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Problemas de matemática aplicada a la
administración y economía
Ejercicios y problemas resueltos del texto: Matemática para la Administración y
Economía – HAEUSSLER-PAUL-WOOD. Decimosegunda edición
César A. Yépez
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0 REPASO DE
ALGEBRA
1 APLICACIONES Y
MÁS ALGEBRA
2 FUNCIONES
Y GRÁFICAS
3 RECTAS PARÁBOLAS Y
SIST. DE ECUACIONES
INDICE
4 FUNCIÓN EXPONENCIAL
Y LOGARITMICA
6 ÁLGEBRA
MATRICIAL
7 PROGRAMACIÓN
LINEAL
10 LIMITES Y
CONTINUIDAD
11 DIFERENCIACIÓN
12 TEMAS
ADICIONALES DE
DIFERENCIACIÓN
13 TRAZADO DE
CURVAS
14 INTEGRACIÓN
Problemas de matemática aplicada a la administración y economía Ejercicios y problemas resueltos del texto: Matemática para la Administración y
Economía – HAEUSSLER-PAUL-WOOD. Decimosegunda edición. César Augusto Yépez Gómez 4.0, CC-BY-NC-SA Primera edición digital Número de registro IEPI: 042866 ISBN: 978-9942-28-872-1
Esta obra ha sido creada bajo licencia Creative Commons 4.0, CC, BY, NC, SA: Reconocimiento –No Comercial-Sin derivar; la cual permite: copiar, distribuir y comunicar públicamente la obra, mientras se reconozca la autoría original, no se utilice con fines de lucro comerciales y se permiten obras derivadas, siempre que mantenga la misma licencia al ser divulgada. https://creativecommons.org/licenses/by-nc-SA/4.0/deed.es Julio, 2017
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Presentación
El presente trabajo tiene por objeto proporcionar métodos de solución de problemas aplicados a diversas áreas, en especial a la administración y economía. Está dirigido a estudiantes del bachillerato, ya que cubre gran parte de las destrezas y contenidos que propone el Ministerio de Educación, para estudiantes de primeros años de educación superior en las carreras de Administración, Economía, Marketing, etc., y especialmente para estudiantes y docentes de modalidades a distancia. Comprende ejercicios y problemas de algebra, funciones, rectas, parábolas, matrices, funciones logarítmicas y exponenciales, límites, derivadas e integración y, sus aplicaciones correspondientes al texto: Matemática para la Administración y Economía – HAEUSSLER-PAUL-
WOOD. Decimosegunda edición.
César A. Yépez
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Índice de contenidos
CAPÍTULO 0 REPASO DE ALGEBRA 0.7 Ecuaciones, en particular ecuaciones lineales. 0.8 Ecuaciones cuadráticas
7
CAPÍTULO 1 APLICACIONES Y MÁS ALGEBRA 1.1 Aplicaciones de ecuaciones 1.2 Desigualdades lineales 1.3 Aplicaciones de las desigualdades
12
CAPÍTULO 2 FUNCIONES Y GRÁFICAS 2.1 Funciones 2.2 Funciones especiales 2.3 Combinaciones de funciones 2.5 Gráficas en coordenadas rectangulares
22
CAPITULO 3 RECTAS PARÁBOLAS Y SISTEMAS DE ECUACIONES 3.1 Rectas 3.2 Aplicaciones y funciones lineales 3.3 Funciones cuadráticas 3.6 Aplicaciones de los sistemas de ecuaciones
36
CAPITULO 4 FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS 4.1 Funciones exponenciales 4.2 Funciones logarítmicas 4.3 Propiedades de los logaritmos 4.4 Ecuaciones logarítmicas y exponenciales
47
CAPÍTULO 6 ÁLGEBRA MATRICIAL 6.1 Matrices 6.2 Suma de matrices y multiplicación por un escalar 6.3 Multiplicación de matrices 6.4 Resolución de sistemas mediante la reducción de matrices 6.5 Resolución de sistemas mediante la reducción de matrices (continuación)
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Índice de contenidos
CAPÍTULO 7 PROGRAMACIÓN LINEAL 7.1 Desigualdades lineales en dos variables 7.2 Programación lineal
68
CAPÍTULO 10 LÍMITES Y CONTINUIDAD 10.1 Límites 10.2 Límites (continuación) 10.4 Continuidad aplicada a desigualdades
79
CAPÍTULO 11 DIFERENCIACIÓN 11.1 La derivada 11.2 Reglas para la diferenciación 11.3 La derivada como una razón de cambio 11.4 La regla del producto y la regla del cociente 11.5 La regla de la cadena y la regla de la potencia
88
CAPÍTULO 12 TEMAS ADICIONALES DE DIFERENCIACIÓN 12.1 Derivada de funciones logarítmicas 12.2 Derivada de funciones exponenciales 12.4 Diferenciación implícita 12.5 Diferenciación logarítmica 12.7 Derivadas de orden superior
102
CAPÍTULO 13 TRAZADO DE CURVAS 13.1 Extremos relativos 13.2 Extremos absolutos en un intervalo cerrado 13.3 Concavidad 13.4 Prueba de la segunda derivada 13.6 Aplicación de Máximos y mínimos
115
CAPÍTULO 14 INTEGRACIÓN 14.1 Diferenciales 14.2 La integral indefinida 14.3 Integración con condiciones iniciales 14.4 Más fórmulas de integración 14.7 Teorema fundamental del cálculo integral 14.9 Área 14.10 Área entre curvas 14.11 Excedente de los consumidores y de los productores
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CAPÍTULO 0 REPASO DE ALGEBRA
0.7 Ecuaciones, en particular ecuaciones lineales.
Problemas 0.7 Páginas: 34 – 35. Ejercicios: 10, 15,25, 78, 89,96
En los problemas 7 a 16 determine qué operaciones se aplican a la primera ecuación para obtener la segunda. Establezca si las operaciones garantizan o no que las ecuaciones sean equivalentes. No resuelva las ecuaciones
10. 𝟐𝒙𝟐 + 𝟒 = 𝟓𝒙 − 𝟕 ; 𝒙𝟐 + 𝟐 =𝟓
𝟐𝒙 −
𝟕
𝟐
Se divide ambos lados para dos, la equivalencia si se garantiza ya que se divide por un valor constante.
15. 𝟐𝒙(𝟑𝒙+𝟏)
𝟐𝒙−𝟑= 𝟐𝒙(𝒙 + 𝟒) ; 𝟑𝒙 + 𝟏 = (𝒙 + 𝟒)(𝟐𝒙 − 𝟑)
Se multiplican ambos lado por 2𝑥−3
2𝑥 ; la equivalencia no se garantiza debido a que
no sabemos el valor de 𝑥. Por ejemplo si 𝑥 = 0 el denominador de 2𝑥−3
2𝑥 sería cero
y éste resultado no esta determinado. Resuelva las ecuaciones 17 a 80
25. 𝟕𝒙 + 𝟕 = 𝟐(𝒙 + 𝟏)
Resolvemos el producto del lado derecho, luego resolvemos la ecuación para 𝑥
7𝑥 + 7 = 2𝑥 + 2 ⟹ 7𝑥 − 2𝑥 = 2 − 7 ⟹ 5𝑥 = −5
𝑥 =−5
5 ⟹ 𝑥 = −1
78. √𝒙 − √𝒙 + 𝟏 = 𝟏
Trasladamos las raíces cuadradas convenientemente para eliminarlas
√𝑥 = 1 + √𝑥 + 1
Elevamos al cuadrado ambos lados de la ecuación
(√𝑥)2= (1 + √𝑥 + 1)
2
𝒙 = 𝟏 + 𝟐√𝑥 + 1 + 𝑥 + 1
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𝒙 − 𝒙 − 𝟐 = 𝟐√𝑥 + 1
−𝟏 = √𝑥 + 1
√𝑥 + 1 es positiva, no puede ser igual a -1, luego la ecuación planteada no tiene
solución
En los problemas 81 a 92, exprese el símbolo indicado en términos de los símbolos restantes
89. 𝒓 = 𝒅
𝟏−𝒅𝒕; 𝒕
Resolvemos la ecuación para 𝑡
𝑟(1 − 𝑑𝑡) = 𝑑
𝑟 − 𝑟𝑑𝑡 = 𝑑
𝑟 − 𝑑 = 𝑟𝑑𝑡 ⟹ 𝑟−𝑑
𝑟𝑑 = 𝑡 ⟹ 𝑡 =
𝑟−𝑑
𝑟𝑑
96. Ingreso. El ingreso mensual total de una guardería por concepto del cuidad de x niños está dado por 𝒓 = 𝟒𝟓𝟎𝒙, y sus costos mensuales totales son 𝒄 = 𝟑𝟖𝟎𝒙 + 𝟑𝟓𝟎𝟎. ¿Cuántos niños necesitan inscribirse mensualmente para alcanzar el punto de equilibrio? En otras palabras ¿Cuándo los ingresos igualan a los costos?
Extraemos los datos correspondientes
Ingreso: 𝑟 = 450𝑥 Costos: 𝑐 = 380𝑥 + 3500 Equilibrio: 𝑟 = 𝑐
Establecemos la ecuación de equilibrio
𝑟 = 𝑐
450𝑥 = 380𝑥 + 3500
Resolvemos la ecuación
450𝑥 − 380𝑥 = 3500
70𝑥 = 3500
𝑥 =3500
70 ⟹ 𝑥 = 50
Se necesitan 50 niños para alcanzar el punto de equilibrio.
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0.8 Ecuaciones Cuadráticas
Problemas 0.8 Páginas: 42 – 43 Ejercicios: 23, 31, 37, 73, 79, 82
Resuelva por factorización los problemas 1 a 30.
23. 𝒕𝟑 − 𝟒𝟗𝒕 = 𝟎
En primer lugar se observa el factor común t 𝑡(𝑡2 − 49) = 0
Ahora resolvemos la diferencia de cuadrados 𝑡(𝑡 − 7)(𝑡 + 7) = 0
Este producto es cero cuando : 𝑡 = 0 o (𝑡 − 7) = 0 o (𝑡 + 7) = 0 Luego se tiene 𝑡 = 0 𝑡 − 7 = 0 ⟹ 𝑡 = −7 𝑡 + 7 = 0 ⟹ 𝑡 = 7
En los problemas 31 a 44, encuentre todas las raices reales con el uso de la fórmula cuadrática
31. 𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝟐𝟒 = 𝟎
Comparando con la fórmula cuadrática 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, se tiene
𝑎 = 1 𝑏 =2 𝑐 = −24
Aplicamos la fórmula cuadrática
𝑥 =−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎=−2 ± √22 − 4(1)(−24)
2(1)
𝑥 =−2 ± √4 + 96
2=−2 ± 10
2
𝑥 =−2 + 10
2 =
8
2 ⟹ 𝒙 = 𝟒
𝑥 =−2 − 10
2=−12
2⟹ 𝒙 = −𝟔
37. 𝟒 − 𝟐𝒏 + 𝒏𝟐 = 𝟎
Comparamos la ecuación con la fórmula cuadrática 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
Si 𝑛2 − 2𝑛 + 4 = 0 ⟹ 𝑎 = 1 𝑏 = −2 𝑐 = 4
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Aplicamos la fórmula cuadrática resolviendo para n
𝑛 =−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎=−(−2) ± √(−2)2 − 4(1)(4)
2(1)
𝑛 =2 ± √4 − 16
2=2 ± √−12
2= 1 ± √−3
El valor √−3 no es un número real, por lo que la ecuación 4 − 2𝑛 + 𝑛2 = 0 no tiene soluciones reales.
Resuelva por cualquier método los problemas 55 a 76
73. √𝒙 − √𝟐𝒙 + 𝟏 + 𝟏 = 𝟎
Para resolver ecuaciones que contienen raíces cuadradas, es conveniente trasladar a un lado de la ecuación una cantidad con radical.
√𝑥 − 1 = √2𝑥 + 1
Elevamos al cuadrado a toda la ecuación
(√𝑥 + 1)2 = √2𝑥 + 12
⟹ √𝑥2+ 2√𝑥 + 1 = 2𝑥 + 1
𝑥 + 2√𝑥 + 1 = 2𝑥 + 1 Nuevamente ubicamos el radical a un solo lado para elevar al cuadrado
2√𝑥 = 2𝑥 − 𝑥 + 1 − 5
(2√𝑥)2 = (𝑥)2 ⟹ 4𝑥 = 𝑥2 ⟹ 𝑥2 − 4𝑥 = 0
Resolvemos la ecuación cuadrática 𝑥2 − 4𝑥 = 0
𝑥(𝑥 − 4) = 0 ⟺ 𝑥 = 0 , 𝑥 − 4 = 0 ⟹ 𝑥 = 4 79. Geometría. El área de un dibujo rectangular, que tiene un ancho de 2 pulgadas menor que el
largo, es de 48 pulgadas cuadradas. ¿Cuál son las dimensiones del dibujo? 𝒂 = 𝒙 − 𝟐
𝒍 = 𝒙
Establecemos los datos 𝐴 = 48𝑚2 𝑙 = 𝑥 𝑎 = 𝑥 − 2
Aplicamos la fórmula del área 𝐴 = 𝑙. 𝑎
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48 = 𝑥 (𝑥 − 2) = 𝑥2 − 2𝑥 𝑥2 − 2𝑥 − 48 = 0
Resolvemos la ecuación cuadrática, en este caso por factorización 𝑥2 − 2𝑥 − 48 = 0 (𝑥 − 8)(𝑥 + 6) = 0 ⟺ (𝑥 − 8) = 0 v (𝑥 + 6) = 0 𝑥 = 8 v 𝑥 = −6 Tomamos el valor positivo porque toda distancia es positiva El largo es 𝑙 = 𝑥 = 8 El ancho es 𝑎 = 8 − 2 = 6
82. Dieta para ratas. Un grupo de biólogos estudio lo efectos nutricionales en ratas alimentadas
con una dieta que contenía 10% de proteínas. La proteína estaba compuesta de levadura y de
harina de maíz. Al cambiar el porcentaje P (expresado como un decimal) de levadura en la mezcla
proteínica, el grupo estimó que el promedio de aumento de peso g (en gramos) de una rata,
durante cierto período, estaba dado por
𝒈 = −𝟐𝟎𝟎𝑷𝟐 + 𝟐𝟎𝟎𝑷 + 𝟐𝟎
¿Cuál es el porcentaje de levadura que proporciona un aumento promedio de peso de 60
gramos?
De la función de peso con las condiciones dadas tenemos
𝑔 = −200𝑃2 + 200𝑃 + 20
60 = −200𝑃2 + 200𝑃 + 20
200𝑃2 − 200𝑃 + 40 = 0
5𝑃2 − 5𝑃 + 1 = 0
Calculamos el porcentaje P resolviendo la ecuación cuadrática
Si a=5 b=5 c=1 entonces:
𝑃 =5 ± √25 − 4(5)(1)
2(5)=5 ± √5
10
𝑃 =5 + √5
10≈ 0.72 𝑜 𝑃 =
5 − √5
10≈ 0.28
El porcentaje de levadura que proporciona un aumento promedio de peso de 50
gramos es de 28% y 72%
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CAPÍTULO 1 APLICACIONES Y MÁS ALGEBRA 1.1 Aplicaciones de ecuaciones
Problemas 1.1 Páginas: 51- 52 – 53 Ejercicios 1, 5, 7, 9, 16, 31, 35, 41
1. Cercado. Se colocará una cerca alrededor de un terreno rectangular de modo que el área
cercada sea de 800 pies cuadrados y el largo del terreno sea el doble de su ancho. ¿Cuántos pies de cerca se utilizarán?
Establecemos los datos
Á𝑟𝑒𝑎 = 800 𝑎𝑛𝑐ℎ𝑜 = 𝑎 = 𝑥 𝑙𝑎𝑟𝑔𝑜 = 𝑙 = 2𝑥
Aplicamos la fórmula del área
Á𝑟𝑒𝑎 = 𝑙𝑎𝑟𝑔𝑜 ∗ 𝐴𝑛𝑐ℎ𝑜 = 2𝑥(𝑥) = 2𝑥2 2𝑥2 = 800 𝑥2 = 400 ⟹ 𝑥2 − 400 = 0
Resolvemos la ecuación cuadrática 𝑥2 − 400 = 0
(𝑥 + 20)(𝑥 − 20) = 0 𝑥 = 20 ∨ 𝑥 = −20 Luego, las dimensiones son: 𝑎 = 20𝑝𝑖𝑒𝑠 𝑙 = 40𝑝𝑖𝑒𝑠
Calculamos el perímetro 𝑃𝑒𝑟í𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 = 2𝑎 + 2𝑙 = 40 + 80 = 120 𝑝𝑖𝑒𝑠
5. Acabado de muebles. De acuerdo con The Consumer’s Hand book [Paul Fargis, ed. (Nueva York:
Hawthoun, 1974)], un buen aceite para el acabado de muebles de madera contiene dos partes de aceite de linaza hervido y una parte de aguarrás. Si debe prepararse una pinta (16 onzas líquidas) de este producto. ¿Cuántas onzas líquidas de aguarrás se necesita
Establecemos los datos Cantidad de Aguarrás: 𝑥
Cantidad de Linaza: 2𝑥 Contenido de una pinta: 2𝑥 + 𝑥 = 16
Resolvemos la ecuación
3𝑥 = 16 𝑥 =16
3
7. Vereda de jardín. Se va usar un terreno rectangular de 4m. por 8m. para plantar un jardín. Se
decide construir un corredor pavimentado en todo el borde, de manera que queden 12 metros cuadrados del terreno para cultivar flores. ¿Cuál debe ser el ancho del corredor?
Es conveniente realizar un bosquejo de las características del problema
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Relacionamos los datos del gráfico con la fórmula del área
𝐴 = 𝑙. 𝑎 12 = (8 − 2𝑥)(4 − 2𝑥) 12 = 32 − 16𝑥 − 8𝑥 + 4𝑥2 4𝑥2 − 24𝑥 + 32 − 12 = 0 4𝑥2 − 24𝑥 + 20 = 0 𝑥2 − 6𝑥 + 5 = 0
Resolvemos la ecuación cuadrática 𝑥2 − 6𝑥 + 5 = 0 (𝑥 − 5)(𝑥 − 1) = 0 ⟹ 𝑥 = 5 ∨ 𝑥 = 1
El ancho del corredor debe ser 𝑥 = 1𝑚 . El valor 𝑥 = 5 se descarta debido a que el ancho del terreno es apenas de 4 metros.
9. Utilidad. Una compañía de refinación de maíz produce gluten para alimento de ganado, con
un costo variable de $82 por tonelada. Si los costos fijos son $120 000 al mes y el alimento se vende a $ 134 la tonelada, ¿cuántas toneladas deben venderse al mes para que la compañía obtenga una utilidad mensual de $560000?
Establecemos los datos Costo por tonelada: 𝐶𝑢 = 82
Costos Fijos: 𝐶𝑓 = 120000
Precio de venta: 𝑃𝑣 = 134
Utilidad: 𝑈 = 560000
Número de toneladas: 𝑞 =?
Relacionamos los datos con la fórmula de la utilidad
Costo total: 𝐶𝑇
Costo de venta: 𝐶𝑣 = 𝐶𝑢 ∙ 𝑞
𝑈 = 𝐼 – 𝐶𝑇
𝑈 = 𝑃𝑣. 𝑞 – (𝐶𝑓 + 𝐶𝑣)
𝑈 = 𝑃𝑣. 𝑞 – (𝐶𝑓 + 𝐶𝑢. 𝑞)
560000 = 134𝑞 – (120000 + 82. 𝑞)
Resolvemos la ecuación
560000 = 134𝑞 – 120000 – 82𝑞
560000 − 120000 = 134𝑞–82𝑞
680000 = 52𝑞
𝑞 = 13076.9
𝑞 = 13077 toneladas
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16. Negocio. Una compañía determina que si produce y vende q unidades de un producto, el
ingreso total por las ventas, en dólares, será 100 √𝒒. Si el costo variable por unidad es de $2
y el costo fijo de $1200, encuentre los valores de q para los que : ingreso total por ventas = costo variable + costo fijo
Establecemos los datos Costo variable: 𝐶𝑣 = 2 Costos fijos: 𝐶𝑓 = 1200
Ingresos: 𝐼 = 100 √𝑞
𝐼 = 𝐶𝑣 + 𝐶𝑓 𝑞 =?
Reemplazamos los datos en la fórmula de ingreso 𝐼 = 𝐶𝑣 + 𝐶𝑓
100 √𝑞 = 2𝑞 + 1200
Resolvemos la ecuación con radicales
(100 √𝑞)2= (2𝑞 + 1200)2
10000𝑞 = 4𝑞2 + 4800𝑞 + 1440000 4𝑞2 + 4800𝑞 − 10000𝑞 + 1440000 = 0 𝑞2 − 1300𝑞 + 360000 = 0
Resolvemos la ecuación cuadrática 𝑞2 − 1300𝑞 + 360000 = 0 (𝑞 − 900)(𝑞 − 400) = 0 𝑞1 = 900 𝑞2 = 400
También es posible resolver mediante la fórmula cuadrática
𝑞 =1300 ± √(−1300)2 − 4(1)(360000)
2(1) ⟹ 𝑞 =
1300 ± √1690000 − 1440000
2
𝑞 =1300 ± √250000
2 ⟹ 𝑞 =
1300 ± 500
2
𝑞1 =1300 + 500
2 ⟹ 𝑞1 =
1800
2 ⟹ 𝑞1 = 900
𝑞2 =1300 − 500
2 ⟹ 𝑞2 =
800
2 ⟹ 𝑞2 = 400
31. Ingreso. El ingreso mensual de cierta compañía está dado por R=800p-7p2, donde p es el
precio en dólares del producto que fabrica esa compañía. ¿A qué precio el ingreso será de $10000, si el precio debe ser mayor de $50?
Establecemos los datos Ingreso mensual: 𝑅 = 800𝑝 − 7𝑝2 Condición: 𝑅 = 10000
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si 𝑝 > 50 𝑝 =?
Establecemos la ecuación que relaciona el ingreso 𝑅 = 10000 = 800𝑝 − 7𝑝2
7𝑝2 − 800𝑝 + 10000 = 0
Resolvemos la ecuación cuadrática (7𝑝 − 700)(7𝑝 − 100)
7= 0
(𝑝 − 100)(7𝑝 − 100) = 0 𝑝 − 100 = 0 ⟹ 𝑝 = 100
7𝑝 − 100 = 0 ⟹ 𝑝 =100
7≈ 14.3
El ingreso mayor que 50 es 𝑝 = 100 35. Cerca de seguridad. Por razones de seguridad, una compañía cercará un área rectangular de
11200 pies cuadrados en la parte posterior de su planta. Un lado estará delimitado por el edificio y los otros tres lados por la barda (vea la figura 1.4). Si se van a utilizar 300 pies de cerca, ¿cuáles serán las dimensiones del área rectangular?
Extraemos los datos del enunciado del problema 𝐴𝑟𝑒𝑎 = 𝐴 = 𝑙 ∙ 𝑎 = 11200
𝑃𝑒𝑟í𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 = 300 = 𝑙 + 2𝑎
𝑙 =? 𝑎 =?
Resolvemos el sistema de 2 ecuaciones y 2 incógnitas
Del área se obtiene:
𝑙 =11200
𝑎
Reemplazando en la fórmula del perímetro tenemos:
300 =11200
𝑎+ 2𝑎 =
11200 + 2𝑎2
𝑎
300𝑎 = 11200 + 2𝑎2
𝑎2 − 150𝑎 + 5600 = 0
Resolvemos la ecuación cuadrática
16
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𝑎2 − 150𝑎 + 5600 = 0
(𝑎 − 80)(𝑎 − 70) = 0
𝑎 = 80; 𝑎 = 70
Calculamos el valor de 𝑙
Si 𝑎 = 80 𝑙 =11200
80= 140
Si 𝑎 = 70 𝑙 =11200
70= 160
La solución es 𝑎 = 80 y 𝑙 = 140 porque no sobrepasa la longitud del edificio que es de 150.
41. Bienes raíces. Una compañía fraccionadora compra un terreno en $ 7200. Después de vender
todo, excepto 20 acres, con una ganancia de $30 por acre sobre su costo original, recuperó el costo total de la parcela. ¿Cuántos acres se vendieron?
Establecemos los datos Sea 𝑥 el número de acres comprados Sea 𝑝 el precio por acre comprado
Compra de 𝑥 acres al precio 𝑝: 7200 = 𝑥𝑝 ⟹ 𝑝 =7200
𝑥 (1)
Venta de (𝑥 − 20) acres: 7200 = (𝑥 − 20)(𝑝 + 30) (2)
Resolvemos el sistema formado por la ecuaciones (1) y (2)
7200 = (𝑥 − 20) (7200
𝑥+ 30) ⟹ 7200 = 7200 + 30𝑥 −
144000
𝑥− 600
600 =30𝑥2−144000
𝑥 ⟹ 600𝑥 = 30𝑥2 − 144000
30𝑥2 − 600𝑥 − 144000 = 0 ⟹ 𝑥2 − 20 𝑥 − 4800 = 0
Resolvemos la ecuación cuadrática 𝑥2 − 20 𝑥 − 4800 = 0
(𝑥 − 80)(𝑥 + 60) = 0 ⟹ 𝑥 = 80 ∨ 𝑥 = −60
El número de acres debe ser un valor positivo, por lo tato: Número de acres comprados: 𝑥 = 80 acres.
Número de acres vendidos: 𝑥 − 20 = 80 − 20 = 60 acres.
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1.2 Desigualdades lineales
Problemas 1.2 página 58 Ejercicios 7, 19, 21,35, 38
Resuelva las desigualdades de los problemas 1 a 34. Dé su respuesta en notación de intervalo y
represéntela en forma geométrica sobre la recta de los números reales
7. 𝟓 − 𝟕𝐬 > 3
Aplicando las propiedades se tiene
5 − 7s > 3 ⟹ −7𝑠 > −2
Multiplicando por (-1), cambia el sentido de la desigualdad
7𝑠 < 2 ⟹ 𝑠 <2
7
Expresamos la respuesta en notación de intervalo
𝑠 ∈ (−∞, 2/7)
Resuelva las desigualdades de los problemas 1 a 34. Dé su respuesta en notación de intervalo y
represéntela en forma geométrica sobre la recta de los números reales:
19. 𝟓
𝟔𝒙 < 40
Aplicando las propiedades se tiene
5
6𝑥 < 40 ⟹ 5𝑥 < 240 ⟹ 𝑥 < 48
Graficamos la solución y expresamos en notación de intervalo
𝑥 ∈ (−∞, 48)
21. 𝟗𝒚+𝟏
𝟒≤ 𝟐𝒚 − 𝟏
Aplicamos las reglas de las desigualdades
9𝑦+1
4≤ 2𝑦 − 1 ⟹ 9𝑦 + 1 ≤ 8𝑦 − 4 ⟹ 𝑦 ≤ −5
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Graficamos la solución y expresamos en la notación de intervalos
𝑦 ∈ (−∞.−5]
35. Ahorros: Cada mes del año pasado, Brittany ahorro más de $50 pero menos de $150. Si S
representa sus ahorros totales del año, describa S con el uso de desigualdades.
12(50) < 𝑠 < 12(150)
600 < 𝑠 < 1800
38. Gasto. Una estudiante tiene $360 para gastar en un sistema estereofónico y algunos discos
compactos. Si compra un estéreo que cuesta $219 y el costo de los discos es de $18,95 cada uno,
determine el mayor número de discos que puede comprar.
Extraemos los datos
Dinero disponible: $360
Costo del estereofónico: $219
Costo de cada disco: $18.95
Número de discos: 𝑥
Condición para la compra: 219 + 18,95𝑥 ≤ 360
Resolvemos la desigualdad
18.95𝑥 ≤ 360 − 219 ⟹ 18.95𝑥 ≤ 141 ⟹ 𝑥 ≤141
18,95 ⟹ 𝑥 ≤ 7.44
Luego 𝑥 ≈ 7 discos
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1.3 Aplicaciones de las desigualdades
Problemas 1.3 páginas 60 – 61 Ejercicios 1, 3, 5, 8, 11
1 . La compañía Davis fabrica un producto que tiene un precio unitario de venta de $20 y un costo unitario de $15. Si los costos fijos son de $600000, determine el número de unidades que deben venderse para que la empresa tenga utilidades.
Establecemos los datos Número de unidades: 𝑞 =? Ingresos: 𝑟 = 20𝑞 Costo de producción: 𝑐𝑣 = 15𝑞 Costos fijos: 𝑐𝑓 = 600000 Utilidades: 𝑈 > 0
Relacionamos los datos con la fórmula de la utilidad 𝑈 = 𝐼𝑛𝑔𝑟𝑒𝑠𝑜𝑠 − 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑜𝑠 > 0 20𝑞 − (15𝑞 + 600000) > 0
Resolvemos la desigualdad 5𝑞 − 600000 > 0
5𝑞 − 600000 > 0 ⟹ 𝑞 > 12000.
Luego, el número de unidades que deben venderse es 12001 o más 3. Arrendamiento versus compra. Una mujer de negocios quiere determinar la diferencia entre el costo de comprar un automóvil y el de arrendarlo con opción a compra. Puede rentar un automóvil por $420 al mes (cotizado anualmente). Bajo este plan el costo por milla (gasolina y aceite) es $0.06. Si comprara el automóvil, el gasto fijo anual sería $4700, y los otros costos ascenderían a $0.08 por milla. ¿Cuál es el mínimo de millas que tendría que conducir por año para que el arrendamiento no fuese más caro que la compra?
Extraemos los datos del enunciado Número de millas recorridas por año: 𝑥
Costo anual por rentar el automóvil: 𝐶𝑎 = 12(420) + 0.06𝑥 = 5040 + 0.06𝑥
Costo anual por comprar el automóvil: 𝐶𝑐 = 4700 + 0.08𝑥
Condición: 𝐶𝑎 ≤ 𝐶𝑐
Reeemplazamos y resolvemos la desigualdad
5040 + 0.06𝑥 ≤ 4700 + 0.08𝑥
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340 ≤ 0.02𝑥
𝑥 ≥ 17000
5. El costo unitario de publicación de una revista es de $0.55. Cada revista se vende al
distribuidor en $0.60, y la cantidad que se recibe por publicidad es 10% de la cantidad recibida
por todas las revistas vendidas por arriba de las 30000. Encuentre el número mínimo de revistas
que pueden publicarse sin pérdida –esto es, tal que la utilidad ≥0 - suponiendo que se venderán
90%de los ejemplares.
Para los ingresos menores de 30000 unidades Utilidad= ingresos –costos ≥0
0.6 (09)𝑞 − 0.55𝑞 ≥ 0 0.54𝑞 − 0.55𝑞 ≥ 0 −0.01𝑞 ≥ 0 𝑞 ≤ 0
Para los ingresos mayores de 30000 Utilidad= ingresos –costos ≥0
0.6 (0.9)𝑞 + 0.1(0.6)(0.9𝑞 − 30,000) − 0.55𝑞 ≥ 0 0.594𝑞 − 1800 − 0.55𝑞 ≥ 0
0.044𝑞 − 1800 ≥ 0
0.044𝑞 ≥ 1800
𝑞 ≥ 40910
Se deben imprimir más de 40910 revistas para no obtener pérdidas.
8. Razón de circulante. La razón de circulante de Precisión Machine Products es 3.8. Si sus
activos circulantes son de $570 000. ¿Cuáles son sus pasivos circulantes? Para elevar sus fondos
de reserva, ¿Cuál es la cantidad máxima que puede pedir prestada a corto plazo si quiere que su
razón de circulante no sea menor que 2.6?
Establecemos los datos
Razón de circulante: R=3.8
Activos circulantes: A= $570000
Pasivo circulante: L=?
Calculamos los pasivos circulantes a partir de la definición de la razón de circulante
𝑟𝑎𝑧ó𝑛 𝑑𝑒 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑙𝑎𝑛𝑡𝑒 =𝑎𝑐𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑙𝑎𝑛𝑡𝑒
𝑝𝑎𝑠𝑖𝑣𝑜 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑙𝑎𝑛𝑡𝑒
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3.8 =570000
𝐿 ⟹ 3.8 𝐿 = 570000 ⟹ 𝐿 = $150000
Calculamos la cantidad de dinero que se puede pedir prestado
Sea x= la cantidad de dinero que puede pedir prestado, donde 𝑥 ≥ 0
Entonces:
570000 + 𝑥
150000 + 𝑥≥ 2.6
570000 + 𝑥 ≥ 390000 + 2.6𝑥
112500 ≥ 𝑥
En conclusión los pasivos corrientes son $150,000 y lo máximo que se puede pedir
prestado es $112500
11. Sueldo por hora. Con frecuencia se paga a los pintores por hora, o bien por trabajo
terminado. El tipo de pago que reciben puede hacer variar la velocidad a la que trabajan. Por
ejemplo, suponga que pueden trabajar por $9 la hora, o bien, por $320 más $3 por cada hora
trabajada por debajo de 40, si completan el trabajo en menos de 40 horas. Suponga que el
trabajo les toma t horas. Si t≥40, resulta claro que el sueldo por hora es mejor. Si t<40, ¿para
qué valores de t el salario por hora es mejor?
Sea 𝑡 < 40 ⟹ 9𝑡 > 320 + 3 (40 − 𝑡)
9𝑡 > 440 − 3𝑡
12𝑡 > 440 𝑡 > 36.7
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CAPÍTULO 2 FUNCIONES Y GRÁFICAS
2.1 Funciones
Problemas 2.1 Páginas 81, 82. Ejercicios: 7, 21, 35, 43, 46, 48
En los problemas 5 a16, obtenga el dominio de cada función.
