Instituto universitario politécnico “Santiago Mariño”

Sede- BarcelonaEscuela de Ingeniería Industrial

Estadística I

Bachiller:

Silva Gabriela C.I:26.916.636Sección: ESIYV20162 YV

Barcelona, Marzo de 2017

Probabilidad

Profesor:Ing. Ramón A. Aray López

DEFINICIONES Probabilidad: Es la teoría matemática que modela los fenómenos aleatorios. Estos deben

contraponerse a los fenómenos determinísticos, en los cuales el resultado de un experimento, realizado bajo condiciones determinadas, produce un resultado único o previsible: por ejemplo, el agua calentada a 100 grados Celsius, a nivel del mar, se transforma en vapor. Un fenómeno aleatorio es aquel que, a pesar de realizarse el experimento bajo las mismas condiciones determinadas, tiene como resultados posibles un conjunto de alternativas, como el lanzamiento de un dado o de un dardo.

Experimento: Es aquel que bajo el mismo conjunto aparente de condiciones iniciales, puede presentar resultados diferentes, es decir, no se puede predecir o reproducir el resultado exacto de cada experiencia particular. (Ej.: Lanzamiento de un dado).

Evento: Son subconjuntos del espacio muestra. Espacio muestral: Es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio. El

conjunto de todos los resultados posibles pueden ser finito, infinito numerable o infinito no numerables. Espacio muestral Discreto y continuo.

Sucesos simples: La probabilidad simple hace referencia a experimentos simples, es decir, formado por una única experiencia y a un único suceso de su espacio muestral.

Sucesos compuestos: están formados por todas las posibles combinaciones de los respectivos sucesos simples elementales. Una regla muy sencilla para determinar que se han considerado todos es que el nº de sucesos elementales de un experimento compuesto es el producto de los respectivos cardinales de cada uno de los experimentos simples que lo formen.

Reglas de conteo La primer regla de conteo es para experimentos de varias etapas. Considere el

experimento que consiste en lanzar dos monedas. Los resultados experimentales se definen en términos de la sucesión de caras o escudos que aparecen en las caras superiores de las dos monedas. ¿Cuantos resultados experimentales son posibles para este experimento? Lanzar las dos monedas se pueden considerar como un experimento de dos pasos en que el primero es el lanzamiento de la primera moneda y el segundo es el lanzamiento de la segunda. Si para denotar escudo usamos la H y para denotar cara empleamos una T.(H,H) indica el resultado experimental con escudo en la primera moneda y un escudo en la segunda. Con esta notación podemos describir el espacio muestral S para el lanzamiento de monedas de la manera siguiente:

            S={(H,H),(H,T),(T,H),

(T,T)}

Para varias etapas

Son posibles cuatro resultados experimentales. En este caso, no es difícil listarlos todos.La regla de conteo para experimentos de varias etapas permite determinar el numero de resultados experimentales sin listarlos.

Si un experimento se puede describir como una sucesión de K etapas, en las que hay n1 resultados posibles de la primera etapa, n2  en la segunda, etc.., la cantidad total de resultados experimentales es igual a (n1),(n2)......(nK).

Si el experimento de lanzar dos monedas se considera como una sucesión de primero lanzar una moneda (n1=2) y luego lanzar la otra (n2=2), podemos inferir de la regla de conteo que hay (2)(2)=4 resultados experimentales distintos.

Como se observa, hay S={(H,H),(H,T),(T,H),(T,T)}. El numero de resultados experimentales en un experimento que consiste en el lanzamiento d seis monedas es

(2)(2)(2)(2)(2)(2)=64

Reglas de conteo

 EXPERIMENTOS DE ETAPAS MÚLTIPLES

La técnica de la multiplicación. La técnica aditiva La técnica de la suma o Adición. La técnica de la permutación. La técnica de la combinación.

