prof.dr.sc. Sa sa Kre si c-Juri c -...

Algebarske strukture

prof.dr.sc. Sasa Kresic-Juric

PMF–Split

(PMF–Split) Algebarske strukture 1 / 14

Ostale algebarske strukture

1 Moduli

2 Asocijativne algebre

3 Liejeve algebre

4 Weylove algebre

5 Hopfove algebre

6 . . .

Ostale algebarske strukture

1 Moduli

2 Asocijativne algebre

3 Liejeve algebre

4 Weylove algebre

5 Hopfove algebre

6 . . .

Moduli

Definicija

Neka je R prsten, i neka je (M,+) abelova grupa. Kazemo da je M lijevi R-modul ako postoji

preslikavanje R ×M → M, (r ,m) 7→ rm, sa svojstvima

(i) r(m1 + m2) = rm1 + rm2,

(ii) (r1 + r2)m = r1m + r2m,

(iii) (r1r2)m = r1(r2m),

(iv) 1m = m ako je 1 ∈ R,

za sve r , r1, r2 ∈ R i m,m1,m2 ∈ M.

Slicno definiramo desni R-modul s mnozenjem

M × R → M, (m, r) 7→ mr .

M je bimodul nad R ako je M desni i lijevi modul nad R (lijevo i desno mnozenje ne mora

biti isto).

M je vektorski prostor nad R ako je R polje.

Moduli

Definicija

(i) r(m1 + m2) = rm1 + rm2,

(ii) (r1 + r2)m = r1m + r2m,

(iii) (r1r2)m = r1(r2m),

za sve r , r1, r2 ∈ R i m,m1,m2 ∈ M.

M × R → M, (m, r) 7→ mr .

biti isto).

Moduli

Definicija

(i) r(m1 + m2) = rm1 + rm2,

(ii) (r1 + r2)m = r1m + r2m,

(iii) (r1r2)m = r1(r2m),

za sve r , r1, r2 ∈ R i m,m1,m2 ∈ M.

M × R → M, (m, r) 7→ mr .

biti isto).

Primjeri modula

1 Svaki prsten R je bimodul nad R jer je definirano mnozenje · : R × R → R.

2 Ako je G aditivna abelova grupa, tada je G lijevi Z-modul jer vrijedi

k(g1 + g2) = kg1 + kg2,

(k1 + k2)g = k1g + k2g ,

(k1k2)g = k1(k2g),

1g = g ,

za sve k, k1, k2 ∈ Z i g , g1, g2 ∈ G .

3 Rn = {(x1, x2, . . . , xn) | xi ∈ R} je Abelova grupa s binarnom operacijom

(x1, x2, . . . , xn) + (y1, y2, . . . , yn) = (x1 + y1, x2 + y2, . . . , xn + yn).

Ako definramo mnozenje

λ(x1, x2, . . . , xn) = (λx1, λx2, . . . , λxn), λ ∈ R,

tada je Rn vektorski prostor nad R.

Primjeri modula

k(g1 + g2) = kg1 + kg2,

(k1 + k2)g = k1g + k2g ,

(k1k2)g = k1(k2g),

1g = g ,

za sve k, k1, k2 ∈ Z i g , g1, g2 ∈ G .

λ(x1, x2, . . . , xn) = (λx1, λx2, . . . , λxn), λ ∈ R,

Primjeri modula

k(g1 + g2) = kg1 + kg2,

(k1 + k2)g = k1g + k2g ,

(k1k2)g = k1(k2g),

1g = g ,

za sve k, k1, k2 ∈ Z i g , g1, g2 ∈ G .

λ(x1, x2, . . . , xn) = (λx1, λx2, . . . , λxn), λ ∈ R,

Definition

Neka je M modul nad R. Neprazan podskup N ⊆ M je podmodul od M ako vrijedi

(i) a− b ∈ N za sve a, b ∈ N,

(ii) ra ∈ N za sve a ∈ N, r ∈ R.

Definition

Neka su M i N moduli nad prstenom R, i neka je f : M → N preslikavanje koje zadovoljava

(i) f (x + y) = f (x) + f (y),

(ii) f (rx) = rf (x),

za svaki x , y ∈ M, r ∈ R. Tada se f naziva linearno preslikavanje ili homomorfizam iz modula M

u modul N. Ako je R polje, tada kazemo da je f linearna transformacija iz vektorskog prostora M

u vektorski prostor N.

