BACA DİNAMİĞİ

Prof. Dr. Hikmet Hüseyin ÇATAL

BACA DBACA DİİNAMNAMİĞİİĞİ

Prof. Dr. Hikmet HProf. Dr. Hikmet Hüüseyin seyin ÇÇATALATAL

1. G1. GİİRRİŞİŞ

Sanayi yapılarında kullanılan yüksek bacalar, kullanım süreleri boyunca, diğer yüklerin yanısıra

dinamik olarak deprem ve rüzgar

yüklerinin de etkisi altında kalırlar. Yüksek sanayi bacaları,tuğla yada çelik malzemesinin yanında, yaygın olarak sabit veya yüksekliği boyunca daralan halka kesitli ve betonarme taşıyıcılı

olarak imal

edilmektedirler. Sanayi bacalarının dinamik analizinde, sistemin dinamik hesap modeli ve bacanın mesnetlendiği

zemin koşulları

önem

kazanmaktadır.

Bacaların dinamik hesabına esas teşkil edecek hesap modeli, diğer taşıyıcı

sistemlerin dinamik hesabında olduğu gibi iki ana gruba

ayrılmaktadır. Bu gruplardan ilki yayılı

kütleli, ikincisi ise topaklanmış

kütleli dinamik hesap modelidir. Analiz, paket bilgisayar

programları

kullanılarak sonlu elemanlar yöntemi ile de gerçekleştirilebilmektedir.

Geçmişte bazı

araştırmacılar, sismik yükler altında, bacaların serbest titreşimine ait açısal frekans ve periyotlarının pratik olarak hesaplanmasına olanak veren çalışmalar ile, analatik

çalışmalar

neticesinde elde edilen bağıntıları

sunmuşlardır [1],[2],[3].

2. KABULLER2. KABULLER

Bu çalışmada, aşağıda sunulan hesapları

kolaylaştırcı

kabuller yapılmıştır.1.

Malzeme davranışı

doğrusal-elastiktir.

2. İkinci mertebe tesirler terk edilmiştir.

3.

Bacanın en kesiti sabittir. 4.

Küçük deplasmanlar teorisi geçerlidir.

3. D3. DİİNAMNAMİİK HESAP MODELK HESAP MODELİİ

Bacanın dinamik hesap modeli, sürekli kütleli veya topaklanmış kütleli olarak kurulabilir. Her iki modelde de, bacanın temelinin

dairesel en kesitli olduğu ve elastik zemin üzerine mesnetlendirildiği düşünülmüştür. Sürekli ve topaklanmış

(ayrık kütleli) hesap modelleri

sırasıyla (Şekil1-

a) ve(Şekil1-b)’de sunulmuştur.

ŞŞekil 1. ekil 1. a: Sa: Süürekli krekli küütleli hesap modeli tleli hesap modeli

b: Ayrb: Ayrıık kk küütleli hesap modeltleli hesap model

(a)(a) (b)(b)

3.1 S3.1 Süürekli Krekli Küütleli Dinamik Hesap Modelitleli Dinamik Hesap Modeli

Bacanın sürekli kütleli ve sadece eğilme tesirleri dikkate alınarak modellenmesi halinde, bacanın serbest titreşimine ait hareket

denklemi, sönüm ihmal edilerek aşağıdaki gibi yazılır [9].

0y

)t,y(uEIt

)t,y(um 4

4

2

2

(8)

Bir ucu serbest, diğer ucu ankastre mesnetlendirilmiş

bacanın sınır koşulları

dikkate alınıp, (8) numaralı

diferansiyel denklem

çözüldüğünde, bacanın serbest titreşimine ait sonsuz adet açısal frekansları

hesaplanır. İlk dört moda göre hesaplanmış

açısal frekans

değerleri aşağıdaki gibidir.

5.0

1 mEI

h516.3ω

5.0

2 mEI

h03.22ω

5.0

3 mEI

h7.61ω

5.0

4 mEI

h9.120ω

(9)

Burada, m, bacanın yayılı

kütlesini; u(y,t), deplasman fonksiyonunu; t ve y sırasıyla zaman ve konum değişkenlerini; EI bacanın eğilme rijitliğini; ωi

, i inci moda ait açısal frekans değerlerini; h, baca yüksekliğini göstermektedir.