 Técnicas de conteo

TECNICA DE LA MULTIPLICACION: Si se desea realizar una actividad que consta de r pasos, en donde el primer paso de la actividad a realizar  puede ser llevado a cabo de N1 maneras o formas, el segundo paso de N2 maneras o formas y el r-ésimo paso de Nr maneras o formas, entonces esta actividad puede ser llevada a efecto de. El principio multiplicativo implica que cada uno de los pasos de la actividad deben ser llevados a efecto, uno tras otro. Si un evento E1 puede suceder de n1 maneras diferentes, el evento E2 puede ocurrir de n2 maneras diferentes, y así sucesivamente hasta el evento Ep el cual puede ocurrir de np maneras diferentes, entonces el total de maneras distintas en que puede suceder el evento “ocurren E1 y E2…..y Ep” es igual a producto.

Ejemplo 1: Se dispone de 3 vías para viajar de C1 a C2   y de 4 vías para viajar de C2 a C1. ¿De cuántas formas se puede organizar el viaje de ida y vuelta de C1 a C2.Respuesta: (3)(4)=12.

N1 x N2 x ..........x  Nr  maneras o formas.

Ejemplo:2 ¿Cuántas palabras de 3 letras se pueden formar con 5 consonantes y 3 vocales de modo que cada palabra comience y termine en consonante?.Respuesta: (5)(3)(4):60

TÉCNICA ADITIVA: Se desea llevar a efecto una actividad, la cuál tiene formas alternativas para ser realizada, donde la primera de esas alternativas puede ser realizada de M maneras o formas, la segunda alternativa puede realizarse de N maneras o formas, y la última de las alternativas puede ser realizada de W maneras o formas, entonces esa actividad puede ser llevada  a cabo de mas.M + N + .........+ W  maneras o

formas

Ejemplo: Juan desea comprar una lavadora , para lo cuál ha pensado que puede seleccionar de entre diferentes marcas, cuando acude a hacer la compra se encuentra que la lavadora de la marca W se presenta en 2 tipos de carga ( 8 u 11 kilogramos), en 4 colores diferentes y puede ser automática o semiautomática, mientras que la lavadora de la marca E, se presenta en 3 tipos de carga (8, 11 o 15 kilogramos), en 2 colores diferentes y puede ser automática o semiautomática y la lavadora de la marca GE, se presenta en solo 1 tipo de carga, que es de 11 kilogramos, 2 colores diferentes y solo hay semiautomática. ¿Cuántas maneras tiene esta persona de comprar una lavadora?.

Solución: M = 2 x 4 x 2 = 16 manerasN = 3 x 2 x 2 = 12 manerasW = 1 x 2 x 1 = 2 maneras M + N + W = 16 + 12 + 2 = 30 maneras

TÉCNICA DE LA SUMA O ADICCION: Si una primera operación puede realizarse de m maneras y una segunda operación de n maneras, entonces una operación o la otra pueden efectuarse de: m+n

maneraEjemplo 1: ¿De cuántas formas puede Juan ir del pueblo A al pueblo C?Solución: 2 + 4.3 = 14

Ejemplo 2: Una pareja junta dinero para su casa, Presa le ofrecen 2 maneras , en playa 3 maneras . ¿Cuántas alternativas diferentes le ofrecen a la pareja?Solución: 2+3= 5 maneras

TÉCNICA DE PERMUTACION: Se la utiliza para determinar el numero de posibles arreglos cuando solo hay un solo grupo de objetos. Permutación: un arreglos o posición de r objetos seleccionados de un solo grupo de n objetos posibles. Si nos damos cuenta los arreglos a, b, c y b, a, c son permutaciones diferentes, la formula que se utiliza para contar el numero total de permutaciones distintas es:  n P r = n! (n -

r)Ejemplo 1: ¿Cuántas de las permutaciones de (a) comienzan con la letra a?Solución: P7 = 7! = 5.040.

