (3.24)
onde 𝑧 ∈ 𝑅𝑛 é um vetor com 𝑛 variáveis de decisão, 𝑓(𝑥) é a função objetivo e 𝑋
é o vetor das variáveis de projeto, 𝑔𝑗(𝑥) representa as restrições de inequalidade nas
variáveis de projeto. 𝑆 representa a área possível no espaço de decisão. 𝑍 caracteriza
a região possível no espaço do critério. Assim:
𝑆 = {𝑥 ∈ 𝑅𝑛 | 𝑔𝑗 ≤ 0, 𝑗 = 1, 2, ...,𝑚, 𝑥 ≥ 0} (3.25)
𝑍 = {𝑍 ∈ 𝑅𝑞 | 𝑧1 = 𝑓1(𝑥), 𝑧2 = 𝑓2(𝑥), ..., (3.26)
𝑧𝑞 = 𝑓𝑞(𝑥), 𝑥 ∈ 𝑆}
Dado 𝑧0 ∈ 𝑍, é uma solução de Pareto exclusiva se não houver outro ponto 𝑧 ∈ 𝑍 tal
que:
𝑧𝑘𝑧0𝑘 para 𝑘 ∈ {1, 2, ..., 𝑞} (3.27)
𝑧𝑙 ≥ 𝑧0𝑙 para todos 𝑙 = 𝑘
Uma representação típica dos conjuntos alcançáveis, para um problema com
duas funções objetivo é mostrada na Figura 11.
55
Figura 11 – Fronteira de Pareto para duas funções objetivo.Fonte – Autoria Própria.
Para exemplificar o uso da fronteira de Pareto, consideramos um projeto de
um eixo, em que duas funções objetivos consideradas são a minimização do peso e a
maximização da rigidez. Esses objetivos podem são inversamente proporcionais, pois
o peso diminuirá a rigidez e vice-versa. Portanto, em uma otimização multiobjetivo,
um ponto no espaço de projeto é um ponto ótimo de Pareto se não houver um ponto
viável que reduza um critério sem aumentar o valor de um ou mais dos outros critérios
(PAPALAMBROS; WILDE, 2000).
56
4 METODOLOGIA
Neste capítulo, a partir da modelagem cinemática e dinâmica apresentados
no capítulo anterior serão estabelecidos os critérios de desempenho do manipulador.
Para isto, o espaço de projeto que permite avaliar todas as combinações das variáveis
de projeto dentro das restrições estabelecidas será definido. Serão apresentados os
critérios de desempenho baseados no modelo cinemático e dinâmico. A seguir, o pro-
blema de otimização associado à metodologia de projeto será estabelecido para obter
os comprimentos dos elos. E por fim, o procedimento para determinar os parâmetros
estruturais e a análise dinâmica do manipulador será definido.
4.1 CRITÉRIOS DE DESEMPENHO
Nesta secção, os critérios de desempenho que serão considerados neste tra-
balho serão definidos. Para isto, os atlas de desempenho serão definidos graficamente
dentro do espaço de projeto para avaliar a relação do comprimento adimensional dos
elos em relação aos critérios de desempenho especificados. Os atlas de desempenho
são uma ferramenta importante durante o projeto ótimo de um robô, pois pode-se ana-
lisar visualmente a performance do robô para os critérios de desempenho, ajudando
consideravelmente na descoberta de um ponto ótimo global ou região ótima para um
critério e possíveis regiões de singularidades.
4.1.1 Espaço de Projeto
A definição do espaço de projeto é fundamental para avaliar os critérios de
desempenho. Assim, o espaço de projeto estabelece todas as combinações possíveis
dos comprimentos adimensionais dos elos.
O espaço de projeto é definido com base nos conceitos previamente apresen-
57
tadas por Liu, Wang e Pritschow (2006a). O comprimento adimensional dos elos é
descrito pela equação (3.7). Os comprimentos adimensionais dos elos devem ser
limitados para garantir a conformidade geométrica do robô, assim:
0 < 𝑟1, 𝑟2 < 3 e 0 ≤ 𝑟3 ≤ 1.5 (4.1)
O espaço de projeto é apresentado na Figura 12a considerando os limites
da equação (4.1) e sabendo que 𝑟1 + 𝑟2 + 𝑟3 = 3. Além disso, uma configuração
planar do espaço de trabalho é apresentada na Figura 12b, para isto as coordenadas
ortogonais 𝑠 e 𝑡, são definidas como:
𝑠 = 2𝑟1/√
3 + 𝑟3/√
3 e 𝑡 = 𝑟3 (4.2)
(a)
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
r1 = r2 + r3
r2 = r3 + r1
r1 = 0r2 = 0r2 = r1
r3 = r1 + r2
t
s
(b)Figura 12 – Espaço de projeto do mecanismo paralelo planar.Fonte – Autoria Própria.
Como apresentado na Figura 12b, o espaço de projeto pode ser dividido em
várias sub-regiões e essas sub-regiões são delimitada por linhas, onde 𝑟1, 𝑟2 e 𝑟3
devem assumir certos comprimentos. Observa-se que no limite esquerdo do espaço
de projeto 𝑟2 = 0, a direita 𝑟1 = 0 e adicionalmente 𝑟3 = 0 no limite inferior. As linhas
pontilhadas no interior do espaço de projeto demonstram a associação de valores
específicos que assumem os comprimentos dos elos.
58
4.1.2 Critério Baseado no Espaço de Trabalho
O atlas do raio do 𝑀𝐼𝐶, 𝑟𝑀𝐼𝐶 , é obtido com base nas formulações do espaço
de trabalho apresentadas previamente na seção 3.2.1.2. O atlas do 𝑀𝐼𝑊 indica como
o 𝑟𝑀𝐼𝐶 varia sobre o espaço de projeto. A Figura 13 mostra o atlas do 𝑟𝑀𝐼𝐶 .
Figura 13 – Atlas do raio do MIC, 𝑟𝑀𝐼𝐶 .Fonte – Autoria Própria.
O atlas indica que o 𝑟𝑀𝐼𝐶 apresenta uma descontinuidade na linha 𝑟2 = 𝑟1 +𝑟3
que divide o espaço de projeto em duas regiões, esta descontinuidade deve-se às
equações (3.15) e (3.16) utilizadas para determinar o raio e o centro do 𝑀𝐼𝐶. Além
disso, o 𝑟𝑀𝐼𝐶 atinge seu valor máximo para 𝑟3 = 0 e especificamente nas regiões
próximas 𝑟1 = 𝑟2, ou seja, para este conjunto de comprimentos dos elos, o tamanho
do espaço de trabalho útil do robô é maximizado. Também, é possível observar que o
tamanho do espaço de trabalho é pequeno nos limites do espaço de projeto, ou seja,
quando os elos assumem valores próximos de 𝑟1 = 0, 𝑟2 = 0.
