Problema Da Palavra
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8/19/2019 Problema Da Palavra
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Aplicacoes de Tecnicas deReescrita ao Problema da
Palavra em Teoria dos Grupos
Luiz M. R. Gadelha Jr.
Orientador: Prof. Mauricio Ayala
Departamento de Ciencia da Computacao
Universidade de Brasılia
8/19/2019 Problema Da Palavra
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Plano de Apresentacao
1. Introducao
2. Conceitos Algebricos
3. Tecnicas de Reescrita
• O Procedimento de Knuth-Bendix
• O Procedimento de Cremanns-Otto
4. Conclusoes
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1. Introducao
Estudar a aplicacao de uma tecnica da Teo-
ria da Computacao, Sistemas de Reescrita,
a um problema de decisao da Algebra, O
Problema da Palavra de Grupos .
Em particular foram estudados os procedi-
mentos:
• Procedimento de Knuth-Bendix [1972]
• Procedimento de Cremanns-Otto [1998]
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2. Conceitos Algebricos
Definicao. Um semigrupo consiste de um
par G, · onde G e um conjunto e · e uma
operacao binaria associativa.
Se existe um elemento e ∈ G tal que para
todo x ∈ G x· e = x (identidade) dizemos
que G, · e um monoide.
Se para todo x ∈ G existe um elemento
x−1 ∈ G tal que x· x−1 = e (inverso) dizemos
que G, · e um grupo.
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2. Conceitos Algebricos
Definicao. A apresentacao de monoide
M onG±|R1,...,Rm onde
G± = {g1, g−11 ,...,gn, g−1
n },
Ri ∈ (G±)∗ × (G±)∗ define o grupo dado
pelas classes de congruencia da relacao de
congruencia gerada por R1,...,Rm.
O grupo livre gerado por X = {x1,...,xn} e
dado pela apresentacao de monoide
X ± | RelGL(X )
onde
RelGL(X ) = {(xαx−α, ǫ) | α ∈ {1, −1}, x ∈ X }.
Seja S ⊆ (X ±)∗ × (X ±)∗, a apresentacaode grupo GrpX | S e o grupo dado pela
apresentacao de monoide
M onX ± |RelGL(X ) ∪ S .
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2. Conceitos Algebricos
Exemplo. Considere o grupo dado pela ap-resentacao
x, y | x3, y2, x−1y−1xy.
Seja a = xy. Do relator x−1y−1xy temos
que xy = yx.
Assim
(xy)3 = x3y3 = y
e(xy)4 = x4y4 = x.
Logo o grupo e gerado por a.
a tem ordem 6 pois (xy)2 = x, (xy)5 = x2y
e (xy)6 = e. Portanto
Z6 = a | a6 = e}
e o grupo em questao.
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2. Conceitos Algebricos
Exemplo. Sejam τ e σ acoes sobre o qua-
drado tais que τ consiste de uma rotacaode 90◦ e σ de uma reflexao em torno de um
eixo de simetria.
1 2
34
1
23
4
3
1
3
22
τ
σ
1
4 4
Observe que o quadrado tem oito simetrias:
1 2
34
4 1
23
3 4
12 1
2 3
4
e τ τ 2 τ 3
σ
2 1
3 4
στ
4 1
23
1 2
4 3
2 3
στ 3στ 2
1 4
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2. Conceitos Algebricos
As simetrias do quadrado com a operacao
de composicao de acoes formam um grupo
chamado de grupo de simetrias do quadrado
ou grupo diedral de 8 elementos D8 que tem
a seguinte tabela de multiplicacao:
· e τ τ 2 τ 3 σ στ στ 2 στ 3
e e τ τ 2 τ 3 σ στ στ 2 στ 3
τ τ τ 2 τ 3 e στ 3 σ στ στ 2
τ 2 τ 2 τ 3 e τ στ 2 στ 3 σ στ
τ 3 τ 3 e τ τ 2 στ στ 2 στ 3 σ
σ σ στ στ 2
στ 3
e τ τ 2
τ 3
στ στ στ 2 στ 3 σ τ 3 e τ τ 2
στ 2 στ 2 στ 3 σ στ τ 2 τ 3 e τ
στ 3 στ 3 σ στ στ 2 τ τ 2 τ 3 e
Precisamos de toda a informacao da tabela
de multiplicacao para determinar o grupo?
