Problemas Resueltos Algebra Utfsm

UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIADepartamento de Matematica

MATEMATICAS IMAT- 011

CUADERNO DEL ESTUDIANTE

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Prologo

Este cuaderno (en su segunda edicion) esta dirigido a los alumnos de la asignatura Matematicas I, Mat011, asignatura que se imparte para las carreras de Construccion Civil , Ingeniera en Mecanica Industrial yen la carrera Ingeniera Diseno y Productos, de la Universidad Tecnica Federico Santa Mara.

La asignatura Mat 011, se divide fundamentalmente en una parte teorica (Clases expositivas) y unaparte practica ( Taller).

La estrategia didactica propuesta para las clases Teoricas es que cada tema a tratar sera abordado apartir de una situacion modelada ya sea para el desarrollo de las matematicas o de sus aplicaciones para laIngeniera. En esta situacion o problema se identificaran los conocimientos de matematica necesarios parainiciar su tratamiento y resolucion y se revisaran y repasaran o complementaran en un estilo de justo atiempode modo que el alumno vea la pertinencia e importancia de los conocimientos matematicos paralograr solucionar y/o responder a las problematicas planteadas.

La metodologa, sera una exposicion centrada en conceptos y procedimientos fundamentales, de modoque se orientara el aprendizaje identificando las claves sobre los cuales se estructura cada unidad. Esto dara alestudiante una vision global de las herramientas entregadas en la asignatura.

La clase es activa ya que requiere la participacion y el trabajo del estudiante. Se complementara contareas breves pero significativas y no rutinarias.

Para las clases de Taller, el estudiante utilizara este cuaderno, en donde con la supervision de unprofesor, el aplicara conceptos y metodos de los distintos contenidos ya entregados en la clase teorica y asipodra resolver los diferentes tipos problemas y aplicaciones en las paginas destinadas para ello.

Fundamentalmente lo que se pretende con esta metodologa es ayudar al estudiante a seguir y entendermejor los contenidos de la asignatura, pues de esta forma se repasa lo explicado en las clases teoricas y ademasse ejercita, consiguiendo afianzar los conocimientos.

Agradecimientos.La primera edicion de este trabajo nacio con la idea y el aporte del Proyecto USM, DGIP 30.07.31. A losprofesores S. Alarcon , E. Hernandez y al ayudante del Departamento de Matematica P. Guzman, a todosellos por sus valiosos aportes en los temas introductorios, observaciones y correcciones.

Ivan Szanto Departamento de Matematica U.S.M 2009

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Indice

1. Numeros Reales 5

2. Potenciacion 5

3. Logaritmacion. Logaritmo de un numero real 9

4. Orden en los numeros reales 10

5. Conjuntos y operaciones sobre ellos 12

6. Logica simbolica 13

7. Numeros Naturales: Principio de induccion matematica 18

8. Ejercicios induccion 20

9. Sumatorias 21

10. Productorias. 21

11.Ejercicios Sumatorias y productorias. 23

12.Progresiones. 24

13.Ejercicios progresiones. 26

14. Teorema del Binomio 29

15. Ejercicios Binomio 32

16. Ejercicios varios 35

17.Ejercicios: Desigualdades 41

18.Ejercicios: Ecuaciones e Inecuaciones 45

19.Plano cartesiano, Rectas 51

20.Conicas 52

21.Ejercicios: Rectas y Conicas 53

22.Funciones de una variable real 58

23.Ejercicios: Funciones 60

24.Ejercicios: Modelacion 64

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25.Ejercicios: Funciones Polinomiales 71

26. Trigonometria 77

27.Ejercicios: Trigonometria 78

28.Ejercicios Numeros Complejos 104

29.Lmites y Continuidad 112

30.Ejercicios de Lmites 115

31.Continuidad 120

32.Ejercicios: Continuidad 122

33.Derivada 133

34.Regla de LHopital 136

35.Teorema del valor medio 136

36.Ejercicios: Teorema del valor medio 138

37.Analisis del comportamiento de funciones 140

38.Construccion de graficas 141

39.Optimizacion 141

40.Ejercicios: Derivadas, Optimizacion 142

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1. Numeros Reales

Numeros Reales.Los numeros reales son familiares al lector. Son los numeros que se usan en forma comun en la mayorparte de las mediciones. La masa, la velocidad, la temperatura y la densidad de un cuerpo se expresanmediante numeros reales. Estos se pueden representar por desarrollos decimales finitos o infinitos; dehecho, todo numero real tiene un desarrollo decimal infinito, pues un desarrollo finito puede seguir conuna infinidad de ceros:

38 = 0, 375 = 0, 3750000000000 . . .

Cualquier decimal periodico, como

722 = 0, 3181818181818181818

representa un numero racional, dado como el cociente de dos enteros. Recprocamente, todo numeroracional se representa mediante un desarrollo decimal periodico, como los que se muestran aqu. Eldesarrollo decimal de un numero irracional (un numero que no es racional), como por ejemplo

2 = 1, 414213562 . . . o pi = 3, 141592653589793 . . .

es infinito y no periodico.

En otras palabras, los numeros irracionales son todos aquellos numeros reales que no se pueden repre-sentar como una fraccion con numerador y denominador enteros, siendo el denominador distinto de 0.Es decir, los numeros irracionales son todos aquellos numeros reales que poseen infinitos decimales, loscuales no son periodicos ni semiperiodicos.

Otros ejemplos conocidos de numeros irracionales son

- El numero pi: pi = 3, 1415926535897 . . .

- El numero exponencial: e = 2, 7182818284 . . .

- El numero aureo: = 1, 6180339887498 . . .

2. Potenciacion

. Esta operacion parte en el contexto de los numeros naturales y corresponde a la multiplicacion de unmismo numero natural m, una cantidad n de veces; actualmente al numero m lo conocemos como basey al numero n como exponente. Estudiar el proceso inverso de esta operacion es bastante mas difcilque en el caso de la adicion y la multiplicacion por una razon fundamental: en general, no se obtieneun mismo resultado si intercambiamos la base con el exponente. Esta falta de conmutatividad entre labase y el exponente nos permite vislumbrar que la potenciacion debe tener dos operaciones inversas:una relacionada con la base y la otra relacionada con el exponente. Estas nuevas operaciones son lasque nos permiten determinar muchsimos otros numeros reales que son irracionales.

Cuando estamos interesados en identificar la base de una potencia, nos enfrentamos a la siguienteinterrogante:

Sea n un numero natural y sea q un numero racional. Que valor debe tener x para que se cumpla:xn = q?

Entonces surge la operacion radicacion, la cual nos permite concluir que x = nq. Sin embargo, esto

no es tan simple, pues la expresion nq define un numero real solo para adecuados valores de n y q.

Este concepto ahora se relaciona con el de potencia de exponente fraccionario.

En un sentido similar, cuando estamos interesados en identificar el exponente, nos enfrentamos a lasiguiente interrogante:

5


Sean a y b dos valores racionales. Que valor debe tener x para que se cumpla: ax = b?

Entonces surge la operacion logaritmacion y obtenemos x = loga b. Nuevamente este asunto no estan simple pues la expresion loga b define un numero real solo para valores adecuados de a y b, donde ase llama base del logaritmo y b se llama argumento del logaritmo. Finalmente, extendemos el conceptode potencia considerando su base y su exponente real, y el de logaritmo considerando su base y suargumento real.

Sin embargo, antes de comenzar nuestro estudio sobre las dos ultimas operaciones antes mencionadas(con el afan de obtener mas numeros irracionales) es conveniente senalar que historicamente los numerosy operaciones entre ellos surgieron de acuerdo a las necesidades que existan en determinadas epocas yno necesariamente en el orden que hemos planteado anteriormente. Sabemos que los primeros numerosconocidos, incluso en la pre-historia, fueron los naturales, usados basicamente para contar o enumerar.Existen antecedentes que alrededor del ano 2300 A.C. los sumerios posean una forma de organizar losnumeros, el sistema sexagesimal, y que para alrededor del 2000 A.C. los babilonios ya operaban con lascuatro operaciones elementales entre numeros naturales, e incluso haban desarrollado el concepto decuadrado y cubo de un numero. Los egipcios, alrededor del ano 1800 A.C. introdujeron las fraccionesentre naturales con numerador igual a la unidad, salvo algunas excepciones; concepto desarrollado porlos griegos. Los egipcios tambien introdujeron en su simbologa, quizas de una forma intuitiva, el sistemade numeracion decimal y aparentemente tambien haban desarrollado el concepto del cero. Algunosejemplos de numeros no racionales fueron introducidas por los griegos alrededor del ano 500 A.C.;segun la tradicion griega, por esos anos Hipaso de Metaponto, un discpulo de Pitagoras, descubrio elafamado Teorema de Pitagoras (quedo con ese nombre pues el era un miembro de la Escuela Pitagorica);y como consecuencia de esto, descubrio que

2 no era un numero racional. Como Pitagoras no estaba de

acuerdo con la aparicion de numeros de estas caractersticas, intento rebatir los argumentos de Hipasocon el uso de la logica. La molestia de Pitagoras se produca porque el numero

2 ensuciabala

perfeccion de los numeros racionales, por lo que no debera existir. Hipaso fue entonces expulsado de laEscuela Pitagorica donde se construyo una tumba con su nombre, mostrando as que para los pitagoricosel estaba muerto. Pero para nuestra sorpresa aun no se conocan los numeros negativos. De hecho, lossiguientes hitos historicos acerca de los numeros ya son parte de la era cristiana. Existen antecedentesde que fueron los indios quienes introdujeron los numeros enteros negativos y el cero de manera masformal recien alrededor del ano 600, pero esto no se conocera en el mundo occidental sino hasta el sigloX cuando los arabes, quienes complementaron sus conocimientos matematicos con los de los indios,los introdujeron a Europa durante su invasion Espana. De hecho, formalmente esto ocurrio gracias aFibonacci en su libro Liber abaci publicado el ano 1202. A esas alturas tambien se conoca el conceptode potencia de un numero, el cual hacia finales del siglo XIII haba extendido su uso considerando labase positiva en Q y el exponente en N y en un grado similar se haba estudiado el concepto de razn-esima de un numero racional positivo. Fue el profesor parisino Nicole Oresmes en el siglo XIV, quienextendio el concepto de radicacion a potencias con exponente fraccionario; uniendo de esta forma estosdos conceptos. El concepto de logaritmo fue introducido por John Neper el ano 1614, en su obra tituladaCanonis mirifici logarithmorum descriptio, aunque hay quienes sugieren que el primero en usarlos fueJoost Burgi, un matematico y relojero suizo contemporaneo a Neper. Con la introduccion de las racesy los logaritmos quedo claro que haban muchos numeros reales no racionales, as que ya era momentode ordenar todos los conocimientos. Los numeros reales (R), tal como los conocemos hoy, es historiabastante mas reciente, al igual que la concepcion de las operaciones potenciacion y logaritmacion en R.Radicacion. Raz n-esima de un numero real

Raz cuadrada de un numero real

Definicion 2.1. La raz cuadrada de un numero real a existe en R y se denota pora, si existe un

numero real b tal que el cuadrado de b es igual a a. Es decir:a = b b2 = a

Observacion 2.1. De acuerdo a la definicion, no todo numero real tiene raz cuadrada. En efecto,para que

a tenga sentido en R, a debe ser mayor o igual que cero.

