Product Vector
Transcript of Product Vector
การค�ณเวกการค�ณเวกเตอร�เตอร�
เวกเตอร�และสเกลาร�ข��นส�ง
การค�ณเวกเตอร�
1 Scalar Product or Dot product
2 Vector Product or Cross product
Scalar Product
cosABBA
ผลล�พธ�เป�น สเกลาร� ( เคร��องหมายน�าหน�าเป�น + หร�อ - ) ม�หน�วยเด�ยวก�บเวกเตอร�ท�� dot ก�น
ค�อขนาดของ
ค�อขนาดของ
ค�อม�มระหว�าง ก�บ
A
A
B B
A
B
ต�วอย�าง
N 10A
N 6B
N 4C
N 6D
N 6E
30
BA
1
AB
2
CB
3
DA
4
จงหาEB
5
? 1 BA
เฉลย N 10A
N 6B
N 60)0)(cos6(10 BA
เฉลย
? 2 AB
N 6B
N 10A
N 60)0)(cos10(6 AB
1
1
? 3 CB
เฉลย N 6B
N 4C
N 24)180)(cos4)(6( CB
? 4 DA
เฉลย
N 10A
N 6D
0)90)(cos6)(10( DA
-1
0
? 5 EB
เฉลย
N 6B
N 6E
30
)2
3)(36()30)(cos6)(6( EB
N 14.31)73.1)(18()3)(18(
ข อส�งเกตเก!"ยวก�บผลค�ณ scalar1 ถ าเวกเตอร�ขนานก�น ท&ศไปทางเด!ยวก�น จะได ผลค�ณมากส�ด A
B
ABABABBA 0cos
ข อส�งเกตเก!"ยวก�บผลค�ณ scalar (ต�อ)2 ถ าเวกเตอร�ท*าม�ม ผลค�ณน อยลงเร�"อย ๆ 900
A
B
cosABABBA
น�อยลง ๆ
ข อส�งเกตเก!"ยวก�บผลค�ณ scalar (ต�อ)2 ถ าเวกเตอร�ท*าม�ม ผลค�ณน อยลงเร�"อย ๆ 900
A
B
cosABABBA
น�อยลง ๆ
ข อส�งเกตเก!"ยวก�บผลค�ณ scalar (ต�อ)2 ถ าเวกเตอร�ท*าม�ม ผลค�ณน อยลงเร�"อย ๆ 900
A
B
cosABABBA
น�อยลง ๆ
ข อส�งเกตเก!"ยวก�บผลค�ณ scalar(ต�อ)3 ถ าเวกเตอร�ท*าม�มฉากก�นและก�น จะได ผลค�ณเท�าก�บศ�นย�
A
B
090cos ABABBA
ข อส�งเกตเก!"ยวก�บผลค�ณ scalar(ต�อ)4 ถ าเวกเตอร�ท*าม�ม ผลค�ณจะเป,นลบมากข-�นเร�"อย ๆ
18090
A
B
cosABABBA เป,นลบมาก
ข-�น ๆ
ข อส�งเกตเก!"ยวก�บผลค�ณ scalar(ต�อ)4 ถ าเวกเตอร�ท*าม�ม ผลค�ณจะเป,นลบมากข-�นเร�"อย ๆ
18090
A
B
cosABABBA เป,นลบมาก
ข-�น ๆ
ข อส�งเกตเก!"ยวก�บผลค�ณ scalar(ต�อ)4 ถ าเวกเตอร�ท*าม�ม ผลค�ณจะเป,นลบมากข-�นเร�"อย ๆ
18090
A
