PROBABILIDAD

t

~

la ,

~

1

Captulo 5

Vari ables aleatorias

INTRODUCCION Volvamos ahora sobre el concepto de funcin. Sean S y T conjuntos arbitrarios. Supngase que

a cada s E S se asigna un elemento nico de T; la coleccin f de tales elementos se llama funcin (o aplicacin) de S en T y se escribe I S ~ T. Escribimos 1(5) en lugar del elemento de T qu e f hace co-rresponder a s E S Y lo llamamos la imagen de s por f o valor de f en s. La imagen f(A) de un su b-conjunto A de S y la imagen inversa f'-I(8) de un subconjunto 8 de Tsc definen por

I(A) = {f(s): S E A} y 1- 1 (B) = {s: [(s) E B} En otras palabras, f(A) est formado por las imgenes de los puntos de A, y -1(8) est formado por aquellos puntos cuyas imgenes pertenecen a 8. En particular, el conjunto 1(S) de todas las imgenes se llama el conjunto imagen (o : imagen o recorrido) de!

Supongamos ahora que S es el espacio muestral de algn experimento . Como anotamos previa-mente, los resultados del experimento, es decir ,. los puntos muestra les de S. no necesitan ser nmeros. Sin embargo, frecuentemente deseamos asignar un nmero determinado a cada resultado; esto puede ser la suma de los puntos de un par de dados, el nmero de ases de una mano de "bridge" , o el tiem-po (en horas) que gasta una lmpara en fundirse . Tal asignacin se denomina variable aleatoria; ms precisamente,

Definicin: Una variable aleatoria X de un espacio muestra! S es una ,"uncin de S en el conjunto R de los nmeros reales tal que la imagen inversa de cada intervalo de R es un evento (o suceso) de S.

Hacemos nfasis en que si S es un espacio discreto en el cual cada subconjunto es un suceso, en-tonces cada funcin de valores reales de S es una variable aleatoria. Por otra parte, se puede compro-bar que si S es no contable, entonces ciertas funciones de valores reales de S no son variables aleatorias.

Si X y Y son variables aleatorias del mismo espacio muestral S. entonces X + y. X + k. kX y XY (donde k es un nmero real) son funciones de S definidas por

(X + Y)(s) = X(s) + Y(s) (X + k)(s) == X(s) + le

(lcX)(s) = kX(s) (XY)(s) = X(s) Y(s)

para todo s E S. Se puede comprobar que estas variables tambin son aleatorias. (Esto es trivial en el caso de que cada subconjunto de S sea un suceso.)

Usamos la notacin abreviada P(X = a) y Pea ~ X ~ b) para la prohabilidad de los succsos "X toma el valor a" y "X toma valores en el intervalo [a. b j ." Esto es,

y

P(X = a) P(a ~ X -== b)

P({s E S: X(s) == a}) P({sES: a~X(s)~b})

Significados anlogos se dan a P(X~ a), P(X == a, Y = b), P(a ~ X ~ b, e ~ Y ~ d), etc.

74

CAP. 5] VARIABLES ALEATORIAS 75

DISTRlBUCION y ESPERANZA DE UNA VARIABLE ALEATORIA FINITA Sea X una variable aleatoria de un espacio muestral S con el conjunto imagen finito; a saber,

X(S) = IXI. X2. X n 1. Convertimos X(S) en un espacio de probabilidad definiendo la probabili-dad de Xi como P(X = Xi) que escribimos f(Xi)' Esta funcinfde X(S), o sea, definida como f(xI) = P(X = Xi), se llama lafunciII de distribucin O probabilidad de X y se expresa generalmente en forma de tabla:

Xl X2 ., . X n

f(x l ) f(xz) ., . f(x n )

La distribucin f satisface las condiciones n

y (ii) L (XI) = 1 1=1

Ahora si X es una variable aleatoria con la distribucin anterior, entonces la media o esperanza (o: \'G/or esperado) de X. denotada por E(X) o flx, o simplemente E o fl, se define como

E(X) Esto es, E(X) es el promedio pOllderado de los valores posibles de X. cada valor ponderado por su pro-babilidad.

Ejemplo 5.1: Se lanza un par de dados corrientes . Obtenemos el espacio finito equiprobablc S que consta de las 36 pa-rejas ordenadas dc nmeros entre l y 6:

s = {(l, 1), (1,2), ... , (6, 6)} Sea X qut: hace corresponder a cad a punto (a. b) de S el mximo de sus nmeros, o sea, X(a. b) = max(a . b). Entonces X es un a variable aleatoria cuyo conjunto imagen e~

X(S) = {l, 2, 3, 4, 5, 6} Calculamos la distribucin f de X:

f(l) P(X= 1) P({(1,l)}) - ..!.. 36 f(2) P(X=2) = P(c(2, 1), (2,2), (1, 2)}) ~ 36 f(3) P(X = 3) P({(3, 1), (3,2), (3,3), (2,3), (1, 3)}) ~ 36 f(4) P(X = 4) P( {(4, 1), (4,2), (4,3), (4,4), (3,4), (2,4), (1, 4)})

Similarmente,

1(5) = P(X = 5) = fe- y f(6) Esta inrormaci n s

76 VARIABLES ALEATORIAS [CAP. 5

A continuacin la distribucin g de y.

Obtenemos, por ejemplo, para los que la suma de ,.,,,nnnA,,pn

del hecho de que, (1, 3), (2, 2) Y (3, 1) son aquellos puntos de S es 4; por tanto

17(4) P(Y 4) = P( {(l, 3), (2,2), (3, I)})

La media de Y se ca icu la como ,iglH':

E(Y) 2l+3~+ 36 ~6 12' L = 7 36 Los siguientes (jagramas describen grficamente las distribuciones anteriores:

o~ . __ ~ J J J 11lLLh 2 3 6 9 10 JI 12

Distribucin de X Distribucin de Y

Obsrvese que las lneas verticales dihujadas sobre los nmeros del eje horizontal son proporcionales a sus probabilidades

Ejemplo 5.2: Una moneda cargada tal que P(Jl) .~ y P(T) ! se I,wza tres veces. Las probabilidades de los puntos del espacio muestral S = f HHH. HHT, HTH, HTT. TlHI, TlH, TTH, TTT I son las siguientes:

P(HHH) i .~ . 11 8 P(THH) = a i .. 1 1 2'i 27 P(HHT) i . i 'a 4 P(THT) k -2 'i ~ 27 , , 27 P{HTH) 'k'n 4 P(TTH) !'k' 2 2'i 27 P(HTT) t! 2 P(TTT) l'!'! == 1-2'i 27

Sea X la variable que asigna a cada punto de S el mayor nmero de caras sucesivas que suceda. As,

X(TTT) O X(HTH) X(HHT)

1, X(HTT) 2, X(THH) 3

1, X(THT} 2

1, X(TTH}

El conjunto imagen de X es X(S) = lo. 1, 2, 3 lo Calculamos la distribucin f de X.

feO) f(l) f(2)

f(3)

P(TTT) :::: 1-27 P({HTH, HTT, THT, TTH})

= P{{HHT, THH}) :::: .!. +.!. ::::: JL 27 21 27 P(HHH)

1

10 27

CAP. 51 VARIABLES ALEATORIAS

Esta informacin se tabula en la siguiente forma:

La media de X se calcula como sigue:

E(X) 3' J!.. 27 = 1,85

77

Ejemplo 5.3: Se selecciona al azar una muestra de tres artculos de una caja que contiene 12 de los cuales 3 son defec-tuosos. Hallar el valor esperado E de los artculos defectuosos.

El espacio muestral S consta de las (1,2) mao 3. Notamos que hay: 3

220 muestras diferentes

(:) 84 muestras sir art cu los defectuosos;

3' (:) 108 muestras con I artculo defectuoso;

(23) . 9 27 muestras con 2 artculos defectuosos;

(3) _ I muestra con J artculos defectuosos 3 -As la probabilidad de coger 0, ,2 Y 3 artCulos defectuosos es

y 1/220. As el nmero esperado E de los artculos defectuosos e"

E o- + 1- + 2' + 3'

posibles de ta-

84/220. I Og /220,

0.75

No/a: Implcitamente obtuvimos el valor esperado de la variable aleatoria X que asigna a c

V"' \


Un simple argumento de induccin conduce al

Corolario 5.3: . , X n variables aleatorias de S.

E(X + ... + X n) E(X) + ... + E(X,,)

VARIANZA Y DESVIACION ESTANDAR

La media de una variable aleatoria X mide, en cierto el valor "promedio" de X El con-el de la varianza de mide el de X.

Sea X una

Entonces la varianza de denotada por var()\'). se define como TI

var (X) L (Xi - p.)2 (Xi) = E((X - p.)2) .=1

donde p. es la meda de X La estndar de X, denotada por ax , es la raz cuadrada de var(X ):

El teorema siguiente nos da una alternativa y algunas veces una frmula ms til para calcular la varianza de la variable aleatoria X.

" Teorema 5.4: var (X) = L X~ (Xi) j= 1

Prueba. Usando 1, tenemos

10 cual el teorema.

j (Xi) X7 (Xi)

5.5: Considrese la variable aleatoria X del 5.1 (que asigna el mximo de los nmeros que se mues-tran en un par de dados). La distribucin de X es

y su media es P-x 4,47. Calculamos la varianza y la desviacin estndar de X Primero calculamos E(X'):

E(X2)

21,97 entonces

var (X) = E(X2) ~ 21,97 - 19,98 :::: 1,99 y 1,4 Ahora consideramos la variable aleatoria Y del ejemplo 5.1 (que asigna la suma de los nmeros

que se muestran en un par de dados). La distribucin de Yes '.

CAP, 51 VARIABLES ALEATORIAS 79

y su media es E(Y 1):

= 7, Calculamos la varianza y la desviacin estndar de Y. Primero calculamos

22. 1- + 32. ~ + .. " + 122 ..l = 36 36 86 54.8 entonces

var (Y) 54,8 - 49 5,8 y Uy = 2.4

algunas propiedades de la en el

Teorema 5.5: X una variable aleatoria y k un nmero real. Entonces (i) var(X + k) var(X), Y (ii) var(kX) k 2 var(X). Por lo tanto, O'X+k O'x Y (1IcX !k!uX'

Nota 1. Hay una interpretacin fsica de la media y la varianza. Supngase que para cada punto XI sobre el eje X se coloca una unidad con masa f(x 1). Entonces la media es el centro de grave-dad del sistema, y la varianza es el momento de inercia del sistema.

Nota 2. Muchas variables aleatorias dan origen a la misma distribucin; de aqu que hablemos fre-cuentemente de la media, la varianza y la de una distribucin en lugar de la variable aleatoria fundamental.

