Probabilidad 27-09-2015
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Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Sandra Vergara CardozoProbabilidad y Estadıstica Fundamental Grupo I
Universidad Nacional de Colombia
27 de septiembre de 2015
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Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Tabla de Contenido
Elementos del analisis combinatorio
Principios de conteo
Formula de la multiplicacion
Permutaciones con Repeticion
Permutaciones
Permutaciones sin Repeticion
Combinacion
Combinacion sin repeticion
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Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Tabla de Contenido
Probabilidad
Conceptos iniciales
Espacio de medida de probabilidad
Medida de probabilidad condicional
Probabilidad Subjetiva
Regla de la Suma
Regla de la Multiplicacion
Probabilidad Conjunta
Teorema de Bayes
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Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Bibliografia
Lind, Marchal, Mason. Estadıstica para administracion yeconomıa.
Mongomery D. Estadıstica aplicada a la Ingenierıa.
Blanco, Liliana. Probabilidad.
Canavos. Probabilidad y Estadıstica
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Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Elementos del analisis combinatorio
Podrıamos contar
Numero de alumnos por grupo
Numero de llamadas telefonicas recibidas en una oficina pordıa.
Numero de autos que transitan en la semana en la ciudaduniversitaria, sede Bogota
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Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Elementos del analisis combinatorio
Podrıamos contar
Numero de alumnos por grupo
Numero de llamadas telefonicas recibidas en una oficina pordıa.
Numero de autos que transitan en la semana en la ciudaduniversitaria, sede Bogota
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Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Elementos del analisis combinatorio
Podrıamos contar
Numero de alumnos por grupo
Numero de llamadas telefonicas recibidas en una oficina pordıa.
Numero de autos que transitan en la semana en la ciudaduniversitaria, sede Bogota
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Elementos del analisis combinatorio
Podrıamos contar
Numero de alumnos por grupo
Numero de llamadas telefonicas recibidas en una oficina pordıa.
Numero de autos que transitan en la semana en la ciudaduniversitaria, sede Bogota
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Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Cuantos numeros de 3 (tres) cifras se pueden formar con losdıgitos : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 si no se pueden repetir losdıgitos. . .
Frecuentemente es necesario determinar cantidades comoestas para calcular las probabilidades. . . ..
Para responder las preguntas
“Cuantos”
“ Cual es el numero“
Supongamos que un cuarto tiene 4 puertas , llamadasW,T,U,I , de las que estamos interesadas en saber de cuantasformas podemos entrar por una puerta y salir por otra.
Hay varias posibilidades cuales son ?
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Cuantos numeros de 3 (tres) cifras se pueden formar con losdıgitos : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 si no se pueden repetir losdıgitos. . .
Frecuentemente es necesario determinar cantidades comoestas para calcular las probabilidades. . . ..
Para responder las preguntas
“Cuantos”
“ Cual es el numero“
Supongamos que un cuarto tiene 4 puertas , llamadasW,T,U,I , de las que estamos interesadas en saber de cuantasformas podemos entrar por una puerta y salir por otra.
Hay varias posibilidades cuales son ?
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Cuantos numeros de 3 (tres) cifras se pueden formar con losdıgitos : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 si no se pueden repetir losdıgitos. . .
Frecuentemente es necesario determinar cantidades comoestas para calcular las probabilidades. . . ..
Para responder las preguntas
“Cuantos”
“ Cual es el numero“
Supongamos que un cuarto tiene 4 puertas , llamadasW,T,U,I , de las que estamos interesadas en saber de cuantasformas podemos entrar por una puerta y salir por otra.
Hay varias posibilidades cuales son ?
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Cuantos numeros de 3 (tres) cifras se pueden formar con losdıgitos : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 si no se pueden repetir losdıgitos. . .
Frecuentemente es necesario determinar cantidades comoestas para calcular las probabilidades. . . ..
Para responder las preguntas
“Cuantos”
“ Cual es el numero“
Supongamos que un cuarto tiene 4 puertas , llamadasW,T,U,I , de las que estamos interesadas en saber de cuantasformas podemos entrar por una puerta y salir por otra.
Hay varias posibilidades cuales son ?
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Cuantos numeros de 3 (tres) cifras se pueden formar con losdıgitos : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 si no se pueden repetir losdıgitos. . .
Frecuentemente es necesario determinar cantidades comoestas para calcular las probabilidades. . . ..
Para responder las preguntas
“Cuantos”
“ Cual es el numero“
Supongamos que un cuarto tiene 4 puertas , llamadasW,T,U,I , de las que estamos interesadas en saber de cuantasformas podemos entrar por una puerta y salir por otra.
Hay varias posibilidades cuales son ?
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Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Cuantos numeros de 3 (tres) cifras se pueden formar con losdıgitos : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 si no se pueden repetir losdıgitos. . .
Frecuentemente es necesario determinar cantidades comoestas para calcular las probabilidades. . . ..
Para responder las preguntas
“Cuantos”
“ Cual es el numero“
Supongamos que un cuarto tiene 4 puertas , llamadasW,T,U,I , de las que estamos interesadas en saber de cuantasformas podemos entrar por una puerta y salir por otra.
Hay varias posibilidades cuales son ?
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Cuantos numeros de 3 (tres) cifras se pueden formar con losdıgitos : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 si no se pueden repetir losdıgitos. . .
Frecuentemente es necesario determinar cantidades comoestas para calcular las probabilidades. . . ..
Para responder las preguntas
“Cuantos”
“ Cual es el numero“
Supongamos que un cuarto tiene 4 puertas , llamadasW,T,U,I , de las que estamos interesadas en saber de cuantasformas podemos entrar por una puerta y salir por otra.
Hay varias posibilidades cuales son ?
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Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Supongamos que el tren de pasajeros de la sabana tiene 4vagones disponibles y necesitamos saber el numero de formasen que 3 pasajeros pueden ser asignados a los cuatro vagones,de manera que dos de los pasajeros no viajen juntos
4× 3× 2 = 24
Son 24 formas las que tenemos que asignar los cuatrosvagones a los tres (3) pasajeros, de manera que no viajen dosde ellos juntos.
Halle los numeros de cinco cifras que se pueden formar con losdıgitos del 0 al 9 que sean multiplos de 5 y donde no sepueden repetir los dıgitos
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Supongamos que el tren de pasajeros de la sabana tiene 4vagones disponibles y necesitamos saber el numero de formasen que 3 pasajeros pueden ser asignados a los cuatro vagones,de manera que dos de los pasajeros no viajen juntos
4× 3× 2 = 24
Son 24 formas las que tenemos que asignar los cuatrosvagones a los tres (3) pasajeros, de manera que no viajen dosde ellos juntos.
Halle los numeros de cinco cifras que se pueden formar con losdıgitos del 0 al 9 que sean multiplos de 5 y donde no sepueden repetir los dıgitos
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Supongamos que el tren de pasajeros de la sabana tiene 4vagones disponibles y necesitamos saber el numero de formasen que 3 pasajeros pueden ser asignados a los cuatro vagones,de manera que dos de los pasajeros no viajen juntos
4× 3× 2 = 24
Son 24 formas las que tenemos que asignar los cuatrosvagones a los tres (3) pasajeros, de manera que no viajen dosde ellos juntos.
Halle los numeros de cinco cifras que se pueden formar con losdıgitos del 0 al 9 que sean multiplos de 5 y donde no sepueden repetir los dıgitos
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Supongamos que el tren de pasajeros de la sabana tiene 4vagones disponibles y necesitamos saber el numero de formasen que 3 pasajeros pueden ser asignados a los cuatro vagones,de manera que dos de los pasajeros no viajen juntos
4× 3× 2 = 24
Son 24 formas las que tenemos que asignar los cuatrosvagones a los tres (3) pasajeros, de manera que no viajen dosde ellos juntos.
Halle los numeros de cinco cifras que se pueden formar con losdıgitos del 0 al 9 que sean multiplos de 5 y donde no sepueden repetir los dıgitos
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Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Hay 6048 numeros de cinco (5) cifras todas diferentes y que sonmultiplos de cinco (5).
6× 7× 8× 9× 2 = 6048
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Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Principios de conteo
Si el numero de resultados posibles de un experimento es pequeno,resulta relativamente facil contarlos.
Ejemplo del dado :
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Principios de conteo
Si el numero de resultados posibles de un experimento es pequeno,resulta relativamente facil contarlos.
Ejemplo del dado :
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Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Formula de la multiplicacion
Si hay m formas de hacer una cosa y n formas de hacer otraexistiran mxn formas de hacer ambas.
Numero total de arreglos = (m)× (n)
Para tres eventos :
Numero total de arreglos = (m)× (n)× (o)
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Formula de la multiplicacion
Si hay m formas de hacer una cosa y n formas de hacer otraexistiran mxn formas de hacer ambas.
Numero total de arreglos = (m)× (n)
Para tres eventos :
Numero total de arreglos = (m)× (n)× (o)
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Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Formula de la multiplicacion
Si hay m formas de hacer una cosa y n formas de hacer otraexistiran mxn formas de hacer ambas.
Numero total de arreglos = (m)× (n)
Para tres eventos :
Numero total de arreglos = (m)× (n)× (o)
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Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Formula de la multiplicacion
Si hay m formas de hacer una cosa y n formas de hacer otraexistiran mxn formas de hacer ambas.
Numero total de arreglos = (m)× (n)
Para tres eventos :
Numero total de arreglos = (m)× (n)× (o)
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Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Un vendedor de automoviles desea anunciar que por $23.000.000,usted puede comprar un auto convertible, sedan 2 puertas o unmodelo de 4 puertas, y ademas puede elegir si desea que los rinessean solidos o deportivos. Cuantos arreglos diferentes de modelos yrines puede ofrecer el comerciante?
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Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Podemos utilizar la formula de la multiplicacion para verificar (m:numero de modelos, n: tipo del rin)
Total de arreglos posibles = (m)× (n) = (3)× (2) = 6
Si el orden no importa, es una combinacion.
Si el orden sı importa es una permutacion.
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Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Podemos utilizar la formula de la multiplicacion para verificar (m:numero de modelos, n: tipo del rin)
Total de arreglos posibles = (m)× (n) = (3)× (2) = 6
Si el orden no importa, es una combinacion.
Si el orden sı importa es una permutacion.
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Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Podemos utilizar la formula de la multiplicacion para verificar (m:numero de modelos, n: tipo del rin)
Total de arreglos posibles = (m)× (n) = (3)× (2) = 6
Si el orden no importa, es una combinacion.
Si el orden sı importa es una permutacion.
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Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Podemos utilizar la formula de la multiplicacion para verificar (m:numero de modelos, n: tipo del rin)
Total de arreglos posibles = (m)× (n) = (3)× (2) = 6
Si el orden no importa, es una combinacion.
Si el orden sı importa es una permutacion.
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Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
“ Si una operacion o un proceso consiste de n diferentes pasos , delos cuales el primero puede ser realizado de p1 formas, el segundode p2 formas , el tercero de p3 formas ,. . . , y el k-esimo de pkformas.
La operacion se puede realizar
p1 × p2 × . . . .× pk formas
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Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
“ Si una operacion o un proceso consiste de n diferentes pasos , delos cuales el primero puede ser realizado de p1 formas, el segundode p2 formas , el tercero de p3 formas ,. . . , y el k-esimo de pkformas.
La operacion se puede realizar
p1 × p2 × . . . .× pk formas
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Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
“ Si una operacion o un proceso consiste de n diferentes pasos , delos cuales el primero puede ser realizado de p1 formas, el segundode p2 formas , el tercero de p3 formas ,. . . , y el k-esimo de pkformas.
La operacion se puede realizar
p1 × p2 × . . . .× pk formas
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Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Un estudiante tiene 8 pantalones diferentes y 10 camisas diferentes¿ De cuantas maneras puede vestirse de manera diferente ?
Rta. a
Un restaurante ofrece tres sopas diferentes, 5 carnes, 4 postres, y 4tipos de bebida . ¿De cuantas formas podemos ordenar una comidacompleta consistente en una sopa, una carne, un postre y unabebida ?
Rta. b
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Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Un estudiante tiene 8 pantalones diferentes y 10 camisas diferentes¿ De cuantas maneras puede vestirse de manera diferente ?
Rta. a
Un restaurante ofrece tres sopas diferentes, 5 carnes, 4 postres, y 4tipos de bebida . ¿De cuantas formas podemos ordenar una comidacompleta consistente en una sopa, una carne, un postre y unabebida ?
Rta. b
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Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Un estudiante tiene 8 pantalones diferentes y 10 camisas diferentes¿ De cuantas maneras puede vestirse de manera diferente ?
Rta. a
Un restaurante ofrece tres sopas diferentes, 5 carnes, 4 postres, y 4tipos de bebida . ¿De cuantas formas podemos ordenar una comidacompleta consistente en una sopa, una carne, un postre y unabebida ?
Rta. b
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Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Un estudiante tiene 8 pantalones diferentes y 10 camisas diferentes¿ De cuantas maneras puede vestirse de manera diferente ?
Rta. a
Un restaurante ofrece tres sopas diferentes, 5 carnes, 4 postres, y 4tipos de bebida . ¿De cuantas formas podemos ordenar una comidacompleta consistente en una sopa, una carne, un postre y unabebida ?
Rta. b
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Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Rta. A ( 8× 10 = 80)
Rta. B (3× 5× 4× 4 = 240)
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Rta. A ( 8× 10 = 80)
Rta. B (3× 5× 4× 4 = 240)
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Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Permutaciones con repeticion
Si elegimos n situaciones y elegimos r de ellas, las permutacionesposibles son:
n ∗ n ∗ n ∗ ...(r − veces) = nr
Serıan n posibilidades para la primera eleccion, consiguientemente
hay n posibilidades para la segunda eleccion, y ası sucesivamente.
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Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Permutaciones con repeticion
Si elegimos n situaciones y elegimos r de ellas, las permutacionesposibles son:
n ∗ n ∗ n ∗ ...(r − veces) = nr
Serıan n posibilidades para la primera eleccion, consiguientemente
hay n posibilidades para la segunda eleccion, y ası sucesivamente.
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Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Permutaciones con repeticion
Si elegimos n situaciones y elegimos r de ellas, las permutacionesposibles son:
n ∗ n ∗ n ∗ ...(r − veces) = nr
Serıan n posibilidades para la primera eleccion, consiguientemente
hay n posibilidades para la segunda eleccion, y ası sucesivamente.
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Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Hace algunos anos la empresa Wendy’s Hamburgers anuncio quetenıa 256 formas de preparar un hamburguesa. Usted puede elegiru omitir, cualquier combinacion de lo siguiente para suhamburguesa: mostaza, salsa de tomate, cebolla, pepinillos,tomate en rebanadas, aderezo, mayonesa y lechuga.
¿Es cierto lo que dice el anuncio? Indique como obtuvo surespuesta
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Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Hace algunos anos la empresa Wendy’s Hamburgers anuncio quetenıa 256 formas de preparar un hamburguesa. Usted puede elegiru omitir, cualquier combinacion de lo siguiente para suhamburguesa: mostaza, salsa de tomate, cebolla, pepinillos,tomate en rebanadas, aderezo, mayonesa y lechuga.
¿Es cierto lo que dice el anuncio? Indique como obtuvo surespuesta
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Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Usted puede elegir u omitir.
mostaza
salsa de tomate
Cebolla
pepinillos
tomate en rebanadas
Aderezo
mayonesa
lechuga
n es el numero de cosas que puedes elegir, eliges r de ellas. (Sepuede repetir, el orden importa)
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Usted puede elegir u omitir.
mostaza
salsa de tomate
Cebolla
pepinillos
tomate en rebanadas
Aderezo
mayonesa
lechuga
n es el numero de cosas que puedes elegir, eliges r de ellas. (Sepuede repetir, el orden importa)
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Usted puede elegir u omitir.
mostaza
salsa de tomate
Cebolla
pepinillos
tomate en rebanadas
Aderezo
mayonesa
lechuga
n es el numero de cosas que puedes elegir, eliges r de ellas. (Sepuede repetir, el orden importa)
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Usted puede elegir u omitir.
mostaza
salsa de tomate
Cebolla
pepinillos
tomate en rebanadas
Aderezo
mayonesa
lechuga
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Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Usted puede elegir u omitir.
mostaza
salsa de tomate
Cebolla
pepinillos
tomate en rebanadas
Aderezo
mayonesa
lechuga
n es el numero de cosas que puedes elegir, eliges r de ellas. (Sepuede repetir, el orden importa)
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Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Usted puede elegir u omitir.
mostaza
salsa de tomate
Cebolla
pepinillos
tomate en rebanadas
Aderezo
mayonesa
lechuga
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Usted puede elegir u omitir.
mostaza
salsa de tomate
Cebolla
pepinillos
tomate en rebanadas
Aderezo
mayonesa
lechuga
n es el numero de cosas que puedes elegir, eliges r de ellas. (Sepuede repetir, el orden importa)
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Usted puede elegir u omitir.
mostaza
salsa de tomate
Cebolla
pepinillos
tomate en rebanadas
Aderezo
mayonesa
lechuga
n es el numero de cosas que puedes elegir, eliges r de ellas. (Sepuede repetir, el orden importa)
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Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Usted puede elegir u omitir.
mostaza
salsa de tomate
Cebolla
pepinillos
tomate en rebanadas
Aderezo
mayonesa
lechuga
n es el numero de cosas que puedes elegir, eliges r de ellas. (Sepuede repetir, el orden importa)
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Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Si se tiene el evento 1, ocurre n1 formas distintas y por cada unade ellas un evento 2 ocurre en n2 formas diferentes yası sucesivamente hasta el evento k, el numero de formas totalesposibles distintas de ocurrencia de todos los k eventos es.
n1 ∗ n2 ∗ ... ∗ nk
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Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Permutaciones sin repeticion
¿ Como puedes ordenar el numero de sillas en el salon de clases ?
60 ∗ 59 ∗ ... ∗ 1 =
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Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Sean n enteros positivos:
Se define el factorial de n, denotado por n!, como:
n! = n ∗ (n − 1) ∗ ... ∗ 3 ∗ 2 ∗ 1
Por definicion 0! = 1
n! = n ∗ (n − 1)! = n ∗ (n − 1) ∗ (n − 2)!
