1

Algebra Lineal Guillermo Mantilla-SolerNombre/Codigo: Agosto 22 2015

Examen I

Instrucciones: Durante el examen no son permitidos libros, notas, calculadoras, celulares o en generaldispositivos electronicos de cualquier tipo. LA RESPUESTA A CADA PROBLEMA DEBE SER

ESCRITA DE MANERA CLARA. Muestre cada paso de su solucion; NO JUSTIFICACION= NO PUNTAJE, aun si la respuesta dada es correcta.

Problemas Puntuacion

1 5pts

2 /5pts

3 /5pts

4 /5pts

Total:/20pts

Tiempo 1 Hora 20 minutos

1) Sean u = [1, 2, 4, 0] y v = [2, 3,−2, 1].

(a) [1 pt] Calcule las magnitudes de u, v y u + v

(b) [1 pt] Decida si u y v son paralelos

(c) [1 pt] Decida si u y v son ortogonales

(d) [1 pt] Calcule el angulo entre 2u y v

(e) [1 pt] Escriba explicitamente la desigualdad del triangulo para los vectors u y v

2) Considere el sistema de ecuaciones dado por:

x + 3y + 2z = 02x + 6y + 4z = 03x + 9y + 6z = 0

(a) [1 pt] Escriba la matriz A tal que A · [x, y, z]t = [0, 0, 0]

(b) [2 pts] Dada A la matriz del punto (i) calcule B = A2 y 3A− 2B2

(c) [1 pt] Sea v = [−3, 1, 0]. Calcule A · vt

(d) [1 pt] ¿Existen solucione al sistema donde no todos x, y, z son iguales a cero?

2

3) Sean M =

1 5 −2 0−3 1 9 −54 −8 −1 7

, v =

3−20−4

, and b =

−790

(a) [1 pt] Muestre que v es una solucion al sistema lineal M ·X = b

(b) [2 pts] Sean v1, v2, v3, v4 las columnas M . Use (a) para exhibir al vector b como una combi-nacion lineal de v1, v2, v3, v4

(c) [2 pts] Sea W =Span{v1, v2, v3, v4} ¿Pertenece b a W?

4) Considere la matriz A =

1 0 21 1 32 0 5

(a) [1 pts] Encuentre la forma escalonada reducida por renglones de la matriz A

(b) [2 pts] ¿Es la matriz A invertible? En caso que sı encuentre su inversa A−1

(c) [1 pts] Encuentre todas la soluciones al sistema de ecuaciones

x + + 2z = 1x + y + 3z = 1x + + 5z = 0

(d) [1 pts] ¿Cuantas soluciones tiene el sistema homogeneo asociado al sistema del punto (c)?(Justifique su respuesta)

1

Algebra Lineal Guillermo Mantilla-SolerNombre/Codigo: Septiembre 9 2015

Supletorio examen I

Instrucciones: Durante el examen no son permitidos libros, notas, calculadoras, celulares o en generaldispositivos electronicos de cualquier tipo. LA RESPUESTA A CADA PROBLEMA DEBE SER

ESCRITA DE MANERA CLARA. Muestre cada paso de su solucion; NO JUSTIFICACION= NO PUNTAJE, aun si la respuesta dada es correcta.

Problemas Puntuacion

1 5pts

2 /5pts

3 /5pts

4 /5pts

Total:/20pts

Tiempo 1 Hora 20 minutos

1) Sea S =

1213

,

2−13−2

,

−21−32

(a) [1 pt] Decida si S genera R4.

(b) [1 pt] Decida si S es linealmente independiente.

(c) [1 pt] Decida si S es una base para R4.

(d) [1 pt] Encuentre una base para W = Span(S)

(e) [1 pt] Halle la dimension de W .

2) Considere el sistema de ecuaciones dado por:

x + 3y + 2z = 02x + 6y + 4z = 03x + 9y + 6z = 0

(a) [1 pt] Escriba la matriz A tal que A · [x, y, z]t = [0, 0, 0]t

(b) [2 pts] Dada A la matriz del punto (a) calcule B = (At) ·A y C = A + 2B

(c) [1 pt] Sea v = [−3, 1, 0]. Calcule C · vt

(d) [1 pt] Decida si la matriz C es invertible

2

3) Sean A =

[1 3 21 2 4

]y b =

[−11−4

](a) [2 pts] Decida si el vector b pertenece a Col(A).