Ejemplo 2 ¿Cuántas permutaciones existen para las ocho letras a,b,c,d,e,f,g,h? Solución: P8 = 8! = 40.320.TÉCNICA DE COMBINACION: En una

permutación, el orden de los objetos de cada posible resultado es diferente. Si el orden de los objetos no es importante, cada uno de estos resultados se denomina combinación. Por ejemplo, si se quiere formar un equipo de trabajo formado por 2 personas seleccionadas de un grupo de tres (A, B y C). Si en el equipo hay dos funciones diferentes, entonces si importa el orden, los resultados serán permutaciones. Por el contrario si en el equipo no hay funciones definidas, entonces no importa el orden y los resultados serán combinaciones.

Ejemplo 1: En una compañía se quiere establecer un código de colores para identificar cada una de las 42 partes de un producto. Se quiere marcar con 3 colores de un total de 7 cada una de las partes, de tal suerte que cada una tenga una combinación de 3 colores diferentes. ¿Será adecuado este código de colores para identificar las 42 partes del producto?Solución: n C r = n! = 7! = 7! = 35 r! (n – r )!  3! (7 – 3)!  3! 4!

Ejemplo 2 :Un estudiante que realiza un examen debe responder 7 de las 10 preguntas. El orden no importa. ¿De cuántas formas puede responder el examen? Solución:

Probabilidades conjuntas Es la probabilidad de ocurrencia de dos o más eventos. De la expresión P(B|A)=P(A∩B)/P(A) se pude despejar

P(A∩B)=P(A)P(B|A) expresión llamada Ley de multiplicación de probabilidades(A∩B) recibe el nombre de probabilidad conjunta y corresponde a la probabilidad de que se presenten resultados comunes a los eventos A y B.

Ejemplo 1: Al arrojar una moneda desequilibrada al aire, P(A)=1/3 y P(S)=2/3, en dos ocasiones, ¿cuál es la probabilidad de que en las dos ocasiones sea águila.

Solución: Auxiliándonos de un diagrama de árbol. ⅓

AS

AS

AS

A1

S1

A2S2A2S2

⅓

⅓⅔

⅔

⅔

P(A1∩A2)=P(A1)P(A2|A1)=P(A1∩A2)=1/3(1/3)= 1/9

Para determinar una probabilidad conjunta, digamos desatornilladores cortos con punta plana, de acuerdo con la tabla, es el cociente 60/135=0.444, que se obtuvo de dividir el número de desatornilladores cortos y que tienen punta plana, en términos de conjuntos, n(A2∩B1)=n21=60, entre el total de los desatornilladores del taller, ns=135.

Ejemplo 2: Se extraen dos cartas de una baraja española, una después de la otra sin devolución. La probabilidad que la segunda cartasea un rey, dado que la primera carta fue rey de bastos es:Solución:La baraja española consta de 4 reyes en 40 cartas. Después de la 1era extracción quedan 3 reyes en un total de 39 cartas. Entonces, la probabilidad pedida esP=3/39P=1/13

Probabilidades marginalesPara determinar una probabilidad conjunta, digamos

desatornilladores cortos con punta plana, de acuerdo con la tabla, es el cociente 60/135=0.444, que se obtuvo de dividir el número de desatornilladores cortos y que tienen punta plana, en términos de conjuntos, n(A2∩B1)=n21=60, entre el total de los desatornilladores del taller, ns=135.También se puede determinar la probabilidad marginal de cualquier evento Ai: P(Ai)=Ʃj=1nP(Ai∩Bj), en este caso la suma se realiza sobre los eventos Bj.Se puede demostrar que la suma de probabilidades marginales de los eventos Ai: o de los eventos Bj, es igual a uno, como se demuestra a continuación:

P(A1)=55/135=0.4075 yP(A2)=80/135=0.5925Por lo tanto Ʃi=1

2P(Ai)=1P(A1)+P(A2)=0.4975+0.5925=1

P(B1)=100/135=0.74 yP(B2)=35/135=0.26Por lo tanto Ʃi=1

2P(Ai)=1P(A1)+P(A2)=0.74+0.26=1

Ejemplo: En un taller mecánico tienen un total de 135 desatornilladores, los técnicos atribuyen a éstos dos características cuando se los piden a sus ayudantes, su longitud (largo y cortos) y la forma de la punta que embona en los tornillos (planos o de cruz) de acuerdo a la definición de eventos que sigue, la distribución es la siguiente:

