Progressões Aritméticas - Teoria
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8/3/2019 Progresses Aritmticas - Teoria
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2 Srie do Ensino Mdio
PROGRESSES ARITMTICAS
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2, 5, 8, 11, 14, ...
10, 6, 2, 2, 6, ...0, 3, 6, 9, 12, ... , 30, 33.
10, 10, 10, 10, ...
Cada uma das sequncias de nmeros acimapode ser considerada uma P.A., ou seja,uma Progresso Aritmtica. Sabe porqu?
100, 90, 80, 70, ... , 20, 10.
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A ideia de uma progresso sequncia,continuao que, a partir de umprimeiro elemento, siga-se uma srieordenada de outros elementos ligadosentre si por uma lei de formao.
5, 7, 9, 11 e13 formam
umasequncianumrica quevem a ser
uma P.A.
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Vamos ver a ideiagraficamente:
Pontos
representativos
de uma P.A.crescente
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Se no selembra defunes
crescentes edecrescentes,melhor fazer
uma reviso
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2, 5, 8, 11, 14, ...
10, 6, 2, 2, 6, ...
0, 3, 6, 9, 12, ... , 30, 33.
10, 10, 10, 10, ...
Voltando s sequncias numricas do incio,vemos que uma P.A. pode ser:
100, 90, 80, 70, ... , 20, 10.
Crescente e infinita
Decrescente e infinita
Crescente e finita
Decrescente efinita
Constante ou Estacionria
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Vamos agoraestabelecer umafrmula genrica para
determinarmos umaProgresso Aritmtica!
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Frmula do TermoGeral de uma P.A.
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2, 5, 8, 11, 14, ...
10, 6, 2, 2, 6, ...
0, 3, 6, 9, 12, ... , 30, 33.
10, 10, 10, 10, ...
Complementando nossos exemplos:
100, 90, 80, 70, ... , 20, 10.
Crescente e infinita
Decrescente e infinita
Crescente e finita
Decrescente efinita
Constante ou Estacionria
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fcil responder pergunta, Qual otrigsimo termo da sequncia 1, 2, 3, 4, 5,
6, ...?
1, 2, 3, 4, 5, 6, ....................................30
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Vamos utilizar a frmula do Termo Geral daP.A. para responder!
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Vamos utilizar a frmula do Termo Geral daP.A. para responder!
Resposta: O trigsimo termo da P.A. 89.
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Num outro exemplo, podemos determinarquantos termos h na P.A. finita 0, 3, 6, 9,12, ... , 30, 33 sem a necessidade de cont-
los.
Resposta: A P.A. possui 12 termos.
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EXERCCIOS
1) Em janeiro de certo ano, Joo estava
ganhando R$700,00 por ms. Seu patroprometeu aumentar seu salrio em R$40,00todos os meses. Quanto Joo estar ganhandoem dezembro do ano seguinte?Res
p.:Jooestar
recebendo
R$1.620,00.
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2) Todos os anos, uma fbrica aumenta aproduo, em uma quantidade constante. No5 ano de funcionamento, ela produziu 1.460peas, e no 8 ano, 1.940. Quantas peas elaproduziu no 1 ano de funcionamento?
Resp.:Afbrica
produziu820peas
no1ano.
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3) Um ciclista percorre 20 km na primeira hora;17 km na segunda hora, e assim por diante, emprogresso aritmtica. Quanto quilmetro
percorrer em 5 horas de treino? OPS! PODE TERRAZO
NEGATIVA?
A P.A. com razonegativa dita
DECRESCENTE, e exatamente a situao
apresentada na questo
Resp.:Ociclista
percorreu70km.
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VAMOSINVENTAR
UMA P.A.?
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Okay, mas... e se a gente comeasse pelomeio?
Como assim? P.A. tem meio?A nossa vai ter!
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Claro que, se a P.A. for infinita, no havermeio nem fim, mas podemos nos focar,por exemplo, nos 7 termos acima:
MUITO ABSTRATO...
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Tudo bem!Vamos ento pensar na P.A. de 7 termosabaixo:
SER QUEISSO
SEMPRE DCERTO?
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Vamos ver...Podemos voltar aos sete termos genricos:
LEGAL!
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Exemplos:
1) Dada a P.A. ( 2,x, 10,y, 18, 22,z), calcule
x,y ez.
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P.A. ( 2,x, 10,y, 18, 22,z) P.A. ( 2, 6, 10, 14,
18, 22, 26 )
OBSERVE!
D PRARESOLVER AQUESTO E
DEPOISVERIFICAR SE
ACERTOU!
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2) Determinexpara que a sequncia(3x 4 ;x+ 12 ; 9x 12 ) forme uma P.A.
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UM DESAFIO:
Seu Juca resolveu dar a seu filho Riquinho
uma mesada de R$300,00 por ms. Riquinho,que muito esperto, disse a seu pai que, emvez da mesada de R$300,00, gostaria dereceber um pouquinho a cada dia: R$1,00 no
primeiro dia de cada ms e, a cada dia,R$1,00 a mais que no dia anterior. Seu Jucaconcordou, mas, ao final do primeiro ms,logo percebeu que havia sado no prejuzo.
Calcule quanto, em um ms com 30 dias,Riquinho receber a mais do que receberiacom a mesada de R$300,00?
NO VALEESCREVER OS 30DIAS E SOMAR
MO!
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Vamos voltar forma genrica de uma P.A. paratentar chegar a alguma concluso referente soma de seus termos:
E f 9 t ?
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E se fossem 9 termos?
E se fossem ntermos?Mas, afinal, qual o valor dea ?
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ou
Podemos ento retornar ao problema da mesada
do Riquinho
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Agora s aplicar a frmula da soma:
Resposta: Como Riquinho receberia R$300,00,
passou a receber 465 300 , ou seja,R 165 00 a mais!
EXERCCI
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EXERCCIOS4) Um pai resolve depositar todos os mesesuma certa quantia na caderneta de poupana
de sua filha. Pretende comear com R$ 5,00 eaumentar R$ 5,00 por ms, ou seja, depositarR$ 10,00 no segundo ms, R$ 15,00 noterceiro ms e assim por diante. Aps efetuaro dcimo quinto depsito, qual a quantia totaldepositada por ele?
Resposta: O pai
depositou um total deR 600 00
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5) Num programa de condicionamento fsicouma pessoa comea correndo 300 metros numdia, 400 metros no dia seguinte, 500 metros no
prximo dia e assim por diante at o dcimodia. Qual o total de metros percorridos por essapessoa nos 10 dias?
Resposta: A pessoacorreu 7.500 metros
nos 10 dias.
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6) Numa progresso aritmtica crescente, osdois primeiros termos so as razes daequao x2 + 2x 8 =0.Sabendo que o nmero de termos dessa P.A. igual ao triplo da sua razo, qual a soma dostermos da P.A. ?
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4. Aplicar a frmula da soma dos termos deuma P.A.
Resposta: A soma dos
18 termos dessa P.A. 792.
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ISERJ - 2012Professora Telma Castro Silva