Probabilità. Un percorso didattico probabilità di eventi non “elementari”
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Probabilità. Un percorso didatticoprobabilità di eventi non “elementari”legge della moltiplicazione
L. Cappello, C. Bonmassara cura di L. Cappello
5 giugno 2014
1Didattica probabilità e statistica PAS 2014
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2
Probabilità di eventi non elementari - Unione
Se alla roulette (europea) punto su un numero pari o nero,qual è la probabilità che io vinca?
Contiamo i casi favorevoli … 𝟐𝟔𝟑𝟕 la probabilità è
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spazio agli interventi degli studenti
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Probabilità di eventi non elementari - Unione
controlliamo … 2637 ≠ 𝟏𝟖𝟑𝟕+ 𝟏𝟖𝟑𝟕
Invece possiamo ricorrere all’uguaglianza seguente? E’ vera?p("pari" ∪ "nero") = p("pari")+ p("nero") (*)
effettuiamo anche prove materiali (test di ipotesi)
Per quale motivo è falsa?
Vale # (P U N ) = # P + # N - # (P ∩ N )
P N11 13 15
17 29
31 33 35
14 16 1812
30 3234 36
24 6 8 10
20 22 24 2628
Con (*) si contano due volte gli elementi di P ∩ N Didattica probabilità e statistica PAS 2014
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4
Probabilità di eventi non elementari – Unione …
Tali quesiti stimolano l’uso di più forme di rappresentazione:
- il linguaggio degli insiemisimboli e termini, operazioni
- la schematizzazione grafica mediante diagrammi di Venn
- il linguaggio logico … i connettivi “o”, “e”, “non” significato logico e uso nel linguaggio naturale
Addirittura diventano un’occasione per introdurre contenuti: G. Prodi, libro di testo “Matematica come scoperta”
E sviluppano la capacità di passare da una all’altrain particolare: “e” - intersezione, “o” - unione
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5
Probabilità di eventi non elementari – Unione …
Ma è importante scegliere oculatamente quali- formule - termini
proporre agli studenti
Proporreste l’enunciato del Teorema delle probabilità totali?
E le definizioni di eventi compatibili, incompatibili?
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6
Probabilità di eventi non elementari – Unione …
In una scuola la probabilità che uno studente, scelto a caso, sappia pattinare è del 31%. Quella che uno studente sappia arrampicare è del 24%.Tali informazioni sono sufficienti per determinare la probabilità che uno studente della scuola sappia pattinare e arrampicare?
le informazioni fornite non sono sufficienti!
Fornisci un esempio di informazione aggiuntiva, mediante la quale si possa determinare la probabilità richiesta.
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Piuttosto … una questione significativa
P A
?
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Probabilità di eventi non elementari - Complementare
Lanciamo tre dadi “onesti” che hanno le facce numerate da 1 a 6.Qual è la probabilità che il punteggio (somma dei tre numeri usciti) sia almeno “5”?
gli studenti esplorano il pb … si devono considerare molti casi
il docente suggerisce una strategia
• consideriamo l’evento complementare (contrario)
C = “il punteggio è minore di 5” ossia
C = “il punteggio è 3 oppure è 4”
• numero casi favorevoli a C: 1+3 = 4
• p(“almeno 5”) =
numero casi favorevoli ad “almeno 5”: 216 – 4 = 212
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Probabilità di eventi non elementari - Complementare
𝑝ሺ"≥ 5"ሻ= 212216 𝑝ሺ"< 5"ሻ= 4216 quindi
𝒑ሺ"≥ 5"ሻ+ 𝒑ሺ"< 5"ሻ= 212216 + 4216 = 𝟏
Osservazione
𝑝ሺ𝐸ሻ+ 𝑝(𝐸𝑐) = 1 dato che 𝑝(𝐸∪𝐸𝑐) = 1
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E
Ec
Infatti
In generale, per ogni evento E vale𝒑(𝑬) = 𝟏 − 𝒑(𝑬𝒄)
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Probabilità di eventi non elementari – Alcuni esercizi
Alcuni esempi
modellizzazione anche mediante circuiti elettrici
Esercizi dai testi in adozione
ma con attenzione
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Legge della moltiplicazione – Problemi motivanti
sviluppiamo gli strumenti matematici per affrontarli
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Il test “Elisa” relativo all’HIV ha una sensibilità del 99,9% e una specificità del 99,9%. Se la malattia ha una prevalenza dello 0,3%, qual è la probabilità che il test dia indicazioni errate su un individuo scelto a caso nella popolazione?
Test clinici
Ti trovi ad una festa a cui partecipano 23 persone. Scommetteresti che vi sono almeno due tra esse che compiono gli anni in uno stesso giorno (anche se sono nate in anni diversi)?
