Problemas Aplicados a La Ingenieria Quimica

Tema 9: Problemas aplicados a la Ingeniera Qumica

TEMA

TEMA TEMA

TEMA 9

99

9.

..

.

PROBLEMAS APLICADOS A LA

INGENIERIA QUIMICA

Clculo numrico en Ingeniera


Regresiones lineales mltiples.

Regresiones lineales mltiples.Regresiones lineales mltiples.

Regresiones lineales mltiples.

RLM.1. Transmisin de calor en una tubera La transmisin de calor a travs de tuberas se sabe que el nmero de Nusselt (Nu) es funcin del nmero de Reynolds y del nmero de Prandlt:

(Re,Pr)

,p

Nu f

ChD Dvf

k k

=

=

Una correlacin ampliamente utilizada es la ecuacin sugerida por Sieder y Tate:

0.8 1/ 30.023Re PrNu =

Los coeficientes de la anterior ecuacin se han obtenido por correlacin de muchos datos experimentales. Aunque en general la anterior ecuacin se puede escribir como

Re Prb cNu a=

Donde a, b, c son parmetros ajustables. Para los siguientes datos experimentales obtenidos en una tubera de de pulgada de dimetro externo a. compruebe la ecuacin original de Sieder y Tate, calculando el error

para cada punto y representndolo grficamente) b. Utilice una correlacin lineal mltiple para hallar los parmetros a, b, c. Y

calcule y represente nuevamente los errores obtenidos en esta correlacin.

Punto Re Pr Nu 1 49000 2.3 277 2 68600 2.28 348 3 84800 2.27 421 4 34200 2.32 223 5 22900 2.36 177 6 1321 246 114.8 7 931 247 95.9 8 518 251 68.3 9 346 273 49.1 10 122.9 1518 56 11 54.0 1549 39.9 12 84.6 1521 47 13 1249 107.4 94.2 14 1021 186 99.9 15 465 414 83.1 16 54.8 1302 35.9


Solucin: Para linealizar la ecuacin basta tomar logaritmos. As:

log( ) log( ) log(Re) log(Pr)Nu a b c= + +

Haciendo un ajuste lineal mltiple, se obtiene que -0.1684log( ) -0.1684 10 0.6786

0.5374; 0.2435

a a

b c

= = =

= =

La representacin de los errores utilizando la ecuacin original y la obtenida por el ajuste es la siguiente:

0 2 4 6 8 10 12 14 16-160

-140

-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

20

0 2 4 6 8 10 12 14 16-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

20

puntos

Nu

En azul aparecen los errores de la correlacin de Sieder y Tate, y en rojo los errores cuando se ajustan los datos experimentales.

RLM.2. Transferencia de calor en un reactor de lecho fluidizado Dow y Jacob [Dow, W.M. y Jacob, M. Chem. Eng. Prog. 47, 637 (1951)] propusieron las siguientes ecuaciones adimensionales para modelar la transmisin de calor en un tubo vertical con un slido fluidizado con aire:

3 4 52

1

1a a aa

t t s s t

p g g g

D D C D GNu a

L D C

=

Determine los parmetros a1-a5 y los errores cometidos.


m t

g

h D

k

tD

L

t

p

D

D

1 s s

g g

C

C

t

g

D G

469 0.636 309 833 256 913 0.636 309 868 555

1120 0.641 309 800 786 234 0.285 309 800 255 487 0.285 309 800 555 709 0.283 309 767 850 581 0.518 683 795 254 650 0.521 683 795 300 885 0.524 683 795 440 672 0.455 1012 867 338 986 0.451 1012 867 565

1310 0.455 1012 867 811 1190 0.944 1130 1608 343 1890 0.974 1130 1608 573 2460 0.985 1130 1608 814 915 0.602 1130 1673 343

1260 0.602 1130 1673 485 1690 0.617 1130 1673 700

m t

g

h DNu

k= Nmero de Nusselt

mh Coeficiente individual de transmisin de calor

tD Dimetro de tubo

pD Dimetro de partcula L Longitud del lecho fluidizado caliente G Velocidad msica del gas , , ,g g g gk C Propiedades de la fase gas ,s sC Propiedades de la fase slida

Solucin Se debe en primer lugar linealizar la ecuacin. Basta para ello tomar logaritmos en ambos lados de la ecuacin:

1 2 3 4 5

1log( ) log( ) log log log logt t s s t

p g g g

D D C D GNu a a a a a

L D C

= + + + +

Utilizando ahora una rutina para regresin lineal mltiple: Coeficientes Intervalo de confianza del 95%

