Problem a Rio Mec Flu II
Transcript of Problem a Rio Mec Flu II
Dedicado a mis nietas
Isabel y Verónica
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO DE LOS FLUIDOS REALES __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
3
AGRADECIMIENTO
Quiero expresar mi más sincero agradecimiento al profesor Julián Aguirre Pe, quien con dedicación y detenimiento leyó los manuscritos haciendo las correcciones necesarias con el fin de obtener una mejor claridad en la explicación de los problemas. A la profesora Alix T. Moncada M., quien con entusiasmo y esmero, colaboró ampliamente en la realización de los gráficos, haciendo las sugerencias necesarias para su mejoramiento. Ellos dispusieron de gran parte de su tiempo libre, para que este trabajo fuera realizado satisfactoriamente en el tiempo previsto. Agradezco también a Mildred Pérez, por su dedicación y colaboración prestada de una u otra forma y en todo momento en que se hizo necesaria su ayuda.
Lionel
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO DE LOS FLUIDOS REALES __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
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INDICE
Capítulo 1 Pág. Flujo de fluidos reales. 5 Capítulo 2 Flujo permanente en conductos cerrados. 39 Capítulo 3 Principio de energía y cantidad de movimiento aplicado al flujo en canales. 85 Capítulo 4 Flujo uniforme en canales abiertos. 117 Capítulo 5 Flujo gradualmente variado. 155 Capítulo 6 Flujo de un fluido ideal. 205
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO DE LOS FLUIDOS REALES __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
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Capítulo 1
FLUJO DE FLUIDOS REALES
Determinación de la longitud de la placa x. Considerando como hipótesis que el flujo en la placa es turbulento (RX > 5 x 105), tendremos entonces:
5/15/4
5/1
5/1
5/15/1X
U
37.0x
x
xU
37.0xU
37.0
xR
37.0
x
4/1
5
4/54/14/54/55/1
10x6.13600
1000x108
37.0
0074.0x
U
37.0x
U
37.0x
x = 0.2783 m
Determinación del número de Reynolds de la placa.
5X5XX 10x22.5R
10x6.1
2783.03600
1000x108
RxU
R
como RX = 5.22 x 105 > 5 x 105, entonces el flujo es turbulento y la hipótesis es cierta.
Problema F.II-1.01 El aire a 20º C (ν = 1.6 x 10-5 m2/s) con una presión absoluta de 1.00 kg/cm2 fluye a lo largo de una placa con una velocidad de 108.00 km/h. ¿Qué longitud debe tener la placa para obtener un espesor de la capa límite de 7.40 mm?
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO DE LOS FLUIDOS REALES __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
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Determinación de la ecuación de crecimiento de la capa límite laminar.
El esfuerzo cortante en la placa es:
ydU
u1
U
u
xU
0
20
Si η η no depende dey
y d y d y
Los nuevos límites de integración son:
00y
0ypara
1y
ypara
entonces el esfuerzo cortante es:
ηdU
u1
U
u
xU
1
0
20
223U
uycomo
. Al sustituirlo en la expresión anterior se tiene:
1
0
43220
1
0
2220 d412113
xUηd23123
xU
1
0
543220 5
4
4
12
3
11
2
3
xU
x30
U2
0
Problema F.II-1.02
Utilizando un perfil de velocidades dado por 2
y2
y3
U
u
, determinar:
a) La ecuación de crecimiento de la capa límite laminar. b) La tensión de cortadura. c) La relación entre el espesor desplazado y1 .
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO DE LOS FLUIDOS REALES __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
7
Por otra parte, según la ley de viscosidad de Newton, en la pared se tiene:
Uyy
uyy
U
u
22
2323
, entonces
0y20
0y
2
0
0y
0
y43
yd
Uy
2y
3d
yd
ud
U30
igualando las expresiones del esfuerzo cortante 0 se tiene:
xdU
90dxd
U
90d
U3
x30
U2
integrando se tiene:
U
x42.13
U
x180
U
x90
2
2
Determinación del esfuerzo cortante. Si se sustituye en la expresión del esfuerzo cortante 0 se tiene:
x
U224.0
U
x180
U3
3
00
Determinación de la relación entre el espesor desplazado y1 . El espesor desplazado 1 es la distancia que habría que desplazar la pared hacia dentro del fluido para que el caudal fuese el mismo que se tendría si no existiera el efecto de frenado de las partículas próximas a la pared, lo cual se representa en la siguiente figura:
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO DE LOS FLUIDOS REALES __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
8
El espesor desplazado 1 está expresado analíticamente por
0
1
0
1
0
1 ydU
u1yd
U
u
U
UyduUU
Para la distribución de velocidades del presente caso obtenemos, al reemplazar
223porU
u y hacer el cambio de variable y = , los nuevos índices de integración,
los cuales resultan: para y = 0, = 0, para y = , = 1
1
0
21 d231
Al integrar
3
2
2
31
3
2
2
31
1
0
321
61
Problema F.II-1.03 Desarrollar:
a) Una expresión para la velocidad media V. b) La ecuación de crecimiento de la capa límite turbulenta en tuberías circulares
de radio r0, a partir de 5/1
X
9/1
R
185.0fy
y
U
u
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO DE LOS FLUIDOS REALES __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
9
Determinación de la velocidad media V.
9/19/1
9/19/1
yU
uy
Uuy
U
u
R
0
9/19/1
R
0
R
0
rdr2yU
Qrdr2uQdAuQ
La relación que existe entre el radio de la tubería R, el radio variable r, y la distancia desde la pared y, es:
ydrdyRrryR
los nuevos límites de integración son:
para r = 0 RyyR0yRr
para r = R 0yyRRyRr
Al sustituir en la expresión del caudal se obtiene:
0
R
9/109/19/1
0
R
9/19/1
ydyRy2U
QydyRy2U
Q
9/199/199/1
0
R
9/199/109/1
R19
9R
10
90
2UQy
19
9Ry
10
92UQ
9/1
9/19
9/1
9/19 RU853.0Q
19
9
10
9R2UQ
Por otra parte:
2RVQAVQ
al igualar las expresiones del caudal se tiene:
9/1
9/12
9/19
9/1
9/192 R
U853.0VR
RU853.0V
RU853.0RV
Determinación del espesor de la capa límite. El esfuerzo cortante en placas es:
ydU
u1
U
u
xU
0
20
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO DE LOS FLUIDOS REALES __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
10
Si ydedependenoηdydyηy
los nuevos límites de integración son:
00y
0ypara
1y
ypara
entonces el esfuerzo cortante es:
ηdU
u1
U
u
xU
1
0
20
9/1
U
uyComo
, al sustituirlo en la expresión anterior se tiene:
1
0
9/29/120
1
0
9/19/120 d
xUηd1
xU
11
9
10
9
xU
11
9
10
9
xU 2
0
1
0
9/119/1020
xU0818.0 2
0
En tuberías el esfuerzo cortante es:
8
fV
8
fV
2
00
como en el presente caso,
9/1
5/15/1
5/1
5/1x
RU853.0Vy
xU
185.0f
R
185.0f
entonces,
5/15/19/2
5/19/222
0
5/15/1
5/129/1
0 xU8
185.0RU853.0
8
xU
185.0RU853.0
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO DE LOS FLUIDOS REALES __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
11
5/15/19/2
5/19/22
0 xU
RU01683.0
igualando las expresiones del esfuerzo cortante se tiene:
5/15/19/2
5/19/222
xU
RU0.01683
xU0818.0
xdxU
R205.0dxU
R0.01683
x0818.0 5/1
5/19/29/2
5/15/19/2
5/19/2
15/15/1
9/29/115/45/1
9/29/11 x4
5
UR205.0
11
9xdx
4
5
UR205.0
11
9
x4
5
xUR205.0
9
11x
4
5
xUR205.0
11
95/1
9/29/11
5/1
9/29/11
11/95/1
9/2 x4
5
xUR205.0
9
11
55/9X
11/911/2
R
xR387.0
Determinación del número de Reynolds del flujo completamente establecido.
899R
98
10
73.91x05.0x00.20R
DvR
El flujo es laminar, por lo tanto toda la capa límite es laminar hasta que sea igual a la mitad del diámetro.
Problema F.II-1.04 Determinar la longitud de establecimiento del flujo en una tubería circular de diámetro D = 5.00 cm, si en ella fluye aceite con una velocidad media v = 20.00 m/s. La viscosidad del aceite es μ = 10 poise y la densidad ρ = 91.73 UTM/m3.
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO DE LOS FLUIDOS REALES __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
12
La ecuación para la capa límite laminar es:
2/1xR
65.4
x
2
22
2
2
X
2
2
2
X2
2
65.4
Ux
xU
65.4
xR
65.4
xR
65.4
x
m52.0x
98
1065.4
73.91x00.20x2
05.0
x65.4
U2
D
x2
2
2
2
El esfuerzo cortante en placas es:
ydU
u1
U
u
xU
0
20
Problema F.II-1.05 Hallar es espesor de la capa límite laminar en función de de la distancia x, y del
número de Reynolds, si el perfil de velocidades está dado por 3/1
y
U
u
y el esfuerzo
cortante obtenido experimentalmente es
U50.20 .
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO DE LOS FLUIDOS REALES __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
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Si ydedependenoηdydyηy
los nuevos límites de integración son:
00y
0ypara
1y
ypara
entonces el esfuerzo cortante es:
ηdU
u1
U
u
xU
1
0
20
Como 3/1
U
uy
, al sustituirlo en la expresión anterior se tiene:
1
0
3/23/120
1
0
3/13/120 d
xUηd1
xU
5
3
4
3
xU
5
3
4
3
xU 2
0
1
0
3/53/420
20
3
xU2
0
por otra parte experimentalmente se encontró que:
U50.2
0
Igualando las expresiones de los esfuerzos cortantes se tiene que:
xdU
U50.2
3
20d
U50.2
20
3
xd
dU
22
CU
x
3
50
2
2
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO DE LOS FLUIDOS REALES __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
14
Las condiciones de borde son para x = 0, = 0. Al sustituir estos valores en la expresión anterior se obtiene C = 0, así:
x2
2
2
22
2
R
33.33
xxU33.33
xU
x
3
100
U
x
3
50
2
2/1xR
77.5
x
Cuando la velocidad es de 1.00 m/s Supongamos que la lámina se encuentra en reposo y sobre ella actúa una corriente de aire con una velocidad U = 1.00 m/s como se muestra en el siguiente esquema.
Determinación del número de Reynolds RL al final de la lámina.
55L5LL 10x510x786.1R
10x40.1
50.2x00.1R
xUR
por lo tanto la capa límite es laminar y su espesor es:
m0275.0
10x786.1
65.4x50.2
R
65.4x
R
65.4
x 2/152/1L
2/1L
Problema F.II-1.06 Una lámina plana horizontal y lisa de 2.50 m de largo y 1.00 m de ancho se mueve longitudinalmente en aire en reposo con una velocidad de 1.00 m/s. (γ = 1.20 kg/m3 y ν = 1.40 x 10-5 m2/s).
a) Calcular el espesor de la capa límite al final de la placa y la potencia necesaria para mantener el movimiento de la lámina.
b) Si la velocidad de la lámina aumenta a 5.00 m/s ¿Cuál sería el espesor de la capa límite al final de la lámina? y ¿cuál la potencia requerida?
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO DE LOS FLUIDOS REALES __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
15
se producen dos capas limites una en la cara superior y otra en la cara superior. Para este caso el coeficiente de arrastre CD es:
003.0C
10x786.1
288.1C
R
288.1C D2/15D2/1
L
D
Determinación de la fuerza de arrastre de las dos caras.
BL
2
U
gC2FA
2
UC2F
2
DD
2
DD
kg00092.000.1x50.22
00.1
81.9
20.1003.02F
2
D
Determinación de la potencia.
s
mkg00092.0P00.1x00092.0PUFP D
Cuando la velocidad es de 5.00 m/s Determinación del número de Reynolds RL al final de la lámina.
55L5LL 10x510x9.8R
10x40.1
50.2x00.5R
xUR
por lo tanto la capa límite es turbulenta y su espesor es:
m0597.0
10x9.8
50.2x37.0
R
x37.0
R
37.0
x 5/155/1L
5/1L
Para la capa límite turbulenta después de corregir la resistencia de la sección laminar el coeficiente de arrastre CD es:
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO DE LOS FLUIDOS REALES __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
16
7L
5
L5/1
L
D 10x1R10x5paraválidaR
1700
R
074.0C
0029.0C
10x9.8
1700
10x9.8
074.0C D55/15D
Determinación de la fuerza de arrastre de las dos caras.
BL
2
U
gC2FA
2
UC2F
2
DD
2
DD
kg022.000.1x50.22
00.5
81.9
20.10029.02F
2
D
Determinación de la potencia.
s
mkg0111.0P00.5x022.0PUFP D
Determinación de la longitud de la placa.
m50.0L60.0
10x300000L
U
RL
LUR
6L
L
m00424.0300000
50.0x65.4
R
x65.4
R
65.4
x 2/12/1X
2/1X
Problema F.II-1.07 Una corriente de agua (ν = 1 x 10-6 m2/s) con una velocidad U = 0.60 m/s actúa sobre una placa plana y lisa de ancho B = 0.50 m. Al final de la placa en número de Reynolds es de RX = 300000. Determinar:
a) El espesor de la capa límite al final de la placa. b) La velocidad en la sección terminal de la placa para:
321 y,80.0y,40.0y si el perfil de velocidades esta dado por:
3
2
1
2
3
U
u donde:
y
c) La fuerza de arrastre que el agua ejerce sobre la placa.
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO DE LOS FLUIDOS REALES __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
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Determinación de las velocidades
3
3 y
2
1y
2
3Uu
2
1
2
3
U
u
4.0ypara 1
s/m34.0u4.02
14.0
2
360.0u
y
2
1y
2
3Uu4.0
y 33
1
8.0ypara 2
s/m57.0u8.02
18.0
2
360.0u
y
2
1y
2
3Uu8.0
y 33
2
3ypara
s/m60.0u0.12
10.1
2
360.0u
y
2
1y
2
3Uu0.1
y 33
3
Determinación de la fuerza de arrastre que se produce sobre la placa. Para flujo laminar el coeficiente de arrastre es:
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO DE LOS FLUIDOS REALES __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
18
00235.0C300000
288.1C
R
288.1C D2/1D2/1
X
D
50.0x50.0
2
60.0
81.9
1000x00235.02FA
2
UC2F
2
D
2
DD
FD = 0.0216 kg
Al inicio del canal, zona I, se produce una capa límite laminar hasta que R = 500000, esta distancia es:
m42.0x20.1
10x1x500000x
U
Rx
xUR
6X
X
desde este punto se comienza a producir, en la zona II, una capa límite turbulenta, para esa distancia el espesor de la capa límite laminar es:
m0027.0500000
42.0x65.4
R
x65.4
R
65.4
x 2/12/1x
2/1x
Problema F.II-1.08 Una corriente de agua (ν = 1 x 10-6 m2/s) con una profundidad de 0.50 m. fluye sobre el fondo de un canal desarrollando una capa límite. La velocidad al uniforme al inicio del canal es de U = 1.20 m/s. Determinar la longitud necesaria para que la capa límite ocupe toda la sección del flujo, es decir para que m50.0 .
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despreciando la zona I y considerando que la capa límite es toda turbulenta se tiene:
5/15/4
5/1
5/1
5/15/1X
U
37.0x
x
xU
37.0xU
37.0
xR
37.0
x
4/1
5
4/54/14/54/55/1
10x6.1
20.1
37.0
50.0x
U
37.0x
U
37.0x
la capa límite turbulenta alcanza la superficie del agua a una distancia x = 25.90 m
Determinación de la ecuación de crecimiento de la capa límite laminar.
El esfuerzo cortante en la placa es:
ydU
u1
U
u
xU
0
20
Si ydedependenoηdydyηy
Los nuevos límites de integración son:
00y
0ypara
1y
ypara
Problema F.II-1.09
Utilizando el perfil de velocidades en una placa dada por
y
U
u, determinar:
a) La ecuación de crecimiento de la capa límite laminar x
b) La ecuación del esfuerzo cortante 0
c) La expresión de la fuerza de arrastre FD para una placa de longitud L y ancho 1.00 m.
d) La ecuación del coeficiente de arrastre CD. e) La longitud crítica LC para la cual comienza a generarse la turbulencia.
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO DE LOS FLUIDOS REALES __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
20
entonces el esfuerzo cortante es:
ηdU
u1
U
u
xU
1
0
20
U
uycomo , al sustituirlo en la expresión anterior se tiene:
1
0
220
1
0
20 d
xUηd1
xU
1
0
3220 3
1
2
1
xU
x6
U2
0
Por otra parte, según la ley de viscosidad de Newton, en la pared se tiene, para
Uy
uy
U
u
, entonces
0y0
0y
0
0y
0
U
yd
Uy
d
yd
ud
U0
igualando las expresiones del esfuerzo cortante 0 se tiene:
CxU
6
2xd
U
6d
U
x6
U 22
Las condiciones de borde son para x = 0, = 0. Al sustituir estos valores en la expresión anterior se obtiene C = 0.
2/1X
2
2
2
2
2
2
R
12
xxU
12
xx
U
6
x
1
2x
1x
U
6
2
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO DE LOS FLUIDOS REALES __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
21
2/1XR
464.3
x
Determinación del esfuerzo cortante 0
2/1
X0
2/1X
00 RU2887.0
R
3.464
UU
x
U2887.0
xUU2887.0
3
0
2/1
0
Determinación de la fuerza de arrastre FD.
L
02/1
3D
L
0
3
0D
L
0
0D x
xdU2887.0Fxd
x
U2887.0FxdF
LUL577.0Fx2U2887.0F 32/1D
L0
2/13D
2/1X
2D2/1
X
2/1
2/12/12/132/1
DR
LU577.0F
R
LULUL577.0
F
Determinación del coeficiente de arrastre CD.
L00.12
UCFA
2
UCF
2
DD
2
DD
Igualando las expresiones de la fuerza de arrastre FD se tiene:
2/1
X
D2/1X
22
DR
154.1C
R
LU577.0L00.1
2
UC
Determinación de la longitud crítica LC para la cual comienza a generarse la turbulencia.
U
500000L
LU500000500000R C
CL
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO DE LOS FLUIDOS REALES __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
22
Determinación del número de Reynolds de la placa.
7L6LL 10x67.1R
10
20.1x3600
1000x00.50
RLU
R
Determinación del coeficiente de arrastre CD (válido para 106 < RL < 109)
00277.0C
10x67.1log
455.0C
Rlog
455.0C D58.27D58.2
e
D
Determinación de la fuerza sobre los esquís.
15.0x20.1x22
3600
1000x00.50
102x00277.0FA22
UCF
2
2
D
F = 9.81 kg
Determinación de la potencia P.
.CV81.1P75
3600
1000x00.50x81.9
P75
UFP )CV(CVCV
Problema F.II-1.10 Determinar la potencia requerida para vencer la resistencia al avance de un esquiador que es arrastrado sobre el agua en reposo con una velocidad de 50.00 km/h. Cada uno de los esquís (considerados planos) tiene 1.20 m de longitud y 0.15 m de ancho. La viscosidad cinemática del agua es 10-6 m2/s y la densidad es 102.00 UTM/m3.
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO DE LOS FLUIDOS REALES __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
23
Determinación de las densidades del aire y del helio.
En los gráficos correspondientes de viscosidad absoluta y viscosidad cinemática para algunos gases y líquidos (gases a presión atmosférica normal) se encuentra para una temperatura de 50º C los valores que se muestran en la siguiente tabla.
μ (kg.s/m2)
Viscosidad absoluta
(m2/s)
Viscosidad cinemática
ρ (UTM/m3) /
Densidad
Aire 2.0 x 10-6 1.9 x 10-5 0.11
Helio 2.2 x 10-6 1.4 x 10-4 0.02
a) Cuando el globo asciende libremente las fuerzas que actúan se muestran en el
siguiente diagrama de cuerpo libre.
Determinación de las diferentes fuerzas que actúan sobre el cuerpo libre para la condición a.
Problema F.II-1.11 a) Un globo esférico contiene helio y asciende en aire a 50º C a un presión
atmosférica normal. El globo y la carga (sin helio) pesan 150.00 kg. Qué diámetro permite una ascensión a una velocidad de 3.00 m/s considerando que el coeficiente de arrastre CD es 0.21.
b) Si éste globo se sujeta al suelo mediante un cable y sopla una corriente de aire a una velocidad de 10.00 km/h cuál es el ángulo de inclinación del cable y cuál su tensión.
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO DE LOS FLUIDOS REALES __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
24
E
33aire
3
aireaire D565.081.9x11.0D24
4g
2
D
3
4g
FD 1 2222
aireD D082.0D42
00.311.0x21.0A
2
UC
w 150.00
w1 33helio
3
heliohelio D103.081.9x02.0D24
4g
2
D
3
4g
La condición de equilibrio para esta condición es 0FV , es decir:
E – FD 1 – w – w1 = 0
Al sustituir las expresiones anteriores en la ecuación de equilibrio se tiene:
000.150D0D085.0D462.00D103.000.150D082.0D565.0 23323
ésta ecuación cúbica tiene dos soluciones imaginaras y una solución real positiva cuyo valor
es D = 6.93 m.
b) cuando el globo se encuentra sujeto al suelo y actúa una corriente de aire las fuerzas que
actúan se muestran en el siguiente diagrama de cuerpo libre.
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO DE LOS FLUIDOS REALES __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
25
Determinación del coeficiente de arrastre para la condición b.
65
10x01.1R10x9.1
93.6x3600
1000x10
RDU
R
Determinación de las diferentes fuerzas que actúan sobre el cuerpo libre para la condición b.
E
kg95.18781.9x11.0x93.6x14.324
4g
2
D
3
4g 3
aire
3
aireaire
FD 2 kg98.31993.6
42
3600
1000x100
11.0x20.0A2
UC 2
2
2
aireD
w 150.00
w1 kg17.3481.9x02.0x93.6
24
4g
2
D
3
4g 3
helio
3
heliohelio
Las condiciones de equilibrio son: 0Fy0F VH , es decir:
11V wwEsenT0senTwwE0F
2D2DH FcosT0cosTF0F
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO DE LOS FLUIDOS REALES __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
26
Dividiendo, las ecuaciones anteriores, miembro a miembro se tiene:
2D
1
F
wwEtg
Sustituyendo los valores numéricos se obtiene:
´´37´40º0º677.00118.0tg98.319
17.3400.15095.187tg
a) Cuando la bola de densidad relativa 3.5 cae en aceite las fuerzas que actúan en este caso se muestran en el siguiente diagrama de cuerpo libre.
Determinación de las diferentes fuerzas que actúan sobre el cuerpo libre para la condición a.
Problema F.II-1.12 a) ¿Cuál es la velocidad final de una bola de metal de 5.00 cm de diámetro y peso
especifico relativo S = 3.50 que cae en aceite de peso especifico relativo S = 0.80 y viscosidad μ = 1 poise?
b) ¿Cuál sería la velocidad final para la misma bola pero de densidad relativa S = 7.00?
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO DE LOS FLUIDOS REALES __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
27
E 05233.01000x80.005.06
1SD
6
1S 3
aguaacite3
aguaaciteaceite
FD
2D
22
D2
2
aguaD
2
aceiteD U08.0C05.042
U102x80.0CD
42
USCA
2
UC
w 22896.01000x50.305.06
1SD
6
1S 3
aguabola3
aguabolabola
La relación de equilibrio para esta condición es 0FV , es decir:
E + FD 1 – w = 0
Al sustituir las expresiones anteriores en la ecuación de equilibrio se tiene:
177.0U08.0C022896.0U08.0C052233.0 2D
2D
DD C
2125.2U
C08.0
177.0U
La velocidad U se puede determinar a partir de la ecuación anterior El coeficiente de arrastre depende del número de Reynolds y éste a su vez de la velocidad; por lo tanto, el procedimiento se debe hacer a través de tanteos sucesivos como se muestra a continuación.
Se asume un valor de CD y se determina U mediante la ecuación anterior resultando
DC
2125.2U
Con U se determina R según la ecuación
59.399UR
98
181.9
80005.0U
RDU
R
Con R se encuentra en el siguiente esquema correspondiente a esferas y discos
el valor de CD
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO DE LOS FLUIDOS REALES __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
28
Con este valor se encuentra nuevamente U y se repite el proceso hasta que CD n = CD n – 1
Cálculo en forma tabulada para el caso a.
CD (asumido) DC
2125.2U 59.399UR CD
(obtenido del gráfico)
1.00 1.49 596 0.60
0.60 1.92 768 0.50
0.50 2.10 841 0.50
Por lo tanto para el caso a, la velocidad es U = 2.10 m/s.
b) Ahora, si la bola del mismo diámetro tiene una densidad relativa de 7.0 y cae en aceite, las fuerzas de empuje E y arrastre FD son las mismas cambiando el peso de la bola así:
kg45792.01000x00.705.06
1SD
6
1Sw 3
agua2bola3
agua2bolabola2
La condición de equilibrio para esta condición es 0FV , es decir:
E + FD 1 – w2 = 0
Al sustituir las expresiones anteriores en la ecuación de equilibrio se tiene:
406.0U08.0C045792.0U08.0C052233.0 2D
2D
DD C
075.5U
C08.0
406.0U
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO DE LOS FLUIDOS REALES __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
29
Cálculo en forma tabulada para el caso b.
CD (asumido) DC
075.5U 59.399UR CD
(obtenido del gráfico)
0.50 3.18 1274 0.40
0.40 3.56 1425 0.40
Por lo tanto para el caso b la velocidad es U = 2.10 m/s.
Determinación de la velocidad de caída de la gótica de neblina.
Suponiendo como hipótesis, que el número de Reynolds de la gotica de lluvia R es < 1, entonces
según la Ley de Stokes se tiene:
s/m019.0U09.100.1000
98
10x18
10x025.0
18
1U
d
18
1U
5
23
S
2
Determinación del número de Reynolds para verificar si la hipótesis asumida es cierta.
10288.0R
98
10x18
81.9
09.110x025.0x019.0
RdU
R5
3
, hipótesis correcta.
Determinación de la velocidad de caída de la gota de lluvia.
Problema F.II-1.13 En el seno de la neblina, las gotitas de agua (supuestas esféricas) tienen un diámetro d = 0.025 mm. Para formar una gota de lluvia (supuesta esférica) se necesita un millón de de góticas de neblina. ( γagua = 1000 kg/m3, γaire = 1.09 kg/m3, μaire = 18 x 10-5 poise.) Para estas condiciones determinar:
a) La velocidad de caída de una gotica de neblina. b) La velocidad de caída de una gota de lluvia.
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO DE LOS FLUIDOS REALES __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
30
El diámetro de la gota de lluvia es:
d10Dd10Dd10DD6
1d
6
110 23/136363336
m0025.0D10x025.010D 32
Cuando la gota de agua cae en el aire, las fuerzas que actúan en este caso se muestran en siguiente diagrama de cuerpo libre.
Determinación de las diferentes fuerzas que actúan sobre el cuerpo libre para la condición a.
E 6
DD
6
1 33
aire
FD 8
DU
gCD
42
U
gCA
2
UC
22
D2
2aire
D
2
aireD
w 6
DD
6
1 S3
S3
gota
La condición de equilibrio para esta condición es 0FV , es decir:
E + FD 1 – w = 0
Al sustituir las expresiones anteriores en la ecuación de equilibrio se tiene:
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO DE LOS FLUIDOS REALES __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
31
6
D
6
D
8
DU
gC0
6
D
8
DU
gC
6
D 3S
322
DS
322
D
3
S2
DS
322
D 6
gD8UC
6
D
8
DU
gC
D
S
S
D
2
C
13
gD4
UC3
gD4U
La ecuación anterior representa la velocidad de caída de una esfera de diámetro D y de peso especifico γS en un ambiente de peso especifico γ cuando el número de Reynolds R > 1. Para el presente caso se tiene:
DDD
S
C
47.5U
C
109.1
1000
3
81.9x0025.0x4
C
13
gD4
U
La velocidad
U se puede determinar a partir de la ecuación anterior. El coeficiente de arrastre depende del número de Reynolds y este a su vez de la velocidad por lo tanto el procedimiento se debe hacer a través de tanteos sucesivos como se muestra a continuación.
Se asume un valor de CD y se determina U mediante la ecuación anterior resultando
DC
47.5U
Con U se determina R según la ecuación
24.151UR
98
10x18
81.9
09.10025.0U
RDU
R5
Con R se encuentra en el siguiente esquema correspondiente a esferas y discos
el valor de CD
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO DE LOS FLUIDOS REALES __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
32
Con este valor se encuentra nuevamente U y se repite el proceso hasta que CD n = CD n – 1
Cálculo en forma tabulada.
CD (asumido) DC
47.5U 24.151UR CD
(obtenido del gráfico)
0.49 7.81 1.20 x 103 0.40
0.40 8.65 1.30 x 103 0.40
Por lo tanto para el caso a la velocidad es U = 8.65 m/s.
Determinación del número de Reynolds R.
45
3
10x2.2R10x488.1
10x12x00.27R
DUR
Determinación gráfica del coeficiente de arrastre CD.
En el siguiente esquema se muestra un gráfico para la determinación del coeficiente de arrastre para cilindros de gran longitud.
Problema F.II-1.14 Un cable de conducción eléctrica de 12.00 mm de diámetro está tensado y expuesto a un viento con una velocidad de 25.00 m/s que choca perpendicularmente a su eje. Determinar la fuerza que actúa sobre el cable si la distancia entre los postes que lo sostiene es de 100.00 m. La temperatura del aire es de 20.00 º C. (ρ = 0.1224 UTM/m3, ν = 1.488 x 10-5 m2/s)
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO DE LOS FLUIDOS REALES __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
33
Determinación de la fuerza de resistencia.
32
D
2
DD 10x12x00.1002
00.271224.0x30.1FA
2
UCF
FD = 69.6 kg
Utilizando velocidades relativas se puede supone que la placa se encuentra en reposo y el aire
tiene una velocidad U = 12.00 m/s
Determinación de la fuerza de arrastre FD.
kg62.1F20.1x90.02
00.12
81.9
20.1x17.0FA
2
UCF D
2
D
2
DD
Determinación de la fuerza de sustentación FS.
kg85.6F20.1x90.02
00.12
81.9
20.1x72.0FA
2
UCF S
2
S
2
SS
En el siguiente esquema se muestran dichas fuerzas y su resultante.
Problema F.II-1.15 Una placa plana de 0.90 m x 1.20 m se mueve a 12.00 m/s a través de aire en reposo (γ = 1.20 kg/m3), formando un ángulo de 12º con respecto a la horizontal. Utilizando un coeficiente de resistencia CD = 0.17 y un coeficiente de sustentación CL = 0.72, determinar:
a) La fuerza resultante que ejerce el aire sobre la placa. b) La fuerza debido al rozamiento. c) La potencia (en CV) necesaria para mantener el movimiento.
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO DE LOS FLUIDOS REALES __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
34
kg02.7R85.662.1RFFR 222S
2D
el ángulo de inclinación de R respecto a la horizontal es:
º7.7662.1
85.6tgarc
F
Ftgarc XX
D
SX
el ángulo de existente entre la resultante R y la placa es.