7. 𝒉(𝒙) = √𝒙 − 𝟑
Para que ℎ(𝑥) = √𝑥 − 3 exista, se necesita que la cantidad dentro del radical se positiva,
es decir:
𝑥 − 3 ≥ 0 ⟹ 𝑥 ≥ 3
Luego, 𝐷𝑜𝑚(ℎ) = [3,∞)
Determinar los valores de la función para cada una de las funciones de los problemas 17 a 28
21. 𝒚(𝒖) = 𝟐𝒖𝟐 − 𝒖; 𝒚(−𝟐); 𝒚(𝟐𝒖); 𝒚(𝒙 + 𝒂)
Si 𝑦(𝑢) = 2𝑢2 − 𝑢 ⟹ 𝑦(−2) = 2(−2)2 − 2 = 8 + 2 = 10
Si 𝑦(𝑢) = 2𝑢2 − 𝑢 ⟹ 𝑦(2𝑣) = 2(2𝑣)2 − (2𝑣) = 8𝑣2 − 2𝑣
Si 𝑦(𝑢) = 2𝑢2 − 𝑢 ⟹ 𝑦(𝑥 + 𝑎) = 2(𝑥 + 𝑎)2 − (𝑥 + 𝑎)
𝑦(𝑥 + 𝑎) = 2𝑥2 + 4𝑎𝑥 + 2𝑎2 − 𝑥 − 𝑎
En los problemas 29 a36 encuentre (a) 𝒇(𝒙 + 𝒉) y (b) 𝒇(𝒙+𝒉)−𝒇(𝒉)
𝒉; simplifique sus respuestas
35. 𝒇(𝒙) =𝟏
𝒙
a) Si 𝑓(𝑥) =1
𝑥 ⟹ 𝑓(𝑥 + ℎ) =
1
𝑥+ℎ
b) Si 𝑓(𝑥) =1
𝑥 ⟹
𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)
ℎ=
1𝑥 + ℎ
−1𝑥
ℎ=
𝑥 − (𝑥 + ℎ)𝑥(𝑥 + ℎ)
ℎ
=−ℎ
ℎ𝑥(𝑥 + ℎ)=
−1
𝑥(𝑥 + ℎ)
43. La fórmula para el área de un circulo de radio r es 𝑨 = 𝝅𝒓𝟐 ¿Es el área una función del radio?
Si debido a que para cada valor de r corresponde un único valor 𝑨(𝒓) = 𝝅𝒓𝟐
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46. DEPRECIACION. Si una máquina de $ 30.000 se deprecia 2% de su valor original cada año,
determine una función “f” que exprese el valor “v” de la maquina después que han transcurrido
“t” años.
Determinamos los datos
Valor inicial: 𝑣𝑜 = $30000
Razón de depreciación: 𝑟 = 0.02
Valor al final de t años: 𝑣 = 𝑓(𝑡) =?
Calculamos el valor que se deprecia la máquina luego de t años
𝑑 = (0.02)(30000)𝑡
Calculamos la función del valor de la máquina luego de t años
𝑣 = 𝑓(𝑡) = 30000 − 0,02 × 𝑡 × (30000)
𝑣 = 𝑓(𝑡) = 30000(1 − 0.02 × 𝑡)
48. FUNCION DE DEMANDA. Suponga que la función de demanda anual para que cierto actor
protagonice una película es 𝒑 =𝟏′𝟐𝟎𝟎 𝟎𝟎𝟎
𝒒, donde “q” es el número de películas que protagoniza
durante el año. Si el artista actualmente cobra $ 6’000.000 por película ¿Cuántas protagoniza cada
año? Si quiere protagonizar cuatro cintas por año ¿Cuánto cobrará por esto?
Determinamos los datos
Función de demanda por película (precio): 𝑝(𝑞) =1′200 000
𝑞
Precio actual por película: 𝑝 = 6′000000
Número de película por año: 𝑞 =?
Calculamos el número de películas cada año si el precio actual es de $6´000 000
600 000 =1′200 000
𝑞
𝑞 =1′200 000
600 000= 2
Calculamos el precio por protagonizar cuatro películas
𝑝(4) =1′200 000
4= $ 300 000
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2.2 Funciones especiales
Problemas 2.2 Páginas: 85 – 86 Ejercicios: 3,15, 29, 30, 31, 33
En los problemas 1 a 4 determine si la función dada es una función polinomial
3. 𝒈(𝒙) =𝟏
𝟐𝒙𝟐+𝟐𝒙+𝟏
La función polinomial es de la forma 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑛𝑥𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥
𝑛−1 + ∙∙∙ +𝑎1𝑥1 + 𝑎0
Luego la función 𝑔 no es polinomial
Establezca (a) el grado y (b) el coeficiente principal de la función polinomial dada en los problemas
13 a 16
15. 𝒈(𝒙) =𝟏
𝝅− 𝟑𝒙𝟓 + 𝟐𝒙𝟔 + 𝒙𝟕
La función 𝑔 es polinomial y es equivalente a 𝒈(𝒙) = 𝒙𝟕 + 𝟐𝒙𝟔 − 𝟑𝒙𝟓 +𝟏
𝝅
Grado de la función polinomial: 7
Coeficiente: 1
29. Viaje en Tren. Un boleto de viaje redondo en tren a la ciudad cuesta $ 4.50. Escriba su
costo como función del ingreso del pasajero ¿Qué tipo de función es?
Costo del boleto: $4.50
Ingreso del pasajero: 𝐼
Costo en función del ingreso: 𝑐(𝑖) = 4.50 Esta es una función constante.
30. Geometría. Un prima rectangular tiene una longitud tres veces mayor que su ancho y
altura; una unidad menor que el doble del ancho. Escriba el volumen del prisma rectangular como
una función del ancho. ¿Qué clase de función es?
𝑤 = 𝑎𝑛𝑐ℎ𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑖𝑠𝑚𝑎
𝑤 + 3 = 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑖𝑠𝑚𝑎
2𝑤 − 1 = 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑖𝑠𝑚𝑎
Formula del volumen del prisma rectangular:
𝑣(𝑤) = (𝑤 + 3)(𝑤)(2𝑤 − 1)
𝑣(𝑤) = 2𝑤3 + 5𝑤2 − 3𝑤
Es una función cúbica.
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31. Función de costo. En la fabricación de un componente para una máquina, el costo inicial
de un dado es de $ 850, y todos los otros costos adicionales son de $ 3 por unidad producida (a)
exprese el costo total c (en dólares) como una función lineal del número q de unidades producidas
(b) ¿Cuántas unidades se producen si el costo total es de $ 1 600?
Establecemos los datos
Costo inicial: 𝑐𝑜 = $850
Costos adicionales por cada unidad: $3
Número de unidades: 𝑞
a) 𝑐(𝑞) =?
b) Si 𝑐(𝑞) = 1600 debemos hallar 𝑞
Establecemos el costo en función del número de unidades
𝑐(𝑞) = 850 + 3𝑞
Determinamos el número de unidades si 𝑐(𝑞) = 1600
1 600 = 850 + 3𝑞
750 = 3𝑞
𝑞 = 250
33. Ventas. Para estimular las ventas A grupos grandes, un teatro cobra dos precios si su grupo
es menor de 12 cada boleto cuesta $ 9,50. Si un grupo es de 120 o más, cada boleto cuesta $ 8,75.
Escriba una función definida para presentar el costo de comprar n boletos.
El costo de la compra de n por entrada es:
𝑐(𝑛) = {9.50𝑛 0 ≤ 𝑛 < 128.75𝑛 12 ≤ 𝑛
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2.3 Combinaciones de funciones
Problemas 2.3 Páginas: 90 -91 Ejercicios: 1, 3, 7, 17, 18, 19, 20
1. Si 𝒇(𝒙) = 𝒙 + 𝟑 y 𝒈(𝒙) = 𝒙 + 𝟓 encuentre
a) (𝒇 + 𝒈)(𝒙)
Tomando la definición de la suma de funciones (𝒇 + 𝒈)(𝒙) = 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)
Reemplazamos las funciones:
(𝑓 + 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)
(𝑓 + 𝑔)(𝑥) = (𝑥 + 3) + (𝑥 + 5)
(𝑓 + 𝑔)(𝑥) = 2𝑥 + 8
b) (𝒇 + 𝒈)(𝟎)
A partir de la definición de suma de funciones
(𝑓 + 𝑔)(𝑥) = 2𝑥 + 8
Calculamos (𝑓 + 𝑔)(0)
(𝑓 + 𝑔)(0) = 2(0) + 8
(𝑓 + 𝑔)(0) = 8
c) (𝒇 − 𝒈)(𝒙)
Mediante la definición de la diferencia de funciones tenemos
(𝑓 − 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)
(𝑓 − 𝑔)(𝑥) = (𝑥 + 3) − (𝑥 + 5)
(𝑓 − 𝑔)(𝑥) = −2
d) (𝒇𝒈)(𝒙)
Mediante la definición de la multiplicación de funciones tenemos
(𝑓𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)
(𝑓𝑔)(𝑥) = (𝑥 + 3)(𝑥 + 5)
(𝑓𝑔)(𝑥) = 𝑥2 + 8𝑥 + 15
e) (𝒇𝒈)(−𝟐)
Sabemos que el producto es (𝑓𝑔)(𝑥) = 𝑥2 + 8𝑥 + 15
Calculamos (𝑓𝑔)(−2)
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(𝑓𝑔)(−2) = (−2)2 + 8(−2) + 15
(𝑓𝑔)(−2) = 3
f) (𝒇
𝒈) (𝒙)
Tomando en cuenta la definición de la división de funciones
(𝑓
𝑔) (𝑥) =
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥) 𝑔(𝑥) ≠ 0
Reemplazando se tiene
(𝑓
𝑔) (𝑥) =
𝑥 + 3
𝑥 + 5
g) (𝒇𝒐𝒈)(𝒙)
De la definición de composición de funciones (𝑓𝑜𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥)) tenemos
(𝑓𝑜𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥))
(𝑓𝑜𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥 + 5)
(𝑓𝑜𝑔)(𝑥) = (𝑥 + 5) + 3
(𝑓𝑜𝑔)(𝑥) = 𝑥 + 8
h) (𝒇𝒐𝒈)(𝟑)
Sabiendo que (𝑓𝑜𝑔)(𝑥) = 𝑥 + 8
Calculamos (𝑓𝑜𝑔)(3)
(𝑓𝑜𝑔)(𝑥) = 𝑥 + 8
(𝑓𝑜𝑔)(3) = 3 + 8
(𝑓𝑜𝑔)(3) = 11
i) (𝒈𝒐𝒇)(𝒙)
Aplicamos la definición de composición de funciones
(𝑔𝑜𝑓)(𝑥) = 𝑔(𝑓(𝑥))
(𝑔𝑜𝑓)(𝑥) = 𝑔(𝑥 + 3)
(𝑔𝑜𝑓)(𝑥) = (𝑥 + 3) + 5
(𝑔𝑜𝑓)(𝑥) = 𝑥 + 8
j) (𝒈𝒐𝒇)(𝟑)
Sabiendo que (𝑔𝑜𝑓)(𝑥) = 𝑥 + 8
28
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Y LOGARITMICA
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LINEAL
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CONTINUIDAD
11 DIFERENCIACIÓN
12 TEMAS
ADICIONALES DE
DIFERENCIACIÓN
13 TRAZADO DE
CURVAS
14 INTEGRACIÓN
Calculamos (𝑔𝑜𝑓)(3)
(𝑔𝑜𝑓)(𝑥) = 𝑥 + 8
(𝑔𝑜𝑓)(3) = 3 + 8
(𝑔𝑜𝑓)(3) = 11
3. Si 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 + 𝟏 y 𝒈(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝒙, encuentre lo siguiente:
a) (𝒇 + 𝒈)(𝒙)
De la definición de adición de funciones se tiene
(𝑓 + 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)
(𝑓 + 𝑔)(𝑥) = (𝑥2 + 1 ) + (𝑥2 − 𝑥)
(𝑓 + 𝑔)(𝑥) = 2𝑥2 − 𝑥 + 1
b) (𝒇 − 𝒈)(𝒙)
De la definición de diferencia de funciones se tiene
(𝑓 − 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)
(𝑓 − 𝑔)(𝑥) = (𝑥2 + 1 ) − (𝑥2 − 𝑥)
(𝑓 − 𝑔)(𝑥) = 𝑥 + 1
c) (𝒇 − 𝒈) (−𝟏
𝟐)
Sabiendo que (𝑓 − 𝑔)(𝑥) = 𝑥 + 1
Calculamos (𝒇 − 𝒈) (−𝟏
𝟐)
(𝑓 − 𝑔)(𝑥) = 𝑥 + 1
(𝑓 − 𝑔)(−1
2) = 𝑥 + 1
(𝑓 − 𝑔)(−1
2) = (−
1
2) + 1
(𝑓 + 𝑔)(𝑥) =1
2
d) (𝒇𝒈)(𝒙)
De la definición del producto de funciones tenemos
(𝑓𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)
(𝑓 + 𝑔)(𝑥) = (𝑥2 + 1 )(𝑥2 − 𝑥)
(𝑓 + 𝑔)(𝑥) = 𝑥4 − 𝑥3 + 𝑥2 + 𝑥
29
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e) (𝒇
𝒈) (𝒙)
De la definición del cociente de funciones tenemos
(𝒇
𝒈) (𝒙) =
𝒇(𝒙)
𝒈(𝒙)
(𝑓
𝑔) (𝑥) =
𝑥2 + 1
𝑥2 − 𝑥
f) (𝒇
𝒈) (−
𝟏
𝟐)
Conociendo que el cociente de funciones es:
(𝑓
𝑔) (𝑥) =
𝑥2 + 1
𝑥2 − 𝑥
Calculamos (𝒇
𝒈) (−
𝟏
𝟐)
(𝑓
𝑔) (𝑥) =
(−12)2
+ 1
(−12)2
− (−12)
(𝑓
𝑔) (𝑥) = (
5
3)
g) (𝒇𝒐𝒈)(𝒙)
De la definición de composición de funciones tenemos
(𝑓𝑜𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥))
(𝑓𝑜𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥2 − 𝑥)
(𝑓𝑜𝑔)(𝑥) = ((𝑥2 − 𝑥)2 + 1)
(𝑓𝑜𝑔)(𝑥) = 𝑥4 − 2𝑥3 + 𝑥2 + 1
h) (𝒈𝒐𝒇)(𝒙)
De la definición de composición de funciones tenemos
(𝑔𝑜𝑓)(𝑥) = 𝑔(𝑓(𝑥))
(𝑔𝑜𝑓)(𝑥) = 𝑔(𝑥2 + 1)
(𝑔𝑜𝑓)(𝑥) = (𝑥2 + 1)2 − (𝑥2 + 1)
(𝑔𝑜𝑓)(𝑥) = 𝑥4 + 𝑥2
30
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i) (𝒈𝒐𝒇)(−𝟑)
Conociendo que (𝑔𝑜𝑓)(𝑥) = 𝑥4 + 𝑥2 tenemos
(𝑔𝑜𝑓)(−3) = 𝑥4 + 𝑥2
(𝑔𝑜𝑓)(−3) = (−3)4 + (−3)2
(𝑔𝑜𝑓)(−3) = 90
7. Si: 𝐅(𝒕) = 𝒕𝟐 + 𝟕𝒕 + 𝟏 y 𝐆(𝒕) = 𝟐
𝒕−𝟏, encuentre:
(𝐅𝒐𝐆)(𝒕) y (𝐆𝒐𝐅)(𝒕)
De la definición de composición de funciones tenemos
(F𝑜G)(𝑡) = F(G(𝑡))
(F𝑜G)(𝑡) = F (2
𝑡 − 1)
(F𝑜G)(𝑡) = (2
𝑡 − 1)2
+ 7(2
𝑡 − 1) + 1
(F𝑜G)(𝑡) = (2
𝑡 − 1)2
+ 7(2
𝑡 − 1) + 1
La composición de funciones (G𝑜F)(𝑡) = G(F(𝑡)), entonces
(G𝑜F)(𝑡) = G(F(𝑡))
(G𝑜F)(𝑡) = G(𝑡2 + 7𝑡 + 1 )
(G𝑜F)(𝑡) = 2
𝑡2 + 7𝑡 + 1 − 1
(G𝑜F)(𝑡) = 2
𝑡2 + 7𝑡
17. Utilidad. Cierto expendio de café vende una libra de café por $ 9.75. Los gastos mensuales
son $ 4 500 más $ 4.25 por cada libra vendida.
a) Escriba una función r(x) para el ingreso mensual total como una función del número de
libras vendidas.
b) Escriba una función c(x) para los gastos mensuales totales como una función del número
de libras de café vendidas.
c) Escriba una función (r – c)(x) para la utilidad mensual total como una función del número
de libras vendidas.
Determinamos los datos
Precio por cada libra vendida: $9.75
Costos fijos: $4500
Costos variables: $4.25
Número de libras vendidas: 𝑥
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a) Función de ingreso total
𝑟(𝑥) = 9.75𝑥
b) Función de gastos
𝑐(𝑥) = 4500 + 4.25𝑥
c) Función de utilidad
(𝑟 − 𝑐)(𝑥) = 𝑟(𝑥) − 𝑐(𝑥)
(𝑟 − 𝑐)(𝑥) = 9.75𝑥 − (4500 + 4.25𝑥)
(𝑟 − 𝑐)(𝑥) = 5.50𝑥 − 4500
18. Geometría. Suponga que el volumen de un cubo es: 𝒗(𝒙) = (𝟒𝒙 − 𝟐)𝟑, exprese v como
una composición de dos funciones y explique que representa cada función.
La fórmula para calcular el volumen de un cubo de arista 𝑥 es:
𝑓(𝑥) = 𝑥3
Si la arista es: 𝑙(𝑥) = (4𝑥 − 2) entonces:
𝑓(𝑙(𝑥)) = 𝑓(4𝑥 − 2) = (4𝑥 − 2)3
Luego el volumen puede escribirse como la composición de la funciones 𝑓 y 𝑙
𝑣(𝑥) = (𝑓(𝑙(𝑥)) = (𝑓𝑜 𝑙)(𝑥)
Donde
𝑓(𝑥) = (𝑥)3 , y
𝑙(𝑥) = 4𝑥 − 2
Entonces 𝑙(𝑥) representa la longitud de los lados del cubo, mientras que 𝑓(𝑥) es el
volumen de un cubo.
19. Negocio. Un fabricante determina que el número total de unidades de producción por día
q, es una función del número de empleados m, donde 𝒒 = 𝒇(𝒎) = 𝟒𝟎𝒎−𝒎𝟐
𝟒. El ingreso total ,
𝒓, que se recibe por la venta de 𝒒 unidades, está dado por la función 𝒈, donde 𝒓 = 𝒈(𝒒) =
𝟒𝟎𝒒. Determine (𝒈𝒐𝒇)(𝒎). ¿Qué es lo que describe esta función compuesta?
Determinamos los datos
𝑞 = 𝑓(𝑚) = 40𝑚 −𝑚2
4
𝑟 = 𝑔(𝑞) = 40𝑞
(𝑔𝑜𝑓)(𝑚) =?
A partir de la definición de composición de funciones (𝑔𝑜𝑓)(𝑚) = 𝑔(𝑓(𝑚)) tenemos:
32
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(𝑔𝑜𝑓)(𝑚) = 𝑔(𝑓(𝑚))
= 𝑔 (40𝑚 −𝑚2
4)
= 40 (40𝑚 − 𝑚2
4)
= 10(40𝑚 − 𝑚2)
= 400𝑚 − 10𝑚2
La función (𝑔𝑜𝑓)(𝑚) = 𝑟(𝑚) = 400𝑚 − 10𝑚2 representa los ingresos totales
recibidos por la venta de q unidades producidas por m empleados.
20. Sociología. Se han hecho estudios concernientes a la relación estadística entre
posición social, educación e ingresos. Se denota con 𝑺 al valor numérico de la posición social, con
base en el ingreso anual 𝑰. Para cierto tipo de población suponga
𝑺 = 𝒇(𝑰) = 𝟎, 𝟒𝟓(𝑰 − 𝟏𝟎𝟎𝟎)𝟎,𝟓𝟑
Además suponga que el ingreso de una persona 𝑰 es una función de numero de años de
educación 𝑬 donde
𝑰 = 𝒈(𝑬) = 𝟕𝟐𝟎𝟐 + 𝟎. 𝟐𝟗𝑬𝟑.𝟔𝟖
Determine (𝒇 ∘ 𝒈)(𝑬). ¿Qué es lo que describe esta función?
A partir de la definición de composición de funciones se tiene
(𝑓 ∘ 𝑔)(𝐸) = 𝑓(𝑔(𝐸))
= 𝑓(7202 + 0.29𝐸3.68)
= 0,45(7202 + 0.29𝐸3.68 − 1000)0.53
= 0,45(6202 + 0.29𝐸3,68)0.53
Interpretamos el significado de la función compuesta (𝑓 ∘ 𝑔)
(𝑓 ∘ 𝑔) Representa la posición social en función del número de años de educación.
2.5 Gráficas en coordenadas rectangulares
33
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Problemas 2.5 Páginas: 101 – 102 Ejercicios: 1, 4, 29, 31
En los problemas 1 y 2, localice y marque cada uno de los puntos dados y, si es posible,
indique al que pertenece cada punto.
1. (−2, 7), (8,−3), (−1
2, −2), (0, 0)
2. En la Figura 2.27 (b) se muestra la gráfica de y = f(x)
a) Estime f(0) y f(2)
𝑓(0) = 2
𝑓(2) = 0
b) ¿Cuál es el dominio de f?
𝐷𝑜𝑚(𝑓) = {𝑥 / 𝑥 ≥ 0}
c) ¿Cuál es el rango de f?
𝑅𝑔(𝑓) = {𝑦 / 𝑦 ≤ 2}
d) ¿Cuál es una raíz real de f?
Las raíces reales se presentan cuando 𝑓(𝑥) = 0, así:
𝑓(2) = 0 entonces 𝑥 = 2 es una raíz real.
En los problemas 21 a 34, grafique cada función y determine su dominio y rango. También
determine las intersecciones
34
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29. Si 𝒇(𝒕) = √𝒕𝟐 − 𝟗
Graficando la función se tiene
Calculamos el dominio
La función existe si 𝑡2 − 9 ≥ 0, entonces:
Si 𝑡2 ≥ 9 ⟹ |𝑡| ≥ 3
|𝑡| ≥ 3 ⟺ 𝑡 ≤ −3 ∨ 𝑡 ≥ 3
Así se tiene:
𝐷𝑜𝑚(𝑓) = (−∞,−3] ∪ [3,+∞)
Calculamos el recorrido
A partir del dominio se tiene:
𝑡 ≤ −3 𝑡2 ≥ 9
𝑡2 − 9 ≥ 0 𝑓(𝑡) ≥ 0
𝑡 ≥ 3 𝑡2 ≥ 9
𝑡2 − 9 ≥ 0 𝑓(𝑡) ≥ 0
En consecuencia el recorrido es:
𝑅𝑒𝑐(𝑓) = [0. +∞)
Calculamos las intersecciones
Las intersecciones se presentan cuando 𝑦 = 𝑓(𝑡) = 0
0 = √𝑡2 − 9,
0 = 𝑡2 − 9
(𝑡 − 3)(𝑡 + 3) = 0 ⟺ (𝑡 − 3) = 0 v (𝑡 + 3) = 0
⟺ 𝑡 = 3 v 𝑡 = −3
Las intersecciones son los puntos: (-3,0) y (3,0)
31. 𝒇(𝒙) = |𝟐𝒙 − 𝟏|
Graficando la función se tiene:
35
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Calculamos el dominio:
No existe restricción para los valores que puede tomar 𝑥, es decir, no existe 𝑥 en
un denominador o dentro de un radical de índice par entonces:
𝐷𝑜𝑚(𝑓) = ℝ
Calculamos el recorrido
Los valores que puede tomar "𝑦" son solo positivos, entonces:
𝑅𝑒𝑐(𝑓) = ℝ+ ∪ {0}
Calculamos las intersecciones
Si 𝑥 = 0 ⟹ 𝑓(0) = |2(0) − 1| = 1
Si 𝑓(𝑥) = 0 ⟹ |2𝑥 − 1| = 0 ⟹ 𝑥 =1
2
Los puntos de intersección son: (1
2, 0) y (0,1)
36
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CAPITULO 3 RECTAS PARÁBOLAS Y SISTEMAS DE ECUACIONES
3.1 Rectas
Problemas 3.1 Páginas: 123 -124 Ejercicios: 9, 17, 55, 69, 71
En los problemas 9 a24, encuentre una ecuación lineal general (Ax + By + C = 0) de la recta que tiene las propiedades indicadas, y haga el bosquejo de cada recta. 9. Pasa por (-1,7) y tiene pendiente -5
A partir de la ecuación punto-pendiente tenemos: 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑦𝑥1)
𝑦 − 7 = −5(𝑥 − (−1)) 𝑦 − 7 = −5(𝑥 + 1) 𝑦 − 7 = −5𝑥 − 5 5𝑥 + 𝑦 − 2 = 0 17. Tiene pendiente 2 y su intersección y es 4.
A partir de la ecuación pendiente y ordenada al origen (función lineal) se tiene:
𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏 𝑦 = 2𝑥 + 4
0 = 2𝑥 − 𝑦 + 4 En los problemas 51 a 60 encuentre una ecuación de la recta que satisfaga las condiciones dadas. Si es posible, dé la respuesta en la forma pendiente-intersección. 55. Es perpendicular a y = 3x – 5 y pasa por (3,4).
Determinamos las dos rectas L1 y L2; considerando la condición de perpendicularidad 𝑚1.𝑚2 = −1
L1: 𝑦 = 3𝑥 − 5 𝑚1 = 3
L2: 𝑦 = 𝑚2𝑥 + 𝑏2 𝑚2 = −1
𝑚1= −
1
3
𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1)
𝑦 − 4 = −1
3(𝑥 − 3)
3(𝑦 − 4) = −(𝑥 − 3) ⟹ 3𝑦 − 12 = −𝑥 + 3
3𝑦 = −𝑥 + 3 + 12 ⟹ 3𝑦 = −𝑥 + 15
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3𝑦 = −𝑥 + 3 + 12 ⟹ 3𝑦 = −𝑥 + 15
𝑦 = −𝑥
3+15
3
𝑦 = −𝑥
3+ 5
69. Geometría. Muestre que los puntos A(0,0), B(0,4), C(2,3) y D(2,7) son los vértices de un
paralelogramo (los lados opuestos de un paralelogramo son paralelos)
Calculamos las pendientes de los lados del paralelogramo mediante la fórmula:
𝑚 =𝑦2−𝑦1
𝑥2−𝑥1
Lado DC 𝑚 =3−7
2−2 =
−4
0 Indeterminada
Lado BA 𝑚 =0−4
0−0 =
−4
0 Indeterminada
Lado BD 𝑚 =7−4
7−0 =
3
2
Lado AC 𝑚 =3−0
2−0 =
3
2
Comprobamos que los lados opuestos son paralelos 𝑚𝐷𝐶 = 𝑚𝐵𝐴 𝑚𝐵𝐷 = 𝑚𝐴𝐶 71. Ecuación de costo. El costo diario promedio, C, de un cuarto en un hospital de la ciudad se
elevó $59.82 por año, durante la década de 1990 a 2000. Si el costo promedio en 1996 fue $1128.50. ¿cuál es una ecuación que describe el costo promedio durante esta década como una función del número de años, T, desde 1990?
Determinamos los datos
Elevación del costo por año: 𝑚 =$59.82
𝑎ñ𝑜
Intervalo de Tiempo: 𝑡 = 10 𝑎ñ𝑜𝑠 Para 𝑡 = 6 𝑎ñ𝑜𝑠 el costo es 𝐶 = $1128.50: Punto (6; 1128.50) 𝐶(𝑡) =?
Calculamos mediante la ecuación punto pendiente Si 𝑃(6; 1128.50) y 𝑚 = 59.82
𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1) 𝑦 − 1128.50 = 59.82(𝑡 − 6) y-1128.50 = 59.82t-358.92) y = 59.82t-358.92 + 1128.50
𝑦 = 𝐶(𝑡) = 59.82𝑡 + 769.58
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3.2 Aplicaciones y funciones lineales
Problemas 3.2 Páginas: 129-130 Ejercicios: 15, 16, 17, 21, 25, 34
15. Ecuación de demanda Suponga que los clientes demandarán 40 unidades de un producto
cuando el precio es de $12.75 por unidad, y 25 unidades cuando el precio es de $18.75 cada una. Encuentre la ecuación de la demanda, suponga que es lineal. Determine el precio unitario cuando se demandan 37 unidades. Sea (𝑥, 𝑦) = (𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠, 𝑝𝑟𝑒𝑐𝑖𝑜), entonces se tienen los puntos.
(40; 12.75) (25; 18.75)
Calculamos la pendiente
𝑚 =18.75−12.75
25−40 ⟹ 𝑚 =
6
−15 ⟹ 𝑚 = −
2
5
Utilizamos la ecuación de la recta 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1)
𝑦 − 12.75 = −2
5(𝑥 − 40)
𝑦 = −2
5𝑥 + 28.75 Ecuación de demanda
Calculamos el precio cuando se demandan 37 unidades
𝑦 = −2
5(37) + 28.75
𝑦 = −74
5 + 28.75
𝑦 =−74 +143.75
5=62.75
5 ⟹ 𝑦 = 13.95
16. Ecuación de demanda. La demanda semanal para un CD es de 26000 unidades cuando el
precio es $12 cada una, y de 10000 cuando el precio unitario es de $18. Encuentre una ecuación de demanda para el CD, suponga que es lineal. Se tienen los puntos: (26000, 12) y (10000, 18)
Calculamos la pendiente que une los puntos
𝑚 =18−12
10000−26000 ⟹ 𝑚 =
6
−16000 ⟹ 𝑚 = −
3
8000
Calculamos la ecuación de la recta 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1)
𝑦 − 12 = −3
8000(𝑥 − 26000)
𝑦 − 12 = −3
8000𝑥 + 9.75)
𝑦 = −3
8000𝑥 + 9.75 + 12 ⟹
𝑦 = −3
8000𝑥 + 21.75 Ecuación de demanda
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17. Ecuación de oferta. Un fabricante de refrigeradores producirá 3000 unidades cuando el precio sea de $940 y 2200 unidades cuando el precio sea $740. Suponga que el precio, p, y la cantidad producida, q, están relacionadas de manera lineal Encuentre la ecuación de oferta.
Se tienen los puntos correspondientes (3000; 940) y (2200; 740)
Calculamos la pendiente de la recta que une esos puntos
𝑚 =740 − 940
2200 − 3000
𝑚 =200
800 ⟹ 𝑚 =
1
4
Calculamos la ecuación de la recta 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1)
𝑦 − 940 =1
4(𝑥 − 3000)
𝑦 =1
4𝑥 −
3000
4+ 940
𝑦 =1
4𝑥 + 190
21. Tarifa de electricidad. Una compañía de electricidad cobra 12.5 centavos por kilowatt-hora
más un cargo base mensual a los clientes residenciales. La factura mensual de un cliente es de $51.65 por 380 kilowatt-hora. Encuentre una función lineal que de describa el monto total por concepto de electricidad, si x es el número de kilowatt-hora utilizados en un mes.
Para la función lineal 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1) se tiene la pendiente 𝑚 y el punto 𝑃1 𝑚 = 0.125 𝑃1 = (380; 51.62)
Reemplazando tenemos: 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1)
𝑦 − 51.65 = 0.125(𝑥 − 380) 𝑦 − 51.65 = 0.125𝑥 − 47.5) 𝑦 = 0.125𝑥 − 47.5 + 51.65 𝑦 = 0.125𝑥 + 4.15
Luego, 𝑦 = 0.125𝑥 + 4.15 es la función de monto por concepto de consumo. 25. Apreciación. Un nuevo edificio de departamentos se vendió por $960000 cinco años después
de que se compró. Los propietarios originales calcularon que el edificio se apreciaba $45000 por año, mientras ellos fueron los propietarios. Encuentre una función que describa la apreciación del inmueble, si x es el número de años desde la compra original.
Para la función lineal 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1) se tiene 𝑚 = 45000 y el punto (5,960000)
luego: 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1)
40
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1 APLICACIONES Y
MÁS ALGEBRA
2 FUNCIONES
Y GRÁFICAS
3 RECTAS PARÁBOLAS Y
SIST. DE ECUACIONES
INDICE
4 FUNCIÓN EXPONENCIAL
Y LOGARITMICA
6 ÁLGEBRA
MATRICIAL
7 PROGRAMACIÓN
LINEAL
10 LIMITES Y
CONTINUIDAD
11 DIFERENCIACIÓN
12 TEMAS
ADICIONALES DE
DIFERENCIACIÓN
13 TRAZADO DE
CURVAS
14 INTEGRACIÓN
𝑦 − 96000 = 45000(𝑥 − 5) 𝑦 − 96000 = 45000𝑥 − 225000 𝑦 = 45000𝑥 − 225000 + 96000 ⟹ 𝑦 = 45000𝑥 + 735000 Función de apreciación 34. Dieta para cerdos. Tras las pruebas realizadas con una dieta experimental para cerdos, se
determinó que el peso (promedio) w (en kilogramos) de un cerdo, de acuerdo con las estadísticas, era una función lineal del número de días, d, después de haber iniciado la dieta, donde 0≤d≤100. Si el peso del cerdo al inicio del régimen fue de 21 kg, y a partir de entonces ganó 6.3 kg cada 10 días, determine w como una función de d y calcule el peso de un cerdo 55 días después de que inició la dieta.
Sea el peso (w) y el número de días (d), entonces se tiene la relación (0,21) La pendiente sería:
𝑚 =6.3
10 ⟹ 𝑚 = 0.63
Luego la función lineal será 𝑤 − 𝑤1 = 𝑚(𝑑 − 𝑑1 𝑤 − 21 = 0.63(𝑑 − 0) 𝑤 − 21 = 0.63𝑑 𝑤 = 0.63𝑑 + 21
El peso a los 55 días será:
𝑤 = 𝑓(𝑑) = 0.63𝑑 + 21 𝑤 = 0.63 × 55 + 21
𝑤 = 55.65 𝑘𝑔
3.3 Funciones cuadráticas
41
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Problemas 3.3 Páginas: 136-137. Ejercicios: 13, 17, 29, 33, 37
Grafique cada función de los problemas 13 a 22. Obtenga el vértice y las intersecciones y determine el rango.
