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Definições de Probabilidade
Experimento
Espaço Amostral
Evento
Operações entre eventos
Probabilidade em espaços discretos
Probabilidade
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Probabilidade
• Estudo da aleatoriedade e incerteza.
• Quantificação do conhecimento que temos sobre um determinado evento.
• Utiliza métodos para quantificação das chances associadas aos diversos resultados.
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Exemplo: probabilidade de chover é de 90%O que isso significa? Isso traduz a quantidade de informação que uma pessoa tem sobre esse evento.
90%
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Tipos de Fenômenos
DeterminísticosO resultado é sempre o mesmo.
ProbabilísticosResultado incerto e variável
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Experimento Aleatório
• Fenômenos aleatórios podem conduzir a diferentes resultados.
• Mesmo em condições iniciais iguais o resultado é imprevisível.
Exemplos:• Lançamentos de moedas honestas• Lançamento de dados• Retirada de cartas de baralhos• Vida útil de componentes eletrônicos e mecânicos.
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Experimento Aleatório
• Características:
• Os possíveis resultados são conhecidos (probabilidades).
• O resultado final é imprevisível.
• Cada experimento pode ser repetido indefinidamente sob asmesmas condições.
• Quando o experimento for repetido um grande número devezes e houver regularidade na explicação desse fenômeno, épossível estruturar um modelo matemático probabilístico.
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Conjunto de todos os resultados possíveis de um experimentoaleatório. O espaço amostral é equiprovável quando todos os elementos
têm a mesma chance de ocorrer.
1. Lançamento de um dado. S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
2. Tipo sanguíneo (Rh+) S = {A, B, AB, O}
3. Hábito da leitura. S = {leitor, não leitor}
Exemplos:
4. Lançamento de uma moeda S = {cara, coroa}
Espaço Amostral (S ou )
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Notação: evento A, B, C, ...Evento impossível: Φ (Conjunto vazio)Evento certo: S ou Ω
Eventos:
A: sair face par A = {2, 4, 6} B: sair face maior que 3 B = {4, 5, 6} C: sair face 1 C = {1}
A, B e C são subconjuntos de S
Eventos: subconjuntos do espaço amostral
Exemplo: Lançamento de um dado.Espaço amostral: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
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Curiosidade: Viagem tripulada a Lua com sucesso
+ 8 meses de trabalho
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Como podemos calcular essa probabilidade sem nunca ter realizado esse experimento antes?
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Eventos Elementares
Trabalhar com informações de ocorrências de eventoselementares.
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Operações entre
Eventos
União
Intersecção
Mutuamente exclusivos
Complementar
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União
S
BA
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Intersecção
S
BA
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Complementar
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Mutuamente Excludente
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Evento União: ocorre ao menos um de dois eventos possíveis. Ex: Seja A = {2, 4} o evento de ocorrência da face superior no lançamento de um dado ser par e menor ou igual a 4, e seja B = {4, 6} o evento de ocorrência da face superior no lançamento de um segundo dado ser par maior ou igual a 4. Então C = {2, 4, 6}. O evento contém todos os elementos de A e B.
Evento intersecção: contém apenas os elementos comuns a A e B. Ex: seja A = {2, 4} o evento de ocorrência da face superior no lançamento de um dado, par e menor ou igual a 4, e seja B = {4, 6}, o evento de ocorrência da face superior, par e maior ou igual a 4. Então C = {4} representa o evento de ocorrência da face 4 ao mesmo tempo no conjunto A e B.
Evento Complementar: seja A = {1, 3, 5} o evento de ocorrência da face superior no lançamento de um dado, um número ímpar, o seu evento complementar é B = {2, 4, 6} ou seja, são todos os elementos do espaço amostral que não estão contidos em A.
Eventos mutuamente exclusivos: ocorrem quando dois ou mais eventos não podem ocorrer ao mesmo tempo. Ex: jogar uma moeda e obter cara e coroa ao mesmo tempo.
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1) No lançamento de um dado, o espaço amostral é E = {1,2,3,4,5,6}.
Considere os eventos:
O resultado é um número ímpar: A = {1,3,5}; O resultado é um número primo: B = {2,3,5}; O resultado é maior que 4: C = {5,6}.
Qual é o evento complementar de C?
a) {1,2,3,4}b) {5,6}c) {1,2,3,4,5,6}
Quizz
A
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O que é Probabilidade?
a) Medida da ocorrência de um evento.
b) Medida baseada em registros de experiências passadas sobre a ocorrência de um evento.
c) Medida da informação sobre a ocorrência de um evento.
d) Nenhuma das anteriores
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Definições de Probabilidade
Clássica:p = probabilidadem = resultados favoráveisn = resultados possíveis
Para eventos igualmente prováveis o número de resultados possíveis segue o Princípio Fundamental da Contagem que define -se como sendo o produto de duas ou mais etapas independentes
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Exemplo 2: Lança-se um dado honesto. Qual a probabilidade de sair um número maior do que 4?
