Projekt i Matematisk kommunikation:Projektförslag 2017

1 mars 2017

InledningProjekten utförs i grupper om fyra personer. Projektförslagen presenteras på föreläs-ningen onsdag den 1 mars kl 15-17 i MH:362D varpå man antecknar sig tilldet projekt man önskar på listar på Matematik LTHs anslagstavla. Den slutgiltigagruppindelningen sker på övningen måndagen den 20 mars 15–17 i MH:309A.Har man inte möjlighet att närvara vid dessa tillfällen bör man omedelbart ta kontaktmed mej.

I samband med gruppindelningen tilldelas varje grupp en handledare. Projek-tarbetet utförs under andra läsperioden vt 2017 och varje grupp skall kontakta sinhandledaren under första läsveckan.

Projekten ska presenteras skriftligt i rapporter, men också muntligt på ett semi-narium med obligatorisk närvaro torsdag den 18 maj i KC:C (preliminärt). Allai gruppen ska då aktivt delta i presentationen. Alla grupper ska också vid dettatillfälle opponera på en annan grupps arbete. För att det ska möjligt att läsa in enannan grupps arbete måste de skriftliga rapporterna vara färdiga senast måndagden 8 maj.

Efter presentationen sammanställs en slutlig version av rapporten där påpekan-den som framkommit i samband med presentationen åtgärdats. Denna slutversionmåste lämnas in till mej senast onsdag den 24 maj. Rapporterna kommer därefteratt sammanställas och tryckas i ett häfte.

1

Projektförslag 2016 Matematisk kommunikation för Π

HandledarkollegietSMS Sara Maad SasaneMVÖ Marcus Waltonen-ÖrnhagFW Frank WikströmMPS Mikael SundqvistTP Tomas PerssonVU Victor UfnarovskiMA Magnus AspenbergPP Pelle Pettersson

Projektförslag1. LLL - Lenstra-Lenstra-Lovász (Ny!)Talet 0.07692307692307693 är en god decimalapproximation ett rationellt tal, ochdet är inte så svårt att hitta det talet (1/13). Lite besvärligare är att hitta bra ra-tionella approximationer till 3.141592653589793, men det finns förhållandevis en-kla metoder för att hitta t.ex. 22/7, 355/113 eller 103993/33102. Ytterligare litesvårare är att identifiera 1.2152504370215301968 med (1+sqrt(7))/3. På 1980-talet upptäckes effektiva algoritmer för så kallad ?gitterbasreduktion?, som kananvändas för att lösa alla de ovanstående problemen, och många andra. Algo-ritmen ligger till exempel till grund för websidan ?Inverse Symbolic Calculator?( https://isc.carma.newcastle.edu.au ) där man kan knappa in ettdecimaltal och få olika förslag på vad det kan vara för ett tal. Testa till exempel attknappa in 23.14069263278. Projektet går ut på att förstå och implementera dennaalgoritm och att undersöka intressanta tillämpningar av den.Handledare: Frank Wikström (FW)Epost: frankw@maths.lth.se

2. The oscillating pendulum, the rotating gyroscope and fast computation ofelliptic integralsThe equations of motion of mechanical systems are ordinary differential equations,which cannot be solved exactly in most cases. But for some very particular, con-servative systems like the mathematical pendulum or a rotating unsymmetric gyro-scope one can express the solution of these equations by so-called elliptic functions(sn, cn, ...). They are related to elliptic integrals of the second kind

F (ϕ | k2) =

∫ ϕ

0

dθ√1− k2 sin2 θ

In this project we will experiment with extremely fast and easy-to-implement itera-

N. Chr. Overgaard

Projektförslag 2016 Matematisk kommunikation för Π

tions to compute these integrals. We will make numerical studies of these mechan-ical systems and demonstrate the solution graphically.Handledare: Claus Führer (CF)

3. Matematiska sagor (Favorit i repris!)Ofta är det svårt att presentera en intressant matematisk frågeställning på ett sättsom väcker åhörarens intresse. En möjlighet är att man väver in problemet i entrevlig historia som väcker nyfikenheten på hur ett problem ska lösas. Här ges detmöjlighet att kombinera den matematiska och språkliga begåvningen.Handledare: Viktor Ufnarovski (VU)Epost: ufn@maths.lth.se

4. Bertrands postulat (Ny!)

“Chebyshev said it and I say it again,there is always a prime between n and 2n.”

Året 1850 gav Tschebyscheff ett ganska komplicerat bevis för att det för varje heltaln > 1, finns ett primtal p sådant att n < p < 2n. Erdos fann 1932 ett enkelt bevisför denna sats, varom dikten ovan berättar.

Det är välkänt att det finns hur många primtal som helst, vilket bland annat följerav ovan nämnda sats. Den berömda primtalssatsen ger mer detaljerad information:Antalet primtal mellan 0 och n är ungefär

n

lnn.

