Probab Il i Dade

CONEXÕES COM A MATEMÁTICA

Capítulo

19

Probabilidade

Experimento aleatório é todo experimento que, quando

repetido várias vezes e sob as mesmas condições, apresenta,

entre as possibilidades, resultados imprevisíveis.

Espaço amostral (S) de um experimento aleatório é o

conjunto de todos os resultados possíveis desse experimento.

Evento (E) é todo subconjunto do espaço amostral do

experimento aleatório.

Experimento aleatório, espaço amostrale evento

19.1

Exemplo

a) Quando se retira uma bola de uma urna que contém 50 bolas

numeradas de 1 a 50, um evento possível é: a bola retirada conter um

número primo menor que 20.

O espaço amostral desse experimento é S = {1, 2, ..., 50} e o evento

é E = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19}.

O número de elementos do conjunto S é n(S) = 50 e o do conjunto E é

n(E) = 8.

19.1


Exemplo

b) No sorteio de uma carta de um baralho honesto de 52 cartas, um

possível evento é: a carta sorteada ser de copas e com figura.

O espaço amostral desse experimento é o conjunto S = {ás de copas,

2 de copas, ..., rei de copas, ás de ouros, 2 de ouros, ..., rei de ouros,

ás de espadas, ..., rei de espadas, ás de paus, ..., rei de paus}.

O evento é o conjunto E = {valete de copas, dama de copas, rei

de copas}. Nesse experimento, n(S) = 52 e n(E) = 3.

19.1


Vamos considerar o experimento aleatório “lançar um dado

cúbico e registrar o número representado na face voltada

para cima”.

Espaço amostral: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e n(S) = 6

Alguns exemplos de eventos:

E1: o número é 5 E1 = {5} e n(E1) = 1

Quando o evento é um subconjunto unitário do espaço

amostral, é denominado evento simples ou evento

elementar.

Eventos

19.2

E2: o número é menor ou igual a 6 E2 = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e

n(E2) = 6

Se coincidir com o espaço amostral, o evento é chamado

evento certo. E2 é um evento certo.

E3: o número é maior que 6 E3 = e n(E3) = 0

Nesse caso, se for o conjunto vazio, o evento será chamado

evento impossível.

19.2

Eventos

E4: o número é par E4 = {2, 4, 6} e n(E4) = 3

E5: o número é ímpar E5 = {1, 3, 5} e n(E5) = 3

Note que E4 ∩ E5 = . Quando dois eventos não têm elementos

comuns, ou seja, quando a intersecção desses eventos é o

conjunto vazio, eles são denominados eventos mutuamente

exclusivos.

19.2

Eventos

No caso desses eventos, temos ainda que E4 ∩ E5 = {1, 2, 3, 4,

5, 6} = S.

Dois eventos que não têm elementos comuns e cuja união é

igual ao espaço amostral são denominados eventos

complementares.

Indicamos o complementar de um evento E por E.

19.2

Eventos

Exercício resolvido

R1. Lançando dois dados, um vermelho e um azul, e

considerando as faces voltadas para cima:

a) quantos elementos há no espaço amostral?

b) em quantos casos a soma dos números das faces superiores

é maior que 8?

c) em quantos casos o produto dos números das faces

superiores é igual a 28?

19.3

R1.

Resolução

a) A tabela mostra todos os possíveis resultados do

experimento:

Portanto, há 36 elementos no espaço amostral do experimento.

Dado azul

1 2 3 4 5 6

1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)

2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)

3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)

4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)

5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)

6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)

Dad

o

verm

elh

o

19.3


R1.

Resolução

b) Observando a tabela, temos a soma maior que 8 em 10

casos:

E = {(3, 6), (4, 5), (4, 6), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 3),

(6, 4), (6, 5), (6, 6)}

Logo, o número de elementos que correspondem ao evento

“soma maior que 8” é n(E) = 10.

19.3


R1.

Resolução

c) Os únicos pares de números naturais cujo produto é 28 são:

(28, 1), (14, 2), (7, 4), (1, 28), (2, 14) e (4, 7). Uma vez que

nenhum desses pares ordenados pertence ao espaço

amostral, o evento “produto igual a 28” não tem elementos,

ou seja, trata-se de um evento impossível.