Casos favoráveis: 2 (5 ou 6)
Casos possíveis: 6 (1, 2, 3, 4, 5 e 6)
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Atividade 1
Uma campanha de marketing feita por uma concessionária prometedar o veículo da promoção de presente se a chave escolhida ao acasopelo cliente na hora do test drive ligar o mesmo. Calcule aprobabilidade de você ser o sortudo supondo que a chave premiadaesteja nesta loja. Na hora da escolha você deve optar por uma únicachave dentre as 300 chaves que estão na caixa.
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Atividade 2
Uma caixa tem 500 leds e todos estão apagados. Desses 20 sãodefeituosos. Qual a probabilidade de você escolher um led ao acasocom defeito? E sem defeito?
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Desafio
Considere a sequência de 3 algarismos distintos formada pela permutação dos números 7, 8 e 9: S = 789, 798, 879, 897, 978, 987
Escolhendo aleatoriamente um número do espaço amostral (S), qual a probabilidade dele ser:
a) Ímpar? b) Par? c) Múltiplo de 4? d) Maior que 780?
66% 33% 0% 100%
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a) Evento A: ser ímpar A = 789, 879, 897, 987 casos favoráveis = 4
b) Evento B: ser par B = 798, 978 casos favoráveis = 2
c) Evento C: ser múltiplo de 4 C = casos favoráveis = 0
d) Evento D: ser maior que 780 D = S casos favoráveis = 6
4 2P 0,66 66%6 3
2 1P 0,33 33%6 3
0P 0 0%6
6P(D) 1 100%6
S = 789, 798, 879, 897, 978, 987 n(S) = 6
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Casos não equiprováveis
Definição Clássica
Pouco usada na Engenharia
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Definições de Probabilidade
Frequencialista: Probabilidade = limite da frequência relativa.
p = probabilidadem = número de vezes que o evento ocorreun = número de experimentos
Número de experimentos for razoavelmente grande
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Definições de Probabilidade
Axiomática
P(E) ≥ 0
P(S) = 1
P(E U F) = P(E) + P(F)
E e F são eventos mutuamente excludentes
Embora a definição axiomática não diga como calcular umaprobabilidade ela nos permite desenvolver toda uma teoria arespeito da probabilidade assim como desenvolver uma série depropriedades que permitem o cálculo da probabilidade de eventoscomplexos a partir de eventos elementares
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Definições de Probabilidade
Subjetiva: depende da avaliação pessoal
Adotada quando não tenho outra forma de atribuir a probabilidade
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Exemplo: Sucesso do Governador
Depende da avaliação do comentarista
Estimativas, conceitos prévios e informações de cada um.
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Probabilidade de um avião cair
S = {avião cair, avião não cair}Definição clássica: P = 50%
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Probabilidade de um avião cair
Aplicável quando o número de experimentos tendem ao infinito.
Frequencialista
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Probabilidade de um avião cair
Combinação de eventos elementares
Axiomática
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Probabilidade de um avião cair
Subjetiva
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Definições de Probabilidade
Clássica: se os casos possíveis são equiprováveis.
Frequencialista: se tiver um histórico.
Subjetiva: de acordo com o meu nível de informações.
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P = 0,5 = 50%
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E se a moeda estiver “viciada” e ainda assim eu quero saber a probabilidade de sair coroa, como fazer?
Experimento
Posso utilizar a definição frequencialista.Realizar grande número de experimentos.Nesse caso a definição axiomática não ajuda.
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ExperimentoLancei a moeda. Saiu o resultado mas eu tampo a moeda antes de ver o resultado, ou seja o evento já ocorreu... Eu tenho o resultado mas ainda não vi.
Qual a probabilidade de ter saído coroa?
P = 0 ou 1
Mas para mim é como se eu não tivesse jogado a moeda.
P = 0,5. Resultado desconhecido
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ExperimentoImagine agora o mesmo experimento com duas pessoas: lanço amoeda e uma pessoa é capaz de verificar o resultado e a outra não.E faço a mesma pergunta: qual a probabilidade de sair coroa?
A pessoa que temacesso a informaçãovai dizer P = 0 ou 1
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ExperimentoImagine agora o mesmo experimento com duas pessoas: lanço amoeda e uma pessoa é capaz de verificar o resultado e a outra não.E faço a mesma pergunta: qual a probabilidade de sair coroa?
A pessoa que não temacesso a informação vaidizer P = 0,5
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O que é Probabilidade?
a) Medida da ocorrência de um evento.
b) Medida baseada em registros de experiências passadas sobre a ocorrência de um evento.
c) Medida da informação ou crença sobre a ocorrência de um evento.
d) Nenhuma das anteriores
É a medida de informação ou crença sobre a ocorrência do evento.
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Eventos Complementares
Um evento pode ocorrer ou não. Sendo p a probabilidade de que ele ocorra (sucesso) e q a probabilidade de que ele não ocorra (insucesso), para um mesmo evento existe a relação:
p + q = 1
Exemplo: Se a probabilidade de um evento ocorrer é p = 1/5, a probabilidade de que ele não ocorra é de 4/5
p + q = 11/5 + q = 1q = 1 -1/5q = 4/5
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Em um lote de 30 peças, 6 são defeituosas. Sendo retirada uma peça desse lote:
a) Qual a probabilidade da peça ser defeituosa?
b) Qual a probabilidade da peça não ser defeituosa?
a) p = 6/30 = 1/5 = 20%
b) p = 1 – 1/5 = 4/5 = 80%
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Probabilidade da União de Eventos
• Para determinar a possibilidade de ocorrer um evento A ou umevento B, calculamos a probabilidade da união desses dois eventos.