4.1.3 Critério de Desempenho Elastodinâmico
O desempenho elastodinâmico consiste em avaliar os modos e as frequências
naturais da estrutura do robô que são originados pelos elementos flexíveis (LUCA;
BOOK, 2016). Para este trabalho em específico, as juntas ativas são consideradas
59
como flexíveis. Então, o desempenho elastodinâmico é baseado na equação (3.22),
assim:
M𝐶 ��𝑎 + K𝐶(𝜃𝑎 − 𝜃𝑚) = 0 (4.3)
Onde M𝐶 = J−𝑇M𝑡J−1 and K𝐶 = J−𝑇KJ−1.
O desempenho elastodinâmico depende da posição das juntas, porque as
matrizes de inércia total e Jacobiana são função das posições das juntas ativas, 𝜃𝑎,
como mostrado anteriormente na formulação do modelo. Os modos e as frequências
naturais são obtidos pela solução do problema do autovalores e autovetores associado
à equação de movimento apresentada na equação (4.3); portanto, (K𝐶 −𝜆2𝑇M𝐶)𝜃𝑎 =
0, permite calcular o conjunto de autovalores (𝜆𝑇 =
[𝜆1 . . . 𝜆𝑛
]) e o autovetores
(𝜑𝑇 =
[𝜑1 . . . 𝜑𝑛
]), respectivamente.
Na operação do robô é desejável que o mecanismo funcione abaixo da menor
frequência natural para evitar vibrações indesejáveis durante o movimento produzidas
pela ressonância. Baseado nesta condição, o desempenho elastodinâmico é avaliado
determinando o menor autovalor contido no 𝑀𝐼𝑊 , desse modo:
𝜆𝑒 = min𝑀𝐼𝑊
(𝜆𝑇 (𝑟1, 𝑟2, 𝑟3)) (4.4)
Então, um melhor desempenho elastodinâmico é obtido ao se maximizar o menor
autovalor 𝜆𝑒.
A Figura 14 apresenta o atlas do desempenho elastodinâmico, que foi ava-
liado utilizando a equação (4.4) como função do comprimento dos elos. No atlas é
possível observar que o desempenho elastodinâmico depende principalmente de 𝑠.
Pode-se notar também que o atlas do desempenho elastodinâmico apresenta uma
pequena dependência da variável 𝑡 = 𝑟3. Portanto, o desempenho elastodinâmico é
avaliado principalmente considerando o comprimento dos elos 𝑟1 e 𝑟2, porque estes
são diretamente proporcionais à matriz de inércia total M𝐶 (na equação (4.3)). Assim,
os elos com comprimento que obedecem a relação 𝑟1 ≤ 𝑟2 maximizam o desempenho
elastodinâmico. Esta região do atlas é localizada na fronteira esquerda do espaço de
projeto mostrado na Figura 14.
60
t
s
!e
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
0 5 10 15 20 25 30
Figura 14 – Atlas de desempenho elastodinâmico.Fonte – Autoria Própria.
4.2 DEFINIÇÃO DO PROBLEMA DA OTIMIZAÇÃO
Inicialmente, as funções objetivo são definidas como o tamanho do espaço de
trabalho e o critério elastodinâmico, apresentados anteriormente. Por outro lado, as
variáveis de projeto podem ser definidas com o vetor dos comprimentos adimensionais
dos elos 𝑥 =
[𝑟1 𝑟2 𝑟3
]𝑇. O problema de otimização associado ao procedimento de
projeto é apresentado nas equações (4.5) (4.6) e (4.7). Primeiramente, são otimizados
os critérios de desempenho separadamente através de uma otimização de um único
objetivo. Em seguida, os dois objetivos serão otimizados juntos, em uma otimização
multiobjetivo. A equação (4.5) consiste em determinar o comprimento dos elos para
maximizar o desempenho elastodinâmico:
max𝑥
{𝜆𝑒(𝑥)}
Sujeito a:3∑
𝑖=1
𝑥𝑖 = 3
0 < 𝑥1, 𝑥2 < 3
0 ≤ 𝑥3 ≤ 1.5 (4.5)
Logo, a equação (4.6) tem como objetivo otimizar o espaço de trabalho:
61
max𝑥
{𝑟𝑀𝐼𝑊 (𝑥)}
Sujeito a:3∑
𝑖=1
𝑥𝑖 = 3
0 < 𝑥1, 𝑥2 < 3
0 ≤ 𝑥3 ≤ 1.5 (4.6)
E por fim, é formulada a otimização dos dois critérios simultaneamente, afim
de se obter uma otimização multiobjetivo:
max𝑥
{𝜆𝑒(𝑥), 𝑟𝑀𝐼𝑊 (𝑥)}
Sujeito a:3∑
𝑖=1
𝑥𝑖 = 3
0 < 𝑥1, 𝑥2 < 3
0 ≤ 𝑥3 ≤ 1.5 (4.7)
As restrições nas variáveis de projeto derivam-se das restrições impostas nos
comprimentos dos elos, que foram apresentadas previamente na definição geométrica
do robô e no espaço de projeto. Este problema de otimização será solucionado medi-
ante a utilização dos Algoritmos Genéticos e dos Algoritmos Genéticos Multiobjetivo,
especificamente utilizando o algoritmo NSGA-II, ambos anteriormente apresentados.
4.3 DIMENSIONALIZAÇÃO DOS PARÂMETROS ESTRUTURAIS
Um dos objetivos principais do projeto ótimo é determinar os parâmetros es-
truturais do manipulador. Baseado nos resultados que serão obtidos através da otimi-
zação multiobjetivo serão determinados os comprimentos dos elos. Na última seção,
62
foram definidos o problema da otimização e também o espaço de projeto, entretanto
o comprimento dos elos para esses casos foram adimensionalizados. Com base nos
comprimentos adimensionais ótimos dos elos 𝑟1, 𝑟2 e 𝑟3, deve ser definido um fator
dimensional 𝐷, que será utilizado para encontrar os comprimentos dos elos, conforme
apresentado na equação (3.7). Assim:
𝑟1 = 𝐷𝑟1 𝑟2 = 𝐷𝑟2 𝑟3 = 𝐷𝑟3 (4.8)
Para qualquer combinação possível de comprimentos adimensionais existe
correspondentes dimensionais dentro do espaço de projeto (LIU; WANG; PRITSCHOW,
2006a). A relação entre o espaço de trabalho real 𝑊 e o espaço de trabalho adimen-
sional 𝑊𝑛 pode ser encontrada através da equação abaixo:
𝑊 = 𝐷2𝑊𝑛 (4.9)
Então, a partir do espaço de trabalho adimensional obtido do resultado da otimização
do comprimento dos elos e o espaço de trabalho real definido pelo projetista, é obtido
a o fator 𝐷. Com esse fator, são encontrados os comprimentos dimensionais dos elos
que serão utilizados no projeto do mecanismo por meio da equação (4.8).