Compleanni
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Legge della moltiplicazione – Una giustificazione
Giochiamo a battaglia navale.Qual è la probabilità di colpire la portaerei in figura? Con un colpo.
prodotto cartesiano
𝟔𝟑𝟓 La probabilità è
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• numero casi favorevoli = 2∙3 numero casi possibili = 5∙7
• “colpire la portaerei” = A e B
Un approccio per componenti
Legge della moltiplicazione – Una giustificazione
• un colpo:1) si indica un numero2) si indica una lettera
Possiamo generalizzare il risultato?
B
A
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𝑝ሺ𝑨 𝑒 𝑩ሻ= 𝟐∙𝟑5∙7
Qual è il significato della formula?
= 𝟐5 ∙𝟑7 = 𝒑(𝑨) ∙𝒑(𝑩)
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Legge della moltiplicazione – Urna
In un’urna vi sono 5 palline, diverse solo per il colore: 3 sono rosse e 2 blu. Si estrae in modo casuale una pallina alla volta e la si reinserisce nell’urna prima dell’estrazione successiva.Qual è la probabilità che la prima estratta sia rossa e la seconda sia blu?
gli studenti esplorano il problema:effettuano prove dell’esperimento …poi magari elencano i casi possibili: R1R1, R1R2, … R1B1, …
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Legge della moltiplicazione – Urna
seconda estrazione
B2
B1
R3
R2
R1
R1 R2 R3 B1 B2
prima estrazione
Un modello: la tabella
𝟔𝟐𝟓 la probabilità dell’evento “R e B” è
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Legge della moltiplicazione – Urna
Un altro modello: il grafo ad albero
3/5
3/5 3/5
2/5
2/5 2/5
estrazione 1
estrazione 2
• la probabilità di ogni estrazione …
• il cammino “favorevole” …
𝟑𝟓∙𝟐𝟓 p(R e B) = 𝑝(𝑹) ∙𝑝(𝑩) ossia p(R e B) =
Cerchiamo relazioni tra p(R e B)=6/25 e le prob. sul grafo: lettura sul grafo:prodotto probabilità dei rami
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estrazione 1
estrazione 2
Legge della moltiplicazione – Urna
I due modelli a confronto
Ad ogni cammino sull’albero corrisponde una cella della tabella contratta
seco
nda
estr
azio
ne
prima estrazione
RR
BB RB
BR
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Legge della moltiplicazione – Urna
Una giustificazione mediante un’analogia
R
3/5
3/5 2/5
• immaginiamo che il grafo rappresenti un condotto per l’acqua
• se il tubo verde in alto porta a litri, allora nel tubo verde sotto scorrono i 2/5 di a litri, • se il tubo in alto porta 3/5 di litro, allora …
Analogamente nel pb in esamesi percorre il ramo in alto con probabilità 3/5,allora si percorre quello verde in basso con probabilità globale 2/5 3/5∙
ma è solo un’analogia
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ossia 2/5 ∙ a litri
richiama le percentuali iterate
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Legge della moltiplicazione – Urna senza reimmissione
In un’urna vi sono 5 palline, diverse solo per il colore: 3 sono rosse e 2 blu. Si estrae in modo casuale una pallina alla volta e non la si reinserisce nell’urna.Qual è la probabilità che la prima estratta sia rossa e la seconda sia blu?
gli studenti esplorano il problema, effettuano prove
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Legge della moltiplicazione – Urna senza reimmissione
seconda estrazione
B2 xB1 x
R3 x
R2 x
R1 x
R1 R2 R3 B1 B2
prima estrazione
La tabella
𝟔𝟐𝟓− 𝟓 = 310 la probabilità dell’evento “R e B” è:
alcune celle non intervengono!
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20
estrazione 1
estrazione 2
Legge della moltiplicazione – Urna senza reimmissione
Il grafo ad albero3/5
1/2 3/4
2/5
1/2 1/4
𝟑𝟓∙𝟏𝟐 p(R e B) =
cambiano le probabilità della seconda estrazione!
Gli studenti notano che vale
ancora il prodotto delle probabilità “elementari”, ma con attenzione …
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3/5
3/5 3/5
2/5
2/5 2/5
Legge della moltiplicazione – Urna senza reimmissione
estrazione 1
estrazione 2
3/5
1/2 3/4
2/5
1/2 1/4
𝟑𝟓∙𝟏𝟐 p(R e B) = 𝟑𝟓∙𝟐𝟓 p(R e B) =
senza reimmissionecon reimmissione
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Legge della moltiplicazione – Le scelte del docente
- la stessa definizione di eventi indipendenti?
- la stessa notazione per la probabilità che dipende da altre?
- lo stesso enunciato della legge della moltiplicazione?