1log( )a 0.0714 -0.3753, 0.5181 2a 0.7402 0.6221, 0.8583 3a 0.3454 0.2648, 0.4260 4a -5.704110-4 -0.1613, 0.1602 5a 0.7865 0.7082, 0.8648


El resultado muestra que los intervalos de confianza para el primer parmetro y para el cuarto cortan el valor cero, lo que indica que, posiblemente a1 se pueda fijar a uno y que la dependencia del cuarto trmino se pueda despreciar, al menos en el intervalo de valores experimentales testado.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18-0.05

-0.04

-0.03

-0.02

-0.01

0

0.01

0.02

0.03

0.04

puntos

erro

r [lo

g(Nu)]

RLM.3. Correlacin de los parmetros de la ecuacin de Antoine para el calculo de la presin de vapor de un componente puro (propano)

La ecuacin de Antoine permite calcular la presin de vapor de un componente puro en funcin de la temperatura.

10

BA

T CvP

+ + =

Linealice la ecuacin anterior y determine, utilizando regresin lineal mltiple, los parmetros A, B y C para los siguientes datos de presin de vapor del propano

Punto T (F) P (psia) Punto T (F) P (psia) 1 -70 7.37 11 30 66.3 2 -60 9.72 12 40 78 3 -50 12.6 13 50 91.8 4 -40 16.2 14 60 107.1 5 -30 20.3 15 70 124 6 -20 25.4 16 80 142.8 7 -10 31.4 17 90 164 8 0 38.2 18 100 187 9 10 46 19 110 213 10 20 55.5 20 120 240

Represente los valores calculados y experimentales en una grfica P vs T. Represente los errores cometidos en P vs T para cada dato.

Solucin: Para poder obtener los parmetros el primer paso es obtener una expresin lineal. Para ello se debe reescribir la ecuacin

10 ; log( ) ; log( )( ) ( )

log( ) log( ) ; log( ) ( ) log( )

BA

T Cv v v

v v v v

BP P A P T C A T C B

T C

P T C P AT AC B P T AC B AT C P

+ +

= = + + = + ++

+ = + + = + +

Recordando que en una regresin lineal mltiple 0 1 1 2 2 ...y a a x a x= + + + identificando trminos


1 2

0 1 2

log( ) ; ; log( )

; ;

v vy P T x T x P

a AC B a A a C

= = =

= + = =

Haciendo el ajuste lineal mltiple se obtiene que: 0 1 2677.3026; 5.2258; -428.1183a a a= = =

Y por lo tanto: 5.2258 ; -1560.0 ; 428.1183A B C= = =

Las representaciones de los puntos experimentales y los calculados a travs de la regresin, as de los errores cometidos en cada punto son:

-80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100 1200

50

100

150

200

250

Temperatura (F)

Pres

in (ps

ia)

CalculadosExperimentales

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

punto

erro

r (ps

ia)

RLM.4. Capacidad calorfica del propano. La capacidad calorfica del propano gas se puede expresar como un polinomio de la temperatura:

2 30 1 2 3 ...pC a a T a T a T= + + + +

Ajuste los datos de la tabla siguiente y a polinomios de diferentes grados y comprelos entre s

Punto T (K) Cp (kJ kmol-1 K-1) Punto T (K) Cp (kJ kmol-1 K-1)

1 50 34.06 11 700 142.67 2 100 41.3 12 800 154.77 3 150 48.79 13 900 163.35 4 200 56.07 14 1000 174.6 5 273.16 68.74 15 1100 182.67 6 298.15 73.6 16 1200 189.74 7 300 73.93 17 1300 195.85 8 400 94.01 18 1400 201.21 9 500 112.59 19 1500 205.89

10 600 128.7 Represente calores de Cp calculados y experimentales vs T en la misma grfica

Nota: en este caso es necesario escalar los valores de T, para ello defina una nueva variable: *

m

TT

T= (donde Tm es el valor medio de las temperaturas) de

tal forma que


( ) ( ) ( )2 3* * *0 1 2 3 ...pC a b T b T b T= + + + + Y por lo tanto : 31 21 2 32 3; ; ;......

ii i

m m m m

b bb ba a a a

T T T T= = = =

Solucin: De acuerdo a la sugerencia del enunciado calculamos Tm =672.1742 K Utilizaremos directamente T* para el resto del problema. Los resultados los ajustamos a polinomios de diversos grados (entre 2 y ) los resultados se dan en la siguiente tabla, se incluye el valor de los parmetros para un intervalo de confianza del 95%.

