Problema da designação – formação de equipes de trabalho
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PESQUISA OPERACIONAL II 2018
LOCALIZAÇÃO
Capítulo 1
1-1
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Capítulo 1
1-2
Regra do Jogo
Provas
1a Prova: 9 de outubro
2a Prova: 13 de novembro
Substitutiva: 20 de novembro
Média
P = Média das Provas
T = Média dos Trabalhos
Média = 0.8*P + 0.2*T
Bibliografia
Hillier, F. S., Lieberman, G.
J. Introdução à Pesquisa
Operacional, McGraw-
Hill, 2006
Lachtermacher, G.
Pesquisa Operacional na
Tomada de Decisões,
Campus, 2004
Wagner, H. M. Pesquisa
Operacional, Prentice-
Hall, 1986
Netto, P. O. B., Jurkiewicz,
S. Grafos: Introdução e
Prática, Blucher, 2017
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LOCALIZAÇÃO
O que localizar?
Pontos Origem
Plantas, Vendedores, Portos
Pontos Intermediários
Armazéns, Terminais, Serviços públicos
(bombeiros, polícia, ambulâncias)
Pontos Destino
Varejistas, Clientes, Usuários
Capítulo 1
Fábricas
Estoques
Bancos
Creches
Antenas
1-3
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LOCALIZAÇÃO
Por que é importante?
Estruturação da rede
Impacta significativamente
sobre os custos de estoque e
transporte
Fundamental para o nível de
serviço
Capítulo 1
Métodos de Resolução
Centro de Gravidade
Programação Inteira Mista
Modelo da P-mediana
1-4
Modelo
Matemático
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1. Localização de Armazéns RS
A CEARS quer construir três novos armazéns agrícolas. Dados
os custos abaixo, localizar os armazéns.
Opções Custo
Construção
Capacidade Uruguaiana Pelotas Caxias do
Sul
Passo
Fundo
Porto
Alegre
Alegrete 7 milhões 600 kton 2,10 6,30 7,80 6,30 7,50
Caçapava
do Sul
5 milhões 750 kton 5,70 2,70 4,50 4,50 3,78
Tupanciretá 9 milhões 350 kton 5,40 5,58 4,38 2,88 4,80
Vacaria 6 milhões 450 kton 10,20 6,54 1,14 2,40 3,00
Santa Rosa 4 milhões 400 kton 5,58 7,86 6,00 3,48 6,84
Demanda 150 kton 450 kton 300 kton 250 kton 500 kton
Capítulo 1
1-5
Custo de transporte
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Modelo Matemático
Minimizar = 7000y1 + 5000y2 + 9000y3 + 6000y4 + 4000y5 + 2,1 x11 + 6,3 x12 + 7,8 x13 +
... + 6,84x55
Sujeito a x11 + x12 + x13 + x14 + x15 ≤ 600 y1 yi = 0/1
x21 + x22 + x23 + x24 + x25 ≤ 750 y2 xij ≥ 0
x31 + x32 + x33 + x34 + x35 ≤ 350 y3
x41 + x42 + x43 + x44 + x45 ≤ 450 y4
x51 + x52 + x53 + x54 + x55 ≤ 400 y5
x11 + x21 + x31 + x41 + x51 = 150
x12 + x22 + x32 + x42 + x52 = 450
x13 + x23 + x33 + x43 + x53 = 300
x14 + x24 + x34 + x44 + x54 = 250
x15 + x25 + x35 + x45 + x55 = 500
y1 + y2 + y3 + y4 + y5 = 3
yi = 1 se localizar na cidade i
0 caso contrário
xij = quantidade enviada de i para j
Capítulo 1
1. Localização de Armazéns RS
1-6
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Capítulo 1
1. Localização de Armazéns RS EXCEL
1-7
150 200 150 600
250 500 750
350
450
150 250 400
150 450 300 250 500
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Capítulo 1
1. Localização de Armazéns RS LINGO
1-8
150 200 150 600
250 500 750
350
450
150 250 400
150 450 300 250 500
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2. Problema do Hospital
O MHH pretende instalar serviços médicos de emergência na
região em que opera.
A meta principal é garantir que nenhum paciente gaste mais
do que 10 minutos para chegar a um centro de emergência.
Qual o número mínimo de salas de emergência e em que
pontos localizá-las?
