Probabilit冀s - Introduction ࡨ la notion de...
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DefinitionProprietes
Cas particulier d’un espace fondamental denombrableCas d’un espace fondamental non denombrable
Probabilites
Introduction a la notion de probabilite
Julian Tugaut
Telecom Saint-Etienne
Julian Tugaut Probabilites
Sommaire
1 Definition
2 Proprietes
3 Cas particulier d’un espace fondamental denombrable
4 Cas d’un espace fondamental non denombrable
Plan
1 Definition
2 Proprietes
3 Cas particulier d’un espace fondamental denombrable
4 Cas d’un espace fondamental non denombrable
DefinitionProprietes
Cas particulier d’un espace fondamental denombrableCas d’un espace fondamental non denombrable
Approche par les frequences
On commence d’abord par donner une vision intuitive de la notionde probabilites. Si l’on realise une suite de jets d’un de bienequilibre, on peut constater que la frequence d’obtention de chaqueface s’approche de 1
6. Il s’agit d’une definition objective basee sur
l’experience.
On peut aussi opter pour un point de vue plus subjectif : en raisonde la symetrie du de, on a une chance sur six d’obtenir chaqueface. Ainsi, on a une probabilite de 1
6d’obtenir chaque face.
Julian Tugaut Probabilites
DefinitionProprietes
Cas particulier d’un espace fondamental denombrableCas d’un espace fondamental non denombrable
Observations
Julian Tugaut Probabilites
DefinitionProprietes
Cas particulier d’un espace fondamental denombrableCas d’un espace fondamental non denombrable
Observations
La frequence de realisation est un nombre compris entre 0 et1.
Julian Tugaut Probabilites
DefinitionProprietes
Cas particulier d’un espace fondamental denombrableCas d’un espace fondamental non denombrable
Observations
La frequence de realisation est un nombre compris entre 0 et1.
La frequence de realisation de l’evenement certain est egal a 1.
Julian Tugaut Probabilites
DefinitionProprietes
Cas particulier d’un espace fondamental denombrableCas d’un espace fondamental non denombrable
Observations
La frequence de realisation est un nombre compris entre 0 et1.
La frequence de realisation de l’evenement certain est egal a 1.
La frequence de realisation de A ∪ B est la somme desfrequences de realisation de A et de B lorsque A et B sontincompatibles. Cette propriete peut etre etendue au cas d’unesuite finie ou infinie d’evenements deux a deux incompatibles.
Julian Tugaut Probabilites
Axiomatisation
Definition
Une probabilite est une application P qui, a tout evenement A, faitcorrespondre un nombre note P(A) (“probabilite de A”) et quiverifie :
Axiomatisation
Definition
Une probabilite est une application P qui, a tout evenement A, faitcorrespondre un nombre note P(A) (“probabilite de A”) et quiverifie :
(P1) 0 ≤ P(A) ≤ 1.
Axiomatisation
Definition
Une probabilite est une application P qui, a tout evenement A, faitcorrespondre un nombre note P(A) (“probabilite de A”) et quiverifie :
(P1) 0 ≤ P(A) ≤ 1.
(P2) P(Ω) = 1.
Axiomatisation
Definition
Une probabilite est une application P qui, a tout evenement A, faitcorrespondre un nombre note P(A) (“probabilite de A”) et quiverifie :
(P1) 0 ≤ P(A) ≤ 1.
(P2) P(Ω) = 1.
(P3) Pour toute suite (Ak)k≥1 d’evenements deux a deuxincompatibles, on a
P
(
∞⋃
k=1
Ak
)
=∞∑
k=1
P (Ak) .
Axiomatisation
Definition
Une probabilite est une application P qui, a tout evenement A, faitcorrespondre un nombre note P(A) (“probabilite de A”) et quiverifie :
(P1) 0 ≤ P(A) ≤ 1.
(P2) P(Ω) = 1.
(P3) Pour toute suite (Ak)k≥1 d’evenements deux a deuxincompatibles, on a
P
(
∞⋃
k=1
Ak
)
=∞∑
k=1
P (Ak) .
Remarque
La troisieme hypothese porte aussi le nom d’axiome desprobabilites totales.
Plan
1 Definition
2 Proprietes
3 Cas particulier d’un espace fondamental denombrable
4 Cas d’un espace fondamental non denombrable
DefinitionProprietes
Cas particulier d’un espace fondamental denombrableCas d’un espace fondamental non denombrable
Probabilite de l’evenement contraire - 1
Soit un evenement A de probabilite P(A). Par definition ducomplementaire, A et Ac sont incompatibles. Or, d’apres l’axiome(P2), on a
Julian Tugaut Probabilites
DefinitionProprietes
Cas particulier d’un espace fondamental denombrableCas d’un espace fondamental non denombrable
Probabilite de l’evenement contraire - 1
Soit un evenement A de probabilite P(A). Par definition ducomplementaire, A et Ac sont incompatibles. Or, d’apres l’axiome(P2), on a
1 = P(Ω) .