Denna sats har visats många gånger, först av Hadamard och de la Vallée-Poussin.I detta projekt bekantar vi oss närmare med dessa och andra liknande satser.

Handledare: Tomas Persson (TP).Epost: tomasp@maths.lth.se

5. Automatisk detektion av smuts på en kameralins? (Ny!)Inom digitalkameraindustrin ställs man inför problemet att montera en sensor ochtillhörande lins. Ofta limmas dessa komponenter tillsammans för hållbarhetensskull, men detta medför vanligtvis att någon eller båda komponenterna måste skro-tas om något går fel. Ett fel skulle kunna vara att där kommer in damm eller annansmuts på sensorn som inte går att få bort efter limningsprocessen. Det är därför ön-skvärt att ha en automatiserad process som detekterar smuts innan komponenternalimmas samman, så att man kan avbryta och rengöra komponenterna.

En vanligt förekommande metod är att ta en bild på ett ljusbord med jämnbelysning och analysera bilden efter smuts. Idealt kommer smuts att vara mörkareän de vita områdena, men på grund av optiska fenomen såsom vignettering, gällerinte detta globalt i bilden.

N. Chr. Overgaard

Projektförslag 2016 Matematisk kommunikation för Π

Figure 1: Fläck!

I detta projekt får ni tillgång till bilder med och utan smuts tagna på ett ljusbordfrån en verklig produktionssajt. Er uppgift är att skapa ett script som kan urskilja desmutsiga bilderna från de rena. Projektet lämpar sig för de som är intresserade avprogrammering.Handledare: Marcus Valtonen Örnhag (MVÖ)Epost: marcus.valtonen ornhag@math.lth.se.

6. Några (geometriska) minimeringsproblem (Ny!)Vi studerar problem av typen "Låt A,B och C vara hörn i en triangel i planet.Bestäm punkten X så att summan av avstånden |X −A|+ |X −B|+ |X −C| blirså liten som möjligt". Problemet kan lösas med analys, men det kan även diskuterasgeometriskt och fysikaliskt (experiment kan utföras!). Vi diskuterar även problemetdå vi låter avstånden vara kvadrerade. Blir det lättare eller svårare att lösa prob-lemet? Hur blir det om vi har fler än tre punkter? Kan vi lösa motsvarande problemdå?Handledare: Mikael Persson Sundqvist (MPS)Epost: mickep@maths.lth.se

7. Eulers polyedersats och platoniska kroppar (Ny!)En polyeder där samtliga sidor består av regelbundna m-hörningar för ett visst mkallas en platonsk kropp. Man kan visa att det bara finns fem platonska kroppar:tetraeder, kub, oktaeder, dodekaeder och ikosaeder. Detta kan bevisas på ett förvå-nansvärt enkelt sätt med hjälp av något som kallas Eulers polyedersats. I detta pro-jekt skall vi beskriva Eulers polyedersats och hur den kan användas för att finna allaplatonska kroppar. Beroende på vad ni är intresserade av kan vi också knyta an tillmatematikhistoria (de platonska kropparna var kända redan av Euklides för 2300 årsedan), filosofi (i Platons filosofi var de olika elementen uppbyggda av olika platon-ska kroppar) eller konst (de platonska kropparna har inspirerat en mängd konstnärergenom historien).Handledare: Pelle Pettersson (PP)Epost: pelle@maths.lth.se

N. Chr. Overgaard

Projektförslag 2016 Matematisk kommunikation för Π

8. Banach–Tarskis paradoxLåt oss säga att du har en apelsin. Föreställ dig att du har en speciell kniv somlåter dig skära och dela upp apelsinskalet i mycket tunna bitar. Kan du skära uppapelsinskalet på ett sådant sätt att du får tillräckligt med skalmaterial för att byggaihop två nya apelsiner? Detta är en förenklad förklaring av vad Banach-Tarskisparadox handlar om.

Figure 2: Paradox?

Målet med detta projekt är att ge en matematisk beskrivning av Banach-Tarskisparadox (Banach-Tarskis sats).Handledare: Magnus Aspenberg (MA)Epost: magnus.aspenberg@math.lth.se

9. Rumtidsgeometrin och Einsteins speciella relativitetsteori (Ny!)Utforska Minkowskigeometri med hjälp av euklidisk geometri, förstå egentid

(proper time), och använd detta för att förklara några fenomen i relativitetsteori,t.ex. tidsdilation och tvillingparadoxen.Handledare: Sara Maad Sasane (SMS)Epost: sara.maad_sasane@math.lth.se

10. Klassisk geometri presenterad med komplexa tal (Ny!)Vi härledar klassiska geometriska satser med hjälp av beräkningar i komplexa talplanet.Handledare: Viktor Ufnarovski (VU)Epost: ufn@maths.lth.se

N. Chr. Overgaard