Nao!
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2. Conceitos Algebricos
O grupo de simetrias do quadrado e gerado
pelos elementos τ e σ e obedece as relacoes
τ 4 = e, σ2 = e, τ στ = σ. Esta informacao
determina completamente o grupo.
De fato da equacao τ 4 = e temos que τ 3 =
τ −1. Da equacao τ στ = σ temos que τ σ =
στ −1. Logo τ σ = στ 3.
As equacoes τ σ = στ 3, τ 4 = e, e σ2 = e nos
permitem derivar todas as relacoes do grupo
D8. Alem disso qualquer grupo gerado por
τ e σ e que satisfaca as relacoes τ σ = στ 3,
τ 4 = e, e σ2 = e e isomorfo a D8.
Portanto τ, σ | τ 4
= e, σ2
= e, σ−1
τ στ = ee uma apresentacao de D8.
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2. Conceitos Algebricos
Seja G um grupo dado por uma apresentacao.
Problema da Palavra. Dada uma palavra
qualquer nos geradores de G existe um al-
goritmo para determinar se esta representa
a identidade?
Resp. Nao. [Boone e Novikov, 1955]
Problema do Isomorfismo. Seja G′ um
grupo dado por uma apresentacao, existeum algoritmo para decidir se G e G′ sao
isomorfos?
Resp. Nao. [Adjan e Rabin, 1958]
Problemas algoritmicos sobre grupos dados
por apresentacoes sao na maioria das vezes
indecidıveis.
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3. Tecnicas de Reescrita
Sistemas de reescrita podem ser interpre-tados como conjuntos de “equacoes orien-
tadas” usadas para simplificar expressoes.
Exemplo. O sistema de reescrita
impar + impar → par
impar + par → impar
par + impar → impar
par + par → par
pode ser usado para simplificar a expressao:
impar + par + impar + impar
↓
impar + impar + impar
↓impar + par
↓
impar
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3. Tecnicas de Reescrita
Definicao. Um sistema de reescrita con-siste de um par (M, →), onde M e um con-
junto e → e uma relacao binaria sobre M .
Notacoes:
→∗ : e o fecho reflexivo e transitivo de →.
Ex.: impar + impar + impar →∗ impar.
← : e o inverso de →.
↔∗ : e o fecho reflexivo, simetrico e transi-
tivo de →.Ex.: impar + par → impar ← par + impar
logo impar + par ↔∗ par + impar.
Definicao. y e forma normal de x se x →∗ y
e y e irredutıvel (i.e. nao existe z tal que
y → z).
Problema da palavra. Dados x, y ∈ M ,
x ↔∗ y?
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3. Tecnicas de Reescrita
Dado um sistema de reescrita R = (M, →).
• Se nao existem cadeias infinitas da forma
x1 → x2 → · · · entao R e terminante .
• Se para todos u, x, y ∈ M tais que u →∗ x
e u →∗ y existe um z ∈ M tal que x →∗ z
e y →∗ z entao R e confluente .
• Se para todos u, x, y ∈ M tais que u → xe u → y existe um z ∈ M tal que x →∗ z e
y →∗ z entao R e localmente confluente .
• Se para todos x, y ∈ M tais que x ↔∗ y
existe um z ∈ M tal que x →∗ z e y →∗ z
entao R tem a propriedade de Church-
Rosser .
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3. Tecnicas de Reescrita
x
z
x
uu
z
∗∗
∗ ∗∗∗
∗
∗∗
x
z
y y
y
Teorema. R e confluente se e somente se
tem a propriedade de Church-Rosser.
Teorema. Se R e terminante entao e con-
fluente se e somente se e localmente con-
fluente.
Teorema. Se R e terminante e confluente
(def. convergente ) entao todo x ∈ M tem
forma normal unica.
Desta maneira se R e convergente consegui-
mos resolver o problema da palavra:
dados u, v ∈ M calcule as suas respectivas
formas normais u, v (que sao unicas).
u ↔∗ v se e somente se u = v.
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3. Tecnicas de Reescrita
Definicao. Seja Σ um alfabeto.
