Problemas Resueltos sobre Límites y Continuidad...Problemas Resueltos sobre Límites y Continuidad....
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Problemas Resueltos sobreLímites y Continuidad
Calculators
Repaso de Problemas típicos3 2
3 2
1lim3 5 2x
x x xx x x→∞
+ + ++ + +
2
2
3 2lim2x
x xx→
− +−
21
( )( )→
2
0
senlim
senx
xx x
3 2 2lim 1 1x
x x→∞
+ − − 2 2lim 1 1x
x x x x→∞
+ + − − −4
→ + + − − +2 20
2lim2 1 3 1x
xx x x x
( )→0
sen 3lim
6x
xx
5 6
( )( )→0
sen senlimx
xx
7 8
9 10( )
( ) ( )→
+
+ + − − +2 20
2senlim
2sen 1 sen 1x
x x
x x x x
( )π
→ +
t g x
2
lim ex
Calculators
Repaso de Problemas( )=¿Dónde es t g continua?y x11
( )φφ⎛ ⎞
= ⎜ ⎟−⎝ ⎠2
1¿Dónde es continua f sen ?112
( ) ( ) −= ≠
−=
2
¿Qué ha de valer f 0 para que la función f , 0, 1
sea continua en 0?
x xx xx
x13
( ) ( )
( )
− − −= = − = =
+ −
⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠
2
0 0
0
Determinar las discontinuidades evitables de las siguientes funcionesen los puntos indicados:
2 8 1a) f , 2, b) g , 12 1
1c) h sen , 0
x x xx x x xx x
t t tt
( ) = ∞Demostrar que la ecuación sen e tiene solutiones.xx
14
15
Calculators
Métodos para el cálculo de Límites
1 Casos de indenterminación: ∞∞
∞ − ∞ ∞ ∞∞
0 000 , , , ,0 , ,1 .
0
Si la función, de la que se está calculando el límite, estádefinida por una expresión algebraica que toma un valor finitoen el punto límite, ese valor es el límite buscado.
3
Si la función, de la que se está calculando el límite, no se puede evaluar en el punto límite (p.e. porque aparece unaindeterminación (1)), entonces re-escribir la función en forma que se pueda calcular el límite.
4
Aritmética del :∞2
( )∞= = ∞ ∞ × = −∞
∞0, , númber o negativ o .
número positivo a
Calculators
Simplificaciones y MétodosFactorizar ó simplificar:1 ( ) ( ) 2 2.a b a b a b+ − = −
Eliminar factores comunes en functiones racionales:2
( ) ( )2
1
1 111 2.
1 1 x
x xxx
x x →
− +−= = + ⎯⎯⎯⎯→
− −Si aparece una raíz cuadrada, multiplicar y dividir por la expresión conjugada:
3
( ) ( )
( ) ( )
1 2 1 21 2
1 21 2 3
01 2 1 2 x
x x x xx x
x xx x
x x x x →∞
+ − + + + −+ − − =
+ + −+ − −
= = ⎯⎯⎯⎯→+ + − + + +
Usar el hecho:4( )
→=
0
senlim 1.x
x
x
Calculators
Continuidad de FuncionesSi las funciones son contínuas (p.e. definidas por expresioneselementales de polinomios, funciones racionales, trigonométricas, exponenciales o sus inversas) el límite se calcula sustituyendo el punto al que tiende la variable independiente.
1
Si la función f es continua en el punto x = a entonces:2
Si f es continua, f(a) < 0 y f(b) > 0, entonces hay un punto centre a y b tal que f(c) = 0.
4
( ) ( )limf f .x a
x a→
=
Ejemplos de funciones no continuas en x = 0:3
( ) ( ) ( )⎛ ⎞= = =⎜ ⎟⎝ ⎠
1 1f ,g sen ,h .
xx x x
x x x
Se utiliza parademostrar queuna ecuacióntiene solución.
Teorema del Valor Medio para Functiones Continuas
Calculators
Límites: factorizar y simplificar:2
2
3 2lim2x
x xx→
− +−
Problema 1
( )( )− −− += = −
− −
2 1 23 2Re-escribir 1.2 2
x xx x xx x
Solución
( )→ →
− += − =
−
2
2 2
3 2Por tanto lim lim 1 1.2x x
x x xx
Calculators
Límites elementales3 2
3 2
1lim3 5 2x
x x xx x x→∞
+ + ++ + +
Problema 2
Solución3 2 2 3
3 2
2 3
1 1 111 1.3 5 23 5 2 1x
x x x x x xx x x
x x x
→∞
+ + ++ + += ⎯⎯⎯→
+ + + + + +
Lo haremos más directo: sin más que considerar los términosde mayor grado, o más aún, igualando al cociente de los coeficientes principales.