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Algunas races cuadradas elementales0 = 0 pues 02 = 0 ;

49 = 7 pues 72 = 49 ;

196 = 14 pues 142 = 196;

1 = 1 pues 12 = 1 ;

64 = 8 pues 82 = 64 ;

225 = 15 pues 152 = 225;

4 = 2 pues 22 = 4 ;

81 = 9 pues 92 = 81 ;

256 = 16 pues 162 = 256;

9 = 3 pues 32 = 9 ;

100 = 10 pues 102 = 100;

289 = 17 pues 172 = 289;

16 = 4 pues 42 = 16 ;

121 = 11 pues 112 = 121;

324 = 18 pues 182 = 324;

25 = 5 pues 52 = 25 ;

144 = 12 pues 122 = 144;

361 = 19 pues 192 = 361;

36 = 6 pues 62 = 36 ;

169 = 13 pues 132 = 169;

400 = 20 pues 202 = 400

Observacion 2.2. La raz cuadrada de un numero negativo no esta definida, por lo tanto no es unnumero irracional y tampoco un racional.

Otros numeros irracionales

I Todas las races cuadradas no exactas son numeros irracionales. Por ejemplo:2 = 1, 414213562 . . .

3 = 1, 732050808 . . .

5 = 2, 236067977 . . .

I Las operaciones entre un racional y un irracional, salvo la multiplicacion y/o divisionpor cero, producen un irracional. Por ejemplo:

23 I

25 I 2

3pi I 5 + pi I 1

5e 2

3 I.

Observacion 2.3. No siempre las operaciones entre numeros irracionales corresponden a un irracional.Por ejemplo:

2 I 8 I, pero

2 8 =

16 = 4 / I

Observacion 2.4. El smbolo es una variante de la letra r correspondiente a la inicial dela palabra, en latn, radix que significa es nuestra lengua raz. Este smbolo es el que se asocia a laoperacion radicacion. En el siglo XVI usaban la letra mayuscula R y le agregaban q para quadratus ouna c para cubus, que era extraer raz cuadrada o raz cubica, as por ejemplo R.q4372 era

4372.

Raz cubica de un numero real.

Para tener mas ejemplos de numeros irracionales, introducimos aqu el concepto de razcubica de un numero.

Definicion 2.2. La raz cubica de un numero real a existe en R y se denota por 3a, si existe un

numero real b tal que el cubo de b es igual a a. Es decir:

3a = b b3 = a

Observacion 2.5.

I Recordemos que en una raz cuadrada la cantidad subradical (la cantidad numericabajo la raz) NO puede ser negativa. Por ejemplo:

4 / IR, pues no hay numeros reales cuyo cuadrado sea 4,(De hecho todo numero real al cuadrado es mayor o igual a cero gracias a la regla de los signos puesestamos multiplicando un numero por s mismo; esto es x x 0, x IR).I Cuando se trata de una raz cubica la situacion es diferente. Ahora todo numero real posee razcubica, esto se debe nuevamente a la regla de los signos. Por ejemplo:

38 = 2 IR, pues (2)3 = 8.

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Algunas races cubicas elementales

31 = 1 pues 13 = 1 ; 3

216 = 6 pues 63 = 216 ;

38 = 2 pues 23 = 8 ; 3

343 = 7 pues 73 = 343 ;

327 = 3 pues 33 = 27 ; 3

512 = 8 pues 83 = 512 ;

364 = 4 pues 43 = 64 ; 3

729 = 9 pues 93 = 729 ;

3125 = 5 pues 53 = 125 ; 3

1000 = 10 pues 103 = 1000.

Raz n-esima de un numero real y sus propiedades.Los conceptos de raz cuadrada y raz cubica se pueden extender al de raz de ndice n, obien raz n-esima de un numero real como sigue:

Definicion 2.3. Sea a, IR y sea n un numero natural. Entonces, decimos que la raz n-esima delnumero real a existe en R y se denota por n

a, si existe un numero real b tal que la n-esima potencia

de b es igual a a. Es decir:na = b bn = a

Observacion 2.6. Las races de ndice par no estan definidas en IR si a < 0; mientras que las racesde ndice impar estan definidas en IR para todo a IR.Sean n y m dos numeros naturales, y sean a y b dos numeros reales. Asumamos que existenen R: n

a, nb, ma, mb, nab, n

ab ,

nanb, n

ma y nm

a. Entonces:

a. n0 = 0

b. n1 = 1

c. na nb = nab

ch.na

nb= n

ab si b 6= 0

d. na ma = mnan+m

e.na

ma= mn

amn

f. n

ma = nm

a

g. a nb = n

anb

Prioridad en la operatoria1o) Parentesis

2o) Potencias y/o Races

3o) Productos y/o Cuocientes

4o) Sumas y/o Restas Potencias de exponente racional.Sea a un numero real y sean p un numero entero y n un numero natural tales que p y nno poseen factores comunes. Si n

a R, definimos:

apn = n

ap.

Con esta definicion, se comprueba facilmente que las potencias de exponente fraccionariocumplen las mismas propiedades de las potencias de exponente entero. Mas aun, ahora to-das las races n-esimas se pueden interpretar como potencias y extender las potencias debase real y exponente fraccionario a exponentes que tambien son reales. Propiedadesde la raz n-esima de un numero real Sean p y q dos numeros enteros, sean n y mdos numeros naturales, y sean a y b dos numeros reales. Asumamos que existen en R:na, nb, ma, mb, nab, n

ab ,

nanb, n

ma y nm

a. Entonces:

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a. 0pn = 0

b. 1qm = 1

c. apn b

pn = (ab)

pn

ch. apn

bpn=(ab

) pn si b 6= 0

d. apn a qm = amp+nqmn

e. apn

aqm

= ampnqmn

f.(apn

) qm = a

pqmn .

3. Logaritmacion. Logaritmo de un numero real

Definicion 3.1. Sean a y p dos numeros reales positivos, a 6= 1. El logaritmo en base a de p existe enR y se denota por loga p, si existe un numero real r tal que ar es igual a p. Es decir:

loga p = r ar = p.

El numero real positivo p se llama argumento del logaritmo.

Observacion 3.1. Es usual usar la siguiente notacion

log10 p = log p

yloge p = ln p

conocido como logaritmo natural.

La definicion de logaritmo nos permite establecer una relacion de reciprocidad con lade potencia. De esta forma, para estudiar las propiedades que verifican los logaritmospodemos hacerlo mediante las propiedades de las potencias.

Propiedades de los logaritmos

Sean a, b y c numeros reales positivos distintos de 1, sean p y q numeros reales positivosy sea r un numero real. Entonces:

a. loga 1 = 0

b. loga a = 1

c. loga pq = loga p+ loga q

ch. logapq = loga p loga q si b 6= 0

d. loga pr = r loga p

e. loga b =logc alogc b

f. aloga p = p

g. loga p = log 1a p

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4. Orden en los numeros reales

La interpretacion geometrica de los numeros reales como puntos en la recta real (o rectanumerica real R) tambien debe serle familiar. Cada numero real es representado precisa-mente por un punto de R, y cada punto de R representa precisamente un numero real.Por convencion, los numeros positivos estan a la derecha del cero y los numeros negativosa la izquierda.

Si a es un numero positivo, este se denota como a > 0

Si a es un numero negativo, este se denota como a < 0

Si a es un numero no positivo, este se denota como a 0

Si a es un numero no negativo, este se denota como a 0

Las propiedades siguientes de las desigualdades de numeros reales son fundamentales y seusan con frecuencia:

Si a < b y b < c, entonces a < c.

Si a < b , entonces a+ c < b+ c.

Si a < b y c > 0, entonces ac < bc.

Si a < b y c < 0, entonces ac > bc.

(1)

Las ultimas dos proposiciones significan que una desigualdad se preserva cuando sus miem-bros se multiplican por un numero positivo, pero se invierte cuando se multiplican porun numero negativo.

Valor Absoluto.La distancia (que es no negativa) en la recta real entre cero y el numero real a es el valorabsoluto de a, que se escribe |a|. En forma equivalente,

|a| ={

a si a 0a si a < 0 (2)

La notacion a 0 significa que a es mayor que cero o igual a cero. La ecuacion (2) implicaque |a| 0 para todo numero real a y que |a| = 0 si y solo si a = 0

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Las propiedades siguientes de los valores absolutos se usan con frecuencia:

|a| = | a| =a2 0,

|a|2 = a2,

|ab| = |a||b|,

|ab | = |a||b| , b 6= 0

|a| < b si y solo si b < a < b.

|a| a |a| y

|a| > b, si y solo si a > b, o a < b

(3)

La distancia entre los numeros reales a y b se define como d(a, b) = |a b| como d(a, b) =d(b, a) se tiene |a b| = |b a|. Esta distancia es simplemente la longitud del segmento derecta de la recta real R con extremos a y b.

Las propiedades de las desigualdades y de valores absolutos en las ecuaciones (1) a (3)implican el siguiente e importante teorema.

Teorema 1 (Desigualdad del triangulo). Para todos los numeros reales a y b,

|a+ b| |a|+ |b| (4)

Intervalos.Supongamos que S es un conjunto (coleccion o reunion ) de numeros reales. Es comundescribir S mediante la notacion

S = {x : condicion}

donde la condicion es verdadera para todos los numeros x en S y falsa para todos losnumeros x que no estan en S. Los conjuntos mas importantes de numeros reales en calculoson los intervalos. Si a < b, entonces el intervalo abierto (a, b) se define como el conjunto

(a, b) = {x : a < x < b}

de numeros reales, y el intervalo cerrado [a, b] es

[a, b] = {x : a x b}.

As, un intervalo cerrado contiene a sus extremos, mientras que un intervalos abierto no.Tambien usaremos los intervalos semiabiertos

[a, b) = {x : a x < b} y (a, b] = {x : a < x b}

As, el intervalo abierto (1, 3) es el conjunto de aquellos numeros reales x tales que 1 < x < 3,el intervalo cerrado [1, 2] es el conjunto de numeros reales x tales que 1 x 2 y elintervalo semiabierto [1, 2) es el conjunto de numeros reales x tales que 1 x < 2.

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Tambien existen intervalos no acotados, que tienen formas tales como

[a,) = {x : x a},

(, a] = {x : x a},

(a,) = {x : x > a} y

(, a) = {x : x < a}.

El smbolo , que denota infinito, es simplemente una convencion de notacion y no rep-resenta a un numero real; la recta real R no tiene extremos en infinito.

5. Conjuntos y operaciones sobre ellos

Por conjunto ya entendemos como cualquier totalidad de objetos, llamados elementos delconjunto.

Los conjuntos notables de Numeros que vamos a utilizar en cada momento son

N, Numeros Naturales. N0, Numeros Naturales y el cero. Z+, Numeros Enteros positivos (Igual al conjunto N ). Z, Numeros Enteros negativos. Z, Numeros Enteros. Q, Numeros Racionales. I, Numeros Irracionales. R, Numeros Reales. C, Numeros Complejos.