º7.88º12º7.76º12X
La fuerza de rozamiento se obtiene al proyectar R sobre el plano de la placa, como se muestra
en el siguiente esquema.
kg16.0Fº7.88cosx02.7FcosRF RRR
Determinación de la potencia P.
CV259.0P75
00.12x62.1P
75
UFP D
CV
KW191.0P102
00.12x62.1P
102
UFP D
KW
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO DE LOS FLUIDOS REALES __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
35
En el siguiente esquema se muestra el alerón y las fuerzas de arrastre y sustentación, considerando el alerón en reposo y actuando sobre él una corriente de aire con velocidad U.
Determinación de los coeficientes de arrastre CD y de sustentación CS. En el siguiente esquema se muestra la determinación de dichos coeficientes.
Problema F.II-1.16 Un alerón se mueve en aire en reposo (γ = 1.22 kg/m3) a una velocidad de 252.00 km/h. La longitud es de 15.00 m y el largo de la cuerda de 2.00 m; si el a´ngulo de inclinación es de 8º sobre la horizontal, determinar:
a) La fuerza de arrastre FD. b) La fuerza de sustentación FS. c) La potencia requerida para desplazar el alerón.
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO DE LOS FLUIDOS REALES __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
36
Determinación de la fuera de arrastre FD.
kg00.366F00.15x00.22
3600
1000x00.252
81.9
22.1x04.0FA
2
UCF D
2
D
2
DD
Determinación de la fuera de sustentación FS.
kg00.7320F00.15x00.22
3600
1000x00.252
81.9
22.1x80.0FA
2
UCF D
2
D
2
SS
Determinación de la potencia P.
CV60.341P75
3600
1000x00.252x00.366
P75
UFP CV
DCV
Determinación de la fuerza de resistencia FD sobre la placa (dos caras).
El número de Reynolds de la placa RL es:
Problema F.II-1.17 Un planeador cuyo esquema se muestra en la figura, aterriza a una velocidad de 144.00 km/h en una atmósfera de peso especifico 1.00 kg/cm2 y viscosidad cinemática 1.5 x 10-5 m2/s. Para frenar el planeador se suelta un paracaídas con un coeficiente de resistencia CD = 1.20. Calcular el diámetro del paracaídas para que éste produzca una resistencia al movimiento igual a la resistencia por fricción originada sobre las alas. Suponer que las alas se pueden sustituir por una superficie plana de 3.00 m de largo y 15.00 m de profundidad.
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO DE LOS FLUIDOS REALES __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
37
6L5LL 10x8R
10x5.1
00.33600
1000x00.144
RLU
R
para el presente caso, el coeficiente de arrastre para placas es:
00308.0C
10x8
074.0C
R
074.0C D5/16D5/1
L
D
la fuerza de arrastre es:
kg26.45F00.30x00.32
3600
1000x00.144
81.9
00.100308.02F D
2
D
Determinación de la fuerza de resistencia FD sobre el paracaídas.
2D
2
2
D
2
DD D92.76FD42
3600
1000x00.144
81.9
00.120.1FA
2
UCF
La fuerza generada en el paracaídas = La fuerza generada en la placa
m77.0D92.76
26.45D26.45D92.76
2/12
Problema F.II-1.18 Un aviso formado por un disco de 3.50 m de diámetro, se encuentra instalado como se muestra en el esquema, con H = 10.00 m. Si sobre él actúa perpendicularmente una corriente de aire con una velocidad de 100.00 km/h; determinar el momento que se produce al pie del soporte. (ρ = 0.126 UTM/m3 , μ = 2 x 10-6 kg.s/m2)
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO DE LOS FLUIDOS REALES __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
38
Determinación del número de Reynolds.
66
10x1.6R10x2
126.0x50.3x3600
1000x00.100
RDU
R
Determinación del coeficiente de arrastre CD.
Con R = 6.1 x 106 se encuentra CD en el siguiente gráfico (discos).
Determinación de la fuerza de arrastre FD.
kg00.468F50.342
3600
1000x100
126.0x00.1FA2
UCF D
2
2
D
2
DD
El momento respecto al pie del soporte es:
m.kg00.4680M00.10x00.468HFM D
La velocidad U se puede determinar a partir de la ecuación de la fuerza de arrastre.
2/1
2D
2/1
2D
2/1
D
2
D DC
F8U
D4
C
F2U
AC
F2UA
2
UCF
Problema F.II-1.19 A qué velocidad debe moverse una esfera de 12.00 cm de diámetro, a través de una masa de agua a 10º C (ν = 1.2 x 10-6 m2/s) para que la fuerza de arrastre sea de 0.50 kg.
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO DE LOS FLUIDOS REALES __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
39
El coeficiente de arrastre depende del número de Reynolds y este a su vez de la velocidad, por lo tanto el procedimiento se debe hacer a través de tanteos sucesivos como se muestra a continuación. Se suponer un valor de CD y se determina U mediante la ecuación anterior, resultando
2/1
D
2/1
2D C
86730.0U
12.0x14.3x102C
50.0x8U
Con U se determina R según la ecuación
56
10UR10x2.1
12.0UR
DUR
Con R se encuentra en el siguiente esquema correspondiente a esferas y discos el valor de CD
Con este valor de CD encuentra nuevamente U y se repite el proceso hasta que CD n = CD n – 1
Cálculo en forma tabulada.
CD (asumido)
2/1
DC
86730.0U
510UR
CD (obtenido del gráfico)
2.00 0.66 6.6 x 104 0.58
0.58 1.22 1.22 x 105 0.50
0.50 1.31 1.31 x 105 0.50
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO PERMANENTE EN CONDUCTOS CERRADOS _____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
39
Capítulo 2
FLUJO PERMANENETE EN CONDUCTOS CERRADOS
Determinación de la velocidad. Mediante la aplicación de la ecuación de Bernoulli entre los puntos 1 y 2 (salida) se tiene:
f
2
1f2
222
1
211 h0
g2
v0z00hz
g2
vpz
g2
vp
La fórmula de Darcy-Weisbach para la pérdida de energía por fricción para flujo permanente en tuberías es:
g2
v
D
Lfh
2
f
al sustituir la ecuación de Darcy-Weisbach en la ecuación de Bernoulli se obtiene:
1
2
1
2222
1 zD
Lf1
g2
vz
g2
v
D
Lf
g2
v
g2
v
D
Lf0
g2
v0z00
f10001
24.39v
012.0
00.12f1
00.2x81.9x2v
D
Lf1
zg2v 1
Problema F.II-2.01 Para vaciar aceite (γ = 800 kg/m3, μ = 0.10 poises) de un depósito se utiliza una tubería de acero comercial de 12 mm de diámetro y 12.00 m de longitud. Determinar el caudal cuando la superficie libre del aceite en el depósito se encuentra a 2.00 m por encima de la sección de salida de la tubería.
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO PERMANENTE EN CONDUCTOS CERRADOS _____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
40
la velocidad v depende del coeficiente de fricción f y éste a su vez depende del número de Reynolds R y de la rugosidad relativa ε/D, según se observa en el diagrama de Moody. Considerando como hipótesis que el flujo es turbulento. Determinación de la rugosidad relativa ε/D. En el Diagrama de Moody se encuentra que el valor de la rugosidad ε para acero comercial es ε = 0.0046 cm.
0038.0Dcm2.1
cm0046.0
D
Determinación del número de Reynolds.
v960R81.9
98
10.0800x012.0v
Rg
DvR
gDv
RDv
R
Para un valor supuesto de f = 0.065 se tiene.
s/m77.0v065.0x10001
24.39v
f10001
24.39v
con v se obtiene:
2000739R77.0x960Rv960R , la hipótesis es falsa, por lo tanto
el flujo es laminar.
Considerando como hipótesis que el flujo es laminar:
Para el caso de flujo laminar el coeficiente de fricción es:
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO PERMANENTE EN CONDUCTOS CERRADOS _____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
41
Dv
g64f
g
Dv
64f
R
64f
al sustituir f en la ecuación de Bernoulli se tiene:
12
2
1
22
zD
vL32
g2
vz
g2
v
D
L
Dv
g64
g2
v
00.2800x012.0
v9810.0
x00.12x32
81.9x2
v2
2
s/m583.0v000.2v40.3v051.0 2
Determinación del número de Reynolds para verificar el tipo de flujo.
2000560R583.0x960Rv960R , la hipótesis es correcta, el flujo es
laminar, entonces el caudal es:
s/m000066.0Q012.04
583.0QD4
vAAvQ 322
min/l95.3Q60x066.0Qs/l066.0Q1000x000066.0Q
Problema F.II-2.02 Por el sistema de tuberías de fundición que se muestran en el esquema circula agua ( = 1 x 10-6 m2/s), despreciando las pérdidas menores para las longitudes siguientes. Longitud del tramo 1, L1 = 60.00 m, diámetro del tramo 1, D1 = 30 cm. Longitud del tramo 2, L2 = 30.00 m, diámetro del tramo 2, D2 = 15 cm. Determinar:
a) El caudal. b) La presión en el punto B el cual se encuentra situado 30.00 m aguas abajo del
tanque de alimentación de la tubería.
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO PERMANENTE EN CONDUCTOS CERRADOS _____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
42
Determinación de la velocidad. Mediante la aplicación de la ecuación de Bernoulli entre los puntos A y D se tiene:
2f1fDA2f1fD
2DD
A
2AA hh0zz00hhz
g2
vpz
g2
vp
La fórmula de Darcy-Weisbach de pérdida de energía por fricción para flujo permanente en tuberías es:
g2
v
D
Lfh,
g2
v
D
Lfh
22
2
222f
21
1
111f
al sustituir la ecuación de Darcy-Weisbach en la ecuación de Bernoulli se obtiene:
g2
v
D
Lf
g2
v
D
Lf zz
22
2
22
21
1
11DA
Mediante la aplicación de la ecuación de continuidad se tiene:
2
1
221
222
21121 D
DvvD
4vD
4vQQ
que al sustituirla en la ecuación anterior se tiene:
g2
v
D
Lf
D
D
g2
v
D
Lf zz
g2
v
D
Lf
g2
D
Dv
D
Lf zz
22
2
22
4
1
22
2
1
11DA
22
2
22
22
1
22
1
11DA
g2D
Lf
D
D
g2
1
D
Lf vzz
2
22
4
1
2
1
11
22DA
81.9x2x15.0
00.30f
30.0
15.0
81.9x2
1
30.0
00.60f v00.1050.17 2
4
12
2
212
2 f19.10f64.0v50.7
la velocidad v depende del coeficiente de fricción f y éste a su vez depende del número de Reynolds R y de la rugosidad relativa D/ , según se observa en el diagrama de Moody.
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO PERMANENTE EN CONDUCTOS CERRADOS _____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
43
El procedimiento de cálculo es el siguiente: Se suponen valores de f y con estos se determinan las velocidades, con estas velocidades se determinan los números de Reynolds y con estos números de Reynolds se encuentra en el diagrama de Moody, para ε/D, los valores de f. Si estos coinciden con los valores supuestos los valores de f son correctos si no se repite el proceso hasta que fn = fn+1
Suponemos f1 = 0.023 y f2 = 0.020
s/m86.5v02.0x19.10023.0x64.0v50.7 22
2
s/m47.1v30.0
15.086.5v
D
Dvv 1
2
1
2
1
221
Determinación de los números de Reynolds.
5161
111 10x40.4R
10x1
30.0x47.1R
DvR
5161
222 10x80.8R
10x1
15.0x86.5R
DvR
para tubería de fundición se encuentra en el diagrama de Moody = 0.0259 cm Determinación de las rugosidades relativas.
0017.0D15
0259.0
D,00086.0
D30
0259.0
D 1211
con 111 RyD/ se encuentra en el diagrama de Moody f1 = 0.023 con 222 RyD/ se encuentra en el diagrama de Moody f2 = 0.019 0.020
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO PERMANENTE EN CONDUCTOS CERRADOS _____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
44
por lo tanto v1 = 1.47 m/s y v2 = 5.86 m/s Determinación del caudal Q.
s/m100.0Q30.04
47.1QD4
vQAvQ 32211
Determinación de la presión en el punto B.
Mediante la aplicación de la ecuación de Bernoulli entre los puntos A y B se tiene:
Bf
21
BB
ABfB
2BB
A
2AA h
g2
vz
pz00hz
g2
vpz
g2
vp
La fórmula de Darcy-Weisbach de pérdida de energía por fricción para flujo permanente en tuberías es:
g2
v
D
Lfh
21
1
B11Bf
Al sustituir la ecuación de Darcy-Weisbach en la ecuación de Bernoulli se obtiene:
81.9x2
47.1
30.0
00.300.023
81.9x2
47.1 50.1650.17
p
g2
v
D
Lf
g2
v zz
p 22B
21
1
B11
21
BAB
2BB
B m/kg640p1000x64.0p64.0p
Problema F.II-2.03 Una bomba eleva agua a 15º C, desde un lago a un tanque como se muestra en el esquema. El caudal a enviar es de 560.00 lts/s (lps), la tubería tiene una longitud de 400.00 m y un diámetro de 460 mm y es de fundición. Las pérdidas menores se producen principalmente por una válvula unidireccional con un kV = 10 y tres codos a 90º con un valor de kC = 0.90 cada uno. Despreciando otro tipo de pérdidas menores, ¿cuál será la potencia necesaria para la bomba en caballos de vapor (CV) si el rendimiento o eficiencia es del 60 %?.
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO PERMANENTE EN CONDUCTOS CERRADOS _____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
45
Mediante la aplicación de la ecuación de Bernoulli entre la superficie del lago y la superficie del tanque se tiene:
menoresBAfb
2BB
BA
2AA hhz
g2
vpHz
g2
vp
Las fórmulas de las pérdidas de energía por fricción y las pérdidas menores son:
g2
vkh,
g2
v
D
Lfh
2
m
2BA
BAf
al sustituirlas en la ecuación de Bernoulli se obtiene:
g2
vk
g2
v
D
Lf z
g2
vpHz
g2
vp 22BA
b
2BB
BA
2AA
g2
v9.0x310
81.9x2
v
460.0
400.00f 00.13400H00.10000
22
B
Determinación de la velocidad según la ecuación de continuidad.
s/m37.3v46.0
4
560.0v
D4
QvAvQ
22
Determinación del coeficiente de fricción f, mediante el diagrama de Moody,
000562.0Dcm46
cm0259.0
D
155Dv46x37.3cmDs/mv
con v D = 155 y 000562.0D
se encuentra f = 0.0178 según se muestra el siguiente
esquema del diagrama de Moody.
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO PERMANENTE EN CONDUCTOS CERRADOS _____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
46
m31.50Hg2
37.39.0x310
81.9x2
37.3
460.0
400.000.0178 00.34H B
22
B
Determinación de la potencia P.
VC626P60.0x75
31.50x1000x560.0P
75
HQP VC
BVC
Determinación de la velocidad según la ecuación de continuidad.
s/m735.0v
100
15
4
1000
13
vD
4
Qv
A
QvAvQ
22
Determinación del número de Reynolds.
46
10x25.5R10x10.2
15.0x735.0R
DvR
Determinación de la rugosidad relativa.
0008.0Dcm15
cm012.0
D
Determinación de coeficiente de fricción en el diagrama de Moody.
Problema F.II-2.04 Está fluyendo aceite desde un depósito cerrado a través de una tubería nueva de fundición asfaltada ( = 0.012 cm) de 15.00 cm de diámetro y 150.00 m de longitud hasta un punto B como se muestra en la figura, ¿qué presión, en kg/cm2, tendrá que actuar sobre la superficie del depósito para que circule un caudal de 13.00 l/s si la densidad relativa del aceite es 0.84 y la viscosidad cinemática es 2.10 x 10-6 m2/s.
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO PERMANENTE EN CONDUCTOS CERRADOS _____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
47
Determinación de la presión en A. Aplicando la ecuación de Bernoulli entre los puntos A y B se tiene:
mfB
2BB
A
2AA hhz
g2
vpz
g2
vp
g2
vk
g2
v
D
Lfz
g2
vpz
g2
v
S
p 2B
e
2B
B
2BB
A
2A
agua
A
81.9x2
735.05.0
81.9x2
735.0
15.0
00.1500235.000.30
81.9x2
735.0000.240
1000x84.0
p 222A
2
A4
A2
A cm/kg5617.0p10x17.56pm/kg17.56p
Problema F.II-2.05 a) El sistema está formado por una tubería de acero de 61.00 m de largo y 75.00 mm
de diámetro como se muestra en el esquema, si circula un caudal de aceite de 750 l/min, la viscosidad es de 0.10 poises y el peso específico es de 960 kg/m3, determinar el desnivel entre los depósitos ΔH si la válvula de ángulo se encuentra completamente abierta y su coeficiente es kV = 5.
b)Determinar el coeficiente kV 2 de la válvula si el caudal que circula es de 300 l/min.
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO PERMANENTE EN CONDUCTOS CERRADOS _____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
48
a) Determinación de ΔH. Determinación de la velocidad según la ecuación de continuidad.
s/m83.2v
10x754
60
750.0
vD
4
Qv
A
QvAvQ
232
Determinación del número de Reynolds.
4
3
10x04.2R
98
10.081.9
96010x75x83.2
Rg
Dv
R
Determinación de la rugosidad relativa.
0006.0Dcm5.7
cm046.0
D
Determinación de coeficiente de fricción en el diagrama de Moody.
Aplicando la ecuación de Bernoulli entre los puntos A y B se tiene:
mfB
2BB
A
2AA hhz
g2
vpz
g2
vp
m83.11Hg2
83.2155.0
81.9x2
83.2
075.0
00.610278.0000H00
22
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO PERMANENTE EN CONDUCTOS CERRADOS _____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
49
b) Determinación del coeficiente kV de la válvula para un caudal Q = 300 l/min. Determinación de la velocidad según la ecuación de continuidad.
s/m13.1v
10x754
60
300.0
vD
4
Qv
A
QvAvQ
232
Determinación del número de Reynolds.
3
3
10x14.8R
98
10.081.9
96010x75x83.2
Rg
Dv
R
Determinación de coeficiente de fricción en el diagrama de Moody.
Aplicando la ecuación de Bernoulli entre los puntos A y B se tiene:
mfB
2BB
A
2AA hhz
g2
vpz
g2
vp
m153kg2
83.21k5.0
81.9x2
13.1
075.0
00.610278.000089.1100 V
2
V
2
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO PERMANENTE EN CONDUCTOS CERRADOS _____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
50
Determinación de la altura de bombeo HB.
m86.23H
10001000
00.220
70x75H
Q
P75H
75
HQP BBB
BCV
Determinación de las velocidades.
s/m38.1v
45.04
1000
220
vD
4
Qv
A
QvAvQ
221
11
111
s/m11.3v
30.04
1000
220
vD
4
Qv
A
QvAvQ
222
22
222
Aplicando la ecuación de Bernoulli entre los puntos A y D se tiene:
mfD
2DD
BA
2AA hhz
g2
vpHz
g2
vp
Problema F.II-2.06 Si la bomba BC de la figura transfiere al fluido 70.00 CV cuando el caudal de agua a 15º C es de 220 l/s. Si f1 = 0.030; f2 = 0.020; L1 = 600.00 m; L2 = 120.00 m; D1 = 45 cm; D1 = 30 cm; se pide:
a) La cota del tanque D. b) Las rugosidades de las tuberías. c) Presión, en kg/cm2, en la entrada de la bomba. d) Presión, en kg/cm2, en la salida de la bomba.
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO PERMANENTE EN CONDUCTOS CERRADOS _____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
51
81.9x2
11.31
81.9x2
38.14.0
81.9x2
11.3
45.0
00.120020.0
81.9x2
38.1
45.0
00.6030.0z86.2300.6
2222
D
zD = 21.51 m
Determinación de las rugosidades de las tuberías.
005.0D
Moody0030.0fy10.6245x38.1cmDxs/mvcon1
111
001.0D
Moody020.0fy30.9330x11.3cmDxs/mvcon1
222
cm225.045x005.0005.0D 11
1
1
cm030.030x001.0001.0D 11
2
2
Determinación de la presión en la entrada de la bomba (punto B) Aplicando la ecuación de Bernoulli entre los puntos A y B se tiene:
mBAfB
2BB
A
2AA hhz
g2
vpz
g2
vp
81.9x2
38.14.0
81.9x2
38.1
45.0
00.600030.000.3
81.9x2
38.1p00.600
222B
4B
2BB
B 10x1020pm/kg1020p1000x02.1p02.1p
2B cm/kg102.0p
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO PERMANENTE EN CONDUCTOS CERRADOS _____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
52
Determinación de la presión en la salida de la bomba (punto C) Aplicando la ecuación de Bernoulli entre los puntos A y C se tiene:
mCAfC
2CC
BA
2AA hhz
g2
vpHz
g2
vp
81.9x2
38.14.0
81.9x2
38.1
45.0
00.600030.000.3
81.9x2
11.3p86.2300.600
222C
4C
2CC
C 10x22450pm/kg22450p1000x45.22p45.22p
2C cm/kg245.2p
Aplicando la ecuación de Bernoulli entre los puntos A y B se tiene:
Problema F.II-2.07 Una turbina se encuentra instalada como se muestra en el esquema si el diámetro de la tubería es D = 60 cm y el coeficiente de fricción es f = 0.020, despreciando las pérdidas menores, determinar:
a) Una expresión para la altura consumida por la turbina HT en función del caudal Q. b) Una expresión para la potencia consumida por la turbina en función del caudal. c) Tabular y graficar la expresión anterior. d) El caudal para que la potencia sea máxima. e) La potencia máxima. f) El caudal para cuando la turbina consume una potencia de 530 CV. g) Dibujar la línea de energía. h) El caudal cuando no existe turbina (es decir; HT = 0 y P = 0)
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO PERMANENTE EN CONDUCTOS CERRADOS _____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
53
BAfTB
2BB
A
2AA hHz
g2
vpz
g2
vp
sustituyendo los valores numéricos y la expresión de HT y las pérdidas se tiene:
81.9x2
60.0
Q4
60.0
00.61000.610020.0H00.300000.10600
2
2
T
2T
2
2
T Q95.2576H81.9x2
60.0
Q4
60.0
00.1220020.076H
Determinación de la potencia consumida por la turbina P.
32
TCV Q346Q1013P
75
Q95.25761000QP
75
HQP
Q
(m3/s) P
(CV) 0.0 0.00 0.1 100.95 0.2 199.83 0.3 294.56 0.4 383.06 0.5 463.25 0.6 533.06 0.7 590.42 0.8 633.25 0.9 659.47 1.0 667.00 1.1 653.77 1.2 617.71 1.3 556.74 1.4 468.78 1.5 351.75 1.6 203.58 1.7 22.20 1.71 0.00
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO PERMANENTE EN CONDUCTOS CERRADOS _____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
54
Determinación del caudal para que la potencia sea máxima.
0Q346x310130
Qd
Q346Q1013d0
Qd
Pd 23
s/m99.0Q346x3
1013Q 3
2/1
como se evidencias en el gráfico anterior. Determinación de la potencia máxima. La potencia máxima ocurre para Q = 0.99 m3/s y es:
CV15.667P99.0x34699.0x1013PQ346Q1013P 33
como se evidencia en el gráfico anterior. Determinación del caudal cuando P = 530 CV.
33 Q346Q1013530Q346Q1013P
0530Q1013Q0Q346 23 la ecuación anterior tiene como solución:
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO PERMANENTE EN CONDUCTOS CERRADOS _____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
55
)negativo(929.1Q596.0Q340.1Q 321
como se evidencia en el gráfico anterior. Solución a.
CV530Pm40.29H340.1x95.2576Hs/m340.1QPara T2
T3
1
Solución b.
CV530Pm78.66H596.0x95.2576Hs/m596.0QPara T2
T3
El caudal cuando no existe turbina, es decir para P = 0
En la expresión de la potencia se tiene:
00Q1013Q0Q346Q346Q10130Q346Q1013P 2333 la ecuación anterior tiene como solución:
)negativo(71.1Q71.1Q00.0Q 321
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO PERMANENTE EN CONDUCTOS CERRADOS _____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
56
como se evidencia en el gráfico anterior. Este valor se pudo haber obtenido aplicando la ecuación de Bernoulli entre los puntos A y B cuando no existe turbina. Lo recomendable desde el punto de vista práctico relacionado con el consumo de agua es que el caudal este comprendido entre Q = 0.00 m3/s y Q = 0.99 m3/s, la utilización de caudales mayores implica mayor consumo de agua obteniendo la misma potencia.
Determinación de las longitudes de las tuberías.
m64.21Lº45sen
20.1350.28L
L
zº45sen BABA
BA
m49.8Lº45sen
20.1320.19L
L
zº45sen CBBA
CB
Aplicando la ecuación de Bernoulli entre los puntos 1 y C se tiene:
mfC
2CC
1
211 hhz
g2
vpz
g2
vp
81.9x2
v2.05.0
81.9x2
v
30.0
49.864.21f20.19
81.9x2
v000.3000
222
Problema F.II-2.08 Para el sistema de tubería que se muestra en el esquema se tiene la siguiente información: kA = 0.5, kB = 0.2, = 1.13 x 10-6 m2/s, ε = 0.12 cm, D = 30 cm Para estas condiciones se pide:
a) El caudal. b) La presión el los puntos A y B. c) Trazar la línea de energía y la línea piezométrica.
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO PERMANENTE EN CONDUCTOS CERRADOS _____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
57
30.0
13.30f7.1
20.1900.3081.9x2v20.1900.30
30.0
13.30f2.05.01
81.9x2
v2
f43.1007.1
55.14v
la velocidad v depende del coeficiente de fricción f y este a su vez depende del número de Reynolds R y de la rugosidad relativa ε/D, según se observa en el diagrama de Moody. Determinación de número de Reynolds.
v10x65.2R10x13.1
30.0vR
DvR 6
6
Determinación de la rugosidad relativa:
004.0Dcm30
cm12.0
D
Para un valor supuesto de f = 0.028 se tiene.
f (supuesto) f43.1007.1
55.14v
v10x65.2R 6 f (Moody)
0.028 6.86 1.8 x 106 0.0284
0.0284 6.83 1.8 x 106 0.0284
la velocidad es v = 6.83 m/s por lo tanto el caudal es:
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO PERMANENTE EN CONDUCTOS CERRADOS _____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
58
s/m483.0Q30.04
83.6QD4
vQAvQ 322
Determinación de la presión en el punto A (inmediatamente al inicio de la tubería).
Aplicando la ecuación de Bernoulli entre los puntos 1 y A se tiene:
g2
v5.0z
g2
vpz00hz
g2
vpz
g2
vp 2A
A
2AA
1mA
2AA
1
211
2A
22A m/kg2066p
g2
83.65.050.28
81.9x2
83.6
1000
p00.3000
Determinación de la presión en el punto B (inmediatamente antes de B).
Aplicando la ecuación de Bernoulli entre los puntos 1 y B se tiene:
g2
v5.0hz
g2
vpz00hhz
g2
vpz
g2
vp 2B
fB
2BB
1mfB
2BB
1
211
g2
83.65.0
81.9x2
83.6
30.0
64.210284.020.13
81.9x2
83.6
1000
p00.3000
222B
2
B m/kg8360p
Determinación de las pérdidas concentradas.
Pérdida menor en el punto A m19.1h81.9x2
83.65.0h
g2
vkh A
2
A
2
AA
Pérdida menor en el punto B m48.0h81.9x2
83.62.0h
g2
vkh A
2
A
2
BA
Determinación de la pérdida de energía entre los puntos A y B.
m87.4h81.9x2
83.6
30.0
64.210284.0h BAf
2
f
Determinación de la pérdida de energía entre los puntos B y C.
m91.1h81.9x2
83.6
30.0
49.80284.0h CBf
2
f
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO PERMANENTE EN CONDUCTOS CERRADOS _____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
59
Cotas de la línea de energía. Cota al inicio de la tubería, en el punto A CLE A = 30.00 – pérdida en la entrada CLE A = 30.00 – 1.19 = 28.81 m Cota en el codo, inmediatamente antes del punto B CLE A = 28.81 – pérdida hf AB CLE A = 28.81 – 4.87 = 23.94 m Cota en el codo, inmediatamente después del punto B CLE A = 23.94 – pérdida en el codo CLE A = 23.94 – 0.48 = 23.46 m Cota final de la tubería, en el punto C CLE C = 23.46 – pérdida hf B C CLE A = 23.46 – 1.91 = 21.55 m Cotas de la línea piezométrica. Cota al inicio de la tubería, en el punto A CLE A = cota de la línea de energía – la altura de velocidad CLE A = 28.81 – 2.38 = 26.43 m Cota en el codo, inmediatamente antes del punto B CLE B = cota de la línea de energía – la altura de velocidad CLE B = 23.94 – 2.38 = 21.56 m Cota en el codo, inmediatamente antes del punto B CLE B = cota de la línea de energía – la altura de velocidad CLE A = 23.46 – 2.38 = 21.08 m Cota final de la tubería, en el punto C CLE C = cota de la línea de energía – la altura de velocidad CLE C = 21.55 – 2.38 19.20 m con estos valores se dibuja la línea de energía total y la línea piezométrica como se indica en el siguiente esquema:
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO PERMANENTE EN CONDUCTOS CERRADOS _____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
60
Determinación del caudal para la válvula totalmente abierta. Aplicando la ecuación de Bernoulli entre los puntos 1 y 2 se tiene:
mf2
222
1
211 hhz
g2
vpz
g2
vp
81.9x2
v12.09.09.05.0
81.9x2
v
10.0
00.300.700.4f00.10000.102
22
Problema F.II-2.09 Por el sistema de tuberías de acero comercial de 10 cm de diámetro circula agua con una viscosidad cinemática = 1.3 x 10-6 m2/s, adicionalmente se tiene la siguiente información: L1 = 4.00 m, L2 = 3.00 m, L3 = 7.00 m, k1 = 0.5, k2 = 0.9, k3 = 1.0 Para estas condiciones hallar el coeficiente de pérdida kV de la válvula parcialmente cerrada que se necesita para reducir en un 50 % el caudal correspondiente a la válvula totalmente abierta (kV totalmente abierta 0.20).
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO PERMANENTE EN CONDUCTOS CERRADOS _____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
61
10.0
14f5.3
00.10000.10281.9x2v0.10000.102
10.0
00.14f5.3
81.9x2
v2
f1405.3
26.6v
la velocidad v depende del coeficiente de fricción f y este a su vez depende del número de Reynolds R y de la rugosidad relativa ε/D, según se observa en el diagrama de Moody. Determinación de número de Reynolds.
v10x69.7R10x3.1
10.0vR
DvR 4
6
Determinación de la rugosidad relativa: En el diagrama de Moody se encuentra ε = 0.0046 cm
0005.0Dcm10
cm0046.0
D
Para un valor supuesto de f = 0.017 se tiene.
f (supuesto) f1405.3
26.6v
v10x69.7R 4 f (Moody)
0.017 2.58 1.98 x 105 0.019
0.019 2.52 1.99 x 106 0.019
la velocidad es v = 2.52 m/s por lo tanto el caudal es:
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO PERMANENTE EN CONDUCTOS CERRADOS _____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
62
s/m020.0Q10.04
52.2QD4
vQAvQ 322
Determinación de kV para cuando el caudal es 50 % del caudal inicial.
s/m010.0Q020.0x50.0QQ50.0QQ%50Q 3inicialinicial
Determinación de la velocidad media.
s/m27.1v
10.04
010.0v
D4
QvAvQ
22
Determinación del número de Reynolds.
