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X(+)
Y
bC
O L
E G
I O
C É
S A
R V
A L
L E
J O
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ÁNGULOS EN POSICIÓN NORMAL
Es aquel ángulo trigonométrico ubicado sobre el plano cartesiano, en
donde su vértice coincide con el origen de coordenadas, su lado inicial
está contenido en el semieje positivo de las abscisas y el lado final está
sobre cualquier cuadrante o sobre algún semieje.
El ángulo en posición normal es conocido también como ángulo estándar
o ángulo en posición canónica.
Sen(b) = ORCos(b) = ARTan(b) = OA
Csc(b) = ROSec(b) = RACtg(b) = AO
b
-OR
DE
NA
DA
-ABSCISA
RADIO
X
Y
b
-OR
DE
NA
DA
+ABSCISA
RADIO
X
Y
b
OR
DE
NA
DA
-ABSCISA
RADIO
X
Y(-A;O)
(-A;-O)
(A;-O)
O R A R O ASen Cos Tan
Csc Sec Ctg
4 4 4
444
y
x(+)β
> 0 ϵβ < 0 β ϵθθ > 0 θϵ
Ángulos en posición
normal:
LI
LF
LF
Ángulo "b" no está en
posición normal.
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS
EN POSICIÓN NORMAL
Con respecto a un punto que pertenece a la posición final del ángulo y
cuyo radio vector es R, se establece las siguientes definiciones:
Mnemotecnia:
A:Abscisa
O:Ordenada
R:Radio vector
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y
x
P(x;y)r
o
r2=x2+y2 →r= x2+y2
Sen = yr Csc = ry Cos = xr Sec = rx
Tan = yx Ctg = xy
xy
RADIO VECTOR Y LAS RAZONES
TRIGONOMÉTRICAS
Sea un ángulo en posición normal tal que un punto de su
lado final es ( -5 ; -1 2 ). Hallar las razones trigonométricas
de .
APLICACIÓN
MÉTODO (1) sin graficar
A:Abscisa = -5
O:Ordenada = -12
R:Radio vector = 13
Sen = -1213 Csc = 13-12
Cos = -513 Sec = 13-5Tan = -12-5 Ctg = -5
-12
MÉTODO (2) graficando
r2= (-5)2+(-12)2
r= 25+144 = 13
-12
- 5
1
3
X
Y
Sen = -1213 Csc = 13-12
Cos = -513 Sec = 13-5Tan = -12-5 Ctg = -5
-12
A partir de la gráfica:
Podemos observar del ejemplo anterior que las razones trigonométricas
pueden ser positivas o negativas, esto se debe a que las razones
trigonométricas dependen de la abscisa y la ordenada y estos valores
pueden ser positivos o negativos. (No olvidar que el radio vector es
positivo).
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Y
X
Todas las
RT son
Sen
Csc
Tan
Ctg
Cos
Sec
IIC
IC
IVCIIIC
(+)
(+)
(+)
(+)
SIGNO DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
IC IIC IIIC IVC
Sen y Csc + + - -
Cos y Sec + - - +
Tan y Ctg + - + -
C
u
a
d
ra
n
te
s
R
a
z
o
n
e
s
Son aquellos ángulos en posición normal cuyo lado
final pertenece a alguno de los semiejes del sistema
de coordenadas rectangulares.
En las figuras siguientes se muestran algunos
ángulos cuadrantales.
Características:
1. Un ángulo cuadrantal no pertenece a ningún
cuadrante
2. Los ángulos cuadrantales son múltiplos de
90°(90k) 0°; 90°;180°; 270°; 360°; 450°; 540°;
630°; 720°;.........
3. Se deduce que para determinar si un ángulo
es cuadrantal se debe dividir a dicho ángulo
entre 90° y solo si el resultado es un número
entero entonces será ángulo cuadrantal.
90°
270°
180°360°
ÁNGULOS CUADRANTALES
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Y
X(0;0)
90°
180°
270°
360°
Si un ángulo mide 1170° ¿Es ángulo
cuadrantal?
La respuesta es sí porque
1170°
90°
es igual a 13
(número entero).
1170°
Rta:1170° es cuadrantal
1170° 90°
....... 13
En forma general la ubicación de un ángulo (en el
sistema radial) se determina así: (k e Z)
(4k+1)π2
(4k+3)π2
(2k+1)π 2kπ
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Y si un ángulo mide 2030° ¿Es ángulo cuadrantal?
La respuesta es no porque
2030°
90°
no da como
resultado un número entero.