La notacion a A significa que el objeto a es un elemento del conjunto A (pertenece alconjunto A); en el caso contrario se escribe a 6 A. Un conjunto que no contiene ningunelemento, se denomina vaco y se designa por el smbolo . la notacion A B (A esta con-tenido en B) quiere decir que todo elemento del conjunto A es un elemento del conjuntoB pero en ningun caso A es igual a B, y de esta forma el conjunto A lleva el nombre desubconjunto propio del conjunto B.Los conjuntos A y B se llaman iguales (A = B), si A B y B A.Nota: A B quiere decir que todo elemento del conjunto A es un elemento del conjuntoB; en este caso el conjunto A lleva el nombre de subconjunto del conjunto B, quedan-do la posibilidad de que los conjuntos A y B sean iguales. Antiguamente, se denotabaA B, como A $ BExisten dos formas para definir (escribir) los conjuntos.

a) El conjunto A se determina por enumeracion directa de todos sus elementos a1, a2, . . . , an,es decir, se escribe en la forma:

A = {a1, a2, . . . , an}.b) El conjunto A se determina como una totalidad de aquellos, y solo de aquellos, ele-

mentos de cierto conjunto basico T , que poseen la propiedad comun . En este casose emplea la designacion

A = {x T | (x)}Donde la notacion (x) significa que el elemento x posee la propiedad .

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Se llama union de los conjuntos A y B el conjunto

A B = {x | x A o x B}.

Se llama interseccion de los conjuntos A y B el conjunto

A B = {x | x A y x B}.

Se llama diferencia de los conjuntos A y B el conjunto

A\B = {x | x A y x 6 B}.

Si, en particular, A es un subconjunto de cierto conjunto universal T , entonces la diferenciaT\A se designa por el smbolo A o Ac y se denomina complemento del conjunto A (hastaque se obtenga el conjunto T ).

Como propiedad importante se tienen la Ley de Morgan

(A B)c = Ac Bc

(A B)c = Ac Bc

Un conjunto X se denomina numerable, si puede establecerse correspondencia biunvocaentre los elementos del conjunto mencionado y los del conjunto N de todos los numerosnaturales.

Cotas superiores e inferiores.

Sea X un conjunto arbitrario no vaco de numeros reales. El numero M = max X sedenomina elemento mayor (maximal) del conjunto X, si M X y para todo x X severifica la desigualdad x M. Analogamente se determina el concepto de elemento menor(minimal) m =mn X del conjunto X.

El conjunto X se llama acotado superiormente, si existe un numero real a tal que x apara cualquier x X. Todo numero que posee dicha propiedad lleva el nombre de cotasuperior del conjunto X. Para el conjunto dado X acotado superiormente, el conjunto detodas sus cotas superiores tiene un elemento menor, que se denomina Supremo o cotasuperior mnima del conjunto X y se designa mediante el smbolo Sup X.

Analogamente se determinan los conceptos de conjunto acotado inferiormente, de cotainferior y de cota inferior maxima o Infimo del conjunto X; esta ultima se designamediante el smbolo Inf X.

El conjunto X se denomina acotado, si esta acotado superior e inferiormente.

6. Logica simbolica

Al anotar los razonamientos matematicos resulta razonable aplicar ciertos smbolos economi-cos usados en la logica. He aqu algunos smbolos de los mas sencillos utilizados con mayorfrecuencia.

Sean y ciertas declaraciones y afirmaciones o bien proposiciones es decir, oracionesnarratorias, con respecto a cada una de las cuales podemos decir si es cierta o falsa.

La notacion significa no , es decir, negacion de la afirmacion .La notacion significa: de la afirmacion resulta la afirmacion ( es elsmbolo de implicacion).

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La notacion significa : la afirmacion es equivalente a la afirmacion , esdecir, de proviene y de se deduce ( es el smbolo de equivalencia).La notacion significa y ( es el smbolo de conjuncion).La notacion significa o o ambos ( es el smbolo de disyuncion).La notacion Y significa o pero no ambos (Y es el smbolo de disyuncionexclusiva).

La notacionx X(x)

significa: para todo elemento x X la afirmacion (x) es verdica ( es el cuantificadoruniversal).

La notacionx X(x)

significa: existe tal elemento x X, para el cual la afirmacion (x) es verdica ( es elcuantificador existencial).

Si un elemento x X, para el cual la afirmacion (x) es verdica no solo existe, sino quees unico, se describe:

!x X(x).

Diferentes tipos de Teoremas y su relacion recproca.

Por regla general en las matematicas los teoremas se enuncian ( o pueden ser enunciados) en la forma siguiente:Para cada elemento x del conjunto U a partir de la proposicion p(x) se deduce la proposicionq(x).Ejemplo:U = N, p(x) : x es un numero impar.Deduzca q(x) : x2 es un numero impar.Al utilizar las designaciones anteriores, cada teorema de este tipo se puede escribir como:

(x) (p(x) q(x)), x ULa proposicion p(x) se llama supuesto o hipotesis del teorema y la proposicion q(x) con-clusion o tesis del teorema.Al enunciar los teoremas se utilizan frecuentemente los terminos suficiente, necesario,nesesario y suficiente. Vamos a aclarar el sentido de estos terminos.Si el teorema p(x) q(x) es cierto, entonces la hipotesis del teorema p(x) se llama condi-cion suficiente para la conclusion de q(x) y la conclusion del teorema q(x) se denominacondicion necesaria para p(x).Ejemplo.Si un cuadrilatero es un rectangulo, sus diagonales son congruentes. Este teorema es cier-to y, por lo tanto, el supuesto del teorema es la condicion suficiente para la conclusion,o sea, para que las diagonales de un cuadrilatero sean congruentes es suficiente que elcuadrilatero sea rectangulo.La conclusion de este teorema es la condicion necesaria para la hipotesis del teorema,o sea, para que un cuadrilatero sea un rectangulo, es necesario que las diagonales delcuadrilatero sean congruentes.Si es valido no solamente el teorema p(x) q(x) si no el recproco a este q(x) p(x), en-tonces p(x) es la condicion, necesaria y suficiente para q(x), mientras q(x) es la condicion,necesaria y suficientepara p(x).Definicion.

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Los teoremas p(x) q(x) y p(x) q(x) se llaman contrarios.De las definiciones y razonamientos precedentes se desprende que para cada teoremap(x) q(x) se pueden enunciar tres teoremas mas.El recproco

q(x) p(x)

El contrariop(x) q(x)

El contrario al recprocoq(x) p(x).

Consideremos a continuacion el teoremaSi un cuadrilatero es un rombo, sus diagonales son mutuamente perpendiculares, ( el teo-rema es cierto). Entonces los tres teoremas indicados se enuncian as.Recproco: Si las diagonales de un cuadrilatero son mutuamente perpendiculares, estecuadrilatero es un rombo( el teorema es falso)Contrario: Si un cuadrilatero no es un rombo, sus diagonales no son perpendiculares (elteorema es falso)Contrario al recproco: si las diagonales de un cuadrilatero no son mutuamente perpen-diculares, el cuadrilatero no es un rombo ( el teorema es cierto)En el ejemplo anterior los teoremas directo y contrario al recproco son verdaderos ylos teoremas recproco y contrario son falsos. Esta coincidencia no es casual. Entre estoscuatros tipos de teorema existe una relacion recproca estrecha, a saber:

a.- Los teoremasp(x) q(x), y q(x) p(x)

es decir el directo y el contrario al recproco, son simultaneamente verdaderos o falsos.

b.- Los teoremasq(x) p(x), y p(x) q(x)

o sea, el recproco y el contrario tambiem son a la vez verdaderos o falsos.De aqu se deduce que no se necesita demostrar todos los cuatros teoremas. A veces,la demostracion del teorema directo esta vinculada con alguna dificultad, en talescasos conviene tratar de demostrar el teorema contrario al recproco.

1. Sustituir los puntos suspensivos para las palabras es suficiente, es necesario, esnecesario y suficiente de modo que se obtengan las afirmaciones verdaderas.i).-Para ganar en la lotera, ....... tener al menos un billete de lotera.ii).-Para que la suma de dos numeros reales sea un numero racional .......... quecada sumando sea un numero racional.iii).-Para que un triangulo sea isoceles.......... que los angulos de la base seancongruentes.

2. Determine cuales de los siguientes teoremas son mutuamente recprocos, contrar-ios, contrarios a los recprocos y cuales de estos teoremas son verdaderos. i).- Sila suma de las cifras de un numero natural se divide por 3, este numero tambiense divide por 3. ii).-Si cada uno de dos numeros naturales se divide exactamentepor 7, su suma se divide por 7.iii).- Si ninguno de dos numeros se divide exactamente por 7, entonces su sumatampoco se divide por 7.iv).- Si en un cuadrilatero se puede inscribir la circunferencia, este cuadrilateroes un rombo.v).- Si existe un numero x para el cual el polinomio x2+px+q tome valor negativo,la ecuacion cuadratica x2 + px+ q = 0 tiene dos races positivas.

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3. Sustituir los puntos suspensivos para las palabras es necesario y suficiente, esnecesario pero no suficiente, es suficiente pero no necesario de modo que seobtengan las afirmaciones verdaderas.i).-Si un polgono es un cuadrilatero, .......la suma de sus angulos interiores esigual a 360o.ii).-Para que la ecuacion x2 2x+ q = 0 tenga dos races positivas ............ que secumpla la condicion q > 0.iii).- Si un paralelogramo es rectangulo, entonces alrededor de el se puede circun-scribir la circunferencia.iv).- Si U = N, p(x) : x2 es un numero impar.Deduzca q(x) : x es un numero impar.

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4. Sea A = {1, 2, 3, 4, 5}. Determine el valor de verdad de las siguientes expresionesdadas en el universo Ai) (x)(y)(x+ y 6)ii) (x)(y)(x+ 1 y)

5. Pruebe utilizando tautologias: (p r) (q r) r = (p q)

6. Demuestre que si A y B son subconjuntos de U , entonces ABc = A si y solamente

si AB =

7. Determine si son verdaderas o falsas las siguientes proposiciones (En caso de serfalsa, encuentre un contra ejemplo, y si es verdadera demuestrela).

a) Si A B = A C = B = Cb) Si A B = = (AB) (B A) = A Bc) Si ( U)(U ) = (A)(A ) = U = Ad) |A Bc|+ |A Bc| = |A|+ |Bc|

8. En la clase de educacion fsica se inscribieron 200 estudiantes; se les pregunto siqueran trotar o nadar como unicas dos alternativas. Decidieron trotar 85 deellos, 60 tambien aceptaron nadar. En total Cuantos tomaron natacion pero noaceptaron trotar?.