Para exemplificar a dimensionalização dos comprimentos dos elos, é conside-
rado a configuração apresentada na Figura 8(b) em que os comprimentos adimensi-
onais correspondem a 𝑟1 = 1, 7, 𝑟2 = 0, 5 e 𝑟3 = 0, 8 e a um espaço de trabalho útil
adimensional de 0, 5696. A definição do espaço de trabalho real é estabelecida funda-
mentada pelas características do projeto, para esse caso foi definida arbitrariamente
como 𝑊 = 100𝑚𝑚2, resulta-se em um fator dimensional 𝐷 = 13, 25 e consequen-
temente por meio da equação (4.9) são obtidos os comprimentos 𝑟1 = 22, 52𝑚𝑚,
𝑟2 = 6, 62𝑚𝑚 e 𝑟3 = 10, 59𝑚𝑚.
4.4 ANÁLISE DINÂMICA
A análise dinâmica tem como objetivo avaliar o torque necessário nos motores
associados às juntas ativas para realizar uma determinada trajetória. Esta análise
63
servirá como ferramenta complementar para o projeto dos motores juntamente com
os comprimentos dos elos ótimos obtidos na metodologia de projeto apresentada.
Para este propósito, o conceito da dinâmica inversa é utilizado (CRAIG, 2005).
A dinâmica inversa permite calcular o torque nos motores para uma determinada tra-
jetória utilizando equação dinâmica do manipulador previamente apresentada na se-
ção 3.2. A Figura 15 apresenta o diagrama da simulação dinâmica baseada no modelo
dinâmico inverso.
Figura 15 – Análise dinâmica.Fonte – Autoria Própria.
A trajetória (𝜃(𝑡), 𝜃(𝑡), e 𝜃(𝑡),) utilizada na análise dinâmica define-se com mais
detalhes no anexo B.
64
5 RESULTADOS
As simulações foram realizadas através do software Matlab R○. Os resulta-
dos compõem-se de duas partes principais, as otimizações de um único objetivo e
multiobjetivo. Os parâmetros dinâmicos foram definidos de acordo com a formulação
apresentada na seção 3.2.2. Consequentemente, 𝑚1𝑖 = 1, 6 e 𝑚2𝑖 = 0, 4, isto implica
que a massa do primeiro elo será quatro vezes maior que a massa do segundo elo
da 𝑖 − 𝑒𝑠𝑖𝑚𝑎 cadeia cinemática, com 𝑖 = 1, 2. A rigidez das juntas ativas foram con-
sideradas como 𝑘1 = 1 e, 𝑘2 = 1, isto implica que a rigidez será a mesma para cada
junta.
Inicialmente, o procedimento de projeto ótimo foi solucionado separadamente
para maximizar o tamanho do espaço de trabalho e o desempenho elastodinâmico,
com a finalidade de verificar o comportamento de cada critério de desempenho na
otimização separadamente.
Em seguida, foi realizada a otimização multiobjetivo considerando a maximiza-
ção dos dois critérios de desempenho simultaneamente. Na otimização multiobjetivo
é obtido a fronteira de pareto, da qual, quatro soluções ótimas são selecionadas para
avaliar o desempenho robô paralelo.
5.1 MAXIMIZAÇÃO DO ESPAÇO DE TRABALHO
Nesta otimização, os comprimentos dos elos, 𝑟1, 𝑟2 e 𝑟3, são otimizados para
obter o maior espaço de trabalho como apresentado na equação (4.6). Os parâmetros
utilizados no GAs são apresentados na tabela 1.
O comportamento das variáveis de projeto (𝑟1, 𝑟2 e 𝑟3) ao longo das gerações
do GAs é mostrado na Figura 16. Observa-se que após 169 gerações os elos alcan-
çam seu valor ótimo. Adicionalmente, ao otimizar simultaneamente os três compri-
mentos dos elos, obtêm-se os resultados para o valor máximo do espaço de trabalho.
O GAs foi interrompido após 169 gerações.
65
Tabela 1 – Parâmetros do Algoritmo Genético
Parâmetros ValoresVariáveis de Projeto (𝑥𝑖) 3
Tamanho da População (N) 50Número Máximo de Gerações (𝑡𝑚𝑎𝑥) 300
Critério de Convergência (𝐶𝑟) 10−6
Tipo de Mutação Gaussiana
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180
Gerações
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
Valo
res d
as V
ariáveis
rMIW
r1
r2
r3
Figura 16 – Comprimentos dos elos durante a otimização do espaço de trabalho.Fonte – Autoria Própria.
Complementarmente, o comportamento do desempenho elastodinâmico foi
analisado durante a otimização do espaço de trabalho como apresenta a Figura 17.
Após 169 gerações o 𝑟𝑀𝐼𝑊 convergiu para o valor máximo de 1,500, e o critério elas-
todinâmico 𝜆𝑒 alcançou o valor de 0,452. Observa-se que a medida que o tamanho do
espaço de trabalho é maximizado, o critério de elastodinâmico é reduzido.
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180
Gerações
1.4
1.42
1.44
1.46
1.48
1.5
1.52
r MIW
0.45
0.46
0.47
0.48
0.49
0.5
0.51
0.52
0.53
0.54
λe
Evolução do λe na otimização do r
MIW
Figura 17 – Otimização do espaço de trabalho e desempenho elastodinâmico.Fonte – Autoria Própria.
66
5.2 MAXIMIZAÇÃO DA PERFORMANCE ELASTODINÂMICA
O desempenho elastodinâmico foi maximizado conforme é mostrado na equa-
ção (4.5). Este problema de otimização foi solucionado através do GAs, cujos parâ-
metros mostram-se na tabela 1.
A evolução dos comprimento dos elos durante a otimização do desempenho
elastodinâmico pode ser observada na Figura 18. Observa-se que após 300 gerações
os comprimentos dos elos alcançam seus valores ótimos, que maximizam o desem-
penho elastodinâmico.
0 50 100 150 200 250 300
Gerações
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
Va
lore
s d
as V
ariá
ve
is
λe
r1
r2
r3
Figura 18 – Comprimento dos elos durante a otimização do desempenhoelastodinâmico.
Fonte – Autoria Própria.