Nota 3. Sea X una variable aleatoria con media Ji. y estndar (1 > O. La variable aleato-ria X* estandarizada que corresponde a X se define por

X*

Comprobamos que E(X*) = O Y var(X*) (problema

DISTRIBUCION CONJUNTA Sean X y Y variables aleatorias de un espacio muestral S con los respectivos conjuntos imagen

X(S) y = {y!, Y2, ... , Ym} Formamos el conjunto producto

en un espacio de probabilidad definiendo la probabilidad de la pareja ordenada . Y) como P(X XI, y = y J) que escribimos h(x l. Yi). Esta funcin h de X(S) X Y(S) , esto es, definida por h(x. Yi)

P(X = XI. Y = YI), se llama distribucin conjunta o funcin de probabilidad conjunta de X y Y Y se da en forma de tabla por lo general:

~ Yl Y2 ... Ym Suma XI h(x.1/I) h(x. Y2) ... h(x,Ym) !(xl) xz h(X2, h(X2,1/2) .. h(X2'Ym) !(X2) .. . .. . .. . ... . .. ., .

x" h(xn YI) h(x,l' Y2) " . h(xn .1Im ) f{xn}

Suma g(y) V(yz) ... g(Ym)


Las funciones g anteriores se definen por

y

o sea,

columna ) es la suma de los elementos de la fila y ) es la suma de los elementos de la

son llamadas distribuciones marginales y son, de hecho, las distribuciones (individua-les) de /t y Y (problema 5. I La distribucin conjunta / satisface las condiciones

y (ii) h(Xi, y) 1 Ahora si X y Y son variables aleatorias con la distribucin conjunta anterior (y las lvas

medias ;'x y jJ.y), entonces la covarianza de X y Y denotada por cov(X, Y), se define por cov (X, Y)

o (ver problema 5.18) por cov (X, Y)

La correlacin de X y y, denotada por p (X, Y), se define por

p(X, Y) La correlacin p no es dimensionada y tiene las siguientes

(i) p(X, Y) p(Y, X) (i) -1 ~ p ~ 1

(iii) p(X, X) = 1, p(X, (iv) p(aX + b, cY + d)

E(XY) - ;'x;'y

p(X, Y), si a, e =F O Ms adelante (ejemplo 5 mostrarnos parejas de variables aleatorias con duales) idnticas pueden tener covarianzas y diferentes. As cov(X. medidas de la manera corno /Y y Y estn

(ndivi-, Y) son

5.6: Se lanza un par de dados corrientes. Obtenemos el espacio parejas ordenadas de nmeros entre 1 y 6:

finito S que est formado por 36

S {(1, 1), (1,2), ... , (6,6)} Sean X Y V las variables aleatorias de S en el 5.1, o sea, X designa el mximo nmero y Y la su-ma de los nmeros de cada punto de S. La distribucin conjunta de X y }' es la siguiente:

y 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Suma X

1 1 O O O O O O O O O O 1 36 36

O 2 1 O O O O O O O O 3 2 36 36 36

3 O O 2 2 ! O O O O O O ~ 36 36 36 36

O O ~ 2 2 1 O O O O 7 4 O 38 3ii 3iI

6 O O O O 2 2 2 2 1 O O 36 36 36 36 3iI 2 2 2 1 11 6 36 3ii 36 3iI 36

Suma " J!. 2 1

3ii 36 36 36

CAP. 5] VARIAIJU:S ALEA fORIAS 81

elemento anterior }J, 5) fa viene del hecho de ljue (\ 2) Y 3) son los nleos puntos de S cuyo nmero mximo es J y CUyJ suma e, 5; pOI tanto,

5) == P(X = 3, Y 5) P( {(3, Los otros elementos "e obtienen de manera similar.

Calculemos la covarianlJ y la correlacin de .r y y Primero calcukmo.' E(.\ y):

2- 3-~ 34,2

+ 6 -12'

Por el 5,1, ;'X = 4,47 Y J.y 7 Y por el ejemplo 5,5, CJx 1,4 y Uy 2,4; de al~ll J4,2 - (4,47)(7) =

y

Ejemplo 5.7: Sean X y Y, Y X' Y }" variables alealOflJS con las d,tflbuCl ... , Xi, Y - Yj, , .. , Z

VARIABLES ALEATORIAS INDEPENDIENTES dice que un nmero finito de variables aleatorias X. y,

independientes si

Xi, Y :::: y j, . , Z P(Y =--:

. Z de un

... P(Z

82 VARIABLES ALEATORIAS [CAP, 5

para valores Xi, Xl, x y y son independientes si

P(X Ahora si X y Y tienen las distribucionesfy g, respectivamente, y la distribucin conjunta h, entonces la ecuacin anterior se puede escribir como

h(x, YJ) (XI) g(y) En otras palabras, X y Y son independientes si cada elemento h(x, Yi) es el producto de sus elementos marginales.

Ejemplo 5.8: Sean X y Y variables aleatorias con la distribucin conjunta siguiente:

~ 2 3 4 Suma 1 0,06 0,15 0,09 0,30 2 0,14 0,35 0,21 0,70

Suma 0,20 0,50 0,30

As, las distribuciones de X y Y son como sigue:

Distribucin de X Distribucin dc Y

X Y Y son variables aleatorias independientes puesto que cada elemento de la distribucin conjunta pue-de oblenerse multiplcando sus elementos esto es,

P(X = Xi' Y = YJ) para cada i y cada j.

Establezcamos algunas propiedades importantes de variables aleatorias que no se cumplen en ge-neral, a

Teorema 5.6: Sean X y Y variables aleatorias independientes. Entonces: (i) Y)=E(X)E(Y), (ii) var (X Y) var (X) + var (Y), (iii) cov(X, Y) = O.

La parte (ii) del teorema anterior al muy importante

Teorema 5.7: Sean XI, '. X" variables aleatorias independientes. Entonces var (Xl + ... + X .. ) var (Xl) + '" + var (X .. )

FUNCIONES DE UNA VARIABLE ALEATORIA

Sean X Y Y variables aleatorias del mismo espacio muestral S. Entonces se dice que Y es una fun-cin de X si Y puede por alguna funcin de valor real de una variable real Y ); esto es, si Y(s) [ X(s) J para todo s E Por ejemplo, kX. X, X k Y (X + k)2 son todas funciones de X con (x) kx, x 2 , X k Y (x + k)2 respectivamente. Tenemos el teorema funda-mental

CAP, 5] VARIABLES ALEATORIAS

Teorema 5.8: Sean X y Y variables aleatorias de u,n mismo espacio muestral S con Y tances

E(Y) := donde f es la funcin de distribucin de X.

83

(X). En-

se dice que una variable aleatoria Z es una (X, Y) donde es una funcin de valor real de

de X Y Y si Z se puede represen-tar por Z variables esto es, si

Z(s) [X(s), Y(s)] para todo s E S. al teorema anterior, tenemos

Teorema 5.9: Sean X. Y y Z variables aleatorias del mismo espacio muestral S con Z Entonces

E(Z) donde h es la distribucin conjunta de X y Y.

(X. Y),

Hacemos notar que los dos teoremas anteriores se usaron implcitamente en la discusin y teore-mas Tambin hacemos notar que la prueba del teorema 5.9 se da como un problema pro-

y que el teorema se para una funcn de n aleatorias en forma obvia.

VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS EN GENERAL Ahora su

o sea, X(S) que X es una variable aleatoria de S con un conjunto infinito contable;

Xl, X2, .. l. Tales variables aleatorias junto con aquellas de conjuntos imagen finitos atrs) son llamadas variables aleatorias discretas. Como en el caso finito, construimos

X(S) en un de probabilidad definiendo la probabilidad de XI como f(xl) = P(X Xi) Y llamamos(la distribucin de x:

El valor ) y la varianza var(X) se definen por

E(X)

var (X)

cuando las convergen absolutamente. Se puede demostrar que var{X) existe s y slo si . = E()() Y E(X 2) existen ambos y que en este caso la frmula

var E(X2) 11.2

es vlida justamente como en el caso finito. Cuando var(X) existe, la desviacin estndar O'x se define como en el caso finito por

Las nociones de distribucin conjunta, variables aleatorias independientes y funciones de variables aleatorias se extienden directamente al caso general. Se demostrar que si X y Y estn definidas en el mismo espacio muestral S y si var(X) y var(Y) existen, entonces las series

84 YARIAIlLlS \Lh\fORIAS [CAP . 5

cov (X, Y) convergen absolutamente y la relacin

cov (X, Y) E(XY) - IAxlAy

se cu mpl e Justamente como en e l caso finito.

Nota: Para evadir tecnicismos establece remos muchos teoremas en este captulo nicamente para va-riables aleatorias finita s.

VAfHABLES ALEATORIAS CONTINUAS

a b

Supll~asc que ,\ ' es ulla variable aleatoria '~ L1) O conjunto im agcn X(S) es un conjunto con-tinuo de nLIJll eros tal es como un intervalo. Recal-call1()~ de la definicin d:: variables aleatorias que el conjunto I a ~ ,X ~ h I es un suceso de S y. por consi~ujente. la probabilidad l'(a ~ X ~ 17) eq~' bien definida. SlIponemos que existe ulla funcin continua espsci al I H ~ R tal que P(u ~ .\;' ~ h) e\ Igual al ll:a bajo la curva de entre x = a y x """ /) (como se mueslra a la der i :c11a). En el len gu aj e del clculo, P(a ~ X ~ b) = rea de la parle sombreada

P(a .X .b) i b f(x) dx [ n eqe caso se dicc ljUC )( es ulla \'I7riahlc a/catoria contillua. La funcin f se llama funcin de distribu-cil/ o de probahilidad col/tinlla (o i/llcl()1I de dCl/sidad) de X; qu e satisface la s condiciones

(i) f(x):::O O y (i) i f(x) dx == 1 Esto es.fes no negativa y el rea total baJO su curva es \.

El vlor espCl'lIdu f:(X) ~e Ll efi ne por

E(X) J~ x f(x) dx cuando existe. LI S funciones de variabl es aleatorias se definen ju stamente como en el caso discreto; y puede demostrarse que si }' = (X). entollce~;

E(Y) ( w(x) f(x) dx J R cuando el miembro de la derecha existe. La varia/lza var(X) se delinc por

var (X) i (x - fL)2 f(x) dx cuando existe. Justamente como cn el ca~o Lliscrcto, se puede demostrar que var(X) existe si y s lo si lA ~ E(X) y L(X 2) existen y, por tanto,

var (.Al

CAP. 51 VARIABLES ALEATORIAS 85

La desviacin estndar (Jx se define por (Jx cuundo val' existe. Ya habamos hecho hincapi en que estableceramos muchos resultados para variables aleatorias

y los daramos por supuestos en el caso general discreto yen el caso continuo.

Ejemplo 5.9: Sea X una variable aleatoria continua con la distribu-cin siguiente:

si O ~ 2 en otra parte

Entonces P( IX"" 1,5) = rea de la regin

sombreada del diagrama

Grfico de f

Calculamos luego valor la varianza y la de,vlacn estndar de x.