13. 𝒚 = 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 + 𝟓 Se tienen los valores 𝑎 = 1 𝑏 = −6 𝑐 = 5
Calculamos el vértice (−𝑏
2𝑎, 𝑓(−
𝑏
2𝑎)) = (3,4)
𝑥 = −𝑏
2𝑎
𝑥 = −−6
2(1)
𝑥 = 3
𝑦 = 𝑓 (−𝑏
2𝑎)
𝑦 = 𝑓(3) = (3)2 − 6(3) + 5 𝑦 = 9 − 18 + 5 𝑦 = −4
Calculamos la intersecciones
Intersección con el Eje X
Si 𝑦 = 0 ⟹ 𝑥2 − 6𝑥 + 5 = 0 ⟹ (𝑥 − 5)(𝑥 − 1) = 0
𝑥 = 5 ∨ 𝑥 = 1
𝑃1 = (5,0) 𝑃2 = (1,0)
Intersección con el Eje Y
Si 𝑥 = 0 ⟹ 𝑦 = 𝑥2 − 6𝑥 + 5
𝑦 = 02 − 6(0) + 5 ⟹ 𝑦 = 5 ⟹ 𝑃3(0,5)
Calculamos el recorrido
A partir del vértice se tiene: 𝑅𝑒𝑐(𝑓) = [−4,+∞)
17. 𝒔 = 𝒉(𝒕) = 𝒕𝟐 + 𝟔𝒕 + 𝟗
42
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Se tienen los valores 𝑎 = 1 𝑏 = 6 𝑐 = 9
Calculamos el vértice (−𝑏
2𝑎, 𝑓(−
𝑏
2𝑎)) = (−3,0)
𝑥 = −𝑏
2𝑎= −
6
2(1) = −3
𝑦 = 𝑓 (−𝑏
2𝑎) = 𝑓(−3) = (−3)2 + 6(3) + 9
𝑦 = −9 + 18 + 9 = 0
Calculamos la intersecciones
Intersección con el Eje X
Si 𝑦 = 0 ⟹ 𝑡2 + 6𝑡 + 9 = 0
(𝑡 + 3)(𝑡 + 3) = 0
𝑃1 = 𝑃2 = (−3,0) Intersección con el Eje Y
Si 𝑡 = 0 ⟹ 𝑠 = ℎ(𝑡) = 𝑡2 + 6𝑡 + 9
𝑠 = ℎ(0) = 02 + 6(0) + 9 = 9
𝑃2 = (0,9)
Calculamos el recorrido A partir del vértice se tiene: 𝑅𝑒𝑐(ℎ) = [0, +∞)
29. Ingreso. La función de demanda para el fabricante de un producto es p = f(q) = 200-5q, donde p es el precio (en dólares) por unidad cuando se demandan q unidades (por semana).
43
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Encuentre el nivel de producción que maximiza el ingreso total del fabricante y determine este ingreso. El valor máximo o mínimo en una función cuadrática, lo determina el vértice, entonces:
𝑆𝑖 𝑝 = 200 − 5𝑞 𝐼𝑛𝑔𝑟𝑒𝑠𝑜: 𝑟 = 𝑝. 𝑞 = (200 − 5𝑞). 𝑞
𝑟 = 200𝑞 − 5𝑞2 = −5𝑞2 + 200𝑞
𝑎 = −5 𝑏 = 200 Calculando el vértice se tiene:
𝑉é𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒 = (−𝑏
2𝑎, 𝑓 (−
𝑏
2𝑎)) = (𝑞, 𝑟) ⟹
𝑞 = −𝑏
2𝑎 =
−200
2(−5) ⟹ 𝑞 = 20
𝑟 = 𝑓 (−𝑏
2𝑎) = 𝑓(20) = −5(20)2 + 200(20) = 2000
⟹ 𝑟 = 200
Así se tiene: 𝑉𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒(20, −2000) Lo cual significa que el nivel de producción que maximiza los ingresos es 20 unidades, y el ingreso máximo es 2000.
33. Utilidad. La utilidad diaria proveniente de la venta de árboles en el departamento de jardinería de una tienda está dada por P(x) = -x2 + 18x + 144, donde x es el número de árboles vendidos. Determine el vértice y las intersecciones de la función y grafique la función.
A partir de la función de utilidad establecemos los valores de las constantes a, b y c
𝑈𝑡𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 = 𝑃(𝑥) = −𝑥2 + 18𝑥 + 144 𝑎 = −1 𝑏 = 18 𝑐 = 144
Calculamos el vértice
𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒 = (−𝑏
2𝑎, 𝑓(−
𝑏
2𝑎)) = (9,225)
𝑥 = −𝑏
2𝑎 =
−18
2(−1) 𝑥 = 9
𝑦 = 𝑓 (−𝑏
2𝑎) = 𝑓(9) = −5(9)2 + 18(9) + 144
𝑦 = −81 + 162 + 177 = 225
Calculamos las intersecciones Intersección con el Eje Y Si 𝑥 = 0 ⟹ 𝑦 = −(0)2 + 18(0) + 144 = 144 ⟹ 𝑃1 = (0,144)
44
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Intersección con el Eje X
Si 𝑦 = 0 ⟹ −𝑥2 + 18𝑥 + 144 = 0 ⟹ (𝑥 − 24)(𝑥 + 6) = 0 𝑃2 = (24,0) 𝑃3 = (−6,0)
Con los puntos obtenidos, realizamos la gráfica
37. Tiro con arco. Un muchacho que está parado en una colina, tira una flecha directamente hacia arriba a una velocidad inicial de 85 pies por segundo. La altura, h, de la flecha en pies, t segundos después de que se lanzó, se describe mediante la función h(t) = —16t2+ 85t + 22. ¿Cuál es la altura máxima alcanzada por la flecha? ¿Después de cuántos segundos de ser disparada alcanza esta altura?
La gráfica de la función de altura es una parábola que se abre hacia abajo y los valores máximos los determina el vértice, entonces: Si ℎ(𝑡) = −16𝑡2 + 85𝑡 + 22 ⟹ 𝑎 = −16, 𝑏 = 85, 𝑐 = 22
𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒 = (−𝑏
2𝑎, 𝑓(−
𝑏
2𝑎)) = (𝑡𝑚𝑎𝑥, ℎ𝑚𝑎𝑥)
𝑡𝑚𝑎𝑥 = −𝑏
2𝑎=
−85
2(−16) =−85
−32= 2.65 ≈ 2.7
𝑦𝑚𝑎𝑥 = 𝑓 (−𝑏
2𝑎) = 𝑓(2.7)
= −16(2.7)2 + 85(2.7) + 22 𝑦𝑚𝑎𝑥 = −116.64 + 229.5 + 22 = 134.86
Así, la altura máxima es 𝑦𝑚𝑎𝑥 = 134.86 segundos y el tiempo en llegar a esa altura es 𝑡𝑚𝑎𝑥 = 2.7 pies
3.6 Aplicaciones de los sistemas de ecuaciones
45
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Problemas 3.6 Páginas: 156-157 Ejercicios: 15, 16, 18,20, 23
15. Negocios. Las ecuaciones de oferta y demanda para cierto producto son:
𝟑𝒒 − 𝟐𝟎𝟎𝒑 + 𝟏𝟖𝟎𝟎 = 𝟎 (1) y 𝟑𝒒 + 𝟏𝟎𝟎𝒑 − 𝟏𝟖𝟎𝟎 = 𝟎 (2)
respectivamente, donde p representa el precio por unidad en dólares y q el número de unidades vendidas por periodo.
(a) Encuentre algebraicamente el precio de equilibrio y dedúzcalo mediante una gráfica. (b) Encuentre el precio de equilibrio cuando se fija un de impuesto de 27 centavos por unidad
al proveedor.
a) El precio de equilibrio se calcula igualando las funciones de oferta y de demanda Oferta = demanda
3𝑞 − 200𝑝 + 1800 = 3𝑞 + 100𝑝 − 1800 3𝑞 − 200𝑝 − 3𝑞 − 100𝑝 = −1800 − 1800 −200𝑝 − 100𝑝 = −3600
−300𝑝 = −3600
𝑝 = −3600
−300= 12
El precio para que se mantenga el equilibrio es de 12. Reemplazando 𝑝 = 12 en la ecuación (1) se tiene:
3𝑞 − 200(12) + 1800 = 0 3𝑞 − 2400 + 1800 = 0
3𝑞 = 600 ⟹ 𝑞 =600
3= 200
b)
Establecemos la función de oferta cuando se carga el impuesto: 3𝑞 − 200𝑝 + 1800 = 0
3𝑞 + 1800 = 200𝑝 ⟹ 3𝑞+1800
200= 𝑝 ⟹
La función de oferta sin impuesto es: 𝑝 =3
200𝑞 + 9
Luego, la función de oferta con impuesto será:
𝑝 =3
200𝑞 + 9 + 0.27 ⟹ 𝒑 =
𝟑
𝟐𝟎𝟎𝒒 + 𝟗. 𝟐𝟕
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Calculamos la función de demanda: 3𝑞 + 100𝑝 − 1800 = 0
𝑝 =−3𝑞 + 1800
100
𝒑 =−𝟑𝒒
𝟏𝟎𝟎+ 𝟏𝟖
Igualamos la oferta y la demanda:
𝟑
𝟐𝟎𝟎𝒒 + 𝟗. 𝟐𝟕 =
−𝟑
𝟏𝟎𝟎𝒒 + 𝟏𝟖
𝟑
𝟐𝟎𝟎𝒒 + 𝟗. 𝟐𝟕 =
−𝟑
𝟏𝟎𝟎𝒒 + 𝟏𝟖
0.015𝑞 + 0.03𝑞 = 18 − 9.27
0.045𝑞 = 8.73 ⟹ 𝑞 = 8.73
0.045 = 194
Reemplazando se tiene:
𝑝 =3
200(194) + 9.27 => 12.18
𝑝 = 12.18
47
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CAPITULO 4 FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS
4.1 Funciones exponenciales
Problemas 4.1 Páginas: 173 – 174 Ejercicios: 5, 7, 15, 19, 27, 29, 31, 35
En los problemas 1 a 12 grafique la función
5. 𝒚 = 𝒇(𝒙) = 𝟐(𝒙−𝟏)𝟐
La función original es: 𝑓(𝑥) = 2𝑥2 la misma que tiene las siguientes características
- 𝐷𝑜𝑚 (𝑓) = ℝ
- 𝑅𝑒𝑐(𝑓) = [1, +∞) , ya que el valor
mínimo valor de y es 1, esto es cuando
𝑥 = 0
- Es simétrica respecto al Eje Y, se
comprueba reemplazando x por –x de lo
cual se obtiene la misma función.
Graficando 𝑦 = 2𝑥2 se obtiene la gráfica
que se ubica más a la izquierda, mientras 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 2(𝑥−1)2se obtiene desplazando la
gráfica inicial una unidad hacia la derecha.
7. 𝒚 = 𝒇(𝒙) = 𝟑𝒙+𝟐
A partir de la función 𝑓(𝑥) = 3𝑥 se obtiene la función 𝑓(𝑥) = 3𝑥+2.
La función tiene la forma 𝑓(𝑥 + 𝑐) donde 𝑐 = 2 .
La gráfica
de
𝑓(𝑥) =
3𝑥+2 se
obtiene
desplazando la gráfica de 𝑓(𝑥) = 3𝑥 , 𝑐 = 2 unidades hacia la izquierda.
48
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15. Población La población proyectada de una ciudad está dada por 𝐩 = 𝟏𝟐𝟓𝟎𝟎𝟎(𝟏.𝟏𝟏)𝒕 𝟐𝟎⁄
donde t es el número de años a partir de 1995. ¿Cuál es la población que se pronostica
para el año 2015?
Número de años transcurridos:
𝑡 = 2015 − 1995 = 20 𝑎ñ𝑜𝑠
La población para 𝑡 = 20 es:
𝑃 = 125,000(1.11)20
20 = 125000(1.11)1 = 𝑃 = 138.750
En los problema 19 a 27 encuentre (a) el monto compuesto y (b) el interés compuesto para la
inversión y la tasa anual dadas.
19. $4000 durante 7 años al 6% compuesto anualmente
El monto compuesto S del capital P al final de n años a una tasa de r compuesta anualmente está
dado por:
𝑆 = 𝑃(1 + 𝑟)𝑛
a) Si 𝑃 = 4000 𝑛 = 7 𝑟 = 0.06 entonces:
𝑆 = 400(1 + 0.06)7 = 6014.52
b) Interés compuesto:
6014.52 − 4000 = 2014.52
27. $ 8000 durante 3 años a 𝟔𝟏
𝟒 % compuesto diariamente (suponga que hay 365 das en un año).
El monto acumulado S de un capital P al final de n períodos de interés a una tasa periódica de r
está dada por:
𝑆 = 𝑃(1 + 𝑟)𝑛
a) Si 𝒓 =𝟔𝟏
𝟒%
𝟑𝟔𝟓=0.0625
365 𝑛 = 3(365) entonces:
𝑆 = 8000 (1 +0.0625
365)
3(365)
≈ $9649.69
b) Interés compuesto 9649.69 − 8000 = $1649.69
29. Inversión: se copra un certificado de depósito por $ 6.500 y se conserva durante seis meses.
Si gana 4% compuesto trimestralmente ¿Cuál es el valor del certificado al cabo de seis meses
años?
El monto acumulado S de un capital P al final de n períodos de interés a una tasa periódica de r
está dada por: 𝑆 = 𝑃(1 + 𝑟)𝑛
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Si n=6años por 4 trimestres =24𝑟 =4%
4 𝑡𝑟𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒𝑠=0.04
4 𝑃 = 6500
Entonces: S= 6500 (1 +0.04
4)24≈ 8253.28
31. En cierto cultivo crecen bacterias y su número se incrementa a razón de 𝟓% cada hora. Al
inicio existían 400 bacterias. (a) Determine una ecuación que determine el número, N, de
bacterias presentes después de t horas. (b) ¿Cuántas habrá al cabo de 1 hora? (c) ¿Y después de
4 horas? Dé sus respuestas a (b) y (c) al entero más cercano.
(a) Si 𝑁0 = 400 𝑟 = 0.05 entonces 𝑁 = 𝑁0(1 + 𝑟)𝑡, luego:
𝑁 = 400(1,05)𝑡
(b) Si 𝑡 = 1 ℎ𝑜𝑟𝑎 entonces:
𝑁(1) = 400(1.05)1 = 420
(c) Si 𝑡 = 4 horas entonces:
𝑁(4) = 400(1.05)4 = 486
Los problemas 35 y 36 involucran una población que declina. Si una población disminuye a una
tasa de r por período, entonces la población P después de t períodos está dada por 𝑷 =
𝑷𝟎(𝟏 − 𝒓)𝒕 donde 𝑷𝟎 es la población inicial (la población cuando t=0).
35. Población. A causa de una recesión económica, la población de cierta área urbana disminuye
a razón de 1,5% anual. Al inicio había 350000 habitantes ¿Cuántos habrá después de tres años?
De su respuesta al entero más cerrado.
Si 𝑃0 = 350000 𝑟 = 0.015 𝑡 = 3 entonces:
𝑃 = 𝑃0(1 − 𝑟)𝑡
𝑃 = 350000(1 − 0,015)3
𝑃 = 350000(0.985) 3
𝑃 ≈ 334485
4.2 Funciones logarítmicas
Problemas 4.2 Página 180. Ejercicios: 1, 11, 29, 49, 57, 59
50
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En los problemas 1 a 8, exprese cada forma logarítmica de manera exponencial y cada forma
exponencial de manera logarítmica.
1. 𝟏𝟎𝟒 = 𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎
Por definición se tiene: 𝑎𝑥 = 𝑏 ⟺ 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑏 = 𝑥
Luego, 104 = 10000 ⟺ 𝑙𝑜𝑔1010000 = 4
En los problemas 9 a 16 grafique las funciones
11. 𝒚 = 𝒇(𝒙) = 𝐥𝐨𝐠𝟏/𝟒 𝒙
Transformamos la función a la forma exponencial equivalente
𝑦 = 𝑓(𝑥) = log1/4 𝑥 ⟺ (1
4)𝑦 = 𝑥
Luego, haciendo un cambio de variable se tiene:
𝑦 = (1
4)𝑥
Graficamos la función 𝑦 = (1
4)𝑥
X -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 2
Y 16 8 4 2 1 0,5 0,25 0,0625
⇒
Graficamos la función 𝑦 = 𝑓(𝑥) = log1/4 𝑥 intercambiando los valores correspondientes
a la función 𝑦 = (1
4)𝑥 , así:
X 16 8 4 2 1 0.5 0.25 0.0625
Y -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 2
Se observa que las dos gráficas se reflejan respecto al la recta y=x
51
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Encuentre x en los problemas 29 a 48
29. 𝒍𝒐𝒈𝟑𝒙 = 𝟒
Aplicando la definición se tiene:
𝑙𝑜𝑔3𝑥 = 4 ⟺ 34 = 𝑥 entonces 𝑥 = 81
Encuentre x en los problemas 49 a 52 además exprese su respuesta en términos logaritmos de logaritmos naturales.
49. 𝒆𝟑𝒙 = 𝟐 Aplicando la definición se tiene 𝑒3𝑥 = 2 ⟺ 𝑙𝑜𝑔𝑒2 = 3𝑥 El logaritmo natural es:
𝑙𝑛 = 𝑙𝑜𝑔𝑒 ⟹ 3𝑥 = 𝑙𝑛 2 ⟹ 𝑥 =𝑙𝑛 2
3
57. Apreciación. Suponga que una antigüedad incrementa su valor en 10% cada año. Haga una gráfica del número de años que cierto propietario la conserva como una función del aumento multiplicativo de su valor original. Marque la gráfica con el nombre de la función.
Sean:
𝑎 = valor inicial de de alguna antigüedad
1+10%=1.1 = Factor de incremento
𝑦 = valor de la antigüedad al final de t años
Calculamos el valor de la antigüedad para 1,2,3,….t años.
Tiempo (años)
Valor
1 𝑦 = 𝑎(1.1)
2 𝑦 = 𝑎(1.1))1.1 = 𝑎(1.1)2
3 𝑦 = 𝑎(1.1)2)1.1 = 𝑎(1.1)3
t 𝑦 = 𝑎(1.1)𝑡
Establecemos la función del valor de la antigüedad en función del número de años: 𝑦 = 𝑎(1.1)𝑡
El valor inicial puede ser cualquier valor, supongamos que vale 1 unidad, entonces la función será:
𝑦 = (1.1)𝑡
Graficamos esta función dando valores a t y se obtiene la gráfica siguiente:
52
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Graficamos la función inversa, intercambiando los valores que están el EjeX por los
valores del EjeY. Se obtiene la gráfica de color rojo siguiente:
59. Ecuación oferta. La ecuación de oferta de un fabricante es 𝒑 = 𝐥𝐨𝐠(𝟏𝟎 +𝒒
𝟐) Donde q es el
número de unidades al precio unitario p. ¿A qué precio el fabricante ofrecerá 1980 unidades?
Reemplazamos el valor de q=1980 unidades en la función de oferta:
𝑝 = log (10 +𝑞
2) = log (10 +
1980
2) = log(10 + 990) = log(1000) = 3
53
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1 APLICACIONES Y
MÁS ALGEBRA
2 FUNCIONES
Y GRÁFICAS
3 RECTAS PARÁBOLAS Y
SIST. DE ECUACIONES
INDICE
4 FUNCIÓN EXPONENCIAL
Y LOGARITMICA
6 ÁLGEBRA
MATRICIAL
7 PROGRAMACIÓN
LINEAL
10 LIMITES Y
CONTINUIDAD
11 DIFERENCIACIÓN
12 TEMAS
ADICIONALES DE
DIFERENCIACIÓN
13 TRAZADO DE
CURVAS
14 INTEGRACIÓN
4.3 Propiedades de los logaritmos
Problemas 4.3 Páginas 185 – 186. Ejercicios: 5, 20, 31, 32, 42, 45
En los problemas 1 a 10 se establece que 𝒍𝒐𝒈𝟐 = 𝒂, 𝒍𝒐𝒈𝟑 = 𝒃 y 𝒍𝒐𝒈𝟓 = 𝒄. Exprese el logaritmo
indicado en términos de a , b y c.
5. 𝐥𝐨𝐠𝟖
𝟑
A partir de la propiedad 𝑙𝑜𝑔𝐴
𝐵= 𝑙𝑜𝑔 𝐴 + 𝑙𝑜𝑔𝐵 se tiene:
log8
3= log 8 − log 3
= log 23 − log 3
= 3 log 2 − log 3
= 3𝑎 − 𝑏
En los problemas 1 a 20 exprese el valor de la expresión sin el uso de calculadora
20. 𝒆𝐥𝐧𝝅
Considerando que las función exponencial es la inversa de la función logarítmica entonces
𝑒ln 𝜋 = 𝜋
En los problemas 21 a 32, escriba la expresión en términos del 𝒍𝒏𝒙, 𝐥 𝐧(𝐱 + 𝟏), 𝐥𝐧 (𝒙 + 𝟐).
31. 𝐥𝐧 (𝟏
𝒙+𝟐√ 𝒙𝟐
𝒙+𝟏
𝟓)
Es conveniente transformar los radicales a potencias
ln (1
𝑥 + 2√𝑥2
𝑥 + 1
5
) = ln(1
𝑥 + 2(𝑥2
𝑥 + 1)
15
) = ln𝑥25
(𝑥 + 2)(𝑥 + 1)15
Ahora aplicamos las propiedades
ln𝑥25
(𝑥 + 2)(𝑥 + 1)15
= ln 𝑥25 − 𝑙𝑛 [(𝑥 + 2)(𝑥 + 1)
15]
=1
5ln 𝑥 − ln(𝑥 + 2) −
1
5ln (𝑥 + 1)
54
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32. 𝐥𝐧 √𝒙𝟑(𝒙+𝟐)𝟐
(𝒙+𝟏)𝟑
𝟑
Expresamos el radical en la forma exponencial
ln √𝑥3(𝑥 + 2)2
(𝑥 + 1)3
3
= ln [𝑥3(𝑥 + 2)2
(𝑥 + 1)3]
13
Aplicamos las propiedades
ln [𝑥3(𝑥 + 2)2
(𝑥 + 1)3]
13
=1
3ln𝑥3(𝑥 + 2)2
(𝑥 + 1)3
=1
3{ln[𝑥3(𝑥 + 2)2] − ln(𝑥 + 1)3}
=1
3[ln 𝑥3 + ln(𝑥 + 2)2 − ln(𝑥 + 1)3]
=1
3[3 ln 𝑥 + 2 ln(𝑥 + 2) − 3 ln(𝑥 + 1)]
= ln 𝑥 +2
3ln(𝑥 + 2) − ln(𝑥 + 1)
En los problemas 41 a 44 determine los valores de las expresiones sin utilizar calculadora.
42. 𝒍𝒐𝒈𝟐 [𝐥𝐧(√𝟓+𝒆𝟐 + √𝟓) + 𝐥𝐧(√𝟓+𝒆𝟐 − √𝟓)]
Resolviendo la expresión dentro del corchete se tiene
𝑙𝑜𝑔2 [ln(√5+𝑒2 + √5) + ln(√5+𝑒2 − √5)] = 𝑙𝑜𝑔2 [ln(√5+𝑒
2 + √5)(√5+𝑒2 − √5)]
= 𝑙𝑜𝑔2[ln(5 + 𝑒2 − 5)] = 𝑙𝑜𝑔2[ln 𝑒
2] = 𝑙𝑜𝑔2 (2) = 1
Encuentre x en los problemas 45 a 48.
45. 𝒆𝐥𝐧(𝟐𝒙) = 𝟓
Se eliminan la función exponencial con la función logarítmica debido a que son funciones
inversas
𝑒ln(2𝑥) = 5
⟹2𝑥 = 5
⟹ 𝑥 =5
2
55
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4.4 Ecuaciones logarítmicas y exponenciales
Problemas 4.4 Páginas 190 – 191 Ejercicios: 1, 7, 32, 33, 35, 45
Encuentre x en los problemas 1 a 36. Redondee sus respuestas a tres decimales
1. 𝐥𝐨𝐠(𝟑𝒙 + 𝟐) = 𝐥𝐨𝐠 (𝟐𝒙 + 𝟓)
log(3𝑥 + 2) = log (2𝑥 + 5) ⟺ 3𝑥 + 2 = 2𝑥 + 5 ⟹ 𝑥 = 3
7. 𝒆𝟐𝒙 ∙ 𝒆𝟓𝒙 = 𝒆𝟏𝟒
𝑒2𝑥 ∙ 𝑒5𝑥 = 𝑒14
⟺ 𝑒7𝑥 = 𝑒14
⟺ 7𝑥 = 14
⟹ 𝑥 = 2
32. 𝐥𝐨𝐠(𝒙 − 𝟑) + 𝐥𝐨𝐠(𝒙 − 𝟓) = 𝟏
Por la definición de logaritmos se tiene:
log [(𝑥 − 3)(𝑥 − 5)] = 1⟺ 101 = [(𝑥 − 3)(𝑥 − 5)]
𝑥𝟐 − 8x + 15 = 10 ⟹ 𝑥𝟐 − 8x + 5 = 0
Resolviendo mediante la fórmula cuadrática se tiene
𝑥 =8±√(−8)2−4(1)(5)
2(1) ⟹ 𝑥 = 4 ± √11 ⟹≈ 𝑥 = 7.317
𝑥 = 7.317 es el único valor que satisface la ecuación log(𝑥 − 3) + log(𝑥 − 5) = 1
33. 𝒍𝒐𝒈𝟐(𝟓𝒙 + 𝟏) = 𝟒 − 𝒍𝒐𝒈𝟐(𝟑𝒙 − 𝟐)
Agrupamos los logarítmos para aplicar las propiedades
𝑙𝑜𝑔2(5𝑥 + 1) + 𝑙𝑜𝑔2(3𝑥 − 2) = 4
𝑙𝑜𝑔2(5𝑥 + 1)(3𝑥 − 2) = 4
𝑙𝑜𝑔2(5𝑥 + 1)(3𝑥 − 2) = 4 ⟺ 24 = (5𝑥 + 1)(3𝑥 − 2) = 15𝑥2 − 7𝑥 − 2
⟹ 15𝑥2 − 7𝑥 − 18 = 0
Resolvemos aplicando la fórmula cuadrática
𝑥 =7 − √1129
30≈ −0.887 𝑥 =
√1129 + 7
30≈ 1.353
56
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Luego, 𝑥 =√1129+7
30≈ 1.353 es la solución ya que safisface la ecuación.
35. 𝒍𝒐𝒈𝟐 (𝟐
𝒙) = 𝟑 + 𝒍𝒐𝒈𝟐𝒙
Agrupamos los logaritmos para luego aplicar las propiedades
𝑙𝑜𝑔2 (2
𝑥) = 3 + 𝑙𝑜𝑔2 𝑥
𝑙𝑜𝑔2 (2
𝑥) − 𝑙𝑜𝑔2 𝑥 = 3
𝑙𝑜𝑔22
𝑥2= 3
De la definición de logaritmos 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑁 = 𝑥 ⟺ 𝑎𝑥 = 𝑁 tenemos:
𝑙𝑜𝑔22
𝑥2= 3 ⟺ 23 =
2
𝑥2 ⟹ 𝑥2 =
2
8=1
4
𝑥2 −1
4= 0
Resolviendo la ecuación cuadrática por factorización se tiene
𝑥2 −1
4= (𝑥 −
1
2) (𝑥 +
1
2) = 0
Entonces 𝑥 = −1
2 v 𝑥 =
1
2
La solución es el valor positivo 𝑥 =1
2
45. Ventas. Después de t años el número de unidades de un producto vendidas en un año está
dada por 𝒒 = 𝟏𝟎𝟎𝟎(𝟏
𝟐)𝟎.𝟖
𝒕. Tal ecuación se llama ecuación de Gompertz, y describe el
crecimiento natural en muchas áreas de estudio. Resuelva esta ecuación para t de la misma
manera que en el ejemplo 4 y muestre que
𝒕 =𝐥𝐨𝐠(
𝟑 − 𝒍𝒐𝒈𝒒𝒍𝒐𝒈𝟐
)
𝐥𝐨𝐠𝟎. 𝟖
También para cualquier A y para las b y a apropiadas, resuelva 𝒚 = 𝑨𝒃𝒂𝒙 para x y explique
porque la solucion previa es un caso especial.
Para despejar 𝑡 lo hacemos aplicando las propiedades de las funciones logarítmicas y
exponenciales, tenemos:
q = 1000 (1
2)0.8t
⟹ log (q) = log (1000) + log (1
2)0.8t
57
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⟹ log (q) = 3 + 0.8t log1
2
⟹ log (q) = 3 + 0.8t(−log (2))
⟹ log (q) − 3 = 0.8t(− log(2))
0.8t =log(q) − 3
−log (2) =
3 − log (q)
log (2)
tlog(0.8) = log 3 − log (q)
log (2)
t =
log(3 − logq)log2
log(0.8)
Si y = Abax
⟹ logy = logA + logbax ⟹ logy = logA + axlogb
⟹ logy − logA = axlogb ⟹ ax =logy−logA
logb ⟹ logax = log
logy−logA
logb
⟹ xloga = loglogy−logA
logb
𝐱 = (𝐥𝐨𝐠(
(𝐥𝐨𝐠𝐲 − 𝐥𝐨𝐠𝐀)𝐥𝐨𝐠𝐛
)
𝐥𝐨𝐠𝐚
La solución previa es un caso especial en el que 𝑦 = 𝑞, 𝐴 = 1000, 𝑏 =1
2, 𝑎 = 0.8, 𝑥 = 𝑡
58
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CAPÍTULO 6 ÁLGEBRA MATRICIAL
6.1 Matrices
Problemas 6.1 Páginas 231-232. Ejercicios: 14, 19, 25
14. Lista la diagonal principal de
(a) [
𝟏𝟕 −𝟔𝟐
𝟒𝟎𝟔𝟏
−𝟐𝟒−𝟓𝟕
𝟎−𝟏𝟏𝟐
] (b) [
𝐱 𝟏 𝐲𝟗 𝐲 𝟕𝐲 𝟎 𝐳
]
La diagonal principal es la diagonal que se extiende desde la esquina superior izquierda a la
esquina inferior derecha.
a. 1,0, −5,2 b. x, y, z
En los problemas 17 a 20 encuentre 𝐀𝐓
19. A= [𝟏 𝟑 𝟕𝟑 𝟐 −𝟐 −𝟒 𝟓 𝟎
𝟑𝟎𝟏]
AT = [1 3 73 2 −2 −4 5 0
301]
T
= [
1 3 −43 2 57 −2 03 0 1
]
En los problemas 24 a 27 resuelva la ecuación matricial
25. [𝟔 𝟐𝐱 𝟕𝟑𝐲 𝟐𝐳
] = [𝟔 𝟐𝟔 𝟕𝟐 𝟕
]
6=6 2=2 x = 6 7= 7 3y = 2 → y =2
3 2z = 7 → z =
7
2
28. Inventario. Una tienda de abarrotes vendió 𝟏𝟐𝟓 latas de sopa de tomate, 𝟐𝟕𝟓 de frijoles
y 𝟒𝟎𝟎 de atún. Escriba un vector reglón que proporcione el número de artículos vendidos de
cada tipo. Si cada uno de ellos se vende a $𝟎. 𝟗𝟓, $𝟏. 𝟎𝟑 𝐲 $𝟏. 𝟐𝟓, respectivamente, escriba esta
información como un vector columna.
Artículo = [125 275 400]
Precio = [0.951.031.25
]
59
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6.2 Suma de matrices y multiplicación por un escalar
Problemas 6.2 Páginas 237-238. Ejercicios: 9, 21, 22, 37, 39, 42
En los problemas 1 a 12, realice las operaciones indicadas.
9. −𝟔 [𝟐 −𝟔 𝟕 𝟏𝟕 𝟏 𝟔 −𝟐
]
−6 [2 −67 1
7 16 −2
] = [−6 . 2 −6(−6) −6 . 7−6 . 7 −6 . 1 −6 . 6
−6 . 1−6(−2)
]
= [−12 36 −42−42 −6 −36
−612]
En los problemas 13 a 24 calcule las matrices requeridas si:
𝑨 = [𝟐 𝟏𝟑 −𝟑
] 𝑩 = [−𝟔 −𝟓𝟐 −𝟑
] 𝑪 = [−𝟐 −𝟏−𝟑 𝟑
] 𝟎 = [𝟎 𝟎𝟎 𝟎
]
21. 2B - 3A + 2C
2B − 3A + 2C = 2 [−6 −52 −3
] − 3 [2 13 −3
] + 2 [−2 −1−3 3
]
= [−12 −104 −6
] − [6 39 −9
] + [−4 −2−6 6
] = [−12 −104 −6
] + [−6 −3−9 9
] + [−4 −2−6 6
]
= [−12 + (−6) + (−4) −10 + (−3) + (−2)
4 + (−9) + (−6) −6 + 9 + 6] = [
−22 −15−11 9
]
22. 𝟑𝐂 − 𝟐𝐁
3C − 2B = 3 [ −2 −1−3 3
] − 2 [−6 −52 −3
]
3C − 2B = [−6 −3−9 9
] − [ −12 −104 −6
]
3C − 2B = [6 7−13 15
]
En los problemas 37 a 40 resuelva las ecuaciones matriciales
37. 𝟑 [𝒙𝒚] − 𝟑 [
−𝟐𝟒] = 𝟒 [
𝟔−𝟐]
[3𝑥3𝑦] + [
6−12
] = [24−8] ⇒ [
3𝑥 + 63𝑦 − 12
] = [24−8] ⇒
3𝑥 + 6 = 243𝑦 − 12 = −18
⇒ 𝑥 = 6𝑦 = −2
39. [246] + 2 [
𝑥𝑦4𝑧] − [
−10−24 14
]
60
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[246] + 2 [
𝑥𝑦4𝑧] − [
−10−24 14
] = [2 +4 +6 +
2𝑥2𝑦8𝑧 ] = [
−10−24 14
]
2 + 2x = −10 ⟹ 2x = −12 ⟹ x = 6
4 + 2y = −24 ⟹ 2y = −28 ⟹ y = −14
6 + 8z = 14 ⟹ 8z = 8 ⟹ z = 1
42. Sea A la matriz que representa las ventas (en miles de dólares) de una compañía de
juguetes para tres ciudades en 2003 y sea B la matriz que representa las ventas para las mismas
ciudades en el 2005, donde A y B están dadas por:
𝐀 =𝐀𝐜𝐜𝐢ó𝐧𝐄𝐝𝐮𝐜𝐚𝐭𝐢𝐯𝐨
[𝟒𝟎𝟎 𝟑𝟓𝟎 𝟏𝟓𝟎 𝟒𝟓𝟎 𝟐𝟖𝟎 𝟖𝟓𝟎
]
𝐁 =𝐀𝐜𝐜𝐢ó𝐧 𝐄𝐝𝐮𝐜𝐚𝐭𝐢𝐯𝐨
[𝟑𝟖𝟎 𝟑𝟑𝟎 𝟐𝟐𝟎 𝟒𝟔𝟎 𝟑𝟐𝟎 𝟕𝟓𝟎
]
Si la compañía compra un competidor, y en 2006 duplica las ventas conseguidas en el año 2005,
Cuál es el cambio de las ventas entre 2003 y 2006?