Adicionalmente, a Figura 19 demonstra a evolução do espaço de trabalho,
enquanto o desempenho elastodinâmico é otimizado. Os resultados mostram que a
otimização finaliza após 300 gerações, assim 𝜆𝑒 atingiu o valor máximo de 34,720 e
o 𝑟𝑀𝐼𝑊 convergiu a 0,019. Observa-se que a medida que o desempenho elastodi-
nâmico é maximizado, o tamanho de espaço de trabalho é minimizado. Este mesmo
comportamento também foi observado na otimização do espaço de trabalho. Portanto,
podemos concluir que ao maximizar um critério de desempenho o outro é reduzido.
67
0 50 100 150 200 250 300
Gerações
10
15
20
25
30
35
λe
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
r MIW
Evolução do rMIW
na otimização do λe
Figura 19 – Otimização do desempenho elastodinâmico e espaço de trabalho.Fonte – Autoria Própria.
Tabela 2 – Parâmetros utilizados no NSGA-II.
Parâmetros ValoresVariáveis de Projeto (𝑥𝑖) 3
Tamanho da População (𝑁 ) 100Número Máximo de Gerações (𝑡𝑚𝑎𝑥) 600
Critério de Convergência (𝐶𝑟) 10−4
Taxa de Cruzamento 0.8Fator de Redução 0.35Tipo de Mutação Adaptativa
5.3 OTIMIZAÇÃO MULTIOBJETIVO
Após a realização das otimizações de cada função objetivo separadamente,
é utilizado o algoritmo NSGA-II para realizar a otimização multiobjetivo e obter a fron-
teira de Pareto. Os parâmetros utilizados no algoritmo são apresentados na tabela 2
conforme a descrição do algoritmo na seção 3.3.3. A Figura 20 apresenta a fronteira
de Pareto no espaço de critério considerando o critério de desempenho elastodinâ-
mico, 𝜆𝑒, e o tamanho do espaço de trabalho que é proporcional a 𝑟𝑀𝐼𝑊 . Para avaliar
o conjunto de soluções ótimas da fronteira de Pareto foram selecionadas quatro solu-
ções representadas por 𝑓1, 𝑓2, 𝑓3 e 𝑓4. Os resultados confirmam o que foi obtido com
a otimização de cada um dos objetivos separadamente, que enquanto o tamanho do
espaço de trabalho é maximizado o critério de desempenho elastodinâmico é minimi-
zado e vice versa. Isto indica que há um compromisso entre o critério de desempenho
68
elastodinâmico e o espaço de trabalho, e pode-se dizer que a otimização dos critérios
de desempenho é inversamente proporcional entre eles.
0 0.5 1 1.5
rMIW
0
5
10
15
20
25
30
35
λe
Fronteira de Pareto
f1
f2
f3 f
4
Figura 20 – Fronteira de Pareto no espaço de critério.Fonte – Autoria Própria.
Em seguida, avaliou-se o fronteira de Pareto no espaço de projeto. A Figura
21 mostra as soluções ótimas dentro do espaço de projeto, assim cada ponto cor-
responde a uma definição dos comprimentos dos elos que otimiza o desempenho
elastodinâmico e o tamanho do espaço de trabalho. Na Figura 21, pode-se observar
que os pontos estão localizados principalmente no lado esquerdo do gráfico, conforme
a Figura 12b , assim, os comprimentos dos elos estão localizados sobre a linha na
qual 𝑟2 = 𝑟1 + 𝑟3. Isto indica que nas soluções ótimas obedecem a seguinte relação
𝑟2 > 𝑟1 e 𝑟2 > 𝑟3.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
s
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
t
Espaço de Projeto
x4
x3
x2
x1
Figura 21 – Fronteira de Pareto no espaço de projeto.Fonte – Autoria Própria.
69
A tabela 3 mostra o conjunto das soluções ótimas, 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, e 𝑥4 da fronteira
de Pareto e os correspondentes comprimentos dos elos 𝑟1, 𝑟2 e 𝑟3, adicionalmente
apresenta-se os valores correspondentes de 𝜆𝑒 e 𝑟𝑀𝐼𝑊 no espaço de projeto. Estas
soluções ótimas correspondem às soluções 𝑓1, 𝑓2, 𝑓3, e 𝑓4 definidas previamente na
Figura 20. Considerando os atlas do tamanho do espaço de trabalho e do critério
elastodinâmico das Figuras 13 e 14, observa-se que a fronteira de Pareto está locali-
zada entre o valor máximo do desempenho elastodinâmico 𝜆𝑒 à esquerda do espaço
de projeto e o valor máximo do espaço de trabalho 𝑟𝑀𝐼𝑊 que está localizado na parte
central e inferior do espaço de projeto.
Tabela 3 – Valores da função objetivo obtidos e as variáveis correspondentes.𝑟1 𝑟2 𝑟3 𝜆𝑒 𝑟𝑀𝐼𝑊
𝑓1 0.020 1.787 1.192 34.700 0.020𝑓2 0.397 1.499 1.102 1.944 0.627𝑓3 0.752 1.500 0.748 1.003 1.000𝑓4 1.483 1.516 0.000 0.532 1.483
A Figura 25 apresenta o mecanismo com o efetuador final posicionado as
coordenadas p = (0, 1.5)𝑇 , assim, é possível estabelecer uma comparação entre os
diferentes comprimentos dos elos ótimos correspondentes a 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3 e 𝑥4 nas Figuras
22a, 22b, 22c e 22d, respectivamente. Considerando 𝑥1 na Figura 22a, 𝑟1 é próximo
de zero e um valor de 𝑟3 em torno de 1. A medida que os resultados convergem para
o espaço de trabalho máximo e reduzem o desempenho elastodinâmico, o valor de 𝑟1
tende a aumentar e 𝑟3 diminuir como pode ser observado na Figura 22d.
A Figura 23 apresenta o desempenho elastodinâmico dentro do espaço de
trabalho considerando as soluções ótimas da fronteira de Pareto 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3 e 𝑥4. Con-
sequentemente, a solução 𝑥1 corresponde à solução ótima na qual 𝜆𝑒 é maximizado,
isto implica que está solução derivará em um alto desempenho elastodinâmico, no
entanto, o espaço de trabalho será pequeno devido ao baixo valor de 𝑟𝑀𝐼𝑊 obtido,
conforme visto na Figura 23a. Na Figura 23d é mostrado o resultado da solução
ótima 𝑥4, obtém-se um pobre desempenho elastodinâmico, no entanto, o espaço de
trabalho é maximizado. As soluções 𝑥2 e 𝑥3, observadas nas Figuras 23b e 23c, apre-
sentam um desempenho intermediário nos quais o tamanho do espaço de trabalho é
70
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5
0
0.5
1
1.5
(a)
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5
0
0.5
1
1.5
(b)
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5
0
0.5
1
1.5
(c)
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5
0
0.5
1
1.5
(d)Figura 22 – Representação dos manipuladores.Fonte – Autoria Própria.
aceitável e o desempenho elastodinâmico é relativamente baixo.