• Um sistema de reescrita de palavras (srp)
R e um subconjunto de Σ∗ × Σ∗. Cada
elemento (l, r) de R e chamado de umaregra de reescrita.
• A relacao de reescrita em um passo em
Σ∗ induzida por R e definida como segue:
para todos u, v ∈ Σ∗
, u →R v se e so-mente se existe uma regra de reescrita
(l, r) ∈ R tal que para algum x, y ∈ Σ∗
u = xly e x = xry.
Obs. O par (Σ∗, →R) e um sistema de re-escrita de acordo com a definicao mais geral
vista anteriormente.
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3. Tecnicas de Reescrita
Obs. As classes de congruencia de ↔∗
Rformam um monoide para a concatenacao
tendo como identidade a classe da palavra
vazia [ǫ].
G = a1,...,an|R1,...,Rm e apresentado pelo
srp:
RG = {a1,...,an, a−11 ,...,a−1
n },
{a1a−11 → ǫ, ..., ana−1
n → ǫ}
∪
{a
−1
1 a1 → ǫ, ..., a
−1
n an → ǫ}∪
{R1 → ǫ, ..., Rn → ǫ}
Exemplo. O grupo D8 pode ser apresen-
tado pelo srp seguinte cujo alfabeto e {a ,b,A,B}:
aA → ǫ Aa → ǫ
bB → ǫ Bb → ǫ
a4 → ǫ b2 → ǫ
Baba → ǫ
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3. Tecnicas de Reescrita
Definicao. Existem dois tipos de pares crı-
ticos em um srp R:
1. Sejam xyz → u e y → v duas regras dis-
tintas de R, onde x , y , z , u , v ∈ Σ∗, entao
u ←R xyz →R xvz e (u, xvz) e um par
crıtico .
2. Sejam xy → u e yz → v duas regras
distintas de R, onde x , y , z , u , v ∈ Σ∗ e
x , y , z = ǫ, entao uz ←R xyz →R xv e
(uz, xv) e um par crıtico .
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5. Procedimento de Knuth-Bendix
Entrada: Um srp finito R compatıvel com uma or-
dem > sobre Σ∗ .
R0 ← R
i ← −1
repita
i ← i + 1
Ri+1 = ∅
CP ← conjunto dos pares crıticos de Ri
para cada z1, z2 ∈ CP
calcule formas normais z1, z2
oriente o par z1, z2 obtendo r → l
Ri+1 ← Ri+1 ∪ {r → l}elimine z1, z2 de CP
fim
se Ri+1 = ∅ entao Ri+1 ← Ri ∪ Ri+1
ate que Ri+1 = ∅
R∗ ←
i≥0 Ri
Obs. O procedimento de Knuth-Bendix nem
sempre termina, mas quando o faz o srp re-
sultante e terminante e confluente.
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5. Procedimento de Knuth-Bendix
Exemplo. Consideremos novamente o gru-
po D8 apresentado pelo srp e a ordem por
comprimento e lexicografica {A > a > B >
b}.
