Prise en compte d'effets météorologiques dans la méthode d...
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N° d'ordre 2000 ISAL 0039 Année 2000
THÈSE
présentée devant
L’INSTITUT NATIONAL DES SCIENCES APPLIQUÉES DE LYON
et préparée à
L’ÉCOLE NATIONALE DES TRAVAUX PUBLICS DE L'ÉTAT
pour obtenir
LE GRADE DE DOCTEUR
FORMATION DOCTORALE : Acoustique
par
Eric PREMAT
Ingénieur des Travaux Publics de l'État
PRISE EN COMPTE D'EFFETS MÉTÉOROLOGIQUES
DANS UNE MÉTHODE D'ÉLÉMENTS FINIS DE FRONTIÈRE
Jury : MM. Denis DUHAMEL RapporteurKarsten Bo RASMUSSEN RapporteurYannick GABILLET Directeur de ThèseMichel BERENGIERGérard GUARRACINODaniel JUVEJacques ROLANDJean-Louis GUYADER
N° d'ordre 2000 ISAL 0039 Année 2000
THÈSE
présentée devant
L’INSTITUT NATIONAL DES SCIENCES APPLIQUÉES DE LYON
et préparée à
L’ÉCOLE NATIONALE DES TRAVAUX PUBLICS DE L'ÉTAT
pour obtenir
LE GRADE DE DOCTEUR
FORMATION DOCTORALE : Acoustique
par
Eric PREMAT
Ingénieur des Travaux Publics de l'État
PRISE EN COMPTE D'EFFETS MÉTÉOROLOGIQUES
DANS UNE MÉTHODE D'ÉLÉMENTS FINIS DE FRONTIÈRE
Jury : MM. Denis DUHAMEL RapporteurKarsten Bo RASMUSSEN RapporteurYannick GABILLET Directeur de ThèseMichel BERENGIERGérard GUARRACINODaniel JUVEJacques ROLANDJean-Louis GUYADER
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Septembre 1998
INSTITUT NATIONAL DES SCIENCES APPLIQUEES DE LYON
Directeur : J.ROCHAT
Professeurs :
S.AUDISIO PHYSICOCHIMIE INDUSTRIELLEJ.C.BABOUX G.E.M.P.P.M.*J.BAHUAUD MECANIQUE DES SOLIDESB.BALLAND PHYSIQUE DE LA MATIEREM.BARBIER PHYSIQUE DE LA MATIEREG.BAYADA MOD. MAT. CAL. SCIEN../L.M.C.C.BERGER (Melle) PHYSIQUE DE LA MATIEREM.BETEMPS AUTOMATIQUE INDUSTRIELLEJ.M.BLANCHARD L.A.E.P.S.I.C.BOISSON VIBRATIONS ACOUSTIQUESM.BOIVIN MECANIQUE DES SOLIDESH.BOTTA EQUIPE DEVELOPPEMENT URBAING.BOULAYE INFORMATIQUEJ.BRAU CETHIL/THERMIQUE DU BATIMENTM.BRISSAUD GENIE ELECTRIQUE ER FERROELECTRICITEM.BRUNET MECANIQUE DES SOLIDESJ.C.BUREAU THERMODYNAMIQUE APPLIQUEEJ.P.CHANTE COMPOSANTS DE PUISSANCE ET APPLICATIONSM.CHEVRETON CONT. NON DEST. RAY. ION.B. CHOCAT U.R.G.C. HYDROLOGIE URBAINEB.CLAUDEL L.A.E.P.S.I.M.COUSIN U.R.G.C. STRUCTUREM.DIOT THERMODYNAMIQUE APPLIQUEEA.DOUTHEAU CHIMIE ORGANIQUEB.DUPERRAY CHIMIE BIOLOGIQUEJ.C.DUPUY PHYSIQUE DE LA MATIEREH.EMPTOZ R.F.V.C.ESNOUF G.E.M.P.P.M.*G.FANTOZZI G.E.M.P.P.M.*J.FAVREL P.R.I.S.Ma.G.FERRARIS-BESSON MECANIQUE DES STRUCTURESY.FETIVEAU GENIE ELECTRIQUE ET FERROELECTRICITEL.FLAMAND MECANIQUE DES CONTACTSP.FLEISCHMANN G.E.M.P.P.M.*A.FLORY L.I.S.I.R.FOUGERES G.E.M.P.P.M.*F.FOUQUET G.E.M.P.P.M.*L.FRECON INFORMATIQUER.GAUTHIER PHYSIQUE DE LA MATIEREM.GERY CETHIL/THERMIQUE DU BATIMENTG.GIMENEZ C.R.E.A.T.I.S.P.GONNARD GENIE ELECTRIQUE ET FERROELECTRICITEM.GONTRAND L.C.P.A.G.GRANGE GENIE ELECTRIQUE ET FERROELECTRICITEG.GUENIN G.E.M.P.P.M.*M.GUICHARDANT BIOCHIMIE ET PHARMACOLOGIEG.GUILLOT PHYSIQUE DE LA MATIEREA.GUINET P.R.I.S.Ma.J.L.GUYADER VIBRATIONS-ACOUSTIQUED.GUYOMAR GENIE ELECTRIQUE ET FERROELECTRICITEJ.M.JOLION R.F.V.J.F.JULLIEN U.R.G.C. STRUCTURESA.JUTARD AUTOMATIQUE INDUSTRIELLER.KASTNER U.R.G.C. GEOTECHNIQUEH.KLEIMANN GENIE ELECTRIQUE ET FERROELECTRICITEJ.KOULOUMDJIAN L.I.S.I.M.LAGARDE BIOCHIMIE ET PHARMACOLOGIEM.LALANNE MECANIQUE DES STRUCTURESA.LALLEMAND CETHIL/EQ. ENERGETIQUE ET THERMIQUEM.LALLEMAND (Mme) CETHIL/EQ. ENERGETIQUE ET THERMIQUEP.LAREAL U.R.G.C. GEOTECHNIQUEA.LAUGIER PHYSIQUE DE LA MATIERECH.LAUGIER BIOCHIMIE ET PHARMACOLOGIE
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P.LEJEUNE G.M.M.I.C.A.LUBRECHT MECANIQUE DES CONTACTSC.LESUEUR VIBRATIONS-ACOUSTIQUEY.MARTINEZ L.3I.C.MARTY C.A.S.M.H.MAZILLE PHYSICOCHIMIE INDUSTRIELLEJ.MERLE G.E.M.P.P.M.*J. MERLIN G.E.M.P.P.M.*J.P.MILLET PHYSICOCHIMIE INDUSTRIELLEM.MIRAMOND U.R.G.C. HYDROLOGIE URBAINEN.MONGEREAU (Prof. Emérite) U.R.G.C. GEOTECHNIQUER.MOREL MECANIQUE DES FLUIDESP.NARDON BIOLOGIE APPLIQUEEA.NAVARRO L.A.E.P.S.I.M.OTTERBEIN L.A.E.P.S.I.J.P.PASCAULT MATERIAUX MACROMOLECULAIRESJ.PERA U.R.G.C. MATERIAUXG.PERACHON THERMODYNAMIQUE APPLIQUEEJ.PEREZ G.E.M.P.P.M.*P.PINARD PHYSIQUE DE LA MATIEREJ.M.PINON L.I.S.I.D.PLAY C.A.S.M.J.POUSIN MODEL.MATH. ET CALCUL SCIEN.P.PREVOT G.R.A.C.I.M.P.R.PROST C.R.E.A.T.I.S. **M.REYNAUD CETHIL/EQ. TRANSFERTS INTERFACES MATERIAUXJ.M.REYNOUARD U.R.G.C. STRUCTURESE.RIEUTORD (Prof. Emérite) MECANIQUE DES FLUIDESJ.ROBERT-BAUDOUY (Mme) G.M.M.I.C.D.ROUBY G.E.M.P.P.M.*J.J.ROUX CETHIL/THERMIQUE DU BATIMENTP.RUBEL L.I.S.I.C.RUMELHART MECANIQUE DES SOLIDESJ.F.SACADURA CETHIL/EQ. TRANSFERTS INTERFACES MATERIAUXH.SAUTEREAU MATERIAUX MACROMOLECULAIRESS.SCAVARDA AUTOMATIQUE INDUSTRIELLED.THOMASSET AUTOMATIQUE INDUSTRIELLEM.TROCCAZ GENIE ELECTRIQUE ET FERROELECTRICITER.UNTERREINER C.R.E.A.T.I.S.J.VERON L.A.E.P.S.I. ***G.VIGIER G.E.M.P.P.M.*A.VINCENT G.E.M.P.P.M.*P.VUILLERMOZ PHYSIQUE DE LA MATIERE
Directeurs de recherche C.N.R.S. :
A.ANKER CHIMIE ORGANIQUEY.BERTIER MECANIQUE DES CONTACTSP.CLAUDY THERMODYNAMIQUE APPLIQUEEN.COTTE-PATTAT (Mme) G.M.M.I.C.P.FRANCIOSI G.E.M.P.P.M.*M.A.MANDRANT-BERTHELOT (Mme) G.M.M.I.C.M.MURAT G.E.M.P.P.M.*J.F.QUINSON G.E.M.P.P.M.*A.ROCHE MATERIAUX MACROMOLECULAIRES
Directeurs de recherche I.N.R.A. :
G.BONNOT BIOLOGIE APPLIQUEEG.FEBVAY BIOLOGIE APPLIQUEES.GRENIER BIOLOGIE APPLIQUEEY.MENEZO BIOLOGIE APPLIQUEE
Directeurs de recherche I.N.S.E.R.M. :
A-F. PRIGENT (Mme) BIOLOGIE ET PHARMACOLOGIEI.MAGNIN (Mme) C.R.E.A.T.I.S. ***
* * GEMPPM GROUPE D'ETUDE METALLURGIE PHYSIQUE ET PHYSIQUE DES MATERIAUX** CREATIS CENTRE DE RECHERCHE ET D’APPLICATIONS EN TRAITEMENT DE L’IMAGE DU SIGNAL
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LISTE DES DEA ou FORMATIONS DOCTORALES
FORMATIONS DOCTORALES RESPONSABLES INSA ADRESSES INSA
Acoustique GUYADER Jean-Louis Bât 303 Tél 80 80
Analyse et modélisation des systèmes biologiques NARDON Paul Bât 406 Tél 80 86
Automatique industrielle SCAVARDA Serge Bât 303 Tél 83 41
Biochimie LAGARDE Michel Bât 406 Tél 82 40
Chimie Inorganique GONNARD Paul Bât 504 Tél 81 58
Conception en bâtiment et techniques urbaines MIRAMOND Marcel Bât 304 Tél 85 56
DEA informatique de Lyon KOULOUMDJAN Jacques Bât 501 Tél 80 99
Dispositifs et électronique intégrée PINARD Pierre Bât 502 Tél 82 47
Génie biologique et médical MAGNIN Isabelle Bât 502 Tél 85 63
Génie civil : sols, matériaux, structure, physique du bâtiment LAREAL Pierre Bât 304 Tél 82 16
Génie Electrique CHANTE Jean-Pierre Bât 401 Tél 87 26
Matériaux polymères et Composites SAUTEREAU Henri Bât 403 Tél 81 78
Mécanique DALMAZ Gérard Bât 113 Tél 83 03
Microstructure et comportement mécanique et macroscopique desmatériaux - génie des matériaux
GUENIN Gérard Bât 502 Tél 82 45
Productique : organisation et conduite des systèmes de production FAVREL Joel Bât 502 Tél 83 63
Sciences des matériaux et des surfaces LAUGIER André Bât 502 Tél 82 33
Sciences et techniques du déchet NAVARRO Alain Bât 404 Tél 84 30
Signal, Image, Parole GIMENEZ GERARD Bât 502 Tél 83 32
Thermique et Energétique LALLEMAND Monique Bât 404 Tél 81 54
Les responsables soulignés sont également responsables généraux
*** LAEPSI LABORATOIRE D’ANALYSE ENVIRONNEMENTALE DES PROCEDES ET SYSTEMES INDUSTRIELS
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Sommaire
Introduction générale ........................................................................................................... 23
Chapitre 1 La problématique de l'acoustique environnementale........................................ 27
1.1 Les principaux phénomènes intervenant dans la propagation acoustique en milieu
extérieur ........................................................................................................................ 27
1.2 Conclusion .............................................................................................................. 37
Chapitre 2 La méthode des éléments finis de frontière en milieu homogène..................... 39
2.1 Introduction............................................................................................................. 39
2.2 La formulation directe ............................................................................................ 41
2.3 La formulation indirecte ......................................................................................... 44
2.4 La formulation variationnelle ................................................................................. 47
2.5 La fonction de Green, clef de voûte de la méthode d'éléments finis de frontière... 48
2.6 La résolution des équations intégrales de frontière. Avantages et inconvénients des
méthodes d'éléments finis de frontière.......................................................................... 50
2.6.1 Les méthodes de résolution des équations intégrales de frontière................ 50
2.6.2 Les problèmes d'existence et unicité............................................................. 50
2.6.3 La discrétisation de la géométrie et l'approximation de la solution
recherchée ............................................................................................................. 54
2.6.4 Le calcul des intégrales régulières et singulières.......................................... 56
2.6.5 La résolution du système linéaire ................................................................. 60
2.6.6 Le coût numérique à haute fréquence et pour les configurations 3D ........... 62
2.7 Applications de la méthode des éléments finis de frontière ................................... 67
2.8 Conclusion .............................................................................................................. 71
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Chapitre 3 La fonction de Green prenant en compte les effets météorologiques............... 73
3.1 Introduction............................................................................................................. 73
3.2 L'équation de propagation en milieu inhomogène.................................................. 75
3.3 Les principaux modèles de propagation acoustique en milieu inhomogène .......... 78
3.3.1 Les méthodes de rayon ................................................................................. 78
3.3.2 L'Equation Parabolique................................................................................. 85
3.3.3 Le Fast Field Program .................................................................................. 91
3.3.4 Les solutions analytiques............................................................................ 100
3.4 Conclusion : évaluation et comparaison des différents modèles .......................... 111
Chapitre 4 La formulation en potentiels de couche adoptée en milieu homogène : le
modèle BEMAS2D............................................................................................................ 115
4.1 Introduction........................................................................................................... 115
4.2 Le cas académique d'un écran droit, mince, rigide, en milieu infini .................... 118
4.3 L'écran droit, mince, rigide, sur sol plan parfaitement réfléchissant .................... 123
4.4 L'écran droit, mince, rigide, sur sol plan absorbant .............................................. 128
4.5 Conclusion ............................................................................................................ 137
Chapitre 5 La formulation retenue en milieu inhomogène : les modèles DOWNMOD,
UPGEOM et UPRES ......................................................................................................... 139
5.1 Introduction........................................................................................................... 139
5.2 Réfraction vers le bas : le modèle DOWNMOD .................................................. 140
5.3 Réfraction vers le haut : les modèles UPGEOM et UPRES................................. 149
5.3.1 La solution géométrique en zone éclairée : le modèle UPGEOM.............. 149
5.3.2 La série des résidus en zone d'ombre : le modèle UPRES ......................... 155
5.3.3 Les critères de transition entre les modèles UPGEOM et UPRES............. 161
5.4 La linéarisation des profils de vitesse du son ....................................................... 166
5.5 L’analogie propagation au-dessus d’un sol plan en milieu inhomogène –
propagation au-dessus d’une surface courbe en milieu homogène ........................................ 171
5.6 Conclusion ............................................................................................................ 174
Chapitre 6 Le modèle Météo-BEM .................................................................................. 175
6.1 Introduction........................................................................................................... 175
- 15 -
6.2 Revue bibliographique sur le problème de la propagation acoustique en milieu
inhomogène en présence d'un écran............................................................................ 177
6.3 Réfraction vers le bas............................................................................................ 179
6.3.1 Ecran mince rigide sur sol rigide ................................................................ 179
6.3.2 Ecran mince rigide sur sol absorbant.......................................................... 181
6.4 Réfraction vers le haut .......................................................................................... 182
6.4.1 Ecran mince rigide sur sol rigide ................................................................ 182
6.4.2 Ecran mince rigide sur sol absorbant.......................................................... 184
6.5 Comparaison du modèle Météo-BEM à des résultats issus de la littérature......... 185
6.6 Conclusion ............................................................................................................ 197
Chapitre 7 Confrontation du modèle Météo-BEM à des résultats expérimentaux........... 199
7.1 Introduction........................................................................................................... 199
7.2 Présentation des mesures sur maquettes ............................................................... 200
7.3 Mesures avec les sources à jet d'air comprimé ..................................................... 201
7.3.1 Mesures sur sol plan ................................................................................... 203
7.3.2 Mesures sur surface concave ...................................................................... 208
7.3.3 Mesures sur surface convexe...................................................................... 213
7.4 Mesures avec la T.D.S .......................................................................................... 217
7.4.1 Mesures sur sol plan ................................................................................... 219
7.4.2 Mesures sur surface concave ...................................................................... 223
7.4.3 Mesures sur surface convexe...................................................................... 226
7.5 Conclusion ............................................................................................................ 232
Conclusion générale........................................................................................................... 235
Références Bibliographiques ............................................................................................. 239
Annexe I Les différentes équations paraboliques........................................................... 259
Annexe II Les variantes du Fast Field Program............................................................... 263
Annexe III Calcul de la partie finie de Hadamard............................................................. 265
Annexe IV Calcul de la fonction de Green sur un sol absorbant ...................................... 271
Annexe V Fichiers de mesures......................................................................................... 277
- 16 -
Table des figures
figure 1. 1 : Effet de l'absorption des matériaux .............................................................. 28
figure 1. 2 : Effet de la discontinuité d'impédance........................................................... 29
figure 1. 3 : Effet du relief ............................................................................................... 30
figure 1. 4 : Effet de l'absorption atmosphérique............................................................. 31
figure 1. 5: Trajectoire des rayons acoustiques pour la réfraction vers le bas en présence
d'un gradient positif de vitesse du son ................................................................................. 31
figure 1. 6 : Trajectoire des rayons acoustiques pour la réfraction vers le haut en
présence d'un gradient négatif de vitesse du son ................................................................. 32
figure 1. 7 : Profils de température typiques en été et à différentes heures de la journée33
figure 1. 8 : Effet d'une inversion typique de température............................................... 33
figure 1. 9 : Trajectoire des rayons acoustiques pour la réfraction en présence d'un
gradient de vitesse du vent................................................................................................... 34
figure 1. 10 : Profils du vent en fonction de l'heure du jour .............................................. 34
figure 1. 11 : Effet du vent ................................................................................................. 35
figure 1. 12 : Vitesse du vent et température en fonction du temps................................... 36
figure 1. 13 : Effet de la turbulence ................................................................................... 36
figure 1. 14 : Les principaux phénomènes physiques intervenant dans la propagation
acoustique en milieu extérieur ............................................................................................. 38
figure 2. 1 : Schéma général pour l'établissement de la représentation de Green............ 42
figure 2. 2 : Les grandes étapes de la méthode des équations intégrales de frontière ..... 66
figure 3. 1 : Stratification horizontale de l'atmosphère.................................................... 93
figure 3. 2 : Propagation acoustique au-dessus d'un sol plan absorbant en milieu
homogène........................................................................................................................... 101
figure 3. 3 : Les principaux modèles de propagation acoustique en milieu extérieur ... 112
- 17 -
figure 4. 1 : Le problème général de la propagation acoustique en milieu extérieur..... 116
figure 4. 2 : Schéma pour la configuration de l'écran droit mince en milieu infini ....... 118
figure 4. 3 : Schéma de la configuration étudiée par Filippi et Dumery........................ 122
figure 4. 4 : Densité du potentiel de double couche pour le problème étudié par
Filippi et Dumery............................................................................................................... 122
figure 4. 5 : Ecran acoustique droit, mince, sur sol plan................................................ 123
figure 4. 6 : Schéma de la configuration étudiée par Daumas ....................................... 125
figure 4. 7 : Courbes de variation de l'efficacité sur D1, D2 et D3................................ 126
figure 4. 8 : Courbes de variation de l'efficacité verticalement sur D4.......................... 127
figure 4. 9 : Schéma de la configuration de Hothersall.................................................. 127
figure 4. 10 : Perte par insertion pour des écrans verticaux rigides sur un sol plan
réfléchissant ....................................................................................................................... 127
figure 4. 11 : Spectres d'atténuation pour différents paramètres de résistance au passage
de l'air................................................................................................................................. 130
figure 4. 12 : Schéma de la configuration étudiée par Isei et Duhamel ........................... 134
figure 4. 13 : Effet de la variation du paramètre de résistance au passage de l'air sur les
niveaux de pression calculés, pour une même configuration d'écran acoustique.............. 135
figure 4. 14 : Atténuation par rapport au champ libre pour la configuration étudiée par
Isei et Duhamel .................................................................................................................. 135
figure 4. 15 : Schéma de la configuration de Chandler-Wilde ........................................ 136
figure 4. 16 : Spectres d'atténuation en présence d'un écran au-dessus d'un sol rigide puis
absorbant ............................................................................................................................ 136
figure 4. 17 : Les étapes du code de calcul BEMAS2D................................................... 138
figure 5. 1 : Perte par transmission calculée par DOWNMOD en fonction de la portée141
figure 5. 2 : Perte par transmission en fonction de la portée calculée par
DOWNMOD (3D) ............................................................................................................. 143
figure 5. 3 : Perte par transmission en fonction de la portée calculée par la FFP ou
l'Equation Parabolique ....................................................................................................... 144
figure 5. 4 : Atténuation comparée de DOWNMOD (2D), DOWNMOD (3) et de la FFP,
en fonction de la distance................................................................................................... 145
figure 5. 5 : Comparaison de DOWNMOD (2D) à des résultats de Rasmussen ........... 146
figure 5. 6 : Comparaison de la dérivée du champ de pression calculée par DOWNMOD
(3D) et de résultats de mesures de Wang pour un dipôle horizontal sur une surface
- 18 -
concave .............................................................................................................................. 148
figure 5. 7 : Schéma pour la propagation en milieu homogène au-dessus d'un cylindre
convexe .............................................................................................................................. 150
figure 5. 8 : Déformation du tube de rayons lors de la réflexion sur la surface courbée151
figure 5. 9 : Comparaison du modèle UPGEOM (2D) en zone éclairée à des résultats
expérimentaux de Wang au-dessus de surfaces courbées.................................................. 154
figure 5. 10 : Perte par transmission en fonction de la portée calculée par UPRES (3D)157
figure 5. 11 : Perte par transmission en fonction de la portée calculée par la FFP ou
l'Equation Parabolique ....................................................................................................... 158
figure 5. 12 : Comparaison de UPRES (2D) à des résultats de Rasmussen..................... 159
figure 5. 13 : Comparaison du modèle UPRES (2D) à des résultats expérimentaux de
Wang dans la zone d'ombre obtenus au-dessus d'une surface convexe............................. 160
figure 5. 14 : Comparaison entre les résultats des modèles UPGEOM (2D) et UPRES
(2D) et des résultats expérimentaux de Wang sur surface convexe................................... 162
figure 5. 15 : Comparaison des modèles UPRES et UPGEOM, du modèle mixte
UPRES+UPGEOM, et de résultats de mesures de Wang.................................................. 163
figure 5. 16 : Comparaison des modèles UPRES et UPGEOM, du modèle mixte
UPRES+UPGEOM, et de résultats de mesures de Wang.................................................. 163
figure 5. 17 : Comparaison des modèles UPRES et UPGEOM, du modèle mixte
UPRES+UPGEOM, et de résultats de mesures de Wang pour un dipôle horizontal au-
dessus d'une surface convexe rigide .................................................................................. 164
figure 5. 18 : Comparaison des modèles UPRES et UPGEOM, du modèle mixte
UPRES+UPGEOM, et de résultats de mesures de Wang au-dessus d'une surface convexe
absorbante .......................................................................................................................... 165
figure 5. 19 : Linéarisation du profil de vitesse du son grâce au concept du volume de
Fresnel................................................................................................................................ 167
figure 5. 20 : Comparaison du modèle UPRES (2D), calcul effectué à partir du gradient
équivalent à 500 Hz (Rc = 400 m), à des mesures de Gabillet sur modèle réduit en
soufflerie ............................................................................................................................ 168
figure 6. 1 : schéma de l'écran mince rigide sur sol plan en présence de réfraction...... 179
figure 6. 2 : Comparaison entre les résultats de calcul du modèle Météo-BEM et les
résultats de mesure de Gabillet au-dessus d'une surface concave rigide ........................... 186
- 19 -
figure 6. 3 : Comparaison du modèle BEMAS2D à des résultats de calcul par le modèle
de la TGD, en milieu homogène sur sol rigide, avec écran ............................................... 188
figure 6. 4 : Comparaison du modèle DOWNMOD (2D) à des résultats expérimentaux
de Gabillet au-dessus d'une surface concave rigide, sans écran ........................................ 189
figure 6. 5 : Comparaison entre les résultats de calcul du modèle Météo-BEM et les
résultats de mesure de Gabillet au-dessus d'une surface concave rigide ........................... 191
figure 6. 6 : Comparaison entre les résultats de calcul du modèle Météo-BEM et les
résultats de mesure de Gabillet au-dessus d'une surface concave absorbante ................... 193
figure 6. 7 : Comparaison entre les résultats de calcul du modèle Météo-BEM et les
résultats de mesure de Gabillet au-dessus d'une surface concave absorbante ................... 194
figure 6. 8 : Comparaison du modèle Météo-BEM à des résultats expérimentaux de
Rasmussen et un résultat de calcul de Li pour un écran sur sol absorbant en situation de
vent portant ........................................................................................................................ 196
figure 6. 9 : Comparaison du modèle Météo-BEM à des résultats expérimentaux de
Rasmussen et un résultat de calcul de Li pour un écran sur sol absorbant en situation de
vent contraire ..................................................................................................................... 196
figure 6. 10 : Organigramme représentant la construction du modèle Météo-BEM ....... 198
figure 7. 1 : Schéma des configurations étudiées dans les mesures avec les sources à jet
d'air comprimé ................................................................................................................... 201
figure 7. 2 : Mesure avec les sources de jet d'air comprimé pour la configuration de
l'écran droit mince rigide sur sol plan rigide...................................................................... 202
figure 7. 3: Mesure avec les sources de jet d'air comprimé pour les configurations de la
surface convexe rigide et de la surface concave rigide...................................................... 202
figure 7. 4 : source de jet d'air comprimé utilisée.......................................................... 202
figure 7. 5 : Comparaison des résultats du modèle BEMAS2D aux mesures sur modèle
réduit avec les sources de jet d'air comprimé sur sol plan rigide....................................... 204
figure 7. 6 : Comparaison des résultats du modèle BEMAS2D aux mesures sur modèle
réduit avec les sources de jet d'air comprimé sur sol plan rigide....................................... 205
figure 7. 7 : Comparaison des résultats du modèle BEMAS2D aux mesures sur modèle
réduit avec les sources de jet d'air comprimé sur sol plan rigide....................................... 206
figure 7. 8 : Comparaison des résultats du modèle BEMAS2D aux mesures sur modèle
réduit avec les sources de jet d'air comprimé sur sol plan rigide....................................... 207
- 20 -
figure 7. 9 : Comparaison des résultats du modèle Météo-BEM aux mesures sur modèle
réduit avec les sources de jet d'air comprimé sur sol concave rigide ................................ 209
figure 7. 10 : Comparaison des résultats du modèle Météo-BEM aux mesures sur modèle
réduit avec les sources de jet d'air comprimé sur sol concave rigide ................................ 210
figure 7. 11 : Comparaison des résultats du modèle Météo-BEM aux mesures sur modèle
réduit avec les sources de jet d'air comprimé sur sol concave rigide ................................ 211
figure 7. 12 : Comparaison des résultats du modèle Météo-BEM aux mesures sur modèle
réduit avec les sources de jet d'air comprimé sur sol concave rigide ................................ 212
figure 7. 13 : Schéma représentant le domaine de propagation compris entre la source et
l'écran acoustique............................................................................................................... 214
figure 7. 14 : Schéma représentant le domaine de propagation compris entre l'écran et le
récepteur............................................................................................................................. 214
figure 7. 15 : Comparaison des résultats du modèle Météo-BEM aux mesures sur modèle
réduit avec les sources de jet d'air comprimé sur sol convexe rigide ................................ 216
figure 7. 16 : Dispositif expérimental pour la mesure avec la TDS au-dessus de la surface
plane rigide......................................................................................................................... 218
figure 7. 17 : Mesure avec la TDS au-dessus de la surface convexe recouverte de
feutrine ............................................................................................................................... 218
figure 7. 18 : Mesure avec la TDS au-dessus de la surface concave recouverte de
feutrine ............................................................................................................................... 218
figure 7. 19 : Comparaison des résultats du calcul par la fonction de Green sur sol rigide
(2D) aux mesures sur modèle réduit avec la TDS sur sol plan rigide................................ 220
figure 7. 20 : Comparaison des résultats du calcul par la fonction de Green sur sol rigide
(2D) aux mesures sur modèle réduit avec la TDS sur sol plan rigide................................ 220
figure 7. 21 : Comparaison des résultats du calcul par la fonction de Green sur sol rigide
(2D) aux mesures sur modèle réduit avec la TDS sur sol plan rigide................................ 221
figure 7. 22 : Comparaison des résultats du calcul par la fonction de Green sur sol rigide
(2D) aux mesures sur modèle réduit avec la TDS sur sol plan rigide................................ 221
figure 7. 23 : Comparaison des résultats du calcul par la fonction de Green sur sol
absorbant (2D) aux mesures sur modèle réduit avec la TDS sur sol plan absorbant......... 222
figure 7. 24 : Comparaison des résultats du calcul par la fonction de Green sur sol
absorbant (2D) aux mesures sur modèle réduit avec la TDS sur sol plan absorbant......... 222
figure 7. 25 : Comparaison des résultats du calcul par le code de calcul DOWNMOD (2D)
aux mesures sur modèle réduit avec la TDS sur la surface concave rigide ....................... 224
- 21 -
figure 7. 26 : Comparaison des résultats du calcul par le code de calcul DOWNMOD (2D)
aux mesures sur modèle réduit avec la TDS sur la surface concave absorbante ............... 224
figure 7. 27 : Comparaison des résultats du modèle Météo-BEM aux mesures sur modèle
réduit avec la TDS, sur la surface concave rigide en présence d'un écran acoustique
rigide .................................................................................................................................. 225
figure 7. 28 : Comparaison des résultats du modèle Météo-BEM aux mesures sur modèle
réduit avec la TDS, sur la surface concave absorbante en présence d'un écran acoustique
rigide .................................................................................................................................. 225
figure 7. 29 : Comparaison des résultats du calcul par le modèle mixte
UPRES+UPGEOM (2D) aux mesures sur modèle réduit avec la TDS sur la surface
convexe rigide sans écran acoustique ................................................................................ 227
figure 7. 30 : Comparaison des résultats du calcul par le modèle mixte
UPRES+UPGEOM (2D) aux mesures sur modèle réduit avec la TDS sur la surface
convexe rigide sans écran acoustique ................................................................................ 227
figure 7. 31 : Comparaison des résultats du calcul par le modèle mixte
UPRES+UPGEOM (2D) aux mesures sur modèle réduit avec la TDS sur la surface
convexe absorbante sans écran acoustique ........................................................................ 228
figure 7. 32 : Comparaison des résultats du calcul par le modèle mixte
UPRES+UPGEOM (2D) aux mesures sur modèle réduit avec la TDS sur la surface
convexe absorbante sans écran acoustique ........................................................................ 228
figure 7. 33 : Comparaison entre les mesures sur modèle réduit avec la TDS sur la surface
convexe absorbante sans écran acoustique et le calcul par le modèle mixte
UPRES+UPGEOM (2D) pour différentes valeurs de σ .................................................... 229
figure 7. 34 : Comparaison des résultats du modèle Météo-BEM aux mesures sur modèle
réduit avec la TDS, sur la surface convexe rigide en présence d'un écran acoustique
rigide .................................................................................................................................. 231
figure 7. 35 : Comparaison des résultats du modèle Météo-BEM aux mesures sur modèle
réduit avec la TDS, sur la surface convexe rigide en présence d'un écran acoustique
rigide .................................................................................................................................. 231
figure AIV. 1 : Notations pour le calcul de la fonction de Green pour un sol absorbant .276
figure AIV. 2 : Déformation dans le plan complexe du chemin L en chemin de plus grande
pente Γ ............................................................................................................................... 273
- 22 -
Liste des Tableaux
Tableau 4. 1 : Les différentes fonctions de Green intervenant dans la BEM en milieu
homogène........................................................................................................................... 137
Tableau 5. 1 : Les différentes fonctions de Green disponibles pour la BEM............... 174
Tableau AI. 1 : Equations paraboliques obtenues selon différents développements de
l'opérateur Q....................................................................................................................... 260
Tableau AIII. 1: Coefficients du développement de J1(z)/z ............................................ 266
Tableau AIII. 2: Coefficients du développement de Y1(z)/z ........................................... 267
- 7 -
A Yannick,
A Catherine,
A ma famille, et surtout mes parents qui m'ont donné la curiosité.