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Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Sean n enteros positivos:
Se define el factorial de n, denotado por n!, como:
n! = n ∗ (n − 1) ∗ ... ∗ 3 ∗ 2 ∗ 1
Por definicion 0! = 1
n! = n ∗ (n − 1)! = n ∗ (n − 1) ∗ (n − 2)!
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Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Sean n enteros positivos:
Se define el factorial de n, denotado por n!, como:
n! = n ∗ (n − 1) ∗ ... ∗ 3 ∗ 2 ∗ 1
Por definicion 0! = 1
n! = n ∗ (n − 1)! = n ∗ (n − 1) ∗ (n − 2)!
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Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Sean n enteros positivos:
Se define el factorial de n, denotado por n!, como:
n! = n ∗ (n − 1) ∗ ... ∗ 3 ∗ 2 ∗ 1
Por definicion 0! = 1
n! = n ∗ (n − 1)! = n ∗ (n − 1) ∗ (n − 2)!
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Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Sean n enteros positivos:
Se define el factorial de n, denotado por n!, como:
n! = n ∗ (n − 1) ∗ ... ∗ 3 ∗ 2 ∗ 1
Por definicion 0! = 1
n! = n ∗ (n − 1)! = n ∗ (n − 1) ∗ (n − 2)!
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Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Permutacion
Un arreglo o disposicion de r objetos seleccionados de un sologrupo de n objetos posibles.
Observe que los arreglos a, b, c y el b, a, c son permutacionesdiferentes . La formula que se utiliza para contar el numero totalde permutaciones distintas es:
nPr = n!(n−r)!
n, numero total de objetos.
r, numero de objetos seleccionados
el numero de permutaciones de n objetos distintos tomando r a lavez.
Si el orden sı importa es una permutacion.
Una permutacion es una combinacion ordenada.
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Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Permutacion
Un arreglo o disposicion de r objetos seleccionados de un sologrupo de n objetos posibles.
Observe que los arreglos a, b, c y el b, a, c son permutacionesdiferentes . La formula que se utiliza para contar el numero totalde permutaciones distintas es:
nPr = n!(n−r)!
n, numero total de objetos.
r, numero de objetos seleccionados
el numero de permutaciones de n objetos distintos tomando r a lavez.
Si el orden sı importa es una permutacion.
Una permutacion es una combinacion ordenada.
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Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Permutacion
Un arreglo o disposicion de r objetos seleccionados de un sologrupo de n objetos posibles.
Observe que los arreglos a, b, c y el b, a, c son permutacionesdiferentes . La formula que se utiliza para contar el numero totalde permutaciones distintas es:
nPr = n!(n−r)!
n, numero total de objetos.
r, numero de objetos seleccionados
el numero de permutaciones de n objetos distintos tomando r a lavez.
Si el orden sı importa es una permutacion.
Una permutacion es una combinacion ordenada.
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Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Permutacion
Un arreglo o disposicion de r objetos seleccionados de un sologrupo de n objetos posibles.
Observe que los arreglos a, b, c y el b, a, c son permutacionesdiferentes . La formula que se utiliza para contar el numero totalde permutaciones distintas es:
nPr = n!(n−r)!
n, numero total de objetos.
r, numero de objetos seleccionados
el numero de permutaciones de n objetos distintos tomando r a lavez.
Si el orden sı importa es una permutacion.
Una permutacion es una combinacion ordenada.
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Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Permutacion
Un arreglo o disposicion de r objetos seleccionados de un sologrupo de n objetos posibles.
Observe que los arreglos a, b, c y el b, a, c son permutacionesdiferentes . La formula que se utiliza para contar el numero totalde permutaciones distintas es:
nPr = n!(n−r)!
n, numero total de objetos.
r, numero de objetos seleccionados
el numero de permutaciones de n objetos distintos tomando r a lavez.
Si el orden sı importa es una permutacion.
Una permutacion es una combinacion ordenada.
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Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Permutacion
Un arreglo o disposicion de r objetos seleccionados de un sologrupo de n objetos posibles.
Observe que los arreglos a, b, c y el b, a, c son permutacionesdiferentes . La formula que se utiliza para contar el numero totalde permutaciones distintas es:
nPr = n!(n−r)!
n, numero total de objetos.
r, numero de objetos seleccionados
el numero de permutaciones de n objetos distintos tomando r a lavez.
Si el orden sı importa es una permutacion.
Una permutacion es una combinacion ordenada.
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Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Permutacion
Un arreglo o disposicion de r objetos seleccionados de un sologrupo de n objetos posibles.
Observe que los arreglos a, b, c y el b, a, c son permutacionesdiferentes . La formula que se utiliza para contar el numero totalde permutaciones distintas es:
nPr = n!(n−r)!
n, numero total de objetos.
r, numero de objetos seleccionados
el numero de permutaciones de n objetos distintos tomando r a lavez.
Si el orden sı importa es una permutacion.
Una permutacion es una combinacion ordenada.
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Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Permutacion
Un arreglo o disposicion de r objetos seleccionados de un sologrupo de n objetos posibles.
Observe que los arreglos a, b, c y el b, a, c son permutacionesdiferentes . La formula que se utiliza para contar el numero totalde permutaciones distintas es:
nPr = n!(n−r)!
n, numero total de objetos.
r, numero de objetos seleccionados
el numero de permutaciones de n objetos distintos tomando r a lavez.
Si el orden sı importa es una permutacion.
Una permutacion es una combinacion ordenada.
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Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Permutacion
P(n, r) = n(n − 1)(n − 2) . . . (n − r + 1)
P(n, n) = n(n − 1)(n − 2) . . . (3)(2)(1) = n!
nPr = P(n, r) =n(n − 1)(n − 2) . . . (n − r + 1) . . . (2)(1)
(n − r) . . . (2)(1)=
n!
(n − r)!
n, numero total de objetos.
r, numero de objetos seleccionados
el numero de permutaciones de n objetos distintos tomando r a lavez.
Si el orden sı importa es una permutacion.
Una permutacion es una combinacion ordenada.
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Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Permutacion
P(n, r) = n(n − 1)(n − 2) . . . (n − r + 1)
P(n, n) = n(n − 1)(n − 2) . . . (3)(2)(1) = n!
nPr = P(n, r) =n(n − 1)(n − 2) . . . (n − r + 1) . . . (2)(1)
(n − r) . . . (2)(1)=
n!
(n − r)!
n, numero total de objetos.
r, numero de objetos seleccionados
el numero de permutaciones de n objetos distintos tomando r a lavez.
Si el orden sı importa es una permutacion.
Una permutacion es una combinacion ordenada.
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Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Permutacion
P(n, r) = n(n − 1)(n − 2) . . . (n − r + 1)
P(n, n) = n(n − 1)(n − 2) . . . (3)(2)(1) = n!
nPr = P(n, r) =n(n − 1)(n − 2) . . . (n − r + 1) . . . (2)(1)
(n − r) . . . (2)(1)=
n!
(n − r)!
n, numero total de objetos.
r, numero de objetos seleccionados
el numero de permutaciones de n objetos distintos tomando r a lavez.
Si el orden sı importa es una permutacion.
Una permutacion es una combinacion ordenada.
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Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Permutacion
P(n, r) = n(n − 1)(n − 2) . . . (n − r + 1)
P(n, n) = n(n − 1)(n − 2) . . . (3)(2)(1) = n!
nPr = P(n, r) =n(n − 1)(n − 2) . . . (n − r + 1) . . . (2)(1)
(n − r) . . . (2)(1)=
n!
(n − r)!
n, numero total de objetos.
r, numero de objetos seleccionados
el numero de permutaciones de n objetos distintos tomando r a lavez.
Si el orden sı importa es una permutacion.
Una permutacion es una combinacion ordenada.
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Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Permutacion
P(n, r) = n(n − 1)(n − 2) . . . (n − r + 1)
P(n, n) = n(n − 1)(n − 2) . . . (3)(2)(1) = n!
nPr = P(n, r) =n(n − 1)(n − 2) . . . (n − r + 1) . . . (2)(1)
(n − r) . . . (2)(1)=
n!
(n − r)!
n, numero total de objetos.
r, numero de objetos seleccionados
el numero de permutaciones de n objetos distintos tomando r a lavez.
Si el orden sı importa es una permutacion.
Una permutacion es una combinacion ordenada.
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Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Permutacion
P(n, r) = n(n − 1)(n − 2) . . . (n − r + 1)
P(n, n) = n(n − 1)(n − 2) . . . (3)(2)(1) = n!
nPr = P(n, r) =n(n − 1)(n − 2) . . . (n − r + 1) . . . (2)(1)
(n − r) . . . (2)(1)=
n!
(n − r)!
n, numero total de objetos.
r, numero de objetos seleccionados
el numero de permutaciones de n objetos distintos tomando r a lavez.
Si el orden sı importa es una permutacion.
Una permutacion es una combinacion ordenada.
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Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Permutacion
P(n, r) = n(n − 1)(n − 2) . . . (n − r + 1)
P(n, n) = n(n − 1)(n − 2) . . . (3)(2)(1) = n!
nPr = P(n, r) =n(n − 1)(n − 2) . . . (n − r + 1) . . . (2)(1)
(n − r) . . . (2)(1)=
n!
(n − r)!
n, numero total de objetos.
r, numero de objetos seleccionados
el numero de permutaciones de n objetos distintos tomando r a lavez.
Si el orden sı importa es una permutacion.
Una permutacion es una combinacion ordenada.
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Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Permutacion
P(n, r) = n(n − 1)(n − 2) . . . (n − r + 1)
P(n, n) = n(n − 1)(n − 2) . . . (3)(2)(1) = n!
nPr = P(n, r) =n(n − 1)(n − 2) . . . (n − r + 1) . . . (2)(1)
(n − r) . . . (2)(1)=
n!
(n − r)!
n, numero total de objetos.
r, numero de objetos seleccionados
el numero de permutaciones de n objetos distintos tomando r a lavez.
Si el orden sı importa es una permutacion.
Una permutacion es una combinacion ordenada.
![Page 79: Probabilidad 27-09-2015](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081723/5695d3621a28ab9b029dbbd6/html5/thumbnails/79.jpg)
Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Ej: Con referencia al grupo de tres partes electronicas que debenensamblarse en cualquier orden. ¿ De cuantas maneras diferentesse pueden ensamblar ?
n=3, son 3 partes para ensamblar
r=3, porque las tres partes se van a colocar en la unidad modular
nPr = n!(n−r)! = 3!
0! = 3 ∗ 2 ∗ 1 = 6
Las seis formas en que se pueden disponer las tres parteselectronicas, denotadas por A, B, C
ABC ,BAC ,CAB,ACB,BCA,CBA
Si el orden sı importa es una permutacion.
![Page 80: Probabilidad 27-09-2015](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081723/5695d3621a28ab9b029dbbd6/html5/thumbnails/80.jpg)
Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Ej: Con referencia al grupo de tres partes electronicas que debenensamblarse en cualquier orden. ¿ De cuantas maneras diferentesse pueden ensamblar ?
n=3, son 3 partes para ensamblar
r=3, porque las tres partes se van a colocar en la unidad modular
nPr = n!(n−r)! = 3!
0! = 3 ∗ 2 ∗ 1 = 6
Las seis formas en que se pueden disponer las tres parteselectronicas, denotadas por A, B, C
ABC ,BAC ,CAB,ACB,BCA,CBA
Si el orden sı importa es una permutacion.
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Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Ej: Con referencia al grupo de tres partes electronicas que debenensamblarse en cualquier orden. ¿ De cuantas maneras diferentesse pueden ensamblar ?
n=3, son 3 partes para ensamblar
r=3, porque las tres partes se van a colocar en la unidad modular
nPr = n!(n−r)! = 3!
0! = 3 ∗ 2 ∗ 1 = 6
Las seis formas en que se pueden disponer las tres parteselectronicas, denotadas por A, B, C
ABC ,BAC ,CAB,ACB,BCA,CBA
Si el orden sı importa es una permutacion.
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Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Ej: Con referencia al grupo de tres partes electronicas que debenensamblarse en cualquier orden. ¿ De cuantas maneras diferentesse pueden ensamblar ?
n=3, son 3 partes para ensamblar
r=3, porque las tres partes se van a colocar en la unidad modular
nPr = n!(n−r)! = 3!
0! = 3 ∗ 2 ∗ 1 = 6
Las seis formas en que se pueden disponer las tres parteselectronicas, denotadas por A, B, C
ABC ,BAC ,CAB,ACB,BCA,CBA
Si el orden sı importa es una permutacion.
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Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Ej: Con referencia al grupo de tres partes electronicas que debenensamblarse en cualquier orden. ¿ De cuantas maneras diferentesse pueden ensamblar ?
n=3, son 3 partes para ensamblar
r=3, porque las tres partes se van a colocar en la unidad modular
nPr = n!(n−r)! = 3!
0! = 3 ∗ 2 ∗ 1 = 6
Las seis formas en que se pueden disponer las tres parteselectronicas, denotadas por A, B, C
ABC ,BAC ,CAB,ACB,BCA,CBA
Si el orden sı importa es una permutacion.
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Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Ej: Con referencia al grupo de tres partes electronicas que debenensamblarse en cualquier orden. ¿ De cuantas maneras diferentesse pueden ensamblar ?
n=3, son 3 partes para ensamblar
r=3, porque las tres partes se van a colocar en la unidad modular
nPr = n!(n−r)! = 3!
0! = 3 ∗ 2 ∗ 1 = 6
Las seis formas en que se pueden disponer las tres parteselectronicas, denotadas por A, B, C
ABC ,BAC ,CAB,ACB,BCA,CBA
Si el orden sı importa es una permutacion.
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Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Ej: Con referencia al grupo de tres partes electronicas que debenensamblarse en cualquier orden. ¿ De cuantas maneras diferentesse pueden ensamblar ?
n=3, son 3 partes para ensamblar
r=3, porque las tres partes se van a colocar en la unidad modular
nPr = n!(n−r)! = 3!
0! = 3 ∗ 2 ∗ 1 = 6
Las seis formas en que se pueden disponer las tres parteselectronicas, denotadas por A, B, C
ABC ,BAC ,CAB,ACB,BCA,CBA
Si el orden sı importa es una permutacion.
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Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Ej: La empresa XYZ, tiene 8 tornos pero solo hay disponibles 3espacios en la zona de produccion. ¿En cuantas formas diferentesse pueden colocar los ocho tornos en los tres espacios disponibles ?
n=8, r=3
nPr = n!(n−r)! = 8!
5! = 8 ∗ 7 ∗ 6 = 336
Hay un total de 336 acomodos diferentes.
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Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Ej: La empresa XYZ, tiene 8 tornos pero solo hay disponibles 3espacios en la zona de produccion. ¿En cuantas formas diferentesse pueden colocar los ocho tornos en los tres espacios disponibles ?
n=8, r=3
nPr = n!(n−r)! = 8!
5! = 8 ∗ 7 ∗ 6 = 336
Hay un total de 336 acomodos diferentes.
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Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Ej: La empresa XYZ, tiene 8 tornos pero solo hay disponibles 3espacios en la zona de produccion. ¿En cuantas formas diferentesse pueden colocar los ocho tornos en los tres espacios disponibles ?
n=8, r=3
nPr = n!(n−r)! = 8!
5! = 8 ∗ 7 ∗ 6 = 336
Hay un total de 336 acomodos diferentes.
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Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Ej: La empresa XYZ, tiene 8 tornos pero solo hay disponibles 3espacios en la zona de produccion. ¿En cuantas formas diferentesse pueden colocar los ocho tornos en los tres espacios disponibles ?
n=8, r=3
nPr = n!(n−r)! = 8!
5! = 8 ∗ 7 ∗ 6 = 336
Hay un total de 336 acomodos diferentes.
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Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Si nueve bolas distinguibles entre si son colocadas al azar encatorce (14) cajas, la probabilidad de que ninguna caja reciba masde una bola es :
Un ascensor inicia el recorrido con 10 personas y se detiene en 15pisos . Cual es la probabilidad de que maximo una persona deje elascensor en el mismo piso ?
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Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Si nueve bolas distinguibles entre si son colocadas al azar encatorce (14) cajas, la probabilidad de que ninguna caja reciba masde una bola es :
Un ascensor inicia el recorrido con 10 personas y se detiene en 15pisos . Cual es la probabilidad de que maximo una persona deje elascensor en el mismo piso ?
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Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Permutaciones sin repeticion de n elementos tomadostodos a la vez
De cuantas formas diferentes se pueden ordenar las letras delalfabeto PROBABILIDAD
12× 11 . . .× 1 = 12! = 479001600
![Page 93: Probabilidad 27-09-2015](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081723/5695d3621a28ab9b029dbbd6/html5/thumbnails/93.jpg)
Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Permutaciones sin repeticion de n elementos tomadostodos a la vez
De cuantas formas diferentes se pueden ordenar las letras delalfabeto PROBABILIDAD
12× 11 . . .× 1 = 12! = 479001600
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Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Permutaciones sin repeticion de n elementos tomados de ren r
De cuantas formas diferentes se pueden sentar 6 alumnos en unsalon de clase de 45 puestos?
45P6
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Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Permutaciones sin repeticion de n elementos tomados de ren r
De cuantas formas diferentes se pueden sentar 6 alumnos en unsalon de clase de 45 puestos?
45P6
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Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Combinaciones
Recordando, el orden no importa, es una combinacion.
Con repeticion:
como billetes en tu billetera (10000,10000,50000,50000,50000)
Sin repeticion: como numeros del baloto (13,1,25,7,3,32,52)
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Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Combinaciones
Recordando, el orden no importa, es una combinacion.
Con repeticion:
como billetes en tu billetera (10000,10000,50000,50000,50000)
Sin repeticion: como numeros del baloto (13,1,25,7,3,32,52)
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Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Combinaciones
Recordando, el orden no importa, es una combinacion.
Con repeticion:
como billetes en tu billetera (10000,10000,50000,50000,50000)
Sin repeticion: como numeros del baloto (13,1,25,7,3,32,52)
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Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Combinaciones
Recordando, el orden no importa, es una combinacion.