Julian Tugaut Probabilites
DefinitionProprietes
Cas particulier d’un espace fondamental denombrableCas d’un espace fondamental non denombrable
Probabilite de l’evenement contraire - 1
Soit un evenement A de probabilite P(A). Par definition ducomplementaire, A et Ac sont incompatibles. Or, d’apres l’axiome(P2), on a
1 = P(Ω) .
On a aussi Ω = A ∪ Ac . Ainsi, il vient
P(Ω) = P (A ∪ Ac) = P(A) + P(Ac) ,
d’apres l’axiome des probabilites totales, vu que A et Ac sontincompatibles.
Julian Tugaut Probabilites
DefinitionProprietes
Cas particulier d’un espace fondamental denombrableCas d’un espace fondamental non denombrable
Probabilite de l’evenement contraire - 1
Soit un evenement A de probabilite P(A). Par definition ducomplementaire, A et Ac sont incompatibles. Or, d’apres l’axiome(P2), on a
1 = P(Ω) .
On a aussi Ω = A ∪ Ac . Ainsi, il vient
P(Ω) = P (A ∪ Ac) = P(A) + P(Ac) ,
d’apres l’axiome des probabilites totales, vu que A et Ac sontincompatibles. Consequemment, on a le resultat suivant
Theoreme
Soit un evenement A. Alors, P(Ac) = 1 − P(A).
Julian Tugaut Probabilites
DefinitionProprietes
Cas particulier d’un espace fondamental denombrableCas d’un espace fondamental non denombrable
Probabilite de l’evenement contraire - 2
Remarque
Comme Ωc = ∅, on en deduit P(∅) = 1 − P(Ω) = 1 − 1 = 0. Laprobabilite de l’evenement impossible est nulle.
Julian Tugaut Probabilites
DefinitionProprietes
Cas particulier d’un espace fondamental denombrableCas d’un espace fondamental non denombrable
Probabilite de l’evenement contraire - 2
Remarque
Comme Ωc = ∅, on en deduit P(∅) = 1 − P(Ω) = 1 − 1 = 0. Laprobabilite de l’evenement impossible est nulle.
Il convient de souligner qu’un evenement de probabilite nulle n’estpas necessairement impossible. De meme, un evenement deprobabilite egale a 1 n’est pas necessairement l’evenement certain.On dit d’ailleurs qu’il est presque sur.
Julian Tugaut Probabilites
DefinitionProprietes
Cas particulier d’un espace fondamental denombrableCas d’un espace fondamental non denombrable
Probabilite de l’evenement contraire - 2
Remarque
Comme Ωc = ∅, on en deduit P(∅) = 1 − P(Ω) = 1 − 1 = 0. Laprobabilite de l’evenement impossible est nulle.
Il convient de souligner qu’un evenement de probabilite nulle n’estpas necessairement impossible. De meme, un evenement deprobabilite egale a 1 n’est pas necessairement l’evenement certain.On dit d’ailleurs qu’il est presque sur.
On peut generaliser le resultat du Theoreme a un systeme completd’evenements. Si (A1, · · · ,An) est un systeme completd’evenements, alors
P(A1) + · · · + P(An) = 1 .
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DefinitionProprietes
Cas particulier d’un espace fondamental denombrableCas d’un espace fondamental non denombrable
Decomposition de tout evenement B
Soit une experience aleatoire e. On note Ω l’espace fondamentalassocie. Soit un systeme complet d’evenements, (A1, · · · ,An). Soitmaintenant B un evenement. On a alors le resultat suivant :
Julian Tugaut Probabilites
DefinitionProprietes
Cas particulier d’un espace fondamental denombrableCas d’un espace fondamental non denombrable
Decomposition de tout evenement B
Soit une experience aleatoire e. On note Ω l’espace fondamentalassocie. Soit un systeme complet d’evenements, (A1, · · · ,An). Soitmaintenant B un evenement. On a alors le resultat suivant :
Theoreme
P(B) = P (B ∩ A1) + · · · + P (B ∩ An) .
Julian Tugaut Probabilites
Exemple de decomposition d’un evenement
On tire une carte au hasard dans un jeu de 32 cartes. On pose :
A1 :=“on obtient un cœur”.
A2 :=“on obtient un carreau”.
A3 :=“on obtient un pique”.
A4 :=“on obtient un trefle”.
Exemple de decomposition d’un evenement
On tire une carte au hasard dans un jeu de 32 cartes. On pose :
A1 :=“on obtient un cœur”.
A2 :=“on obtient un carreau”.