46
10x80.9R10x3.1
10.0x27.1R
DvR
con ε/D = 0.0005 y R = 9.80 x 104 se encuentra en el diagrama de Moddy f = 0.0205, según se muestra en el siguiente esquema:
El valor de k se puede determinar a partir de la expresión de la velocidad en función de kV
13.18k0205.0x140k3.3
26.627.1
f140k3.3
26.6v V
VV
Problema F.II-2.10 Dos depósitos contienen agua a 15º C y están conectados mediante tres tuberías de acero comercial unidas en serie. Para un caudal de 90.00 lps determinar el desnivel entre los dos depósitos. Adicionalmente se dispone de la siguiente información: Tramo 1: L1 = 300.00 m D1 = 20.00 cm Tramo 2: L2 = 360.00 m D2 = 30.00 cm Tramo 3: L3 = 1200.00 m D3 = 45.00 cm
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO PERMANENTE EN CONDUCTOS CERRADOS _____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
63
Para agua a 21º C se encuentra en la tabla de propiedades físicas del agua s/m10x975.0 26 Para tubería de acero comercial se encuentra en el diagrama de Moody ε = 0.0046 cm Aplicando la ecuación de Bernoulli entre los puntos 1 y 2 se tiene:
mf2
222
1
211 hhz
g2
vpz
g2
vp
llegada2exp1expent3f2f1f21 hhhhhhhz00z00
g2
vk
g2
vv
g2
vv
g2
vk
g2
v
D
Lf
g2
v
D
Lf
g2
v
D
LfH
23
2
232
221
21
1
23
3
33
22
2
22
21
1
11
Determinación de las velocidades, los números de Reynolds, la rugosidad relativa y el coeficiente de fricción en los diferentes tramos de tuberías.
Tramo
Velocidad
2D
4
Qv
Reynolds
DvR
Rugosidad relativa
D
f Obtenido del diagrama de
Moody
1 2.86 5.86 x 105 0.00023 0.0155
2 1.27 3.90 x 105 0.00015 0.0155
3 0.57 2.60 x 105 0.00010 0.0160
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO PERMANENTE EN CONDUCTOS CERRADOS _____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
64
81.9x2
57.00.1
81.9x2
57.027.1
81.9x2
27.186.2
81.9x2
86.25.0
81.9x2
57.0
45.0
00.12000160.0
81.9x2
27.1
30.0
00.3600155.0
81.9x2
86.2
20.0
00.3000155.0H
2222
222
m31.12H
Condición inicial.
Problema F.II-2.11 La diferencia de nivel entre la superficie de un embalse y la superficie de un tanque elevado de suministro de agua a una ciudad es de 152.00 m y la distancia entre ellos LT = 48.3 km. Los depósitos estaban originalmente conectados cun una tubería diseñada para transportar 265.00 l/s. Tiempo después fue necesario aumentar el caudal a 370.00 l/s por lo que se decidió colocar otra tubería del mismo diámetro en paralelo con la anterior en una parte de su longitud conectándolas en un determinando punto. Considerar f = 0.007 para todas la tubeías Para estas condiciones se pide:
a) El diámetro para la condición inicial. b) La longitud de tubería, del mismo diámetro, necesaria para aumentar el caudal
hasta 370.00 l/s
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO PERMANENTE EN CONDUCTOS CERRADOS _____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
65
Determinación del diámetro para la condición inicial. Aplicando la ecuación de Bernoulli entre la superficie del embalse (1) y la superficie del tanque (2) se tiene:
g2
D
Q4
D
Lf00z00zh
p
g2
vz
p
g2
vz
2
2T
21f2
22
21
21
1
5/1
2
2T
2
25
2T
2
2
2T
gz2
QLf4Dz
gD2
QLf4z
g2
D
Q4
D
Lf
m41.0D81.9x14.3x00.152x2
265.0x00.48300x007.0x4D
5/1
2
22
La instalación para la condición final con tuberías de diámetro D = 0.41 m es:
condiciones: Las pérdidas por fricción en el tramo AC = pérdidas por fricción en el tramo BC
la longitud del tramo AC, LAC = longitud del tramo BC, LBC L2 El diámetro del tramo AC = diámetro del tramo BC = D El coeficiente de fricción del tramo AC = coeficiente de fricción del tramo BC
BCACBCAC
2BC2
2AC2
BCfACf QQvvg2
v
D
Lf
g2
v
D
Lfhh
2
QQQ2QQQQQQQ ACACACACBCAC
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO PERMANENTE EN CONDUCTOS CERRADOS _____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
66
Aplicando la ecuación de Bernoulli entre la superficie del embalse (1) y la superficie del tanque (2) y considerando entre el punto 1 y el punto B la tubería AB y entre el punto B y el punto 2, la tubería inicial se tiene:
f2
22
21
21
1 hp
g2
vz
p
g2
vz
g2
D
Q4
D
LLf
g2
D
2/Q4
D
Lfz
2
2ACT
2
2AC
81.9x2
41.0x14.3
370.0x4
41.0
L00.48300007.0
81.9x2
41.0x14.3
2/370.04
41.0
L007.000.152
2
2AC
2
2AB
m34776LAC
Aplicando la ecuación de Bernoulli entre A y 1 se tiene:
g2
D
Q4
D
Lfzz
phz
g2
vpz
g2
vp
2
21
1
1
11A
A1tramof1
211
A
2AA
s/m504.0Q81.9x2
40.0x14.3
Q4
40.0
00.3200017.000.9000.120
1000
10x2.8 31
2
21
4
Problema F.II-2.12 Una tubería principal se divide en tres ramales que descargan a la atmósfera como se muestra en el siguiente esquema, si la presión en el punto A es de 8.20 kg/cm2 y el coeficiente de fricción de todas las tuberías se puede suponer como f = 0.017. Determinar el caudal que circula por cada una de las tuberías y el caudal en la tubería principal.
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO PERMANENTE EN CONDUCTOS CERRADOS _____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
67
Aplicando la ecuación de Bernoulli entre A y 2 se tiene:
g2
D
Q4
D
Lfzz
phz
g2
vpz
g2
vp
2
22
2
2
22A
A2tramof2
222
A
2AA
s/m464.0Q81.9x2
40.0x14.3
Q4
40.0
00.4800017.000.6000.120
1000
10x2.8 32
2
22
4
Aplicando la ecuación de Bernoulli entre A y 3 se tiene:
g2
D
Q4
D
Lfzz
phz
g2
vpz
g2
vp
2
23
3
3
33A
A3tramof3
233
A
2AA
s/m429.0Q81.9x2
40.0x14.3
Q4
40.0
00.6800017.000.3000.120
1000
10x2.8 33
2
23
4
El caudal por la tubería principal es:
s/m397.1Q429.0464.0504.0QQQQQ 3321
Problema F.II-2.13 Un caudal ( = 0.0113 x 10-4 m2/s) de 570 l/s circula a través de la red de tuberías de hierro fundido (ε = 0.26 mm) mostradas en la figura. Para una presión manométrica de 7.03 kg/cm2 en el nodo A. Determinar:
a) El caudal Q1 en el tramo 1. b) El caudal Q2 en el tramo 2. c) La presión en el nodo B.
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO PERMANENTE EN CONDUCTOS CERRADOS _____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
68
Determinación de las pérdidas por fricción en el tramo 1 entre el nodo A y el nodo B. Asumiendo un valor de Q1 = 0.170 m3/s se tiene que la velocidad v1 es:
s/m405.2v30.0x14.3
170.0x4v
D
Q4v
A
Qv 1212
1
11
1
Determinación del número de Reynolds R1
5141
111 10x4.6R
10x0113.0
30.0x41.2R
DvR
Determinación de la rugosidad relativa.
0009.0mm300
mm26.0
D1
con R1 = 6.4 x 105 y 0009.0D1
se encuentra en el diagrama de Moody f1 = 0.0198,
según se muestra en el siguiente esquema.
La pérdida de energía en el tramo 1 es:
g2
D
Q4
D
Lfh
g2
v
D
Lfh
2
21
1
1
111tramof
21
1
1f
m68.11h81.9x2
30.0x14.3
170.0x4
30.0
00.6000198.0h 1tramof
2
2
1tramof
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO PERMANENTE EN CONDUCTOS CERRADOS _____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
69
Para el tramo 2
0006.0mm470
mm26.0
D2
, suponiendo flujo turbulento en el diagrama de Moody f2 = 0.018
entonces
s/m61.3v81.9x2
v
470.0
00.460018.068.11
g2
v
D
Lfh 2
22
22
2
222tramof
6242
222 10x5.1R
10x0113.0
47.0x61.3R
DvR
con
0006.0D2
y R2 en el diagrama de Moody f2 = 0.018
por lo tanto
s/m626.0Q47.04
61.3QD4
vQAvQ 32
22
222222
s/m570.0Qs/m796.0Q626.0170.0QQQQ 33
21 como no se cumple que la sumatoria de los caudales sea igual al caudal que transporta la tubería, se reparte proporcionalmente el caudal, es decir:
s/m1217.0Q570.0626.0170.0
170.0QQ
Q
QQ 3
11´
´1
1
s/m4483.0Q570.0626.0170.0
626.0QQ
Q
QQ 3
21´
´2
2
Determinación de las pérdidas por fricción en cada una de las tuberías. La pérdida de energía en el tramo 1 es.
21
11
D
Q4v
11
1
DvR
1D
f
(del diagrama de Moody)
1.722 4.6 x 105 0.0009 0.0198
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO PERMANENTE EN CONDUCTOS CERRADOS _____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
70
g2
D
Q4
D
Lfh
g2
v
D
Lfh
2
21
1
1
111tramof
21
1
1f
m98.5h81.9x2
30.0x14.3
1217.0x4
30.0
00.6000198.0h 1tramof
2
2
1tramof
Para el tramo 2 La pérdida de energía en el tramo 1 es.
22
22
D
Q4v
22
2
DvR
2D
f
(del diagrama de Moody)
2.58 1.07 x 105 0.0006 0.018
g2
D
Q4
D
Lfh
g2
v
D
Lfh
2
22
2
2
222tramof
22
2
2f
m995.5h81.9x2
47.0x14.3
4483.0x4
47.0
00.460018.0h 2tramof
2
2
1tramof
como, s/m448.0Qs/m127.0Qhh 3
23
12f1f
Determinación de la presión en el nodo B. Aplicando la ecuación de Bernoulli entre los puntos A y B se tiene:
g2
D
Q4
D
Lfz
pz
phz
g2
vpz
g2
vp
2
21
1
1
11
BA
A1tramof1B
2BB
A
2AA
2B
2
2B
4
m/kg55855p81.9x2
30.0x14.3
1217.0x4
30.0
00.600018.000.15
1000
p00.6
1000
10x03.7
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO PERMANENTE EN CONDUCTOS CERRADOS _____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
71
Determinación del caudal para la condición inicial.
Aplicando la ecuación de Bernoulli entre 1 y 2 se tiene:
zg2
D
Q4
D
Lfhz
g2
vpz
g2
vp
2
2i
21f2
222
1
211
Lf
Dzg2D
4Q 2
i
Determinación del caudal para la condición final.
Problema F.II-2.14 Una tubería de diámetro uniforme une dos depósitos. Determinar el porcentaje en que se incrementa el caudal si a partir del punto medio se pone a funcionar en paralelo otra tubería del mismo diámetro. Suponer un valor constante e igual para la fricción en todas las tuberías. Despreciar las pérdidas menores.
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO PERMANENTE EN CONDUCTOS CERRADOS _____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
72
2
QQQ2QQQQQQ AABABA
Aplicando la ecuación de Bernoulli entre 1 y 2, a través de la tubería A se tiene:
2MfM1f2
222
1
211 hhz
g2
vpz
g2
vp
zg2
D
2/Q4
D
2
L
fg2
D
Q4
D
2
L
f
2
2f
2
2f
z
g2D4
4
Q
D2
Lf
g2D4
Q
D2
Lf
22
2f
22
2f
z8
5
Dg2
Lf
D4
Qz
8
1
2
1
Dg2
Lf
D4
Q2
2
2f
22
2f
Lf
Dzg2
5
8D
4Q
5
8
Lf
Dzg2D
4Q 2
f
222
f
Determinación del porcentaje de incremento en el caudal.
26.01
15
8
Lf
Dzg2D
4
Lf
Dzg2D
4Lf
Dzg2
5
8D
4
Q
Q
Q
2
22
ii
if
%26Q
Q
i
Problema F.II-2.15 Determinar la pendiente de la línea de alturas piezométricas para un flujo de aire atmosférico a 27 º C a través de conducto de sección rectangular de 45 cm x 15 cm de hierro galvanizado si la velocidad media es v = 9.00 m/s.
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO PERMANENTE EN CONDUCTOS CERRADOS _____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
73
La viscosidad cinemática de aire a 27º C se encuentra en el gráfico de viscosidad cinemática de algunos gases y líquidos. Los gases están a presión atmosférica normal, según se muestra en el siguiente esquema.
El radio hidráulico es
056.0R45.045.015.015.0
45.0x15.0R
P
AR HHH
Determinación del número de Reynolds
55
H 10x26.1R10x6.1
056.0x400.9R
R4vR
Determinación de la rugosidad relativa En el diagrama de Moody se encuentra ε = 0.0152 cm
007.0m056.0x4
m00152.0
R4 H
con la rugosidad relativa y el número de Reynolds se encuentra en le diagrama de Moody f = 0.035, según se muestra en el siguiente esquema.
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO PERMANENTE EN CONDUCTOS CERRADOS _____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
74
Determinación de la pérdida de energía para una longitud de 100.00 m
m50.64h81.9x2
00.9
056.0x4
00.100035.0h
g2
v
R4
Lfh f
2
f
2
Hf
esto quiere decir que en 100.00 m de conducto hay una pérdida de energía de 64.50 m; lo que se puede expresar por un 64.50 % como se muestra en el siguiente esquema
Determinación del radio hidráulico
aR44
aR
a4
aR
P
AR HH
2
HH
g2a
Q
a
Lfh
g2
v
R4
Lfh
2
2
f
2
Hf
si el conducto tiene un longitud de 100.00 m y suponiendo un valor de f = 0.020 se tiene.
m62.0a81.9x2
300.0x00.100x020.01.0
81.9x2a
300.0
a
00.100020.01.0
2
2
2
El resultado del lado “a” es correcto si el valor supuesto de f es el adecuado, esto se puede verificar mediante el diagrama de Moody de la siguiente manera:
Problema F.II-2.16 ¿Qué dimensiones tendrá un conducto cuadrado para que transporte 300 l/s de agua a 15º C con una pendiente de la línea piezométrica de 0.1 % si la rugosidad del conducto es ε = 0.001 m.?
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO PERMANENTE EN CONDUCTOS CERRADOS _____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
75
con el valor de “a” determinar la velocidad
con v determinar v (4 RH)
con “a” determinar la rugosidad relativa
con la rugosidad relativa y v (4 RH) se encuentra en el diagrama de Moody f
se repite el procedimiento hasta que fn fn – 1
a 2a
Qv cmR4s/mv H
HR4
f (del diagrama de Moddy)
0.62 0.78 48 0.0016 0.022
0.63 0.76 49 0.0016 0.022
Por lo tanto el valor de a es 0.63 m
Primera vuelta Suponiendo una altura piezométrica en el punto J de:
00.120zp
JJ
Problema F.II-2.17 Para el esquema de la figura si f = 0.025 y se desprecian las pérdidas menores. Determinar:
a) La altura piezométrica en el punto J. b) El sentido y magnitud del caudal en cada una de las tres tuberías.
Adicionalmente se tienen la siguiente información: z1 = 130.00 z2 = 115.00 z3 = 100.00 zj = 110.00 D1 = 0.30 D2 = 0.25 D 3 = 0.20 L1 = 900.00 L2 = 1100.00 L3 = 1500.00
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO PERMANENTE EN CONDUCTOS CERRADOS _____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
76
Al aplicar la ecuación de Bernoulli entre el punto 1 y el nodo J (el flujo es de 1 a J) se tiene:
g2
D
Q4
D
Lf
g2
D
Q4
zp
0z0hg2
vz
p
g2
vz
p
2
21
1
1
1
2
21
1
JJ
1J1f
2J
JJ
21
11
81.9x2
30.0x14.3
Q4
30.0
00.900025.0
81.9x2
30.0x14.3
Q4
00.120000.1300
2
21
2
21
Q1 = 0.114 m3/s
al aplicar la ecuación de Bernoulli entre el nodo J y el punto 2 (el flujo es de J a 2) se tiene:
g2
D
Q4
D
Lf00.1150
g2
D
Q4
zp
hg2
vz
p
g2
vz
p
2
22
2
2
2
2
22
2
JJ
2Jf
22
22
2J
JJ
81.9x2
25.0x14.3
Q4
25.0
00.1100025.000.115
81.9x2
25.0x14.3
Q4
00.120
2
22
2
22
Q2 = 0.0465 m3/s
al aplicar la ecuación de Bernoulli entre el nodo J y el punto 3 (el flujo es de J a 3) se tiene:
g2
D
Q4
D
Lf00.1000
g2
D
Q4
zp
hg2
vz
p
g2
vz
p
2
23
3
3
3
2
22
2
JJ
3Jf
23
33
2J
JJ
81.9x2
20.0x14.3
Q4
20.0
00.1500025.000.100
81.9x2
20.0x14.3
Q4
00.120
2
23
2
22
Q3 = 0.0455 m3/s
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO PERMANENTE EN CONDUCTOS CERRADOS _____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
77
Verificación si se cumple la ecuación de continuidad.
0920.0114.00455.00465.0?114.0QQQ 321
No se cumple la ecuación de continuidad, esto indica que la altura piezométrica en el punto J debe ser mayor para que Q1 disminuya y Q2 y Q3 aumenten, entonces se repite el proceso con otro valor de altura piezométrica como por ejemplo:
00.125zp
JJ
Segunda vuelta al aplicar la ecuación de Bernoulli entre el punto 1 y el nodo J (el flujo es de 1 a J) se tiene:
g2
D
Q4
D
Lf
g2
D
Q4
zp
0z0hg2
vz
p
g2
vz
p
2
21
1
1
1
2
21
1
JJ
1J1f
2J
JJ
21
11
81.9x2
30.0x14.3
Q4
30.0
00.900025.0
81.9x2
30.0x14.3
Q4
00.125000.1300
2
21
2
21
Q1 = 0.0802 m3/s
al aplicar la ecuación de Bernoulli entre el nodo J y el punto 2 (el flujo es de J a 2) se tiene:
g2
D
Q4
D
Lf00.1150
g2
D
Q4
zp
hg2
vz
p
g2
vz
p
2
22
2
2
2
2
22
2
JJ
2Jf
22
22
2J
JJ
81.9x2
25.0x14.3
Q4
25.0
00.1100025.000.115
81.9x2
25.0x14.3
Q4
00.125
2
22
2
22
Q2 = 0.0656 m3/s
al aplicar la ecuación de Bernoulli entre el nodo J y el punto 3 (el flujo es de J a 3) se tiene:
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO PERMANENTE EN CONDUCTOS CERRADOS _____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
78
g2
D
Q4
D
Lf00.1000
g2
D
Q4
zp
hg2
vz
p
g2
vz
p
2
23
3
3
3
2
22
2
JJ
3Jf
23
33
2J
JJ
81.9x2
20.0x14.3
Q4
20.0
00.1500025.000.100
81.9x2
20.0x14.3
Q4
00.125
2
23
2
22
Q3 = 0.0509 m3/s
Verificación si se cumple la ecuación de continuidad.
1165.00802.00509.00656.0?0802.0QQQ 321
No se cumple la ecuación de continuidad; esto indica que la altura piezométrica en el punto J debe ser mayor para que Q1 aumente y Q2 y Q3 disminuyan, entonces se repite el proceso con otro valor de altura piezométrica como por ejemplo:
50.122zp
JJ
Tercera vuelta Al aplicar la ecuación de Bernoulli entre el punto 1 y el nodo J (el flujo es de 1 a J) se tiene:
g2
D
Q4
D
Lf
g2
D
Q4
zp
0z0hg2
vz
p
g2
vz
p
2
21
1
1
1
2
21
1
JJ
1J1f
2J
JJ
21
11
81.9x2
30.0x14.3
Q4
30.0
00.900025.0
81.9x2
30.0x14.3
Q4
50.122000.1300
2
21
2
21
Q1 = 0.1016 m3/s
Al aplicar la ecuación de Bernoulli entre el nodo J y el punto 2 (el flujo es de J a 2) se tiene:
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO PERMANENTE EN CONDUCTOS CERRADOS _____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
79
g2
D
Q4
D
Lf00.1150
g2
D
Q4
zp
hg2
vz
p
g2
vz
p
2
22
2
2
2
2
22
2
JJ
2Jf
22
22
2J
JJ
81.9x2
25.0x14.3
Q4
25.0
00.1100025.000.115
81.9x2
25.0x14.3
Q4
50.122
2
22
2
22
Q2 = 0.0551 m3/s
Al aplicar la ecuación de Bernoulli entre el nodo J y el punto 3 (el flujo es de J a 3) se tiene:
g2
D
Q4
D
Lf00.1000
g2
D
Q4
zp
hg2
vz
p
g2
vz
p
2
23
3
3
3
2
22
2
JJ
3Jf
23
33
2J
JJ
81.9x2
20.0x14.3
Q4
20.0
00.1500025.000.100
81.9x2
20.0x14.3
Q4
50.122
2
23
2
22
Q3 = 0.0478 m3/s
Verificación si se cumple la ecuación de continuidad.
1029.01016.00478.00551.0?1016.0QQQ 321
Solución
La altura piezométrica en el punto J es 122.50 m. En la tubería 1 circula un caudal Q1 = 0.1016 m3/s del tanque 1 hacia el nodo J. En la tubería 2 circula un caudal Q2 = 0.0551 m3/s del nodo J hacia el tanque 2. En la tubería 3 circula un caudal Q2 = 0.0478 m3/s del nodo J hacia el tanque 3.
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO PERMANENTE EN CONDUCTOS CERRADOS _____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
80
Primera vuelta Se supone una distribución de caudales como la indicada en la figura de tal forma que el caudal en cada nodo sea cero:
Problema F.II-2.18 Determinar los caudales que circulan por cada una de las tuberías de la red mostrada. Adicionalmente se dispone de la siguiente información: L1 = 800.00 D1 = 0.10 ε 1 = 0.15 mm L2 = 500.00 D2 = 0.15 ε 2 = 0.20 mm L3 = 400.00 D3 = 0.20 ε 3 = 0.10 mm
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO PERMANENTE EN CONDUCTOS CERRADOS _____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
81
Las pérdidas de energía por fricción para cualquier tramo de tubería es:
2i5
i2
iiif
2
2i
i
i
iiif
2i
i
iiif Q
gD
Lf8h
g2
D
Q4
D
Lfh
g2
v
D
Lfh
2iiif5
i2
iii Qrh
gD
Lf8rsi
para los diferentes tramos se tiene:
T
L
(m)
D
(m)
ε
(mm)
D
f
Moody
gD
Lf8r 5
i2
iii
Q
x 10-3 (m3/s)
Pérdida por fricción
2iiif Qrh
ii Qr
1 800 0.10 0.15 0.0015 0.022 145570 30 131.01 4367.10
2 500 0.15 0.20 0.0013 0.021 11437 20 - 4.58 228.74
3 400 0.20 0.10 0.0005 0.017 1757 70 - 8.61 122.99
ii
f
Qr2
hQ
la corrección ΔQ es:
s/m0125.0Q
66.9437
82.117Q
99.12274.22810.43672
61.858.401.131Q 3
s/l5.12Q
nuevos caudales
tramo Corrección ΔQ Caudal Q 1 + 12.5 30 - 12.5 = +17.5 2 +12.5 - 20 - 12.5 = - 32.5 3 +12.5 - 70 - 12.5 = - 82.5
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO PERMANENTE EN CONDUCTOS CERRADOS _____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
82
Segunda vuelta
para los diferentes tramos se tiene:
T
L
(m)
D
(m)
ε
(mm)
D
f
Moody
gD
Lf8r 5
i2
iii
Q
x 10-3 (m3/s)
Pérdida por fricción
2iiif Qrh
ii Qr
1 800 0.10 0.15 0.0015 0.022 145570 17.5 44.58 2547.48
2 500 015 0.20 0.0013 0.021 11437 - 32.5 - 12.08 371.70
3 400 0.20 0.10 0.0005 0.017 1757 - 82.5 - 11.96 144.95
ii
f
Qr2
hQ
la corrección ΔQ es:
s/m0033.0Q
26.6128
54.20Q
95.14470.37148.25472
96.1108.1258.44Q 3
s/l3.3Q
nuevos caudales
tramo Corrección ΔQ Caudal Q 1 - 3.3 +17.5 - 3.3 = +14.2 2 - 3.3 - 32.5 - 3.3 = - 35.8 3 - 3.3 - 82.5 - 3.3 = - 85.8
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO PERMANENTE EN CONDUCTOS CERRADOS _____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
83
Tercera vuelta
para los diferentes tramos se tiene:
T
L
(m)
D
(m)
ε
(mm)
D
f
Moody
gD
Lf8r 5
i2
iii
Q
x 10-3 (m3/s)
Pérdida por fricción
2iiif Qrh
ii Qr
1 800 0.10 0.15 0.0015 0.022 145570 14.2 29.35 2067.09
2 500 0.15 0.20 0.0013 0.021 11437 - 35.8 - 14.66 409.44
3 400 0.20 0.10 0.0005 0.017 1757 - 85.2 - 12.75 149.70
ii
f
Qr2
hQ
la corrección ΔQ es:
s/m0003.0Q
46.5252
94.1Q
70.14944.40909.20672
75.1266.1435.29Q 3
s/l3.0Q
nuevos caudales
tramo Corrección ΔQ Caudal Q 1 - 0.3 + 14.2 - 0.3 = + 13.90 2 - 0.3 - 35.8 - 0.3 = - 36.10 3 - 0.3 - 85.2 - 0.3 = - 85.50
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO PERMANENTE EN CONDUCTOS CERRADOS _____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
84
Cuarta vuelta
para los diferentes tramos se tiene:
T
L
(m)
D
(m)
ε
(mm)
D
f
Moody
gD
Lf8r 5
i2
iii
Q
x 10-3 (m3/s)
Pérdida por fricción
2iiif Qrh
ii Qr
1 800 0.10 0.15 0.0015 0.022 145570 13.9 + 28.13 2023.42
2 500 0.15 0.20 0.0013 0.021 11437 36.1 - 14.90 412.88
3 400 0.20 0.10 0.0005 0.017 1757 85.5 - 12.84 150.22
ii
f
Qr2
hQ
la corrección ΔQ es:
s/m00008.0Q
04.5173
39.0Q
22.15088.41242.20232
84.1290.1413.28Q 3
s/l0Q
Resultado Los caudales que circulan por las diferentes tuberías son: tubería 1; Q1 = 13.90 l/s, tubería 2; Q2 = 36.10 l/s, tubería 3; Q3 = 85.5 l/s Las pérdidas por fricción en las diferentes tuberías son: tubería 1; hf 1 = 28.13 m, tubería 2; hf 2 = 14.90 m, tubería 3; hf 3 = 12.84 m
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS PRINCIPIO DE ENERGIA Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO APLICADO AL FLUJO EN CANALES _____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
85
Capítulo 3
PRINCIPIO DE ENERGIA Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO APLICADO AL FLUJO EN
CANALES La energía específica (energía referida al fondo del canal), para una sección rectangular es:
g2
vyE
2
esta ecuación se hace adimensional al dividir entre yC, obteniéndose:
C
2
CC yg2
v
y
y
y
E
en canales rectangulares q = v y , al despejar se obtiene y
qv
Al sustituir en la expresión anterior resulta:
C
2
2
CC yyg2
q
y
y
y
E
La profundidad crítica en canales rectangulares es:
gyqg
qy 3
C2
3
2
C ,
al sustituir en la expresión anterior
2
C
CCC2
3C
CC
y
y2
1
y
y
y
E
yyg2
gy
y
y
y
E
Problema F.II-3.01 a) Desarrollar una expresión que represente E/yc en función de y/yc para canales
rectangulares. b) Graficar la expresión anterior.
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS PRINCIPIO DE ENERGIA Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO APLICADO AL FLUJO EN CANALES _____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
86
si zy
ye,x
y
E
CC
, entonces la ecuación anterior se escribe como:
z2
1zx
La expresión anterior se puede calcular y graficar en excel obteniéndose el gráfico siguiente:
Diagrama adimensional de energía específica
00,5
11,5
22,5
33,5
44,5
55,5
66,5
0 0,5
1 1,5
2 2,5
3 3,5
4 4,5
5 5,5
6 6,5
7 7,5
8
E/yc
y/y c
El caudal máximo qmax, se produce cuando la profundidad es la crítica yc, por lo tanto:
gyqg
qy 3
cmax3
2max
c
La energía mínima corresponde a la profundidad crítica yc y es igual
cmin y2
3E
La energía específica (energía referida al fondo del canal), para una sección rectangular es:
Problema F.II-3.02 c) Desarrollar una expresión que represente q/qmax en función de y/yc para canales
rectangulares. d) Graficar la expresión anterior.
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS PRINCIPIO DE ENERGIA Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO APLICADO AL FLUJO EN CANALES _____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
87
g2
vyE
2
en canales rectangulares q = v y , al despejar se obtiene y
qv
al sustituir en la ecuación anterior se obtiene:
yEyg2qyg2
qyE 22
2
2
al dividir la expresión anterior entre qmax se obtiene:
c
2
c
2
maxc3
c
22
max y
y
2
3
y
y2
q
qyy
2
3
gy
yg2
q
q
si zy
ye,x
q
q
Cmax
, entonces la ecuación anterior se escribe como:
z
2
3z2x 22
La expresión anterior se puede calcular y graficar en excel obteniéndose el gráfico siguiente:
Diagrama adimensional de descarga
00,10,20,30,40,50,60,70,80,9
11,11,21,31,41,51,6
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,1
q/qmáx
y/y c
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS PRINCIPIO DE ENERGIA Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO APLICADO AL FLUJO EN CANALES _____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
88
La ecuación adimensional de energía específica para canales rectangulares es:
2
C
CC
y
y2
1
y
y
y
E
E/yC y2/yC y1/yC y1/y2 1.50 1.00 1.00 1.00 2.07 0.58 1.93 3.33 2.50 0.50 2.41 4.82 3.02 0.44 2.97 6.75 3.53 0.40 3.49 8.73 4.02 0.37 3.99 10.78 4.67 0.34 4.64 13.65 5.20 0.32 5.19 16.22 5.51 0.31 5.49 17.71
0
5
10
15
20
1,5 2,5 3,5 4,5 5,5
E/yc
y 1/y
2
Problema F.II-3.03 Construir un diagrama adimensional que represente las alturas alternas y1/y2, de la compuerta rectangular que se muestra en la figura en función de E/yC
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS PRINCIPIO DE ENERGIA Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO APLICADO AL FLUJO EN CANALES _____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
89
Perfil longitudinal
Determinación de la energía especifica aguas debajo de la compuerta:
g2
y
q
yEg2
vyE
2
222
22
22
al sustituir los valores numérico se obtiene:
m87.2E81.9x2
60.0
00.4
60.0E 2
2
2
Determinación de la profundidad crítica yC:
m18.1y81.9
00.4y
g
qy C
3
2
C3
2
C
a)Mediante la utilización del gráfico adimensional de alturas alternas de una compuerta de admisión inferior.