Con repeticion:
como billetes en tu billetera (10000,10000,50000,50000,50000)
Sin repeticion: como numeros del baloto (13,1,25,7,3,32,52)
![Page 100: Probabilidad 27-09-2015](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081723/5695d3621a28ab9b029dbbd6/html5/thumbnails/100.jpg)
Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Combinaciones sin repeticion
Ası funciona el baloto. Los numeros se eligen de uno en uno, y sitienes los numeros de la suerte (en el mismo orden) GANASTE!
![Page 101: Probabilidad 27-09-2015](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081723/5695d3621a28ab9b029dbbd6/html5/thumbnails/101.jpg)
Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Combinaciones sin repeticion
Ası funciona el baloto. Los numeros se eligen de uno en uno, y sitienes los numeros de la suerte (en el mismo orden) GANASTE!
![Page 102: Probabilidad 27-09-2015](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081723/5695d3621a28ab9b029dbbd6/html5/thumbnails/102.jpg)
Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Si el orden sı importa (permutaciones).
Si el orden no importa (combinaciones).
![Page 103: Probabilidad 27-09-2015](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081723/5695d3621a28ab9b029dbbd6/html5/thumbnails/103.jpg)
Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Si el orden sı importa (permutaciones).
Si el orden no importa (combinaciones).
![Page 104: Probabilidad 27-09-2015](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081723/5695d3621a28ab9b029dbbd6/html5/thumbnails/104.jpg)
Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Se tomaron 3 colores diferentes
Amarillo
Rojo
Azul.
Las posibilidades son:
El orden importa : (1 3 2,2 1 3,2 3 1,3 1 2,3 2 1)
El orden no importa: (1 2 3)
![Page 105: Probabilidad 27-09-2015](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081723/5695d3621a28ab9b029dbbd6/html5/thumbnails/105.jpg)
Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Se tomaron 3 colores diferentes
Amarillo
Rojo
Azul.
Las posibilidades son:
El orden importa : (1 3 2,2 1 3,2 3 1,3 1 2,3 2 1)
El orden no importa: (1 2 3)
![Page 106: Probabilidad 27-09-2015](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081723/5695d3621a28ab9b029dbbd6/html5/thumbnails/106.jpg)
Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Se tomaron 3 colores diferentes
Amarillo
Rojo
Azul.
Las posibilidades son:
El orden importa : (1 3 2,2 1 3,2 3 1,3 1 2,3 2 1)
El orden no importa: (1 2 3)
![Page 107: Probabilidad 27-09-2015](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081723/5695d3621a28ab9b029dbbd6/html5/thumbnails/107.jpg)
Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Se tomaron 3 colores diferentes
Amarillo
Rojo
Azul.
Las posibilidades son:
El orden importa : (1 3 2,2 1 3,2 3 1,3 1 2,3 2 1)
El orden no importa: (1 2 3)
![Page 108: Probabilidad 27-09-2015](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081723/5695d3621a28ab9b029dbbd6/html5/thumbnails/108.jpg)
Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Se tomaron 3 colores diferentes
Amarillo
Rojo
Azul.
Las posibilidades son:
El orden importa : (1 3 2,2 1 3,2 3 1,3 1 2,3 2 1)
El orden no importa: (1 2 3)
![Page 109: Probabilidad 27-09-2015](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081723/5695d3621a28ab9b029dbbd6/html5/thumbnails/109.jpg)
Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Se tomaron 3 colores diferentes
Amarillo
Rojo
Azul.
Las posibilidades son:
El orden importa : (1 3 2,2 1 3,2 3 1,3 1 2,3 2 1)
El orden no importa: (1 2 3)
![Page 110: Probabilidad 27-09-2015](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081723/5695d3621a28ab9b029dbbd6/html5/thumbnails/110.jpg)
Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Las permutaciones son 6 posibilidades.
Una manera facil de saber de cuantas maneras ”1 2 3”se puedenordenar.
3! = 3x2x1
Realicemos para 5 colores diferentes
![Page 111: Probabilidad 27-09-2015](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081723/5695d3621a28ab9b029dbbd6/html5/thumbnails/111.jpg)
Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Las permutaciones son 6 posibilidades.
Una manera facil de saber de cuantas maneras ”1 2 3”se puedenordenar.
3! = 3x2x1
Realicemos para 5 colores diferentes
![Page 112: Probabilidad 27-09-2015](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081723/5695d3621a28ab9b029dbbd6/html5/thumbnails/112.jpg)
Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Las permutaciones son 6 posibilidades.
Una manera facil de saber de cuantas maneras ”1 2 3”se puedenordenar.
3! = 3x2x1
Realicemos para 5 colores diferentes
![Page 113: Probabilidad 27-09-2015](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081723/5695d3621a28ab9b029dbbd6/html5/thumbnails/113.jpg)
Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Las permutaciones son 6 posibilidades.
Una manera facil de saber de cuantas maneras ”1 2 3”se puedenordenar.
3! = 3x2x1
Realicemos para 5 colores diferentes
![Page 114: Probabilidad 27-09-2015](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081723/5695d3621a28ab9b029dbbd6/html5/thumbnails/114.jpg)
Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Combinacion
Si el orden de los objetos seleccionados no es importante, acualquier seleccion se le llama una combinacion.
nCr =n!
r !(n − r)!
nCr (r !) =n Pr =n!
(n − r)!
El numero de formas posibles de seleccionar r objetos de un totalde n, sin importar el orden.
Si el orden no importa, es una combinacion.
Coeficiente binomial.
![Page 115: Probabilidad 27-09-2015](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081723/5695d3621a28ab9b029dbbd6/html5/thumbnails/115.jpg)
Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Combinacion
Si el orden de los objetos seleccionados no es importante, acualquier seleccion se le llama una combinacion.
nCr =n!
r !(n − r)!
nCr (r !) =n Pr =n!
(n − r)!
El numero de formas posibles de seleccionar r objetos de un totalde n, sin importar el orden.
Si el orden no importa, es una combinacion.
Coeficiente binomial.
![Page 116: Probabilidad 27-09-2015](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081723/5695d3621a28ab9b029dbbd6/html5/thumbnails/116.jpg)
Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Combinacion
Si el orden de los objetos seleccionados no es importante, acualquier seleccion se le llama una combinacion.
nCr =n!
r !(n − r)!
nCr (r !) =n Pr =n!
(n − r)!
El numero de formas posibles de seleccionar r objetos de un totalde n, sin importar el orden.
Si el orden no importa, es una combinacion.
Coeficiente binomial.
![Page 117: Probabilidad 27-09-2015](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081723/5695d3621a28ab9b029dbbd6/html5/thumbnails/117.jpg)
Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Combinacion
Si el orden de los objetos seleccionados no es importante, acualquier seleccion se le llama una combinacion.
nCr =n!
r !(n − r)!
nCr (r !) =n Pr =n!
(n − r)!
El numero de formas posibles de seleccionar r objetos de un totalde n, sin importar el orden.
Si el orden no importa, es una combinacion.
Coeficiente binomial.
![Page 118: Probabilidad 27-09-2015](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081723/5695d3621a28ab9b029dbbd6/html5/thumbnails/118.jpg)
Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Combinacion
Si el orden de los objetos seleccionados no es importante, acualquier seleccion se le llama una combinacion.
nCr =n!
r !(n − r)!
nCr (r !) =n Pr =n!
(n − r)!
El numero de formas posibles de seleccionar r objetos de un totalde n, sin importar el orden.
Si el orden no importa, es una combinacion.
Coeficiente binomial.
![Page 119: Probabilidad 27-09-2015](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081723/5695d3621a28ab9b029dbbd6/html5/thumbnails/119.jpg)
Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Si se tiene un subconjunto con n objetos distintos: si se deseantener subconjuntos , de dicho conjunto , de tamano r
0 ≤ r ≤ n
El numero de subconjuntos que pueden formarse puede hallarse
con la formula:
nCr =n!
r !(n − r)!
4C3 =4!
3!(4− 3)!= 4
El numero de formas posibles de seleccionar 3 objetos de un total
de 4, sin importar el orden.
![Page 120: Probabilidad 27-09-2015](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081723/5695d3621a28ab9b029dbbd6/html5/thumbnails/120.jpg)
Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Si se tiene un subconjunto con n objetos distintos: si se deseantener subconjuntos , de dicho conjunto , de tamano r
0 ≤ r ≤ n
El numero de subconjuntos que pueden formarse puede hallarse
con la formula:
nCr =n!
r !(n − r)!
4C3 =4!
3!(4− 3)!= 4
El numero de formas posibles de seleccionar 3 objetos de un total
de 4, sin importar el orden.
![Page 121: Probabilidad 27-09-2015](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081723/5695d3621a28ab9b029dbbd6/html5/thumbnails/121.jpg)
Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Si se tiene un subconjunto con n objetos distintos: si se deseantener subconjuntos , de dicho conjunto , de tamano r
0 ≤ r ≤ n
El numero de subconjuntos que pueden formarse puede hallarse
con la formula:
nCr =n!
r !(n − r)!
4C3 =4!
3!(4− 3)!= 4
El numero de formas posibles de seleccionar 3 objetos de un total
de 4, sin importar el orden.
![Page 122: Probabilidad 27-09-2015](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081723/5695d3621a28ab9b029dbbd6/html5/thumbnails/122.jpg)
Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Si se tiene un subconjunto con n objetos distintos: si se deseantener subconjuntos , de dicho conjunto , de tamano r
0 ≤ r ≤ n
El numero de subconjuntos que pueden formarse puede hallarse
con la formula:
nCr =n!
r !(n − r)!
4C3 =4!
3!(4− 3)!= 4
El numero de formas posibles de seleccionar 3 objetos de un total
de 4, sin importar el orden.
![Page 123: Probabilidad 27-09-2015](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081723/5695d3621a28ab9b029dbbd6/html5/thumbnails/123.jpg)
Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Si se tiene un subconjunto con n objetos distintos: si se deseantener subconjuntos , de dicho conjunto , de tamano r
0 ≤ r ≤ n
El numero de subconjuntos que pueden formarse puede hallarse
con la formula:
nCr =n!
r !(n − r)!
4C3 =4!
3!(4− 3)!= 4
El numero de formas posibles de seleccionar 3 objetos de un total
de 4, sin importar el orden.
![Page 124: Probabilidad 27-09-2015](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081723/5695d3621a28ab9b029dbbd6/html5/thumbnails/124.jpg)
Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Si se tiene un subconjunto con n objetos distintos: si se deseantener subconjuntos , de dicho conjunto , de tamano r
0 ≤ r ≤ n
El numero de subconjuntos que pueden formarse puede hallarse
con la formula:
nCr =n!
r !(n − r)!
4C3 =4!
3!(4− 3)!= 4
El numero de formas posibles de seleccionar 3 objetos de un total
de 4, sin importar el orden.
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Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Ej: Los ejecutivos C,D,F han se de ser elegidos como comite paranegociar una fusion de empresas, solo existe una combinacionposible de estos tres. El comite formado por C,D,F equivale alintegrado por D,F,C .
3C3 =3!
3!(0)!= 1
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Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Ej: Los ejecutivos C,D,F han se de ser elegidos como comite paranegociar una fusion de empresas, solo existe una combinacionposible de estos tres. El comite formado por C,D,F equivale alintegrado por D,F,C .
3C3 =3!
3!(0)!= 1
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Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Ej: A un departamento de mercadotecnia se le ha disenado quedisene codigos de colores para las 42 lıneas de discoscompactos(CD) que comercializa la empresa EWQ.
Se van a utilizar 3 colores en cada lınea de CD , pero unacombinacion de tres colores que se utilizan en una lınea no puedenno puede reordenarse y utilizarse para identificar otra lıneadiferente.
Esto significa que si se usaran los colores amarillo, verde y violeta(o cualquier otra combinacion de estos tres colores) no se podrıaemplear para identificar otra lınea. ¿Seran adecuados siete coloresformados tres a la vez para codificar adecuadamente las 42 lıneas ?
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Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Ej: A un departamento de mercadotecnia se le ha disenado quedisene codigos de colores para las 42 lıneas de discoscompactos(CD) que comercializa la empresa EWQ.
Se van a utilizar 3 colores en cada lınea de CD , pero unacombinacion de tres colores que se utilizan en una lınea no puedenno puede reordenarse y utilizarse para identificar otra lıneadiferente.
Esto significa que si se usaran los colores amarillo, verde y violeta(o cualquier otra combinacion de estos tres colores) no se podrıaemplear para identificar otra lınea. ¿Seran adecuados siete coloresformados tres a la vez para codificar adecuadamente las 42 lıneas ?
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Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Ej: A un departamento de mercadotecnia se le ha disenado quedisene codigos de colores para las 42 lıneas de discoscompactos(CD) que comercializa la empresa EWQ.
Se van a utilizar 3 colores en cada lınea de CD , pero unacombinacion de tres colores que se utilizan en una lınea no puedenno puede reordenarse y utilizarse para identificar otra lıneadiferente.
Esto significa que si se usaran los colores amarillo, verde y violeta(o cualquier otra combinacion de estos tres colores) no se podrıaemplear para identificar otra lınea. ¿Seran adecuados siete coloresformados tres a la vez para codificar adecuadamente las 42 lıneas ?
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Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
El numero de formas posibles de seleccionar 3 objetos de un totalde 7, sin importar el orden.
7C3 =7!
3!(7− 3)!= 35
7P3 =7!
(7− 3)!=
7!
4!
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Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
El numero de formas posibles de seleccionar 3 objetos de un totalde 7, sin importar el orden.
7C3 =7!
3!(7− 3)!= 35
7P3 =7!
(7− 3)!=
7!
4!
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Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Cuantos helados de dos sabores diferentes nos pueden servir enuna heladerıa que tiene el siguiente surtido de sabores : chocolate,vainilla, mamey, fresa, mango, coco ?
6C2 =6!
2!(6− 2)!= 15
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Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Combinaciones con repeticion
= (n+r−1)!r !(n−1)!
Coeficiente binomial negativa
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Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Combinaciones con repeticion
= (n+r−1)!r !(n−1)!
Coeficiente binomial negativa
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Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Ejercicios
1. Supongase que se deben dividir 10 conejos usados en unlaboratorio de 3 jaulas, de tal forma que la jaula 1hayan 3 conejos,en la jaula 2 cuatro conejos y en la jaula 3, tres conejos.
De cuantas formas se pueden guardar los conejos en las jaulas?
Rta. 4200
Cinco jueces de un deporte determinado disponen de una cartulinaen la que por un lado hay un 1 y por el otro un 0.
Cuantas combinaciones pueden darse ?
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Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Ejercicios
1. Supongase que se deben dividir 10 conejos usados en unlaboratorio de 3 jaulas, de tal forma que la jaula 1hayan 3 conejos,en la jaula 2 cuatro conejos y en la jaula 3, tres conejos.
De cuantas formas se pueden guardar los conejos en las jaulas?
Rta. 4200
Cinco jueces de un deporte determinado disponen de una cartulinaen la que por un lado hay un 1 y por el otro un 0.
Cuantas combinaciones pueden darse ?
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Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Ejercicios
1. Supongase que se deben dividir 10 conejos usados en unlaboratorio de 3 jaulas, de tal forma que la jaula 1hayan 3 conejos,en la jaula 2 cuatro conejos y en la jaula 3, tres conejos.
De cuantas formas se pueden guardar los conejos en las jaulas?
Rta. 4200
Cinco jueces de un deporte determinado disponen de una cartulinaen la que por un lado hay un 1 y por el otro un 0.
Cuantas combinaciones pueden darse ?
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Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Ejercicios
1. Supongase que se deben dividir 10 conejos usados en unlaboratorio de 3 jaulas, de tal forma que la jaula 1hayan 3 conejos,en la jaula 2 cuatro conejos y en la jaula 3, tres conejos.
De cuantas formas se pueden guardar los conejos en las jaulas?
Rta. 4200
Cinco jueces de un deporte determinado disponen de una cartulinaen la que por un lado hay un 1 y por el otro un 0.
Cuantas combinaciones pueden darse ?
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Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Ejercicios
1. Supongase que se deben dividir 10 conejos usados en unlaboratorio de 3 jaulas, de tal forma que la jaula 1hayan 3 conejos,en la jaula 2 cuatro conejos y en la jaula 3, tres conejos.
De cuantas formas se pueden guardar los conejos en las jaulas?
Rta. 4200
Cinco jueces de un deporte determinado disponen de una cartulinaen la que por un lado hay un 1 y por el otro un 0.
Cuantas combinaciones pueden darse ?
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Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Un producto se arma en tres etapas. En la primera etapa hay 5lıneas de armado, en la segunda 4 lıneas de armado y en la tercera,6 lıneas de armado. ¿De cuantas formas puede moverse el productoen el proceso de armado ?
Rta. 120 formas
Un inspector visita 6 maquinas diferentes durante el dıa. Al fin deimpedir que los operadores sepan cuanto inspeccionara , varia elorden de las visitas.
¿ De cuantas maneras puede hacerlo ?
Rta. 720
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Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Un producto se arma en tres etapas. En la primera etapa hay 5lıneas de armado, en la segunda 4 lıneas de armado y en la tercera,6 lıneas de armado. ¿De cuantas formas puede moverse el productoen el proceso de armado ?
Rta. 120 formas
Un inspector visita 6 maquinas diferentes durante el dıa. Al fin deimpedir que los operadores sepan cuanto inspeccionara , varia elorden de las visitas.
¿ De cuantas maneras puede hacerlo ?
Rta. 720
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Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Un producto se arma en tres etapas. En la primera etapa hay 5lıneas de armado, en la segunda 4 lıneas de armado y en la tercera,6 lıneas de armado. ¿De cuantas formas puede moverse el productoen el proceso de armado ?
Rta. 120 formas
Un inspector visita 6 maquinas diferentes durante el dıa. Al fin deimpedir que los operadores sepan cuanto inspeccionara , varia elorden de las visitas.
¿ De cuantas maneras puede hacerlo ?
Rta. 720
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Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Un producto se arma en tres etapas. En la primera etapa hay 5lıneas de armado, en la segunda 4 lıneas de armado y en la tercera,6 lıneas de armado. ¿De cuantas formas puede moverse el productoen el proceso de armado ?
Rta. 120 formas
Un inspector visita 6 maquinas diferentes durante el dıa. Al fin deimpedir que los operadores sepan cuanto inspeccionara , varia elorden de las visitas.
¿ De cuantas maneras puede hacerlo ?
