Probabilityความนาจะเปน

Chapter 2

ความนาจะเปน เปนอยางไร? จะใชอยางไร?

ความหมายความนาจะเปน

ความนาจะเปน (Probability)• หมายถง คาของโอกาส (Chance) หรอความเปนไปได (Possibility)

ซงสามารถวดคาไดเปนตวเลข ( 0 ถง 1 )

• ใชรวมกบทฤษฎการตดสนใจทางธรกจหลายเรอง เชน • คาความคาดหวงในการลงทน (Expected Return)• คาความเสยงในการลงทน หรอ คาความเสยงของผลตอบแทน

จากการลงทน (Risk)• ทฤษฎการจดคว (Queuing)• ฯลฯ

คาความนาจะเปน มคาระหวาง 0 ถง 1 เชน 0.25, 0.6 เปนตน

การประยกตใชความนาจะเปนทางธรกจ

ในทางปฏบตและการประยกตดานธรกจ คาความนาจะเปน สามารถคดเปน % ชวยใหงายตอความเขาใจ

Px100 % คอ น าคาความนาจะเปนคณดวย 100แลวอานคาเปน % (Percent) ไดเลย (คาเปน % จะอยระหวาง 0-100%)

ทง P = 0 หรอ 1 เรยกวา เปนเหตการณทแนนอน (Certainty Events)ถาคา P อยระหวาง 0-1 เรยกวา เปนเหตการณทมความเสยง

นยามความนาจะเปน (เบองตน)

• n(E) = จ านวนวธการของสงหรอเหตการณ (Events) เฉพาะทเราก าลงสนใจอย

• n(S) = จ านวนวธการทเปนไดทงหมดทเกยวของกบสงหรอเหตการณทเราก าลงสนใจอย เรยกวา Number of Sample Space(จ านวนของแซมเปลสเปซ)

• P(E) หรอ P = ความนาจะเปนของเหตการณ E

• นยาม (สตร)n(E)n(S)P =

ตวอยาง 1 ความนาจะเปน

ความนาจะเปนของการโยนเหรยญบาท 1 เหรยญ แลวออกหว

n(H) = จ านวน Outcome ของการออกหวจากการโยนเหรยญ 1 เหรยญ= 1 วธเทานน คอ ตองออกหว

n(S) = จ านวน Outcome ของ Sample Space หรอวธผลลพธทงหมด= 2 วธ คอ ออกหวหรอกอย

P หรอ P(H) = ความนาจะเปนของการออกหว

P = n(H) / n(S) = 1/2 = 0.5 หมายถง ความนาจะเปนของการโยนเหรยญ 1 อน แลวออกหว = 0.5 หรอ 50%

วเคราะหความนาจะเปนในการโยนเหรยญ 2 เหรยญ

ตวอยาง 2 ความนาจะเปน

แมวาการออก HT หรอ TH จะเรยกวา ออกกลาง มองแลวเปน Outcomeหรอผลอนเดยวกน แตมทมา 2 วธ ซงเปนชอทเรยกผลลพทของเหรยญ 2เหรยญออกตางกน

H = {HH}, n(H) = 1 ออกหวม 1 วธเทานน คอ ออกหวทงคT = {TT} , n(T) = 1 ออกกอยม 1 วธเทานน คอ ออกกอยทงคM = {HT,TH} , n(M) = 2 การออกกลางม 2 วธ

S = { HH, HT,TH, TT }, n(S) = 4 หมายถง Outcome ทงหมดม 4 แบบ

ตวอยาง 2 (ตอ) ความนาจะเปน

P(H) = 1/4 = 0.25 หรอ 25%P(T) = 1/4 = 0.25 หรอ 25%P(M) = 2/4 = 0.5 หรอ 50%

หมายถง ความนาจะเปนของการออกหว กอย กลาง คอ0.25, 0.25, และ 0.5

หรอ 25%, 25%, และ 50% ตามล าดบ

ตวอยาง 3 ความนาจะเปน

มนกพยากรณอากาศ (Weather Forecaster) ระบวา พรงนมโอกาสทฝนจะตก 40% ใหน ามาวเคราะหในเชงความนาจะเปนแบบแจกแจงความนาจะเปน (Probability Distribution)