A3 :=“on obtient un pique”.
A4 :=“on obtient un trefle”.
Alors (A1,A2,A3,A4) est un systeme complet.
Exemple de decomposition d’un evenement
On tire une carte au hasard dans un jeu de 32 cartes. On pose :
A1 :=“on obtient un cœur”.
A2 :=“on obtient un carreau”.
A3 :=“on obtient un pique”.
A4 :=“on obtient un trefle”.
Alors (A1,A2,A3,A4) est un systeme complet. Soit B l’evenement“on obtient un as”. On a alors
P(B) =P(B ∩ A1) + P(B ∩ A2) + P(B ∩ A3) + P(B ∩ A4)
=P (as de cœur) + P (as de carreau)
+ P (as de pique) + P (as de trefle) .
Exemple de decomposition d’un evenement
On tire une carte au hasard dans un jeu de 32 cartes. On pose :
A1 :=“on obtient un cœur”.
A2 :=“on obtient un carreau”.
A3 :=“on obtient un pique”.
A4 :=“on obtient un trefle”.
Alors (A1,A2,A3,A4) est un systeme complet. Soit B l’evenement“on obtient un as”. On a alors
P(B) =P(B ∩ A1) + P(B ∩ A2) + P(B ∩ A3) + P(B ∩ A4)
=P (as de cœur) + P (as de carreau)
+ P (as de pique) + P (as de trefle) .
Chacun des quatre evenements est de probabilite 132
d’ou l’on a
P(B) =4
32=
1
8.
DefinitionProprietes
Cas particulier d’un espace fondamental denombrableCas d’un espace fondamental non denombrable
Decomposition particuliere de B
A nouveau, on peut s’interesser au cas particulier du systemecomplet (A,Ac). Alors, pour tout evenement B, on a
Julian Tugaut Probabilites
DefinitionProprietes
Cas particulier d’un espace fondamental denombrableCas d’un espace fondamental non denombrable
Decomposition particuliere de B
A nouveau, on peut s’interesser au cas particulier du systemecomplet (A,Ac). Alors, pour tout evenement B, on a
P(B) = P(B ∩ A) + P(B ∩ Ac) .
Julian Tugaut Probabilites
DefinitionProprietes
Cas particulier d’un espace fondamental denombrableCas d’un espace fondamental non denombrable
Croissance de la probabilite
Soit une experience aleatoire e. Soit Ω l’espace fondamental. Onconsidere deux evenements A et B lies a cette experience aleatoire.On a le resultat suivant de croissance de la probabilite
Julian Tugaut Probabilites
DefinitionProprietes
Cas particulier d’un espace fondamental denombrableCas d’un espace fondamental non denombrable
Croissance de la probabilite
Soit une experience aleatoire e. Soit Ω l’espace fondamental. Onconsidere deux evenements A et B lies a cette experience aleatoire.On a le resultat suivant de croissance de la probabilite
Theoreme
Si A implique B alors P(A) ≤ P(B).
Julian Tugaut Probabilites
DefinitionProprietes
Cas particulier d’un espace fondamental denombrableCas d’un espace fondamental non denombrable
Theoreme des probabilites totales
Theoreme
Soit une experience aleatoire e. Soient deux evenements A et B.Alors, on a
P (A ∪ B) = P(A) + P(B) − P (A ∩ B) .
Julian Tugaut Probabilites
DefinitionProprietes
Cas particulier d’un espace fondamental denombrableCas d’un espace fondamental non denombrable
Theoreme des probabilites totales
Theoreme
Soit une experience aleatoire e. Soient deux evenements A et B.Alors, on a
P (A ∪ B) = P(A) + P(B) − P (A ∩ B) .
Remarque
Cette formule ressemble a la formule de Grassmann en algebrelineaire.
Julian Tugaut Probabilites
DefinitionProprietes
Cas particulier d’un espace fondamental denombrableCas d’un espace fondamental non denombrable
Theoreme des probabilites totales
Theoreme
Soit une experience aleatoire e. Soient deux evenements A et B.Alors, on a
P (A ∪ B) = P(A) + P(B) − P (A ∩ B) .
Remarque
Cette formule ressemble a la formule de Grassmann en algebrelineaire.
Exercice
Soient trois evenements A, B et C . Calculer P (A ∪ B ∪ C ).
Julian Tugaut Probabilites
Plan
1 Definition
2 Proprietes
3 Cas particulier d’un espace fondamental denombrable
4 Cas d’un espace fondamental non denombrable
DefinitionProprietes
Cas particulier d’un espace fondamental denombrableCas d’un espace fondamental non denombrable
Caracterisation de la probabilite
Dans cette section, Ω := ω1, · · · , ωi , · · · = ωi , i ∈ I ou I estun ensemble denombrable d’indices. On se donne une probabilite P
sur l’univers Ω.