19.3


R2. Cada um dos números 1, 2, 3 e 4 é escrito em um pequeno

cartão, que é depositado em uma caixa. Sabendo que dois

cartões são sorteados aleatoriamente, um após o outro,

determinar o espaço amostral quando esse experimento

é realizado:

a) com reposição dos cartões;

b) sem reposição.

19.4


AD

ILS

ON

SE

CC

O

R2.

Resolução

a) Se o experimento é realizado com reposição, os números 1, 2,

3 e 4 “participam” de ambos os sorteios, e o espaço amostral

é, então, dado por:

S = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 1),

(3, 2), (3, 3), (3, 4), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4)}

19.4


R2.

Resolução

b) Se o experimento é realizado sem reposição, o número

sorteado em primeiro lugar não “participa” do segundo

sorteio. Nesse caso, o espaço amostral é diferente daquele do

experimento com reposição.

Assim, o espaço amostral é dado por:

S = {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 3), (2, 4), (3, 1),

(3, 2), (3, 4), (4, 1), (4, 2), (4, 3)}

19.4


Acompanhe a situação a seguir.

Genética. Suponha que um casal queira ter dois filhos.

Cada um dos filhos poderá ser do sexo masculino (M) ou do

sexo feminino (F). Sabendo que a chance de nascer um filho

do sexo masculino é igual à de nascer um filho do sexo

feminino, independentemente do sexo dos filhos anteriores,

qual é a chance de esse casal gerar dois filhos do sexo

masculino (M, M)?

Espaço amostral equiprovável

19.5

Para responder a essa questão, determinamos o espaço

amostral S e o evento E (dois filhos do sexo masculino):

S = {(M, M), (M, F), (F, M), (F, F)}

E = {(M, M)}

Observe que: n(E) = 1 e n(S) = 4

Assim, a chance de o casal gerar dois filhos do sexo masculino

é de 1 para 4, ou .

19.5


Nessa situação, consideramos que, para cada evento simples,

existe a mesma chance de ocorrência. Quando adotamos esse

critério em um espaço amostral finito, esse espaço é

denominado espaço amostral equiprovável.

19.5


Em um espaço amostral S equiprovável, finito e não

vazio, a probabilidade de ocorrência de um evento E,

indicada por P(E), é a razão entre o número de

elementos do evento, n(E), e o número de elementos

do espaço amostral, n(S):

Definição de probabilidade

19.6

Podemos representar a probabilidade de um evento nas formas

fracionária, decimal ou percentual. No caso do nosso exemplo,

a probabilidade de o casal ter dois filhos do sexo masculino é:

19.6

Definição de probabilidade

Seja E um evento e S o espaço amostral finito, não vazio,

de um experimento aleatório, temos:

Se E é um evento impossível, então: P(E) = 0

Se E é um evento certo, então: P(E) = 1

Consequências da definição

19.7

R3. No lançamento de um dado, qual é a probabilidade de a

face superior apresentar:

a) o número 3 (evento E1)?

b) um número menor que 7 (evento E2)?

c) um número menor que 1 (evento E3)?

d) um divisor da soma dos pontos de todas as faces do dado

(evento E4)?

19.8


R3.

Resolução

O espaço amostral S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} é equiprovável

e n(S) = 6.

a) E1 = {3} é um evento simples e n(E1) = 1, então: P(E1) =

b) E2 = {1, 2, 3, 4, 5, 6} = S é um evento certo e n(E2) = 6, então:

P(E2) = = 1

19.8


R3.

Resolução

c) E3 = ∅ é um evento impossível e n(E3) = 0, então:

P(E3)= = 0

d) A soma dos pontos de todas as faces do dado é:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21

E4 = {1, 3} e n(E4) = 2, então: P(E4) =

19.8


R4. No lançamento simultâneo de uma moeda e de um dado,

determinar:

a) o espaço amostral;

b) o número de elementos do evento E1: coroa na moeda e face

par no dado; e a probabilidade de ocorrência de E1;

c) a probabilidade de ocorrência do evento E2: face 3 no dado;

d) a probabilidade de ocorrência do evento E3: coroa na moeda.