2B − A = 2 [380 330 220 460 320 750
] − [400 350 150 450 280 850
] = [2 380 2 330 2 220 2 460 2 320 2 750
] − [400 350 150 450 280 850
]
= [760 660 440 920 640 1500
] − [400 350 150 450 280 850
] = [360 310 290470 360 650
]
61
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6.3 Multiplicación de matrices
Problemas 6.3 Páginas 248-249. Ejercicios: 20, 22, 24, 28, 39, 63, 64
Realice las operaciones indicadas en los problemas 19 a 36
20. [−𝟏 𝟏𝟎 𝟒𝟐 𝟏
] [𝟏 −𝟐𝟑 𝟒
]
Por la regla de multiplicación de matrices: [𝐴]3×2 × [𝐵]2×2 = [𝐶]3×2. Obtenemos
[−1 10 42 1
] [1 −23 4
] = [
−1(1) + 1(3) −1(−2) + 1(4)
0(1) + 4(3) 0(−2) + 4(4)
2(1) + 1(3) 2(−2) + 1(4)
] = [2 612 165 0
]
22. [ 𝟏 𝟎 𝟔 𝟐 ] [
𝟎𝟏𝟐𝟑
]
Se observa que es posible la multiplicación: [𝐴]1×4 × [𝐵]4×1 = [𝐶]1×1. Según la regla de la
multiplicación se tiene:
[ 1 0 6 2 ] [
0123
] = [1(0) + 0(1) + 6(2) + 2(3)] = [18]
24. [𝟒 𝟐 − 𝟐𝟑 𝟏𝟎 𝟎𝟏 𝟎 𝟐
] [𝟑 𝟏 𝟏 𝟎𝟎 𝟎 𝟎 𝟎𝟎 𝟏 𝟎 𝟏
]
Se tienen dos matrices cuadradas de orden 3: [𝐴]3×3 × [𝐵]3×3 = [𝐶]3×3. Entonces
[4 2 − 23 10 01 0 2
] [3 1 1 00 0 0 00 1 0 1
] = [12 2 4 − 29 3 3 03 3 1 2
]
28. [𝟎 𝟏𝟐 𝟑
] ([𝟏 𝟎 𝟏𝟏 𝟏 𝟎
] + [𝟎 𝟏 𝟎𝟎 𝟎 𝟏
])
Aplicando las propiedades de matrices 𝐴(𝐵 + 𝐶) = 𝐴𝐵 + 𝐴𝐶 se tiene:
[0 12 3
] ([1 0 11 1 0
] + [0 1 00 0 1
]) = [0 12 3
] [1 1 11 1 1
]
=[0(1) + 1(1) 0(1) + 1(1) 0(1) + 1(1)
2(1) + 3(1) 2(1) + 3(1) 2(1) + 3(1)] = [
1 1 15 5 5
]
62
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En los problemas 37 a 44 encuentre las matrices indicadas si:
𝐴 = [1 −20 3
] 𝐵 = [−2 3 01 −4 1
] 𝐶 = [−1 10 32 4
]
39. 3A - 2BC
Resolviendo las operaciones combinadas se tiene
3𝐴 − 2𝐵𝐶 = 3 [1 −20 3
] − 2 [−2 3 01 −4 1
] [−1 10 32 4
]
= [3 −60 9
] − 2 [2 + 0 + 0 −2 + 9 + 0−1 + 0 + 2 1 − 12 + 4
] = [3 −60 9
] − [4 142 −14
]
= [−1 −20−2 23
]
63. Una tienda de mascotas tiene 6 gatitos, 10 perritos y 7 loros en exhibición. Si el valor de
un gatito es de $55, el de cada perrito es de $150 y el de cada loro es de $35, por medio de la
multiplicación de matrices, encuentre el valor total del inventario de mascotas.
Sean el vector fila M del número de mascotas y el vector columna C de los precios
tenemos
𝑀 = [6 10 7] 𝐶 = [5515035] ⇒
𝑀 × 𝐶 = [6 10 7] [5515035] = 6(55) + 10(150) + 7(35) = $2075
64. Acciones. Un agente de bolsa vendió a un cliente 200 acciones tipo A, 300 tipo B, 500 tipo C
y 250 tipo D. los precios por acción de A, B, C y D son $100, $150, $200 y $300, respectivamente.
Escriba un vector reglón que represente el número de acciones compradas de cada tipo. Escriba
un vector columna que represente el precio por acción de cada tipo. Con el uso de la multiplicación
de matrices, encuentre el costo total de las acciones.
Sean P el número de acciones (vector fila), Q el precio de cada tipo (vector columna),
entonces:
𝑃 × 𝑄 = [200 300 500 250] ; [
100150200300
] = [240.000]
El costo total de las acciones es $240.000
63
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6.4 Resolución de sistemas mediante la reducción de matrices
Problemas 6.4 Páginas 257-259. Ejercicios: 10, 13, 14, 22, 27, 28, 31
Reduzca la matriz dada en los prolblemas 7 a 12.
10. [
2 31 − 64 81 7
]
Realizando operaciones entre las filas se tiene:
[
2 31 − 64 81 7
] F1↔F2→ [
1 − 62 34 81 7
]
−2F1+F2−4F1+F3→ R1 + R4
[
1 − 60 150 320 13
]
1
15𝐹2
→ [
1 − 60 10 320 13
]
6𝐹2+𝐹1−32𝐹2+𝐹3→
−13𝐹2 + 𝐹4
[
1 00 10 00 0
]
Resuelva los sistemas de los problemas 13 al 26 mediante el método de reducción
13. {𝟐𝒙 − 𝟕𝒚 = 𝟓𝟎𝒙 + 𝟑𝒚 = 𝟏𝟎
Construimos la matriz aumentada y procedemos a reducir la matriz
[21
−73|5010]
𝐹1 ↔ 𝐹2⟶
[12
3−7|1050]
⟶−2𝐹1 + 𝐹2
[10
3−13
|1030]
⟶
−1
13𝐹2 [
1031|
10−30 13⁄
] −3𝐹2 + 𝐹1
⟶ [10
01|220 13⁄
−30 13⁄]
De la matriz reducida se obtiene como solución
𝑥 =220
13 𝑦 𝑦 =
−30
13
14. {𝐱 − 𝟑𝐲 = −𝟏𝟏𝟒𝐱 + 𝟑𝐲 = 𝟗
Obtenemos la matriz aumentada y procedemos a reducirla
= [1 −3 −114 3 9
] −4F1 + F2 →
[1 −3 −110 15 53
] →
64
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Y GRÁFICAS
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Y LOGARITMICA
6 ÁLGEBRA
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7 PROGRAMACIÓN
LINEAL
10 LIMITES Y
CONTINUIDAD
11 DIFERENCIACIÓN
12 TEMAS
ADICIONALES DE
DIFERENCIACIÓN
13 TRAZADO DE
CURVAS
14 INTEGRACIÓN
F2/15 →[1 −3 −11
0 153
15
] 3F2 + F3 →[
1 0 −2
5
0 153
15
]
De la matriz reducida se obtiene:
x = −2
5 y =
53
15
22. {
𝒙 + 𝒚 − 𝒛 = 𝟕𝟐𝒙 − 𝟑𝒚 − 𝟐𝒛 = 𝟒𝒙 − 𝒚 − 𝟓𝒛 = 𝟐𝟑
A partir del sistema de ecuaciones construimos la matriz aumentada
[1 1 − 12 − 3 − 21 − 1 − 5
|7423]
Luego reduciendo la matriz se obtiene
→ [ 1 1 − 10 − 5 00 − 2 − 4
|7−1016] ⟶ [
1 1 − 10 1 00 − 2 − 4
|7216] ⟶ [
1 0 − 10 1 00 0 − 4
|5220]
[1 0 − 10 1 00 0 1
|52−5] ⟶ [
1 0 00 1 00 0 1
|02−5]
Las soluciones son
x = 0, y = 2 z = −5
Resuelva los problemas 27 al 33 con el uso de reducción de matrices
27. IMPUESTOS. Una compañía tiene ingresos gravables por $3120000. El impuesto federal es
25% de la parte que queda después de pagar el impuesto estatal. El impuesto estatal es 10% de
la parte que queda después de pagar el impuesto federal. Encuentre el monto el impuesto
federal y estatal.
Sea x el impuesto federal, y el impuesto estatal, luego:
Impuesto federal x = 0.25(312000 − y)
Impuesto estatal y = 0.10(312000 − x) ⟹ {𝑥 + 0.25𝑦 = 780000.10𝑥 − 𝑦 = 31200
65
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DIFERENCIACIÓN
13 TRAZADO DE
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14 INTEGRACIÓN
Resolviendo el sistema se obtiene
[1 0.250.10 1
|7800031200
] ⇒ [1 0.250 0.975
|7800023400
] ⇒ [1 0.250 1
|7800024000
] ⇒ [1 00 1
|720002.000
]
La solución es: 𝑥 = 72000𝑦 = 24000
28. Toma de Decisiones: Un fabricante elabora dos productos, A y B. Por cada unidad que
vende de A la ganancia es de $8, y por cada unidad que vende de B la ganancia es de $11. La
experiencia le indica que puede venderse 25% más de A que de B. Para el año siguiente el
fabricante desea una ganancia total de $42 000. ¿Cuántas unidades de cada uno debe vender?
Extraemos y relacionamos los datos
x= Número de las unidades de A
y = Número de unidades de B
Entonces: x = 1.25y , 8x + 11y = 42.000
El sistema de ecuaciones equivalente es:
{x − 1.25y = 0
8x + 11y = 42 000
Resolviendo mediante matrices se tiene:
[1 −1.258 11
|0
42000] → [
1 −1.250 21
|0
42000] → [
1 −1.250 1
|0
2000] → [
1 00 1
|25002000
]
Por lo tanto, se deben vender x = 2500 unidades del producto A y del producto B y =
2000 unidades.
31. VITAMINAS. Por prescripción del doctor, cierta persona debe tomar diariamente 10 unidades
de vitamina A, y 9 unidades de vitamina D y 19 de vitamina E; y puede elegir entre tres marcas
de píldoras vitamínicas. La marca X contiene 2 unidades de vitamina A, 3 de vitamina D y 5 de
vitamina E, la Y tiene 1,3y4 unidades respectivamente; y la marca Z tiene 1 unidad de vitamina
A, ninguna de vitamina D y 1 de vitamina E.
(a) Encuentre todas las combinaciones posibles de píldoras que proporcionen de manera exacta
las cantidades requeridas.
(b) Si cada píldora de la marca X cuesta 1 centavo, de la marca Y, 6 centavos y de la marca Z 3
centavos ¿existe alguna combinación del inciso (a) que cueste exactamente 15 centavos por día?
(c) ¿Cuál es la combinación menos cara del inciso (a)? ¿Y la más cara?
66
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DIFERENCIACIÓN
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La cantidad de unidades de vitaminas A, D y E se representa en el sistema de ecuaciones
siguiente:
{
2𝑥 + 1𝑦 + 1𝑧 = 103𝑥 + 3𝑦 + 0𝑧 = 95𝑥 + 4𝑦 + 1𝑧 = 19
𝑉𝐼𝑇𝐴𝑀𝐼𝑁𝐴 𝐴𝑉𝐼𝑇𝐴𝑀𝐼𝑁𝐴 𝐵𝑉𝐼𝑇𝐴𝑀𝐼𝑁𝐴 𝐶
Resolviendo el sistema de ecuaciones mediante el método de reducción de matrices se
tiene:
[235
134
101|10919] ⇒
1
2𝐹1 →
[135
1 2⁄34
1 2⁄01
|5919] ⇒ −3𝐹1 + 𝐹2 →
−5𝐹1 + 𝐹3 →
[100
1 2⁄
3 2⁄
3 2⁄
1 2⁄
−3 2⁄
−3 2⁄|5−6−6]
⇒ 2
3𝐹2 →[
100
1 2⁄13/2
1 2⁄−1−3/2
|5−4−6] ⇒ −
1
2𝐹2 + 𝐹1 →
−3
2𝐹2 + 𝐹3 →
[100
010
1−10|7−40]
𝑥 + 𝑧 = 7𝑦 − 𝑧 = −4𝑧 = 𝑟
⇒ 𝑥 = 7 − 𝑟𝑦 = 𝑟 − 4𝑧 = 𝑟
a) La solución es posible únicamente para los valores de 𝑟 = 4,5,6,7.
Reemplazando en la solución tenemos:
Si 𝑟 = 4 ⇒ 𝑥 = 3, 𝑦 = 0, 𝑧 = 4 Si 𝑟 = 5 ⇒ 𝑥 = 2, 𝑦 = 1, 𝑧 = 5
Si 𝑟 = 6 ⇒ 𝑥 = 1, 𝑦 = 2, 𝑧 = 6 Si 𝑟 = 7 ⇒ 𝑥 = 0, 𝑦 = 3, 𝑧 = 7
b) 3 unidades de la marca x más 4 unidades de la marca z cuestan 15 centavos
c) La combinación más barata es 3 unidades de X y 4 unidades de Z (15 centavos), mientras la
más cara es 3 unidades de Y y 7 unidades de z (39 centavos).
67
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6.5 Resolución de sistemas mediante la reducción de matrices (continuación)
Problemas 6.5 Páginas 231-232. Ejercicio 21, 22
Resuelva cada uno de los siguientes sistemas
21. {
𝒙 + 𝒚 + 𝒛 = 𝟎 −𝟕𝒚 − 𝟏𝟒𝒛 = 𝟎 −𝟐𝒚 − 𝟒𝒛 = 𝟎 −𝟓𝒚 − 𝟏𝟎𝒛 = 𝟎
Obtenemos la matriz aumentada
[
100
1−7−2
1−14−4
0 −5 −10
|
0000
]
Mediante operaciones entre filas buscamos la matriz reducida
[
100
1−7−2
1−14−4
0 −5 −10
|
0000
] ⇒ −1
7𝐹2⟶
[
100
11−2
12−4
0 −5 −10
|
0000
] ⇒
−𝐹2 + 𝐹1⟶
2𝐹2 + 𝐹3 ⟶5𝐹2 + 𝐹4 ⟶
[
100
010
−120
0 0 0
|
0000
] ⇒
De las filas 3 y 4 se obtiene 0𝑍 = 0; esta ecuación se cumple cuando 𝑧 toma cualquier
valor, entonces le asignamos un parámetro 𝑟.
La solución es: 𝑧 = 𝑟, 𝑦 = −2𝑟, 𝑥 = 𝑟
22. {
𝒙 + 𝒚 +𝒙 − 𝒚 −
𝟕𝒛 = 𝟎𝒛 = 𝟎
𝟐𝒙 − 𝟑𝒚 −𝟑𝒙 + 𝒚 +
𝟔𝒛 = 𝟎 𝟏𝟑𝒛 = 𝟎
A partir de la matriz aumentada se tiene:
[
1 1 71 −1 −123 −3 −6 1 13
|
0000
] → [
1 1 70 −2 −80 0 −5 −20 −2 −8
|
0000
] → [ 1 1 70 1 4 0 0 −5 −20−2 −8
|
0000
] → [
1 0 30 1 400 0 0 0 0
|
0000
]
De la ecuación 3 se tiene 0𝑍 = 0, de donde 𝑧 = 𝑟, luego
𝑥 = −3𝑟, 𝑦 = −4𝑟, 𝑧 = 𝑟
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CAPÍTULO 7 PROGRAMACIÓN LINEAL
7.1 Desigualdades lineales en dos variables
Problemas 7.1 Página 284. Ejercicios: 8, 19, 20, 23, 27, 28
Resuelva las desigualdades de los problemas 1 a 24.
8. 𝟐𝐱 + 𝟑𝐲 < −𝟔
Graficando la región se tiene:
19. {𝐲 < 2𝐱 + 𝟒𝐱 ≥ −𝟐𝐲 < 1
Primer paso: Graficamos las rectas relacionadas al sistema de desigualdades es decir las
rectas
1)
2)3){𝑦 = 2𝑥 + 4𝑥 = −2𝑦 = 1
𝑅𝑒𝑐𝑡𝑎 𝑖𝑛𝑐𝑙𝑖𝑛𝑎𝑑𝑎 𝑎 𝑙𝑎 𝑑𝑒𝑟𝑒𝑐ℎ𝑎𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙
Segundo paso: Ubicamos la región que forma la solución de cada desigualdad, a un lado o a otro de las rectas, comprobando con el punto (0,0) en cada desigualdad. Por ejemplo para la desigualdad 1) y < 2x + 4 ⇒ 0 < 2(0)+4 0 < 4 (𝑣𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒𝑟𝑜) por lo tanto el lado derecho de la recta 𝑦 = 2𝑥 + 4 es la solución de la desigualdad.
La solución de la desigualdad 2) x ≥ −2 es el lado derecho de la recta 𝑥 = −2
La solución de la desigualdad 3) y < 1 es hacia abajo de la recta 𝑦 = 1
Tercer paso: Ubicamos la región general de la solución que es la intersección de las soluciones de las desigualdades.
En este caso la solución es la parte marcada de color.
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DIFERENCIACIÓN
13 TRAZADO DE
CURVAS
14 INTEGRACIÓN
20. {
2x + y ≥ 6x ≤ y
y ≤ 5x + 2
Graficando las regiones e intersecando las soluciones se tiene la región sombreada:
23 .{𝟑𝐱 + 𝐲 > −𝟔𝐱 − 𝐲 > −𝟓𝐱 ≥ 𝟎
Primer paso: Graficamos las rectas relacionadas al sistema de desigualdades es decir las
rectas:
1)
2)3){3𝑥 + 𝑦 = −6𝑥 − 𝑦 = −5𝑥 = 0
𝑅𝑒𝑐𝑡𝑎 𝑖𝑛𝑐𝑙𝑖𝑛𝑎𝑑𝑎 𝑎 𝑙𝑎 𝑖𝑧𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟𝑑𝑎𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎 𝑖𝑛𝑐𝑙𝑖𝑛𝑎𝑑𝑎 𝑎 𝑙𝑎 𝑑𝑒𝑟𝑒𝑐ℎ𝑎𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙 (𝐸𝑗𝑒 𝑌)
Segundo paso: Ubicamos la región que forma la solución de cada desigualdad, a un lado o a otro de las rectas, comprobando con el punto (0,0) en cada desigualdad.
Por ejemplo para la desigualdad 1) 3𝑥 + 𝑦 >−6 ⇒ 3(0) + 0 > −5 0 >−5 (𝑣𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒𝑟𝑜) por lo tanto el lado derecho de la recta 3𝑥 + 𝑦 = −6 es la solución de la desigualdad.
La solución de la desigualdad 2) x − y > −5 es el lado derecho de la recta 𝑥 − 𝑦 = −5
La solución de la desigualdad 3) x ≥ 0 es la región hacia la derecha de la recta 𝑥 = 0
Tercer paso: Ubicamos la región general de la solución que es la intersección de las soluciones de las desigualdades. En este caso la solución es la parte marcada con color
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DIFERENCIACIÓN
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14 INTEGRACIÓN
27. Si un fabricante desea comprar un total de no más de 100 libras de producto Z de los proveedores A y B, establezca un sistema de desigualdades que describa las combinaciones posibles de las cantidades que pueden comprarse a cada proveedor. Haga el bosquejo de la solución en el plano.
Sea "x" la cantidad comprada a un proveedor A, y "y" la cantidad comprada a B. El sistema
de desigualdades es:
1)
2)3){x + y ≤ 100x ≥ 0y ≥ 0
Luego resolviendo el sistema de desigualdades se tiene la siguiente gráfica.
La región que representa todas las combinaciones posibles se encuentra entre los ejes y la recta inclinada y que tiene como vértices a los puntos (0,100), (0,0), (100, 0).
28. Manufactura una compañía XYZ produce dos modelos de computadoras caseras: el Alfa y el
Beta. Sea x el número de modelos de Alfa y 𝐲 el número de Beta producidos a la semana en la
fábrica de San Diego. Si esta planta puede producir semanalmente a lo sumo 650 modelos Alfa y
Beta en forma combinada, escriba las desigualdades que describen esta situación.
Suma de modelos producidos: x + y ≤ 650
Siempre se producen un número positivo de modelos, entonces: x ≥ 0 y ≥
0
Luego, el sistema correspondiente es:
{x + y ≤ 650x ≥ 0y ≥ 0
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7.2 Programación lineal
Problemas 7.2 Páginas 291-293. Ejercicios: 2, 4, 7, 13, 14, 17
2. Maximizar 𝑷 = 𝟐𝒙 + 𝟓𝒚 sujeta a:
Resolviendo el sistema de
desigualdades se tiene la región que se
indica en la figura.
Esta región está limitada por los dos
ejes y la recta 4𝑥 + 3𝑦 = 250.
Los vértices de esta región son los
puntos :
(0,0) (0,831
3) (62
1
2, 0)
Luego analizamos el valor que toma la función objetivo 𝑃 = 2𝑥 + 5𝑦 en cada uno de los
puntos:
Punto Función objetivo 𝑃 = 2𝑥 + 5𝑦
(0,0) 𝑃 = 2(0) + 5(0) = 0
(0,831
3) 𝑃 = 2(0) + 5 (83
1
3) = 416
2
3
Valor Máximo
(621
2, 0) 𝑃 = 2(62
1
2) + 5(0) = 125
Se observa que 𝑃 = 2𝑥 + 5𝑦 alcanza un máximo valor 𝑃 = 4162
3 cuando 𝑥 = 0 y 𝑦 =
831
3.
{
𝒙 + 𝒚 ≤ 𝟗𝟎𝟒𝒙 + 𝟑𝒚 ≤ 𝟐𝟓𝟎𝒙 + 𝟐𝒚 ≤ 𝟐𝟐𝟓𝒙, 𝒚 ≥ 𝟎
72
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DIFERENCIACIÓN
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4. Minimizar: 𝐙 = 𝐱 + 𝐲 Sujeta a:
Se resuelve como el ejercicio anterior. Graficando la región factible se obtiene la figura
adjunta
Los puntos de intersección que se obtienen en la región factible son:
A (12
7,12
7) , 𝐵 (
99
20,99
20) , 𝐶 (8,
49
20) , 𝐷(8,0), E (3,0)
Evaluando cada punto en Z se obtiene un valor mínimo cuando x = 3 y y = 0
Punto Función objetivo 𝑍 = 𝑥 + 𝑦
A (12
7,12
7) 𝑍 =
12
7+12
7=24
7
𝐵 (99
20,99
20) 𝑍 =
99
20+99
20=99
10
𝐶 (8,49
20) 𝑍 = 8 +
49
20=209
20
𝐷(8,0) 𝑍 = 8 + 0 = 8
E (3,0) 𝑍 = 3 + 0 = 3 Valor mínimo
{
𝐱 − 𝐲 ≥ 𝟎𝟒𝐱 + 𝟑𝐲 ≥ 𝟏𝟐𝟗𝐱 + 𝟏𝟏𝐲 ≤ 𝟗𝟗
𝐱 ≤ 𝟖𝐱, 𝐲 ≥ 𝟎
73
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7. Maximizar: 𝐙 = 𝟕𝐱 + 𝟑𝐲 Sujeta a:
Al resolver gráficamente el sistema de se tienen algunas consideraciones:
Las desigualdades x, y ≥ 0 ( 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0 ) indican que la región que cumple estas
condiciones es el primer cuadrante.
La solución de las desigualdades 3x − y ≥ −2 , x + y ≤ 9 junto con la recta x − y = −1 se
indica en las siguientes figuras:
3x − y ≥ −2 x + y ≤ 9 x − y = −1
La intersección de las cuatro desigualdades y la recta es el segmento de recta que une los
puntos (0,1) y (4,5), los cuales se obtienen resolviendo los sistemas de ecuaciones:
{x − y = −1𝑥 = 0
⇒(0,1) {x + y = 9x − y = −1
⇒(4,5)
Luego analizamos el valor que toma la función objetivo Z = 7x + 3y en cada uno de los
puntos:
Punto Función objetivo Z = 7x + 3y
(0,1) 𝑍 = 7(0) + 3(1) = 3 Valor mínimo (4,5) 𝑃 = 7(4) + 3(5) = 43
Se observa que Z= 7𝑥 + 3𝑦 alcanza un mínimo valor Z=3 cuando 𝑥 = 0 y 𝑦 = 1.
{
3x − y ≥ −2x + y ≤ 9x − y = −1x, y ≥ 0
74
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13. Producción para utilidad máxima. Un fabricante de juguetes prepara un programa de
producción para dos nuevo artículos, camiones y perinolas, con base en la información
concerniente a sus tiempos de ensamblado dados en la tabla que sigue:
Maquina A Maquina B Acabado
Camión 2h 3h 5h
Perinola 1h 1h 1h
Por ejemplo, cada camión requiere de 2 horas en la maquina A. Las horas que los empleados
tienen disponibles por semana son: para operación de la maquina A, 80 horas; para la B,
50horas; para acabado, 70 horas. Si las utilidades en cada camión y cada perinola son de $7 y $2,
respectivamente, ¿Cuántos juguetes de cada uno deben producirse por semana con el fin de
maximizar la unidad?¿ Cuál es la utilidad máxima?
Sean x el número de camiones, y sea “y” el número de perinolas. Entonces la utilidad que se
obtiene por la venta de estos juguetes es: 𝑃 = 7𝑥 + 2𝑦. Se requiere:
Maximizar 𝑃 = 7𝑥 + 2𝑦 sujeta a:
{
𝑥 ≥ 0𝑦 ≥ 0
2𝑥 + 𝑦 ≤ 803𝑥 + 𝑦 ≤ 505𝑥 + 𝑦 ≤ 70
𝑀𝑎𝑞𝑢𝑖𝑛𝑎 𝐴𝑀á𝑞𝑢𝑖𝑛𝑎 𝐵𝐴𝑐𝑎𝑏𝑎𝑑𝑜
Resolvemos el sistema de desigualdades mediante las siguientes consideraciones.
Las rectas asociadas al sistema de desigualdades son:
{
𝑥 = 0𝑦 = 0
2𝑥 + 𝑦 = 803𝑥 + 𝑦 = 505𝑥 + 𝑦 = 70
𝐸𝑗𝑒 𝑌𝐸𝑗𝑒𝑋
2𝑥 + 𝑦 = 80 3𝑥 + 𝑦 = 50 5𝑥 + 𝑦 = 70
75
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Las regiones que cumplen con las desigualdades son:
2𝑥 + 𝑦 ≤ 80 3𝑥 + 𝑦 ≤ 50 5𝑥 + 𝑦 ≤ 70
Las desigualdades x, y ≥ 0 ( 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0 ) indican que la región que cumple estas
condiciones es el primer cuadrante.
La región factible es la que se indica en la figura, acotada por los puntos:
(0.0), (0,50), (10,20) y (14,0)
Luego analizamos el valor que toma la función objetivo P = 7x + 2y en cada uno de los
puntos:
Punto Función objetivo P = 7x + 2y
(0,50) 𝑃 = 7(0) + 2(50) = 100 (10,20) 𝑃 = 7(10) + 2(20) = 110 Valor máximo (14,0) 𝑃 = 7(14) + 2(0) = 98
Se observa que 10 camiones y 20 trompos generan la utilidad máxima de $110
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6 ÁLGEBRA
MATRICIAL
7 PROGRAMACIÓN
LINEAL
10 LIMITES Y
CONTINUIDAD
11 DIFERENCIACIÓN
12 TEMAS
ADICIONALES DE
DIFERENCIACIÓN
13 TRAZADO DE
CURVAS
14 INTEGRACIÓN
14. Producción para utilidad máxima. Un fabricante produce dos tipos de reproductores
de DVD: Vista y Extreme. Para su producción requieren del uso de dos máquinas, A y B. El número
de horas necesarias para ambas está indicado en la tabla siguiente:
Máquina A Máquina B
Vista 1h 2h
Extreme 3h 2h
Si cada máquina puede utilizarse 24 horas por día y las utilidades en los modelos Vista y Extreme
son de $50 y $80, respectivamente, ¿cuantos reproductores de cada tipo deben producirse por
día para obtener una utilidad máxima? ¿Cuál es la utilidad máxima?
Se resuelve en forma similar al ejercicio anterior.
Sean x y y sean los números de modelos Vista y Xtreme que hacen cada día. Entonces
vamos a maximizar
P = 50x + 80y, sujeta a:
{
x ≥ 0y ≥ 0
x + 3y ≤ 24 (máquina de A)2x + 2y ≤ 24( máquina B)
En la gráfica se observa la región factible y los puntos de intersección correspondientes a
los vértices de ésta región: A(0, 8), B(6, 6), C(12, 0) y D(0,0)
Evaluando P = 50x + 80y en cada punto se observa que el valor máximo ocurre cuando
𝑥 = 6 𝑦 = 6 .
La utilidad máxima entonces es 780 dólares
77
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CONTINUIDAD
11 DIFERENCIACIÓN
12 TEMAS
ADICIONALES DE
DIFERENCIACIÓN
13 TRAZADO DE
CURVAS
14 INTEGRACIÓN
17. Extracción de minerales. Una compañía extrae minerales de una mina. En la tabla
siguiente se indica el número de libras de los minerales Ay B que pueden obtenerse de cada
tonelada de la mina I y II, junto por los costos por tonelada:
Mina I Mina II
Mineral A 100lb 200lb
Mineral B 200lb 50lb
Costo por tonelada $50 $60
Si la compañía debe producir al menos 3000 lb de A y 2500 lb de B, ¿Cuántas toneladas de cada
mina deben procesarse con el objetivo de minimizar el costo? ¿Cuál es el costo mínimo?
Sean 𝑥 el número de toneladas de la mina I y sea "𝑦" el número de toneladas de la mina II.
La función de costo es 𝐶 = 50𝑥 + 60𝑦. Luego se tiene el siguiente problema:
Minimizar: 𝐶 = 50𝑥 + 60𝑦
Sujeta a las condiciones:
{
𝑥 ≥ 0𝑦 ≥ 0
100𝑥 + 200𝑦 ≥ 3000 (𝐴)200𝑥 + 50𝑦 ≥ 2500 (𝐵)
Resolvemos el sistema de desigualdades mediante las siguientes consideraciones.
Las rectas asociadas al sistema de desigualdades son:
{
𝑥 = 0𝑦 = 0
100𝑥 + 200𝑦 = 3000200𝑥 + 50𝑦 = 2500
𝐸𝑗𝑒 𝑌𝐸𝑗𝑒𝑋
100𝑥 + 200𝑦 = 3000 200𝑥 + 50𝑦 = 2500
78
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14 INTEGRACIÓN
Las regiones que cumplen con las desigualdades son:
100𝑥 + 200𝑦 ≥ 3000 200𝑥 + 50𝑦 ≥ 2500
Las desigualdades x, y ≥ 0 ( 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0 ) indican que la región que cumple estas
condiciones es el primer cuadrante.
La región factible es la que se indica en la figura, acotada por los puntos (0.50), (10,10),
(30,0).
Luego analizamos el valor que toma la función objetivo P = 7x + 2y en cada uno de los
puntos:
Punto Función objetivo 𝐶 = 50𝑥 + 60𝑦
(0,50) 𝐶 = 50(0) + 60(50) = 3000 (10,10) 𝐶 = 50(10) + 60(10) = 1100 Valor mínimo (30,0) 𝐶 = 50(30) + 60(0) = 1500
Se observa que 10 toneladas de la mina I y 10 toneladas de la mina II minimiza el costo, el
cual alcanza $1100.
79
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DIFERENCIACIÓN
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14 INTEGRACIÓN
CAPÍTULO 10 LÍMITES Y CONTINUIDAD 10.1 Límites
Problemas 10.1 Página 457-458. Ejercicios: 6, 17, 21, 24, 29, 34, 38
En los problemas 5 a 8 utilice su calculadora para completar la tabla, y use los resultados para
estimar el límite dado.
6. 𝐥𝐢𝐦𝐱→−𝟑
𝐱𝟐−𝟗
𝐱+𝟑
𝐱 -3.1 -3.01 -3.001 -2.999 -2.99 -2.9
𝐟(𝐱) -6.1 -6.01 -6.001 -5.9 -5.99 -5.999
Observamos los valores cuando x tiende a -3 por la derecha
f(−3.1) = −6.1
f(−3.01) = −6.01
f(−3.001) = −6.001
Observamos los valores cuando x tiende a -3 por la izquierda
f(−2.9) = −5.9
f(−2.99) = −5.99
f(−2.999) = −5.999
El límite estimado tanto por la derecha como por la izquierda es −6
Encuentre los límites en los problemas 9 a 34.