Rta. 720
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Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Un producto se arma en tres etapas. En la primera etapa hay 5lıneas de armado, en la segunda 4 lıneas de armado y en la tercera,6 lıneas de armado. ¿De cuantas formas puede moverse el productoen el proceso de armado ?
Rta. 120 formas
Un inspector visita 6 maquinas diferentes durante el dıa. Al fin deimpedir que los operadores sepan cuanto inspeccionara , varia elorden de las visitas.
¿ De cuantas maneras puede hacerlo ?
Rta. 720
![Page 145: Probabilidad 27-09-2015](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081723/5695d3621a28ab9b029dbbd6/html5/thumbnails/145.jpg)
Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Sin repeticion
Permutacion nPr , Combinacion nCr
Se seleccionan 3 colores sin repeticion de los colores Rojo, Azul,Verde y Blanco
nPr =4 P3 = 24
nCr =4 C3 = 4
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Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Sin repeticion
Permutacion nPr , Combinacion nCr
Se seleccionan 3 colores sin repeticion de los colores Rojo, Azul,Verde y Blanco
nPr =4 P3 = 24
nCr =4 C3 = 4
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Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Sin repeticion
Permutacion nPr , Combinacion nCr
Se seleccionan 3 colores sin repeticion de los colores Rojo, Azul,Verde y Blanco
nPr =4 P3 = 24
nCr =4 C3 = 4
![Page 148: Probabilidad 27-09-2015](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081723/5695d3621a28ab9b029dbbd6/html5/thumbnails/148.jpg)
Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Sin repeticion
Permutacion nPr , Combinacion nCr
Se seleccionan 3 colores sin repeticion de los colores Rojo, Azul,Verde y Blanco
nPr =4 P3 = 24
nCr =4 C3 = 4
![Page 149: Probabilidad 27-09-2015](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081723/5695d3621a28ab9b029dbbd6/html5/thumbnails/149.jpg)
Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Sin repeticion
Permutacion nPr , Combinacion nCr
Se seleccionan 3 colores sin repeticion de los colores Rojo, Azul,Verde y Blanco
nPr =4 P3 = 24
nCr =4 C3 = 4
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Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Con repeticion
Permutacion nPr , Combinacion nCr =
Se seleccionan 2 colores sin repeticion de los colores Rojo, Azul,Verde y Blanco
nPr =4 P2 = 14
nCr =4 C2 =
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Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Es de gran ayuda la teorıa de probabilidad, a la quefrecuentemente se denomina ciencia de la incertidumbre
El empleo de esta teorıa de la probabilidad permite -a quientoma decisiones con informacion limitada- analizar los riesgosy minimizar el azar inherente.
![Page 152: Probabilidad 27-09-2015](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081723/5695d3621a28ab9b029dbbd6/html5/thumbnails/152.jpg)
Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Es de gran ayuda la teorıa de probabilidad, a la quefrecuentemente se denomina ciencia de la incertidumbre
El empleo de esta teorıa de la probabilidad permite -a quientoma decisiones con informacion limitada- analizar los riesgosy minimizar el azar inherente.
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Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Introduccion
Introduccion
El calculo de la posibilidad de que algo ocurra en el futuro .(Inferencia estadıstica o estadıstica inferencial)
La inferencia estadıstica se ocupa de obtener conclusionesacerca de la poblacion basandose en una muestra.
Debido a que existe una incertidumbre considerable al tomardecisiones, resulta importante que se evaluen en formacientıfica todos los riesgos implıcitos conocidos
![Page 154: Probabilidad 27-09-2015](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081723/5695d3621a28ab9b029dbbd6/html5/thumbnails/154.jpg)
Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Introduccion
Introduccion
El calculo de la posibilidad de que algo ocurra en el futuro .(Inferencia estadıstica o estadıstica inferencial)
La inferencia estadıstica se ocupa de obtener conclusionesacerca de la poblacion basandose en una muestra.
Debido a que existe una incertidumbre considerable al tomardecisiones, resulta importante que se evaluen en formacientıfica todos los riesgos implıcitos conocidos
![Page 155: Probabilidad 27-09-2015](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081723/5695d3621a28ab9b029dbbd6/html5/thumbnails/155.jpg)
Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Introduccion
Introduccion
El calculo de la posibilidad de que algo ocurra en el futuro .(Inferencia estadıstica o estadıstica inferencial)
La inferencia estadıstica se ocupa de obtener conclusionesacerca de la poblacion basandose en una muestra.
Debido a que existe una incertidumbre considerable al tomardecisiones, resulta importante que se evaluen en formacientıfica todos los riesgos implıcitos conocidos
![Page 156: Probabilidad 27-09-2015](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081723/5695d3621a28ab9b029dbbd6/html5/thumbnails/156.jpg)
Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
Probabilidad
ProbabilidadValor que va desde cero hasta uno, inclusive, que describe laposibilidad relativa de que ocurra un evento.ExperimentoProceso que conduce a que ocurra una ( y solamente una ) devarias observaciones posibles.ResultadoUn suceso particular proveniente de un experimento.EventoConjunto de uno o mas resultados de un experimento.
![Page 157: Probabilidad 27-09-2015](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081723/5695d3621a28ab9b029dbbd6/html5/thumbnails/157.jpg)
Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
Probabilidad
ProbabilidadValor que va desde cero hasta uno, inclusive, que describe laposibilidad relativa de que ocurra un evento.ExperimentoProceso que conduce a que ocurra una ( y solamente una ) devarias observaciones posibles.ResultadoUn suceso particular proveniente de un experimento.EventoConjunto de uno o mas resultados de un experimento.
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Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
Probabilidad
ProbabilidadValor que va desde cero hasta uno, inclusive, que describe laposibilidad relativa de que ocurra un evento.ExperimentoProceso que conduce a que ocurra una ( y solamente una ) devarias observaciones posibles.ResultadoUn suceso particular proveniente de un experimento.EventoConjunto de uno o mas resultados de un experimento.
![Page 159: Probabilidad 27-09-2015](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081723/5695d3621a28ab9b029dbbd6/html5/thumbnails/159.jpg)
Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
Probabilidad
ProbabilidadValor que va desde cero hasta uno, inclusive, que describe laposibilidad relativa de que ocurra un evento.ExperimentoProceso que conduce a que ocurra una ( y solamente una ) devarias observaciones posibles.ResultadoUn suceso particular proveniente de un experimento.EventoConjunto de uno o mas resultados de un experimento.
![Page 160: Probabilidad 27-09-2015](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081723/5695d3621a28ab9b029dbbd6/html5/thumbnails/160.jpg)
Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
Probabilidad
ProbabilidadValor que va desde cero hasta uno, inclusive, que describe laposibilidad relativa de que ocurra un evento.ExperimentoProceso que conduce a que ocurra una ( y solamente una ) devarias observaciones posibles.ResultadoUn suceso particular proveniente de un experimento.EventoConjunto de uno o mas resultados de un experimento.
![Page 161: Probabilidad 27-09-2015](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081723/5695d3621a28ab9b029dbbd6/html5/thumbnails/161.jpg)
Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
Probabilidad
ProbabilidadValor que va desde cero hasta uno, inclusive, que describe laposibilidad relativa de que ocurra un evento.ExperimentoProceso que conduce a que ocurra una ( y solamente una ) devarias observaciones posibles.ResultadoUn suceso particular proveniente de un experimento.EventoConjunto de uno o mas resultados de un experimento.
![Page 162: Probabilidad 27-09-2015](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081723/5695d3621a28ab9b029dbbd6/html5/thumbnails/162.jpg)
Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
Probabilidad
ProbabilidadValor que va desde cero hasta uno, inclusive, que describe laposibilidad relativa de que ocurra un evento.ExperimentoProceso que conduce a que ocurra una ( y solamente una ) devarias observaciones posibles.ResultadoUn suceso particular proveniente de un experimento.EventoConjunto de uno o mas resultados de un experimento.
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Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
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Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
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Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
Conceptos iniciales de probabilidad
Experimento aleatorio
Espacio muestral : w elementos de Ω
Espacios muestrales discretos
Espacios muestrales continuos
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Probabilidad
Conceptos iniciales de probabilidad
Experimento aleatorio
Espacio muestral : w elementos de Ω
Espacios muestrales discretos
Espacios muestrales continuos
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Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
Conceptos iniciales de probabilidad
Experimento aleatorio
Espacio muestral : w elementos de Ω
Espacios muestrales discretos
Espacios muestrales continuos
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Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
Conceptos iniciales de probabilidad
Experimento aleatorio
Espacio muestral : w elementos de Ω
Espacios muestrales discretos
Espacios muestrales continuos
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Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
Conceptos iniciales de probabilidad
Experimento aleatorio
Espacio muestral : w elementos de Ω
Espacios muestrales discretos
Espacios muestrales continuos
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Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
Finito
ΩF o tambien Ω1
Lanzar un dado Ω1 = 1, 2, 3, 4, 5, 6
Infinito Enumerable
Numero de autos que pasan por una autopista.Ω2 = 0, 1, 2, ...
Infinito No numerable
Peso de los estudiantes del curso de Probabilidad y Estadıstica.Ω3 = x ∈ R/x ≥ 0
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Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
Finito
ΩF o tambien Ω1
Lanzar un dado Ω1 = 1, 2, 3, 4, 5, 6
Infinito Enumerable
Numero de autos que pasan por una autopista.Ω2 = 0, 1, 2, ...
Infinito No numerable
Peso de los estudiantes del curso de Probabilidad y Estadıstica.Ω3 = x ∈ R/x ≥ 0
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Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
Finito
ΩF o tambien Ω1
Lanzar un dado Ω1 = 1, 2, 3, 4, 5, 6
Infinito Enumerable
Numero de autos que pasan por una autopista.Ω2 = 0, 1, 2, ...
Infinito No numerable
Peso de los estudiantes del curso de Probabilidad y Estadıstica.Ω3 = x ∈ R/x ≥ 0
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Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
Finito
ΩF o tambien Ω1
Lanzar un dado Ω1 = 1, 2, 3, 4, 5, 6
Infinito Enumerable
Numero de autos que pasan por una autopista.Ω2 = 0, 1, 2, ...
Infinito No numerable
Peso de los estudiantes del curso de Probabilidad y Estadıstica.Ω3 = x ∈ R/x ≥ 0
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Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
Finito
ΩF o tambien Ω1
Lanzar un dado Ω1 = 1, 2, 3, 4, 5, 6
Infinito Enumerable
Numero de autos que pasan por una autopista.Ω2 = 0, 1, 2, ...
Infinito No numerable
Peso de los estudiantes del curso de Probabilidad y Estadıstica.Ω3 = x ∈ R/x ≥ 0
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Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
Finito
ΩF o tambien Ω1
Lanzar un dado Ω1 = 1, 2, 3, 4, 5, 6
Infinito Enumerable
Numero de autos que pasan por una autopista.Ω2 = 0, 1, 2, ...
Infinito No numerable
Peso de los estudiantes del curso de Probabilidad y Estadıstica.Ω3 = x ∈ R/x ≥ 0
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Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
Finito
ΩF o tambien Ω1
Lanzar un dado Ω1 = 1, 2, 3, 4, 5, 6
Infinito Enumerable
Numero de autos que pasan por una autopista.Ω2 = 0, 1, 2, ...
Infinito No numerable
Peso de los estudiantes del curso de Probabilidad y Estadıstica.Ω3 = x ∈ R/x ≥ 0
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Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
Finito
ΩF o tambien Ω1
Lanzar un dado Ω1 = 1, 2, 3, 4, 5, 6
Infinito Enumerable
Numero de autos que pasan por una autopista.Ω2 = 0, 1, 2, ...
Infinito No numerable
Peso de los estudiantes del curso de Probabilidad y Estadıstica.Ω3 = x ∈ R/x ≥ 0
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Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
Finito
ΩF o tambien Ω1
Lanzar un dado Ω1 = 1, 2, 3, 4, 5, 6
Infinito Enumerable
Numero de autos que pasan por una autopista.Ω2 = 0, 1, 2, ...
Infinito No numerable
Peso de los estudiantes del curso de Probabilidad y Estadıstica.Ω3 = x ∈ R/x ≥ 0
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Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
σ-algebra
Sea Ω 6= Φ. Una coleccion de subconjuntos de Ω es unaσ-algebra sobre Ω, si
Ω ∈
A ∈ → Ac ∈
Si A1,A2, ... ∈ →⋃α
i=1 Ai ∈
Los elementos de se llaman eventos.
= p(Ω)
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Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
Espacio media de probabilidad
Espacio de probabilidad : tripleta (Ω, ,P)
P: Medida de probabilidad.
Def :
P(A) ≥ 0 ∀ ∈ P(Ω) = 1
A1,A2, ... ∈ , disjuntos →⋃α
i=1 =∑α
i=1 P(Ai )
P: Medida de probabilidad sobre (Ω, )
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Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
Propiedades del espacio de probabilidad
P() = 0
A,B ∈ mutamenteexcluyente → P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
A ⊂ B → P(A) ≤ P(B)
P(A ∪ B) = P(A) + P(B)− P(A ∩ B)
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Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
Probabilidad como frecuencia relativa
Espacio medible
Operaciones entre eventos
Mutuamente excluyentes
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Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
Probabilidad como frecuencia relativa
Espacio medible
Operaciones entre eventos
Mutuamente excluyentes
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Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
Probabilidad como frecuencia relativa
Espacio medible
Operaciones entre eventos
Mutuamente excluyentes
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Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
Frecuencia relativa fr(A)
Suponga un experimento aleatorio n veces.
Se mantienen condiciones mas o menos constantes.
fr (A) =n(A)
n
n(A): Numero de veces que ocurre el evento A
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Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
Frecuencia relativa fr(A)
Suponga un experimento aleatorio n veces.
Se mantienen condiciones mas o menos constantes.
fr (A) =n(A)
n
n(A): Numero de veces que ocurre el evento A
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Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
Frecuencia relativa fr(A)
Suponga un experimento aleatorio n veces.
Se mantienen condiciones mas o menos constantes.
fr (A) =n(A)
n
n(A): Numero de veces que ocurre el evento A
![Page 188: Probabilidad 27-09-2015](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081723/5695d3621a28ab9b029dbbd6/html5/thumbnails/188.jpg)
Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
Frecuencia relativa fr(A)
Suponga un experimento aleatorio n veces.
Se mantienen condiciones mas o menos constantes.
fr (A) =n(A)
n
n(A): Numero de veces que ocurre el evento A
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Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
Elementos con probabilidad desigual (No uniformes)
Ω es finito
= ρ(Ω)
Elementos con probabilidades distintas
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Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
Medida de probabilidad condicional P(•|A)
(Ω, ,P) espacio de probabilidad (tripleta) A,B ∈ con P(A) ≥ 0
Probabilidad del evento B , bajo la condicion A
P(B|A) =P(A ∩ B)
P(A)
Tambien se demuestra que P(•|A) es una medida de probabilidad
A partir de P(B|A)
P(A ∩ B) = P(A)P(B|A)
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Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
La Probabilidad de la certidumbre es 1.
P(sucesocierto) = 1
P(sucesoimposible) = 0
0 ≤ P(Ej) ≤ 1
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Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
La Probabilidad de la certidumbre es 1.
P(sucesocierto) = 1
P(sucesoimposible) = 0
0 ≤ P(Ej) ≤ 1
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Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
La Probabilidad de la certidumbre es 1.
P(sucesocierto) = 1
P(sucesoimposible) = 0
0 ≤ P(Ej) ≤ 1
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Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
El proceso que da lugar a un suceso se llama experimento .Un experimento es toda accion bien definida la cual produceun unico resultado.
Un conjunto es una coleccion de objetos.
Los objetos de un conjunto son sus elementos.
El conjunto de todos los resultado posibles de un experimentoes el espacio muestral.
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Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
El proceso que da lugar a un suceso se llama experimento .Un experimento es toda accion bien definida la cual produceun unico resultado.
Un conjunto es una coleccion de objetos.
Los objetos de un conjunto son sus elementos.
El conjunto de todos los resultado posibles de un experimentoes el espacio muestral.
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Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
El proceso que da lugar a un suceso se llama experimento .Un experimento es toda accion bien definida la cual produceun unico resultado.
Un conjunto es una coleccion de objetos.
Los objetos de un conjunto son sus elementos.
El conjunto de todos los resultado posibles de un experimentoes el espacio muestral.
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Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
El proceso que da lugar a un suceso se llama experimento .Un experimento es toda accion bien definida la cual produceun unico resultado.
Un conjunto es una coleccion de objetos.
Los objetos de un conjunto son sus elementos.
El conjunto de todos los resultado posibles de un experimentoes el espacio muestral.
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Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
El conjunto de todos los resultado posibles de un experimento es elespacio muestral .
Para el dado, el espacio muestral es :
Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6
Si 1 ∈ Ω, 2 ∈ Ω, ... son llamados pntos muestrales.
6∑i=1
P(Ej) = 1
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Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
El conjunto de todos los resultado posibles de un experimento es elespacio muestral .
Para el dado, el espacio muestral es :
Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6
Si 1 ∈ Ω, 2 ∈ Ω, ... son llamados pntos muestrales.
6∑i=1
P(Ej) = 1
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Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
El conjunto de todos los resultado posibles de un experimento es elespacio muestral .
Para el dado, el espacio muestral es :
Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6
Si 1 ∈ Ω, 2 ∈ Ω, ... son llamados pntos muestrales.
6∑i=1
P(Ej) = 1
![Page 201: Probabilidad 27-09-2015](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081723/5695d3621a28ab9b029dbbd6/html5/thumbnails/201.jpg)
Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
El conjunto de todos los resultado posibles de un experimento es elespacio muestral .
Para el dado, el espacio muestral es :
Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6
Si 1 ∈ Ω, 2 ∈ Ω, ... son llamados pntos muestrales.
6∑i=1
P(Ej) = 1
![Page 202: Probabilidad 27-09-2015](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081723/5695d3621a28ab9b029dbbd6/html5/thumbnails/202.jpg)
Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
El conjunto de todos los resultado posibles de un experimento es elespacio muestral .
Para el dado, el espacio muestral es :
Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6
Si 1 ∈ Ω, 2 ∈ Ω, ... son llamados pntos muestrales.
6∑i=1
P(Ej) = 1
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Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
La historia hace muchas referencias de probabilidad. En elsiglo XVII Jacob Bernoilli (1654-1705) miembro de unafamilia Suiza de matematicos establecio las leyes basicas de laprobabilidad moderna.
