ProbabilitesEXOSCORRIGES Vocabulaire

Cours et exercices de mathmatiques M. CUAZ, http://mathscyr.free.fr

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PROBABILITES EXERCICES CORRIGES

Vocabulaire des probabilits Exercice n1. Dans chacune de situations dcrites ci-dessous, noncer lvnement contraire de lvnement donn. 1) Dans une classe, on choisit deux lves au hasard. A : Les deux lves sont des filles . 2) Dans un groupe de suisses et de belges, on discute avec une personne. B : La personne est un homme belge . 3) Au restaurant, Luc prend un plat et un dessert. C : Luc prend une viande et une glace . 4) A une loterie, Elise achte 3 billets. D : Lun des billets au moins est gagnant , E : Deux billets au maximum sont gagnants.

Exercice n2. Une urne contient des boules blanches, noires et rouges. On tire une boule de lurne. On note : A : Tirer une boule blanche . B : Tirer une boule ni blanche ni rouge . C : Tirer une boule noire ou une boule rouge . 1) A et B sont-ils incompatibles ? 2) B et C sont-ils incompatibles ? 3) Traduire par une phrase ne comportant pas de ngation A et B .

Exercice n3. Lors dun jet de deux ds cubiques, on sintresse aux vnements suivants : A : La somme obtenue est au moins gale 5 . B : La somme obtenue est au plus gale 5 . C : La somme obtenue est strictement infrieure 3 . 1) A et B sont-ils contraires ? 2) B et C sont-ils incompatibles ? 3) Traduire par une phrase C . 4) A et C sont-ils incompatibles ?

Dnombrements simples et probabilits - quiprobabilit Exercice n4. On choisit une carte au hasard dans un jeu de 32 cartes. On note : A l'vnement : "La carte choisie est un pique". B l'vnement : "La carte choisie est rouge (cur ou carreau)". C l'vnement : "La carte choisie est une figure (valet, dame, roi)". 1) Prsenter un modle mathmatique dcrivant lexprience alatoire. 2) Dterminer les probabilits des vnements A,B,C,AB,BC,AB,AC. 3) Dterminer la probabilit de l'vnement D "La carte choisie n'est ni un pique ni une figure".

Exercice n5. On jette une pice de monnaie 3 fois de suite. 1) Donner la liste de tous les rsultats possibles en notant P pour Pile et F pour Face (exemple : PPF). 2) Donner la probabilit des vnements suivants : A le tirage ne comporte que des Piles . B le tirage comporte au moins une fois Face .

Exercice n6. Dans une assemble de 250 personnes, on ne remarque que les hommes portant la cravate ou ayant les yeux bleus. Il y a 120 hommes qui portent la cravate, 85 hommes qui ont les yeux bleus, dont 50 portent la cravate. On discute avec une personne choisie au hasard dans cette assemble. 1) Quelle est la probabilit que ce soit un homme portant la cravate. 2) Quelle est la probabilit que ce soit un homme aux yeux bleus et portant la cravate. 3) Quelle est la probabilit que ce soit un homme aux yeux bleus ou portant la cravate. 4) Quelle est la probabilit de discuter avec une personne qui nest ni un homme aux yeux bleus, ni un homme portant la

cravate ?


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Exercice n7. Lors dun rfrendum, deux questions taient poses. 65 % des personnes ont rpondu oui la premire question, 51 % ont rpondu oui la seconde question, et 46 % ont rpondu oui aux deux questions. 1) Quelle est la probabilit quune personne ait rpondu oui lune ou lautre des questions ? 2) Quelle est la probabilit quune personne ait rpondu non aux deux questions ?

Autres situations Exercice n8. On lance un d 6 faces. On note ip la probabilit de sortie de la face marque i . Ce d est truqu de telle sorte que les probabilits de sortie des faces sont : 1 0,1p = ; 2 0,2p = ; 3 0,3p = ; 4 0,1p = ; 5 0,15p = . Quelle est la probabilit de sortie de la face marque 6 ? Quelle est la probabilit dobtenir un nombre pair ?

Exercice n9. On lance un d 6 faces. On suppose que la probabilit dapparition de chaque face est proportionnelle au numro inscrit sur elle. Calculer la probabilit dapparition de chaque face. Calculer la probabilit dobtenir un nombre pair.