(b) [1 pt] Considere el sistema de dos ecuaciones con tres incognitas dado por A ·

xyz

= b. ¿Es

el sistema consistente?

(c) [1 pts] ¿ Cuantas soluciones tiene el sistema A ·

xyz

= b?

(d) [1 pts] ¿Tiene el sistema homogeneo asociado a la matriz A una unica solucion?

4) Considere la matriz A =

1 1 12 1 31 0 2

(a) [1 pts] Encuentre la forma escalonada reducida por renglones de la matriz A

(b) [2 pts] ¿Es la matriz A invertible? En caso que sı encuentre su inversa A−1

(c) [1 pts] Encuentre todas la soluciones al sistema de ecuaciones

x + y + z = 12x + y + 3z = 1x + + 2z = 0

(d) [1 pts] ¿Cuantas soluciones tiene el sistema homogeneo asociado al sistema del punto (c)?(Justifique su respuesta)

Algebra Lineal, Parcial 1 (versıon 2)21 de agosto de 2015

Profesor: Tristram Bogart

Nombre:

Codigo:

Instrucciones : Este examen es de 80 minutos. No se permiten el uso de notas ni calculadoras.Por favor escriba su nombre en esta hoja y tambien en las hojas donde se encuentran sussoluciones. Cada ejercicio vale 4 puntos.

1. Encuentre todas las soluciones del sistema homogeneo3 0 0 11 0 −1 20 1 0 04 2 −1 3

x1

x2

x3

x4

=

0000

.

2. Encuentre todas las soluciones del sistema no homogeneo

[1 1 0 1 00 0 1 −1 1

]x1

x2

x3

x4

x5

=

[71

].

3. Sea A =

1 0 01 1 31 0 1

. Encuentre la matriz A−1.

4. Calcule el angulo entre los vectores

1111

y

0001

en R4.

5. Sean A =

[a bc d

], B =

[e fg h

]matrices de 2 × 2, v =

[v1v2

]un vector en R2. Demuestre

que Av + Bv = (A + B)v.

Algebra Lineal, Parcial 1 (versıon 1)21 de agosto de 2015

Profesor: Tristram Bogart

Nombre:

Codigo:

Instrucciones : Este examen es de 80 minutos. No se permiten el uso de notas ni calculadoras.Por favor escriba su nombre en esta hoja y tambien en las hojas donde se encuentran sussoluciones. Cada ejercicio vale 4 puntos.

1. Encuentre todas las soluciones del sistema homogeneo0 3 0 10 1 −1 21 0 0 02 4 −1 3

x1

x2

x3

x4

=

0000

.

2. Encuentre todas las soluciones del sistema no homogeneo

[1 1 0 0 10 0 1 1 −1

]x1

x2

x3

x4

x5

=

[71

].

3. Sea A =

1 1 10 1 00 3 1

. Encuentre la matriz A−1.

4. Calcule el angulo entre los vectores

1111

y

1100

en R4.

5. Sean A =

[a bc d

], B =

[e fg h

]matrices de 2 × 2, v =

[v1v2

]un vector en R2. Demuestre

que Av + Bv = (A + B)v.

Punto1.a

Punto1.b

Punto1.c

Punto1.d

Punto2

Punto3.a

Punto3.b

Punto3.c

Punto4

Primer Parcial: Algebra lineal. Tema B, 26 de agosto de 2015, L. J. Corredor

Nombre y apellido codigo Seccion Nota

/50

Nota:1. Por favor justificar todas sus respuestas y escribir claro.2. Contestar en los espacios reservados para las soluciones de los ejercicios.3. Una hoja sin nombre no se corregira.4. seccion 27= Jerson 10 a.m., seccion 28= Juan Camilo 10 a.m., seccion 29= Jerson 12 m., seccion30= Juan Camilo 12 m.

