R

Profa. Suzi

camey@mat.ufrgs.br

http://euler.mat.ufrgs.br/~camey/

Aula 25/04/08Maiores detalhes: http://leg.ufpr.br/~paulojus/embrapa/Rembrapa/

Miscelânia de funcionalidades do R O R como calculadora Gráficos de funções Integração numérica Exercícios

Conceitos básicos sobre distribuições de probabilidade Exercícios

Distribuições de Probabilidade Discretas Contínuas Exercícios

Miscelânia de funcionalidades do R: O R como calculadora

Queremos calcular: 102 + 112 + … + 202

criar uma sequência de números de 10 a 20 >  x<-(10:20)

elevar ao quadrado cada valor deste vetor > x^2

somar os elementos do vetor> sum(x)

Ou simplesmente:> sum((10:20)^2)

Miscelânia de funcionalidades do R: Gráficos de funções Seja e vamos fazer o

gráfico das respectivas funções de densidade. Relembrando:

)9,4(~ NX )4(~ ExpY

xexfx

X ,23

1)( 18

4 2

0,4)( 4 yeyf yY

Miscelânia de funcionalidades do R: Gráficos de funções

1. > x1 <- seq(-8, 16, l = 101)> y1 <- (1/(3*(2*pi)^0.5))*exp(-(1/(2*9))*(x1-4)^2)> plot(x1, y1, type = "l")

2. > plot(function(x)  (1/(3*(2*pi)^0.5))*exp(-(1/(2*9))*(x1-4)^2),-8,16)

3. > y2 <- dnorm(x1, 4, 3)> plot(x1, y2, type = "l")

4. > plot(function(x) dnorm(x, 4, 3), -8, 16)

Miscelânia de funcionalidades do R: Integração numérica

Sabemos que para distribuições contínuas de probabilidades a integral está associada a probabilidade em um intervalo. Seja f(x) uma f.d.p. de uma variável contínua, então

Portanto para calcular P(2<X<6):> y1<-function(x) (1/(3*(2*pi)^0.5))*exp(-(1/(2*9))*(x-4)^2)> integrate(y1,2,6) Ou> integrate(function(x) dnorm(x, 4, 3), 2, 6)

dxxfbXaPb

a

Miscelânia de funcionalidades do R: Exercícios

http://leg.ufpr.br/~paulojus/embrapa/Rembrapa/Rembrapase7.html#x8-360007.4

Conceitos básicos sobre distribuições de probabilidadeEXEMPLO 1 (adaptado de Bussab & Morettin, página 132, exercício 1) Dada a função:

i. mostre que está função é uma f.d.p.

ii. calcule a probabilidade de que X > 1

iii.calcule a probabilidade de que 0,2 < X < 0,8

0,0

0,2 2

x

xexf

x

Conceitos básicos sobre distribuições de probabilidade

> f1 <- function(x) {   +     fx <- ifelse(x < 0, 0, 2 * exp(-2 * x))   +     return(fx)   + }   > plot(f1)   > plot(f1, 0, 10)   > plot(f1, 0, 5)

Conceitos básicos sobre distribuições de probabilidade

i. mostre que está função é uma f.d.p.

> integrate(f1, 0, Inf)

ii. calcule a probabilidade de que X > 1

> integrate(f1, 1, Inf)

iii. calcule a probabilidade de que 0,2 < X < 0,8

> integrate(f1, 0.2,0.8)

Conceitos básicos sobre distribuições de probabilidade

Conceitos básicos sobre distribuições de probabilidade

Exercício:

http://leg.ufpr.br/~paulojus/embrapa/Rembrapa/Rembrapase10.html#x11-6800010.1

Distribuições de Probabilidade

O programa R inclui funcionalidade para operações com distribuições de probabilidades. Para cada distribuição há 4 operações básicas indicadas por letras:

d???(): calcula a densidade de probabilidade f(x) no ponto

p???(): calcula a função de probabilidade acumulada F(x) no ponto

q???(): calcula o quantil correspondente a uma dada probabilidade

r???(): retira uma amostra da distribuição

Distribuições de Probabilidade

Algumas distribuições: Discretas:

Binomial: binom Poisson: pois Hipergeométrica: hyper Binomial Negativa: dnbinom

Contínuas: Normal: norm Exponencial: exp Gama: gamma

Distribuições de Probabilidade: Discretas

Seja X uma v.a. com distribuição Binomial com n=10 e p=0.5. Calcule as seguintes probabilidades:

P [X < 6] > pbinom(5, 10, 0.5)

P [X ≤ 6] > pbinom(6, 10, 0.5)

P [X > 2] > 1 - pbinom(2, 10, 0.5)

P [X ≥ 2] > 1 - pbinom(1, 10, 0.5)

P [X = 7] > dbinom(7, 10, 0.5)

P [3 < X ≤ 8] > pbinom(8, 10, 0.5) - pbinom(3, 10, 0.5)

P [1 ≤ X ≤ 5] > pbinom(5, 10, 0.5) - pbinom(0, 10, 0.5)

Distribuições de Probabilidade: Discretas

Seja X uma v.a. com distribuição Binomial com n=10 e p=0.5. Ache x tal que:

P [X < x]= 0.828125 P [X ≤ x]= 0.828125 P [X > x]= 0.171875 P [X ≥ x]= 0.171875 P [3 < X ≤ x]=0.4511719

Distribuições de Probabilidade: Contínuas

Seja X uma v.a. com distribuição Normal com =10 e 2=25. Calcule as seguintes probabilidades:

P [X < 6] P [X ≤ 6] P [X > 2] P [X ≥ 2] P [3 < X ≤ 8] P [10 ≤ X ≤ 15]

Distribuições de Probabilidade: Contínuas

Seja X uma v.a. com distribuição Normal com =10 e 2=25. Ache x tal que:

P [X < x]= 0.4P [X ≤ x]= 0.4P [X > x]= 0.72P [3 < X ≤ x]=0.88

Gerando amostras

Seja X uma v.a. com distribuição Normal com =10 e 2=25. Simule uma amostra de tamanho 100 e faça um histograma da amostra.