Probabilidades - 9º ano Em 1651 o Conde de Méré (viciado no jogo) viajava com Pascal ( homem que...
Transcript of Probabilidades - 9º ano Em 1651 o Conde de Méré (viciado no jogo) viajava com Pascal ( homem que...
Probabilidades - 9º ano
Em 1651 o Conde de Méré (viciado no jogo) viajava com Pascal ( homem que estudava religião e Matemática – inventor da máquina de calcular) e colocou-lhe a seguinte questão:
“ Eu e um amigo estávamos a jogar quando uma mensagem urgente nos obrigou a interromper o jogo. Tínhamos colocado em jogo 30 pistolas cada um ( 1 pistola = 2,5 € ). Ganharia as 60 pistolas o primeiro que obtivesse 3 vezes o número que escolheu no lançamento de um dado. Eu tinha escolhido o 6 e quando o jogo foi interrompido já tinha saído o 6 duas vezes. O meu amigo tinha escolhido o 1 que apenas tinha saído uma vez”.
Como dividir as 60 pistolas?
Pascal interessou-se por este problema e iniciou uma correspondência com o seu amigo Fermat para analisar a situação. Essa correspondência marca o início da Teoria das Probabilidades.
PascalFermat
A importância das probabilidades na sociedade
METEREOLOGIAÉ pouco provável que chova durante esta semana.
SEGUROSPorque é que um condutor com pouco tempo de carta paga mais seguro?
JOGOSPorque é que o totoloto tem 49 números e não 10 ou 20?
Termos e conceitos
Experiência
• Lançamento de uma moeda• Lançamento de um dado• Totoloto• Estado do tempo para a semana• Extracção de uma carta • Tempo que uma lâmpada irá durar
• Furar um balão cheio• Deixar cair um prego num copo de água• Calcular a área de quadrado de lado 9 cm
À partida o resultado é desconhecido
À partida já conhecemos o resultado
Termos e conceitos
Espaço de Resultados ou Espaço Amostral
Espaço Amostral é o conjunto de todos os resultados possíveis de uma experiência aleatória.
EXPERIÊNCIA 1: Lançamento de um dado
Espaço Amostral = S = {1, 2, 3, 4, 5, 6 }
EXPERIÊNCIA 2: Jogo de futebol
Espaço Amostral = S = {Vitória, Empate, Derrota }
EXPERIÊNCIA 3: tirar uma bola de Totoloto
Espaço Amostral = S = {1, 2, 3, ... ,47, 48, 49 }
Termos e conceitos
Acontecimentos
Um acontecimento é um subconjunto do espaço amostral
EXPERIÊNCIA 1: Lançamento de um dado
Espaço Amostral = S = {1, 2, 3, 4, 5, 6 }
Acontecimento A: “Sair um nº par”
A = { 2, 4, 6 }
Acontecimento B: “ Sair um nº maior que 2”
B = { 3, 4, 5, 6 }
Termos e conceitos
Acontecimento
EXPERIÊNCIA: Lançamento de um dado equilibrado
Espaço Amostral = S = {1, 2, 3, 4, 5, 6 }
ELEMENTAR COMPOSTO
A: “ Sair o nº 3 ”
A={ 3 }
Só tem um elemento
B: “ Sair o nº ímpar ”
B={ 1, 3, 5 }
Tem mais do que um elemento
Termos e conceitos
Acontecimento
EXPERIÊNCIA: Lançamento de um rapa
Espaço Amostral = S = { R, T, D, P }
IMPOSSÍVEL CERTO
“ Sair a letra X ” “ Sair uma consoante ”
POSSÍVEL
“ Sair a letra T ”
Modos de definir probabilidade de um acontecimento
Lei de LAPLACE
1749 - 1827
Definição clássica de probabilidade
Lei de LAPLACEEXPERIÊNCIA: Lançamento de uma moeda
S = { F, V }
A moeda tem duas faces: F – frente; V - verso
Qual é a probabilidade de sair F no lançamento de uma moeda?
possíveis casos de Número
favoráveis casos deNúmeroFP
Nº casos favoráveis = 1
Nº casos possíveis = 2 %505,0
2
1FP
Atenção!!! A regra de Laplace só é aplicável quando os acontecimentos elementares têm a mesma probabilidade
Cálculo de ProbabilidadesEXPERIÊNCIA: Lançamento de um dado equilibrado
6
1
possíveis casos de nº
favoráveis casos denºAP
Calcula a probabilidade de cada um dos acontecimentos:
A: “ Sair o número 5 “1) Só há uma face “5”
Um dado tem 6 faces
2) B: “ Sair um número maior que 2 “
Nº casos favoráveis = 4
Nº casos possíveis = 6
3
2
6
4BP
B = { 3, 4, 5, 6 }
Cálculo de ProbabilidadesEXPERIÊNCIA: Lançamento de dois dados
1 2 3 4 5 6
1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5)
(1,6)
2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5)
(2,6)
3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5)
(3,6)
4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5)
(4,6)
5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5)
(5,6)
6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5)
(6,6)
Qual é o espaço de resultados?
Qual é a probabilidade de sair dois números maiores que 4?
9
1
36
4P
Sobremesa: Fruta da época Pudim
Prato:
Entrada: Sopa Canja
Pratos:Arroz de frango Bife grelhado Lampreia
Cálculo de ProbabilidadesEXPERIÊNCIA: Ementa de restaurante
Quantas refeições diferentes podemos escolher, tendo cada uma, uma entrada, um prato e uma sobremesa?
Entrada Prato Sobremesa Refeição
S
C
A
B
L
A
B
L
FPFPFP
FPFPFP
( S,A,F )( S,A,P )( S,B,F )( S,B,P )
( S,L,P )( S,L,F )
( C,A,F )( C,A,P )( C,B,F )( C,B,P )( C,L,F )( C,L,P )
12 refeições diferentes!
Cálculo de ProbabilidadesEscolhida uma refeição ao acaso qual é a probabilidade de comer arroz ou fruta?
3
2
12
8P
Qual é a probabilidade de não comer Lampreia nem Pudim?
Entrada Prato Sobremesa Refeição
S
C
A
B
L
A
B
L
FPFPFP
FPFPFP
( S,A,F )( S,A,P )( S,B,F )( S,B,P )
( S,L,P )( S,L,F )
( C,A,F )( C,A,P )( C,B,F )( C,B,P )( C,L,F )( C,L,P )
3
1
12
4P
Lançamento de um dado perfeito 100 vezes
Frequência absoluta ou efectivo de um acontecimento é o
número de vezes que esse acontecimento se
verifica
E se o número de lançamentos aumentar?
Vamos investigar o que se passa: * lançando o dado perfeito um maior nº de vezes. * comparando os resultados obtidos
Frequência relativa de um acontecimento é o quociente entre a
frequência absoluta e o nº total de observações.
Esta experiência entre outras confirmam a LEI DOS GRANDES NÚMEROS:
Para um grande nº de experiências a frequência relativa de um acontecimento A é um valor aproximado da sua probabilidade: p(A)= Frequência relativa de A
Se numa experiência aleatória os resultados se prevêem equiprováveis, podes determinar a probabilidade de um acontecimento:
Previamente (antes de realizar a experiência), aplicando a Lei de Laplace.
Empiricamente (realizando a experiência), aplicando a Lei dos Grandes Números.