PROBABILIDADES Y DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDADES Área Estadística Dpto. de Cs. Matemáticas y...
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PROBABILIDADES YDISTRIBUCIONES DE
PROBABILIDADES
Área Estadística Dpto. de Cs. Matemáticas y Físicas
Prof. Juan Moncada Herrera
AleatoriasNo aleatorias
ProbabilidadesDistribucionesParámetros
VARIABLESDatosEstimadores
Distribuciones
MUESTRA ALEATORIA
Muestreo
REALIDAD – POBLACIÓN – PROBLEMA
Intervalos de Confianza
Pruebas de Hipótesis
ANOVA
Estadística Descriptiva
VARIABLES
NOCIONES DE PROBABILIDADES
NOCIONES DE PROBABILIDADES
Fuente: http://ciberconta.unizar.es/leccion/probabil/INICIO.HTML; 04/12/2008
¿De qué se hacen cargo?
INCERTIDUMBRE
Falta de información
Azar
Variabilidad
NOCIONES DE PROBABILIDADES
NOCIONES DE PROBABILIDADES
Los grandes aportes …
Fermat (1601-1665) Pascal (1623-1662) Huygens (1629-1695)
NOCIONES DE PROBABILIDADES
Newton (1643-1727) De Moivre (1667-1754)J. Bernoulli (1654-1705)
Los grandes aportes …
NOCIONES DE PROBABILIDADES
Bayes (1707-1761) Gauss (1777-1855)Laplace (1749-1827)
Los grandes aportes …
NOCIONES DE PROBABILIDADES
Chebyshev (1821-1894) Börel (1871-1956)Markov (1856-1922)
Los grandes aportes …
NOCIONES DE PROBABILIDADES
Mises (1883-1953) Lèvy (1886-1971)
Los grandes aportes …
NOCIONES DE PROBABILIDADES
Kolmogorov (1903-1987) Feller (1906-1970)
Los grandes aportes …
Probabilidad = Medida de la incertidumbre
NOCIONES DE PROBABILIDADES
¿Y qué es (qué son) …?
Clásico (Regla de Pascal)
NOCIONES DE PROBABILIDADES
Enfoques …
Frecuentista
Bayesiano o subjetivo
Axiomático
Clásico (Regla de Laplace)
NOCIONES DE PROBABILIDADES
Enfoques …
Cuociente entre casos favorables y casos posibles, siempre que todos los casos sean igualmente probables.
Laplace (1749-1827)
Frecuentista
NOCIONES DE PROBABILIDADES
Enfoques …
Cuociente entre frecuencia observada del suceso y el total de observaciones del suceso cuando el experimento se realiza un número grande veces.
Bayesiano o subjetivo
NOCIONES DE PROBABILIDADES
Enfoques …
Grado de creencia o juicio personal.Bayes (1702-1761)
Axiomático
NOCIONES DE PROBABILIDADES
Enfoques …
•No se define probabilidad, propiamente tal.
•Hay un conjunto de axiomas, de los que se deduce la teoría.
Kolmogorov (1903-1987)
Cálculo de probabilidades
NOCIONES DE PROBABILIDADES
Base empírica:
Espacio muestral:
Suceso o Evento:
Experimentos aleatorios
A
NOCIONES DE PROBABILIDADES
Cálculo de probabilidades:
Existe probabilidad de un suceso:
)()(
)(
m
AmAP
Cálculo de probabilidades
NOCIONES DE PROBABILIDADES
Cálculo de probabilidades:
Ejemplo:
Se selecciona aleatoriamente un asistente a la clase de hoy. ¿Cuál es la probabilidad de que sea mujer?