Arbre pondr Exercice n10. Dans un lyce, quel que soit le niveau, un lve peut tre externe ou demi-pensionnaire. Larbre ci-contre indique la rpartition selon le niveau et la qualit de llve (E: externe ; DP: demi-pensionnaire)

1) Recopier et complter cet arbre.

2) a) Dterminer le pourcentage dlves externes dans ce lyce. b) Dterminer la part des Terminales parmi les externes.

Probabilit conditionnelles. Exercice n11. Dans un magasin dlectromnager, on sintresse au comportement dun acheteur potentiel dun tlviseur et dun magntoscope. La probabilit pour quil achte un tlviseur est de 0,6. La probabilit pour quil achte un magntoscope quand il a achet un tlviseur est de 0,4. La probabilit pour quil achte un magntoscope quand il na pas achet de tlviseur est de 0,2. 1) Quelle est la probabilit pour quil achte un tlviseur et un magntoscope ? 2) Quelle est la probabilit pour quil achte un magntoscope ? 3) Le client achte un magntoscope. Quelle est la probabilit quil achte un tlviseur ? 4) Complter larbre de probabilit suivant :

Exercice n12. On dispose de deux urnes 1u et 2u . Lurne 1u contient trois boules blanches et une boule noire . Lurne 2u contient une boule blanche et deux boules noires. On lance un d non truqu. Si le d donne un numro d infrieur ou gal 2, on tire une boule dans lurne 1u . Sinon on tire une boule dans lurne 2u . (On suppose que les boules sont indiscernables au toucher) 1) Calculer la probabilit de tirer une boule blanche. 2) On a tir une boule blanche. Calculer le probabilit quelle provienne de lurne 1u .


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Exercice n13. Le quart dune population a t vaccin contre une maladie contagieuse. Au cours dune pidmie, on constate quil y a parmi les malades un vaccin pour quatre non vaccins. On sait de plus quau cours de cette pidmie, il y avait un malade sur douze parmi les vaccins.

a) Dmontrer que la probabilit de tomber malade est gale 548

b) Quelle tait la probabilit de tomber malade pour un individu non-vaccin ? c) Le vaccin est-il efficace ?

Variable alatoire Exercice n14. Une urne contient sept boules : une rouge, deux jaunes et quatre vertes. Un joueur tire au hasard une boule Si elle est rouge, il gagne 10 , si elle est jaune, il perd 5 , si elle est verte, il tire une deuxime boule de l'urne sans avoir replac la premire boule tire. Si cette deuxime boule est rouge, il gagne 8 , sinon il perd 4 . 1) Construire un arbre pondr reprsentant l'ensemble des ventualits de ce jeu. 2) Soit X la variable alatoire associant chaque tirage le gain algbrique du joueur (une perte est compte ngativement). a) Etablir la loi de probabilit de la variable X b) Calculer l'esprance de X 3) Les conditions de jeu restent identiques. Indiquer le montant du gain algbrique qu'il faut attribuer un joueur lorsque la boule tire au deuxime tirage est rouge, pour que l'esprance de X soit nulle.

Exercice n15. On considre un d rouge et un d vert, cubiques, quilibrs. Le d rouge comporte : deux faces numrotes 1 ; deux faces numrotes 0 ; -deux faces numrotes 1. Le d vert comporte : une face numrote 0;trois faces numrotes 1;deux faces numrotes 2. On lance simultanment les deux ds. On note X la somme des points obtenus. 1) Dterminer la loi de probabilit de X. 2) Dfinir F, fonction de rpartition de X et construire sa reprsentation graphique

Evnements indpendants Exercice n16. Le tableau suivant donne la rpartition de 150 stagiaires en fonction de la langue choisie et de lactivit sportive choisie. On choisit un lve au hasard.

1) Les vnements tudier lallemand et pratiquer le tennis sont-ils indpendants ? 2) Les vnements tudier langlais et pratiquer la voile sont-ils indpendants ?