[1] aA → ǫ [2] Aa → ǫ
[3] bB → ǫ [4] Bb → ǫ
[5] a4 → ǫ [6] b2 → ǫ
[7] Baba → ǫ
Da aplicacao do procedimento de Knuth-
Bendix resulta o srp:
[1] aA → ǫ [2] Aa → ǫ
[6] b2 → ǫ [8] a3 → A
[10] B → b [12] A2
→ a2
[13] bA → ab [14] ba → Ab
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5. Procedimento de Knuth-Bendix
1a Iteracao: Pares Crıticos
Pares Crıcos:
[1, 2] A ← AaA → A
[1, 2] a ← aAa → a
[1, 5] a3 ← a4A → A, nova regra: a3 → A [8]
[1, 7] Bab ← BabaA → A,
nova regra Bab → A [9]
[2, 5] a
3
← Aa
4
→ A[3, 4] b ← bBb → b
[3, 4] B ← BbB → B
[3, 6] B ← b2B → b, nova regra B → b [10]
[4, 6] b ← Bb2 → B
[5, 7] A ← a3 ← Baba4 → Bab
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5. Procedimento de Knuth-Bendix
1
a
Iteracao: Simplificacao
Conjunto de regras atual:
[1] aA → ǫ
[2] Aa → ǫ
[3] bB → ǫ, elimina-se por [10]
[4] Bb → ǫ, elimina-se por [10][5] a4 → ǫ, elimina-se por [8]
[6] b2 → ǫ
[7] Baba → ǫ, elimina-se por [9]
[8] a3 → A
[9] Bab → A, substitui-se por bab → A [11]
[10] B → b
Conjunto de regras resultante:
[1] aA → ǫ
[2] Aa → ǫ
[6] b2 → ǫ
[8] a3 → A
[10] B → b
[11] bab → A
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5. Procedimento de Knuth-Bendix
2
a
Iteracao: Pares Crıticos
Pares Crıticos:
[1, 8] A2 ← a3A → a2,
nova regra A2 → a2 [12]
[2, 8] A2 ← Aa3 → a2
[6, 11] bA ← b2ab → ab,nova regra bA → ab [13]
[6, 11] Ab ← bab2 → ba,
nova regra ba → Ab [14]
2a Iteracao: Simplificacao
[1] aA → ǫ
[2] Aa → ǫ
[6] b2 → ǫ
[8] a3 → A
[10] B → b
[11] bab → A, elimina-se por [14]
[12] A2 → a2
[13] bA → ab
[14] ba → Ab
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5. Procedimento de Knuth-Bendix
3a Iteracao: Pares Crıticos
[1, 12] A ← aA2 → a3 → A
[1, 14] b ← baA → AbA → Aab → b
[2, 12] A ← A2a → a3 → A
[2, 13] b ← bAa → aba → aAb → b
[6, 13] A ← Ab2 ← bab ← b2A → A
[6, 14] a ← ab2 ← bAb ← b2a → a
Nao ha regras novas! Procedimento para
com srp:
[1] aA → ǫ
[2] Aa → ǫ[6] b2 → ǫ
[8] a3 → A
[10] B → b
[12] A2 → a2
[13] bA → ab
[14] ba → Ab
Obs. O srp acima e convergente portanto
nos fornece uma maneira simples para re-
solver o problema da palavra do grupo D8.
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6. Procedimeto de Otto-Cremmans
Motivacao: Ao inves de completar um con-
junto de regras de reescrita manipula-se uma
estrutura que representa de maneira “com-
pacta” os relatores de um grupo.
Definicao. Seja ≡ a menor relacao de equi-
valencia que satisfaz u ≡ u−1 e uv ≡ vu para
todos u, v ∈ Σ∗. As classes de equivalencia
de ≡ sao chamadas de ciclos de palavras .
(Notacao: O ciclo de palavras com repre-
sentante a e indicado por [a]).
Exemplo.
[b−1aba] e dado por:
{b−1aba, ab−1ab, bab−1a, abab−1, a−1b−1a−1b,
ba−1b−1a−1, a−1ba−1b−1, b−1a−1ba−1}.
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6. Procedimeto de Otto-Cremmans
Regras de Inferencia. Seja Z um conjuntode ciclos de palavras.
(P.1) Se o ciclo vazio estiver em Z elimine-o.
(P.2) Se existe u ∈ Σ∗ e a ∈ Σ tais que [uaa−1]≡ ∈ Z entao substitua [uaa−1]≡ por [u]≡.
(P.3) Se existem u, v ∈ Σ+ tais que [u]≡ ∈ Z e [uv]≡ ∈Z , entao substitua [uv]≡ por [v]≡.
(P.4) Se existem u,x,y ∈ Σ+ tais que [ux]≡ ∈ Z e[uy]≡ ∈ Z , onde x e y nao comecam e nem ter-minam com o mesmo sımbolo, entao adicione[xy−1]≡.
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6. Procedimeto de Otto-CremmansEntrada: Um conjunto finito Z 0 de ciclos de palavras.
A ← Z 0
Normalize(A)
repita
B ← A
C ← regras obtidas de A por (P.4)
A ← A ∪ C
Normalize(A)
ate que A = B
Saıda: A
Normalize consiste da aplicacao das regras
de inferencia (P.1)-(P.3) sucessivamente ate
que nao seja mais possivel.