Ker(f ){x ∈ M | f (x) = 0} podmodul modula M

Im(f ) = {f (x) | x ∈ M} podmodul modula N

Definition

(i) f (x + y) = f (x) + f (y),

(ii) f (rx) = rf (x),

Definition

(i) f (x + y) = f (x) + f (y),

(ii) f (rx) = rf (x),

Primjeri homomorfizama

1 Definirajmo preslikavanje λi : Rn → R s

λi (x1, x2, . . . , xn) = xi .

λi je linearna transformacija iz Rn na R koji nazivamo projekcija na i-tu komponentu vektora

2 Neka je C k (a, b) vektorski prostor funkcija f : (a, b)→ R koje imaju neprekidnu derivaciju do

ukljucivo k-tog reda. Tada je derivacija D : C k (a, b)→ C k−1(a, b),

D(f ) =df

linearna transformacija iz prostora C k (a, b) na prostor C k−1(a, b).

Primjeri homomorfizama

1 Definirajmo preslikavanje λi : Rn → R s

λi (x1, x2, . . . , xn) = xi .

λi je linearna transformacija iz Rn na R koji nazivamo projekcija na i-tu komponentu vektora

2 Neka je C k (a, b) vektorski prostor funkcija f : (a, b)→ R koje imaju neprekidnu derivaciju do

ukljucivo k-tog reda. Tada je derivacija D : C k (a, b)→ C k−1(a, b),

D(f ) =df

linearna transformacija iz prostora C k (a, b) na prostor C k−1(a, b).

Kvocijentni modul

Neka je N podmodul R-modula M Kvocijentni modul M/N je skup

M/N ={x + N | x ∈ M

}s binarnim operacijama

(a + N) + (b + N) = (a + b) + N,

r(a + N) = ra + N, ∀a, b ∈ M, r ∈ R.

R polje =⇒ M/N kvocijentni prostor

Teorem o izomorfizmu modula

Neka su M i N moduli nad R i neka je f : M → N homomorfizam modula. Tada je

M/Ker(f ) ' Im(f ).

Kvocijentni modul

Neka je N podmodul R-modula M Kvocijentni modul M/N je skup

M/N ={x + N | x ∈ M

}s binarnim operacijama

(a + N) + (b + N) = (a + b) + N,

r(a + N) = ra + N, ∀a, b ∈ M, r ∈ R.

R polje =⇒ M/N kvocijentni prostor

Teorem o izomorfizmu modula

Neka su M i N moduli nad R i neka je f : M → N homomorfizam modula. Tada je

M/Ker(f ) ' Im(f ).

Asocijativne algebre

Definicija

Asociativna algebra nad poljem F je vektorski prostor nad F na kojem je definirano bilinearno

preslikavanje m : A× A→ A, m(a, b) = ab, koje zadovoljava a(bc) = (ab)c za sve a, b, c ∈ A.

Za sve a, b, c ∈ A i λ ∈ F vrijedi

(i) (a + b)c = ac + bc,

(ii) a(b + c) = ab + ac,

(iii) (λa)b = a(λb) = λ(ab).

Definicija

1 Kazemo da je A unitalna algebra ili algebra s jedinicom ako postoji element 1 ∈ A takav da

je 1a = a1 = a za svaki a ∈ A.

2 Algebra A je komutativna ako je ab = ba za svaki a, b ∈ A.

Asocijativne algebre

Definicija

Asociativna algebra nad poljem F je vektorski prostor nad F na kojem je definirano bilinearno

preslikavanje m : A× A→ A, m(a, b) = ab, koje zadovoljava a(bc) = (ab)c za sve a, b, c ∈ A.

Za sve a, b, c ∈ A i λ ∈ F vrijedi

(i) (a + b)c = ac + bc,

(ii) a(b + c) = ab + ac,

(iii) (λa)b = a(λb) = λ(ab).

Definicija

1 Kazemo da je A unitalna algebra ili algebra s jedinicom ako postoji element 1 ∈ A takav da

je 1a = a1 = a za svaki a ∈ A.