Con la relación adimensional 43.218.1
87.2
y
E
C
, se encuentra en el gráfico de alturas alternas
de la compuerta 70.4y
y
2
1 , como se indica en el siguiente esquema:
Problema F.II-3.04 En un canal rectangular de 1.00 m de ancho, se encuentra instalada una compuerta de admisión inferior, por dicho canal fluye un caudal de 4.00 m3/s. Si la profundidad aguas debajo de la compuerta es de 60.00 cm, determinar mediante la utilización de los gráficos adimensionales:
a) La profundidad aguas arriba de la compuerta. b) La fuerza producida por la corriente de agua sobre la compuerta.
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS PRINCIPIO DE ENERGIA Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO APLICADO AL FLUJO EN CANALES _____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
90
por lo tanto y1 = 4.70 x y2 y1 = 4.70 x 0.60 y1 = 2.82 m
b) Mediante la utilización del gráfico adimensional de energía específica.
Con la relación adimensional 43.218.1
87.2
y
E
C
, se encuentra en el gráfico de energía
específica 39.2y
y
C
1 , como se indica en el siguiente esquema:
por lo tanto y1 = 2.39 x yC y1 = 2.39 x 1.18 y1 = 2.82 m
c) Determinación de la fuerza sobre la compuerta mediante la utilización del gráfico adimensional de fuerza especifica.
Con 39.218.1
82.2
y
y
C
1 se encuentra en el gráfico de fuerza especifica, 20.3yb
M2
C
1
Con 51.018.1
60.0
y
y
C
2 se encuentra en el gráfico de fuerza específica, 10.2yb
M2
C
2
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS PRINCIPIO DE ENERGIA Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO APLICADO AL FLUJO EN CANALES _____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
91
10.220.3yb
F
yb
M
yb
M
yb
F2
C2
C
22
C
12
C
kg1531F18.1x00.1x1000x10.220.3Fyb10.220.3F 22C
La sección de aproximación, aguas arriba de la compuerta, se designará, sección 1. La sección de salida, aguas debajo de la compuerta, se designará, sección 2. Determinación de las velocidades v1 , v2 y el caudal Q: La ecuación de continuidad entre las secciones 1 y 2 indica:
12
122211221121 v
y
yvyBvyBvAvAvQQ
Problema F.II-3.05 Calcular, analíticamente, la fuerza que ejerce el agua sobre la compuerta rectangular de 1.00 m de ancho que se muestra en la figura.
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS PRINCIPIO DE ENERGIA Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO APLICADO AL FLUJO EN CANALES _____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
92
para el presente caso la velocidad V2 es:
1212 v3vv60.0
80.1v
La ecuación de Bernoulli aplicada entre las secciones 1 y 2 al despreciar las pérdidas de energía y sustituir la ecuación de continuidad indica:
21
21
21
21
2
21
1
22
2
21
1 yyg2
v
g2
v9
g2
v3y
g2
vy
g2
vy
g2
vy
al despejar y sustituir se obtiene:
s/m72.1
8
60.080.181.9x2v
8
yyg2v 1
211
la velocidad V2 es:
s/m16.5v72.13vv3v 2212 y el caudal Q es:
s/m10.380.1x00.172.1AvQ 311
Determinación de la fuerza F, que ejerce el agua sobre la compuerta: Debido a que el agua se encuentra en movimiento esta fuerza se determina mediante la aplicación de la ecuación de cantidad de movimiento entre las secciones 1 y 2. Las fuerzas que actúan sobre el volumen de control se muestran en el siguiente esquema:
donde: F1 es la fuerza producida contra el volumen de control en la sección 1, al ser las líneas de
corriente rectas y paralelas se puede suponer que la distribución de presiones es hidrostática.
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS PRINCIPIO DE ENERGIA Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO APLICADO AL FLUJO EN CANALES _____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
93
F2 es la fuerza producida contra el volumen de control en la sección 2, al ser las líneas de corriente rectas y paralelas se puede suponer que la distribución de presiones es hidrostática.
Fx es la fuerza producida contra el volumen por la acción de la compuerta.
kg00.162080.1x00.1x10002
1FyB
2
1F 2
1211
kg00.18060.0x00.1x10002
1FyB
2
1F 2
2222
La ecuación de cantidad de movimiento aplicada entre las secciones 1 y 2 indica:
x1x2X21x1x2x vvQFFFvvQF
72.116.5102x10.3F00.18000.1620 X
Fx = 354.00 kg
Esto indica que la acción de la compuerta sobre el volumen de control es de 354.00 kg hacia la izquierda, por lo tanto la acción del agua sobre la compuerta es de 354.00 kg hacia la derecha, es decir:
kg00.354F
Problema F.II-3.06 En un canal rectangular se encuentra instalada una compuerta de admisión inferior, según se muestra en la figura. Demostrar que la profundidad crítica yC, se puede expresar en función de las profundidades alternas (profundidades correspondientes a la misma energía
específica) como: 21
22
21
C yy
yy2y
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS PRINCIPIO DE ENERGIA Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO APLICADO AL FLUJO EN CANALES _____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
94
Energía especifica antes de la compuerta = Energía específica después de la compuerta
1222
21
2
22
2
221
2
1
22
2
21
1 yyy
1
y
1
g2
q
g2y
qy
g2y
qy
g2
vy
g2
vy
la profundidad crítica en canales rectangulares es:
g
qy
g
qy
23
C3
2
C
al sustituir yC
3 en la ecuación anterior se tiene:
1222
21
21
22
3C
1222.
21
3C yy
yy
yy
2
yyy
y
1
y
1
2
y
sustituyendo la diferencia de los cuadrados 12122
12
2 yyyyporyy , es tiene:
21
21
223
C22
21
123
C122
22
1
12123
C
yy
yy2y1
yy
yy
2
yyy
yy
yyyy
2
y
Problema F.II-3.07 En un canal rectangular se encuentra instalada una compuerta de admisión inferior, aguas debajo de la compuerta se produce un resalto hidráulico con profundidades de 0.60 m antes del resalto y 1.50 m aguas abajo del resalto, como se muestra en la figura. Para las condiciones indicadas se pide:
a) El caudal por unidad de ancho q. b) La profundidad y0 antes de la compuerta. c) La energía disipada por el resalto. d) La fuerza por unidad de ancho, que ejerce el agua contra la compuerta.
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS PRINCIPIO DE ENERGIA Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO APLICADO AL FLUJO EN CANALES _____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
95
Determinación del caudal unitario q: A partir de la ecuación del resalto hidráulico se puede obtener el número de Froude en la sección 1 así:
2
1
2 811y
y21F
Al sustituir los valores numéricos en la ecuación anterior se obtiene que el número de Froude es:
09.28
1160.0
50.1x2
81160.0
50.1x2
2
2
111 FFF
por otra parte
s/m07.5v60.0x81.909.2v60.0x81.9
v09.2
yg
v11
1
1
1 1F
mediante la ecuación de continuidad se obtiene:
m/s/m04.3q60.0x07.5qyvq 311
Determinación de la profundidad crítica yC:
m98.0y81.9
04.3y
g
qy C
3
2
C3
2
C
Determinación de la profundidad y0, aguas arriba de la compuerta:
con 61.098.0
60.0
y
y
C
1 se encuentra en el gráfico adimensional de energía especifica 81.1y
y
C
0 ,
según se muestra en el siguiente esquema.
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS PRINCIPIO DE ENERGIA Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO APLICADO AL FLUJO EN CANALES _____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
96
como 81.1y
y
C
0 , entonces m81.1y89.0x81.1yyx81.1y 00C0
Determinación de pérdida de energía en el resalto hidráulico:
con 61.098.0
60.0
y
y
C
1 se encuentra en el gráfico anterior, de energía especifica 00.2y
E
C
1
este valor corresponde a la sección 1 (antes del resalto)
con 53.198.0
50.1
y
y
C
2 se encuentra en el gráfico anterior, de energía especifica 76.1y
E
C
2
este valor corresponde a la sección 2 (después del resalto), por lo tanto la pérdida de energía es:
24.0y
E76.100.2
y
E
y
E
y
E
y
E
CCC
2
C
1
C
m24.0E98.0x24.0E Determinación de la fuerza sobre la compuerta:
con 85.198.0
81.1
y
y
C
0 se encuentra en el siguiente gráfico, de fuerza especifica 28.2yb
M2
C
0
Este valor corresponde a la sección 0 (antes de la compuerta)
Con 61.098.0
60.0
y
y
C
1 se encuentra en el siguiente gráfico, de fuerza específica 82.1yb
M2
C
1
Este valor corresponde a la sección 1 (después de la compuerta), por lo tanto la fuerza sobre la compuerta es:
46.0yb
F82.128.2
yb
F
yb
M
yb
M
yb
F2
C2
C2
C
12
C
02
C
kg442F98.0x1000x46.0F 2
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS PRINCIPIO DE ENERGIA Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO APLICADO AL FLUJO EN CANALES _____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
97
La ecuación de continuidad muestra que:
11
110
00 y
qv
y
qvquey
2
qv
y
qv
La ecuación de cantidad de movimiento entre los puntos 0 y 1 es:
01
21
20 y
q
y
gFy
2
1y
2
1
sustituyendo y0 = 2.00, F = 400.00 y dividiendo la expresión entre γ se tiene:
2
q
y
g
1400
1y
2
112
2
11
1
21
2
Problema F.II-3.08 Para la compuerta rectangular que se muestra en el esquema determinar y1 y el caudal unitario, sabiendo que la fuerza por unidad de ancho que ejerce el agua sobre la compuerta es de 400.00 kg.
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS PRINCIPIO DE ENERGIA Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO APLICADO AL FLUJO EN CANALES _____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
98
Por ser agua γ = 1000 kg/m3
2
q
y
g
1
1000
400y
2
12
1
21
Al simplificar se obtiene:
21
1
2
y5.06.15.0y
1
g
q
ec.I
La ecuación de Bernoulli entre los puntos 0 y 1 es:
g2y
qy
g22
q2
g2
vy
g2
vy
21
2
12
221
1
20
0
121
2
y24
1
y
1
g
q
2
1
121
2
y225.0y
1
g
q
2
1
ec.II
Dividiendo miembro a miembro la ec. I entre la ec. II se tiene:
1
21
21
1
y2
y5.06.1
25.0y
1
2
1
50.0y
1
En la ecuación anterior y1 está implícito y se satisface para y1 = 0.72 m. De la ec. I se obtiene al despejar q:
m
s/m85.3q
5.072.0
181.972.0x5.06.1
q5.0
y
1gy5.06.1
q32
1
21
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS PRINCIPIO DE ENERGIA Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO APLICADO AL FLUJO EN CANALES _____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
99
Determinación de las profundidades secuentes o conjugadas del resalto hidráulico: Las dos profundidades y1 e y2 antes y después de un resalto se denominan profundidades secuentes o conjugadas y corresponden a una fuerza especifica constante. En este caso el resalto hidráulico tiene una diferencia de alturas de: y2 – y1 = 0.96 m y2 = y1 + 0.96 La pérdida de energía en los resaltos hidráulicos en canales rectangulares es:
21
312
21 yy4
yyEEE
0
04.0
96.0y96.0x4y4
96.0yy4
96.004.0
3
121
11
3
012.22y84.3y4 1
21
Esta ecuación de segundo grado en y1, tiene como raíz real positiva: y1 = 1.92 m, como además y2 = y1 + 0.96, entonces, y2 = 1.92 + 0.96 = 2.88 m Determinación del caudal unitario, q: El caudal unitario q, se define como la relación entre el caudal total Q y el ancho del canal rectangular B es decir:
Problema F.II-3.09 Para el canal rectangular de ancho B que se muestra en el esquema si ΔE = 4 cm y Δy = 96 cm determinar: 1.- La profundidad y1, aguas arriba del resalto. 2.- La profundidad y2, aguas abajo del resalto. 3.- El caudal unitario q. 4.- La profundidad yo, aguas arriba de la compuerta.
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS PRINCIPIO DE ENERGIA Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO APLICADO AL FLUJO EN CANALES _____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
100
s/móm
s/m
B
Qq 2
3
y corresponde a la cantidad de agua que circula en una franja de canal rectangular de 1.00 m de ancho La ecuación de continuidad aplicada entre las secciones 1 y 2, para un ancho unitario indica:
2222
111121 y
qvyvq;
y
qvyvqqqq
La ecuación de Bernoulli aplicada entre las secciones 1 y 2 y sustituyendo la ecuación de continuidad indica:
Eg2y
qy
g2y
qyE
g2
vy
g2
vy
22
2
221
2
1
22
2
21
1
al sustituir los valores numéricos correspondientes al presente caso se tiene:
04.081.9x2x88.2
q88.2
81.9x2x92.1
q92.1
22
obteniendo al simplificar y despejar:
m
s/m41.11
00615.001380.0
92.104.088.2q92.104.088.2q00615.0q01380.0
322
Determinación de la profundidad yo, antes de la compuerta: Las dos profundidades yo e y1 antes y después de una compuerta se denominan profundidades alternas y corresponden a una energía constante E.
g2y
qy
g2y
qy
g2
Vy
g2
Vy
21
2
120
2
0
21
1
20
0
al sustituir los valores correspondientes al presente caso se tiene.
81.9x2x92.1
41.1192.1
81.9x2xy
41.11y
2
2
20
2
0
obteniendo al simplificar y despejar:
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS PRINCIPIO DE ENERGIA Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO APLICADO AL FLUJO EN CANALES _____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
101
063.6y72.3y72.3y
63.6y 2
0302
00
Esta ecuación de tercer grado en y0, tiene como raíz real positiva:
y0 = 2.96 m
a) Demostración de la ecuación para el caudal: La ecuación de continuidad muestra que:
H
CavvBCavBHvQQ C1
0C1010
Si no existe pérdida de energía entre la sección o y la 1 entonces:
g2
vCa
g2
vH
21
C
2o
Problema F.II-3.10 Para el esquema que se muestra se pide:
a) Demostrar que el caudal se puede expresar como:
Hg2
H
Ca1
BCaQ
C
C
b) Calcular el caudal por unidad de ancho para H = 2.00 m, a = 0.25 m, CC = 0.60. c) La altura y2 del resalto suponiendo que el resalto comienza inmediatamente
después de la vena contraída. d) La energía disipada por el resalto ΔE. e) La profundidad crítica yC. f) La altura del escalón Δz0 para que se produzca sobre él la profundidad crítica yC.
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS PRINCIPIO DE ENERGIA Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO APLICADO AL FLUJO EN CANALES _____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
102
Sustituyendo v0 en la expresión anterior se tiene:
C2
2C
221
21
21
C
2
C1
CaHHg2
Cav
g2
v
g2
vCa
g2
H
Cav
H
C
2
C22
1 CaHH
Ca1
g2
v
H
Ca1
H
Ca1
H
Ca1Hg2
v
H
Ca1
H
Ca1
CaHg2v
CC
C
1CC
C1
H
Ca1
Hg2v
C1
Según la ecuación de continuidad Q = v A, entonces para el presente caso:
BCa
H
Ca1
Hg2AvQ C
C11
Hg2
H
Ca1
BCaQ
C
C
b) Para H = 2.00 m, a = 0.25 m y CC = 0.600 el caudal unitario es:
m
s/m906.000.2x81.9x2
00.2
600.0x25.01
600.0x25.0qHg2
H
Ca1
Ca
B
3
C
C
c) Determinación de la profundidad secuente o conjugada del resalto.
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS PRINCIPIO DE ENERGIA Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO APLICADO AL FLUJO EN CANALES _____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
103
El número de Froude en la sección 1, de aproximación al resalto es:
98.4600.0x25.0x81.9600.0x25.0
906.0
CagCa
q
Cag
Ca
q
yg
y
q
yg
vF
CCC
C
1
1
1
11
Como 4.98 > 1, el flujo antes del resalto es supercrítico. La profundidad secuente o conjugada es:
2
11
22
11
2 F8112
yyF811
y
y2
m984.0y98.4x8112
600.0x25.0y 2
22
d) La energía disipada por el resalto ΔE es:
m983.0
600.0x25.0x984.0x4
600.0x25.0984.0E
yy4
yyE
3
12
312
e) La profundidad crítica yC es:
m44.0y81.9
906.0y
g
qy C
3
2
C3
2
C
f) Determinación de la altura del escalón Δz0 Como en el escalón se produce la profundidad crítica la energía correspondiente sobre él es la energía mínima. Si en el escalón no se produce pérdida de energía, entonces la energía especifica antes del escalón es igual a la energía sobre el escalón más la altura de Δz0, es decir:
C2
2
20C2
22
00C2
22 y
2
3y
g2
y
q
zy2
3y
g2
vzzy
2
3y
g2
v
al sustituir los valores numéricos se obtiene:
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS PRINCIPIO DE ENERGIA Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO APLICADO AL FLUJO EN CANALES _____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
104
m37.0z44.0x2
3984.0
81.9x2984.0
906.0
z 0
2
0
La condición de flujo crítico se expresa por:
1Ag
TQ3
2
El ancho de la superficie libre T, en función de la profundidad crítica yc se obtiene así:
C
0
CCC
y3
32T
2
60tgy2T
2tgy2T
y
2/T
2tg
El área de la sección transversal del flujo es:
2CCC y
3
3Ayy
3
32
2
1A
sustituyendo los valores de T y A en la condición de profundidad crítica se obtiene:
1
y3
3g
y3
32300.0
3
2C
C2
m56.0y381.9x3
3x32x300.0y C
5/1
3
32
C
Problema F.II-3.11 Determinar la profundidad crítica en el canal triangular, simétrico, que se muestra en la figura si el caudal que circula es de 300 lts/s.
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS PRINCIPIO DE ENERGIA Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO APLICADO AL FLUJO EN CANALES _____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
105
como el canal es simétrico y el ángulo del vértice es de 90º entonces T = 2 yc Determinación de la profundidad crítica yC: La condición de flujo crítico se expresa por:
1Ag
TQ3
2
al sustituir y despejar se obtiene:
m44.0y81.9
2x280.0y1
yy22
181.9
y2280.0C
25
C3
CC
C2
Determinación de la pendiente crítica SC : Cuando la profundidad normal yn, es igual a la profundidad crítica yC, el flujo es crítico y la pendiente correspondiente se denomina pendiente crítica SC, la cual se obtiene a partir de la ecuación de Manning siendo S0 = SC.
ASRn
1Q 2/1
C3/2
H
la pendiente SC es:
2
3/2H
C3/2H
2/1C
AR
nQS
AR
nQS
El área de la sección transversal del flujo es:
Problema F.II-3.12 Para el canal triangular, simétrico, de madera que se muestra en la figura, con vértice de 90º, si n = 0.011 y Q = 280 l/s determinar:
a) la profundidad crítica. b) la pendiente crítica.
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS PRINCIPIO DE ENERGIA Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO APLICADO AL FLUJO EN CANALES _____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
106
2CCC yAyy2
2
1A
El radio hidráulico es:
mojadoPerímetro
ltransversaciónsecladeAreahidráulcoRadio
22
y
y22
y
P
AR C
C
2C
H
2
2
3/2C
2
2C
3/2
C
C
44.0x22
44.0
011.0x280.0S
y22
y
nQS
00
0003
C /3012.0/012.310x012.3003012.0S
Determinación de la profundidad crítica yC: El inverso de la pendiente transversal del talud m, del canal es:
50.12
3ctgm
Problema F.II-3.13 En el canal trapezoidal, simétrico, que se muestra en la figura circula un caudal de 22.4 m3/s, si el coeficiente de rugosidad de Manning es 0.023, determinar:
a) La profundidad crítica yC. b) La pendiente crítica SC.
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS PRINCIPIO DE ENERGIA Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO APLICADO AL FLUJO EN CANALES _____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
107
El área A, de la sección transversal es:
2CC
2 y50.1y00.6AymybA
El perímetro mojado P, es:
C2
C2 y61.300.6P50.11y200.6Pm1y2bP
El ancho de la superficie libre T, es:
CC y300.6Ty50.1x200.6Tym2bT
La condición de flujo crítico se expresa por:
1Ag
TQ3
2
al sustituir los valores de Q, g y las expresiones de T y A se obtiene:
1y50.1y6x81.9
y364.2232
CC
C2
El valor de yC que satisface la ecuación anterior es yC = 1.03 m. Determinación de la pendiente crítica SC : Cuando la profundidad normal yn, es igual a la profundidad crítica yC, el flujo es crítico y la pendiente correspondiente se denomina pendiente crítica SC, la cual se obtiene a partir de la ecuación de Manning siendo S0 = SC.
ASRn
1Q 2/1
C3/2
H
la pendiente SC es:
2
3/2H
C3/2H
2/1C
AR
nQS
AR
nQS
00592.0S
03.1x50.103.1x603.1x61.36
03.1x50.103.1x6
023.0x4.22S C
2
2
3/22C
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS PRINCIPIO DE ENERGIA Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO APLICADO AL FLUJO EN CANALES _____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
108
La condición de flujo crítico se expresa por:
1Ag
TQ3
2
Con el fin de determinar el área A y el ancho de la superficie libre T la sección transversal se
divide en áreas parciales como se indica:
El área de la sección transversal del flujo. Como el ángulo es de 45º la base de los triángulos laterales es b/3, por lo tanto el ancho del
cuadrado central también es b/3.
9
b2
3
b
3
b
3
b
3
b
2
12AAA2A
2
21
El ancho de la superficie libre T.
3
bT
Problema F.II-3.14 Calcular en función de Q y g al ancho de la base b, en un canal triangular como el mostrado en la figura si se diseña de tal forma que la profundidad crítica sea yC = b/3.
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS PRINCIPIO DE ENERGIA Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO APLICADO AL FLUJO EN CANALES _____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
109
sustituyendo los valores de A y T en la condición de flujo crítico se obtiene:
5/12
32
2
g8
Q3b1
9
b2g
3
bQ
a) Energía específica
E1 = E2
g2
vy0yy
g2
vy
22
b) Cantidad de movimiento
12x vvQF
Problema F.II-3.15 En el esquema se muestra el canal rectangular de ancho B cerrado en el extremo por una compuerta. Por el canal fluye agua con una velocidad v y una profundidad y, el agua fluye sin pérdidas hacia una descarga de fondo. Calcular la sobre elevación Δy, en la superficie del agua, aguas arriba de la compuerta.
a) Aplicando la ecuación de energía entre las secciones 1 y 2. b) Aplicando la ecuación de cantidad de movimiento entre las secciones 1 y 2
(suponer Δy pequeño). c) Cuál de las dos respuestas es la correcta y porqué.
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS PRINCIPIO DE ENERGIA Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO APLICADO AL FLUJO EN CANALES _____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
110
v0g
ByvByy2
1By
2
1vvQFF 22
1221
gyvy
2
1yy2
2
1y
2
1y
2
1 2222
g
yvy
2
1yy
22
como Δy se considera pequeño, entonces el término Δy2 es despreciable por lo tanto:
g
vy
2
c) El resultado obtenido con la ecuación de energía es el correcto, en el caso de usar la
ecuación de cantidad de movimiento se comete el error de despreciar la fuerza R, mostrada en la siguiente figura
Problema F.II-3.16 a) Un canal rectangular tiene un escalón, con una altura Δz = 0.40 m. y extremos
aerodinámicos para no ofrecer resistencia al flujo. En estas condiciones las profundidades del agua son de 1.05 m. en la sección de aproximación y de 0.60 m. sobre el escalón.
b) Si la altura del escalón se modifica a Δz = 0.80 m cual será la nueva profundidad en la sección de aproximación.
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS PRINCIPIO DE ENERGIA Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO APLICADO AL FLUJO EN CANALES _____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
111
La ecuación de continuidad entre las secciones 1 y 2 indica:
121212
12221121 v75.1vv
60.0
05.1vv
y
yvByvByvQQ
Para la condición inicial, la energía específica en la sección 1 es igual a la energía específica en la sección 2 más la altura del escalón, es decir:
g2
vyz
g2
vyzEE
22
2
21
121
Al sustituir la ecuación de continuidad en la ecuación de energía y los valores de la altura del escalón y las profundidades se obtiene:
60.040.005.1175.1g2
v
g2
v75.160.040.0
g2
v05.1 2
21
21
21
s/m69.0v
175.1
81.9x2x60.040.005.1v 121
El caudal unitario, q es:
m/s/m724.0q05.1x69.0qyvq 311
La profundidad crítica, yC es:
m376.0y81.9
724.0y
g
qy C
3
2
C3
2
C
La energía que dispone del fluido en la sección 1 es:
m07.1E81.9x2
69.005.1E
g2
vyE 1
2
1
21
11
La energía mínima, necesaria en la sección 2, cuando la altura del escalón es Δz = 0.80 m es:
m36.1376.0x2
380.0Ey
2
3zE minCmin
Como la energía existente en la sección 1 (E1 = 1.07 m) es menor que la mínima necesaria en la sección 2 (E2 = 1.36 m) entonces la altura en la sección 1, ahora denominada yN, debe aumentar hasta que la energía en la sección 1 alcance el valor de la energía mínima, es decir:
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS PRINCIPIO DE ENERGIA Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO APLICADO AL FLUJO EN CANALES _____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
112
36.1g2y
qy36.1
g2
y
q
y36.1g2
vy
2N
2
N
2
NN
2N
N
al sustituir q se obtiene:
36.181.9x2xy
724.0y
2n
2
N
al simplificar se obtiene la siguiente ecuación cúbica:
00267.0y36.1y 2N
3N
la cual se satisface para yN = 1.34 m, altura correspondiente a flujo sub crítico ya que (yN = 1.34) > (yC = 0.376).
Planta. Energía disponible en la sección 1:
m003.181.9x2
00.1x00..2
1000/500
00.1Eg2
A
Q
yEg2
vyE
2
1
2
111
21
11
En la garganta, sección contraída, se produce la energía mínima, como no se produce alteración de la profundidad esta energía es igual a 1.003 m, por lo tanto la profundidad crítica en la sección 2 es:
m67.0y003.1x3
2yE
3
2y 2C2C2C
Problema F.II-3.17 En un canal rectangular de 2.00 m de ancho fluye un caudal de 500 l/s con una profundidad de 1.00 m. Si se introduce un obstáculo lateral para reducir la sección, como el mostrado en la figura, determinar el valor de x, que permite el flujo con la misma profundidad.
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS PRINCIPIO DE ENERGIA Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO APLICADO AL FLUJO EN CANALES _____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
113
Por otra parte la profundidad crítica en la sección 2 es:
gy
Qx
gx
Qy
g
x
Q
yg
qy
32C
2
2
23
2C
3
2
2C3
22
2C
al sustituir los valores de Q, yC 2 y g se obtiene:
.m29.0x
81.9x67.0
1000/500x
3
2
Determinación de la energía disponible en la sección 1, de aproximación:
g2
By
Bq
yEg2
A
Q
yEg2
vyE
2
111
2
11
21
11
al sustituir los valores numéricos se tiene:
m05.281.9x2
50.5x80.1
50.5x4
80.1E
2
1
Problema F.II-3.18 Un río muy ancho conduce un caudal q1 de 4.00 m3/s/m a una profundidad de 1.80 m. La construcción de un puente requiere pilas de 1.80 m de espesor cuyos centros están separados 5.50 m. Las pilas son hidrodinámicas y no tienen resistencia al flujo, para estas condiciones se pide:
a) Verificar si se produce sobre elevación aguas arriba de las pilas del puente. b) En caso afirmativo determinar dicha profundidad.
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS PRINCIPIO DE ENERGIA Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO APLICADO AL FLUJO EN CANALES _____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
114
Determinación de la profundidad crítica en la sección 1:
m17.1y81.9
00.4y
g
qy 1C
3
2
1C3
21
1C
Determinación del caudal unitario en la sección 2 (entre las pilas del puente):
m/s/m95.5q80.150.5
50.5x00.4q
eS
Sqq
B
Qq 3
221
22
2
Determinación de la profundidad crítica en la sección 2:
m53.1y81.9
95.5y
g
qy 2C
3
2
2C3
22
2C
Determinación de la energía mínima en la sección 2 (entre las pilas):
m30.2E53.1x2
3Ey
2
3E minmin2Cmin
Como la energía disponible en la sección 1 es de 2.05 m y la energía mínima necesaria en la sección 2 es de 2.30 m, por lo tanto no hay suficiente energía, entonces el nivel del agua debe aumentar hasta yN de manera que la energía en la sección 1 alcance el valor de la energía mínima de 2.30 m, es decir:
30.2g2y
qy30.2
g2
Sy
Sq
y30.2g2
vy
2N
2
N
2
NN
2N
N
al sustituir q se obtiene:
30.281.9x2xy
00.4y
2n
2
N
al simplificar se obtiene la siguiente ecuación cúbica:
082.0y30.2y 2N
3N
la cual se satisface para yN = 2.12 m, altura correspondiente a flujo subcrítico ya que (yN = 2.12 m) > (yC 1 = 1.17 m).
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS PRINCIPIO DE ENERGIA Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO APLICADO AL FLUJO EN CANALES _____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
115
Planta
La energía disponible en la sección 1, se muestra en el siguiente esquema.
Perfil longitudinal y tiene un valor de:
m32.2E81.9x200.2
500.2E
g2y
qyE
g2
vyE 12
2
121
2
11
21
11
Si se quiere que no se produzca sobre elevación de la superficie del agua esta energía permanecerá constante y como no hay pérdida de energía entre las secciones 1 y 2, entonces, E1 = E2. Se quiere el máximo valor de a, en la sección 2, entonces entre dos pilas se producirá la profundidad crítica la cual corresponde a la energía mínima es decir:
Problema F.II-3.19 Un río muy ancho conduce un caudal q, de 5 m3/s/m, con una profundidad de 2.00 m. en la sección 1. La construcción de un puente requiere que existan pilas separadas 6.50 m entre centros. Si las pilas tienen forma hidrodinámica y no ofrecen resistencia al flujo, cuál es el máximo espesor a, que pueden tener las pilas sin que se produzca sobre elevación aguas arriba de las pilas del puente.
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS PRINCIPIO DE ENERGIA Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO APLICADO AL FLUJO EN CANALES _____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
116
m54.1y32.23
2yE
3
2yy
2
3E 2C2Cmin2C2Cmin
El caudal máximo qmáx, se puede determinar mediante la utilización del diagrama adimensional de descarga como se muestra a continuación:
Para 29.154.1
00.2
y
y
C
se puede encontrar el diagrama adimensional de descarga el valor de máxq
q
como m/s/m024.683.0
00.5q83.0
q
q 3máx
máx
que es el caudal máximo que circula
entre las pilas o mediante la utilización de las ecuaciones correspondientes como se indica a continuación:
.m/s/m99.5q81.9x54.1qgyqg
qy 3
máx3
máx3
2Cmáx3
2máx
2C
entonces:
.m10.1a
024.6
50.6x00.550.6a
a50.6
50.6x00.5024.6
a50.6
Qq máx
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO UNIFORME EN CANALES ABIERTOS ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
117
Capítulo 4
FLUJO UNIFORME EN CANALES ABIERTOS La sección de máxima eficiencia es aquélla en la que el radio hidráulico es igual a la mitad de la profundidad, es decir:
2
yR H
Por definición el radio hidráulico es igual a la relación entre el área y el perímetro mojado, es decir:
2H2
2
HHm12b
ymbyR
m12b
ymybR
P
AR
al igualar las expresiones anteriores se tiene:
22 00.11y2b
y00.1b
2
1
m12b
ymby
2
y
by83.0bb2y2y83.2y2b2y83.2b
21.1b
y
83.0
1
b
y
Se debe cumplir con la condición anterior para que la sección sea de máxima eficiencia. Como el flujo es uniforme se debe satisfacer la ecuación de Manning Para la determinación de las dimensiones del canal existen dos procedimientos. a. Determinación de las dimensiones b e y mediante la utilización de los gráficos
adimensionales.