Rta:2030° no es cuadrantal
2030°
2030° 90°
50° 22
¿El ángulo 2090 es cuadrantal?
2090° 90°
2070° 23
20°
Rta:
2090°
no es cuadrantal
2090°
Nota:
Si la división es
exacta el ángulo
es cuadrantal
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¿A qué cuadrante pertenece 2050?
2050° 360°
1800° 5
250°
Rta:
2050° e IIIC
2050°
Para determinar el cuadrante al que pertenece un
ángulo se presentan tres casos.
Caso I: Si el ángulo es positivo y menor de una
vuelta.
En este caso es muy fácil determinar a qué cuadrante
pertenece un ángulo, por ejemplo: 120° ϵ240° ϵ330° ϵ
Caso II: Si el ángulo es positivo y mayor de una vuelta.
En este caso se divide al ángulo entre 360°, luego se
analiza el residuo de la división como en el caso
anterior, por ejemplo:
a Residuo=250°
250° ϵ a2050° ϵ
Nota: El ángulo residuo determina el cuadrante del
ángulo dado.
Caso III: Si el ángulo es negativo.
En este caso una forma de trabajar es sumando 360°
al ángulo o al residuo depende del caso, por ejemplo:
-20°: -20 + 360° = 340°e IVCa-20°e IVC
-1850°:
-1850° 360°
-5
-50°
a-50°+360°=310°e IVC
a-1850° ϵ
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0
1 0 -1 0
1
0 -1 0 1
0
N
0 N 0
N
0 N 0 N
1 N
-1 N 1
N 1
N -1 N
R.T 0° 90° 180° 270° 360°
Sen
Cos
Tan
Ctg
Sec
Csc
RT DE ÁNGULOS CUADRANTALES
Donde: N significa no definido
(o i o n i n)
(i o n o n i)
sen cos tan ctg sec csc
sen cos tan ctg sec csc
(-)
(-)
1) i=1;2) n: no definido
Mnemotecnia:
RT DE ÁNGULOS COTERMINALES
Sabemos que los ángulos coterminales tienen los
mismos elementos y que su diferencia es un número
entero de vueltas.
Propiedad:
Las razones trigonométricas de dos o más ángulos
coterminales son respectivamente iguales.
y
x
P(x;y)
ou
Senu=SenaCosu=CosaTanu=TanaCtgu=CtgaSecu=SecaCscu=Csca
RT(u)=RT(a)
-u=360°ka=360°k+u
De la gráfica:
En: RT(u)=RT(a)aRT(u)=RT(360°k+u)
aSen(20°)=Sen(360°k+20°)
Si: k=1aSen(20°)=Sen(380°)
Si: k=2aSen(20°)=Sen(740°)
Si: k=3aSen(20°)=Sen(1100°)
Si: k=-1aSen(20°)=Sen(-340°)
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CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA
Se denomina de esta manera a aquella circunferencia
cuyo centro coincide con el origen del sistema de
coordenadas rectangulares y cuyo radio tiene como
longitud la unidad.
180°
90°
270°
360°
r
=
1
u
180°
10°
20°
30°
40°
50°
60°
70°
80°90°
170°
160°
150°
140°
130°
120°
110°
100°
190°
200°
210°
220°
230°
240°
250°
260°
270°
280°
290°
300°
310°
320°
330°
340°
350°
360°
r
=
1
u
r
=
1
u
r
=
1
u
u1
u1
(Cosu;Senu)(-Cosu;Senu)
(-Cosu;-Senu) (Cosu;-Senu)
u2
u3
r
=
1
u
r
=
1
u
C.T.
x
2
+ y
2
= 1
r=1u
Senu
-Cosu
-Cosu
-Senu
u4
P(x;y)
Podemos observar que un ángulo u determina un único punto
P en la circunferencia trigonométrica, si dicho punto tiene
coordenadas (x;y) entonces definimos las razones
trigonométricas de u, de la siguiente manera:
Senu = y Cscu = 1yCosu = x Secu = 1x
Tanu = yx Ctgu = xy
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LÍNEAS TRIGONOMÉTRICAS
Como la circunferencia trigonométrica tiene de radio la
unidad, las razones trigonom étricas se pueden
representar mediante segmentos de recta, a dichos
segmentos (dirigidos) se les denomina líneas
trigonométricas.
Línea seno
El seno de un arco, es la ordenada de su extremo.
(ver gráfica anterior)
-1≤ Senu≤+1
Para los ángulos cuadrantales:
Sen0=0; Sen
π2 = 1, Senπ = 0; Sen
3π2 = -1; Sen2π = 0
Linea coseno
El coseno de un arco, es la abscisa de su extremo.
