PROF. VALBER MELO • Ms MATEMATICA UFBA · EXEMPLOS •ESFERA x2 y2 ... • SUPERFICIES •...
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Transcript of PROF. VALBER MELO • Ms MATEMATICA UFBA · EXEMPLOS •ESFERA x2 y2 ... • SUPERFICIES •...
APRESENTAÇÃO
• PROF. VALBER MELO• Ms MATEMATICA UFBA
– (Geometria Diferencial).
• ÁREAS DE INTERESSE: Educação e Novas Tecnologias e Geometria Diferencial.
“ANIMAÇÃO DE CURVAS E SUPERFÍCIES”
• CONHECIMENTO MATEMÁTICO
• TECNOLOGIA
SOFTWARES MATEMÁTICOS
• SOFTWARES LIVRES– WINPLOT, SCILAB, OCTAVE, ETC.
• SOFTWARES NÃO LIVRES– MAPLE, CABRI, EXCEL, ETC.
GEOMETRIA DIFERENCIAL
• CURVAS
• SUPERFÍCIES
SISTEMAS DE COORDENADAS
• Coordenadas Cartesianas• Coordenadas Polares• Coordenadas Cilíndricas• Coordenadas Esféricas
– Forma Explícita
– Forma Paramétrica
– Forma Implícita 0),,(ou 0),(v)z(u,zv)y(u,yv)x(u,x
ou )()(
),( )(
zyxfyxf
tyytxx
yxfzouxfy
CURVAS PLANAS• Definimos uma curva plana como uma aplicação
de diferenciável
))(),((:)(
2
tytxttRRU
2R em RU
CURVAS ESPACIAIS
• Definimos uma curva plana como uma aplicação de diferenciável.
3RRU
. que tal plano
• HÉLICE)),sin(),(cos()(
3
ttttRR
TRANSFORMAÇÕES ELEMENTARES
• TRANSLAÇÃO• ROTAÇÃO• REFLEXÃO AXIAL• HOMOTETIA
“DESCONSTRUÇÃO”
TRANSLAÇÃO
•),(),(),(),(
: 22),(
bayxbyaxyx
RRT ba
A
B
C
D
ROTAÇÃO
)cossin,sincos(),(: 22
yxyxyxRRU
A
A
REFLEXÃO
)2cos2sin,2sin2cos(),(: 22
yxyxyxRRS
HOMOTETIA
rr ),(),(),(
: 22
yxyxyxRRVr
0
DESCONSTRUÇÃO
],0[
],[ 2
cf
Rba
]1,0[,)()(
cctyyctxx
))(),(())(),((: 22
ctyctxtytxRRW
SUPERFÍCIES
• Definimos uma superfície como uma aplicação diferenciável do plano no espaço tridimensional.
)),(),,(),,((),(: 32
vuzvuyvuxvuXRRX
CLASSIFICAÇÕES
• QUÁDRICAS• REVOLUÇÃO• TUBOS• CONCHAS• MÍNIMAS• CURVATURA MEDIA CONSTANTE• CURVATURA GAUSIANA CONSTANTE• ETC
SUPERFÍCIES QUÁDRICAS
• Chamamos de superfície quádrica a qualquer conjunto de pontos que satisfaça uma equação do tipo:
0222 JIzHyGxFxzEyzDxyCzByAx
EXEMPLOS
• ELIPSÓIDE
uczvubyvuax
cossinsincossin
12
2
2
2
2
2
cz
by
ax
• HIPERBOLÓIDE DE UMA FOLHA
12
2
2
2
2
2
cz
by
ax
uczvubyvuax
sinhsincoshcoscosh
• HIPERBOLÓIDE DE DUAS FOLHAS
12
2
2
2
2
2
cz
by
ax
uczvubyvuax
coshsinsinhcossinh
uczvubyvuax
coshsinsinhcossinh
• PARABOLÓIDE ELIPTICO
zby
ax
2
2
2
2
2
sincos
vzvubyvuax
• PARABOLÓIDE HIPERBÓLICO (sela)
zby
ax
2
2
2
2
22 vuzvbyuax
• CONE
uzvuyvux
sincos
222 zyx
• CILINDRO ELÍPTICO
12
2
2
2
by
ax
uzvbyvax
sincos
• CILINDRO HIPERBÓLICO
12
2
2
2
by
ax
uzvbyvax
sinhcosh
SUPERFÍCIES DE REVOLUÇÃO
• Uma superfície de revolução é uma superfície obtida pela rotação de uma curva plana, chamada geratriz, em torno de uma reta neste plano, a que se chama eixo de revolução.
))(),sin()(),cos()((),( ugvufvufvu
)(0
)(
1000)cos()sin(0)sin()cos(
),(ug
ufvvvv
vu
EXEMPLOS
• ESFERA
1222 zyx
uzvuyvux
cossinsincossin
• CILINDRO DE REVOLUÇÃO
vzuryurx
sincos
222 ryx
TORO
vrzvurayvurax
sinsin)cos(cos)cos(
PSEUDO-ESFERA
)2
ln(tan(cos
sinsinsincos
vvaz
vuyvux
• CHAPÉU DE SCHERLOCK
1sin)1(
cos)1(
3
3
vuzuy
vux
TUBOS
• Tubo da hélice
))sin)(cos)), ssrss
CONCHAS
))sin)(cos)), sssrss
•Concha da hélice
• SELA DE MACACO
23 3uvuzvbyuax
CURIOSIDADES
REFERENCIAS• WINPLOT
– WWW.AMAURI• TRANSFORMAÇÕES
– COORDENADAS NO PLANO(ELON LAGES)• CURVAS
– FAMOUS CURVES• SUPERFICIES• GEOMETRIA DIFERENCIAL
– KETI TENEBLAT• MAPLE