UNIDAD 3.- DETERMINANTES

ACTIVIDAD 3. PROBLEMAS DE ALGEBRA LINEAL

LUIS ALBERTO VELAZQUEZ VAZQUEZ

DOCENTE EN LINEA; SALVADOR DUEÑAS MARTINEZ

GRUPOS SEPARADOS; BI-BALI-1501S-B1-003

Aplicación de determinantes: resolución de problemas mediante sistemas de ecuaciones y regla de Cramer

Instrucciones:

Lee con atención el planteamiento de los problemas 1 y 2.

Con base en la información que se te proporciona en cada uno de los problemas, resuélvelos con el método de la regla de Cramer.

Problema 1. Implementación de un plaguicida

En la implementación de un plaguicida que se utiliza en campo abierto, un grupo de biólogos descubrió que éste disminuye el ritmo cardiaco de los insectos dependiendo del tiempo en el cual estos se desplacen, después de algunos experimentos, tres biólogos analizaron el tiempo en el cual tres plagas distintas continuaban en movimiento, con las observaciones de los tres, establecieron 3 ecuaciones distintas en

términos de sus tiempos, que representaron como para el biólogo 1, 2 y 3 respectivamente, los resultados que obtuvieron para las tres plagas fueron.

Plaga 1: Realizó un recorrido de 150 metros en un tiempo de

Plaga 2: Realizó un recorrido de 213 metros en un tiempo de

Plaga 3: Realizó un recorrido de 500 metros en un tiempo de

Con base en los datos anteriores:

1.- Construye un sistema de ecuaciones lineales, en el cual el vector de constantes este dado por los recorridos de las plagas en metros.

2.- Encuentra la matriz asociada al sistema que construiste. 3.- Encuentra la matriz inversa de la matriz asociada. 4.- Calcula el determinante de la matriz asociada. 5.- Establece los valores de los tiempos dados por los biólogos para resolver el sistema.

1.- Construye un sistema de ecuaciones lineales, en el cual el vector de constantes este dado por los recorridos de las plagas en metros.

A=(1 /3 −1/4 23 /8 1/2 5/71 /9 −1 /12 1/2)x=(x 1x 2x 3)b=(150213500)

2.- Encuentra la matriz asociada al sistema que construiste.

matriz a asociada

A=(1 /3 −1/4 23 /8 1/2 5/71 /9 −1 /12 1/2) 3.- Encuentra la matriz inversa de la matriz asociada.

Primero tenemos que hallar el determinante de A

(1/3 ) [ (1/2 ) (1 /2 )−(5/7 ) (−1/12 ) ]−(−1/ 4 ) [ (3/8 ) (1/2 )− (5 /7 ) (1 /9 ) ]+(2 ) [ (3 /8 ) (−1/12 )−(1/2 ) (1/9 ) ]=−25 /576

Una vez obtenida la determinante de A procedemos los menores y cofactores de la matrizCalculemos un menor M1, 1  y cofactores C 1, 1  de A 1, 1. En la matriz   A   eliminemos la fila 1 y columna 1.

| 1/2 5/7−1 /12 1/2|=−11+1[( 12 )( 12 )−( 57 )(−112 )]=( 14−(−584 ))=¿

De aquí en adelante simplificare el procedimiento a fin de reducir la ecuación ya que el método es algo laborioso en computadora a diferencia en escrito.Lo siguientes menores cofactores se realizan del mismo método anterior nota: cuando hablamos de inversa;

–11+1=1 pero cuando es –11+2=−1 yaquenumero par es representado positivamente ynumero impar negativamente

- Calculemos un menor M1, 2 y cofactores C1, 2 de A1, 2. En la matriz A eliminemos la fila 1 y columna 2.

- Calculemos un menor M1, 3 y cofactores C1, 3 de A1, 3. En la matriz A eliminemos la fila 1 y columna 3.

- Calculemos un menor M2, 1 y cofactores C2, 1 de A2, 1. En la matriz A eliminemos la fila 2 y columna 1.

- Calculemos un menor M2, 2 y cofactores C2, 2 de A2, 2. En la matriz A eliminemos la fila 2 y columna 2.

- Calculemos un menor M2, 3 y cofactores C2, 3 de A2, 3. En la matriz A eliminemos la fila 2 y columna 3.

- Calculemos un menor M3, 1 y cofactores C3, 1 de A3, 1. En la matriz A eliminemos la fila 3 y columna 1

- Calculemos un menor M3, 2 y cofactores C3, 2 de A3, 2. En la matriz A eliminemos la fila 3 y columna 2

- Calculemos un menor M3, 3 y cofactores C3, 3 de A3, 3. En la matriz A eliminemos la fila 3 y columna 3.

Así ya obtuvimos la matriz de cofactores.

Después de esto obtenemos la traspuesta de cofactores y esto es solo cambiar la fila a columna.

Resolvemos la matriz inversa así;

Así obtenida la matriz inversa de la matriz asociada:

4.- Calcula el determinante de la matriz asociada.

El determinante de la matriz asociada ya lo habíamos resuelto debido a que necesitábamos el dato para calcular a la matriz inversa

5.- Establece los valores de los tiempos dados por los biólogos para resolver el sistema.

la

solución a los tiempos dado por cada biólogo se da mediante la regla de cramer, obteniendo primero la determinantes de sistema en este caso la determinante a que ya la tenemos después la determinantes x1, después x2, y por ultimo x3.

Iniciamos obteniendo la matriz sistema (determinante A),

Nota; simplifique los pasos debido a que son demasiadas ecuaciones y saturaría el archivo.

Cofactores

-25/576

Obtenemos la determinante de X1 sustituyendo la columna X1 (las incógnitas de X) y colocando los términos independientes en esa columna.Lo obtuvimos mediante la solución de determinantes.NOTA; existe otra forma de solución la cual es mediante la regla de sarrus.

Obtenemos la determinante de X2 sustituyendo la columna X2 (las incógnitas de X) y colocando los términos independientes en esa columna.Lo obtuvimos mediante la solución de determinantes.

X1

X2

Bueno una vez ya determinado el matriz sistema o también llamada determinante de A, las determinantes de las incógnitas x1, x2, x3.Procedemos a obtener el valor de las incógnitas mediante la división de la determinante x1/determínate de A. igual para x2, y x3.

Determinante también se expresa como la sigla de griego delta.

x1= Δx1ΔA

=2224584 /175

x2= Δx 2ΔA

=−918888/175

x3= Δx 3ΔA

=−2700

x1=2224584175

x=−918888175

x3=2700

Eso son los valores dados de cada tiempo por cada biólogo.

Conclusiones;El uso “regla de cramer” para sistemas de ecuaciones lineales de más de tres ecuaciones, su aplicación para la resolución del mismo resulta excesivamente costosa.Computacionalmente es ineficiente para grandes matrices y por ello no es usada en aplicaciones prácticas que puedan implicar muchas ecuaciones.

Fuentes:http://es.wikipedia.org/wiki/Regla_de_Cramer

http://www.vitutor.com/algebra/determinantes/determinantes.htmlhttp://www.ditutor.com/determinantes/determinante.html

X3