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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO FACULTAD DE INGENIERÍA ELÉCTRICA Y ELECTRÓNICA ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA ELÉCTRICA
CURSO : MECÁNICA DE SÓLIDOS I
PROFESOR : Ing. JORGE MONTAÑO PISFIL
PROBLEMAS RESUELTOS DE FUERZAS EN VIGAS Y CABLES
PROBLEMA Nº 1
La viga compuesta tiene un soporte fijo en A, está conectada mediante un pasador en B y se sostiene
por medio de un rodillo en C. Trace los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante para la
viga.
Resolución
Para resolver este problema, primero analizamos la viga completa o viga compuesta ABC (viga
conformada por las vigas AB y BC) y luego una de sus partes, de esta manera determino las
reacciones en los apoyos A, B y C.
Análisis de la viga compuesta ABC
Por segunda condición de equilibrio: 0 Totales
AM
A B C
3 pies 6 pies
piebf /500
A B
C
3 pies 6 pies
bf4500
4,5 pies
CR
YAR
XAR
AM
+
0)5,4(45009 CA RM piebfRM CA 202509 . . . (1)
Por primera condición de equilibrio:
0 XF 0XAR
0 YF bfRR CAY4500 . . . (2)
Análisis de la viga BC
Por segunda condición de equilibrio: 0 Totales
BM
0)3(3000)6( piesbfpiesRC bfRC 1500
Por primera condición de equilibrio:
0 XF 0XBR
0 YF bfRR CBY3000 bfR
YB 1500
Reemplazando en la ecuación (1), tenemos que: piebfM A 6750
Reemplazando en la ecuación (2), tenemos que: bfRYA 3000
Determinación del número de cortes y análisis de segmentos de viga obtenidos
Desde el extremo A de la viga compuesta hasta el extremo C, es suficiente hacer un solo corte, porque
entre dichos extremos solo hay un tipo de fuerzas distribuidas y no actúan más fuerzas o momentos
externos sobre esta viga. Si asumimos que el punto de “corte” es el punto D, a una distancia x del
extremo A, tenemos que:
C B
3 pies 3 pies
bf3000
CR YBR
XBR
+
Por segunda condición de equilibrio: 0 Totales
DM
030006750)2/(500 xxxM D
piebfxxM D )67502503000( 2
bfxdx
dMV D
D )5003000(
* Si evaluamos las ecuaciones del cortante y del momento flector para 0x , tenemos:
piebfMbfV DD 6750;3000
* Si evaluamos las ecuaciones del cortante y del momento flector para piesx 9 , tenemos:
0;1500 DD MbfV
Diagramas “V vs. x” (fuerza cortante en función de la posición x) y “M vs. x” (momento
flector en función de la posición x)
Para realizar estos diagramas se recomienda primero hacer el DCL de la viga completa y debajo de
este dibujar los diagramas solicitados.
A
x
bfx )500(
DVbf3000
piebf 6750 DM
x/2
D
+
* De estos diagramas se observa que:
piebfMybfV MAXIMOMAXIMO 67503000
3000
3000 lbf
4500 lbf
1500 lbf
-1500
2250
-6750
6 9 x (pies)
x (pies)
6
9 0
0
V (lbf)
M (lbf.pie)
6750 lbf.pie
1 m 1m
4 m
1 m 1 m
6 kN 6 kN 5 kN/m
A B
w
PROBLEMA Nº 2
Si se supone que la reacción del suelo sobre la viga AB que muestra la figura está dirigida hacia arriba
y es uniformemente distribuida, trace los diagramas de fuerza cortante y de momento flector.
Determine asimismo los valores absolutos máximos de la fuerza cortante y del momento flector.
Resolución
Para resolver problemas de vigas, primero se hace el DCL de la viga completa y se hallan las
reacciones en los apoyos. A continuación, se determina el número de “cortes” imaginarios que se
deben realizar a la viga y se hallan las ecuaciones de V y de M, en función de x, para cada uno de los
segmentos de viga que resulten después de realizar los “cortes”. Finalmente se dibujan los diagramas
de “V vs x” y “M vs x” a partir de las ecuaciones halladas anteriormente.
DCL de la viga completa y cálculo de “w” (reacción por unidad de longitud que ejerce
el suelo sobre la viga)
1 m 1m
4 m
1 m 1 m
6 kN 6 kN
20 kN
A B
R =8w
En este diagrama de cuerpo libre, las
fuerzas de 20 kN y 8w representan
las fuerzas resultantes de las fuerzas
distribuidas que actúan sobre la viga.
Recuerde que estas fuerzas están
aplicadas en un punto de la viga que
tiene la misma dirección de la recta
que pasa por el centroide del área de
la figura formada por las fuerzas
distribuidas (o área encerrada por la
curva de carga).
