20 Hipótesis, apuntes científicos uniandinos, núm. 13, noviembre del 2012

Problemas y rompecabezas

en esta ocasión, nuestro primer problema nos demuestra cuán interesante y difícil puede ser practicar un juego correctamente, aun si es ejecutado sobre un dominio “relativamente pequeño” como es un tablero de 4 por 4. en segundo lugar, presentamos un problema muy sencillo, pero que nos demuestra que aun dentro de las matemáticas elementales, extraer la información matemática de un enunciado es un verdadero arte y para algunos un verdadero rompecabezas. y finalmente tenemos un ejercicio de probabilidad, en el cual queremos ver si podemos formalizar lo que nuestra intuición nos dice, o si es posible que nuestra intuición nos engañe. en el próximo número veremos las soluciones de estos problemas, así como referencias precisas de su origen y temas para investigación futura con base en los enunciados que siguen.

Problema 1

Describimos a continuación las reglas de un juego que se realiza en un tablero cuadriculado de 4x4 entre dos jugadores que llamaremos A y B.

• los dos jugadores se alternan escogiendo casillas que aún no han sido eliminadas del tablero. el jugador A es quien comienza el juego.

• en cada jugada, cuando un jugador escoge una casilla, se elimina del tablero la casilla escogida y, adicionalmente, todas las casillas que no se encuentren debajo ni a la izquierda de la casilla escogida.

los siguientes diagramas ilustran el efecto que produce realizar dos jugadas sucesivas: en rojo se indica la casilla marcada en cada jugada y en negro se indican las casillas eliminadas.

Sandor OrtegónProfesor de cátedra del Departamento de Matemáticas de la Universidad de los Andes, sj.ortegon@uniandes.edu.co.

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• Pierde el jugador que se vea obligado a marcar la casilla ubicada en la esquina inferior izquierda del tablero; el otro es el ganador del juego.

¿es posible demostrar que en este juego, el jugador A tie-ne estrategia ganadora? es decir, ¿es posible demostrar que dicho jugador tiene un método para decidir qué jugada realizar en cada turno, de manera que garantice que no perderá, sin importar las jugadas que realice su oponente?

¿qué jugada (o jugadas) puede realizar A en su primer turno como parte de su estrategia para asegurar la vic-toria en el juego? ¿qué sucedería si el juego se realizara sobre un tablero cuadriculado inicial de 5x5 o aún más grande? sugerimos que busque otra persona para prac-ticar el juego y comprenderlo mejor y, desde luego, si usted desea resolver el problema, póngase en el lugar del jugador B.

Problema 2

la suma de las edades de un barco y su capitán es igual a 70. ¿Cuál es la edad del capitán, si se sabe que el bar-co actualmente tiene el doble de la edad que el capitán tenía cuando el barco tenía la misma edad que tiene el capitán actualmente?

Problema 3

ana, Bernardo y Carlos organizan un torneo de tenis de mesa entre ellos siguiendo las siguientes reglas:

a) el jugador más débil escoge las dos personas que juegan de primero.

b) el ganador de un juego se queda en la mesa y juega a continuación con la persona que no jugó en el turno anterior.

c) la primera persona que gane dos juegos es con-siderada vencedora del torneo.

suponga que ana es la jugadora más fuerte y Carlos es el jugador más débil (hablamos aquí en términos de la probabilidad de ganar un enfrentamiento con otro del grupo) y supongamos que la probabilidad que tiene un jugador de ganar un juego contra un jugador específico no cambia durante el torneo.

¿qué personas debe escoger Carlos para el primer juego del torneo para maximizar sus posibilidades de ganar el campeonato? ¿Habría alguna diferencia si la última regla dijera “la primera persona que gana N jue-gos es considerada vencedora del torneo”, donde N es mayor que 2?

