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Progressão Aritmética
Prof. Gustavo Adolfo Soares
CEFET - Centro Federal de Educação Tecnológica Celso Suckow da Fonseca
Prof. Gustavo Adolfo Soares Progressão Aritmética
Definição
Uma Progressão Aritmética (P.A.) é uma sequência de números (a1, a2, . . . , an, . . .)(n ∈ N) na qual a diferença entre cada termo an+1 e o seu antecessor an é constante.Essa diferença é chamada de razão e a representaremos por r.
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Ex.1:
Uma fábrica de automóveis produziu 400 veículos em Janeiro e aumenta mensalmentesua produção de 30 veículos. Quantos veículos produziu em Junho?
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Classificação
Uma progressão Aritmética pode ser classificada das seguintes formas:
P.A. é crescente ⇔ r > 0.P.A. é decrescente ⇔ r < 0.P.A. é estacionária ⇔ r = 0.
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Ex.2:
Diga qual(is) das sequências abaixo é (são) progressão(ões) aritmética(s) e, em casoafirmativo, classifique-a(s):
a) (2, 5, 8, 11, . . .)
b)(1
3,1
3,1
3,1
3, . . .
)c) (7, 3,−1,−5, . . .)d) (1, 1, 2, 3, 5, 8, . . .)
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Ex.2:
Diga qual(is) das sequências abaixo é (são) progressão(ões) aritmética(s) e, em casoafirmativo, classifique-a(s):
a) (2, 5, 8, 11, . . .)
b)(1
3,1
3,1
3,1
3, . . .
)
c) (7, 3,−1,−5, . . .)d) (1, 1, 2, 3, 5, 8, . . .)
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Ex.2:
Diga qual(is) das sequências abaixo é (são) progressão(ões) aritmética(s) e, em casoafirmativo, classifique-a(s):
a) (2, 5, 8, 11, . . .)
b)(1
3,1
3,1
3,1
3, . . .
)c) (7, 3,−1,−5, . . .)
d) (1, 1, 2, 3, 5, 8, . . .)
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Ex.2:
Diga qual(is) das sequências abaixo é (são) progressão(ões) aritmética(s) e, em casoafirmativo, classifique-a(s):
a) (2, 5, 8, 11, . . .)
b)(1
3,1
3,1
3,1
3, . . .
)c) (7, 3,−1,−5, . . .)d) (1, 1, 2, 3, 5, 8, . . .)
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Por que o nome da sequência é progressão ARITMÉTICA?
Consideremos uma progressão aritmética de três termos: a, b e c. Por definição,podemos afirmar que:
r = b− a = c− b
⇔ 2b = a+ c⇔ b =a+ c
2
Ou seja, dados três termos consecutivos quaisquer de uma progressão aritmética, otermo central é igual à média ARITMÉTICA dos outros dois.
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Por que o nome da sequência é progressão ARITMÉTICA?
Consideremos uma progressão aritmética de três termos: a, b e c. Por definição,podemos afirmar que:
r = b− a = c− b⇔ 2b = a+ c
⇔ b =a+ c
2
Ou seja, dados três termos consecutivos quaisquer de uma progressão aritmética, otermo central é igual à média ARITMÉTICA dos outros dois.
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Por que o nome da sequência é progressão ARITMÉTICA?
Consideremos uma progressão aritmética de três termos: a, b e c. Por definição,podemos afirmar que:
r = b− a = c− b⇔ 2b = a+ c⇔ b =a+ c
2
Ou seja, dados três termos consecutivos quaisquer de uma progressão aritmética, otermo central é igual à média ARITMÉTICA dos outros dois.
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Por que o nome da sequência é progressão ARITMÉTICA?
Consideremos uma progressão aritmética de três termos: a, b e c. Por definição,podemos afirmar que:
r = b− a = c− b⇔ 2b = a+ c⇔ b =a+ c
2
Ou seja, dados três termos consecutivos quaisquer de uma progressão aritmética, otermo central é igual à média ARITMÉTICA dos outros dois.
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Termo Geral
Por definição, temos que:
a2 − a1 = ra3 − a2 = ra4 − a3 = r..................an−1 − an−2 = ran − an−1 = r
⇒ an − a1 = (n− 1) · r ⇒ an = a1 + (n− 1) · r
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Termo Geral
Por definição, temos que:
a2 − a1 = ra3 − a2 = ra4 − a3 = r..................an−1 − an−2 = ran − an−1 = r
⇒ an − a1 = (n− 1) · r
⇒ an = a1 + (n− 1) · r
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Termo Geral
Por definição, temos que:
a2 − a1 = ra3 − a2 = ra4 − a3 = r..................an−1 − an−2 = ran − an−1 = r
⇒ an − a1 = (n− 1) · r ⇒ an = a1 + (n− 1) · r
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Ex.3:
O preço de um carro novo é R$ 15.000,00 e diminui de R$ 1.000,00 a cada ano de uso.Qual será o preço com 4 anos de uso?