Thomas Bayes (1702-1761) y Joseph Lagrange (1736-1813) ,se cuentan como pioneros de la teorıa de la probabilidad .
La historia se remonta los juegos del azar.
En la actualidad se observa que la probabilidad ocupa un lugardestacado en muchos asuntos de negocios, los seguros y laspracticas actuariales tienen una base firme en los principios dela teorıa de la probabilidad .
Las primas de los seguros de vida dependen de la tabla de lamortalidad , basandose en probabilidad de muerte a una edadconcreta
![Page 204: Probabilidad 27-09-2015](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081723/5695d3621a28ab9b029dbbd6/html5/thumbnails/204.jpg)
Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
La historia hace muchas referencias de probabilidad. En elsiglo XVII Jacob Bernoilli (1654-1705) miembro de unafamilia Suiza de matematicos establecio las leyes basicas de laprobabilidad moderna.
Thomas Bayes (1702-1761) y Joseph Lagrange (1736-1813) ,se cuentan como pioneros de la teorıa de la probabilidad .
La historia se remonta los juegos del azar.
En la actualidad se observa que la probabilidad ocupa un lugardestacado en muchos asuntos de negocios, los seguros y laspracticas actuariales tienen una base firme en los principios dela teorıa de la probabilidad .
Las primas de los seguros de vida dependen de la tabla de lamortalidad , basandose en probabilidad de muerte a una edadconcreta
![Page 205: Probabilidad 27-09-2015](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081723/5695d3621a28ab9b029dbbd6/html5/thumbnails/205.jpg)
Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
La historia hace muchas referencias de probabilidad. En elsiglo XVII Jacob Bernoilli (1654-1705) miembro de unafamilia Suiza de matematicos establecio las leyes basicas de laprobabilidad moderna.
Thomas Bayes (1702-1761) y Joseph Lagrange (1736-1813) ,se cuentan como pioneros de la teorıa de la probabilidad .
La historia se remonta los juegos del azar.
En la actualidad se observa que la probabilidad ocupa un lugardestacado en muchos asuntos de negocios, los seguros y laspracticas actuariales tienen una base firme en los principios dela teorıa de la probabilidad .
Las primas de los seguros de vida dependen de la tabla de lamortalidad , basandose en probabilidad de muerte a una edadconcreta
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Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
La historia hace muchas referencias de probabilidad. En elsiglo XVII Jacob Bernoilli (1654-1705) miembro de unafamilia Suiza de matematicos establecio las leyes basicas de laprobabilidad moderna.
Thomas Bayes (1702-1761) y Joseph Lagrange (1736-1813) ,se cuentan como pioneros de la teorıa de la probabilidad .
La historia se remonta los juegos del azar.
En la actualidad se observa que la probabilidad ocupa un lugardestacado en muchos asuntos de negocios, los seguros y laspracticas actuariales tienen una base firme en los principios dela teorıa de la probabilidad .
Las primas de los seguros de vida dependen de la tabla de lamortalidad , basandose en probabilidad de muerte a una edadconcreta
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Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
La historia hace muchas referencias de probabilidad. En elsiglo XVII Jacob Bernoilli (1654-1705) miembro de unafamilia Suiza de matematicos establecio las leyes basicas de laprobabilidad moderna.
Thomas Bayes (1702-1761) y Joseph Lagrange (1736-1813) ,se cuentan como pioneros de la teorıa de la probabilidad .
La historia se remonta los juegos del azar.
En la actualidad se observa que la probabilidad ocupa un lugardestacado en muchos asuntos de negocios, los seguros y laspracticas actuariales tienen una base firme en los principios dela teorıa de la probabilidad .
Las primas de los seguros de vida dependen de la tabla de lamortalidad , basandose en probabilidad de muerte a una edadconcreta
![Page 208: Probabilidad 27-09-2015](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081723/5695d3621a28ab9b029dbbd6/html5/thumbnails/208.jpg)
Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
La probabilidad se enfoca en 3 principios universalmenteaceptados:
1 Concepto empırico (Enfoque de la frecuencia relativa.)
2 Enfoque subjetivo.
3 Enfoque clasico.
![Page 209: Probabilidad 27-09-2015](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081723/5695d3621a28ab9b029dbbd6/html5/thumbnails/209.jpg)
Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
La probabilidad se enfoca en 3 principios universalmenteaceptados:
1 Concepto empırico (Enfoque de la frecuencia relativa.)
2 Enfoque subjetivo.
3 Enfoque clasico.
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Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
La probabilidad se enfoca en 3 principios universalmenteaceptados:
1 Concepto empırico (Enfoque de la frecuencia relativa.)
2 Enfoque subjetivo.
3 Enfoque clasico.
![Page 211: Probabilidad 27-09-2015](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081723/5695d3621a28ab9b029dbbd6/html5/thumbnails/211.jpg)
Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
La probabilidad se enfoca en 3 principios universalmenteaceptados:
1 Concepto empırico (Enfoque de la frecuencia relativa.)
2 Enfoque subjetivo.
3 Enfoque clasico.
![Page 212: Probabilidad 27-09-2015](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081723/5695d3621a28ab9b029dbbd6/html5/thumbnails/212.jpg)
Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
Concepto empırico (Enfoque de la frecuencia relativa.)
Se utilizan datos pasados obtenidos en observaciones empıricas.
P(E ) =Numero de veces quesuceso haocurridoen el pasado
Numero total de observaciones
Ejemplo:
Se efectuo un estudio con 734 egresados de la carrera de Ingenierıade la Universidad XYZ. Este experimento revelo que 318 de losegresados no estaban empleados de acuerdo con su principal areade estudio. Por ejemplo un egresado especializado en contadurıaahora es gerente de una empresa de mercadotecnia en unaempacadora de plastico.
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Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
Concepto empırico (Enfoque de la frecuencia relativa.)
Se utilizan datos pasados obtenidos en observaciones empıricas.
P(E ) =Numero de veces quesuceso haocurridoen el pasado
Numero total de observaciones
Ejemplo:
Se efectuo un estudio con 734 egresados de la carrera de Ingenierıade la Universidad XYZ. Este experimento revelo que 318 de losegresados no estaban empleados de acuerdo con su principal areade estudio. Por ejemplo un egresado especializado en contadurıaahora es gerente de una empresa de mercadotecnia en unaempacadora de plastico.
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Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
Concepto empırico (Enfoque de la frecuencia relativa.)
Se utilizan datos pasados obtenidos en observaciones empıricas.
P(E ) =Numero de veces quesuceso haocurridoen el pasado
Numero total de observaciones
Ejemplo:
Se efectuo un estudio con 734 egresados de la carrera de Ingenierıade la Universidad XYZ. Este experimento revelo que 318 de losegresados no estaban empleados de acuerdo con su principal areade estudio. Por ejemplo un egresado especializado en contadurıaahora es gerente de una empresa de mercadotecnia en unaempacadora de plastico.
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Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
Concepto empırico (Enfoque de la frecuencia relativa.)
Se utilizan datos pasados obtenidos en observaciones empıricas.
P(E ) =Numero de veces quesuceso haocurridoen el pasado
Numero total de observaciones
Ejemplo:
Se efectuo un estudio con 734 egresados de la carrera de Ingenierıade la Universidad XYZ. Este experimento revelo que 318 de losegresados no estaban empleados de acuerdo con su principal areade estudio. Por ejemplo un egresado especializado en contadurıaahora es gerente de una empresa de mercadotecnia en unaempacadora de plastico.
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Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
Cual es la probabilidad de que un egresado de ingenierıa labore enun area distinta a la de sus estudios universitarios
Probabilidad suceda evento =Numero veces ocurrio evento
Numero total observaciones
Para simplificar
P(A) =318
734
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Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
Cual es la probabilidad de que un egresado de ingenierıa labore enun area distinta a la de sus estudios universitarios
Probabilidad suceda evento =Numero veces ocurrio evento
Numero total observaciones
Para simplificar
P(A) =318
734
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Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
Cual es la probabilidad de que un egresado de ingenierıa labore enun area distinta a la de sus estudios universitarios
Probabilidad suceda evento =Numero veces ocurrio evento
Numero total observaciones
Para simplificar
P(A) =318
734
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Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
Cual es la probabilidad de que un egresado de ingenierıa labore enun area distinta a la de sus estudios universitarios
Probabilidad suceda evento =Numero veces ocurrio evento
Numero total observaciones
Para simplificar
P(A) =318
734
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Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
Ejemplo:
Durante el ultimo ano hubo 1500 aspirantes a ingresar a la carrerade Ingenieria. 750 de los aspirantes eran varones el enfoque de lafrecuencia relativa revela la probabilidad de que el aspirante varona ingresar viene dado por:
P(A) =750
1500
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Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
Ejemplo:
Durante el ultimo ano hubo 1500 aspirantes a ingresar a la carrerade Ingenieria. 750 de los aspirantes eran varones el enfoque de lafrecuencia relativa revela la probabilidad de que el aspirante varona ingresar viene dado por:
P(A) =750
1500
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Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
Ejemplo:
Durante el ultimo ano hubo 1500 aspirantes a ingresar a la carrerade Ingenieria. 750 de los aspirantes eran varones el enfoque de lafrecuencia relativa revela la probabilidad de que el aspirante varona ingresar viene dado por:
P(A) =750
1500
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Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
Probabilidad Subjetiva
Es cuando existe poca o ninguna experiencia en la cual sebasa una probabilidad, en la que se determina de formasubjetiva. Consiste en evaluar opiniones disponibles paradespues estimar o asignar la probabilidad.
La probabilidad de que suceda un evento especifico, la cual esasignada por otra persona basandose en cualquier informaciondisponible.
![Page 224: Probabilidad 27-09-2015](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081723/5695d3621a28ab9b029dbbd6/html5/thumbnails/224.jpg)
Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
Probabilidad Subjetiva
Es cuando existe poca o ninguna experiencia en la cual sebasa una probabilidad, en la que se determina de formasubjetiva. Consiste en evaluar opiniones disponibles paradespues estimar o asignar la probabilidad.
La probabilidad de que suceda un evento especifico, la cual esasignada por otra persona basandose en cualquier informaciondisponible.
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Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
En el enfoque subjetivo en muchas ocasiones no se dispone dedatos historicos no siendo posible calcular la probabilidad apartir del comportamiento anterior.
Este enfoque exige que asignemos la probabilidad de cualquiersuceso basandose en las mejores pruebas.
El enfoque clasico , esta entre uno de los tres metodos paraasignar una probabilidad , este es el que a menudo serelaciona con los juegos de azar.
P(E ) =Numero de resultados favorables
Numero total de resultados posibles
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Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
En el enfoque subjetivo en muchas ocasiones no se dispone dedatos historicos no siendo posible calcular la probabilidad apartir del comportamiento anterior.
Este enfoque exige que asignemos la probabilidad de cualquiersuceso basandose en las mejores pruebas.
El enfoque clasico , esta entre uno de los tres metodos paraasignar una probabilidad , este es el que a menudo serelaciona con los juegos de azar.
P(E ) =Numero de resultados favorables
Numero total de resultados posibles
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Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
En el enfoque subjetivo en muchas ocasiones no se dispone dedatos historicos no siendo posible calcular la probabilidad apartir del comportamiento anterior.
Este enfoque exige que asignemos la probabilidad de cualquiersuceso basandose en las mejores pruebas.
El enfoque clasico , esta entre uno de los tres metodos paraasignar una probabilidad , este es el que a menudo serelaciona con los juegos de azar.
P(E ) =Numero de resultados favorables
Numero total de resultados posibles
![Page 228: Probabilidad 27-09-2015](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081723/5695d3621a28ab9b029dbbd6/html5/thumbnails/228.jpg)
Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
En el enfoque subjetivo en muchas ocasiones no se dispone dedatos historicos no siendo posible calcular la probabilidad apartir del comportamiento anterior.
Este enfoque exige que asignemos la probabilidad de cualquiersuceso basandose en las mejores pruebas.
El enfoque clasico , esta entre uno de los tres metodos paraasignar una probabilidad , este es el que a menudo serelaciona con los juegos de azar.
P(E ) =Numero de resultados favorables
Numero total de resultados posibles
![Page 229: Probabilidad 27-09-2015](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081723/5695d3621a28ab9b029dbbd6/html5/thumbnails/229.jpg)
Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
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Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
Posibles resultados cuando se lanzan 2 dados
Los posibles resultados al lanzar dos dados,(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)
(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)
(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)
(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)
(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)
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Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
Si uno de varios eventos puede ocurrir cada vez, se dice quelos eventos son mutuamente excluyentes.
Mutuamente excluyentes: La ocurrencia de un evento implicaque ninguno de los otros eventos puede ocurrir al mismotiempo.
En el experimento de tirar un dado, los eventos “numero par”y “numero impar” son mutuamente excluyentes. Si cae unnumero par, no puede car un numero impar al mismo tiempo.
![Page 232: Probabilidad 27-09-2015](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081723/5695d3621a28ab9b029dbbd6/html5/thumbnails/232.jpg)
Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
Si uno de varios eventos puede ocurrir cada vez, se dice quelos eventos son mutuamente excluyentes.
Mutuamente excluyentes: La ocurrencia de un evento implicaque ninguno de los otros eventos puede ocurrir al mismotiempo.
En el experimento de tirar un dado, los eventos “numero par”y “numero impar” son mutuamente excluyentes. Si cae unnumero par, no puede car un numero impar al mismo tiempo.
![Page 233: Probabilidad 27-09-2015](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081723/5695d3621a28ab9b029dbbd6/html5/thumbnails/233.jpg)
Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
Si uno de varios eventos puede ocurrir cada vez, se dice quelos eventos son mutuamente excluyentes.
Mutuamente excluyentes: La ocurrencia de un evento implicaque ninguno de los otros eventos puede ocurrir al mismotiempo.
En el experimento de tirar un dado, los eventos “numero par”y “numero impar” son mutuamente excluyentes. Si cae unnumero par, no puede car un numero impar al mismo tiempo.
![Page 234: Probabilidad 27-09-2015](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081723/5695d3621a28ab9b029dbbd6/html5/thumbnails/234.jpg)
Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
Si un experimento tiene un conjunto de eventos quecomprende a todos los resultados posibles, tales como loseventos “cae un numero par” y “cae un numero impar”cuando se lanza un dado, entonces el conjunto de eventos escolectivamente exhaustivo.
Colectivamente exhaustivo, por lo menos uno de los eventospuede ocurrir cuando se realiza un experimento.
![Page 235: Probabilidad 27-09-2015](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081723/5695d3621a28ab9b029dbbd6/html5/thumbnails/235.jpg)
Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
Si un experimento tiene un conjunto de eventos quecomprende a todos los resultados posibles, tales como loseventos “cae un numero par” y “cae un numero impar”cuando se lanza un dado, entonces el conjunto de eventos escolectivamente exhaustivo.
Colectivamente exhaustivo, por lo menos uno de los eventospuede ocurrir cuando se realiza un experimento.
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Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
Cuando lanzamos dos dados, cada resultado puede ser par o impar.Por lo tanto es colectivamente exhaustivo.Si el conjunto de eventos es colectivamente exhaustivo y loseventos son mutuamente excluyentes, la suma de la probabilidadeses uno.Al lanzar una moneda los posibles resultados son,
Probabilidad
Evento Cara 0.5
Evento Sello 0.5
Total 1.0
Para aplicar el enfoque clasico , los eventos deben tener la mismaposibilidad de Ocurrir ( a lo que se denomina eventos igualmenteposibles).Ademas el conjunto de eventos debe ser mutuamente excluyentey Colectivamente exhaustivo.
![Page 237: Probabilidad 27-09-2015](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081723/5695d3621a28ab9b029dbbd6/html5/thumbnails/237.jpg)
Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
Cuando lanzamos dos dados, cada resultado puede ser par o impar.Por lo tanto es colectivamente exhaustivo.Si el conjunto de eventos es colectivamente exhaustivo y loseventos son mutuamente excluyentes, la suma de la probabilidadeses uno.Al lanzar una moneda los posibles resultados son,
Probabilidad
Evento Cara 0.5
Evento Sello 0.5
Total 1.0
Para aplicar el enfoque clasico , los eventos deben tener la mismaposibilidad de Ocurrir ( a lo que se denomina eventos igualmenteposibles).Ademas el conjunto de eventos debe ser mutuamente excluyentey Colectivamente exhaustivo.
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Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
Cuando lanzamos dos dados, cada resultado puede ser par o impar.Por lo tanto es colectivamente exhaustivo.Si el conjunto de eventos es colectivamente exhaustivo y loseventos son mutuamente excluyentes, la suma de la probabilidadeses uno.Al lanzar una moneda los posibles resultados son,
Probabilidad
Evento Cara 0.5
Evento Sello 0.5
Total 1.0
Para aplicar el enfoque clasico , los eventos deben tener la mismaposibilidad de Ocurrir ( a lo que se denomina eventos igualmenteposibles).Ademas el conjunto de eventos debe ser mutuamente excluyentey Colectivamente exhaustivo.
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Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
Cuando lanzamos dos dados, cada resultado puede ser par o impar.Por lo tanto es colectivamente exhaustivo.Si el conjunto de eventos es colectivamente exhaustivo y loseventos son mutuamente excluyentes, la suma de la probabilidadeses uno.Al lanzar una moneda los posibles resultados son,
Probabilidad
Evento Cara 0.5
Evento Sello 0.5
Total 1.0
Para aplicar el enfoque clasico , los eventos deben tener la mismaposibilidad de Ocurrir ( a lo que se denomina eventos igualmenteposibles).Ademas el conjunto de eventos debe ser mutuamente excluyentey Colectivamente exhaustivo.
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Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
Cuando lanzamos dos dados, cada resultado puede ser par o impar.Por lo tanto es colectivamente exhaustivo.Si el conjunto de eventos es colectivamente exhaustivo y loseventos son mutuamente excluyentes, la suma de la probabilidadeses uno.Al lanzar una moneda los posibles resultados son,
Probabilidad
Evento Cara 0.5
Evento Sello 0.5
Total 1.0
Para aplicar el enfoque clasico , los eventos deben tener la mismaposibilidad de Ocurrir ( a lo que se denomina eventos igualmenteposibles).Ademas el conjunto de eventos debe ser mutuamente excluyentey Colectivamente exhaustivo.