- 8 -
- 9 -
Remerciements
Ce travail a été réalisé au sein du Laboratoire des Sciences de l'Habitat (LASH) duDépartement Génie Civil et Bâtiment (DGCB) URA CNRS 1652. Je tiens doncnaturellement à remercier Gérard Guarracino, Directeur du LASH, Jacques Beaumont,Directeur de Recherche à l'Institut National de Recherche sur l'Environnement, lesTransports et leur Sécurité (INRETS), ancien Responsable du groupe acoustique du LASH,et Marc Fontoynont, Responsable actuel du groupe acoustique, pour la confiance qu'ilsm'ont accordée et le soutien constant qu'il m'ont apporté au cours de ces travaux, enmettant notamment à ma disposition les moyens nécessaires au bon déroulement de cettethèse. Je leur suis reconnaissant également de m'avoir ouvert les portes de la communautéscientifique en me permettant de prendre part à des conférences internationales, lieux parexcellence où l'échange et la discussion favorisent l'éclosion des idées. Je leur suisredevable aussi de m'avoir fait participer à l'activité contractuelle du laboratoire, m'offrantainsi une ouverture d'esprit plus large et une prise de conscience de l'importance de laproblématique de l'acoustique environnementale à l'heure actuelle. Je n'oublierai pas nonplus qu'au travers de ma participation à l'équipe d'enseignement, ils m'ont permis d'exercerune activité enrichissante et motivante.
Enfin une pensée toute particulière va à Annick Tekatlian, qui a guidé et accompagnémes premiers pas en acoustique à l'époque où elle était Chargée de Recherche au LASH.Grâce à Annick, mon intérêt pour cette discipline s'est fortifié au travers de mon Travail deFin d'Études et de mon Diplôme d'Études Approfondies, puis de mon service national entant que Scientifique du Contingent au Laboratoire de Mécanique et d'Acoustique deMarseille.
Un grand merci également à tous ceux qui m'ont entouré au LASH pendant ces annéesau moins aussi riches sur le plan humain que scientifique, et qui ont contribué à la créationde cette ambiance inimitable qu'offre le laboratoire. Je m'excuse ici de ne pouvoir tous lesnommer, mais je remercierai tout particulièrement Pascale Avouac-Bastie, pour son aideefficace et sa grande compétence des outils de mise en page et de présentation, etCatherine, bien sûr, pour son soutien affectif mais aussi effectif notamment pourl'acquisition des données. J'associe à ces remerciements Jérôme Defrance, Ingénieur audépartement Acoustique de l'Environnement du CSTB, et Nicolas Barrière, Ingénieur à laSNECMA. Leurs compétences m'ont été d'un précieux concours lors des campagnes demesures expérimentales.
Je tiens à remercier MM. les Professeurs Denis Duhamel, de l'Ecole Nationale des Pontset Chaussées, et Karsten Bo Rasmussen, de la Technical University of Denmark, d'avoirbien voulu accepter d'être mes rapporteurs. Je remercie aussi Michel Bérengier, Chargé deRecherche du Laboratoire Central des Ponts et Chaussées, Daniel Juvé, Professeur del'Ecole Centrale de Lyon et Directeur du Centre Acoustique, Jacques Roland, Directeur duCentre Scientifique et Technique du Bâtiment de Grenoble, et Jean-Louis Guyader,Professeur de l'Institut National des Sciences Appliquées de Lyon, Responsable de laformation doctorale Acoustique et Directeur du Laboratoire de Vibrations-Acoustique, dem'avoir fait l'honneur de participer à mon jury.
Enfin je ne saurais oublier mon directeur de thèse Yannick Gabillet, Chef de la DivisionOndes Acoustiques et Electromagnétisme du CSTB, qui nous a quittés au début de cetteannée. J'aurais beaucoup aimé qu'il puisse voir l'aboutissement du travail que nous avionsentrepris, et mon plus profond souhait serait d'avoir été à la hauteur de ses attentes. Sondépart a laissé un grand vide, autant sur le plan humain que sur le plan scientifique. Je luidédie ce travail.
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Résumé
Dans le cadre de la lutte contre le bruit, il est important aujourd'hui de mieux connaître
le comportement du champ de pression acoustique à plus grande distance, en particulier
des axes routiers et ferroviaires. Les effets météorologiques sur la propagation deviennent
alors non négligeables. Dans ce contexte, un nouveau modèle a été développé : Météo-
BEM, s'appuyant d'une part sur la méthode des éléments finis de frontière, qui permet la
prise en compte de propriétés quelconques de la géométrie et de l'absorption des frontières
du domaine de propagation, d'autre part sur des modèles récents de propagation en milieu
inhomogène. La formulation adoptée repose sur la théorie des potentiels de couche et
recourt à une fonction de Green basée sur la solution des modes normaux pour la réfraction
vers le bas, et dans le cas de la réfraction vers le haut sur la solution de la série des résidus
en zone d'ombre et le modèle géométrique en région éclairée. Cette nouvelle approche est
illustrée sur le cas de l'écran acoustique mince, rigide, sur sol réfléchissant ou absorbant,
pour diverses conditions de réfraction. Le modèle est confronté pour validation à des
résultats numériques et expérimentaux issus de la littérature, complétés par une campagne
de mesures réalisées en milieu contrôlé sur modèle réduit. L'accord obtenu entre les
résultats de calcul et la mesure, dans le cas de la réfraction vers le bas, prouve qu'il est
possible d'inclure des effets météorologiques dans une formulation aux éléments finis de
frontière.
- 12 -
Abstract
In environmental acoustics there is today a need for models to predict sound
propagation at long ranges. Meteorological effects become then important. This work
aimed to develop a model for complex atmospheric sound propagation above uneven
absorbing grounds. We have derived a new model : Meteo-BEM, based on one hand on the
boundary element method, that allows the assessment of any kind of shape and absorption
of the propagation-domain, and on the other hand on recent propagation models in
inhomogeneous media. The formulation relies on the layer potentials theory. The Green's
function used is based on the normal modes solution for downward refraction, and in the
case of upward refraction, on the residue series solution in the shadow zone and on the
geometrical model in the illuminated region. In order to illustrate this new approach, the
case of a thin rigid screen, on a reflecting and on an absorbing ground, is studied, under
various refracting conditions. The model is first compared for validation to numerical and
experimental results coming from the literature. Then measurements undertaken in
laboratory above curved surfaces are presented. The good agreement between calculated
and measured datas for downward refraction shows that meteorological effects can be
included in a boundary element method.
- 23 -
Introduction générale
En septembre 1998, près de 250 experts se sont rassemblés à Copenhague pour la
conférence de lancement de la nouvelle politique européenne en matière de bruit. Les
enquêtes européennes montrent en effet que le bruit arrive au 5ième rang des préoccupations
environnementales au niveau local, après la pollution de l'air et les problèmes de
circulation, auxquels le bruit est très souvent associé. Environ 80 millions d'habitants de
l'Union Européenne sont ainsi exposés à des niveaux de bruit inacceptables (Leq(jour)>65
dB(A)) et 170 millions subissent des niveaux provoquant une gêne incontestable. 50% de
la population de l'OCDE (soit 400 Mhab) est exposée à des niveaux sonores jugés
inconfortables et insatisfaisants (Leq(jour)>55dB(A)).
En France, un citoyen sur deux classe le bruit au premier rang des nuisances. 33% des
ménages se déclarent gênés par le bruit de la circulation qui représente la principale source
de nuisances acoustiques (INSEE IFEN, 1998) suivie de près par les bruits de
voisinage (30%). C'est dire si le problème des nuisances sonores est d'actualité. Les effets
du bruit sur l'homme sont nombreux et variés (cf [Premat et Aujard, 1998], [Marquis-Favre
et Premat, 2000], [Premat et Marquis-Favre, 2000]), aussi les autorités ont-elles cherché à
se doter d'un arsenal législatif, depuis la loi-cadre Bruit en 1992 qui constitue une sorte de
droit commun du bruit, jusqu'à la Nouvelle Réglementation Acoustique en 1996, en
passant par les décrets n°95-21 et 945-22 du 9 janvier 1995 relatifs au classement des
infrastructures de transports terrestres et à la limitation du bruit des aménagements et des
infrastructures de transports terrestres, et les arrêtés du 5 mai 1995 relatif au bruit des
infrastructures routières et du 30 mai 1996 concernant les modalités de classement des
infrastructures de transports terrestres et l'isolement acoustique des bâtiments habités dans
les secteurs affectés par le bruit. Récemment paraissait un rapport, remis au Ministre de
l'Aménagement du Territoire et de l'Environnement, sur les points noirs de bruit dus aux
transports terrestres (rapport de Claude Lamure, 16 décembre 1998), qui évalue à 200 000
Introduction
- 24 -
le nombre de logements concernés par les nuisances sonores provoquées par les
infrastructures routière et ferroviaire du seul réseau national. Ce problème de nuisances
sonores constitue donc une des préoccupations majeures du ministère de l'Aménagement
du Territoire et de l'Environnement ainsi que du ministère de l'Equipement, du Logement
et des Transports.
Dans le cadre de cette lutte contre le bruit, les exigences en termes de limitation des
niveaux sonores se sont renforcées, ce qui implique aujourd'hui de devoir améliorer la
connaissance du champ de pression acoustique à plus grande distance, en particulier des
axes routiers ou ferroviaires (typiquement quelques centaines de mètres). Dès lors viennent
se greffer des effets météorologiques qui deviennent non négligeables, entraînant des écarts
parfois supérieurs à 10 dB(A) entre la situation standard (en conditions homogènes) et la
situation réelle. La prise en compte, récente, de ces paramètres météorologiques a déjà été
ébauchée dans la norme internationale ISO 9613 qui fait intervenir un facteur de correction
météorologique pour prendre en compte l'incidence du vent et de la température. Puis en
1996, une nouvelle méthode (fondée sur les bases de la norme ISO 9613, formulations
théoriques "classiques", et de formulations issues de l'acoustique géométrique) est publiée
sous le nom de Nouvelle Méthode de Prévision du Bruit (N.M.P.B.). Cette dernière
approche permet de prendre en compte les conditions météorologiques dans la propagation
du son conformément notamment à l'arrêté du 5 mai 1995. Ainsi la NMPB permet
d'évaluer des niveaux sonores de long terme en tenant compte de la répartition énergétique
des niveaux en conditions homogènes et des niveaux en situation dite "favorable" (où les
effets météorologiques viennent renforcer l'énergie sonore). Ces formulations sont
destinées à l'ingénierie et apportent, par rapport à l'ouvrage du Guide du Bruit (édité en
1980 par le Centre d'Etudes des Transports Urbains), la possibilité de calculer de façon
globale et de manière approchée les effets météorologiques. Cependant, ces outils ne
permettent pas d'améliorer la connaissance de l'influence des paramètres météorologiques
sur la propagation acoustique. Ce travail s'insère dans ce contexte, en se proposant de
développer un nouveau modèle, complémentaire aux outils d'ingénierie : Météo-BEM,
capable de décrire les phénomènes physiques variés intervenant dans la propagation
acoustique en milieu extérieur. Ce modèle repose sur l'utilisation d'un outil puissant : la
méthode des éléments finis de frontière, qui décrit les phénomènes physiques en milieu
homogène. L'objectif du travail est alors de montrer que cet outil peut être adapté à la
modélisation de la propagation acoustique en milieu inhomogène.
Introduction
- 25 -
Dans cette étude, on se propose donc de prouver qu'il est possible d'inclure des effets
météorologiques dans une formulation aux éléments finis de frontière.
Le chapitre 1 expose brièvement la problématique générale de l'acoustique
environnementale en soulignant les principaux phénomènes physiques intervenant dans la
propagation acoustique en milieu extérieur.
Puis le chapitre 2 est dédié à une revue bibliographique approfondie sur la méthode des
éléments finis de frontière en milieu homogène. Les différentes formulations possibles sont
présentées et l'accent est mis sur la fonction de Green dont découle la résolution de
l'équation intégrale de frontière obtenue. Cette résolution est exposée dans ses grandes
lignes, chaque étape est décrite et les problèmes pouvant apparaître sont traités, en donnant
des pistes pour les surmonter. Un paragraphe s'attache particulièrement à une discussion
sur le coût numérique inhérent aux méthodes d'éléments finis de frontière ainsi qu'à la
problématique cruciale concernant la modélisation 2D ou 3D dans ces méthodes. Enfin,
dans le dernier paragraphe, on présente les grandes applications de la BEM dans le
domaine de la propagation acoustique en milieu extérieur, en vue d'offrir autant de
perspectives à ce travail en reprenant les cas étudiés et en incluant des effets
météorologiques.
Le chapitre 3 présente un examen critique approfondi sur les grands modèles de
propagation en milieu inhomogène existant à l'heure actuelle, avec leurs avantages et
inconvénients, notamment en vue de servir de fonction de Green à une approche
d'éléments finis de frontière. Chaque modèle est discuté et la possibilité de l'utiliser en tant
que fonction de Green est examinée. De plus, chacun de ces modèles, ayant été élaboré à
l'origine pour une source ponctuelle, est adapté au cas de la propagation d'une onde
cylindrique issue d'une source linéaire, cas qui nous intéresse pour la BEM 2D. Lorsqu'il
est possible de le faire, les formules pour la fonction de Green et ses dérivées successives
sont développées, aussi bien dans le cas 3D (source ponctuelle) que 2D (source linéique).
A l'issue de la discussion, après évaluation et comparaison critique entre les différents
modèles, des solutions sont retenues qui seront présentées plus précisément dans le
chapitre 5.
Le chapitre 4 découle du chapitre 2. Le modèle d'éléments finis de frontière en milieu
homogène adopté est exposé en détail. La formulation retenue est basée sur l'utilisation de
la théorie des potentiels de couche et aboutit à l'élaboration du code de calcul BEMAS2D.
En guise d'illustration, le cas académique d'un écran droit, mince, rigide est étudié
Introduction
- 26 -
successivement en milieu infini, puis au-dessus d'un sol plan rigide et enfin au-dessus d'un
sol plan absorbant.
Le chapitre 5 expose plus en détail les solutions retenues à l'issue du chapitre 3 : la
solution des modes normaux retenue dans le cas de la réfraction vers le bas (qui aboutit au
code de calcul DOWNMOD); la solution de la série des résidus en zone d'ombre et de
transition (code de calcul UPRES), complétée par la solution géométrique (code de calcul
UPGEOM) en région éclairée, adoptée pour la réfraction vers le haut. Un paragraphe
considère tout particulièrement le problème de la linéarisation des profils de vitesse du son,
puisque les modèles présentés sont développés sous l'hypothèse d'un gradient de célérité
constant. Enfin, l'analogie propagation au-dessus d'un sol plan en milieu inhomogène –
propagation au-dessus d'une surface courbe en milieu homogène fait aussi l'objet d'un
paragraphe, cette propriété étant utilisée pour construire le modèle géométrique ainsi que
pour l'approche expérimentale exposée au chapitre 7.
Dans le chapitre 6, le nouveau modèle Météo-BEM est développé, à partir des résultats
de la théorie des méthodes d'éléments finis de frontière, présentée aux chapitres 2 et 4, et
de la théorie des modèles propagatifs des chapitres 3 et 5. Un paragraphe effectue une
revue bibliographique sur le problème particulier de la propagation acoustique en milieu
inhomogène en présence d'un écran acoustique. Puis le nouveau modèle est exposé dans le
cas d'un écran mince, rigide, sur sol rigide puis absorbant, d'abord en situation de réfraction
vers le bas puis en situation de réfraction vers le haut. Les résultats de calcul de Météo-
BEM sont alors confrontés pour validation à des résultats numériques et expérimentaux
issus de la littérature, en milieu homogène et inhomogène pour les deux cas de réfraction
vers le haut et vers le bas.
Pour compléter ces résultats, une campagne de mesures sur maquettes réalisée au
C.S.T.B. est présentée au chapitre 7. Une première série de mesures, effectuée en utilisant
les sources de jet d'air comprimé et les installations automatisées de la salle des maquettes
du C.S.T.B., est décrite. Une seconde série expérimentale, recourant à la méthode Time
Delay Spectrometry (TDS) complète la première série et les résultats obtenus sont
comparés à ceux fournis par le code de calcul Météo-BEM.
Une dernière partie clôt finalement ce rapport : on conclut en résumant les principaux
résultats de ce travail, et en soulignant les perspectives offertes par cette nouvelle
approche.
- 27 -
Chapitre 1
La problématique de l'acoustique environnementale
Le second [principe est] de diviser chacune desdifficultés que j'examinerais en autant de parcellesqu'il se pourrait et qu'il serait requis pour lesmieux résoudre.
René Descartes
Discours de la méthode, deuxième partie.
1.1 Les principaux phénomènes intervenant dans la propagation
acoustique en milieu extérieur
L'étude de la propagation sonore en milieu extérieur a été très largement abordée au
cours des dernières décades et a fait l'objet de nombreux travaux de recherche. On peut en
trouver une bonne synthèse dans les articles de référence de Delany [Delany, 1977], Piercy
[Piercy, et al., 1977], Embleton [Embleton, 1996] ou encore Attenborough [Attenborough,
1988]. Dans ce chapitre, on se propose de résumer brièvement les phénomènes physiques
intervenant dans l'acoustique environnementale, en soulignant les principaux paramètres
régissant le problème complexe de la propagation acoustique en milieu extérieur.
Le premier phénomène intervenant dans la propagation acoustique est dû à la dispersion
géométrique des ondes acoustiques dans l'espace : on parle alors de divergence
géométrique. Ceci signifie que pour une source ponctuelle, les niveaux de pression
décroissent de 6 dB par doublement de la distance, tandis que le taux de diminution est de
3 dB par doublement lorsque la source est linéique.
L'absorption des matériaux est également un paramètre important. Les matériaux
situés sur les surfaces qui bornent le domaine de propagation ont pour effet d'absorber une
partie de l'énergie incidente. On peut ainsi mettre en évidence les effets de l'impédance du
Chapitre 1 : La problématique de l'acoustique environnementale
- 28 -
sol : des différences jusqu'à une dizaine de dB peuvent apparaître entre une configuration
où le sol est très absorbant et une configuration de sol plus rigide. La figure 1. 1 illustre ce
phénomène. Ainsi l'on peut remarquer par exemple autour de 300 Hz un écart d'environ 15
dB entre les niveaux relatifs de pression au-dessus d'un sol recouvert de neige fraîche
(paramètre σeff = 10 cgs) et au-dessus d'une surface en béton ou en bitume vieilli (σeff =
32000 cgs), dans la configuration présentée. En outre, lorsque interviennent des
changements brutaux des propriétés d'absorption des surfaces, la discontinuité
d'impédance a pour effet de créer un champ diffracté (cf [Premat, 1994]) qui vient
modifier la structure du champ acoustique. Un exemple de diffraction par une discontinuité
d'impédance est donné par la figure 1. 2, qui montre la différence induite par ce
phénomène, par rapport aux résultats que l'on obtiendrait pour un sol homogène. On
constate qu'entre 2000 et 3000 Hz, l'atténuation par rapport au champ libre au-dessus d'un
sol inhomogène est supérieure d'environ 20 dB à l'atténuation au-dessus d'un sol homogène
parfaitement réfléchissant, mais inférieure d'environ 10 dB à l'atténuation au-dessus d'un
sol homogène parfaitement absorbant.
figure 1. 1 : Effet de l'absorption des matériaux. Niveau de pression relatif au champ libre en fonction de lafréquence et du paramètre σeff de résistance effective au passage de l'air, d'après [Embleton, et al., 1983]. Lasource et le récepteur sont respectivement à une hauteur zS = 0.31 m et zR = 1.22 m. La distance de propagationsource-récepteur est d(S,R) = 15.2 m. σ varie de 10 cgs (correspondant à l'absorption de neige fraichementtombée) à 32000 cgs (correspondant au cas du béton ou du bitume vieilli).