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Obs.:
Em uma progressão aritmética, para avançar um termo basta, somar a razão; paraavançar dois termos, basta somar duas razões; e assim por diante. Logo, de ump−ésimo termo a um n−ésimo termo, basta somar (n− p) razões. Portanto,
an = ap + (n− p) · r
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Obs.:
Em uma progressão aritmética, para avançar um termo basta, somar a razão; paraavançar dois termos, basta somar duas razões; e assim por diante. Logo, de ump−ésimo termo a um n−ésimo termo, basta somar (n− p) razões. Portanto,
an = ap + (n− p) · r
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Ex.4:
Em uma progressão aritmética, o quinto termo vale 30 e o vigésimo termo vale 50.Quanto vale o oitavo termo dessa progressão?
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Ex.5:
Os lados de um triângulo retângulo formam uma progressão aritmética. Calcule-os,sabendo que o perímetro do triângulo é igual a 24 cm.
Obs.: Ao representar uma progressão aritmética com um número ímpar de termos, éconveniente nomear o termo central de x.
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Ex.5:
Os lados de um triângulo retângulo formam uma progressão aritmética. Calcule-os,sabendo que o perímetro do triângulo é igual a 24 cm.
Obs.: Ao representar uma progressão aritmética com um número ímpar de termos, éconveniente nomear o termo central de x.
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Ex.6:
Determine quatro números em progressão aritmética crescente, conhecendo sua soma 8e a soma de seus quadrados 36.
Obs.: Ao representar uma progressão aritmética com um número par de termos, éconveniente nomear os dois termos centrais de x− y e x+ y.
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Ex.6:
Determine quatro números em progressão aritmética crescente, conhecendo sua soma 8e a soma de seus quadrados 36.
Obs.: Ao representar uma progressão aritmética com um número par de termos, éconveniente nomear os dois termos centrais de x− y e x+ y.
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Caracterização de uma Progressão Aritmética
Do termo geral de uma progressão aritmética, temos que:
an = ap + (n− p) · r ⇒
⇒ an = ap + r · n− p · r ⇒⇒ an = r︸︷︷︸
A
·n+ ap − p · r︸ ︷︷ ︸B
⇒
⇒ an = An+B
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Caracterização de uma Progressão Aritmética
Do termo geral de uma progressão aritmética, temos que:
an = ap + (n− p) · r ⇒⇒ an = ap + r · n− p · r ⇒
⇒ an = r︸︷︷︸A
·n+ ap − p · r︸ ︷︷ ︸B
⇒
⇒ an = An+B
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Caracterização de uma Progressão Aritmética
Do termo geral de uma progressão aritmética, temos que:
an = ap + (n− p) · r ⇒⇒ an = ap + r · n− p · r ⇒⇒ an = r︸︷︷︸
A
·n+ ap − p · r︸ ︷︷ ︸B
⇒
⇒ an = An+B
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Caracterização de uma Progressão Aritmética
Do termo geral de uma progressão aritmética, temos que:
an = ap + (n− p) · r ⇒⇒ an = ap + r · n− p · r ⇒⇒ an = r︸︷︷︸
A
·n+ ap − p · r︸ ︷︷ ︸B
⇒
⇒ an = An+B
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Ex.7:
Qual o valor da soma dos inteiros de 1 até 100?
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Soma dos n primeiros termos
Generalizando...
Sn = a1 + a2 + a3 + . . .+ an−2 + an−1 + an ⇒
⇒ Sn = a1 + (a1 + r) + (a1 + 2r) + . . .+ (an − 2r) + (an − r) + an ⇒⇒ Sn = (a1 + an) + (a1 + an) + . . .+ (a1 + an)⇒
⇒ Sn = (a1 + an) ·n
2
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Soma dos n primeiros termos
Generalizando...
Sn = a1 + a2 + a3 + . . .+ an−2 + an−1 + an ⇒⇒ Sn = a1 + (a1 + r) + (a1 + 2r) + . . .+ (an − 2r) + (an − r) + an ⇒
⇒ Sn = (a1 + an) + (a1 + an) + . . .+ (a1 + an)⇒
⇒ Sn = (a1 + an) ·n
2
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Soma dos n primeiros termos
Generalizando...
Sn = a1 + a2 + a3 + . . .+ an−2 + an−1 + an ⇒⇒ Sn = a1 + (a1 + r) + (a1 + 2r) + . . .+ (an − 2r) + (an − r) + an ⇒⇒ Sn = (a1 + an) + (a1 + an) + . . .+ (a1 + an)⇒
⇒ Sn = (a1 + an) ·n
2
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Soma dos n primeiros termos
Generalizando...