Na Figura 23a, a solução 𝑥1 apresenta um espaço de trabalho reduzido. Isto
indica que seria necessário a construção de elos extensos para que fosse viável a
aplicação do robô em um espaço de trabalho aceitável. A Figura 23d apresenta um
espaço de trabalho máximo, mas o desempenho elastodinâmico é insuficiente. Mesmo
assim, cabe ao projetista definir qual a prioridade na hora da elaboração do projeto.
A tabela 4 mostra as soluções adimensionais ótimas escolhidas a partir do
conjunto de soluções ótimas obtidas através da otimização multiobjetivo.
Tabela 4 – Comprimento adimensionais dos elos
Parâmetros Valores𝑟1 0.75𝑟2 1.5𝑟3 0.75
71
-2 0 2x
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3y
33.5
34
34.5
35
35.5
36
36.5
6
(a) (b)
(c) (d)Figura 23 – Desempenho elastodinâmico dentro do espaço de trabalho.Fonte – Autoria Própria.
5.4 PROJETO ESTRUTURAL
A partir da seleção dos comprimentos dos elos adimensionais obtidos através
da equação (4.5) apresentados na tabela 4, os resultados serão dimensionalizados
através da equação (4.8). Assim como foi exemplificado na seção 4.3, primeira-
mente calcula-se o espaço de trabalho útil adimensional, para esse caso 2, 8736, e
para ter um espaço útil de trabalho dimensional de 𝑊 = 40000𝑚𝑚2, o fator dimensi-
onal 𝐷 = 117, 98𝑚𝑚 encontrado através da equação 4.9, para evitar casas decimais,
será utilizado 𝐷 = 120𝑚𝑚 . Por meio da equação (4.8) o comprimentos dimensionais
dos elos 𝑟1 = 90𝑚𝑚, 𝑟2 = 180𝑚𝑚 e 𝑟3 = 90𝑚𝑚 são definidos.
E assim foi utilizado o software Autodesk Inventor R○ para a realização do mo-
delo 3D CAD (do inglês: Computer Aided Design), como pode ser visto na Figura 24.
72
Para evitar a colisão entre os elos, eles foram projetados para que mesmo que
estiverem apontando um para o outro no eixo 𝑥 não houvesse contato entre eles. Não
tornando necessária a construção das plataformas, onde os motores são presos em
níveis diferentes, como pode ser observado na Figura 24.
As juntas foram projetadas para que houvesse o menor atrito possível de
forma a não comprometer o movimento do efetuador final para realizar uma deter-
minado movimento.
Figura 24 – Modelo 3D CAD do robô paralelo de dois graus de liberdade.Fonte – Autoria Própria.
A Figura 25a apresenta uma vista lateral do protótipo onde é possível ver como
os motores estão acoplatos na plataforma através de parafusos, com as colunas do
suporte do motor parafusada na base inferior. Na Figura 25b pode-se observar a vista
frontal do projeto. A lista de peças, tal como a vista explodida do projeto com mais
detalhes encontra-se no Anexo C.
Com o auxílio do software Autodesk Inventor R○ foram obtidos os valores das
propriedades dos elos mostrados na tabela 5.
73
(a) (b)
Figura 25 – Vista frontal e lateral do robô.Fonte – Autoria Própria.
Tabela 5 – Propriedades gerais dos elos.
Elos Comprimento Massa Centro de Massa Momento de Inércia𝑟1 0,09 𝑚 0.019 𝐾𝑔 0.045 𝑚 1.236 × 10−5𝐾𝑔.𝑚2
𝑟2 0.018 𝑚 0.038 𝐾𝑔 0.090 𝑚 1.001 × 10−4𝐾𝑔.𝑚2
5.5 ESTUDO DINÂMICO
Utilizando os parâmetros dinâmicos apresentados na tabela 5, foi realizado
uma simulação para uma trajetória definida a fim de obter os resultados para obter o
torque necessário dos motores para o dimensionamento dos mesmos.
A trajetória é definida através de um polinômio de 5aordem, que foi definida
no Anexo B. A posição inicial na qual se encontram os atuadores é definida por 𝜃0, ou
seja, sem velocidade e aceleração (𝜃0 = 𝜃0 = 0), e depois da realização do movimento
o manipulador retorna a condição de repouso (𝜃𝑓 = 𝜃𝑓 = 0), com ∆ = 𝜃𝑓 − 𝜃0 = 3 𝑜
para o atuador 1 e ∆ = - 3𝑜 para o atuador 2 . O tempo definido para a realização
deste movimento foi de 1 segundo, na Figura 26 pode se observar o comportamento
dos atuadores na realização da trajetória proposta.
Na Figura 27, é mostrado o torque necessário dos atuadores na execução da
trajetória estabelecida durante 1 segundo .
Com base nos resultados obtidos através da análise dinâmica, foi possível
74
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
Tempo (s)
1.52
1.53
1.54
1.55
1.56
1.57
1.58
1.59
1.6
1.61
1.62
θPosição
(a)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
Tempo (s)
-0.1
-0.08
-0.06
-0.04
-0.02
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
θ /
s
Velocidade
(b)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
Tempo (s)
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
θ/s
2
Aceleração
(c)Figura 26 – Posição, velocidade e aceleração durante a trajetória.Fonte – Autoria Própria.
determinar os motores que serão utilizados no protótipo do manipulador paralelo. Na
tabela 6, pode-se observar a necessidade do projeto.
Tabela 6 – Premissas da escolha dos motores do projeto
Parâmetros ValoresTorque 0.1 N.m
Velocidade 0.1 rad/s
A partir das premissas encontradas através das simulações, foi possível definir
os motores, em que as principais características técnicas podem ser observada na
tabela 7. Estes motores permitiram ainda realizar movimentos ainda com velocidades
75
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
Tempo (s)
-0.15
-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
0.15
To
rqu
e (
N.m
)
Torque dos Atuadores
Atuador Cadeia 1
Atuador Cadeia 2
Figura 27 – Torques dos atuadores durante a execução da trajetória.Fonte – Autoria Própria.
e acelerações maiores.
Tabela 7 – Especificações do Motor DC.