Julian Tugaut Probabilites
DefinitionProprietes
Cas particulier d’un espace fondamental denombrableCas d’un espace fondamental non denombrable
Caracterisation de la probabilite
Dans cette section, Ω := ω1, · · · , ωi , · · · = ωi , i ∈ I ou I estun ensemble denombrable d’indices. On se donne une probabilite P
sur l’univers Ω.
Theoreme
La probabilite P sur l’espace fondamental denombrable Ω estentierement determinee par la donnee des probabilites desevenements elementaires P (ωk) = P(ωk).
Julian Tugaut Probabilites
DefinitionProprietes
Cas particulier d’un espace fondamental denombrableCas d’un espace fondamental non denombrable
Cas particulier de l’equiprobabilite - 1
Soit un espace fondamental Ω fini : Ω = ω1, · · · , ωN avecN < ∞. On a donc N = #Ω.
Julian Tugaut Probabilites
DefinitionProprietes
Cas particulier d’un espace fondamental denombrableCas d’un espace fondamental non denombrable
Cas particulier de l’equiprobabilite - 1
Soit un espace fondamental Ω fini : Ω = ω1, · · · , ωN avecN < ∞. On a donc N = #Ω.
Definition
Dans le cas particulier ou P(ω1) = · · · = P(ωN), on dit quel’espace fondamental fini Ω est muni de l’equiprobabilite.
Julian Tugaut Probabilites
DefinitionProprietes
Cas particulier d’un espace fondamental denombrableCas d’un espace fondamental non denombrable
Cas particulier de l’equiprobabilite - 1
Soit un espace fondamental Ω fini : Ω = ω1, · · · , ωN avecN < ∞. On a donc N = #Ω.
Definition
Dans le cas particulier ou P(ω1) = · · · = P(ωN), on dit quel’espace fondamental fini Ω est muni de l’equiprobabilite.
Theoreme
Si P est l’equiprobabilite sur Ω = ω1, · · · , ωN, on aP(ωk) =
1N= 1
#Ωpour tout 1 ≤ k ≤ N.
Julian Tugaut Probabilites
DefinitionProprietes
Cas particulier d’un espace fondamental denombrableCas d’un espace fondamental non denombrable
Cas particulier de l’equiprobabilite - 2
Theoreme
Si P est l’equiprobabilite sur Ω = ω1, · · · , ωN, on a
P(A) =# cas favorables
# cas possibles=
#A
#Ω.
pour tout evenement A.
Julian Tugaut Probabilites
DefinitionProprietes
Cas particulier d’un espace fondamental denombrableCas d’un espace fondamental non denombrable
Utilisation de l’equiprobabilite - 1
Exemple
On jette un de non pipe. Les six resultats possibles ω1, ω2, ω3, ω4,ω5 et ω6 sont equiprobables. Ainsi, l’universΩ = ω1, ω2, ω3, ω4, ω5, ω6 est muni de l’equiprobabilite :
P(ωk) =1
6,
pour tout 1 ≤ k ≤ 6. Soit l’evenement A :=“on obtient une facepaire”. Alors, A = ω2, ω4, ω6 puis
P(A) =#A
#Ω=
3
6=
1
2.
Julian Tugaut Probabilites
DefinitionProprietes
Cas particulier d’un espace fondamental denombrableCas d’un espace fondamental non denombrable
Utilisation de l’equiprobabilite - 2
Exemple
On prend huit cartes dans un jeu de trente-deux cartes. On aexactement C 8
32 =32!8!24!
= 10 518 300 facons de le faire. L’espacefondamental Ω est muni de l’equiprobabilite. On considerel’evenement A :=“on ne prend aucun as”. Il vient alors
P(A) =#A
#Ω=
C828
C 832
≈ 0.295 .
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Plan
1 Definition
2 Proprietes
3 Cas particulier d’un espace fondamental denombrable
4 Cas d’un espace fondamental non denombrable
DefinitionProprietes
Cas particulier d’un espace fondamental denombrableCas d’un espace fondamental non denombrable
Cas d’un espace fondamental non denombrable
On peut se poser la question de la caracterisation d’une probabilitesi l’espace fondamental n’est pas denombrable.
Julian Tugaut Probabilites
DefinitionProprietes
Cas particulier d’un espace fondamental denombrableCas d’un espace fondamental non denombrable
Cas d’un espace fondamental non denombrable
On peut se poser la question de la caracterisation d’une probabilitesi l’espace fondamental n’est pas denombrable.
Theoreme
Soit un univers Ω non denombrable et muni d’une probabilite P.On note P ⊂ Ω le sous-ensemble qui contient des elements ω deprobabilite strictement positive. Alors P est denombrable.
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