![Page 241: Probabilidad 27-09-2015](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081723/5695d3621a28ab9b029dbbd6/html5/thumbnails/241.jpg)
Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
Cuando lanzamos dos dados, cada resultado puede ser par o impar.Por lo tanto es colectivamente exhaustivo.Si el conjunto de eventos es colectivamente exhaustivo y loseventos son mutuamente excluyentes, la suma de la probabilidadeses uno.Al lanzar una moneda los posibles resultados son,
Probabilidad
Evento Cara 0.5
Evento Sello 0.5
Total 1.0
Para aplicar el enfoque clasico , los eventos deben tener la mismaposibilidad de Ocurrir ( a lo que se denomina eventos igualmenteposibles).Ademas el conjunto de eventos debe ser mutuamente excluyentey Colectivamente exhaustivo.
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Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
Ejemplo:
El Craps es un juego al azar en el que intervienen dos dados, lasreglas de una de las versiones del juego, establece que se ganainmediatamente si se saca un “crap” que es un 7 o un 11, en laprimera tirada. Pero si se saca cualquier # distinto de “craps” hayque volver a sacar ese mismo numero ( que se llama marca o punto) antes de sacar un 7 o un 11. Si se saca 7 u 11 antes de que lamarca se pierde.
Cual es la probabilidad de ganar un juego de “craps” en la primeratirada?
Si la marca es 6 ¿ Que es mas probable ganar el juego o perderlo?
![Page 243: Probabilidad 27-09-2015](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081723/5695d3621a28ab9b029dbbd6/html5/thumbnails/243.jpg)
Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
Ejemplo:
El Craps es un juego al azar en el que intervienen dos dados, lasreglas de una de las versiones del juego, establece que se ganainmediatamente si se saca un “crap” que es un 7 o un 11, en laprimera tirada. Pero si se saca cualquier # distinto de “craps” hayque volver a sacar ese mismo numero ( que se llama marca o punto) antes de sacar un 7 o un 11. Si se saca 7 u 11 antes de que lamarca se pierde.
Cual es la probabilidad de ganar un juego de “craps” en la primeratirada?
Si la marca es 6 ¿ Que es mas probable ganar el juego o perderlo?
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Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
Ejemplo:
El Craps es un juego al azar en el que intervienen dos dados, lasreglas de una de las versiones del juego, establece que se ganainmediatamente si se saca un “crap” que es un 7 o un 11, en laprimera tirada. Pero si se saca cualquier # distinto de “craps” hayque volver a sacar ese mismo numero ( que se llama marca o punto) antes de sacar un 7 o un 11. Si se saca 7 u 11 antes de que lamarca se pierde.
Cual es la probabilidad de ganar un juego de “craps” en la primeratirada?
Si la marca es 6 ¿ Que es mas probable ganar el juego o perderlo?
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Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
Ejemplo:
El Craps es un juego al azar en el que intervienen dos dados, lasreglas de una de las versiones del juego, establece que se ganainmediatamente si se saca un “crap” que es un 7 o un 11, en laprimera tirada. Pero si se saca cualquier # distinto de “craps” hayque volver a sacar ese mismo numero ( que se llama marca o punto) antes de sacar un 7 o un 11. Si se saca 7 u 11 antes de que lamarca se pierde.
Cual es la probabilidad de ganar un juego de “craps” en la primeratirada?
Si la marca es 6 ¿ Que es mas probable ganar el juego o perderlo?
![Page 246: Probabilidad 27-09-2015](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081723/5695d3621a28ab9b029dbbd6/html5/thumbnails/246.jpg)
Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
El espacio muestral de todos los casos posibles es la suma de losdos dados.
![Page 247: Probabilidad 27-09-2015](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081723/5695d3621a28ab9b029dbbd6/html5/thumbnails/247.jpg)
Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
hay 36 casos posibles.
P(Ganancia primera tirada) = 836
Si se saca un 6 ,probabilidad de repetir el resultado. P(6) = 636
![Page 248: Probabilidad 27-09-2015](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081723/5695d3621a28ab9b029dbbd6/html5/thumbnails/248.jpg)
Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
![Page 249: Probabilidad 27-09-2015](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081723/5695d3621a28ab9b029dbbd6/html5/thumbnails/249.jpg)
Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
Desde el punto de vista historico, el enfoque Clasico deprobabilidad se desarrolla en los siglos XVII y XVIII en juegos delazar, Como cartas y dados.
Podemos observar que es innecesario realizar un experimento, paradeterminar la probabilidad de que ocurra un evento cuando seutiliza el enfoque clasico.
Cuando lanzamos una moneda y obtenemos sello , o puede sercuatro sellos cuando lanzamos cuatro monedas
![Page 250: Probabilidad 27-09-2015](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081723/5695d3621a28ab9b029dbbd6/html5/thumbnails/250.jpg)
Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
Desde el punto de vista historico, el enfoque Clasico deprobabilidad se desarrolla en los siglos XVII y XVIII en juegos delazar, Como cartas y dados.
Podemos observar que es innecesario realizar un experimento, paradeterminar la probabilidad de que ocurra un evento cuando seutiliza el enfoque clasico.
Cuando lanzamos una moneda y obtenemos sello , o puede sercuatro sellos cuando lanzamos cuatro monedas
![Page 251: Probabilidad 27-09-2015](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081723/5695d3621a28ab9b029dbbd6/html5/thumbnails/251.jpg)
Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
Desde el punto de vista historico, el enfoque Clasico deprobabilidad se desarrolla en los siglos XVII y XVIII en juegos delazar, Como cartas y dados.
Podemos observar que es innecesario realizar un experimento, paradeterminar la probabilidad de que ocurra un evento cuando seutiliza el enfoque clasico.
Cuando lanzamos una moneda y obtenemos sello , o puede sercuatro sellos cuando lanzamos cuatro monedas
![Page 252: Probabilidad 27-09-2015](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081723/5695d3621a28ab9b029dbbd6/html5/thumbnails/252.jpg)
Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
Algunas Reglas de Probabilidad
En la definicion de probabilidad presentamos diferentes enfoques yexaminaremos las combinaciones de eventos mediante el uso de lasreglas de adiccion y multiplicacion.
Reglas de la Suma
”Dos eventos mutuamente excluyentes no pueden ocurrir al mismotiempo
![Page 253: Probabilidad 27-09-2015](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081723/5695d3621a28ab9b029dbbd6/html5/thumbnails/253.jpg)
Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
Algunas Reglas de Probabilidad
En la definicion de probabilidad presentamos diferentes enfoques yexaminaremos las combinaciones de eventos mediante el uso de lasreglas de adiccion y multiplicacion.
Reglas de la Suma
”Dos eventos mutuamente excluyentes no pueden ocurrir al mismotiempo
![Page 254: Probabilidad 27-09-2015](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081723/5695d3621a28ab9b029dbbd6/html5/thumbnails/254.jpg)
Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
Algunas Reglas de Probabilidad
En la definicion de probabilidad presentamos diferentes enfoques yexaminaremos las combinaciones de eventos mediante el uso de lasreglas de adiccion y multiplicacion.
Reglas de la Suma
”Dos eventos mutuamente excluyentes no pueden ocurrir al mismotiempo
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Probabilidad
Algunas Reglas de Probabilidad
En la definicion de probabilidad presentamos diferentes enfoques yexaminaremos las combinaciones de eventos mediante el uso de lasreglas de adiccion y multiplicacion.
Reglas de la Suma
”Dos eventos mutuamente excluyentes no pueden ocurrir al mismotiempo
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Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
En la regla especial de la adiccion, los eventos deben serMutuamente Excluyentes.
Mutuamente Excluyente, es cuando ocurre un evento y ninguno delos otros dos puede suceder al mismo tiempo.
Un ejemplo:
Cuando lanzamos un dado con los eventos ”Numero tres omenor”, ”Numero cinco o mayor”, en el primer grupo, losresultados serian (1,2,3) y (5,6). Los resultados del primer grupono pueden estar en el segundo grupo.
![Page 257: Probabilidad 27-09-2015](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081723/5695d3621a28ab9b029dbbd6/html5/thumbnails/257.jpg)
Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
En la regla especial de la adiccion, los eventos deben serMutuamente Excluyentes.
Mutuamente Excluyente, es cuando ocurre un evento y ninguno delos otros dos puede suceder al mismo tiempo.
Un ejemplo:
Cuando lanzamos un dado con los eventos ”Numero tres omenor”, ”Numero cinco o mayor”, en el primer grupo, losresultados serian (1,2,3) y (5,6). Los resultados del primer grupono pueden estar en el segundo grupo.
![Page 258: Probabilidad 27-09-2015](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081723/5695d3621a28ab9b029dbbd6/html5/thumbnails/258.jpg)
Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
En la regla especial de la adiccion, los eventos deben serMutuamente Excluyentes.
Mutuamente Excluyente, es cuando ocurre un evento y ninguno delos otros dos puede suceder al mismo tiempo.
Un ejemplo:
Cuando lanzamos un dado con los eventos ”Numero tres omenor”, ”Numero cinco o mayor”, en el primer grupo, losresultados serian (1,2,3) y (5,6). Los resultados del primer grupono pueden estar en el segundo grupo.
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Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
En la regla especial de la adiccion, los eventos deben serMutuamente Excluyentes.
Mutuamente Excluyente, es cuando ocurre un evento y ninguno delos otros dos puede suceder al mismo tiempo.
Un ejemplo:
Cuando lanzamos un dado con los eventos ”Numero tres omenor”, ”Numero cinco o mayor”, en el primer grupo, losresultados serian (1,2,3) y (5,6). Los resultados del primer grupono pueden estar en el segundo grupo.
![Page 260: Probabilidad 27-09-2015](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081723/5695d3621a28ab9b029dbbd6/html5/thumbnails/260.jpg)
Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
Dos eventos A y B son mutuamente excluyentes, en la regla de lasuma indica que la probabilidad de que ocurra uno u otro de loseventos es igual a la suma de sus probabilidades.
La regla : P(A o B) = P(A) + P(B)
P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
Para Tres eventos, A, B, C
P(A o B o C ) = P(A) + P(B) + P(C )
P(A ∪ B ∪ C ) = P(A) + P(B) + P(C )
![Page 261: Probabilidad 27-09-2015](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081723/5695d3621a28ab9b029dbbd6/html5/thumbnails/261.jpg)
Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
Dos eventos A y B son mutuamente excluyentes, en la regla de lasuma indica que la probabilidad de que ocurra uno u otro de loseventos es igual a la suma de sus probabilidades.
La regla : P(A o B) = P(A) + P(B)
P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
Para Tres eventos, A, B, C
P(A o B o C ) = P(A) + P(B) + P(C )
P(A ∪ B ∪ C ) = P(A) + P(B) + P(C )
![Page 262: Probabilidad 27-09-2015](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081723/5695d3621a28ab9b029dbbd6/html5/thumbnails/262.jpg)
Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
Dos eventos A y B son mutuamente excluyentes, en la regla de lasuma indica que la probabilidad de que ocurra uno u otro de loseventos es igual a la suma de sus probabilidades.
La regla : P(A o B) = P(A) + P(B)
P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
Para Tres eventos, A, B, C
P(A o B o C ) = P(A) + P(B) + P(C )
P(A ∪ B ∪ C ) = P(A) + P(B) + P(C )
![Page 263: Probabilidad 27-09-2015](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081723/5695d3621a28ab9b029dbbd6/html5/thumbnails/263.jpg)
Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
Dos eventos A y B son mutuamente excluyentes, en la regla de lasuma indica que la probabilidad de que ocurra uno u otro de loseventos es igual a la suma de sus probabilidades.
La regla : P(A o B) = P(A) + P(B)
P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
Para Tres eventos, A, B, C
P(A o B o C ) = P(A) + P(B) + P(C )
P(A ∪ B ∪ C ) = P(A) + P(B) + P(C )
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Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
Dos eventos A y B son mutuamente excluyentes, en la regla de lasuma indica que la probabilidad de que ocurra uno u otro de loseventos es igual a la suma de sus probabilidades.
La regla : P(A o B) = P(A) + P(B)
P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
Para Tres eventos, A, B, C
P(A o B o C ) = P(A) + P(B) + P(C )
P(A ∪ B ∪ C ) = P(A) + P(B) + P(C )
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Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
Dos eventos A y B son mutuamente excluyentes, en la regla de lasuma indica que la probabilidad de que ocurra uno u otro de loseventos es igual a la suma de sus probabilidades.
La regla : P(A o B) = P(A) + P(B)
P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
Para Tres eventos, A, B, C
P(A o B o C ) = P(A) + P(B) + P(C )
P(A ∪ B ∪ C ) = P(A) + P(B) + P(C )
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Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
En la encuesta realizada al grupo G7, ”Estadıstica socialFundamental - 2011’
P(A o B) = P(A) + P(B) = 0, 706 + 0, 293 = 1, 00
Observando que los eventos son mutuamente excluyentes.
Usted vive familia Evento Numero estudiantes Probabilidad ocurrencia
Si A 41 0.706
No B 17 0.293
58 1.0
![Page 267: Probabilidad 27-09-2015](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081723/5695d3621a28ab9b029dbbd6/html5/thumbnails/267.jpg)
Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
En la encuesta realizada al grupo G7, ”Estadıstica socialFundamental - 2011’
P(A o B) = P(A) + P(B) = 0, 706 + 0, 293 = 1, 00
Observando que los eventos son mutuamente excluyentes.
Usted vive familia Evento Numero estudiantes Probabilidad ocurrencia
Si A 41 0.706
No B 17 0.293
58 1.0
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Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
En la encuesta realizada al grupo G7, ”Estadıstica socialFundamental - 2011’
P(A o B) = P(A) + P(B) = 0, 706 + 0, 293 = 1, 00
Observando que los eventos son mutuamente excluyentes.
Usted vive familia Evento Numero estudiantes Probabilidad ocurrencia
Si A 41 0.706
No B 17 0.293
58 1.0
![Page 269: Probabilidad 27-09-2015](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081723/5695d3621a28ab9b029dbbd6/html5/thumbnails/269.jpg)
Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
En la encuesta realizada al grupo G7, ”Estadıstica socialFundamental - 2011’
P(A o B) = P(A) + P(B) = 0, 706 + 0, 293 = 1, 00
Observando que los eventos son mutuamente excluyentes.
Usted vive familia Evento Numero estudiantes Probabilidad ocurrencia
Si A 41 0.706
No B 17 0.293
58 1.0
![Page 270: Probabilidad 27-09-2015](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081723/5695d3621a28ab9b029dbbd6/html5/thumbnails/270.jpg)
Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
En la encuesta realizada al grupo G2, ”Probabilidad y Estadıstica–II- 2011”.
P(A o B) = P(A) + P(B) = 0,9 + 0,1 = 1,00
Observando que los eventos son mutuamente excluyentes.
Usted vive familia Evento Numero estudiantes Probabilidad ocurrencia
Si A 27 0.9
No B 3 0.1
30 1.0
![Page 271: Probabilidad 27-09-2015](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081723/5695d3621a28ab9b029dbbd6/html5/thumbnails/271.jpg)
Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
En la encuesta realizada al grupo G2, ”Probabilidad y Estadıstica–II- 2011”.
P(A o B) = P(A) + P(B) = 0,9 + 0,1 = 1,00
Observando que los eventos son mutuamente excluyentes.
Usted vive familia Evento Numero estudiantes Probabilidad ocurrencia
Si A 27 0.9
No B 3 0.1
30 1.0
![Page 272: Probabilidad 27-09-2015](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081723/5695d3621a28ab9b029dbbd6/html5/thumbnails/272.jpg)
Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
En la encuesta realizada al grupo G2, ”Probabilidad y Estadıstica–II- 2011”.
P(A o B) = P(A) + P(B) = 0,9 + 0,1 = 1,00
Observando que los eventos son mutuamente excluyentes.
Usted vive familia Evento Numero estudiantes Probabilidad ocurrencia
Si A 27 0.9
No B 3 0.1
30 1.0
![Page 273: Probabilidad 27-09-2015](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081723/5695d3621a28ab9b029dbbd6/html5/thumbnails/273.jpg)
Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
En la encuesta realizada al grupo G2, ”Probabilidad y Estadıstica–II- 2011”.
P(A o B) = P(A) + P(B) = 0,9 + 0,1 = 1,00
Observando que los eventos son mutuamente excluyentes.
Usted vive familia Evento Numero estudiantes Probabilidad ocurrencia
Si A 27 0.9
No B 3 0.1
30 1.0
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Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
Un experto en logica, ingles J. Venn (1835-1888), presenta undiagrama para representar graficamente el resultado de unexperimento.
El concepto de Mutuamente excluyente y otras reglas paracombinar probabilidades las podemos representar.
Inicialmente al elaborar un diagrama de Venn debemos delimitarun espacio en un plano, usualmente utilizamos un rectangulo.
Los eventos los representamos por letras mayusculas, ygeneralmente usamos circunferencias, esto lo colocamos dentro delrectangulo.
![Page 275: Probabilidad 27-09-2015](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081723/5695d3621a28ab9b029dbbd6/html5/thumbnails/275.jpg)
Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
Un experto en logica, ingles J. Venn (1835-1888), presenta undiagrama para representar graficamente el resultado de unexperimento.
El concepto de Mutuamente excluyente y otras reglas paracombinar probabilidades las podemos representar.
Inicialmente al elaborar un diagrama de Venn debemos delimitarun espacio en un plano, usualmente utilizamos un rectangulo.
Los eventos los representamos por letras mayusculas, ygeneralmente usamos circunferencias, esto lo colocamos dentro delrectangulo.
![Page 276: Probabilidad 27-09-2015](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081723/5695d3621a28ab9b029dbbd6/html5/thumbnails/276.jpg)
Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
Un experto en logica, ingles J. Venn (1835-1888), presenta undiagrama para representar graficamente el resultado de unexperimento.
El concepto de Mutuamente excluyente y otras reglas paracombinar probabilidades las podemos representar.
Inicialmente al elaborar un diagrama de Venn debemos delimitarun espacio en un plano, usualmente utilizamos un rectangulo.