Loi Binomiale Exercice n17. Dans une acadmie, les lves candidats au baccalaurat srie ES se rpartissent en 2003 selon les trois enseignements de spcialit : mathmatiques, sciences conomiques et sociales et langue vivante. Nous savons de plus que : 37% des candidats ont choisi lenseignement de spcialit mathmatiques. 25% des candidats ont choisi lenseignement de spcialit langue vivante. 21% des candidats ont choisi lenseignement de spcialit mathmatiques et ont obtenu le baccalaurat. 32,5% des candidats ont choisi lenseignement de spcialit SES et ont obtenu le baccalaurat. De plus, parmi les candidats ayant choisi lenseignement de spcialit langue vivante, 72,5% ont obtenu le baccalaurat. On interroge un candidat pris au hasard. On note : M lvnement le candidat a choisi lenseignement de spcialit mathmatiques ; S lvnement le candidat a choisi lenseignement de spcialit sciences conomiques et sociales ; L lvnement le candidat a choisi lenseignement de spcialit langue vivante ; R lvnement le candidat a obtenu le baccalaurat . On pourra faire un arbre pour faciliter la rponse aux questions. Les rsultats seront arrondis au millime. 1) Traduire en termes de probabilits les informations numriques donnes ci-dessus. 2) a) Dterminer la probabilit pour que ce candidat ait choisi lenseignement de SES. b) Dterminer la probabilit pour que ce candidat ait choisi lenseignement de spcialit langue vivante et ait russi aux preuves du baccalaurat.

Tennis Equitation Voile Anglais 45 18 27 Allemand 33 9 18


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3) Quelle est la probabilit pour que ce candidat ait choisi lenseignement de spcialit langue vivante et ait chou au baccalaurat ? 4) Ce candidat a choisi lenseignement de spcialit mathmatiques. Quelle est la probabilit quil nait pas obtenu le baccalaurat ? 5) Montrer que le pourcentage de russite au baccalaurat pour les candidats de ES dans cette acadmie est 71,6%. 6) On interroge successivement au hasard et de faon indpendante trois candidats. a) Quelle est la probabilit quau moins lun dentre eux soit reu ? b) Quelle est la probabilit que deux candidats sur trois exactement soient reus ?

Exercice n18. On utilise deux pices de monnaie : lune pipe, de sorte que lorsquon la lance, la probabilit dobtenir pile soit1/ 4 ; lautre normale dont la probabilit dobtenir pile est 1/ 2 chaque lancer. 1) On prend une pice au hasard (chacune des deux pices a une probabilit 1/ 2 dtre prise)

a) Quelle est la probabilit dobtenir pile ? b) On a obtenu pile : quelle est la probabilit davoir utilis la pice pipe. c) Quelle est la probabilit dobtenir au moins une fois pile en faisant trois lancers avec la pice choisie ?

2) Trois fois on choisit lune des pices au hasard quon lance (chacune des deux pices a donc chaque fois une probabilit 1/ 2 dtre lance) : dterminer la probabilit dobtenir au moins une fois pile 3) On lance les deux pices ensembles : quelle est la probabilit dobtenir le mme rsultat pour les deux pices ?

Exercice n19. On slectionne les candidats un jeu tlvis en les faisant rpondre dix questions. Ils devront choisir, pour chacune des questions, parmi quatre affirmations, celle qui est exacte. Un candidat se prsente et rpond toutes les questions au hasard. On appelle X la variable alatoire dsignant le nombre de rponses exactes donnes par ce candidat lissue du questionnaire. 1) Quelle est la loi de probabilit de X ? 2) Calculer la probabilit pour quil fournisse au moins 8 bonnes rponses, et soit ainsi slectionn.

Exercice n20. Une urne contient 3 pices quilibres. Deux d'entre elles sont normales : elles possdent un ct Pile et un ct Face . La troisime est truque et possde deux cts Face . On prend une pice au hasard dans l'urne et on effectue de manire indpendante des lancers successifs de cette pice. On considre les vnements suivants: B : la pice prise est normale. B : la pice prise est truque. P : on obtient Pile au premier lancer. nF : on obtient Face pour les n premiers lancers. 1) a) Quelle est la probabilit de l'vnement B ? b) Quelle est la probabilit de l'vnement P sachant que B est ralis ? 2) Calculer la probabilit de l'vnement P B , puis de l'vnement P B . En dduire la probabilit de l'vnement P. 3) Calculer la probabilit de lvnement nF B puis de l'vnement nF B . En dduire la probabilit de l'vnement nF .