E(X) Jx dx f2 dx =: 4 6 3 R. O E(X2) j~ X2 f(x) e/x foZ dx 2

- p.2 2 16 2 ~ 1 var 9 y Ux 3 Un nmero finito de variables aleatorias continuas, a saber X, y, , Z, se dice qut:: son inde-

pendientes si para unos intervalos la, a']' lb, b']" le, e']' P(a a', b === Y , "., e Z x y .. , P( e Z =:: e')

Obsrvese que los inlervalos desem discrdo.

el mismo en el caso continuo que los en el caso

FUNClON DE DISTRI ACUMULATIVA Sea X una aleatoria (discreta o continua). La de aculilula/iva F de

X es la funcin F. R -, R definida por

F(a) a) Si X es una variable aleatoria discreta de distribucin f. entonces F la "funcin escalonada" defini-da por

F(x) f(Xi)

Por otra parle, si X es una variable aleatoria continua de distribucin f. entonces

F(x) = f(t)

En ambos casos, F es montona esto es

F(a) =::: F(b) siempre que a === b y el lmite de F a la es O Y a la derecha es 1:

lim o y lim F(x) 1 x"',,

86 VARIABLES ALEATORIAS

Ejemplo 5.10: Sea X un variable aleatoria discreta con la distribucin siguiente:

XI -2 1 2 4

(x,) i ! t ! El grfico de la funcin de distribucin acumulativa F de X es

-3 -2 -1 o 2 3 4

Grfico de F

Obsrvese que F es una "funcin escalonada" con un escaln en xI de altura (XI).

Ejemplo 5.11: Sea X una variable aleatoria continua con la dis-tribucin siguiente:

(x) = . {!X si O ~ x :::: 2 O en cualquier otra parte -1 o 2

Grfico de fe/') La funcin de distribucin acumulativa F y su grfico se muestran as:

{;., si x 2

-1 o 2

Aqu[ nos valemos del hecho que para O ~ x:::: 2, Grfico de F

F(x) = .f" ttdt i x2 O

DESIGUALDAD DE TCHEBYCHEFF. LEY DE LOS GRANDES NUMEROS

[CAP. 5

3

S

La idea intuitiva de prcibabilidad es la tan nombrada "ley de los promedios", esto es, si un evento A sucede con probabilidad p. entonces el "nmero promedio de sucesos de A" se acerca a p tanto co-mo el nmero de pruebas independientes aumenta. Este concepto se precisa con la ley de los grandes nmeros que se establece luego. La prueba de este teorema se vale de la bien conocida desigualdad siguiente de Tchebycheff:

Teorema 5.10: (Desigualdad de Tchebycheff): Sea X una variable aleatoria con promedio p. y des-viacin estndar CT. Entonces para cada I! > O,

P(IX - p.1 ~ t) ~ ; Prueba. Empezamos con la definicin de varianza:

~ = var (X)

CAP, 51 VARIABLES ALEATORIAS 87

En las series anteriores suprimimos todos los trminos para los cuales Ix, ~ tI < f. Esto no aumen-ta el valor de las puesto que todos sus son no esto es,

donde el asterisco indica que la sumatoria se extiende solamente sobre aquellos i para los cuales IXi .tI ~ L As, esta nueva sumatoria no aumenta en valor si remplazamos cada Ix! - tI por ( ; esto es,

a la probabilidad que IX .tI t; por tanto, ~ f2P(IX - .tI ~ l)

Dividiendo por ~ conseguimos la desigualdad

Teorema 5.J J: (Ley de grandes nmeros): XI, ., una sucesin de varables aleatorias inde-pendientes con la misma distribucin con promedio .t y u 1 Sea

= (Xl + + . , . + X,,)/n (llamada la muestra media). Entonces para un ( > O

lim P(ISn - .tI ~ f) n-oo

Prueba, Ntese primero que

E(Sn)

Puesto que XI,. , X n son var (Xl + ... + X>l)

Por consiguiente por el teorema 5,5(i),

var == var

As, por la desigualdad de Tchebycheff,

El teorema resulta del hecho de que el

Las notas siguientes son en su orden:

O o equivalentemente n"'''

n n

del teorema 5.7 se deduce que var (Xl) + ... + var (XIt)

1 var (Xl + . , . + X n )

P(ISn

t

a la derecha es O cuando n -1> ao.

;.I < f)

=

1

n

Nota 1, Probamos la desigualdad de Tchebycheff solamente para el caso discreto. El caso continuo se una prueba anloga en que se usan en de sumatorias.

Nota 2. Probamos la ley de los nmeros grandes solamente para el caso en que la varianza de XI, esto es, no diverge. Observamos que el teorema es verdadero siempre que E(X ,) existe.

Nota 3. La ley de los grandes nmeros anteriores llamada tambin la ley dbil de los grandes nmeros a causa de un teorema similar, pero ms firme, llamado la ley fuerte los grandes nmeros.

88 VARIABLES ALEATORIAS [CAP, 5

Problemas resueltos

VARIABLES ALEATORIAS Y V ALaR ESPERADO 5.1. Hallar el valor p., la varianza a2 y la estndar O' de cada una de las siguien-

tes distribuciones:

(i)

(i) /l:::: x/(x) 2' k + 3 t + 11 i 4 ~ x; f(xJ :::: 22 i + 32 t + 112 i 26 0'2 :::: .l: x; !(XI) - p.2 26 - 16 ;:::: 10 (1 ;:::: v'1o ;:::: 3.2

/1 .l: xl!(XI) -5 t - 4' k + 1 t + 2 '1 -1 x; (xI) :::: 25' i + 16'1 + l' t + 4 'i 9,25

(12:::: !(XI) - /12 == 9,25 - 1 :::: 8,25

(1 - ...[8I5 :::: 2,9

Ji. .l: x/(x) 1(0,4) + 3(0,1) + 4(0,2) + 5(0,3) 3 .l: (x) :::: 1(0.4)+9(0,1)+1 +25(0,3) 12 a2. .l: x; !(XI) - /12 ;:::; 12 - 9 :::: 3 (1 :::: va 1.7

5.2. lanza un dado corriente, X como el doble del nmero que aparezca, y denotemos V como 1 3 que el nmero sea impar o par. Hallar la distribucin, el valor esperado, la varianza y la desviacin estndar (i) X, (ii) Y, (iii) X y, (iv) XY.

El muestral es S = 1 1,2,3,4,5,61, Y cada nmero aparece con probabilidad t (i) X(I) = 2, X(2) 4, X(3) 6, X(4) 8, }1'(5) 10, ,\'(6) 12. As X(S) ( 2,4,6,8, 10, 121 Y cada nmero

tiene probabilidad i. As, la distribucin de X es como

Por consiguiente,

J1.x E(X) = :;z, x (xi) == 2 '1r + 4' i + 6' i + 8 '1 + 10' i + 12' t == 1f 7

:::: ~ x~ (Xl) ::;;; 4' i + 16'! + 36' i + 64' t + 100 i + 144' i

var (X) :::: E(X2) pi = 3,4

60,7 - (7)2 ::: 11,7

864 == 6 60,7

CAP. 5] VARIABLES ALEATORIAS 89

(ii) Y(l) == 1, Y(2) == 3, Y(3) = 1, Y(4) = 3, Y(5) = 1, Y(6) == 3. O sea: Y(S) == {1,3} y U(l) == P(Y==l) == P({1,3,5}) == ~ == 4 y g(3) == P(Y = 3) == P({2, 4, 6}) == ~ 1 2' De esta forma la di st ribucin de Y es como sigue:

Vi 1 3

g(YJ) ! ! En consecuencia,

I'y == E(Y) = ~ YJ g(YJ) == 1'! + 3'! 2 / E(y2) == ~ V~ g(Vj) == 1'! + 9'! 5

2 var (Y) E(Y2) _ ,.,. 2 == 5 (2)2 1 ay y ay Vi 1

(iii) Usando (X + v)(s) = X(s) + Y(s) , obtenemos (X + Y)(l) == 2 + 1 == 3 (X + Y)(2) == 4 + 3 = 7

(X + Y)(3) = 6 + 1 == 7 (X + Y)(4) = 8 + 3 = 11

(X + Y)(5) 10 + 1 == 11

(X + Y)(6) == 12 + 3 == 15

Por consiguiente, el conjunto imagen es (X + Y)(S) = 13, 7, 11 , 151 Y 3 Y 1 S suceden con probabilidad k, y 7 Y 11 con probabilidad ~ . Esto es, la dist ribu cin de X + Y es como sigue:

Z 3 7 11 15

p(z) ! 2 2 1 6 6 6 6 As,

E(X + Y) - 3'! + 7' ~ + 11, ~ + 15'! == ~ == 9 - 6 6 6 6 6

EX + y)2) == 9'! + 49' ~ + 121' ~ + 225'! = 6H == 95,7 6 6 6 6 6 var (X + Y) == EX + y)2) _,.,.2 == 95,7 - 92 == 14,7 Ux + y = ."jT4j = 3,8 Nt ese que, E(X) + E( Y) = 7 + 2

12,7 #- var (X + Y). 9 E(X -+- Y), pero va r (X) + var (Y)

(iv) Usa ndo (XY)(s) == X(s) Y(s), obtenemos

11 ,7 + 1

(XY)(l) = 2, 1

(XY)(2) = 4' 3

2

12

(XY)(3) 6 '1 == 6

(XY)(4) = 8, 3 == 24

(XY)(5) == 10, 1 == 10

(XY)(6) = 12' 3 == 36

Por tanto, la distribucin de X Y es como sigue:

W 2 6 10 12 24 36

p(w) i t i t t t As,

EXY)2) 4 'i + 36' t + 100' i + 144'! + 576, t + 1296'! 21~6 == 3593

6 '

var (XY) = EXY)2) - 1'2 359,3 - 152 134,3

voo == 11 ,6


5.3. Una moneda cargada para que P(H) = i y P(T) = i se lanza tres veces. Sea X la variable aleatoria que denota la mayor hilera de caras (sucesivas) que aparezca. Hallar la distr.bucin, la esperanza, la varianza y la desviacin estndar de X.

La variable aleatoria X se define en el espacio muestral

s = {HHH, HHT. THH, Los puntos de S tienen las probabilidades respectivas siguientes:

.11 II lt 4.t 4-P(HHT) l'~-l

1'!'! _ .. P(HTT) .~' i' i

Puesto que X denota la mayor hilera de caras,

X(TTT) O; X(HTT) 1, X(HHT) :::: 2,

P(THH) P(THT)

P(TTT)

1,

:= 2;

As, el conjunto imagen de X es X(5) = lo, 1, 2, 3 1. La probabilidad do las de los puntos de S cuya imagen es x :

P(TTT) == 1(0) 1(1) P(HTT) + P(HTH) + {(2) P(HHT) + P(THH) (3) P(HHH)

Por consiguiente, la distribucin de X es como sigue:

As,

p. E(X) O' + 1 + 2-:::: O- + 1- + 4- + 9'

(12 var (X) E(X2) - p.2 5,2 (f :::: 0,9

+ 3'

- (2, 1)2

+

t'i'! t'J'!

- i'i-! .- t-!'!

1, 1;

3

de cada nmero XI de X(S) se obtiene suman

2,1

0,8

J R U4

5.4. Se lanza una moneda corriente hasta que resulte una cara o cinco sellos. Hallar el valor esperado E de los de la moneda.