Chapitre 1 : La problématique de l'acoustique environnementale
- 29 -
figure 1. 2 : Effet de la discontinuité d'impédance. Niveau de pression relatif au champ libre au-dessus d'unsol plan présentant une discontinuité d'impédance. La courbe (Z1,Z2) réels donne le résultat du calcul par unmodèle adapté de la théorie des dièdres [Premat, 1994], les résultats expérimentaux proviennent de [Bérengier, etal., 1989]. Les impédances Z1 et Z2 sont calculées à partir des résistances au passage de l'air σ1 = 100000 cgs etσ2 = 50 cgs. Les courbes Z2 = 0 et Z1 = inf montrent les résultats du calcul pour un sol homogène respectivementd'impédance nulle et infinie. La source et le récepteur sont à une hauteur zS = 0.4 m et zR = 0.2 m. La source est àla distance dS = 1.70 m de la ligne de discontinuité d'impédance et la distance totale de propagation source-récepteur est d(S,R) = 2.4 m.
Le relief (ou encore la topographie au sens large) influence de façon prépondérante la
propagation de l'onde sonore. Le phénomène physique qui intervient est la diffraction par
les obstacles. Lorsqu'une onde incidente rencontre ainsi un obstacle, celui-ci agit alors
comme un ensemble de sources secondaires qui ont pour effet de diffuser l'énergie sonore
autour de l'obstacle. Le relief a pour conséquence d'engendrer une diminution des niveaux
de pression rencontrés dans la zone d'ombre géométrique, sans toutefois que le niveau ne
soit nul. C'est ainsi que l'on peut enregistrer jusqu'à une dizaine de dB de différence entre
une situation de champ libre où le son se propage directement entre une source et un
récepteur et la même configuration pour laquelle un écran acoustique a été implanté. Dans
le cas d'une butte, la figure 1. 3 montre que l'écart entre la situation avec et sans butte peut
même être beaucoup plus important, jusqu'à plusieurs dizaines de dB derrière la butte.
Chapitre 1 : La problématique de l'acoustique environnementale
- 30 -
figure 1. 3 : Effet du relief. Perte par transmission au-dessus d'une butte de 30 m, d'après [Di et Gilbert,1994]. La fréquence est 500 Hz, l'impédance normalisée du sol vaut (7.2, 8.2) et les hauteurs de la source etdu récepteur sont respectivement zS = 5 m et zR = 0.5 m. La ligne continue épaisse représente la perte partransmission moyenne calculée avec le modèle GF-PE pour 50 réalisations ; les traits pointillés montrentl'écart type et la ligne continue fine donne le résultat du calcul sans turbulence.
L'absorption atmosphérique est aussi un facteur influençant de façon notable la
propagation du son. Ce terme englobe en fait les effets de viscosité du fluide ainsi que les
échanges d'énergie entre les molécules et la diffusion thermique. En première
approximation, l'absorption atmosphérique est proportionnelle à la distance parcourue et à
un coefficient dépendant de la fréquence, de la température et de l'humidité de l'air (voir la
figure 1. 4). Dans le cadre de cette étude, ce phénomène d'absorption atmosphérique ne
sera pas pris en compte. Lorsque les distances de propagation ne sont que de quelques
centaines de mètres et les fréquences comprises entre une dizaine et quelques centaines de
Hertz, ce phénomène peut en effet être négligé. En outre, les résultats seront exprimés
souvent en termes d'atténuation relative au champ libre ou de perte par insertion. Dans ce
cas, l'absorption atmosphérique est négligeable. Notons cependant qu'il serait facile de
l'intégrer en utilisant par exemple le modèle de Kneser et Knudsen [Piercy, et al., 1977].
Chapitre 1 : La problématique de l'acoustique environnementale
- 31 -
figure 1. 4 : Effet de l'absorption atmosphérique. Coefficient d'absorption du son par unité d'atmosphère, enunités SI, pour l'air à 20°C, en fonction du rapport fréquence/pression et du paramètre humidité/pression, c'est-à-dire la perte d'énergie sonore en fonction de la fréquence pour de l'air à une pression atmosphérique de 1 atm(extrait de [Bass, et al., 1995]).
En ce qui concerne les paramètres purement météorologiques, les gradients de
température jouent un rôle non négligeable dans la propagation acoustique. En effet, la
vitesse du son est approximativement proportionnelle à la racine carrée de la température
absolue. Par conséquent, dans le cas d'un gradient positif de température, la trajectoire des
rayons est incurvée vers le bas (cf figure 1. 5) tandis qu'un gradient négatif a pour effet de
courber cette trajectoire vers le haut (figure 1. 6).
figure 1. 5 : Trajectoire des rayons acoustiques pour la réfraction vers le bas en présence d'un gradientpositif de vitesse du son.
Chapitre 1 : La problématique de l'acoustique environnementale
- 32 -
figure 1. 6 : Trajectoire des rayons acoustiques pour la réfraction vers le haut en présence d'un gradientnégatif de vitesse du son. La zone grisée représente la zone d'ombre.
En règle générale, on observe un gradient de température négatif durant une journée
ensoleillée d'été, les couches de l'atmosphère proches du sol étant réchauffées par le soleil,
et l'on assiste alors au phénomène de réfraction vers le haut. La nuit, les profils de
température s'inversent très souvent, le sol étant plus froid que l'air en altitude et c'est le
phénomène de réfraction vers le bas qui se produit. Cette allure générale des profils de
température est bien sûr fonction de la saison et de la couverture nuageuse : pour un ciel
dégagé en été, les températures augmentent plus rapidement au sol et les gradients sont
plus forts tandis qu'en hiver une couverture nuageuse identique conduit à un
refroidissement. Si le ciel est couvert, en été la température reste modérée et plus uniforme.
En hiver, la couche nuageuse permet de conserver une chaleur relative au niveau du sol et
les gradients sont alors quasi nuls. En guise d'illustration, la figure 1. 7 présente deux
profils typiques de température en été, l'après-midi et le soir. La figure 1. 8 montre quant à
elle, les effets d'une inversion de température comme celle survenant la nuit dans la figure
1. 7, sur les niveaux de pression relatifs aux niveaux de pression prenant en compte
divergence géométrique et absorption atmosphérique, calculés à une distance de 4 km de la
source pour une situation de propagation au-dessus d'un sol herbeux. Dans le cas d'une
inversion forte de température (3,6°C/100m), on peut constater ainsi qu'aux environs de
300-400 Hz un écart de 10 dB apparaît entre les résultats pour la situation de réfraction
vers le bas et ceux en conditions neutres.
Chapitre 1 : La problématique de l'acoustique environnementale
- 33 -
figure 1. 7 : Profils de température typiques en été et à différentes heures de la journée (tiré de [Piercy, et
al., 1977]).
figure 1. 8 : Effet d'une inversion typique de température, faible, modérée puis forte, sur les niveaux depression relatifs au champ libre calculés à 4 km de la source, pour une situation de propagation au-dessus d'unsol herbeux (extrait de [Embleton, et al., 1976]).
Les gradients de vent ont eux aussi une influence sur la propagation du son. Le vent
portant provoque en effet une courbure des rayons vers le sol, donc le niveau de pression
acoustique augmente surtout aux faibles altitudes. Le vent contraire engendre, quant à lui,
une courbure des rayons vers le ciel, d'où une diminution du niveau près du sol avec
création d'une zone d'ombre acoustique (voir le schéma de la figure 1. 9).
Chapitre 1 : La problématique de l'acoustique environnementale
- 34 -
figure 1. 9 : Trajectoire des rayons acoustiques pour la réfraction en présence d'un gradient de vitesse duvent. La zone grisée représente la zone d'ombre.
Du fait de sa grande instabilité au cours du temps et de sa dépendance vis-à-vis de la
nature du sol et de la végétation, il est difficile de décrire le profil de vitesse du vent.
Cependant, de manière générale, la vitesse du vent est plus importante au milieu de la
journée que la nuit, et à partir d'une certaine hauteur elle reste la même quelle que soit
l'heure du jour. Les gradients sont donc plus importants la nuit que le jour, sauf très près du
sol. La figure 1. 10 montre quelques profils typiques de vitesse du vent en fonction de
l'altitude et de l'heure du jour. La figure 1. 11 illustre l'effet du vent sur la propagation. On
peut ainsi observer qu'à une distance de 615 m et pour un vent de 5 m/s dans la direction de
propagation, l'atténuation par rapport au champ libre mesurée est supérieure, entre 400 et
800 Hz, de 10 dB à l'atténuation en conditions homogènes, cette dernière étant elle-même
supérieure d'environ 3 dB par rapport à la situation en vent contraire (vitesse du vent –5
m/s).
figure 1. 10 : Profils du vent en fonction de l'heure du jour (d'après [Geiger, 1966]).
Chapitre 1 : La problématique de l'acoustique environnementale
- 35 -
figure 1. 11 : Effet du vent. Atténuation mesurée du bruit d'un avion au sol à 110 m et 615 m sous différentesconditions météorologiques. L'absorption atmosphérique et la divergence géométrique ont été soustraites desrésultats. Les nombres sur les courbes indiquent la composante du vecteur vitesse du vent dans la direction depropagation en m/s. Toutes les courbes sont données pour des conditions neutres de température sauf la courbe L(lapse) en réfraction vers le haut [Parkin et Scholes, 1965].
La turbulence est un phénomène indissociable des deux paramètres précédents. Elle a
pour effet de diffuser les ondes acoustiques dans l'espace et engendre des fluctuations du
niveau acoustique. On distingue en fait deux types de turbulence. La turbulence thermique,
tout d'abord, est créée par les différences de température aux différentes altitudes. Les
variations de masse volumique engendrent des phénomènes de convection de l'air appelées
ascendances thermiques. Les échelles caractéristiques de cette turbulence sont une
longueur de l'ordre de 200 à 1500 mètres et une durée de 30 secondes à 15 minutes. Le
second type de turbulence est désigné sous le terme de turbulence cinématique. Cette
turbulence est due aux perturbations causées par la rugosité du terrain sur le vent. Les
différences de vitesse entre deux couches horizontales induisent en effet des contraintes de
cisaillement qui engendrent des mouvements perpendiculaires à la direction du vent. Des
tourbillons sont ainsi formés qui perturbent sensiblement les écoulements d'air près du sol.
Les échelles caractéristiques de la turbulence cinématique sont une longueur de l'ordre du
mètre à 1 mètre d'altitude et une durée de l'ordre de la seconde. La turbulence est donc un
phénomène complexe étroitement lié au vent et à la température. La figure 1. 12 montre un
résultat de mesure de la vitesse du vent et de la température en fonction du temps. La
figure 1. 13 illustre quant à elle l'effet de la turbulence dans une situation de réfraction vers
le haut : à partir d'une distance de la source d'environ 150 m, le niveau relatif de pression
se stabilise entre -20 et -30 dB dans la zone d'ombre due à la réfraction, alors que dans une
Chapitre 1 : La problématique de l'acoustique environnementale
- 36 -
situation où la turbulence ne serait pas prise en compte, les niveaux de pression
continueraient à décroître en fonction de la distance.
figure 1. 12 : Vitesse du vent et température en fonction du temps (tirée de [Daigle, et al., 1978]).
figure 1. 13 : Effet de la turbulence. Calcul par le modèle GF-PE pour un signal à 500 Hz en condition deréfraction vers le haut. La source est à zS = 0.3 m au-dessus du sol, de résistance au passage de l'air σ = 200cgs/cm. Le récepteur est posé sur le sol zR = 0 m (extrait de [Stinson, et al., 1996]).
Chapitre 1 : La problématique de l'acoustique environnementale
- 37 -
1.2 Conclusion
Ce chapitre était dédié à la présentation des principaux phénomènes physiques
intervenant dans la propagation acoustique en milieu extérieur, récapitulés par la figure 1.
14. Ces phénomènes venant se superposer et interagissant entre eux, on comprend aisément
combien complexe est le problème. C'est pourquoi la plupart des travaux réalisés ont
cherché, autant que faire se peut, à les découpler et les étudier séparément. On connaît
mieux, aujourd'hui, chaque phénomène de façon indépendante, mais l'interaction entre
différents phénomènes reste de manière générale encore peu ou mal connue.
Ainsi un grand nombre d'études (modèles empiriques ou semi-empiriques, approches
intégrales, modèles issus de la théorie géométrique, modèles d'éléments finis de frontière)
ont porté sur la propagation sonore en milieu homogène en cherchant à prendre en compte
principalement les phénomènes de divergence géométrique, d'absorption des matériaux, les
effets du relief ainsi que l'absorption atmosphérique. Parmi les modèles cités, la méthode
des éléments finis de frontière offre l'avantage de permettre la prise en compte de n'importe
quelle forme et propriété d'absorption des frontières du domaine de propagation. Cette
approche permet en particulier de modéliser les terrains accidentés, les obstacles comme
les écrans ou les buttes, les discontinuités d'impédance.
Le principal inconvénient des modèles cités ci-dessus, valables en atmosphère
homogène, réside bien sûr dans le fait qu'ils ne peuvent être appliqués directement de façon
réaliste à un environnement extérieur non neutre où apparaissent les phénomènes de
réfraction et de turbulence dus aux paramètres de température et de vent. C'est pourquoi un
certain nombre d'auteurs se sont penchés sur ce problème, aboutissant au développement
de nouveaux modèles propagatifs en milieu inhomogène (méthodes de rayons, Equation
Parabolique, Fast Field Program, solution des modes normaux, solution de la série des
résidus). La contrepartie de ces modèles est en revanche que la prise en compte de
conditions complexes aux frontières du domaine de propagation (topographies accidentées,
obstacles...) demeure délicate et très limitée. L'idée de ce travail est alors apparue de façon
naturelle : il s'agit de montrer que l'on peut utiliser la puissance des méthodes d'éléments
finis de frontière, "classiques" en milieu homogène, et inclure dans ces formulations des
effets météorologiques en s'appuyant sur les modèles récents de propagation acoustique en
Chapitre 1 : La problématique de l'acoustique environnementale
- 38 -
milieu inhomogène. Il importe de souligner que par la suite, seuls les effets de la réfraction
seront considérés, le phénomène complexe de la turbulence n'étant pas pris en compte,
dans une première approche, par souci de simplification, tout en ne négligeant pas la
possibilité d'inclure ultérieurement ce dernier phénomène. De même, rappelons qu'on ne
tiendra pas non plus compte de l'absorption atmosphérique dans ce travail, ce phénomène
pouvant aisément être décrit à l'aide d'une formulation classique.
figure 1. 14 : Les principaux phénomènes physiques intervenant dans la propagation acoustique en milieuextérieur.
- 39 -
Chapitre 2
La méthode des éléments finis de frontière en milieu
homogène
2.1 Introduction
La méthode des éléments finis de frontière connue sous l'acronyme anglo-saxon
B.E.M. : Boundary Element Method, est une technique numérique développée depuis le
début des années soixante et fondée sur la théorie plus ancienne des équations intégrales de
frontière désignée par B.I.E. pour Boundary Integral Equation. Cette théorie remonte aux
débuts du XIXème siècle avec entre autres les travaux de Poisson (1820), Betti (1872),
Kirchhoff (1882), Fredholm (1896), Kellog (1929), Kupradze (1935)... Ce n'est ensuite
qu'autour de 1960, que Jaswon, Hess, Symm, Shaw, Rizzo, Cruse et d'autres vont
développer la méthode des éléments finis de frontière, l'appellation B.E.M. n'apparaissant
pour la première fois dans la littérature qu'en 1977. Cette méthode a fait depuis l'objet de
nombreuses publications et représente toujours un secteur de recherche important,
notamment grâce à la puissance croissante des calculateurs à disposition. On pourra se
reporter pour plus de précisions aux ouvrages de référence, entre autres, de Ciskowski et
Brebbia [Ciskowski et Brebbia, 1991], de Do Rêgo Silva [Rêgo Silva, 1994]] ou encore de
Bonnet [Bonnet, 1995].
Il importe de souligner que cette méthode s'est posée en alternative à l'autre grande
méthode numérique : la méthode des éléments finis communément désignée par son
acronyme anglais F.E.M., Finite Element Method, en particulier lorsque le domaine de
propagation devient infini. En effet, la méthode d'éléments finis de frontière apparaît plus
appropriée en espace infini que la méthode des éléments finis puisque seule la surface de la
Chapitre 2 : La méthode des éléments finis de frontière en milieu homogène
- 40 -
frontière du domaine doit être discrétisée. Contrairement à cette dernière méthode, on n'a
pas besoin de mailler tout le domaine de propagation et les éléments finis de frontière
permettent de réduire la dimension du problème de un, le champ acoustique en tout point
de l'espace étant dû au rayonnement de ses frontières. En outre la condition de Sommerfeld
de rayonnement à l'infini est satisfaite automatiquement dans les méthodes d'éléments finis
de frontière via le noyau des formulations intégrales qui répond exactement aux conditions
aux limites pour des domaines infinis, contrairement aux méthodes d'éléments finis. La
B.E.M. apparaît ainsi plus appropriée au traitement des problèmes de propagation en
espaces infinis bien que certaines approches, comme la méthode des éléments infinis
[Cremers et Fyfe, 1995] aient été développées pour adapter la F.E.M. à ces domaines
infinis.
Dans ce chapitre, quelques points essentiels sur la méthode des éléments finis de
frontière seront d'abord rappelés. Les deux grandes formulations -directe et indirecte-
seront présentées, ainsi que la variante de la formulation variationnelle. Un accent
particulier sera mis sur le rôle essentiel joué par la fonction de Green de cette formulation,
fonction qui sera la pierre angulaire de l'introduction des effets météorologiques dans ces
méthodes d'éléments finis de frontière. Puis les avantages et inconvénients des B.E.M.
seront soulignés ainsi que les solutions existant pour surmonter les problèmes inhérents à
ces méthodes. Les grandes étapes de la résolution numérique seront rappelées. Quelques
applications seront présentées, qui offrent autant de perspectives à ce travail puisque les
phénomènes physiques décrits ne prennent pas en compte l'interaction avec les effets
météorologiques et que par conséquent le champ d'investigation reste ouvert quant à
l'influence d'un milieu de propagation inhomogène sur les cas étudiés, notamment dans le
domaine de la propagation sonore en milieu extérieur.
Chapitre 2 : La méthode des éléments finis de frontière en milieu homogène
- 41 -
2.2 La formulation directe
La première et sans doute la plus utilisée des deux grandes familles de méthodes
d'éléments finis de frontière est la formulation directe. Elle repose sur l'utilisation de
l'équation intégrale de Helmholtz, dans laquelle les fonctions inconnues sont la pression et
la vitesse acoustiques. Rappelons succinctement les grandes lignes de l'établissement de
cette formulation intégrale directe. Le champ de pression acoustique vérifie l'équation de
Helmholtz :
M ,)M(fp(M)2kû ∈∀=
+ eq. 2- 1
où f (M) représente la distribution des sources, k le nombre d'onde, Ω l'espace entourant un
volume D de surface σ dont la normale est orientée vers l'extérieur (cf figure 2. 1).
La fonction de Green pour une source ponctuelle en espace infini vérifie :
M,)(M/M)G(S,2kû S ∈∀=
+ où δ est la mesure de Dirac eq. 2- 2
et la condition de Sommerfeld de rayonnement à l'infini sous la forme de l'une ou l'autre
des deux relations suivantes (cf [Filippi, 1994]) :
( )( )
=−∂
=−
∞→
−
∞→n)/2(1
rr
n)/2(1
r
roikG)G(lim
rOGlimeq. 2- 3
où r est la distance du point à l'origine et n est la dimension de l'espace. Remarquons
que l'on peut remplacer la condition eq. 2- 3 par l'une ou l'autre des deux conditions
équivalentes données par le principe d'amplitude limite ou le principe d'absorption limite
[Filippi, 1977].
Chapitre 2 : La méthode des éléments finis de frontière en milieu homogène
- 42 -
figure 2. 1 : Schéma général pour l'établissement de la représentation de Green.
En multipliant l'équation eq. 2- 1 par G(S,M) et l'équation eq. 2- 2 par p(M), puis en
retranchant l'une de l'autre, on obtient :
M M),G(S,p(M)p(M)M)G(S,(M)p(M)/-M)f(M)G(S, S ∈∀∆−∆= eq. 2- 4
En intégrant alors cette équation sur un volume V englobant le volume D et la source S,
il s'ensuit :
[ ]dVM)G(S,p(M)p(M)M)G(S,dV (M)p(M)/-dV M)f(M)G(S,VV SV ∫∫∫ ∆−∆= eq. 2- 5
La première intégrale dans l'expression ci-dessus représente le champ incident c'est-à-
dire le champ rayonné si l'ensemble de sources f(M) était seul en milieu infini. La
deuxième intégrale est le champ de pression en un point M de l'espace pour une source
ponctuelle S (ce facteur serait nul si la source S n'était pas située dans le volume V). Le
membre de droite peut être transformé en une intégrale de surface en appliquant le
théorème de Green. Lorsque l'on fait tendre le volume V vers l'infini, en utilisant la
condition de Sommerfeld eq. 2- 3, on aboutit à une intégrale sur la surface σ du domaine
D. On obtient alors :
M dS,M)(S,n
Gp(M)(M)
n
pM)G(S,(M)pp(M)
1
SS0 ∈
∂∂−
∂∂−= ∫ eq. 2- 6
Cette formule est valable rigoureusement en tout point M de l'espace Ω non situé sur la
frontière σ du domaine D. Elle peut être généralisée de la manière suivante ([Ciskowski et
Brebbia, 1991]) :
Chapitre 2 : La méthode des éléments finis de frontière en milieu homogène
- 43 -
M dS,(M)n
pM)G(S,-M)(S,
n
Gp(M)(M)pc(M)p(M)
1
SS0 ∈
∂∂
∂∂+= ∫ eq. 2- 7
avec le coefficient c fonction de la position du récepteur :
c(M) = 1 pour M dans le milieu de propagation Ω privé de ses frontières.
c(M) = 1/2 pour M sur une surface plane (plan tangent continu).
c(M) = 1-θ/4π pour M en un point anguleux i.e. en un point où il existe deux plans
tangents. θ est l'angle solide sous lequel on voit la surface depuis le point M dans ℜ3. Dans
ℜ2, c(M)= 1-θ/2π où θ se réduit à l'angle géométrique en 2D.
Notons que l'on peut également écrire le coefficient c(M) sous la forme :
dS)r
1(
n4
11c(M)
1∫ ∂
∂−= eq. 2- 8
Dans le cas où le point M est situé sur la surface, du fait de la singularité de la fonction
de Green, l'intégrale de surface est à considérer au sens de sa valeur principale de Cauchy
(voir [Bonnet, 1995] par exemple).
La formulation eq. 2- 7 est appelée communément équation intégrale de Helmholtz ou
de Helmholtz-Kirchhoff, ou encore représentation de Green du problème extérieur.
Ajoutons que l'on peut aboutir à ce résultat en utilisant une formulation de type résidus
pondérés (cf [Ciskowski et Brebbia, 1991]).
A la formule eq. 2- 7 valable pour le problème extérieur (dans l'espace Ω) correspond
l'expression suivante pour le problème intérieur, avec les mêmes notations, p0 représentant
cette fois le champ incident dans le volume intérieur D :
DM dS,(M)n
pM)G(S,-M)(S,
n
Gp(M)(M)pc(M)p(M)
1
SS0 ∈
∂∂
∂∂−= ∫ eq. 2- 9
Les équations intégrales de surface obtenues à partir des équations eq. 2- 7 et eq. 2- 9 en
faisant tendre un point M de l'espace vers la surface-frontière sont du type de Fredholm de
seconde espèce et font intervenir la pression acoustique et la vitesse normale sur la surface
ainsi que la fonction de Green régissant la propagation dans le milieu considéré. Les
inconnues intermédiaires à déterminer, avant de pouvoir calculer en tout point de l'espace
le champ acoustique via les formules intégrales eq. 2- 7 ou eq. 2- 9, sont donc la pression
et la vitesse normale sur la surface.
Chapitre 2 : La méthode des éléments finis de frontière en milieu homogène
- 44 -
2.3 La formulation indirecte
La formulation indirecte est basée, elle, sur une forme intégrale du principe de Huygens
qui stipule que le champ acoustique diffusé par une surface-frontière peut être représenté
par une distribution de monopôles et de dipôles. Cette représentation recourt à l'utilisation
de potentiels de couches qui découlent de la théorie des potentiels en électro-magnétisme
[Kupradze, 1965]. Filipi montre en effet [Filippi, 1977] que la solution de n'importe quel
problème aux valeurs limites de l'équation scalaire de Helmholtz peut s'écrire sous la forme
d'un potentiel de couche, qu'il soit de simple couche, de double couche ou encore la
combinaison linéaire d'une simple et d'une double couche.
Ainsi l'on peut toujours écrire, avec α et β coefficients complexes :
)M(p)M(p)M(p)M(p ds0 β+α+= eq. 2- 10
où les potentiels de simple et double couche ps et pd sont :
( ) ( ) ( ) ( )∫σΓν= PdM,PGPMps eq. 2- 11
( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫σΓ∂µ−= PdM,PGPMp Pnd eq. 2- 12
Le potentiel de simple couche est dû à une couche de sources monopôlaires et
représente le saut de vitesse normale à la traversée de la surface tandis que le potentiel de
double couche, dû quant à lui à une couche de sources dipôlaires, représente le saut de
pression entre le côté intérieur et extérieur de la frontière.
En s'appuyant sur la théorie des distributions, on peut trouver le comportement des
potentiels de simple et double couche à la traversée de la surface σ [Filippi, 1983]. Le
potentiel de simple couche est continu à la traversée de la surface σ tandis que le potentiel
de double couche subit une discontinuité égale à la densité de la couche.
On a ainsi :
( ) ( )Mplim Mplim s1DM
s1M −→∈+→Ω∈
= eq. 2- 13
( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫ ∂−=+→Ω∈ 1
Pnd1M
Pd+PM,GP2
0Mplim eq. 2- 14
( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫ ∂−−=−→Ω∈ 1
Pnd1M
Pd+PM,GP2
0Mplim eq. 2- 15
Chapitre 2 : La méthode des éléments finis de frontière en milieu homogène
- 45 -
Le signe +, respectivement -, indique que le point M tend vers un point Q de la surface
σ du même côté que la normale, respectivement du côté opposé.