3.2 Topaklanm3.2 Topaklanmışış

KKüütleli Dinamik Hesap Modelitleli Dinamik Hesap Modeli

Kütlenin, baca yüksekliği boyunca belirli noktalarda topaklandığı kabulüne dayanan dinamik hesap modelinde, hareket denklemi, sönüm

ihmal edilerek, aşağıdaki matris denklem olarak yazılır.

}0{}y]{K[}y]{M[ (10)

Burada, [M], kütle matrisini; [K], sistem rijitlik

matrisini; {y}, deplasman vektörünü; , ivme vektörünü

göstermektedir. (10)

numaralı

matris-diferansiyel denkleminin çözümü

özdeğer-özvektör probleminin çözümüne indirgenerek, bacanın serbest titreşimine ait

açısal frekans değerleri ve mod

vektörleri hesaplanır.

}y{

3.2 Y3.2 Yöönetmeliklernetmelikler

Depreme dayanıklı

yapı

tasarımı

ve üretimi konusunda kullanılan yönetmeliklerden bazıları, yüksek sanayi bacaları

için de

kullanılmaktadır. Amerikan Beton Enstitüsü’nün yönetmeliği (ACI- 307 ), Üniform

Yapı

Yönetmeliği (UBC) ve Avrupa Yönetmeliği (EC

8-3) bu yönetmeliklere örnek olarak verilebilir. Ayrıca Alman yönetmeliği, bacalara etkiyen rüzgar yüklerinin belirlenmesinde kullanılmaktadır (DIN-1056) [10],[11],[12],[13].

5. PRAT5. PRATİİK AMAK AMAÇÇLI YAKLALI YAKLAŞŞIK AIK AÇÇISAL FREKANS ISAL FREKANS DENKLEMLERDENKLEMLERİİ

Yayılı

kütleli olarak modellenmiş, eğilme tesiri altındaki bacanın serbest titreşimine ait açısal frekans ve periyotlarının pratik amaçlı

olarak yaklaşık hesabına ilişkin literatürdeki yöntem aşağıda sunulmuştur [1].

Yöntemde bacanın temelinin mesnetlendiği

elastik zeminin davranışı, Kx

ve Kθ

yay katsayıları

ile temsil edilmektedir. Yöntemde, bacanın birinci moduna

ait açısal frekansı

aşağıdaki bağıntı

kullanılarak

hesaplanmaktadır.

5.0

2

21

1 mEI

hAω

(11)

İkinci moda ait açısal frekans denklemi aşağıdaki bağıntı

kullanılarak hesaplanmaktadır.

2

1

212 A

A

(12)

Burada A1

ve A2

değerleri, Sx

ve Sθ

boyutsuz katsayılarına bağlı

olarak sırasıyla (Şekil-2) ve (Şekil-3)’de sunulan grafikler kullanılarak belirlenmektedir. Sx

ve Sθ

boyutsuz katsayıları

aşağıdaki bağıntılar ile hesaplanmaktadır.

EIhKS3

xx

EIhKS θθ

(13)

(14)

ŞŞekil 2. ekil 2. Sx

ve Sθ

değerlerine bağlı

olarak A1

katsayıları

ŞŞekil 3. ekil 3. Sx

ve Sθ

değerlerine bağlı

olarak A2

katsayıları

Sanayi yapılarında kullanılan yüksek bacaların dinamik analizinde, serbest titreşime ait açısal frekansların belirlenmesi önemli bir yer tutmaktadır.

Bacanın mesnetlendiği

elastik zeminin özelliklerine bağlı

olarak, zemin davranışı, bağıntıları

literatürde verilen ötelenme ve dönmeye

karşı

elastik yaylar ile temsil edilebilmektedir.

Elastik zemine oturan, mesnet koşullarına bağlı, sürekli kütleli veya topaklanmış

kütleli hesap modelleri ile dinamik çözüm yapmak

olasıdır.

Pratik yaklaşımlar için, elastik zemine mesnetlendirilmiş

bacanın birinci ve ikinci modlarına

ait serbest titreşim açısal frekansları

ve

buna bağlı

olarak periyodları

çalışmada sunulan grafikler yardımıyla kolaylıkla hesaplanabilmektedir.