1. [/15] Considere los siguientes vectores de R3: ~v = (1, 1, 1) y ~w = (1, 2,−1)

a) [/3] Diga si ~v y ~w son o no perpendiculares. Justifique.

b) [/4] Si θ es el angulo entre los vectores ~v y ~w, encuentre el coseno de θ

c) [/5] Encontrar un tercer vector ~x = (x1, x2, x3) de R3 que sea perpendicular tanto a ~vcomo a ~w. [Ayuda: Plantear un sistema lineal de 2 ecuaciones en 3 incognitas y resolverlo!].

d) [/3] Es el vector ~x que usted encontro en el punto anterior el unico vector perpendiculara los vectores ~v y ~w? o hay mas?

2. [/10] Usando las definiciones para la suma y multiplicacin entre matrices, demuestre que si Aes una matriz de tamano m× n y tanto B como C son matrices de tamano n× p, entonces

A(B + C) = AB +AC

3. [/15] Sean ~w1 =

12−3

, ~w2 =

352

, ~w3 =

−2−3−4

y ~b =

593

vectores de R3.

a) [/5] Diga si ~b ∈ Span( ~w1, ~w2, ~w3) y en caso afirmativo escribir a ~b como una combinacionlineal de ~w1, ~w2 y ~w3.

b) [/5] Es { ~w1, ~w2, ~w3} una base para R3? Justificar.

c) [/5] Diga si la matriz

A =

1 3 −22 5 −3−3 2 −4

es invertible. Justificar.

4. [/10] Decimos que dos afirmaciones (a) y (b) son equivalentes si vale que (a) implica a (b) yque (b) implica a (a).

Sea A una matriz cuadrada de n× n y considere la afirmacion:

(a) A es invertible.

Usando el Algebra lineal aprendida hasta el momento, dar dos afirmaciones (b) y (c) que seanequivalentes a la afirmacion (a) dada y demostrar alguna de las 6 implicaciones que se tienen.[Ayuda: Analice el punto anterior y recuerde el ”teorema de resumen”.]

Punto1.a

Punto1.b

Punto1.c

Punto1.d

Punto2

Punto3.a

Punto3.b

Punto3.c

Punto4

Primer Parcial: Algebra lineal. Tema A, 26 de agosto de 2015, L. J. Corredor

Nombre y apellido codigo Seccion Nota

/50

Nota:1. Por favor justificar todas sus respuestas y escribir claro.2. Contestar en los espacios reservados para las soluciones de los ejercicios.3. Una hoja sin nombre no se corregira.4. seccion 27= Jerson 10 a.m., seccion 28= Juan Camilo 10 a.m., seccion 29= Jerson 12 m., seccion30= Juan Camilo 12 m.

1. [/15] Considere los siguientes vectores de R3: ~v = (1, 1, 1) y ~w = (2, 1,−1)

a) [/3] Diga si ~v y ~w son o no perpendiculares. Justifique.

b) [/4] Si θ es el angulo entre los vectores ~v y ~w, encuentre el coseno de θ

c) [/5] Encontrar un tercer vector ~x = (x1, x2, x3) de R3 que sea perpendicular tanto a ~vcomo a ~w. [Ayuda: Plantear un sistema lineal de 2 ecuaciones en 3 incognitas y resolverlo!].

d) [/3] Es el vector ~x que usted encontro en el punto anterior el unico vector perpendiculara los vectores ~v y ~w? o hay mas?

2. [/10] Usando las definiciones para la suma y multiplicacin entre matrices, demuestre que si Aes una matriz de tamano m× n y tanto B como C son matrices de tamano n× p, entonces

A(B + C) = AB +AC

3. [/15] Sean ~w1 =

12−3

, ~w2 =

352

, ~w3 =

−2−3−4

y ~b =

36−8

vectores de R3.

a) [/5] Diga si ~b ∈ Span( ~w1, ~w2, ~w3) y en caso afirmativo escribir a ~b como una combinacionlineal de ~w1, ~w2 y ~w3.

b) [/5] Es { ~w1, ~w2, ~w3} una base para R3? Justificar.

c) [/5] Diga si la matriz

A =

1 3 −22 5 −3−3 2 −4

es invertible. Justificar.

4. [/10] Decimos que dos afirmaciones (a) y (b) son equivalentes si vale que (a) implica a (b) yque (b) implica a (a).