B
cosABABBA เป,นลบมาก
ข-�น ๆ
ข อส�งเกตเก!"ยวก�บผลค�ณ scalar(ต�อ)5 ถ าเวกเตอร�ท&ศตรงข ามก�น จะได ผลค�ณเป,นลบมากส�ด
AB
ABABABBA 180cos
180
180
ความร� ตร!โกณส*าค�ญ sin)90cos(
cos)180cos(
2
1)
2
1(30sin)3090cos(120cos
cos)180cos(
cos)360cos(
เช�น
2
3)
2
3(30cos)30180cos(210cos
ผลล�พท�การ dot ของเวกเตอร�หน-"งหน�วย
1cos)1)(1(ˆˆ oii
1cos)1)(1()ˆ()ˆ( oii
1180cos)1)(1()ˆ(ˆ ii
090cos)1)(1(ˆˆ ji
ผลค�ณ ผลค�ณ scalar scalar ในระบบพ&ก�ดคาร�ท&เซ!ยน ในระบบพ&ก�ดคาร�ท&เซ!ยน xyzxyz
i
ij
+x
-x
+y-y
+z
-z
j
j
k
k
1ˆˆ ii
1ˆˆ jj
1ˆˆ kk
1ˆˆ ii
1ˆˆ jj
1ˆˆ kk
ij ˆˆ
0)ˆ(ˆˆˆˆˆ jiijji
0)ˆ(ˆˆ)ˆ(ˆˆ jkijjk
0)ˆ(ˆ)ˆ(ˆˆˆ kikjki
1)ˆ(ˆ ii
1)ˆ(ˆ jj
1)ˆ(ˆ kk
ต�วอย�าง
iA ˆ3
jB ˆ4
jiD ˆ3ˆ4
kjiE ˆˆ2ˆ4
kjiF ˆˆˆ
kC ˆ
จงหา
BA
1
CA
2
0)ˆˆ)(12()ˆ4()ˆ3( jijiBA
0)ˆ()ˆ3( kiCA
CB
3
DA
4
เฉลย = 0
)ˆ3()ˆ3()ˆ4()ˆ3()ˆ3ˆ4()ˆ3( jiiijiiDA
)ˆˆ(9)ˆˆ(12 jiii
0)12(
12
? 5 FE
kjikjiFE ˆˆˆˆ2ˆ4
kjikkjijkjii ˆˆˆ)ˆ(ˆˆˆ)ˆ)(2(ˆˆˆˆ4
124
1
= 4 +0+0+0-2 +0+0+0 -1
ค�ณสมบ�ต&การ dot ท!"น�าสนใจ
ABBA
.1
CABACBA
)( .2
3 ถ า แล ว BA
BABBAABA
ขนาดของ
A
ขนาดของ
B
4 ถ า โดยท!" และ แสดงว�า 0 BA
0A
0B
BA
5 เราสามารถหาขนาดของเวกเตอร�ใดๆ(เช�น )โดยน*ามา dot ต�วเอง
A
AAA
AAA
2หร�อ
ต�วอย�าง จงหาขนาดเวกเตอร�ต�อไปน!� kjiA ˆˆ3ˆ2
kjB ˆˆ3
jiC ˆ3ˆ2
jD ˆ3
ว&ธ!ท*า 14194)1()3()2( 222 Aว&ธ!ท!" 1ว&ธ!ท!" 2
)ˆˆ3ˆ2()ˆˆ3ˆ2(2 kjikjiAAA
194 A
14
หาขนาดของ A
หาขนาดของ A
ว&ธ!ท!" 1
1019)1()3( 22 B
ว&ธ!ท!" 2
)ˆˆ3()ˆ3( kjkjBBB
1019
เฉลย 13C 3D
Vector Product
ผลล�พธ�เป�นเวกเตอร�
ค�อขนาดของ
ค�อขนาดของ
ค�อม�มระหว�าง ก�บ
A
A
B B
A
B
ขนาด sin))(( BA
A
B
BA
A
B
BA
ท&ศ