→∞
+ + += =
+ + +
3 2
3 2
1 1lim 13 5 2 1x
x x xx x x
Problema 2
Calculators
Límites: expresión conjugada2 2lim 1 1
xx x
→∞+ − −Problema 3
Solución Re-escribimos
( )( )2 2 2 2
2 2
2 2
1 1 1 11 1
1 1
x x x xx x
x x
+ − − + + −+ − − =
+ + −
( ) ( ) ( ) ( )2 2
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 21 1 1 1 1 1
x x x x
x x x x x x
+ − − + − −= = =
+ + − + + − + + −
→∞ →∞+ − − = =
+ + −2 2
2 2
2Por tanto lim 1 1 lim 0.1 1x x
x xx x
Calculators
Límites2 2lim 1 1
xx x x x
→∞+ + − − −Problema 4
Solución Re-escribimos
( ) ( )2 2
2 2 2 2
1 1 2 21 1 1 1
x x x x xx x x x x x x x
+ + − − − += =
+ + + − − + + + − −
( )2 2
2 22 2
2 2
1 1
1 1 1 11 1
x x x x
x x x xx x x xx x x x
+ + − − − =
+ + + − −+ + − − −
+ + + − −
Ahora nosquedamos con los términos de mayor grado en x.
→∞⎯⎯⎯→ =+2 2
2 2 12x
xx x
Calculators
LímitesProblema 5
→ + + − − +2 20
2lim2 1 3 1x
xx x x x
Solución
( )( ) ( )
( )+ + + − + + + + − += =
++ + − − +
2 2 2 2
2 2 22 2
2 2 1 3 1 2 2 1 3 1
42 1 3 1
x x x x x x x x x x
x xx x x x
( )( )( )
=+ + − − +
+ + + − +
+ + − − + + + + − +
2 2
2 2
2 2 2 2
22 1 3 1
2 2 1 3 1
2 1 3 1 2 1 3 1
xx x x x
x x x x x
x x x x x x x x
( ) ( )→
+ + + − + + +⎯⎯⎯→ =
+
2 2
0
2 2 1 3 1 2 1 11
4 4x
x x x x
x
Re-escribimos
Menor grado en x.
Calculators
Límites( )
→0
sen 3lim
6x
xx
Problema 6
Solución
( ) ( )=
sen 3 sen 31Re-escribimos 6 2 3
x xx x
( )α
αα→
=0
senUsamos que lim 1.
( ) ( )→ →
= =0 0
sen 3 sen 3 1Como lim 1, se concluye que lim .3 6 2x x
x xx x
Calculators
Límites( )( )
→0
sen senlimx
xx
Problema 7
Solución Re-escribimos:
( )
( )( )( )
( )
α
αα
α→
→
=
=
=
0
0
sencomo lim 1. En lo anterior, se aplicó
primero al sustituir sen .
sen senPor tanto lim 1.
senx
x
xx
( )( ) ( )( )( )
( )→= ⎯⎯⎯→0
sen sen sen sen sen1
sen x
x x xx x x
Calculators
Límites( )( )→
2
0
senlim
senx
xx xProblema 8
Solución Re-escribimos:
( )( )
( )( ) →= ⎯⎯⎯→
2 2
02
sen sen1
sen sen x
x x xx x x x
Calculators
LímitesProblema 9 ( )
( ) ( )→
+
+ + − − +2 20
2senlim
2sen 1 sen 1x
x x
x x x xSolución
( )( ) ( )
( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )
+=
+ + − − +
+ + + + − +
+ + − − + + + + − +
2 2
2 2
2 2 2 2
2sen
2sen 1 sen 1
2sen 2sen 1 sen 1
2sen 1 sen 1 2sen 1 sen 1
x x
x x x x
x x x x x x
x x x x x x x x
Re-escribimos
( )( ) ( ) ( )( )( )( ) ( )( )
( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )
+ + + + − +=
+ + − − +
+ + + + − +=
− + +
2 2
2 2
2 2
2 2
2sen 2sen 1 sen 1
2sen 1 sen 1
2sen 2sen 1 sen 1
sen 2sen
x x x x x x
x x x x
x x x x x x
x x x x
Calculators
LímitesProblema 9
( )( ) ( )→
+
+ + − − +2 20
2senlim
2sen 1 sen 1x
x x
x x x xSolución(cont.)