Eventos

Característica

A1 LargoA2 CortoB1 Punta planaB2 Punta de Cruz

Evento A1 A2 TotalB1 40 60 100B2 15 20 35

Total 55 80 135Ejemplo 2

Probabilidades condicionales

Como su nombre lo indica se trata de determinar la probabilidad de que ocurra un evento A (aposteriori) dado que ya aconteció un evento B (apriori), y se representa mediante P(A|B), se lee probabilidad de A dado B o probabilidad de A condicionada a B.

En la probabilidad condicional, consideramos que de un espacio muestral S se conoce únicamente el evento B, que constituye un espacio muestral reducido.

Si el numerador y el denominador se dividen entre n(s) que es el número de elementos en el espacio muestral y aplicamos el concepto de probabilidad, tenemos:

P(A|B)=[n(A∩B)/n(S)]/[n(B)/n(S)]= P(A∩B)/P(B). De la última expresión P(A|B)=P(A∩B)/P(B), P(B) es la probabilidad del

evento condición o del evento que se presenta primero . De manera similar se puede pedir la probabilidad del evento B dado que

ya ocurrió el evento A P(B|A)=P(A∩B)/P(A), ahora P(A) es la probabilidad del evento condición o del que se presenta primero .

BS BS

A

Ejemplo1: Al arrojar dos dados resultan caras iguales, ¿cuál es la probabilidad de que sumen ocho?Solución: Identificamos los eventos dentro del espacio muestral: A = {caras iguales} = {(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)} B={sumen más de ocho}={(3,6),(4,5),(4,6),(5,4),(5,5),(5,6),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)} n(A)=6, n(B)=10 y n(A∩B)=2, aplicando la expresión P(B|A) n (A∩B)/n(A)=2/6=1/3 = 0.333 Ejemplo 2: Consideremos dos cajas, la caja 1 contiene 3 esferitas blancas y 4 rojas y la caja 2 contiene 8 blancas y 4 rojas. Se selecciona una caja al azar y luego se extrae una esfera al azar. Hallar la probabilidad de que la esfera sea blanca.Solución: Sea A el evento de seleccionar la caja 1 y AC el evento de seleccionar la caja 2, entonces P(A) = P(AC) = 1/2 ya que cualquiera de las dos cajas tiene la misma probabilidad de ser extraída. Sea B el evento de seleccionar una esfera blanca, entonces P(B/A) = 3/7 ya que en la caja 1 hay 3 esferas blancas en un total de 7 y P(B/AC) = 8/12 porque en la caja 2 hay 8 esferas blancas en un total de 12.Ahora bien, por la proposición 3.5 tenemos:

Eventos excluyentesEn el ámbito de la lógica y de la teoría de la probabilidad, dos proposiciones (o eventos) son mutuamente excluyentes o disjuntos si ambos no pueden ser verdaderos (o suceder simultáneamente). Un ejemplo de ello es el resultado de revolear una vez una moneda, el cual solo puede ser "cara" o "cruz", pero no ambos.....En el ejemplo de la moneda, ambos resultados son en teoría, Sucesos colectivamente exhaustivos , lo que quiere decir que por lo menos uno de los resultados debe suceder, por lo que estas dos alternativas comprenden todas las posibilidades. Sin embargo, no todos los eventos mutuamente excluyentes son exhaustivamente colectivos.

Ejemplo1: los resultados 1 y 4 de una única echada de un dado de seis caras son mutuamente excluyentes (ambas no pueden suceder a la vez) pero no son exhaustivamente conjuntos (existen otros resultados posibles; 2,3,5,6).