Considerate quanto riporta il libro di testoM. Bergamini e altri, Statistica e Probabilità Blu, Zanichelli
Seguireste l’ordine in cui sono presentati nel testo?
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In un percorso per il primo biennio, proporreste
Quali sono le vostre definizioni, notazioni e i vostri enunciati?
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Legge della moltiplicazione – Facciamo il punto
Modelli:urna con reimmissione indipendenzaurna senza reimmissione dipendenza
Legge della moltiplicazioneDati due eventi A, B, la probabilità dell’evento A ∩ B è ugualeal prodotto della probabilità dell’evento A per la probabilità di Bvalutata nell’ipotesi che A si sia verificato.
sia per eventi indipendenti che dipendenti
Due eventi si dicono indipendenti se la conoscenza del fatto che uno di essi si è verificato non modifica la probabilità dell’altro.
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Legge della moltiplicazione – Definizioni o concetti?
Più importante: disporre di modelli di riferimento … l’urna
𝑝ሺ𝐴∩𝐵ሻ= 𝑝(𝐴) ∙𝑝(𝐵)
Una definizione equivalente di indipendenza:
ma non insistere
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Indipendenza. Non sempre è intuitiva
Legge della moltiplicazione – Definizioni o concetti?
Esperimento del lancio di un dado a 6 facce
A = “esce un numero pari”B = “esce il numero 1 o il numero 2“
• Verifichiamo:p(A) p(B) = 1/6 = p(A∩B)∙
• Sono indipendenti!
… attenzione
• Intuitivamente i due eventi A, B vi sembrano indipendenti?
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Inghilterra, dopo seconda guerra mondiale, analisi statistica su N case.Per ogni casa si rileva se c’è un nuovo nato, un nuovo nido di cicogna:
A = “almeno un nuovo nido di cicogna sul tetto di una casa fissata”B = “almeno un nuovo nato in una casa fissata”
Dai dati: 𝑝ሺ𝐵 𝑑𝑎𝑡𝑜 𝐴ሻ> 𝑝(𝐵) ossia A,B sono dipendenti
A influenza B?
No! A, B hanno una causa comune: la fine della guerra.
Legge della moltiplicazione – Definizioni o concetti?
Dipendenza. Non sempre è influenza tra eventi
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dove c’è un nido di cicogna è maggiore la probabilità di una nascita
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27
Introdurne una quando serve univocità e coincisionevantaggi della formalizzazione
Piuttosto oppure
All’inizio è meglio non utilizzare notazioni specifiche per la probabilità che dipende da altre
E’ più importante evitare ambiguità nel linguaggio “probabile” = “possibile”
“non probabile” = “non possibile”
Legge della moltiplicazione – La notazione p(A|B)
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- un’unica formulazioneper eventi indipendenti o dipendenti
Legge della moltiplicazione – Come applicarla?
- non serve chiedersi a priori se A, B sono dipendentia meno che la richiesta non sia di verificarlo - attenzione a valutare la “nuova” probabilità di Bnell’ipotesi che A si sia verificato … ma essa potrebbe non cambiare
è responsabilità dell’insegnante
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29
All’inizio è meglio non usarlain una prima fase serve quasi solo per calcolare p(A∩B)
Però ha un ruolo fondamentale:- è la definizione di probabilità condizionata-
- da essa deriva
la definizione di dipendenza ed indipendenza di eventi la legge della moltiplicazione il significato di probabilità condizionata nei tre approcci
Legge della moltiplicazione – Come applicarla?
𝒑ሺ𝑨 |𝑩ሻ= 𝒑ሺ𝑨∩𝑩ሻ𝒑(𝑩) La formula
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30
Legge della moltiplicazione – Consolidamento
Alcuni esempi
Esercizi dai testi in adozione (tra poco)
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Per quale motivo di fondo le 2 prob. sono uguali?
Lanciamo 10 volte una moneta “onesta”. Su quale tra le due sequenze di esiti scommettete?
TTTTTTTTTT TCTCCTCTTC
Regolarità
Legge della moltiplicazione – Torniamo ai pb iniziali
൬𝟏𝟐൰𝟏𝟎
p(TTTTTTTTTT) = p(T) ∙ p(T) ∙ … ∙ p(T) =
I lanci sono indipendenti.
C’è una sequenza di 10 lanci sulla quale scommettete?
p(TCTCCTCTTC) = p(T) ∙ p(C) ∙ … ∙ p(C) = ൬𝟏𝟐൰𝟏𝟎
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Lanciamo 10 volte una moneta “onesta”. L’esito dei primi 9 lanci è TTTTTTTTT.Al decimo lancio è più probabile ottenere C?