Polinomio grado 2 Intervalo de confianza del 95% 0a 17.7427 [14.3303 ; 21.1552] 1a 146.3905 [138.6433 ; 154.1376] 2a -27.8513 [-31.2312 ; -24.4715]

Polinomio de grado 3

Intervalo de confianza del 95% 0a 20.5235 15.8850 25.1620 1a 132.0625 113.3747 150.7504 2a -12.1304 -31.2679 7.0070 3a -4.5947 -10.1096 0.9203

Los resultados del ajuste se pueden ver a continuacin.

0 0.5 1 1.5 2 2.520

40

60

80

100

120

140

160

180

200

220

T*

Cp

Cp experimentalPolinomio grado 2Polinomio grado 3

0 0.5 1 1.5 2 2.5-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

T*

erro

r de

Cp

error polin. grado 2error polin. grado 3

RLM.5. Correlacin de los coeficientes de actividad de una mezcla binaria utilizando la ecuacin de Margules.

La ecuacin de Margules para la correlacin de de coeficientes de actividad en mezclas binarias es:

2 31 2 2

2 32 1 1

exp (2 ) 2 ( )

exp (2 ) 2 ( )

x B A x A B

x A B x B A

= +

= +

Donde x1, x2 son las fracciones molares de los componentes 1 y 2 respectivamente y 1 2, son los coeficientes de actividad. Los parmetros A y B son constantes para cada mezcla binaria.


Las dos ecuaciones anteriores se pueden combinar para calcular la energa libre de exceso de Gibbs.

1 1 2 2 1 2 2 1ln( ) ln( ) ( )EGg x x x x Ax Bx

R T = = + = +

Para la mezcla Benceno (1) y n-heptano (2) estn disponibles los siguientes datos:

Punto 1x 1 2 1 0.0464 1.2968 0.9985 2 0.0861 1.2798 0.9998 3 0.2004 1.2358 1.0068 4 0.2792 1.1988 1.0159 5 0.3842 1.1598 1.0359 6 0.4857 1.1196 1.0676 7 0.5824 1.0838 1.1096 8 0.6904 1.0538 1.1664 9 0.7842 1.0311 1.2401 10 0.8972 1.0078 1.4038

Calcule los valores de los parmetros A y B Solucin: En este caso podemos reordenar la ecuacin que nos da la energa libre de exceso de la siguiente manera:

1

2 21 1 2 2 1 2 2 1 2ln( ) ln( )

EGg x x A x x B x x Az BzR T

= = + = + = +

donde 1

2 21 1 2 2 2;z x x z x x= = La dificultad en este caso es que el ajuste

lineal mltiple exige que la recta de correlacin pase por el origen. Teniendo esto en cuenta se obtiene: A = 0.2511; B = 0.4609

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.1

fraccion molar de benceno

GE/

(RT)

experimentalcalculado

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-1

-0.5

0

0.5

1

1.5x 10-3

fraccion molar de benceno

erro

r (G

E/RT

)

RLM.6. Regresin de velocidades de reaccin cataltica heterognea. La Tabla siguiente presenta la velocidad de reaccin para la siguiente reaccin cataltica heterognea, representada por A B

( )AP atm ( )BP atm 510r

1 0.0010 5.10 0.9 0.1016 5.40 0.8 0.2021 5.55


0.7 0.3011 5.85 0.6 0.4004 6.00 0.5 0.5043 6.15 0.4 0.6040 6.30 0.3 0.7020 6.45

Se ha sugerido la siguiente ecuacin para correlacionar los datos:

( )1

21

A

A A B B

k Pr

K P K P=

+ + donde 1, A Bk K y K son coeficientes que deben

determinarse por regresin. Utilizando regresin lineal, determine dichos coeficientes. Solucin La ecuacin anterior se puede lienalizar reordenando los trminos, invirtiendo y tomando la raz cuadrada.

12

1 2 3

1 1 1

1A A BA B A B

P K KP P a a P a P

r k k k

= + + = + +

El resultado es: 1 2 3177.8217; 317.5511; 215.8415a a a= = = y por lo tanto 2

51

2 1

3 1

13.1625 10

177.8217

1.7858

1.2138

A

B

k

K a k

K a k

= =

= =

= =

1 2 3 4 5 6 7 8-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Puntos

(PA/

r)0.5


Ecuacione

EcuacioneEcuacione

Ecuaciones no lineales

s no linealess no lineales

s no lineales

ENL.1. Dimetro de una tubera a travs del flujo Utilizando la ecuacin de Chen, un alumno de Ingeniera qumica obtuvo un factor de friccin ( f ) de 0.01 para una tubera con rugosidad relativa ( ) 0.006. Si por la tubera circulaba agua con un caudal de 0.01 m3/s. Cul era el dimetro de la tubera?. (Utilice diferentes mtodos numricos para calcularlo)

Ecuacin de Chen:

+

=

898.0

1098.1

Re

8506.5

8257.2log

Re

0452.5

7065.3log4

1

f

Solucin: Se debe reescribir la ecuacin igualndola a cero, por ejemplo:

1.1098

0.898

1 5.0452 5.85064 log log 0

3.7065 Re 2.8257 Ref

+ + =

Y aplicar cualquier mtodo numrico (biseccin Newton, secante, etc) D = 0.3869 m.