1 m 1m
4 m 1 m 1 m
6 kN 6 kN 5 kN/m
A B
Por condición del problema, la
reacción del suelo sobre la viga AB
está dirigida hacia arriba y es
uniformemente distribuida, por lo
tanto la figura dada equivale a la que
se muestra a continuación. En ella,
“w” representa la reacción por
unidad de longitud que ejerce el
suelo sobre la viga.
Por primera condición de equilibrio:
0 yF 0328 kNw mkNw /4
Determinación del número de “cortes” imaginarios que se deben realizar a la viga y
del número de segmentos de viga que se deben analizar
Analizando las fuerzas que actúan sobre la viga completa (observe su DCL) concluimos que, desde el
extremo A hasta el extremo B de la viga, debemos realizar CINCO “cortes” imaginarios (puntos C, D,
E, F y G en la figura siguiente).
Al realizar los CINCO “cortes” imaginarios y observando el lado izquierdo de cada “corte”, tenemos
CINCO SEGMENTOS DE VIGA que debemos analizar. Asumiendo que el extremo A de la viga es el
origen de coordenadas (ver la figura), la posición x del punto de corte viene dada por:
- Para el segmento de viga AC: mx 10
- Para el segmento de viga AD: mxm 21
- Para el segmento de viga AE: mxm 62
- Para el segmento de viga AF: mxm 76
- Para el segmento de viga AG: mxm 87
Análisis del segmento de viga AC (0 < x < 1 m)
Observando el segmento de viga AC notamos que sobre el actúan: la resultante de las fuerzas
distribuidas igual a 4x (reacción hacia arriba ejercida por el suelo sobre la viga), la fuerza cortante VC y
el momento de flexión MC, como se muestra en la figura siguiente.
A B
y
x (m) 0 1 2 6 7 8
x x
x x
x
1er corte
2do corte
3er corte
4to corte
5to corte
C D E F G
Por segunda condición de equilibrio: 0 Totales
CM
0)2/(4 xxMC
mkNxMC )2( 2
Luego:
kNxdx
dMV C
C )4(
(Es una ecuación
cuadrática)
(Es una ecuación
lineal)
+
4x VC
MC
C A
x
x/2
Análisis del segmento de viga AD (1 m < x < 2 m)
Sobre este segmento de viga actúan: la resultante de las fuerzas distribuidas igual a 4x (reacción
hacia arriba ejercida por el suelo sobre la viga), la fuerza concentrada de 6 kN dirigida hacia abajo, la
fuerza cortante VD y el momento de flexión MD (ver figura siguiente).
Análisis del segmento de viga AE (2 m < x < 6 m)
Sobre este segmento de viga actúan: la resultante de las fuerzas distribuidas igual a 4x (reacción
hacia arriba ejercida por el suelo sobre la viga), la fuerza concentrada de 6 kN dirigida hacia
abajo, la fuerza resultante de las fuerzas distribuidas igual a 5(x-2) dirigida hacia abajo, la fuerza
cortante VE y el momento de flexión ME (ver figura siguiente).
Análisis del segmento de viga AF (6 m < x < 7 m)
En este caso, sobre este segmento de viga actúan: la resultante de las fuerzas distribuidas igual a 4x
(reacción hacia arriba ejercida por el suelo sobre la viga), la fuerza concentrada de 6 kN dirigida hacia
abajo, la fuerza resultante de las fuerzas distribuidas igual a 20 kN dirigida hacia abajo, la fuerza
cortante VF y el momento de flexión MF (ver figura siguiente).
4x VF
MF
F A
x
6 kN
1 m
20 kN
1 m
2 m 2 m
4x VD
MD
D A
x
6 kN
1 m
4x VE
ME
E A
x
6 kN
1 m
5(x-2)
1 m
Por segunda condición de equilibrio: 0 Totales
DM
0)2/(4)1(6 xxxM D
mkNxxM D )662( 2
Luego:
kNxdx
dMV C
D )64(
Por segunda condición de equilibrio: 0 Totales
FM
0)2/(4)4(20)1(6 xxxxM F
mkNxxM F )86262( 2
Luego:
kNxdx
dMV C
F )264(
Por segunda condición de equilibrio: 0 Totales
EM
0)2/(4)1(62/)2(5 2 xxxxM E
mkNxxM E )442
1( 2
Luego:
kNxdx
dMV C
E )4(
Análisis del segmento de viga AG (7 m < x < 8 m)
En este caso, Sobre el segmento de viga AG actúan: la resultante de las fuerzas distribuidas igual a 4x
(reacción hacia arriba ejercida por el suelo sobre la viga), las dos fuerzas concentradas de 6 kN
dirigidas hacia abajo, la fuerza resultante de las fuerzas distribuidas igual a 20 kN dirigida hacia abajo,
la fuerza cortante VG y el momento de flexión MG (ver figura siguiente).