Si sale cara en la primera vcz sucede un lanzamiento solamente, esto cs. el suceso H. Si el primero es sello y el se gundo cara suceden dos lanzamientos, esto es el evento TH. Si los dos primeros son sellos y el tercero cara, suceden tres lanzamientos esto es el suceso TTI-l, Si resulta TTTH suceden cuatro lanzamientos y si resultan TTTTH o TTTTT su-ceden cinco lanzamientos. Entonces

=- P(H) ! ' (2) P(TH) t 1(3) = P(TTH) -Ir 1(4) P(TTTH) {(5) P(TTTTH) + +

Por tanto, + 5- 1,9.

CAP. 51 VARIABLES ALEATORIAS

5.5. Se dibujan dos crculos concntricos de radios I y 3 pulgadas dentro de un blanco circular de 5 pulgadas de radio. Un hom-bre recibe 10, 5 3 puntos segn pegue en el blanco dentro del crculo menor, en el anillo intermedio o en el anillo ex-terior respectivamente. Supongamos que el hombre da en el blanco con probabilidad t y, por tanto, es lo mismo de posible que pegue en un punto del blanco como en otro. Ha-llar el valor esperado E de los puntos que marca cada vez que dispara.

La probabilidad de mardr 10,5,3 puntos es:

1 rea de 10 puntos !. , '/1"(1)2 1 = 1(10) 2 rea blanco 2 . lT(5)2 50

1(5) !. . rea de 5 puntos ! , 7T(3)2 - '/1"(1)2 2 rea blanco 2 '/1"(5)2

1(3) 1 rea de 3 pu n tos ! , lT(5)2 - '/1"(3)2 - . 2 rea blanco 2 lT( 5)2 1(0) 1 2

As, E = 10' -lo + 5 k + 3' !t + o' i = ~ = 1,96.

91

8 50

16 50

5.6. Un jugador lanza dos monedas corrientes. Gana $\ $2 segn que aparezcan I 2 caras. Por otra parte, pierde $5 si no aparece cara. Determinar el valor esperado E del juego y si ste es fa-vorable al jugador.

La probabilidad de que 2 caras sucedan es 1; de 2 sellos es 1 y de I cara es t . As la probabilidad de ganar $2 es l, de ganar $1 es !' y de perder $5 es l. Por tanto E = 2 '1 + l' t - 5' 1 = -i = -0,25. Esto es, el va lor esperado del juego es menos 254, y en esta forma es desfavorable al jugador.

5.7. Un jugador lanza dos monedas corrientes . Gana $5 si aparecen 2 caras, $2 si aparece I cara y $\ si ninguna cara aparece. (i) Hallar la ganancia esperada. (ii) Cunto debe pagar para jugar si el juego es legal? (i) La probabilidad de ganar $5 es l, de ganar $2 es t y de ganar $1 es 1; por tanto E = 5 '1 + 2' t + 1 '1 =

2,50. esto es, la ganancia esperada es $2,50. (ii) Si paga $2,50 para jugar, entonces el juego es legal.

DISTRIBUCIONES CONJUNTAS, VARIABLES ALEATORIAS INDEPENDIENTES

5.8. Supngase que X y Y tienen la siguiente distribucin conjunta:

~ -3 2 4 1 0,1 0,2 0,2

3 0,3 0,1 O,J

Suma 0,4 0,3 0,3

(i) Hallar la distribucin de X y de Y. (ii) Hallar la cov (X, Y), esto es, la covarianza de X y de Y. (iii) Hallar p(X, Y), esto es, la correlacin de X y de Y. (iv) X y Y son variables aleatorias independientes?

4 PROBABILIDAD

Suma

0,5

0,5

92 VARIABLES ALEATORIAS [CAP. S

(i) La distribucin marginal de la derecha es la distribucin de X y la distribucin marginal del fondo es la distribu-cin de r. A saber,

Distribucin de X Distribucin de Y

(ii) Primero calculamos P.x y p.y: (1)(0,5) (3)(0,5) = 2

ILy

~ x!(x) ~ Y U(/j) (--3)(0,4) + (2)(0,3) -+ (4)(0,3) 0,6

Luego clJmputamos F(X }/}: E(XY) XYj h(xh Y)

(1)( -3)(0,\) + (\ X2)(O,2) + (1 )(4)(0,2) + (3)(-3)(0,3) + (3)(2)(0, 1) (3)(4)(0,\) O Entonces coy (X, Y) = E(XY) - p.x!ly 0-- (2)(0,6) 1,2

(iii) Primero calculamos ax ay: E(X2)

y

ay

Entonces

var (X)

Vi 1

~ Y~ U(Yj) var (Y)

:::: 3.0

p(X, Y)

(l)(0,5) + (9)(0.5) = 5

5 (2)2 1

(9)(0,4) (4)(0,3) + (16)(0,3) 9,6 ,,; = 9,6 (0,6)2 = 9,24

-0,4

(iv) X Y Y no son independientes, puesto que P(X = 1, Y -3) ~ P(X 1) PO'- --3), esto es. el elemento h(I.--3) 0,1 no es igual a f(l) (0,5)(0,4) 0,2, el producto de sus elementos marginales.

5,9. X Y Y variables aleatorias independientes con las distribuciones siguientes:

Distribucin de X Distr buci n de V

Hallar la conjunta h de X y Y. Puesto que )t y Y son independientes, la distribucin h se puede obtener de las distribuciones marginales

f y g. Primero constryase la tabla de la distribucin conjunta con las distribuciones marginales solamente como se in-dica en la tabla de la iz.quierda, y luego los elementos marginales para obtener los otros elementos, esto es, colquese h(x.1JJ) !(xl) U(Yj), como se muestra a la derecha.

~ 5 10 15 Suma ~ 5 10 16 Suma 1 0,6 1 0,12 0,30 0,18 0,6

2 0,4 2 0,08 0,20 0,12 0,4

Suma 0,2 0,5 0,3 Suma 0,2 0,5 0,3

CAP. 5] VARIADLES ALEATORIAS 93

5.10. Una moneda corriente se lanza tres veces. Sea X que denota O. I segn que aparezca una cara o un sello en el primer lanzamiento, y sea Y que denota el nmero de caras que resulten. Deter-mnese, (i) la distribucin de X y de Y. (ii) la distribucin conjunta h de X y Y, (iii) cov (X, Y) . (i) El espacio muestral S consta de los ocho puntos siguientes, cada uno con probabilidad 1:

Tenemos

y

s = {HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT}

X(HHH) = O, X(HHT) = O, X(HTH) = 0, X(HTT) = O X(THH) = 1, X(THT) = 1, X(TTH) = 1, X(TTT) = 1

Y(HHH) = 3 Y(HHT) = 2, Y(HTH) = 2, Y(THH) = 2 Y(HTT) = 1, Y(THT) = 1, Y(TTH) = 1 Y(TTT) = O

.. As las distribuciones de X y de Y son como sigue:

XI

1 YJ O 1 2 3

{(XI) t t g(YJ) i 1 i 1 Distribucin de X Distribucin de Y

(ii) La distribucin h de X y Yes:

x O 1 2 3 Suma O

1 #

* t

1

* # i O t

Suma 1 i i 1 Obtenemos, por ejemplo, el elemento ;'(0,2) = P(X = 0, y = 2) = P( 1 HTH, HHT:) = #.

(i ii) J.Lx ~ XI {(XI) Ot + l'! = ! J.Ly ~ YJ g(YJ) O! + 1'1 + 2'1 + 3'* = ~

E(XY) ~ xlYJ h(XI I VJ) 1'1'# + 12! + trminos con factor O COY (X, Y) E(XY) - J.LxJ.LY = t - ~. ~ = -1

5.11. Sea X una variable aleatoria con la distribucin siguiente y sea Y = X 2:

XI -2 -1 1 2

{(XI) 1 ! ! !

t

Determinar, (i) la distribucin g de Y, (ii) la distribucin conjunta h de X y y, (iii) la cov (X, Y) Y p(X, Y).


(i) Puesto que Y X la variable aleatoria Y tomar solamente los valores 4 l. Adems, g(4) = P( y 4) P(X 2 o X = - 2) P(X 2) + P(X 2) i + i ! y, similarmente, 1. Por tanto

la distribucin g de Y es como sigue:

(ii) La distribucin conjunta h de X y Y viene luego. Ntese que si X = 2, entonces Y 4: y de aqu h(-2, 1) O Y h( - 2, 4) = 2) = 1. Los otros elementos se obtienen de manera similar.

'>z 1 4 Suma -2 O i t -1 i O i

1 t O i 2 O i i

Suma ! !

(ii i) /ix E(X) Xi (Xi) -2' i - 1 t + l'! + 2'i O /iy ~ Y g(YJ) l' t 4'! I ~

E(XY) xYj Yj) -8'! 1'i+ 1-i+ 8-; O COY (X, Y) :::: PXpy D D'! = O Y as p(X, Y) = O

Nota: Este ejemplo muestra que no obstante que Y es una funcin de X es an posible que la covarianza y la correlacin de X y Y sean O, como en el caso en que X y }' son (teorema 5.6). Ntese, sin embargo, que X y Y no son independientes en este ejemplo.

PRU DE TEOREMAS Nota: las pruebas, X y Y son variables alealorias con distribucin f y g respectivamente y

distribucin h.

5.12. que (Xi):::: h(x, Y) y g(Yi) = 2: h(x" Yi), esto es, que las distribuciones

marginales son las distribuciones (individuales) de X y Y. Sea Al = {X = x} y E j ::= {Y Y}; esto es, sea Al = X-l (:1:,) y E j ::::: y-l (1Ij)' As las Ej son dis-

yuntas y S = UJEj. Por lanlo, A = AnS = n(u j u(AnEJ)

donde las AnE son tambin disyuntas. En consecuencia.

(XI) = P(X x, Y 1IJ) La prueba para g es similar.

5.13. el teorema 5,8: Sean X y Y variables aleatorias del mismo muestral S con y = iP(X). Y) 2: iP(x) {(XI) donde f es la distribucin de X.

(La prueba se da para el caso en que X es discreta y I1nita.)


Supngase que X toma los valores :t:l ,:l)" Y que 4>(xI) toma los valores lIl J tlm como recorre de 1 a TI. Enlonces claramente los valores de Y = 4>(X) son Yh ... , 11m Y la distribucin g de Y est dada por

Adems m m

n n

~ (XI) ~ 1Ij 1==1 {J: .'(z}=lI}

~ f(Xi) (XI) 1=1

lo cllal prueba el teorema.