De même, la dérivée normale du potentiel de simple couche subit une discontinuité
égale à la densité de la couche, contrairement à la dérivée normale du potentiel de double
couche qui est continue :
( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫ ∂++=∂+→Ω∈ 1
Mnsn1M
Pd+PM,GP2
0Mplim eq. 2- 16
( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫ ∂+−=∂−→Ω∈ 1
Mnsn1M
Pd+PM,GP2
0Mplim eq. 2- 17
( ) ( )Mplim Mplim dn1DM
dn1M
∂=∂−→∈+→Ω∈
eq. 2- 18
Il est important de mentionner que la dérivée normale du potentiel de double couche fait
intervenir une intégrale non convergente au sens classique [Filippi, 1977], mais qu'elle doit
être comprise au sens de la partie finie de Hadamard [Hadamard, 1923] :
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )∫
∫∂∂−=
∂∂−=∂
→
→
1Pnn(Q)
MQ
1Pnn(M)dn(Q)
MQ
Pd+PQ,GPlim
Pd+PM,GPPFQplimeq. 2- 19
Dans le cas où σ est une surface (ou une courbe fermée), on peut obtenir en 2D une
expression à l'aide d'intégrales convergentes [Filippi, 1994], (la démarche à suivre est la
même en 3D) :
( ) ( ) ( )[ ] ( )( ) ( ) ( )[ ] ( )∫
∫−∂∂+
−∂∂=∂→
1Pnn(M),
1Pnn(M)dn(Q)
MQ
Pd+P)(M,G~
PM,GP
Pd+03PM,G~
Qplimeq. 2- 20
avec2
P)r(M,lnP)(M,G
~ = eq. 2- 21
La première intégrale s'exprime par une valeur principale de Cauchy. En 3D, l'équation
eq. 2- 20 reste valable avec :
P)r(M,4
1P)(M,G
~
π−= eq. 2- 22
Ecrivons la forme générale de l'équation intégrale pour le problème extérieur en
utilisant la combinaison linéaire de potentiels de couche (eq. 2- 10), dans le cas d'une
condition aux limites mixte de Robin où a et b sont deux coefficients réels, du type :
1M 0,bTrp(M)p(M)Tr a n ∈∀=+∂ eq. 2- 23
Chapitre 2 : La méthode des éléments finis de frontière en milieu homogène
- 46 -
La notation Trp(M) signifie la trace de p en M sur la frontière c'est-à-dire la limite de la
pression acoustique lorsque le point M de l'espace tend vers la frontière σ.
En suivant les règles qui régissent le comportement des potentiels de couche lorsqu'un
point M de l'espace tend vers la surface-frontière, on a, de manière générale :
σ∈∀=
Γ∂µ−µβ−
Γ∂∂µβΓνα+
Γ∂ν+να++∂
∫∫ ∫
∫
σ
σ σ
σ
M ,0)P(d)P,M(G)P(2
)M(b
)P(d)P,M(G(P)a-(P)P)d(M,G(P)b
)P(d)P,M(G)P(2
)M(a(M)bp(M)p a
)P(n
)P(nn(M)
)M(n00n(M)
eq. 2- 24
On retrouve les cas particuliers des conditions de Neumann et Dirichlet en prenant
respectivement (a, b)=(1,0) et (a,b)=(0,1) dans la formule ci-dessus (eq. 2- 24).
L'équation intégrale eq. 2- 24 obtenue en écrivant la pression acoustique sous la forme
eq. 2- 10 et en lui imposant de satisfaire aux conditions aux limites sur la surface eq. 2- 23
fait donc intervenir deux fonctions inconnues : les densités ν et µ des potentiels de simple
et double couche. Ces inconnues intermédiaires doivent alors être déterminées en résolvant
l'équation intégrale obtenue avant de pouvoir calculer le champ acoustique en tout point de
l'espace via la formulation de départ eq. 2- 10, d'où l'appellation de formulation indirecte.
De même que pour la formulation directe, on peut aussi écrire la solution du problème
intérieur en utilisant également une représentation de la pression acoustique sous la forme
d'une combinaison linéaire de potentiels de couche.
Cette approche repose sur des fondements physiques contrairement à la formulation
directe qui découle d'une expression mathématique. Cependant, l'équivalence entre les
deux méthodes a été montrée par plusieurs auteurs (voir [Brebbia et Butterfield, 1978]).
Notons pour finir que dans le cas de conditions aux limites simples de type Dirichlet ou
Neumann, la formulation indirecte offre l'avantage sur la formulation directe de pouvoir
représenter le champ acoustique avec uniquement un potentiel de simple ou de double
couche. En outre, cette approche permet également de prendre en compte la diffraction par
des objets infiniment minces (voir [Filippi, 1994]). C'est ainsi que cette formulation sera la
base de la modélisation d'un écran mince adoptée dans le chapitre 3.
Chapitre 2 : La méthode des éléments finis de frontière en milieu homogène
- 47 -
2.4 La formulation variationnelle
Cette formulation n'est pas en fait une approche alternative aux deux grandes
formulations directe et indirecte présentées ci-dessus, mais plutôt une méthode de
résolution du problème s'appuyant sur une description directe ou indirecte au départ.
Permettant de surmonter les problèmes de singularité des intégrales et de matrices non
symétriques (voir le paragraphe 2.6) au prix d'un ordre d'intégration plus élevé, elle mérite
en soi d'être également présentée à ce stade. On pourra consulter l'ouvrage de Bonnet, par
exemple, pour plus de précisions [Bonnet, 1995].
La formulation variationnelle se construit en fait en multipliant l'équation intégrale de
Helmholtz ou l'équation intégrale indirecte en potentiels de couche, par une fonction test
admissible et en intégrant le résultat sur la surface de la structure étudiée. On construit
alors une fonctionnelle et l'on trouve la solution du problème en exprimant qu'elle rend
stationnaire cette fonctionnelle. Cette approche a été utilisée par plusieurs auteurs,
s'appuyant soit sur une formulation directe comme Seznec [Seznec, 1980], soit sur une
formulation indirecte comme Hamdi [Hamdi, 1982].
Chapitre 2 : La méthode des éléments finis de frontière en milieu homogène
- 48 -
2.5 La fonction de Green, clef de voûte de la méthode d'éléments finis de
frontière
Dans tous les cas, les deux formulations, directe et indirecte, reposent sur une fonction
puissante : la fonction de Green du problème. Rappelons quelques notions essentielles sur
la fonction de Green en invitant le lecteur à se reporter pour plus de précisions à l'ouvrage
de Filippi par exemple [Filippi, 1994].
On appelle tout d'abord solution élémentaire de l'équation de Helmholtz toute solution
de :
/%2kû =
+ eq. 2- 25
De même, on appelle noyau élémentaire de l'équation de Helmholtz toute solution de :
S/%2kû =
+ eq. 2- 26
Et l'on appelle fonction de Green de l'équation de Helmholtz pour l'espace indéfini, la
solution G(S,M) de eq. 2- 26 qui vérifie la condition de Sommerfeld (eq. 2- 3).
Avec une dépendance temporelle en exp(-iωt), on montre que l'on a, pour la fonction de
Green G(S,M) en espace indéfini :
ℜ= dans2ik
M))exp(ikr(S,M)G(S, eq. 2- 27
20 dansM)(kr(S,H
4
iM)G(S, ℜ−= eq. 2- 28
3 dansM)r(S,4
M))exp(ikr(S,M)G(S, ℜ
π−= eq. 2- 29
Ici H0 est la fonction de Hankel d'ordre zéro et de première espèce.
Soulignons que la fonction de Green satisfaisant à l'équation eq. 2- 26 et la condition de
Sommerfeld eq. 2- 3 est unique. De plus, la fonction de Green est symétrique, ce qui
traduit le principe physique de réciprocité, et présente une singularité lorsque le point
récepteur M est confondu avec la source S :
2 dans 0,M)r(S,lorsque2
M)r(S,ln~M)G(S, ℜ→ eq. 2- 30
3 dans 0,M)r(S,lorsqueM)r(S,4
1-~M)G(S, ℜ→
π eq. 2- 31
Chapitre 2 : La méthode des éléments finis de frontière en milieu homogène
- 49 -
Le champ rayonné par une distribution de sources f(M) s'écrit alors comme étant la
convoluée de G et de f (sous l'hypothèse que f est une fonction intégrable, hypothèse
généralement vérifiée) :
∫ℜ
=∗=n
P)dV(P)f(P)G(M,f(M)G(M)p0 eq. 2- 32
C'est-à-dire que dans la formule ci-dessus, le champ incident p0 peut être interprété
comme la réponse en un point M de la distribution de sources P d'amplitude f(P). De
même, le potentiel de simple couche peut s'interpréter comme le rayonnement en un point
M dû à un ensemble de monopôles d'amplitude égale à la densité ν du potentiel, le
potentiel de double couche représentant, quant à lui, la réponse en un point M d'un
ensemble de dipôles d'amplitude égale à la densité µ de la double couche.
Outre la fonction de Green en espace indéfini, de manière générale la fonction de Green
d'un problème est la solution élémentaire de l'équation de Helmholtz satisfaisant aux
conditions de Sommerfeld et à un certain nombre de conditions aux limites. Plus cette
fonction de Green prend en compte d'informations, plus le domaine d'intégration de
l'équation intégrale correspondante est petit. C'est pourquoi, après la fonction de Green en
espace indéfini, les chercheurs se sont attachés à trouver la fonction de Green pour la
propagation au-dessus d'un sol plan rigide [Daumas, 1978], puis à inclure les effets de sol
[Habault, 1985], [Chandler-Wilde, 1985]. Filippi [Filippi, 1983] donne une expression de
la fonction de Green pour différents types de milieux : demi-espace limité par une surface
à réaction localisée, couche finie de milieu poreux, milieu poreux à porosité variable avec
la profondeur, plaque élastique mince... On peut aussi trouver une expression pour la
réflexion d'une onde sphérique sur une interface plane entre un fluide parfait et un milieu
poreux dans [Filippi et Habault, 1978]. Dans de nombreux domaines de l'acoustique, des
travaux sont toujours effectués pour trouver des expressions judicieuses de ces fonctions de
Green, susceptibles d'être utilisées numériquement dans des méthodes d'éléments finis de
frontière. Le but de ce travail est d'exploiter la puissance de la fonction de Green pour
inclure dans les méthodes d'équations intégrales de frontière les effets météorologiques, en
s'appuyant sur des solutions analytiques ou approchées mais qui restent utilisables sur le
plan numérique, du problème de propagation acoustique en milieu inhomogène.
Chapitre 2 : La méthode des éléments finis de frontière en milieu homogène
- 50 -
2.6 La résolution des équations intégrales de frontière. Avantages et
inconvénients des méthodes d'éléments finis de frontière
2.6.1 Les méthodes de résolut ion des équations intégrales de frontière
Les équations intégrales de frontière obtenues en imposant aux formulations intégrales
de départ eq. 2- 7 ou eq. 2- 10 de satisfaire aux conditions aux limites du problème,
peuvent être résolues de différentes manières (voir par exemple [Filippi, 1994] ou
[Ciskowski et Brebbia, 1991]) : développements en séries de modes propres,
développements en séries de Neumann, méthodes itératives, méthodes asymptotiques...
La méthode des éléments finis de frontière, qui est la plus utilisée, peut reposer soit sur
la méthode de collocation, soit sur la méthode de Galerkin, ou encore sur une méthode
hybride collocation-Galerkin. La méthode de collocation, la plus courante, consiste à
choisir un ensemble de points sur la frontière et à écrire qu'en ces points l'équation
intégrale de frontière est satisfaite. Le nombre fini de points de collocation doit être choisi
de manière à fournir au moins autant d'équations que le problème discret compte
d'inconnues. La méthode de Galerkin consiste, elle, à chercher une approximation de la
solution sur une base d'un espace d'approximation choisi. On applique donc un produit
scalaire, généralement sous la forme d'une intégrale, à l'équation intégrale de frontière. Par
conséquent, le traitement numérique de la méthode de collocation s'avère plus simple,
puisque dans la méthode de Galerkin, on augmente de un la dimension des intégrales en
jeu. En revanche, il a été prouvé que pour obtenir un même taux de convergence, il est
nécessaire d'utiliser des fonctions splines d'ordre 2m+1 pour la méthode de collocation
contre des fonctions splines d'ordre m pour la méthode de Galerkin. La méthode hybride
consiste quant à elle à décomposer le noyau de l'équation intégrale en une partie singulière,
que l'on traitera par une méthode de Galerkin, et un reste régulier traité par une méthode de
collocation.
2.6.2 Les problèmes d'existence et unicité
Les formulations directes et indirectes posent toutes les deux quelques grands
problèmes : tout d'abord, des problèmes de non-unicité peuvent apparaître pour la solution
du problème extérieur à un nombre infini de fréquences discrètes particulières appelées
Chapitre 2 : La méthode des éléments finis de frontière en milieu homogène
- 51 -
fréquences caractéristiques, correspondant aux fréquences propres du problème interne
associé. Ce problème n'est pas physique mais purement d'origine numérique et se traduit
par des instabilités numériques (mauvais conditionnement des matrices) au voisinage de
chaque fréquence singulière. La grosse difficulté résulte du fait que l'on ne connaît pas la
valeur de ces fréquences irrégulières à moins de résoudre le problème intérieur
correspondant.
On peut trouver une discussion détaillée concernant le problème d'existence et unicité
dans [Schenck, 1967], [Burton et Miller, 1971] ou [Kleinman et Roach, 1974]. Filippi
donne dans son ouvrage deux importants théorèmes pour le problème intérieur et le
problème extérieur [Filippi, 1994]. Ainsi les équations intégrales liées à la représentation
de Green des problèmes extérieurs possèdent toujours une solution et :
a) les opérateurs intégraux mis en jeu dans les équations intégrales de frontière
possèdent une suite dénombrable de nombres d'onde propres qui sont réels si le rapport a/b
est réel où a et b sont donnés par la condition aux limites sur la frontière σ i.e. l'expression
eq. 2- 23.
b) si k n'est pas nombre d'onde propre de l'opérateur intégral considéré, l'équation
intégrale liée à la représentation de Green de la pression possède une solution unique
c) si k est l'un des nombres d'ondes propres de l'opérateur intégral, l'équation intégrale
possède une solution déterminée à une combinaison linéaire près des fonctions propres
correspondantes.
Pour éviter le problème des nombres propres réels lorsque a/b est réel, Filippi
recommande d'utiliser une formulation en potentiel hybride du type :
M (P),dP)G(M, iP)(M,n
G3(M)pp(M)
1
P0 ∈∀Γ
+
∂∂−= ∫ eq. 2- 33
En effet, la solution du problème aux limites extérieur peut toujours être représentée à
l'aide d'un potentiel hybride si le nombre d'onde k est réel. La condition aux limites conduit
alors à une équation intégrale qui détermine de façon unique la densité de couche µ (le
problème intérieur associé possède des nombres d'onde propres complexes).
Le problème d'unicité de la solution aux fréquences caractéristiques qui se traduit par la
sous-détermination du système d'équations algébriques à résoudre, a été traité dans la
littérature par de nombreux auteurs depuis les années soixante, en proposant des
modifications de la formulation directe visant à apporter des équations supplémentaires.
Chapitre 2 : La méthode des éléments finis de frontière en milieu homogène
- 52 -
La première grande approche suivie pour surmonter ce problème est celle de Schenck
[Schenck, 1967] connue sous le nom de CHIEF pour Combined Helmholtz Integral
equation Formulation. Elle consiste à surdéterminer le système d'équations algébriques
déduit de l'équation intégrale de Helmholtz en ajoutant un ou plusieurs points intérieurs
appelés CHIEF points. L'inconvénient de cette condition supplémentaire est que le nombre
de points intérieurs ainsi que leur position ont une grande influence sur la performance des
résultats. En effet la position de certains points intérieurs sur des surfaces nodales du
problème intérieur conduit à des équations non linéairement indépendantes. En outre, plus
les fréquences caractéristiques sont grandes, plus les surfaces nodales du problème
intérieur sont rapprochées spatialement, ce qui renforce le problème. Le principal
désavantage de la méthode de Schenck est qu'il n'existe aucun critère pour le choix du
nombre et de la position de ces points intérieurs, toutefois Seybert [Seybert et Rengarajan,
1987] a montré qu'il suffisait d'avoir un seul point placé en dehors des surfaces nodales
pour obtenir des résultats satisfaisants. Juhl [Juhl, 1994] a amélioré la méthode de Schenck
en utilisant la méthode de décomposition en valeurs singulières SVD pour Singular Value
Decomposition [Press, et al., 1992], qui permet d'accéder aux valeurs singulières de la
matrice du système à résoudre. En effet, au voisinage des fréquences caractéristiques, la
déficience du rang de cette matrice se traduit par une ou plusieurs valeurs singulières de la
matrice beaucoup plus petites que les autres, dont le nombre donne la valeur de la
déficience du rang matriciel et donc le nombre de points intérieurs à ajouter. Le but est
donc de prendre en surnombre des points intérieurs pour augmenter le rang de la matrice,
en cherchant à ce qu'ils ne se trouvent pas sur ou près de surfaces nodales du problème
intérieur. Une variante aux méthodes apparentées à celle de Schenck a été développée par
Piaszy [Piaszczyk et Klosner, 1984] et consiste à surdéterminer le système algébrique en
utilisant des points non plus intérieurs mais extérieurs à la surface. Cependant comme la
valeur de la pression est inconnue à l'extérieur, des méthodes itératives doivent être
utilisées, dont la précision dépend beaucoup du choix de l'approximation initiale.
Une deuxième grande approche suivie pour surmonter ce problème des fréquences
singulières a été développée par Burton [Burton et Miller, 1971] et consiste en une
combinaison linéaire de l'équation intégrale de Helmholtz et de sa dérivée par rapport à la
normale à la surface. Dans cette méthode appelée HGF pour Helmholtz Gradient
Formulation, l'unicité de la solution aux fréquences caractéristiques est assurée par le
choix judicieux d'une constante multiplicative de l'équation dérivée, dite coefficient de
Chapitre 2 : La méthode des éléments finis de frontière en milieu homogène
- 53 -
couplage. Ce coefficient de couplage doit être de partie imaginaire non nulle et certains
auteurs préconisent de le fixer égal à i/k (i est la racine complexe de –1 et k le nombre
d'onde) pour pouvoir assurer l'unicité de la solution à toutes les fréquences irrégulières
[Meyer, et al., 1979], [Amini et Harris, 1990]. Angélini [Angelini et Hutin, 1983], quant à
lui, résout au sens des moindres carrés le système composé de l'équation intégrale de
surface de Helmholtz et de sa dérivée normale, et trouve que le système n'est plus singulier
mais reste très mal conditionné.
Des comparaisons entre les formulations CHIEF et HGF ont montré que la méthode
développée par Schenck est moins coûteuse en calcul (notamment l'évaluation des
intégrales hypersingulières) mais pose tout de même le problème du choix des points
intérieurs pour assurer l'unicité de la solution [Amini et Harris, 1990], [Seybert et
Rengarajan, 1987].
Des approches alternatives aux deux grandes méthodes CHIEF et HGF ont également
été développées, notamment en recourant à des formulations en potentiels de couche :
Ursell [Ursell, 1973], par exemple, a ajouté à la fonction de Green une autre solution
élémentaire sous la forme d'une série infinie de termes, pour garantir l'unicité à toutes les
fréquences. Cependant la convergence de cette série est lente à haute fréquence. Jones
[Jones, 1974] a modifié la méthode de Ursell en tronquant la série infinie en une série finie,
ce qui limite les fréquences pour lesquelles l'unicité de la solution est garantie. Stupfel
[Stupfel, et al., 1988] choisit un nombre fini de termes variable selon le nombre d'onde
considéré.
De même que Filippi (voir équation eq. 2- 33 ci-dessus), on peut aussi recourir à un
potentiel mixte de la forme générale suivante :
M (P),dP)(M,n
G3P)G(M, .13(M)pp(M)
1
P0 ∈∀Γ
∂∂++= ∫ eq. 2- 34
L'unicité de la solution est alors assurée pour tout nombre d'onde réel, dès lors que le
rapport α/β est de partie imaginaire non nulle (voir par exemple la formulation de
Kussmaul présentée par Kirkup dans [Kirkup et Henwood, 1992] ou encore [Sayhi et
Ousset, 1981]). Panich [Panich, 1965] utilise également cette approche, en prenant la
constante α égale à un, et par conséquent le paramètre complexe β de partie imaginaire non
nulle afin d'assurer l'unicité de la solution pour tout nombre d'onde réel (voir également
[Rêgo Silva, et al., 1994]).
Chapitre 2 : La méthode des éléments finis de frontière en milieu homogène
- 54 -
On constate donc au travers de ce tour d'horizon bibliographique non exhaustif le
nombre et la variété des travaux effectués pour surmonter le problème des fréquences
caractéristiques. Des études apparaissent toujours régulièrement dans la littérature sur ce
thème et prouvent que le sujet est loin d'être clos.
2.6.3 La discrétisation de la géométrie et l'approximation de la solution recherchée
On peut représenter formellement une équation intégrale de surface de la manière
suivante :
1M f(M),Kp(M) ∈∀= eq. 2- 35
où p est la fonction inconnue et f est une fonction connue, définie sur la frontière σ.
La première tâche dans la méthode des éléments finis de frontière consiste à subdiviser
la surface σ en N petites surfaces élémentaires σi telles que :
∅==≠=
iji
i
N
1i1et 11
La géométrie de la surface est alors approchée en utilisant des fonctions d'interpolation
appelées fonctions de formes Nj, de la même manière que pour la méthode des éléments
finis :
( ) ( )∑=
=l
1jijji XNX eq. 2- 36
Ici les coordonnées cartésiennes globales Xi (i=1,3) de n'importe quel point sur un
élément de surface σi sont reliées aux coordonnées des l noeuds géométriques Xij (i=1,3 ;
j=1,l) situés sur le même élément par l'intermédiaire des coordonnées locales (ξ )=( ξ1, ξ2,
ξ3). L'équation eq. 2- 36 définit une transformation implicite qui relie l'élément σi à
l'élément parent qui peut être un carré ou un triangle équilatéral plan. De manière générale,
on utilise principalement des courbes linéaires ou quadratiques [Juhl, 1997].
Une fois que la géométrie est discrétisée, on cherche à approcher les fonctions
inconnues en utilisant également des fonctions de forme, c'est-à-dire que l'on va écrire :
( )∑=
=l
1jjj pN)p(ξ eq. 2- 37
où les pi sont les valeurs nodales de p en des points appelés noeuds d'interpolation.
Si les mêmes fonctions d'interpolation sont utilisées à la fois pour l'approximation de la
géométrie et des variables acoustiques recherchées, et que les noeuds géométriques et
Chapitre 2 : La méthode des éléments finis de frontière en milieu homogène
- 55 -
d'interpolation coïncident, on nomme les éléments de frontière éléments isoparamétriques.
Dans le cas où, par exemple, une interpolation quadratique est utilisée pour la géométrie
tandis que les variables acoustiques sont décrites à l'aide d'une interpolation linéaire, les
éléments sont qualifiés de superparamétriques. Juhl trouve par une analyse de convergence
intuitive [Juhl, 1998] que l'ordre de convergence des formulations linéaires
isoparamétrique et superparamétrique est de deux, c'est-à-dire que l'erreur est
proportionnelle au carré de l'inverse du nombre de noeuds, tandis que l'ordre de la
formulation quadratique isoparamétrique est de quatre. Ce résultat est en accord avec ceux
obtenus par d'autres auteurs comme Wendland dans [Filippi, 1983] ou Amini [Amini et
Kirkup, 1995]. Notons que plus la fréquence est élevée plus l'erreur est grande, à maillage
constant, cependant le taux de convergence n'est pas dépendant de la fréquence [Juhl,
1998].
De nombreux auteurs se sont intéressés à l'étude de la convergence des méthodes
d'éléments finis de frontière [Juhl, 1998], [Grannell, et al., 1994], Wendland dans [Filippi,
1983], [Sayhi et Ousset, 1981]. Trois grandes versions de BEM existent quant à
l'approximation géométrique des surfaces et l'interpolation des fonctions inconnues [Postell
et Stephan, 1990] : la version des éléments finis de frontière qualifiée de –h pour laquelle
la précision de la solution est recherchée en diminuant la taille du maillage (c'est-à-dire en
augmentant le nombre N de subdivisions de la surface, ainsi que le nombre de noeuds), la
version dite –p qui améliore la précision à maillage constant en augmentant le degré des
polynômes d'interpolation utilisés pour représenter les fonctions inconnues, et la version
mixte –hp qui s'appuie sur l'approche –h avec un maillage progressif avec des éléments
d'ordre peu élevé près des singularités, puis sur la version –p avec des éléments d'ordre
plus élevé lorsque l'on s'éloigne des singularités.
Concernant le nombre d'éléments à choisir par longueur d'onde, il ressort d'un certain
nombre de travaux que pour obtenir une précision des résultats correcte, il doit être au
moins de cinq ou six selon les auteurs, pour les applications courantes [Ciskowski et
Brebbia, 1991], [Seznec, 1980].
Un point délicat de la discrétisation de la géométrie et de l'approximation des fonctions
inconnues dans les méthodes d'éléments finis de frontière est le problème de la définition
de la normale, notamment au voisinage des singularités géométriques comme les angles,
les coins... Au voisinage de ces singularités géométriques, on observe ainsi une
dégradation du taux de convergence des B.E.M. [Juhl, 1998]. Seznec [Seznec, 1980]
recommande de traiter les points au bord comme des noeuds plutôt que de les oublier
Chapitre 2 : La méthode des éléments finis de frontière en milieu homogène
- 56 -
complètement : puisque les points de Gauss sont situés à l'intérieur des éléments, on n'a pas
besoin d'affecter une valeur à la dérivée normale de la fonction de Green en un point où
elle n'est pas définie. Le traitement particulier de ces points anguleux est présenté par
exemple dans [Ciskowski et Brebbia, 1991] ou [Filippi, 1994]. En particulier, le
comportement asymptotique de la pression au bord d'un écran mince pose problème, et
c'est ainsi que plusieurs auteurs recommandent d'utiliser des fonctions d'interpolation
singulières au voisinage de ces points "épineux" pour mieux prendre en compte le
comportement singulier de la solution et améliorer le taux de convergence [Juhl, 1998],
[Filippi, 1994], [Seybert, et al., 1992]. Wu [Wu et Wan, 1992] adopte une technique dite de
quart de point provenant des éléments finis pour modéliser la singularité apparaissant au
bord d'un écran mince, idée reprise par Juhl [Juhl, 1998] qui choisit de positionner au quart
de la longueur de l'élément, le noeud situé normalement au milieu d'un élément
quadratique isoparamétrique.