Capítulo 1
1-9
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2. Problema do Hospital
Tempo em trânsito de cada região para os locais potenciais
de sala de emergência:
1 2 3 4 5 6
A 0 5 15 25 25 15
B 5 0 20 30 15 5
C 15 20 0 10 25 15
D 25 30 10 0 10 20
E 25 15 25 10 0 9
F 15 5 15 20 9 0
Capítulo 1
Pontos de localização
Áreas
1-10
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Locais de atendimento de emergência com tempo de
deslocamento de até 10 minutos:
Ponto Entorno
1 A, B
2 A, B, F
3 C, D
4 C, D, E
5 D, E, F
6 B, E, F
2. Problema do Hospital
Capítulo 1
1-11
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Modelo Matemático Minimizar = xA + xB + xC + xD + xE + xF
Sujeito a xA + xB ≥ 1 Local 1
xA + xB + xF ≥ 1 Local 2
xC + xD ≥ 1 Local 3
xC + xD + xE ≥ 1 Local 4
xD + xE + xF ≥ 1 Local 5
xB + xE + xF ≥ 1 Local 6
xi = 1 se localizar na área i
0 caso contrário
2. Problema do Hospital
Capítulo 1
1-12
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2. Problema do Hospital EXCEL
Capítulo 1
1-13
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2. Problema do Hospital LINGO
Capítulo 1
1-14
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3. Problema do Banco
A OTC pretende estabelecer-se em 20 municípios principais (PPB).
De acordo com a lei de Ohio, se estabelecer-se em 1 município principal (PPB), pode abrir agências ali e nos municípios adjacentes.
Determinar quais são os municípios mais indicados para instalação de um número mínimo de PPBs.
Capítulo 1
1-15
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Município Vizinhos Município Vizinhos
1) Ashtabula 2, 12, 16 11) Stark 8, 10, 13, 14, 15, 18,
19, 20
2) Lake 1, 3, 12 12) Geauga 1, 2, 3, 10, 13, 16
3) Cuyahoga 2, 4, 9, 10, 12, 13 13) Portage 3, 10, 11, 12, 15, 16
4) Lorain 3, 5, 7, 9 14) Columbiana 11, 15, 20
5) Huron 4, 6, 7 15) Mahoning 11, 13, 14, 16
6) Richland 5, 7, 17 16) Trumbell 1, 12, 13, 15
7) Ashland 4, 5, 6, 8, 9, 17, 18 17) Knox 6, 7, 18
8) Wayne 7, 9, 10, 11, 18 18) Holmes 7, 8, 11, 17, 19
9) Medina 3, 4, 7, 8, 10 19) Tuscarawas 11, 18, 20
10) Summit 3, 8, 9, 11, 12, 13 20) Carroll 11, 14, 19
3. Problema do Banco
Capítulo 1
1-16
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Modelo Matemático
Minimizar = x1 + x2 + x3 + x4 + x5+ x6 + x7 + x8 + x9 + x10 + x11 + x12 + x13 + x14 + x15 + x16 + x17 +
x18 + x19 + x20
Sujeito a:
x1 + x2 + x12 + x16 >= 1; x1 + x2 + x3 + x12 >= 1;
x2 + x3 + x4 + x10 + x12 + x13 >= 1; x3 + x4 + x5 + x7 + x9 >= 1;
x4 + x5 + x6 + x7 >= 1; x5 + x6 + x7 + x17 >= 1;
x4 + x5 + x6 + x7 + x8 + x9 + x17 + x18 >= 1; x7 + x8 + x9 + x10 + x11 + x18 >= 1;
x3 + x4 + x7 + x8 + x9 + x10 >= 1; x3 + x8 + x9 + x10 + x11 + x12 + x13 >= 1;
x8 + x10 + x11 + x13 + x14 + x15 + x18 + x19 + x20 >= 1;
x1 + x2 + x3 + x10 + x12 + x13 + x16 >= 1;
x3 + x10 + x11 + x12 + x13 + x15 + x16 >= 1; x11 + x14 + x15 + x20 >= 1;
x11 + x13 + x14 + x15 + x16 >=1; x1 + x12 + x13 + x14 + x15 + x16 >= 1;
x6 + x7 + x17 + x18 >= 1; x7 + x8 + x11 + x17 + x8 + x19 >= 1;
x11 + x18 + x19 + x20 >= 1; x11 + x14 + x19 + x20 >= 1;
3. Problema do Banco xi = 1 se localizar PPB em i
0 caso contrário
Capítulo 1
1-17
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3. Problema do Banco LINGO
Capítulo 1
1-18
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Capítulo 1
Modelo da P-Mediana
Modelo Matemático
x11 x12 x13
x21 x22 x23
x31 x32 x33
L1 L2 L3
L1 1 0 0
L2 0 0 1
L3 0 0 1
1-19
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Uma empresa com filiais em 4 cidades da região sudeste (Ribeirão
Preto, São José do Rio Preto, Uberlândia, Londrina e Presidente
Prudente) quer marcar 1 ou 2 reuniões entre seus colaboradores
em uma destas cidades, a que for mais conveniente para
seus colaboradores.