Parâmetros ValoresTorque 0.77 N.m
Velocidade de Rotação (sem carga) 350 rpmCorrente (sem carga) 300 mATensão de Operação 12 V
Redutor 30:1Peso 260 g
Diâmetro do eixo 6mm
5.6 CONSTRUÇÃO DO PROTÓTIPO
Com base nos resultados apresentados na metodologia de projeto foi possível
a construção do protótipo do manipulador paralelo de dois graus de liberdade. Com
base no projeto e na lista de peças definidas no Anexo C. Primeiramente, uma cadeia
cinemática para a validação do projeto foi construída, verificação da fabricabilidade e
ajustes a ser considerados no projeto conforme pode ser visto na Figura 28. Para a
base inferior, o suporte e as colunas de apoio, foi utilizado alumínio 6351.
Na Figura 29a, pode ser observado o modelo 3D CAD das juntas passivas. A
76
Figura 28 – Primeira cadeia cinemática construída.Fonte – Autoria Própria.
Figura 29b apresenta as juntas fabricadas em aço 1045.
(a) (b)Figura 29 – Projeto e juntas fabricadas.Fonte – Autoria Própria.
Por fim, as duas cadeias cinemáticas foram fabricadas e montadas juntamente
com as juntas, os elos, motores e todas as peças do manipulador, conforme pode ser
visto na Figura 30.
77
(a) (b)Figura 30 – Montagem completa do manipulador.Fonte – Autoria Própria.
78
6 CONCLUSÕES
Este trabalho definiu um procedimento alternativo para a elaboração do pro-
jeto ótimo de um manipulador paralelo de dois graus de liberdade. Para isto, uma
metodologia para a otimização de critérios de desempenho estabelecidos foi apre-
sentada. A metodologia do projeto ótimo permite realizar o projeto de um paralelo
com juntas flexíveis baseado em critérios elastodinâmicos e tamanho do espaço de
trabalho.
As técnicas de otimização utilizadas, baseadas em algoritmos genéticos mul-
tiobjetivos, demonstraram ser apropriadas para resolver o problema de otimização as-
sociado ao projeto do manipulador. Os resultados permitiram avaliar os comprimentos
dos elos adimensionais com base em uma análise comparativa do conjunto de solu-
ções e o seu respectivo desempenho ótimo. Baseado nesses resultados foi possível
estabelecer o projeto 3D CAD completo e assim realizar análise dinâmica para defini-
ção dos torques necessários para executar trajetórias estabelecidas e com isso definir
os motores que foram utilizados na construção deste manipulador. Por fim, a constru-
ção do protótipo do robô foi realizada, sustentado por todos resultados obtidos através
deste trabalho.
Este trabalho contribui não somente para o projeto do manipulador paralelo
em particular, mas, permitiu definir um procedimento para o projeto de robôs com ele-
mentos flexíveis em geral. Para isto, devem ser adaptados os critérios de desempenho
conforme a particularidade da dinâmica e espaço de trabalho de cada manipulador.
6.1 TRABALHOS FUTUROS
Dentre as perspectivas futuras deste trabalho podemos considerar o aperfei-
çoamento do projeto 3D CAD, com o desenvolvimento das juntas passivas do mani-
pulador, para garantir maior precisão dos movimentos. E também o desenvolvimento
de um novo efetuador final para realização de uma tarefa.
79
Adicionalmente, o projeto e otimização do sistema de controle de posição para
que o manipulador possa realizar uma tarefa estabelecida, como uma operação pick
and place para manipulação de objetos.
80
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Anexos
85
ANEXO A – MODELAGEM DINÂMICA DETALHADA
Como apresentado na seção 3.2 o robô paralelo, como também pode ser ob-
servado na figura 7, atua sobre o plano horizontal 𝑥− 𝑦.
Onde, 𝜃𝑎 = (𝜃𝑎1, 𝜃𝑎2)𝑇 e 𝜃𝑝 = (𝜃𝑝1, 𝜃𝑝2)
𝑇 são os vetores dos ângulos das jun-
tas ativas e passivas, respectivamente;𝐸(𝑥, 𝑦) é o efetuador; 𝑙11,𝑙12,𝑙21,𝑙22 e 𝑙0, são os
comprimentos dos elos. Esse mecanismo também é conhecido como mecanismo de
5 barras, devido aos número de elos que o compõem.
A realimentação do mecanismo é fechada e considerando que esta realimen-
tação é virtualmente seccionada formando uma cadeia cinemática aberta, com duas
cadeias seriais independentes, como a cadeia cinemática serial mostrada na figura
9. Assim, é assumido que nesta cadeia aberta todos as juntas passivas são atua-
das por atuadores virtuais. Então os movimentos de sua cadeia cinemática equivalem
aos mesmos movimentos da cadeia fechada original. O modelo dinâmico da cada
seccionada serial pode ser obtida através da equação de Lagrange.
𝑑
𝑑𝑡
(𝜕𝐿𝑖
𝜕𝜃𝑖
)− 𝜕𝐿𝑖
𝜕𝜃𝑖= 𝜏𝑖 − 𝐹𝑖
𝑖 = 1, 2 (A.1)
Onde, 𝐿𝑖 é a função Lagrangeana;𝜃𝑖 = (𝜃𝑎𝑖, 𝜃𝑝𝑖)𝑇 é o vetor de juntas; 𝜏𝑖 = (𝜏𝑎𝑖, 𝜏𝑝𝑖)
𝑇 é o
vetor de torque das juntas; 𝐹𝑖 = (𝑓𝑎𝑖, 𝑓𝑝𝑖)𝑇 é o vetor de torque de atrito das juntas ativa
e passiva; e 𝑖-éssima a cadeia serial.
Como este mecanismo paralelo opera no plano horizontal, as funções Lagran-
geana contém apenas a energia cinética do mecanismo.