Si l'erreur dans une formulation d'éléments finis de frontière peut provenir de
l'approximation de la géométrie de la surface d'une part, de l'approximation des variables
acoustiques d'autre part, deux autres étapes dans la méthode peuvent également apporter
des erreurs dans le résultat : l'intégration numérique sur chaque élément et en particulier le
cas des intégrales singulières présenté ci-après, et pour finir la résolution du système
linéaire d'équations.
2.6.4 Le calcul des intégrales régulières et singulières
Dans la méthode des éléments finis de frontière apparaissent tout d'abord des intégrales
régulières qui sont généralement calculées par des schémas classiques de type quadratures
de Gauss (voir [Press, et al., 1992] par exemple). On peut trouver dans l'ouvrage de Bonnet
[Bonnet, 1995] une discussion sur le choix du nombre de points à adopter, fonction de la
surface et de sa représentation ainsi que du type d'approximation des inconnues.
Généralement, cet auteur constate que dans les cas courants un nombre modéré de points
de Gauss est suffisant (2*2 ou 3*3 sur un carré). D'autres auteurs recourent à des schémas
numériques plus avancés comme Grannell [Grannell, et al., 1994] qui utilise une
quadrature de Curtis-Clenshaw dont le gros avantage sur les quadratures classiques de
Gauss réside en son aspect hiérarchique : toutes les évaluations de fonctions à une étape
sont réutilisées à l'étape qui suit durant le processus itératif de calcul de l'intégrale jusqu'à
convergence. Yang [Yang, 1997] adopte quant à lui la méthode de quadrature de Filon
Chapitre 2 : La méthode des éléments finis de frontière en milieu homogène
- 57 -
[Frazer et Gettrust, 1984] qui permet de traiter des intégrandes à fortes oscillations, là où
les schémas de quadratures classiques sont mis en défaut, notamment à haute fréquence.
Lorsque les points en jeu dans les intégrales sont très proches mais toujours distincts, on
parle dans la littérature d'intégrales quasi-singulières, et l'on peut alors recourir à la
transformation de Telles [Telles, 1987] pour améliorer la précision des schémas de
quadrature de Gauss dans ce cas.
Lorsque ces points peuvent être confondus, du fait de la singularité de la fonction de
Green (voir le paragraphe 2.5), les intégrales comportant la fonction de Green ou sa
dérivée, ainsi que la dérivée de ces intégrales, deviennent singulières. Le calcul de ces
intégrales singulières pose des problèmes plus épineux. Ces intégrales élémentaires
singulières tendent en effet à rendre dominants les termes proches de la diagonale dans la
matrice du système linéaire à résoudre, et influencent donc fortement le bon
conditionnement de ce système linéaire. Si ce calcul est effectué avec précision, cela
présente un avantage, en revanche une mauvaise évaluation des intégrales singulières est
source d'erreurs importantes.
Il existe en fait trois types de singularités qui peuvent intervenir dans les méthodes
d'éléments finis de frontière : les intégrales faiblement singulières, les intégrales
singulières au sens de la valeur principale de Cauchy et les intégrales dites
hypersingulières. Mathématiquement parlant, à cause de la singularité de l'intégrande, une
petite région au voisinage de la singularité doit être exclue du domaine de l'intégration, et
l'on cherche alors la limite lorsque le volume de la petite région tend vers zéro. Si cette
limite existe et est indépendante de la forme du voisinage, l'intégrale singulière est dite
faiblement singulière, si cette limite existe uniquement si la forme du voisinage exclu est
une hypersphère alors on parle d'intégrale singulière en valeur principale de Cauchy, et
dans le cas d'une singularité d'ordre supérieur, on parle d'intégrale hypersingulière.
Huang [Huang et Cruse, 1993] résume les techniques d'intégration pour ces intégrales
singulières en quatre grandes catégories. La première repose sur l'utilisation d'une solution
simple de l'équation aux dérivées partielles de départ pour calculer indirectement l'intégrale
singulière. La seconde approche utilise des coordonnées polaires locales et calcule
l'intégrale le long de la direction radiale par une quadrature de Gauss adaptée à la partie
finie. La troisième catégorie consiste à séparer la partie singulière et la calculer
analytiquement. Enfin la dernière grande famille de techniques numériques est basée sur la
Chapitre 2 : La méthode des éléments finis de frontière en milieu homogène
- 58 -
modification de l'équation intégrale de frontière originelle pour diminuer d'une unité l'ordre
de dérivation du noyau singulier en le reportant vers la fonction de densité.
Quoi qu'il en soit, le problème des intégrales faiblement singulières ou singulières au
sens de la valeur principale de Cauchy est surmonté, soit en convertissant les intégrales en
intégrales régulières grâce à des coordonnées polaires locales [Gray, et al., 1990], soit en
ajoutant et retranchant les termes singuliers [Guiggiani, 1991, Guiggiani et Casalini, 1987],
soit en utilisant d'autres méthodes comme une transformation conforme dégénérée et la
technique dite du mouvement du corps rigide [Lachat et Watson, 1976], soit encore en
recourant à des schémas de Gauss spécifiques [Lean et Wexler, 1985], [Pina et Fernandes,
1981], ou en modifiant l'équation intégrale de départ grâce à une intégration par parties qui
permet d'abaisser de un l'ordre de singularité (voir [Huang et Cruse, 1993] et les références
de cet article). Souvent l'on peut chercher à réduire la singularité de ces intégrales pour ne
plus devoir évaluer que des intégrales faiblement singulières [Bonnet, 1995], [Rêgo Silva,
1994]. Ce calcul demande toutefois une méthode adaptée qui nécessite le recours à un
système de coordonnées polaires avant de pouvoir utiliser des quadratures de type Gauss.
Un certain nombre d'auteurs se sont penchés plus précisément sur le calcul plus délicat
des intégrales hypersingulières. Ces intégrales sont du type :
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫∫ ∂∂=∂∂→ 1
Pnn(M)1
Pnn(Q)MQ
Pd+PM,GPPFPd+PQ,GPlim eq. 2- 38
Le noyau en jeu dans ces intégrales jouit de la propriété suivante, lorsque la distance r
entre les deux points tend vers zéro (cf [Burton et Miller, 1971]) :
ℜℜ=
∂∂∂
−
−
33
22
n(P)n(M)
2
dans)O(rdans)O(rG
eq. 2- 39
On doit effectuer un traitement spécial avant de prendre l'opérateur différentiel à
l'intérieur de l'intégrale. On utilise alors des techniques de régularisation de cette intégrale
qui nécessitent de nombreux points de collocation autour du point singulier, ce qui
complique la mise en oeuvre numérique et le coût du calcul en termes de temps et de
mémoire d'ordinateur.
Maue [Maue, 1949] et plus tard Mitzner [Mitzner, 1966] utilisent une transformation
qui ramène la dérivée normale par rapport au point de calcul à des dérivées tangentielles de
la variable et la fonction de Green (la partie finie est sous-entendue pour l'intégrale
hypersingulière du membre de gauche) :
Chapitre 2 : La méthode des éléments finis de frontière en milieu homogène
- 59 -
( ) ( ) ( ) ( )( )∫
∫∫Γ•−
Γ
∧•
∧=∂∂
→→
1
2
1PM
1Pnn(M)
(P)P)d3*0(M)n(P)nk
(P)d3grad(P)nP)G(M,grad(M)nPd+PM,GP
&&
&&
eq. 2-40
Cette transformation réduit la singularité en une singularité en 1/r2 qui peut être
interprétée au sens de la valeur principale de Cauchy. La formule ci-dessus est valable dans
ℜ3 et se réduit dans ℜ2 à :
( ) ( ) ( ) ( )
( )∫∫∫
Γ•−
Γ∂
∂∂
µ∂=∂∂
1
2
11Pnn(M)
(P)P)d3*0(M)n(P)nk
(P)d)M(t
G
)P(tPd+PM,GP
&&
eq. 2- 41
t(P) et t(M) sont les directions positives des tangentes en P et M. ∂G/∂t(M) présente une
singularité de Cauchy et G(M,P) une singularité logarithmique pour M en P, cependant il
est possible de construire des approximations numériques des opérateurs.
Burton [Burton et Miller, 1971] a proposé une méthode de régularisation complexe
basée sur des intégrales doubles de surface. Il forme ainsi un potentiel de simple couche
dont la densité est égale à l'intégrale hypersingulière. En utilisant le noyau de l'équation de
Laplace, il parvient à obtenir une expression faisant intervenir une intégrale faiblement
singulière (en O(r-1)) qui est plus appropriée pour un calcul numérique précis. Cette
méthode reste toutefois coûteuse sur le plan numérique.
Dans la méthode adoptée par Meyer [Meyer, et al., 1978], l'intégrale hypersingulière est
transformée en une intégrale régulière en faisant appel à des opérateurs de dérivées
tangentielles et l'on obtient :
( ) ( ) ( ) ( ) [ ]
( )∫∫∫
Γ•+
Γ∂∂
∂−=∂∂
1
2
1
n(P)n(M)
2
1Pnn(M)
(P)P)dG(M,kn(P)n(M)0
(P)dP)G(M,
03Pd+PM,GPPFeq. 2- 42
G représente la solution fondamentale en espace libre mais Meyer donne une formule
générale valable pour d'autres noyaux fondamentaux. La première intégrale du membre de
droite de l'équation eq. 2- 42 présente cette fois une singularité en O(r-2) dans ℜ3 et peut
être calculée numériquement moyennant quelques précautions [Amini et Harris, 1990],
[Meyer, et al., 1978].
Terai [Terai, 1980] transforme l'intégrale hypersingulière en une intégrale de contour, il
écrit ainsi :
Chapitre 2 : La méthode des éléments finis de frontière en milieu homogène
- 60 -
( ) ( ) ( ) ( )
[ ] (P)dP)G(Q,
43lim
(P)dP)G(Q,
4limPd+PM,GPPF
1
n(P)n(Q)
2
MQ
1
n(P)n(Q)
2
MQ1Pnn(M)
Γ∂∂
∂−+
Γ∂∂
∂=∂∂
∫
∫∫
→
→
eq. 2- 43
La seconde intégrale est évaluée numériquement en utilisant notamment un
développement en série de Taylor au voisinage de la singularité et une quadrature de
Gauss, tandis que la première intégrale est transformée en une intégrale de contour. On
obtient pour le cas tridimensionnel :
−θπρ
θρµ=Γ∂∂
∂∫∫→ 2
ikd
)(4
)(exp(-ik(M)(P)d
P)G(Q,4lim
1
n(P)n(Q)
2
MQeq. 2- 44
On peut trouver le résultat équivalent pour le cas bidimensionnel dans l'article de Kawai
[Kawai et Terai, 1990] :
+
π−µ=Γ
∂∂∂
∫∫ σ→dx
x
)kx(H
2
ik
a
1(M)-(P)d
P)G(Q,4lim 1
1
n(P)n(Q)
2
MQeq. 2- 45
Pour finir, une autre alternative pour traiter l'hypersingularité est de l'interpréter au sens
de sa définition en tant que partie finie. C'est l'approche suivie par quelques auteurs [Kutt,
1975], [Martin et Rizzo, 1989], [Krishnasamy, et al., 1990]. Dans la formulation en
potentiels de couche adoptée au chapitre 3, l'approche de Filippi [Filippi et Dumery, 1969]
et Daumas [Daumas, 1978] sera suivie et présentée plus en détail.
On constate donc que de nombreuses études ont porté sur le calcul des intégrales
intervenant dans les formulations aux éléments finis de frontière. Ce calcul, notamment en
ce qui concerne les intégrales singulières, concourt à augmenter considérablement les
temps de calcul, qui plus est lorsque l'investigation est menée sur une bande de fréquences
et non à une seule fréquence fixée. Ce problème est abordé dans le paragraphe 2.6.6.
2.6.5 La résolution du système linéaire
Une fois le calcul des intégrales achevé sur chaque élément, on assemble la matrice du
système linéaire à résoudre pour obtenir les inconnues (la pression et la vitesse normale sur
la surface dans les formulations directes, la densité des potentiels de couche dans les
formulations indirectes).
Les schéma utilisés sont alors ceux de l'analyse numérique classique (voir [Ciarlet,
1982]) comme les stratégies de pivot de Gauss-Jordan avec pivot partiel ou total [Meyer, et
al., 1979], ou encore d'élimination de Gauss [Bonnet, 1995], [Rêgo Silva, 1994], [Meyer,
Chapitre 2 : La méthode des éléments finis de frontière en milieu homogène
- 61 -
et al., 1978], [Seznec, 1980]. Quelques auteurs utilisent plus rarement des méthodes
itératives [Kane, et al., 1991], [Mullen et Rencis, 1987]. Dans les cas où les matrices sont
de taille importantes, ce qui est le cas à haute fréquence pour des configurations
géométriques complexes, des algorithmes puissants récents ont été mis au point pour
converger de manière itérative vers la solution : la méthode GMRes [1983] par exemple
peut permettre de passer outre aux problèmes de stockage en mémoire vive des matrices de
grosse taille et calculer précisément la solution là où des schémas classiques seraient mis
en défaut.
Si l'on s'intéresse à différents types de source, une décomposition de type LU [Press, et
al., 1992] peut s'avérer intéressante puisque dans ce cas, seul le second membre qui prend
en compte l'excitation change et la décomposition reste valable. Grannell utilise dans sa
version –p hiérarchique d'éléments finis de frontière cette décomposition LU [Grannell, et
al., 1994] ainsi que Yang pour sa BEM bidimensionnelle [Yang, 1997].
Pour finir, les méthodes puissantes qui s'appliquent aux matrices symétriques peuvent
être utilisées dans les formulations variationnelles qui aboutissent à l'élaboration de
matrices symétriques ou même de matrices symétriques creuses [Zeng, et al., 1992] bien
conditionnées. Ainsi Jean [Jean, 1998] par exemple recourt à une décomposition de
Cholevski pour résoudre le système linéaire symétrique issu de son approche
variationnelle.
Dans le cas où les matrices en jeu sont mal conditionnées (notamment au voisinage des
fréquences caractéristiques, voir le paragraphe §6.2), on peut recourir à des méthodes
classiques de régularisation [Press, et al., 1992] comme la méthode Singular Value
Decomposition.
Il ressort de l'analyse bibliographique effectuée que peu d'auteurs précisent le schéma
numérique utilisé pour résoudre le système linéaire obtenu, ceci étant dû au fait que cette
étape dans la méthode des éléments finis de frontière pose en définitive peu de problèmes
dans les cas courants, hormis pour le cas des fréquences au voisinage des fréquences
caractéristiques. Cependant lorsque la fréquence augmente, le problème se complique à
cause de limitations en taille de mémoire et temps de calcul, problème qui est abordé dans
la section suivante.
Chapitre 2 : La méthode des éléments finis de frontière en milieu homogène
- 62 -
2.6.6 Le coût numérique à hau te fréquence et pour les configurations 3D
Une partie du temps de calcul correspond à l'évaluation de chaque élément de la
matrice, l'autre majeure partie étant due à la résolution du système linéaire. Les auteurs
s'accordent pour dire que si la taille de la matrice est N, alors le coût de la première phase
est de l'ordre de aN2 opérations élémentaires tandis que celui de la deuxième étape est en
bN3 pour les méthodes directes avec a>>b [Rosen, et al., 1995], [Amini, et al., 1990]. C'est
ainsi que pour les systèmes de petite taille, l'étape de calcul des éléments de la matrice est
plus coûteuse numériquement que la résolution du système linéaire, cependant lorsque la
fréquence augmente, le coût de cette dernière phase devient prohibitif (voir [Tekatlian et
Premat, 1996a, Tekatlian et Premat, 1996b]).
Pour réduire le temps de calcul, Jean [Jean, 1998] préconise de stocker la valeur de la
fonction de Hankel intervenant en 2D pour des arguments compris entre 0.001 et 200 et
d'interpoler les valeurs entre ces points. Un facteur vingt sur le temps de calcul a ainsi été
obtenu dans le cas d'un sol rigide, sans perte de précision. Concernant la phase de
résolution du système linéaire, selon Tobocman [Tobocman, 1986], le temps de calcul
pourrait être fortement diminué en utilisant une méthode d'approximants de Padé pour
résoudre l'équation intégrale au lieu de l'inversion de matrice par élimination de Gauss-
Jordan. Il constate par ailleurs qu'à haute fréquence la perte de précision au voisinage des
fréquences caractéristiques dans l'équation intégrale de Helmholtz est moins importante.
De plus, même si la formulation variationnelle offre l'avantage de conduire à des
matrices symétriques, dans tous les cas les formulations directes et indirectes,
variationnelles ou non, mènent à des matrices dépendant de la fréquence, et ce, de deux
manières. D'une part, il est bien connu que la taille des éléments pour obtenir une précision
correcte doit être inférieure approximativement au sixième de la longueur d'onde, et par
conséquent, à haute fréquence, le nombre d'éléments nécessaires pour décrire un problème
donné devient important, ce qui vient poser des problèmes de taille mémoire nécessaires
pour stocker la matrice ; d'autre part, les éléments de la matrice dépendent de la fréquence
par l'intermédiaire de la fonction de Green. Il s'ensuit que le calcul de la matrice doit être
répété à chaque fréquence, d'où un coût en temps de calcul important pour des études sur
des plages de fréquences étendues.
Pour pallier ces défauts, quelques auteurs recourent à des méthodes d'interpolation
fréquentielle. L'idée est d'éliminer les oscillations des coefficients de la matrice en mettant
Chapitre 2 : La méthode des éléments finis de frontière en milieu homogène
- 63 -
en facteur le terme de grande amplitude en exp(kd(S,M)) pour le cas tridimensionnel par
exemple. Le terme restant présente alors des variations beaucoup plus lentes en fonction de
la fréquence et l'on peut utiliser une interpolation fréquentielle linéaire à une fréquence
comprise entre deux bornes. On remonte alors au coefficient d'origine en multipliant le
coefficient par le facteur de grandes oscillations ci-dessus (voir [Vanhille et Lavie, 1998]).
Le temps de calcul est diminué de façon significative mais le coût en mémoire disque
nécessaire pour stocker les coefficients aux deux fréquences bornes est élevé, aussi Wu
[Wu et Wan, 1993] a-t-il proposé d'effectuer plutôt une interpolation de la fonction de
Green dans le domaine spatial en utilisant des fonctions de forme de même que pour
l'approximation des variables (pression et vitesse normale). Ceci permet également de
sortir des intégrales le facteur dépendant de la fréquence et, bien que plus coûteuse en
temps de calcul, cette méthode présente l'avantage de nécessiter beaucoup moins d'espace
disque. Lecomte [Lecomte, 1998] utilise quant à lui des approximants de Padé pour
calculer les dérivées successives de la densité du potentiel de double couche de sa
formulation indirecte. Il peut ainsi calculer la solution sur un intervalle de fréquences
donné à partir de la densité et ses dérivées successives par rapport à la fréquence en une
fréquence donnée f0.
Un développement en multipoles [Morse et Feshbach, 1953] de la fonction de Green en
champ libre a aussi été parfois exploité (voir par exemple [Atalla, et al., 1999]) et a mené à
des résultats rapides et précis notamment à haute fréquence. Concernant les problèmes de
diffraction à haute fréquence, un certain nombre d'auteurs ont utilisé des méthodes
d'éléments finis de frontière avec convergence rapide [Postell et Stephan, 1990], [Grannell,
et al., 1994] ; d'autres s'appuient sur un choix judicieux de fonctions de base qui
fournissent une matrice creuse bien conditionnée en plus d'un taux de convergence
contrôlable [Canning, 1993] ; Rockhlin [Rockhlin, 1990], ainsi que Brandt [Brandt, 1991]
ou encore Amini [Amini, et al., 1990] utilisent des techniques de solutions itératives
fondées sur des multiplications uniquement matrice-vecteur et le développement
d'algorithmes rapides pour de telles opérations ; quelques auteurs [James, 1990], [de La
Bourdonnaye, 1994], [Nédélec et Abboud, 1994] exploitent l'"essentiel" du comportement
haute fréquence du champ sur la surface diffractante pour conduire à un petit système
d'équations ; Wang [Wang, 1995] recourt à une méthode hybride qui allie les avantages des
éléments finis de frontière (description précise de surfaces courbes) à ceux des ondelettes
(systèmes de matrices creuses) ; en utilisant une approximation haute fréquence pour la
densité du potentiel de double couche par exemple et une technique de moindres carrés, il
Chapitre 2 : La méthode des éléments finis de frontière en milieu homogène
- 64 -
est aussi possible de réduire le nombre de points nécessaires à la résolution d'une équation
intégrale de frontière [Premat, 1995].
Ces problèmes de limitations numériques des méthodes d'éléments finis de frontière en
temps de calcul et taille mémoire se rencontrent donc à haute fréquence et deviennent
également gênants pour le traitement des configurations tridimensionnelles (voir [Tekatlian
et Premat, 1996a, Tekatlian et Premat, 1996b]). En théorie, les B.E.M. permettent bien sûr
d'aborder des problèmes tridimensionnels mais en pratique le temps de calcul et la taille de
mémoire nécessaire limitent l'application de ces méthodes à des cas bidimensionnels ou
alors à des cas tridimensionnels dans une gamme basse fréquence raisonnable (la taille du
maillage dépend de la fréquence). Quelques tentatives ont cependant été effectuées pour
étendre ces formulations à des cas 3-D (voir [Ciskowski et Brebbia, 1991], [Tekatlian et
Premat, 1996a, Tekatlian et Premat, 1996b]).
Pour pallier les problèmes évoqués ci-dessus, la pression acoustique au-dessus d'un
écran anti-bruit infini de section constante, due à une source linéaire cohérente, peut être
déterminée par une B.E.M. 2D [Chandler-Wilde, 1988], [Habault, 1984]. Selon Habault, le
problème bidimensionnel représente une bonne modélisation du problème concret de
l'étude du champ sonore émis par une file de voitures circulant sur un axe routier bordé de
terrains herbeux : le choix de la source cylindrique permet de modéliser l'émission sonore
d'une file de voitures, et de plus les courbes obtenues pour les maxima des niveaux sonores
excédentaires dans un site donné sont comparables à 1 ou 2 dB près à celles obtenues pour
une ou N sources réelles [Habault, 1984]. Jean [Jean, 1998] utilise également une approche
bidimensionnelle pour étudier le bruit dû à un train. La communauté scientifique s'accorde
par ailleurs pour dire que les résultats en termes de niveaux sonores relatifs au champ libre
ou encore en termes de perte par insertion (différence entre les niveaux de pression dans
une configuration donnée avec et sans écran acoustique) sont équivalents en 2D et en 3D
(voir par exemple [Daumas, 1978], ce que corrobore l'article de Duhamel [Duhamel,
1996]). Cet auteur souligne cependant que ce résultat suppose que les comparaisons sont
effectuées pour des situations où le récepteur et la source sont situés dans le même plan
perpendiculaire à l'écran acoustique. En utilisant les résultats 2D pour une source linéaire
cohérente pour des nombres d'onde réels et imaginaires, on peut aussi calculer la solution
3D dans le cas d'une géométrie toujours infinie mais pour une source ponctuelle ou une
source linéaire incohérente via une transformation de Fourier [Duhamel, 1996, Duhamel et
Sergent, 1998]. C'est ainsi qu'en suivant cette approche, à partir d'une BEM
bidimensionnelle, Jean a étudié l'importance du type de source - ponctuelle, linéaire
Chapitre 2 : La méthode des éléments finis de frontière en milieu homogène
- 65 -
cohérente ou linéaire incohérente - pour évaluer les performances des écrans acoustiques
en bordure de voies routières [Jean, 1999]. D'autres études ont cherché à s'appuyer sur des
symétries de la géométrie (voir [Bonnet, 1995]). Pour des surfaces axisymétriques, le
problème peut ainsi être ramené à un problème à une dimension mettant en jeu des
intégrales simples le long de la courbe de génération de la surface de révolution [Meyer, et
al., 1979], [Grannell, et al., 1994], [Seybert, et al., 1986], [Amini et Wilton, 1986].
Quoi qu'il en soit, ce problème de limitations à haute fréquence ou pour des géométries
trop étendues comme les surfaces tridimensionnelles est entièrement tributaire de la
puissance des calculateurs à disposition. On constate cependant que les recherches pour
réduire le coût numérique en temps de calcul et taille mémoire nécessaires pour les
méthodes d'éléments finis de frontière sont toujours d'actualité.
Cette partie a donc présenté dans ses grandes lignes la résolution des équations
intégrales de frontière, récapitulée par la figure 2. 2 : on représente tout d'abord un
problème physique donné en adoptant une formulation intégrale (directe ou indirecte).
Cette formulation intégrale fait intervenir une fonction de Green qui prend en compte un
certain nombre de conditions aux limites et permet, plus l'information prise en compte est
importante, de diminuer d'autant le domaine d'intégration en jeu. En imposant alors à la
variable acoustique utilisée de satisfaire aux conditions aux limites non prises en compte
par la fonction de Green, on aboutit à une équation intégrale de frontière. On peut résoudre
cette équation intégrale de frontière par une méthode d'éléments finis de frontière pour
obtenir les variables acoustiques recherchées. On est alors capable ainsi, via la formulation
intégrale de départ, de connaître le champ acoustique en tout point de l'espace.
Chapitre 2 : La méthode des éléments finis de frontière en milieu homogène
- 66 -
figure 2. 2 : Les grandes étapes de la méthode des équations intégrales de frontière.
Chapitre 2 : La méthode des éléments finis de frontière en milieu homogène
- 67 -
2.7 Applications de la méthode des éléments finis de frontière
Ce paragraphe vise à présenter rapidement quelques applications importantes des
B.E.M. notamment dans le domaine de la propagation extérieure, en gardant présent à
l'esprit la possibilité d'étendre ces résultats, valables en milieu homogène, à des milieux
inhomogènes grâce à la nouvelle approche développée ultérieurement dans Météo-BEM.