2 Algebra A je komutativna ako je ab = ba za svaki a, b ∈ A.

Primjeri algebri

1 Skup M(n,F ) matrica reda n nad poljem F je algebra nad F s operacijama zbrajanja i

mnozenja matrica, te mnozenja matrica skalarom. Jedinica u M(n,F ) je jedinicna matrica In.

2 Prsten polinoma F [x] je algebra nad poljem F gdje je mnozenje skalarom definirano s

λ( n∑

αkxk)

(λαk )xk .

Konstantni polinom p(x) = 1 je jedinica u algebri F [x].

3 Prsten kvaterniona H je algebra nad poljem realnih brojeva R.

Definicija

Neka su A i B algebre nad poljem F . Preslikavanje ϕ : A→ B koje za sve elemente a, b ∈ A i

λ ∈ F zadovoljava

(i) ϕ(λa) = λϕ(a),

(ii) ϕ(a + b) = ϕ(a) + ϕ(b),

(iii) ϕ(ab) = ϕ(a)ϕ(b),

naziva se homomorfizam algebri. Ako je ϕ bijekcija, tada je ϕ izmorfizam algebri.

Primjeri algebri

λ( n∑

αkxk)

(λαk )xk .

Definicija

(i) ϕ(λa) = λϕ(a),

(ii) ϕ(a + b) = ϕ(a) + ϕ(b),

Primjeri algebri

λ( n∑

αkxk)

(λαk )xk .

Definicija

(i) ϕ(λa) = λϕ(a),

(ii) ϕ(a + b) = ϕ(a) + ϕ(b),

Primjeri algebri

λ( n∑

αkxk)

(λαk )xk .

Definicija

(i) ϕ(λa) = λϕ(a),

(ii) ϕ(a + b) = ϕ(a) + ϕ(b),

Definicija

Neka je A asocijativna algebra nad poljem F . Reprezentacija algebre A je uredeni par (ρ,V ) gdje

je V vektorski prostor nad F i ρ : A→ EndF (V ) je homomorfizam algebri. Ako A ima jedinicu 1,

tada je ρ(1) = idV .

Regularna reprezentacija

Neka je A unitalna algebra nad poljem F . Svakom elementu a ∈ A pridruzimo linearno

preslikavanje

aL : A→ A, aL(b) = ab mnozenje slijeva elementom a

Tada je

ρ : A→ EndF (A), ρ(a) = aL, homomorfizam algebri.

Definicija

Neka je A asocijativna algebra nad poljem F . Reprezentacija algebre A je uredeni par (ρ,V ) gdje

je V vektorski prostor nad F i ρ : A→ EndF (V ) je homomorfizam algebri. Ako A ima jedinicu 1,

tada je ρ(1) = idV .

Regularna reprezentacija

Neka je A unitalna algebra nad poljem F . Svakom elementu a ∈ A pridruzimo linearno

preslikavanje

aL : A→ A, aL(b) = ab mnozenje slijeva elementom a

Tada je

ρ : A→ EndF (A), ρ(a) = aL, homomorfizam algebri.

Liejeve algebre

Definicija

Liejeva algebra g je vektorski prostor nad poljem F na kojem je definirano preslikavanje

[ , ] : g× g→ g koje zadovoljava sljedeca uvjete:

(i) linearnost

[ax + by , z] = a[x , z] + b[y , z] za sve a, b ∈ F i x , y , z ∈ g,

(ii) antisimetricnost

[x , y ] = −[y , x] za sve x , y ∈ g,

(iii) Jacobijev indentitet

[x , [y , z]] + [y , [z, x]] + [z, [x , y ]] = 0 za sve x , y , z ∈ g.

Primjeri

1 Neka je A asocijativna algebra.

[a, b] = ab − ba Lijeva zagrada na A

2 Neka je R3 realni vektorski prostor s vektorima ~u =

[~u, ~v ] = ~u × ~v =

u2v3 − u3v2

u3v1 − u1v3

u1v2 − u2v1

Liejeva zagrada na R3

3 Neka je C∞(R2n) prostor glatkih funkcija f : R2n → R,

f (q, p) = f (q1, q2, . . . , qn, p1, p2, . . . , pn).