Resolver o problema da
p-mediana e localizar:
a) Uma cidade
b) Duas cidades
4. Problema das Reuniões
P-MEDIANA
Capítulo 1
1-20
RP SJRP U L PP
RP 0 186 281 471 446
SJRP 186 0 289 390 275
U 281 289 0 743 562
L 471 390 743 0 162
PP 446 275 562 162 0
Distâncias
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Modelo Matemático
Minimizar = 186*x12 + 281*x13 + 471*x14 + 446*x15 + 186*x21 + 289*x23 + 390*x24 + 275*x25 + 281*x31 + 289*x32 +
743*x34 + 562*x35 + 471*x41 + 390*x42 + 743*x43 + 162*x45 + 446*x51 + 275*x52 + 562*x53 + 162*x54;
Sujeito a
x11 + x12 + x13 + x14 + x15 = 1; x21 + x22 + x23 + x24 + x25 = 1; x31 + x32 + x33 + x34 + x35 = 1;
x41 + x42 + x43 + x44 + x45 = 1; x51 + x52 + x53 + x54 + x55 = 1; x11 + x22 + x33 + x44 + x55 = 2;
x11 + x21 + x31 + x41 + x51 <= 3; x12 + x22 + x32 + x42 + x52 <= 3; x13 + x23 + x33 + x43 + x53 <= 3;
x14 + x24 + x34 + x44 + x54 <= 3; x15 + x25 + x35 + x45 + x55 <= 3;
x11 + x21 + x31 + x41 + x51 >= x11; x12 + x22 + x32 + x42 + x52 >= x22; x13 + x23 + x33 + x43 + x53 >= x33;
x14 + x24 + x34 + x44 + x54 >= x44; x15 + x25 + x35 + x45 + x55 >= x55;
x21 <= x11; x31 <= x11; x41 <= x11; x51 <= x11;
x12 <= x22; x32 <= x22; x42 <= x22; x52 <= x22;
x13 <= x33; x23 <= x33; x43 <= x33; x53 <= x33;
x14 <= x44; x24 <= x44; x34 <= x44; x54 <= x44;
x15 <= x55; x25 <= x55; x35 <= x55; x45 <= x55;
Capítulo 1
4. Problema das Reuniões
P-MEDIANA
x11 x12 x13 x14 x15
x21 x22 x23 x24 x25
x31 x32 x33 x34 x35
x41 x42 x43 x44 x45
x51 x52 x53 x54 x55
1-21
xij = 1 se o agente da cidade i
é designado para
reunião na cidade j
0 caso contrário
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4. Localidade para Reuniões
P-MEDIANA
Capítulo 1
1-22
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A Plus quer construir 1 ou 2 incineradores para destruir produtos tóxicos transportados de 5 cidades (A, B, C, D, E) para incineração em qualquer uma destas cidades. A capacidade de cada incinerador instalado será de 1000 toneladas.
Resolver o problema da
p-mediana e localizar:
a) Um incinerador
b) Dois incineradores
5. Problema dos Incineradores
P-MEDIANA
Capítulo 1
1-23
A B C D E Tonela
das
A 0 9 6 4 2 100
B 9 0 7 1 5 200
C 6 7 0 3 8 150
D 4 1 3 0 3 150
E 2 5 8 3 0 300
Distâncias
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Modelo Matemático
Minimizar = 9*x12 + 6*x13 + 4*x14 + 2*x15 + 9*x21 + 7*x23 + 1*x24 + 5*x25 + 6*x31 + 7*x32 + 3*x34 + 8*x35 + 4*x41 +
1*x42 + 3*x43 + 3*x45 + 2*x51 + 5*x52 + 8*x53 + 3*x54;
s/a x11 + x12 + x13 + x14 + x15 = 1; x21 + x22 + x23 + x24 + x25 = 1; x31 + x32 + x33 + x34 + x35 = 1;
x41 + x42 + x43 + x44 + x45 = 1; x11 + x12 + x13 + x14 + x15 = 1 x11 + x22 + x33 + x44 + x55 = 1;
x11 + x21 + x31 + x41 + x51 <= 5; x12 + x22 + x32 + x42 + x52 <= 5; x13 + x23 + x33 + x43 + x53 <= 5;
x14 + x24 + x34 + x44 + x54 <= 5; x15 + x25 + x35 + x45 + x55 <= 5; x11 + x21 + x31 + x41 + x51 >= 2*x11;
x12 + x22 + x32 + x42 + x52 >= 2*x22; x13 + x23 + x33 + x43 + x53 >= 2*x33; x14 + x24 + x34 + x44 + x54 >= 2*x44;
x15 + x25 + x35 + x45 + x55 >= 2*x55;
100*x11 + 200*x21 + 150*x31 +150*x41 +300*x51 <= 1000*x11;
100*x12 + 200*x22 +150*x32 +150*x42 + 300*x52 <= 1000*x22;