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7. Numeros Naturales: Principio de induccion matematica

El metodo deductivo , muy usado en matematica, obedece a la siguiente idea: Apartir de un cierto conjuntos de axiomas aceptados sin demostracion y de reglaslogicas no contradictorias , se deducen otros enunciados llamados teoremas.Otro metodo para demostrar resultados generales que dependen en algun sentidode los numeros naturales es conocido con el nombre de Induccion Matematica .La dependencia de los numeros naturales significa: se sabe que una determina-da afirmacion es verdadera para algunos casos particulares y surge la pregunta. Dicha afirmacion sigue siendo verdadera para los infinitos numeros naturalesrestante ?.Existen muchas afirmaciones que solo son validas para un numero finito de casosy en consecuencia son falsas para un numero infinitos de situaciones. Sin embargopodemos encontrar proposiciones (afirmaciones) que son verdaderas solo a partirde un cierto numero natural n0, de ser asi, la tecnica que se desarrollaremos sellama Induccion Incompleta. Para demostrar que una proposicion p(n) ,n M N, es verdadera es necesario comprobar la validez de ella para todos los elementosdel conjunto M . En el caso en que M= N, diremos que es una Induccion Completa.Si se requiere demostrar la falsedad de una cierta proposicion p(n),n M N, essuficiente indicar un elemento particular m M de manera que p(m) sea falsa.( Construccion de un contra ejemplo).Ejemplo:(Ejemplo dado por Leonhard Euler (1707-1783)Consideremos el polinomio cuadratico p(n) = n2 + n+ 41 y determinemos su valorpara ciertos n N

n : 1 2 3 4 5 6 7 8n2 + n+ 41 : 43 47 53 61 71 83 97 113

Notese que todos los numeros que se obtienen son primos. Se podra esperar queeste polinomio cuadratico continua generando numeros primos. Desafortunada-mente no es asi, para n = 40, se tiene 1681 = 412, que no es un numero primo,luego la proposicion n N, n2 + n+ 41, es un numero primo es falsa.

Principio de induccion Matematica.

Una proposicion p(n) es verdadera para todos los valores de la variable n si secumplen las siguientes condiciones :

Paso 1.- La proposicion p(n) es verdadera para n = 1 , o bien, p(1) es verdadera.Paso 2.- Hipotesis de Induccion . Se supone que p(k) es verdadera , donde k es un

numero natural calesquiera.Paso 3.- Tesis de Induccion. Se demuestra que p(k + 1) es verdadera, o bien,

p(k) verdadera p(k + 1) verdadera.La tecnica de Induccion Matematica consiste en los tres pasos anteriores. Si senecesita demostrar la validez de una proposicion p(n) para todos los valores nat-urales n, entonces es suficiente que se cumplan: Paso 1, Paso 2 y Paso 3 .Ejercicios resueltos.

i.-) Determine un contra ejemplo para la siguiente proposicion ( Conjetura errada deIsaac Newton 1642-1727)

n N , 11n = a0a1a2...an donde los dgitos estan dados por:

aj =(

nj

)= n!(nj)!j! , j = 0, 1, 2, 3...n con 0! = 1, n! = 1 2 3 4...n. Es facil demostrar

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que la proposicion es verdadera para n = 0, 1, 2, 3, 4. Sin embargo, para n = 5 laproposicion no se cumple dado que 115 6= 15101051.

ii.-) Pruebe que para todo numero natural n > 1 , el ultimo dgito del numero 22n

+ 1es 7.Demostracion.Denotando por p(n) la proposicion a demostrar, podemos observar que para n =2, 22

2+ 1 = 17 y la proposicion es verdadera.

Nuestra hipotesis inductiva es para n = k, es decir aceptamos que el ultimo dgitode 22

k

+ 1 es 7.Tesis: Por demostrar que el ultimo dgito de 22

k+1+ 1 es 7

Notando que 22k+1

+ 1 = (22k

+ 1)2 2(22k + 1) + 2 podemos concluir con la ayudade la hipotesis inductiva que el ultimo dgito de (22

k

+1)2 es 9, el ultimo dgito de2(22

k

+ 1) es 4 que luego al restarlos y sumarle 2, se demuestra la proposicion.

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8. Ejercicios induccion

Demuestre por induccion las siguientes igualdades:

1 + 2 + 3 + ...+ n = n(n+1)2 12 22 + 32 42 + ...+ (1)n1n2 = (1)n1 n(n+1)2 (1 14 )(1 19 ) (1 1(n+1)2 ) = n+22n+2 Para todo natural n, demuestre que an = 22n 1, es divisible por b = 3 Considere la sucesion 1, 5, 85, 21845, ..., definida por

c1 = 1, c2 = c1(3c1 + 2), ...., cn+1 = cn(3cn + 2), ...

Pruebe que para todo entero n positivo, cn = 42n1

3

Pruebe que el numero de diagonales de un n-polgono convexo es igual an(n3)

2 .

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9. Sumatorias

El smbolo se llama Sigma en el alfabeto griego y en Espanol corresponde a laletra S. Es natural usar este smbolo para referirse a la idea de Suma, o bien ,Sumatoria.Con el smbolo i2, se desea indicar la suma de los terminos de la forma i2 paravarios valores enteros de i. El rango para estos valores enteros se indica en la parteinferior y superior respectivamente de . Por ejemplo en la forma

ni=1

i2 = 12 + 22 + ...+ n2

o bien, en la forman

i=1 i2 = 12 + 22 + ...+ n2.

El numero de terminos que tiene una suman2

j=n1h(j) , n2 n1 siempre es igual

a n2 n1 + 1. Por otro lado las sumas no necesariamente deben comenzar desde1 y cualquier letra como un contador puede ser usada.Finalmente cualquier funcion f(i) puede ser utilizada en lugar de i2, es decir

f(2) + f(3) + f(4) + ...+ f(n) + f(n+ 1) =n+1j=2

f(j)

Propiedades.A continuacion se dan las principales propiedades de la sumatoria:

a)m

k=j 1 = m j, m jb)

n+1k=0 ak = an+1 +

nk=0 ak

c)n

k=1 ak + bk =n

k=1 ak +n

k=1 bkch)

nk=1 cak = c

nk=1 ak, c constante

d)n

k=1 c = nc, c constantee)

nk=1 ak =

jk=1 ak +

nk=j+1 ak

f)n

k=1 ak ak1 = an a0 (Propiedad Telescopica)g)

mk=n ak ak1 = am an1 m n

h)m

k=n akj akj1 = amj anj1 m ni) (

nk=1 akbk)

2 (nk=1 ak)2(nk=1 bk)2 (Desigualdad de Cauchy-Schwarz)10. Productorias.

es la letra pi mayuscula en el alfabeto griego y corresponde a la letra P delespanol. Es costumbre usar esta letra griega para designar productos.

nk=1f(i) = f(1) f(2) f(3) f(n)

donde f es una cierta funcion del ndice i.Propiedades.

a) nk=1k = 1 2 3 4 n = n!b) nk=1k =

n1k=0(n k) = n!

c) ni=1ai = ki=1ai

ni=k+1ai

ch) ni=1ai +n+1i=2 ai = (a1an+1)

ni=2ai

d) ni=k+1ai =ni=1aiki=1ai

e) ni=1c, c, constantef) nk=1

akak1

= ana0 Propiedad Telescopica

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Ejercicios resueltos.Ejemplos de Sumatorias.a)4

i=1 i3 = 1 + 8 + 27 + 64 = 100

b)5

j=3 j(j + 2) = 3 5 + 4 6 + 5 7 = 74c)n

=1 g() = g(1) + g(2) + g(3) + ...+ g(n)ch)

mk=1

akk = a1 +

a22 +

a33 +

a44 + ....+

amm

d)n

k=1(2k 1) = n2e)n

k=1 k =n(n+1)

2

f)n

k=12n12n1 = 2

1n + 2(n 1)g)n1

k=1 senkpin = cot

pi2n

i.-) Demuestre que2n

k=n+11k =

2nk=1

(1)k+1k

Para todo j 1 , 1j + 1j = 1j/2 y es facil ver quen

k=11k =

2nk=1

1k +

(1)kk

De2n

k=11k =

nk=1

1k +

2nk=n+1

1k , obtenemos

2nk=n+1

1k=

2nk=1

(1)kk

=2nk=1

(1)k+1k

.

ii.-) Utilizando la propiedad telescopica, determine la suma den1

k=5 3k2

Es facil ver que

3k2 =123k1

[1 1

3

]=

123k[13 1

9

]=

12(3k1 3k2)

Luego12

n1k=5

3k1 3k2 = 12

[3n2 37

]iii.-) Demostrar, utilizando induccion sobre n, que

nk=1

k(k + 2) =n(n+ 1)(2n+ 7)

6

Sea p(n) :n

k=1 k(k + 2) =n(n+1)(2n+7)

6

p(1) : 1 3 = 1(1+1)(21+7)6 = 3, verdaderop(j) :

jk=1 k(k + 2) =

j(j+1)(2j+7)6 Hipotesis Inductiva

Por demostrar ( tesis) p(j + 1) :;j+1

k=1 k(k + 2) =(j+1)(j+2)(2j+9)

6

Sumando a la hipotesis (j + 1)(j + 3) se tiene

(j + 1)(j + 2) +j

k=1

k(k + 2) = (j + 1)(j + 2) +j(j + 1)(2j + 7)

6

Entonces: j+1k=1 k(k + 2) = (j + 1)(j + 2) +

j(j+1)(2j+7)6

= (j+1)(2j2+13j+18)6

= (j+1)(j+2)(2j+9)6lo que demuestra la proposicion.

22


11. Ejercicios Sumatorias y productorias.

Demuestre que:9.n

j=0 xnj+1yj =

n1k=1 x

nkyk+1

10.n

k=0 ak =n

k=0 ank11.

nk=1 f(k) =

n+1k=2 f(k 1)

Examine algunos valores de los productos12. nk=1(1 1k+1 ) ;13. nk=1(1 1(k+1)2 ) para valores pequenos de n y conjeture formulas generales. De-

muestre su conjetura por induccion.

14. Pruebe que (1 x)nk=1(1 + x2k1

) = 1 x2n15. Determine el producto ni=12k y demuestre su resultado por induccion.

23


12. Progresiones.

Definicion.Se dice que los numeros reales a1, a2, a3, ..... estan en progresion Aritmetica ( P.A)si existe un numero real d, llamado diferencia, tal que

n N : an+1 an = dDe la definicion de P.A tenemos dos importantes resultados, a saber:

1) n N : an = a1 + (n 1)d2) n N :nk=1 ak = n(a1+an)2

Si en una progresion aritmetica el primer termino es 2 y la diferencia es 3, setiene que el segundo termino es 2+ 3 1, el tercer termino es 2+ 3 2, finalmenteel n-esimo termino es 2 + 3 (n 1). Si deseamos sumar los n primeros terminos,podemos utilizar la siguiente tecnica:Escribiendo la suma de los terminos en orden creciente y luego decreciente en unarreglo por filas y luego sumando tenemos

S = 2 + 5 + 8 + ...+ 3n 4 + 3n 1S = 3n 1 + 3n 4 + ...+ 8 + 5 + 2

2S = 3n 1 + 3n 1 + 3n 1 + ...,3n 1 + 3n 1 = n(3n 1)Luego, S = n(3n1)2 .El promedio ( o bien promedio aritmetico ) de n numeros es igual a su sumadividido por n, por ejemplo el promedio de 1,3 y 7 es 113 , y si cada termino esremplazado por su promedio, la suma de los tres terminos permanece inalterable.Cuando tenemos una secuencia de numeros dados en P.A, el promedio de todossus terminos es igual al promedio del primer termino y el ultimo termino, que esigual al termino central cuando el numero de terminos es impar.Por ejemplo, consideremos una progresion aritmetica con una diferencia negativad = 53

73,

23, 1 8

3, 13

3, 6 23

3, 28

3, 11

Su promedio es 133 que corresponde al termino central y la suma de los nueveterminos es igual a nueve veces su promedio, es decir 9 ( 133 ) = 39.Si a es el promedio de r y s, es facil ver que r, a, s son los terminos consecutivosde una progresion aritmetica. Esta es la razon que el promedio de tres numeroses llamado el medio aritmetico.Definicion.Se dice que los numeros reales a1, a2, a3, ..... no nulos estan en progresion Geometri-ca ( P.G) si existe un numero real q, llamado razon, tal que

n N : an+1an

= q

De la definicion de P.G tenemos dos importantes resultados, a saber:1) n N : an = a1qn12) n N :nk=1 ak = a1 qn1q1 , q 6= 1.En particular si q = 1, n N : an = a1. Luego

nk=1 ak = na1.