Los eventos los representamos por letras mayusculas, ygeneralmente usamos circunferencias, esto lo colocamos dentro delrectangulo.
![Page 277: Probabilidad 27-09-2015](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081723/5695d3621a28ab9b029dbbd6/html5/thumbnails/277.jpg)
Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
Un experto en logica, ingles J. Venn (1835-1888), presenta undiagrama para representar graficamente el resultado de unexperimento.
El concepto de Mutuamente excluyente y otras reglas paracombinar probabilidades las podemos representar.
Inicialmente al elaborar un diagrama de Venn debemos delimitarun espacio en un plano, usualmente utilizamos un rectangulo.
Los eventos los representamos por letras mayusculas, ygeneralmente usamos circunferencias, esto lo colocamos dentro delrectangulo.
![Page 278: Probabilidad 27-09-2015](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081723/5695d3621a28ab9b029dbbd6/html5/thumbnails/278.jpg)
Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
Un experto en logica, ingles J. Venn (1835-1888), presenta undiagrama para representar graficamente el resultado de unexperimento.
El concepto de Mutuamente excluyente y otras reglas paracombinar probabilidades las podemos representar.
Inicialmente al elaborar un diagrama de Venn debemos delimitarun espacio en un plano, usualmente utilizamos un rectangulo.
Los eventos los representamos por letras mayusculas, ygeneralmente usamos circunferencias, esto lo colocamos dentro delrectangulo.
![Page 279: Probabilidad 27-09-2015](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081723/5695d3621a28ab9b029dbbd6/html5/thumbnails/279.jpg)
Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
Ahora representamos un diagrama de Venn, con el evento deMutuamente excluyente.
En este caso los eventos no se superponen, lo que nos indica
que son Mutuamente Excluyentes.
![Page 280: Probabilidad 27-09-2015](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081723/5695d3621a28ab9b029dbbd6/html5/thumbnails/280.jpg)
Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
Tambien podemos representar el complemento ası.
P(A) + P(A) = 1
![Page 281: Probabilidad 27-09-2015](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081723/5695d3621a28ab9b029dbbd6/html5/thumbnails/281.jpg)
Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
La regla del complemento nos quedarıa.
P(A) = 1− P(A)
![Page 282: Probabilidad 27-09-2015](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081723/5695d3621a28ab9b029dbbd6/html5/thumbnails/282.jpg)
Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
Probabilidad Conjunta
Es una medida de probabilidad en la que evaluamos la posibilidadde que dos o mas eventos sucedan de manera simultanea.
La regla de la suma se refiere a los eventos que no sonMutuamente Excluyentes.
P(A o B) = P(A) + P(B)− P(A y B)
P(A ∪ B) = P(A) + P(B)− P(A ∩ B)
![Page 283: Probabilidad 27-09-2015](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081723/5695d3621a28ab9b029dbbd6/html5/thumbnails/283.jpg)
Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
Probabilidad Conjunta
Es una medida de probabilidad en la que evaluamos la posibilidadde que dos o mas eventos sucedan de manera simultanea.
La regla de la suma se refiere a los eventos que no sonMutuamente Excluyentes.
P(A o B) = P(A) + P(B)− P(A y B)
P(A ∪ B) = P(A) + P(B)− P(A ∩ B)
![Page 284: Probabilidad 27-09-2015](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081723/5695d3621a28ab9b029dbbd6/html5/thumbnails/284.jpg)
Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
Probabilidad Conjunta
Es una medida de probabilidad en la que evaluamos la posibilidadde que dos o mas eventos sucedan de manera simultanea.
La regla de la suma se refiere a los eventos que no sonMutuamente Excluyentes.
P(A o B) = P(A) + P(B)− P(A y B)
P(A ∪ B) = P(A) + P(B)− P(A ∩ B)
![Page 285: Probabilidad 27-09-2015](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081723/5695d3621a28ab9b029dbbd6/html5/thumbnails/285.jpg)
Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
Probabilidad Conjunta
Es una medida de probabilidad en la que evaluamos la posibilidadde que dos o mas eventos sucedan de manera simultanea.
La regla de la suma se refiere a los eventos que no sonMutuamente Excluyentes.
P(A o B) = P(A) + P(B)− P(A y B)
P(A ∪ B) = P(A) + P(B)− P(A ∩ B)
![Page 286: Probabilidad 27-09-2015](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081723/5695d3621a28ab9b029dbbd6/html5/thumbnails/286.jpg)
Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
Regla de la multiplicacion
La regla de la Multiplicacion requiere que dos eventos A y B seanindependientes.
Dos eventos son independientes si la ocurrencia de uno no altera laprobabilidad de que el otro ocurra.
Sean los eventos A y B independientes, es decir la ocurrencia de laprobabilidad de A no altera la probabilidad de B.
Independiente
La ocurrencia de un evento no tiene efecto en la probabilidad deocurrencia de cualquier otro evento.
![Page 287: Probabilidad 27-09-2015](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081723/5695d3621a28ab9b029dbbd6/html5/thumbnails/287.jpg)
Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
Regla de la multiplicacion
La regla de la Multiplicacion requiere que dos eventos A y B seanindependientes.
Dos eventos son independientes si la ocurrencia de uno no altera laprobabilidad de que el otro ocurra.
Sean los eventos A y B independientes, es decir la ocurrencia de laprobabilidad de A no altera la probabilidad de B.
Independiente
La ocurrencia de un evento no tiene efecto en la probabilidad deocurrencia de cualquier otro evento.
![Page 288: Probabilidad 27-09-2015](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081723/5695d3621a28ab9b029dbbd6/html5/thumbnails/288.jpg)
Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
Regla de la multiplicacion
La regla de la Multiplicacion requiere que dos eventos A y B seanindependientes.
Dos eventos son independientes si la ocurrencia de uno no altera laprobabilidad de que el otro ocurra.
Sean los eventos A y B independientes, es decir la ocurrencia de laprobabilidad de A no altera la probabilidad de B.
Independiente
La ocurrencia de un evento no tiene efecto en la probabilidad deocurrencia de cualquier otro evento.
![Page 289: Probabilidad 27-09-2015](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081723/5695d3621a28ab9b029dbbd6/html5/thumbnails/289.jpg)
Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
Regla de la multiplicacion
La regla de la Multiplicacion requiere que dos eventos A y B seanindependientes.
Dos eventos son independientes si la ocurrencia de uno no altera laprobabilidad de que el otro ocurra.
Sean los eventos A y B independientes, es decir la ocurrencia de laprobabilidad de A no altera la probabilidad de B.
Independiente
La ocurrencia de un evento no tiene efecto en la probabilidad deocurrencia de cualquier otro evento.
![Page 290: Probabilidad 27-09-2015](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081723/5695d3621a28ab9b029dbbd6/html5/thumbnails/290.jpg)
Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
Regla de la multiplicacion
La regla de la Multiplicacion requiere que dos eventos A y B seanindependientes.
Dos eventos son independientes si la ocurrencia de uno no altera laprobabilidad de que el otro ocurra.
Sean los eventos A y B independientes, es decir la ocurrencia de laprobabilidad de A no altera la probabilidad de B.
Independiente
La ocurrencia de un evento no tiene efecto en la probabilidad deocurrencia de cualquier otro evento.
![Page 291: Probabilidad 27-09-2015](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081723/5695d3621a28ab9b029dbbd6/html5/thumbnails/291.jpg)
Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
Reglas de la Multiplicacion
La regla de la multiplicacion requiere que los eventos A y B seandependientes.
Dos eventos son independientes si la ocurrencia de uno no afecta elotro.
Si los eventos A y B son independientes , la ocurrencia de A, noaltera la probabilidad de B.
Independiente
La ocurrencia de un evento no afecta la probabilidad de ocurrenciade otro evento.
![Page 292: Probabilidad 27-09-2015](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081723/5695d3621a28ab9b029dbbd6/html5/thumbnails/292.jpg)
Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
Reglas de la Multiplicacion
La regla de la multiplicacion requiere que los eventos A y B seandependientes.
Dos eventos son independientes si la ocurrencia de uno no afecta elotro.
Si los eventos A y B son independientes , la ocurrencia de A, noaltera la probabilidad de B.
Independiente
La ocurrencia de un evento no afecta la probabilidad de ocurrenciade otro evento.
![Page 293: Probabilidad 27-09-2015](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081723/5695d3621a28ab9b029dbbd6/html5/thumbnails/293.jpg)
Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
Reglas de la Multiplicacion
La regla de la multiplicacion requiere que los eventos A y B seandependientes.
Dos eventos son independientes si la ocurrencia de uno no afecta elotro.
Si los eventos A y B son independientes , la ocurrencia de A, noaltera la probabilidad de B.
Independiente
La ocurrencia de un evento no afecta la probabilidad de ocurrenciade otro evento.
![Page 294: Probabilidad 27-09-2015](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081723/5695d3621a28ab9b029dbbd6/html5/thumbnails/294.jpg)
Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
Reglas de la Multiplicacion
La regla de la multiplicacion requiere que los eventos A y B seandependientes.
Dos eventos son independientes si la ocurrencia de uno no afecta elotro.
Si los eventos A y B son independientes , la ocurrencia de A, noaltera la probabilidad de B.
Independiente
La ocurrencia de un evento no afecta la probabilidad de ocurrenciade otro evento.
![Page 295: Probabilidad 27-09-2015](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081723/5695d3621a28ab9b029dbbd6/html5/thumbnails/295.jpg)
Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
Reglas de la Multiplicacion
La regla de la multiplicacion requiere que los eventos A y B seandependientes.
Dos eventos son independientes si la ocurrencia de uno no afecta elotro.
Si los eventos A y B son independientes , la ocurrencia de A, noaltera la probabilidad de B.
Independiente
La ocurrencia de un evento no afecta la probabilidad de ocurrenciade otro evento.
![Page 296: Probabilidad 27-09-2015](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081723/5695d3621a28ab9b029dbbd6/html5/thumbnails/296.jpg)
Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
Si dos eventos son independientes, la probabilidad de que ocurranA y B se obtiene multiplicando las probabilidades.
P(A y B) = P(A ∩ B) = P(A) ∗ P(B)
![Page 297: Probabilidad 27-09-2015](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081723/5695d3621a28ab9b029dbbd6/html5/thumbnails/297.jpg)
Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
Si dos eventos son independientes, la probabilidad de que ocurranA y B se obtiene multiplicando las probabilidades.
P(A y B) = P(A ∩ B) = P(A) ∗ P(B)
![Page 298: Probabilidad 27-09-2015](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081723/5695d3621a28ab9b029dbbd6/html5/thumbnails/298.jpg)
Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
Los siguientes resultados corresponde al analizar 84 muestras deaire con la finalidad de detectar moleculas raras.
A = Todas las moleculas de aire contienen la molecula 2. (Evento)
B = Todas las moleculas contiene la molecula 1.
Moleculas de las muestras de aire
Molecula 1 Presente
Molecula 2 presente No Si
No 32 24
Si 16 12
Total = 84 Muestras en el aire
P(A) =28
84=
1
3
![Page 299: Probabilidad 27-09-2015](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081723/5695d3621a28ab9b029dbbd6/html5/thumbnails/299.jpg)
Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
Observamos, en este ejemplo que la presencia de la molecula 1 nocambia la probabilidad de que la molecula 2 este presente.El evento B contiene la misma proporcion total de muestras en elevento A.
P(B|A) = P(B) =36
84=
3
7
P(B|A) =P(A ∩ B)
P(A)=
12842884
=12
28=
3
7
Observamos , en este ejemplo que la presencia de la molecula 1 nocambia la probabilidad de que la molecula 2 este presente. Elevento B contiene la misma proporcion de total de muestras en elevento A. Los eventos son Independientes
P(A ∩ B) = P(A) ∗ P(B) =28
84∗ 36
84=
1
3∗ 3
7=
1
7
P(A ∩ B) =12
84=
1
7
![Page 300: Probabilidad 27-09-2015](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081723/5695d3621a28ab9b029dbbd6/html5/thumbnails/300.jpg)
Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
Observamos, en este ejemplo que la presencia de la molecula 1 nocambia la probabilidad de que la molecula 2 este presente.El evento B contiene la misma proporcion total de muestras en elevento A.
P(B|A) = P(B) =36
84=
3
7
P(B|A) =P(A ∩ B)
P(A)=
12842884
=12
28=
3
7
Observamos , en este ejemplo que la presencia de la molecula 1 nocambia la probabilidad de que la molecula 2 este presente. Elevento B contiene la misma proporcion de total de muestras en elevento A. Los eventos son Independientes
P(A ∩ B) = P(A) ∗ P(B) =28
84∗ 36
84=
1
3∗ 3
7=
1
7
P(A ∩ B) =12
84=
1
7
![Page 301: Probabilidad 27-09-2015](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081723/5695d3621a28ab9b029dbbd6/html5/thumbnails/301.jpg)
Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
Observamos, en este ejemplo que la presencia de la molecula 1 nocambia la probabilidad de que la molecula 2 este presente.El evento B contiene la misma proporcion total de muestras en elevento A.
P(B|A) = P(B) =36
84=
3
7
P(B|A) =P(A ∩ B)
P(A)=
12842884
=12
28=
3
7
Observamos , en este ejemplo que la presencia de la molecula 1 nocambia la probabilidad de que la molecula 2 este presente. Elevento B contiene la misma proporcion de total de muestras en elevento A. Los eventos son Independientes
P(A ∩ B) = P(A) ∗ P(B) =28
84∗ 36
84=
1
3∗ 3
7=
1
7
P(A ∩ B) =12
84=
1
7
![Page 302: Probabilidad 27-09-2015](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081723/5695d3621a28ab9b029dbbd6/html5/thumbnails/302.jpg)
Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
Observamos, en este ejemplo que la presencia de la molecula 1 nocambia la probabilidad de que la molecula 2 este presente.El evento B contiene la misma proporcion total de muestras en elevento A.
P(B|A) = P(B) =36
84=
3
7
P(B|A) =P(A ∩ B)
P(A)=
12842884
=12
28=
3
7
Observamos , en este ejemplo que la presencia de la molecula 1 nocambia la probabilidad de que la molecula 2 este presente. Elevento B contiene la misma proporcion de total de muestras en elevento A. Los eventos son Independientes
P(A ∩ B) = P(A) ∗ P(B) =28
84∗ 36
84=
1
3∗ 3
7=
1
7
P(A ∩ B) =12
84=
1
7
![Page 303: Probabilidad 27-09-2015](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081723/5695d3621a28ab9b029dbbd6/html5/thumbnails/303.jpg)
Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
Observamos, en este ejemplo que la presencia de la molecula 1 nocambia la probabilidad de que la molecula 2 este presente.El evento B contiene la misma proporcion total de muestras en elevento A.
P(B|A) = P(B) =36
84=
3
7
P(B|A) =P(A ∩ B)
P(A)=
12842884
=12
28=
3
7
Observamos , en este ejemplo que la presencia de la molecula 1 nocambia la probabilidad de que la molecula 2 este presente. Elevento B contiene la misma proporcion de total de muestras en elevento A. Los eventos son Independientes
P(A ∩ B) = P(A) ∗ P(B) =28
84∗ 36
84=
1
3∗ 3
7=
1
7
P(A ∩ B) =12
84=
1
7
![Page 304: Probabilidad 27-09-2015](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081723/5695d3621a28ab9b029dbbd6/html5/thumbnails/304.jpg)
Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
Observamos, en este ejemplo que la presencia de la molecula 1 nocambia la probabilidad de que la molecula 2 este presente.El evento B contiene la misma proporcion total de muestras en elevento A.
P(B|A) = P(B) =36
84=
3
7
P(B|A) =P(A ∩ B)
P(A)=
12842884
=12
28=
3
7
Observamos , en este ejemplo que la presencia de la molecula 1 nocambia la probabilidad de que la molecula 2 este presente. Elevento B contiene la misma proporcion de total de muestras en elevento A. Los eventos son Independientes
P(A ∩ B) = P(A) ∗ P(B) =28
84∗ 36
84=
1
3∗ 3
7=
1
7
P(A ∩ B) =12
84=
1
7
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Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
P(A ∩ B) = P(A) ∗ P(B) =36
84∗ 28
84=
3
7∗ 1
3=
1
7
P(A ∩ B) =12
84=
1
7
De lo anterior. Se dice que dos eventos son independientes si y
solo si, cualquiera de las siguientes proposiciones es verdadera.
P(A|B) = P(A)
P(B|A) = P(B)
P(A ∩ B) = P(A) ∗ P(B)
![Page 306: Probabilidad 27-09-2015](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081723/5695d3621a28ab9b029dbbd6/html5/thumbnails/306.jpg)
Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
P(A ∩ B) = P(A) ∗ P(B) =36
84∗ 28
84=
3
7∗ 1
3=
1
7
P(A ∩ B) =12
84=
1
7
De lo anterior. Se dice que dos eventos son independientes si y
solo si, cualquiera de las siguientes proposiciones es verdadera.
P(A|B) = P(A)
P(B|A) = P(B)
P(A ∩ B) = P(A) ∗ P(B)
![Page 307: Probabilidad 27-09-2015](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081723/5695d3621a28ab9b029dbbd6/html5/thumbnails/307.jpg)
Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
P(A ∩ B) = P(A) ∗ P(B) =36
84∗ 28
84=
3
7∗ 1
3=
1
7
P(A ∩ B) =12
84=
1
7
De lo anterior. Se dice que dos eventos son independientes si y
solo si, cualquiera de las siguientes proposiciones es verdadera.
P(A|B) = P(A)
P(B|A) = P(B)
P(A ∩ B) = P(A) ∗ P(B)
![Page 308: Probabilidad 27-09-2015](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081723/5695d3621a28ab9b029dbbd6/html5/thumbnails/308.jpg)
Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
P(A ∩ B) = P(A) ∗ P(B) =36
84∗ 28
84=
3
7∗ 1
3=
1
7
P(A ∩ B) =12
84=
1
7
De lo anterior. Se dice que dos eventos son independientes si y
solo si, cualquiera de las siguientes proposiciones es verdadera.
P(A|B) = P(A)
P(B|A) = P(B)
P(A ∩ B) = P(A) ∗ P(B)
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Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
P(A ∩ B) = P(A) ∗ P(B) =36
84∗ 28
84=
3
7∗ 1
3=
1
7
P(A ∩ B) =12
84=
1
7
De lo anterior. Se dice que dos eventos son independientes si y
solo si, cualquiera de las siguientes proposiciones es verdadera.