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6. Procedimeto de Otto-Cremmans
Gerando ciclos de palavras com (P.4)
Entrada: Duas palavras u = u1...un e v = v1...vm
representando os ciclos de palavras [u] e [v].
A ← ∅
para cada x = x1...xn ∈ [u]
para cada y = y1...ym ∈ [v]
l ← max{i|x1...xi = y1...yi}
se l > 0 e xn = ym
A ← A ∪ {[xl+1xl+2...xny−1m y−1
m−1...y−1l+1]}
Saıda: A
Como cada ciclo de palavra [u] tem no maximo
2|u| palavras distintas a geracao de novos
ciclos de palavras requer no maximo 4mncasamentos de palavras.
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6. Procedimeto de Otto-Cremmans
Transformando Z em sistema de
reescrita
Seja > uma ordem de reducao sobre Σ∗.
Associamos a regra (u → v) ao ciclo z ∈ Z
se [uv−1
] = z, u > v e para todos u1, u2, u3 ∈Σ∗ tais que u = u1u2u3 e u1u3 = ǫ temos
u2 ≤ u−11 vu−1
3 .
Denotamos por R(Z, >) o conjunto de todas
as regras de reescrita associadas aos ciclos
de Z .
Exemplo: Seja > a ordem por comprimento.
O conjunto de regras associado ao ciclo de
palavras [a5] e dado por:
a4 → a−1
a3 → a−2
a−4 → a
a−3 → a2
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6. Procedimeto de Otto-Cremmans
Exemplo. Seja Z 0 = {[a4], [b2], [b−1aba]}
(grupo de simetrias do quadrado).
[1] [a4]
[2] [b2][3] [b−1aba]
Da sobreposicao:
aa3
abab−1
obtemos o novo ciclo:
[4] [a3(bab−1)−1] = [a3ba−1b−1]
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6. Procedimeto de Otto-Cremmans
Ciclos resultantes de (P.4) na 1a Iteracao:
[4] [a3ba−1b−1] [1, 3]
[5] [a3b−1a−1b] [1, 3]
[6] [(ab−1)2] [2, 3]
[7] [(ab)
2
] [2, 3][8] [a2ba2b−1] [3, 3]
Ciclos resultantes de (P.4) na 2a Iteracao:
[09] [a3ba3b−1] [1, 4]
[10] [a3ba−1b] [1, 6]
[11] [a3b−1a−1b−1] [1, 7]
[12] [a2b−1a−2b] [1, 8]
[13] [a2b−1a2b−1] [2, 8]
[14] [(a2b)2] [2, 8]
[15] [a2
ba−2
b] [3, 4][16] [(aba−1b−1)2] [3, 4]
[17] [ab−1a−1baba−1b−1] [3, 5]
[18] [ab−1a−1bab−1a−1b] [3, 5]
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7. Observacoes
Procedimento op. para geracao de regras/c.p.’s
Knuth-Bendix casamento de palavrasOtto-Cremanns casamento de ciclos de palavras
F. Otto e R. Cremanns sugerem que seu
procedimento requer menos espaco que o de
Knuth-Bendix para completar a apresentacao
de um grupo.
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7. Observacoes
No procedimento de Otto-Cremanns se [u]
esta em Z entao todo x ∈ [u] e equivalente
a ǫ.
O procedimento de Knuth-Bendix gera in-
formacao adicional, p.ex. a regra B → b
gerada na primeira iteracao simplifica con-
sideravelmente, em espaco e tempo, o pro-
cesso de completacao.
No procedimento de Otto-Cremanns esta
informacao nunca e gerada fazendo com que
os ciclos de palavras [b−1aba] e [baba] sejam
considerados distintos.
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8. Conclusoes
O estudo de propriedades de estruturas alge-
bricas e importante em Ciencia da Com-
putacao em face das inumeras aplicacoes
em areas como Computabilidade, Lingua-
gens Formais e Criptografia.
Foi proposta uma estrategia de aplicacaodas regras de inferencia P.1 - P.4 que na
pratica mostrou-se bem mais eficiente que
a original.
Trabalho futuro:
• Simplificacao bidirecional dos ciclos de
palavras na aplicacao da regra P.4.
• Matching eficiente de ciclos de palavras,
adaptar Knuth-Morris-Pratt.
• Aprimorar implementacao.