Diagramas “V vs. x” (fuerza cortante en función de la posición x) y “M vs. x”
(momento flector en función de la posición x)
4x VG
MG
G A
x
6 kN
1 m
20 kN
1 m
2 m 2 m 6 kN
1 m
Por 2da condición de equilibrio: 0 Totales
FM
0)2/(4
)7(6)4(20)1(6
xx
xxxM G
mkNxxMG )812322( 2
Luego:
kNxdx
dMV C
G )324(
6 kN 6 kN
20 kN
32 kN
0 1 2 4
6
7 8 x (m)
-2
-4
2
4
V kN
De la figura se concluye que:
kNV 4.max ; mkNM 4.max
PROBLEMA Nº 3
Un cable de transmisión eléctrica de 240 m de longitud y masa por unidad de longitud 0,6 kg/m se
suspende entre dos puntos que tienen la misma altura. Si la flecha es de 24 m. Calcule la tensión
máxima en el cable y el claro (distancia horizontal entre los dos puntos de apoyo).
Resolución
Según el enunciado se trata de un cable flexible sujeto a la acción de su propio peso, por lo tanto la
forma que adopta es de una catenaria tal como se muestra en la figura siguiente:
M kN.m
x (m)
2
4
0 1 2 4 6 7 8
Parábolas
x
y
xB xA
c
yB
24m
B A
C
Cable
Si consideramos que el origen del sistema de coordenadas se halla a una distancia vertical “c” debajo
del punto más bajo del cable (ver la figura anterior), la longitud “S” del segmento de cable CB y la
coordenada “y” del punto B, vienen dados por:
mS 120 ; mcy 24
Además, se cumple que:
222 cSy
Reemplazamos y y S :
222 120)24( cc
Despejando “c” (parámetro de la catenaria) , obtenemos: mc 288
Cálculo de maxT del cable:
Se sabe que la tensión del cable es máxima en el punto donde el cable tiene mayor pendiente o mayor
inclinación. En nuestro caso sería cualquiera de los apoyos, dado que los dos están al mismo nivel.
Para calcular esta tensión máxima aplicamos la ecuación
22 ScwT
Al reemplazar la carga por unidad de longitud “w”, igual a 5,886 N (0,6 kg x 9,81 m/s2), el parámetro
“c” de la catenaria, igual a 288 m, y la longitud “S” del cable, igual a 120 m, obtenemos:
NT 432,1836max
Cálculo del claro (distancia horizontal entre los dos puntos de apoyo)
De la figura se observa que el claro viene dado por la suma de las distancias xA y xB , pero como
estas distancias son iguales, la suma de ambas es igual al doble de una de ellas. Además, de la
ecuación de la catenaria
c
xhCoscy , despejando x obtenemos:
c
yharcocx cos
Luego:
m
mmharcom
c
yharcocxClaro B
B288
24288cos)288(2cos22
mClaro 5479,233
PROBLEMA Nº 4
Un cable eléctrico cuelga entre un poste y una casa. Si la masa por unidad de longitud del cable es de
2,1 kg/m, determine:
a) La distancia desde la casa hasta el punto más bajo, C, del cable.
b) La tensión máxima del cable.
c) La longitud del cable.
Resolución
Por tratarse de un cable que tiene la forma de una catenaria, elijo primero un sistema de coordenadas
cuyo origen se encuentre a una distancia vertical “c” debajo del punto más bajo de la catenaria (ver
figura siguiente).
Se sabe que la ecuación de la catenaria es:
c
xhCoscy
Además, cuando los apoyos están a diferente nivel el cable se analiza por partes.
Para el segmento de cable AC, tenemos:
c
xhCoscy A
A , Donde: )(5,0 menycy AA
Reemplazando Ay y despejando Ax obtenemos:
1
5,0cosh
carcocxA
Para el segmento de cable CB, tenemos:
c
xhCoscy B
B , Donde: )(2,1 menycy BB
Reemplazando By y despejando Bx obtenemos:
1
2,1cosh
carcocxB
De la figura dada observamos que:
mxx BA 8
Reemplazando Ax y Bx tenemos
812,1
cosh15,0
cosh
carcoc
carcoc . . . (1)
Para resolver esta ecuación (1) tenemos dos métodos:
Primer método: utilizando una calculadora programable
Si utilizamos, por ejemplo, una calculadora CASIO FX – 570 PLUS, obtenemos que:
mc 99873243,9
Segundo método: por TANTEOS
Para aplicar este método, primero hallo el valor referencial de “c” aplicando la ecuación de la parábola.