(ver gráfica anterior)
-1≤ Cosu≤+1
Para los ángulos cuadrantales:
Cos0=1; Cos
π2 = 0, Cosπ = -1; Cos
3π2 = 0; Cos2π = 1
Linea Tangente
180°
10°
20°
30°
40°
50°
60°
70°
80°90°
170°
160°
150°
140°
130°
120°
110°
100°
190°
200°
210°
220°
230°
240°
250°
260°
270°
280°
290°
300°
310°
320°
330°
340°
350°
360°
r
=
1
u
r
=
1
u
C.T.
x
2
+ y
2
= 1
Tan50°
Tan230°
Tan120°
Tan300°
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Linea Cotangente
180°
10°
20°
30°
40°
50°
60°
70°
80°90°
170°
160°
150°
140°
130°
120°
110°
100°
190°
200°
210°
220°
230°
240°
250°
260°
270°
280°
290°
300°
310°
320°
330°
340°
350°
360°
r
=
1
u
r
=
1
u
C.T.
x
2
+ y
2
= 1
Ctg150°=Ctg330°
Ctg40°=Ctg220°
Linea Secante
180°
40°
90°
130°
220°
270°
360°
C.T.
x
2
+ y
2
= 1
Sec220°
Sec40°
Sec130°
3π2
π2
2π π 0
1.57
1
2
3.14
4
4.71
5
6.28
0
En la CT:
bservación
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Linea Cosecante
180°
60°
90°
150°
220°
270°
310°
360°
C.T.
x
2
+ y
2
= 1
Csc150°
Csc60°
Csc310°
Csc220°
LÍNEAS AUXILIARES
Línea verso
versa = 1 - cosa
Línea coverso
cova = 1 - sena
Línea exsecante
exseca = seca - 1
CUADRO DE VARIACIÓN DE LAS RAZONES
TRIGONOMÉTRICAS
C
u
a
d
r
a
n
t
e
s
R
a
z
o
n
e
s
Sen
Cos
Tan
Ctg
Sec
Csc
I II III IV
:Significa que la RT crece
:Significa que la RT decrece
NOTA: Por convención la variación de las razones trigonométricas se
analiza suponiendo una rotación en sentido antihorario.
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EXTENSIÓN DE LAS RAZONES
TRIGONOMÉTRICAS
Basados en la variación de las líneas trigonométricas
podemos afirmar que:
-1≤ Senu≤+1 -1≤ Cosu≤+1
- ∞ u ∞ - ∞ u ∞- ∞ u≤ 1 ≤ u< ∞-∞ u≤ 1 ≤ Cscu< ∞
Es muy frecuente analizar la variación de las razones
trigonométricas en valor absoluto lo cual lleva a laborar
el siguiente cuadro:
C
u
a
d
r
a
n
t
e
s
R
a
z
o
n
e
s
Sen
Cos
Tan
Ctg
Sec
Csc
I II III IV
C D C D
D C D C
C D C D
D C D C
C D C D
D C D C
C: significa que la RT crece en valor absoluto.
D: significa que la RT decrece en valor absoluto.
APLICACIONES
Qué se puede afirmar acerca de las razones: coseno,
cotangente, cosecante en el IVC, cuando el ángulo
crece
Resolución:
cosx cotx cscx
El valor relativo:
En valor absoluto: C C C
En el IV cuadrante
aCrece en valor absoluto.