5.14. Probar el teorema S. 1: Sea X una variable aleatoria y k un nmero real. Entonces ) = k ) Y (ii) E(X + k) E(X) k.

(La prueba se da para el caso discreto general suponiendo que E(X) existe.) (i) Ahora kX 4>(X) donde (x) = kx. Adems por el teorema ).8 (problema 5.13),

E(kX) k

(ji) Aqu X + k (X) donde 4>(x) x + k. Adems E(X + k) = ~ (Xl + k) f(xJ

j ~ X (Xi) + ~ k f(xJ

5.15. Probar el teorema 5.2: Sean X yY variables aleatorias del mismo E(X + Y) E(X) + E(Y).

E(X) + k

muestral S. Entonces

(La prueba se da para el caso discreto general suponiendo que E(X) y E( Y) ambos existen.) Ahora X + Y = (X. Y) donde (x. y) x + y. Adems por el teorema 5.9,

E(X+ Y)

el problema 5.12. obtenemos

E(X + Y} = E(X) + E(Y)

5.16. Probar el corolario 5.3: Sean Xl, X 2, , X" variables aleatorias de S. E(X1 + ... + X n)

(La prueba se da para el caso discreto general suponiendo que E(X1), E(X",) lodos Probamos esto por induccin en n. El caso n I es trivial y el caso n = 2 es precisamente el teorema 5.2

(problema 5.15). Para el caso n > 2 aplicamos el caso n =,2 para obtener

E(X1 + ... +X"-l + X,,) = E(X + ... y por la hiptesis inductiva esto se convierte en E(X1) + ... + E(Xn _) +

5.17. Probar el teorema 5.5: (i) var (X + var (X) Y (ii) var (k X) k l var ). Por tanto I1X+k I1x y UkX = Ikl UX '

Por el teorema 5.1, JlXH Ilx + k y PlcX = kllx. Tambin ~ x/(xJ Px y f(xJ :::: 1. Por tanto,


var (X + k) (PX + k)2

== x: (x) + 2kpx + k2 (I'i + 2kl'x + k2) ::s XI (XI) - pi var (X)

y var (kX) (kX)2 f(xl) - Il~X k2 ::s x f(xl) (kp.X)2 k 2 x; (x!; - k21'i k 2(2. f(xl) - i'~)

5.18. Mostrar que

COY (X, Y) (La prueba se da para el caso en que X y Y son discretas y finitas) Puesto que

2. 7/j h(xl' 7/) j,}

obtenemos

::s xIY} h(x, 7/J) - P-XPY - I'XI'Y + p.xl'y l.

::: xlYi h(x, 7/J) - I'XI'Y

k2 var (X)

y

5.19. Probar el teorema 5.6: Sean X y V variables aleatorias Entonces

[CAP. 5

1

(i) E(XY) = E(X) E(Y), (ii) var + = var (X) + var (Y), (iii) COy (X, Y) = O.

y

(La se da para el caso en que X y Y son diseretas y finitas.) Puesto que X y }' son

cav Y)

h(x,7Ij) = f(x!) g(y}). As

E(XY) = ~ XIVj h(x, 1Ij) .~

- I'xp.y ::: E(X) Con el fin de probar (ii) necesitarnos tambin

PX+v ::: Px + Pv, Por tanto.

var (X + Y) ::: ~ (XI + 1Ij)2 h(x, 7/j) - .~ +Y 1.1

:::

= ::s x~ f(xJ + 2 xd(x) 7/} U(Y) + I

== ~ x l2 (XI) p2 + ~ 7/J2 g(Yj) - p 2 x J y

h(x!,1I)

y; g(lIj)

o

var (X) + var (Y)

CAP 51 VARIABLES ALEATORIAS 97

5.20. Probar el teorema 5.7: Sean Xl, ... X" variables aleatorias independientes. Entonces val' (Xl + ... + X,,) = val' (Xl) + ... + var (XIt)

(La prueba da para el caso en que ... , X" SOI1 (Od'b discretas y finitas.) Dalllos por supuesto los problemas anlogos:J1 5.12 Y al teorema 3.9 para JI variable, aleatorias. Entonces

val + 0'- + X,,) E((X + . , . + X n - Px + ' .. + ., +xn

~ (Xl + ... + x" - Px - ... J1.X,)2 h(x, ... X,,)

{f f XX} + PXJ1.X j 2 ~ Px Xi} h(xlt ... , x,,) J 1 donde h es la distribucin conjunta de .. . ,X". y Jlx+ +X" - + ... + J1.X

n (Corolario 5.3). Pllc,to

que los son dos a dos, ~ XiX; h(x ... , X n) ::::: JlXJlX j para i ~ j. Por tanto n

~ JlX.!lX j + + ~ ~I1XI1Xj 2~ ~ , .. J ' j , J

n n ..

E(X;) (Px)2 ~ var (Xi) 1=1

cumo se peda.

PROBLEiVIAS VARIOS 5.21. Sea X una variable aleatoria continua con distribucin

f{x) {iox + le SI O. x 3

en o lfa parte

(i) Calcular k. (j) Hallar P(I ~ X ~ (i) El grfiCO defse dibuja en seguida. Puesto quefes una funcin continua de probabihdad, la r~gin ;ombreada A

deb~ tener rea I Ntese ljue A forma un trapecio de bases paralelas de longitudes k y k + t, y altura 3. Por tanto, el rea de A = !(k + k + !> 3 ::::: 1 O k:::::

Grfico de j P(l ::= X ::= 2)

(l) i'( 1::= X::= 2) ", igual al rea de IJ la est{l bajo el grfi:o de entre x y x IIgura anterior lit: la derecha. Ntese qUlO 1(1) =A +

(rea de 8 +. 1 = i,

5.22. Sea X una variable aleatoria continua cuya distribucin constante en un {a==x~b}, y O en otra parte:

f(x) {~ SI a === x .: b en ot ra parte

rea de 8

2 como se muestra en la Pur tanto P(l ::= X 2)

como l =

(Se dice que dicha variable aleatoria est uni/oflnemellte distribuida en l.) (i) Determinar k. (ii) Hallar la media It de ,Y. (iii) Determinar la funcin de distribucin acumulativa F de X


(i) El grfico de J aparece a la derecha. La regin A debe tener rea 1; por tanto

k(b-a) :::: 1 o 1 k :::: b - a

(ii) Si consideramos la probabilidad como peso o masa, y el pro-medio como el centro de gravedad, entonces es intuitiva -mente claro que

a+b 2

[CAP . 5

f=O f=O

Grfico de J el punto medi o entre a y b. Verificamos esto matemticamente usa ndo el clculo

p = E(X) = f x f(x) dx = fb b ~ a dx R a

b2 a2 a + b 2(b-a) 2(b-a) 2

(iii) Recalcamos que la fun cin de distribucin acumulativa F(k) = P(X ~ k). Por tanto F(k) origina el rea bajo el grfico deja la izquierda de x = k. Pu es to que X est uni-formem ente distribuida en el intervalo 1 = {a == x ~ b}, es intuitivo que el grfico de F debe ser co mo se muestra a la derecha, esto es, F == O antes del punto a. F == I des-pus del punto b. y F es line al entre a y b. Verificamos esto matemticamente usa ndo el clculo

F==O

[ x2 Jb

2(b - a) a

F= 1

/11 a b

Grfico de F

(a) para x< a. F(x) JX f(t)dt = JX Odt :::: O

-00 -c.;

(b) para a ~ x ~ b,

F(x)

(e) para x > b, F(x) por tanto F(x) :::: 1.

Jx JX 1 :::: f(t) dt = - -dt:::: b-a - 00 a

P(X ~ x) ~ P(X ~ b) = F(b) = 1 y as 1 ~ P(X ~ x) = F(x);

5.23. Sea X una variable aleatoria con promedio .t y desviacin estndar (1 > O; Y sea X* la varia-ble aleatoria estandarizada que corresponde a X, esto es, X* = (X -- p. )/ (1, Mostrar que E(X*)

O y var(X*) = l. (Por tanto (1x. = l.) Por los teoremas 5.1 y 5.5,

E(X.) :::: E (X - p.) = ! E(X - p.) = !(E(X) - p.) u u C1

O

y var (X) :::: (X - p) 1 . 1

var --- :::: 7: var (X - /1) == 2 var (X) C1 C1 U

5.24. Sea X una variable aleatoria con distribucin f El r-simo momento Mr de X se define por

Hallar los primeros cinco momentos de X si X tiene la distribucin siguiente:

Xi -2 1 3

f(Xi) -! i i

(Ntese que M I es el promedio de X, y M 2 se usa para calcular la varianza y la desviacin es-tndar de x.)


M 1 ~ x!(x) -2'! + l! + 3.! = 0, M2 ~ x; !(x) 4'! + l'! + 9'-1 = 4,5, M3 ~ x: !(x) = -S'! + l'! ~ 27'! 3, M4 ~ x: !(x,) l6'! + l'! + SI! 28,5, M5 ~ x~ !(x,) -32'! + 1'-1 + 243'! = 45.

5.25. Sea h la distribucin conjunta de las variables aleatorias X y Y. (i) Mostrar que la distribucinf de la suma Z = X + Y puede obtenerse suponiendo las probabilidades a lo largo de las diagona-les x + y = z", esto es,

(ii) Aplicar (i) para obtener la distribucin f de la suma Z = X + Y donde X y Y tienen la dis-tribucin conjunta siguiente:

X -2 -1 1 2 3 Suma

0,05 0,05 0,10

0,05 0,05 0,30

1 0,10 0,05 0 ,05 0,10

0,05 0,35

2 0,03 0,12 0,07 0,06 0,03 0,04 0,35

Suma 0,18 0,22 0,22 0,16 0,08 0,14

(i) Los eventos {X = x" Y == Y : x + V = z,,} son disyuntos; por tanto, ~ P(X==x, Y=Y)

:t,+II = z. ~ h(x, YJ) = ~ h(x, z" - xJ

:t+II = Zk :ti

(ii) X -2 -1 1 2 3 O 0,05 0,05 0,10 O 0,05 0,05

1 0,10 0,05 0,05 0,10

0,05

2 0,03 0,12 0,07 0,06 0,03 0,04

Sumando a lo largo de las diagonales en la tabla anterior, obtt:llemos

!(-2) = 0,05 !(2) 0,05 +0,10 + ,0 ,07 = 0,22 !(-1) = 0,05 +0,10 = 0,15 1(3) 0,05 + + 0,06 = 0,11 !(O) 0,10 + 0,05 + 0,03 = 0,18 1(4) 0,05 + 0,03 = 0,08 !(1) + 0,05 + 0,12 = 0, 17 1(5) = 0,04

En otras palabras, la distribucin de Z = X + Y es como sigue :

Z -2 -1

1 2 3 4 5

!(z) 0,05 0,15 0,18 0,17 0,22 0,11 0,08 0,04

..

Captulo 6

Distribuciones binomial, normal y de Poisson

DISTRI13UCION B1NOMIAL Consideramos pruebas repetidas e independientes de un experimento con dos resultados; llama-

mos uno de los resultados favorable (o xito) y el otro desJavorable (o Jracaso). Sea p la probabilidad favorable, as que q = I .- p es la probabilidad desfavorable. Si estamos interesados en el nmero de xitos y no en el orden en que suceden, entonces aplicamos los teoremas siguientes.

Teorema 6.1: La probabilidad de k xitos exactamente en n pruebas repetidas se denota y expresa por

b(k; n,p)

Aqu m es el coeficiente binomial (ver pgina 19). Tngase en cuenta que la probabilidad desfavora-ble es qn y, por consiguiente, la probabilidad de por lo menos un xito es I - qn.