Con 21.1b
y se encuentra en el gráfico siguiente 90.1
bS
nQ3/82/1
0
Problema F.II-4.01 Un canal trapezoidal de concreto con una rugosidad n de Manning de 0.013, conduce en flujo uniforme un caudal Q de 1.00 m3/s. La pendiente longitudinal S0 tiene un valor de 0.0004 y un talud lateral con un valor m = 1.00. Si la relación y/b es aquella que corresponde a la sección de máxima eficiencia determinar las dimensiones de la base o plantilla b y de la profundidad o tirante y.
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO UNIFORME EN CANALES ABIERTOS ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
118
8/3
2/13/82/13/82/10 90.1x0004.0
013.0x00.1b90.1
b0004.0
013.0x00.190.1
bS
nQ
.m81.0y67.0x21.1yb21.1y21.1b
ycomom67.0b
El canal es el mostrado en la siguiente figura.
b. Determinación de las dimensiones b e y mediante la ecuación de Manning.
2nn
2/10
3/2
2n
2nn2/1
03/2
H ymybSm1y2b
ymyb
n
1QASR
n
1Q
como (b = 0.81 y) la ecuación anterior se puede escribir como:
2nnn
2/1
3/2
2nn
2nnn y00.1yy83.00004.000.11y2y83.0
y00.1yy83.0
013.0
100.1
2n
2/1
3/2
n
2n yx83.10004.0
y66.3
yx83.1
013.0
100.1
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO UNIFORME EN CANALES ABIERTOS ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
119
8/3
3/22/1n3/6
n2/13/2
n83.1x50.00004.0
013.0x1yy83.10004.0y50.0
013.0
100.1
m81.0yn
Determinación de las dimensiones b e y del canal. La condición de máxima eficiencia en un canal rectangular es aquélla en la que b = 2y
gb
Qy
g
b/Qy
g
b/Qy
g
qyyyy
2
23
3
3
23
3
2
3
2
Cn
como b = 2y, entonces:
m59.1y
81.9x4
00.20y
g2
Qy
g2
Qy
gy2
Qy
5/125/1
2
2
2
25
2
23
entonces m18.3b59.1x2by2b Determinación de la pendiente longitudinal S0 del canal.
18.3x59.1S59.1x218.3
18.3x59.1
015.0
100.20AS
P
A
n
1Q 2/1
0
3/2
2/10
3/2
0048.0S
18.3x59.159.1x218.3
18.3x59.1
015.0x00.20S 0
2
3/20
Problema F.II-4.02 Diseñar un canal rectangular que transporte un caudal de 20.00 m3/s de tal manera que la sección hidráulica sea de máxima eficiencia y el flujo uniforme sea crítico. El canal tiene un revestimiento con un valor del coeficiente de n de Manning de 0.015. Para estas condiciones determinar:
a. Las dimensiones b e y. b. La pendiente longitudinal S0 del canal. c. La velocidad media V. d. El esfuerzo cortante 0 , en el contorno del canal.
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO UNIFORME EN CANALES ABIERTOS ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
120
Determinación de la velocidad media v.
.s/m96.3v18.3x59.1
00.20v
A
Qv
Determinación del esfuerzo cortante 0 .
2000H0 m/kg82.30048.0x
59.1x218.3
18.3x59.1x1000SR
a) La profundidad normal yn, es aquella profundidad que satisface la ecuación de Manning.
Determinación del ancho de la superficie libre T:
y155.1Tº30tany2Ty
2/Tº30tan
Determinación del perímetro mojado P:
y310.2Py2
y155.12Py
2
T2PL2P 2
22
2
1
Determinación del área transversal mojada A:
2y578.0A2
y)y155.1(A
2
yTA
Problema F.II-4.03 Por un canal triangular simétrico, con ángulo inferior igual 60º circula, en régimen uniforme, un caudal de 300 l/s. Si el coeficiente n de Manning es de 0.010 y la pendiente longitudinal S0 es 0.040, determinar:
a) La profundidad normal yn. b) La profundidad crítica yC.
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO UNIFORME EN CANALES ABIERTOS ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
121
Determinación del radio hidráulico RH:
y250.0Ry310.2
y578.0R
P
AR H
2
HH
El valor de y que satisface la ecuación de Manning se denomina profundidad normal yn. Determinación de la profundidad normal yn mediante la ecuación de Manning:
22/13/2 y578.0040.0y250.0010.0
1300.0
m36.0y578.0x250.0x040.0
010.0x300.0y n
8/3
3/22/1n
b) La profundidad crítica yC es aquella profundidad que satisface la condición de flujo crítico, es decir:
m56.0y
578.0x81.9
155.1x300.0y1
y578.0x81.9
y155.1x300.01
Ag
TQC
5/1
3
2
C32C
C2
3
2
ASRn
1Q 2/1
03/2
H
Problema F.II-4.04 Por el canal trapezoidal mostrado en la figura, circula agua en régimen uniforme. Si se dispone de la siguiente información: ancho de la base o plantilla b = 3.00 m, coeficiente de Manning n = 0.010, talud lateral m = 1.00, S0 =0.0036 y profundidad crítica yC = 2.00 m. determinar:
a) La velocidad crítica VC. b) La energía mínima Emin. c) El caudal. d) La profundidad normal yn. e) Tipo de flujo.
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO UNIFORME EN CANALES ABIERTOS ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
122
Determinación de la velocidad crítica, condición de flujo crítico.
2C
22
CA
Qv
C
CC
C
C2C
C
C2
C
2
3C
C2
T
Agv
T
Agv
T
Ag
A
Q1
Ag
TQ
2
C2
C2
CCC m00.10A00.2x00.100.2x00.3AymybA
m00.7T00.2x00.1x200.3Tym2bT CCCC
.s/m74.3v00.7
00.10x81.9v CC
Determinación de la energía especifica mínima.
.m71.2Ekg
m.kg71.2E
81.9x2
74.300.2E
g2
vyE minmin
2
min
2C
Cmin
Determinación del caudal.
.s/m40.37Q00.10x74.3QAvQ 3CC
Determinación de la profundidad normal. La profundidad normal es aquélla que satisface la ecuación de Manning.
2nn
2/10
3/2
2n
2nn2/1
03/2
H ymybSm1y2b
ymyb
n
1QASR
n
1Q
2nn
2/1
3/2
2n
2nn yx00.1yx00.30036.000.11y200.3
y00.1y00.3
010.0
140.37
El valor de yn es aquel que satisface la ecuación anterior el cual se puede obtener por tanteo, por un programa o mediante la utilización de un gráfico. La ecuación anterior se satisface para yn = 1.47 m. Utilización del gráfico adimensional:
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO UNIFORME EN CANALES ABIERTOS ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
123
33.0
bS
nQ
00.30036.0
010.0x40.37
bS
nQ3/82/1
03/82/13/82/1
0
con el valor de 33.0bS
nQ3/82/1
0
se encuentra en el gráfico 50.0b
yn , por lo tanto:
bien.m47.1m50.1y00.3x50.0ybx50.0y nnn
Determinación del tipo de flujo. Se puede determinar comparando la profundidad normal con la profundidad crítica así: Como yn < yC (1.47 m < 2.00 m) el flujo es supercrítico También se puede determinar el tipo de flujo mediante la determinación del número de Froude. El número de Froude para una sección no rectangular es:
73.1F47.1x00.147.1x00.3x81.9
47.1x00.1x200.3x40.37F
32
2
Como el número de Froude es mayor que 1 el flujo es supercrítico.
3
2
Ag
TQF
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO UNIFORME EN CANALES ABIERTOS ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
124
Determinación de la energía especifica correspondiente a la profundidad normal.
81.9x2
47.1x00.147.1x00.3
40.37
47.1Eg2
A
Q
yEg2
vyE
2
2
2
n
2n
n
.m12.3Ekg
m.kg12.3E
Determinación del área mojada:
2321 m1413A201x201
2
12201x003501x405AA2AAA .......
Determinación del perímetro mojado:
m409P003201201x2501x2PbL2L2P 2221 .....
Determinación del caudal mediante la ecuación de Manning:
./...
.
.
//// sm6421Q1413
2000
1
409
1413
0170
1QASR
n
1Q 3
213221
032
H
Problema F.II-4.05 Determinar el caudal o gasto que circula por el canal cuya sección transversal se muestra en la figura si la pendiente longitudinal es de 1/2000 y el coeficiente de rugosidad de Manning es de 0.017.
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO UNIFORME EN CANALES ABIERTOS ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
125
Determinación de la profundidad crítica. La condición de flujo crítico es:
2
C
2CC
2C
C
C2
C2
2
3
2
ym2b
ymyb
g
v
T
A
g
v
T
A
Ag
Q1
Ag
TQ
Al sustituir el valor de la velocidad crítica en la ecuación de la energía mínima se obtiene:
2
C
2CC
Cmin
2C
Cminym2b2
ymybyE
g2
vyE
2
C
2CC
Cyx80.0x240.22
yx80.0yx40.2y40.2
la ecuación anterior se satisface para yC = 1.76 m. Determinación del caudal:
2/1
C
32CC
2/13
3
2
ym2b
ymybgQ
T
AgQ1
Ag
TQ
al sustituir los valores se tiene:
.s/m79.23Q
76.1x80.0x240.2
76.1x80.076.1x40.2x81.9Q 3
2/132
Problema F.II-4.06 Por un canal trapezoidal con ancho de la base o plantilla b = 2.40 m, taludes laterales con m = 0.80, coeficiente de Manning n = 0.012 y pendiente longitudinal S0 = 0.0001circula agua en régimen uniforme. Si la energía especifica mínima, es Emin = 2.40 kg.m/kg. Determinar:
a. La profundidad crítica yC. b. El caudal. c. La profundidad normal. d. El tipo de flujo.
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO UNIFORME EN CANALES ABIERTOS ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
126
Determinación de la profundidad normal yn. La profundidad normal es aquélla que satisface la ecuación de Manning.
2nn
2/1
3/2
2n
2nn2/1
03/2
H y80.0y40.20001.080.01y240.2
y80.0y40.2
012.0
179.23ASR
n
1Q
esta ecuación se satisface para yn = 3.74 m, )subcríticoflujoyy( Cn
Otra forma de obtener la profundidad normal yn es a través de los gráficos adimensionales.
Con 76.240.2x0001.0
012.0x79.23
bS
nQ3/82/13/82/1
0
se encuentra en el gráfico siguiente 60.1b
y
por lo tanto yn = 1.60 x 2.40 = 3.84 m. este procedimiento gráfico no es exacto, el valor verdadero es yn = 3.74 m. Otra manera para determinar el tipo de flujo es determinar el número de Froude sección no rectangular así:
24.0F
74.3x8.074.3x40.2x81.9
74.3x8.0x240.2x79.23F
Ag
TQF
2
2
3
2
F = 0.24 < 1 indica que el flujo es subcrítico.
Problema F.II-4.07 Se desea construir un canal rectangular muy rugoso con un valor de la n de Manning de 0.035. El canal debe transportar un caudal de 43.20 m3/s. y tiene una pendiente longitudinal del uno por mil. Determinar el ancho del canal y la profundidad del agua para una sección hidráulica óptima.
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO UNIFORME EN CANALES ABIERTOS ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
127
La sección rectangular óptima es aquella en la cual el radio hidráulico es igual a la mitad de la profundidad del agua es decir:
P
AR;
2
yR HH
y2by2bb2y2bb22
1
y2b
b
2
y
y2b
yb
2
y
P
A
Determinación de la profundidad normal mediante la ecuación de Manning.
2S
2nQyyy2S
2
y
n
1QASR
n
1Q
2/10
3/23/8
nnn2/1
0
3/2
n2/10
3/2H
.m91.3y2001.0
2x035.0x20.43y
2S
2nQy n
8/3
2/1
3/2
n
8/3
2/10
3/2
n
.m82.7b91.3x2by2b n
Problema F.II-4.08 Para un canal triangular, simétrico, de concreto, con un valor del coeficiente n de Manning de 0.015 y vértice con un ángulo de 90º que conduce un caudal de 5.00 m3/s en flujo uniforme, con una pendiente longitudinal S0 de 0.001 determinar:
1. La profundidad normal del agua. 2. El esfuerzo cortante promedio en el contorno. 3. El coeficiente de Chezy. 4. El factor de fricción f de Darcy. 5. La rugosidad ε en el diagrama de Moody que produce dicha fricción si la
viscosidad cinemática ν, del agua es 1 x 10-6 m2/s. 6. Como es el flujo, sub crítico, crítico o super crítico. 7. La profundidad alterna que corresponde a la misma energía especifica.
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO UNIFORME EN CANALES ABIERTOS ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
128
Determinación del área:
21 yAyy
2
12AA2A
Determinación del perímetro P.
2y2Py22Pyy2PL2P 222
Determinación del radio hidráulico RH.
22
yR
y22
yR
P
AR H
2
HH
Determinación de profundidad normal yn mediante la ecuación de Manning.
22/1
3/2
2/10
3/2H y001.0
22
y
015.0
100.5ASR
n
1Q
m79.1y
001.0
22x015.0x00.5y
8/3
2/1
3/2
Determinación del esfuerzo cortante promedio en el contorno 0 .
2000H0 m/kg63.0001.0x
22
79.1x1000SR
Determinación del coeficiente C de Chezy.
s/m62C015.0
22
79.1
Cn
RC 2/1
6/1
6/1H
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO UNIFORME EN CANALES ABIERTOS ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
129
Determinación del factor de fricción f de Darcy.
024.0f62
81.9x8f
C
g8f
22
En número de Reynolds equivalente para el flujo en este canal es:
6
6
2HH 10x95.3R
10x1
22
79.14
79.1
00.5
RR4
A
Q
RR4v
R
Determinación de la rugosidad ε, en el diagrama de Moody que produce la fricción f.
Con f = 0.024 y R = 3.95 x 106 se encuentra en el diagrama de Moody 0011.0R4 H
por lo
tanto mm8.2m0028.022
79.14x0011.0R4x0011.0 H
Determinación del tipo de flujo. a. Mediante la determinación de la profundidad crítica.
.m39.1y
81.9
2x00.5y1
yx81.9
y2x00.51
Ag
TQC
5/12
C32C
C2
3
2
como yn = 1.79 m. > yC = 1.39 m. el flujo es subcrítico
b. Mediante la determinación del número de Froude.
El número de Froude para una sección no rectangular es:
3
2
Ag
TQF
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO UNIFORME EN CANALES ABIERTOS ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
130
53.0F79.1x81.9
79.1x2x00.5F
32
2
Como el número de Froude es menor que 1 el flujo es subcrítico. Determinación de la profundidad alterna.
m91.1E81.9x2
79.1
00.5
79.1E
2
2
m13.1y81.9x2
y
00.5
y91.1
2
2
Determinación del área transversal A.
2321 m60.3A40.2x20.1
2
120.1x20.1
2
120.1x20.1AAAAA
Determinación del perímetro mojado P.
m58.5P40.220.120.120.120.1PLLLP 2222321
Problema F.II-4.09 El canal mostrado en la figura tiene un coeficiente de Chezy de 55 m1/2/s y transporta 10.00 m3/s de agua en régimen uniforme. Determinar: a La pendiente que debe tener el canal. b El coeficiente de fricción f de Darcy. c El coeficiente n de Manning. d El esfuerzo cortante 0 promedio del contorno.
e El caudal por unidad de ancho q.
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO UNIFORME EN CANALES ABIERTOS ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
131
Determinación del radio hidráulico RH.
m65.0R58.5
60.3R
P
AR HHH
La ecuación que expresa el caudal en un canal en función del coeficiente de Chezy es:
ASRCQ 2/10
2/1H
Determinación de la pendiente del canal.
00392.0S60.3x65.0x55
00.10S
ARC
QS 022
2
02H
2
2
0
Determinación del factor de fricción f de Darcy.
026.0f55
81.9x8f
C
g8f
f
g8C
22
Determinación del coeficiente de n de Manning.
017.0n
55
65.0n
C
Rn
6/16/1H
Determinación del esfuerzo cortante 0 .
2
000H0 m/kg55.200392.0x65.0x1000SR
El concepto de caudal unitario solamente es válido para canales rectangulares por lo tanto el caudal unitario para este canal no existe.
Determinación de la pendiente del canal S0.
2
0
2
2/102/1
2/10
2/10
2/1
75x00.4
50.1S
yC
vS
yC
vSSyCv
Problema F.II-4.10 Un canal muy ancho conduce agua en flujo uniforme con una profundidad de 4.00 m. y una velocidad de 1.50 m/s. El coeficiente de fricción de Chezy es de 75 m1/2/s. Determinar:
a. La pendiente S0 del canal. b. La rugosidad n de Manning. c. El factor de fricción f de Darcy. d. La altura ε de las rugosidades.
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO UNIFORME EN CANALES ABIERTOS ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
132
0001.0S0
Determinación de la n de Manning.
017.0n
75
00.4n
C
Rn
n
RC
6/16/1H
6/1H
Determinación del factor de fricción f de Darcy.
014.0f75
81.9x8f
C
g8f
f
g8C
f
g8C
222
Determinación de las rugosidades. El número de Reynolds representativo para canales es:
7
6H 10x40.2R
10x1
00.4x4x50.1R
R4vR
con el valor de R = 2.40 x 107 y f = 0.014 se encuentra en el diagrama de Moody
0002.0R4 H
, según se muestra en el siguiente esquema.
Esquema del diagrama de Moody. por lo tanto ε = 0.0002 x (4 x 4.00) ε = 0.003 m ε = 3 mm.
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO UNIFORME EN CANALES ABIERTOS ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
133
El valor de m es:
00.1m45ctgmctgm 0 La sección hidráulica óptima es aquélla que corresponde a la sección transversal mínima.
n2
n
nnnH y828.0b
00.11y2b
y00.1by
2
y
2
yR
Determinación de la profundidad normal. Yn.
ASRCQ 2/10
2/1H
2n
2n
2/12/1
n yy828.00008.02
y00.8025.2
.m90.0y828.1x0008.0x00.80
2x25.2y n
5/2
2/1
2/1
n
.m745.0b90.0x828.0by828.0b n
Determinación de la n de Manning.
011.0n00.80
2
90.0
nC
Rn
n
RC
6/1
6/1H
6/1H
Problema F.II-4.11 Un canal trapezoidal de sección transversal mínima transporta un caudal de 2.25 m3/s. La pendiente longitudinal es S0 = 0.0008 y la rugosidad de Chezy es C = 80 m1/2 /s. Los taludes laterales están inclinados 45º con respecto a la horizontal. Determinar:
a. La anchura del fondo del canal B. b. La profundidad normal yn. c. La rugosidad n de Manning. d. El factor f de fricción de Darcy. e. El diámetro de los elementos de rugosidad que constituyen el contorno.
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO UNIFORME EN CANALES ABIERTOS ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
134
Determinación del factor de fricción f de Darcy.
012.0f00.80
81.9x8f
C
g8f
f
g8C
f
g8C
222
Determinación de las rugosidades. El número de Reynolds representativo para canales es:
6
2H
10x1
2
90.0x4x
90.0x00.190.0x745.0
25.2
R2
y4
A
Q
RR4v
R
610x74.2R
con el valor de R = 2.74 x 106 y f = 0.012 se encuentra en el diagrama de Moody
00005.0R4 H
, según se muestra en el siguiente esquema.
Esquema del diagrama de Moody.
por lo tanto ε = 0.00005 x 2
90.0 ε = 0.00009 m ε = 0.09 mm.
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO UNIFORME EN CANALES ABIERTOS ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
135
Determinación de la profundidad nonrmal yn.
2m00.40A50.0
00.20A
v
QAAvQ
040y6y2y00.2y00.600.40ymybA n2
n2
nn2
nn Esta ecuación de segundo grado se satisface para un valor positivo de yn = 3.22 m. Determinación de la profundidad hidráulica media ym. Se define la profundidad hidráulica media como la relación existente entre el área mojada y el ancho de la superficie libre como se indica en la siguiente figura.
.m12.2y22.3x00.2x200.6
00.40y
ym2b
ymyby
T
Ay mm
2
mm
Determinación del número de Froude para sección no rectangular.
Problema F.II-4.12 En un canal trapezoidal de ancho de la base b = 6.00 m, talud lateral con m = 2.00 y pendiente longitudinal S0 = 0.0001 circula agua en régimen uniforme con un caudal de 20.00 m3/s con una velocidad media de 0.50 m/s. Determinar:
1. La profundidad normal yn. 2. La profundidad hidráulica media ym. 3. El tipo de flujo. 4. El radio hidráulico. 5. El coeficiente n de Manning. 6. El coeficiente C de Chezy. 7. El factor de fricción f de Darcy. 8. El esfuerzo cortante promedio 0 .
9. La profundidad crítica. 10. La velocidad crítica.
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO UNIFORME EN CANALES ABIERTOS ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
136
11.0F12.2x81.9
50.0F
yg
vF
m
< 1 (Flujo sub crítico)
Determinación del radio hidráulico.
2H2
2
HH00.2122.3x200.6
00.40R
m1y2b
ymybR
P
AR
.m96.1R H
Determinación de coeficiente n de Manning.
03.0n50.0
0001.0x96.1n
v
SRnSR
n
1v
2/13/22/10
3/2H2/1
03/2
H
Determinación de la C de Chezy.
.s/m29.37C03.0
96.1C
n
RC 2/1
6/16/1H
Determinación del factor de fricción f de Darcy.
056.0f29.37
81.9x8f
C
g8f
f
g8C
f
g8C
222
Determinación del esfuerzo cortante 0 .
2
000H0 m/kg196.00001.0x96.1x1000SR
Determinación de la profundidad crítica. Mediante la utilización condición de flujo crítico.
1
y00.2y00.681.9
y00.2x200.600.201
Ag
TQ32
CC
C2
3
2
Esta ecuación se satisface para yC = 0.93 m. Mediante la utilización de los gráficos adimensionales.
072.000.681.9
00.20
bg
Q2/52/12/52/1
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO UNIFORME EN CANALES ABIERTOS ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
137
con el valor de 072.0bg
Q2/52/1 se encuentra en el diagrama adimensional de profundidades
críticas 156.0b
yC , según se muestra en el siguiente esquema.
por lo tanto yC = 0.156 x 6.00 yC = 0.93 m. Determinación de la velocidad crítica vC.
.s/m74.2v93.0x00.293.0x00.6
00.20v
A
Qv C2C
CC
2
332/1
033/22/1
02/10
3/2H P
A
n
SQA
P
A
n
SQASR
n
1Q
Problema F.II-4.13 Determinar la profundidad normal y para que el caudal sea máximo en un canal como el mostrado en la figura si n y S0 se consideran constantes.
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO UNIFORME EN CANALES ABIERTOS ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
138
Para que el caudal sea máximo 3/2
3/5
P
A debe ser máximo. Esto es equivalente a que el caudal al
cubo es máximo cuando 2
5
P
A es máximo.
Este valor se encuentra derivando la expresión anterior e igualándola a cero. El área mojada es, según el siguiente esquema:
22 yy10Ay2
12y00.10A
El perímetro mojado según el siguiente esquema es:
y83.210Py2200.10P
2
52
2
5
2
5
y83.210
y10
P
A
P
A
0y83.210
y10
yd
d0
yd
P
Ad
2
522
5
al derivar respecto a y se obtiene:
0
y83.210
yy1083.2y83.2102y83.210y210yy10522
52242
0yy1083.2y83.2102y83.210y210yy10552242
al simplificar se obtiene:
0500y10.15y64.22 2
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO UNIFORME EN CANALES ABIERTOS ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
139
la ecuación anterior es una ecuación de segundo grado en y con coeficientes:
500C;10.15B;64.22A cuya solución es:
28.45
33.21310.15y
64.222
50064.22410.1510.15y
2
m38.4y,m04.5y 21
5/2
5/3
2/10
3/22/1
0
3/52/10
3/22/1
03/2
H PS
nQAP
S
nQAAS
P
A
n
1QASR
n
1Q
por ser constante el termino
5/3
2/10S
nQ
se puede denominar K, entonces 5/2PKA
lo que muestra que cuando el área es mínima el perímetro mojado también es mínimo. Como se quiere obtener el talud óptimo se debe hallar la derivada del perímetro mojado con respecto al talud m e igualarla a cero.
2ymAyym2
12A
2
222
m12
Pym1y2Pymy2P
Problema F.II-4.14 Pruebe que la sección triangular más eficiente es aquélla que tiene un ángulo de 90º en el vértice.
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO UNIFORME EN CANALES ABIERTOS ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
140
sustituyendo y en la expresión anterior se tiene:
2
22
2 m14
PmA
m12
PmA
al igualar las dos expresiones del área se obtiene:
2
25/22
25/2
m14
mPPK
m14
PmPK
al realizar 0dm
dP en la expresión anterior, se obtiene:
22
22
25/3
m1
mm2m11
4
1P
m14
m
dm
dpP2
dm
dPP
5
2k
al sustituir 0dm
dP en la expresión anterior se obtiene:
0m1
mm2m110
m1
mm2m11
4
P22
2
22
22
1m0m2m10mm2m11 222
º90º45x22º451m
Problema F.II-4.15 Determinar la profundidad y como función de h para que en el canal, cuadrado, mostrado en la figura la velocidad sea máxima. La pendiente S0 y la rugosidad n se consideran constantes.
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO UNIFORME EN CANALES ABIERTOS ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
141
H
2/32/102/33/2
H
2/102/1
03/2
H Rn
SvR
n
SvSR
n
1v
Para que la velocidad sea máxima el radio hidráulico elevado a la dos tercios debe ser máximo. Esto es equivalente a que la velocidad a la tres medios es máxima cuando el radio hidráulico es máximo. Este valor se encuentra derivando la expresión del radio hidráulico e igualándola a cero. El área mojada es según el siguiente esquema:
22
2
2
y2
hhy2Ayh
2
12
2
2hA
El perímetro mojado según el siguiente esquema es:
y22P2
hy22
2
2h2P
El radio hidráulico es:
y22
y2
hhy2
RP
AR
22
HH
al derivar RH respecto a y se obtiene:
0y22
y2
hhy2
xd
d0
yd
Rd2
2
H
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO UNIFORME EN CANALES ABIERTOS ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
142
0y22
y2
hhy222y22y2h2
2
22
0y2
hhy222y22y2h2 2
2
al simplificar se obtiene:
707.0h
y
2
1
h
yhy2 22
5/2
5/3
2/10
3/22/1
0
3/52/10
3/22/1
03/2
H PS
nQAP
S
nQAAS
P
A
n
1QASR
n
1Q
por ser constante el termino
5/3
2/10S
nQ
se puede denominar K, entonces 5/2PKA , lo que
muestra que cuando el área es mínima el perímetro mojado también es mínimo. Así la sección óptima desde el punto de vista de economía en la excavación también es hidráulicamente óptima cuando se produce mínima infiltración y mínimo revestimiento. La sección óptima se encuentra derivando el perímetro mojado respecto a y e igualando la expresión a cero.
2yybAyy22
1ybA
y5yPby5byPymybyP 22
Problema F.II-4.16 Determinar la sección hidráulica óptima (b,y) del canal mostrado en la figura, el cual transporta un caudal Q de 30.00 m3/s, el coeficiente n de Manning es de 0.020 y la pendiente longitudinal S0 es 1/10000.
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO UNIFORME EN CANALES ABIERTOS ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
143
sustituyendo b en la expresión anterior se tiene:
22 y5yPAyyy5yPA al igualar las dos expresiones del área se obtiene:
5/22 Pky5yP
al realizar 0yd
Pd en la expresión anterior, se obtiene:
dy
dpP
5
2ky52Py
dy
dP 15/2
al sustituir 0yd
Pd en la expresión anterior se obtiene:
mínimoperímetroy52P0y52P El radio hidráulico óptimo es:
2
yR
y52
yy52R
y52
y5yPR
P
AR HH
2
HH
y24.1b2
1
y5by
yb
2
y
y5by
yby
2
y
y5by
yyb
2
yR
2
H
Para las condiciones encontradas se tiene, según la ecuación de Manninag:
22/13/2
2/10
3/2H yyy24.10001.0
2
y
020.0
100.30ASR
n
1Q
m08.4y0001.0x24.2
2x020.0x30yy20.20001.0
2
y
020.0
130
8/3
2/1
3/222/1
3/2
3/2
.m06.5b08.4x24.1by24.1b
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO UNIFORME EN CANALES ABIERTOS ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
144
H
2/32/102/33/2
H
2/102/1
03/2
H Rn
SvR
n
SvSR
n
1v
Para que la velocidad sea máxima el radio hidráulico elevado a la dos tercios debe ser máximo. Esto es equivalente a que la velocidad a la tres medios sea máxima cuando el radio hidráulico es máximo. Este valor se encuentra derivando la expresión del radio hidráulico e igualándola a cero. El área mojada es según el siguiente esquema:
22 yyzAy2
12yzA
El perímetro mojado según el siguiente esquema es:
y22zP
El radio hidráulico es:
y22z
yyzR
P
AR
2
HH
Problema F.II-4.17 Determinar la profundidad y (profundidad normal) en función de z para que la velocidad sea máxima en un canal como el mostrado en la figura si n y S0 se consideran constantes.
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO UNIFORME EN CANALES ABIERTOS ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
145
0y22z
yyz
xd
d0
yd
Rd 2H
al derivar RH respecto a y se obtiene:
0
y22z
yyz22y22zy2z2
2
0yyz22y22zy2z 2 al simplificar se obtiene:
0zyz2y22 22
la ecuación anterior es una ecuación de segundo grado en y con coeficientes:
2zC;z2B;22A cuya solución es:
66.5
b91.3b2y
66.5
b91.3b2y
222
z224b2b2y
22
b34.0y
Problema F.II-4.18 El canal que se muestra en la figura conduce un caudal de 740 l/s con una pendiente longitudinal de 0.0001. Si la rugosidad de Manning es 0.0378 y el radio del semicírculo inferior es de 1.00 m. Determinar:
a. La profundidad normal yn. b. La profundidad crítica yC. c. El tipo de flujo (subcrítico, crítico o supercrítico).
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO UNIFORME EN CANALES ABIERTOS ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
146
Determinación de la profundidad normal yn, mediante la ecuación de Manning.