Outcome (ผล) Probabilityฝนตก 40% หรอ 0.4

ฝนไมตก 60% หรอ 0.6รวม 100 % หรอ 1.0

ตความหมายความนาจะเปนจากตวอยาง 3

แมวาเมอถงเวลาจรงๆ ตามทไดพยากรณไว ฝนจะตกหรอไมกตาม ถอวาเปนเรองของเหตการณจรงทเกดขน

คาความนาจะเปน (Probability) เปนเพยงคาทบอกใหทราบถงแนวโนมของโอกาสในการเกดเหตการณเทานน ไมเกยวกบสงทเกดขนจรง

การทฝนตกและฝนไมตกถอเปนเหตการณทมความเสยง คออาจจะเกดขนหรอไมกได แตสามารถจะบอกถงคาโอกาสในการเกดเหตการณนนๆ ได

เหตการณทแนนอน (Certainty Events) คอ เหตการณรวม (ฝนตกและไมตก) มโอกาสเกดขน 100% หมายความวา เปนเหตการณทจะเกดขนอยางแนนอน คอ เกดเหตการณฝนตกหรอไมตก

กฎการบวก (Addition Rule)

E1, P1

E2 , P2

E3 , P3

Start TargetP = P1 + P2 + P3

P = P1 + P2 + P3

แตละทางเลอกจะมคาความนาจะเปน P1, P2 และ P3 ตามล าดบ ไมวาจะเลอกทางเดนใดทางเดนหนงกสามารถไปถงเปาหมายได

P = 0.7 0. 2

0.5

นกเศรษฐศาสตร (Economist) ผหนงใหขอมลวา ปหนาภาวะเศรษฐกจจะมโอกาสด ปานกลาง และไมด คอ 20% 50% และ 30% ตามล าดบ ใหหาความนาจะเปนทเศรษฐกจมผลตอบแทน

• ปานกลางขนไป• ปานกลางลงมา

ตวอยาง 1 กฎการบวก (Addition Rule)

P ปานกลางขนไป = Pด + Pปานกลาง= 0.2 + 0.5 = 0.7 หรอ 70%

0.5

ม 0.3

ม P = 0.8

P ปานกลางลงมา = Pปานกลาง + Pไมด= 0.5 + 0.3= 0.8 หรอ 80%

ตวอยาง 1 (ตอ) กฎการบวก

E1, P1

E2, P2

P = P1 + P2

Mutually Exclusive Events

การค านวณความนาจะเปนจะรวมกนตามกฎการบวก (Addition Rule)

Mutually Exclusive Events / Disjoint Events

P(E1 หรอ E2) = P(E1 or E2) = P(E1 U E2) = P1 + P2 โดยท U = Union = or = หรอ

P = P1 + P2 - P(E1 E2)

E2, P2 Non-exclusive Events

E1 E2

E1, P1

เหตการณทมบางสวนรวม (ซ าซอน) กนหรอเรยกวา Joint Events

Nonexclusive Events / Joint Events

P = P1 + P2 - P(E1 and E2)โดยท ^ = intersect = and = และ

จากผสมครงานของบรษทแหงหนงจ านวน 1,000 คน พบวาผสมคร400 คนเปนผทมประสบการณตรงตามความตองการ ผสมคร 300 คนเคยฝกอบรมเกยวกบต าแหนงทรบสมคร และมผสมคร 200 คนทงเคยฝกอบรมและมประสบการณตรงตามทตองการ ใหวเคราะหความนาจะเปนตางๆ

ตวอยาง 1 Non-exclusive Events / Joint Events

Experienced Both Trained ท หม (All)