• Para que ocorra a união de dois eventos teremos o mesmo espaçoamostral, logo duas situações serão possíveis da união de A comB (A U B):
A ∩ B = Ø
Eventos mutuamente excludentes
p(A U B) = p(A) + p(B)
Eventos não excludentes
A ∩ B ≠ Ø
p(A U B) = p(A) + p(B) – p(A ∩ B)
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Probabilidade da União de Eventos
p(A U B) = p(A) + p(B) – p(A ∩ B)
Exemplo 1:
No lançamento de um dado, qual a probabilidade do número obtido ser múltiplo de 2 ou de 3?
Múltiplos de 2: A = {2, 4, 6}
Múltiplos de 3: B = {3, 6}A ∩ B ≠ Ø
p(A U B) = 3/6 + 2/6 – 1/6
p(A U B) = 4/6 = 2/3 = 66,67%
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Probabilidade da União de Eventos
p(A U B) = p(A) + p(B)
Exemplo 2:
No lançamento de um dado, qual a probabilidade de se obter o número 3 ou 4?
Evento A = {3}
Evento B = {4}A ∩ B = Ø
p(A U B) = 1/6 + 1/6
p(A U B) = 2/6 = 1/3 = 33,33%
ou
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Probabilidade da Intersecção de Eventos
Se dois eventos são independentes, a probabilidade de que eles se realizem simultaneamente é igual ao produto das probabilidades da realização dos dois eventos.
P (A B) = p(A) x p(B)
Exemplo: No lançamento de dois dados qual a probabilidade de tirar 2 no 1º dado e 5 no 2o dado?
p = p1 x p2p = 1/6 . 1/6P = 1/36 = 2,78%
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Quizz
C
1) Dois dados não viciados são lançados simultaneamente. Considere os eventos:
A = {cair a face com o número 6 no 1º dado} e
B = {cair a face com 1, 2 ou 3 no 2º dado}.
Calcule a probabilidade da intersecção entre os eventos A e B.
a) 1/3
b) 1/6
c) 1/12
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Quizz
A
1) Uma urna possui 5 bolas azuis e 3 bolas verdes. Ao retirar 2bolas com reposição, calcule a probabilidade de ambas seremazuis.
a) 25/64 ou 39%
b) 9/64 ou 14%
c) 4/5 ou 80%
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De dois baralhos com 52 cartas cada um retiram-se,simultaneamente, uma carta do primeiro baralho e uma carta dosegundo. Qual a probabilidade da carta do 1º baralho ser um rei e ado 2º ser o 5 de copas?
1º Baralho
P1 = 4/52 = 1/13
2º Baralho
P2 = 1/52
P = p1 x p2
P = 1/13 . 1/52 = 1/676
P = 0,15%
Quizz
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Uma urna A contém: 3 bolas brancas, 4 pretas, 2 verdes; uma urna Bcontém: 5 bolas brancas, 2 pretas e 1 verde; uma urna C contém: 2 bolasbrancas, 3 pretas e 4 verdes. Uma bola é retirada de cada urna. Qual é aprobabilidade de as três bolas retiradas da primeira, segunda e terceiraurnas serem, respectivamente, branca, preta e verde?
1º urna (A)
P1 = 3/9 = 1/3
2º urna (B)
P2 = 2/8 = 1/4
P = p1 x p2 x p3
P = 1/3 . 1/4 . 4/9 = 1/27
P = 3,70%
3º urna (C)
P3 = 4/9
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De um baralho com 52 cartas qual a probabilidade de tirar um Ás ou um rei de ouro?
P1 = 4/52 = 1/13
P2 = 1/52
P = p1 + p2
P = 1/13 + 1/52 = 5/52
P = 9,62 %
Quizz
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Probabilidade de Eventos Complementares
• A e B são eventos do mesmo espaço amostral S.
• Se: A e B são complementares.
P(A) + P(B) = 1 ou seja: P(B) = 1 – P(A)
Exemplo 1: No lançamento de dois dados qual a probabilidade de não sair a soma 4?
n(S) = 6.6 = 36Evento A: sair Soma 4(1,3); (3,1); (2,2)
A B = e A U B = S
P(A) + P(B) = 1P(B) = 1 – P(A)P(B) = 1 – 3/36 = 33/36 = 11/12P(B) = 91,67%
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Probabilidade de Eventos Complementares
Exemplo 2: Lanço uma moeda 3 vezes sucessivamente. Qual a probabilidade de sair ao menos uma cara?
n(S) = 2.2.2 = 8Evento A: não sair cara (K, K, K)Evento B: sair ao menos uma cara
P(A) + P(B) = 1P(B) = 1 – P(A)P(B) = 1 – 1/8 = 7/8P(B) = 87,50%