Sea A una matriz cuadrada de n× n y considere la afirmacion:

(a) A es invertible.

Usando el Algebra lineal aprendida hasta el momento, dar dos afirmaciones (b) y (c) que seanequivalentes a la afirmacion (a) dada y demostrar alguna de las 6 implicaciones que se tienen.[Ayuda: Analice el punto anterior y recuerde el ”teorema de resumen”.]

Algebra lineal - MATE 1105 Nombre:2016-10Parcial 1 Codigo:12 de febrero de 2015Tiempo limite: Una hora y 20 minutos Profesor

Este examen contiene 2 paginas y 4 preguntas. El total del puntaje es 18.Este es un examen individual. No se permite el uso de libros, apuntes, calculadoras o

cualquier medio electronico. Los celulares deben estar apagados durante todo el examen.Las respuestas deben ser justificadas. Cada pregunta vale 2 puntos.

Tabla de calificacion (para uso unicamente del profesor)

Question Points Score

1 6

2 3

3 4

4 5

Total: 18

1. (6 points) Sean

A =

1 0 20 2 41 0 −1−2 1 0

, B =

−1 23 24 30 1

y C =

(1 −1 8 1−3 2 4 0

).

(a) ¿Existe D = ABC? En caso que exista, ¿quien es d34?

(b) ¿Existe E = BAC? En caso que exista, ¿quien es e22?

(c) ¿Existe F = BCA? En caso que exista, ¿quien es f43?

(d) ¿Existe G = ACB? En caso que exista, ¿quien es g31?

(e) ¿Existe H = CAB? En caso que exista, ¿quien es h21?

(f) ¿Existe J = CBA? En caso que exista, ¿quien es j13?

2. (3 points) Sea A =

(1 1/3c d

). Encontrar numeros c y d de forma tal que A2 = 0.

3. (4 points) (a) (2 points) Encontrar los numeros b, c, j, k tal que

x− 3

2=

y − j

b=

z − k

c,

es la ecuacion de la recta que pasa por los puntos (3,−1, 4) y (7, 9, 10).

Algebra lineal - MATE 1105 Parcial 1 - Page 2 of 2 12 de febrero de 2015

(b) (2 points) Encontrar la ecuacion de la recta que pasa por el punto (1, 0 − 1) y esparalela a la recta con ecuacion

x− 4

2=

2y − 3

5=

3z − 7

6,

4. (5 points) (a) (3 points) Encontrar la ecuacion normal de plano que paso por los pun-tos (0,−1, 1), (1, 0, 2) y (3, 0, 1)

(b) (2 points) El angulo entre dos planos es el angulo formado por sus vectores nor-males. Encuentre el angulo entre los planos 4x− 4z − 16 = 0 y −2x+ 2y− 13 = 0.

PARCIAL 1. ALGEBRA LINEAL.

NO se permiten calculadoras, celulares, blackberrys, TV’s, hornosmicroondas, ni ayuda de segundos, terceros, cuartos, etc. Sean honestos(le hace bien al paıs y a los demas) y buena suerte!

1.[10 pts] Considere el siguiente sistema

x1 + x2 + 2x3 + 2x4 = 1x2 + 6x3 + 10x4 = 8

x3 + x4 = 2

a. [2 pts] Escrıbalo de forma matricial Ax = b.b.[4 pts] Escriba la matriz aumentada del sistema. Halle su forma

escalonada reducida.c.[4 pts] Escriba la solucion general del sistema como suma de una

solucion particular del sistema y la solucion general del sistema ho-mogeneo.

2.[10 pts]a.[6 pts] Encuentre la ecuacion del plano que pasa por los puntos

P = (1, 0, 1), Q = (0, 1, 1) y (1, 1, 0).b.[4 pts] Encuentre la distancia del punto (1, 1, 1) al plano cuya

ecuacion encontro en el punto anterior.

3. [10 pts]a. Sea I la matriz identidad n×n. Muestre que si AC = I y BA = I

entonces B = C.b. Sean v 6= 0 y w vectores de Rn ortogonales. Sean s y r escalares.

Muestre que si u = rv + sw, entonces

r =v · uv · v

.