Evento A:
Espacio muestral :
Número de elementos de A = Número de elementos de =
)(AP
Ser mujer
{mujer, … , hombre}
Cálculo de probabilidades
NOCIONES DE PROBABILIDADES
Propiedades fundamentales:
P() = 0
P() = 1
P(A B) = P(A) + P(B) – P(A B)
P(Ac) = 1 – P(A), Ac evento complementario de A
0 ≤ P(A) ≤ 1
A y B eventos de un espacio muestral
Cálculo de probabilidades
NOCIONES DE PROBABILIDADES
Probabilidad Condicional:
A y B eventos de un espacio muestral
;)(
)()|(
BPBAP
BAP 0)( BP
Cálculo de probabilidades
NOCIONES DE PROBABILIDADES
Independencia de eventos:
A y B eventos de un espacio muestral
)()|( APBAP A y B independientes si:
)()()( BPAPBAP
Cálculo de probabilidades
NOCIONES DE PROBABILIDADES
Probabilidad Total:
Teorema. Sea E1, E2,...,En una partición de E (esto significa que ij, Ei Ej , y Ei =E). Entonces:
P(E) = P(E | Ei) P(Ei), para i = 1,2,...,n
Cálculo de probabilidades
NOCIONES DE PROBABILIDADES
Teorema de Bayes:
Si E1, ... , En son n eventos mutuamente independientes, de los
cuales uno debe ocurrir, es decir, P(Ei) = 1, entonces, para un evento dado A:
)()|(
)()|()|(
ii
iii EPEAP
EPEAPAEP
Cálculo de probabilidades
Variables aleatorias
Y
Distribuciones de Probabilidades
Variables aleatorias: Definición
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDADES
xX )( IRPX ),(:
Discretas Continuas
Recorrido de X es finito o infinito
numerable
Recorrido de X es infinito
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDADES
Xp(x) = P[X=x]
f(x)
x1
…
xk
Función de probabilidad
Función de densidad
Distribuciones de probabilidades
1)(xp 1)( dxxf
X discreta
X continua
X discreta
1)(0 xp 0)( xf
X continua
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDADES
X P[X=x] = p(x)
x1 p1
x2 p2
x3 p3
… …
xk pk
Distribución Acumulada
Caso discreto:
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDADES
X P[X=x] = p(x) F(x)=P[X x]
x1 p1 p1
x2 p2 p1+p2
x3 p3 p1+p2+p3
… …
xk pk pi = 1
Distribución Acumulada
Caso discreto:
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDADES
X P[X=x] = p(x) F(x)=P[X x]
x1 p1 p1
x2 p2 p1+p2
x3 p3 p1+p2+p3
… …
xk pk pi = 1
Distribución Acumulada
Caso discreto: Caso continuo:
x
ydyyfxXPxF )()()(
Tendencia central
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDADES
MediaValor esperadoEsperanza matemática
Medidas de resumen de una v.a.
Propiedades:
x
xpxXE )()(
x
dxxxfXE )()(
X discreta
X continua
bXaEbaXE ][][
aaE ][
Tendencia central
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDADES
Medidas de resumen de una v.a.
Mediana
Moda
5.0)(5.0)(: 5.05.05.0 xXPxXPx
)(: modmod xfx
)(: modmod xpx X discreta
X continua
Posición
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDADES
Medidas de resumen de una v.a.
Extremos Cuartiles Quintiles Deciles
)(: xXPxPercentil
Dispersión
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDADES
Medidas de resumen de una v.a.
Rango )()( XXMax minVarianza )()()( 222 XEXEXVar
Desviación estándar )().(. XVarXed
Propiedades:
0)( kVar
)()( XVarkXVar )()( 2 XVarabaXVar
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDADES
Proceso de estandarización
X
ZX
..avX)(XE ).(. Xed
0)( ZE 1).(. Zed
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDADES
Variables aleatorias: Parámetros
PARÁMETRO:
Las medidas de resumen de una variable aleatoria son parámetros.
Los parámetros determinan la distribución de probabilidades.
Rasgo, característica, propiedad fija o constante de una población.
Discretas
Continuas
• Valores
• Función de probabilidad Función de densidad
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDADES
• Definición-Contexto-Problema
• Distribución Acumulada
• Medidas de resumen
• Parámetros
Variables aleatorias: Resumen
MODELOS DE DISTRIBUCIONES DISCRETAS
Distribución Bernoulli
DISTRIBUCIONES DISCRETAS DE PROBABILIDADES
Experimento de base:
Todo experimento aleatorio que tenga sólo dos resultados posibles, mutuamente excluyentes, que pueden denominarse Éxito y Fracaso.
P[Éxito] = p P[Fracaso] = 1 – p = q
Variable aleatoria – Definición:Número de Éxitos observados en un ensayo.
Usos – aplicaciones:Muy poco. Electrónica, proceso binarios en general.
