sistem integrat pentru acţionarea cu turaţie variabilă a unui motor ...
PROIECTAREA LOGICA (1)23 05.10.2016 BLPC FORME BOOLEENE Se spune că o variabilă este variabilă...
Transcript of PROIECTAREA LOGICA (1)23 05.10.2016 BLPC FORME BOOLEENE Se spune că o variabilă este variabilă...
05.10.2016 2016--2017 1
PROIECTAREA LOGICA(1)
Titular:Conf. dr. ing. IONESCU AUGUSTIN-
IULIAN
05.10.2016 PL12
CAPITOLUL 1
05.10.2016 PL13
ALGEBRA BOOLEANĂ
TEMATICĂ
Definirea algebrei booleene tip Harrison
Setul de teoreme aferent algebrei booleene tip Harrison
Forme booleene
05.10.2016 BLPC4
PREZENTARE GENERALĂAlgebra constituie o ramură a matematicii, derivată din aritmetică, ca o generalizare sau extensie a acesteia din urmă. Are ca domeniu studiul regulilor, operațiilor și relațiilor matematice, a conceptelor derivate din acestea, cum ar fi: polinoame, ecuații, structuri algebrice.
05.10.2016 BLPC5
Algebra booleană prezentată ȋn 1854 de catre George Boole ȋn lucrarea An Investigation of the Laws of Thought, este o variantă a algebrei elementare studiată ȋncă din gimnaziu. Diferențele apar ȋn ceea ce priveşte valorile manipulate, operațiiile acceptate şi setul de reguli (legi/axiome) respectate de aceste operații. Algebra booleana studiată ȋn continuare foloseşte ȋn locul numerelor din algebra elementară doar valorile de adevăr notate 0 şi 1 iar operațiile specifice sunt disjuncția, conjuncția respectiv complementarea. Alte algebre booleene folosesc ca valori mulțimi, şiruri de biți, valori logice (adevărat, fals) etc.
PREZENTARE GENERALĂOrice algebră booleana se defineşte în 3 etape:
a) Stabilirea unui set de noţiuni primitive. b) Stabilirea unui set de axiome definite peste primitivele introduse anterior. Setul de axiome trebuie să respecte cele 3 condiţii specifice şi anume:
simplitate; independenţă; consistenţă.
În funcţie de setul de axiome adoptat rezultă un anumit tip de algebră booleană. c) Stabilirea unui set de teoreme.
05.10.2016 BLPC6
DEFINIREA ALGEBREI BOOLEENESe numeşte algebră booleană un 5-tuplu
B= <E, ●, +, 0, 1> unde:
a) E – o mulţime finită nevidă care conţine cel puţin două elemente distincte;
b) ● - operaţia binară “CONJUNCŢIE” (produs logic) care respectă proprietatea de închidere pe E adică:
x,yE x●yE c) + - operaţia binară “DISJUNCŢIE” (suma
logică) care respectă proprietatea de închidere pe E adică:
x,yE x+yE d) 0,1- constante (0,1E);05.10.2016 7
DEFINIREA ALGEBREI BOOLEENE
e) a fost definită o relaţie de echivalenţă notată “ = ” care respectă cele trei proprietăţi ale unei relaţii de echivalenţă: reflexivitate x=x; simetrie x=y y=x; tranzitivitate x=y, y=z x=z;
f) este valabil principiul substituţiei adică dacă A=B înseamnă că oriunde putem utiliza pe A în locul lui B şi invers;
g) se acceptă notaţia cu paranteze; h) este valabil următorul set de 9 axiome:
05.10.2016 BLPC 8
DEFINIREA ALGEBREI BOOLEENE
A1) asociativitatea disjuncţiei:
x,y,zE x+(y+z)=(x+y)+z
A2) asociativitatea conjuncţiei:
x,y,zE x ⋅(y⋅z)=(x ⋅y)⋅z
A3) comutativitatea disjuncţiei:
x,yE x+y=y+x
A4) comutativitatea conjuncţiei:
x,yE x⋅y=y⋅x
05.10.2016 BLPC9
DEFINIREA ALGEBREI BOOLEENE
A8) distributivitatea conjuncţiei în raport cu disjuncţia
x,y,zE x⋅(y+z) =(x⋅y)+(x⋅z)
05.10.2016 BLPC 10
A7) distributivitatea disjuncţiei în raport cu conjuncţia
x,y,zE x+y⋅z = (x+y)⋅(x+z)
A6) existenţa elementului neutru unic pentru conjuncţie
! 1E x⋅1=1⋅x=x xE
A5) existenţa elementului neutru unic pentru disjuncţie
! 0E x+0=0+x=x xE
DEFINIREA ALGEBREI BOOLEENE
05.10.2016 BLPC 11
A9)existenţa elementului simetric
0xx·
1xxExx E
TEOREME
T1) idempotenţa disjuncţiei a+a = a
Justificare:
T2) idempotenţa conjuncţiei a⋅a = a
Justificare:
T3) agresivitatea lui 1 în raport cu disjuncţia a+1 = 1
Justificare:
T4) agresivitatea lui 0 în raport cu conjuncţia a⋅0 = 0
Justificare:
05.10.2016 BLPC 12
aaaaaaaaaaaaa 0)()(1)(
aaaaaaaaaaaaa 1)(0
11)()1(1)1(1 aaaaaaaaa
0)0(0000 aaaaaaaaa
TEOREME
05.10.2016 BLPC13
T5) prima teoremă de absorbţie
Justificare:
T6) a II-a teoremă de absorbţie
Justificare:
T7) unicitatea elementului simetric
Justificare: Demonstraţia se face prin reducere la absurd.