Si | q |< 1, es facil ver que las potencias naturales de q son decrecientes y para nsuficientemente grande qn tienden a cero, luego a1 + a2 + a3 + .... = a11q .Consideremos una progresion geometrica de la forma

5, 5 22, 5 24, 5 26, 5 28, ......,5 22n

24


Podemos identificar que su primer termino es a0 = 5, la razon es q = 22 y elnumero de terminos es n+ 1.Ilustremos una forma simple de encontrar la suma de una P.G..Designemos por S su suma y consideremos el siguiente arreglo

S = 5 + 5 22 + 5 24 + 5 26 + 5 28 + .....+ 5 22n

22S = 5 22 + 5 24 + 5 26 + 5 28 + .....+ 5 22n + 5 22(n+1)

Restando, notamos que se cancelan los terminos menos dos de ellos obteniendo3S = 5 22(n+1) 5 , de donde, S = 5((22)(n+1)1)3 = 5(1(2

2)(n+1))122

El medio geometrico de dos numeros reales positivos a y b se define porab, el

medio geometrico de tres numeros reales positivos a, b, c se define por 3abc y en

general para n numeros reales positivos a1, a2, a3, a4, ...., an el medio geometrico sedefine por

nni=1ai

Para que una sequencia de numeros a1, a2, a3, a4, ...., an esten en P.G, es necesarioy suficiente que cada uno de sus terminos excepto el primero, sea igual en valorabsoluto al medio geometrico de sus terminos adyacentes, es decir

|an+1| = anan+2En efecto, si a1, a2, a3, a4, ...., an estan en P.G, entonces an+1 = anq, . Luego an+2 =

an+1q, de dondeanan+2 =

an+1q an+1q =

a2n+1 = |an+1|.

Para probar la suficiencia, consideremos |an+1| = anan+2 , de donde, a2n+1 =anan+2 . Luego

an+1an

= an+2an+1 .Obteniendo

a2a1

=a3a2

=a4a3

=a5a4

= ..... = q

lo que demuestra que la sequencia de numeros a1, a2, a3, a4, ...., an estan en una P.G.Se deja como ejercicio al lector, una importante desigualdad que no es facil dedemostrar, ella es:Para a1, a2, a3, a4, ...., an numeros positivos, se cumple

(a1 + a2 + a3 + a4 + ....+ an)n

na1 a2 a3 a4 .... an.

25


13. Ejercicios progresiones.

16. Determine x de manera que 7, x, 252 sean tres terminos consecutivos de una P.G.17. Dada la suma Sn de los n primeros terminos de una P.A a1, a2, a3, a4, ...., an, en-

cuentre los cuatro primeros terminos si Sn = n2

4 n.18. Determine en cada fila las cantidades desconocidas utilizando la informacion dada.

a1 d n an Sn(a) 110 10 11(b) 5 26 105(c) 3 12 210(d) 2 15 10

a1 d n an Sn(a) 9 0.5 75(b) 28 9 0(c) 0.2 5.2 137.7(d) 30 15 15.75 146.25

b1 q n bn Sn(a) 1 3 10(b) 12 8 2(c) 2 7 1458(d) 3 567 847(e) 12

1128

127128

(f) 1313

16561

(g) 3 4 30

26


19. Si a, b, c, d numeros que estan en P.G, demuestre que

(b c)2 + (c a)2 + (d b)2 = (a d)2

20. Calcule la suma de los 21 primeros terminos de la progresion

(a+ b)2

, a,(3ab)

2 , .....

21. En un crculo de radio R se inscribe un cuadrado, en este cuadrado un crculo, eneste otro crculo un cuadrado y as sucesivamente. Cual es el lmite de las sumasde las areas de los cuadrados y de los crculos?

22. En un cierto cultivo, las bacterias se duplican cada 20 minutos. cuantas veces elnumero original de bacterias ay en el cultivo al cabo de 2 horas, suponiendo queninguna muere?

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23. De trs numeros que forman una P.G decreciente , el tercero es 12. Si 12 esreemplazado por 9, los tres numeros forman una P.A. Encuentre los dos numerosrestantes.

24. Determine una progresion geometrica decreciente e infinita, de manera que susuma sea 3, y la suma de los cubos de susu teminos sea igual a 61 57 .

25. Utlizando las progresiones, demuestre

xn + xn1y + xn2y2 + ...+ xyn1 + yn =xn+1 yn+1

x y

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14. Teorema del Binomio

Del algebra elemental, sabemos que (a+ b)2 = (a+ b)(a+ b) = a2 +2ab+ b2, entonces(a+ b)3 = (a+ b)(a+ b)2 =a3 +3a2b+3ab2 + b3 Podemos observar que los coeficientesdel binomio cubico se pueden obtener de la siguiente manera:

1 2 11 2 1

1 3 3 1

De aqui podemos tabular los coeficientes de (a+ b)n, para n = 0, 1, 2, 3..., ( para elcaso n = 0, se requiere que a o b, no sean nulos simultaneamente.)

1 < (0, 0,1)(1, 0,1) (a+ b)01 1 < (0, 0,1)(1, 0,1) (a+ b)1

1 2 1 < (0, 0,1)(1, 0,1) (a+ b)21 3 3 1 < (0, 0,1)(1, 0,1) (a+ b)3

1 4 6 4 1 < (0, 0,1)(1, 0,1) (a+ b)4El arreglo anterior es conocido como triangulo de Pascal, en honor al matematicoBlaise Pascal ( 1623-1662)Definamos el coeficiente de ankbk ( coeficiente binomial) por(

nk

)= n!(nk)!k! , k = 0, 1, 2, 3...n con 0! = 1, n! = 1 2 3 4...n (lease n factorial)

Podemos notar que n! = 1 2 3 4... (n 2) (n 1) n lo podemos escribir comon! = n (n 1) (n 2) ....,4 3 2 1

En general (n + n)! 6= n! +m! por ejemplo, si n = 3 y m = 5, (3 + 5)! = 40320, y3! + 5! = 126Similarmente debemos observar que en general (2n)! 6= 2n! y (mn)! 6= m!n!Utilizando los coeficientes binomiales, el triangulo de Pascal quedaria:

00

< (0, 0,1)(0,5, 0,1) (a+ b)0

10

11

< (0, 0,1)(0,5, 0,1) (a+ b)1

20

21

22

< (0, 0,1)(,5, 0,1) (a+ b)2

30

31

32

33

< (0, 0,1)(,5, 0,1) (a+ b)3

40

41

42

43

44

< (0, 0,1)(,5, 0,1) (a+ b)4

Teorema del Binomio.Si a, b R y n N, entonces

(a+ b)n =n

k=0

(nk

)ankbk =

(n0

)an +

(n1

)an1b+

(n2

)an2b2 + .....+

(n

n 1)abn1 +

(nn

)bn

En particular (a b)n, lo puede considerar como (a + (b))n y es necesarionotar por la simetria de los coeficientes que

(a+ b)n =n

k=0

(nk

)ankbk =

nk=0

(nk

)akbnk =

29


Definamos por Tj el termino j-esimo en el desarrollo de binomio (a+ b)n, entonces

Tj =(

nj 1

)an(j1)bj1

luego por razones practicas y no equivocarse en recordar tantos indices , podemosconsiderar el coeficiente j-esimo mas uno que tiene la forma

Tj+1 =(

nj

)anjbj

Una generalizacion natural del Teorema del Binomio, es el Teorema del Multi-nomio, solo daremos su definicion y no entraremos en mas detalles, dejamos allector mas avezado profundizar en esta materia.Para cualquier entero n 2 y para r 3

(x1 + x2 + x3 + .....+ xr)n =

n1+n2+...+nr=n

(n

n1, n2, ..., nr

)xn11 x

n22 xnrr

donde la suma es sobre toda secuencia de numeros enteros positivos n1, n2, ..., nrtal que n1 + n2 + ...+ nr = n y(

nn1, n2, ..., nr

)=

n!n1! n2! nr!

En particular para r = 2(n

n1, n2

)=(

nk, n k

)=

n!k!(n k)! =

(nk

)

Ejercicios resueltos1) Calcule el termino independiente de x y el termino central en caso de que existan

el desarrollo del binomio (x 1x2 )9.

Tj+1 =(

9j

)x9j( 1

x2)j =

(9j

)x9j(1)jx2j =

(9j

)(1)jx93j

Luego para j = 3, se tiene que el cuarto termino es independiente de x.Como n = 9, no existe termino central.

2) Obtenga el coeficiente de x8 en el desarrollo de (1 + x2 x3)9Como (x1 + x2 + x3)9 =

n1+n2+n3=9

(9

n1, n2, n3

)xn11 x

n22 x

n33

y el coeficiente que se pide es para x8, tenemos la ecuacion 2n2 + 3n3 = 8, y lasposibilidades son

n1 = 5, n2 = 4, n3 = 0

n1 = 6, n2 = 1, n3 = 2

luego, calculando los coeficientes tenemos(9

5, 4, 0

)+(

96, 1, 2

)=

9!5!4!0!

+9!

6!1!2!= 252 + 126 = 378

Otra alternativa para resolver este problema es:Desarrollando por el teorema del binomio

(1 + x2 x3)9 =9

k=0

(9k

)19k(x2 x3)k =

9k=0

(9k

)(x2 x3)k

30


Analicemos las potencias en el desarrollo de (x2x3)k con 0 k 9, es decir en

(x2 x3)k =k

i=0

(ki

)(1)i(x2)ki(x3)i =

ki=0

(ki

)(1)ix2k+i

Como 2k + i = 8 y 0 i k se tiene 0 k 4 de donde las posibilidades son:k = 3, i = 2 ; k = 4, i = 0 y la suma de los coeficientes de x8 es(

93

)(32

)+(

94

)(40

)= 378

3) Demuestre que

nk=0

(nk

)+ (1)k

(nk

)= 2n

En el desarrollo del binomio

(a+ b)n =n

k=0

(nk

)ankbk

basta tomar los casos a = 1 , b = 1 y a = 1 , b = 1 para obtener

(1 + 1)n =n

k=0

(nk

)1nk1k =

nk=0

(nk

)= 2n

(1 + (1))n =n

k=0

(nk

)1nk(1)k =

nk=0

(nk

)(1)k = 0

4) Determine la suma de todos los coeficientes del polinomio respecto de x queresulta de la expansion binomial de (3x 4)17El desarrollo de (3x 4)17 es dado por

17k=0

(17k

)(3x)17k(4)k =

(170

)(3x)17 +

(171

)(3x)16(4)+

(172

)(3x)15(4)2 + .....+

(1716

)(3x)(4)16 +

(1717

)(4)17

Dado que esta igualdad es valida para todo x, en particular lo es para x = 1.Haciendo x = 1 obtenemos la suma de los coeficientes pedida, es decir(

170

)(3)17 +

(171

)(3)16(4)+(

172

)(3)15(4)2 + .....+

(1716

)(3)(4)16 +

(1717

)(4)17 = (3 4)17 = 1

De la definicion de los coeficientes binomiales para n,m numeros naturales, m ntenemos las siguientes propiedades

i)(

n0

)= 1

ii)(

mn+ 1

)= mnn+1

(mn

)iii)

(n

k 1)+(

nk

)=(

n+ 1k

)iv)

(m+ 1n+ 1

)= m+1n+1

(mn

)

31


15. Ejercicios Binomio

26. Si n k, demuestre que (n k + 1) n! + k n! = (n+ 1)!27. Determine todos los n N para los cuales (2n)! = 2 n!28. Determine todos los pares de enteros positivos m y n de manera que (m + n)! =

n! m!29. Resuelva la ecuacion para n entero positivo (n+ 2)! = 90 n!30. Si 0 k n 2, entonces(

n+ 2k + 2

)=(

nk + 2

)+ 2

(n

k + 1

)+(

nk

)

32


31. En caso de existir, obtenga el coeficiente de x7 en el desarrollo de ( 2x3 + x+ x3)8

32. Determine el coeficiente del termino independiente de x en el desarrollo de

( 3x+

1x)6

33. Si en la expansion binomial de

(y +

14y)4

los primeros tres coeficientes forman una progresion aritmetica.Encuentre los terminos de la expansion en los cuales los exponentes de y seannumeros naturales.