17. limℎ→0
ℎ
ℎ2 −7ℎ+1
Aplicamos el límite al numerador y al denominador (propirdadses
limh→0
h
h2 − 7h + 1=
limh→0
h
limh→0(h2 − 7h + 1)
Calculando éstos límites se tiene:
80
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14 INTEGRACIÓN
limh→0
h
limh→0(h2 − 7h + 1)
=0
02 − 7 (0) + 1 = 0
21. 𝐥𝐢𝐦𝐱→−𝟐
𝐱𝟐+𝟐𝐱
𝐱+𝟐
Si reemplazamos -2 en la función, se obtiene una forma indeterminada
limx→−2
x2 + 2x
x + 2=0
0
Factoramos el numerador para simplificar y eliminar la indeterminación, así:
limx→−2
x2 + 2x
x + 2= lim
x→−2
x(x + 2)
x + 2= limx→−2
x = −2
𝟐𝟒. lim x → 0
t3 + 3t2
t3 − 4t2
Aplicando las propiedades de los límites se obtiene
limx → 0
t3 + 3t2
t3 − 4t2 =
lim x → 0
(t3 + 3t2)
limx → 0
(t3 − 4t2)= (0)3 + 3(0)2
(0)3 − 4(0)2=0
0
Se obtuvo una forma indeterminada, entonces factoramos, así:
limx → 0
t3 + 3t2
t3 − 4t2= lim
x → 0
t2(t + 3)
t2(t − 4) = lim
x → 0
t + 3
t − 4
= lim x → 0
(t + 3)
limx → 0
(t − 4)=0 + 3
0 − 4= −
3
4
29. lim𝑥+4
𝑥2 −9𝑥+20
𝑥2 −3𝑥−4
Si aplicamos directamente el límite se obtiene una forma indeterminada
lim𝑥+4
𝑥2 − 9𝑥 + 20
𝑥2 − 3𝑥 − 4=0
0
Entonces factoramos tanto el numerador como el denominador, luego simplificando se
tiene
lim𝑥+4
𝑥2 −9𝑥+20
𝑥2 −3𝑥−4= lim𝑥+4
(𝑥−4)(𝑥−5)
(𝑥−4)(𝑥+1)
= lim𝑥+4
(𝑥−5)
(𝑥+1)= −
1
5
81
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DIFERENCIACIÓN
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14 INTEGRACIÓN
34. limx→0
((x+2)2−4
x)
Si aplicamos directamente el límite se obtiene una forma indeterminada
limx→0
((x + 2)2 − 4
x) =
0
0
Factoramos tanto el numerador como el denominador, luego simplificando se tiene
limx→0
((x + 2)2 − 4
x) = lim
x→0((x2 + 4x + 4) − 4
x)
= limx→0
(x2 + 4x)
xlimx→0
(x(x + 4)
x) limx→0 x + 4 = 0 + 4
En los problemas 37 a 42, encuentre:
𝐥𝐢𝐦𝐡→𝟎
𝐟(𝐱 + 𝐡) − 𝐟(𝐱)
𝐡
38. 𝐟(𝐱) = 𝟕 − 𝟑𝐱
Es conveniente establecer 𝑓(𝑥) y 𝑓(𝑥 + ℎ)
f(x) = 7 − 3x
f(x) = 7 − 3(x + h)
Reemplazamos en la formula requerida
limh→0
f(x + h) − f(x)
h= limh→0
[7 − 3(x + h)] − (7 − 3x)
h
= limh→0
−3h
h= limh→0
− 3 = −3
82
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10.2 Límites (continuación)
Problemas 10.2 Páginas 465-466. Ejercicios: 20, 25, 29, 37, 44, 46
En los problemas 3 a 54 encuentre el límite. Si no existe, especifique, o utilice el símbolo ∞ 0
-∞ donde sea apropiado
𝟐𝟎. limx→∞
− 6
5x √𝑥3
Es conveniente expresar en forma exponencial y simplificar la expresión
limx→∞
− 6
5x √𝑥3 = lim
x→∞
− 6
5xx13
= limx→∞
− 6
5x43
=−6
5 limx→∞
1
x43
Ahora se analiza el valor de la función cuando x toma un valor muy grande (∞), además
utilizando el límite limx→∞
1
𝑥= 0 se tiene:
−6
5 limx→∞
1
x43
=−6
5 limx→∞
1
x43
= 0
25. 𝐥𝐢𝐦𝐭→∞
𝟑𝐭𝟑+𝟐𝐭𝟐+𝟗𝐭−𝟏
𝟓𝐭𝟐−𝟓-
Como se observa la expresión es el cociente de dos polinomios, entonces se utiliza el
teorema que toma las mayores potencias :
Si f(x) es una función racional y anxn y bmx
m son los términos en el numerador y
denominador, respectivamente, con las mayores potencias de x, entonces:
limx→∞
f(x) = limx→∞
anxn
bmxm y lim
x→−∞f(x) = lim
x→−∞
anxn
bmxm
limt→∞
3t3 + 2t2 + 9t − 1
5t2 − 5= limt→∞
3t3
5t2
Ahora aplicamos las reglas de los límites y resulta:
limt→∞
3t
5=3
5 limt→∞
𝑡 = ∞
29. 𝐥𝐢𝐦𝒙→∞
𝟑−𝟒𝒙−𝟐𝒙𝟑
𝟓𝒙𝟑−𝟖𝒙+𝟏
Aplicamos el teorema que toma las mayores potencias:
Si f(x) es una función racional y anxn y bmx
m son los términos en el numerador y
denominador, respectivamente, con las mayores potencias de x, entonces:
limx→∞
f(x) = limx→∞
anxn
bmxm y lim
x→−∞f(x) = lim
x→−∞
anxn
bmxm
83
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lim𝑥→∞
3−4𝑥−2𝑥3
5𝑥3−8𝑥+1= lim𝑥→∞
−2𝑥3
5𝑥3= lim𝑥→∞
−2
5= − 2
5
37. 𝐥𝐢𝐦𝐱→−𝟑−
𝟓𝐱𝟐+𝟏𝟒𝐱−𝟑
𝐱𝟐+𝟑𝐱
Factoramos el numerador y denominador para simplificar la expresión
limx→−3−
5x2 + 14x − 3
x2 + 3x= limx→−3−
(5x − 1). (x + 3)
x(x + 3)= limx→−3−
(5x − 1)
x; x ≠ 0
Aplicamos el límite cuando x tiende a -3 por la izquierda
limx→−3−
(5x − 1)
x=(5(−3) − 1)
−3=16
3
𝟒𝟒. limx→−2+
x
√16 − x4
Analizamos el comportamiento de la función:
Si x se acerca a -2 por la derecha ( x → −2+), entonces el numerador x se acerca a -2 (x →
−2); mientras que el denominador se hace cada vez más pequeño (√16 − x4 → 0).
Luego:
limx→−2+
x
√16 − x4= −2
0= −∞
46. limx→∞
(x +1
x)
Distribuimos el límite ya que se tiene la suma de la funciones: (x +1
x)
limx→∞
(x) + limx→∞
(1
x)
Analizamos el comportamiento de cada función cuando x tiende al infinito ∞.
limx→∞
(x) = ∞
limx→∞
(1
x) = 0
limx→∞
(x +1
x) = ∞+ 0 = ∞
84
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10.4 Continuidad aplicada a desigualdades
Problemas 10.4 Páginas 475. Ejercicios: 2, 11, 19, 22, 26, 27
En los problemas 1 al 26 resuelva las desigualdades por medio de la técnica estudiada en esta
sección.
𝟐. x2 − 8x + 15 > 0
Calculamos los ceros de la función
f(x) = x2 − 8x + 15 = (x − 3)(x − 5) = 0
⟹ x = 3, x = 5
Establecemos los intervalos correspondientes
(−∞, 3) (3,5) (5,∞)
Comprobamos el signo de f en cada intervalo, así:
Intervalo Un valor del intervalo
Signo de 𝐟(𝐱) = x2 − 8x + 15 = (x − 3)(x − 5)
(−∞, 3) 0 f(0) = 15 > 0 (3,5) 4 f(4) = −1 < 0
(5, ∞) 6 f(6) = 3 > 0
La desigualdad se cumple cuando es positiva x2 − 8x + 15 > 0, esto es en:
(−∞, 3), (5,∞).
11. −𝒙(𝒙 − 𝟓)(𝒙 + 𝟒) > 𝟎
Establecemos f(x) = −x(x − 5)(x + 4)
Graficando la función se observa
claramente los intervalos donde la
función es positiva o negativa. Así 𝑓 es
positiva en (−∞,−4) y (0,5); esto se
debe comprobar en forma
matemática.
Encontramos las raíces de f , las cuales son los extremos de cada intervalo haciendo f(x) =
0, asi:
−x(x − 5)(x + 4) = 0 ⇒ −x = 0 x − 5 = 0 x + 4 = 0
⟹ x = 0 x = 5 x = −4
85
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LINEAL
10 LIMITES Y
CONTINUIDAD
11 DIFERENCIACIÓN
12 TEMAS
ADICIONALES DE
DIFERENCIACIÓN
13 TRAZADO DE
CURVAS
14 INTEGRACIÓN
Ubicamos estos números en la recta numérica y encontramos los intervalos
correspondientes
Comprobamos el signo de f en cada intervalo. La solución son los intervalos donde f(x) >
0, así:
Intervalo Un valor del intervalo
Signo de 𝐟(𝐱) = −𝐱(𝐱 − 𝟓)(𝐱 + 𝟒)
(−∞,−4) -5 f(−5) = −(−5)(−5 − 5)(−5 + 4) = +(-)(-) > 0 (−4,0) -1 f(−1) = −(−1)(−1 − 5)(−1 + 4) = +(-)(+) < 0
(0,5) 1 f(1) = −1(1 − 5)(1 + 4) = -(-)(+) >0
(5,0) 6 f(6) = −6(6 − 5)(6 + 4) = -(+)(+) <0
Los intervalos que cumplen con f(x) > 0 son (−∞,−4) ∪ (0,5).
19. 𝟒𝒙−𝟏 ≥ 𝟎
Establecemos la función 𝑓(𝑥) = 4
𝑥−1. Su gráfica se observa en la figura
Existe una discontinuidad cuando el denominador 𝑥 − 1 = 0 ⟹ 𝑥 = 1
Determinamos los intervalos para los cuales 𝑓(𝑥) ≥ 0.
En la gráfica se observa que 𝑓(𝑥) ≥ 0 cuando 𝑥 ∈ (1,∞)
También se comprueba dando valores a x en el intervalo (1,∞)
(-∞,-4) (-4,0) (0,5) (5,+∞)
-4 0 5
86
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DIFERENCIACIÓN
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CURVAS
14 INTEGRACIÓN
𝟐𝟐. x2 + 4x − 5
x2 + 3x + 2≤ 0
f(x) =x2 + 4x − 5
x2 + 3x + 2=(x + 5)(x − 1)
(x + 2)(x + 1)
Establecemos 𝑓(𝑥) =x2+4x−5
x2+3x+2=(x+5)(x−1)
(x+2)(x+1)
Encontramos los extremos de cada intervalo haciendo 𝑓(𝑥) = 0, asi:
(x+5)(x−1)
(x+2)(x+1)= 0 ⇒ 𝑥 = −5 , 𝑥 = 1 , 𝑥 = −2 , 𝑥 = −1
Ubicamos estos números en la recta numérica y encontramos los intervalos
correspondientes
Comprobamos el signo de 𝑓 en cada intervalo. La solución son los intervalos donde
𝑓(𝑥) < 0, así:
Intervalo Un valor del intervalo
Signo de 𝒇(𝒙) =(x+5)(x−1)
(x+2)(x+1)
(−∞,−5] -6 𝑓(−6) =(−6+5)(−6−1)
(−6+2)(−6+1)=(−)(−)
(−)(−) > 0
[−5,−2) -3 𝑓(−3) =(−3+5)(−3−1)
(−3+2)(−3+1)=(+)(−)
(−)(−) < 0
(−2,−1) -1.5 𝑓(−6) =(−1.5+5)(−1.5−1)
(−1.5+2)(−1.5+1)=(+)(−)
(+)(−) >0
(−1, 1] 0 𝑓(−6) =(0+5)(0−1)
(0+2)(0+1)=(+)(−)
(+)(+) < 0
[1, +∞) 2 𝑓(−6) =(2+5)(2−1)
(2+2)(2+1)=(+)(+)
(+)(+) > 0
Solución [−5,−2) ∪ (−1,1]
𝟐𝟔. x4 − 16 ≥ 0
Calculamos los ceros de la función
f(x) = x4 − 16 = (x2 + 4)(x + 2)(x − 2) = 0
⟹ x = −2, x = 2
Establecemos los intervalos correspondientes
(−∞,−2) (−2,2) (2,∞)
Comprobamos el signo de f en cada intervalo, así:
(-∞,-5) (-5,-2) (--2,-1) (-1,1)
-5 -2 -1
(1,+∞)
1
87
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DIFERENCIACIÓN
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CURVAS
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Intervalo Un valor del intervalo
Signo de 𝐟(𝐱) = x4 − 16 = (x2 + 4)(x + 2)(x − 2)
(−∞,−2] -3 f(−3) > 0 [−2,2] 0 f(0) < 0
[2,∞) 3 f(3) > 0
La desigualdad se cumple cuando es positiva o cuando es cero x4 − 16 ≥ 0, esto es en:
(−∞,−2], [2, ∞)
27. Ingresos: Suponga que los consumidores compran q unidades de un producto cuando el
precio de cada uno es de 𝟐𝟖 − 𝟎. 𝟐𝐪 dólares ¿Cuántas unidades deben venderse para que el
ingreso sea al menos de $750?
Datos:
Número de unidades: q
Precio unitario: 28 − 0.2q
Ingreso: R = q(28-0.2q)
R ≥ 750
q(28 − 0.2q) ≥ 750
28q − 0.2q2 − 750 ≥ 0
0.2q2 − 28q + 750 ≤ 0
q2 − 140q + 3750 ≤ 0
f(𝑞) = q2 − 140q + 3750 = 0
Se tiene una ecuación cuadrática respecto q, luego:
q = −b ± √b2−4ac
2a si a = 1 ; b = −140; c = 3750 ⇒ q =
140±√(−140)2−4(1)(3750)
2(1)
⟹ q2 − 140q + 3750 ≤ 0 cuando 36.09 ≤ q ≤ 103.4
Deben venderse entre 37 y 104 unidades para tener un ingreso de al menos $750
𝑞2 = 140 − √19600 − 15000
2
q2 = 140 − 67,82
2
𝑞2 = 36.09
q1 = 140 + √19600 − 15000
2
q1 = 140 + 67,82
2
q1 = 103.4
88
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CAPÍTULO 11 DIFERENCIACIÓN
11.1 La derivada
Problemas 11.1 Páginas 488-489. Ejercicios: 10, 12, 13, 18, 20, 21, 28
En los problemas 3 a 18 emplee la definición de la derivada para encontrarla en cada caso.
10. f´(x) si f(x) = 7.01
Es conveniente establecer 𝑓(𝑥) y 𝑓(𝑥 + ℎ)
f(x) = 7.01
f(x) = 7.01
Reemplazamos en la fórmula de definición de la derivada
f´(x) = limh→0
(f + h) − f(x)
h
= limh→0
7.01 − 7.01
h
= limh→0
0
h
= limh→0
0
= 0
12. 𝑦′ 𝑠𝑖 𝑦 = 𝑥2 + 5𝑥 + 1
Se tiene 𝑓(𝑥) y 𝑓(𝑥 + ℎ)
𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 5𝑥 + 1
𝑓(𝑥 + ℎ) = (𝑥 + ℎ)2 + 5(𝑥 + ℎ) + 1
Luego, aplicando la definición de derivada:
y´ = f ´(x) = limh→0
f(x + h) − f(x)
h= limh→0
[(x + h)2 + 5(x + h) + 1] − [x2 + 5x + 1]
h
= limh→0
x2 + 2xh + h2 + 5x + 5h + 1 − x2 − 5x − 1
h= limh→0
2xh + h2 + 5h
h
= limh→0(2x + h + 5) = 2x + 0 + 5 = 2x + 5
Entonces la derivada de 𝑦 = 𝑥2 + 5𝑥 + 1 es 𝒚´ = 𝟐𝒙 + 𝟓
89
0 REPASO DE
ALGEBRA
1 APLICACIONES Y
MÁS ALGEBRA
2 FUNCIONES
Y GRÁFICAS
3 RECTAS PARÁBOLAS Y
SIST. DE ECUACIONES
INDICE
4 FUNCIÓN EXPONENCIAL
Y LOGARITMICA
6 ÁLGEBRA
MATRICIAL
7 PROGRAMACIÓN
LINEAL
10 LIMITES Y
CONTINUIDAD
11 DIFERENCIACIÓN
12 TEMAS
ADICIONALES DE
DIFERENCIACIÓN
13 TRAZADO DE
CURVAS
14 INTEGRACIÓN
13. dpdq si p = 3q2 + 2q + 1
Es conveniente establecer f(q) y f(q + h)
f(q) = 3q2 + 2q + 1
f(q + h) = 3(q + h)2 + 2(q + h) + 1
Reemplazamos en la definición de la derivada
dp
dq= limh→0
f(q+h)−f(q)
h
= limh→0
[3(q+h)2 +2(q+h)+1]− [3q2 +2q+1]
h
= limh→0
6qh+3h2 +2h
h
= limh→0(6q + 3h + 2) = 6q + 0 + 2 = 6q + 2
18. H´(x) si H(x) = 3
x−2
Establecemos 𝐻(𝑥) y 𝐻(𝑥 + ℎ)
H(x) = 3
x−2
H(x + h) = 3
x+h−2
Reemplazamos en la definición de derivada
H´(x) = limh→0
H(x + h) − H(x)
h
H´(x) = limh→0
3x + h − 2
−3
x − 2h
Resolvemos las fracciones
H´(x) = limh→0
3(x − 2) − 3(x + h − 2)
h(x + h − 2)(x − 2)
H´(x) = limh→0
−3h
h(x + h − 2)(x − 2)
H´(x) = limh→0
−3
(x + h − 2)(x − 2)
H´(x) =3
(x − 2)2
20. Encuentre la pendiente de la curva 𝐲 = 𝟏 − 𝐱𝟐 en el punto (1,0)
90
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Y LOGARITMICA
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7 PROGRAMACIÓN
LINEAL
10 LIMITES Y
CONTINUIDAD
11 DIFERENCIACIÓN
12 TEMAS
ADICIONALES DE
DIFERENCIACIÓN
13 TRAZADO DE
CURVAS
14 INTEGRACIÓN
La pendiente de una curva en un punto dado es la derivada de la función, entonces
calculamos la derivada.
y = f(x) = 1 − x2
f(x + h) = 1 − (x + h)2
Reemplazamos en la definición de la derivada
y′ = limh→0
f(x + h) − f(x)
h
= limh→0
[1 − (x + h)2] − [1 − x2]
h
= limh→0
−2xh − h2
h
= limh→0(−2x − h) = −2x
La pendiente m = y′ = −2x
Calculamos la pendiente en el punto (1,0)
Si x = 1 ⇒ m = −2(1) = −2
La pendiente en (1,0) es y′(1) = −2(1) = −2
21. Encuentre la pendiente de la curva 𝐲 = 𝟒𝐱𝟐 − 𝟓 𝐜𝐮𝐚𝐧𝐝𝐨 𝐱 = 𝟎.
Si y = f(x) = 4x2 − 5 entonces la pendiente m es 𝑚 = 𝑦′ = 𝑓′(𝑥)
Utilizando la definición de derivada tenemos
y´ = limh→0
f(x+h)−f(x)
h
= limh→0
[4(x+h)2−5]−[4x2−5]
h
= limh→0
4(x2+2xh+h2)−4x2+0
h
= limh→0
8xh+4h2
h
= limh→0
h(8x+4h)
h= lim
h→0(8x + 4h) = 8x
Si 𝑥 = 0 ⇒ 𝑚 = 𝑦′(0) = 8(0) = 0
En los problemas del 23 al 28 encuentre la ecuación de a recta tangente a la curva del punto
dado
28. y =5
1−3x ; (2, −1)
91
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DIFERENCIACIÓN
13 TRAZADO DE
CURVAS
14 INTEGRACIÓN
Calculamos la pendiente utilizando al definición de derivada
Se tiene:
f(x) =5
1 − 3x
𝑓(𝑥 + ℎ) =5
1 − 3(𝑥 + ℎ)
Luego reemplazando en la definición:
𝒇´(𝒙) = limh→0
f(x+h)−f(x)
h= limh→0
51−3 (x+h)
−5
1−3x
h
= limh→0
5(1−3x)−5[1−3(x+h)]
h[1−3(x+h)](1−3x) = lim
h→0
15h
h[1−3(x+h)](1−3x)
= limh→0
15
[1−3(x+h)](1−3x)=
15
[1−3(x+0)](1−3x)
=15
[1−3(x)](1−3x)=
15
(1−3x)(1−3x)=
15
(1−3x)2
Entonces la pendiente a la curva tiene como función: 𝑚 =15
(1−3x)2
Calculamos el valor específico de la pendiente en el punto (2, −1), así:
Si 𝑥 = 2 ⟹ 𝑚 =15
(1−3(2))2=15
25=3
5
Por último calculamos la ecuación de la recta tangente:
La ecuación de la recta tangente es:
𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1) ⟹
𝑦 + 1 =3
5(𝑥 − 2)
92
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11.2 Reglas para la diferenciación
Problemas 11.2 Páginas 496-497. Ejercicios: 22, 27, 65, 82
En los problemas del 1 al 74, diferencie las funciones
22. 𝒚 = −𝟖𝐱𝟒 + 𝐥𝐧𝟐
𝑦´ = −8(4x4−1) + 0 = −32x3
𝟐𝟕. 𝒈(𝒙) =𝟏𝟑 − 𝒙𝟒
𝟑
𝑔(𝑥) =13 − 𝑥4
3=13
3−𝑥4
3
𝑔´(𝑥) = −4 𝑥3
3
𝟔𝟓. 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟑(𝟑𝒙)𝟐
𝒇(𝒙) = 𝒙𝟑(𝟑𝒙)𝟐 = 𝟗 𝒙𝟓
𝑓´(𝑥) = 45 𝑥4
En los problemas 79 a 82, encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto
indicado.
82. 𝒚 = −√𝐱𝟑; (𝟖,−𝟐)
Expresando la función en la forma exponencial se tiene:
𝑦 = −√x3= −x
13
Calculamos la derivada, la cual representa la pendiente
y’ = −1
3x−23 = −
1
3x23
Calculamos la pendiente en el punto (8,−2) esto es cuando 𝑥 = 8
y’ = m = −1
3(823 )
= −1
3 ∗ 4= −
1
12
Aplicamos la ecuación punto – pendiente
𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1)
𝑦 + 2 = −1
12(x − 8)
𝑦 = −1
12x −
4
3
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11.3 La derivada como una razón de cambio
Problemas 11.3 Páginas 504-505. Ejercicios: 16, 18, 21, 24, 26, 39
En los problemas 13 a 18 se dan funciones de costo, donde c es el costo de producir q unidades
de un producto. Para cada caso encuentre la función de costo marginal. ¿Cuál es el costo
marginal para el valor o valores dados de q?
16. c = 0.1q2 + 3q + 2 ; q = 3
La derivada de la función de costo, representa la función de costo marginal
Si c(q) = 0.1q2 + 3q + 2 ⟹ el costo marginal es 𝑐′(𝑞) =𝑑𝑐
𝑑𝑞
c′(q) = d
dq (0.1q2 + 3q + 2) = (2)0.1 q + 3 + 0 = 0.2q + 3
Si 𝑞 = 3 ⟹ c′(q) = 0.2(3) + 3 = 3.6
18. 𝐜 = 𝟎. 𝟎𝟒𝐪𝟑 − 𝟎. 𝟓𝐪𝟐 + 𝟒. 𝟒𝐪 + 𝟕𝟓𝟎𝟎 ; 𝐪 = 𝟓, 𝐪 = 𝟐𝟓, 𝐪 = 𝟏𝟎𝟎𝟎.
Calculamos la derivada de la función de costo, ésta es el costo marginal
dc
dq= 0.12q2 − q + 4.4
Calculamos el costo marginal para los valores de q requeridos.
Si 𝑞 = 5 entonces dc
dq(5) = 2.4
Si 𝑞 = 25 entonces dc
dq(25) = 54.4
Si 𝑞 = 1000 entonces dc
dq(1000) = 119004.4
En los problemas 19 a 22, �̅� representa el costo promedio por unidad, que es una función del
número q de unidades producidas. Encuentre la función de costo marginal y el costo marginal
para los valores indicados de q.
21. �̅� = 𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟐𝐪𝟐 − 𝟎. 𝟎𝟏𝐪 + 𝟔 +𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎
𝐪 𝐪 = 𝟏𝟎𝟎 ; 𝐪 = 𝟓𝟎𝟎
Calculamos la función de costo 𝑐(𝑞)
Si 𝑐̅ es el costo promedio entonces el costo 𝑐 es: 𝑐(𝑞) = 𝑐̅𝑞
c(q) = c̅q = 0.00002q3 − 0.01q2 + 6q + 20000
94
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Establecemos la función de costo marginal
d
dq(𝑐(𝑞)) = 0.00006q2 − 0.02q + 6
Calculamos el costo marginal para los valores de 𝑞.
Si q = 100 ⇒dc
dq= 4.6
Si q = 500 ⟹dc
dq= 11
En los problemas 23 a 26, r representa el ingreso total y es una función del número q de
unidades vendidas. Encuentre la función de ingreso marginal para los valores indicados de q.
24. 𝐫 = 𝐪 (𝟏𝟓 −𝟏
𝟑𝟎𝐪) ; 𝐪 = 𝟓, 𝐪 = 𝟏𝟓, 𝐪 = 𝟏𝟓𝟎
Expresamos convenientemente la función de ingreso
r = q (15 −1
30q) = 15q −
1
30q2
Calculamos la función de ingreso marginal, ésta es: r´(q) =dr
dq
r´(q) = 15 −1
15q
Calculamos el valor del ingreso marginal para el número de unidades requerido
Si q = 5 ⇒ r′(5) = 15 −1
15(5) =
44
3
Si q = 15 ⇒ r′(15) = 15 −1
15(15) = 14
Si q = 150 ⇒ r′(150) = 15 −1
15(150) = 5
26. 𝐫 = 𝟐𝐪(𝟑𝟎 − 𝟎. 𝟏𝐪); 𝐪 = 𝟏𝟎, 𝐪 = 𝟐𝟎
Si 𝑟(𝑞) es la función de ingreso, entonces el ingreso marginal es: 𝑟′(𝑞) =𝑑𝑟
𝑑𝑞
r = 2q(30 − 0.1q) ⟹ 𝑑𝑟
𝑑𝑞=
d
dq(2q(30 − 0.1)) =
d
dq(60q − 0.2q2) = 60 − 0.4q
Si q=10; r′ = 60 − 0.4q = 60 − 0.4(10) = 56
Si q=20; r′ = 60 − 0.4q = 60 − 0.4(20) = 52
95
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39. Función de costo Para la función de costo 𝐜 = 𝟎. 𝟑𝐪𝟐 + 𝟑. 𝟓𝐪 + 𝟗 ¿Qué tan rápido cambia c
con respecto a q cuando q=10? Determine la razón de cambio porcentual de c con respecto a q
cuando q=10.
Si c = 0.3q2 + 3.5q + 9 es la función de costo, entonces la derivada 𝑐′ =𝑑𝑐
𝑑𝑞 indica qué
tan rápido cambia c con respecto a q.
dc
dq= 0.6q + 3.5 si q = 10, entonces
dc
dq= 0.6(10) + 3.5 = 9.5
si q = 10, entonces c = 74
La razón de cambio porcentual es: dcdq
c
(100) =9.5
74(100) = 12.8%.
96
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11.4 La regla del producto y la regla del cociente
Problemas 11.4 Páginas 513-515. Ejercicios: 8, 13, 27, 30, 51, 53, 60, 71
Diferencie las funciones de los problemas 1 a 48
8. 𝐟(𝐱) = 𝟑𝐱𝟐(𝐱𝟐 − 𝟐𝐱 + 𝟐)
Planteamos la regla de la derivada del producto
f´(x) = 3x2(x2 − 2x + 2)´ + (3x2)´(x2 − 2x + 2)
Calcualmos las derivadas simples
f´(x) = 3x2(2x + 2) + 6x(x2 − 2x + 2)
Simplificando se ontiene
f ′(x) = 15x4 − 24x3 + 18x2
13. 𝐲 = (𝐱𝟐 − 𝟏)(𝟑𝐱𝟑 − 𝟔𝐱 + 𝟓) − 𝟒(𝟒𝐱𝟐 + 𝟐𝐱 + 𝟏)
Realizamos la operación −4(4x2 + 2x + 1) y resulta
y = (x2 − 1)(3x3 − 6x + 5) − 16x2 − 8x − 4
Observamos que existe el producto (x2 − 1)(3x3 − 6x + 5), entonces aplicamos la
fórmula de la derivada del producto solo a ésta expresión
y′ = [(x2 − 1)′(3x3 − 6x + 5) + (3x3 − 6x + 5)′(x2 − 1)] − 32x − 8 y′ = [2x(3x3 − 6x + 5) + (9x2 − 6)(x2 − 1)] − 32x − 8
Simplificando se obtiene
y′ = 6x4 − 12x2 + 10x + 9x4 − 9x2 − 6x2 + 6 − 32x − 8
y′ = 15x4 − 27x2 − 22x − 2
𝟐𝟕. 𝐡(𝐳) =𝟔 − 𝟐𝐳
𝐳𝟐 − 𝟒
Aplicando la fórmula del cociente se tiene:
ℎ´(𝑧) =(𝑧2 − 4)(−2) − (6 − 2𝑧)(2𝑧)
(𝑧2 − 4)2
Ahora simplificamos
=2(𝑧2 − 6𝑧 + 4)
(𝑧2 − 4)2
97
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CURVAS
14 INTEGRACIÓN
30. 𝐟(𝐱) =𝐱𝟑−𝐱𝟐+𝟏
𝐱𝟐+𝟏
Aplicando la fórmula del cociente se tiene
f ′(x) =(x2 + 1)(x3 − x2 + 1)´ − (x3 − x2 + 1)(x2 + 1)´
(x2 + 1)2
=(x2 + 1)(3x2 − 2x) − (x3 − x2 + 1)(2x)
(x2 + 1)2
Simplificando se obtiene:
f´(x) =3x4 − 2x3 + 3x2 − 2x − 2x4 + 2x3 − 2x
(x2 + 1)2
=x4 + 3 x2 − 4 x
(x2 + 1)2
=x(x3 + 3x − 4)
(x2 + 1)2
En los problemas 51 a 54, encuentre una ecuación de la recta tangente a la curva en el punto
dado.
51. 𝐲 =𝟔
𝐱−𝟏; (𝟑, 𝟑)
La pendiente de la recta es
y′ =(x − 1)(0) − 6(1)
(x − 1)2= −
6
(x − 1)2
si x=3 ⟹y′(3) = −6
22= −
3
2
La recta tangene es y − 3 = −3
2(x − 3), o y = −
3
2x +
15
2
53. 𝒚 = (𝟐𝒙 + 𝟑)[𝟐(𝒙𝟒 − 𝟓𝒙𝟐 + 𝟒)]; (𝟎, 𝟐𝟒)
Calculamos la derivada de y
𝑦´ = 20 𝑥4 + 24 𝑥3 − 60 𝑥2 − 60 𝑥 + 16
Hallamos la pendiente en el punto esto es (0,24) donde 𝑥 = 0
𝑦´ = 𝑚 = 16
Calculamos la ecuación de la recta mediante la ecuación punto – pendiente
98
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12 TEMAS
ADICIONALES DE
DIFERENCIACIÓN
13 TRAZADO DE
CURVAS
14 INTEGRACIÓN
𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1)
𝑦 − 24 = 16(𝑥 − 0)
𝑦 = 16 𝑥 + 24
En los problemas 59 a 62, cada enunciado representa una función de demanda para cierto
producto, donde p denota el precio por unidad para q unidades. En cada caso, encuentre la
función de ingreso marginal. Recuerde ingreso = p.q
60. 𝐩 =𝟓𝟎𝟎
𝐪
p =500
q
p. q = 500 = r
Si 𝑟 = 500 entonces la derivada (ingreso marginal)
𝑟´ = 0
71. Costo marginal. Si la función de costo total de un fabricante está dada por
c =6q2
q+2+ 6000
Encuentre la función de costo marginal.
El costo marginal es la derivada 𝑐′ =𝑑𝑐
𝑑𝑞
𝑐′ =(𝑞 + 2)12𝑞 − 6𝑞2(1)
(𝑞 + 2)2=12𝑞2 + 24𝑞 − 6𝑞2
(𝑞 + 2)2=6𝑞2 + 24𝑞
(𝑞 + 2)2=6𝑞(𝑞 + 4)
(𝑞 + 2)2
99
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11.5 La regla de la cadena y la regla de la potencia
Problemas 11.5 Páginas 521-522. Ejercicios: 10, 12, 24, 29, 35, 56, 61, 71
En los problemas 9 a 52, encuentre y’.