ข อส�งเกตเก!"ยวก�บผลค�ณ vector1 ถ าเวกเตอร�ขนานก�น ท&ศไปทางเด!ยวก�น จะได ผลค�ณเป,นศ�นย�
00sin ABBA
A
B
ข อส�งเกตเก!"ยวก�บผลค�ณ vector(ต�อ)2 ถ าเวกเตอร�ท*าม�ม ผลค�ณจะมากข-�นเร�"อย ๆ 900
B
A
BA
ข อส�งเกตเก!"ยวก�บผลค�ณ vector(ต�อ)2 ถ าเวกเตอร�ท*าม�ม ผลค�ณจะมากข-�นเร�"อย ๆ 900
B
A
BA
ข อส�งเกตเก!"ยวก�บผลค�ณ vector(ต�อ)2 ถ าเวกเตอร�ท*าม�ม ผลค�ณจะมากข-�นเร�"อย ๆ 900
B
A
BA
ข อส�งเกตเก!"ยวก�บผลค�ณ vector(ต�อ)3 ถ าเวกเตอร�ท*าม�ม ผลค�ณจะมากส�ด 90
B
A
BA
ข อส�งเกตเก!"ยวก�บผลค�ณ vector(ต�อ)4 ถ าเวกเตอร�ท*าม�ม ผลค�ณจะลดลงเร�"อย ๆ 18090
B
A
BA
ข อส�งเกตเก!"ยวก�บผลค�ณ vector(ต�อ)4 ถ าเวกเตอร�ท*าม�ม ผลค�ณจะลดลงเร�"อย ๆ 18090
B
A
BA
ข อส�งเกตเก!"ยวก�บผลค�ณ vector(ต�อ)4 ถ าเวกเตอร�ท*าม�ม ผลค�ณจะลดลงเร�"อย ๆ 18090
B
A
BA
ข อส�งเกตเก!"ยวก�บผลค�ณ vector(ต�อ)5 ถ าเวกเตอร�ท*าม�ม ผลค�ณจะเป,นศ�นย� 180
B
A
00sin)1)(1(ˆˆ ii
?ˆˆ ji
190sin)1)(1(ˆˆ jiขนาด
i# j
k
ท&ศทาง
k
kji ˆˆˆ จะได
ผลค�ณ ผลค�ณ vector vector ในระบบพ&ก�ดคาร�ท&เซ!ยน ในระบบพ&ก�ดคาร�ท&เซ!ยน xyzxyz
i
ij
+x
-x
+y-y
+z
-z
j
j
k
k
0ˆˆ ii
0ˆˆ jj
0ˆˆ kk
0ˆˆ ii
0ˆˆ jj
0ˆˆ kk
ij ˆˆ
0)ˆ(ˆ ii
0)ˆ(ˆ jj
0)ˆ(ˆ kk
ผลค�ณ ผลค�ณ vector vector ในระบบพ&ก�ดคาร�ท&เซ!ยน ในระบบพ&ก�ดคาร�ท&เซ!ยน xyzxyz
i
ij
+x
-x
+y-y
+z
-z
j
j
k
k
kji ˆˆˆ
kij ˆˆˆ
jki ˆˆˆ
jik ˆˆˆ
ikj ˆˆˆ
ijk ˆˆˆ
ij ˆˆ
kji ˆ)ˆ(ˆ
kij ˆ)ˆ(ˆ
jki ˆ)ˆ(ˆ
ijk ˆˆˆ
ทดสอบผลค�ณ ทดสอบผลค�ณ vector vector
i
ij
+x
-x
+y-y
+z
-z
j
j
k
k
)ˆ()ˆ( ki
ij ˆ)ˆ(
kj ˆˆ
jk ˆˆ
ij ˆˆ
j
k
i
i
kAjAiAA zyxˆˆˆ
kBjBiBB zyxˆˆˆ
)ˆˆˆ()ˆˆˆ( kBjBiBkAjAiABA ZyXZyX
)ˆˆˆ()ˆ(
)ˆˆˆ()ˆ(
)ˆˆˆ()ˆ(
kBjBiBkA
kBjBiBjA
kBjBiBiA
ZyXZ
ZyXY
ZyXX
)ˆ)(ˆ()ˆ)(ˆ()ˆ)(ˆ(
)ˆ)(ˆ()ˆ)(ˆ()ˆ)(ˆ(
)ˆ)(ˆ()ˆ)(ˆ()ˆ)(ˆ(
kBkAjBkAiBkA