P(E) = 400/1,000 = 0.4 หรอ 40%คอ คาความนาจะเปนของผมประสบการณ หมายถง

จากจ านวนผสมครทงหมดม 40% ทมประสบการณผสมคร 1 คนมโอกาสมประสบการณ 0.4 หรอ 40%

ตวอยาง 1 (ตอ) Nonexclusive Events / Joint Events

P(T) = 300/1,000 = 0.3คอ คาความนาจะเปนของผเคยฝกอบรม หมายถง

จากจ านวนผสมครทงหมดม 30% ทเคยฝกอบรมผสมคร 1 คนมโอกาสเคยฝกอบรม 0.3 หรอ 30%

P(B) หรอ P(E ^ T) หรอ P(E and T) = 200/1,000 = 0.2คอ คาความนาจะเปนของผมทงประสบการณและเคยฝกอบรมจากจ านวนผสมครทงหมดมเพยง 20% ทมทงประสบการณและเคยฝกอบรม

ผสมคร 1 คนมโอกาสมทงประสบการณและเคยฝกอบรม 0.2 หรอ 20%

ตวอยาง 1 (ตอ) Non-exclusive Events / Joint Events

P(E or T) = P(E) + P(T) - P(B) = 0.4 + 0.3 - 0.2 = 0.5คอ คาความนาจะเปนของผมประสบการณหรอเคยฝกอบรมซงรวมถงผทมทงประสบการณและเคยฝกอบรม

จากจ านวนผสมครทงหมดม 50% เปนคนกลมน ผสมคร 1 คนมโอกาสทจะเปนคนกลมน 0.5 หรอ 50%

P(E - T) = P(E) - P(E and T) = 0.4 - 0.2 = 0.2คอ คาความนาจะเปนของผทมประสบการณเพยงอยางเดยวเทานน ไมเคยฝกอบรม

ตวอยาง 1 (ตอ) Non-exclusive Events / Joint Events

P(E or T) ' = 1 - P(E or T) = 1 - 0.5 = 0.5คอ คาความนาจะเปนของผททงไมมประสบการณและไมเคยฝก

อบรมเลย (เครองหมาย ' เรยกวา inverse หรอ not)P(E or T, but not both) = P(E or T) - P(E and T)หรอ P(E) + P(T) - 2P(E and T) = 0.5 - 0.2หรอ = 0.4 + 0.3 - (2x2) = 0.3คอ คาความนาจะเปนของผทเคยอบรมและมประสบการณเพยง

อยางใดอยางหนงเทานน

กฎการคณ (Multiplication Rule)

P = P1 x P2 x P3

Start E1, P1 E2, P2 E3, P3 Target

จากจดเรมตนตองผานแตละเหตการณจงจะถงเปาหมาย ถาหากไมผานแตละจด จะไมถงเปาหมาย ถอวาเปนเหตการณทเกดแบบตอเนองกน

ท 2 , P2 ท 1, P1

P

Start P = P1P2

ตวอยาง 1 กฎการคณ

นกการตลาดผหนงพยากรณความนาจะเปนของการตอบสนองจากตลาดของสนคาชนดหนงเปนไปตามขอมลขางลาง ใหวเคราะห JointProbability

ตอบสนองด ตอบสนองไมดปท 1 40% 60%ปท 2 70% 30%

แผนภาพอธบายผลทเกดขนไดแตละกรณ

Start Target

ป1, ด

ป1, ด

ป1, ไมด

ป1, ไมด

ป2, ด

ป2,ไมด

ป2, ด

ป2, ไมด

P = 0.4

P = 0.4

P = 0.6

P = 0.6

P = 0.7

P = 0.3

P = 0.7

P = 0.3

ตวอยาง 1 (ตอ) กฎการคณ

(ปท 1, ปท 2) = (ด, ด), (ด, ไมด), (ไมด, ด), (ไมด, ไมด)Joint Probability = 0.4x0.7, 0.4x0.3, 0.6x0.7, 0.6x0.3