ENL.2. Ecuacin de Van der Waals La ecuacind e Van der Waals para un gas es:

( ) TRBVV

AP =

+

2 donde la P es la presin (atm). V es el volumen

molar (l/mol). T es la temperatura absoluta (K) y R=0.082054 atm l /mol K. Hallar el volumnen molar del CO2 a 500 K y 10 atm, utilizando todos los mtodos estudiados. Nota: A= 3.592 l2 atm / mol2 B= 0.04267 l / mol.

Solucin Para los mtodos de punto fijo es necesario despejar el volumen molar del gas de alguna manera, por ejemplo:

2

R TV B

AP

V

= + +

(Tenga en cuenta que no siempre converger, depende de cmo despeje el volumne). Resolviendo por diferentes mtodos se obtiene: V= 4.055 l

Para mtodos como el de Newton la ecuacin hay que reorganizarla de forma que quede igualada a cero

( )2

0A

P V B R TV

+ =

ENL.3. Evaporador Flash Una mezcla de composicin (fraccin molar) como la de la tabla se introduce en un evaporador flash a la temperatura de 160 C y 1 atm. Determinar que fraccin de mezcla de ha evaporado. Suponer mezcla ideal.

comp j zj Aj Bj 1 0.1 -3848 8.358 2 0.2 -4002 7.833 3 0.2 -4997 8.665 4 0.2 -5595 8.847


5 0.2 -6301 9.261 6 0.1 -7296 10.078

( ) jjj BT

AKLn +

+=

460

P

PK

jj

*

= (T C) Nota: la forma ms fcil de resolver el problema es resolver

( ) 01

==

n

j

jj yx donde xj, yj son funciones de la fraccin evaporada.

Calcule tambin las temeraturas e roco y burbuja de la mezcla. Solucin. Este problema se puede resolver planteando el conjunto completo de ecuaciones o bien reducirlo a una nica ecuacin que dependa slo de la fraccin de vapor. Vemos como se puede llegar hasta este punto.

F

V

L

Haciendo un balance de material.

j j j

F L V

Fz Lx Vy

= +

= +

Defiendo la fraccin de vapor como VF

=

(1 )j j jz x y = +

Como j j jy K x= , sustituyendo en la ecuacin anterior se tiene que:

(1 )

jj

j

zx

K =

+

Como sugiere el enunciado se puede resolver una sola ecuacin de la forma

( )1 1 1

(1 )0

(1 ) (1 ) (1 )

n n nj j j j

j j jj j jj j j

z z z Kx y K

K K K = = =

= = = + + +

El resultado es: 0.6876 =

comp j zj xj yj 1 0.1 0.0161 0.1381 2 0.2 0.0658 0.2610 3 0.2 0.1272 0.2331 4 0.2 0.2251 0.1886 5 0.2 0.3382 0.1372 6 0.1 0.2276 0.0420


ENL.4. Reacciones de equilibrio Sea el siguiente conjunto de reacciones:

ZXA

YXBC

DCBA

+

++

++

Calcule las concentraciones de equilibrio de cada una de las especies si inicialmente se introduce una concentracin de: CAo = 1.5 M CBo = 1.5 M Datos: Las constantes de equilibrio para el sistema son:

06.11 ==BA

DC

CC

CCK 63.22 ==

BC

YX

CC

CCK 53 ==

XA

Z

CC

CK (l/mol)

Resuelva el sistema de ecuaciones por el mtodo que considere oportuno. Justifique su eleccin. Tome valores iniciales razonables para cada una de las variables. (No use el valor cero como valor inicial). Solucin: Quiz la mejor forma de resolver el problema sea utilzar grados de avance de cada ecuacin. As, si i es el grado de avance de cada una de las reacciones se tiene que:

0 1 3

0 1 2

1 2

1

2 3

2

3

A A

B B

C

D

X

Y

Z

C C

C C

C

C

C

C

C

=

=

=

=

=

=

=

Para evitar divisiones por cero conviene pasar los trminos que estn dividiendo multiplicando y dejar el sistema de ecuaciones de la siguiente manera:

1.06 0

2.63 0

5 0

C D A B

X Y C B

Z A X

C C C C

C C C C

C C C

=

=

=

El resultado, aplicando el mtodo de Newton es: 1 2 30.7053; 0.5518; 0.3740 = = =

NOTA: Los valores iniciales son muy importantes en este caso. Conviene comprobar que el resultado final de concentraciones lleva a soluciones con sentido fsico, porque desde el punto de vista puramente matemtico el sistema tiene diferentes soluciones.