100*x13 + 200*x23 +150*x33 +150*x43 + 300*x53 <= 1000*x33;
100*x14 + 200*x24 +150*x34 +150*x44 + 300*x54 <= 1000*x44;
100*x15 + 200*x25 +150*x35 +150*x45 + 300*x55 <= 1000*x55;
x21 <= x11; x31 <= x11; x41 <= x11; x51 <= x11; x12 <= x22; x32 <= x22; x42 <= x22; x52 <= x22;
x13 <= x33; x23 <= x33; x43 <= x33; x53 <= x33; x14 <= x44; x24 <= x44; x34 <= x44; x54 <= x44;
x15 <= x55; x25 <= x55; x35 <= x55; x45 <= x55;
Capítulo 1
5. Problema dos Incineradores
P-MEDIANA
x11 x12 x13 x14 x15
x21 x22 x23 x24 x25
x31 x32 x33 x34 x35
x41 x42 x43 x44 x45
x51 x52 x53 x54 x55
1-24
xij = 1 se o produto tóxico da
cidade i é designado
para o incinerador
da cidade j
0 caso contrário
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5. Incineradores de Lixo
P-MEDIANA
Capítulo 1
1-25
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Fábrica 5 peças e 4 máquinas
Capítulo 1
6. Projeto de Células de Manufatura
P-MEDIANA
M1 M2 M3 M4
P1 1 0 1 0
P2 0 1 0 1
P3 1 0 1 0
P4 1 0 0 0
P5 0 0 0 1
Projetar
2
Células de
Manufatura
M1 M3 M2 M4
P1 1 1
P3 1 1
P4 1
P2 1 1
P5 1
1-26
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Dissimilaridades (ou distâncias) entre peças
Capítulo 1
6. Projeto de Células de Manufatura
P-MEDIANA
P1 P2 P3 P4 P5
P1 0 4 0 1 3
P2 0 4 3 1
P3 0 1 3
P4 0 2
P5 0
M1 M2 M3 M4
P1 1 0 1 0
P2 0 1 0 1
P3 1 0 1 0
P4 1 0 0 0
P5 0 0 0 1
1-27
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Modelo Matemático
Minimizar = 4*x12 + 4*x21 + x14 + x41 + 3*x15 + 3*x51 + 4*x23 + 4*x32 + 3*x24 +3*x42 +
x25 + x52 + x34 + x43 + 3*x35 + 3*x53 + 2*x45 + 2*x54;
Sujeito a x11 + x12 + x13 + x14 + x15 = 1; x21 + x22 + x23 + x24 + x25 = 1;
x31 + x32 + x33 + x34 + x35 = 1; x41 + x42 + x43 + x44 + x45 = 1;
x51 + x52 + x53 + x54 + x55 = 1;
x11 + x22 + x33 + x44 + x55 = 2;
x21 <= x11; x31 <= x11; x41 <= x11; x51 <= x11;
x12 <= x22; x32 <= x22; x42 <= x22; x52 <= x22;
x13 <= x33; x23 <= x33; x43 <= x33; x53 <= x33;
x14 <= x44; x24 <= x44; x34 <= x44; x54 <= x44;
x15 <= x55; x25 <= x55; x35 <= x55; x45 <= x55;
Capítulo 1
6. Projeto de Células de Manufatura
P-MEDIANA
x11 x12 x13 x14 x15
x21 x22 x23 x24 x25
x31 x32 x33 x34 x35
x41 x42 x43 x44 x45
x51 x52 x53 x54 x55
xij = 1 se i pertence
ao grupo
formado em
torno de j
0 caso contrário
P1 P2 P3 P4 P5
P1 - 4 0 1 3
P2 - 4 3 1
P3 - 1 3
P4 - 2
P5 -
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Capítulo 1
6. Projeto de Células de Manufatura
P-MEDIANA
x11 x12 x13 x14 x15
x21 x22 x23 x24 x25
x31 x32 x33 x34 x35
x41 x42 x43 x44 x45
x51 x52 x53 x54 x55
1 0 0 0 0
0 1 0 0 0
1 0 0 0 0
1 0 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 0 1
0 0 1 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 0 1
M1 M3 M2 M4
P1 1 1
P3 1 1
P4 1
P2 1 1
P5 1
M1 M2 M3 M4
P1 1 0 1 0
P2 0 1 0 1
P3 1 0 1 0
P4 1 0 0 0
P5 0 0 0 1
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Capítulo 1
6. Projeto de Células de Manufatura
P-MEDIANA
x11 x12 1
x14 x15
x21 x22 x23 x24 1
x31 x32 1
x34 x35
x41 x42 1
x44 x45
x51 x52 x53 x54 1
M1 M3 M2 M4
P1 1 1
P3 1 1
P4 1
P2 1 1
P5 1
Função-Objetivo = 2
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Capítulo 1
P-MEDIANA
7. Problema dos Laboratórios
P-MEDIANA
1-31