= 0.28, 0.12, 0.42, 0.18 ของแตละกรณตามล าดบ

กรณน าขอมลทง 2 ปมาวเคราะหรวมกน (Joint Events) จะท าใหเกดเปน 4 กรณ

ความหมายของ Joint Probability อธบายตามแตละกรณ เชนความนาจะเปนของการตอบสนองปท1 และ 2 ดทงค = 0.28 หรอ 28%

หาผลรวมของ Joint Probability = 0.28 + 0.12 + 0.42 + 0.18 = 1.0ความหมายความ การวเคราะห 4 กรณดงกลาว ครอบคลมทกกรณแลว

การจดล าดบและการจดหม

• กฎการนบกบกฎการคณ (Multiplication Rule)หลกคดเชนเดยวกบกฎการคณเรองความนาจะเปน

• กฎการนบ (Fundamental Principle of Counting)กฎการนบเปนพนฐานของความหมายของการคณ เชน4 + 4 + 4 = 4 x 3 = 12 หมายถง 4 รวมกน 3 ครงหรอ นบ 4 จ านวน 3 ครงจะไดเทากบ 12

• กฎการนบกบกฎการบวก (Addition Rule)หลกคดเชนเดยวกบกฎการคณเรองความนาจะเปน

แฟคทอเรยล (Factorial)

สตรทวไปn! = n(n-1)(n-2)…….3x2x1

แฟคทอเรยล (Factorial) หรอ ! (เครองหมายตกใจ) เปนสญลกษณทางคณตศาสตรตามความหมายดงตวอยางตอไปน

5! คอ 5x4x3x2x1 = 12010! คอ 10x9x8x7x6x5x4x3x2x1 = 3,628,800

• ขอควรทราบ 1! = 1 และ 0! = 1• Factorial มกจะใชในสตรเรอง การจดล าดบและการจดหม

(Permutation & Combination) สถตบางเรอง คว (Queuing)และเรองอนๆทเกยวของ

0 แฟคทอเรยล (0!)

จากสตรทวไปn! = n(n-1)(n-2)…….3x2x1

= n(n-1)!

มคนชอบสงสยวาท าไม 0! = 1สามารถจะอธบายงายๆ ดงน

• n! เสมอนเปนจ านวนวธทน าของ n สงมาเรยงล าดบกนโดยทของ n สงนนไมเปนของทซ าหรอเหมอนกน

• 0! = 1 คอ 1 วธ ทไมเลอกสงของมาเรยงเลย

ถาให n = 1 1! = 1(1-1)! = 1x0! = 1ดงนน 0! = 1

ความหมายการจดล าดบ (Permutation)

สตรทวไปn P r = n! / (n-r)!

การจดล าดบ (Permutation)• เปนการนบจ านวนวธการจดเรยง ไมใชการนบจ านวนวธเลอกของ• หากสลบต าแหนงสงของทจดเรยงแลว เกดความแตกตางไปจากเดม

ตวอยาง ภาคเรยนท 1 มวชา บญช การตลาด การจดการองคกร มวธจดใหเรยนในวนละวชา คอ วนจนทร วนพธ และวนพฤหสบด จะมวธจดกวธ

จ านวนของมใหเลอก 3 สง เลอกทงหมด 3 สง: n = 3 และ r = 3 แทนคาสตร 3P3 = 3! / (3-3)! = 3! / 0! = 3! = 3x2x1 = 6 วธ

การจดล าดบของ n สง

จากสตรทวไป n P r = n! / (n-r)!ให r = n คอการเลอกของทงหมดมาเรยงล าดบ

ถาเรามสงของ n สงทไมเหมอนกน น ามาจด/เรยงล าดบแบบเสนตรงหากน ามาค านวณตามสตร Permutation จะไดดงน

ดงนน n P n = n! / (n-n)! = n! / 0! = n!