Es decir:
0
2
2T
xwy , donde: cwT 0
Luego, para el segmento de cable AC, tenemos:
cw
xw A
25,0
2
cxA
Para el segmento de cable CB, tenemos:
cw
xw B
22,1
2
cxB 4,2
Además: mxx BA 8 mcc 84,2
Resolviendo esta ecuación obtenemos: mc 848598,9
A partir de este valor referencial de c ( mc 848598,9 ) hallo el verdadero valor de c. Para ello
construyo la tabla siguiente, colocando como primer valor de c a este valor referencial, los demás
valores que asumimos deben ser siempre mayores, hasta hallar el verdadero valor de c.
)(mc
1
2,1cosh1
5,0cosh
carcoc
carcoc
La suma
debe
resultar
igual a
8 m
848598,9 , m9388135,7
9,9 m959815,7
10 m0005,8
99,9 m99645391,7
998,9 m9997026,7
De la tabla se concluye que el valor que más se aproxima a 8 m (sin sobrepasarlo) es 7,9997026
m, por lo tanto asumimos que:
mc 998,9
NOTA.- para mayor exactitud (que la suma se aproxima mucho más a 8m) podemos agregar
más decimales al valor de “c”, es decir asumir que “c” es por ejemplo m9985,9 , hasta
hallar su valor verdadero. En eso consiste el método de tanteos.
a) Cálculo de “ Ax ” (distancia de la casa hasta el punto más bajo del cable):
Se halló que: cxA
Reemplazando mc 998,9 (el valor hallado por el método de tanteos), obtenemos:
mxA 162,3
b) Cálculo de la tensión máxima del cable
La tensión del cable es máxima en el punto que tiene mayor pendiente, es decir en el apoyo B.
NywTT BBima 69,230max
Donde: mcyB 2,1 ; siendo mc 998,9 (el valor hallado por el método de tanteos)
Valor
referencial
c) Cálculo de la longitud del cable ( TOTALs )
Para calcular la longitud del cable utilizo la ecuación siguiente:
xs c senh
c
Esta ecuación se aplica por separado a los segmentos de cable AC y CB, luego la longitud total del
cable viene dada por:
)/()/( cxhsenccxhsencsss BACBACTOTAL
Reemplazando mxA 162,3 , mxB 838,4 y mc 998,9 (el valor hallado por el método
de tanteos), obtenemos que:
msTOTAL 244,8
PROBLEMA Nº 5
El cable de transmisión eléctrica tiene un peso por unidad de longitud de 15 piebf / . Si el punto más
bajo del cable debe estar al menos 90 pies sobre el suelo, determine la tensión máxima desarrollada
en el cable y la longitud del cable entre A y B.
Resolución
Por tratarse de una catenaria, primero elijo un sistema de coordenadas cuyo origen se halla a una
distancia vertical “c” debajo del punto más bajo del cable (ver la figura siguiente).
Se sabe que la ecuación de la catenaria es:
c
xhCoscy
Como los apoyos están a diferente nivel, el cable se analiza por partes.
Para el segmento de cable AC, tenemos:
c
xhCoscy A
A , Donde: )(90 piesenycy AA
Reemplazando Ay y despejando Ax obtenemos:
carcocxA
901cosh
Para el segmento de cable CB, tenemos:
c
xhCoscy B
B , Donde: )(30 piesenycy BB
Reemplazando By y despejando Bx obtenemos:
carcocxB
301cosh
De la figura dada observamos que:
piesxx BA 300
Reemplazando Ax y Bx tenemos que:
piesc
arcocc
arcoc 30030
1cosh90
1cosh
C
Para resolver la ecuación anterior utilizamos una calculadora programable CASIO FX – 570 PLUS,
y obtenemos que:
piesc 3054592,211
a) Cálculo de la tensión máxima del cable
La tensión del cable es máxima en el punto que tiene mayor pendiente, es decir en el apoyo A.
bfywTT AAima 58188,4519max
Donde: piescyA 90 ; siendo piesc 3054592,211
b) Cálculo de la longitud del cable ( TOTALs )
Para calcular la longitud del cable utilizo la ecuación siguiente:
xs c senh
c
Esta ecuación se aplica por separado a los segmentos de cable AC y CB, luego la longitud total del
cable viene dada por:
)/()/( cxhsenccxhsencsss BABCABTOTAL
Reemplazando:
piesxA 6932526,188 , piesxB 3067474,111 y piesc 3054592,211 , obtenemos que:
piessTOTAL 3166362,331