𝐿𝑖 =1
2𝑚𝑖1(��
2𝑖1 + ��2𝑖1) +
1
2𝐼𝑧𝑖1𝜃
2𝑎𝑖 +
1
2𝑚𝑖2(��
2𝑖2 + ��2𝑖2) +
1
2𝐼𝑧𝑖2𝜃
2𝑝𝑖 (A.2)
Onde, 𝑚𝑖1 e 𝑚𝑖2 são as massas dos elos da cadeia serial 𝑖; 𝐼𝑧𝑖1 e 𝐼𝑧𝑖2 são
tensores de inércia de elos de cadeia serial 𝑖 (𝑖 = 1, 2). Considerando que 𝑟𝑖1 e 𝑟𝑖2 são
as distâncias das juntas até o centro de massa de cada elo, temos que:
86
��𝑖1 = −𝑟𝑖1𝑠𝑒𝑛𝜃𝑎𝑖𝜃𝑎𝑖
��𝑖1 = 𝑟𝑖1𝑐𝑜𝑠𝜃𝑎𝑖𝜃𝑎𝑖
��𝑖2 = −𝑙𝑖1𝑠𝑒𝑛𝜃𝑎𝑖𝜃𝑎𝑖 − 𝑟𝑖2𝑠𝑒𝑛𝜃𝑝𝑖𝜃𝑝𝑖
��𝑖2 = −𝑙𝑖2𝑐𝑜𝑠𝜃𝑎𝑖𝜃𝑎𝑖 − 𝑟𝑖2𝑐𝑜𝑠𝜃𝑝𝑖𝜃𝑝𝑖
Por substituição na equação (A.2), a função Lagrangeana fica:
𝐿𝑖 =1
2[𝛼𝑖𝜃
2𝑎𝑖 + 2𝛽𝑖𝑐𝑜𝑠(𝜃𝑎𝑖 − 𝜃𝑝𝑖)𝜃𝑎𝑖𝜃𝑝𝑖 + 𝛿𝑖𝜃
2𝑝𝑖] (A.3)
Em que 𝛼𝑖 = 𝑚𝑖1𝑟2𝑖1 +𝐼𝑧𝑖1 +𝑚𝑖2𝑙
2𝑖1, 𝛽𝑖 = 𝑚𝑖2𝑙𝑖1𝑟𝑖2 e 𝛿𝑖 = 𝑚𝑖2𝑟
2𝑖2 +𝐼𝑧𝑖2 corresponde
aos parâmetros dinâmicos, com 𝑖 = (1, 2).
Substituindo a função de Lagrange dentro da equação de Lagrange, temos a
equação dinâmica de cada cadeia serial da estrutura árvore como:
𝑀𝑖(𝜃𝑖)𝜃𝑖 + 𝐶𝑖(𝜃𝑖, 𝜃𝑖)𝜃𝑖 + 𝐹𝑖 = 𝜏𝑖 (A.4)
Com 𝑖 = 1, 2. Onde 𝑀𝑖 ∈ ℜ2𝑥2 é a matriz de inércia e 𝐶𝑖 ∈ ℜ2𝑥2 é a matriz de força
Centrífuga e Coriolis, que são definidos como:
𝑀𝑖(𝜃𝑖) =
[𝛼𝑖 𝛽𝑖𝑐𝑎𝑝𝑖
𝛽𝑖𝑐𝑎𝑝𝑖 𝛿𝑖
]
𝐶𝑖(𝜃𝑖, 𝜃𝑖) =
[0 𝛽𝑖𝑠𝑎𝑝𝑖𝜃𝑖
−𝛽𝑖𝑠𝑎𝑝𝑖𝜃𝑖 0
]
Onde os símbolos 𝑐𝑎𝑝𝑖 e 𝑠𝑎𝑝𝑖 são, respectivamente, definidos como: 𝑐𝑜𝑠(𝜃𝑎𝑖 −
𝜃𝑝𝑖) e 𝑠𝑒𝑛(𝜃𝑎𝑖 − 𝜃𝑝𝑖), com 𝑖 = 1, 2.
Combinando os modelos dinâmicos de duas cadeias serial aberta, o modelo
dinâmico equivalente da estrutura do mecanismo é obtido como:
𝜏𝑡 = 𝑀𝑡𝜃 + 𝐶𝑡𝜃 + 𝐹𝑡 (A.5)
87
Em que, 𝜃 = (𝜃𝑎, 𝜃𝑝)𝑇 ∈ ℜ4 é o vetor dos ângulos das juntas; 𝜏 = (𝜏𝑎, 𝜏𝑝)
𝑇 ∈ ℜ4
é o vetor de juntas; 𝐹𝑡 = (𝐹𝑎, 𝐹𝑝)𝑇 ∈ ℜ4 é o vetor de torque de atrito equivalente do
sistema de cadeia aberto da estrutura árvore. 𝜏𝑎 = (𝜏𝑎1, 𝜏𝑎2)𝑇 e 𝜏𝑝 = (𝜏𝑝1,𝜏𝑝2)𝑇 = (0, 0)𝑇
são os vetores de entrada de torque das juntas ativas e juntas passiva respectiva-
mente. 𝜏𝑡 = 𝐹𝑎 = (𝑓𝑎1, 𝑓𝑎2)𝑇 e 𝐹𝑝 = (𝑓𝑝1, 𝑓𝑝2)𝑇 = (0, 0)𝑇 são vetores de força de atrito
das juntas ativas e passivas respectivamente. Assim, assumimos que os efeitos da
força de atrito sobre as juntas passivas são muito menores que sobre as juntas ativas.
Dessa forma para simplificar o modelo dinâmico, apenas os distúrbios nas juntas ati-
vas são considerados. A matriz de inércia 𝑀𝑡 ∈ ℜ4𝑥4 e a matriz de força Centrífuga e
Coriolis 𝐶𝑡 ∈ ℜ4𝑥4 da equação (A.5) são definidos por:
𝑀𝑡 =
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
𝛼1 0 𝛽𝑐𝑎𝑝1 0
0 𝛼2 0 𝛽2𝑐𝑎𝑝2
𝛽𝑐𝑎𝑝1 0 𝛿1 0
0 𝛽2𝑐𝑎𝑝2 0 𝛿2
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦(A.6)
𝐶𝑡 =
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
0 0 𝛽1𝑠𝑎𝑝1𝜃𝑝1 0
0 0 0 𝛽2𝑠𝑎𝑝2𝜃𝑝2
−𝛽1𝑠𝑎𝑝1𝜃𝑎1 0 0 0
0 −𝛽2𝑠𝑎𝑝2𝜃𝑎2 0 0
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦(A.7)
Em seguida, as restrições de realimentação são levadas em conta utilizando a
matriz Jacobiana. A partir do princípio de D’Alembert e o princípio do trabalho virtual,
os torques de juntas ativas 𝜏𝑎 e os torques generalizados 𝜏𝑡 satisfazem a equação que
segue:
𝜏𝑎 = Ψ𝑇 𝜏𝑡 (A.8)
Onde Ψ = 𝜕𝜃/𝜕𝜃𝑎 ∈ ℜ4𝑥2 é a matriz Jacobiana de todas as juntas com respeito
com as juntas ativas. Temos que Ψ = [𝐼, 𝐽 ]𝑇 onde 𝐼 ∈ ℜ2𝑥2 é a matriz identidade e
𝐽 = 𝜕𝜃𝑝/𝜕𝜃𝑎 ∈ ℜ2𝑥2 é calculada através das equações de restrições realimentada (LE;
88
KANG; SUH, 2013).