Ejemplo 6.1: Se lanza una moneda corriente 6 veces o, su equivalente, seis monedas corrientes se lanzan una vez; lla-mamos cara un xito. Por consiguiente n = 6 Y P = q = t. (i) La probabilidad de que sucedan dos caras exactamente (o sea, k = 2) es

b(2; 6, i) = (~) (1.)2 (!)"' = ti (ii) La probabilidad de conseguir por lo menos cuatro caras (o sea, k = 4, 5 6) es

b(4; 6, t) + b(5; 6, .~) + b(6; 6,!) (~) (t)4 (t)2 + (:) (!)5 (!) + (:) (t)6 = H+j+;{ = H

(iii) La probabilidad de no caras (o sea, lodosfracusos) es q5 = (!)6 = 6\ y. por tanto, la probabili-dad de una cara por lo menos es 1 - q6 = 1 - -h = H,

Ejemplo.6.2: .Un dado corriente se lanza 7 veces; llamamos a un lanzamiento un xito si sale un 5 o un 6. Entonces fI = 7, P = p(1 5, 61) = t y q = I - P = . (i) La probabilidad de que un 5 6 salga 3 veces exactamente (o sea, le = 3) es

(ii) La probabilidad de que un 5 6 no salga (o sea, todo s fracasos) es q7 = ()7 = 2\2:7; por consi-1 - 7 - ~059 guiente la probabilidad de que un 5 o un 6 salga una vez por lo menos es q - 2187'

105

106 DISTRIBUCIONES BINOMIAL, NORMAL Y DE POISSON [CAP. 6

Si TI Y P como constantes, entonces la [uncin anterior P(k) = b(k; 11, p) es una dis-tribucin de probabilidad discreta:

Se la llama distribucin binomial puesto que para k 0, 1, 2, ... ,n corresponde a los trminos suce-sivos del desarrollo binomial

(q + p)" Esta distribucin se conoce dos resultados se llaman

como distribucin de Bernoulli, y las de Bernoulli.

Las propiedades de esta distribucin son:

Teorema 6.2: Distribucin binomial

Media p. np

Varianza (12 = npq _.

Desviacin estndar (f

independientes con

Ejemplo 6.3: Un dado corriente se lanza 180 veces. El nmero esperado de seises es p. np 180 ~ JO. La des-vi acin estndar es (f = y npq 5.

DISTRIBUCION NORMAL

La distribucin normal o curva normal (o: Gauss) se como sigue:

f(x) donde J. y (J' > O son constantes arbitrarias. Esta [uncin es en realidad uno de los ms importantes de una distribucin de probabilidad continua. Los dos diagramas que siguen, muestran lOS cambios de f cuando Il vara y cuando (J' vara. En particular, obsrvese que estas curvas en forma de campanas son simtrcas alrededor de x = Ii.

f

f

Distribucin normal para a fijo 1 1) Distribucin normal para p. fijo (p. = O)

CAP 6] DISTRIBUCIONES BINOM IAL, NORMAL Y DE POISSON 107

Las propiedades de la distribucin normal son:

Teorema 6.3; Distribucin normal

Media J1

Varian za (72

Desviacin es tnd~r (7

La distribucin normal anterior con media fL y vananza el- la designamos por

~ N(fL , 0-2 ) t Si hacemos la sustitucin t = (x - fL)/(T en la frmula de N(fll el-) obtenemos la distribucin o curva

norll/al estndar

( t)

con media fL = O Y varianza el- = l. La grfica de esta diqribucin aparece luego. Observamos que para ~ 1 ~ t ~ 1 el rea bajo la curva es 68,2%; y para - 2 ~ t ~ 2 el rea bajo la curva es 95,4%.

0.4

-3 -2 -1 o 2 3

Distribucin normal N(O, 1)

La tabla de la pgina 111 da el rea bajo la curva normal estndar entre t = O Y valores positivos de t. La simetra de la curva alrededor de t = O nos permite obtener el rea entre dos valores de t (ver problema 6.14).

Ahora sea X una variable aleatoria continua con distribucin normal; con frecuencia decimos que X est distribuida florrnalmcllte. Calculamos la probabilidad de que X caiga entre a y b, designada por P(a ~ X ~ b), como sigue. Primero pasamos a y b a unidades estndar

a' = (a-fL)/(T y b' = (b - fL)/(T respectivamente. Entonces,

P(a~X~ b) P((/ ~ X* ~ b') rea bajo la curva normal estndar entre a' y b'

Aqu X* es la variable aleatoria estandarizada (ver pgina 79) que corresponde a X y, por tanto, X* tiene distribucin normal estndur N(O, 1) .

,

108 DISTRIBU C IONES BINOMIAL. NORMAL Y DE POISSON

APROXIMACION NORMAL A LA DJSTRlBUClON BINOMIAL. TEOREMA CENTRAL DEL LIMITE

[CAP. 6

La distribucin binomial P(k) = b(k; n, p) se aproxima estrechamente a la di stribucin normal proveyendo un f1 grande y ni p ni q prximos a cero. Esta propiedad se indica en el diagrama siguiente donde escogimos la dist ribucin binomial correspondiente a 11 = 8 y p = q = 1- .

k

P(k)

~ 256

~ 256

20 256

O 1 2 3 4 5 6 7 8

1 8 28 56 -

.2- 56 28 8 1 256 256 250 256 256 250 256 250 250

Distribuci n binomial con 11 8 Y P = q

d: stribuCln normal

di ~Hlbuci0n binonllal

, ;

o 2 3 4 5 6

Comparacin de las distribuciones binomial y normal

La propiedad anterior de la di stribucin normal se generaliza en el teorema central del lmite que viene en seguida . La prueba de este teorema cae fuera del alcance de este texto .

Teorema central del lmite 6.4: Sean X 1, Xl, ... , una sucesin de variables aleatorias indepen-dientes con la misma distribucin de media p. y varianza a. Sea

XI + X 2 + . . . + X n-ni! vna

Entonces para un intervalo {a~ x ~ b),

donde es la distribucin normal estndar.

Recordamos que llamamos Sn = (X I + Xl + ... + X n)/II la media muestral de las varia-bles aleatorias XI, .. X n . As Z n en el teorema anterior es la media muestral estandarizada. Ha-blando en trminos generales, el teorema central del lmite dice que en una sucesin de pruebas repe-tidas la media muestral estandarizada se aproxima a la curva normal estndar segn que el nmero de pruebas aumente.

DISTRlBUCION DE POISSON La distribucin de Poisson se define como sigue:

,\,Ke->' p(k;'\') = k!' k = O, 1, 2,

donde A > O es una constante. Esta distribucin infinita contable se present a en muchos renmenos naturales, tales como el nmero de llamadas telefnicas por minuto en un tablero de distribucin, el nmero de erratas por pgina en un texto grande, y el nmero de partculas a emitidas por una sus-tancia radi activa. A continuacin se mueslran a lgunos diagramas de la distribucin de Poisson para di-ferentes valores de '\'.

CAP. 6] DISTRIBUCIONES BINOMIAL, NORMAL Y DE POISSON 109

0.4

0,3

0,2

0,1 l ~ _---LullllillJ JI o 2.4 6 0246810 O 2 -1 6 8 10 12 Ji !

),=1 1-=5 A 10

Distribucin de Poisson para vaore~ ","v,,"uu de A

Propiedades de la distribucin Poisson'

Teorema 6.5: Distribucin de Poisson i

Media l .t Variaru3 ,,2 = A

Desviacin estn.dar "

..};,

A pesar de que la distribucin Poisson tiene inters independiente, tambin nos propurcion;r una a la distribucin binomial para un k pequeo, que p sea pCqUd,; y'\ np (ver problema 6.27). Esto se indica en la tabla siguiente.

k O 1 2 3 4 5

Binomial 0,366 0,370 0,185 0,0610 0,0149 0,0029

Poisson 0,368 0,368 0,0153 0,00307

Comparacin de las distribuciones binomial y de Poisson para I! = lOO, P 1 oo y A = np I

DISTnmUCION MULTINOMIAL La distribucin binomial se generaliza como que el muestral d~ U,] ex-

perimento se divide en, s sucesos mutuamente exclusivos A" A 2, , A. con des Pi, p2, ,ps. consiguiente Pi + pi .+ ... + Ps = \.) Entonces

Teorema 6.6: En n respectivas, la probabilidad de que A I suceda k I veces, A l suceda k: I,L:-ces, .. " y A. suceda k s veces es igual

donde + k 2 + ... + ks = n.

Los nmeros forman la tan nombrada distrihucin multinornial que son \':1-samente los trminos del desarrollo de (p I + pi + '" + ps)n. Obsrvese que si s __ , Clild:' obtenemos la distribucin binomial, discutida al principio del captulo.

Ejemplo 6.4: Un dado corriente se lanza 8 veces. La probabilidad de obtener los lados 5 y 6 dos veces y da uno de lo, otros una vez es

= 0,006

110 DISTRIBUCIONES BINOMIAL, NORMAL Y DE POISSON

ORDENADAS DE LA CURVA NORMAL ESTANDAR

Tabla de valores

~ .,

I

CAP. 6] DISTRIHUCIONES BINOMIAL, NORMAL Y DE POISSON 111

AREAS DE LA CURVA NORMAL ESTANDAR

/ ~ Tabla de reas bajo la distribucin nor- ',-mal estndar 1> en lre O y (~O en in lervalos ';~ de 0,01. ., ,'~ o t

t O 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0,0 0,0000 0,0040 0,0080 0,0120 0,0160 0,0199 0,0239 0,0279 0,0319 0,0359 0,1 0,0398 0,0438 ' 0,0478 0,0517 0,0557 0,0596 0,0636 0,0675 0,0714 0,0754 0,2 0,0793 0,0832 0,0871 0,0910 0,0948 0,0987 0,1026 0,1064 0,1103 0,1141 0,3 0,1179 0,1217 0,1255 0,1293 0,1331 0,1368 0,1406 0,1443 0,1480 0,1517 0,4 0,1554 0.1591 0,1628 0,1664 0,1700 0,1736 0,1772 0,1808 0,1844 0,1879

0,5 0,1915 0,1950 0,1985 0,2019 0,2054 0,2088 0,2123 0,2157 0,2190 0,2224 0,6 0,2258 0,2291 0,2324 0,2357 0,2389 0,2422 0,2454 0,2486 0,2518 0,2549 0,7 0,2580 0,2612 0,2642 0,2673 0,2704 0,2734 0,2764 0,2794 0,2823 0,2852 0,8 0,2881 0,2910 0,2939 0,2967 0,2996 0,3023 0,3051 0,3078 0,3106 0,3133 0,9 0.3159 0,3186 0,3212 0,3238 0,3264 0,3289 0,3315 0,3340 0,3365 0.3389

1,0 0,3413 0,3438 0,3461 0,3485 0,3508 0,3531 0,3554 0,3577 0,3599 0,3621 1,1 0,3643 0,3665 0,3686 0,3708 0,3729 0,3749 0,3770 0,3790 0,3810 0,3830 1,2 0,3849 0,3869 0,3888 0,3907 0,3925 0,3944 0,3962 0,3980 0;3997 0,4015 1,3 0,4032 0,4049 0,4066 0,4082 0,4099 0,4115 0,4131 0,4147 0,4162 0,4177 1,4 0,4192 0,4207 0,4222 0, 4236 0,4251 0,4265 0,4279 0,4292 0,4306 0,4319