19.9


R4.

Resolução

a) A moeda tem duas faces, coroa (k) e cara (c), e o dado tem

as faces numeradas de 1 a 6. Portanto, o espaço amostral é:

S = {(k, 1), (k, 2), (k, 3), (k, 4), (k, 5), (k, 6), (c, 1),

(c, 2), (c, 3), (c, 4), (c, 5), (c, 6)} e n(S) = 12

b) O evento “coroa na moeda e face par no dado” é o conjunto:

E1 = {(k, 2), (k, 4), (k, 6)} e n(E1) = 3. Então:

P(E1) = ou P(E1) = 25%

19.9


R4.

Resolução

c) O evento “face 3 no dado” é o conjunto: E2 = {(k, 3), (c, 3)}

e n(E2) = 2. Então:

P(E2) = ou P(E2) ≃ 16,7%

d) O evento “coroa na moeda” é o conjunto:

E3 = {(k, 1), (k, 2), (k, 3), (k, 4), (k, 5), (k, 6)} e n(E3) = 6. Então:

P(E3) = ou P(E3) = 50%

19.9


R5. Uma equipe de doze pessoas é formada por nove homens e

três mulheres. Dessas pessoas, duas serão sorteadas para

compor uma comissão. Qual é a probabilidade de a

comissão ser formada por:

a) duas mulheres?

b) dois homens?

c) um homem e uma mulher?

19.10


R5.

Resolução

Para calcular o número de elementos do espaço amostral,

devemos considerar um grupo de doze pessoas, do qual serão

sorteados dois elementos, não importando a ordem, o que

corresponde ao número de combinações de 12, tomadas 2 a 2:

19.10

n(S) =


R5.

Resolução

a) Seja E1: comissão formada por duas mulheres, de um total de

três. Então:

19.10

n(E1) =

P(E1) =


R5.

Resolução

b) Seja E2: comissão formada por dois homens, de um total de

nove. Então:

19.10

n(E2) =

P(E2) =


R5.

Resolução

c) Seja E3: comissão formada por 1 homem (de um total

de 9) e 1 mulher (de um total de 3). Então:

19.10

n(E3) =

P(E3) =


Se A e B são eventos quaisquer de um espaço amostral S, a

probabilidade da intersecção de A e B, representada por

P(A ∩ B), é dada por:

Intersecção de dois eventos

19.11

Vamos considerar dois eventos E1 e E2 de um espaço amostral

S, finito e não vazio, para os quais temos:

União de dois eventos

19.12

n(E1 ∪ E2) = n(E1) + n(E2) – n(E1 ∩ E2)

Dividindo os membros da igualdade por n(S):

Portanto, a probabilidade de ocorrência do evento união de

E1 e E2 é dada por:

19.12

União de dois eventos

Quando dois eventos, E1 e E2, são mutuamente exclusivos,

eles não têm elementos comuns, ou seja, E1 ∩ E2 = ,

e n(E1 ∩ E2) = 0.

Eventos mutuamente exclusivos

19.13

P (E1 ∩ E2) = P(E1) + P(E2)

Então:

Logo, a probabilidade da união de eventos mutuamente

exclusivos é:

19.13

Eventos mutuamente exclusivos

Se dois eventos, E1 e E2, de um espaço amostral S são

complementares, ou seja, se E1 ∩ E2= e E1 ∪ E2 = S, então:

Portanto, se E1 e E2 são eventos complementares:

Eventos complementares

19.14

P (E1) + P(E2) = 1

R6. Em uma reunião, há 16 homens e 20 mulheres. Metade dos

homens e metade das mulheres usam óculos. Ao escolher

uma dessas pessoas ao acaso, qual é a probabilidade de ela

ser homem ou usar óculos?

19.15


R6.