1

Algebra Lineal, Parcial 1 (versıon 2)12 de febrero de 2016

Profesor: Tristram Bogart

Nombre:

Codigo:

Instrucciones : Este examen es de 80 minutos. No se permiten el uso de notas ni calculadoras.Las calculadoras y los celulares deben ser guardados. Por favor escriba su nombre en esta hojay tambien en las hojas donde se encuentran sus soluciones. Cada ejercicio vale 2 puntos.

1. Sean u =

[13

], v =

[2−1

](a) Calcule el vector proyuv.

(b) Grafique los vectores u, v, 2u + v y proyuv.

2. Considere los 3 puntos P = (1, 2, 1), Q = (3,−1,−1) y R = (0, 5, 0) en R3.

(a) Encuentre el area del triangulo cuyos vertices son P , Q y R.

(b) Encuentre la ecuacion del plano que contiene P , Q y R.

3. Sea L la recta en R3 que pasa por los puntos (1, 2,−3) y (2, 3, 1).

(a) Encuentre las ecuaciones parametricas de L.

(b) ¿La recta L se cruza con el eje x? ¿Por que o por que no?

4.

(a) Encuentre la forma escalonada reducida de la matriz

[6 0 −6 12 04 2 4 −2 0

](b) Encuentre tres soluciones distintas del sistema

{6x1 − 6x3 + 12x4 = 04x1 + 2x2 + 4x3 − 2x4 = 0

5.

(a) Para toda matriz A, demuestre que la matriz AtA es simetrica.

(b) Sea B =

[2 0 4−1 5 10

]. Calcule la matriz BtB.

Primer Parcial: Algebra lineal. Tema A, 18 de Febrero de 2016, L. J. Corredor

Nombre y apellido codigo Seccion Nota

/50

Nota:1. Por favor justificar todas sus respuestas y escribir claro.2. Contestar en los espacios reservados para las soluciones de los ejercicios.3. Una hoja sin nombre no se corregira.4. seccion 12= Mateo Dulce 12 m., seccion 13= Edison Lopez 12 m., seccion 14= Edison Lopez 9a.m., seccion 15= Daniel Sanchez 9 a.m.

1. [/24] Considere los 3 puntos P = (1, 2,−1), Q = (1, 3, 0) y R = (1, 3, 1) en R3 (el espacioeuclideano tridimensional en el que vivimos!). Sean ~u = OP , ~v = OQ y ~w = OR los tres vectoresanclados en el origen O = (0, 0, 0) determinados por los puntos dados. [Note que ~u = (1, 2,−1),~v = (1, 3, 0) y ~w = (1, 3, 1)]

a) [/4] Los vectores ~u = (1, 2,−1) y ~v = (1, 3, 0) determinan un paralelogramo en el espacioque tiene como tres de sus vertices a los puntos O,P y Q. Encuentre las coordenadas deS, el cuarto punto de este paralelogramo.

b) [/4] Encuentre la ecuacion cartesiana del plano Π que pasa por el punto R = (1, 3, 1)y que es paralelo al plano W donde vive el paralelogramo determinado por los vectores~u = (1, 2,−1) y ~v = (1, 3, 0).

c) [/4] Encuentre la ecuacion parametrica de la recta L que pasa por el punto R = (1, 3, 1) yes perpendicular al plano Π.

d) [/4] Encuentre la distancia entre el punto R = (1, 3, 1) y el plano W [Recuerde: W es elplano determinado pos los vectores ~u = (1, 2,−1) y ~v = (1, 3, 0)].

e) [/4] Encuentre el area del paralelogramo determinado por los vectores ~u = (1, 2,−1) y~v = (1, 3, 0).

f ) [/4] Encuentre el volumen del paralelepıpedo determinado por los vectores ~u = (1, 2,−1),~v = (1, 3, 0) y ~w = (1, 3, 1).