ASP
A
n
1QASR
n
1Q 2/1
0
2/12/1
02/1
H
Si se considera como hipótesis, que la profundidad crítica yn es mayor que 1.00, entonces:
57.1X2A00.242
1X00.2AAAA 2
21
14.3X2P00.22
1X2PPPP 21
57.1X20001.014.3X2
57.1X2
0378.0
1740.0 2/1
3/2
La solución de esta ecuación es X = 1.00 m, por lo tanto
m00.2y00.100.1y00.1Xy nnn como yn = 2.00 m > 1.00 m la hipótesis asumida es correcta. Determinación de la profundidad normal yC mediante la utilización del gráfico adimensional. Si se considera como hipótesis, que la profundidad crítica yC es menor que 1.00, entonces,
042.000.2x81.9
740.0
dg
Q5.25.2
con 042.0dg
Q5.2 en el gráfico adimensional de profundidad crítica para canales
circulares se encuentra 20.0d
yC
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO UNIFORME EN CANALES ABIERTOS ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
147
por lo tanto m00.1m40.0y00.2x20.0y CC , valor que satisface la hipótesis
asumida, por lo tanto yC = 0.40 m. Determinación del tipo de flujo. Como yn = 2.00 m > yC = 0.40 m el flujo es sub crítico.
Determinación del caudal Q, mediante la ecuación de Manning.
ASP
A
n
1QASR
n
1Q 2/1
0
2/12/1
02/1
H
Problema F.II-4.19 Se presenta flujo uniforme en un canal de concreto con un coeficiente n de Manning de 0.015 a una profundidad de 0.80 m con una pendiente S0 de 0.01. La sección transversal correspondiente se muestra en el esquema. Determinar:
a. El caudal. b. El tipo de flujo (subcrítico, crítico o supercrítico).
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO UNIFORME EN CANALES ABIERTOS ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
148
212/1
0
3/2
21
21 AASPP
AA
n
1Q
22/1
3/22
20.142
120.0x20.101.0
20.12
12x20.0
20.142
120.0x20.1
015.0
1Q
.s/m68.2Q 3
a. Determinación del tipo de flujo mediante la comparación entre la profundidad
crítica yC y la profundidad normal yn. La condición de flujo crítico es:
1Ag
TQ3
2
Si se considera como hipótesis, que la profundidad crítica yC es mayor que 0.60, entonces:
2
3/12
3
2
3
2
m958.0A81.9
20.1x68.2A1
A81.9
20.1x68.21
Ag
TQ
m928.0y20.142
120.160.0y985.0 C
2C
como yC = 0.928 m > 0.60 m la hipótesis asumida es correcta por lo tanto yC = 0.928 m. como yn = 0.80 m < yC = 0.928 m, el flujo es supercrítico. b. Determinación del tipo de flujo mediante la determinación del número de Froude.
30.1F
20.142
120.1x20.081.9
20.1x68.2F
Ag
TQF
32
2
3
2
como F = 1.30 > 1, el flujo es supercrítico.
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO UNIFORME EN CANALES ABIERTOS ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
149
La ecuación de Chézy para flujo uniforme indica que el caudal es:
20H
222/10
2/1H ASRCQASRCQ
La condición de flujo crítico es:
T
AgQ1
Ag
TQ 32
3
2
como el flujo uniforme es crítico, al igualar las ecuaciones anteriores se obtiene:
D
D42
1g
SD
2
1
D42
1
CT
AgSRC
T
AgASRC
2
0
2
20H
23
20H
2
0016.0S98x2
81.9x14.3S
C2
gS 02020
Problema F.II-4.20 Por un canal circular de coeficiente de Chézy igual a 98 m1/2/s, fluye agua con una profundidad igual al radio. Si en estas condiciones el flujo uniforme es crítico cuál será la pendiente del canal.
Problema F.II-4.21 ¿Qué radio debe tener un canal semicircular para transportar 2700.00 l/s, en flujo uniforme con una pérdida de energía de 1.25 m por kilómetro de canal, si el coeficiente de Manning es 0.018? ¿Existe una sección rectangular que tenga menos perímetro?
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO UNIFORME EN CANALES ABIERTOS ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
150
En flujo uniforme, la línea de energía, la línea de la superficie del agua y la línea del fondo del canal son paralelas es decir; tienen la misma pendiente. Determinación de r mediante la ecuación de Manning.
ASRn
1Q 2/1
03/2
H
22/1
3/22
r2
1
1000
25.1
r
r2
1
018.0
1
1000
2700
.m13.1r
14.3x1000
25.1
2x2x018.0x1000
2700
r
8/3
2/1
3/2
Determinación de las dimensiones óptimas de un canal rectangular. La sección rectangular óptima es aquella en la cual el radio hidráulico es igual a la mitad de la profundidad del agua es decir:
P
AR;
2
yR HH
y2by2bb2y2bb22
1
y2b
b
2
y
y2b
yb
2
y
P
A
2S
2nQyyy2S
2
y
n
1QASR
n
1Q
2/10
3/23/8
nnn2/1
0
3/2
n2/10
3/2H
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO UNIFORME EN CANALES ABIERTOS ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
151
.m03.1y
21000
25.1
2x018.0x1000
2700
y2S
2nQy n
8/3
2/1
3/2
n
8/3
2/10
3/2
n
.m06.2b03.1x2by2b n
El perímetro de la sección semicircular es:
.m55.3P13.1x14.3PrP 111
El perímetro de la sección rectangular es:
m12.4P03.1x206.2Py2bP 222 La sección semicircular tiene menos perímetro que la rectangular, por lo tanto la sección semicircular es mejor ya que tiene menos revestimiento y menos área de infiltración. Determinación de la pendiente del canal.
3/10
3/422
0
2
3/20
2
3/2H
02/1
03/2
H A
PnQS
AP
A
nQS
AR
nQSASR
n
1Q
00011.0S
00.542
1
00.52
1012.0x00.10
S 03/102
3/422
0
Determinación del mínimo diámetro. Se requiere el mínimo diámetro para que el canal fluya lleno sin presión, es decir que el conducto se comporte como un canal donde tenga validez la ecuación de Manning.
Problema F.II-4.22 Un canal circular de 5.00 m de diámetro conduce en flujo uniforme un caudal de 10.00 m3/s. Si el agua ocupa la mitad del diámetro y n = 0.012, determinar:
a. La pendiente del canal. b. El mínimo diámetro para que persista la condición de superficie libre.
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO UNIFORME EN CANALES ABIERTOS ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
152
22/10
3/22
2/10
3/2H D
4S
D
D4
n
1QASR
n
1Q
.m86.3D14.3x00011.0
4x012.0x00.10D
S
4x4nQD
8/3
2/1
3/58/3
2/10
3/2
22/1
0
3/22
ll2/1
0
3/2
ll2/1
03/2
Hll D4
SD
D4
n
1QAS
P
A
n
1QASR
n
1Q
22/13/2
ll22/1
0
3/2
ll 45.04
001.04
45.0
015.0
1QD
4S
4
D
n
1Q
.s/m078.0Q 3
ll
.s/m49.0v45.0
4
078.0v
d4
Qv
A
Qv ll
2ll
2
llll
ll
llll
con 72.0078.0
056.0
Q
Q
ll
, se encuentra en el siguiente gráfico 63.0d
yn ,
con 63.0d
yn , se encuentra en el siguiente gráfico 10.1v
v
ll
,
Problema F.II-4.23 Por una alcantarilla de drenaje fluye un caudal 56 l/s. en flujo uniforme. La alcantarilla tiene una pendiente de 1 por mil y un diámetro de 45 cm con un valor de n de 0.015. Determinar:
a. La profundidad normal. b. La velocidad media
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO UNIFORME EN CANALES ABIERTOS ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
153
entonces yn = 0.63 x 0.45 yn = 0.28 m. entonces vll = 1.10 x 0.49 vll = 0.54 m/s.
a. Suponiendo que la velocidad es única en todas las secciones.
3/2
3/25.1mm
5.111
P
nP.............nPn
.m24.14P00.1000.300.3P 122
1
.m65.19P00.500.1000.400.400.2P 22222
2
Problema F.II-4.24 El canal mostrado en la figura tiene una pendiente longitudinal S0 = 0.001, con las rugosidades y profundidades indicadas. Determinar:
a. La rugosidad equivalente de Manning suponiendo que la velocidad es única en todas las secciones.
b. La rugosidad equivalente de Manning tomando la áreas 1 y 2 con sus correspondientes velocidades.
c. El caudal con la n de Manning obtenida en el punto a. d. El caudal con la n de Manning obtenida en el punto b. e. Calcular el porcentaje de error en el gasto total si consideramos que el valor de
n determinado en el punto b es el correcto.
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO UNIFORME EN CANALES ABIERTOS ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
154
3/2
3/25.15.1
65.1924.14
030.0x65.19015.0x24.14n
0243.0n
b. Tomando las áreas 1 y 2 con sus correspondientes velocidades.
n
13/2
ii
3/5i
3/2
3/5
Pn
A
1
P
An
.m40.35A00.3x00.32
100.3x00.10A 2
11
222 m00.61A00.400.300.5
2
100.10x00.5
2
100.5x00.4A
.m50.95A00.6140.35AAAA 221
.m89.33P65.1924.14PPPP 21
3/2
3/5
3/2
3/53/2
3/5
n
13/2
ii
3/5i
3/2
3/5
65.19x030.0
00.61
24.14x015.0
50.35
1
89.33
50.95n
Pn
A
1
P
An
0225.0n
c. El caudal suponiendo n = 0.0243.
.s/m94.247Q50.95x001.0x89.33
50.95
0243.0
1QASR
n
1Q 32/1
3/22/1
03/2
H
d. El caudal suponiendo n = 0.0225.
.s/m78.267Q50.95x001.0x89.33
50.95
0225.0
1QASR
n
1Q 32/1
3/22/1
03/2
H
e. El porcentaje de error ε.
%42.7%100x78.267
94.24778.267%100x
Q
QQ%
d
dC
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO GRADUALMENTE VARIADO _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
155
Capitulo 5
FLUJO GRADUALMENTE VARIADO
Determinación de la profundidad crítica yC.
.m33.0y81.9x50.2
50.1y
gB
Qy
g
qy C
32
2
C3
2
2
C3
2
C
Determinación de la C de Chézy.
s
m64.62C
020.0
81.9x8C
f
g8C
2/1
El caudal según la ecuación de Chézy es:
ASRCQAvQ 0H
Determinación de la pendiente crítica SC. En el caso de flujo crítico la profundidad normal yn es igual a la profundidad crítica yC y la pendiente correspondiente se denomina pendiente crítica SC; así:
2CCH
2
2
C2
CCCH22
CCCHARC
QSASRCQASRCQ
Problema F.II-5.01 Por un canal rectangular de 2.50 m de ancho fluye un caudal de 1.50 m3/s. El coeficiente de fricción de Darcy es f = 0.020. El canal termina en una caída libre y la pendiente del fondo del canal S0 es igual a la mitad de la pendiente crítica. Determinar:
a. La profundidad crítica. b. El coeficiente C de Chézy. c. La pendiente crítica SC. d. La pendiente del canal S0. e. La profundidad normal yn. f. La n de Manning. g. El tipo de flujo. h. El perfil que se produce aguas arriba de la sección terminal.
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO GRADUALMENTE VARIADO _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
156
22
2
C2
CC
C2
2
C
33.0x50.233.0x250.2
33.0x50.264.62
50.1S
yby2b
ybC
QS
0032.0SC
Determinación de la pendiente del canal S0.
0016.0S2
0032.0S 00
Determinación de la profundidad normal yn.
n2/1
2/1
n
n2/10
2/1H0H yb0016.0
y2b
ybCQASRCQASRCQ
n2/1
2/1
n
n y50.20016.0y250.2
y50.264.6250.1
la cual se satisface para yn = 0.42 m. Determinación de la n de Manning.
014.0n64.62
42.0x250.2
42.0x50.2
nC
y2b
yb
nC
Rn
6/16/1
n
n6/1
H
Determinación del tipo de flujo. Como yn = 0.42 m > yC = 0.33 m el flujo es subcrítico y se produce un perfil tipo M. Perfil superficial. En la caída, punto B, se produce la profundidad crítica yC, hacia aguas arriba se produce un perfil M2 y la profundidad del agua aumenta hacia aguas arriba hasta alcanzar la profundidad normal yn en el punto A, según se muestra en el siguiente esquema.
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO GRADUALMENTE VARIADO _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
157
a. Considerando como hipótesis que el flujo en el canal es suprcrítico. Determinación de la profundidad crítica yC.
m01.1y52.13
2yE
3
2yy
2
3E CCminCCmin
Determinación del caudal unitario q.
81.9x01.1qgyqgyqg
qy
g
qy 33
C3
C2
23
C3
2
C
m
s/m195.3q
3
Determinación de la profundidad normal.
5/3
2/10
n2/1
03/5
nn2/1
03/2
nS
nqySy
n
1qySy
n
1q
.m18.1y0016.0
0165.0x195.3y n
5/3
2/1n
Problema F.II-5.02 Un canal rectangular de gran anchura, con coeficiente de Manning n = 0.0165 constituido por dos tramos de gran longitud de pendientes S0 1 = 0.0016 y S0 2 = 0.04000 une dos embalses en la forma que se muestra en la figura. Determinar:
a. La profundidad normal yn 1, en el tramo 1. b. La profundidad normal yn 2, en el tramo 2. c. La prfundidad crítica yC. d. El caudal. e. Trazar cualitativamente el perfil superficial.
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO GRADUALMENTE VARIADO _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
158
como la profundidad normal yn = 1.18 m. > yC = 1.01 m. el flujo es sub crítico por lo tanto la hipótesis es falsa, entonces el flujo es subcrítico. Los valores de la profundidad normal yn, profundidad crítica yC y el caudal Q determinados anteriormente son falsos. b. Considerando como hipótesis que el flujo en el canal uno es subcrítico. En la entrada del canal se produce la profundidad normal yn, hacia abajo el flujo es uniforme con profundidad normal. Determinación de la profundidad normal yn 1 para el tramo 1. La velocidad en el tramo 1 según la ecuación de Manning es:
2/110
3/21n1n
2/110
3/2H1n Sy
n
1vSR
n
1v
3/21n1n
2/13/21n1n y42.2v0016.0y
0165.0
1v
La energía existente para esa profundidad es:
1n1n
23/21n
1n
21n
1n y30.0y52.181.9x2
y42.2y52.1
g2
vyE
la ecuación anterior se satisface para yn 1 = 1.16 m. El caudal unitario según la ecuación de Manning es:
16.1x0016.0x16.1x0165.0
1qySy
n
1q 2/13/2
1n2/1
103/2
1n
m
s/m099.3q
3
Determinación de la profundidad crítica yC es (para ambos canales):
.m99.0y81.9
0999.3y
g
qy C
3
2
C3
2
C
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO GRADUALMENTE VARIADO _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
159
Determinación de la profundidad normal yn 2 para el tramo 2.
5/3
2/12n
5/3
2/120
2n2n2/1
203/2
2n0400.0
0165.0x099.3y
S
nqyySy
n
1q
yn 2 =0.44 m.
Perfiles superficiales. En el tramo 1, yn 1 = 1.16 m > yC = 0.99 m por lo tanto los perfiles que se pueden producir son tipo M. En el tramo 2, yn 1 = 0.44 m < yC = 0.99 m por lo tanto los perfiles que se pueden producir son tipo S.
A la salida del embalse en el punto A se produce la profundidad normal yn 1, y ésta permanece constante hacia aguas abajo.
En el punto C se produce la profundidad crítica y hacia aguas arriba se forma un perfil M2 hasta alcanzar la profundidad normal en el punto B.
Desde el punto C hacia aguas abajo se produce un perfil S2 con flujo supercrítico
tendiendo a alcanzar la profundidad normal yn 2
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO GRADUALMENTE VARIADO _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
160
Desde el punto E hacia aguas arriba se produce un perfil S1 con flujo subcrítico. La manera físicamente posible para pasar de flujo supercrítico a flujo subcrítico es a través de un resalto hidráulico que se forma este en el punto D donde se satisfacen las profundidades secuentes o conjugadas, como se muestra en el siguiente esquema.
Determinación de la profundidad normal yn mediante la ecuación de Manning.
n2/1
0
3/2
n
n2/10
3/2H ybS
y2b
yb
n
1QASR
n
1Q
al sustituir los valores numéricos se tiene:
n2/1
3/2
n
n y00.400001.0y200.4
y00.4
01.0
100.5
Problema F.II-5.03 El canal rectangular de ancho 4.00 m. y de gran longitud, mostrado en la figura conduce, en régimen uniforme, un caudal de 5.00 m3/s. El coeficiente n de Manning es n = 0.01 y la pendiente longitudinal S0 = 0.00001. La profundidad aguas abajo de la compuerta es 0.20 m. Determinar: a. La profundidad normal. b. La energía correspondiente a la profundidad normal. c. La profundidad crítica. d. La energía mínima e. La profundidad aguas arriba de la compuerta. f. Dibujar cualitativamente los perfiles superficiales.
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO GRADUALMENTE VARIADO _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
161
la ecuación anterior se satisface para yn = 3.39 m. Determinación de la energía correspondiente a la profundidad normal.
2
2
2
22
y00.4g2
QyE
Ag2
QyE
g2
vyE
al sustituir los valores numéricos se tiene:
.m40.3E
39.3x00.481.9x2
00.539.3E
2
2
Determinación de la profundidad crítica yC.
.m54.0y81.9
00.4
00.5
yg
B
Q
yg
qy C
3
2
C
3
2
C3
2
C
Como yn = 3.93 m > yC = 0.54, m el flujo es subcrítico y los perfiles que ocurren son tipo M. Determinación de la energía mínima.
2C
2
Cmin2C
2
Cmin
2C
Cminybg2
QyE
Ag2
QyE
g2
vyE
al sustituir los valores numéricos se tiene:
.m81.0E
54.0x00.481.9x2
00.554.0E min2
2
min
Determinación de la profundidad aguas arriba de la compuerta.
C
2
CB
2
B
2C
C
2B
B ybg2
Qy
ybg2
Qy
g2
vy
g2
vy
al sustituir los valores numéricos se tiene:
2
2
2B
2
B20.0x00.462.19
00.520.0
y00.462.19
00.5y
la cual se satisface para yB = 2.17 m. (profundidad aguas arriba de la compuerta).
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO GRADUALMENTE VARIADO _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
162
Como la profundidad aguas arriba de la compuerta es yB = 2.17 m < yn = 3.39 m,
entonces hacia aguas arriba se produce un perfil M2 hasta alcanzar la profundidad normal yn en el punto A y continua hacia aguas arriba con la profundidad normal.
Desde el embalse hacia aguas arriba se produce un perfil M1 con un altura de 4.50 m en el punto E, disminuyendo de altura tendiendo a alcanzar la profundidad normal yn.
Desde el punto C aguas debajo de la compuerta se produce un perfil M3 en flujo supercrítico. La manera físicamente posible de pasar de flujo supercrítico a flujo subcrítico es a través de un resalto hidráulico, formándose éste en el punto D donde se satisfacen las profundidades secuentes o conjugadas, como se muestra en el siguiente esquema:
Problema F.II-5.04 Un canal trapezoidal de gran longitud con ancho en la base b = 4.00 m, taludes laterales en la proporción 1H : 1V, con coeficiente n de Manning de 0.013 y pendiente longitudinal S0 de 0.0004, conduce agua desde un embalse de grandes dimensiones hasta una sección terminal de caída libre. Si en el punto medio del canal se coloca una compuerta de admisión inferior que origina una vena de descarga de 60.00 cm. Se pide:
a. La profundidad normal. b. El caudal. c. La profundidad crítica. d. El número de Froude. e. La profundidad antes de la compuerta. f. Dibujar cualitativamente los perfiles superficiales.
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO GRADUALMENTE VARIADO _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
163
a. Considerando como hipótesis que el flujo en el canal es supercrítico. La velocidad crítica es:
C
2C
CC
2
2
CC
2
2
C
3
2
T2
A
g2
v
T2
A
Ag2
Q
T
A
Ag
Q1
Ag
TQ
Determinación de la profundidad crítica. como la energía disponible es E0 = 3.00 m, entonces:
C
2CC
C0
C
C0
2C
C0 ym2b2
ymybyE
T2
AyE
g2
vyE
al sustituir los valores numéricos se obtiene la profundidad crítica yC:
C
2CC
C yx00.1x200.42
y00.1y00.4y00.3
, la cual se satisface para yC = 2.19 m.
Determinación de la velocidad crítica.
.s/m98.3v81.9x2
v19.200.3
g2
vyE C
2C
2C
C0
Determinación del caudal Q.
.s/m95.53Q19.2x00.119.2x00.4x98.3QAvQ 32
CC
Determinación de la profundidad normal yn.
La profundidad normal yn es aquélla que satisface la ecuación de Manning.
ASRn
1Q 2/1
03/2
H
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO GRADUALMENTE VARIADO _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
164
2nn
2/1
3/2
2n
2nn y00.1y00.40004.000.11y200.4
y00.1y00.4
013.0
195.53
la cual se satisface para yn = 3.27 m. como yn = 3.27 m. > yC = 2.19 m. el flujo es subcrítico, por lo tanto la hipótesis es falsa, entonces la pendiente es subcrítica. Los valores de la profundad normal yn, profundidad crítica yc y caudal Q determinados anteriormente son falsos. b. Considerando como hipótesis que el flujo en el canal es subcrítico. En la entrada del canal se produce la profundidad normal, hacia aguas abajo el flujo es uniforme con profundidad yn. Determinación de la profundidad normal yn. La velocidad correspondiente a la ecuación de Manning es:
2/1
3/2
2n
2nn2/1
03/2
H 0004.000.11y200.4
y00.1y00.4
013.0
1vSR
n
1v
La energía existente para esta profundidad es:
g2
vyE
2
n
al sustituir el valor de la energía y la expresión de la velocidad se tiene:
g2
0004.000.11y200.4
y00.1y00.4
013.0
1
y00.3
2
2/1
3/2
2n
2nn
n
la ecuación anterior se satisface para yn = 2.777 m. Determinación del caudal Q. El caudal correspondiente se puede determinar de dos formas: 1.- Mediante la utilización de la ecuación de Manning.
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO GRADUALMENTE VARIADO _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
165
22/1
3/2
2
2
777.2x00.1777.2x00.40004.000.11777.2x200.4
777.2x00.1777.2x00.4
013.0
1Q
Q = 39.40 m3/s.
2.- Mediante la determinación de la velocidad a partir de la energía especifica.
.s/m092.2v777.200.381.9x2vg2
v777.200.3
g2
vyE nn
2n
2n
n
22nn 777.2x00.1777.2x00.4092.2QymybvQAvQ
Q = 39.37 m3/s.
Determinación de la profundidad crítica yC.
1
y00.1y00.481.9
yx00.1x200.440.391
ymyb81.9
ym2bQ1
Ag
TQ32
CC
C2
32CC
C2
3
2
la ecuación anterior se satisface para yC = 1.82 m.
como yn = 2.78 m > yC = 1.82 m, indica que el flujo es subcrítico y los perfiles son tipo M.
Determinación del número de Froude.
32
2
32nn
n2
3
2
777.2x00.1777.2x00.481.9
777.2x00.1x200.440.39F
ymyb81.9
ym2bQF
Ag
TQF
F = 0.476, lo que indica que el flujo es subcrítico.
Determinación de la profundidad antes de la compuerta. Si se considera que en la compuerta no hay pérdida de energía entonces la energía antes de la compuerta es igual a la energía después de la compuerta por lo tanto:
22
2
221
2
121Ag2
Qy
Ag2
QyEE
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO GRADUALMENTE VARIADO _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
166
2222
2
22211
2
1
ymybg2
Qy
ymybg2
Qy
al sustituir los valores numéricos se tiene:
22
2
2211
2
120.1x00.120.1x00.481.9x2
40.3920.1
y00.1y00.481.9x2
40.39y
232.3y00.1y00.481.9x2
40.39y
2211
2
1
211
22111 y00.1y00.462.19x232.340.39y00.1y00.462.19y
simplificando y agrupando términos semejante se obtiene:
036.1552y0y59.10140y37.193y55.93y62.19 2345
el polinomio anterior tiene como solución:
67645.4;0629.3;54782.2;20001.1;80672.1
el valor de y = 3.06 m corresponde a la altura aguas arriba de la compuerta y el valor de y = 1.20 m corresponde a la altura aguas abajo de la compuerta.
En el punto A (inicio del canal) se produce la profundidad normal, hacia aguas abajo la profundidad del agua es yn.
Aguas abajo de la compuerta la profundidad es de 1.20 m y aguas arriba de la compuerta la profundidad es 3.06 m. (obtenida al igualar la energía de la compuerta con la de aguas debajo de ésta). Desde el punto C hacia aguas arriba se produce un perfil M1 hasta alcanzar la profundidad normal en el punto B.
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO GRADUALMENTE VARIADO _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
167
En el punto E por ser una caída libre se produce la profundidad crítica yC, hacia aguas
arriba se produce un perfil M2 tendiendo a alcanzar la profundidad normal.
Desde el punto C hacia aguas abajo se produce un perfil M3. El flujo desde el punto C
hacia aguas abajo es supercrítico y desde el punto E hacia aguas arriba es subcrítico. La manera físicamente posible de pasar de flujo supercrítico a flujo subcrítico es a través de un resalto hidráulico formándose éste en el punto D donde se satisfagan las profundidades secuentes o conjugadas, como se muestra en el esquema siguiente.
Problema F.II-5.05 Un canal rectangular de 3.50 m de ancho y pendiente constante transporta un caudal de 36.00 m3/s, la profundidad normal yn es de 2.00 m. En una sección de dicho canal la profundidad del agua es de 0.90 m. Determinar si la profundidad aguas abajo de dicha sección aumentará, disminuirá o permanecerá constante. Haga esquemas mostrando casos en el que se presente esta situación e indicar el perfil superficial que se produce.
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO GRADUALMENTE VARIADO _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
168
Determinación de la profundidad crítica yC.
m21.2y81.9x50.3
00.36y
gB
Qy
g
qy C
32
2
C3
2
2
C3
2
C
yn = 2.00 m < yC = 2.21 m, la pendiente es supercrítica y se formaran perfiles tipo S. Esquema general de los perfiles S.
El punto considerado tiene una profundidad y = 0.90 m < yn = 2.00 m < yC = 2.21 m perteneciente a la zona 3 por lo tanto se produce un perfil S3 el cual aumenta de altura hacia aguas abajo. En el esquema siguiente se presentan dos casos en los cuales pueden ocurrir esta situación.
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO GRADUALMENTE VARIADO _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
169
Determinación de la profundidad aguas arriba del resalto y1.
2
222
1
2
2
2
2
122
2
1
ygy
q811
y
y2
yg
v811
y
y2F811
y
y2
2
1
2
22
21
50.2x81.950.2
00.5811
2
50.2y
ygy
q811
2
yy
m65.0y1 Aguas abajo de la compuerta se forma un perfil H3 comenzando con una profundidad de 0.50 m, aumentando de altura hasta alcanzar una profundidad de 0.65 m correspondiente a la profundidad de de aguas arriba del resalto. Desde aguas abajo del canal se forma un perfil H2 aumentando de altura hasta alcanzar la profundidad de 2.50 m correspondiente a la profundidad de aguas abajo del resalto como se indica en el siguiente esquema.
Problema F.II-5.06 Una compuerta vertical descarga un caudal q = 5.00 m3/s/m, hacia un canal horizontal de gran anchura de concreto con un coeficiente de Manning n = 0.015. La profundidad de la vena contraida aguas debajo de la compuerta es de 0.50 m. Las condiciones del flujo aguas abajo obligan a la formación de un resalto hidráulico con una profundidad y2 = 2.50 m, determinar:
a. La profundidad aguas arriba del resalto. b. Hacer un esquema indicando los perfiles superficiales. c. La distancia aguas debajo de la compuerta donde se formará el resalto
hidráulico.
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO GRADUALMENTE VARIADO _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
170
Determinación de la distancia xA B.
3/13A
3/13B22
3/4A
3/4B2BA yy
qn
1
13
3yy
gn
1
4
3x
3/133/1322
3/43/42BA 50.065.0
00.5x015.0
1
13
350.065.0
81.9x015.0
1
4
3x
m50.52x BA
Determinación de la profundidad aguas arriba de la compuerta.
g2y
qy
g2y
qy
g2
vy
g2
vy
2B
2
B2A
2
A
2B
B
2A
A
m22.2y81.9x2x90.0
00.590.0
81.9x2xy
00.5y A2
2
2A
2
A
A 30.00 m aguas debajo de la compuerta se produce un resalto hidráulico formándose un perfil H3 hasta alcanzar una altura y1.
Problema F.II-5.07 Por un canal horizontal de gran anchura fluye un caudal de 5.00 m3/s/m, con rugosidad n de Manning n = 0.015. En un cierto punto se encuentra una compuerta que origina una vena de descarga de 0.90 m. Si a 30.00 m aguas abajo de la compuerta se produce un resalto hidráulico, determinar:
a. La profundidad aguas arriba de la compuerta. b. La profundidad 30.00 m aguas debajo de la compuerta. c. La profundidad secuente del resalto. d. La longitud desde el resalto hasta la sección terminal de caída libre. e. Hacer un esquema indicando los perfiles superficiales.
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO GRADUALMENTE VARIADO _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
171
Determinación de la profundidad 30.00 m aguas abajo de la compuerta en el perfil H3.
3/13B
3/13122
3/4B
3/4121B yy
qn
1
13
3yy
gn
1
4
3x
3/133/13122
3/43/412
90.0y00.5x015.0
1
13
390.0y
81.9x015.0
1
4
300.30
la cual se satisface para y1 = 1.00 m Determinación de la profundidad recuente del resalto y2.
2
111
2
2
1
1
1
221
1
2
ygy
q811
y
y2
yg
v811
y
y2F811
y
y2
2
2
2
11
12
00.1x81.900.1
00.5811
2
00.1y
ygy
q811
2
yy
m81.1y2
En la caída en el punto C se produce la profundidad crítica yC y hacia aguas arriba se produce un perfil H2 hasta alcanzar la profundidad de 1.81 m. Determinación de la profundidad crítica yC.
m37.1y81.9
00.5y
g
qy C
3
2
C3
2
C
Determinación de la distancia x2 C.
3/132
3/13C22
3/42
3/4C2C2 yy
qn
1
13
3yy
gn
1
4
3x
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO GRADUALMENTE VARIADO _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
172
3/133/1322
3/43/42C2 81.137.1
00.5x015.0
1
13
381.137.1
81.9x015.0
1
4
3x
m60.143x C2
Determinación de la profundidad normal yn.
n2/1
0
2/1
n
n2/10
2/1H ybS
y2b
yb
n
1QASR
n
1Q
n2/1
2/1
n
n y00.80015.0y200.8
y00.8
025.0
100.11
la ecuación anterior se satisface para yn = 1.02 m. Determinación de la profundidad crítica yC. La condición de flujo crítico es:
3/1
2
2
C
3/1
2
2
C3
23
C3C
2
3
2
bg
Qy
bg
Qy
bg
bQy1
ybg
bQ1
Ag
TQ
Problema F.II-5.08 Un canal rectangular de 8.00 m de ancho conduce un caudal de 11.00 m3/s con una pendiente longitudinal S0 = 0.0015 y un coeficiente n de Manning de 0.025. En la sección terminal del canal se encuentra un dique que eleva la profundidad del agua hasta 1.70 m. Para estas condiciones determinar:
a. La profundidad normal yn. b. La profundidad crítica yC. c. Tipo de perfil que se produce. d. Calcular el perfil superficial mediante el método de la función de Bresee
hasta 200.00 m aguas arriba del dique. e. Dibujar el perfil superficial.