Compensazione (riformulata)
Legge della moltiplicazione – Torniamo ai pb iniziali
I lanci sono indipendenti ovvero “la moneta non ha memoria”.Quindi al decimo lancio, come al primo, vale p(T) = p(C) = 1/2.
- L’evento “i primi nove lanci hanno tutti esito testa” è poco probabile: p(TTTTTTTTT) < 1/500
Ma ormai è accaduto. E’ un evento certo.Solo gli esiti del decimo lancio sono eventi aleatori.
- Fraintendimenti: considerare globalmente i 10 esiti interpretare in modo errato la Legge dei grandi numeri
Approfondiamo
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33
Compensazione
Legge della moltiplicazione – Torniamo ai pb iniziali
… tutto questo in teoria, ma nella pratica cosa succede?
Proviamo!
Idea e traccia di lavoro
File predisposto per studenti
Il quesito “Marta e i bambini” (slide 10 del primo incontro)
gli studenti possono rispondere in modo autonomo servono alcune ipotesi, utile la lettura “Genetica e determinazione del sesso”
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meglio però effettuare anche esperimenti materiali
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Legge della moltiplicazione – Torniamo ai pb iniziali
Qual è la probabilità che il “53” non esca per 182 estrazioni consecutive?
Numeri ritardatariIl “53” non è uscito per 182 estrazioni consecutive sulla ruota di Venezia. Qual è la probabilità che esca su tale ruota alla 183-esima estrazione?
• La probabilità di uscita alla 183- esima estrazione è ancora p: le estrazioni sono indipendenti (per il meccanismo fisico di estrazione)
(1− 𝑝)182 ≈ 0,000030
𝑝= 590 = 118
• La probabilità che esca il “53” ad una data estrazione su tale ruota è
poco probabile ma ormai è passato
Didattica probabilità e statistica PAS 2014
Approfondiamo
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Legge della moltiplicazione – Torniamo ai pb iniziali
… il “53” è uscito su Venezia il 9 febbraio 2005, alla 183 – esima estrazione
Attività. Scommessa con gli studenti. Il docente punta un numero “a caso”.
Didattica probabilità e statistica PAS 2014
Numeri ritardatari
Ecco i “numeri spia” dal sito della Lottomatica. E’ uscito il “15” sulla ruota di Bari. E’ vero che allora aumenta la probabilità di uscita dell’ “84”? Giustifica.
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Test clinici
Legge della moltiplicazione – Torniamo ai pb iniziali
- Test di gravidanza: una situazione semplice
Una popolazione di 10.000 individui è stata sottoposta ad un test per diagnosticare una certa malattia.Sono risultate positive al test 1.726 persone e si assume che il test sia risultato positivo per il 99,0% dei malati. Inoltre si assume che il 2,0% della popolazione avesse la malattia.Qual è la probabilità che il test abbia fornito indicazioni errate su un individuo scelto a caso in tale popolazione?
- Un problema significativo
Didattica probabilità e statistica PAS 2014
il video del problema e della risoluzione realizzato dal Laboratorio:http://youtu.be/N_sdkLtECps
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Test clinici
Legge della moltiplicazione – Torniamo ai pb iniziali
Una popolazione è sottoposta al test “Elisa” per la diagnosi dell’HIV.La probabilità che il test sia positivo sull’individuo che ha il virus è del 99,9% (sensibilità del test). Quella che il test sia negativo sull’individuo “sano” è del 99,9% (specificità).Inoltre si assume che lo 0,3% della popolazione abbia la malattia (prevalenza). Qual è la probabilità che il test fornisca indicazioni errate su un individuo scelto a caso in tale popolazione?
si risolve analogamente ai due pb precedenti, con un grafo ad alberop(“esito errato”) = 0,997 0,001 + 0,003 0,001 = ∙ ∙ 0,001
- Uno dei problemi motivanti, ora precisato.
esploriamo: come cambia la risposta al variare dei valori numerici in ipotesi?… cerchiamo anche una giustificazione algebrica
Didattica probabilità e statistica PAS 2014
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- Proporreste agli studenti l’esercizio n. 60? Quando nel percorso?
Cosa indica la normativa? – Secondaria Superiore Legge della moltiplicazione – Esercizi dai libri di testo
Considerate il testo per il primo biennio
M. Bergamini e altri, Statistica e Probabilità.Blu, Zanichelli
Esaminate le sezioni dedicate agli esercizi sulla legge della moltiplicazione
- Quali esercizi dal n. 69 all’84 proporreste agli studenti?
- Risolvereste il n. 61 nel modo in cui è svolto sul testo?
- Considerate l’esercizio svolto n. 77 (legge della moltiplicazione). Vorreste che gli studenti producano una risoluzione analoga?
esaminate notazioni, formalizzazione, giustificazioni, approccio
Didattica probabilità e statistica PAS 2014