Distribución Bernoulli
DISTRIBUCIONES DISCRETAS DE PROBABILIDADES
Variable aleatoria – Valores:
0 y 1
Parámetros:
p: Probabilidad de éxito
Notación:
X Ber(p)
Distribución Bernoulli
DISTRIBUCIONES DISCRETAS DE PROBABILIDADES
Función de distribución de probabilidades:
X P(X = x) = p(x)
0 1 – p
1 p
x = 0,1 p(x) = px(1–p)1-x ;
Función de distribución acumulativa:
X P(X = x) = p(x) F(x) = P(X x)
0 1 – p 1 – p
1 p (1 – p) + p = 1
Distribución Bernoulli
DISTRIBUCIONES DISCRETAS DE PROBABILIDADES
Propiedades:
X Ber(p)
pXE )( )1()( ppXVar
Distribución binomial
DISTRIBUCIONES DISCRETAS DE PROBABILIDADES
Experimento de base:
Realización de n ensayos Bernoulli, todos independientes, y cada uno con probabilidad de Éxito p.
Variable aleatoria – Definición:
Número de Éxitos observados en n ensayos Bernoulli, todos independientes, y cada uno con probabilidad de Éxito p.
Usos – aplicaciones:
Control de calidad, tratamientos de encuestas …
Distribución binomial
DISTRIBUCIONES DISCRETAS DE PROBABILIDADES
Valores de la variable:
0, 1, 2, …, n
Parámetros:
n: Número de ensayos
Notación:
X bin(n , p)
p: Probabilidad de éxito
Distribución binomial
DISTRIBUCIONES DISCRETAS DE PROBABILIDADES
Función de distribución de probabilidades:
Función de distribución acumulativa:
nxppx
nxp xnx ,,2,1,0;)1()(
k
x
xpkXPkF0
)()()(
Distribución binomial
DISTRIBUCIONES DISCRETAS DE PROBABILIDADES
Cálculo de probabilidades acumulativas:
k
x
xpkXPkF0
)()()(
Distribución binomial
DISTRIBUCIONES DISCRETAS DE PROBABILIDADES
Propiedades:
X bin(n , p)
npXE )( )1()( pnpXVar
Distribución de Poisson
DISTRIBUCIONES DISCRETAS DE PROBABILIDADES
Experimento de base:
Observación de la ocurrencia de eventos en un espacio (intervalo) determinado (fijo).
Variable aleatoria – Definición:
Número de eventos que ocurren de manera aleatoria e independiente, a una tasa constante , en un espacio o intervalo determinado.
Usos – aplicaciones:
Fenómenos de espera, fenómenos de transporte …
DISTRIBUCIONES DISCRETAS DE PROBABILIDADES
Valores de la variable:
0, 1, 2, …
Parámetros:
: Tasa promedio de ocurrencia de los eventos
Notación:
X P()
Distribución de Poisson
DISTRIBUCIONES DISCRETAS DE PROBABILIDADES
Función de distribución de probabilidades:
Función de distribución acumulativa:
k
x
xpkXPkF0
)()()(
Distribución de Poisson
,2,1,0;!
)(
xx
exp
x
DISTRIBUCIONES DISCRETAS DE PROBABILIDADES
Distribución de Poisson
Cálculo de probabilidades acumulativas:
k
x
xpkXPkF0
)()()(
DISTRIBUCIONES DISCRETAS DE PROBABILIDADES
Propiedades:
)(XE )(XVar
Distribución de Poisson
X P ()
Teorema. Sea X una variable con distribución binomial de parámetros n y p. Si existe una constante tal que p = / n, entonces:
,1,0;!
),;(lim0
xxe
pnxpx
p
n
DISTRIBUCIONES DISCRETAS DE PROBABILIDADES
MODELOS DE DISTRIBUCIONES CONTINUAS
DISTRIBUCIONES CONTINUAS DE PROBABILIDADES
Distribución Uniforme
Experimento de base:
Seleccionar aleatoriamente un número en un intervalo real (a,b), y registrar su valor.
Variable aleatoria – Definición:
Número real seleccionado aleatoriamente en un intervalo (a,b).