kBjAjBjAiBjA
kBiAjBiAiBiA
ZZyZXZ
ZYyYXY
ZXyXXX
)ˆˆ)(()ˆˆ)(()ˆˆ)((
)ˆˆ)(()ˆˆ)(()ˆˆ)((
)ˆˆ)(()ˆˆ)(()ˆˆ)((
kkBAjkBAikBA
kjBAjjBAijBA
kiBAjiBAiiBA
ZZyZXZ
ZYyYXY
ZXyXXX
k j
k 0
0
i
j i 0
0)ˆ)(()ˆ)((
)ˆ)((0)ˆ)((
)ˆ)(()ˆ)((0
iBAjBA
iBAkBA
jBAkBA
yZXZ
ZYXY
ZXyX
)ˆ()ˆ(
)ˆ()ˆ(
)ˆ()ˆ(
iBAjBA
iBAkBA
jBAkBA
yZXZ
ZYXY
ZXyX
kBABAjBABAiBABABA XYyXZXXZyZZYˆ)(ˆ)(ˆ)(
ด�งน��น
Z
z
A
ˆ ˆ ˆ
BBB
AA
kji
BA
yx
yx
ต�วอย�าง
จงหาผลค�ณเวกเตอร�ตามร�ปต�อไปน!�
mr 6
NF 5
37
?Fr
Fr
หาขนาด
37sin)4)(5(sin))(( FrFr 5
3
37
4
35
mN. 12
เป,นเวกเตอร�ขนาด 12 N.m ท&ศพ� �งข-�นต��งฉากระนาบ ตอบ
Fr
,
ต�วอย�าง
จงหาผลค�ณเวกเตอร�ตามร�ปต�อไปน!�
mr 6
NF 5
37
?rF
rF
หาขนาด
37sin)5)(4(sin))(( rFrF 5
3
37
4
35
mN. 12
เป,นเวกเตอร�ขนาด 12 N.m ท&ศพ� �งลงต��งฉากระนาบ ตอบ
Fr
,
ต�วอย�าง
จงหาผลค�ณเวกเตอร�ตามร�ปต�อไปน!�
smv / 6
TB 5
Bv
หาขนาด
90sin)5)(6(sin))(( BvBv
1
smT /. 30
เป,นเวกเตอร�ขนาด ท&ศพ� �งลงต��งฉากระนาบ ตอบ
Bv
,
?Bv
smT /. 30
ต�วอย�าง
iA ˆ3
jB ˆ4
jiD ˆ3ˆ4
kjiE ˆˆ2ˆ4
kjiF ˆˆˆ
kC ˆ
จงหา
BA
1
CA
2
kkjijiBA ˆ12)ˆ(12)ˆ()ˆ()12()ˆ4()ˆ3(
jjkikiCA ˆ3)ˆ(3)ˆˆ(3)ˆ()ˆ3(
DA
3
kjiiDA ˆ9)ˆ3ˆ4()ˆ3(
FE
4
)ˆˆˆ()ˆˆ2ˆ4( kjikjiFE
)ˆˆˆ()ˆ()ˆˆˆ()ˆ2()ˆˆˆ()ˆ4( kjikkjijkjii
)0ˆˆ()ˆ20ˆ2()ˆ4ˆ40 ijikjk
)ˆ2ˆ4()ˆˆ4()ˆˆ2( kkjjii
kji ˆ6ˆ5ˆ
kjiE ˆˆ2ˆ4
kjiF ˆˆˆ
1- 1 1
1 2- 4
ˆ ˆ ˆ
kji
FE
1 1
2- 4
ˆ ˆ
ji
i2 j k4 k2 i j4
)24()4()ˆˆ2( kkjjiiFE
kjiFE 65ˆ
ค�ณสมบ�ต&การ cross ท!"น�าสนใจ
)( 1 ABBA
2 ถ า โดย แสดงว�า ขนานก�น 0 BA
0, BA
BA
,
3 ถ า เป,นสเกลาร�
m
mBA
BmA
BAmBAm
)(
)(
)()(
ค�ณสมบ�ต&การ cross ท!"น�าสนใจ ( ต�อ )
CABACBA
)( 4
CBABCACBA
)()()( 5
ACBBCACBA
)()()( 6
)()()( 7 BACACBCBA