Exercice n21. Un sondage est effectu dans un conservatoire de musique. 60 % des lves pratiquent un instrument cordes (C) . 45 % des lves pratiquent un instrument vent (V) 10 % des lves pratiquent un instrument cordes et vent. 1) On choisit un lve au hasard dans le conservatoire. a) Quelle est la probabilit de lvnement Cet lve pratique au moins un des instruments considrs b) Quelle est la probabilit de lvnement Cet lve pratique un et un seul des instruments considrs 2) On choisit au hasard un lve pratiquant un instrument C. Quelle est la probabilit pour que cet lve pratique un

instrument V ? 3) Soit n un entier suprieur ou gal 2. On choisit au hasard n lves. On suppose que le nombre dlves du

conservatoire est suffisamment grand pour que la probabilit de rencontrer un instrumentiste du type donn soit constante au cours du sondage.

a) Quelle est la probabilit np quau moins un des lves choisis pratique un instrument C ? b) Dterminer le plus petit entier n tel que 0,999np


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Dnombrements et probabilits Exercice n22. Une urne contient 10 bulletins indiscernables au toucher, de 3 sortes : 4 sont marqus oui , 3 sont marqus non et 3 sont marqus blanc . Un joueur tire simultanment deux bulletins de lurne. Quelle est la probabilit quil obtienne un tirage de deux bulletins de sortes diffrentes.

Exercice n23. Un sac contient 5 jetons verts (numrots de 1 5) et 4 jetons rouges (numrots de 1 4). 1) On tire successivement et au hasard 3 jetons du sac, sans remettre le jeton tir. Calculer les probabilits : a) De ne tirer que 3 jetons verts ; b) De ne tirer aucun jeton vert c) De tirer au plus 2 jetons verts ; d) De tirer exactement 1 jeton vert. 2) On tire simultanment et au hasard 3 jetons du sac. Reprendre alors les questions a), b), c) et d).

Graphes probabilistes Exercice n24. Deux fabricants de parfum lancent simultanment leur nouveau produit quils nomment respectivement Aurore et Borale. Afin de promouvoir celui-ci, chacun organise une campagne de publicit. Lun deux contrle lefficacit de sa campagne par des sondages hebdomadaires. Chaque semaine, il interroge les mmes personnes qui toutes se prononcent en faveur de lun de ces deux produits. Au dbut de la campagne, 20 % des personnes interroges prfrent Aurore et les autres prfrent Borale. Les arguments publicitaires font voluer cette rpartition : 10% des personnes prfrant Aurore et 15 % des personnes prfrant Borale changent davis dune semaine sur lautre. La semaine du dbut de la campagne est note semaine 0. Pour tout entier naturel n, ltat probabiliste de la semaine n est dfini par la matrice ligne ( )Pn n na b= , o an dsigne la probabilit quune personne interroge au hasard prfre Aurore la semaine n et bn la probabilit que cette personne prfre Borale la semaine n.

1. Dterminer la matrice ligne P0 de ltat probabiliste initial. 2. Reprsenter la situation par un graphe probabiliste de sommets A et B, A pour Aurore et B pour Borale. 3. a. crire la matrice de transition M de ce graphe en respectant lordre alphabtique des sommets. b. Montrer que la matrice ligne P1 est gale (0,3 0,7). 4. a. Exprimer, pour tout entier naturel n, Pn en fonction de P0 et de n. b. En dduire la matrice ligne P3. Interprter ce rsultat. Dans la question suivante, toute trace de recherche mme incomplte ou dinitiative mme non fructueuse sera prise en compte dans lvaluation. 5. Soit P = (a b) la matrice ligne de ltat probabiliste stable. a. Dterminer a et b. b. Le parfum Aurore finira-t-il par tre prfr au parfum Borale ? Justifier.


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PROBABILITES CORRECTION

Exercice n1 1) Lvnement A est au moins un des deux lves est un garon . 2) Lvnement B est La personne est soit une femme, soit un suisse . 3) Lvnement C est Luc ne prend pas de viande ou ne prend pas de glace . 4) Lvnement D est aucun billet nest gagnant . 5) Lvnement E est les trois billets sont gagnants .