10. 𝐲 = (𝐱𝟐 − 𝟒)𝟒
y′ = 4(x2 − 4)3 ∙d
dx(x2 − 4) = 4(x2 − 4)3(2x) = 8x(x2 − 4)3
12. y = (x2 + x)4
y´ = 4(x2 + x)3d
dx (x2 + x)
y´ = 4(x2 + x)3(2x + 1)
y´ = 4(2x + 1)(x2 + x)3
24. y = 7 √(x5 − 3)53
y = 7 √(x5 − 3)53
= 7(x5 − 3)53
y´ = 7 ∗5
3(x5 − 3)
5
3−1 d
dx(x5 − 3)
y´ =35
3(x5 − 3)
23(5x4)
𝑦´ =175𝑥4
3√(x5 − 3)23
29. 𝐲 =𝟒
√𝟗𝐱𝟐+𝟏
y =4
√9x2+1= 4(9x2 + 1)−1/2 ⟹ y′ = 4 (−
1
2) (9x2 + 1)−
3
2(18x)
⟹ y’ = −36x(9x2 + 1)−3/2
𝟑𝟓. 𝑦 = 4𝑥2√5𝑥 + 1
𝑦 = 4𝑥2√5𝑥 + 1 = 4𝑥2(5𝑥 + 1)1/2
Mediante la fórmula del producto se tiene:
𝑦´ = 4𝑥2 [1
2(5𝑥 + 1)−
12(5)] + 8𝑥(5𝑥 + 1)1/2
100
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11 DIFERENCIACIÓN
12 TEMAS
ADICIONALES DE
DIFERENCIACIÓN
13 TRAZADO DE
CURVAS
14 INTEGRACIÓN
𝑦´ = 8 √5 𝑥 + 1 𝑥 +10 𝑥2
√5 𝑥 + 1
56. Si 𝐳 = 𝟐𝐲𝟐 − 𝟒𝐲 + 𝟓, 𝐲 = 𝟔𝐱 − 𝟓 y 𝒙 = 𝟐𝒕, encuentre 𝒅𝒛/𝒅𝒕 cuando 𝒕 = 𝟏
Acoplamos la regla de la cadena a las tres funciones, así:
dz
dt=dz
dy.dy
dx.dx
dt
=d
dy(2y2 − 4y + 5).
d
dx(6x − 5).
d
dt(2t)
= (4y − 4). (6). (2) dz
dt= 48(y − 1)
Evaluamos dz/dt cuando t = 1
Si t = 1 ⟹ x = 2(1) = 2 ⟹ y = 6(2) − 5 = 7
Entonces resulta:
dz
dt|t = 1
= 48(7 − 1) = 288
En los problemas 59 a 62, encuentre una ecuación de la recta tangente a la curva en el punto dado
61) 𝐲 = √𝟕𝐱+𝟐
𝐱+𝟏 ; (𝟏,
𝟑
𝟐)
Calculamos la pendiente que es la derivada de la función
y = (7x + 2)
12
x + 1 ⟹ y′ =
(x + 1) (12) (7x + 2)−
12(7) − √7x + 2 (1)
(x + 1)2
=
(x + 1)72
1
√7x + 2− √7x + 2
(x + 1)2
En el punto (𝟏,𝟑
𝟐) se tiene:
Si x = 1 → m = y′2 (72) (13) − 3
4= −
1
6
Calculamos la ecuación de la recta tangente mediante la forma punto - pendiente
y − y1 = m (y − y1) ⟹ y − 3
2 = −
1
6(y − 1)
y −3
2 = −
1
6x +
1
6
1
6x + y −
5
3 = 0
101
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Y GRÁFICAS
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INDICE
4 FUNCIÓN EXPONENCIAL
Y LOGARITMICA
6 ÁLGEBRA
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7 PROGRAMACIÓN
LINEAL
10 LIMITES Y
CONTINUIDAD
11 DIFERENCIACIÓN
12 TEMAS
ADICIONALES DE
DIFERENCIACIÓN
13 TRAZADO DE
CURVAS
14 INTEGRACIÓN
71.- Función de costo. El costo de producir q unidades de un producto está dado por
𝐜 = 𝟓𝟓𝟎𝟎 + 𝟏𝟐𝐪 + 𝟎. 𝟐𝐪𝟐
Si el precio de p unidades está dado por la ecuación
𝐪 = 𝟗𝟎𝟎 − 𝟏. 𝟓𝐩
Utilice la regla de la cadena para encontrar la razón de cambio del costo con respecto al precio
unitario cuando 𝐩 = 𝟖𝟓
Regla de la cadena: dy
dx=dy
du∙du
dx ⟹
dc
dp=dc
dq∙dq
dp
Si c = 5500 + 12q + 0.2q2 ⟹ dc
dq= 0 + 12 + 2(0.2q2−1) = 12 + 0.4q
Si q = 900 − 1.5p ⟹ dq
dp= 0 − 1.5 = −1.5
dc
dp=dc
dq∙dq
dp= (12 + 0.4q)(−1.5)
Luego cuando 𝑝 = 85 ⟹ 𝑞 = 900 − 1.5(85) = 772.5
Así: 𝑑𝑐
𝑑𝑝|𝑝 = 85
= (12 + 0.4(85))(−1.5) = −481.5
102
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DIFERENCIACIÓN
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14 INTEGRACIÓN
CAPÍTULO 12 TEMAS ADICIONALES DE DERIVACIÓN 12.1 Derivada de funciones logarítmicas
Problemas 12.1 Páginas 533-534. Ejercicios: 12,13, 17,20, 28,30, 49,50
Diferencie las funciones en los problemas 1 a 44. Si considera adecuado, utilice primero las
propiedades de los logaritmos para simplificar la ecuación dada.
12. 𝐲 = 𝐱𝟐 𝐥𝐧 𝐱
Aplicamos la regla de la derivada del producto y la derivada de la función logarítmica:
Si 𝑦 = ln𝑥⟹ 𝑦´ =1
𝑥
Si y = x2 ln x entonces:
dy
dx= x2 (
1
x) + (ln x)(2x) = x + 2x ln x = x(1 + 2 ln x)
13. 𝒚 = 𝒙𝟑𝐥𝐧 (𝟐𝒙 + 𝟓)
Aplicamos la regla de la derivada del producto y la derivada de la función logarítmica:
Si 𝑦 = ln 𝑢, 𝑢 = 𝑓(𝑥) ⟹ 𝑦´ =1
𝑢𝑢´
Si 𝑦 = 𝑥3ln (2𝑥 + 5) entonces:
𝑦´ = 3𝑥2[ln(2𝑥 + 5)] + 𝑥3 [1
2𝑥 + 5(2)]
𝑦´ = 3𝑥2[ln(2𝑥 + 5)] +2𝑥3
2𝑥 + 5
17.- 𝐲 = 𝐱𝟐 + 𝐥𝐨𝐠𝟐(𝐱𝟐 + 𝟒)
Expresando el logaritmo en base 2 en logaritmos naturales se tiene:
y = x2 +ln (x2 + 4)
ln2
Calculamos la derivada
dy
dx= 2x +
1
ln2[
1
(x2 + 4)(2x)]
= 2x [1 +1
(ln2)(x2 + 4)]
103
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DIFERENCIACIÓN
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14 INTEGRACIÓN
20. 𝒚 =𝒙𝟐
𝒍𝒏𝒙
Aplicamos la regla del cociente de funciones y la derivada de funciones
logarítmicas
Si 𝑦 =𝑥2
𝑙𝑛𝑥 entonces:
𝑦´ =[ln(𝑥)](2𝑥) − 𝑥2 (
1𝑥)
(ln (𝑥))2
𝑦´ =2𝑥𝑙𝑛(𝑥) − 𝑥
[ln (𝑥)]2
28 . 𝐲 = 𝐥𝐧 (𝟐𝐱+𝟑
𝟑𝐱−𝟒)
Aplicamos las propiedades de los logaritmos
y = ln(2x + 3) − ln(3x − 4)
Calculamos la derivada
Si y = ln(2x + 3) − ln(3x − 4) entonces:
dy
dx=
2
2x + 3−
3
3x − 4
=2(3x − 4) − 3(2x + 3)
(2x + 3)(3x − 4)
= −17
(2x − 3)(3x − 4)
30. 𝒚 = 𝐥𝐧 √𝒙𝟑−𝟏
𝒙𝟑+𝟏
𝟑
Expresamos en la forma exponencial y aplicamos las propiedades de los logarítmos
𝒚 = 𝐥𝐧(𝒙𝟑 − 𝟏
𝒙𝟑 + 𝟏)
𝟏𝟑
=1
3[ln(𝑥3 − 1) − ln(𝑥3 + 1)]
Calculamos la derivada
𝑑𝑦
𝑑𝑥=1
3[
1
(𝑥3 − 1)
𝑑
𝑑𝑥(3𝑥2) −
1
(𝑥3 + 1)
𝑑
𝑑𝑥(3𝑥2)]
𝑑𝑦
𝑑𝑥=1
3[3𝑥2
𝑥3 − 1−3𝑥2
𝑥3 + 1]
104
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CURVAS
14 INTEGRACIÓN
𝑑𝑦
𝑑𝑥=1
3[3𝑥2(𝑥3 + 1) − 3𝑥2(𝑥3 − 1)
(𝑥3 − 1)(𝑥3 + 1)]
𝑑𝑦
𝑑𝑥=
2𝑥2
𝑥6 − 1
49. Costo marginal. La función de costo total está dada por 𝐜 = 𝟐𝟓 𝐥𝐧(𝐪 + 𝟏) + 𝟏𝟐. Encuentre
el costo marginal cuando q=6.
dc
dq=
25
q + 1
Si q = 6 ⟹dc
dq=25
7
50. Costo marginal. La función en dólares del costo promedio de un fabricante, está dado
por �̅� =𝟓𝟎𝟎
𝐥𝐧 (𝒒+𝟐𝟎). Encuentre el costo marginal (redondeado a dos decimales) cuando 𝒒 = 𝟓𝟎.
Calculamos el costo total
𝐶 = 𝑐̅𝑞 =500𝑞
𝐼𝑛(𝑞 + 20)= 500
𝑞
𝐼𝑛(𝑞 + 20)
Calculamos la función de costo marginal
𝑑𝐶
𝑑𝑞= 500 ∙
[𝐼𝑛(𝑞 + 20)](1) − 𝑞(1
𝑞 + 20)
[𝐼𝑛(𝑞 + 20)]2
Calculamos el costo marginal cuando q=50
𝑑𝑐
𝑑𝑞|𝑞 = 50
= 500 ∙[𝐼𝑛(70)] − (
5070)
[𝐼𝑛(70)]2≈ $ 97.90
105
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12.2 Derivada de funciones exponenciales
Problemas 12.2 Páginas 537-538. Ejercicios: 14,23, 24, 32, 35, 36
Diferencie las funciones en los problemas 1 a 28
14. 𝒚 =𝒆𝒙−𝒆−𝒙
𝒆𝒙+𝒆−𝒙
Aplicamos la regla de la derivada de la división de funciones y la derivada de la función
exponencial: Si 𝑦 = 𝑒𝑢𝑑𝑢, 𝑢 = 𝑓(𝑥) ⟹ 𝑦´ = 𝑒𝑢𝑢´
Si 𝑦 =𝑒𝑥−𝑒−𝑥
𝑒𝑥+𝑒−𝑥 entonces:
𝑑𝑦
𝑑𝑥=(𝑒𝑥 + 𝑒−𝑥)[𝑒𝑥 − 𝑒−𝑥(−1)] − (𝑒𝑥 − 𝑒−𝑥)[𝑒𝑥 + 𝑒−𝑥(−1)]
(𝑒𝑥 + 𝑒−𝑥)2
=(𝑒𝑥 + 𝑒−𝑥)2 − (𝑒𝑥 − 𝑒−𝑥)2
(𝑒𝑥 + 𝑒−𝑥)2
Simplificando tenemos
=𝑒2𝑥 + 2𝑒𝑥𝑒−𝑥 + 𝑒−2𝑥 − 𝑒2𝑥 + 2𝑒𝑥𝑒−𝑥 − 𝑒−2𝑥
(𝑒𝑥 + 𝑒−𝑥)2
=4
(𝑒𝑥 + 𝑒−𝑥)2
23. 𝐲 =𝐞𝐱−𝟏
𝐞𝐱+𝟏
Aplicamos la regla de la derivada de la división de funciones y la derivada de la función
exponencial: Si 𝑦 = 𝑒𝑢𝑑𝑢, 𝑢 = 𝑓(𝑥) ⟹ 𝑦´ = 𝑒𝑢𝑢´
Si y =ex−1
ex+1 entonces
dy
dx= (ex + 1)[ex] − (ex − 1)[ex]
(ex + 1)2
Simplificando tenemos
dy
dx=
2ex
(ex + 1)2
106
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24. 𝒚 = 𝒆𝟐𝒙(𝒙 + 𝟔)
Aplicamos la regla del producto de funciones y la derivada de la función exponencial: Si
𝑦 = 𝑒𝑢𝑑𝑢, 𝑢 = 𝑓(𝑥) ⟹ 𝑦´ = 𝑒𝑢𝑢´
Si 𝑦 = 𝑒2𝑥(𝑥 + 6) entonces
𝑦′ = 𝑒2𝑥[1] + (𝑥 + 6)[𝑒2𝑥(2)]
𝑦´ = 𝑒2𝑥 + 2𝑥𝑒2𝑥 + 12𝑒2𝑥
𝑦´ = 2𝑥𝑒2𝑥 + 13𝑒2𝑥
𝑦′ = 𝑒2𝑥(2𝑥 + 13)
32. Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva 𝐲 = 𝒆𝒙 en el punto (𝟏, 𝐞)
Iniciamos calculando la derivada de la función, la cual es la pendiente de la recta tangente
Si y = 𝑒𝑥 entonces y´ = ex
Cuando x = 1, 𝑚 = y´ = e.
Aplicando la ecuación punto pendiente se tiene:
𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1)
𝑦 − 𝑒 = 𝑒(𝑥 − 1)
𝑦 = 𝑒𝑥
Luego, 𝑦 = 𝑒𝑥 es la ecuación de la recta tangente.
En los problemas 35 y 36, �̅� es el costo promedio de producir q unidades de un producto.
Encuentre la función de costo marginal para los valores dados de q. Interprete su respuesta.
35. �̅� =𝟕𝟎𝟎𝟎𝐞𝐪/𝟕𝟎𝟎
𝐪; 𝐪 = 𝟑𝟓𝟎, 𝐪 = 𝟕𝟎𝟎
El costo total es: c = c̅q = 7000eq/700
La función de costo marginal es: dc
dq= 7000e
q
700 (1
700) = 10e
q
700
El costo de producir q=350 unidades es: dc
dq|q=350
= 10e350
700 = 10e0.5
El costo de producir q=700 unidades es: dc
dq|q=700
= 10e700
700 = 10e
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En los problemas 35 y 36, �̅� es el costo promedio de producir q unidades de un producto.
Encuentre la función de costo marginal y el costo marginal para los valores dados de q.
interprete su respuesta.
36. �̅� =𝟖𝟓𝟎
𝒒+ 𝟒𝟎𝟎𝟎
𝒆𝟐𝒒+𝟔𝟖𝟎𝟎
𝒒; 𝒒 = 𝟗𝟕. 𝒒 = 𝟏𝟗𝟕
Calculamos la función de costo:
𝐶 = 𝑐̅. 𝑞 = 850 + 4000𝑒2𝑞+6800 = 850 + 4000𝑒
𝑞+3400
Calculamos la función de costo marginal
𝑑𝑐
𝑑𝑞=𝑑
𝑑𝑞(850 + 4000𝑒
𝑞+3400)
𝑑𝑐
𝑑𝑞= 10𝑒
𝑞+3400
Calculamos el costo marginal para los valores de q=97 y q=197
𝑆𝑖 𝑞 = 97 → 𝑑𝑐
𝑑𝑞= 10𝑒
𝑞+3400 = 10𝑒
97+3400 = 10𝑒0.25
𝑆𝑖 𝑞 = 197 → 𝑑𝑐
𝑑𝑞= 10𝑒
𝑞+3400 = 10𝑒
197+3400 = 10𝑒0.5
108
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12.4 Diferenciación implícita
Problemas 12.4 Páginas 548-549. Ejercicios: 12, 17, 28, 29
En los problemas 1 a 24 , encuentre dy/dx mediante diferenciación implícita.
12. 𝐱𝟑 − 𝐲𝟑 = 𝟑𝐱𝟐𝐲 − 𝟑𝐱𝐲𝟐
Calculamos la derivada de los dos lados de la ecuación, se trata a "𝑦" como función
de 𝑥.
d
dx(x3) −
d
dx(y3) =
d
dx(3x2y) −
d
dx(3xy2)
3𝑥2 − 3𝑦2y´ = (3𝑥2𝑦′ + 6𝑥𝑦) − (3𝑥(2𝑦𝑦´) + 3𝑦2)
3𝑥2 − 3𝑦2y´ = 3𝑥2𝑦′ + 6𝑥𝑦 − 6𝑥𝑦𝑦´ − 3𝑦2
Agrupamos los términos que contienen 𝑦´ y despejamos
−3𝑦2y´ − 3𝑥2𝑦′ + 6𝑥𝑦𝑦´ = 6𝑥𝑦 − 3𝑦2 − 3𝑥2
y′(6𝑥𝑦 − 3𝑦2 − 3𝑥2) = 6𝑥𝑦 − 3𝑦2 − 3𝑥2
𝑦′ = 1
𝟏𝟕. 𝟓𝒙𝟑𝒚𝟒 − 𝒙 + 𝒚𝟐 = 𝟐𝟓
Calculamos la derivada de los dos lados de la ecuación, se trata a "𝑦" como función
de 𝑥.
𝑑
𝑑𝑥(5𝑥3𝑦4 − 𝑥 + 𝑦2) =
𝑑
𝑑𝑥(25)
5𝑥3(4𝑦3𝑦′) + 15𝑥2𝑦4 − 1 + 2𝑦𝑦′ = 0
Agrupamos los términos que contienen 𝑦´ y despejamos
𝑦′( 20𝑥3𝑦3 + 2𝑦) = 1 − 15𝑥2𝑦4
𝑦′ = 1 − 15𝑥2𝑦4
20𝑥3𝑦3 + 2𝑦
28. Encuentre la pendiente de la curva (𝒙𝟐 + 𝒚𝟐)𝟐= 𝟒𝒚𝟐 en el punto (0,2)
109
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14 INTEGRACIÓN
La pendiente de una curva en un punto dado es la derivada de la ecuación de la curva, así
la derivada de la función implícita (𝑥2 + 𝑦2)2 = 4𝑦2 es:
2(𝑥2 + 𝑦2)(2𝑥 + 2𝑦𝑦′) = 8𝑦𝑦′
(𝑥2 + 𝑦2)(𝑥 + 𝑦𝑦′) = 2𝑦𝑦′
𝑥3 + 𝑥2𝑦𝑦′ + 𝑥𝑦2 + 𝑦3𝑦′ = 2𝑦𝑦′
(𝑥2𝑦 + 𝑦3 − 2𝑦)𝑦′ = −𝑥3 − 𝑥𝑦2
𝑦′ =−𝑥(𝑥2 + 𝑦2)
𝑦(𝑥2 + 𝑦2 − 2)= 𝑚 = 𝑃𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒
Luego, en el punto (0,2) la pendiente es: 𝑦′−0(02+22)
2(02+22−2)= 0
29. Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva 𝒙𝟑 + 𝒙𝒚 + 𝒚𝟐 = −𝟏, en el punto (-1,1)
Calculamos la derivada, la cual es la pendiente de la tangente en el punto considerado.
𝑥3 + 𝑥𝑦 + 𝑦2 = −1
3𝑥2 + 𝑥𝑦′ + 𝑦 + 2𝑦′ = 0
𝑦′ = −3𝑥2 + 𝑦
𝑥 + 2𝑦= 𝑚
Calculamos el valor de la pendiente, reemplazando el punto (-1,1)
𝑚 = −3(−1)2 + 1
−1 + 2(1)=4
1= −4
Calculamos la ecuación de la recta mediante la ecuación Punto-pendiente.
𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1)
𝑦 − 1 = −4[𝑥 − (−1)]
𝑦 = −4𝑥 − 3
110
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12.5 Diferenciación logarítmica
Problemas 12.5 Páginas 552-553. Ejercicios: 11, 12, 18, 19, 23, 24
En los problemas 1 a 12, encuentre y´ por medio de la diferenciación logarítmica.
11. 𝒚 = √(𝒙+𝟑)(𝒙−𝟐)
𝟐𝒙−𝟏
Expresamos en la forma exponencial
𝑦 = √(𝑥 + 3)(𝑥 − 2)
2𝑥 − 1= ((𝑥 + 3)(𝑥 − 2)
2𝑥 − 1)
1/2
Aplicamos el logaritmo natural a ambos lados de la ecuación
ln 𝑦 = ln ((𝑥 + 3)(𝑥 − 2)
2𝑥 − 1)
1/2
Aplicamos las propiedades de los logaritmos
ln 𝑦 =1
2ln(𝑥 + 3) +
1
2ln(𝑥 − 2) −
1
2ln(2𝑥 − 1)
Calculamos la derivada. Al lado izquierdo es la derivada de la función implícita.
𝑦´
𝑦=1
2∙1
𝑥 + 3+1
2∙1
𝑥 − 2−1
2∙
1
2𝑥 − 1
Despejamos 𝑦´ y reemplazamos el valor de 𝑦
𝑦´ =𝑦
2∙ [
1
𝑥 + 3+
1
𝑥 − 2−
1
2𝑥 − 1]
=1
2√(𝑥 + 3)(𝑥 − 2)
2𝑥 − 1[1
𝑥 + 3+
1
𝑥 − 2−
1
2𝑥 − 1]
12. 𝒚 = √𝟔(𝒙𝟑+𝟏)
𝟐
𝒙𝟔𝒆−𝟒𝒙
𝟑
Expresamos en la forma exponencial
𝑦 = √6(𝑥3 + 1)2
𝑥6𝑒−4𝑥
3
= (6(𝑥3 + 1)2
𝑥6𝑒−4𝑥)
1/3
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ADICIONALES DE
DIFERENCIACIÓN
13 TRAZADO DE
CURVAS
14 INTEGRACIÓN
Aplicamos el logaritmo natural a los dos lados
𝑙𝑛 𝑦 = 𝑙𝑛 (6(𝑥3+ 1)
2
𝑥6𝑒−4𝑥)
1/3
Aplicamos las propiedades de los logarítmos
𝐼𝑛 𝑦 =1
3𝑙𝑛 [6(𝑥3 + 1)2
𝑥6𝑒−4𝑥] =
1
3{𝑙𝑛[6(𝑥3 + 1)2] − 𝑙𝑛[𝑥6𝑒−4𝑥]}
𝐼𝑛 𝑦 =1
3[𝑙𝑛 6 + 2 𝑙𝑛(𝑥3 + 1) − 6 𝑙𝑛(𝑥) − (−4𝑥) 𝑙𝑛 𝑒]
𝐼𝑛 𝑦 =1
3[𝑙𝑛 6 + 2 𝑙𝑛(𝑥3 + 1) − 6 𝑙𝑛(𝑥) + 4𝑥(1)]
Calculamos la derivada. En el lados izquierdo es la derivada de la función implícita
𝑦′
𝑦=1
3[0 + 2
3𝑥2
𝑥3 + 1−6
𝑥+ 4]
Despejamos 𝑦´ y reemplazamos el valor de 𝑦
𝑦′ =𝑦
3[6𝑥2
𝑥3 + 1−6
𝑥+ 4] ⟹ 𝑦′ =
1
3√6(𝑥3 + 1)2
𝑥6𝑒−4𝑥
3
[6𝑥2
𝑥3 + 1−6
𝑥+ 4]
En los problemas del 13 a 20, determine y’.
18. 𝒚 = (𝒙𝟐 + 𝟏)𝒙+𝟏
Aplicamos el logaritmo natural a los dos lados
𝑙𝑛𝑦 = ln(𝑥2 + 1)𝑥+1
Aplicamos las propiedades de los logarítmos
ln 𝑦 = (𝑥 + 1) ln(𝑥2 + 1)
Calculamos la derivada. En el lado izquierdo es la derivada de la función implícita
𝑦′
𝑦= (𝑥 + 1)
2𝑥
𝑥2 + 1+ ln(𝑥2 + 1) (1)
Despejamos 𝑦´ y reemplazamos el valor de 𝑦
𝑦′ = 𝑦 [2𝑥(𝑥 + 1)
𝑥2 + 1+ ln(𝑥2 + 1)]
𝑦′ = (𝑥2 + 1)𝑥+1 [2𝑥(𝑥+1)
𝑥2+1+ ln (𝑥2 + 1)]
112
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3 RECTAS PARÁBOLAS Y
SIST. DE ECUACIONES
INDICE
4 FUNCIÓN EXPONENCIAL
Y LOGARITMICA
6 ÁLGEBRA
MATRICIAL
7 PROGRAMACIÓN
LINEAL
10 LIMITES Y
CONTINUIDAD
11 DIFERENCIACIÓN
12 TEMAS
ADICIONALES DE
DIFERENCIACIÓN
13 TRAZADO DE
CURVAS
14 INTEGRACIÓN
19. 𝒚 = 𝟒𝒆𝒙 𝒙𝟑𝒙
Aplicamos las propiedades de los logaritmos, se tiene:
ln 𝑦 = ln4 + ln(𝑒𝑥 𝑥3𝑥 ) = ln 4 + ln 𝑒𝑥 + ln 𝑥3𝑥
𝑙𝑛𝑦 = 𝑙𝑛 4 + 𝑥 + 3𝑥 𝑙𝑛 𝑥.
Calculamos la derivada
1
𝑦𝑦´ = 0 + 1 + 3 [𝑥 (
1
𝑥) + (𝑙𝑛 𝑥)(1)]
Despejamos 𝑦´
𝑦′ = 𝑦(4 + 3 𝐼𝑛 𝑥 )
Reemplazamos el valor de 𝑦
𝑦′ = 4𝑒𝑥 𝑥3𝑥 (4 + 3 𝑙𝑛 𝑥)
23. Encuentre una ecuación de la recta tangente a 𝒚 = (𝒙 + 𝟏)(𝒙 + 𝟐)𝟐 (𝒙 + 𝟑)𝟐 en el punto
donde x=0.
Aplicando las propiedades de los logaritmos a la función 𝑦 = (𝑥 + 1)(𝑥 + 2)2 (𝑥 + 3)2 se
tiene:
𝑙𝑛 𝑦 = 𝑙𝑛 (𝑥 + 1) + 2 𝑙𝑛(𝑥 + 2) + 2 𝑙𝑛 (𝑥 + 3).
Calculando la derivada de las funciones logarítmicas tenemos:
𝑦´
𝑦=
1
𝑥+1+
2
𝑥+2+
2
𝑥+3 ⟹ 𝑦′ = 𝑦 [
1
𝑥+1 +
2
𝑥+2+
2
𝑥+3] = 𝑚 = 𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒
Calculamos el punto por donde pasa la recta:
Si 𝑥 = 0 ⟹ 𝑦 = (0 + 1)(0 + 2)2(0 + 3)2 = 36 ⟹ 𝑃1(𝑥1, 𝑦1) = (0,36)
Calculamos la pendiente m:
Si 𝑥 = 0 ⟹ 𝑦′ = 36 [1
0+1 +
2
0+2+
2
0+3] = 96 = 𝑚 = 𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒
Por último aplicando la ecuación punto-pendiente se tiene:
𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1)
𝑦 − 36 = 96(𝑥 − 0) ⟹ 𝑦 = 96𝑥 + 36.
113
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24. Encuentre una ecuación de la recta tangente a la gráfica de 𝒚 = 𝒙𝒙. En el punto en donde
𝒙 = 𝟏
Calculamos la derivada
𝑦 = 𝑥𝑥
ln 𝑦 = 𝑥 ln 𝑥
𝑦′
𝑦= 𝑥.
1
𝑥+ (ln𝑥)(1) = 1 + ln𝑥
𝑦′ = 𝑦(1 + ln 𝑥) = 𝑥𝑥(1 + ln 𝑥)
Calculamos la pendiente
𝑚 = 𝑦′
Si 𝑥 = 1 y 𝑦 = 1 ⇒ 𝑚 = 11(1 + ln 1)
𝑚 = 1(1 + 0) = 1
Calculamos la ecuación de la recta mediante la forma Punto- pendiente
Ecuación punto-pendiente
𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1)
𝑦 − 1 = 1(𝑥 − 1)
𝑦 − 1 = 𝑥 − 1
𝑦 = 𝑥
114
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12.7 Derivadas de orden superior
Problemas 12.7 Página 560. Ejercicios:7, 14
En los problemas de 1 a 20, encuentre las derivadas indicadas.
7. 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 𝒍𝒏 𝒙 , 𝒇 ´ ´(𝒙)
Calculamos la primera derivada utilizando la regla del producto
Si 𝑓(𝑥) = 𝑥2 𝑙𝑛 𝑥 ⟹ 𝑓´(x) = 𝑥2 (1
𝑥) + (𝑙𝑛 𝑥)(2𝑥)
𝑓´ = 𝑥(1 + 2 𝑙𝑛 𝑥 )
Calculamos la segunda derivada mediante la regla del producto
Si 𝑓´ = 𝑥(1 + 2 𝑙𝑛 𝑥 ) ⟹ 𝑓´´(𝑥) = 𝑥 (2
𝑥) + (1 + 2 𝑙𝑛 𝑥 )(1)
𝑓´´(𝑥) = 3 + 2 𝑙𝑛 𝑥
14. 𝒚 = (𝟑𝒙 + 𝟕)𝟓, 𝒚 ´´
Calculamos la primera derivada. Utilizamos la regla de la potencia
Si 𝑦 = (3𝑥 + 7)5 entonces:
𝑦′ = 5 (3𝑥 + 7)4(3) = 15(3𝑥 + 7)4
Calculamos la segunda derivada, nuevamente usamos la regla de la potencia
Si 𝑦′ = 15(3𝑥 + 7)4 entonces.
𝑦´´ = 15(4)(3𝑥 + 7)3(3) = 180(3𝑥 + 7)3
115
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CAPÍTULO 13 TRAZADO DE CURVAS 13.1 Extremos relativos
Problemas 13.1 Páginas 576-578. Ejercicios: 15, 38, 68
En los problemas 9 a 52, determine cuando la función es creciente o decreciente, y determine la
posición de los máximos y mínimos relativos. No trace la gráfica.
15. 𝒚 = 𝒙𝟒 − 𝟐𝒙𝟐
Calculamos la derivada
𝑦´ = 𝑓´(𝑥) = 4𝑥3 – 4𝑥 = 4𝑥 (𝑥2 – 1) = 4𝑥 (𝑥 + 1)(𝑥 − 1)
Calculamos los valores extremos de los intervalos con 𝑓´(𝑥) = 0.
𝑓´(𝑥) = 4𝑥 (𝑥 + 1)(𝑥 − 1) = 0 ⟹ 𝑥 = 0, 𝑥 = 1, 𝑥 = −1
Establecemos los intervalos correspondientes a los valores extremos
Establecemos los signos de la función para cada intervalo.
-1 0 1
4𝑥 - - + +
(𝑥 + 1) - + + + (𝑥 − 1) - - - + 𝑓′(𝑥) - + - +
𝑓(𝑥)
Establecemos las conclusiones en base a los resultados anteriores:
- 𝑓 es decreciente en (−∞,−1) y (0,1)
- 𝑓 es creciente en (−1,0) y (1,∞).
- 𝑓 tiene máximo relativo en 𝑥 = 0 y mínimo relativo en 𝑥 = 1 y 𝑥 = −1.
38. 𝒚 =𝟐𝒙𝟐
𝟒𝒙𝟐−𝟐𝟓
Calculamos la derivada
𝑦′ = 𝑓′(𝑥) =(4𝑥2 − 25)(4𝑥) − (2𝑥2)(8𝑥)
(4𝑥2 − 25)2=
−100𝑥
(4𝑥2 − 25)2=
−100𝑥
(2𝑥 − 5)2(2𝑥 + 5)2
Calculamos los valores extremos de los intervalos con 𝑓´(𝑥) = 0.
(-∞,-
)
(-1,0) (0,1) (1,+∞)
0 1
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𝑓´(𝑥) =−100𝑥
(2𝑥−5)2(2𝑥+5)2= 0 ⟹ 𝑥 = 0, 𝑥 = −
5
2, 𝑥 =
5
2
Establecemos los intervalos correspondientes a los valores extremos
Establecemos los signos de la función para cada intervalo.
−5
2 0
5
2
−100𝑥 + + - -
(2𝑥 − 5)2 + + + + (2𝑥 + 5)2 + + + + 𝑓′(𝑥) + + - -
𝑓(𝑥)
Establecemos las conclusiones en base a los resultados anteriores:
- 𝑓 es decreciente en (0,5
2) y (
5
2, ∞)
- 𝑓 es creciente en (-∞,−5
2) y (−
5
2, 0)
- 𝑓 tiene máximo relativo en 𝑥 = 0
68. Costo marginal. Si 𝒄 = 𝟑𝒒 − 𝟑𝒒𝟐 + 𝒒𝟑 es una función de costo. ¿Cuándo es creciente el
costo marginal?
Calculamos la función de costo marginal: 𝑑𝑐
𝑑𝑞= 3 − 6𝑞 + 3𝑞2
Calculamos la derivada de la función de costo marginal: 𝑑(𝑑𝑐
𝑑𝑞)
𝑑𝑞= −6 + 6𝑞
El costo marginal es creciente si : 𝑑(𝑑𝑐
𝑑𝑞)
𝑑𝑞> 0 esto es cuando −6 + 6𝑞 > 0 ⟹𝑞 > 1.
Así, el costo marginal es creciente cuando 𝑞 > 1
(-∞,−5
2) (−
5
2, 0) (0,
5
2) (
5
2,∞)
- 5
2 0 5
2
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13.2 Extremos absolutos en un intervalo cerrado
Problemas 13.2 Páginas 580. Ejercicios: 1, 12
1. Encuentre los extremos absolutos de la función dada en el intervalo indicado
𝒇(𝒙) = −𝟐𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟑 [𝟎, 𝟑].
Calculamos los valores críticos a partir de la derivada
𝑓´(𝑥) = −4𝑥 − 2 = 0 ⟹ 𝑥 =1
2
Evaluamos 𝑓 en los extremos del intervalo y en los valores críticos
𝑓(0) = −2(0)2 − 2(0) + 3 = 3
𝑓(3) = −2(3)2 − 2(3) + 3 = −21
𝑓 (1
2) = −2(
1
2)2
− 2 (1
2) + 3 =
3
2
El valor máximo es 3 y el punto máximo es (0,3),
el valor mínimo es -21 y el punto mínimo es
(3,21). Esto se observa en la gráfica.
Los valores absolutos de la función de la función 𝑓 en el intervalo indicado se
muestran en la gráfica.
12. Encuentre los extremos absolutos de la función dada en el intervalo indicado
𝒇(𝒙) =𝒙
𝒙𝟐+𝟏 [−𝟒, 𝟒]
Los valores extremos absolutos se presentan cuando 𝑥 = −1 y 𝑥 = 1
118
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13.3 Concavidad
Problemas 13.3 Páginas 586-587. Ejercicios: 17, 25, 28, 55, 56
En los problemas 7 a 34, determine la concavidad de f y los valores de x en los que se presentan
puntos de inflexión. No trace la gráfica.
17. 𝒚 =𝒙𝟒
𝟐+𝟏𝟗𝒙𝟑
𝟔−𝟕𝒙𝟐
𝟐+ 𝒙 + 𝟓
Calculamos los posibles puntos de inflexión mediante la segunda derivada
𝑦 =𝑥4
2+19𝑥3
6−7𝑥2
2+ 𝑥 + 5
𝑦´ = 2 𝑥3 +19 𝑥2
2− 7 𝑥
+ 1 𝑦´´ = 6 𝑥2 + 19 𝑥 − 7
Se encuentra la concavidad y los posibles punto de inflexión cuando 𝑓´´(𝑥) = 0
6 𝑥2 + 19 𝑥 − 7 = 0
(3 𝑥 − 1) (2 𝑥 + 7) = 0
𝑥 = −7
2 𝑜 𝑥 =
1
3
Comprobamos la concavidad en los intervalos correspondientes
- ∞ −7
2
1
3 ∞
(3 𝑥 − 1) - - + (2 𝑥 + 7) - + + 𝑓´´(𝑥) + - + 𝑓(𝑥) ∪ ∩ ∪
𝑓´´(𝑥) > 0 ⟹ La función es Cóncava hacia arriba en [−∞,−7
2] y [
1
3, ∞]
𝑓´´(𝑥) < 0 ⟹ La función es Cóncava hacia abajo en [−7
2,1
3]
𝑓 cambia de concavidad en 𝑥 = −7
2 𝑦 𝑥 =
1
3 entonces existe punto de inflexión cuando
x toma estos valores.