Ejemplo2: Si A y B son dos sucesos mutuamente excluyentes y la probabilidad de A es 0,2 y la de B es 0,5. Entonces, la probabilidad de que ocurran ambos sucesos es:Solución: La probabilidad pedida es P(A∩C). Como son eventos mutuamente excluyentes, ambos no pueden suceder a la vez. P(A∩C) = 0. 

Eventos no incluyentes

Ejemplo1 :Se elige al azar un número entero entre los 30 primeros enteros ¿positivos. ¿Cuál es la probabilidad de que el número sea primo o múltiplo de 5? Solución: Es claro que al escoger un número al azar, tenemos 30 números posibles o totales. Como nos piden uno u otro evento, usamos el teorema de la unión de eventos: P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)  A ≡escoger un número primo entre los 30 primeros enteros positivos      = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29} Luego, # A = 10 ⇒P(A) = 10 /30. B ≡escoger un múltiplo de 5 = {5, 10, 15, 20, 25, 30} Así, #B=6 ⇒P(B) = 6 /30. A∩B ≡escoger un número primo y múltiplo de 5 a la vez = {5} Luego, # (A ∩B) = 1 ⇒P(A∩ B) = 1 /30. Reemplazando las probabilidades de la derecha en el teorema: P(A∪ B) = (10/30)+(6/30)-(1/30)=(10+6-1)/30=15/30=1/2

Las reglas multiplicativasSi en un experimento pueden ocurrir los eventos A y B,

entonces (A ∩ B) = P(A)P(B|A), dado que P(A)>0.Así la probabilidad de que ocurran A y B es igual a la probabilidad de que ocurra A multiplicada por la probabilidad condicional de que ocurra B, dado que ocurre A.Como los eventos A ∩ B y B ∩ a son equivalentes, del teorema anterior se sigue que también podemos escribir.P(A ∩ B) = P(B ∩ A) = P(B)P(A|B).En otras palabras, no importa qué evento se considere como A y cuál como B.Ejemplo: Suponga que tenemos una caja de fusibles que contiene 20 unidades, de las cuales 5 están defectuosas. Si se seleccionan 2 fusibles al azar y se retiran de la caja, uno después del otro, sin reemplazar el primero, ¿cuál es la probabilidad de que ambos fusibles estén defectuosos?Solución: Sean A el evento de que el primer fusible esté defectuoso y B el evento de que el segundo esté defectuoso; entonces, interpretamos A ∩ B como el evento de que ocurra A, y entonces B ocurre después de que haya ocurrido A. La probabilidad de separar primero un fusible defectuoso es 1/4; entonces, la probabilidad de separar un segundo fusible defectuoso de los restantes 4 es 4/19. Por lo tanto,

P(A ∩ B) = (1/4)(4/19) = 1/19.

Ejemplo2: Si una moneda equilibrada se lanza dos veces, la probabilidad de que ambos lanzamientos den por resultado una “cara” es :Solución(1/2) x (1/2) = (1/4)

Las reglas aditivas

Si A y B son dos eventos, entonces P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B).

Ejemplo2: Al final del semestre, Juan se va a graduar en la facultad de ingeniería industrial en una universidad. Después de tener entrevistas en dos compañías donde quiere trabajar, él evalúa la probabilidad que tiene de lograr una oferta de empleo en la compañía A como 0.8, y la probabilidad de obtenerla de la compañía B como 0.6. Si, por otro lado, considera que la probabilidad de que reciba ofertas de ambas compañías es 0.5, ¿cuál es la probabilidad de que obtendrá al menos una oferta de esas dos compañías?Solución: Con la regla aditiva tenemos: P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)=0.8 + 0.6 - 0.5 = 0.9.