Usos – aplicaciones:
Generación de números aleatorios, informática, …
),( bax
DISTRIBUCIONES CONTINUAS DE PROBABILIDADES
Distribución Uniforme
Valores de la variable:
Parámetros:
Notación:
ba,
),(~ baUX
),(;)(1
)( ),( baxxIab
xf ba
DISTRIBUCIONES CONTINUAS DE PROBABILIDADES
Distribución Uniforme
Función de densidad:
Función de distribución acumulativa:
abax
dxxfkXPkFk
ax
)()()(
DISTRIBUCIONES CONTINUAS DE PROBABILIDADES
Distribución Uniforme
Propiedades:
X U(a , b)
2)(
baXE
3
)(22 baba
XVar
Distribución Normal
DISTRIBUCIONES CONTINUAS DE PROBABILIDADES
La variable:
Muchas variables continuas relativas a mediciones:
Físicas: Longitud, altitud, temperaturas, velocidad de…
Biológicas: Talla, peso, ritmo cardiaco, presión arterial,
Psicológicas: Inteligencia, habilidades, destrezas, etc.
¡CUIDADO! MUCHO no significa TODO
Distribución Normal
DISTRIBUCIONES CONTINUAS DE PROBABILIDADES
Los valores de la variable:
Depende del problema en estudio.
Teóricamente, cualquier valor real.
Distribución Normal
DISTRIBUCIONES CONTINUAS DE PROBABILIDADES
Los parámetros:
Dos parámetros. Se simbolizan por:
y
Corresponden a la media y desviación estándar
),(~ NX
Distribución Normal
DISTRIBUCIONES CONTINUAS DE PROBABILIDADES
2)(
²2
1exp
2
1),|(
xxf
Función de densidad y gráfico:
Campana de Gauss
0;; x
dyyxFx
2)(²2
1exp
2
1),|(
DISTRIBUCIONES CONTINUAS DE PROBABILIDADES
)( xXP
Distribución Normal
Función de distribución acumulada:
)1,0(~),(~ NX
ZNX
La normal estándar:
DISTRIBUCIONES CONTINUAS DE PROBABILIDADES
Distribución Normal
DISTRIBUCIONES CONTINUAS DE PROBABILIDADES
PROBABILIDADES ACUMULADAS DE LA NORMAL ESTÁNDAR
Probabilidades acumuladas para algunos valores de la variable aleatoria normal estándar Z z .00 .01 .02 .03 .04 .05 .06 .07 .08 .09__________________________________________________________0.0 .5000 .5040 .5080 .5120 .5160 .5199 .5239 .5279 .5319 .53590.1 .5398 .5438 .5478 .5517 .5557 .5596 .5636 .5675 .5714 .57530.2 .5793 .5832 .5871 .5910 .5948 .5987 .6026 .6064 .6103 .61410.3 .6179 .6217 .6255 .6293 .6331 .6368 .6406 .6443 .6480 .65170.4 .6554 .6591 .6628 .6664 .6700 .6736 .6772 .6808 .6844 .68790.5 .6915 .6950 .6985 .7019 .7054 .7088 .7123 .7157 .7190 .72240.6 .7257 .7291 .7324 .7357 .7389 .7422 .7454 .7486 .7517 .75490.7 .7580 .7611 .7642 .7673 .7703 .7734 .7764 .7794 .7823 .78520.8 .7881 .7910 .7939 .7967 .7995 .8023 .8051 .8078 .8106 .81330.9 .8159 .8186 .8212 .8238 .8264 .8189 .8315 .8340 .8365 .83891.0 .8413 .8438 .8461 .8485 .8508 .8531 .8554 .8577 .8599 .86211.1 .8643 .8665 .8686 .8708 .8729 .8749 .8770 .8790 .8810 .88301.2 .8849 .8869 .8888 .8907 .8925 .8944 .8962 .8980 .8997 .90151.3 .9032 .9049 .9066 .9082 .9099 .9115 .9131 .9147 .9162 .91771.4 .9192 .9207 .9222 .9236 .9251 .9265 .9279 .9292 .9306 .93191.5 .9332 .9345 .9357 .9370 .9382 .9394 .9406 .9418 .9429 .94411.6 .9452 .9463 .9474 .9484 .9495 .9505 .9515 .9525 .9535 .95451.7 .9554 .9564 .9573 .9582 .9591 .9599 .9608 .9616 .9625 .96331.8 .9641 .9649 .9656 .9664 .9671 .9678 .9686 .9693 .9699 .97061.9 .9713 .9719 .9726 .9732 .9738 .9744 .9750 .9756 .9761 .97672.0 .9772 .9778 .9783 .9788 .9793 .9798 .9803 .9808 .9812 .98172.1 .9821 .9826 .9830 .9834 .9838 .9842 .9846 .9850 .9854 .98572.2 .9861 .9864 .9868 .9871 .9875 .9878 .9881 .9884 .9887 .98902.3 .9893 .9896 .9898 .9901 .9904 .9906 .9906 .9911 .9913 .99162.4 .9918 .9920 .9922 .9925 .9927 .9929 .9931 .9932 .9934 .99362.5 .9938 .9940 .9941 .9943 .9945 .9946 .9948 .9949 .9951 .99522.6 .9953 .9955 .9956 .9957 .9959 .9960 .9961 .9962 .9963 .99642.7 .9965 .9966 .9967 .9968 .9969 .9970 .9971 .9972 .9973 .99742.8 .9974 .9975 .9976 .9977 .9977 .9978 .9979 .9979 .9980 .99812.9 .9981 .9982 .9982 .9983 .9984 .9984 .9985 .9985 .9986 .99863.0 .9987 .9987 .9987 .9988 .9988 .9989 .9989 .9989 .9990 .99903.1 .9990 .9991 .9991 .9991 .9992 .9992 .9992 .9992 .9993 .99933.2 .9993 .9993 .9994 .9994 .9994 .9994 .9994 .9995 .9995 .99953.3 .9995 .9995 .9995 .9996 .9996 .9996 .9996 .9996 .9996 .99973.4 .9997 .9997 .9997 .9997 .9997 .9997 .9997 .9997 .9997 .9998
3.5 .9998 .9998 .9998 .9998 .9998 .9998 .9998 .9998 .9998 .9998
Distribución Normal
Probabilidades acumuladas:
Un ejemplo:
DISTRIBUCIONES CONTINUAS DE PROBABILIDADES
En un estudio sobre longevidad se analizaron las edades de 489 jubilados obteniéndose una media de edad de 72 años con una desviación de 8.6 años. Suponiendo que las edades sedistribuyen de acuerdo a una ley normal, se desea saber:
a) Cuántos sujetos hay por debajo de 80 años.b) Cuántos sujetos hay por encima de 65 años.c) A partir de qué edad se sitúa el 10% más viejo.
Distribución Normal
Un ejemplo:
DISTRIBUCIONES CONTINUAS DE PROBABILIDADES
En un estudio sobre longevidad se analizaron las edades de 489 jubilados obteniéndose una media de edad de 72 años con una desviación de 8.6 años. Suponiendo que las edades sedistribuyen de acuerdo con la curva normal, se desea saber:
Solución parte a):
Sea X: Edad de las personas estudiadas
Distribución Normal
Se tiene: )6.8;72(~ añosañosNX
Se pide: )80( XP
DISTRIBUCIONES CONTINUAS DE PROBABILIDADES
Distribución Normal
)6.8;72(~ añosañosNX Un ejemplo:
?)80(¿ XP
Opciones de la Hoja de Cálculo de OpenOffice
DISTRIBUCIONES CONTINUAS DE PROBABILIDADES
Distribución Normal
)6.8;72(~ añosañosNX
Un ejemplo:
Pero:
)93.0(
)6.8
8(
6.8
7280
6.8
72)80(
ZP
ZP
XPXP
DISTRIBUCIONES CONTINUAS DE PROBABILIDADES
PROBABILIDADES ACUMULADAS DE LA NORMAL ESTÁNDAR
Probabilidades acumuladas para algunos valores de la variable aleatoria normal estándar Z z .00 .01 .02 .03 .04 .05 .06 .07 .08 .09__________________________________________________________0.0 .5000 .5040 .5080 .5120 .5160 .5199 .5239 .5279 .5319 .53590.1 .5398 .5438 .5478 .5517 .5557 .5596 .5636 .5675 .5714 .57530.2 .5793 .5832 .5871 .5910 .5948 .5987 .6026 .6064 .6103 .61410.3 .6179 .6217 .6255 .6293 .6331 .6368 .6406 .6443 .6480 .65170.4 .6554 .6591 .6628 .6664 .6700 .6736 .6772 .6808 .6844 .68790.5 .6915 .6950 .6985 .7019 .7054 .7088 .7123 .7157 .7190 .72240.6 .7257 .7291 .7324 .7357 .7389 .7422 .7454 .7486 .7517 .75490.7 .7580 .7611 .7642 .7673 .7703 .7734 .7764 .7794 .7823 .78520.8 .7881 .7910 .7939 .7967 .7995 .8023 .8051 .8078 .8106 .81330.9 .8159 .8186 .8212 .8238 .8264 .8189 .8315 .8340 .8365 .83891.0 .8413 .8438 .8461 .8485 .8508 .8531 .8554 .8577 .8599 .86211.1 .8643 .8665 .8686 .8708 .8729 .8749 .8770 .8790 .8810 .88301.2 .8849 .8869 .8888 .8907 .8925 .8944 .8962 .8980 .8997 .90151.3 .9032 .9049 .9066 .9082 .9099 .9115 .9131 .9147 .9162 .91771.4 .9192 .9207 .9222 .9236 .9251 .9265 .9279 .9292 .9306 .93191.5 .9332 .9345 .9357 .9370 .9382 .9394 .9406 .9418 .9429 .94411.6 .9452 .9463 .9474 .9484 .9495 .9505 .9515 .9525 .9535 .95451.7 .9554 .9564 .9573 .9582 .9591 .9599 .9608 .9616 .9625 .96331.8 .9641 .9649 .9656 .9664 .9671 .9678 .9686 .9693 .9699 .97061.9 .9713 .9719 .9726 .9732 .9738 .9744 .9750 .9756 .9761 .97672.0 .9772 .9778 .9783 .9788 .9793 .9798 .9803 .9808 .9812 .98172.1 .9821 .9826 .9830 .9834 .9838 .9842 .9846 .9850 .9854 .98572.2 .9861 .9864 .9868 .9871 .9875 .9878 .9881 .9884 .9887 .98902.3 .9893 .9896 .9898 .9901 .9904 .9906 .9906 .9911 .9913 .99162.4 .9918 .9920 .9922 .9925 .9927 .9929 .9931 .9932 .9934 .99362.5 .9938 .9940 .9941 .9943 .9945 .9946 .9948 .9949 .9951 .99522.6 .9953 .9955 .9956 .9957 .9959 .9960 .9961 .9962 .9963 .99642.7 .9965 .9966 .9967 .9968 .9969 .9970 .9971 .9972 .9973 .99742.8 .9974 .9975 .9976 .9977 .9977 .9978 .9979 .9979 .9980 .99812.9 .9981 .9982 .9982 .9983 .9984 .9984 .9985 .9985 .9986 .99863.0 .9987 .9987 .9987 .9988 .9988 .9989 .9989 .9989 .9990 .99903.1 .9990 .9991 .9991 .9991 .9992 .9992 .9992 .9992 .9993 .99933.2 .9993 .9993 .9994 .9994 .9994 .9994 .9994 .9995 .9995 .99953.3 .9995 .9995 .9995 .9996 .9996 .9996 .9996 .9996 .9996 .99973.4 .9997 .9997 .9997 .9997 .9997 .9997 .9997 .9997 .9997 .9998
3.5 .9998 .9998 .9998 .9998 .9998 .9998 .9998 .9998 .9998 .9998
Distribución Normal
)6.8
8(
6.8
7280
6.8
72)80(
ZP
XPXP
)93.0( ZP
%38.828238.0)80( XP
82.38% de 489 son 403 personas
)1,0(~)1(
Npnp
npXY
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Distribución Normal
Aproximación de De Moivre Laplace
Teorema. Sea X una variable con distribución binomial de parámetros n y p. Entonces, si n tiende a infinito:
Nota: La aproximación ya es buena para n>30, y mejor mientras p sea cercano a 0.5.
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Distribución Normal
Aproximación de De Moivre Laplace
n=30, p=0.4 n=80, p=0.7 n=200, p=0.5
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDADES:
¿CUÁL EL PROBLEMA?
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDADES
EL DESCONOCIMIENTO
DE LOS PARÁMETROS
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDADES:
¿CUÁL LA SOLUCIÓN?
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDADES
ESTÁ EN EL MUESTREO
Sugerencias Bibliográficas
1. Daniel W.: Estadística con aplicaciones a las ciencias sociales y a la educación. McGraw-Hill. Mexico, 1997.
2. Canavos G.: Probabilidad y Estadística. Aplicaciones y métodos. Mc Graw Hill. México, 1995.
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