( )( ) ( )
( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )
+
+ + − − +
+ + + + − +=
− + +
2 2
2 2
2 2
2sen
2sen 1 sen 1
2sen 2sen 1 sen 1
sen 2sen
x x
x x x x
x x x x x x
x x x x
(
Re-escribimos
) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )
⎛ ⎞+ + + + − +⎜ ⎟
⎝ ⎠=− + +
2 2sen1 2 2sen 1 sen 1
sen sensen 2 1
xx x x x
xx x
x xx x
→
×⎯⎯⎯→ =
+03 2 2.2 1x
Se ha usado que sen(x)/x se acerca a 1 cuando x → 0.
Dividimos por x.
Calculators
Límites Laterales( )
π→ +
t g x
2
lim ex
Problema 10
Solución
( ) ( )
( )
π
π
π π→ +
→ +
< < < = −∞
=2
t g
2
Para , t g 0 and lim t g .2
Por tanto lim e 0.
x
x
x
x x x
Calculators
Continuidad( )=¿Dónde es continua la función t g ?y xProblema 11
Solución
( ) ( )( ) ( )
( ) π π
= = ≠
= ≠ + ∈
sent g es continua siempre que cos 0.
cos
Por tanto t g es continua para , .2
xy x x
x
y x x n n
Calculators
Continuidad( )φ
φ⎛ ⎞
= ⎜ ⎟−⎝ ⎠2
1¿Dónde es continua la función f sen ?1Problema 12
( )φφ⎛ ⎞
= ⎜ ⎟−⎝ ⎠2
1La función f sen es continua en todos los puntos 1
donde toma valores finitos.
Solución
φφ φ
⎛ ⎞= ± ⎜ ⎟− −⎝ ⎠
2 2
1 1Si 1, no es finito, y sen no está definido.1 1
φφ φ
⎛ ⎞≠ ± ⎜ ⎟− −⎝ ⎠
2 2
1 1Si 1, es finito, y sen está definido y es finito.1 1
φφ⎛ ⎞
≠ ±⎜ ⎟−⎝ ⎠2
1Por tanto sen es continua para 1.1
Calculators
Continuidad( )
( ) −= ≠ =
−
2
Determinar f 0 para que la función
f , 0, sea continua en 0.1
x xx x xx
Problema 13
Solución
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )→ →
→ → →
= =
−−= = = =
− −
0
0
0 0
2
0 0 0
La condición de continuidad de una función f en un punto es:lim f f . Por tanto f 0 debe cumplir f 0 lim f .
1Es decir f 0 lim lim lim 0.
1 1
x x x
x x x
xx x x
x xx x xx x
Calculators
Continuidad( )
( )
0
0
Un número en el que una función f está indefinida or es infinito se llama una de la función f . La singularidad es
, si f se puede definir de tal msingulari
anera quedad
e l
via
t
ablfu ón
enci
x x
x= 0f se convierte en continua en .x x
Problema 14
( )
( )
( )
− −= = −
+−
= =−
⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠
2
0
0
0
¿Qué funciones de las siguientes tienen singularidades evitables en los puntos indicados?
2 8a) f , 22
1b) g , 11
1c) h sen , 0
x xx xx
xx xx
t t tt
solución
Evitable
No evitable
No evitable
Calculators
ContinuidadProblema 15 ( ) =Demostrar que la ecuación sen e tiene
inifinitas soluciones.
xx
( )π π⎛ ⎞< < < + = − ∈⎜ ⎟⎝ ⎠
Nótese que 0 e 1 para 0, y que sen 1 , .2
nx x n n
( )
( )
π π
π π
< = +
> = +
Por tanto f 0 para si is un número impar negativo 2
y f 0 para si es un número par negativo.2
x x n n
x x n n
Solución ( ) ( ) ( )= ⇔ = − = sen e f sen e 0.x xx x x
Por el Teorema de valor medio, una función continua tomacualquier valor entre dos de sus valores. Basta demostrar que la función f cambia de signo infinitas veces.
( )π ππ π⎛ ⎞+ + + ∈ <⎜ ⎟⎝ ⎠
Por tanto en cada intervalo de la forma 2 , 2 1 , and 0, 2 2
hay una solución de la ecuación original. En consecuencia hay infinitas soluciones.
n n n n