Presupunem că pentru astfel încât să fie simultan îndeplinite condiţiile din axioma A9:
Atunci:
abaa aabaaba 1)1(
ab)(aa abaabaaabaa )(
21 aaEa
0
1
1
1
aa
aa
0
1
2
2
aa
aa
1121121121221222 1)(0)(1 aaaaaaaaaaaaaaaaaaaa
TEOREME
BLPC 14
T8) Relaţia între constantele 0 şi 1:Justificare:
Din A5 rezultă a+0=a.Deoarece rezultă (1)Dar din (A9) avem şi (2) Din (1) şi (2)
Analog se demonstrează şi relaţia .
T9) Teorema de identitate: Dacă simultan atunci x=y. Justificare:
0110
Ea 000 100
10 01
yyx
yyx
yyx
yyx xxyxyxxyxy 1)1(
E0
TEOREME
15
T10) Teorema de complementare: Fie . Dacă simultan atunci şi
Justificare:
Rezultă imediat din (A9) şi unicitatea elementului simetric.
T11) Teorema de involuţie
Justificare:
Utilizând teorema T9 va trebui să se demonstreze că simultan
EyEx ,
0
1
yx
yxyx xy
x)x(
xxx
xxx
xxxxxxxxxxxxx )(1)()(0xxxxxxxxxxxxx 0)()()(1
TEOREME
05.10.2016 BLPC16
T12) Prima teoremă a lui De Morgan
Justificare:
Folosind teorema de complementare T10 rezultă că trebuie să fie verificate simultan relaţiile: (a) (b)
Pentru (a)
Pentru (b)
yxyx
1)()( yxyx0)()( yxyx
111)1()1(
))(())(()()()()(
xy
yyxyxxyyxxyxyxyx
00000)()(
)()()()(
xyyyxyxx
yyxxyxyxyxyxyx
TEOREME
05.10.2016 BLPC17
T13) a II-a teoremă a lui De Morgan yxyx Justificare:
Folosind teorema de complementare T10 rezultă că trebuie să fie verificate simultan relaţiile:
(1) (2)
Pentru (1)
Pentru (2)
0)()( yxyx
1)()( yxyx
00000
)()()()(
xy
yyxxxyyyxxyxyxyx
111)1()1())(())((
)()()()(
xyyyxyxx
yxyyxxyxyx
TEOREME
05.10.2016 BLPC18
T14) Generalizarea primei teoreme a lui De Morgan
Justificare:
Se utilizează metoda inducţiei.n=1 n=2
Presupunem propeietatea adevărată pentru n-1 adică: Pentru n
nx...xnx...x11
11 xx
2xx2xx11
1111 -nx...x-nx...x
nx-nx...xnx-nx...xnx-nx...x111111
TEOREME
05.10.2016 BLPC19
T15) Generalizarea celei de a II-a teoreme a lui De Morgan
Justificare analoagă precedentei.
T16)A III-a teoremă de absorbţie
Justificare:
T17) A IV-a teoremă de absorbţie
Justificare:
nx...xnx...x11
babaa
bab)(a1b)(a)a(abaa
bab)a(a
baba0baaab)a(a
TEOREME
20
T18) Generalizarea celei de a III-a teoreme de absorbţie: Justificare:
n=1 n=2
Presupunem relaţia adevărată pentru n-1:
Atunci:
n321n1n321321211a...aaaaa...aaa...aaaaaa
11aa
21211aaaaa
1-n3211-n1n321321211a...aaaaa...aaa...aaaaaa
n1n321n
nn321n321(
n1n321n321(
n1n321321211
aa...aaaaAA
a)a...aa(a)a...aaa
aa...aaa)a...aaa
aa...aaa...aaaaaa
TEOREME
05.10.2016 BLPC21
T19) Generalizarea celei de a IV-a teoreme de absorbţie: Justificare analoagă precedentei.
T20) A V-a teoremă de absorbţie (teorema de consens)
termen de consensJustificare:
n321n1n321321211a...aaa)aa...aaa(...)aaa()aa(a
cabacbcaba
caba1c)a(1b)(ab)(1c)a(c)(1b)(ab)c)a(c)a((c)b)(ab)((acbacbacaba
)a(acbcaba1cbcabacbcaba
TEOREME
05.10.2016 BLPC22
T21) A VI-a teoremă de absorbţie Justificare:
Unde
c)a(b)(ac)(bc)a(b)(a
c)a(b)(aBAb))(B(Bc))(A(Ab))c)a((c)a((c))b)((ab)((a
c)ba(c)b(ac)a(b)(a)aac)((bc)a(b)(a0)c(bc)a(b)(ac)(bc)a(b)(a
baA caB
2305.10.2016 BLPC
FORME BOOLEENE
Se spune că o variabilă este variabilă booleană dacă poate avea numai valorile 0 sau 1.