สรปไดวา ถาน าของ n สง (ทไมซ ากน) มาเรยงล าดบ (แบบเสนตรง)

จะมวธการเรยงของทงหมด คอ n! วธ

ตวอยาง คดตวแทน Ex-29 จ านวน 3 คน จาก 30 คน เพอไปรวมประชมกบสมาคม EX-MBA KU จะมวธการคดไดกวธ

แทนคาสตร nCr = n! / r! (n-r)! = 30! / 3!x(30-3)!= 30x29x28x27! / 3!x27!= 4,060 วธ

สตรท วไปnCr = n! / r! (n-r)!

ความหมายการจดหม (Combination)

การจดหม (Combination)• เปนการนบจ านวนวธการเลอกของเทานนไมใชการนบจ านวนวธการจดเรยงล าดบสงของ• ความส าคญการจดหม คอ ในกลมทเลอกมอะไรอยบาง

1 2 3 4 5 6 29 30

42 คน เลอกมา 3 คน(1-2-3), (1-2-4), (1-2-5), …, (1-2-30)(1-3-4), (1-3-5), (1-3-6), …, (1-3-30)(1-4-5), (1-4-6), (1-4-7), …, (1-4-30)

(2-3-4), (2-3-5), (2-3-6), …, (2-3-30)(2-4-5), (2-4-6), (2-4-7), …, (2-4-30)(2-5-6), (2-5-7), (2-5-8), …, (2-5-30)

(3-4-5), (3-4-6), (3-4-7), …, (3-4-30)(3-5-6), (3-5-7), (3-5-8), …, (3-5-30)

(28-29-30)

รวม 4,060 วธ

หรอ อาจคดแบบน าของทแตกตางกน 30 ชน เลอกมาเรยงกน 3 ชนจะมวธ = 30x29x28 = 24,360 วธ

แตของทง 3 ชนทเลอกมา ไมสนใจเรองต าแหนง เชน(1-2-3), (1-3-2), (2-1-3), (2-3-1), (3-1-2), (3-2-1)ทงหมดถอเปนวธ 1 วธ (จดหม)

ดงนน วธเลอกมา 3 ชน = 24,360 / 3! = 24,360/6= 4,060 วธ

เหมอนกบใชสตร C(30,3)

ตวอยาง จากในรน Ex-29 จ านวน 30 คน คดตวแทนในรน 3 คน เพอรบต าแหนง ฝายวชาการ ฝายประสานงาน ฝายประชาสมพนธ ของสมาคม EX-MBA KU จะมการคดไดทงหมดกวธ

แทนคาสตร nPr = n! / (n-r)! = 30! / (30-3)!= 30x29x28x27! / 27! = 24,360 วธ

ความสมพนธของ Permutation และ Combination

สตรความสมพนธ

nPr = nCr x r!

Permutation คอ Combination (การเลอกของ) ทน ามาเรยงแถว ( r! )

1 2 3 4 5 6 29 30

42 คน เลอกมา 3 คน เรยงต าแหนงกน(1-2-3), (1-3-2), (2-1-3), (2-3-1), (3-1-2), (3-2-1)

(1-2-4), (1-4-2), (2-1-4), (2-4-1), (4-1-2), (4-2-1)

(28-29-30), (28-30-29), (29-28-30),(29-30-28), (30-28-29), (30-29-28)

รวม 24,360 วธ

หรอ อาจคดแบบน าของทแตกตางกน 30 ชน เลอกมาเรยงกน 3 ชนจะมวธ = 30x29x28 = 24,360 วธ

การเรยงต าแหนง/จดล าดบ จะท าให สลบต าแหนงกนเปนวธตางกน เชน(1-2-3), (1-3-2), (2-1-3), (2-3-1), (3-1-2), (3-2-1)ทงหมดเปน 6 วธ (จดล าดบ)

ดงนน วธเลอกมา 3 ชนเรยงต าแหนง จงมวธเพมขน= 3! เทาของการจดหมเหมอนกบใชสตร P(30,3)