Mentionnons tout d'abord que l'on peut distinguer de manière générale deux grandes
classes de problèmes : les problèmes directs et les problèmes indirects. Les problèmes
directs consistent à calculer le champ de pression acoustique quand tous les paramètres
(milieu de propagation, caractéristiques de la source et du récepteur) sont connus, tandis
que dans les problèmes inverses on cherche à déterminer des caractéristiques du milieu de
propagation (propriétés géométriques ou acoustiques, position ou distribution spatiale de
l'énergie de la source) à partir de mesures de pression sonore sur une antenne. Dans les
deux cas, les méthodes d'éléments finis de frontière ont été largement utilisées (voir
[Habault, 1995], [Filippi, 1995] pour une liste de références).
Les domaines de l'acoustique –sans parler de l'électromagnétisme- couverts par les
B.E.M. sont très vastes : depuis les études de rayonnement et diffraction des structures
menées en vibro-acoustique (études de couplages fluide-structure, applications au contrôle
du bruit en milieu industriel, applications dans le secteur des modes de transport -
automobile, avions, trains -...), jusqu'aux modélisations de la propagation acoustique en
milieu extérieur et aux applications à l'acoustique sous-marine, en passant par les
applications biomédicales (modélisation du fonctionnement de l'oreille), et les utilisations
en acoustique architecturale (détermination du champ sonore au-dessus des sièges
d'audience par exemple). Bien que la majorité des études ait été effectuée dans le domaine
fréquentiel, on peut trouver également quelques études dans le domaine temporel, en
particulier sur les régimes transitoires. On peut se reporter à l'ouvrage de Ciskowski
[Ciskowski et Brebbia, 1991] ou aux deux articles cités ci-dessus pour une liste de
références étendue.
Dans le domaine de la propagation extérieure, les méthodes d'éléments finis de frontière
ont été essentiellement appliquées à l'étude du champ de pression en présence d'écrans
acoustiques. Filippi [Filippi et Dumery, 1969] étudie la diffraction d'une onde plane sur un
Chapitre 2 : La méthode des éléments finis de frontière en milieu homogène
- 68 -
écran mince parfaitement absorbant (condition de Dirichlet) puis parfaitement réfléchissant
(condition de Neumann) en milieu infini. Il montre qu'il est commode d'exprimer le champ
acoustique sous la forme d'un potentiel de simple couche pour la condition de Dirichlet et
d'un potentiel de double couche pour la condition de Neumann.
Dans un article postérieur, Filippi [Filippi, 1972] montre que l'on peut toujours
représenter la solution d'un problème de diffraction à l'aide d'un potentiel de couche d'ordre
quelconque. Il donne l'exemple d'un problème de Dirichlet intérieur pour le cercle, d'un
problème de Neumann intérieur pour un ellipsoïde de révolution allongé ainsi que de la
diffraction par un cylindre infini calculée avec un potentiel mixte.
Filippi donne également des résultats sur le problème intérieur de Neumann pour un
cercle excité par une onde cylindrique et sur le problème extérieur de la diffraction d'une
onde incidente plane sur un cylindre parfaitement absorbant. Il résout aussi le problème de
la diffraction d'une onde sphérique par un écran plan rectangulaire parfaitement
réfléchissant [Filippi, 1977].
En 1978, Daumas [Daumas, 1978] étudie la diffraction par un écran mince rigide
disposé sur un sol plan rigide à l'aide d'un potentiel de double couche et compare avec
succès les résultats à des mesures expérimentales.
La méthode des éléments finis de frontière est ensuite utilisée par Habault pour traiter
les discontinuités d'impédance [Habault, 1985]. Les cas de la propagation acoustique de
l'onde émise par une source cylindrique au-dessus d'une bande infinie parfaitement
réfléchissante dans un plan absorbant, puis d'une onde sphérique au-dessus d'un carré
parfaitement rigide dans un plan absorbant sont étudiés, et les résultats sont comparés à des
mesures.
Cette approche numérique est également appliquée à la modélisation bidimensionnelle
de la propagation d'ondes dans un sol stratifié avec obstacle et notamment une tranchée
[Habault, 1990].
Parallèlement à ces travaux issus du Laboratoire de Mécanique et d'Acoustique de
Marseille, citons l'étude de Seznec en 1980 [Ciskowski et Brebbia, 1991]. Cet auteur s'est
intéressé à la diffraction du son autour d'écrans de différentes formes sur sol plan, en
utilisant une méthode variationnelle à partir d'une formulation directe. Bien que son
approche puisse être étendue à des écrans et des sols absorbants, et également à des
configurations géométriques tridimensionnelles, il ne donne des résultats que pour des
surfaces rigides et des configurations infinies dans une dimension.
Chapitre 2 : La méthode des éléments finis de frontière en milieu homogène
- 69 -
A l'aide d'une approche directe bidimensionnelle, Hothersall et Chandler-Wilde
[Hothersall, et al., 1991a], [Chandler-Wilde, et al., 1991], [Hothersall, et al., 1991b]
évaluent aussi l'efficacité d'écrans antibruit de différentes section, hauteur et absorption,
au-dessus de sols plans absorbants. Crombie s'attache également à décrire le cas d'écrans
parallèles [Crombie, et al., 1991]. Chandler-Wilde étudie aussi le phénomène de
discontinuité d'impédance en 2D et 3D à partir d'une formulation intégrale directe de Green
et confronte le résultat de ses calculs à des données expérimentales [Chandler-Wilde,
1985], [Chandler-Wilde, 1988].
Concernant les applications tridimensionnelles de la méthode des éléments finis de
frontière, Kawai [Kawai et Terai, 1990] et Antes (in [Ciskowski et Brebbia, 1991]) ont
calculé le champ de pression acoustique autour d'un écran de longueur finie pour une
source ponctuelle mais leurs résultats se limitent aux basses fréquences, jusqu'à environ
100 Hz. Une autre tentative d'application au cas tridimensionnel est effectuée par Tekatlian
sur la base d'une formulation en potentiels de couche et reste également limitée à basse
fréquence [Tekatlian et Premat, 1996a, Tekatlian et Premat, 1996b].
Puis Duhamel [Duhamel, 1996] montre comment l'on peut s'appuyer sur la solution
bidimensionnelle pour calculer le champ de pression tridimensionnel via une
transformation de Fourier, pour une source sphérique ou une source linéaire incohérente,
autour d'écrans acoustiques. Il étudie l'influence de différents types de source : source
ponctuelle, source linéaire cohérente puis incohérente, et applique son approche au cas de
sources en mouvement. Ce modèle est développé pour la propagation au-dessus de
surfaces rigides et est étendu au cas de sols absorbants dans un article postérieur [Duhamel
et Sergent, 1998] où l'auteur confronte les résultats du calcul à des résultats expérimentaux.
Jean recourt quant à lui à une méthode variationnelle à partir d'une formulation intégrale
directe, pour résoudre le problème bidimensionnel des écrans acoustiques absorbants ou
non, de profils quelconques, au-dessus d'un sol plan absorbant et en bordure de voies
ferroviaires [Jean et Gabillet, 1995]. En utilisant la méthode de Duhamel présentée ci-
dessus, il étudie également le cas de sources ponctuelles et de sources linéaires cohérentes
ou non [Jean, 1998], [Jean, 1999].
Anfosso-Lédée s'attache elle aussi au problème bidimensionnel de la propagation
acoustique autour d'un écran antibruit à partir d'une formulation directe [Anfosso-Lédée, et
al., 1995], [Anfosso-Lédée et Dangla, 1996]. Elle traite plus particulièrement l'interaction
écran-chaussée avec deux types de surfaces : un matériau à réaction localisée et un
Chapitre 2 : La méthode des éléments finis de frontière en milieu homogène
- 70 -
matériau poreux. Watts [Watts, et al., 1991] étudie également les effets combinés de
surfaces poreuses et d'écrans acoustiques dans le cas du bruit routier.
Récemment De Lacerda [De Lacerda, et al., 1997] s'est penché à nouveau sur le
problème de la propagation acoustique bidimensionnelle au-dessus de sols plans
absorbants, autour de murs antibruit minces qui peuvent avoir des impédances différentes
sur les deux surfaces, en utilisant une méthode d'éléments finis de frontière duale. Il étend
son modèle au cas tridimensionnel dans un article qui suit [De Lacerda, et al., 1998].
Granat utilise une représentation intégrale indirecte à laquelle il associe une formulation
variationnelle pour résoudre le même problème en 2D [Granat, et al., 1999].
Pour finir, quelques applications originales des méthodes d'éléments finis de frontière
ont été réalisées dans le domaine de la propagation en milieu extérieur. Hothersall
[Hothersall et Tomlinson, 1997] s'est attaché à étudier les effets de la hauteur des
véhicules, de la répartition du matériau absorbant sur le côté de l'écran acoustique faisant
face à la circulation, et de l'inclinaison de cette façade du mur antibruit, en utilisant
toujours la même formulation directe résolue par collocation [Hothersall, et al., 1991a]. Par
le même modèle, cet auteur a également étudié la propagation acoustique près de grands
bâtiments avec des balcons en bordure d'une route [Hothersall, et al., 1996]. Enfin, un
certain nombre d'auteurs comme Schuhmacher [Schuhmacher, et al., 1998] ont abordé le
problème du bruit dû au contact pneumatique-chaussée à partir de méthodes d'éléments
finis de frontière. Ce dernier applique une formulation en potentiels de double couche pour
localiser les sources de bruit sur le pneumatique par une méthode inverse.
Chapitre 2 : La méthode des éléments finis de frontière en milieu homogène
- 71 -
2.8 Conclusion
Ce chapitre a donc présenté en détail la théorie des méthodes d'éléments finis de
frontière. On constate en outre, au travers du paragraphe 2.7, le nombre et la variété des
applications de la méthode des éléments finis de frontière, en particulier dans le domaine
de la propagation acoustique en milieu extérieur. Cependant toutes les applications citées
offrent le désavantage de décrire un milieu de propagation homogène. Tous les auteurs de
ces travaux sont conscients, à l'instar de Seznec [Seznec, 1980] que : "One of the main
limitations to the method proposed here is that no account is taken of the influence of
outdoor parameters such as ambiant wind, temperature gradients and so on." Il ressort
donc qu'une approche permettant de prendre en compte la propagation dans des milieux
inhomogènes serait très utile, afin de pouvoir étudier l'interaction des phénomènes déjà mis
en évidence avec les effets météorologiques, ce qui motive notre travail et sera l'objectif du
nouveau modèle Météo-BEM développé dans les chapitres qui suivent.
La méthode des éléments finis de frontière adoptée pour prendre en compte la
propagation acoustique en milieu homogène et donnant naissance au code de calcul
BEMAS2D (pour Boundary Element Method for Acoustic Scattering in 2D) sera présentée
en détail au chapitre 4, en utilisant les résultats du chapitre présent.
Dans la prochaine partie, les principaux modèles propagatifs prenant en compte les
effets météorologiques vont être décrits et analysés de façon critique de façon à pouvoir
retenir un candidat susceptible de fournir une fonction de Green intéressante sur le plan
numérique, en vue d'inclure ces effets météorologiques dans les méthodes d'éléments finis
de frontière.
Chapitre 2 : La méthode des éléments finis de frontière en milieu homogène
- 72 -
- 73 -
Chapitre 3
La fonction de Green prenant en compte les effets
météorologiques
3.1 Introduction
La méthode des éléments finis de frontière en milieu homogène a été présentée en détail
dans les paragraphes qui précèdent. Comme on l'a souligné, les méthodes BEM mettent en
jeu une fonction capitale, la fonction de Green, ainsi que ses dérivées première et seconde
par rapport à la normale. L'utilisation d'une fonction de Green judicieuse permet en effet de
prendre en compte un certain nombre de conditions aux limites et de restreindre ainsi le
domaine d'intégration des formules intégrales qui interviennent.
Cette approche des éléments finis de frontière n'a été jusqu'à ce jour appliquée qu'en
milieu homogène, or les effets météorologiques (gradients de vitesse du son et de vent,
turbulence) sont importants en propagation acoustique en milieu extérieur, en particulier à
longue distance. Dans ce chapitre, on va donc s'attacher à chercher des solutions de
l'équation d'onde en milieu inhomogène susceptibles de fournir des fonctions de Green
intéressantes sur le plan numérique, en vue de les utiliser dans le nouveau modèle Météo-
BEM, intégrant les effets météorologiques, qui sera développé au chapitre 6. Un point
important doit être souligné à cet égard : les solutions recherchées pour la pression
acoustique doivent prendre en compte le rayonnement cylindrique de sources linéiques,
dans le but d'être incorporées dans des méthodes d'éléments finis de frontière 2D, comme
Chapitre 3 : La fonction de Green prenant en compte les effets météorologiques
- 74 -
c'est le cas pour BEMAS2D. Dans le cas d'une BEM 3D, la fonction de Green recherchée
doit décrire le cas du rayonnement sphérique d'une source ponctuelle.
Notons que l'on n'abordera pas dans ce travail le phénomène de la turbulence, qui joue
également un rôle non négligeable notamment dans la propagation acoustique dans les
zones d'ombre. On se concentrera ici sur les phénomènes de réfraction. L'idée de ce
chapitre est de s'appuyer sur des modèles récents de propagation en milieu inhomogène
prenant en compte les effets météorologiques aussi bien que les effets de sol. Ces modèles
récents pouvant décrire des gradients de vitesse du son proviennent d'autres domaines de la
physique : optique, sismique, acoustique sous-marine (voir par exemple [Jensen, et al.,
1994]) et ont été développés à l'origine pour des milieux au repos. Ce sont principalement,
outre les méthodes de rayons, la méthode de l'équation parabolique (P.E. pour Parabolic
Equation) et le Fast Field Program (F.F.P.) dans les deux cas de réfraction, la solution des
modes normaux pour la réfraction vers le bas, la série des résidus pour la réfraction vers le
haut. On peut trouver une bonne synthèse des principaux modèles pour la propagation
acoustique en milieu extérieur dans l'article de référence [Attenborough, et al., 1995]. On
pourra également se reporter aux ouvrages de Brekhovskikh [Brekhovskikh et Godin,
1992, Brekhovskikh et Godin, 1992], dont découlent bon nombre de développements
ultérieurs.
Dans un premier temps quelques rappels sont effectués dans ce chapitre sur la
formalisation mathématique du problème propagatif en milieu inhomogène, puis les
principaux modèles vont être rappelés et commentés, notamment en vue de leur application
dans une méthode d'éléments finis de frontière.
Chapitre 3 : La fonction de Green prenant en compte les effets météorologiques
- 75 -
3.2 L'équation de propagation en milieu inhomogène
Rappelons tout d'abord l'équation de propagation qui décrit les phénomènes en milieu
inhomogène au repos. En partant des équations de conservation de la masse et de la
quantité de mouvement, et de l'équation d'état pour un fluide parfait, on obtient, pour
l'équation en dehors des sources, en se plaçant sous les hypothèses de l'acoustique linéaire
(cf [Filippi, 1994]) :
0)pgrad1
(divt
p
c
12
2
20
=ρ
ρ+∂∂− eq. 3-1
ou encore :
0pgradgrad
t
p
c
1p
2
2
20
=ρ
ρ−∂∂−∆ eq. 3- 2
c0 désigne une valeur moyenne de la célérité locale. En régime sinusoïdal, l'équation eq.
3- 2 devient (la dépendance temporelle en exp(-iωt) est sous-entendue ainsi que dans toute
la suite du chapitre) :
0pgradgrad1
pnkp 220 =ρ
ρ−+∆ eq. 3- 3
L'indice variable de réfraction n et le nombre d'onde k0 sont donnés par :
c
ket c
cn
00
0 ω== eq. 3- 4
Dans la grande majorité des calculs de propagation atmosphérique, l'équation utilisée au
départ est l'équation de Helmholtz à indice variable qui est en fait une approximation haute
fréquence de l'équation eq. 3- 3, obtenue en négligeant l'effet des gradients de masse
volumique :
0pnkp 220 =+∆ eq. 3- 5
Notons que rigoureusement cette dernière équation est valable dans deux cas (cf
[Filippi, 1994]) : celui des milieux "lentement" variables (i.e dont les caractéristiques sont
Chapitre 3 : La fonction de Green prenant en compte les effets météorologiques
- 76 -
pratiquement constantes sur une longueur d'onde) et celui des milieux "faiblement"
variables (i.e dont les caractéristiques ont des fluctuations faibles autour d'une valeur
moyenne).
D'autre part, lorsque le milieu n'est plus au repos, à cause du vent, d'autres effets
complexes se manifestent, comme le phénomène de convection de l'onde par la vitesse
locale de l'écoulement. Dans ce cas, en se limitant au premier ordre par rapport au nombre
de Mach M et en négligeant l'effet des gradients, on a, toujours pour l'équation en dehors
des sources :
00
20 c
VM avec 0
r
pMik2pkp ==
∂∂++∆ eq. 3- 6
V est la vitesse de l'écoulement supposée horizontale (suivant la coordonnée r qui
représente la portée horizontale). Généralement, le dernier terme mettant en jeu la dérivée
de p par rapport à la portée n'est pas correctement pris en compte, sauf dans la théorie
géométrique. On se ramène en fait au cas de la propagation en milieu inhomogène au
repos, en introduisant un indice équivalent neff donné par :
θ+== cosVccest effective vitesselaoù c
cn 0eff
eff
0eff eq. 3- 7
θ désigne l'angle formé par la direction du vent et la direction initiale de propagation. Il
faut souligner dans ce cas que la présence d'un gradient de vent rend le milieu de
propagation non seulement inhomogène, à l'instar du cas de la réfraction due à un gradient
de température, mais aussi anisotrope (voir par exemple [Pridmore-Brown, 1961]). Ainsi le
champ de pression n'est plus symétrique, selon que l'on se trouve sous le vent, ou dans une
configuration où le trajet source-récepteur est opposé à la direction du vent. Le cas de la
propagation acoustique en présence de vent doit donc être considéré avec précaution – la
direction source-récepteur est en particulier importante - si l'on veut utiliser une fonction
de Green dans le but de décrire ces effets dans une méthode d'éléments finis de frontière.
De plus la présence d'obstacles dans l'écoulement perturbe celui-ci, aussi la fonction de
Green de ce problème n'est-elle pas simple, de manière générale, et nécessite-t-elle une
description approfondie sous la forme d'un problème complexe de mécanique des fluides.
Chapitre 3 : La fonction de Green prenant en compte les effets météorologiques
- 77 -
Concernant la turbulence, qui sera laissée de côté par la suite, ajoutons tout de même
que la prise en compte des fluctuations du milieu se fait classiquement en considérant que
l'indice de réfraction n est une variable aléatoire dans l'équation eq. 3- 5 et en effectuant
une moyenne d'ensemble pour calculer les moments successifs du champ de pression :
partie cohérente de l'onde, corrélation, fluctuations d'intensité. Le système n'étant pas
"fermé", il est nécessaire d'introduire une hypothèse a priori, sur la corrélation
microscopique selon la direction moyenne de propagation, entre la fluctuation d'indice et
l'onde acoustique (cf [Juvé, 1992]). Cependant cette hypothèse, bien que donnant de bons
résultats pour les premiers moments, reste discutable pour le calcul des fluctuations
d'intensité. C'est pourquoi une approche nouvelle a été suivie récemment pour s'affranchir
de l'hypothèse de corrélation microscopique, consistant à résoudre une équation d'onde non
moyennée (déterministe) pour chaque réalisation du champ turbulent et à n'effectuer les
moyennes statistiques que sur le résultat de ces calculs sur un ensemble de réalisations.
Cette nouvelle approche, bien que coûteuse en temps de calcul permet de s'accommoder
assez facilement de conditions moyennes inhomogènes comme les gradients thermiques, la
présence d'un sol... Quoi qu'il en soit, le phénomène complexe de la turbulence fait
toujours l'objet de nombreux travaux de recherche ainsi qu'en attestent les recueils de
conférence des symposiums sur le thème "Long Range Sound Propagation", auxquels le
lecteur est invité à se référer pour plus de précision sur l'état d'avancement des études en ce
domaine.
Après ce bref paragraphe dédié à la formulation mathématique du problème physique de
la propagation acoustique en milieu inhomogène, la partie suivante passe en revue les
principaux modèles existant à l'heure actuelle, en soulignant leurs avantages et
inconvénients respectifs en vue de les utiliser comme fonction de Green de la méthode des
éléments finis de frontière.
Chapitre 3 : La fonction de Green prenant en compte les effets météorologiques
- 78 -
3.3 Les principaux modèles de propagation acoustique en milieu
inhomogène
3.3.1 Les méthodes de rayon
La méthode des rayons est une description lagrangienne de la propagation acoustique
qui consiste à suivre au cours du temps les déplacements d'une surface d'onde. On appelle
alors rayon acoustique la trajectoire complète d'un point donné issu de la source.
Mathématiquement, il s'agit de chercher une solution de l'équation de Helmholtz de la
forme (voir [Jensen, et al., 1994] par exemple) :
inconnues fonctions dessont )r(Aet )r(où )i(
)r(Ae)r(p
1jjj
j)r(i &&
&
&&
∑∞
=
ωτ τω
= eq. 3- 8
r est le vecteur position. En substituant cette expression de la pression acoustique dans
l'équation de Helmholtz et en égalant les termes du développement en ω, l'on obtient les
équations suivantes :
)r(c
1)r(grad
2
2
&
&
=τ eq. 3- 9
( )( )
=∆−=τ∆+τ=τ∆+τ
− 1,2,...jpour AA)r(Agrad).r(grad2
0A)r(Agrad).r(grad2
1jjj
00&&
&&
eq. 3- 10
La première équation eq. 3- 9 aux dérivées partielles non linéaire est connue sous le
nom d'équation eikonale et permet de déterminer la trajectoire des rayons ainsi que la
phase du champ de pression associée à chaque rayon. Les équations eq. 3- 10 aux dérivées
partielles linéaire sont appelées équations de transport et permettent de déterminer quant à
elles l'amplitude associée à chaque rayon. A ce stade, il peut apparaître abscons d'avoir
transformé le problème originel de l'équation de Helmholtz, qui est une équation aux
dérivées partielles linéaire, en une équation aux dérivées partielles non-linéaire et une série
infinie d'équations aux dérivées partielles linéaires. Cependant les modèles de rayon
Chapitre 3 : La fonction de Green prenant en compte les effets météorologiques
- 79 -
reposent sur la simplification suivante : seul le premier terme de la série eq. 3- 8 est
conservé, ce qui constitue en fait une approximation haute fréquence. Le concept physique
de front d'onde est associé aux courbes de niveau de τ(r) où τ est une constante, et les
rayons sont les courbes perpendiculaires aux fronts d'ondes. Ainsi :
)r(grad cds
rd &
&
τ= eq. 3- 11
Le facteur c est introduit pour normaliser le vecteur tangent, le paramètre s représente
l'abscisse curviligne le long du rayon. Moyennant quelques manipulations mathématiques,
l'on peut réécrire cette équation sous la forme suivante :
c grad c
1
ds
rd
c
1
ds
d2
−=
&
eq. 3- 12
L'équation eq. 3- 12 représente l'équation vectorielle pour la trajectoire des rayons qui
est résolue par des techniques numériques classiques. Il est nécessaire, pour ce faire, de
définir les conditions initiales comme les angles sous-lesquels les rayons sont lancés ainsi
que la position de la source.
De façon pratique, il existe deux méthodes classiques de calcul des trajectoires des
rayons acoustiques : la loi de Snell et la méthode des caractéristiques. Dans les deux cas,
on fait l'hypothèse que le milieu propagatif est faiblement inhomogène et que les effets de
diffraction sont négligeables.
La loi de Snell provient de l'optique géométrique. On suppose que le milieu de
propagation est composé de couches horizontales caractérisées par une célérité du son c(z)
et une composante horizontale du vent V(z) dans une direction donnée. On exprime alors
que la propagation à la traversée de chaque plan horizontal se fait suivant un invariant égal
à :
tec)z(V)z(sin
)z(c =+θ eq. 3- 13
θ est l'angle d'incidence du rayon. A l'aide de eq. 3- 13, on peut suivre la trajectoire d'un
rayon acoustique pas à pas : en se fixant un incrément horizontal dx, on peut déterminer la
nouvelle incidence et l'incrément vertical dz. Attenborough et al. citent le modèle
ASOPRAT [Attenborough, et al., 1995], [Anonymous, 1991] basé sur cette méthode de
Chapitre 3 : La fonction de Green prenant en compte les effets météorologiques
- 80 -
Snell, pour un profil de vitesse du son qui varie linéairement avec la hauteur dans chaque
couche horizontale de l'atmosphère.
La méthode des caractéristiques peut se déduire directement des équations de
conservation en milieu lentement variable. On peut montrer que l'on aboutit, après
linéarisation et quelques opérations algébriques au système vectoriel suivant :
−−=
+=
∑=
3
1iii V gradkc gradk
dt
kd
Vk
kc
dt
rd
&
&
&
&
&
&
eq. 3- 14
k est le vecteur d'onde local, orthogonal aux surfaces équiphases. On résout ce système
simplement, en fixant un incrément de temps dt, le vecteur d'onde initial et la position
initiale de la source. La trajectoire complète du rayon est ainsi obtenue de proche en proche
par incrémentation du pas de temps dt. Notons que le système eq. 3- 14 peut également
s'écrire sous la forme :
−−=
+=
∑=
3
1iii V gradk
c
1c grad
c
1k
ds
kd
c
V
k
k
ds
rd
&
&
&
&
&
&
eq. 3- 15
Au système eq. 3- 15 ou eq. 3- 14, il faut ajouter une information supplémentaire pour
calculer l'amplitude du champ de pression associé à chaque rayon. Ceci se fait en
considérant la section droite d'un tube de rayons infinitésimal et en écrivant que l'énergie
transportée par ce tube est constante. Ainsi si p0, ∆l0, sont respectivement la pression
acoustique, la distance entre les deux rayons très proches limitant le tube à l'abscisse
curviligne s0, et p1, ∆l1 les valeurs correspondantes en s1 alors on peut écrire la relation
suivante, exprimant la conservation de l'énergie dans le tube :
11
0001 ls
lspp
∆∆= eq. 3- 16
L'équation eq. 3- 16 signifie que la variation d'amplitude le long d'un tube de rayons est
inversement proportionnelle à la section droite de ce tube. Pour finir le calcul de la
pression acoustique en un point récepteur, tous les rayons atteignant ce point sont
déterminés et leurs contributions en amplitude et phase sont sommées en ce point.