Exercice n2 1) A et B sont incompatibles car une boule ne peut tre simultanment blanche et non blanche. 2) B et C ne sont pas incompatibles car le tirage dune boule noire les ralise simultanment. 3) Lvnement A est tirer une boule noire ou rouge . 4) Lvnement B est tirer une boule blanche ou rouge .

Exercice n3 1) A et B ne sont pas contraires car une somme gale 5 les ralise simultanment. 2) B et C sont incompatibles car la somme ne peut tre simultanment strictement suprieure 5 (vnement B ) et strictement infrieure 3 (vnement C). 3) Lvnement C est La somme est suprieure ou gale 3 . 4) A et C ne sont pas incompatibles car ils sont simultanment raliss par une somme suprieure ou gale 5.

Exercice n4 1) On note lunivers des possibles, ensemble des 32 cartes du jeu. Ainsi ( ) 32Card = . Il y a quiprobabilit des tirages de cartes. Ainsi

2) ( ) ( )( )8 1

32 4Card A

p ACard

= = =

, ( ) ( )( )

16 132 2

Card Bp B

Card= = =

, ( ) ( )( )

3 4 332 8

Card Cp C

Card

= = =

,

( ) 0p A B = car une carte ne peut tre simultanment rouge et pique, ( ) ( )( )

6 332 16

Card B Cp B C

Card

= = =

.

( ) 1 1 3( ) ( ) ( ) 04 2 4

p A B p A p B p A B = + = + = .

( ) 1 3 3 17( ) ( ) ( )4 8 32 32

p A C p A p C p A C = + = + = .

3) On cherche 17 15(A C) 1 ( ) 132 32

p p A C = = = .

Remarque : on a ( ) ( )A C A Cp p = .

Exercice n5 1) A laide dun arbre comme ci-contre, On peut lister { }; ; ; ; ; ; ;PPP PPF PFP PFF FPP FPF FFP FFF = . Do ( ) 8Card = . 2) Les tirages tant quiprobables, on a ( ) ( )( )

18

Card Ap A

Card= =

(seul le tirage PPP convient).

Enfin, on remarque que B A= donc ( ) ( ) ( ) 1 7B A 1 A 1 8 8p p p= = = = .


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Exercice n6 Le tableau suivant permet de dnombrer les diffrentes catgories : Cravate

(vnement C) Pas de Cravate (vnement C )

Total

Yeux Bleus (vnement B)

50 35 85

Yeux non bleus (vnement B )

70 95 165

Total 120 130 250 On note lunivers des possibles, ensemble des 250 personnes. Ainsi ( ) 250Card = . Il y a quiprobabilit des choix de personnes. Ainsi

1) ( ) ( )( )120 12250 25

Card Cp C

Card= = =

, 2) ( ) ( )( )

50 1250 5

Card B Cp B C

Card

= = =

,

3) ( ) ( ) ( ) ( ) 85 120 50 155 31250 250 250 250 50

p B C p B p C p B C = + = + = = (on pouvait aussi directement crire

( ) ( )( )50 70 35 155 31

250 250 50Card B C

p B CCard

+ + = = = =

).

3) ( ) ( ) ( ) 31 191 1 50 50p B C p B C p B C = = = = .

Exercice n7 Si on note A lvnement la personne a rpondu oui la premire question et B lvnement la personne a rpondu oui la deuxime question , lnonc nous fournit ( ) 0,65p A = , ( ) 0,51p B = et ( ) 0,46p A B = . 1) On calcule ( ) ( ) ( ) ( ) 0,65 0,51 0,46 0,7p A B p A p B p A B = + = + = . 2) On calcule ( ) ( ) ( )1 1 0,7 0,3p A B p A B p A B = = = = .

Exercice n8 Si on note 6p la probabilit dapparition du chiffre 6, la somme des probabilits des vnements lmentaires valant 1, on a ( )6 1 2 3 4 51 1 0,85 0,15p p p p p p= + + + + = = . Lvnement A obtenir un nombre pair tant { }2;4;6A = , on a ( ) 2 4 6 0,2 0,1 0,15 0,45p A p p p= + + = + + = .