An English Sloop Becalmed near the Shore – Francis Swainefuente: http://commons.wikimedia.org/wiki/file:francis_swaine_-_an_english_sloop_Becalmed_near_the_shore_-_google_art_Project.jpg

22 Hipótesis, apuntes científicos uniandinos, núm. 13, noviembre del 2012

soluciones del número 11

Problema 1

El ciego, el tuerto y el vidente. Hay tres personas, una es ciega, otra es tuerta y la tercera es vidente. les informan que hay dos sombreros rojos y tres blancos. le pondrán a cada uno un sombrero en la cabeza sin que lo pueda ver y los dos restantes serán escondidos. el reto para cada uno es decir el color del sombrero que tiene sobre su cabeza. le preguntan al que ve bien, pero obervando los sombreros del tuerto y del ciego dice que no sabe cuál es el color de su sombrero. Hacen la misma pregunta al tuerto que observa los respectivos sombreros del ciego y del vidente, y contesta igualmente que no sabe el color de su sombrero. Por el contrario, en su tur-no, el ciego inmediatamente dice el color de su sombrero. ¿qué color era?

Solución

el color del sombrero que tenía la persona ciega era blanco. observemos que si las tres personas tenían puestos sombreros blancos, sucede justo lo mencionado en el enunciado del problema –que el vidente y el tuerto no tienen información suficiente para determinar el color de sus sombreros–. ahora, vamos a justificar por qué el sombrero que llevaba la persona ciega necesariamente era blanco.

supongamos lo contrario, que dicho sombrero era rojo. si el vidente vio los sombreros de sus dos compañeros y no pudo determinar el color de su sombrero, es porque vio un sombrero rojo y uno blanco –si hubiera visto dos sombreros rojos, sabría inmediatamente que su sombrero era blanco–; es decir, vio que el tuerto tenía un sombrero blanco. Pero entonces el tuerto, al ver el sombrero rojo del ciego y comprender por qué el vidente no pudo saber el color de su sombrero, hubiera llegado a la conclusión de que su sombrero era blanco; es decir, el tuerto sí hubiera sabido cuál era el color de su sombrero, llegando así a una contradicción con el enunciado del problema.

en conclusión, el sombrero del ciego era blanco.

Pregunta sencilla: ¿es posible determinar el color de los sombreros del tuerto y del vidente? ¿o existe más de una posibilidad en este caso?

Problema 2

Las dos cintas. tome una cinta y pongala a lo largo del ecuador de un balón, e imagínese otra cinta alrededor del ecuador de la tierra que consideramos completamente esférica. ahora, si quiere levantar cada cinta un metro por encima de su esfera respectiva, ¿cuántos metros más de cinta habrá que agregarles a la de la tierra y a la del balón?

Solución

si el ecuador de la tierra fuera una circunferencia de radio R, medido en metros, bajo la suposición hecha en el enunciado del problema, la cantidad de metros de cinta que se debería agregar a la cinta original sería de 2π(R + 1) –la longitud de la circunferencia de radio un metro

mayor que el del ecuador– menos 2πR, la longitud del ecuador; es decir, 2π(R + 1) − 2πR = 2π.

nótese que el mismo razonamiento aplica al balón; si suponemos que el balón tiene radio r, la cantidad de metros de cinta que se deben agregar es 2π(r + 1) − 2πr = 2π. en otras palabras, a pesar de la diferencia de tamaño entre la tierra y el balón, la respuesta a la pregunta sería la misma; es decir, no depende del radio de la esfera original, contrario a lo que algunas personas podrían suponer a simple vista.

Problema 3

Los 40 ladrones. una banda de 40 ladrones ha sido arrestada en la ciu-dad de Bagdad y cada uno de ellos tiene un grillete que lleva el número de la celda que ocupa, es decir un número entre 1 y 40. entre ellos está el hijo del sultán. en vista de las circunstancias, el sultán anuncia al jefe de los ladrones que ha decidido tomar una medida de clemencia: “mañana en la mañana se reunirán en el patio de la prisión dispuestos en un círculo en el orden que tú mismo elijas. en primer lugar, voy a liberar a mi hijo que es el número 1. Después contaré los espacios entre hombres girando en el sentido del sol: primero uno, correspondiente al número 1, y liberaré al hombre siguiente a mi hijo; luego contaré un número de espacios igual al número inscrito sobre el grillete del recién liberado y salvaré al hombre siguiente, y así sucesivamente. Como contaré el número de los espacios y no de los hombres, llegaré en un momento dado al lugar de un ladrón ya liberado. entonces los que quedan serán ejecutados. en tu caso, que llevas el número 2, exijo que no seas liberado antes de la mitad de tus cómplices”. el jefe de los ladrones tuvo la noche para pensar y organizó a sus hombres de tal manera que, en la mañana siguiente, todos los ladrones lograron sobrevivir. ¿Cómo lo hizo?