P(A|B) = P(A)
P(B|A) = P(B)
P(A ∩ B) = P(A) ∗ P(B)
![Page 310: Probabilidad 27-09-2015](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081723/5695d3621a28ab9b029dbbd6/html5/thumbnails/310.jpg)
Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
P(A ∩ B) = P(A) ∗ P(B) =36
84∗ 28
84=
3
7∗ 1
3=
1
7
P(A ∩ B) =12
84=
1
7
De lo anterior. Se dice que dos eventos son independientes si y
solo si, cualquiera de las siguientes proposiciones es verdadera.
P(A|B) = P(A)
P(B|A) = P(B)
P(A ∩ B) = P(A) ∗ P(B)
![Page 311: Probabilidad 27-09-2015](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081723/5695d3621a28ab9b029dbbd6/html5/thumbnails/311.jpg)
Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
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Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
Probabilidad Condicional Es la probabilidad de que ocurra un
evento dado que otro evento ya haya sucedido.
Regla general de la multiplicacion
P(A ∩ B) = P(A) ∗ P(B|A)
P(B|A) Expresa la probabilidad de que ocurra B dado que yasucedio A.
La lınea / significa ”dado que”
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Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
Probabilidad Condicional Es la probabilidad de que ocurra un
evento dado que otro evento ya haya sucedido.
Regla general de la multiplicacion
P(A ∩ B) = P(A) ∗ P(B|A)
P(B|A) Expresa la probabilidad de que ocurra B dado que yasucedio A.
La lınea / significa ”dado que”
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Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
Probabilidad Condicional Es la probabilidad de que ocurra un
evento dado que otro evento ya haya sucedido.
Regla general de la multiplicacion
P(A ∩ B) = P(A) ∗ P(B|A)
P(B|A) Expresa la probabilidad de que ocurra B dado que yasucedio A.
La lınea / significa ”dado que”
![Page 315: Probabilidad 27-09-2015](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081723/5695d3621a28ab9b029dbbd6/html5/thumbnails/315.jpg)
Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
Probabilidad Condicional Es la probabilidad de que ocurra un
evento dado que otro evento ya haya sucedido.
Regla general de la multiplicacion
P(A ∩ B) = P(A) ∗ P(B|A)
P(B|A) Expresa la probabilidad de que ocurra B dado que yasucedio A.
La lınea / significa ”dado que”
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Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
Probabilidad Condicional Es la probabilidad de que ocurra un
evento dado que otro evento ya haya sucedido.
Regla general de la multiplicacion
P(A ∩ B) = P(A) ∗ P(B|A)
P(B|A) Expresa la probabilidad de que ocurra B dado que yasucedio A.
La lınea / significa ”dado que”
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Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
Probabilidad Condicional Es la probabilidad de que ocurra un
evento dado que otro evento ya haya sucedido.
Regla general de la multiplicacion
P(A ∩ B) = P(A) ∗ P(B|A)
P(B|A) Expresa la probabilidad de que ocurra B dado que yasucedio A.
La lınea / significa ”dado que”
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Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
Una encuesta de ejecutivos se enfoco a su lealtad a la empresa.Una de las preguntas planteadas fue :Si otra companıa hiciera una oferta igual o ligeramente mejor quela de su puesto actual, permanecerıa con la empresa o tomarıa elotro empleo ?Las respuestas de los 200 ejecutivos de la encuesta se clasificaronen forma cruzada con su tiempo de servicio en la companıa.La siguiente tabla de contingencia
Tiempo en servicio BjLealtad Ai Menos de 1 ano B1 1 a 5 anos B2 6 a 10 anos B3 Mas de 10 anos B3 TotalSi permanecerıa (A1) 10 30 5 75 120
No permanecerıa (A2) 25 15 10 30 80200
![Page 319: Probabilidad 27-09-2015](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081723/5695d3621a28ab9b029dbbd6/html5/thumbnails/319.jpg)
Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
Una encuesta de ejecutivos se enfoco a su lealtad a la empresa.Una de las preguntas planteadas fue :Si otra companıa hiciera una oferta igual o ligeramente mejor quela de su puesto actual, permanecerıa con la empresa o tomarıa elotro empleo ?Las respuestas de los 200 ejecutivos de la encuesta se clasificaronen forma cruzada con su tiempo de servicio en la companıa.La siguiente tabla de contingencia
Tiempo en servicio BjLealtad Ai Menos de 1 ano B1 1 a 5 anos B2 6 a 10 anos B3 Mas de 10 anos B3 TotalSi permanecerıa (A1) 10 30 5 75 120
No permanecerıa (A2) 25 15 10 30 80200
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Probabilidad
Una encuesta de ejecutivos se enfoco a su lealtad a la empresa.Una de las preguntas planteadas fue :Si otra companıa hiciera una oferta igual o ligeramente mejor quela de su puesto actual, permanecerıa con la empresa o tomarıa elotro empleo ?Las respuestas de los 200 ejecutivos de la encuesta se clasificaronen forma cruzada con su tiempo de servicio en la companıa.La siguiente tabla de contingencia
Tiempo en servicio BjLealtad Ai Menos de 1 ano B1 1 a 5 anos B2 6 a 10 anos B3 Mas de 10 anos B3 TotalSi permanecerıa (A1) 10 30 5 75 120
No permanecerıa (A2) 25 15 10 30 80200
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Probabilidad
Una encuesta de ejecutivos se enfoco a su lealtad a la empresa.Una de las preguntas planteadas fue :Si otra companıa hiciera una oferta igual o ligeramente mejor quela de su puesto actual, permanecerıa con la empresa o tomarıa elotro empleo ?Las respuestas de los 200 ejecutivos de la encuesta se clasificaronen forma cruzada con su tiempo de servicio en la companıa.La siguiente tabla de contingencia
Tiempo en servicio BjLealtad Ai Menos de 1 ano B1 1 a 5 anos B2 6 a 10 anos B3 Mas de 10 anos B3 TotalSi permanecerıa (A1) 10 30 5 75 120
No permanecerıa (A2) 25 15 10 30 80200
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Probabilidad
Una encuesta de ejecutivos se enfoco a su lealtad a la empresa.Una de las preguntas planteadas fue :Si otra companıa hiciera una oferta igual o ligeramente mejor quela de su puesto actual, permanecerıa con la empresa o tomarıa elotro empleo ?Las respuestas de los 200 ejecutivos de la encuesta se clasificaronen forma cruzada con su tiempo de servicio en la companıa.La siguiente tabla de contingencia
Tiempo en servicio BjLealtad Ai Menos de 1 ano B1 1 a 5 anos B2 6 a 10 anos B3 Mas de 10 anos B3 TotalSi permanecerıa (A1) 10 30 5 75 120
No permanecerıa (A2) 25 15 10 30 80200
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Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
Cual es la probabilidad de seleccionar al azar un ejecutivo que sealeal a la empresa y que tenga mas de 10 anos de servicio ?Observemos dos eventos al mismo tiempo, el ejecutivopermanecerıa en la empresa (A1)y tiene mas de 10 anos de servicioB3 ?El evento A1, sucede si el ejecutivo seleccionado al azar permaneceen la empresa a pesar de que otra empresa le ofreciera una mejoroferta.Hallando la probabilidad A
P(A) =120
200
El evento B, ocurre si un ejecutivo seleccionado al azar tiene masde 10 anos de servicio en la empresa.La probabilidad condicional de que un ejecutivo con mas de 10anos de servicio permanezca en la empresa a pesar de que otraempresa le haga una oferta igual o mejor .
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Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
Cual es la probabilidad de seleccionar al azar un ejecutivo que sealeal a la empresa y que tenga mas de 10 anos de servicio ?Observemos dos eventos al mismo tiempo, el ejecutivopermanecerıa en la empresa (A1)y tiene mas de 10 anos de servicioB3 ?El evento A1, sucede si el ejecutivo seleccionado al azar permaneceen la empresa a pesar de que otra empresa le ofreciera una mejoroferta.Hallando la probabilidad A
P(A) =120
200
El evento B, ocurre si un ejecutivo seleccionado al azar tiene masde 10 anos de servicio en la empresa.La probabilidad condicional de que un ejecutivo con mas de 10anos de servicio permanezca en la empresa a pesar de que otraempresa le haga una oferta igual o mejor .
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Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
Cual es la probabilidad de seleccionar al azar un ejecutivo que sealeal a la empresa y que tenga mas de 10 anos de servicio ?Observemos dos eventos al mismo tiempo, el ejecutivopermanecerıa en la empresa (A1)y tiene mas de 10 anos de servicioB3 ?El evento A1, sucede si el ejecutivo seleccionado al azar permaneceen la empresa a pesar de que otra empresa le ofreciera una mejoroferta.Hallando la probabilidad A
P(A) =120
200
El evento B, ocurre si un ejecutivo seleccionado al azar tiene masde 10 anos de servicio en la empresa.La probabilidad condicional de que un ejecutivo con mas de 10anos de servicio permanezca en la empresa a pesar de que otraempresa le haga una oferta igual o mejor .
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Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
Cual es la probabilidad de seleccionar al azar un ejecutivo que sealeal a la empresa y que tenga mas de 10 anos de servicio ?Observemos dos eventos al mismo tiempo, el ejecutivopermanecerıa en la empresa (A1)y tiene mas de 10 anos de servicioB3 ?El evento A1, sucede si el ejecutivo seleccionado al azar permaneceen la empresa a pesar de que otra empresa le ofreciera una mejoroferta.Hallando la probabilidad A
P(A) =120
200
El evento B, ocurre si un ejecutivo seleccionado al azar tiene masde 10 anos de servicio en la empresa.La probabilidad condicional de que un ejecutivo con mas de 10anos de servicio permanezca en la empresa a pesar de que otraempresa le haga una oferta igual o mejor .
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Probabilidad
Cual es la probabilidad de seleccionar al azar un ejecutivo que sealeal a la empresa y que tenga mas de 10 anos de servicio ?Observemos dos eventos al mismo tiempo, el ejecutivopermanecerıa en la empresa (A1)y tiene mas de 10 anos de servicioB3 ?El evento A1, sucede si el ejecutivo seleccionado al azar permaneceen la empresa a pesar de que otra empresa le ofreciera una mejoroferta.Hallando la probabilidad A
P(A) =120
200
El evento B, ocurre si un ejecutivo seleccionado al azar tiene masde 10 anos de servicio en la empresa.La probabilidad condicional de que un ejecutivo con mas de 10anos de servicio permanezca en la empresa a pesar de que otraempresa le haga una oferta igual o mejor .
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Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
P(B|A) = 75120
P(A ∩ B) = P(A) ∗ P(B|A)
P(A ∩ B) = 120200 ∗
75120 = 9000
24000 = 0, 375
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Probabilidad
P(B|A) = 75120
P(A ∩ B) = P(A) ∗ P(B|A)
P(A ∩ B) = 120200 ∗
75120 = 9000
24000 = 0, 375
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Probabilidad
P(B|A) = 75120
P(A ∩ B) = P(A) ∗ P(B|A)
P(A ∩ B) = 120200 ∗
75120 = 9000
24000 = 0, 375
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Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
Diagramas de arbol
Es una representacion grafica util para organizar calculos queabarcan varias etapas.
Cada segmento es una etapa del problema.
Las probabilidades escritas cerca de las ramas son lasprobabilidades condicionales del evento.
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Probabilidad
Diagramas de arbol
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Cada segmento es una etapa del problema.
Las probabilidades escritas cerca de las ramas son lasprobabilidades condicionales del evento.
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Probabilidad
Diagramas de arbol
Es una representacion grafica util para organizar calculos queabarcan varias etapas.
Cada segmento es una etapa del problema.
Las probabilidades escritas cerca de las ramas son lasprobabilidades condicionales del evento.
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Probabilidad
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Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
Teorema de Bayes
Probabilidad a priori: Es la probabilidad inicial con base en el nivelactual de informacion, en el ejercicio anterior.
P(Permanencia) = P(P) =120
200
P(No Permanencia) = P(P) =80
200
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Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
Teorema de Bayes
Probabilidad a priori: Es la probabilidad inicial con base en el nivelactual de informacion, en el ejercicio anterior.
P(Permanencia) = P(P) =120
200
P(No Permanencia) = P(P) =80
200
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Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
Teorema de Bayes
Probabilidad a priori: Es la probabilidad inicial con base en el nivelactual de informacion, en el ejercicio anterior.
P(Permanencia) = P(P) =120
200
P(No Permanencia) = P(P) =80
200
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Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
Probabilidad Condicional
En nuestro ejemplo anterior
P(Menos1a|P) =10
120
P(1− 5a|P) =30
120
P(6− 10a|P) =5
120
P(Mas10a|P) =75
120
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Probabilidad
Probabilidad Condicional
En nuestro ejemplo anterior
P(Menos1a|P) =10
120
P(1− 5a|P) =30
120
P(6− 10a|P) =5
120
P(Mas10a|P) =75
120
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Probabilidad
Probabilidad Condicional
En nuestro ejemplo anterior
P(Menos1a|P) =10
120
P(1− 5a|P) =30
120
P(6− 10a|P) =5
120
P(Mas10a|P) =75
120
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Probabilidad
Probabilidad Condicional
En nuestro ejemplo anterior
P(Menos1a|P) =10
120
P(1− 5a|P) =30
120
P(6− 10a|P) =5
120
P(Mas10a|P) =75
120
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Probabilidad
Probabilidad Condicional
En nuestro ejemplo anterior
P(Menos1a|P) =10
120
P(1− 5a|P) =30
120
P(6− 10a|P) =5
120
P(Mas10a|P) =75
120
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Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
Si se selecciona aleatoriamente, un empleado. Cual es laprobabilidad que el ejecutivo permanezca en el empleo ?
En forma simbolica queremos determinar :P(Permanezca|Menosde1 anos)
P(Permanezca|1− 5 anos)
P(Permanezca|6− 10 anos)
P(Permanezca|Masde10 anos)
Se denomina probabilidad a posteriori
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Probabilidad
Si se selecciona aleatoriamente, un empleado. Cual es laprobabilidad que el ejecutivo permanezca en el empleo ?
En forma simbolica queremos determinar :P(Permanezca|Menosde1 anos)
P(Permanezca|1− 5 anos)
P(Permanezca|6− 10 anos)
P(Permanezca|Masde10 anos)
Se denomina probabilidad a posteriori
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Probabilidad
Si se selecciona aleatoriamente, un empleado. Cual es laprobabilidad que el ejecutivo permanezca en el empleo ?
En forma simbolica queremos determinar :P(Permanezca|Menosde1 anos)
P(Permanezca|1− 5 anos)
P(Permanezca|6− 10 anos)
P(Permanezca|Masde10 anos)
Se denomina probabilidad a posteriori
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Probabilidad
Si se selecciona aleatoriamente, un empleado. Cual es laprobabilidad que el ejecutivo permanezca en el empleo ?
En forma simbolica queremos determinar :P(Permanezca|Menosde1 anos)
P(Permanezca|1− 5 anos)
P(Permanezca|6− 10 anos)
P(Permanezca|Masde10 anos)
Se denomina probabilidad a posteriori
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Probabilidad
Si se selecciona aleatoriamente, un empleado. Cual es laprobabilidad que el ejecutivo permanezca en el empleo ?
En forma simbolica queremos determinar :P(Permanezca|Menosde1 anos)
P(Permanezca|1− 5 anos)
P(Permanezca|6− 10 anos)
P(Permanezca|Masde10 anos)
Se denomina probabilidad a posteriori
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Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
Si se selecciona aleatoriamente, un empleado. Cual es laprobabilidad que el ejecutivo permanezca en el empleo ?
En forma simbolica queremos determinar :P(Permanezca|Menosde1 anos)
P(Permanezca|1− 5 anos)
P(Permanezca|6− 10 anos)
P(Permanezca|Masde10 anos)
Se denomina probabilidad a posteriori
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Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
Si se selecciona aleatoriamente, un empleado. Cual es laprobabilidad que el ejecutivo permanezca en el empleo ?
En forma simbolica queremos determinar :P(Permanezca|Menosde1 anos)
P(Permanezca|1− 5 anos)
P(Permanezca|6− 10 anos)
P(Permanezca|Masde10 anos)
Se denomina probabilidad a posteriori
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Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
Probabilidad a posteriori
Es una probabilidad revisada con base en informacion adicional
P(P|Menosla) =P(P) ∗ P(Menos1a|P)
P(P) ∗ P(Menos1a) + P(P) ∗ P(1− 5a|P) + P(P) ∗ P(6− 10a|P) + P(P) ∗ P(Mas10a|P)
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Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
Probabilidad a posteriori
Es una probabilidad revisada con base en informacion adicional
P(P|Menosla) =P(P) ∗ P(Menos1a|P)
P(P) ∗ P(Menos1a) + P(P) ∗ P(1− 5a|P) + P(P) ∗ P(6− 10a|P) + P(P) ∗ P(Mas10a|P)
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Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
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Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
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Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
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Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
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Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
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Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
Probabilidad Total
A1,A2, ... es una particion finita de Ω P(Ai > 0)∀i
Entonces para cualquier B in se cumple que
P(B) =∑n
P(B ∩ An) =∑n
P(AnP(B|An))
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Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
Regla de Bayes
Con la condicion del teorema de probabilidad total.
Usa la informacion del evento que ya ocurrio ∀i , se cumple
P(Ai |B) =P(Ai ∩ B)
P(B)=
P(Ai )P(B|Ai )∑n P(An)P(B|An)
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Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
Regla de Bayes
Con la condicion del teorema de probabilidad total.
Usa la informacion del evento que ya ocurrio ∀i , se cumple
P(Ai |B) =P(Ai ∩ B)
P(B)=
P(Ai )P(B|Ai )∑n P(An)P(B|An)
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Conceptos Basicos de Probabilidad - Unidad III
Probabilidad
Regla de Bayes
Con la condicion del teorema de probabilidad total.
Usa la informacion del evento que ya ocurrio ∀i , se cumple
P(Ai |B) =P(Ai ∩ B)
P(B)=
P(Ai )P(B|Ai )∑n P(An)P(B|An)