34. Si(1 + x+ x2 + x3)5 = a0 + a1x+ a2x2 + ....+ a15x15

determine el valor exacto de a10.35. Determine una relacion entre a y n de modo que en el desarrollo de (1 + a)n

aparezcan dos terminos consecutivos iguales.

33


36. Escriba

6[(

n3

)+(

n2

)+(

n1

)]como un polinomio en n, y utilice el echo que

(nr

)siempre es un entero para

dar una nueva demostracion que n(n2 + 5) es multiplo de 6 para todo entero n.37. Determine los numeros a y b, de manera que para todo natural n

n3 = 6(

n3

)+ a

(n2

)+ b

(n1

)38. Demuestre por induccion matematica que

ni=0

(s+ is

)=(

s+ n+ 1s+ 1

)

34


16. Ejercicios varios

39. Demuestre por induccion que:

51 2

13+

72 3

132

+9

3 4133

+ + 2n+ 3n(n+ 1)

13n

= 1 13n(n+ 1)

) n N

40. Conjeture una formula para la siguiente suma y luego pruebela por induccion

1 2 + 2 3 + 3 4 + + n (n+ 1)

41. Sea {un}nN l sucesion de Fibonacci:

u1 = 1, u2 = 1, un+1 = un + un1 para n = 2, 3, ...

a) Calculen

k=1

uk

b) Demuestre por induccion que

un+2 un = u2n+1 + (1)n+1

42. Demuestre que para todo n N:

Sn = 1 22 + 32 42 + + (1)n1n2 = (1)(n1) n(n+ 1)2

35


43. Determine para que valores de n N es verdadera la desigualdad

2n > n2 + 4n+ 5

44. Pruebe que si sen 6= 0, entonces la identidad

cos cos 2 cos 4... cos 2n = sen2n+1

2n+1sen

es cierta para todo n N0.45. La sucesion {an} se define por la relacion de recurrencia an+1 = 3an 2an1, a1 =

0, a2 = 1. Demuestre que para todo natural n, an = 2n1 1.46. Para todo n natural, demuestre la siguiente desigualdad

n

2< 1 +

12+

13+ ....+

12n 1 n

36


47. Demuestre que

3 + 33 + 333 + ...+ 3... n veces ...,3 =10n+1 9n 10

27

48. Demuestre que cualquier suma de dinero mayor o igual que 5,000 (Cinco mil pesos),esta puede ser descompuesta como multiplo de billetes de cinco mil pesos y dedos mil pesos.

49. Demuestre que para todo natural n 211+

12+

13+ ....+

1n>n

50. En el desarrollo del binomio(x+

1x

)n, n N0, x > 0

la suma de los coeficientes del tercer y penultimo termino es igual a 55. Determinet7. Encuentre ademas la suma de los coeficientes del segundo y cuarto termino.

37


51. En el desarrollo de ( 1x x2)27, encuentre, si s que existe, el termino constante (oindependiente de x).

52. En el desarrollo de la potencia binomial ( ax2 x3)n, n N, existe un termino cuyaparte literal es a16x25 Que termino es?.

53. Encuentre el valor de n para que los terceros terminos en los desarrollos de (x2 +1/x)n y (x3 + 1/x2)n coincidan.

54. sean {a1, a2, a3, . . . , an} y {b1, b2, b3, . . . , bn} dos progresiones aritmeticas de diferenciasd1 y d2 respectivamente. Si sabemos que

ni=1

ai = 2ni=1

bi n {1, 2, . . .}

que relacion existe entre d1 y d2?

38


55. sea {a1, a2, a3, . . . , an} una progresion geometrica, donde ai > 0 i = 1, . . . , n. De-muestre que a1 a2 a3 an = (mM)n/2, donde m y M son el mnimo y el maximovalor de la progresion geometrica.

56. Escriba en forma de sumatoria y calcule

1 2 3 + 2 3 4 + + n(n+ 1)(n+ 2)

57. Sea x = 1nn

k=1 xk. Demuestre la identidad:

ni=1

((xi x)2 + xi(x 1)

)=

ni=1

x2i nx

58. Calcular:100i=1

x3i4 x

3i14

Donde xi = 2i1359. Determine K R de manera que las races de la ecuacion

x3 + 3x2 6x+K = 0

esten en una Progresion Aritmetica.60. Calcule:

nk=1

(1 + a)k, a 6= 1

61. Determine las posibles soluciones para n N que satisfagan la ecuacion

1 +ni=1

121i

= 2n2+2n6

39


62. Sean u1, u2, ..., ut con un+2 = 2un+1 un para n = 1, 2, ..., t 2. Pruebe que estosnumeros estan en una P.A.

63. Sean a, b R dados. Suponga que los numeros x1, x2, ..., xn forman una P.A. tal que:x1 + x2 + + xn = ax21 + x

22 + + x2n = b2

a) Exprese a y b en terminos de x1, n y ab) De a) obtenga la P.A.

64. Encuentre todas las P.A. de naturales x, y, z tales que x+ y + z = xyz.65. Dadas:

nk=1

k =n(n+ 1)

2;

nk=1

k2 =n(n+ 1)(2n+ 1)

6;

nk=1

k3 =(n(n+ 1)

2

)2Calcular:

125k=20

5k2

40


17. Ejercicios: Desigualdades

66. Si a, b, c > 0, demuestre que

2aba+ b

+2aca+ c

+2bcb+ c

a+ b+ c

Indicacion: 2aba+b a+b267. Sean a,c R y b,d R+. Demostrar que a+cb+d esta entre el menor y el mayor de los

elementos ab ycd .

68. Si a, b, c > 0 demuestre que

8abc (a+ b)(b+ c)(c+ a)

Indicacion: a+ b 2ab, etc.69. Dadas las expresiones a3 y (1 + a a2), a > 1. Determine cual de ellas es mayor.

41


70. Si a+ b = 1, pruebe que a4 + b4 1/871. Niegue la siguiente proposicion:

a < b a2 < b2

72. Demostrar que si a+ b = 1, entonces a2 + b2 1/273. Demuestre que

1a+

1b>

2a+ b

a, b R+

42


74. Demuestre, indicando las condiciones que deben cumplir a, b R, de modo quesea verdadera la siguiente desigualdad

ab

a+ b x2).b) Si A,B U y (AB) (A B) = B (Ac Bc) entonces #A = #B.

76. Si a+b y ab son numeros racionales, demuestre que a y b son numeros racionales.

43


Ecuaciones e Inecuaciones.

Toda proposicion que tiene la forma

f(x) = g(x)

donde f(x) y g(x) son ciertas funciones, se llama ecuacion con una incognita x (obien con una variable x.) Analogamente Todas las proposiciones de la forma

f(x) < g(x), f(x) g(x)donde f(x) y g(x) son ciertas funciones, se llaman inecuaciones con una incognitax (o bien con una variable x.)En general resolver una ecuacion o una inecuacion no es simple, y para resolverlasusualmente realizamos una serie de transformaciones que modifican el problemaoriginal en otro equivalente. Desafortunadamente no siempre las transformacionesutilizadas son correctamente formuladas y por ello obtenemos saluciones extranasy en muchos casos la perdida de ellas. Para excluir las soluciones extranas y evitarla perdida de soluciones, debemos tener en cuenta que en cada transformacionrealizada debemos incluir el posible dominio de la variable en consideracion, enotras palabras, Restriccion.

Ejemplo1.Resolver la ecuacion

4x 2x 2 < 0Una primera transformacion que nos viene a nuestra mente es hacer t = 2x,entoncesRestriccion: t > 0, y nuestro problema original se convierte en

t2 t 2 = (t 2)(t+ 1) = 0cuyas soluciones son t 1, 2, luego t = 2 es decir 0 < 2x = 2, y obtenemos x = 1.

Ejemplo2.Resolver la ecuacion

log2(x+ 2)2 = 6

Restriccion: x 6= 2. Utilizando la propiedad log2(x + 2)2 = 2 log2(x + 2), estamosasumiendo que x > 2 y el problema original se transforma en log2(x + 2) = 3. Six ] 2,+[ la unica solucion es x = 6, sin embargo si x ],2[, la ecuacion aresolver es log2((x+ 2)) = 3 y su solucion es x = 10.

Ejemplo3.Resolver la inecuacion

|x|+ 9 < 3 x

Restriccion: 3 x > 0, en otras palabrasx ], 3[

Si elevamos al cuadrado ambos lados de la ecuacion, obtenemos x2 6x |x| > 0.Si x ] , 0], la ecuacion a resolver es x2 5x = x(x 5) > 0, cuya solucion es], 0[]5,+[, y nuestra primera solucion es x ], 0[. Si x ]0, 3[ la ecuaciona resolver es x2 7x = x(x 7) > 0, luego la segunda solucion es x ]0, 3] {] , 0[]7,+[} = . Finalmente, la solucion a nuestro problema es x ], 0[ =], 0[

44


18. Ejercicios: Ecuaciones e Inecuaciones

77. Encuentre los x R tales que|2x 4| |x 1|

10 x > 0.

b.- Determine (x, y) R2 tales quex+ 6x+ 1 > 2x 5

|x+ y| 1

78. Resolver la inecuacion |x+ 4|x2 + x 2 1.

79. Resolver la inecuacion3 x 0

83. En R, resuelva la inecuacion 1 > 15|x|284. Resuelva e ilustre graficamente las soluciones de la desigualdad cos < 12 ,

[2pi, 2pi]

46


85. Resuelva en R(3 x)(2x 1)(5x2 + 3)

x 1 0

y determinar (si existen) elementos maximo y mnimo, Infimo y Supremo delconjunto solucion correspondiente.