Solución

Hay muchas soluciones a este problema; una de ellas consiste en ubi-car a los prisioneros en el círculo en el siguiente orden, según la celda que ocupan:

1,38,36,34,32,30,28,26,24,22,20,18,16,14,12,10,8,6,4,2,40,39,37,35,33,31,29,27,25,23,21,19,17,15,13,11,9,7,5,3

Para facilitar la comprensión de la solución, identificaremos a cada pri-sionero con el número de la celda que ocupa. además, suponiendo que todos serán liberados, para cada i con 1 ≤ i ≤ 40, denotamos por ai al prisionero que será liberado en el i-ésimo turno.

vamos a traducir a términos matemáticos las condiciones dadas en el enunciado del problema.

a) es claro que el orden de liberación no es el mismo orden de las posiciones ocupadas por los prisioneros en el círculo. la relación

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entre los dos órdenes se obtiene de la siguiente manera. toma-mos como posición inicial en la circunferencia la del prisionero 1, el hijo del sultán, que es además el prisionero a1 pues será el primero en ser liberado. entonces, la posición en el círculo que ocupa el prisionero ai, siendo i ≥ 2, es igual a 1 + ∑ ak

i−1

k = 1 (módulo 40).

b) la condición sobre el prisionero que lleva el número 2 se puede traducir así: ai ≠ 2

si i < 40/2 = 20.

c) la condición para que todos los prisioneros sean liberados se puede traducir así: para i, j cualesquiera, con 1 ≤ i ≤ j < 40, se cumple que ∑ ak ≠ 0

j

k = i (módulo 40).

d) los números de las celdas son precisamente los números enteros entre 1 y 40, lo que se puede traducir así: (a1, a2,…, a40) es una permutación de (1, 2,…, 40).

así que el problema en cuestión consiste en encontrar números a1, a2,…, a40, que cumplan las condiciones (b), (c) y (d). una vez encontrados estos números, podemos determinar la posición que ocupan los prisio-neros en el círculo usando la condición (a).

si cambiamos el número 40 en el enunciado del problema –y en lo que va escrito de la solución– por un entero positivo N > 2, podemos establecer de una vez las siguientes conclusiones generales:

• aN = N. la razón es que si ai = N para algún entero positivo i < N, al ser N = 0 (módulo N), la condición (c) no se cumpliría si se toma j = i.

• N debe ser un número par. la razón es que si remplazamos en la condición (c) i = 1, j = N − 1, se cumple que ∑ ak

N − 1

k = 1 no debe ser

múltiplo de N. Pero como aN = N, por la condición (d), se sigue que ∑ ak = ∑ k = N (N − 1)

2N − 1 N − 1

k = 1 k = 1 y éste sería un múltiplo de N, si N − 1 fuera par

y N impar. en otras palabras, el problema no se podría resolver si hubiera un número impar de ladrones.

ahora, continuando en la situación general con N ladrones, siendo N un número par mayor que 4, se puede demostrar que si definimos aN = N y ai = i(−1)i − 1, módulo N, para cada i < N , las condiciones (b), (c) y (d) se cumplen. este es un ejercicio mecánico pero interesante que se puede dejar para la verificación del lector.

usando esta solución general, en el caso particular de N = 40, la se-cuencia de los números ai corresponde a los números 1, 38, 3, 36,…, 37, 2, 39, 40, donde los puntos suspensivos denotan que se compren-de la mecánica, y el prisionero número 2 será el antepenúltimo en ser liberado. usando la condición (a), podemos encontrar una disposición de los prisioneros en el círculo que satisface lo pedido en el problema:

1,38,36,34,32,30,28,26,24,22,20,18,16,14,12,10,8,6,4,2,40,39,37,35,33,31,29,27,25,23,21,19,17,15,13,11,9,7,5,3

existen otras formas de ubicar a los prisioneros para asegurar que to-dos logren sobrevivir, pero sabemos que existe al menos una con la cual el jefe de los ladrones pudo garantizar el beneficio de sus cómplices. •

Ali Baba y los cuarenta ladrones – Laurence Housmanfuente: http://commons.wikimedia.org/wiki/file:their_chief_in_a_low_but_distinct_voice_uttered_the_two_words.jpg