Las reglas de Bayes

Ejemplo1:Un Doctor dispone de tres equipos electrónicos para realizar ecosonogramas. El uso que le da a cada equipo es de 25% al primero, 35% el segundo en y 40% el tercero. Se sabe que los aparatos tienen probabilidades de error de 1%, 2% y 3% respectivamente. Un paciente busca el resultado de una ecografía y observa que tiene un error. Determine la probabilidad de que se ha usado el primer aparato. Solución:Se puede observar que la pregunta es sobre determinar la probabilidad de que un examen errado sea del primer aparato, es decir, ya ha ocurrido el error. Por lo tanto, debemos recurrir al teorema de bayes. Claro está, que es necesario de igual forma obtener la probabilidad de que los aparatos produzcan un resultado erróneo, por lo tanto:

Ejemplo1: Un médico cirujano se especializa en cirugías estéticas. Entre sus pacientes, el 20% se realizan correcciones faciales, un 35% implantes mamarios y el restante en otras cirugías correctivas. Se sabe además, que son de genero masculino el 25% de los que se realizan correcciones faciales, 15% implantes mamarios y 40% otras cirugías correctivas. Si se selecciona un paciente al azar, determine:a. Determine la probabilidad de que sea de género masculinob. Si resulta que es de género masculino, determine la probabilidad que se haya realizado una cirugía de implantes mamarios.Solución: La probabilidad de que sea de género masculino se refiere a un problema de probabilidad total, ya que es el suceso condicionado y las cirugías los condicionantes. Dicho valor será:

Como el suceso condicionado ha ocurrido entonces se aplica el teorema de bayes, luego, el valor de la probabilidad será:

Conclusión La probabilidad mide la frecuencia con la que se obtiene un resultado (o conjunto de

resultados) al llevar a cabo un experimento aleatorio, del que se conocen todos los resultados posibles, bajo condiciones suficientemente estables. La teoría de la probabilidad se usa extensamente en áreas como la estadística, la física, la matemática, la ciencia y la filosofía para sacar conclusiones sobre la probabilidad de sucesos potenciales y la mecánica subyacente de sistemas complejos. constituye un importante parámetro en la determinación de las diversas casualidades obtenidas tras una serie de eventos esperados dentro de un rango estadístico. ] La probabilidad de un evento se denota con la letra p y se expresa en términos de una fracción y no en porcentajes, por lo que el valor de p cae entre 0 y 1. Por otra parte, la probabilidad de que un evento "no ocurra" equivale a 1 menos el valor de p y se denota con la letra q. 

Dos aplicaciones principales de la teoría de la probabilidad en el día a día son en el análisis de riesgo y en el comercio de los mercados de materias primas. Los gobiernos normalmente aplican métodos probabilísticos en regulación ambiental donde se les llama "análisis de vías de dispersión", y a menudo miden el bienestar usando métodos que son estocásticos por naturaleza, y escogen qué proyectos emprender basándose en análisis estadísticos de su probable efecto en la población como un conjunto. No es correcto decir que la estadística está incluida en el propio modelado, ya que típicamente los análisis de riesgo son para una única vez y por lo tanto requieren más modelos de probabilidad fundamentales, por ej. "la probabilidad de otro 11-S". Una ley de números pequeños tiende a aplicarse a todas aquellas elecciones y percepciones del efecto de estas elecciones, lo que hace de las medidas probabilísticas un tema político. y en la paz y en los conflictos.

Bibliografía

http://probabilidadestadistic.blogspot.com/2010/09/tecnicas-de-conteo.html

http://pachucaestadisticaaplicada.blogspot.com/2010/09/probabilidadreglas-de-conteo.html

https://es.slideshare.net/yaritza_ing/probabilidades-marginales-presentation-659913

http://colposfesz.galeon.com/est501/probabi/teo/cap311/cap311.htm

http://proyest1.blogspot.com/p/blog-page_3746.html

https://es.slideshare.net/14anne/eventos-mutuamente-excluyentes-39703408

http://probyestjevp.blogspot.com/2008/10/reglas-multiplicativas.html

https://umgmetodos2011.wordpress.com/category/ejemplos-regla-multiplicacion/

http://www.vadenumeros.es/sociales/probabilidad-condicionada.htm