[f , g ] =n∑

( ∂f∂qi

∂pi−∂f

)Poissonova zagrada na C∞(R2n)

Primjeri

[~u, ~v ] = ~u × ~v =

u2v3 − u3v2

u3v1 − u1v3

u1v2 − u2v1

f (q, p) = f (q1, q2, . . . , qn, p1, p2, . . . , pn).

[f , g ] =n∑

( ∂f∂qi

∂pi−∂f

Primjeri

[~u, ~v ] = ~u × ~v =

u2v3 − u3v2

u3v1 − u1v3

u1v2 − u2v1

f (q, p) = f (q1, q2, . . . , qn, p1, p2, . . . , pn).

[f , g ] =n∑

( ∂f∂qi

∂pi−∂f

Definicija

Neka su g i h Liejeve algebre nad poljem F . Linearno preslikavanje ϕ : g→ h koje zadovoljava

ϕ([x , y ]) = [ϕ(x), ϕ(y)]

za sve x , y ∈ g naziva se homomorfizam Liejevih algebri. Ako je ϕ bijektivno preslikavanje, tada ϕ

nazivamo izomorfizam Liejevih algebri.

Adjungirana reprezentacija

Neka je g Liejeva algebra. Adjungirana reprezentacija je homomorfizam Liejevih algebri

ad : g→ EndF (g), ad(x)(y) = [x , y ].

Definicija

Neka su g i h Liejeve algebre nad poljem F . Linearno preslikavanje ϕ : g→ h koje zadovoljava

ϕ([x , y ]) = [ϕ(x), ϕ(y)]

za sve x , y ∈ g naziva se homomorfizam Liejevih algebri. Ako je ϕ bijektivno preslikavanje, tada ϕ

nazivamo izomorfizam Liejevih algebri.

Adjungirana reprezentacija

Neka je g Liejeva algebra. Adjungirana reprezentacija je homomorfizam Liejevih algebri

ad : g→ EndF (g), ad(x)(y) = [x , y ].

Neke klasicne Liejeve algebre

Vazna klasa Liejevih algebri su tzv. klasicne Liejeve algebre koje tvore Liejeve podalgebre od

M(n,R) u odnosu na matricni komutator [X ,Y ] = XY − YX .

1 Opca linearna Liejeva algebra

gl(n,F ) = M(n,F )

2 Specialna linearna Liejeva algebra

sl(n,F ) = {X ∈ gl(n,F ) | Tr(X ) = 0}

3 Ortogonalne Liejeve algebre

so(p, q) = {X ∈ M(n,R) | X t Ipq = −IpqX}, Ipq =

0 −Iq

)so(n,F ) = {X ∈ M(n,F ) | X t = −X}, p = n, q = 0.

4 Unitarne Liejeve algebre

u(p, q) = {X ∈ M(n,C) | X∗Ipq = −IpqX},

su(p, q) = {X ∈ u(p, q) | Tr(X ) = 0}.(PMF–Split) Algebarske strukture 14 / 14

gl(n,F ) = M(n,F )

sl(n,F ) = {X ∈ gl(n,F ) | Tr(X ) = 0}

0 −Iq

)so(n,F ) = {X ∈ M(n,F ) | X t = −X}, p = n, q = 0.

gl(n,F ) = M(n,F )

sl(n,F ) = {X ∈ gl(n,F ) | Tr(X ) = 0}

0 −Iq

)so(n,F ) = {X ∈ M(n,F ) | X t = −X}, p = n, q = 0.

gl(n,F ) = M(n,F )

sl(n,F ) = {X ∈ gl(n,F ) | Tr(X ) = 0}

0 −Iq

)so(n,F ) = {X ∈ M(n,F ) | X t = −X}, p = n, q = 0.

gl(n,F ) = M(n,F )

sl(n,F ) = {X ∈ gl(n,F ) | Tr(X ) = 0}

0 −Iq

)so(n,F ) = {X ∈ M(n,F ) | X t = −X}, p = n, q = 0.

prof.dr.sc. Sa sa Kre si c-Juri c -...

Documents

Transcript of prof.dr.sc. Sa sa Kre si c-Juri c -...