ENL.5. Circulacin de fluidos en una red de tuberas Agua a 25 C est circulando por la red de tuberas que se muestra en la figura. La presin a la salida de la bomba es de 15 bares (15 105 Pa) sobre la atmosfrica, y el agua se descarga a presin atmosfrica al final de la lnea. Todas las tuberas son de 6 catlogo 40 (0.154 m de dimetro interno), con


rugosidad relativa 0.006. Las longitudes equivalentes de todas las tuberas conectando los diferentes nodos son

01 12 23 45 13 24 34100 ; 300 ; 1200L m L L L m L L L m= = = = = = =

Calular los flujos y presiones en los nodos 1, 2, 3 y 4 para la red. Asuma que el factor de friccion es constante e igual a 0.005 para todas las tuberas. Informacin adicional y notas:

Para la solucin del problema es conveniente expresar la prdida de presin en cada nodo desde i hasta j como:

( )2, , ,i j i j i jP k q = Donde ,i jq es el flujo volumtrico y ,i jP es la cadida de presin. El trmino ,i jk est relacionado con los factores de friccin de fanning y la velocidad

media de los fluidos a travs de la ecuacin

( ),

,, 2 2 5

2

2 32

/ 4

i j

i ji j

Lf f LDk

DD

pipi

= =

0 1

2

3

4

q01

q13

q34

q12

q23q45

5 q24

Repita el problema pero ahora usando una ecuaci adecuada para calcular el factor de friccin.

Solucin: Hay dos relaciones que gobiernan el proceso.1. La suma de los flujos en cada nodo dbe ser cero. 2. La suma de todas las caidas de presion en un bucle cerrado debe ser cero.

01 12 13

12 24 23

23 13 34

24 34 45

01 12 24 45

13 23 12

23 34 24

0

0

0

0

0

0

bomba

q q q

q q q

q q q

q q q

P P P P P

P P P

P P P

=

=

+ =

+ =

+ + + = = + =

Que junto con la ecaucin que relaciona los flujos y las caidas de presin define completamente el sistema de ecuaciones.


( )2, , ,i j i j i jP k q = Dado que los flujos en m3/s pueden ser muy pequeos en comparacin con las presiones combiene escalar el problema, por ejemplo trabajando en kPa y en litros/s

Caso a: Tramo Q (l/s) P( kPa)

0-1 0.3118 1.8194 1-2 0.2059 2.3812 1-3 0.1059 2.5165 2-3 0.0491 0.1352 2-4 0.1569 5.5261 3-4 0.1549 5.3909 4-5 0.3118 5.4583

Caso b. Debemos ademas utilizar una ecuacin adecuada para los factores de friccin. Por ejemplo la ecaucin de Coolebrock y White. Ahora los factores de friccin son tambin incognitas de nuestro sistema. Nuevamente para facilitar la resolucin numrica es conveniente escalar las variables. En este caso se puede escalar por un factor de 100 el factor de friccion.

+=

f

D

f Re

256.1

7.3log4

1

Tramo Q (l/s) P( kPa) f.103 0-1 0.3915 0.2809 0.2809 1-2 0.2682 0.3159 0.3159 1-3 0.1232 0.4160 0.4160 2-3 0.0697 0.5248 0.5248 2-4 0.1985 0.3494 0.3494 3-4 0.1929 0.3530 0.3530 4-5 0.3915 0.2809 0.2809

ENL.6. Velocidad terminal Determinar la velocidad terminal de una partcula slida cayendo en un fluido. Considere una partcula esfrica uniforme de hierro cayendo en aire. Datos para la partcula:

37860 /

0.5

p

p

kg m

D mm

==

Datos para el aire 3

5

1.23 /

1.79 10

kg m

Pa s

=

=

Notas: La velocidad terminal de una partcula esfrica cayendo en un medio fluido se puede determinar por la siguiente expresin

( )43

p p

tD

g Dv

C

=


El coeficiente de rozamiento depende del nmero de Reynolds de la sigueinte manera:

0.7

24Re 0.1

Re

24(1 0.14 Re ) 0.1 Re 1000

Re

D

D

C Si

C Si

=

Problemas Aplicados a La Ingenieria Quimica

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