Chapitre 3 : La fonction de Green prenant en compte les effets météorologiques
- 81 -
La méthode des rayons offre l'avantage de donner lieu à des calculs relativement
simples et permet également de prendre en compte des profils quelconques de célérité et de
vitesse du vent, une topographie complexe et des effets tridimensionnels. En revanche, elle
souffre de deux limitations importantes, d'une part, en conditions de réfraction vers le haut,
la création de caustiques et de zones d'ombre pose problème, et d'autre part lors de la
réfraction vers le bas sur de grandes distances la présence de multiples chemins de
propagation n'est pas prise en compte. En ce qui concerne les caustiques qui apparaissent
lorsque des rayons adjacents se croisent, situation qui peut intervenir dans un milieu
homogène mais aussi surtout lors de la réfraction vers le haut et vers le bas, la section du
tube de rayons tend alors vers zéro et l'énergie acoustique devient infinie. Cette limitation
intervient dans la pratique également au voisinage de ces caustiques où la pression
acoustique devient très grande. De plus, survient également un changement de phase (π/2
selon Pierce [Pierce, 1991]) à la traversée d'une caustique, qui n'est pas, en général pris en
compte dans les modèles de rayon. Dans les cas de réfraction vers le haut, apparaît en outre
une zone d'ombre qui n'est pas prise en compte par la théorie des rayons puisqu'en-dessous
d'un rayon limite tangent au sol, aucun rayon ne pénètre dans cette zone où la pression
acoustique vaudrait alors zéro. La théorie des rayons prévoit donc une transition abrupte
lors du passage de la zone éclairée à la zone d'ombre, ce qui se traduit par une discontinuité
du champ de pression lors de cette transition. Le même problème se produit lorsqu’un
rayon à réflexions multiples apparaît.
Dans le cas de forts gradients positifs de vitesse du son, lorsque source et récepteur sont
près du sol et pour des distances de propagation importantes, certains rayons sont réfléchis
plusieurs fois par le sol. L'onde sonore suit ainsi différents trajets sous différentes
conditions atmosphériques et il est alors difficile de sommer toutes les contributions en un
point récepteur, qui plus est en ajoutant que des questions de cohérence et d'incohérence
des différentes ondes acoustiques doivent être prises en considération dans la somme
énergétique. C'est ainsi que le modèle ASOPRAT [Anonymous, 1991] ne prend en compte
dans ce cas que le rayon dont le chemin réfléchi est le plus court et qui normalement
représente l'amplitude la plus forte, dans le cas où le sol est absorbant.
Pour pallier ces limitations inhérentes aux modèles de rayons, deux nouvelles approches
ont été suivies. Tout d'abord, L'Espérance et al. [L'Espérance, et al., 1992] ont développé
un modèle de rayons heuristique qui prend en compte les effets combinés de la réfraction,
Chapitre 3 : La fonction de Green prenant en compte les effets météorologiques
- 82 -
la turbulence, de la surface du sol d'impédance finie et de l'absorption atmosphérique. Ce
modèle part de l'hypothèse que la plupart des profils réels de vitesse du son peuvent être
approchés par un profil linéaire et utilise la différence de temps de parcours plutôt que de
chemin parcouru pour déterminer les interférences entre les rayons directs et réfléchis. De
plus, un indice de réfraction fluctuant permet de prendre en compte la cohérence partielle
des rayons causée par la turbulence atmosphérique. Dans des conditions de forte réfraction
vers le bas, le modèle heuristique décrit aussi la propagation des rayons subissant de
multiples réflexions. Lorsque l'on est en situation de réfraction vers le haut cependant, il
est nécessaire de recourir à une solution analytique dans la zone d'ombre : la série des
résidus [Pierce, 1991], [Berry et Daigle, 1988], qui sera décrite ultérieurement.
Toujours pour remédier aux limitations de la théorie des rayons, quelques auteurs ont
utilisé la méthode des faisceaux gaussiens [Gabillet, et al., 1993], issue du domaine de la
géophysique [Cerveny, et al., 1982], et reprise en acoustique sous-marine [Porter et
Bucker, 1987]. Cette méthode cherche en fait à cumuler les avantages de la théorie
géométrique et de l'approximation parabolique (voir le paragraphe concernant l'équation
parabolique). On donne une épaisseur aux rayons sous la forme d'une répartition
d'amplitude gaussienne selon la normale et on effectue une approximation paraxiale dans
un système local lié à chaque rayon. En pratique, on résout d'abord le système classique
eq. 3- 15 pour obtenir le rayon central du faisceau, puis deux autres équations permettent
de déterminer la largeur du faisceau et la courbure du front de phase. Ainsi le faisceau
gaussien obtenu s'écrit sous la forme suivante, en reprenant les notations de [Gabillet, et
al., 1993] :
[ ] 2n))s(q/)s(p(5.0)s(iexp)s(rq/)s(cA)n,s(u +τω−= eq. 3- 17
où u est la pression acoustique, A une constante arbitraire, s l'abscisse curviligne, n
l'abscisse curviligne selon la normale au rayon soit la distance par rapport au rayon, et τ(s)
le temps de parcours donné par :
∫=τs
0ds
)s(c
1)s( eq. 3- 18
Les fonctions p et q sont données par le système d'équations qui suit :
Chapitre 3 : La fonction de Green prenant en compte les effets météorologiques
- 83 -
∂∂−=
=
)s(c
)s(q
n
)s(c
ds
dp
)s(p)s(cds
dq
22
2 eq. 3- 19
Le champ total est alors reconstitué par sommation des contributions des différents
faisceaux résultant de la décomposition de la source et passant au voisinage du récepteur.
Le gros avantage de cette méthode est qu'elle permet de lisser les singularités du champ
acoustique et que notamment le calcul de la pression est possible au voisinage des
caustiques et dans les zones d'ombre dans le cas de la réfraction vers le haut. En revanche,
cette méthode convient mal aux cas où le récepteur est situé près du sol, cas de propagation
acoustique rasante.
On constate donc que les méthodes de rayons offrent l'avantage de conduire à des
calculs relativement simples et rapides, et peuvent permettre de prendre en compte des
profils de vitesse du son qui varient à la fois avec la distance et la hauteur. Cependant les
techniques de rayons souffrent en revanche de limitations au voisinage des caustiques,
dans les zones d'ombre, lors de multiples réflexions... Ces méthodes ont donné naissance à
de nombreuses applications ou extensions et sont toujours à l'ordre du jour. Notons que
bien que la plupart des travaux publiés portent sur des cas de propagation à partir de
sources ponctuelles, les mêmes concepts sont aisément adaptables au cas de sources
linéiques, en prenant garde de prendre en compte la déformation du tube d'énergie dans le
plan (cf eq. 3- 16), qui régit l'amplitude du signal, et en décrivant dans les conditions
initiales que la source émet des ondes cylindriques.
Dans le contexte de cette étude, il s'agit de s'appuyer sur un modèle susceptible de servir
de base à la fonction de Green utilisée dans la méthode d'éléments finis de frontière. La
pression acoustique calculée par ce modèle doit donc être une fonction bien définie en tout
point de l'espace ainsi que ses dérivées première et seconde par rapport à la normale. En
effet si l'on prend l'exemple d'un écran acoustique plongé dans un milieu inhomogène, elle
intervient trois fois dans la pratique, dans la BEM : d'une part elle fournit le champ
incident en l'absence de l'écran i.e le terme p0 dans eq. 4-6 et 4-9, d'autre part sa dérivée
seconde par rapport à la normale entre en jeu dans le calcul des éléments de la matrice (cf
eq. 4-9), et la dérivée première par rapport à la normale intervient dans le calcul final de la
pression en tout point de l'espace de l'équation eq. 4-24. Par conséquent, la méthode des
rayons apparaît limitée pour servir de noyau de Green à la formulation aux éléments finis
Chapitre 3 : La fonction de Green prenant en compte les effets météorologiques
- 84 -
de frontière utilisée, puisque l'on assiste à des discontinuités brutales du champ de pression
dans certaines régions particulières mises en évidence ci-dessus, ce qui pose des problèmes
insurmontables pour la dérivation. En outre, les dérivées par rapport à la normales qui
interviennent ne peuvent être calculées que de façon numérique par l'emploi de méthodes
classiques de type différences finies (cf [Press, et al., 1992] par exemple). Or d'une part ces
méthodes peuvent être coûteuses sur le plan du calcul, d'autre part la dérivation numérique
reste une opération délicate sur le plan de la précision pouvant aboutir à des résultats
complètement erronés. Une solution pourrait toutefois consister à utiliser la théorie des
dipôles pour tenter de modéliser ces dérivées normales du champ de pression, qui sont en
fait similaires à la pression acoustique due au rayonnement d'un dipôle. Quoi qu'il en soit,
la théorie des rayons ne semble donc pas susceptible de fournir une fonction de Green
intéressante sur le plan de son utilisation numérique dans une méthode d'éléments finis de
frontière.
Chapitre 3 : La fonction de Green prenant en compte les effets météorologiques
- 85 -
3.3.2 L'Equation Parabolique
La méthode de l'équation parabolique a été utilisée pour résoudre des problèmes de
propagation d'ondes dans de nombreux domaines, depuis le domaine de l'optique et de
l'électromagnétisme [Dockery, 1988] jusqu'à celui de la propagation acoustique dans
l'atmosphère [Gilbert et Di, 1992, Gilbert et White, 1989, Myers et McAninch, 1978,
White et Gilbert, 1991], en passant par les disciplines de la sismique [Claerbout, 1976] et
de l'acoustique sous-marine [Tappert, 1977]. Cette méthode repose sur l'hypothèse qu'il
existe un système de coordonnées dans lequel la pression acoustique est une fonction de
variables séparables, et une direction de propagation privilégiée. De plus on suppose que
l’onde émise par une source se propage toujours en s’éloignant de la source et que
l’énergie rétrodiffusée est négligeable. Cette hypothèse constitue déjà en soi une limitation
puisque dans le cas d’une source très proche d’un écran vertical par exemple, la
contribution du champ réfléchi par l’écran dans le champ diffracté ne peut être négligée.
En revanche, la méthode de l’équation parabolique permet de résoudre un certain
nombre de problèmes de propagation en présence de conditions météorologiques variées :
propagation au-dessus de sols d’impédance variable [Craddock et White, 1992],
d’obstacles de type colline, propagation à travers des zones de turbulence de grande échelle
[Noble, et al., 1990], ou encore à travers des milieux aléatoirement hétérogènes [Gilbert, et
al., 1990].
En termes mathématiques, il s’agit de transformer l’équation de Helmholtz qui est une
équation aux dérivées partielles elliptique, en une équation aux dérivées partielles
parabolique : l’équation d’onde parabolique. On a donc transformé un problème aux
conditions limites en un problème aux conditions initiales, ce qui est intéressant dans le cas
de la propagation d’ondes à travers des environnements complexes où il n’est que rarement
possible d’obtenir des solutions analytiques du problème aux conditions limites. A partir
de la connaissance d’un champ de pression initial, un algorithme de marche est suivi pour
propager de proche en proche le champ de la source au récepteur.
Décrivons les grandes étapes de la méthode de l’équation parabolique. Généralement on
suppose qu’il y a symétrie cylindrique du champ de pression c’est-à-dire que l’on néglige
Chapitre 3 : La fonction de Green prenant en compte les effets météorologiques
- 86 -
les effets tridimensionnels représentés par les termes dépendant de la coordonnée
azimuthale θ dans un repère cylindrique dont l'origine est la source ponctuelle. Cela
signifie physiquement que la diffusion du champ d'un plan θ=cte à un autre est négligée. Il
faut cependant noter que quelques études ont été effectuées pour inclure ces termes
dépendant de θ (voir [Delrieux, 1991] par exemple). De plus, l'équation dépend tout de
même toujours de la direction du plan de propagation (r,z) par l'intermédiaire de l'indice n
fonction de r, θ et z de manière générale. On part donc de l'équation de Helmholtz à indice
variable (eq. 3- 5) que l'on réécrit en coordonnées cylindriques en tenant compte de la
symétrie azimuthale :
0pnkz
p
r
p
r
1
r
p 2202
2
2
2
=+∂∂+
∂∂+
∂∂
eq. 3- 20
où r représente la portée horizontale et z la hauteur. En faisant l'hypothèse que la
propagation se fait suivant une direction privilégiée autour de l'axe r, on cherche la
pression sous la forme d'une onde cylindrique divergente, représentée par une fonction de
Hankel, et une fonction enveloppe ϕ(r,z) que l'on suppose faiblement variable avec la
distance :
)z,r()rk(H)z,r(p 010 ϕ= eq. 3- 21
En utilisant l'approximation, en champ lointain, de la fonction de Hankel :
)4/rk(i
00
10
0erk
2)rk(H π−
π≈ eq. 3- 22
On obtient l'équation d'onde elliptique simplifiée qui suit, valable pour k0r << 1 :
0)1n(kzr
ik2r
2202
2
02
2
=ϕ−+∂
ϕ∂+∂ϕ∂+
∂ϕ∂
eq. 3- 23
Notons qu'en prenant en compte les effets tridimensionnels, l'équation de Helmholtz
(eq. 3- 20) s'écrirait :
0pnkz
pp
r
1
r
p
r
1
r
p 2202
2
2
2
22
2
=+∂∂+
θ∂∂+
∂∂+
∂∂
eq. 3- 24
Et l'on aboutirait alors, au lieu de eq. 3- 23 à :
Chapitre 3 : La fonction de Green prenant en compte les effets météorologiques
- 87 -
0)1n(kr
ik2zr
1 22002
2
2
2
2=ϕ−+
∂ϕ∂+
∂ϕ∂+
θ∂ϕ∂
eq. 3- 25
Dans l'équation eq. 3- 23, on peut écrire que la dérivée seconde du champ de pression
par rapport à la portée est négligeable devant le produit du nombre d'onde et de la dérivée
par rapport à la portée de la pression, ce qui revient à supprimer les ondes rétrodiffusées (cf
[Delrieux, 1991]). Cette approximation est connue sous le nom d'approximation paraxiale
et permet d'aboutir de manière simple à l'équation parabolique standard de Tappert (cf
[Tappert, 1977]) valable pour des petits angles d'ouverture (voir annexe 3).
Il faut mentionner également que quelques auteurs [Gilbert et White, 1989], [Craddock
et White, 1992], [West, et al., 1992] ont récemment introduit une factorisation plus simple
du champ de pression que l'expression eq. 3- 21, basée sur les mêmes considérations
physiques :
)z,r(r
e)z,r(p
rik 0
ϕ= eq. 3- 26
A l'aide de cette expression, on aboutit à la même équation d'onde elliptique simplifiée
que eq. 3- 23.
En définissant deux opérateurs P et Q de la manière suivante :
2
2
20
2
zk
1nQet
rP
∂∂+≡
∂∂≡ eq. 3- 27
On réécrit l'équation eq. 3- 23 :
( ) 0)1Q(kPik2P 2200
2 =−++ eq. 3- 28
qui peut se mettre sous la forme :
[ ][ ] [ ] 0Q,PikQikikPQikikP 00000 =ϕ−ϕ++−+ eq. 3- 29
Le premier terme entre crochets représente l'onde divergente, le second l'onde
convergente et [P,Q] est le commutateur des opérateurs P et Q :
[ ] ϕ−ϕ=ϕ QPPQQ,P eq. 3- 30
Chapitre 3 : La fonction de Green prenant en compte les effets météorologiques
- 88 -
Pour des milieux de propagation où l'indice de réfraction n'est fonction que de la
hauteur, les deux opérateurs P et Q commutent et le terme eq. 3- 30 est nul. Généralement
on fait l'hypothèse que la dépendance de l'indice de réfraction selon la portée r est faible,
de telle sorte que l'on peut négliger le terme du commutateur. En ne retenant que l'onde
progressive, l'on obtient alors l'équation aux dérivées partielles parabolique suivante :
ϕ
−
∂∂+=
∂ϕ∂
1zk
1nik
r 2
2
20
20 eq. 3- 31
On peut trouver dans [Galindo Arranz, 1996] une discussion sur l'erreur réalisée en se
plaçant sous les trois hypothèses classiques énoncées ci-dessus pour effectuer la
transformation de l'équation de Helmholtz en l'équation d'ondes parabolique :
l'approximation champ lointain de la fonction de Hankel, l'hypothèse que le commutateur
est négligeable et le fait de ne retenir que l'onde progressive. Dans le cas de la propagation
acoustique en milieu extérieur à longue distance, la première approximation est pertinente ;
la deuxième hypothèse est exacte pour les milieux de propagation stratifiés verticalement,
et de second ordre en ∆r et dépendant de la valeur du gradient de vitesse du son dans le cas
général ; quant à la dernière hypothèse, elle est correctement vérifiée dans les cas de
propagation à longue distance. On peut d'ailleurs trouver dans le domaine de l'acoustique
sous-marine des travaux incluant la rétrodiffusion en s'appuyant sur une équation
parabolique dans les deux sens [Collins et Evans, 1992].
Les différents modèles d'équation parabolique qui découlent de l’écriture de l’opérateur
du membre de droite de l’équation eq. 3- 31, présentés dans l’annexe I, décrivent la
propagation acoustique pour une source ponctuelle, ce qui présente un intérêt dans le but
d'insérer l'un de ces modèles dans une méthode d'éléments finis de frontière 3D. Dans le
cas d'une BEM bidimensionnelle comme BEMAS2D, il convient tout d'abord d'examiner
la possibilité d'adapter la théorie qui précède au cas d'une source linéique. Dans ce cas, il
est plus commode d'écrire l'équation de Helmholtz de départ en coordonnées cartésiennes.
On suppose que la source linéique est positionnée selon l'axe (Oy), ce qui signifie que le
problème a lieu dans le plan (x,z). On peut alors écrire l'équation de Helmholtz à indice
variable eq. 3- 5, en dehors des sources, dans le système de coordonnées cartésiennes, de la
manière suivante :
0pnkz
p
x
p 2202
2
2
2
=+∂∂+
∂∂
eq. 3- 32
Chapitre 3 : La fonction de Green prenant en compte les effets météorologiques
- 89 -
De la même manière que pour eq. 3- 21, on peut alors chercher cette fois-ci à
représenter la pression sous la forme du produit d'une exponentielle et d'une fonction
enveloppe faiblement variable avec la distance :
)z,x(e)z,x(p xik 0 ϕ= eq. 3- 33
En reportant cette expression dans l'équation eq. 3- 32, on peut montrer très facilement
que la fonction enveloppe ϕ est solution de l'équation d'onde elliptique simplifiée qui suit :
0)1n(kzx
ik2x
2202
2
02
2
=ϕ−+∂
ϕ∂+∂ϕ∂+
∂ϕ∂
eq. 3- 34
On constate que cette équation est la même que eq. 3- 23, la variable x prenant la place
de la portée r. Par conséquent en suivant la même méthodologie que ci-dessus pour le cas
de la source ponctuelle, on peut aisément construire la solution pour une source linéique.
Ce résultat important permet de conclure que les codes de calcul basés sur la méthode de
l'équation parabolique pour une source ponctuelle sont très facilement adaptables au cas du
rayonnement cylindrique d'une source linéique, moyennant un changement dans le calcul
final de la pression, la formule eq. 3- 33 venant remplacer eq. 3- 21.
Au travers de ce paragraphe et de l’annexe I, on constate donc la variété d'équations
paraboliques existant ainsi que la puissance de cette approche pour résoudre les problèmes
de propagation acoustique en milieu extérieur, qu'il soit homogène ou inhomogène. Cette
méthode permet de plus de pouvoir décrire la propagation acoustique dans le cas plus
réaliste d'un milieu dont les propriétés varient avec la distance (c'est-à-dire que l'indice
variable n n'est plus fonction seulement de la hauteur mais aussi de la portée r – ou x dans
le cas d’une source cylindrique). Le lecteur est invité à se reporter aux références citées
pour plus de détails. Cependant dans l'optique d'une utilisation en tant que fonction de
Green d'une méthode d'éléments finis de frontière, cette formulation pose, de même que la
méthode des rayons, le problème des dérivées première et seconde par rapport à la
normale. En effet, ces dérivées ne peuvent, dans ce cas, qu'être numériques, avec les
inconvénients soulevés dans le paragraphe précédent. De plus, pour pouvoir utiliser des
méthodes basées sur des différences finies pour calculer la valeur des dérivées en jeu, on
doit nécessairement connaître les valeurs du champ de pression en des points très proches,
ce qui peut soit être très coûteux en temps de calcul, tout en étant très imprécis, soit
impossible à réaliser à cause de l'échantillonnage imposé par la transformée de Fourier
Chapitre 3 : La fonction de Green prenant en compte les effets météorologiques
- 90 -
rapide dans le cas de la GFPE par exemple. En revanche, il semblerait qu'un couplage
judicieux entre une équation parabolique et une méthode d'éléments finis de frontière
pourrait permettre d'allier les avantages des deux méthodes : en effet, l'utilisation d'une
BEM permettrait de décrire n'importe quel type de topographie accidentée et de propriété
d'absorption de la frontière du domaine de propagation, par exemple un obstacle ou objet
diffractant de type écran acoustique de forme complexe, et la valeur du champ de pression
calculée par cette BEM pourrait servir de champ initial à l'équation parabolique utilisée,
grâce à laquelle la solution pourrait être "propagée" de pas en pas, très rapidement, via la
GFPE par exemple.
Chapitre 3 : La fonction de Green prenant en compte les effets météorologiques
- 91 -
3.3.3 Le Fast Field Program
Le Fast Field Program, communément appelé FFP, est une technique numérique
développée à l'origine en acoustique sous-marine (cf [Di Napoli et Deavenport, 1980]) et
adaptée ensuite aux problèmes de propagation acoustique dans l'atmosphère (voir [Raspet,
et al., 1985]). L'idée repose sur des techniques de transformations intégrales mettant à
profit le fait que les coefficients de l'équation de Helmholtz et les conditions aux limites
sont indépendants d'une ou plusieurs coordonnées spatiales. L'utilisation d'une
transformation intégrale permet alors de diminuer de un la dimension de l'équation d'onde
et des conditions aux limites. Dans le cas de milieux stratifiés horizontalement, cette
méthode est désignée sous le nom général de technique d'intégration du nombre d'onde
(wavenumber integration technique), on peut également rencontrer le terme de méthode du
nombre d'onde discret (discrete wavenumber method) en sismique. Le champ acoustique se
présente sous la forme d'une intégrale dans le domaine spectral des solutions de l'équation
d'onde séparée dépendant de la hauteur (depth-separated wave equation). En acoustique
sous-marine, les approches basées sur l'intégration dans le domaine du nombre d'onde sont
appelées FFP à cause de l'utilisation de transformées de Fourier rapides (Fast Fourier
Transforms en anglais) pour le calcul numérique des intégrales spectrales en jeu.
La FFP permet en fait de calculer la pression acoustique au-dessus d'un sol plan
d'impédance finie, due à une source ponctuelle, en n'importe quel point récepteur, dans une
atmosphère stratifiée horizontalement. Grâce à cette dernière hypothèse de stratification de
l'atmosphère, la vitesse du son et la composante horizontale de la vitesse du vent peuvent
être prises en compte arbitrairement en fonction de la hauteur. On suppose toutefois que le
vent est invariant avec la coordonnée azimuthale θ et radial à partir de la source sonore.
Ceci signifie qu'il n'y a pas de variation d'aucune grandeur avec l'azimuth, et aucune
variation non plus de la vitesse du son et du vent, ni de l'absorption du sol radialement à
partir de la source. Ces hypothèses permettent de réduire de un la dimension géométrique
du problème. On effectue en effet une transformation de Bessel de l'équation de Helmholtz
à indice variable (eq. 3- 20), exprimée en coordonnées cylindriques et en négligeant la
Chapitre 3 : La fonction de Green prenant en compte les effets météorologiques
- 92 -
dépendance azimuthale. On obtient alors l'équation d'onde transformée dépendant de la
hauteur, que l'on peut résoudre dans chaque couche atmosphérique horizontale.
Détaillons la méthode de la FFP. On part de l'équation de Helmholtz en coordonnées
cylindriques avec terme source dans le cas d'une source ponctuelle :
)zz()r(r
2pnk
z
p
r
p
r
1
r
pS
2202
2
2
2
−δδ−=+∂∂+
∂∂+
∂∂
eq. 3- 35
qui correspond à l'équation de départ suivante :
)zz,r(4)z,r(pnkp S22
0 −πδ−=+∆ eq. 3- 36
En effectuant la transformation de Bessel d'ordre zéro de l'équation eq. 3- 35, il est
possible de supprimer la dépendance en r. La transformée P(K,z) de p(r,z) s'écrit :
∫∞
=0 0 rdr)Kr(J)z,r(p)z,K(P eq. 3- 37
Connaissant P(K,z) on peut remonter à p(r,z) par la transformation inverse :
∫∞
=0 0 KdK)Kr(J)z,K(P)z,r(p eq. 3- 38
Après application de la transformation de Bessel, l'équation eq. 3- 35 devient :
[ ] )zz(2PK)z(kdz
PdS
222
2
−δ−=−+ eq. 3- 39
où K est le nombre d'onde horizontal. L'équation eq. 3- 39 est connue sous le nom
d'équation d'onde transformée dépendant de la hauteur. Elle permet de réduire le problème
à un problème monodimensionnel et forme en fait le point de départ de la FFP.
La solution de l'équation eq. 3- 39 est la somme d'une solution particulière )z,K(Pˆ et de
n'importe quelle combinaison linéaire des deux solutions indépendantes P-(K,z) et P+(K,z)
de l'équation homogène correspondant (i.e dont le membre de droite vaut zéro). On peut
donc écrire :
)z,K(P)K(A)z,K(P)K(A)z,K(P)z,K(P ++−− ++= eq. 3- 40
où A-(K) et A+(K) sont des coefficients à déterminer grâce aux conditions aux limites, à
savoir continuité de la pression et de la composante verticale de la vitesse particulaire à
Chapitre 3 : La fonction de Green prenant en compte les effets météorologiques
- 93 -
l'interface entre chaque couche horizontale. Pour la solution particulière, il est commode de
choisir le champ de pression produit par la ou les sources en l'absence de frontières. Une
fois que les coefficients inconnus ont été calculés, le champ total à fréquence donnée peut
être reconstruit par la transformation de Bessel inverse eq. 3- 38. La figure 3. 1 illustre la
stratification de l'atmosphère en couches à l'intérieur desquelles il faut chercher la solution
de eq. 3- 39 sous la forme de eq. 3- 40.
figure 3. 1 : Stratification horizontale de l'atmosphère.