Il ne fallait surtout pas crire ( ) ( )( )3 16 2

Card Ap A

Card= = =

car il ny a pas quiprobabilit des faces de ds.

Exercice n9 Si on note p la probabilit dapparition du chiffre 1, les probabilits dapparition des autres faces sont respectivement gales 2 ,3 ,4 ,5 ,6p p p p p , puisque proportionnelles au numro de chaque face. Puisque la somme des probabilits des vnements lmentaires vaut 1, on a 2 3 4 5 6 1p p p p p p+ + + + + = , donc

121 121

p p= = . On en dduit donc :

Face 1 2 3 4 5 6 Probabilit 1

21

221

321

421

521

621

Et ainsi , lvnement A obtenir un nombre pair tant { }2;4;6A = , on a ( ) 2 4 6 1221 21 21 21

p A = + + = .

Il ne fallait surtout pas crire ( ) ( )( )3 16 2

Card Ap A

Card= = =

car il ny a pas quiprobabilit des faces de ds.


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Exercice n10 Larbre nous renseigne sur le fait que 35 % des lves du lyce sont en seconde, et parmi ces lves de seconde, 80 % sont demi-pensionnaires, etc . 1) La somme des poids figurant sur les artes au dpart de chaque nud doit tre gale 1 (coefficients multiplicateurs traduisant des pourcentages). On obtient ainsi larbre :

2) Les lves de seconde externes reprsentent une fraction de leffectif total gale 0,35 0,2 0,07 = , soit 7 %. Les externes reprsentent donc une fraction gale 0,35 0,2 0,25 0,4 0,3 0,5 0,1 0,3 0,35 + + + = , soit 35 %. 3) Sur 1000 lves, 350 sont donc externes. Les lves de terminale externes reprsentent 1000 0,3 0,5 150 = lves, soit une part gale 150 100 43%

350 1% prs..

Exercice n11 On note T lvnement le client achte un tlviseur et M lvnement le client achte un magntoscope . Lnonc fournit ( ) 0,6p T = (donc ( ) 1 0,6 0,4p T = = ), ( ) 0,4Tp M = (donc ( ) 1 0,4 0,6Tp M = = ), et ( ) 0,2Tp M = (donc ( ) 1 0,2 0,8Tp M = = , ce que lon peut traduire par larbre de probabilits

1) En appliquant la formule de dfinition dune probabilit conditionnelle, dans sa version multiplicative ,

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 0,6 0,4 0,24T Tp T M

p M p T M p T p Mp T

= = = =

2) En appliquant la formule des probabilits totales, ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )0,6 0,4 0,4 0,2 0,32

T T

p M p T M p T M

p T p M p T p M

= +

= +

= + =

3) On demande ( ) ( )( )0,6 0,4 0,75

0,32Mp M T

p Tp M

= = =

4) Puisque ( ) 0,32p M = , on a ( ) 1 0,32 0,68p M = = . Puisque ( ) 0,75Mp T = , on a ( ) 1 0,75 0,25Mp T = = On calcule de la mme manire qu la question 3), ( ) ( )( )

0,6 0,6 0,36 90,68 0,68 17M

p M Tp T

p M

= = = = , donc

( ) 9 81 17 17Mp T = = . On peut donc inverser larbre de probabilit :


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Exercice n12 Notons lensemble des rsultats possibles du jet de d. On a donc ( ) 6Card = . Notons 1u lvnement Le tirage seffectue dans lurne 1u et 2u lvnement Le tirage seffectue dans lurne 2u . Notons B lvnement obtenir une boule blanche

La rpartition des boules blanches et noires donnes dans lnonc nous fournit les probabilits : ( )1

34u

p B = donc

( )1 14up B = , ainsi que ( )2 13up B = et ( )2 23up B = Enfin, puisquil y a quiprobabilit dans les rsultats du lancer de d, ( )1 2 16 3p u = = et ( )2

23

p u = .