𝐽 =𝜕𝜃𝑝𝜕𝜃𝑎
= −[𝜕ℎ
𝜕𝜃𝑝
]−1 [𝜕ℎ
𝜕𝜃𝑎
](A.9)
ℎ =
⎡⎢⎣ℎ𝑥
ℎ𝑦
⎤⎥⎦ =
⎡⎢⎣𝑙11𝑐𝑎1 + 𝑙12𝑐𝑝1 − 𝑙0 − 𝑙21𝑐𝑎2 − 𝑙22𝑐𝑝2
𝑙11𝑠𝑎1 + 𝑙12𝑠𝑝1 − 𝑙21𝑠𝑎2 − 𝑙22𝑠𝑝2
⎤⎥⎦ (A.10)
Tomando as restrições da equação (A.8) dentro da estrutura árvore e multipli-
cando ambos os lados da equação (A.5) por Ψ𝑇 , nós obtemos:
Ψ𝑇 𝜏𝑡 = Ψ𝑇𝑀𝑡𝜃 + Ψ𝑇𝐶𝑡𝜃 + Ψ𝐹𝑡 (A.11)
Além disso temos a seguintes relações:
𝜃 =𝜕𝜃
𝜕𝜃𝑎𝜃𝑎 (A.12)
𝜃 = Ψ𝜃𝑎 + Ψ𝜃𝑎 (A.13)
Substituindo (A.5), (A.12) e (A.13) na equação (A.11), obtemos o modelo di-
nâmico do mecanismo paralelo planar de 2-gdl no espaço de juntas ativas:
𝜏𝑎 = ��𝑎𝜃𝑎 + 𝐶𝑎𝜃𝑎 + 𝐹𝑎 (A.14)
Onde ��𝑎 = Ψ𝑇𝑀𝑡Ψ ∈ ℜ2𝑥2 é a matriz de inércia e 𝐶𝑎 = Ψ𝑇𝑀𝑡Ψ + Ψ𝑇𝐶𝑡Ψ ∈
ℜ2𝑥2 é a matriz Centrífuga e Coriolis.
89
ANEXO B – TRAJETÓRIA PARA ANÁLISE DINÂMICA
A trajetória para este objetivo é especificada mediante interpolação polinomial.
A trajetória é definida para o espaço das juntas, é dizer para as juntas ativas. Para isto,
deve-se considerar uma posição inicial, 𝜃0, e final, 𝜃𝑓 , de cada uma das juntas ativas
e um tempo de percurso 𝑡𝑓 . É necessário definir uma função onde para o instante de
tempo 𝑡 = 0 corresponda a posição inicial e no instante de tempo 𝑡𝑓 a posição final.
Assim são obtidas duas restrições no valor da função procedente da determinação da
posição inicial e final.
𝜃(0) = 𝜃0
𝜃(𝑡𝑓 ) = 𝜃𝑓 (B.1)
São definidas duas restrições seguintes de modo que as velocidades inicial e final
sejam zero:
𝜃(0) = 𝜃0
𝜃(𝑡𝑓 ) = 𝜃𝑓 (B.2)
Um polinômio de no mínimo terceiro grau poderia satisfazer essas quatro restrições,
pois um polinômio cúbico apresenta quatro coeficientes. Entretanto como é importante
definir um conjunto de restrições para a aceleração, será utilizado um polinômio de
quinta ordem (CRAIG, 2005):
𝜃(𝑡) = 𝑎0 + 𝑎1𝑡 + 𝑎2𝑡2 + 𝑎3𝑡
3 + 𝑎4𝑡4𝑎5𝑡
5 (B.3)
90
sendo as restrições definidas como:
𝜃0 = 𝑎0
𝜃𝑓 = 𝑎0 + 𝑎1𝑡𝑓 + 𝑎2𝑡2𝑓 + 𝑎3𝑡
3𝑓 + 𝑎4𝑡
4𝑓 + 𝑎5𝑡
5𝑓
𝜃0 = 𝑎1
𝜃𝑓 = 𝑎1 + 2𝑎2𝑡𝑓 + 3𝑎3𝑡2𝑓 + 4𝑎4𝑡
3𝑓 + 5𝑎5𝑡
4𝑓
𝜃0 = 2𝑎2
𝜃𝑓 = 2𝑎2 + 6𝑎3𝑡𝑓 + 12𝑎4𝑡2𝑓 + 20𝑎5𝑡
3𝑓
(B.4)
essas restrições representam um conjunto linear de equações com 6 incógnitas e com
as seguintes soluções:
𝑎0 = 𝜃0
𝑎1 = 𝜃0
𝑎2 =𝜃
2
𝑎3 =20𝜃𝑓 − 20𝜃0 − (8𝜃𝑓 + 12𝜃0)𝑡𝑓 − (3𝜃0 − 𝜃𝑓 )𝑡2𝑓
2𝑡3𝑓
𝑎4 =30𝜃0 − 30𝜃𝑓 + (14𝜃𝑓 + 16𝜃0)𝑡𝑓 + (3𝜃0 − 2𝜃𝑓 )𝑡2𝑓
2𝑡4𝑓
𝑎5 =12𝜃𝑓 − 12𝜃0 − (6𝜃𝑓 + 6𝜃0)𝑡𝑓 − (𝜃0 − 𝜃𝑓 )𝑡2𝑓
2𝑡5𝑓(B.5)
91
ANEXO C – PROJETO E LISTA DE PEÇAS
LISTA DE PEÇAS
DESCRIÇÃONÚMERO DA PEÇA
QTDEITEM
Alumínio 6351Base Inferior 11
Alumínio 6351Colunas suporte82
Alumínio 6351Base Superior23
STEP AP203Motor24
Alumínio 6351Eixo25
Marca ZENRolamentos36
Aço InoxElo R127
Aço InoxElo R228
Aço 1045 Junta Inferior39
Aço 1045 Junta Superior310
Parafusos Allen de cabeça
métricos ISO
AS 1420 - 1973 - M4 x 8811
Parafusos Allen de cabeça
métricos ISO
AS 1420 - 1973 - M3 x 64012
Porcas sextavadas métricas
ISO, incluindo porcas finas,
porcas castelo
AS 1112 - M3 Tipo 51313
Porcas sextavadas métricas
ISO, incluindo porcas finas,
porcas castelo
AS 1112 - M3 Tipo 51414
1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
6
6
7
7
8
8
A A
B B
C C
D D
SHEET 1 OF 1
PROJETISTA
Victor Renan Bolzon
Página 89
TÍTULO
Manipulador Paralelo Planar de Dois Graus
de Liberdade
SIZE
D
SCALE
Universidade Tecnológica Federal do Paraná
REV
1