86. Resuelva en R

a.)- x2 xx2 4

1b.)-

|x+ 2| > x |x 1|

47


87. Encuentre el conjunto solucion de la inecuacion: x|x 1| 1|x| 188. Demuestre que, para todo a, b R, se cumple que |a| |b| |a b|89. Para que valores de a R, la desigualdad

x

a 2a xa2 2a2

admite solucion para x R

48


90. Demuestre o refute t < 0 : |t|+ 4 4tResuelva en R:

91. |x| |1 x|x2 12x+ 36 > 0

92. 1 11 x2

193.

5 |x 5| |2 3x|94.

|2x 1| |x 2| 395.

|x+ 2|2x 3(2x2 + x+ 4)(x 1) 0

49


96. Resuelva en R: |2x 4| |x 1|10 x > 0

97. x+ 1x+ 2

x+ 2x+ 1

98.

xx 10 |x

2 8|x+ 10

99. Demuestre que si |x 4| < 2, entonces:|x+ 2||x| < 5

50


19. Plano cartesiano, Rectas

Formula de la distancia:Si P1 = (x1, y1) y P2 = (x2, y2), la distancia de P1 a P2 es

d(P1, P2) =(x2 x1)2 + (y2 y1)2

Ecuacion estandar de una circurferencia :La ecuacion estandar de un circurferencia de radio r y centro (h, k) es

(x h)2 + (y k)2 = r2

Formula de la pendiente:La pendiente m de la recta que pasa por los puntos P1 = (x1, y1) y P2 = (x2, y2)es

m =y2 y1x2 x1 si x1 6= x2

m no esta definida si x1 = x2

Punto - Pendiente, ecuacion de una recta:La ecuacion de la recta con pendiente m que pasa por el punto (x1, y1) es

y y1 = m(x x1) Pendiente- Intercepcion, ecuacion de una recta:La ecuacion de la recta con pendiente m y con b el intercepto en el eje y es

y = mx+ b

Interceptos en los ejes :La ecuacion de la recta con los interceptos (a, 0), (0, b) es

x

a+y

b= 1

Formula cuadratica:Las soluciones de la ecuacion ax2 + bx+ c = 0, a 6= 0, son

x =bb2 4ac

2a

Si b2 4ac > 0, hay dos soluciones reales diferentes.Si b2 4ac = 0, hay una solucion real repetida.Si b2 4ac < 0, hay dos soluciones complejas que por lo tanto no son reales.

Distancia desde un punto P (x0, y0) a una recta L : ax+ by + c = 0:

d =|ax0 + by0 + c|

a2 + b2.

Se llama angulo entre dos rectas al menor de los angulos que forman estas. Sepueden obtener a partir de sus pendientes

tan = | m1 m21m1m2 |.

Division de un segmento P1(x1, y1)P2(x2, y2) en una razon dada rs

P = (rx2 + sx1r + s

;ry2 + sy1r + s

)

51


20. Conicas

52


21. Ejercicios: Rectas y Conicas

100. Dada la recta x+ y 4 = 0 encuentre la ecuacion del lugar geometrico de todos lospuntos del plano que se encuentran a distancia 3 de dicha recta.

101. Sean A = (0, 0) y B = (3, 0). Encuentre la ecuacion del lugar geometrico de todoslos puntos P = (x, y) del plano tales que: PAB = 12PBA.

102. Encuentre la ecuacion de la recta L de pendiente positiva que contiene al punto(2,12) y sabiendo que la suma de sus interceptos con los ejes coordenados esigual a 12.

103. Dados los puntos A = (3, 5), B = (1,1), C = (9, 5), D = (2, 6) determine: la distancia del punto C a la simetral del trazo AB. CAD

53


104. a) Determine, identifique y esboce el lugar geometrico de todos los puntos delplano que estan a una distancia de 10 unidades del origen de coordenadas.

b) Sea A(a, b) un punto cualquiera que pertenece al lugar geometrico obtenido ena). Encuentre la ecuacion de la recta que pasa por el punto A(a, b) y el origende coordenadas.

c) Determine los valores de a y b tal que la recta obtenida en b) tenga pendiente34 .

d) Rotando el sistema de coordenadas en un angulo de pi2 en sentido antihorario,determine las nuevas coordenadas de los puntos obtenidos en c).

105. a) Considerese el lugar geometrico P de los puntos (x, y) tales que

y = x2 (1 +2)x+

2, x R.

Esboce el lugar geometrico P .b) Sean A y B dos conjuntos dados por

A = {x Q, x2 (1 +2)x+

2 0}, B = Q \A.

Que conjunto es acotado?c) 1 A? ; 1 B? ; 2 A? ; 2 B?d) Determinen (si es que existen) los numeros finitos

que corresponden a :maxA, mnA, supA, nf A, maxB, mnB, supB, nf B.

54


106. Encuentre el angulo entre las diagonales de un paralelogramo, construido por losdos vectores a = (1, 2); b = (2,1)

107. Determine el largo del segmento de la recta x 2y 2 = 0 que esta contenida yesta encerrada por la elipse x

2

100 +y2

25 = 1108. Encuentre la ecuacion de una circunferencia centrada en el punto O1(3, 1) y

teniendo a 4x+ 3y 16 = 0 como una recta tangente.109. Encuentre el lugar geometrico de todos los puntos del plano cuya distancia a la

recta x = 4 sea igual al doble de la distancia al punto F (1, 0).

55


110. Demostrar que el lugar geometrico de todos los puntos P = (x, y) tales que d(A,P ) =kd(B,P ), donde k R+ {1}, A = (1, 2) y B = (2, 1) es una circunferencia, ademaspruebe que el centro de la circunferencia obtenida esta en la recta que une elpunto A con el punto B.

111. Encontrar la(s) ecuacion(es) de la (s) recta(s) perpendicular(es) a la recta 5xy = 1y que forma(n) con los ejes coordenados un triangulo de area 5 unidades.

112. Un punto se mueve de tal manera que el cuadrado de su distancia al punto (1, 1) essiempre igual a 2

5d, en que d es la distancia del punto movil a la recta 2x+y = 1.

Hallar e identificar el lugar geometrico generado por el punto movil.113. Sea A = (0, 0) y B = (2, 0), vertices de un triangulo, encuentre el lugar geometrico

del vertice C si AC : BC = 2 : 3.114. Considere la parabola de ecuacion y2 = x. Cual debe ser el valor de k, para que

la recta tangente a la grafica de y2 = x en (4, 2) pase por el centro de x2 + k2x2 +

k4

16 + y2 1 = 0?.

56


115. Sea A = (4, 2), l : y = 1. Encuentre la ecuacion del lugar geometrico de los puntosdel plano cuya distancia al punto A es el doble de su distancia a la recta l eidentifique este lugar geometrico.

116. Halar el lugar geometrico de todos los puntos P = (x, y) del plano cuya distancia alpunto A = (a, k, 0) es k veces su distancia a la recta l de ecuacion x = ak . Identifiqueel lugar geometrico segun: 0 < k < 1 k > 1 k = 1

117. Dados A = (1, 3) y B = (5, 0), encuentre la ecuacion del lugar geometrico del tercervertice C de los triangulos de base AB y altura h = 5.

118. Considere l1 : y = ax; l2 : y = x. Encuentre el valor de a de modo que l1 y l2formen un angulo = pi/4 al intersectarse.

57


22. Funciones de una variable real

Concepto de funcion. Sea D un conjunto arbitrario de numeros reales. Si a to-do numero x D se le ha puesto en correspondencia cierto numero real biendeterminado f(x), se dice que en el conjunto D esta definida una funcion numeri-ca f . El conjunto D se denomina campo de definicion o dominio de definiciono simplemente dominio y el conjunto

E = {y R | y = f(x), x D},conjunto de valores o rango o imagen o codominio de la funcion numerica f . Lafuncion se escribe simbolicamente en la forma f : D E, o bien y = f(x). Nota:Si la funcion se escribe simbolicamente en la forma f : D F E, el conjuntoF se denomina Recorrido. El metodo analtico de definir una funcion es el masusado. Consiste en que por medio de una formula se establece de modo concretoel algoritmo de calculo de los valores de la funcion y = f(x) para cualquiera delos valores del argumento x. En este caso no se indica, comunmente, el campo dedefinicion de la funcion, entendido por este el conjunto de valores del argumentox, para el cual la formula dada tiene sentido (campo natural de definicion de lafuncion).El conjunto de puntos (x, y)de un plano XY cuyas coordenadas estan relacionadasentre s por medio de la ecuacion y = f(x), se denomina grafica de dicha funcion.

Si una funcion f satisface f(x) = f(x), para todo x en su dominio, entonces f sedenomina funcion par y su grafica es simetrica respecto al eje y.

Si una funcion f satisface f(x) = f(x), para todo x en su dominio, entonces fse denomina funcion impar y su grafica es simetrica respecto al origen.

Una funcion se dice inyectiva ( Uno a uno) en un dominio A, si f(x1) = f(x2)entonces x1 = x2 para cualquier eleccion de elementos x1 y x2 del dominio de f .

Una funcion se dice epiyectiva ( Sobre) en un recorrido F , si para cada elemeto yen recorrido de f , existe al menos un x en el domnio de f tal que y = f(x).

Se dice que una funcion es estrictamente creciente sobre un intervalo I , sif(x1) < f(x2) siempre que x1 < x2 en I. Se dice que una funcion es estricta-mente decreciente sobre un intervalo I , si f(x1) > f(x2) siempre que x2 > x1 en I.

Una funcion que sea estrictamente creciente en un intervalo I, es invertible en I.Una funcion que sea estrictamente decreciente en un intervalo I, es invertible enI.Si una funcion f con dominio A y rango E es invertible en todo su dominio, suinversa denotada por f1 tiene dominio E y rango A y se define como f1(y) =x si y solo si f(x) = y.

Nota: f1 no quiere decir que sea 1f , f1 es la notacion para designar a la funcion

inversa de f . Por ejemplo sen1t es la inversa de la funcion seno, esta inversa seacostumbra a se denotada por otra forma como Arcsent por el peligro de confucion.Una funcion f se llama periodica si existe un numero positivo T ( Perodo de lafuncion) tal que f(x+T ) = f(x), para todos los valores x pertenecientes al dominiode la funcion.Dado dos funciones f(x) ,y g(x) se define la funcion compuesta (f g)(x) como(f g)(x) = f(g(x)) y su dominio es el conjunto de todas las x que estan en eldominio de g cuya imagen g(x) pertenece al dominio de f(x).

58


Partiendo de la grafica de la funcion y = f(x), con ayuda de construccionesgeometricas elementales obtendremos las graficas de otras funciones:

i.- y1 = f(x), es la representacion simetrica de la grafica respecto del eje x.ii.- y2 = f(x), es la representacion simetrica de la grafica respecto del eje y.iii.- y3 = f(x a), que es la misma grafica desplazada a lo largo del eje x, en la

magnitud a.respecto del eje x.iv.- y4 = b + f(x), que es la propia grafica desplazada a lo largo del eje y en la

magnitud b.v.- y5 = cf(x), c > 1, expansion de la grafica verticalmente en un factor de c.

vi.- y6 =f(x)c , c > 1, compresion de la grafica verticalmente en un factor de c.

vii.- y7 = f(cx), c > 1, compresion de la grafica horizontalmente en un factor de c.viii.- y8 = f(xc ), c > 1, expansion de la grafica horizontalmente en un factor de c.Concepto de Relacion. Una relacion es una corespondencia entre dos conjuntos Dy E no vacios. Si x D e y E son dos elementos de estos conjuntos y si existeuna relacion R entre ellos, diremos que x esta relacionado con y.Por ejemplo la relacion R dada por R = {(x, y) R2 / x2 + y2 = 4}.