Sn = a1 + a2 + a3 + . . .+ an−2 + an−1 + an ⇒⇒ Sn = a1 + (a1 + r) + (a1 + 2r) + . . .+ (an − 2r) + (an − r) + an ⇒⇒ Sn = (a1 + an) + (a1 + an) + . . .+ (a1 + an)⇒
⇒ Sn = (a1 + an) ·n
2
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Ex.8:
Qual é o valor da soma dos 20 primeiros termos da progressão aritmética (2, 6, 10, . . .)?
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Ex.9:
Calcule a soma dos n primeiros números ímpares.
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Caracterização da soma dos n primeiros termos de uma P.A.
Pela soma dos n primeiros termos de uma progressão aritmética, temos que:
Sn = (a1+an)·n
2
= [a1+a1+(n−1)·r]·n2= (2a1+rn−r)·
n
2=(r2
)︸︷︷︸A
·n2+[(2a1 − r)
2
]︸ ︷︷ ︸
B
·n
⇒ Sn = An2 +Bn
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Caracterização da soma dos n primeiros termos de uma P.A.
Pela soma dos n primeiros termos de uma progressão aritmética, temos que:
Sn = (a1+an)·n
2= [a1+a1+(n−1)·r]·n
2
= (2a1+rn−r)·n
2=(r2
)︸︷︷︸A
·n2+[(2a1 − r)
2
]︸ ︷︷ ︸
B
·n
⇒ Sn = An2 +Bn
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Caracterização da soma dos n primeiros termos de uma P.A.
Pela soma dos n primeiros termos de uma progressão aritmética, temos que:
Sn = (a1+an)·n
2= [a1+a1+(n−1)·r]·n
2= (2a1+rn−r)·
n
2
=(r2
)︸︷︷︸A
·n2+[(2a1 − r)
2
]︸ ︷︷ ︸
B
·n
⇒ Sn = An2 +Bn
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Caracterização da soma dos n primeiros termos de uma P.A.
Pela soma dos n primeiros termos de uma progressão aritmética, temos que:
Sn = (a1+an)·n
2= [a1+a1+(n−1)·r]·n
2= (2a1+rn−r)·
n
2=(r2
)︸︷︷︸A
·n2+[(2a1 − r)
2
]︸ ︷︷ ︸
B
·n
⇒ Sn = An2 +Bn
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Caracterização da soma dos n primeiros termos de uma P.A.
Pela soma dos n primeiros termos de uma progressão aritmética, temos que:
Sn = (a1+an)·n
2= [a1+a1+(n−1)·r]·n
2= (2a1+rn−r)·
n
2=(r2
)︸︷︷︸A
·n2+[(2a1 − r)
2
]︸ ︷︷ ︸
B
·n
⇒ Sn = An2 +Bn
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Ex.10:
A soma dos n primeiros termos de uma progressão aritmética é dada por
Sn = 4n2 − 6n, n ∈ N∗.
Determine o primeiro termo e a razão.
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Ex.11:
(AFA) Se a soma dos n primeiros termos de uma progressão aritmética é dada pelafórmula
Sn =3n2 + n
2,
então a soma do quarto com o sexto termo dessa progressão aritmética é
(A) 25 (B) 28 (C) 31 (D) 34
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Ex.12:
(ITA) Seja a1, a2, ... uma progressão aritmética infinita tal que
n∑k=1
a3k = n√2 + πn2,
para n ∈ N∗. Determine o primeiro termo e a razão dessa progressão.
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Progressão Aritmética de 2a ordem
Uma Progressão Aritmética de 2a ordem é uma sequência numérica na qual asdiferenças entre termos consecutivos constituem uma progressão aritmética crescenteou decrescente.
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Ex.13:
Qual é o número máximo de regiões em que n retas podem dividir o plano?
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Ex.14:
A sequência (an) = (6; 2; 0; 0; 2; 6; . . .) é uma progressão aritmética de segunda ordem.Quanto vale seu termo geral an?
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Ex.15:
(UENF) Observe a sequência numérica a seguir: (0, 3, 8, 15, 24, ...)Determine, em relação a essa sequência:
a) seu 6o termo;b) a expressão do termo de ordem n.
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Ex.16:
(MACKENZIE) Na sequência numérica (4, 7, a3, a4, a5, ...), sabe-se que as diferençasbn = an+1 − an, n ≥ 1, formam uma progressão aritmética de razão 2. Então, a15 éigual a:
(A) 172 (B) 186 (C) 200 (D) 214 (E) 228
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