25. 𝒚 =𝒙𝟐
𝒙𝟐+𝟏
Calculamos la segunda derivada : 𝒚´ =(𝒙𝟐 +𝟏)(𝟐𝒙)−𝒙𝟐 (𝟐𝒙)
(𝒙𝟐 +𝟏)𝟐 =
𝟐𝒙
(𝒙𝟐 +𝟏 )𝟐
𝒚´´ =(𝒙𝟐 +𝟏)𝟐 (𝟐)−𝟐𝒙 (𝟐) (𝒙𝟐 +𝟏)(𝟐𝒙)
(𝒙𝟐 +𝟏)𝟒 =
(𝒙𝟐 +𝟏) (𝟐)−𝟖𝒙𝟐
(𝒙𝟐 +𝟏)𝟑 =
𝟐(𝟏−𝟑𝒙𝟐 )
(𝒙𝟐 +𝟏)𝟑 =
𝟐(𝟏+ √𝟑𝒙) (𝟏−√𝟑𝒙)
(𝒙𝟐 +𝟏)𝟑
Establecemos los posibles puntos de inflexión, sus intervalos y la concavidad : 𝑥 = − 1
√3,
𝑥 = + 1
√3
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− 1
√3
1
√3
(𝟏 + √𝟑𝒙) - + +
(𝟏 − √𝟑𝒙) + + - (𝒙𝟐 + 𝟏)𝟑 + + + 𝑓′′(𝑥) - + -
𝑓(𝑥) ⋂ ⋃ ⋂ Observando los resultados de la tabla anterior se concluye:
f es cóncava hacia abajo en los intervalos (−∞,− 1
√3 ) y (
1
√3 , ∞)
f es cóncava hacia arriba en el intervalo ( − 1
√3 ,1
√3 ).
Luego, por los cambios de concavidad, existen puntos de inflexión cuando 𝑥 = ±1
√3
28. 𝒚 = 𝟑(𝒙𝟐 − 𝟐)𝟐
Calculamos los posibles puntos de inflexión mediante la segunda derivada
𝑦 = 3(𝑥2 − 2)2 𝑦´ = 12𝑥(𝑥2 − 2) 𝑦´ = 12(𝑥3 − 2𝑥) 𝑦´´ = 12(3𝑥2 − 2)
𝑦´´ = 36 (𝑥2 −2
3)
𝑦´´ = 36(𝑥 −√6
3) (𝑥 +
√6
3)
Se encuentra la concavidad y los posibles punto de inflexión cuando 𝑓´´(𝑥) = 0
36 (𝑥 −√6
3) (𝑥 +
√6
3) = 0
𝑥 = −√6
3 𝑜 𝑥 =
√6
3
Comprobamos la concavidad en los intervalos correspondientes
- ∞ −√6
3
√6
3 ∞
(𝑥 −√6
3)
- - +
(𝑥 +√6
3)
- + +
𝑓´´(𝑥) + - + 𝑓(𝑥) ∪ ∩ ∪
𝑓´´(𝑥) > 0 ⟹ La función es Cóncava hacia arriba en [−∞, −√6
3] y [
√6
3, ∞]
𝑓´´(𝑥) < 0 ⟹ La función es Cóncava hacia abajo en [−√6
3,√6
3]
𝑓 cambia de concavidad en 𝑥 = −√6
3 𝑦 𝑥 =
√6
3 entonces existe punto de inflexión
cuando x toma estos valores.
La gráfica de la función se observa a continuación
120
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14 INTEGRACIÓN
En los problemas 35 a 62 determine los intervalos en los que la función crece, decrece, es
cóncava hacia arriba, es cóncava hacia abajo; máximos y mínimos relativos; puntos de inflexión;
simetría y aquellas intersecciones que puedan obtenerse de manera conveniente. Después
bosqueje la gráfica.
55. 𝒚 = 𝟒𝒙𝟐 − 𝒙𝟒
Calculamos la primera y segunda derivada
𝑦′ = 𝑓′(𝑥) = 𝟖𝒙 − 𝟒𝒙𝟑 = 𝟒𝒙 (𝟐 − 𝒙𝟐 ) = 𝟒𝒙(√𝟐 − 𝒙)(√𝟐 + 𝒙)
𝑦´´ = 8 − 12𝑥2 = 12 [2
3− 𝑥2] = 12 (√
2
3 – 𝑥) (√
2
3 + 𝑥)
Calculamos los valores extremos de los intervalos con 𝑓´(𝑥) = 0.
𝑓´(𝑥) = 𝟒𝒙(√𝟐 − 𝒙)(√𝟐 + 𝒙) = 0 ⟹ 𝑥 = 0, 𝑥 = −√2, 𝑥 = √2
Establecemos los intervalos correspondientes a los valores extremos
Establecemos los signos de la función para cada intervalo.
−√2 0 √2
4𝑥 - - + +
(√𝟐 − 𝒙) + + + -
(√𝟐 + 𝒙) - + + +
𝑓′(𝑥) + - + - 𝑓(𝑥)
Establecemos las conclusiones en base a los resultados anteriores:
- 𝑓 es creciente en (−∞,−√2) y (0, √2)
(5
2, ∞ )
(-
∞,
(-
∞,
(−√2, 0)
−√2 0
121
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14 INTEGRACIÓN
- 𝑓 es decreciente en (−√2, 0) y (√2,∞)
- 𝑓 tiene máximo relativo en 𝑥 = −√2 y 𝑥 = √2
- f tiene mínimo relativo en 𝑥 = 0
Calculamos los posibles puntos de inflexión, intervalos y concavidad con 𝑓′′(𝑥) = 0
𝑓′′ = 12 (√2
3 – 𝑥) (√
2
3 + 𝑥) = 0 ⟹ 𝑥 = −√
2
3 , 𝑥 = √
2
3
− √
2
3 √
2
3
(√2
3 – 𝑥) + + -
(√2
3 + 𝑥)
- + +
𝑓′′(𝑥) - + - 𝑓(𝑥) ⋂ ⋃ ⋂
Observando los resultados de la tabla anterior se concluye:
f es cóncava hacia abajo en los intervalos (−∞,−√2
3 ) y ( √
2
3 , ∞)
f es cóncava hacia arriba en el intervalo ( −√2
3 , √
2
3 ).
Luego, por los cambios de concavidad, existen puntos de inflexión cuando 𝑥 = ±√2
3
Calculamos los puntos de intersección:
Si 𝑥 = 0 ⟹ 𝑦 = 4(0)2 − (0)4 = 0 ⟹ 𝑃1(0,0)
Si 𝑦 = 0 ⟹ 𝑦 = 4𝑥2 − 𝑥4 = 0 ⟹ 𝑥2(4 − 𝑥2) = 0 ⟹ 𝑥 = 0, 𝑥 = 2, 𝑥 = −2
⟹ 𝑃2(0,0) 𝑃1(−2,0) 𝑃3(2,0)
Comprobamos la simetría:
𝑓(𝑥) = 4𝑥2 − 𝑥4
𝑓(−𝑥) = 4(−𝑥)2 − (−𝑥)4 = 4𝑥2 − 𝑥4 ; como 𝑓(𝑥) = 𝑓(−𝑥) ⟹ f es función par,
por lo tanto es simétrica respecto al eje Y.
Construimos la gráfica
122
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56. 𝒚 = 𝒙𝟒 − 𝒙𝟐
Puntos de intersección
Si 𝑦 = 0 ⟹ 𝑥4 − 𝑥2 = 0 𝑥4 − 𝑥2
(𝑥 − 1) (𝑥 + 1) 𝑥2 = 0 𝑥 = 0, 𝑥 = −1, 𝑥 = 1
Si 𝑥 = 0⟹ 𝑦 = 0
𝑃2=(−1,0) 𝑃3 = (1,0) 𝑃1 = (0,0)
Valores y Puntos críticos
𝑦 = 𝑥4 − 𝑥2 𝑦´ = 4𝑥3 − 2𝑥 = 2𝑥(2𝑥2 − 1)
𝑦´ = 2𝑥(√2𝑥 + 1)(√2𝑥 − 1)
Los valores críticos se calculan con 𝑓´(𝑥) = 0
2𝑥(√2𝑥 + 1)(√2𝑥 − 1) = 0
⟹ 𝑥 = 0, 𝑥 = −1
√2 𝑥 =
1
√2
Intervalos donde la función es creciente o decreciente
- ∞ −1
√2 0
1
√2 ∞
2𝑥 - - + +
(√2𝑥 + 1) - + + +
(√2𝑥 − 1) - - - +
𝑓´(𝑥) - + - +
𝑓(𝑥)
La función es decreciente en [−∞,−1
√2] y [0,
1
√2]
La función es creciente en [−1
√2, 0] y [
1
√2, ∞]
Valores máximos y mínimos
Existe valores mínimos relativos en 𝑥 = −1
√2 𝑥 =
1
√2
Existe un valor máximo relativo en 𝑥 = 0
123
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14 INTEGRACIÓN
Concavidad y puntos de inflexión
𝑦´ = 4𝑥3 − 2𝑥 𝑦´´ = 12𝑥2 − 2 = 2(6𝑥2 − 1)
𝑦´´ = 2(√6𝑥 − 1)(√6𝑥 − 1)
Se encuentra la concavidad y un posible punto de inflexión cuando 𝑓´´(𝑥) = 0
2(√6𝑥 − 1)(√6𝑥 + 1) = 0
𝑥 = −1
√6 𝑥 =
1
√6
- ∞ −1
√6
1
√6 ∞
(√6𝑥 − 1) - - + (√6𝑥 + 1) - + + 𝑓´´(𝑥) + - + 𝑓(𝑥) ∪ ∩ ∪
𝑓´´(𝑥) > 0 ⟹ La función es Cóncava hacia arriba en [−∞,−1
√6] y [
1
√6,∞]
𝑓´´(𝑥) < 0 ⟹ La función es Cóncava hacia abajo en [−1
√6,1
√6]
𝑓 cambia de concavidad en 𝑥 = −1
√6 𝑦 𝑥 =
1
√6 entonces existe punto de inflexión
cuando x toma estos valores.
Puntos de inflexión
Si 𝑥 = −1
√6 𝑓 (−
1
√6) = (−
1
√6)4 − (−
1
√6)2= −
5
36 ⟹ (−
1
√6, −
5
36)
Si 𝑥 =1
√6 𝑓 (
1
√6) = (
1
√6)4 − (
1
√6)2= −
5
36 ⟹ (
1
√6, −
5
36)
124
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13.4 Prueba de la segunda derivada
Problemas 13.4 Página 589. Ejercicios: 12, 14
Realice la prueba para máximos y mínimos en los problemas 1 a 14. En caso de ser posible, use
la prueba de la segunda derivada. En los problemas 1 a 4, establezca si los extremos relativos
son también extremos absolutos
12. 𝒚 =𝟓𝟓
𝟐𝒙𝟑 − 𝒙𝟐 − 𝟐𝟏𝒙 − 𝟑
Calculamos la primera derivada
𝑦´ = 55𝑥2 − 2𝑥 − 21 = (5𝑥 + 3)(11𝑥 − 7)
Calculamos los valores extremos mediante 𝑓´(𝑥) = 0
(5𝑥 + 3)(11𝑥 − 7) = 0 ⟹ 𝑥 = −3
5 𝑥 =
7
11
Calculamos la segunda derivada
𝑦´´ = 110𝑥 − 2
Comprobamos el signo de 𝑓´´ en los valores extremos.
𝑦´´ (−3
5) = 110 (−
3
5)2 = −68 < 0 ⟹ Existe un máximo relativo cuando x = −
3
5
𝑦´´ (7
11) = 110 (
7
11) − 2 = 68 > 0 ⟹ Existe un mínimo relativo cuando x = −
3
5
14. 𝑦 = −𝑥3 + 3𝑥2 + 9𝑥 − 2
Calculamos la primera derivada: 𝑦 = −𝑥3 + 3𝑥2 + 9𝑥 − 2
⟹ y´ = f´(x) = −3𝑥2 + 6𝑥 + 9 = −3(𝑥2 − 2𝑥 − 3)𝑦´ = −3(𝑥 − 3)(𝑥 + 1)
Hallamos valores extremos: 𝑓´(𝑥) = 0 = −3(𝑥 − 3)(𝑥 + 1) ⟹ 𝑥 = 3, 𝑥 = −1
Calculamos la segunda derivada: 𝑦´ = −3𝑥2 + 6𝑥 + 9 ⟹ y´ = −6𝑥 + 6
Aplicamos el criterio de la segunda derivada: 𝑦´´(−1) = 12 > 0 ⟹ Mínimo relativo cuando
𝑥 = −1
𝑦´´(3) = −12 < 0 ⟹ Máximo relativo cuando 𝑥 = 3
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13.6 Aplicación de Máximos y mínimos
Problemas 13.6 Páginas 607-611. Ejercicios: 5, 13, 16, 20
En esta serie de problemas, a menos que se especifique otra cosa, p es el precio por unidad y q
la producción por unidad de tiempo. Los costos fijos se refieren a costos que permanecen
constantes bajo todo nivel de producción en un período dado (un ejemplo es la renta)
5. Costo promedio. Un fabricante determina que el costo total, c, de producir un artículo está
dado por la función de costo 𝑪 = 𝟎. 𝟎𝟓𝒒𝟐 + 𝟓𝒒 + 𝟓𝟎𝟎. ¿Para qué nivel de producción será
mínimo el costo promedio por unidad?
Determinamos el costo promedio por unidad: 𝑐̅ =𝐶
𝑞 = 0.05𝑞 + 5 +
500
𝑞
Calculamos la derivada del costo por unidad para determinar valores extremos:
𝑐̅´ = 0.05 − 500
𝑞2 ⟹ 𝑐̅´ = 0 = 0.05 −
500
𝑞2 ⟹ 𝑞 = −100, 𝑞 = 100
El único valor será 𝑞 = 100 ya que el número de unidades producidas no puede ser
negativo.
Calculamos la segunda derivada para determinar valores máximos o mínimos.
𝑐̅´ = 0.05 − 500
𝑞2 ⟹ 𝑐̅´´ =
1000
𝑞3
Si 𝑞 = 100 ⟹ 𝑐̅´´(𝑞) = 1000
𝑞3 > 0 ⟹ 𝑐̅ es mínimo cuando se producen 100 unidades.
13. Utilidad. Para el producto de un monopolista la ecuación de demanda es 𝒑 = 𝟒𝟐 − 𝟒𝒒 y la
función de costo promedio es �̅� = 𝟐 + 𝟖𝟎
𝒒. Encuentre el precio que maximiza la utilidad.
Calculamos el costo total: 𝐶 = 𝑐̅(𝑞) = (2 +80
𝑞) 𝑞 = 2𝑞 + 80
Calculamos la función de utilidad:
Utilidad = ingreso total- costo total ⟹
𝑈 = 𝑝𝑞 − 𝐶 = (42 − 𝑞)𝑞 − (2𝑞 + 80) = −(4𝑞2 – 40𝑞 + 80)
Calculamos la derivada de la utilidad: 𝑈´ = −(8𝑞 − 40)
Los valores extremos se presentan cuando 𝑈´(𝑞) = 0 ⟹ −(8𝑞 − 40) = 0 ⟹ 𝑞 = 5
Mediante la segunda derivada establecemos si se trata de valor máximo o mínimo.
𝑈´ = −(8𝑞 − 40) ⟹ 𝑈´´ = −8 < 0 ⟹ 𝑞 = 5 es un valor máximo.
Calculamos el precio que maximiza la utilidad: 𝑝 = 42 − 4(𝑞) = 42 − 4(5) = $22
16. Costo: Un fabricante ha determinado que para cierto producto, el costo promedio (en
dólares por unidad) está dado por �̅� = 𝟐𝒒𝟐 − 𝟒𝟐𝒒 + 𝟐𝟐𝟖 + 𝟐𝟏𝟎
𝒒. Donde 𝟑 ≤ 𝒒 ≤ 𝟏𝟐.
126
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(a) ¿A que nivel dentro del intervalo [𝟑, 𝟏𝟐] debe fijarse la producción para minimizar el costo
total? ¿Cuál es el costo total mínimo?
Calculamos el costo total y su derivada para encontrar valores extremos:
𝐶 = (𝑐̅)𝑞 = (2𝑞2 − 42𝑞 + 228 + 210
𝑞) 𝑞 = 2𝑞3 − 42𝑞2 + 228𝑞 + 210
𝐶´ = 6𝑞2 − 84𝑞 + 228 = 6(𝑞2 − 14𝑞 + 38) = 0 luego, aplicando la fórmula cuadrática:
𝑞 = 7 − √11 ≈ 3, 68 o tambien 𝑞 = 7 + √11𝑞 ≈ 10, 32
Evaluamos 𝐶(𝑞) para los valores calculados de 𝑞, dentro del intervalo [3, 12]
𝐶(3 ) = 2(3)3 − 42(3 )2 + 228(3 ) + 210 = 570
𝐶(10 ) = 2(10)3 − 42(10 )2 + 228(10 ) + 210 = 290
𝐶(11 ) = 2(11)3 − 42(11 )2 + 228(11 ) + 210 = 570
𝐶(12 ) = 2(12)3 − 42(12 )2 + 228(12 ) + 210 = 354
Se observa que el costo mínimo ocurre cuando 𝑞 = 7 + √11 ≈ 10 unidades
(b) Si la producción tuviese que encontrarse dentro del intervalo [𝟕, 𝟏𝟐], ¿Qué valor de 𝒒
minimizara el costo total?
Comprobamos para los valores dentro del intervalo [7, 12], por ejemplo:
𝐶(7 ) = 2(7)3 − 42(7)2 + 228(7 ) + 210 = 434
La producción sigue siendo mínima cuando la producción es de 10 unidades.
20. Utilidad. Un fabricante de un producto encuentra que para las primeras 600 unidades que
produce y vende, la utilidad es de $40 por unidad. La utilidad por cada unidad producida más
allá de 600 disminuye en $0.05 por cada unidad adicional producida. Por ejemplo, la utilidad
total cuando produce y vende 602 unidades es 600(40)+2(39.90).¿qué nivel de producción
maximizara la utilidad?
Establecemos la utilidad(U) como función del número de unidades producidas(q):
Utilidad por los 600 unidades: 600(40)=24000
Utilidad adicional: (40-0.5q)q
⟹ 𝑈(𝑞) = 600(40) + (40 − 0.5𝑞)𝑞 = 2400 + 40𝑞 − 0.5𝑞2
Calculamos la primera derivada para calcular valores extremos:
𝑈′(𝑞) = 40 − 0.1𝑞 = 0 ⟹ 𝑞 = 400
Utilizamos el criterio de la segunda derivada para verificar si el valor obtenido es máximo o
mínimo:
𝑈′(𝑞) = 40 − 0.1𝑞 ⟹ 𝑈′′(𝑞) = −0.1 < 0 ⟹ se tiene una utilidad máxima cuando 𝑞 =
400
Por último, el número total de unidades será 600+400=1000
127
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CAPÍTULO 14 INTEGRACIÓN 14.1 Diferenciales
Problemas 14.1 Páginas 622-623. Ejercicios: 4, 10, 37, 38
En los problemas 1 a 10, encuentre la diferencial de la función en términos de x y dx.
4. 𝒇(𝒙) = (𝟒𝒙𝟐 − 𝟓𝒙+ 𝟐)𝟑
Según la fórmula de la diferencial 𝑑𝑦 = 𝑓´(𝑥)𝑑𝑥 debemos calcular 𝑓´(𝑥)
𝑓´(𝑥) = 3(4 𝑥2 − 5 𝑥 + 2)2(8𝑥 − 5) = (24 𝑥 − 15) (4 𝑥2 − 5 𝑥 + 2)2
Reeemplazamos en la fórmula
𝑑𝑦 = (24 𝑥 − 15) (4 𝑥2 − 5 𝑥 + 2)2𝑑𝑥
10. 𝒚 = 𝒍𝒏√𝒙𝟐 + 𝟏𝟐
Expresamos la función en forma más conveniente: 𝑦 =1
2𝑙𝑛(𝑥2 + 12)
Calculamos la derivada: 𝑦´ =𝑑𝑦
𝑑𝑥=1
2
1
(𝑥2+12)(2𝑥) =
𝑥
𝑥2+12
Reemplazamos en la fórmula de la diferencial de y: 𝑑𝑦 = 𝑓´(𝑥)𝑑𝑥
𝑑𝑦 = 𝑓´(𝑥)𝑑𝑥
𝑑𝑦 =𝑥
𝑥2+12𝑑𝑥
37. Utilidad Suponga que la utilidad (en dólares) al producir 𝒒 unidades de un producto es 𝑷 =
𝟑𝟗𝟕𝒒 − 𝟐. 𝟑𝒒𝟐 − 𝟒𝟎𝟎. Por medio de diferenciales, encuentre el cambio aproximado en la
utilidad, si el nivel de producción cambia de 𝒒 = 𝟗𝟎 a 𝒒 = 𝟗𝟏. Encuentre el cambio verdadero.
Calculamos el cambio aproximado si 𝑃 = 397𝑞 − 2.3𝑞2 − 400, 𝑞 = 90, 𝑑𝑞 = 1
Por definición se tiene: ∆𝑃 ≈ 𝑑𝑃 = 𝑃′𝑑𝑞 = (397 − 4.6 𝑞 )𝑑𝑞
Luego, para 𝑞 = 90, 𝑑𝑞 = 1 ⟹ 𝑑𝑝 = (397 − 4.6(90))(1) = −17
Calculamos el cambio verdadero
∆𝑃 = 𝑃(91) − 𝑃(90) = 16680.7 − 16700.0 = −19.3
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38. Ingreso. Dada la función de ingreso 𝒓 = 𝟐𝟓𝟎𝒒 + 𝟒𝟓𝒒𝟐 − 𝒒𝟑. Use diferenciales para
encontrar el cambio aproximado en el ingreso, si el número de unidades se incrementa de q=40
a q=41. Encuentre el cambio verdadero.
Cambio aproximado
Si 𝑟 = 250𝑞 + 45𝑞2 − 𝑞3 𝑟´ = 250 − 90𝑞 + 3𝑞2
𝑑𝑟 = 𝑟´(𝑞). 𝑑𝑞
𝑑𝑟 = (250 + 90𝑞 − 3𝑞2)𝑑𝑞
∆𝑞 = 41 − 40 = 1 ≈ 𝑑𝑞
Cuando 𝑞 = 40 , 𝑑𝑞 = 1
𝑑𝑟 = (250 + 90(40) − 3(40)2)(1) = −950
Cambio verdadero
𝑟(41) = 250(41) + 45(41)2 − (41)3 = 16974
𝑟(40) = 250(40) + 45(40)2 − (40)3 = 18000
𝑟(41) − 𝑟(40) = 16974 − 18000 = −1026
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14.2 La integral indefinida
Problemas 14.2 Páginas 628-629. Ejercicios: 9, 15, 22, 33, 37, 39, 41, 49.
En los problemas 1 a 52, encuentre las integrales indefinidas.
9. ∫𝟏
𝐭𝟕/𝟒𝒅𝒕
Está claro que debemos utilizar la fórmula ∫ 𝑥𝑛𝑑𝑥 =𝑥𝑛+1
𝑛+1+ 𝐶. Así se tiene:
∫1
t7/4𝑑𝑡 = ∫ 𝑡−
74 𝑑𝑡 =
𝑡−34
−34
+ 𝑐 = −4
3𝑡34
+ 𝑐
15. ∫(𝟑𝒕𝟐 − 𝟒𝒕 + 𝟓)𝒅𝒕
Iniciamos aplicando las fórmulas (5) y (6) de las reglas básicas
∫(3𝑡2 − 4𝑡 + 5)𝑑𝑡 = 3∫𝑡2𝑑𝑡 − 4∫𝑡𝑑𝑡 + 5∫𝑑𝑡
Ahora resolvemos las integrales individuales
= 3.𝑡3
3− 4
𝑡2
2+ 5𝑡 + 𝑐 = 𝑡3 − 2𝑡2 + 5𝑡 + 𝑐
22. ∫ (𝑒𝑥
3+ 2𝑥) 𝑑𝑥
Iniciamos distribuyendo la integral
∫ (𝑒𝑥
3+ 2𝑥) 𝑑𝑥 =
1
3 ∫ 𝑒𝑥 𝑑𝑥 + 2 ∫ 𝑥 𝑑𝑥
Calculando las integrales individuales se tiene:
1
3 ∫ 𝑒𝑥 𝑑𝑥 + 2 ∫ 𝑥 𝑑𝑥 =
1
3 𝑒𝑥 + 2 .
𝑥2
2 + 𝐶 =
𝑒𝑥
3 + 𝑥2 + 𝐶
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33. ∫𝟑𝒖−𝟒
𝟓𝒅𝒖
Sacamos la constante 1/5 y distribuimos la integral
∫3𝑢−4
5 𝑑𝑢 =
1
5∫3𝑢𝑑𝑢 −
1
5∫4𝑑𝑢
Ahora calculamos las integrales individuales
1
5∫3𝑢𝑑𝑢 −
1
5∫4𝑑𝑢 =
1
5(3𝑢2
2) −
1
5(4u) + 𝐶
=3
10𝑢2 −
4
5𝑢 + 𝐶
37. ∫(𝟐√𝒙 − 𝟑√𝒙𝟒)𝒅𝒙
Es conveniente expresar en la forma exponencial
∫(2√𝑥 − 3√𝑥4)𝑑𝑥 = ∫ (2𝑥
12 − 3𝑥
14) 𝑑𝑥
Distribuimos la integral
∫ (2𝑥12 − 3𝑥
14) 𝑑𝑥 = 2∫𝑥
12 𝑑𝑥 − 3∫𝑥
14 𝑑𝑥
Resolviendo las integrales individuales se tiene:
2∫𝑥12 𝑑𝑥 − 3∫𝑥
14 𝑑𝑥 = 2.
𝑥32
32
− 3.𝑥54
54
+ 𝐶
=4𝑥
32
3−12𝑥
54
5+ 𝐶
39. ∫ (−√𝒙𝟐𝟑
𝟓−
𝟕
𝟐√𝒙+ 𝟔𝒙)𝒅𝒙
Para éste problema es conveniente expresar los radicales en la forma exponencial y luego
aplicar las fórmulas básicas de integración
∫(−√𝑥23
5−
7
2√𝑥+ 6𝑥)𝑑𝑥 = ∫(−
𝑥23
5−7𝑥−
12
2+ 6𝑥) 𝑑𝑥
Distribuimos la integral y sacamos las constantes
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∫(−𝑥23
5−7𝑥−
12
2+ 6𝑥)𝑑𝑥 = −
1
5∫𝑥
23𝑑𝑥 −
7
2∫𝑥−
12𝑑𝑥 + 6∫𝑥 𝑑𝑥
Resolvemos las integrales individuales
−1
5∫𝑥
23𝑑𝑥 −
7
2∫𝑥−
12𝑑𝑥 + 6∫𝑥 𝑑𝑥 = −
1
5.𝑥53
53
−7
2.𝑥12
12
+ 6.𝑥2
2+ 𝐶
= −3𝑥
53
25− 7𝑥
12 + 3𝑥2 + 𝐶
41. ∫(𝒙𝟐 + 𝟓)(𝒙 − 𝟑)𝒅𝒙
No existe una fórmula para la integración de un producto, por lo tanto multiplicamos los
binomios
∫(𝑥2 + 5)(𝑥 − 3)𝑑𝑥= ∫ (𝑥3 − 3𝑥2 + 5𝑥 − 15)𝑑𝑥
Ahora distribuimos la integral
∫(𝑥3 − 3𝑥2 + 5𝑥 − 15)𝑑𝑥 = ∫𝑥3 𝑑𝑥 + 5∫𝑥 𝑑𝑥 − 15∫𝑑𝑥
Calculamos las integrales individuales
∫𝑥3 𝑑𝑥 − 3∫𝑥2 + 5∫𝑥 𝑑𝑥 − 15∫𝑑𝑥 =𝑥4
4− 3 ∙
𝑥3
3+ 5 ∙
𝑥2
2− 15𝑥 + 𝐶
=𝑥4
4− 𝑥3 +
5𝑥2
2− 15𝑥 + 𝐶
49. ∫𝒛𝟒+𝟏𝟎𝒛𝟑
𝟐𝒛𝟐𝒅𝒛
Distribuimos el denominador para obtener integrales sencillas
∫𝑧4 + 10𝑧3
2𝑧2𝑑𝑧 =
1
2∫(𝑧4
𝑧2+10𝑧3
𝑧2)𝑑𝑧
=1
2∫(𝑧2 + 10𝑧) 𝑑𝑧
=1
2(𝑧3
3+ 10.
𝑧2
2) + 𝐶
=𝑧3
6+5𝑧2
2+ 𝐶
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14.3 Integración con condiciones iniciales
Problemas 14.3 Página 633. Ejercicios: 5, 7, 10, 12, 14, 15
En los problemas 5 a 8, encuentre y sujeta a las condiciones dadas
5. 𝒚′′ = −𝟑𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 𝒚′(𝟏) = 𝟐 𝒚(𝟏) = 𝟑
Calculamos la primera derivada integrando la función y′′ = −3𝑥2 + 4𝑥, así:
∫𝑦′′ = 𝑦′ ⟹ 𝑦′ = ∫(−3𝑥2 + 4𝑥) 𝑑𝑥 = −𝑥3 + 2𝑥2 + 𝐶1
Calculamos el valor de la constante 𝐶1:
Si 𝑦′(1) = 2 ⟹ 2 = −1 + 2 + 𝐶1 ⟹ 𝐶1 = 1
Luego, 𝑦′ = −𝑥3 + 2𝑥2 + 1
Calculamos la función 𝑦 integrando la función 𝑦′ = −𝑥3 + 2𝑥2 + 1:
∫𝑦′ = 𝑦 ⟹ 𝑦 = ∫(−𝑥3 + 2𝑥2 + 1) 𝑑𝑥) = −𝑥4
4+2𝑥3
3+ 𝑥 + 𝐶2
Calculamos el valor de la constante 𝐶2:
Si 𝑦(1) = 3 ⟹ 3 = −1
4+2
3+ 1 + 𝐶2 ⟹ 𝐶2 =
19
12
Luego, 𝑦 = −𝑥4
4+2𝑥3
3+ 𝑥 +
19
12
7. 𝒚´´´ = 𝟐𝒙, 𝒚´´(−𝟏) = 𝟑, 𝒚´(𝟑) = 𝟏𝟎, 𝒚(𝟎) = 𝟏𝟑
Calculamos la segunda derivada integrando la función 𝒚´´´ = 𝟐𝒙
∫𝑦´´´ = 𝑦´´ ⟹ 𝑦´´ = ∫2𝑥𝑑𝑥 = 𝑥2 + 𝑐1
Como 𝑦´´(−1) = 3 ⟹ 3 = (−1)2 + 𝑐1 ⟹ 𝑐1 = 2
Luego se tiene: 𝑦´´ = 𝑥2 + 2
Calculamos la primera derivada integrando la función 𝑦´´ = 𝑥2 + 2
∫𝑦´´ = 𝑦´ ⟹ 𝑦´ = ∫(𝑥2 + 2)𝑑𝑥 =𝑥3
3+ 2 𝑥 + 𝑐2
Como 𝑦´(3) = 10 ⟹ 10 =33
3+ 2(3) + 𝑐2 ⟹ 𝑐2 = −5
Luego se tiene: 𝑦´ =𝑥3
3+ 2 𝑥 − 5
Calculamos 𝑦 integrando la función 𝑦´ =𝑥3
3+ 2 𝑥 − 5
∫𝑦´ = 𝑦 ⟹ 𝑦 = ∫(𝑥3
3+ 2 𝑥 − 5)𝑑𝑥 =
𝑥4
12+ 𝑥2 − 5 𝑥 + 𝑐3
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Como 𝑦(0) = 13 ⟹ 13 =04
12+ 02 − 5 (0) + 𝑐3 ⟹ 𝑐3 = 13
Así resulta
𝑦 =𝑥4
12+ 𝑥2 − 5 𝑥 + 13
En los problemas 9 a 12 , dr/dq es una función de ingreso marginal, encuentre la función de
demanda.
10. 𝒅𝒓
𝒅𝒒= 𝟏𝟎 −
𝟏
𝟏𝟔𝒒
La función de ingreso se obtiene calculando la integral de la función de ingreso marginal,
así:
𝑟 = ∫𝑑𝑟
𝑑𝑞= ∫(10 −
1
16𝑞)𝑑𝑞 = 10𝑞 −
1
32𝑞2 + 𝐶
Si 𝑞 = 0 ⟹ 𝐶 = 0 luego, la función de ingreso es:
𝑟 = 10𝑞 −1
32𝑞2
Función de demanda
Si 𝑟 = 𝑝𝑞 ⟹ 𝑝 =𝑟
𝑞=10𝑞−
1
32𝑞2
𝑞= 10 −
1
32𝑞
12. 𝑑𝑟
𝑑𝑞= 5000 − 3(2𝑞 + 2𝑞3)
Calculamos la función de ingreso a partir del ingreso marginal 𝑑𝑟
𝑑𝑞= 5000 − 3(2𝑞 + 2𝑞3)
∫ 𝑑𝑟
𝑑𝑞= 𝑟 ⟹ 𝑟 = ∫(5000 − 6𝑞 − 6𝑞3)𝑑𝑞 ⟹ 𝑟 = 5000𝑞 − 3𝑞2 −
3𝑞4
2+ 𝐶
Calculamos el valor de la constante 𝐶, asignando la condición inicial 𝑟(0) = 0, es decir el
ingreso de 𝑞 = 0 unidades es 𝑟 = 0.
Si 𝑟(0) = 0 ⟹ 0 = 5000(0) − 3(0)2 −3(0)4
2 ⟹ 𝐶 = 0
Calculamos la función de demanda a partir de la función de ingreso, así:
𝑟 = 𝑝𝑞 ⟹ 𝑝 =𝑟
𝑞= 5000 − 3𝑞2 −
3𝑞3
2
En los problemas 13 a 16, 𝒅𝒄
𝒅𝒒 es una función de costo marginal y los costos fijos están indicados
entre llaves. Para los problemas 13 y 14, encuentre la función de costo total. En los problemas
15 y 16 encuentre el costo total para el valor indicado de q.