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO GRADUALMENTE VARIADO _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
173
.m58.0y00.8x81.9
00.11y C
3/1
2
2
C
o también para canales rectangulares:
.m58.0y81.9x00.8
00.11y
gb
Qy
g
qy C
32
2
C3
2
2
C3
2
C
como yn = 1.02 m > yC = 0.58 m la pendiente es subcrítica y los perfiles son tipo M. como y = 1.70 m > yn = 1.02 m > yC = 0.58 m, el perfil que se produce hacia aguas arriba es un perfil M1. Cálculo del perfil superficial mediante la función de Bresse.
3
n
C
0
n
y
y1z
S
yx
Para el presente caso, al sustituir los valores numéricos se tiene:
82.0z00.680x
02.1
58.01z
0015.0
02.1x
3
Tabla para el cálculo del perfil M1
y (m) ny
yz
x (m)
Distancia al origen
(m)
1.70 1.67 0.1972 * 1025.64 0.00 1.65 1.62 0.2116 9.83.61 42.03 1.61 1.58 0.2246 949.16 76.48 1.55 1.52 0.2466 896.10 129.54 1.52 1.49 0.2591 868.73 156.91 1.50 1.47 0.2680 850.16 175.48 1.47 1.44 0.2824 821.73 203.91
El valor de *1972.0 fue obtenido por interpolación lineal en la tabla de la función de Bresse.
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO GRADUALMENTE VARIADO _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
174
Determinación de la profundidad crítica yC.
.m47.0y81.9
00.1y
g
qy C
3
2
C3
2
C
Determinación de la pendiente crítica SC. En el caso de flujo crítico la profundidad normal yn es igual a la profundidad crítica yC y la pendiente correspondiente se denomina pendiente crítica SC; así:
3C
2
2
C2
CCC22
CCCyC
qSySyCqySyCq
Problema F.II-5.09 Por un canal de gran anchura fluye un caudal de 1.00 m3/s/m.El coeficiente de fricción de Chézy es C = 55.00 m1/2/s y la pendiente del canal es igual a un cuarto de la pendiente crítica. El canal termina en una caída libre, determinar:
a. La profundidad crítica yC. b. La pendiente crítica. c. La pendiente del canal. d. La profundidad normal. e. El tipo de pendiente. f. El tipo de perfil que se produce en el canal. g. Calcular mediante el método de la función de Bresse la distancia en la cual
la profundidad del agua alcanza el 95 % de la profundidad normal.
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO GRADUALMENTE VARIADO _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
175
32
2
C3C
2
2
C 47.0x00.55
00.1S
yC
qS
00318.0SC
Determinación de la pendiente del canal S0.
000796.0S4
00318.0S 00
La pendiente del canal es subcrítica ya que S0 = 0.000796 < SC = 0.00318. Los posibles perfiles superficiales deben ser tipo M. Determinación de la profundidad normal yn.
3/2
2/10
nn2/1
02/1
nn0nSC
qyySyCqySyCq
.m74.0y000796.0x00.55
00.1y
SC
qy n
3/2
2/1n
3/2
2/10
n
La profundidad instantánea es y = 0.95 yn y = 0.95 x 0.74 y = 0.70 m. como yn = 0.74 m > y = 0.70 m > yC = 0.47 m se produce un perfil M2.
Determinación de la distancia hasta la cual se produce una profundidad de 0.70 m. Cálculo del perfil superficial mediante la función de Bresse.
3
n
C
0
n
y
y1z
S
yx
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO GRADUALMENTE VARIADO _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
176
Para el presente caso al sustituir los valores numéricos se tiene:
74.0z00.930x
74.0
47.01z
000796.0
74.0x
3
Tabla de cálculo del perfil M2
y (m) ny
yz
x (m)
Distancia al origen
(m)
0.47 0.64 0.6897 120.55 120.55 0.70 0.95 1.4670 -126.09 -126.09
La distancia desde la caída libre donde ocurre la profundidad crítica yC = 0.47 m hasta donde ocurre la profundidad y = 0.70 m es: L = 120.55 – (– 126.09) = 246.64 m Determinación de la profundidad crítica yC.
m37.1y81.9
00.5y
g
qy C
3
2
C3
2
C
Problema F.II-5.10 En cierta sección (a) de un canal muy ancho de pendiente S0 = 0.004, de rugosidad n de Manning n = 0.014, la profundidad es de 0.53 m y el caudal es de 5.00 m3/s/m. El canal termina abruptamente en una caída libre, 90.00 m aguas debajo de la sección (a). Determinar:
a. La profundidad crítica yC. b. La profundidad normal yn. c. Tipo de pendiente. d. Tipo de perfil que se produce. e. Calcular el perfil superficial mediante el método de la función de Bresse
tomando incrementos Δy = 5 cm. f. La profundidad en la sección terminal de caída libre.
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO GRADUALMENTE VARIADO _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
177
Determinación de la profundidad normal yn.
5/3
2/10
n2/1
03/5
nn2/1
03/2
nS
nqySy
n
1qySy
n
1q
.m06.1y004.0
014.0x00.5y n
5/3
2/1n
como yC = 1.37 m > yn = 1.06 m, el perfil que se produce es tipo S. como y = 0.53 m < yn = 1.06 m < yC = 1.37 m, el perfil que se produce hacia aguas abajo es S3
Cálculo del perfil superficial mediante la función de Bresse.
3
n
C
0
n
y
y1z
S
yx
para el presente caso al sustituir los valores numéricos se tiene:
159.1z00.265x
06.1
37.11z
004.0
06.1x
3
Tabla de cálculo del perfil S3
y (m) ny
yz
x (m)
Distancia al origen
(m)
0.53 0.50 0.5168 291.23 0.00 0.58 0.55 0.5754 * 322.47 31.24 0.63 0.59 0.6245 * 348.15 56.92 0.68 0.64 0.6897 381.43 90.20
Los valores * fueron obtenidos por interpolación lineal en la tabla de la función de Bresse.
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO GRADUALMENTE VARIADO _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
178
La profundidad del agua en la caída libre es de aproximadamente 0.68 m.
Determinación de la profundidad crítica yC.
m54.1y81.9
00.6y
g
qy C
3
2
C3
2
C
Problema F.II-5.11 Bajo una compuerta sale un caudal q = 6.00 m3/s/m. La vena contraída tiene un espesor de 0.50 m. El canal donde ocurre la descarga es rectangular de gran anchura, la pendiente longitudinal es de 0.0001 y la rugosidad de Manning de 0.015. El canal desemboca, a una distancia de 570.00 m aguas debajo de la compuerta en un embalse cuya superficie libre está a 1.80 m respecto al fondo del canal. Calcular y dibujar el perfil resultante usando el método de la función de Bresse. Si se produce un resalto hidráulico determinar su ubicación.
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO GRADUALMENTE VARIADO _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
179
Determinación de la profundidad normal yn.
5/3
2/10
n2/1
03/5
nn2/1
03/2
nS
nqySy
n
1qySy
n
1q
.m74.3y0001.0
015.0x00.6y n
5/3
2/1n
como yn = 3.74 m > yC = 1.54 m los perfiles que se producen son del tipo M. Aguas abajo de la compuerta en el punto A, la profundidad es y = 0.50 m < yC = 1.54 < yn = 3.74 m; el perfil que se produce hacia aguas abajo es M3. El flujo aguas abajo de la compuerta es supercrítico. Cálculo de perfil superficial M3 mediante la función de Bresse.
3
n
C
0
n
y
y1z
S
yx
para el presente caso, al sustituir los valores numéricos se tiene:
9302.0z00.37400x
74.3
54.11z
0001.0
74.3x
3
Tabla de cálculo del perfil M3
y (m) ny
yz
x (m)
Distancia al origen
(m)
0.500 0.1337 0.1337 * 349 0 0.748 0.20 0.2004 508 159 0.935 0.25 0.2510 617 268 1.122 0.30 0.3021 710 361 1.496 0.40 0.4066 814 465
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO GRADUALMENTE VARIADO _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
180
El valor de *137.0 fue obtenido por interpolación lineal en la tabla de la función de Bresse.
En la sección terminal del canal en el punto C, en la desembocadura, l a p r o f u n d i d a d yn = 3.74 m > y = 1.80 m > yC = 1.54 m, el flujo es subcrítico y el perfil que se produce en M2. Cálculo del perfil superficial M2 mediante la función de Bresse.
9302.0z00.37400x
Tabla de cálculo del perfil M2
y (m) ny
yz
x (m)
Distancia al origen
(m)
1.80 0.4813 0.4950 * 839 0 1.87 0.50 0.5168 720 119 1.94 0.52 0.5399 665 174 2.02 0.54 0.5634 595 244 2.16 0.58 0.6120 400 439
El valor de *4950.0 fue obtenido por interpolación lineal en la tabla de la función de Bresse.
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO GRADUALMENTE VARIADO _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
181
Determinación de las profundidades secuentes del resalto.
2
111
221
1
2
ygy
q811
y
y2F811
y
y2
31
21
231
2
1
2
y81.9
00.6x811
2
yy
yg
q8811
y
y2
Tabla de cálculo de las profundidades secuentes del resalto
Profundidad aguas arriba y1 (m) Profundidad aguas abajo y2 (m)
3
1
21
2y81.9
00.6x811
2
yy
0.50 3.58 0.748 2.78 0.935 2.37 1.122 2.06 1.496 1.59
La manera físicamente posible de pasar de flujo supercrítico a flujo subcrítico es a través de un resalto hidráulico formándose éste en el punto B donde se satisfacen las profundidades secuentes o conjugadas, como se muestra en el esquema siguiente.
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO GRADUALMENTE VARIADO _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
182
El resalto se encuentra ubicado donde la curva de profundidades secuentes del resalto se corta con la curva M2 de la superficie del agua. Un gráfico a escala muestra que ese punto de corte se encuentra aproximadamente a 370 m aguas abajo de la compuerta como se muestra en le esquema anterior.
Determinación de la profundidad crítica yC es (para ambos canales):
.m37.1y81.9
00.5y
g
qy C
3
2
C3
2
C
Determinación de la profundidad normal yn 1 para el tramo 1.
5/3
2/11n
5/3
2/110
1n1n2/1
103/2
1n0328.0
02.0x00.5y
S
nqyySy
n
1q
yn 2 = 0.70 m.
Problema F.II-5.12 Un canal de gran anchura está formado por dos tramos como se muestra en la figura. La pendiente del tramo 1 es S0 = 0.0328 y del tramo 2 es S0 2 = 0.0025, el coeficiente n de Manning de ambos canales es n = 0.020 y el caudal unitario q = 5.00 m3/s/m. Dibujar cualitativamente el perfil superficial y de producirse un resalto hidráulico determinar si éste se produce aguas arriba o aguas abajo del punto A y a que distancia se formará.
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO GRADUALMENTE VARIADO _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
183
Determinación de la profundidad normal yn 2 para el tramo 2.
5/3
2/12n
5/3
2/120
2n2n2/1
203/2
2n0025.0
02.0x00.5y
S
nqyySy
n
1q
yn 2 =1.52 m.
En este caso se pueden presentar dos posibilidades: Posibilidad I En el tramo 2, la profundidad normal yn 2 se mantiene hasta el punto A y hacia aguas arriba. En el tramo 1, se forma un perfil S1 generando un resalto hidráulico donde se satisfacen las profundidades secuentes del resalto. Posibilidad II En el tramo 1 la profundidad normal yn 1 se mantiene hasta el punto A y hacia agua abajo en el tramo 2 se forma un perfil M3 formándose un resalto hidráulico donde se satisfagan las profundidades secuentes del resalto.
Tomando como hipótesis la posibilidad I. La profundidad y1 del resalto hidráulico es yn 1 = y1 = 0.70 m, entonces la profundidad y2 del resalto es: Determinación de las profundidades secuentes del resalto.
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO GRADUALMENTE VARIADO _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
184
2
111
221
1
2
ygy
q811
y
y2F811
y
y2
3
2
231
2
1
2
70.0x81.9
00.5x811
2
70.0y
yg
q8811
y
y2
La profundidad y2 del resalto resulta igual a 2.37 m, lo cual no es físicamente posible ya que el perfil S1, el cual comienza con una profundidad de 1.52 m y disminuye de profundidad hacia aguas arriba. Esta hipótesis es falsa y la valida es la posibilidad II. Tomando como hipótesis la posibilidad II. La profundidad y2 del resalto hidráulico es yn 2 = y2 = 1.52 m, entonces la profundidad y1 del resalto es: Determinación de las profundidades secuentes del resalto.
2
222
122
2
1
ygy
q811
y
y2F811
y
y2
3
2
132
2
2
1
52.1x81.9
00.5x811
2
52.1y
yg
q8811
y
y2
La profundidad y1 del resalto resulta igual a 1.22 m, lo cual sí es físicamente posible ya que el perfil M3 comienza con una profundidad de 0.70 m y aumenta de profundidad hacia aguas abajo. Esta hipótesis es cierta. El perfil M3 comienza con una profundidad de 0.70 m en el punto A y termina con una profundidad de 1.22 en el punto B donde se forma el resalto. Determinación de la distancia donde se forma el resalto hidráulico. Cálculo del perfil superficial mediante la función de Bresse.
3
n
C
0
n
y
y1z
S
yx
para el presente caso al sustituir los valores numéricos se tiene:
2678.0z00.608x
52.1
37.11z
0025.0
52.1x
3
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO GRADUALMENTE VARIADO _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
185
Tabla de cálculo del perfil M3
y (m) ny
yz
x (m)
Distancia al punto A
(m)
0.70 0.46 0.472 * 202.83 0 1.22 0.80 0.9505 331.64 128.81
El valor de *772.0 fue obtenido por interpolación lineal en la tabla de la función de Bresse.
Sección de aproximación 1 - 1.
Problema F.II-5.13 Un canal trapezoidal con ancho en la base b = 6.00 m, taludes laterales con m = 2.00 y coeficiente de Manning n = 0.015 conduce un caudal de 50.00 m3/s con una profundidad normal yn = 2.00 m. La construcción de un puente requiere de la construcción de una pila de 2.00 m de diámetro. Si la pila es hidrodinámica y no ofrece resistencia al flujo, determinar:
a. Si se modifica la profundidad aguas arriba de la pila y por qué. b. En caso afirmativo calcular la nueva profundidad. c. Qué tipo de perfil se produce aguas arriba de la pila. d. A cuántos metros aguas arriba de la pila se produce el 101 % de la
profundidad normal yn 1. (realice el cálculo mediante un solo paso)
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO GRADUALMENTE VARIADO _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
186
Determinación de la energía existente en la sección de aproximación antes de colocar la pila.
g2ymyb
QyE
g2A
QyE
g2
vyE
22111
2
112
2
11
21
11
m32.2E
81.9x200.2x00.200.2x00.6
00.5000.2E 122
2
1
Determinación de la profundidad crítica yC 1 en la sección de aproximación.
1
y00.2y00.681.9
y00.2x200.600.501
ymybg
ym2bQ1
Ag
TQ32
1C1C
1C2
321C1C1
1C12
3
2
La ecuación anterior se satisface para yC1 = 1.59 m. Sección donde es colocará la pila 2 - 2.
Determinación de la profundidad crítica yC 2 en la sección 2.
1
y00.2y00.481.9
y00.2x200.400.501
ymybg
ym2bQ1
Ag
TQ32
2C2C
2C2
322C2C2
2C22
3
2
La ecuación anterior se satisface para yC2 = 1.86 m. Determinación de la energía mínima en la sección 2 – 2
m48.2E
81.9x286.1x00.286.1x00.4
00.5086.1E min22
2
min
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO GRADUALMENTE VARIADO _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
187
La energía mínima necesaria para que el agua pase a través de la pila es Emin = 2.48 m, pero la energía disponible en la sección 1 -1 es E1 = 2.32 m la cual es menor que la mínima. Por lo tanto el agua aumenta de altura en la sección de aproximación para adquirir la suficiente energía para poder pasar. Esta nueva energía en la sección 1 -1 debe ser igual a la mínima; es decir, E1N = 2.48 m.
m48.281.9x2y00.2y00.6
00.50y
22N1N1
2
N1
La ecuación anterior tiene cinco raíces, dos complejas, una negativa y dos positivas, el valor de y1N = 2.25 m corresponde a la condición de flujo sub crítico. Como la profundidad aguas arriba de la pila es y = 2.25 m > yn1 = 2.00 m > yC1 = 1.59 m, entonces se produce un perfil M1, disminuyendo de profundidad hacia aguas arriba tendiendo a alcanzar la profundidad normal yn1. Determinación de la pendiente S0 del canal.
3/10
3/422
0
2
3/2
3/2
0
2
3/2H
02/1
03/2
H A
PnQS
AA
PnQS
AR
nQSASR
n
1Q
3/102
111
3/42
1122
0
ymyb
m1y2bnQS
000954.0S00.2x00.200.2x00.6
00.2100.2x200.6015.000.50S 03/102
3/4222
0
A continuación se muestran en forma tabulada los cálculos realizados con el fin de determinar el perfil superficial. Calcular el perfil hasta y = 1.01 y1 y = 1.01 x 2.00 y = 2.02 m
Tabla para el cálculo del perfil M1 mediante el método paso a paso
y A P 3/4HR
g2
v2
E ΔE S
x104 S
x104 SS0
x104 Δ x
(m) (m2) (m) (m4/3) (m) (m) (m) (m)
2.25 23.63 16.06 1.67 0.23 2.48 - 6.0795 - -
2.02 20.28 15.03 1.49 0.31 2.33 0.15 9.1845 7.63201 1.90798 786.17
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO GRADUALMENTE VARIADO _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
188
La ecuación de continuidad indica que
1212
12221121 q
00.4
00.5qq
b
bqbqbqQQ
Energía especifica en la sección 2. Como en la sección 2 la altura del agua es la profundidad crítica yC2, entonces la energía específica en la sección 2 es la energía mínima; es decir,
3/1
3/22
23
22
22C2 81.9
q
2
3E
g
q
2
3Ey
2
3E
3/1
3/21
3/2
3/2
23/1
3/2
1
23/1
3/22
2 81.9
q
4
5
2
3E
81.9
q4
5
2
3E
81.9
q
2
3E
Problema F.II-5.14 Un canal rectangular de ancho b1 = 5.00 m, pendiente longitudinal S0 = 0.001, coeficiente de Manning n = 0.014, reduce su ancho a b2 = 4.00 m. La reducción produce la profundidad crítica yC2, e inmediatamente aguas arriba de ella la profundidad es de 4.00 m. Si el flujo uniforme aguas abajo de la reducción es crítico. Se pide:
a. El caudal. b. Dibujar cualitativamente el perfil superficial que se forma. c. Calcular en un solo paso, la distancia desde la reducción hacia aguas arriba
hasta donde la profundidad sea igual al 95 % de la profundidad normal.
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO GRADUALMENTE VARIADO _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
189
Energía especifica en la sección 1.
81.9x2x00.4
q00.4E
g2y
qyE
g2
vyE
2
21
121
21
11
21
11
Como no existe pérdida de energía entre las secciones 1 y 2 entonces
3/1
3/21
3/2
3/2
2
21
21 81.9
q
4
5
2
3
81.9x2x00.4
q00.4EE
la ecuación anterior se satisface para q1
= 13.3 m3/s/m. El caudal total Q es: s/m50.66Q00.5x3.13QbqQ 3
11
El caudal unitario q2 es: m/s/m63.16q3.134
5qq
4
5q 3
2212
La profundidad crítica yC1 es: m62.2y81.9
3.13y
g
qy 1C
3
2
1C3
21
1C
La profundidad crítica yC2 es: m04.3y81.9
63.16y
g
qy 1C
3
2
1C3
22
2C
Determinación de la profundidad normal yn1 en el tramo 1.
1n12/1
0
3/2
1n1
1n12/10
3/2H ybS
y2b
yb
n
1QASR
n
1Q
1n2/1
3/2
1n
1n y00.5001.0y200.5
y00.5
014.0
150.66
la ecuación anterior se satisface para yn1
= 4.33 m. Por ser en el tramo 2 el flujo uniforme crítico la profundidad yn2 = yC2 = 3.04 m Como yn1 = 4.33 m > y = 4.11 m > yc1 = 2.62 m, el perfil que se produce es M2
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO GRADUALMENTE VARIADO _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
190
Cálculo del perfil superficial.
SS
EEx
0
12
A continuación se muestra en forma tabulada los cálculos realizados con el fin de determinar el perfil superficial.
Tabla para el cálculo del perfil M2 mediante el método paso a paso
y A P 3/4HR
g2
v2
E ΔE S S SS0 Δ x
(m) (m2) (m) (m4/3) (m) (m) (m) (m)
4.00 20.00 13.00 1.776 0.563 4.563 - 0.00122 - -
4.11 20.55 13.22 1.801 0.534 4.644 0.081 0.00114 0.001180 -0.00018 450
1mº45tg
1m
Problema F.II-5.15 Por un canal trapezoidal con ancho en la base b = 3.00 m y taludes laterales con un ángulo de inclinación respecto a la horizontal de 45º fluye un caudal de 15.00 m3/s. El coeficiente de n de Manning es n = 0.015 y la pendiente longitudinal S0 = 0.001. El canal termina en una caída libre. Calcular y dibujar el perfil superficial. Tome incrementos de la profundidad de Δy = 10.00 cm.
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO GRADUALMENTE VARIADO _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
191
Determinación de la profundidad crítica yC.
La profundidad crítica es aquélla que satisface la siguiente ecuación:
1
00.11y2y00.381.9
y00.1x200.300.151
m1y2ybg
ym2bQ1
Ag
TQ3
2CC
C2
32
CC
C2
3
2
la ecuación anterior se satisface para yC = 1.19 m
Determinación de la profundidad normal yn.
La profundidad normal yn es aquélla profundidad que satisface la ecuación de Manning.
2nn
2/10
3/2
2n
2nn2/1
03/2
H ymybSm1y2b
ymyb
n
1QASR
n
1Q
2nn
2/1
3/2
2n
2nn y00.1y00.3001.000.11y200.3
y00.1y00.3
015.0
100.15
la ecuación anterior se satisface para yn = 1.58 m
yn = 1.58 m > yC = 1.19 m, la pendiente es suave y se produce un perfil tipo M, en la caída se
produce la profundidad crítica yC, la altura del agua aumenta hacia aguas arriba tendiendo a
alcanzar la profundidad normal yn formándose un perfil M2.
Esquema del perfil superficial.
Cálculo del perfil superficial.
SS
EEx
0
12
A continuación se muestra en forma tabulada los cálculos realizados con el fin de determinar el perfil superficial.
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO GRADUALMENTE VARIADO _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
192
Tabla para el cálculo del perfil M2 mediante el método paso a paso
y A P 3/4HR
g2
v2
E ΔE S S S-S0 Δ x
(m) (m2) (m) (m4/3) (m) (m) (m) (m)
1.19 4.99 6.37 0.72 0.46 1.65 - 0.00282 - -
1.29 5.53 6.65 0.78 0.38 1.67 -0.02 0.00215 0.00249 -0.0015 13.33
1.39 6.10 6.93 0.84 0.31 1.70 -0.03 0.00163 0.00189 -0.0009 33.33
1.49 6.69 7.22 0.90 0.26 1.75 -0.05 0.00128 0.00146 -0.0005 100.00
1.55 7.05 7.39 0.94 0.23 1.78 -0.03 0.00108 0.00118 -0.0002 150.00
1.57 7.17 7.44 0.95 0.22 1.79 -0.01 0.00102 0.00105 -0.00005 200.00
m66.496
Determinación del caudal.
C
32CC
3
3
2
ym2b
ymybgQ
T
AgQ1
Ag
TQ
s/m26.39Q
50.1x00.2x200.5
50.1x00.250.1x00.581.9Q 3
32
Problema F.II-5.16 Un canal trapezoidal con ancho en la base de b = 5.00 m, con taludes laterales m = 2.00 y rugosidad de Manning n = 0.025 conduce agua en flujo crítico a una profundidad de 1.50 m. En determinada sección su pendiente disminuye en uno por mil. Se pide:
a. El caudal. b. Hacer un esquema cualitativo del perfil superficial. c. Hacer los cálculos del perfil superficial de un solo paso para determinar la
distancia Δx entre los límites de variación de y.
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO GRADUALMENTE VARIADO _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
193
Determinación de la pendiente crítica S0 C en el tramo 1. La pendiente crítica es aquélla que satisface la ecuación de Manning cuando la profundidad normal yn es igual a la profundidad crítica yC.
3/10
3/422
0
2
3/2
3/2
0
2
3/2H
02/1
03/2
H A
PnQS
AA
PnQS
AR
nQSASR
n
1Q
3/102
111
3/42
1122
0
ymyb
m1y2bnQS
0065.0S50.1x00.250.1x00.5
00.2150.1x200.5025.026.39S C03/102
3/4222
C0
Determinación de la pendiente crítica S0 en el tramo 2.
0055.0S001.00035.0S001.0SS 2020C020
Determinación de la profundidad normal en el tramo 2.
22n2n1
2/10
3/2
22n1
22n2n12/1
03/2
H ymybSm1y2b
ymyb
n
1QASR
n
1Q
22n2n
2/1
3/2
22n
22n2n y00.2y00.50055.000.21y200.5
y00.2y00.5
025.0
126.39
la ecuación anterior se satisface para yn1
= 1.57 m. En el tramo 2, en el punto de cambio de pendiente, el agua tiene una profundidad de 1.57 m, hacia aguas arriba se produce un perfil C1 hasta alcanzar la profundidad de 1.50 m en el punto 1
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO GRADUALMENTE VARIADO _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
194
Cálculo del perfil superficial.
SS
EEx
0
12
A continuación se muestra en forma tabulada los cálculos realizados con el fin de determinar el perfil superficial.
Tabla para el cálculo del perfil C1 mediante un solo paso.
y A P 3/4HR
g2
v2
E ΔE S S SS0 Δ x
(m) (m2) (m) (m4/3) (m) (m) (m) (m)
1.57 12.78 12.02 1.09 0.481 2.051 - 0.00541 -
1.50 12.00 11.71 1.03 0.546 2.046 0.005 0.00650 0.00596 0.00054 9.25
Problema F.II-5.17 Un canal rectangular de ancho b = 3.00 m y de gran longitud, es alimentado desde un embalse, como se muestra en la figura. Al final del canal se encuentra una presa de 50.00 m de alto hasta la cresta del aliviadero, el cual deja caer sus aguas a un río. Si la profundidad del agua sobre la cresta es la profundidad crítica yC, el coeficiente de Manninag es n = 0.013 y la pendiente del canal es S0 = 0.0067, se pide:
a. La profundidad crítica yC. b. La profundidad normal yn. c. El caudal Q. d. El tipo de perfil superficial. e. Dibujar cualitativamente el perfil superficial. f. Determinar las profundidades recuentes del resalto hidráulico si este se
produce. g. Calcular mediante el método paso a paso el perfil superficial calculado
cinco puntos hasta donde la profundidad del agua sea ocho veces la profundidad crítica.
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO GRADUALMENTE VARIADO _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
195
Si se considera como hipótesis que la pendiente del canal es supercrítica (yC > yn) entonces:
m00.6y00.93
2yE
3
2y CCminC
Determinación del caudal.
81.9x00.5x00.6QgbyQgb
Qy
gb
Qy 2323
C2
23
C3
2
2
C
m/s/m03.46q00.5
16.230q
b
Qqm/s/m16.230Q 33
Determinación de la profundidad normal yn
La profundidad normal yn es aquélla que satisface la ecuación de Manning.
ASRn
1Q 2/1
03/2
H
n2/1
3/2
n
n y00.50067.0y200.5
y00.5
013.0
116.230
la cual se satisface para yn = 5.16 m. como yC = 6.00 m > yn = 5.16 m la hipótesis es correcta.
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO GRADUALMENTE VARIADO _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
196
Perfiles superficiales.
Desde la presa, con una altura de 56.00 m y hacia aguas arriba se produce un perfil S1 disminuyendo de profundidad como se indica en la siguiente figura.
En la entrada del canal, en el embalse, se produce la profundidad crítica yC y hacia aguas abajo se produce un perfil S2 disminuyendo de profundidad, tendiendo a alcanzar la profundidad normal yn, como se indica en la siguiente figura.
Para pasar de flujo supercrítico a flujo subcrítico se tiene que formar un resalto hidráulico.
Si se considera como hipótesis que la profundidad y1 del resalto es yn = 5.16 m entonces la profundidad secuente del resalto es: Determinación de las profundidades secuentes del resalto.
2
111
221
1
2
ygy
q811
y
y2F811
y
y2
3
2
231
2
1
2
16.5x81.9
03.46x811
2
16.5y
yg
q8811
y
y2
y2 = 6.93 m
lo cual es físicamente posible ya que el perfil S1 disminuye de profundidad hasta alcanzar esta altura en el resalto hidráulico.
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO GRADUALMENTE VARIADO _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
197
Esquema y cálculo del perfil superficial.
SS
EEx
0
12
A continuación, se muestran forma tabulada los cálculos realizados con el fin de determinar el perfil superficial.
Tabla para el cálculo del perfil S1 mediante el método paso a paso
y A P 3/4HR
g2
v2
E ΔE S
x 10-5 S
x 10-5 S-S0
x 10-5 Δ x
(m) (m2) (m) (m4/3) (m) (m) (m) (m)
56 280 117 6.868 0.034 56.034 - 1.64 - - 0.00
54 270 113 6.817 0.037 54.037 1.997 1.80 1.72 68.28 298.53
52 260 109 6.762 0.040 52.040 1.997 1.96 1.88 668.12 298.90
50 250 105 6.705 0.043 50.043 1.997 2.13 2.05 667.95 298.97
48 240 101 6.643 0.047 48.047 1.996 2.35 2.24 667.76 298.91
m61.1195
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO GRADUALMENTE VARIADO _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
198
Considerando como hipótesis que el flujo en el canal es supercrítico. La velocidad crítica es:
C
2C
CC
2
2
CC
2
2
C
3
2
T2
A
g2
v
T2
A
Ag2
Q
T
A
Ag
Q1
Ag
TQ
Determinación de la profundidad crítica. como la energía disponible es E0 = 2.40 m entonces:
C
2CC
C0
C
C0
2C
C0 ym2b2
ymybyE
T2
AyE
g2
vyE
al sustituir los valores numéricos se obtiene la profundidad crítica yC:
C
2CC
C yx00.2x200.62
y00.2y00.6y40.2
, la cual se satisface para yC = 1.76 m.
Determinación de la velocidad crítica.
.s/m54.3v81.9x2
v76.140.2
g2
vyE C
2C
2C
C0
Determinación del caudal Q
Problema F.II-5.18 Un embalse descarga sus aguas hacia un canal trapezoidal de gran longitud, taludes laterales con m = 2.00, ancho de la base b = 6.00 m, coeficiente n de Manning n = 0.014 y pendiente longitudinal S0 = 0.005. El nivel de embalse se encuentra a 2.40 m sobre en fondo del canal en la sección de entrada. Se pide:
a. La profundidad crítica yC. b. El caudal Q. c. La profundidad normal yn. d. El tipo de perfil que se produce. e. Dibujar cualitativamente el perfil superficial. f. Calcular la distancia mínima desde la entrada del canal a la que se puede
ubicar una compuerta suponiendo que produce una profundidad de 2.10 m aguas arriba de ella sin que se modifique el caudal calculado en el punto b.
g. Dibujar el nuevo perfil superficial.