1,5 0,4332 0,4345 0,4357 0,4370 0,4382 0,4394 0,4406 0,4418 0,4429 0,4441 1,6 0,4452 0,4463 0,4474 0,4484 0,4495 0,4505 0,4515 0,4525 0,4535 0,4545 1,7 0,4554 0,4564 0.4573 0,4582 0,4591 0,4599 0,4608 0,4616 0,4625 0,4633 1,8 0,4641 0,4649 0,4656 0,4664 0,4671 0,4678 0,4686 0,4693 0,4699 0,4706 1,9 0,4713 0,4719 0,4726 0,4732 0,4738 0,4744 0,4750 0,4756 0,4761 0,4767

2,0 0, 4772 0,4778 0,4783 0,4788 0,4793 0,4798 0,4803 0, 4808 0,4812 0,4817 2,1 0, 4821 0,4826 0,4830 0,4834 0,4838 0,4842 0,4846 0, .4850 0,4854 0,4857 2,2 0,4861 0,4864 0,4868 0,4871 0,4875 0,4878 0,4881 0,4884 0,4887 0,4890 2,3 0, 4893 0,4896 0,4898 0,4901 0,4904 0,4906 0,4909 0,4911 0,4913 0,4916 2,4 0,4918 0,4920 0,4922 0,4925 0,4927 0,4929 0,4931 0, 4932 0,4934 0,4936

2,5 0, 4938 0.4940 0,4941 0,4943 0,4945 0,4946 0,4948 O, 4949 0,4951 0,4952 2,6 0, 4953 0,4955 0,4956 0,4957 0,4959 0,4960 0,4961 0,4962 0,4963 0,4964 2,7 0, 4965 0,4966 0,4967 0,4968 0,4969 0,4970 0,4971 0,4972 0,4973 0,4974 2,8 0, 4974 0,4975 0,4976 0,4977 0,4977 0,4978 0,4979 O, 4979 0,4980 0,4981 2,9 0, 4981 0,4982 0,4982 0,4983 0,4984 0,4984 - 0,4985 0,4985 0,.4986 0,4986

3,0 0,4987 0,4987 0, 4987 0,4988 0, 4988 0,4989 0,4989 0,4989 0,4990 0,4990 3,1 0,4990 0,4991 0,4991 0,4991 0,4992 0,4992 0,4992 0,4992 0,4993 0,4993 3,2 0,4993 0,4993 0,4994 0,4994 0,4994 0,4994 0,4994 0,4995 0,4995 0,4995 3,3 0,4995 0,4995 0, 4995 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0, 4996 0,4996 0,4997 3,4 0,4997 0,4997 O, 4997 0,4997 0,4997 0,.4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4998

3,5 0,4998 0,4998 0, 4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 3,6 0,4998 0,4998 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 3,7 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0, 4999 0,4999 0,4999 3,8 0, 4999 0,4999 O, 4999 0, 4999 0,4999 0,4999 0,4999 O, 4999 0,4999 0,4999 3,9 0,5000 0,.5000 O, 5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0, 5000 0,5000 0,5000

Tablll 6.2

112 DISTRIBUCIONES BINOMIAL, NORMAL Y DE POISSON

VALORES DE e- A 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6

.. _--

e- 1.000 0,905 0,819 741 0,670 0,607 0,549 A 1 2 3 4 5 6 7

e-A 0,368 0,135 0,0498 0,0183 0,0 0,00248 0,000912

Tabla 6,3

Problemas resueltos DISTRIBU N BINOMIAL

6.1. Hallar () b(2; 5, i), (i) b(3; 6, (iii) b(3; 4, !). Aqu n, p) G) pk () b(2; 5,!) (j) 6, 1)

b(3; 4,!)

(!)2 (i)3 (~) (~)3

donde p + q 1.

~:~ (l)2 (ir' = (t)3 ('~JI

0,7

0,497

8

0,000335

0,8

0,449

9

0,000123

6.2. U na moneda corriente se lanza tres veces, Hallar la probabilidad P de que salgan, (ii) dos caras, OH) una cara, (iv) no caras. MlOdo L Se obtiene el cquiprobable siguiente de ocho elementos:

s HHT, HTT,THH, TTH,TTT} () Tres caras (HHB) aparecen una vez solamente entre los ocho puntos muestrales; o sea, P = lJ. (ji) Dos caras aparecen J veces (H HT, HTH y TH H); o sea, P f. (iji) Una cara aparece 3 veces (HTT, TBT Y TTH); sea, P I (IV) No caras, esto es, tres sellos (TTT), ocurre solamente una vez.; o sea, P = k. \1!odo 2, Usar teorema 6.1 con n = 3 Y P = q t

k=3 Y P b(3; 3, (~) (1)3 (1)0 1-i- 1 ~. (ii) k 2 Y P b(2; 3, t) (~) (1)2 (t) g-!.! f (iii) Aqu k 1 y P ; 3, t) (~) (1)1 a-t-! f

Aqu k=O P b(O; 3, 1) (~) (1)0 (!)3 11 i i

[CAP. 6

0,9

0,407

10

0,000045

tres caras,

6.3. El equipo A tiene i de probabilidad de ganar cuando juega. Si A 4 partidos, hallar la lidad de que A gane, (i) dos partidos, (ii) un por lo menos, ms de la mitad

Aqu n = 4, P i y q;:;;:: 1 p i. (i) P(2 viclorias)

CAP 6J DISTRIIlUCIONES BINOMIAL, NORMAL Y DE POISSON 113

(ii) Aqu q4:;:: (!)4 == it es la pro habilidad de que A pierda todos los cuatro partido,. Entonces 1 - q4 == ~ es la probabilidad de ga nar flOr lo menos un partido.

(iii) A gana ms de la mitad de los partidos si A gana 3 4 partidos. Por lo tanto la probabilid ad buscada e,

Pl3 victorias) + P(4 victoria s) = (~) (*)3 (l) + (!) (~)4 = ~ + fi = ~

6.4. Una familia tiene 6 hijo s. Hallar l'a probabilidad P de que sean, (i) 3 nios y 3 mnas, (ii) menos nirlos que nias. Suponer que la probabilidad de que un hijo en particular sea nio es t,

Por tanto 11 = 6 Y P = q = .~.

(i) P ~ P(J nillS) = (~) (~)3 (t)3 = ~~ = 156' (ii) Hay menos nios que nias si hay 0,1 2 nios. Por tanto

P = I'lO nii10s) +- 1'(1 nio) + 1'(2 nios) = (t)6 + (~) (~)(_~)5 + (~) (~)2 (t)4

6.5. Cuntos dados se deben lanzar para que la probabilidad de sacar un seis sea mayor?

1 1 32

La probabilidad de no conseguir un seis con 11 dadu s es (~)n. Por tanto buscamos el menor n para el cual (~)" es menor que ~:

(-8-)1 = ~;

O sca que tiene que lan zar 4 dadus.

25 , 36' (

fi)3 == 125 , 6 216 '

pero ( li)4 = 625 < 1-II 1296 2

6.6. La probabilidad de que un hombre pegue en el blanco es t, (i) Si dispara 7 veces, cul es la pro-babilidad P de que dos veces por lo menos pegue al blanco') (ii) Cuntas veces tiene que dispa-rar para que la probabilidad dc pegar por lo menos una vez sea mayor que '? (i) Busca mos la sum a de probabilidades p~ra k = 2, 3,4,5,6 y 7. Es ms si mple en este caso hallar la suma de las

probabilidades para k = O Y 1, o sea, ninglI acierto o 1 acierto y luego restar esto de 1

Entunces P

P(ningn acierto) = (4)1 = 1!13~:' 1' ( I acierto) = (~) (i) (~)6 = 1 - 2 187 _ ~1....

I()J~4 16.l~4 4547 8182

51 03 163X4

(ii) La probabilidad (le; no pegar en d blanco es rn Por tanto bu scamos el mellor 1/ para el cual (In e, milor que 1 .. -R == 1, donde q ~ 1 -- l' = 1 .- t = 1 Por tanlO calculamos [Jotencias succ,ivas de q hasta obtener q" < -k

Ln n;sulllen ti ene que di s[Jarar 4 veces .

6.7. Probar el teorenfa 6.\: La probabilidad de k xitos exactamente en ti pruebas repetidas es b(k; n, p) = G) pk q" - k.

El espacio mue stral de las n pruebas repetidas consta de todas las I/-uplas ordenadas cuyas componentes son o s (xitos) o fUracasos). El eVnto A de /., xitos consta de todas las ,,-uplas de las cuales k compom:llles son s y las otras ,, -/., com ponents son f El nmero de I/-uplas en el evento A es igual al nmero de maner as en que k letras s puede dis-tribuirse entre las n componentes de una ,,-upla ; o sea que A colista de G) [Juntos mueslrales. Pues to que la probabili-dau de cada punto de A es pk qn-k, tenemo, peA) = (~) pk qn-k.

~ '1

11 I

114 DISTRlBUCIONES BINOMIAL. NORMAL Y DE POISSON [CAP. 6

6.8. Probar el teorema 6.2: Sea X una variable aleatoria con binomial . n, p). En-tonces, (i) E(X) = np y () var(X) = npq. Por consiguiente, U x (i) Usando b(k; n, p) = (~) qn-I

CAP. 6] DISTRIBUCIONES BINOMIAL, NORMAL Y DE POISSON 115

DISTRIBUCION NORMAL

6.11. La media y la desviacin estndar de un examen son 74 y 12 respectivamente. Hallar los resulta-dos en unidades estndar de los estudiantes que recibieron notas, (i) 65, (ii) 74, (iii) 86, (iv) 92.

(i) x-p.

u (ii) t x-p.

65 - 74 12

74 - 74 12

-0,75

o

(iii) t = x-p. u

(iv) x-p. u

86 - 74 12

92 - 74 12

1,0

1,5

6.J2. En relacin con el problema precedente, hallar las notas que corresponden a resultados estndar (i) - 1, (ii) 0,5, (iii) 1,25, (iv) 1,75.

(12) (1 ,25) + 74 89 (i) x - ut + J1. (ii) x - ut + J1.

(12)(-1) + 74 (12)(0,5) + 74

62

80

(iii) x = ut + p. (iv) x = ut + p. (12)(1,75) + 74 = 95

6.13. Sea (- 0,75) = 4>(0,75) = 0,3011. (iii) 4>(-2,08) = 4>(2,08) = 0,0459.

6.14. Sea X una variable aleatoria con distribucin estndar

116 DISTRIBUCIONES BINOMIAL, NORMAL Y DE POISSON ICAP. (,

(i v) 1'(0,65:=0 ):' :=o 1,26) 1'(0:=0 X :=o 1,26) 1'(0:=0 X 0,(5) 0.3962 - 0,2422 = 0,1540

(v) P( - 1.79:=0 X "'" 0,54) P(O,54 "'" Xl, 79) 1'(0"'" X "'" 1,79) 1'(0 "'" 0,4633 0,2054

(vi) P(X ~ 1,13) P(X ~ O) - P(O:=ol( 1.13) 0.5000 0,3708 0.1

(vii) P( Ixl :=o 0,5) 1'(--0,5 :=o X 0,5) 21'(0 :=o X 0,5) 2(0.1915) 0.lil30

6.15. Sea X una variable aleatoria con dislribucin normal estndar .p. Determinar el valor de I si, (i) P(O~X t) (ii) l) O,7967,(iii) P(t~X~2) 0,1000,

() En la tabla 11 1, el elcrnen!o 0,4236 aparece a la derecha

1.43 1,4 la columna 3. Por tanto.