La funcion dada por una ecuacion que no esta resuelta con respecto a la variabledependiente y, o a la variable independiente x, recibe el nombre de funcion im-plicita, y se representa como F (x, y) = 0.

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23. Ejercicios: Funciones

119. Sea y = f(x) dada por y =x12x

Restrinja dominio y recorrido de modo que la funcion resultante sea biyectiva. Obtenga explcitamente la funcion inversa de la biyeccion que obtuvo.

120. Sean f : R+0 R y g : R R funciones tales que

f(x) =x y g(x) = (3 x)2

Determine x R tal que (f o g) (x) = 1121. Determine el dominio y recorrido de la funcion

f(x) =

2x 1x

y pruebe que f es una funcion inyectiva.122. Determine si existe la funcion inversa de la funcion f dada en a). En caso de

existir, encuentre f1(x) identificando claramente su dominio y recorrido.

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123. Sea A = {1, 2, 3, . . . , 1010}. Se define f : A N como la funcion que a cada n A leasigna el numero de dgitos que tiene n. Calcule f(5587), f(108) Determine Rec f Es f epiyectiva? Es f inyectiva? Restrinja f para que sea biyectiva.

124. Sea : A A una funcion tal que o = idA, dondeidA : A A

a 7 idA(a) = aDetermine si es o no una biyeccion.

125. Sean f(x) =x+ 1x , g(x) =

x 1x , h(x) =

x2 1x. Determine:

Dom y Rec de f, g y h (f + g + h)(x) y Dom y Rec (f g)(x) y Dom y Rec (f g)(x) y Dom y Rec

126. Sea g(x) = exexex+ex . Determine los mayores subconjuntos A y B de R de modo que

g : A B sea una biyeccion y determine g1(x)127. El precio de costo anual de un objeto producido por una fabrica es: C = 40 +

4000/n, donde n es el numero de objetos producido. Cual es el numero de

objetos que se deben producir y vender durante un ano para que, al vender 20000a $50 cada uno y los restantes a $830 cada uno quede un beneficio de 5%?

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128. Dado f(x) = 3x+12 , g(x) =x2+3x

2 determine h tal que f o h = g129. Sean f(x) = 1x

xy g(x) = 1

x

Determine los mayores subconjuntos de R, donde f y g son funciones biyectivas. Determine la expresion de f o g y g o f , indicando sus restricciones y dominiode cada una.

Determinar la expresion de f1 y g1.130. Sean f : (a, b) (c, d), g : (p, q) (r, s) definidas por:

f(x) =c da bx+

ad bca b , g(u) =

r sp q u+

ps qrp q

Demuestre que f es biyectiva y encuentre f1. Demuestre que h(x, u) = (f(x), g(u)) es inyectiva.

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131. Sean f(x) = 4x96x5 y g(x) =1

4x9 Encuentre f o g y su dominio. Encontrar intervalos A,B R de modo que g : A B sea biyectiva y obtenerg1.

Compruebe que g o g1 = I132. Para f : R R se definen E,O : R R como sigue:

E(x) =12[f(x) + f(x)] , O(x) = 1

2[f(x) f(x)]

Si:f(x) = 3x3 + 2x2 x+ 1

Calcule E(x) y O(x). Pruebe que E es par y que O es impar. verifique que f = E + O Que es la conclusion que puede obtenerse de loanterior?

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24. Ejercicios: Modelacion

133. Dos numeros x e y suman 10. Como queda expresado, en funcion de x, el productode ellos?. Y en funcion de y?. Justifique.

134. Una ventana esta hecha de un rectangulo y de un triangulo equilatero. Determinela funcion que representa el area encerrada por la ventana si esta debe tener unpermetro de 10 mts.Cual es el dominio de esta funcion?.

135. A un alambre de longitud l mts. se le hace un corte en un punto x. Con un pedazose forma un cuadrado y con el otro una circunferencia. Determine, en terminosde x, la funcion que representa la suma de las areas encerradas por estas figuras.Cual es su dominio?.

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136. Si se cortan cuatro cuadrados iguales (de lado x) en las esquinas de un pedazocuadrado de carton cuyo lado mide 12 pulgadas, y se doblan sus cuatro lados,se obtiene una caja rectangular sin tapa. Ver figura. Determine la funcion querepresenta: el area de la superficie de la caja el volumen de la caja.

137. Un ro tiene un codo de 45o. Ver figura. Un granjero desea construir un corrallimitado en dos lados por el ro y en dos por una milla de valla ABC.Determine la funcion que representa el area del corral.

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138. Considere un cilindro circular recto, con tapa, cuyo radio basal mide r [cm] ysu altura mide h [cm]. Determine el volumen del cilindro, en funcion del radio,sabiendo que su superficie es de 15 [cm2].

139. Una arana que se encuentra en el vertice S de un cubo, cuya arista mide unapulgada, se propone capturar una mosca en el vertice opuesto F . Ver figura. Laarana debe caminar por la superficie del cubo para este proposito. Determine la funcion que representa el camino recorrido por la arana Determine el camino mas corto que se debe recorrer.

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140. Dada una esfera de radio a, determine la funcion que representa el volumen deun cono circular recto que puede inscribirse en ella.

141. En la figura siguiente, se ha dado el punto P = (x, y) sobre la parabola y = x2,con y 1. Exprese la suma de segmentos PA2 + PB2 en funcion de x. Cual es sudominio?.

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142. Dos casas. A y B, estan a una distancia p entre s. Ellas estan a distancias q yr, respectivamente, de una carretera y se encuentran a un mismo lado de esta.Encuentre: La funcion que representa la longitud del camino mas corto que conduzca deA a la carretera y de esta a B. Cual es su dominio?.

La longitud mnima encontrada en a).143. Un tubo de longitud b se transporta por un pasillo de ancho a (a < b), y luego

alrededor de una esquina C. ver figura. Durante el giro, la altura y presenta,claramente, una variacion. Exprese y en funcion del angulo de giro .

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144. Inscriba un rectangulo en la elipse de ecuacion x2

a2 +y2

b2 = 1 de manera que susextremos esten sobre la elipse. Determine la funcion que representa el area deltal rectangulo. Cual es su dominio?.

145. Se ha fabricado un envase con lata, cilndrico y con tapa, con capacidad para 1 [lt].Determine, en funcion del radio basal, la cantidad de material utilizado (area dela superficie) en su fabricacion.

146. Resuelva el problema anterior en el caso en que la lata tiene abierta la partesuperior.

147. Determine el area del rectangulo con un lado en el eje OX, simetrico con respectoal eje OY , e inscrito en la region limitada por la parabola y = 27 x2 y el eje OX.

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148. En la figura siguiente, R y h son valores conocidos. calcule el volumen V (x) enfuncion de x.

149. Exprese el area A(x) del rectangulo en funcion de x.

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25. Ejercicios: Funciones Polinomiales

150. Una raz es una solucion de la ecuacion polinomica P (x) = 0. Un cero es un valorde x que hace que el valor de la funcion P (X) sea igual a 0. Determine si losnumeros dados son races de la ecuacion polinomica P (x) = 0. P (x) = x3 x2 + 25x; 1, 5i P (x) = x4 + x3 x2 2x 2; 2, i

151. Determine si los numeros dados son ceros de la funcion polinomica. P (x) = x3 + 4x2 4x 16; 4, 4i P (x) = x4 x2 3; 3, i

152. Cuando un polinomio se divide por otro, habra un cociente y un residuo. Cuandoun residuo es cero, entonces el divisor y el cociente son factores del dividendo.Por division, determine si los siguientes polinomios son factores del polinomioP (x) = x4 16 x 2 x2 + 3x 1

153. Toda division entre polinomios se puede expresar como P (x) = D(x) Q(x) + R(x),donde P (x) es el dividendo, D(x) es el divisor, Q(x) es el cociente y R(x) es elresiduo.Sea P (x) = x3 2x2 + 4 y D(x) = x 1. Encuentre P (x)D(x), y despues exprese eldividendo como P (x) = D(x) Q(x) +R(x).

154. Sea P (x) = x5 + 2x4 + 2x3 + 3x2 + 3x+ 3 y D(x) = x2 + 2x+ 1. Encuentre P (x)D(x),y despues expresa el dividendo como P (x) = D(x) Q(x) +R(x).

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155. El teorema del residuo establece que para un polinomio P (x), el valor funcionalP (r) es el residuo de P (x) cuando se divide por x r.Sea P (x) = 2x4 8x3+4x2 2x+1. Encuentre P (0), P (1), P (2) y P (4) utlizandoel teorema recien recien enunciado.

156. El teorema del factor dice que si P (r) = 0, entonces el polinomio xr es un factor deP (x). De este modo, podemos utilizar la division sintetica para encontrar valoresfuncionales y para comprobar factores.Factorize el polinomio P (x), y despues resuelva la ecuacion P (x) = 0. Si: P (x) = x3 x2 14x+ 24 P (x) = x3 18x2 x+ 18

157. Si un polinomio es de grado n, entonces se puede factorizar en exactamente nfactores lineales. Un factor puede presentarse mas de una vez. Si un factor x rfigura k veces, r es una raz de multiplicidad k. Encuentre las races del polinomioy la multiplicidad de cada raz, si: P (x) = x2 (x 2)3 (x+ 1) P (x) = (x2 12x+ 11)2

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158. Si r es una raz del polinomio P (x), entonces x r es un factor lineal de P (x).Encuentre un polinomio de grado 3 que tenga como races los numeros que seindican: -1 -3 4

159. Las races complejas se presentan en pares conjugados en los polinomios con co-eficientes reales. Las races irracionales se presentan por pares en los polinomioscon coeficientes racionales.Encuentre un polinomio de grado mnimo con coeficientes racionales que tengacomo races los numeros que se indican: 1 i, 2 +3 2 + 3i, 2

160. Para encontrar las posibles races racionales de anxn+an1xn1+ . . .+a0, encuentrecada numero racional de la forma cd tal que d es un factor de an y c es un factorde a0, y despues compruebe cada uno de ellos utilizando la division sintetica.Encuentre las races racionales, si es que existen, de cada polinomio. De ser posi-ble, encuentre las otras races. P (x) = 20x3 30x2 + 12x 1 P (x) = 2x4 x3 3x 18

161. El posible numero de races reales positivas de un polinomio P (x) con coeficientesreales es , o el mismo numero que las variaciones del signo de P (x) , o un numeromenor que difiere del numero de variaciones de signo en un numero entero pos-itivo par. El posible numero de races reales negativas de un polinomio P (x) concoeficientes reales es, o el numero de variaciones de signo de P (x), o un numeromenor que difiere del numero de variaciones de signo en un numero entero posi-tivo par.Para cada polinomio, determine el numero posible de races reales positivas ynegativas: P (x) = 4x5 3x2 + x 3 P (x) = 3x7 2x5 + 3x2 + x 1

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162. Para representar graficamente polinomios:1. considere el grado del polinomio y su coeficiente principal.2. determine si hay simetras.3. utilize la division sintetica para elaborar una tabla de valores.4. encuentre l

Problemas Resueltos Algebra Utfsm

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