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u
(Cosu;Senu)(-Cosu;Senu)
(-Cosu;-Senu)(Cosu;-Senu)
COORDENADAS SIMÉTRICAS
u (Cosu;Senu)
(-Cosu;-Senu)
COORDENADAS OPUESTAS
CT
CT
u (-Senu;Cosu)
(Cosu;Senu)
TAMBIÉN SE CUMPLE:
CT
3π2
π2
2π π 0
1.57
1
2
3.14
4
4.71
5
6.28
0
bservaciones
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REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE
90°
360°180°
360°+ x
180°- x
270°- x
270° - x
270°
IICIC
IVC
IIIC
RT(360° x)= RT(x)
+
-
+
-
RT(180° x)= RT(x)
+
-
+
-
CASO I: Para ángulos positivos menores a una vuelta
90°+ x
90°- x
180°+ x360°- x
RT(270° x)= Co-RT(x)
RT(90° x)= Co-RT(x)+
-
+
-
+
-
+
-
RT(180°±x) = ±RT(x)
Sen(180°- 30°) = + Sen(30°) =
1
2
Sen(180°+ 30°) = - Sen(30°) =-
1
2
Cos(180°- 30°) = - Cos(30°) = -
3
2
Cos(180°+ 30°) = - Cos(30°) =-
3
2
Tan(180°- 45°) = - Tan(45°) = - 1
Tan(180°+ 45°) = + Tan(45°) =+1
Sec(240°)=Sec(180°+60°)=-Sec60°=-2
Csc(225°)=Csc(180°+45°)=-Csc45°=- √2
eIIIC
eIIIC
FÓRMULA:
eII Ó IIIC
IIC
IIIC
C O
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CASO II: Para ángulos positivos mayores a una vuelta
RT(360°k+x) = RT(x)
RT( +x) = RT(x)
k Є Z
Sea:θ>360°Entonces:
RT(θ)= RT(Residuo( θ360°
))
Los ángulos positivos mayores a una vuelta, tienen la forma360ºk + , donde k es un número entero y x es un ánguloagudo menor a una vuelta. Luego se cumple que:
RT(360°±x) = ±RT(x)
Sen(360°- 30°) = - Sen(30°) =-
1
2
Sen(360°+ 30°) = + Sen(30°) =+
1
2
Cos(360°- 30°) = + Cos(30°) =
3
2
Cos(360°+ 30°) = + Cos(30°) =+
3
2
Tan(360°- 45°) = - Tan(45°) = - 1
Tan(360°+ 45°) = + Tan(45°) =+1
Sec(300°)=Sec(360°-60°)=+Sec60°=+2
Csc(390°)=Csc(360°+30°)=+Csc30°=+2
eIVC
eIC
e IVC Ó IC
IVC
FÓRMULA:
Sen5050°= Sen10°
5050° 360°5040° 14 10°
Sen(360°x14+10°)= Sen10°
Ó así:
Aplicación:
NOTA: Si el residuo es mayor
a 90° continuar el caso I
C O
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CASO II: Para ángulos positivos mayores a una vuelta
Sen(-x) = - SenxCos(-x) = + CosxTan(-x) = - TanxCtg(-x) = - CtgxSec(-x) = + SecxCsc(-x) = - Cscx
Cuando los ángulos están escritos en radianes:
Reduzca Sen(28π-a)= Sen(-a) = - Sena
28π-a 2π28π 14 -a
-a
Par(π)
IC
IIC
IIIC
IVC
(28π-a)e IVC
Par
Reduzca Tan(61π+a)= Tan(a)
61π+a 2π60π 30 +a
Impar(π)
IC
IIC
IIIC
IVC
(61π+a)e IIIC
Impar
C O
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Reduzca Sen(
25π2 +a)= Cos(a)
IC
IIC
IIIC
IVC
25π2 +a 4π
2254
a
25 4 24 6 1 Indica que el ángulo está en la misma posición de
π2
(4k+1)
π2
+a
Reduzca Tan(
35π2 +a)= -Ctg(a)
IC
IIC
IIIC
IVC
35π2 +a 4π
2354
a
35 4 32 8 3 Indica que el ángulo está en la misma posición de
3π2
35 4 36 9 -1 Indica que el ángulo está en la misma posición de
3π2
(4k-1)
π2
+a
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IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
FUNDAMENTALES
DEMOSTRACIÓN DE LAS IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
r
=
1
u
u
u
Sen
u T
a
nu
C
t
gu
Secu
Csc
u
u
T
Tanu=SenuCosu
Ctgu=CosuSenu
Sen
2u + Cos
2u = 1
1
2
+ Tan
2u = Sec
2u→ 1 + Tan
2u = Sec
2u
1
2
+ Ctg
2u = Csc
2u→ 1 + Ctg
2u = Csc
2u
Identidades por Cociente
Identidades Pitagóricas
Cosu
Las identidades algebraicas usuales
(a+b)
2
=a
2
+2ab+b
2
(a-b)
2
=a
2
-2ab+b
2
(a+b)
3
=a
3
+3a
2
b+3ab
2
+b
3
(a-b)
3
=a
3
-3a
2
b+3ab
2
-b
3
a
2
-b
2
=(a-b)(a+b)
a
3
+b
3
=(a+b)(a
2
-ab+b
2
)
a
3
-b
3
=(a-b)(a
2
+ab+b
2
)
(a+b+c)
2
=a
2
+b
2
+c
2
+2(ab+bc+ac)
A partir de la figura se deducen:
X
Y