On peut rsumer cette situation par larbre de probabilits suivant :

1) En appliquant la formule des probabilits totales, ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )1 2

1 2

1 2

1 3 2 1 1 2 173 4 3 3 4 9 36

u u

p B p u B p u B

p u p B p u p B

= +

= +

= + = + =

2) On demande ( )1Bp u . Puisque ( ) 0p B , on peut appliquer la formule de dfinition de la probabilit conditionnelle de

lvnement 1u conditionn par B : ( ) ( )( )( )

( )1 1

1

1 31 36 93 4

17 4 17 1736B

p B u p u Bp u

p B p B

= = = = =

Exercice n13 Notons V lvnement tre vaccin et M lvmenent tre malade

Lnonc fournit ( ) 14

p V = donc ( ) 1 31 4 4p V = = . De plus ( ) ( )4M Mp V p V= . Puisque ( ) ( ) 1M Mp V p V+ = , on dduit ( ) 1

5Mp V = et ( ) 45Mp V = . Enfin lnonc indique que ( ) 112Vp M = donc ( ) 1112Vp M = .

a) La formule des probabilits totales applique au systme complet dvnements { };V V , permet de calculer : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )V Vp M p V M p V M p V p M p V p M= + = +

Puisque ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )4 4 4 1653 3 5 3 154 4

M

V

p M V p M p V p Mp M p M p M

p V

= = = = = , on se retrouve avec

lquation ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 3 16 12 1 12 114 12 4 15 15 48 15 48

p M p M p M p M p M = + = =

do lon tire :

( ) 1 15 548 3 48

p M = =

b) Du coup, on calcule ( ) ( )16 16 5 115 15 48 9V

p M p M= = =

c) Daprs les calculs prcdents, en moyenne, 1 individu sur 9 non vaccins tombe malade, contre 1 individu sur 12 vaccins.


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Exercice n14 On dsigne par 1R lvnement la boule tire au 1er tirage est rouge , 2R lvnement la boule tire au 2

me tirage est

rouge , et ainsi de suite avec les autres couleurs. Par quiprobabilit , on a ( )1 17p R = , ( )127

p J = et ( )1 47p V = En cas de deuxime tirage, lurne ne contient plus que 6 boules, dont une rouge, deux jaunes et trois vertes, ce qui permet daffirmer que ( )

1 216V

p R = donc ( )1 2 1 51 6 6Vp R = = 1) Larbre de probabilits (et les gains qui sont associs au diffrents vnements) est donc

2) a) X peut prendre quatre valeurs distinctes : -5 , -4 , +8 , 10 (on note ( ) { }5; 4;8;10X = On dtermine les probabilits :

( ) ( )1 25 7p X p J= = = ( ) ( ) ( ) ( )11 2 1 2 4 5 104 7 6 21Vp X p V R p V p R= = = = = ( ) ( ) ( ) ( )

11 2 1 24 1 287 6 21V

p X p V R p V p R= + = = = = ( ) ( )1 110 7p X p R= + = = Les rsultats prsents dans un tableau sont :

b) Par dfinition, ( ) ( )41

i ii

E X x p X x=

= =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )5 5 4 4 8 8 10 102 10 2 1 24 85 4 8 107 21 21 7 21 7

p X p X p X p X= = + = + = + =

= + + = =

3) Notons a le gain correspondant lvnement 1 2V R . On a donc ( ) 2 10 2 1 2 405 4 10

7 21 21 7 21aE X a = + + =

Il suffit alors de rsoudre lquation : ( ) 0 2 40 0 20 E X a a= = =

Exercice n15 On peut consigner les rsultats dans le tableau suivant :

1) Si on note X la somme des points obtenus, on a donc ( ) { }1;0;1;2;3X = , avec ix -1 0 1 2 3

( )ip X x= 2 136 18

=

8 236 9

=

12 136 3

=

10 536 18

=

4 136 9

=

2) On dfinit ainsi la fonction de rpartition de X par :

D vert D Rouge

0 1 1 1 2 2

-1 -1 0 0 0 1 1 -1 -1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 2 2 0 0 1 1 1 2 2 1 1 2 2 2 3 3 1 1 2 2 2 3 3

ix -5 -4 8 10

( )ip X x= 27

1021

221

17

( )

0 si 11

si 1 0181 2 5

si 0 118 9 18

( ) 1 2 1 11 si 1 2

18 9 3 181 2 1 5 8

si 2 318 9 3 18 91 2 1 5 1 1 si 3

18 9 3 18 9

x

x

x

F x p X xx

x

x

<

< + =

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