Se numeşte formă booleană sau expresie booleană o formulă în care apar numai variabile booleene şi operatorii disjuncţie, conjuncţie şi negaţie.
Exemplu: E(x1,x2,x3,x4)=(x1x2x4+x3)(x3+x2x4)
Se spune că o formă booleană este o formă normală dacă reprezentarea respectă anumite reguli (norme).
Exemplu: E(x1,x2,x3,x4)= x1x2x4+x3x4+x1x4
Se spune că o formă booleană normală este o formă canonică dacă în condițiile impuse reprezentarea este unică.
Exemplu: E(x1,x2,x3,x4)= x1x2x3x4+x1x2x3x4+x1x2x3x4
2405.10.2016 BLPC
FORME BOOLEENE
Orice produs logic format din variabilele unei forme booleene, se numeşte termen P.
Orice sumă logică formată din variabilele unei forme booleene, se numeşte termen S.
Orice termen P care conține toate variabilele formei booleene se numeşte mintermen.
Orice termen S care conține toate variabilele formei booleene se numeşte maxtermen.
Orice sumă logica de termeni P se numeşte formă normal disjunctivă (FND).
Orice sumă logica de mintermeni se numeşte formă canonică normal disjunctivă (FCND).
Orice produs logic de termeni S se numeşte formă normal conjunctivă (FNC).
Orice produs logic de maxtermeni se numeşte formă canonică normal conjunctivă (FCNC).
25
FORME BOOLEENE
05.10.2016 BLPC
Exemple:
termen P: x1x2x4 ; termen S: x1+x2+x4 ; FND: F(x1,x2,x3,x4) = x1x2x3+x2x3x4+x1x3x4 ; FNC: F(x1,x2,x3,x4) = (x1+x2+x3)(x2+x3+x4)(x1+x3+x4) ; FCND: F(x1,x2,x3,x4) = x1x2x3x4+x1x2x3x4+x1x2x3x4; FCNC: F(x1,x2,x3,x4) = (x1+x2+x3+x4)(x1+x2+x3+x4) (x1+x2+x3+x4) .
26
FORME BOOLEENE
Trecerea de la o FND la o FCND
P1) Pornind de la o FND, în fiecare termen P se introduc variabilele lipsă prin α+α.
P2) Folosind distributivitatea, se desfac parantezele. Fiecare termen obținut va conține toate variabilele, deci este un mintermen.
P3) Dintre mintermenii identici se reține unul singur. Forma obținută este o FCND.
Exemplu:
F(x,y,z)=xy+yz = xy(z+z) + (x+x)yz = xyz+ xyz+xyz+xyz = xyz+ xyz+xyz
05.10.2016 BLPC
27
FORME BOOLEENE
Trecerea de la o FNC la o FCNC
P1) Pornind de la o FNC, în fiecare termen S se introduc variabilele lipsă prin α·α .
P2) Folosind distributivitatea, se desfac parantezele. Fiecare termen obținut va conține toate variabilele, deci este un maxtermen.
P3) Dintre maxtermenii identici se reține unul singur. Forma obținută este o FCNC.
Exemplu:
F(x,y,z)=(x+y)·(y+z )=(x+y+z·z)·(xx+y+z) = (x+y+z)·(x+y+z)·(x+y+z)·(x+y+z) =
= (x+y+z)·(x+y+z)·(x+y+z)
05.10.2016 BLPC
28
FORME BOOLEENE
Forme echivalente
Fie A şi B două forme booleene depinzând de acelaşi set de variabile. Se spune că cele două forme sunt echivalente dacă putem obține o formă din cealaltă folosind transformări bazate numai pe axiomele şi teoremele algebrei booleene. Se notează A=B.
Practic, pentru demonstrarea echivalenței a două forme booleene există şi alte metode. O metodă frecvent utilizată se bazează pe unicitatea formelor canonice.
Două forme booleene sunt echivalente dacă pot fi aduse la aceeaşi FCND sau aceaşi FCNC.
Aplicarea acestei metode presupune parcurgerea următorilor paşi:
P1) Se aduce fiecare formă inițială la o FND sau FNC.P2) Se transformă FND în FCND sau FNC în FCNC aşa cum a fost arătat anterior.
29
FORME BOOLEENE
Exemplu: Să se verifice dacă următoarele două forme booleene sunt echivalente:
Se va utiliza metoda aducerii ambelor forme la forma canonică normal disjunctivă.
cbcabac)b,F(a, c)(b)a(c)b,G(a, a
cbacbacbacbacba
cbacbacbacbacbacba
cb)a(ac)b(ba)c(cbac)b,F(a,
cbacbacbacbacba
cbacbacbacbacbacba
cb)a(a)c(c)b(bacbacbc)b(1a
cbcabaacbbacaaac)b,G(a,
Rezultă că cele două forme booleene sunt echivalente.
Întrebări ?
05.10.2016 BLPC30