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SIST. DE ECUACIONES
INDICE
4 FUNCIÓN EXPONENCIAL
Y LOGARITMICA
6 ÁLGEBRA
MATRICIAL
7 PROGRAMACIÓN
LINEAL
10 LIMITES Y
CONTINUIDAD
11 DIFERENCIACIÓN
12 TEMAS
ADICIONALES DE
DIFERENCIACIÓN
13 TRAZADO DE
CURVAS
14 INTEGRACIÓN
14. 𝒅𝒄
𝒅𝒒= 𝟐𝒒 + 𝟕𝟓; {𝟐𝟎𝟎𝟎}
A partir de la función de Función de Costo marginal
𝑑𝑐
𝑑𝑞= 2𝑞 + 75
Calculamos la función de costo total
𝑐 = ∫𝑑𝑐
𝑑𝑞
𝑐 = ∫(2𝑞 + 75)𝑑𝑞 = 𝑞2 + 75𝑞 + 𝐶
Si 𝑞 = 0 entonces 𝐶 = 2000, luego la función de costo total es:
𝑐 = 𝑞2 + 75𝑞 + 2000.
15. 𝒅𝒄
𝒅𝒒= 𝟎. 𝟎𝟖𝒒𝟐 − 𝟏, 𝟔𝒒 + 𝟔, 𝟓; [𝟖𝟎𝟎𝟎]; 𝒒 = 𝟐𝟓
Calculamos la función de costo a partir del costo marginal : 𝑑𝑐
𝑑𝑞= 0.08𝑞2 − 1,6𝑞 + 6,5
∫𝑑𝑐
𝑑𝑞= 𝑐 ⟹ 𝑐 = ∫(0.08𝑞2 − 1,6𝑞 + 6,5)𝑑𝑞 ⟹ 𝑐 =
0,08
3𝑞3 − 0,8𝑞2 + 6,5𝑞 + 𝐶1
Calculamos el valor de la constante C1 con la condición inicial 𝑐(0) = 8000 (costo fijo)
𝑐(0) =0,08
3(0)3 − 0,8(0)2 + 6,5(0) + 𝐶1 = 8000 ⟹ 𝐶1 = 8000
Luego, 𝑐 =0,08
3𝑞3 − 0,8𝑞2 + 6,5𝑞 + 8000
Calculamos el costo total si 𝑞 = 25
𝑐(25) =0,08
3(25)3 − 0,8(25)2 + 6,5(25) + 8000
𝑐(25) = 80791
6 ≈ $8079,17
135
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ALGEBRA
1 APLICACIONES Y
MÁS ALGEBRA
2 FUNCIONES
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Y LOGARITMICA
6 ÁLGEBRA
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LINEAL
10 LIMITES Y
CONTINUIDAD
11 DIFERENCIACIÓN
12 TEMAS
ADICIONALES DE
DIFERENCIACIÓN
13 TRAZADO DE
CURVAS
14 INTEGRACIÓN
14.4 Más fórmulas de integración
Problemas 14.4 Páginas 639-640. Ejercicios: 14, 26, 34, 44, 49, 52, 57 68
En los problemas 1 a 80, encuentre las integrales indefinidas
14. ∫9𝑥√1 + 2𝑥2 𝑑𝑥
Transformando a una potencia se tiene:
∫9𝑥√1 + 2𝑥2 𝑑𝑥 = 9∫(1 + 2𝑥2)12 [𝑥𝑑𝑥]
Se nota que debemos resolver mediante la fórmula de la integral de una potencia:
∫𝑢𝑛 𝑑𝑢 =𝑢𝑛+1
𝑛+1+ 𝐶, ya que es posible determinar la función 𝑢 y su diferencial 𝑑𝑢 de la
siguiente forma: 𝑢 = 1 + 2𝑥2 𝑑𝑢 = 4𝑥𝑑𝑥
Realizando operaciones se tiene:
∫9𝑥√1 + 2𝑥2 𝑑𝑥 =9
4∫(1 + 2𝑥2)
12 [4𝑥𝑑𝑥]
=9
4∫𝑢
12 𝑑𝑢 =
9
4.𝑢32
32
+ 𝐶
Reeemplazamos el valor de 𝑢
∫9𝑥√1 + 2𝑥2 𝑑𝑥 =9
4.𝑢32
32
+ 𝐶
=9
4.(1 + 2𝑥2)
12
32
+ 𝐶 =3(1 + 2𝑥2)
32
2+ 𝐶
26. ∫𝟏𝟐𝒙𝟐+𝟒𝒙+𝟐
𝒙+𝒙𝟐+𝟐𝒙𝟑𝒅𝒙
La fórmula a aplicar es ∫1
𝑢𝑑𝑢 = ln(𝑢) + 𝐶, para lo cual se establece
𝑢 = 𝑥 + 𝑥2 + 2𝑥3 𝑑𝑢 = (1 + 2𝑥 + 6𝑥2)𝑑𝑥
Realizamos las operaciones convenientes
∫12𝑥2 + 4𝑥 + 2
𝑥 + 𝑥2 + 2𝑥3𝑑𝑥 = ∫
2
𝑥 + 𝑥2 + 2𝑥3[(1 + 2𝑥 + 6𝑥2)𝑑𝑥] = 2∫
1
𝑢[𝑑𝑢]
= 2 𝑙𝑛|𝑢| + 𝐶 = 2 𝑙𝑛|𝑥 + 𝑥2 + 2𝑥3| + 𝐶 = 𝑙𝑛[(𝑥 + 𝑥2 + 2𝑥3)2] + 𝐶
136
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11 DIFERENCIACIÓN
12 TEMAS
ADICIONALES DE
DIFERENCIACIÓN
13 TRAZADO DE
CURVAS
14 INTEGRACIÓN
34. ∫𝟐𝒙𝟐
𝟑−𝟒𝒙𝟑 𝒅𝒙
La derivada del denominador puede obtenerse multiplicando el numerador por -6, luego:
∫2𝑥2
3 − 4𝑥3 𝑑𝑥 = (−
1
6)∫
(−6)2𝑥2
3 − 4𝑥3 𝑑𝑥 = (−
1
6) ∫
1
3 − 4𝑥3 [−12𝑥2 𝑑𝑥]
Resolvemos la integral mediante la fórmula ∫1
𝑢𝑑𝑢 = ln|𝑢| + 𝑐
= −1
6ln|3 − 4𝑥3| + 𝐶
44. ∫𝒙𝟐
√𝟐𝒙𝟑+𝟗𝟑 𝒅𝒙
Escribiendo en forma de potencia tenemos:
∫𝑥2
√2𝑥3 + 93 𝑑𝑥 = ∫(2𝑥3 + 9)−
13(𝑥2𝑑𝑥)
Asignando a 𝑢 y el diferencial 𝑑𝑢 se tiene respectivamente:
𝑢 = 2𝑥3 + 9 𝑑𝑢 = 6𝑥2𝑑𝑥
Acoplando la integral para aplicar la fórmula ∫𝑢𝑛 𝑑𝑢 =𝑢𝑛+1
𝑛+1+ 𝐶 se tiene:
∫(2𝑥3 + 9)−13(𝑥2𝑑𝑥) =
1
6∫(2𝑥3 + 9)−
13(6𝑥2𝑑𝑥)
=1
6∫𝑢−
13(𝑑𝑢) =
1
6∗(𝑢)
23
23
+ 𝐶 =𝑢23
4+ С
Reemplazando se tiene
∫𝑥2
√2𝑥3 + 93 𝑑𝑥 =
(2 𝑥3 + 9)23
4+ С
49. ∫𝒙𝟐+𝟐
𝒙𝟑+𝟔𝒙𝒅𝒙
Observamos que el numerador sería la derivada del denominador si lo multiplicamos por
3:
𝑢 = 𝑥3 + 6𝑥 𝑑𝑢 = 3𝑥2 + 6
∫𝑥2 + 2
𝑥3 + 6𝑥𝑑𝑥 =
1
3 ∫
1
𝑥3 + 6𝑥[(3𝑥2 + 6)𝑑𝑥] =
1
3∫1
𝑢𝑑𝑢 =
1
3ln|𝑢| + 𝐶
137
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14 INTEGRACIÓN
=1
3𝑙𝑛|𝑥3 + 6𝑥| + 𝐶
52. ∫(𝟔𝒕𝟐 + 𝟒𝒕)(𝒕𝟑 + 𝒕𝟐 + 𝟏)𝟔 𝒅𝒕
Se observa que es posible aplicar la fórmula de la potencia ∫𝑢𝑢𝑑𝑢 =𝑢𝑛+1
𝑛+1+ 𝐶
Si 𝑢 = 𝑡3 + 𝑡2 + 1 entonces 𝑑𝑢 = (3𝑡2 + 2𝑡)𝑑𝑡
∫(6𝑡2 + 4𝑡)(𝑡3 + 𝑡2 + 1)6 𝑑𝑡 = 2∫(𝑡3 + 𝑡2 + 1)6[(3𝑡2 + 2𝑡)𝑑𝑡] =
= 2∫(u)6[𝑑𝑢] = 2(u)7
7+ C =
2
7(𝑡3 + 𝑡2 + 1)7 + 𝐶
57. ∫(𝟐𝒙𝟑 + 𝒙)(𝒙𝟒 + 𝒙𝟐)𝒅𝒙
Utilizaremos la fórmula ∫𝑢 𝑑𝑢 =𝑢2
2+ 𝐶
Sea 𝑢 = 𝑥4 + 𝑥2 ⟹ 𝑑𝑢 = (4𝑥3 + 2𝑥)𝑑𝑥
∫(2𝑥3 + 𝑥)(𝑥4 + 𝑥2)𝑑𝑥 = ∫(𝑥4 + 𝑥2)[(2𝑥3 + 𝑥)𝑑𝑥]
Multiplicamos por dos al segundo factor para obtener 𝑑𝑢
1
2∫(𝑥4 + 𝑥2)1[(4𝑥3 + 2𝑥)𝑑𝑥] =
1
2.(𝑥4 + 𝑥2)2
2+ 𝐶 =
1
4(𝑥4 + 𝑥2)2 + 𝐶
68 ∫[𝒙(𝒙𝟐 − 𝟏𝟔)𝟐−
𝟏
𝟐𝒙+𝟓] 𝒅𝒙
Distribuimos la integral y resolvemos las dos integrales simples
∫[𝑥(𝑥2 − 16)2 −1
2𝑥 + 5] 𝑑𝑥 = ∫(𝑥2 − 16)2(𝑥𝑑𝑥) + ∫
1
2𝑥 + 5𝑑𝑥
=1
2∫(𝑥2 − 16)2(2𝑥𝑑𝑥) − ∫
1
2𝑥 + 5𝑑𝑥
=1
2
(𝑥2 − 16)3
3−1
2𝑙𝑛|2𝑥 + 5| + 𝐶
=1
6(𝑥2 − 16)3 −
1
2𝑙𝑛|2𝑥 + 5| + 𝐶
138
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14 INTEGRACIÓN
14.7 Teorema fundamental del cálculo integral
Problemas 14.7 Páginas 657-658. Ejercicios: 13, 15, 20, 25, 31, 37
En los problemas 1 a 43, evalúe la integral definida.
13. ∫ √𝒙𝟒 𝒅𝒙𝟑𝟖
−𝟖
Expresamos en la forma exponencial
∫ √𝑥4 𝑑𝑥3
8
−8
= ∫ 𝑥43 𝑑𝑥
8
−8
Calculamos la integral utilizando las fórmulas de la integral definida, pero ahora se
considera el intervalo en el cual se define la integral [−8,8]
∫ 𝑥43 𝑑𝑥
8
−8
=𝑥73
73
|8
−8=3𝑥
73
7|8
−8
Aplicamos el teorema fundamental del cálculo
∫ 𝑥43 𝑑𝑥
8
−8
=3𝑥
73
7|8
−8= [3(8)
73
7−3(−8)
73
7]
=3(128)
7 – 3 (−128)
7=768
7
15. ∫ (𝟏
𝒙𝟐)
𝟑
𝟏 𝟐⁄𝒅𝒙
Calculamos la integral
∫1
𝑥2
3
1 2⁄𝑑𝑥 = ∫ 𝑥−2𝑑𝑥
3
1 2⁄=𝑥−1
−1|3
1/2= −
1
𝑥|3
1/2
Evaluamos la integral en el intervalo [1
2, 3]
−1
𝑥|31/2
= −1
3—
1
1/2=5
3
20. ∫ (𝒙 + 𝟐)𝟑 𝒅𝒙𝟑
𝟐
Mediante la fórmula de la integral de una potencia se tiene:
139
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CURVAS
14 INTEGRACIÓN
∫ (𝑥 + 2)3 𝑑𝑥3
2
=(𝑥 + 2)4
4|2
3
Aplicando el teorema fundamental del cálculo se tenemos:
∫ (𝑥 + 2)3 𝑑𝑥3
2
=(𝑥 + 2)4
4|2
3
= [(3 + 2)4
4−(2 + 2)4
4]
=625
4− 64 =
369
4
25. ∫ 5𝑥2𝑒𝑥31
0𝑑𝑥
Utilizaremos la fórmula de la integral indefinida ∫𝑒𝑢𝑑𝑢 = 𝑒𝑢 + 𝐶
Sea 𝑢 = 𝑥3 ⟹ 𝑑𝑢 = 3𝑥2𝑑𝑥
∫ 5𝑥2𝑒𝑥3
1
0
𝑑𝑥 = 5∫ 𝑒𝑥3
1
0
[𝑥2𝑑𝑥] =5
3∫ 𝑒𝑥
31
0
[3𝑥2𝑑𝑥]
Ahora aplicamos la fórmula
5
3∫ 𝑒𝑥
31
0
[3𝑥2𝑑𝑥] =5
3[𝑒𝑥
3]10
Evaluamos la integral en los valores indicados
5
3[𝑒𝑥
3]10=5
3[𝑒1
3− 𝑒0
3] =
5
3[𝑒 − 1]
𝟑𝟏. ∫ 𝐱𝟐√𝟕𝐱𝟑 + 𝟏𝒅𝒙𝟏
𝟎
Expresando en forma exponencial:
∫ 𝑥2√7𝑥3 + 13
𝑑𝑥1
0
= ∫ (7𝑥3 + 1)13(𝑥2𝑑𝑥)
1
0
Aplicamos la integral a la fórmula ∫𝑢𝑛 =𝑢𝑛+1
𝑛+1+ 𝐶
Sea 𝑢 = 7𝑥3 + 1 ⟹ 𝑑𝑢 = (21𝑥2)𝑑𝑥 ⟹ 𝑑𝑥 =𝑑𝑢
21𝑥2
∫ (7𝑥3 + 1)13(𝑥2𝑑𝑥)
1
0
= ∫ (𝑢)13 (𝑥2
𝑑𝑢
21𝑥2)
1
0
=1
21∫ (𝑢)
13𝑑𝑢
1
0
Calculamos la integral definida
140
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CURVAS
14 INTEGRACIÓN
1
21∫ (𝑢)
13𝑑𝑢
1
0
=1
21[𝑢13+1
13 + 1
]1
0=1
21[𝑢43
43
]
1
0=1
28[𝑢43]
1
0
Reemplazando 𝑢 = 7𝑥3 + 1 se tiene
1
28[(7𝑥3 + 1)
43]
1
0=1
28[(7(1)3 + 1)4/3 − (7(0)3 + 1)4/3] =
15
28
37. ∫ 𝟑(𝒙−𝟐 + 𝒙−𝟑 − 𝒙−𝟒)𝒅𝒙𝒆
𝝅
Calculando las integrales simples se tiene
∫ 3(𝑥−2 + 𝑥−3 − 𝑥−4)𝑑𝑥𝑒
𝜋
= 3(𝑥−1
−1+𝑥−2
−2−𝑥−3
−3) |𝑒
𝜋
Evaluando la integral resulta
= 3(−1
𝑒+1
2𝑒2−𝑥1−3
3𝑒3) − 3 (−
1
𝜋+1
2𝜋2−1
3𝜋3)
=1
𝑒3+3
𝑒−3
2𝑒2+3
𝜋+3
2𝜋2−1
𝜋3
141
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14.9 Área
Problemas 14.9 Páginas 667-668. Ejercicios: 7, 10, 12, 18, 24, 26
En los problemas 1 a 34, use una integral definida para encontrar el área de la región limitada
por la curva, el eje x y las líneas dadas. En cada caso, primero haga el bosquejo de la región.
Tenga cuidado con las áreas de las regiones que están debajo del eje x.
𝟕. 𝒚 = 𝒙𝟐, 𝒙 = 𝟐, 𝒙 = 𝟑
La gráfica está formada por una parábola y dos rectas verticales
𝐴𝑟𝑒𝑎 = ∫ 𝑥23
2
𝑑𝑥 =𝑥3
3|3
2= 9 −
8
3 =19
7
10. 𝒚 = 𝒙 + 𝒙𝟐 + 𝒙𝟑, 𝒙 = 𝟏
𝐴𝑟𝑒𝑎 = ∫ (𝑥 + 𝑥2 + 𝑥3)1
0
𝑑𝑥 = (𝑥2
2+𝑥3
3+𝑥4
4)|0
1
= 13
12− 0 =
13
12
142
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CURVAS
14 INTEGRACIÓN
12. 𝒚 = 𝟑𝒙𝟐 − 𝟒𝒙, 𝒙 = −𝟐, 𝒙 = −𝟏
𝐴 = ∫ (3𝑥2 − 4𝑥)𝑑𝑥−1
−2
= [𝑥3 − 2 𝑥2]−1
−2
= [((−1)3 − 2 (−1)2) − ((−2)3 − 2 (−2)2)]
= [(−1 − 2) − (−8 − 8)] = [−3 + 16] = 13
18.𝑦 =1
(𝑥−1)2 , 𝑥 = 2 , 𝑥 = 3
Á𝑟𝑒𝑎 = ∫1
(𝑥−1)23
2𝑑𝑥 = ∫ (𝑥 − 1)−2
3
2 𝑑𝑥
=(𝑥 − 1)−1
−1|3
2= (−
1
𝑥 − 1) |3
2
= −1
2—1 =
1
2
24. 𝒚 = 𝒙𝟑 + 𝟑𝒙𝟐 , 𝒙 = −𝟐, 𝒙 = 𝟐
Graficando se tiene
El área de la región mencionada se calcula mediante la integral definida:
Á𝑟𝑒𝑎 = ∫ (𝑥3 + 3𝑥2)𝑑𝑥2
−2
Luego aplicando el teorema fundamental del cálculo obtenemos el área
∫ (𝑥3 + 3𝑥2)𝑑𝑥2
−2
= (𝑥4
4+ 𝑥3)|
−2
2
= [(24
4+ 23) − (
(−2)4
4+ (−2)3)]
= 12 + 4 = 16
143
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CURVAS
14 INTEGRACIÓN
26. 𝒚 = 𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 − 𝟓 , 𝒙 = −𝟓 , 𝒙 = 𝟏
Al graficar la función se observa que la región se encuentra hacia abajo del eje X, en éste
caso el área resultará negativa
La integral para calcular el área es:
𝐴𝑟𝑒𝑎 = ∫ (𝑥2 + 4𝑥 − 5)𝑑𝑥1
−5
Resolviendo la integral se obtiene:
∫ (𝑥2 + 4𝑥 − 5)𝑑𝑥1
−5
= (𝑥3
3+ 2𝑥2 − 5𝑥)|
−5
1
= (−8
3−100
3) = −36
La integral definida es -36 pero, el área es 36
144
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14.10 Área entre curvas
Problemas 14.10 Páginas 673-675. Ejercicios: 9, 10, 13, 14, 21, 24, 29
En los problemas 9 a 32, encuentre el área de la región limitada por las gráficas de las
ecuaciones dadas. Asegúrese de encontrar los puntos de intersección requeridos. Considere si el
uso de franjas horizontales hace más sencilla la integral que el uso de franjas verticales
9. 𝒚 = 𝒙𝟐 𝒚 = 𝟐𝒙
Calculamos los puntos de intersección:
𝑥2 = 2𝑥 ⟹ 𝑥2 − 2𝑥 = 𝑥(𝑥 − 2) = 0 ⟺ 𝑥 = 0, 𝑥 = 2
Realizamos un bosquejo de la gráfica y calculamos el área
𝐴𝑟𝑒𝑎 = ∫ (2𝑥 − 𝑥2 )2
0
𝑑𝑥 = (x2 − x3
3)|0
2
= (4 −8
3 ) – 0 =
4
3
10. 𝒚 = 𝒙, 𝒚 = −𝒙 + 𝟑, 𝒚 = 𝟎
Graficamos las ecuaciones:
Calculamos la intersección de las dos rectas
𝑥 = −𝑥 + 3,
2𝑥 = 3 ⟹ 𝑥 =3
2
145
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CURVAS
14 INTEGRACIÓN
Calculamos el área mediante franjas verticales:
Á𝑟𝑒𝑎 = ∫ 𝑥
32
0
𝑑𝑥 + ∫ (−𝑥 + 3)3
32
𝑑𝑥
= 𝑥2
2|3/2
0
+ (−𝑥2
2+ 3𝑥) |
3
3/2
= [9
8− 0] + [(−
9
2+ 9)—
9
8+9
2) =
9
4
13. 𝒚 = 𝟏𝟎 − 𝒙𝟐, 𝒚 = 𝟒
Calculamos las intersecciones:
10 − 𝑥2 = 4 ⟹ 𝑥2 = 6 ⟹ 𝑥 = ±√6
Realizamos un bosquejo de las gráficas y calculamos el área:
Área = ∫√6
−√6[(10 − 𝑥2) − 4]𝑑𝑥 = ∫
√6
−√6(6 − 𝑥2)𝑑𝑥
= (6𝑥 −𝑥³
3) | √6
−√6= (6√6 −
6√6
3) − (−6√6 +
6√6
3) = 8√6
14. 𝒚𝟐 = 𝒙 + 𝟏, 𝒙 = 𝟏
Graficamos las ecuaciones
146
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DIFERENCIACIÓN
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CURVAS
14 INTEGRACIÓN
Calculamos las intersecciones
Si 𝑦2 = 𝑥 + 1, 𝑥 = 1 entonces 𝑦2 = 2
Luego: 𝑦 = −√2 𝑦 = √2
Calculamos el área
𝐴𝑟𝑒𝑎 = ∫ [1 − (𝑦2 − 1)]√2
−√2
𝑑𝑦 = (2𝑦 −𝑦3
3)|−√2
√2
= (2√2 −2√2
3) − (−2√2 −
2√2
3) =
8√2
3
21. 𝟐𝒚 = 𝟒𝒙 − 𝒙𝟐, 𝟐𝒚 = 𝒙 − 𝟒
Calculamos las intersecciones:
𝑥 − 4 = 4𝑥 − 𝑥2 ⟹ 𝑥2 − 3𝑥 − 4 = 0
⟹ (𝑥 + 1)(𝑥 − 4) = 0 ⟺ 𝑥 = −1 , 𝑥 = 4
Realizamos un bosquejo de las gráficas y calculamos el área
Area = ∫ [(4𝑥 − 𝑥2
2) − (
𝑥 − 4
2)] 𝑑𝑥
4
−1
= ∫ (3
2𝑥 −
𝑥2
2+ 2)𝑑𝑥
4
−1
= (3𝑥2
4−𝑥3
6+ 2𝑥) |
4−1
= (3𝑥2
4−𝑥3
6+ 2𝑥) |
4−1
= (12 −64
6+ 8) − (
3
4−1
6+ 2)
=125
12
𝑦 =4𝑥−𝑥2
2 Parábola
𝑦 =𝑥−4
2 Recta
147
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2 FUNCIONES
Y GRÁFICAS
3 RECTAS PARÁBOLAS Y
SIST. DE ECUACIONES
INDICE
4 FUNCIÓN EXPONENCIAL
Y LOGARITMICA
6 ÁLGEBRA
MATRICIAL
7 PROGRAMACIÓN
LINEAL
10 LIMITES Y
CONTINUIDAD
11 DIFERENCIACIÓN
12 TEMAS
ADICIONALES DE
DIFERENCIACIÓN
13 TRAZADO DE
CURVAS
14 INTEGRACIÓN
24. 𝒚 = 𝟐 − 𝒙𝟐 , 𝒚 = 𝒙
Graficamos las funciones 𝑓(𝑥) = 2 − 𝑥2 y 𝑔(𝑥) = 𝑥
Calculamos las intersecciones igualando las dos funciones, así:
𝑦 = 2 − 𝑥2 𝑦 = 𝑥 𝑥 = 2 − 𝑥2 𝑥2 + 𝑥 − 2 = 0 (𝑥 + 2)(𝑥 − 1) = 0 ⇒ 𝑥 = −2 ∨ 𝑥 = 1
Calculamos el Área mediante la fórmula: 𝐴 = ∫ [𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)]𝑑𝑥𝑥2
𝑥1
Área ∫ [(2 − 𝑥2) − 𝑥]1
−2𝑑𝑥 = ∫ [(2 − 𝑥2) − 𝑥]
1
−2𝑑𝑥 = (2𝑥 −
𝑥3
3−𝑥2
2) |1
2
= (2 −1
3−1
2)—4+
8
3− 2 =
9
2
29. 𝒚 = 𝒙𝟑 − 𝟏, 𝒚 = 𝒙 − 𝟏
Calculamos los puntos de intersección:
𝑥3 − 1 = 𝑥 − 1 ⟹ 𝑥3 − 𝑥 = 0 ⟹ 𝑥(𝑥2 − 1) = 0
⟺ 𝑥 = 0, 𝑥 = −1, 𝑥 = 1
Realizamos un bosquejo de las gráficas y
planteamos la integral definida que permite
calcular el área:
Se observan dos regiones en las cuales se
intercambian posiciones de superior a
inferior y viceversa.
148
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DIFERENCIACIÓN
13 TRAZADO DE
CURVAS
14 INTEGRACIÓN
Así, si:
𝒚 = 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟑 − 𝟏
𝒚 = 𝐠(𝐱) = 𝒙 − 𝟏
Entonces el área total se calcularía mediante la fórmula.
𝐴𝑟𝑒𝑎 = ∫ [f(x) − g(x)]𝑑𝑥 + ∫ [g(x) − f(x))]𝑑𝑥 c
b
b
a
𝐴𝑟𝑒𝑎 = ∫ [𝑥3 − 1 − (𝑥 − 1)]𝑑𝑥 + ∫ [𝑥 − 1 − (𝑥3 − 1)]𝑑𝑥 1
0
0
−1
Calculamos las integrales planteadas
Área = ∫ [(𝑥3 − 𝑥)]𝑑𝑥 + ∫ [𝑥 − 𝑥3]𝑑𝑥 1
0
0
−1
= (𝑥4
4−𝑥2
2)|−1
0
+ (𝑥2
2−𝑥4
4)|0
1
= [0 − (1
4−1
2)] + [(
1
2−1
4) − 0] =
1
2
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DIFERENCIACIÓN
13 TRAZADO DE
CURVAS
14 INTEGRACIÓN
14.11 Excedente de los consumidores y de los productores
Problemas 14.11 Páginas 677- 678. Ejercicios: 4, 5, 8, 10
En los problemas 1 a 6, la primera ecuación es una ecuación de demanda y la segunda es una
ecuación de oferta de un producto. En cada caso, determine el excedente de los consumidores y
de los productores, bajo equilibrio del mercado.
4. 𝒑 = 𝟒𝟎𝟎 − 𝒒𝟐
𝒑 = 𝟐𝟎𝒒 + 𝟏𝟎𝟎
Ecuación de demanda: 𝑝 = 𝑓(𝑞) = 400 − 𝑞2
Ecuación de oferta: 𝑝 = 𝑔(𝑞) = 20𝑞 + 100
Calculamos el punto de equilibrio (𝑞0, 𝑝0):
20𝑞 + 100 = 400 − 𝑞2
𝑞2 + 20𝑞 − 300 = 0 ⟹ (𝑞 + 30)(𝑞 − 10) = 0 ⟺ 𝑞 = 10 ya que el número de
unidades debe ser positivo.
Luego, si 𝑞 = 10 ⟹ 𝑝 = 20(10) + 100 = 300
Así tenemos (𝑞0, 𝑝0) = (10,300)
Calculamos el excedente de consumidores, es conveniente graficar las funciones
𝐸𝐶 = ∫ [𝑓(𝑞) − 𝑝0]𝑑𝑞𝑞0
0
= ∫ [(400 − 𝑞2) − 300]𝑑𝑞10
0
= (100𝑞 −𝑞3
3) |100
= (1000 −1000
3) − 0
=2000
3
150
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14 INTEGRACIÓN
Calculamos el excedente de productores
5. 𝒒 = 𝟏𝟎𝟎(𝟏𝟎 − 𝟐𝒑)
𝒒 = 𝟓𝟎(𝟐𝒑 − 𝟏)
Establecemos la funciones de demanda y de oferta respectivamente como:
𝑞 = 𝑓(𝑝) = 100(10 − 2𝑝)
𝑞 = 𝑔(𝑝) = 50(2𝑝 − 1)
Graficamos las funciones
Calculamos el punto de equilibrio
Función de demanda = Función de oferta
100(10 − 2𝑝) = 50(2𝑝 − 1) ⟹ 𝑝 =7
2
Luego:
𝑞 = 100 (10 − 2(7
2)) = 300 ⟹ (𝑝0, 𝑞𝑜) = (3.5,300 )
Calculamos el excedente de productores con la fórmula alterna
𝐸𝑃 = ∫ [𝑝0 − 𝑔(𝑞)]𝑑𝑞𝑞0
0
= ∫ [300 − (20q + 100)]dq10
0
= (200q − 10q2) |100
= (2000 − 1000) − 0
= 1000
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CURVAS
14 INTEGRACIÓN
𝐸𝑃 = ∫ [𝑔(𝑝)]𝑑𝑝𝑝0
𝑝1
= ∫3.50.5[50(2𝑝 − 1)]𝑑𝑝 = 50(𝑝2 − 𝑝) |
3.50.5
= 50[(12.25 − 3.5) − (0.25 − 0.5)] = 450
Calculamos el excedente de consumidores con la fórmula alterna
𝐸𝐶 = ∫ [𝑓(𝑝)]𝑑𝑝𝑝2
𝑝0
= ∫53.5100(10 − 2𝑝)𝑑𝑝 = 100(10𝑝 − 𝑝2) |
53.5
= 100[(50 − 25) − (35 − 12.25)] = 225
8. La ecuación de demanda de un producto es 𝒒 = 𝟒𝟎𝟎 − 𝒑𝟐. Y la ecuación de oferta es 𝒑 =𝒒
𝟔𝟎+
𝟓. Encuentre el excedente de los productores y de los consumidores bajo equilibrio del mercado.
Función de demanda: 𝑞 = 400 − 𝑝2 ⟹ 𝑝 = 𝑓(𝑞) = √400 − 𝑞
Función de oferta: 𝑝 = 𝑔(𝑞) =𝑞
60+ 5 ⟹ 𝑞 = 60𝑝 − 300
Calculamos el punto de equilibrio
𝑜𝑓𝑒𝑟𝑡𝑎 = 𝑑𝑒𝑚𝑎𝑛𝑑𝑎
60𝑝 − 300 = 400 − 𝑝2
𝑝2 + 60𝑝 − 700 = 0
(𝑝 + 70)(𝑝 − 10) = 0
⟺ 𝑝 = −70 𝑜 𝑝 = 10
El precio por artículo es siempre positivo entonces: 𝑝 = 10
El valor de 𝑞 es:
𝑞 = 400 − 102 = 300
Así es punto de equilibrio es: 𝑞0, 𝑝0 = (300,10)
Calculamos el excedente de consumidores
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CURVAS
14 INTEGRACIÓN
Calculamos el excedente de los productores
10. La ecuación de demanda para un producto es (𝐩 + 𝟏𝟎)(𝐪 + 𝟐𝟎) = 𝟏𝟎𝟎𝟎 Y la ecuación de
oferta es 𝐪 − 𝟒𝐩 + 𝟏𝟎 = 𝟎
a) Verifique, por sustitución, que el equilibrio del mercado ocurre cuando 𝐩 = 𝟏𝟎 y 𝐪 = 𝟑𝟎.
Reemplazamos los valores de p = 10 y q = 30 en la ecuación de demanda y la ecuación de
oferta, así:
(p + 10)(q + 20) = 1000
(10 + 10)(30 + 20) = 1000
(20)(50) = 1000
1000 = 1000
q − 4p + 10 = 0
𝐸𝐶 = ∫ [𝑓(𝑞) − 𝑝0)]𝑑𝑞𝑞0
0
= ∫ [√400 − 𝑞 − 10)]𝑑𝑞300
0
= ∫ (400 − 𝑞)12𝑑𝑞 −
300
0
∫ 10𝑑𝑞300
0
= −2
3[(400 − 𝑞)3/2]
300
0− [10𝑞]
300
0
= −2
3[1003/2 − 4003/2] − [3000]
= −2
3[−7000] − [3000] = 1666,67
𝐸𝑃 = ∫ [𝑝0 − 𝑔(𝑞)]𝑑𝑞𝑞0
0
= ∫ [10 − (𝑞
60+ 5)]
300
0
𝑑𝑞
= ∫ [5 −𝑞
60]
300
0
𝑑𝑞
= [5𝑞 −𝑞2
120]300
0
= (1500 − 750) − 0 = 750
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CONTINUIDAD
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DIFERENCIACIÓN
13 TRAZADO DE
CURVAS
14 INTEGRACIÓN
30 − 4(10) + 10 = 0
30 − 40 + 10 = 0
0 = 0
b) Determine el excedente de los consumidores bajo equilibrio del mercado.
Despejamos P de la ecuación de demanda:
(p + 10)(q + 20) = 1000
p = f(q) =1000
q + 20− 10
Calculamos el excedente de consumidores:
𝐸𝐶 = ∫ [𝑓(𝑞) − 𝑝0]𝑑𝑞𝑞0
0
= ∫ [(1000
q + 20− 10) − 10] dq
30
0
= [1000ln(q + 20) − 20q]|030
= 1000ln(50) − 600 − [1000 ln(20)]
= 1000ln (50
20) − 600
= 1000ln (5
2) − 600
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