Resolução

Vamos considerar:

E1: ser homem → n(E1) = 16

E2: usar óculos → n(E2) = 18

E1 ∩ E2: ser homem e usar óculos → n(E1 ∩ E2) = 8

Então: P(E1 ∪ E2) = P(E1) + P(E2) – P(E1 ∩ E2)

Logo, a probabilidade de ser um homem ou uma pessoa que

usa óculos é de .19.15


R7. Uma urna contém bolas numeradas de 1 a 50. Calcular:

a) a probabilidade de ser sorteada uma bola cujo número seja

par ou múltiplo de 5;

b) a probabilidade de ser sorteada uma bola cujo número seja

par e maior que 10 ou o menor número primo.

19.16


R7.

Resolução

a) Para calcular a probabilidade de sair um número par ou um

número múltiplo de 5, vamos considerar os eventos E1 e E2 e os

respectivos números de elementos:

E1: número par n(E1) = 25

E2: número múltiplo de 5 n(E2) = 10

E1 ∩ E2: par e múltiplo de 5 n(E1 ∩ E2) = 5

19.16


R7.

Resolução

Assim:

P(E1 ∪ E2) = P(E1) + P(E2) – P(E1 ∩ E2)

P(E1 ∪ E2) = = 0,6 = 60%

Logo, a probabilidade de ocorrer um número par ou múltiplo

de 5 é de 60%.

19.16


R7.

Resolução

b) Para calcular a probabilidade de sair um número par maior

que 10 ou o menor número primo, vamos considerar os

eventos E3 e E4 e os respectivos números de elementos:

E3: número par maior que 10 n(E3) = 20

E4: menor número primo.

De 1 a 50, há 15 números primos, e o menor deles é 2.

Portanto: E4 = {2} e n(E4) = 1

19.16


R7.

Resolução

E3 ∩ E4: não há número par maior que 10 e igual a 2, logo:

n(E3 ∪ E4) = 0

Os conjuntos E3 e E4 são eventos mutuamente exclusivos:

P(E3 ∪ E4) = P(E3) + P(E4) – 0

P(E3 ∪ E4) =

Logo, a probabilidade de ser sorteado um número par maior

que 10 ou o menor número primo é de 42%.19.16


R8. Em uma pesquisa realizada com 50 pessoas, os resultados

indicaram que 25 pessoas ouvem FM, 20 pessoas ouvem

AM e 20 pessoas não costumam ouvir rádio. Calcular a

probabilidade de, ao selecionar uma dessas pessoas, ela

ouvir ambas as frequências.

19.17


R8.

Resolução

Observe que a pessoa que ouve FM pode também ouvir AM

e a pessoa que ouve AM pode também ouvir FM. Sendo x o

número de pessoas que ouvem ambas as frequências, vamos

representar os dados da pesquisa por um diagrama:

19.17


R8.

Resolução

O evento E (“selecionar uma pessoa que ouve ambas as

frequências, FM e AM”) é a intersecção dos eventos F

(“selecionar uma pessoa que ouve FM”) e A (“selecionar uma

pessoa que ouve AM”).

Como n(E) = n(F ∩ A) = x, temos:

(25 – x) + x + (20 – x) + 20 = 50

65 – x = 50

x = 15

19.17


R8.

Resolução

Portanto, 15 pessoas ouvem ambas as frequências.

Logo, a probabilidade de E é:

19.17


Dois eventos, A e B, são eventos independentes se a

ocorrência de um deles não afeta a ocorrência do outro, isto é,

se: P(A / B) = P(A) e P(B / A) = P(B).

Para a ocorrência simultânea dos dois eventos independentes,

substituímos P(A / B) por P(A) em P(A ∩ B) = P(B) ∙ P(A / B)

e temos:

Eventos independentes

19.20

P(A ∩ B) = P(A) ∙ P(B)

Assim, dois eventos são eventos dependentes quando a

probabilidade de ocorrência de um deles é afetada pela

ocorrência do outro. Nesse caso: P(A ∩ B) P(A) ∙ P(B)

Observação

A probabilidade de ocorrência de mais de dois eventos

independentes é igual ao produto das probabilidades de cada

um dos eventos.

19.20

Eventos independentes

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