(ii) Obsrvese primero que I probabIlidad e, mayor que!

X t) t) ! 0.7967 0,5000 0,2967

As, de la labia 6.2, obtenemos I 0,83.

(iji) P(O X t) X 2) P(t "'" X :=o 2) 0,4772 0, 1000 0,3772

que la

As. de la tabla 6.2, obtenemos I 1,161 (por interpola-cin linea 1) 1,16.

CAP. 6J DISTRIBUCIONES BINOMIAL, NORMAL Y DE POlSSON 117

6.16. Supngase que la temperatura T durante junio est distribuida normalmente con media 68 y desvi ac in estndar 6. Hallar la probabilidad p de que la temperatura est entre 70 y 800.

70 en unidades estndar = (70 - 68) / 6 = 0,33.

80 en unidades es tndar = (80 --- 68)/6 = 2,00. En IOnces

p = P(70,,: T === 80) = P(0,33,,: T' ,,: 2) P(O,,: T",,: 2) ._- P(O,,: T* ,,: 0,33) 0,4 772 .. - 0,1293 = 0,3479

Aqu T' es la variable aleatoria estandarizada correspon-diente a T y as T' tiene distribucin normal estndar "' . A

0.33 2

6.17. Supngase que las estaturas H de 800 estudiantes estn normalmente distribuidas con media 66 pulgadas y desviacin estndar 5 pulgadas. Hallar el nmero N de estudiantes con estatura, (i) entre 65 y 70 pulgadas, (ii) mayor o igual a 6 pies (72 pulgadas).

(i) 65 pulgadas en unidades estndar = (65 -- 66) / 5 = - 0,20 70 pulgadas en unidades estndar = (70 - 66) / 5 = O,SO

Por tanto~ P(65 =-= H ,,: 70) = P( -- 0,20 ~ H' ,,: 0,80)

0,0793 + 0,28SI = 0,3674

Ent onces N = 800(0,3674) = 294.

(ii) 72 pulgadas en unidades estndar Por tanto,

P(H "" 72) = P(H' "" 1,2)

(72 ._.- 66) / 5

0,5000 - 0,3849 = 0,1151

As N = SOO(O, 1 151) = 92 .

1, 20

Aqu }f' es la vari ab le aleatoria estandarizada co-rrespondiente a H y, por tanto, H' tiene distribucin normal estndar "'.

APROXIMACION NORMAL A LA DISTRIBUCION DlNOMIAL

- 0.2 o. ~

1.2

6.18. Una moneda corriente se lanza 12 veces. Determinar la probabilidad P de que el nmero de ca ras que salgan est entre 4 y 7 inclusive por medio de, (i) la distribucin binomial, (ii) la aproxi-macin normal a la distribucin binomial.

(i) Por el teorem a 6. 1 con n = 12 Y P = q = t. P(4 caras) e42 ) (!)4 (t)8 495 4096 P(S caras) (2) (~_)5 (t)7 792 4096 P(6 caras) e62 ) (t)6 (t)6 ~ 4096 P(7 ca ras) e72 ) (t)7 (t)5 792 4096

Por tant o, p 495 792 924 792 3003 40 96 + 4096 + 4006 + 4096 == 4096 = 0,733 2.

118 DISTRIBUCIONES BINOMIAL, NORMAL Y DE POISSON [CAP. 6

(ii) 0,25

0.20

0.15

0.05

o 1 2 3 4 G 6 7 8 9 lO 11 12

Probabilidad de ocurrencia del nmero de caras.

Aqu J.I = np = 12 t = 6 Y u = ynpq = v'12 t t = 1,73 . Denotemos X el nmero de caras que sa le. Buscamos P(4 "" X "" 7). Pero si suponemos que el dato es continuo, con el fin de poder aplica r la aproximacin norma l, tenemos que hall ar P(3,5 ~ X "" 7,5), como se indica en el diagr ama anterior. Ahora

3,5 en unid ades estndar = (3,5-6)/1,73 = -- 1,45. 7,5 en unidades estndar = (7,5 - 6)/1,73 = 0,87 .

Entonces p ... P(3,5~ X ~7,5)

P(-- 1,45 ~ X * "" 0,87) 0,4265 + 0,3078 = 0,7343 1.45 0 '0.87

6.19. Un dado corriente se lanza 180 veces. Hallar la probabilidad P de que el lado 6 sa lga, (i) entre 29 y 32 veces inclu sive, (ii) entre 31 y 35 veces inclusive.

Aqu J.I = np = 180 ! = 30 Y (J = v'npq = v'180 ! . i = 6. Denotamos X el nmero de veces que el lado 6 aparece.

(i) Buscamos P(29 ~ X "" 32) o, supuesto el dato continuo, P(28,5 ~ X ~ 32,S). Ahora

28,5 en unid ades estndar = (28,5 - JO) / 5 = -0,3 32,S en unidad es estndar = (32,5 - 30)/5 = 0,5

Por tanto, P ... P(28,5 "" X ~ 32.5) = P(-O,3 "" X' ~ 0,5)

P(-O.3 ~ X ~ O) + P(O ~ X' ~ 0,5) 0,1179 + 0,1 915 = 0.3094

~ _0.1 0 '0. 5

(ii) Busca mos P(3 I ~ X ~ 35) o, supu esto el dato co ntinuo, P(30,5 ~ X ~ 35,5) . Ahora 30,S en unidades estnd ar = (30,5 - 30) /5 = 0,\ 35,5 en unidades estnd ar = (35,5 --- 30)/5 = \,1

Entonces

P= P(30,5""X~35,5) = P(O,I~X' ~I,I) P(O ~ X * ~ 1, 1) - P(O ~ X ' ~ O, 1) 0,3643 - 0,0398 = 0,3245 0.1 1.1

6.20. Hallar la probabilidad P de que cntre 10.000 dgitos al azar, el dgito 3 aparezca 950 veces a lo sumo.

Aqu J.I = np = 10.000 ro = 1000 y (J = ynpq = Y10,000 ro . lo = 30. Ll amemos X el nme-ro de veces que el dgito 3 sale. Buscamos P( X "" 950). Ahora

CAP 6J DISTRIBUCIONES BINOMIAL, NORMAL Y DE POISSON

950 en unidades estndar = (950 - 1(00)/30 = - 1,67

Por tan to P = P(X :o 950) = P(X * :o - 1,67) = P(X~0) - P(-1,67~X* :00) = 0,5000 - 0,4525 = 0,0475

DISTRIDUCION DE POISSON 6.21. Hallar (i) e - u, (ii) e - 2.5.

Por la tabla 6.3, pgina 112, y la ley de los exponentes: (i) e- U (ii) e - 2.5

( e- 1)( e - 0.3 ) (e- 2 )(e - 0.5 )

(0,368)(0, 741) = 0,273. (0,135 )(0. 607) = 0,0819.

~ -1,67 o

119

'\''' -A 6.22. Por la distribucin de Poisson p(k;'\) = T' hallar (i) p(2; 1), (ii) p(3; ~), (iii) p(2; 0,7).

(Usar la tabla 6.3, pgina 112, para obtener e-A .)

(i) I2e-1 e- \ 0,36!i

p(2; 1) = 2! = 2 = -2- = 0,184

(ii) p(3; ~) (] )3e - 0.5 e- Os 0.607

3! 48 48 0,0 13

( iii) p(2; .7) (0 ,7)2c -0.7 (0,49)(0,497) 0,12 2! 2

6.23. Supngase que 300 erratas estn di stribuidas al azar a lo largo de un libro de 500 pginas. Hallar la probabilidad P de que una pgina dada contenga, (i) 2 erratas exactamente, (ii) 2 o ms erratas.

Consideremos el nmero de erratas de una pgina como el nmero de xitos en una sucesin de pruebas de Bernoulli. Aqu n = 300 puesto que hay 300 erratas, y p = 1/500, la probabilidad de que aparezca una errata en la pgina dada. Puesto que p es pequeo, usamos la aproximacin de Poisso n a la distribucin binomial con A = np = 0,6.

(i) P p'(2; 0,6)

(ii) P(O erratas)

P(I errata)

(0,6)2e - 0. 6 O! (0,36)(0,549) /2 = 0,0988 = O, I

_ (0,6)Oe-O.6 = e-O.6 = 0,549

O! (O 6\e-O,6

= ,ft = (O 6)(0 549) ~ 0329 l! " ,

Entonces P = I - P(O I errata) = 1-(0,549 + 0,329) = 0,122 .

6.24. Supngase que el 2 % de los artculos producidos en una fbrica son defectuosos. Hallar la pro-babilidad P de que haya 3 artculos defectuosos en una muestra de 100 artculos.

Se aplica la distribucin binomial para 1/ = 100 Y P = 0,02. Sin embargo, puesto que p es pequeo, usamos la aproximacin de Poisson con A = np = 2. As

23e- 2 P = p(3; 2) = 31 8(0,135)/6 = 0,180

120 DISTRIBUCIONES BINOMIAL, NORMAL Y DE POISSON P. 6

(,,25, Mostrar que la distribucin de Poisson . A) es una distribucin de probabilidad, sea

p{k; A) 1

ror r,-,"ultados conocidos del anl isis eA l-..klk!, Por lanto,

p(l.; l-..)

Pr(lh~lr el teorema (1.5: Sea X una variable aleatoria con la distribucin de Poisson . A). Por tanlO, (i) A Y (ii) var pI.') A. De aqu (J'x = y"A.

(i) Usando

k p(k; A)

el trmino k o puesto que su valor es cero, y faetorizamos A en cada trmino). Sea s = k en la suma anterIOr. Cuando k recorre los valores la"', s recorre los valores O a "". As,

E(X) p(s; ,,)

ucsto que pes; l-..} = 1 por el problema anterior.

(il) Primero calculamos E(X ')

k 2 p(k; l-..)

Hacemos de nuevo k ~ 1 Y obtenemos

(s + 1) p(8; A)

Pero (s + 1) pes; Xl sp(s; A) + p(8; A) A + 1

d,'nde u,:;,mo, (i) para obtener X y el problema anterior para obtener I En consecuencia,

= X(X + 1) = ).,2 + X

var

As, el teorema queda robado.

6.27. Mostrar que SI {J es y n es la distribucin binomial se a la distribu-ci n de . n, p)

CAP. 61 DISTRIBUCIONES BINOMIAL. NORMAL Y DE POISSON 121

Por tanto, si fI es gmnde,

In b(O; '11., p) y de aqu b(O; n. p) "" e-h.

'11. ln (1

>-hlO cs, b(k; 71, p) "'" k b(k -1; n, p). As usando b(O; n .p) "" e-A, obtenemos b(i: fI.p) "'" Xe ~J

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