Prof. Rosario Martínez Verdú
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Introducción a la Inferencia Estadística
TEMA 3: ESTIMACIÓN
Prof. Rosario Martínez Verdú
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TEMA 3: ESTIMACIÓN• 1. Estimación puntual: estimadores y estimaciones.
Propiedades de los estimadores.• 2. Métodos de obtención de estimadores.• 3. Estimación por intervalos.• 4. Determinación del tamaño muestral.
Bibliografía específica Tema 3:
- NEWBOLD, P. (1997). Estadística para los Negocios y la Economía. Madrid: Prentice Hall. 4ª Edición. Capítulos 7 y 8.
- NEWBOLD, P. y otros (2008). Estadística para Administración y Economía. Madrid: Pearson-Prentice Hall. 6ª Edición. Capítulos 8 y 9.
- ESTEBAN GARCÍA, J. y otros: Curso Básico de Inferencia Estadística. Reproexpres Ediciones, Valencia, 2008. Tema 4 (sin anexos) y Tema 5.
- LIND D.A y otros. Estadística Aplicada a los Negocios y la Economía. Ed. McGraw Hill, México, (13ª Edición). Capítulo 9.
- MURGUI, J.S. y otros (2002). Ejercicios de Estadística. Economía y Ciencias Sociales. Valencia: Tirant lo Blanch. Capítulo 7.
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• Consiste en la obtención de valores aproximados para las características desconocidas
(parámetros) de la distribución de la población.
• Tipos de estimación:- Puntual: un valor. Apartado 1- Por intervalos: un intervalo con garantías de contener al parámetro. Apartado 3
TEMA 3: ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS
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Estadísticos
Estimadores de
• Estrategias de búsqueda de estimadores de un parámetro :
- Proponer estimadores con buenas propiedades (Apartado 1).
- Aplicar un método de construcción de estimadores: Estimadores Máximo-Verosímiles (EMV) (Apartado 2).
1) ESTIMACIÓN PUNTUAL• Estimadores y Estimaciones:
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PROPIEDADES DE LOS ESTIMADORES PARA TODO TIPO DE MUESTRAS:
ESTIMADOR INSESGADO significa que su media o valor esperado coincide con el parámetro , esto es:
ˆ ˆE θ = θ y por lo tanto, su sesgo=E θ - θ = 0
ˆ ˆ ˆConsecuencia: Si θ es insesgado, entonces ECM θ Var θ
ESTIMADOR EFICIENTE: si para estimar un mismo parámetro, disponemos de varios estimadores insesgados, el estimador eficiente será el de menor varianza.
1 2 1 2 1 2ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆθ y θ insesgados. Si Var θ Var θ entonces, θ es más eficiente que θ
Para elegir entre diferentes estimadores para estimar un mismo parámetro nos basaremos en una medida, el ERROR CUADRÁTICO MEDIO (ECM):
22
ˆ ˆ ˆECM θ Var θ + E θ - θ
sesgo
El criterio: elegir el estimador que tenga el menor ECM.
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,7
,6
,5
,4
,3
,2
,1
0,0
E[A]=
f(A)f(B)
A estimador insesgado E[A]=B estimador sesgado E[B] Var[A] = Var[B] ECM[A] < ECM[B]A mejor estimador que B
E[B]
1,4
1,2
1,0
,8
,6
,4
,2
0,0
f(A)
f(B)
A y B insesgados E[A]=E[B]=
Var[A] > Var[B]ECM[A] > ECM[B]B mejor estimador que A
Caso 1: A y B misma varianza
Distribuciones de probabilidad de dos estimadores A y B de un parámetro poblacional
Caso 2: A y B estimadores insesgados
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PROPIEDADES DE LOS ESTIMADORES PARA
MUESTRAS GRANDES: ESTIMADOR ASINTÓTICAMENTE INSESGADO significa que al aumentar el tamaño de la muestra, su media tiende a coincidir con el parámetro , y por lo tanto, su sesgo tiende a cero. Esto es,
n
ˆlim E θ =θ
ESTIMADOR CONSISTENTE significa que a medida que crece el tamaño de la muestra las estimaciones que nos proporciona el estimador se aproximan cada vez más al valor del parámetro . Si el estimador es insesgado o asintóticamente insesgado, para que sea consistente es suficiente que, cuando el tamaño de la muestra tiende a infinito (es decir, se hace muy grande), la varianza del estimador se aproxime a cero. Esto es,
n
ˆlim Var θ =0
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1,4
1,2
1,0
,8
,6
,4
,2
0,0
)ˆ100n θf(
)ˆ1000n θf(
Ejemplo de estimador consistente
Al crecer el tamaño de la muestra, las estimaciones de se aproximan cada vez más al verdadero valor del parámetro.