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO GRADUALMENTE VARIADO _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
199
.s/m31.59Q76.1x00.276.1x00.6x54.3QAvQ 32CC
Determinación de la profundidad normal yn.
La profundidad normal yn es aquélla que satisface la ecuación de Manning.
ASRn
1Q 2/1
03/2
H
2nn
2/1
3/2
2n
2nn y00.2y00.6005.000.21y200.6
y00.2y00.6
014.0
131.59
la cual se satisface para yn = 1.36 m. como yn = 1.36 m. < yC = 1.76 m, el flujo es supercrítico por lo tanto la hipótesis es verdadera, entonces la pendiente es supercrítica y los perfiles son del tipo S. El perfil superficial que se produce se muestra en el siguiente esquema:
Si se mueve la compuerta hacia aguas arriba, hacia la entrada del canal, el resalto comienza a retroceder hasta que el perfil S1 alcanza la entrada del canal con una profundidad de 1.76 m, si la compuerta continua moviéndose hacia aguas arriba la salida se ahoga y comienza a disminuir el caudal. Por lo tanto el límite del caudal uniforme se produce cuando S1 alcanza 1.76 m en la entrada del canal. El esquema que muestra la situación descrita anteriormente se muestra en la figura siguiente:
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO GRADUALMENTE VARIADO _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
200
Cálculo del perfil superficial.
SS
EEx
0
12
A continuación se muestra en forma tabulada los cálculos realizados con el fin de determinar el perfil superficial.
Tabla para el cálculo del perfil S1 mediante el método paso a paso
y A P 3/4HR
g2
v2
E ΔE S
x 10-3 S
x 10-3 S-S0
x 10-3 Δ x
(m) (m2) (m) (m4/3) (m) (m) (m) (m)
2.10 21.42 15.39 1.55 0.40 2.50 - 0.992 - - -
2.00 20.00 14.94 1.48 0.46 2.46 0.04 1.20 1.096 3.904 10.25
1.90 18.62 14.49 1.40 0.53 2.43 0.03 1.45 1.330 3.670 8.17
1.80 17.28 14.04 1.32 0.62 2.42 0.01 1.80 1.630 3.37 2.97
1.76 16.89 13.91 1.30 0.65 2.419 0.001 1.92 1.860 3.140 0.32
m71.21
Problema F.II-5.19 Un canal rectangular de ancho b = 1.50 m tiene un desnivel de 1.00 m en una longitud horizontal de 1600.00 m. La profundidad normal yn es de 0.70 m, cuando el caudal Q es de 0.65 m3/s. En una determinada sección se interpone una compuerta con lo que la profundidad aguas arriba de la compuerta aumenta a 1.00 m. Determinar:
a. La profundidad crítica yC. b. El coeficiente n de Manning. c. El tipo de perfil superficial que se forma. d. La profundidad del agua, de un solo paso, a 685.00 m aguas arriba de la
compuerta.
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO GRADUALMENTE VARIADO _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
201
Determinación de la profundidad crítica yC.
m27.0y81.9x50.1
65.0y
gb
Qy
g
qy C
32
2
C3
2
2
C3
2
C
Determinación del coeficiente n de Manning. La pendiente del canal S0 es:
00063.0S1600
00.1S
L
zS 000
3/2
3/52/102/1
0
3/22/1
03/2
H PQ
ASnAS
P
A
n
1QASR
n
1Q
0205.0n70.0x250.165.0
70.0x50.100063.0n
y2bQ
ybSn
3/2
3/52/1
3/2
3/52/10
como y = 1.00 m > yn = 0.70 m > yC = 0.27 m la pendiente es subcrítica y el perfil es tipo M1 y el esquema correspondiente se muestra en la siguiente figura:
Cálculo del perfil superficial.
xSSEESS
EEx 021
0
12
A continuación se muestra en forma tabulada los cálculos realizados con el fin de determinar el perfil superficial.
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO GRADUALMENTE VARIADO _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
202
Tabla para el cálculo del perfil M1 mediante el método de aproximaciones sucesivas.
Δ x y A P 3/4HR
g2
v2
E S
(10-4) S
(10-4) S-S0
(10-4) E
(m) (m) (m2) (m) (m4/3) (m) (m) (m)
1.00 1.50 3.50 0.3231 0.0096 1.0096 2.442 -- -- 1.0096
685 0.75 1.125 3.00 0.2704 0.0170 0.7670 0.519 3.81 2.43 0.857
685 0.84 1.26 3.18 0.2910 0.0136 0.8530 3.843 3.14 3.11 0.815
685 0.80 1.20 3.10 0.2821 0.0149 0.8149 4.370 3.41 2.84 0.832
685 0.817 1.226 3.134 0.2861 0.0143 0.8310 4.130 3.29 2.96 0.825
685 0.810 1.215 3.120 0.2845 0.0146 0.8250 4.220 3.33 2.92 0.827
La profundidad a 685.00 m aguas arriba de la compuerta es y = 0.81 m.
Problema F.II-5.20 Un canal rectangular de gran anchura y gran longitud conduce un caudal unitario q = 1.50 m3/s/m, con una pendiente longitudinal S0 = 0.0001. El fondo tiene una rugosidad de Manning n = 0.020. El canal termina en una caída libre. Determinar:
a. La profundidad crítica yC- b. La profundidad normal yn. c. El tipo de perfil que se produce. d. La profundidad a 20.00 m de la caída. e. La profundidad a 40.00 m de la caída.
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO GRADUALMENTE VARIADO _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
203
Determinación de la profundidad crítica yC.
m61.0y81.9
50.1y
g
qy C
3
2
C3
2
C
Determinación de la profundidad normal yn.
m93.1y0001.0
020.0x50.1y
S
nqyySy
n
1q n
5/3
2/1n
5/3
2/10
nn2/1
03/2
n
como yn = 1.93 m > yC = 0.61 m la pendiente es subcrítica y el perfil es tipo M, el canal termina en una caída libre donde se produce la profundidad crítica yC. Hacia aguas arriba el perfil aumenta de altura tendiendo a alcanzar la profundidad normal formándose un perfil M2. El esquema correspondiente se muestra en la siguiente figura:
Cálculo del perfil superficial.
xSSEESS
EEx 021
0
12
A continuación se muestran, en forma tabulada, los cálculos realizados con el fin de determinar el perfil superficial.
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO GRADUALMENTE VARIADO _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
204
Tabla para el cálculo del perfil M2 mediante el método de aproximaciones sucesivas.
Δ x y g2
v2
E S
(10-4) S
(10-4) S-S0
(10-4) E
(m) (m) (m) (m) (m)
0.621 0.309 0.918 46.25 0.918
20 0.700 0.234 0.934 29.55 37.90 - -36.90 0.992
20 0.758 0.200 0.958 22.66 34.46 - 33.46 0.985
20 0.758 0.186 0.971 20.17 33.21 - -32.21 0.982
20 0.796 0.181 0.977 19.26 32.76 - -31.76 0.982
20 0.800 0.181 0.981 18.94 32.60 -31.60 0.981
20 1.000 0.115 1.115 9.00 13.97 - -12.97 1.011
20 0.896 0.143 1.039 12.98 15.96 - -14.96 1.011
20 0.868 0.152 1.020 14.42 16.68 - -15.68 1.012
20 0.860 0.155 1.015 14.87 16.91 - 15.91 1.013
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO DE UN FLUIDO IDEAL _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
205
Capitulo 6
FLUJO DE UN FLUIDO IDEAL
Las expresiones de u y v son:
x32uy
yx3y2-x31u
yu
y33vx
yx3y2-x31v
xv
para que exista función potencial el flujo debe ser irrotacional. Para que el flujo sea irrotacional se debe cumplir:
00
y
x32
x
y33
y
u
x
v
entonces el flujo es irrotancional, por lo tanto existe función potencial. Determinación de la función potencial:
yfy
yf2
x3x2x32
xu
x
2
C2
y3y3yfy33yfvyfv
y
2
C
2
y3y3
2
x3x2yf
2
x3x2
222
Cy3x22
y3
2
x3 22
Problema F.II-6.01 La función de corriente para flujo bidimensional es: yx3y2x31 . Hallar la función potencial.
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO DE UN FLUIDO IDEAL _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
206
Determinación de la velocidad.
x5u
y
yx5u
yu
y5vx
yx5u
xv
jy5ix5Vjy5ix5VjviuV
Verificar si se cumple la ecuación de continuidad
0Vx55Vx
y
y5
x
x5Vx0
y
v
x
uVx
lo cual indica que sí se satisface la ecuación de continuidad Determinación de la rotacionalidad.
000
y
x5
x
y5
y
u
x
vZZZZ
Lo que indica que el flujo es irrotacional por lo tanto existe función potencial. Determinación de la función potencial.
yfy
yf2
x5xdx5
xx5
xu
2
C2
y5yfydy5yfyfy5yfv
yv
2
C2
y5
2
x5 22
Problema F.II-6.02 La función de corriente de cierto flujo está dada por la expresión yx5 , para esta función se pide:
a) La expresión del vector velocidad en coordenadas cartesianas. b) Verificar si el flujo cumple con la ecuación de continuidad. c) La vorticidad. d) El potencial si existe.
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO DE UN FLUIDO IDEAL _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
207
Determinación de las expresiones de u y v
1y2u
y
1xx1yyu
yu
1x2vx
1xx1yyu
xv
Verificación de la ecuación de continuidad. La ecuación de continuidad en dos dimensiones es:
0V.00V.0
y
1x2
x
1y2V.0
y
v
x
uV.
efectivamente, si se satisface la ecuación de continuidad Determinación del rotacional
0222
1
y
1y2
x
1x2
2
1
y
u
x
v
2
1ZZZz
entonces el flujo es irrotancional por lo tanto existe función potencial. Determinación de la función potencial:
yfx2y
yfxxy21y2x
ux
Cyyf1x2x2yfvx2yfvy
Cyxxy2Cyxxy2
Problema F.II-6.03 Para un flujo definido por la función de corriente 1xx1yy Determinar: a) Las componentes de velocidad u y v según los ejes x e y respectivamente. b) Verificar si efectivamente la ecuación dada representa el flujo de un fluido
incompresible. c) El rotacional. d) El potencial si éste existe.
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO DE UN FLUIDO IDEAL _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
208
Determinación de las expresiones de u y v
x4u
x
ykx2u
xu
22
yk2vy
ykx2u
yv
22
verificación si el flujo es irrotacional
0002
1
y
x4
x
yk2
2
1
y
u
x
v
2
1ZZZZ
efectivamente, el flujo es irrotancional. Determinación de k para que se cumpla la ecuación de continuidad La ecuación de continuidad en dos dimensiones es:
2k0k240
y
yk2
x
x4V.0
y
v
x
uV.
Determinación de la función de corriente.
xfy4x
xfyx4x4y
uy
Cxf0xfy4xfy4yk2xfy4vx
Cyx4
Problema F.II-6.04 Un flujo irrotacional, bidimensional e incompresible tiene como función potencial
22 ykx2 ; para estas condiciones se pide:
a) El valor de k para que se cumpla con la condición enunciada. b) La función de corriente.
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO DE UN FLUIDO IDEAL _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
209
Para verificar la ecuación de continuidad se debe cumplir.
0x3y3y3x30y
xy3y
x
yx3x0
y
v
x
u 22222323
Entonces, si se cumple la ecuación de continuidad, es acertada la predicción. El flujo es rotacional si se cumple:
0y
u
x
v
0yx6yx60
y
yx3x
x
xy3y 2323
Lo que indica que el flujo no es rotacional; es irrotacional. Determinación de la vorticidad, 2ω.
0yx6yx6y
yx3x
x
xy3y
x
v
x
v
2
122
2323
la vorticidad es nula.
La rotación de un fluido es una cantidad vectorial y se puede expresar como:
Problema F.II-6.05 Se predice que un campo de flujo bidimensional tiene las siguientes componentes de velocidad: 2323 xy3yv;yx3xu . Para estas funciones se pide:
a) Es acertada la predicción, es decir, se cumple la ecuación de continuidad. b) El flujo es rotacional. c) La rotacionalidad. d) La vorticidad.
Problema F.II-6.06 Para kzyxjzyiyxv 222
, hallar las componentes de la rotación en
el punto (2, 2, 2)
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO DE UN FLUIDO IDEAL _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
210
wvuzyx
kji
VxVrot
ky
u
x
vj
x
w
z
ui
z
v
y
wVxVrot
y
u
x
v
2
1,
x
w
z
u
2
1,
z
v
y
w
2
1si ZYX
kjiVVrot ZYX
La rotación alrededor del eje x es:
2
1y1y2
2
1
z
zy
y
zyx
2
1
z
v
y
w
2
1XX
222
XX
La rotación alrededor del eje y es:
xx202
1
x
zyx
z
yx
2
1
x
w
z
u
2
1Yy
222
YY
La rotación alrededor del eje z es:
2
110
2
1
y
yx
x
zy
2
1
y
u
x
v
2
1ZZZZ
kjx2i1y2VxVrotk10jx20i1y2VxVrot
La rotación particularizada para el punto (2, 2, 2) es:
kj4i3VxVrotkj2x2i12x2VxVrot
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO DE UN FLUIDO IDEAL _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
211
como la distribución es lineal se tiene:
y25uy2
50uy
H
Uu
y
u
H
U
0v
xf0x
xf2
y25
yy25
yu
2
Cxfxf00x
v
C2
y25 2
para y = 0,
0CC2
0250C
2
y250
22
2
y25 2
Graficar las líneas de corriente con intervalos de 10
Problema F.II-6.07 En un flujo paralelo bidimensional en la dirección x positiva, la velocidad varía linealmente desde 0.00 m/s para y = 0.00 m hasta un valor de 50.00 m/s para una altura y = 2.00 m. Para estas condiciones se pide:
a) Una expresión para la función de corriente .
b) Graficar la función de corriente con intervalo de m/s/m10 3 . c) El rotacional.
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO DE UN FLUIDO IDEAL _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
212
2/12
25
2y
2
y25
2/1
25
2y
- 10 0.894 - 20 1.260 - 30 1.549 - 40 1.782 - 50 2.000
Determinación de la rotación. La rotación alrededor del eje z es:
2
25250
2
1
y
y25
x
0
2
1
y
u
x
v
2
1ZZZz
por lo tanto el flujo es rotacional, por lo tanto no existe función potencial.
Problema F.II-6.08 En un canal rectangular, horizontal, de 2.00 m de ancho se produce flujo uniforme con una velocidad de 2.00 m/s. Para estas condiciones se pide:
a) Una expresión para las líneas de corriente . b) Verificar si se cumple la ecuación de continuidad. c) El rotacional. d) La función potencial, si existe . e) Hacer un esquema de las líneas de corriente y equipotenciales. f) Determinar el caudal si la profundidad del agua en el canal es de 40.00 cm.
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO DE UN FLUIDO IDEAL _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
213
como el flujo es horizontal y uniforme se tiene:
0v2u
xf0x
xfy2y
2y
u
Cxfxf00x
v
Cy2
0CC020Cy20,0ypara
y2
Verificación de la ecuación de continuidad: La ecuación de continuidad en dos dimensiones es:
0V.00V.0
y
0
x
2V.0
y
v
x
uV.
efectivamente, si se satisface la ecuación de continuidad. Determinación del rotacional
000
y
2
x
0
y
u
x
vXXXz
entonces el flujo es irrotancional por lo tanto existe función potencial. Determinación de la función potencial:
yf0y
yfx22x
2x
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO DE UN FLUIDO IDEAL _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
214
2Cyf0yf0y
2Cx2yfx2
0CC0200,0xpara 22
x2
y x y2 x2
0.0 0.0 0.0 0.0 0.1 0.1 - 0.2 - 0.2 0.2 0.2 - 0.4 - 0.4 0.3 0.3 - 0.6 - 0.6 0.4 0.4 - 0.8 - 0.8
En el siguiente esquema se muestran las líneas de corriente y las líneas potenciales.
Determinación del caudal unitario.
m/s/m80.0q0.080.0qq 30004
El caudal total es:
s/m60.1Q00.2x80.0QBqQ 3
Donde el signo menos corresponde según el convenio establecido, que el caudal es negativo cuando el flujo es de izquierda a derecha.
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO DE UN FLUIDO IDEAL _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
215
Las expresiones generales del flujo alrededor de una esquina con ángulo α son para la función potencial y la función de corriente respectivamente:
senrAcosrA
La función potencial para el caso particular de 2/3 es:
3
2cosrA
2/3cosrA 3
22/3
La función de corriente para el caso particular de 2/3 es:
3
2senrA
2/3senrA 3
22/3
En el esquema siguiente se muestran la función potencial y la de corriente para α = 270º.
Problema F.II-6.09 Para flujo alrededor de una esquina si 2/3 , se pide:
a) La función potencial. b) La función de corriente. c) La expresión para rv .
d) La expresión para v .
e) Hacer un esquema de los vectores velocidad para un ángulo .
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO DE UN FLUIDO IDEAL _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
216
Determinación de la expresión de vr
3
2cos
3
2rA
r
1v
3
2senrA
r
1v
r
1v 3/2
r
3/2
rr
3
2cos
r3
A2v
3/1r
Determinación de la expresión de v .
3
2sen
r3
A2v
r
3
2senrA
vr
v3/1
3/2
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO DE UN FLUIDO IDEAL _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
217
Determinación de la función de corriente.
xfx
xfy2xf2
y4y4
yu
y2
2
Cx2xfC2
x4xfx4xfv
x2
2
Cx2y2 22
Si la condición de borde es: 0,0y,0xpara
0CC02020Cx2y2 2222
22222222 xy2x2y20x2y2Cx2y2
2r2
lo que representa circunferencias con centro en el origen como se muestra en el esquema.
Problema F.II-6.10 Las dos componentes de velocidad en un flujo bidimensional son: u = 4 y; v = - 4 x Para estas condiciones determinar:
a) La función de corriente . b) El rotacional. c) La función potencial, si existe. d) Dibujar las líneas de corriente y las equipotenciales, si éstas existen.
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO DE UN FLUIDO IDEAL _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
218
Determinación del rotacional. La rotación alrededor del eje z es:
4442
1
y
y4
x
x4
2
1
y
u
x
v
2
1ZZZZ
por lo tanto el flujo es rotacional y no existe función potencial.
Para una fuente las funciones de corriente y las equipotenciales son:
rln2
q;
2
q
Nota: º180radianes
(grados)
(radianes)
2
q
r (m)
rln2
q
30 6/ - 1/12 0.10 0.366
60 3/ - 2/12 0.20 0.256
90 2/ - 3/12 0.30 0.192
120 3/2 - 4/12 0.40 0.146
150 6/5 - 5/12 0.50 0.110
180 - 6/12
210 6/7 - 7/12
240 3/4 - 8/12
270 3/2 - 9/12
300 6/10 - 10/12
330 6/11 -11/12
360 2 -12/12
Problema F.II-6.11 Por una fuente fluye un caudal q = 1.00 m3/s, para esta fuente se pide dibujar:
a) Las líneas de corriente con º30 , desde 0º hasta 360º. b) Las líneas equipotenciales con m10.0r , desde 0.10 m hasta 0.50 m.
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO DE UN FLUIDO IDEAL _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
219
Determinación de las expresiones de u y v.
2232
y6x6uy
y2yx6u
yu
yx12vx
y2yx6u
xv
32
Determinación del las componentes de la velocidad en el punto de coordenadas (2; 3)
s/m00.30u5424u3626uy6x6u 2222
s/m00.72v3212vyx12v
Problema F.II-6.12 Para la función de corriente 32 y2yx6 , determinar:
a) La expresiones de las componentes de velocidades u y v. b) El módulo y ángulo del vector velocidad en el punto de coordenadas (2; 3). c) El rotacional. d) La función potencial, si ésta existe.
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO DE UN FLUIDO IDEAL _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
220
Determinación del módulo de la velocidad.
s/m00.78v00.7200.30vvuv 2222 Determinación del ángulo de la velocidad con respecto a la horizontal.
º38.6700.30
00.72tgarc
00.30
00.72tg
u
vtg
Determinación de la rotación. La rotación alrededor del eje z es:
0y12y122
1
y
x6y6
x
yx12
2
1
y
u
x
v
2
1XX
22
Xz
por lo tanto, el flujo es irrotacional y sí existe función potencial.
Determinación de la función potencial:
yfyx12y
yfxy63
x6y6x6
xu
x2
322
Cyf0yfyx12yfyx12vy
Cxy6x2Cxy63
x6 2323
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO DE UN FLUIDO IDEAL _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
221
Determinación de rv .
r
1
2
qv
r
2rln
2
q
vr
v rrr
Determinación de v .
r
1
2v
2rln
2
q
r
1v
r
1v
Verificación de la ecuación de continuidad.
0v
r
1v
r
1
r
vr
r
0
r
1
2
q
r
1r
2
qr
1
2
r
1
r
1
2
q
r
1
r
r
1
2
q
2
Problema F.II-6.13
Un campo de flujo tiene como función de corriente rln22
q
y como
función y potencial
2
rln2
q, para estas condiciones se pide:
a) La expresión de rv .
b) La expresión de v .
c) Verificar si se cumple la ecuación de continuidad. d) El Rotacional. e) Dibujar a escala la línea de corriente para m/s/m2 3 , m/s/m1 3
y. m/s/m1q 3
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO DE UN FLUIDO IDEAL _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
222
0r2
q0
r2
q22
por lo tanto sí se cumple la ecuación de continuidad Determinación del rotacional.
0v
r
vr
r
1 rZ
000r
10
r
1
2
q
r
r
1
2r
r
1ZZZ
El rotacional es cero por lo tanto el flujo es irrotacional. Dibujar a escala la línea de corriente para m/s/m2 3 , m/s/m1 3 y m/s/m2q 3 .
rln1592.01592.02rln14.3x2
1
14.3x2
12rln
22
q
(radianes) r (m)
0 rln1592.001592.02 r = 286751
6/ rln1592.06/1592.02 r = 169804
4/ rln1592.04/1592.02 r = 130692
3/ rln1592.03/1592.02 r = 100589
2/ rln1592.021592.02 r = 59588
rln1592.01592.02 r = 12367
2/3 rln1592.02/31592.02 r = 2575
2 rln1592.021592.02 r = 533
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO DE UN FLUIDO IDEAL _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
223
qrln2
1qrln
2
1
2
qrln
221
qrln2
para una línea de corriente determinada el valor de 2 es constante y se llamará k, es decir, 2k , entonces:
re
ererlnqkqrlnk
q
kqk
Si el valor de ke constante, entonces:
q
qertetanconsr
e
tetancons, para cada valor de la constante existe una espiral.
En el siguiente esquema se muestran las líneas de corriente del vórtice, del sumidero y de la superposición del vórtice más el sumidero:
Problema F.II-6.14
Dados
2
;rln2 11 para un vortice libre, y
rln2
q;
2
q22
para un sumidero,
mostrar que las líneas de corriente correspondientes a la superposición del vértice y el sumidero son las espirales qer constante.
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO DE UN FLUIDO IDEAL _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
224
Para la fuente El caudal por unidad de longitud se llama intensidad de la fuente y se designa por 2 , es
decir; 2q F Las funciones potencial y de corriente para una fuente son:
2
qrln
2
qrln FF
Para el vórtice El caudal por unidad de longitud se llama intensidad del vórtice y se designa por 2 , es
decir; 2q V
Las funciones potencial y de corriente para un vórtice son:
rln2
qrln
2
q VV
Problema F.II-6.15 Una fuente de intensidad 0.20 m3/s/m y un vórtice de intensidad 1.00 m3/s/m están localizados en el origen de coordenadas. Para estas condiciones determinar las ecuaciones de las funciones de:
a) Potencial. b) Corriente. c) Velocidad rv
d) Velocidad v
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO DE UN FLUIDO IDEAL _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
225
La función potencial correspondiente a la superposición de la fuente y el vórtice es:
2
qrln
2
q
2
qrln
2
q VFVF21
0.1rln20.02
1qrlnq
2
1VF
rln20.02
1
La función de corriente correspondiente a la superposición de la fuente y el vórtice es:
rlnqq2
1rln
2
q
2
qVF
VF21
rln20.02
1rln0.120.0
2
1
Las expresiones de las velocidades vyvr en coordenadas polares son:
rr
1v
r
1
rvr
La velocidad vr es:
r10
1v
r
1
2
20.0v
r
rln20.02
1
vr
v rrrr
La velocidad v es:
r2
1v
2
1
r
1v
rln20.02
1
r
1v
r
1v
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO DE UN FLUIDO IDEAL _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
226
Determinación de las expresiones de u y v.
x4u
y
yx4u
yu
y4vx
yx4v
xv
El vector velocidad es:
jy4ix4Vjy4ix4VjviuV
Verificación de la ecuación de continuidad. La ecuación de continuidad para flujo en dos dimensiones es:
044V.0
y
y4
x
x4V.0
y
v
x
uV.
si se satisface la ecuación de continuidad. Determinación del rotacional. La rotación alrededor del eje z es:
0002
1
y
x4
x
y4
2
1
y
u
x
v
2
1XzZZ
por lo tanto el flujo es irrotacional y sí existe función potencial.
Problema F.II-6.16 La función de corriente de un cierto flujo está dada por la ecuación yx4 , para esta función se pide:
a) El vector velocidad. b) Verificar si se cumple la ecuación de continuidad. c) El rotacional. d) El potencial si existe. e) La velocidad en el punto 1 de coordenadas )6/;2r( . f) En el punto 2 de coordenadas (3; 30), la presión del fluido es de 1 kg/m2.
Cuál será la presión en el punto de coordenadas )6/;2r( , si la
densidad del fluido es 3m/UTM1
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO DE UN FLUIDO IDEAL _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
227
Determinación de la función potencial:
yfy
yfx2yf2
x4x4
xu
x2
2
Cy2yfC2
y4yfy4yfv
y2
2
Cy2x2 22
Si la condición de borde es: 0,0y,0xpara
0CC02020Cy2x2 2222
22 y2x2 Determinación de la velocidad en el punto 1 de coordenadas )6/;2r( .
Las coordenadas cartesianas del punto 1 son:
m73.1xº30cos00.2x6/cos00.2xcosrx 1111
m00.1yº30sen00.2y6/cos00.2ysenry 1111
s/m92.6u73.14ux4u
s/m00.4v00.14vy4v
s/m00.8v00.492.6vvuv 122
122
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO DE UN FLUIDO IDEAL _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
228
Determinación de la velocidad en el punto 2 de coordenadas (3; 20)
s/m00.12u00.34ux4u s/m00.80v00.204vy4v
s/m90.80v00.8000.12vvuv 222
222
Aplicando la ecuación de Bernoulli entre los puntos 1 y 2 considerando que el flujo se produce en el plano horizontal es decir, Δ z = 0.00 m.
g2
v
g
p
g2
v
g
p
g2
vz
p
g2
vz
p 222
211
22
22
21
11
2
1
221 m/kg3241p
81.9x2
90.80
81.9x1
1
81.9x2
00.8
81.9x1
p
Problema F.II-6.17 Una fuente y un sumidero, cada uno de intensidad q = 60 m3/s/m están ubicados en los puntos de coordenadas (-3; 0) y (+3; 0) respectivamente, para estas condiciones se pide:
a) La expresión de la función de corriente , en coordenadas cartesianas. b) El valor de la función de corriente , en los puntos de
coordenadas P1 (0; 0) y P2 (0; 4). c) Una expresión para la velocidad u, en coordenadas cartesianas. d) Una expresión para la velocidad v, en coordenadas cartesianas. e) El valor de u y v para los puntos de coordenadas P1 (0; 0) y P2 (0; 4).
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO DE UN FLUIDO IDEAL _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
229
La función de corriente para una fuente es:
3x
yarctg
2
q
x
yarctg
2
qscartesiana.coorden
2
q1
1
1111
La función de corriente para el sumidero es:
3x
yarctg
2
q
x
yarctg
2
qscartesiana.coorden
2
q2
2
2222
La función de corriente correspondiente a la superposición de la fuente y el sumidero es:
3x
yarctg
3x
yarctg
2
q
3x
yarctg
2
q
3x
yarctg
2
q21
El valor de la función de corriente particularizada para el puntos P1(0; 0) es:
030
0arctg
30
0arctg
2
60
3x
yarctg
3x
yarctg
2
q
El valor de la función de corriente particularizada para el puntos P1(0; 4) es:
m/s/m101430
4arctg
30
4arctg
2
60
3x
yarctg
3x
yarctg
2
q 3
Los vectores velocidad, en coordenadas polares, correspondientes a la fuente son:
r2
qv
2
q
r
1v
r
1v r
1
rr
0vr
2
q
vr
v1
r
Los vectores velocidad, en coordenadas cartesianas, correspondientes a la fuente son:
11
111r1 cosr2
qusenvcosvu
11
111r1 senr2
qvcosvsenvv
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO DE UN FLUIDO IDEAL _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
230
Los vectores velocidad, en coordenadas polares, correspondientes al sumidero son:
r2
qv
2
q
r
1v
r
1v r
1
rr
0vr
2
q
vr
v1
r
Los vectores velocidad, en coordenadas cartesianas, correspondientes al sumidero son:
22
222r2 cosr2
qusenvcosvu
22
222r2 senr2
qvcosvsenvv
Los vectores velocidad correspondientes a la superposición de la fuente y el sumidero son:
2
2
1
12
21
121 r
cos
r
cos
2
qucos
r2
qcos
r2
quuuu
2
2
1
12
21
121 r
sen
r
sen
2
qvsen
r2
qsen
r2
qvvvv
En general para cualquier punto se tiene:
2222 yx
xcos
r
xcosy
yx
ysen
r
ysen
por lo tanto.
22
22
22
12
1
1
22
22
22
22
2
21
21
21
21
1
yx
x
yx
x
2
qu
yx
yx
x
yx
yx
x
2
qu
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO DE UN FLUIDO IDEAL _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
231
2222 y3x
3x
y3x
3x
2
qu
222
221
22
22
22
22
2
21
21
21
21
1
yx
y
yx
y
2
qv
yx
yx
y
yx
yx
y
2
qv
2222 y3x
y
y3x
y
2
qv
Los valores de u y v en el puntos P1(0; 0) son:
22222222 030
30
030
30
14.3x2
60u
y3x
3x
y3x
3x
2
qu
s/m37.6u
22222222 030
0
030
0
14.3x2
60v
y3x
y
y3x
y
2
qv
s/m0v
Los valores de u y v en el puntos P2 (0; 4) son:
22222222 430
30
430
30
14.3x2
60u
y3x
3x
y3x
3x
2
qu
s/m29.2u
22222222 430
4
430
4
14.3x2
60v
y3x
y
y3x
y
2
qv
s/m0v
BIBLIOGRAFIA
Aguirre, J., Florez, I., Macagno, E. “Mecánica de Fluidos Fundamental”, Consejo de Publicaciones, ULA, Mérida, 1987. Irving H. Shames, “Mecánica de Fluidos”, McGraw-Hill, inc. Colombia, 1995 R. Roca Vila, “Introducción a la Mecánica de los Fluidos”, Editorial Limusa, México, 1978. Streeter, Víctor L., “Mecánica de los Fluidos”, McGraw-Hill, inc. México, 1974. White, Frank M., “Mecánica de Fluidos”, McGraw-Hill, inc. España, 1983.