2. [/16] Sea A la siguiente matriz de 3× 3:

A =

1 1 12 3 3−1 0 1

[Ayuda: Antes de resolver los numerales de este punto, lealos TODOS. Puede ser que con unsolo procedimiento pueda resolver varios de estos!!]

a) [/4] Determine si la matriz A es invertible y en caso afirmativo encontrar su inversa A−1.

b) [/4] Encuentre el conjunto solucion del sistema de ecuaciones lineales:

x1 + x2 − x3 = 22x1 + 3x2 + 3x3 = 3−x1 + x3 = −2

c) [/4] Sean ~u = (1, 2,−1), ~v = (1, 3, 0) y ~w = (1, 3, 1). Determine si el vector ~b = (2, 3,−2)pertenece a Span(~u,~v, ~w), el subespacio de R3 generado por los vectores ~u,~v y ~w. En caso

afirmativo escribir a ~b como una combinacion lineal de los vectores ~u,~v y ~w. [Recuerde queSpan(~u,~v, ~w) = {α~u+ β~v + γ ~w | α, β, γ ∈ R3}].

d) [/4] Diga si TODO vector en R3 pertenece a Span(~u,~v, ~w). Justifique su respuesta!!

3. [/10] Sea W = Span(~u,~v), donde ~u = (1, 2,−1) y ~v = (1, 3, 0). [Recuerde que Span(~u,~v) ={α~u+ β~v | α, β ∈ R3}].

a) [/2] Verifique que ~0 = (0, 0, 0) pertenece a W

b) [/2] Verifique que si ~w1 = α1~u+ β1~v y ~w2 = α2~u+ β2~v son dos vectores cualesquiera quepertenecen a W , entonces ~w1 + ~w2 tambien pertenece a W .

c) [/2] Verifique que si ~w es un vector cualesquiera que pertenece a W y λ es un real cualquiera,entonces λ~w tambien pertenece a W .

d) [/4] Considere el sistema con una unica ecuacion:

{3x1 − x2 + x3 = 0

Encuentre la forma general de las soluciones al sistema. Exprese esta como una combinacionlineal de vectores en R3.

1

Algebra Lineal Guillermo Mantilla-SolerNombre/Codigo: Febrero 12 2016

Examen I

Instrucciones: Durante el examen no son permitidos libros, notas, calculadoras, celulares o en generaldispositivos electronicos de cualquier tipo ası esten apagados. LA RESPUESTA A CADA PROB-LEMA DEBE SER ESCRITA DE MANERA CLARA. Muestre cada paso de su solucion; NOJUSTIFICACION = NO PUNTAJE, aun si la respuesta dada es correcta.

Problemas Puntuacion

1 5pts

2 /5pts

3 /5pts

4 /5pts

Total:/20pts

Tiempo 1 Hora 10 minutos

1) Sean u =

−4123

y v =

304

.

(a) [1 pt] Calcule las magnitudes de los vectores u y v

(b) [1 pt] Calcule el angulo entre u y v

(c) [1 pt] Calcule la magnitud de u + 2v

(d) [1 pt] Calcule Proyv(3u + v)

(e) [1 pt] Calcule el coseno del angulo entre u× v y u + v

2)

(a) [1 pt] Encuentre la recta `1 que pasa por los puntos

102

y

204

(b) [1 pt] Encuentre la recta `2 que pasa por el punto

102

en direccion del vector

503

(c) [1 pt] Encuentre la recta `3 que es ortogonal a las rectas `1 y `2 y que pasa por el punto

030

(d) [1 pt] Encuentre la interseccion entre las rectas `1 y `2

(e) [1 pt] Encuentre la ecuacion del plano que es ortogonal a la recta `3 y que pasa por el punto

152

2

3) Sean A =

6 7 52 3 23 4 3

, B =

1 −1 −10 3 −2−1 −3 4

y b =

111

(a) [1 pts] Calcule AB y BA y concluya que en este caso sı se tiene que AB = BA

(b) [1 pts] Calcule (A + B)2 − (A2 + 2AB + B2)

(c) [1 pts] Escriba de manera explıcita el sistema de ecuaciones dado por la ecuacion matricial

B ·

xyz

= b.

(d) [2 pts] Encuentre todas las soluciones x, y, z al sistema de ecuaciones lineales del punto (c).

4) Encuentre todos los puntos de interseccion de los planos dados por:

3x + 9y + 3z = 02x + y − 5z = 016x − 7y + 5z = 0