(Şekil-5)’de görüldüğü

gibi,yaklaşık bağıntılar kullanılarak hesaplanan, bacanın birinci moduna

ait açısal frekans değerleri,

özellikle kayma modülü

düşük olan zeminlerde, aynı

bacanın kütleleri sık noktalarda topaklanmış

olan hesap modeli ve SAP2000 programı

kullanılarak elde edilen açısal frekans değerlerine oldukça yakındır.

Çalışmada sunulan,elastik zemine oturan bacanın, serbest titreşimine ait birinci ve ikinci mod

açısal frekanslarının pratik amaçlar için

hesaplanmasına yönelik bağıntılar, SAP2000 paket programı kullanılarak elde edilen sonuçlara oldukça yaklaşmakta olup, açısal

frekansların yaklaşık değerlerin hesaplanması

açısından faydalıdır.

Öte yandan (Çizelge-3)’de görüldüğü gibi, bacanın zemine ankastre olarak mesnetlendiği

durumda, baca boyunca topaklanmış

kütle adedi

arttıkça elde edilen açısal frekans değerleri, sürekli kütleli model için analatik

bağıntılar kullanılmak suretiyle hesaplanan açısal frekans

değerlerine yaklaşmaktadır.

(Şekil-5), (Şekil-6) ve (Çizelge-2)’de görüldüğü

gibi, zeminin kayma modülü

değerleri arttıkça, hem birinci moda hem de ikinci moda ait

serbest titreşim açısal frekans değerlerinde artış

meydana gelmektedir.

7. TOPAKLANMI7. TOPAKLANMIŞŞ

KKÜÜTLELTLELİİ

DDİİNAMNAMİİK HESAP MODELK HESAP MODELİİNNİİN N ANALANALİİTTİİK K ÇÖÇÖZZÜÜMMÜÜ

Zemine ankastre mesnetle bağlı, sürekli kütle olan bacanın, kütlesinin belirli noktalarda topaklanmasıyla çok serbestlik dereceli hesap modeli aşağıdaki gibi elde edilir (Şekil-7).

(19) ve (20) numaralı

bağıntılar, (15) numaralı

hareket denkleminde yerine yazılırsa aşağıdaki bağıntı

elde edilir.

0aI1D 2

(21)

Burada [D], rijitlik

matrisi ve [I], birim matris olmak üzere aşağıdaki bağıntılar ile hesaplanırlar.

MFMKD 1 (22)

1....0.1.............1000..0100..001

I(23)

(21) numaralı

bağıntının sıfır olmayan çözümünün bulunabilmesi için olup, aşağıdaki determinant elde edilir. 0a

Sayısal uygulama kapsamında 50 metre yüksekliğinde, 1.6 metre çapında, 60 cm et kalınlığında ve sabit kesitli (Şekil-9)’da verilen bir sanayi bacasının kütlelerinin baca yüksekliği boyunca 10 metrede bir (5 kütleli) , 5 metrede bir (10 kütleli) ve 2.5 metrede bir (20 kütleli) topaklandığı

varsayılarak bacanın serbest titreşim analizine ait açısal

frekans değerleri hesaplanmış

ve mod

şekilleri çizilmiştir. 5 kütleli model (Şekil-10)’da, 10 kütleli model (Şekil-11)’de ve 20 kütleli model (Şekil-12)’de gösterilmiştir.

8. SAYISAL UYGULAMA8. SAYISAL UYGULAMA

ŞŞekil 9. ekil 9. Baca boykesit

ve en kesiti ŞŞekil 10. (ekil 10. (5) kütleli model

ŞŞekil 11. (ekil 11. (10) kütleli model ŞŞekil 12. (ekil 12. (20) kütleli model

5 kütleli topaklanmış

sisteme ait kütle matrisi, fleksibilite

matrisi ve dinamik matris aşağıda sunulmuştur.

5 kütleli topaklanmış

sistem için, (24) numaralı

bağıntı

ile tanımlanan özdeğer

probleminin çözümünden açısal frekans değerleri aşağıdaki

gibi elde edilmiştir.

