Problema do Carteiro Chinês Elisabete Longo Isabel Branco.
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Problema do Carteiro Chinês
Elisabete Longo
Isabel Branco
Problema do Carteiro Chinês
Um carteiro tem de fazer a distribuição da correspondência em determinada
localidade. Será que consegue fazê-lo e regressar ao posto dos correios, passando
uma única vez em cada rua? Caso não seja possível, qual é o caminho mais curto
(o que repete menos ruas)?
A solução ótima para este tipo de problemas obtém-se quando o grafo que traduz a
situação admite um circuito de Euler.
Problema do Carteiro Chinês
Trajeto de Euler (ou euleriano) – é uma sequência de vértices e arestas de um
grafo, que percorre todas as arestas uma única vez.
Circuito de Euler (ou euleriano) – é um trajeto euleriano que começa e acaba no
mesmo vértice.
Problema do Carteiro Chinês
Regra 1 – Num grafo conexo podemos encontrar um trajeto euleriano se e só se
existirem, no máximo, dois vértices de grau ímpar.
Regra 2 – Um grafo conexo admite um circuito euleriano se e só se todos os
vértices tiverem grau par.
Para identificar:
Problema do Carteiro Chinês
Vamos calcular o grau de cada vértice:
Como tem apenas dois vértices de grau ímpar podemos dizer que é possível
encontrar neste grafo um trajeto de Euler mas não um circuito.
Dado o grafo
A
C
B
D E
B:
A:
C:
E:
D:
3
4
3
4
4
Problema do Carteiro Chinês
Vamos calcular o grau de cada vértice:
Como os vértices têm todos grau par podemos dizer que este grafo tem um circuito
de Euler.
Dado o grafo
B:A: C:
E:D:
2 4 4
2 4
A
B
C
D
E
F
G
F: G:4 4
Problema do Carteiro Chinês
Vamos calcular o grau de cada vértice:
Como tem mais do que dois vértices de grau ímpar podemos dizer que não é
possível encontrar neste grafo nem um trajeto nem um circuito de Euler.
Dado o grafo
B:A: C:
F:E:
2 3 3
2 3 G: H:5 3
D: 5
H
A B
C
D
E F
G
Problema do Carteiro Chinês
Para resolver problemas do tipo do Carteiro Chinês, temos de encontrar forma de
conseguir “eulerizar a situação”, isto é, repetindo o mínimo de arestas possível, conseguir
definir um circuito de Euler.
Eulerizar grafos – Consiste em acrescentar arestas a um grafo de forma a tornar possível
encontrar nele um circuito de Euler.
Regra – Para se adicionarem arestas corretamente é preciso que o número de repetições de
arestas seja igual ao número de arestas acrescentadas.
XProblema do Carteiro Chinês
Uma vez que os vértices de grau
ímpar são A e C poderíamos
acrescentar uma aresta de A para C,
Assim acrescentamos uma aresta de A para B,
Vamos eulerizar
A
C
B
D Emas não respeitaria a regra.
e outra de B para C.
Agora todos os vértices têm grau par, logo é possível encontrar um circuito de
Euler neste grafo.
Problema do Carteiro Chinês
Uma vez que os vértices de grau
ímpar são B, C, D, F, G e H podemos:
Agora todos os vértices têm grau par, logo é possível encontrar um circuito de
Euler neste grafo.
Vamos eulerizar C
H
A B
D
E F
G
- acrescentar uma aresta de B para C;
- acrescentar uma aresta de D para G;
- acrescentar uma aresta de H para F.