θ̂
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CUADRO RESUMEN ESTIMADORES PUNTUALES
Distribución Población
Parám-etro a
estimar
Estima-
dor
Propiedades estimador
Otras propie-dades
Poisson
XPo() insesgado, eficiente,
consistente EMV
Bernoulli XBe(p) p
insesgado, eficiente, consistente EMV
Normal X
insesgado, eficiente, consistente EMV
Normal X
2 S2 asint. insesgado, menor ECM que cuasi-var
EMV
Exponencial:
X Exp(1/ ) insesgado, eficiente,
consistente EMV
Sin especificar
insesgado, consistente
Sin especificar
2 S2 asint. insesgado
insesgado
),N( 2
),N( 2
X
X
X
x=p̂
2S
EMV= Estimador máximo-verosímil
2S
X
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EJEMPLO DE ESTIMACIÓN MÁXIMO-VEROSÍMIL
•La Agencia Valenciana de Turismo va a realizar un estudio sobre las preferencias de los habitantes de la ciudad de Valencia respecto al lugar de vacaciones elegido. Únicamente se quiere distinguir entre montaña y playa. Realizada una encuesta a 100 personas elegidas al azar se ha obtenido que 30 de ellas prefieren la montaña y las 70 restantes han mostrado preferencia por la playa.
• Con la información de la encuesta, ¿cuál de los siguientes posibles valores para la proporción de ciudadanos que prefieren la montaña tiene una mayor verosimilitud o es más compatible con los datos obtenidos de la encuesta: 25%, 30% o 35%?
Fuente: MURGUI, J.S. y otros (2002). Ejercicios de Estadística. Economía y Ciencias Sociales. Valencia: Tirant lo Blanch, p.265.
•2. Métodos de obtención de estimadores.
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l(p) =p30 (1-p)70
0
5E-28
1E-27
1.5E-27
2E-27
2.5E-27
3E-27
3.5E-27
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
p 1-p l(p)0 1 0
0.05 0.95 2.56893E-410.1 0.9 6.26579E-340.15 0.85 2.19818E-300.2 0.8 1.76685E-280.25 0.75 1.55772E-270.3 0.7 2.95461E-270.35 0.65 1.68258E-270.4 0.6 3.40712E-280.45 0.55 2.64097E-290.5 0.5 7.88861E-310.55 0.45 8.62495E-330.6 0.4 3.08132E-350.65 0.35 2.96595E-380.7 0.3 5.64195E-420.8 0.2 1.4615E-520.9 0.1 4.23912E-721 0 0
p
l(p)
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3. Estimación por intervaloso Intervalos de confianza
Objetivos de este Apartado:• Concepto de Intervalo de Estimación• Concepto de nivel de confianza 1-• Precisión de una estimación por intervalo,
depende de:– Nivel de confianza 1-– Amplitud del intervalo (error de estimación)
• Construcción de intervalos de estimación para los principales parámetros poblacionales.
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Intervalos para la estimación de la media de una población
Caso 1 a) Población
muestra: (x1, x2, …,xn) m.a.s. tamaño n cualquiera.
2 2X N( , ) con conocida
Estadístico N(0,1)
X -Z =
/ n
Se fija nivel de confianza 1-0,99
= 0,95
0,9
/2 /2P -z z =1-
X -Z =
/ n
Se sustituye por el valor obtenido para la muestra, , y se obtiene el intervalo:X x
/ 2 / 2x x = x error de estimación
- z , + zn n
/2 /2P z z =1-
X - X+n n
Se despeja :
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EJEMPLO INTERVALOS DE ESTIMACIÓNSea Población X: peso de los paquetes de cereal, en gramos.X~N( , 2=100)Muestra: (x1, x2,...., xn) m.a.s. n=16
Intervalos de confianza para :
x 503,75 s 11,3
503,75x
Intervalo de confianza del 90%
498,85
507,86
Error =4,11 gr
503,75x
499,64
508,65
Intervalo de confianza del 95% Error =4,90 gr
Intervalo de confianza del 99%
503,75x 497,32 510,18
Error =6,43 gr
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Intervalos para la estimación de la media de una población
Caso 2: Población
muestra: (x1, x2, …,xn) m.a.s. tamaño n cualquiera.
2 2X N( , ) con desconocida
n-1Estadístico T t
X -
=S/ n -1
Se fija nivel de confianza 1-:
n-1, /2 n-1, /2P -t T t =1-
X -=
S/ n -1
Se sustituyen por los valores obtenidos para la muestra y se obtiene el intervalo:
X y S
n-1, / 2 n-1, / 2
s sx t x t
- , +n -1 n -1
n-1, /2 n-1, /2
S SP t t =1-
X - X+n-1 n-1
Se despeja :
= x error de estimación
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Intervalo para la estimación de la varianza 2 de una población Normal
Caso 6: Población
muestra: (x1, x2, …,xn) m.a.s. tamaño n cualquiera.
2X N( , ) con desconocida
n-1
2 22
nEstadístico Y= S
σ
Se fija nivel de confianza 1-:
2 2 2n-1,1- /2 n-1, /22
nP Y= S =1-
σ
Se sustituye S2 por el valor obtenido para la muestra y se obtiene el intervalo:
Se despeja 2:2 2
22 2n-1, /2 n-1,1- /2
n S n SP σ =1-
2 22
2 2n-1, /2 n-1,1- /2
n s n sσ , con una confianza de 1-