ω1

= 4,88 rad/sn

ω2

= 28,32 rad/sn

ω3

= 70,07 rad/sn

ω4

= 122,94 rad/sn

ω5

= 190,72 rad/sn

Benzer şekilde 10 ve 20 kütleli topaklanmış

modele ait ilk 5 mod

için elde edilen açısal frekans değerleri; 5 kütleli topaklanmış

sisteme ait

açısal frekans değerleri ve sürekli kütleli modellenmiş

sistemin ilk 5 moduna

ait açısal frekans değerleriyle karşılaştırmalı

olarak (Çizelge-

4)’de sunulmuştur.

Açısal Frekans Değerleri(rad/sn)

5 Kütleli Topaklanmış

Model

10 Kütleli Topaklanmış

Model

20 Kütleli Topaklanmış

Model

Sürekli Kütleli Model

ω1 4,88 4,11 4,12 4,02

ω2 28,32 25,03 25,34 25,19

ω3 70,07 66,97 69,04 70,51

ω4 122,94 122,74 128,77 138,17

ω5 190,72 194,76 203,66 228,40

ÇÇizelgeizelge--4. Kar4. Karşışılalaşşttıırmalrmalıı

aaçısal frekans değerleri

Topaklanmış

kütleli modelden elde edilen açısal frekans değerleri, sürekli hesap modelinden elde edilen açısal frekans değerleri ile kıyaslandığında; topaklanmış

kütleli modele ait açısal frekans

değerlerinin, sürekli kütleli modele ait açısal frekans değerlerine yakınsadığı, ancak topaklanmış

kütle sayısının yetersiz kaldığı

gözlenmiştir.

Bu nedenle daha güvenilir sonuçlar elde etmek için ya topaklanmış kütle sayısı

artırılmalıdır ya da gerçek model olan sürekli kütleli

dinamik hesap modeli dikkate alınarak çözüm yapılmalıdır.

KAYNAKLARKAYNAKLAR

[1] Güven, N.,”Televizyon kuleleri ve sanayi bacaları”,Cilt I,1982,İstanbul.

[2] Fernandez,V.I., Dunner, R.A., et al, “Simplified

method

for seismic

analsis

of industrial

chimneys”,ACI Structural

Journal,

May.,2005.

[3]

Beriow

,B.,Schrot,G.Osterrieder,P.,”Dynamic

diagnostic

of transmission

towers”, Second

International

Conference,Structural

Dynamic

Modelling,1996,Glasgow.

[4]

Kausel,E., Res.Rep. ,R74-11,Department

of Civil Engineering,MIT,1974,USA.

[5]

ASCE 4-98,”Seismic

Analysis

of safety-related

nuclear structures

and

commentary”,American

Society

of Civil

Engineers,

1998,USA.

[6]

Gorbunov-Posadov,M.I.,Serebrjanyi,R.V.,”Design

of structures

on elastic

foundation”, Proc. 5th.Int.Conf.Soil

Mech.Found.Eng.,Vol. 1,1961,pp643-648.

[7]

Castelani,A.,”Construzioni

in zona sismica”,Milano,Mason Italia

Editori,1983,Italy.

[8]

Lambe,T.W.,Whitman,R.V.,”Soil

Mechanics”

,Jhon

Wiley and

Sons,1969,p. 553, USA.

[9]

Chopra,A.K.,”

Dynamics of Structures”,Prentice- Hall.Inc.,1995,USA.

[10] ACI-307,”

Standart

practice fort he design and construction of cast in place reinforced concrete chimneys”,American

Concrete

Institute,1998,Michigan.

[11] International Conference of Building Officials, Uniform Building Code, Chapter 23: Earthquake Design, 1997.

[12] Eurocode

8-1:”Design

provisions

for

earthquake

resistance

of structures”, Part

I: General Rules,1996,Beussels.

[13] DIN1056,Solid

Construction, free-standingchimneys,Deutsches Intitut

fur

Normung

e.V.,1984,p.28,Berlin.

[14] CICIND,”Model code

for

concrete

chimneys”, part

A:The

shell, International

Committee

on Industrial

Chimneys,2000, Switzerland.

[15] SAP2000 v.12,Structural

Analysis

Programme,version

12,

Computers

and

Structures

Inc., Berkeley.

BACA DİNAMİĞİ

Prof. Dr. Hikmet Hüseyin ÇATAL

BACA DBACA DİİNAMNAMİĞİİĞİ

Prof. Dr. Hikmet HProf. Dr. Hikmet Hüüseyin seyin ÇÇATALATAL