Programa de Asignatura . Fundamentos de Matemática . Clave : MME - 312

-Maestría en matemática Educativa -ISFODOSU- Curso de Fundamentos de Matemática MME-312

Unidad II. Métodos de demostración.

Programa de Asignatura. Fundamentos de Matemática.Clave : MME - 312Prerrequisito. : Licenciatura o su

Equivalente.Número de Créditos : 3# Horas Semanales : 3Horas Teóricas : 3 Prácticas: 0Aula :Horario : Sábado de 8:00 AM a 4:00 PM.

-Maestría en matemática Educativa -ISFODOSU-

Curso de Fundamentos de Matemática MME-312 Unidad II. Métodos de demostración.

Introducción.Algunas frases para empezar.Se aprende haciendo;El esfuerzo y la dedicación

aseguran el conocimiento;Las matemáticas entran por las

manos;Presentación del Programa y

discusión de Reglas internas.



2.1 Identificar lo que se demuestra. Implicación o Equivalencia.

El tratamiento de teoremas y sus demostraciones , se puede estructurar en

tres etapas fundamentales:

Búsqueda del teorema; en esta etapa se pretende que el estudiante sea capaz de

encontrar una determinada suposición y formularla como proposición;

- Búsqueda de la demostración, como su nombre lo indica se pretende encontrar

los medios para la demostración, en particular en la demostración que se

desarrolla se pone al descubierto la cadena de inferencias que conducen de la

hipótesis a la tesis, a través de una serie de etapas intermedias;

- Representación de la demostración, pretendiendo aquí escribir correctamente

la cadena de inferencias lógicas en un esquema de demostración conveniente y

claro.



2.1 Identificar lo que se demuestra. Implicación o Equivalencia.

La proposición (o enunciado) que describe un teorema.Una implicación o una equivalencia matemática?El planteamiento antecedente-consecuente, (hipótesis-

tesis) qué implica?El planteamiento Equivalencia, qué implica?Estos planteamientos, qué consecuencias producen en el

proceso de la demostración de un teorema.



2.2 Fundamentos en el proceso de demostración.En el proceso a seguir al hacer cualquier demostración,

se debe tener acceso a: Un conjunto de axiomas.Un conjunto de definiciones.Un conjunto de reglas o criterios de deducción.Un conjunto de teoremas demostrados, que se

basan en los tres conjuntos anteriores.



2.3 Métodos de demostración.La demostración en matemática. Rigor vs. Didáctica.La demostración en matemática. Lo ideal: Elegancia + rigor +

didáctica.Métodos Deductivos. Directo e indirecto. Ver ejemplo de cada uno.Otros métodos de demostración.Por refutación:

- Por contradicción.

- Por contraejemplo. Por contrarecíproco.Por demostración de existencia. Inducción matemática.



Analizar algunos casos; 1) Método directo. Ejemplos. 1. “Demostrar que si x es impar, entonces x2 también lo es”. Demostración. Afirmación. Justificación.- (1) x es impar. . Por hipótesis.- (2) Existe algún u ЄZ tal que x = 2u + 1. . Por definición de imparidad.- (3) x2 = (2u + 1)2 . Por teoremas del Algebra.- = 4u2 + 4u + 1 . Cuadrado de un binomio.- = 2(2u2 + 2u) + 1. . Factorizando.- (4) Luego de donde, x2 es impar . Por definición de imparidad. ■



3. Asimilación de Teoremas y demostraciones. 1) Método directo (continuación). 2. “Demostrar que si u es real, entonces ( – 1) x u = – u”. Demostración. Afirmación. Justificación.- (1) 1+ (– 1) = 0. . Por def. de inverso aditivo.- (2) 1 x u + (–1) x u = 0 x u. . Por distribución.- (3) 0 x u = 0. . Por propiedad absorbente.- (4) 1 x u = u . Identidad multiplicativa.- (5) u + (–1) x u = 0. . Por (2), (3) y (4).- (6) u + (–u) = 0. . Por def. de inverso aditivo. - (7) u + (– 1) x u = u + (– u). . Por (5) t (6)- (8) (– 1) x u = – u. . Por uniformidad. ■



3. Asimilación de Teoremas y demostraciones. 1) Método directo (continuación).3. Demuestre que si a y b son números pares,

entonces a + b es número par. Demostración.

Suponga que a y b son números pares, (Hipótesis auxiliar) luego, a = 2n y b = 2m con n, m Є Z.

Entonces, a + b = 2n+ 2m =2(n + m); (n + m) ЄZ (enteros).

Por tanto, si n + m = k; a + b = 2k, es decir, a + b es un número par. ■



3. Asimilación de Teoremas y demostraciones.

2) Método Indirecto. Ejemplo. Tomemos un caso de Lógica Matemática. “Demostrar p & q, a partir de las premisas dadas ”. Demostración. Afirmación. Justificación.- (1) ~ r. . Premisa.- (2) s → r. . Premisa.- (3) ~ s → (p& q). . Premisa.- (4) ~ s. . Por el MT.- (5). p& q . Por el MP. ■



3. Asimilación de Teoremas y demostraciones. 3) Por reducción al absurdo. “Demostrar que √2 no es racional”.- Demostración. Se parte del hecho de que cualquier número racional puede ser escrito en la

forma x/y, donde y ≠ 0. Supongamos que √2 = p/q, donde p/q es

un racional simplificado a su mínima expresión.

Afirmación. Justificación.- (1) Puede escribirse que 2 = p2/q2 . Por uniformidad.- (2) También se tiene que p2 = 2q2. . Por uniformidad..

- (3) Es obvio que p2 es divisible por 2 y

por tanto, también p lo es. . Por teorema del Algebra.- (4) Se puede escribir p = 2r, con r ЄZ. Entonces,

4r2 = 2q2 o 2r2 = q2 y como q2 es divisible por 2, q también lo es. . Propiedades Aritméticas.

- Luego, tanto p como q tienen un factor común, lo que contradice la hipótesis. ■



3. Inducción matemática.Trabajar con el video del profe Alex.

Verlo en:http://profe-alexz.blogspot.com.

Ver demostraciones adicionales.

http://profe-alexz.blogspot.com/

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