Les différentes variantes de la méthode FFP se distinguent selon la manière dont la
vitesse du son est prise en compte dans chaque strate horizontale de l'atmosphère, ce qui
conditionne l'écriture de la solution analytique exacte pour le champ de pression (eq. 3- 40)
dans chacune de ces strates. Ces différentes variantes sont présentées plus précisément
dans l’annexe II.
La dernière étape commune à toutes les méthodes FFP consiste, après détermination des
coefficients inconnus de eq. 3- 40, à évaluer les intégrales des transformées de Bessel eq.
Chapitre 3 : La fonction de Green prenant en compte les effets météorologiques
- 94 -
3- 38. Pour ce faire, la fonction de Bessel est remplacée par la somme de deux fonctions de
Hankel :
[ ])Kr(H)Kr(H2
1)Kr(J 2
0100 += eq. 3- 41
où H01 et H0
2, fonctions de Hankel d'ordre zéro de première et de deuxième espèce,
représentent respectivement, avec la convention temporelle en e-iωt, les ondes progressives
s'éloignant de la source et se dirigeant vers la source. On ne conserve que le premier terme,
pour l'onde quittant la source, et on le remplace par son développement asymptotique :
1Krpour r
e
K
2)Kr(H
)4/Kr(i10 >>
π≈
π−
eq. 3- 42
On obtient donc à la place de eq. 3- 38, l'intégrale suivante :
∫∞π−
π≈
0
iKr4/i dKKe)z,K(Per2
1)z,r(p eq. 3- 43
Notons que Li [Li et White, 1994] a récemment critiqué cette approximation. Cet auteur
considère que le terme représentant l'onde arrivant vers la source et faisant intervenir la
fonction de Hankel d'ordre zéro et de deuxième espèce ne doit pas être négligé, en
particulier pour le calcul à basse fréquence de la pression acoustique au-dessus d'une
surface d'impédance nulle. Bien que cette dernière condition ne corresponde pas à des cas
rencontrés dans la réalité, le calcul supplémentaire du second terme n'augmente de toutes
façons que de très peu le coût numérique.
Après avoir écrit la pression sous la forme eq. 3- 43, on remplace l'intégrale indéfinie
par une somme discrète en utilisant la théorie des transformées discrètes de Fourier. Si la
valeur maximale du nombre d'onde est Kmax et que N valeurs discrètes de K sont utilisées
alors les intervalles de nombre d'onde sont donnés par :
)1N/(KK max −=∆ eq. 3- 44
et correspondent aux intervalles suivant la portée :
KN/2r ∆π=∆ eq. 3- 45
Ainsi l'on a :
Chapitre 3 : La fonction de Green prenant en compte les effets météorologiques
- 95 -
∑−
=
π∆π
−=1N
0n
N/mni2nn
m
m eK)K(PKr
1
2
)i1()z,r(p eq. 3- 46
avec Kn=n∆K et rm=m∆r (ou r0+ m∆r). L'expression eq. 3- 46 peut être calculée par un
algorithme de type transformée de Fourier rapide (FFT).
Généralement il n'est pas très facile de tronquer l'intégrale eq. 3- 43 en une somme finie
selon le comportement de l'intégrande (voir à ce sujet les discussions dans [Güdesen, 1990]
et [Richards et Attenborough, 1986]). De plus dans les modèles CERL-FFP, SAFARI ou
FFLAGS (cf annexe II), il n'est pas possible de spécifier le nombre de points désirés
indépendamment de la taille du pas utilisé pour les nombres d'onde horizontaux K à cause
de la relation ∆K∆r=2π/N. En revanche, le modèle CFFP utilise les intervalles suivant
selon la portée : ∆r=2nπ/Kmax où n peut être n'importe quel nombre réel. Ce modèle, qui
calcule la somme eq. 3- 46 par le biais d'une transformation appelée chirp-z transform [Li,
et al., 1991], permet ainsi de choisir à la fois les distances voulues et de faire décroître
l'intervalle ∆K de façon adaptative, pour évaluer avec précision les intégrales des
transformations de Hankel sans pour autant changer les valeurs des distances en sortie du
code de calcul.
L'expression eq. 3- 38 montre en outre, dans le cas d'une source ponctuelle, que les
variables de portée, selon r, et les variables de hauteur, selon z, sont découplées dans la
représentation de la pression. L'allure de la solution sous cette forme est donc
particulièrement intéressante, puisque la fonction de Green intervient dans la BEM, outre
dans l'expression du champ incident, à travers ses dérivées première et seconde par rapport
à la normale (voir les chapitres 2 et 4). Or la dérivée d'une fonction par rapport à la
normale est en fait le produit scalaire du gradient de cette fonction et de la normale, et le
gradient met en jeu les dérivées par rapport à la portée et la hauteur (cf eq. 4- 44 et eq. 4-
45). On constate donc que l'expression eq. 3- 38 permet de calculer les dérivées normales
de la fonction de Green nécessaires au déroulement de la méthode des éléments finis de
frontière. On a ainsi, pour la dérivée du champ de pression par rapport à la portée :
dKK)Kr(J)z,K(Pr
p 210∫
∞−=
∂∂
eq. 3- 47
Les propriétés de la fonction J1, fonction de Bessel d'ordre 1 (cf [Abramowitz et Stegun,
1972]) et le fait que la pression dépendant de la hauteur P reste bornée physiquement,
Chapitre 3 : La fonction de Green prenant en compte les effets météorologiques
- 96 -
assurent la convergence de l'intégrale ci-dessus. Pour la dérivée selon la variable z, on a, de
la même manière :
KdK)Kr(J)z,K(z
P
z
p00∫
∞
∂∂=
∂∂
eq. 3- 48
Là encore, le comportement des fonctions J0 et P assure que l'intégrale est bien définie
de même que pour l'expression de eq. 3- 38.
Les dérivées secondes suivantes interviennent aussi dans le calcul des éléments de la
matrice impliquée dans la BEM (cf eq. 4- 54 à 4- 57) :
dKK)Kr('J)z,K(Pr
p 3102
2
∫∞
−=∂∂
eq. 3- 49
KdK)Kr(J)z,K(z
P
z
p00 2
2
2
2
∫∞
∂∂=
∂∂
eq. 3- 50
dKK)Kr(J)z,K(z
P
zr
p 210
2
∫∞
∂∂−=
∂∂∂
eq. 3- 51
Pour le calcul de l'expression eq. 3- 49, on peut se rapporter au calcul d'intégrales déjà
effectuées en utilisant une propriété de la dérivée des fonctions de Bessel [Abramowitz et
Stegun, 1972] :
)z(Jz
1)z(J)z('J 101 −= eq. 3- 52
On peut également vérifier aisément que toutes les expressions (eq. 3- 49, eq. 3- 50 et
eq. 3- 51) sont bien définies et permettent donc de calculer les dérivées premières et
secondes par rapport à la normale en tout point en revenant à la définition basée sur le
produit scalaire du gradient et de la normale.
Pour calculer ces dérivées première et seconde par rapport à la normale (eq. 3- 47, à eq.
3- 51) on peut alors adopter la même démarche que la méthodologie suivie dans la FFP
pour calculer le champ de pression p(r,z). En effet, en utilisant dans chaque strate
horizontale de l'atmosphère, la solution P(K,z) ou sa dérivée première ou seconde par
rapport à la hauteur z, et en remplaçant toujours les fonctions de Bessel J0 et J1 par une
somme de fonctions de Hankel puis par le développement asymptotique du terme
correspondant à l'onde s'éloignant de la source, on peut se rapporter aussi à l'écriture d'une
transformée de Fourier discrète calculée efficacement par un algorithme FFT.
Chapitre 3 : La fonction de Green prenant en compte les effets météorologiques
- 97 -
En gardant présent à l'esprit le but de cet examen des modèles propagatifs existants, à
savoir que l'on cherche à s'appuyer sur une solution suffisamment efficace sur le plan
numérique pour l'introduire en tant que fonction de Green dans une méthode d'éléments
finis de frontière, une première remarque importante s'impose : la théorie des modèles FFP
présentée ci-dessus considère, comme pour le modèle de l'équation parabolique, le
rayonnement de sources ponctuelles. Ceci est intéressant pour des méthodes d'éléments
finis de frontière tridimensionnelles, cependant en vue d'utiliser la FFP dans une BEM 2D,
il faut d'abord chercher la solution du problème à géométrie plane pour une source
cylindrique. Ainsi dans le cas d'une ligne source parallèle à la stratification de
l'atmosphère, comme pour la théorie de l'équation parabolique exposée au paragraphe
précédent, il est plus naturel de choisir un système de coordonnées cartésiennes (x,y,z),
dans lequel la source linéique est parallèle à l'axe (0,y). Le champ de pression étant alors
indépendant de la coordonnée y, la dimension de l'équation de Helmholtz est réduite à
deux (variables x et z), et l'on peut réécrire l'équation eq. 3- 36, pour une ligne source en
(x,z)=(0,zS) :
)zz()x(4pnkz
p
x
pS
2202
2
2
2
−δπδ−=+∂∂+
∂∂
eq. 3- 53
En effectuant la transformation de Fourier de l'équation eq. 3- 53, il est possible de
s'affranchir de la dépendance en x. La transformée P(K,z) de la fonction p(x,z) se présente
sous la forme :
∫∞
∞−
−
π= dxe)z,x(p
2
1)z,K(P iKx
eq. 3- 54
Connaissant P(K,z) on peut remonter à p(x,z) par la transformation inverse :
∫∞
∞−= dKe)z,K(P)z,x(p iKx
eq. 3- 55
Après application de la transformation de Fourier, l'équation eq. 3- 53 devient :
[ ] )zz(2PK)z(kdz
PdS
222
2
−δ−=−+ eq. 3- 56
Cette dernière équation, similaire à l'équation eq. 3- 39 obtenue pour une source
ponctuelle en échangeant les variables r et x, montre que la solution du problème pour une
source linéique s'obtient facilement à partir des résultats précédents dans le cas d'une
source ponctuelle. En effet, les transformées des conditions aux limites sont également
Chapitre 3 : La fonction de Green prenant en compte les effets météorologiques
- 98 -
semblables, aussi la solution de l'équation eq. 3- 39 peut-elle être utilisée comme noyau
pour la transformée inverse eq. 3- 55, ce qui permet de calculer aisément le champ de
pression rayonnée par une ligne source. L'utilisation d'une solution de type FFP comme
noyau de Green d'une BEM 2D ne pose donc, à ce stade, pas de problème a priori.
Les formules eq. 3- 38, eq. 3- 47 à eq. 3- 52 concernent le cas d'une source ponctuelle
et sont susceptibles de servir de base au calcul de la fonction de Green d'une méthode
d'éléments finis de frontière tridimensionnelle. Dans le but d'utiliser une BEM 2D, on peut
écrire ainsi, pour une source linéique, à la place de l’équation eq. 3- 38 la formule eq. 3-
55, et les expressions eq. 3- 47 à eq. 3- 51 deviennent :
dKe)z,K(iKPx
p iKx∫∞
∞−=
∂∂
eq. 3- 57
dKe)z,K(z
P
z
p iKx∫∞
∞− ∂∂=
∂∂
eq. 3- 58
dKKe)z,K(Px
p 2iKx2
2
∫∞
∞−−=
∂∂
eq. 3- 59
dKe)z,K(z
P
z
p iKx2
2
2
2
∫∞
∞− ∂∂=
∂∂
eq. 3- 60
dKe)z,K(z
PiK
zx
p iKx2
∫∞
∞− ∂∂=
∂∂∂
eq. 3- 61
On constate que le calcul des dérivées normales première et seconde ne pose pas non
plus de problème dans le cas d'une source linéique. De la même manière que ci-dessus
pour une source ponctuelle, on peut alors adopter aussi la même démarche que la
méthodologie suivie dans la FFP pour calculer le champ de pression p(x,z). Ainsi il semble
que les codes de calcul FFP peuvent être adaptés au calcul de la fonction de Green et de ses
dérivées par rapport à la normale entrant en jeu dans une BEM.
Cependant plusieurs problèmes peuvent se poser. Considérons le cas simple d'un écran
droit rigide sur un sol plan, cas résolu en milieu homogène dans le chapitre 4, présentant la
méthode d'éléments finis de frontière utilisée dans ce travail. D'une part la valeur de la
dérivée par rapport à la normale de la fonction de Green doit être connue en plusieurs
points situés sur l'écran (cf eq. 4- 10), à cause du terme impliquant la source dans la
formulation intégrale de départ eq. 4- 6, et également du terme calculé au récepteur dans
l'expression intégrale finale de la pression eq. 4- 24 ; d'autre part les coefficients de la
Chapitre 3 : La fonction de Green prenant en compte les effets météorologiques
- 99 -
matrice mettent en jeu les dérivées secondes par rapport à la normale de la fonction de
Green entre deux points courants situés sur l'écran (voir eq. 4- 11 et 4- 12). Dans le cas où
deux points sont très proches, le calcul par la FFP doit alors être remplacé par des
expressions approchées valables en champ proche. On verra comment une approximation
correcte peut être effectuée pour s'affranchir du problème de la dérivée seconde de la
fonction de Green sur l'écran dans le chapitre 6 qui présentera le modèle Météo-BEM. En
revanche un problème épineux se posera concernant la possibilité ou non, évoquée ci-
dessus, de choisir la position des points à cause de la relation imposée entre les pas ∆K et
∆r (eq. 3- 45), or on veut pouvoir choisir des distances arbitraires entre les points, ce qui
exclut les approches CERL-FFP, SAFARI et FFLAGS, seule la méthode CFFP pouvant
conduire à un tel degré de liberté sur la position des points. De plus, même si grâce à la
technique de la matrice globale, présentée dans l'annexe II, il est possible de calculer
simultanément le champ total à des hauteurs différentes, ce qui est particulièrement
attractif pour évaluer les termes incluant des dérivées par rapport à la normale sur un
certain nombre de points situés sur l'écran, le temps de calcul global pour la méthode
d'éléments finis de frontière en milieu inhomogène risque de devenir prohibitif et les
erreurs numériques se cumulant peuvent conduire à des incertitudes importantes dans le
résultat. Une tentative a été effectuée pour essayer d'incorporer une solution de type FFP
dans une formulation BEM [Taherzadeh, et al., 1998] mais n'a pas, semble-t-il, donné
entièrement satisfaction, et n'a pas donné suite à d'autres développements. Par conséquent,
à ce stade de l'étude, la solution FFP du problème en milieu inhomogène n'est pas non plus
retenue parmi les candidats à la fonction de Green recherchée pour l'introduction des effets
météorologiques dans une méthode d'éléments finis de frontière.
Chapitre 3 : La fonction de Green prenant en compte les effets météorologiques
- 100 -
3.3.4 Les solutions analytiques
Les solutions analytiques sont présentées rapidement dans ce paragraphe (voir l'article
de référence [Attenborough, et al., 1995], elles seront exposées en détail dans une partie
ultérieure. L'obtention de ces solutions est rappelée brièvement ainsi que leurs limitations
et avantages. Cette partie présente tout d'abord une solution analytique classique pour
l'effet de sol en milieu homogène, qui servira de base à un modèle géométrique valable en
situation de réfraction vers le haut. Puis les deux grandes solutions analytiques des modes
normaux pour la réfraction vers le bas et de la série des résidus pour la réfraction vers le
haut seront passées en revue.
3.3.4.1 La solution analytique de l'effet de sol en milieu homogène
La propagation d'ondes sphériques au-dessus d'un sol d'impédance finie a fait l'objet de
nombreuses recherches, depuis les premiers résultats théoriques obtenus au début du siècle
par Sommerfeld [Sommerfeld, 1909] et Weyl [Weyl, 1919]. De nombreux développements
théoriques ont ensuite été effectués [Rudnik, 1947], [Ingard, 1951], suivis par des travaux
débouchant sur des solutions approchées [Thomasson, 1976], [Chien et Soroka, 1975],
[Thomasson, 1976], [Donato, 1976], [Chien et Soroka, 1980], [Kawai, et al., 1982],
[Rasmussen, 1982], [Di et Gilbert, 1993] et [Delany et Bazley, 1970], qui se sont avérées
très précises dans le cadre de la propagation acoustique en milieu extérieur. C'est ainsi que
les chercheurs ont abouti à différents modèles caractérisant les propriétés acoustiques du
sol [Delany et Bazley, 1970], [Chessell, 1977], [Thomasson, 1977], [Attenborough, 1985],
[Attenborough, 1992], permettant de bien connaître aujourd'hui les mécanismes de la
propagation en milieu homogène au-dessus d'un sol absorbant.
Considérons le problème de la propagation d'une onde sphérique issue d'une source
ponctuelle S en milieu homogène. Dans ce cas, les trajectoires des rayons sont rectilignes.
Le son se propage vers le récepteur R le long d'un rayon direct de longueur R1 et d'un
rayon réfléchi par le sol, de longueur R2, avec un angle d'incidence θ (voir figure 3. 2).
Chapitre 3 : La fonction de Green prenant en compte les effets météorologiques
- 101 -
figure 3. 2 : Propagation acoustique au-dessus d'un sol plan absorbant en milieu homogène.
En utilisant une formulation de Weyl-Van der Pol, la pression acoustique peut alors se
mettre sous la forme [Chien et Soroka, 1980] :
21 ikR
2
2ikR
1
1 eR
)R(AQe
R
)R(A)z,r(p += eq. 3- 62
L'amplitude A(R) prend en compte l'absorption atmosphérique et Q est le coefficient de
réflexion modifié pour décrire la réflexion d'une onde sphérique sur un sol plan absorbant.
Une bonne approximation de Q dans le cas d'une surface à réaction localisée est donnée
par :
( ) )w(F)(R1)(RQ pp θ−+θ=eq. 3- 63
avec Rp(θ) le coefficient de réflexion pour une onde plane et la fonction F faisant
intervenir la distance numérique w et la fonction erreur complémentaire. On a :
1cosZ
1cosZ)(Rp +θ
−θ=θ eq. 3- 64
22
2 )Z/1(cosikR2
1w +θ= eq. 3- 65
)iw(erfcwei1)w(F w −π+= −eq. 3- 66
Z représente l'impédance acoustique normalisée du sol. On peut trouver dans
[Attenborough, et al., 1980] des expressions appropriées correspondant à eq. 3- 64 et eq. 3-
65 pour le cas d'un sol à réaction étendue.
Dans le cadre de ce travail, il faut tout d'abord adapter la solution au cas d'une source
cylindrique. Ceci peut être fait aisément en considérant que le rayonnement se fait non plus
selon une loi en eikR/R, mais selon une loi en H0(kR). Il faut cependant prendre garde au
Chapitre 3 : La fonction de Green prenant en compte les effets météorologiques
- 102 -
fait que la formule eq. 3- 63 du coefficient de réflexion est, de manière rigoureuse, valable
pour une onde sphérique. On pourra, en première approximation, considérer que ce
coefficient pour une onde cylindrique est proche de celui de l'onde sphérique, en
s'appuyant sur les travaux de Chandler-Wilde [Chandler-Wilde, 1988]. En outre, la
solution eq. 3- 62 peut poser des problèmes en incidence rasante, ce qui est gênant pour le
calcul de la fonction de Green et de ses dérivées en deux points proches, au voisinage du
sol. De plus, il faut également évidemment modifier cette solution pour pouvoir prendre en
compte des effets météorologiques. Ceci peut se réaliser, notamment dans le cas de la
réfraction vers le haut, en utilisant l'idée astucieuse (voir [Berry et Daigle, 1988] par
exemple) selon laquelle il existe une analogie entre la propagation dans un milieu
inhomogène au-dessus d'un sol plan et la propagation en milieu homogène au-dessus d'une
surface courbée, qui simule de fait la courbure des rayons occasionnée par la réfraction.
Cette analogie sera présentée plus en détail au chapitre 5. Il faut alors, dans ce cas de
réfraction vers le haut, prendre en compte en outre la déformation du tube de rayons (cf eq.
3- 16) due à la courbure de la surface. On constate donc que la solution adaptée à partir de
eq. 3- 62 n'est plus purement analytique et fait intervenir des approximations. En outre, le
calcul des dérivées normales ne semble pas réalisable sous une forme "analytique"
intéressante pour la fonction de Green de la méthode d'éléments finis de frontière. Par
conséquent, il semble qu'il faille dans ce cas recourir à une dérivation numérique de type
différences finies avec les problèmes que cela implique en précision et temps de calcul,
problèmes déjà évoqués dans les paragraphes précédents.
3.3.4.2 Les solutions analytiques de type techniques spectrales
Ces solutions font en fait partie avec la FFP de méthodes appelées techniques
spectrales, puisqu'elles s'appuient au départ sur une formulation semblable du champ de
pression, faisant intervenir, pour une source ponctuelle, une transformation de Hankel.
Dans le cas de la réfraction vers le bas, la solution analytique correspondant est connue
sous le nom de solution des modes normaux tandis que pour le cas de la réfraction vers le
haut, on parle de série des résidus.
En supposant que le milieu est à symétrie cylindrique i.e qu'il n'y a aucune variation
avec l'angle azimuthal θ, on part ainsi de l'équation de Helmholtz à indice variable écrite
Chapitre 3 : La fonction de Green prenant en compte les effets météorologiques
- 103 -
en coordonnées cylindriques eq. 3- 35, et l'on applique une transformation intégrale de
Hankel pour réduire de un la dimensionalité du problème.
La transformée P(K,z) de p(r,z) s'écrit :
∫∞
∞−−= rdr)Kr(H)z,r(p)z,K(P 1
0 eq. 3- 67
Connaissant P(K,z) on peut remonter à p(r,z) par la transformation inverse :
∫∞
∞−−= KdK)Kr(H)z,K(P)z,r(p 1
0 eq. 3- 68
Après application de la transformation de Hankel, l'équation eq. 3- 35 devient :
[ ] )zz(PK)z(kdz
PdS
222
2
−δ=−+ eq. 3- 69
La fonction P(K,z) doit satisfaire une condition aux limites d'impédance sur le sol, elle
doit être continue à la source, avoir une discontinuité de sa dérivée avec la hauteur à la
hauteur de la source, et doit également remplir la condition de rayonnement de
Sommerfeld à des grandes hauteurs.
Si l'on peut représenter la variation de la vitesse du son avec la hauteur sous la forme
suivante, dans le cas de la réfraction vers le bas :
)az1)(0(caz21
)0(c)z(c +≈
−= eq. 3- 70
ou, en situation de réfraction vers le haut :
)az1)(0(caz21
)0(c)z(c −≈
+= eq. 3- 71
on peut trouver des solutions analytiques pour P(K,z) faisant intervenir des fonctions de
Airy. Cette écriture est intéressante puisque ces fonctions de Airy ne présentent pas de
coupures dans le plan complexe, ce qui simplifie l'analyse et la recherche des pôles. On
reporte alors la solution en termes de fonctions de Airy dans l'intégrale spectrale de départ
eq. 3- 68, que l'on peut calculer de différentes manières. Ainsi Rasmussen [Rasmussen,
1986] obtient-il la solution de l'équation d'onde transformée dépendant de la hauteur eq. 3-
69 sous la forme de fonctions de Fock, reliées directement aux fonctions de Airy, et cet
auteur calcule alors l'intégrale par des techniques numériques. Pierce [Pierce, 1991] évalue
cette intégrale dans le cas de la réfraction vers le haut en recourant à une intégration de
Chapitre 3 : La fonction de Green prenant en compte les effets météorologiques
- 104 -
contour dans le plan complexe et en calculant l'intégrale sous la forme de la somme des
résidus en chaque pôle. Puis d'autres auteurs [Berry et Daigle, 1988] ont amélioré la
précision des calculs en éliminant quelques approximations effectuées par Pierce.
La série des résidus obtenue est considérée comme une solution analytique exacte (cf
[Attenborough, et al., 1995]), bien que rigoureusement elle constitue une approximation,
très bonne, de l'intégrale de départ eq. 3- 68. A cette série des résidus dans le cas de la
réfraction vers le haut, correspond, de la même manière, une solution approchée de
l'équation d'onde dépendant de la hauteur et basée sur la théorie des modes normaux,
valable en situation de réfraction vers le bas.
Ce qui précède est valable pour une source ponctuelle. Dans le cas du rayonnement
cylindrique d'une source linéique, on part de l'équation eq. 3- 53. Pour réduire la
dimensionalité du problème, on utilise cette fois une transformation de type Fourier définie
par les deux expressions suivantes :
∫∞
∞−
−
π−= dxe)z,x(p
4
1)z,K(P iKx
eq. 3- 72
Connaissant P(K,z) on peut remonter à p(x,z) par la transformation inverse :
∫∞
∞−−= dKe)z,K(P2)z,x(p iKx
eq. 3- 73
Après application de cette transformation à l'équation eq. 3- 53, on trouve que la
fonction z)(K,P est solution de eq. 3- 69, ce qui signifie que les résultats pour une source
ponctuelle sont aisément transposables au cas d'une source cylindrique, en utilisant la
même fonction de Green dépendant de la hauteur et la formule eq. 3- 73.
3.3.4.3 La solution des modes no rmaux pour la réfraction vers le bas
Cette méthode a été utilisée depuis de nombreuses années en acoustique sous-marine (cf
[Buckingham, 1992], [Jensen, et al., 1994]) puis dans le domaine de la sismique [Aki et
Richards, 1980]. L'idée en est que le problème possède un ensemble de modes de vibration
semblables aux modes d'une corde vibrante. Le champ acoustique total est alors construit
en sommant tous les modes pondérés selon la position de la source. La théorie sous-jacente
est en fait le problème aux valeurs propres classique de Sturm-Liouville, dont les
propriétés sont bien connues (cf [Jensen, et al., 1994]) : l'équation modale possède un
Chapitre 3 : La fonction de Green prenant en compte les effets météorologiques
- 105 -
nombre infini de solutions appelées modes, ces modes sont caractérisés par une fonction
définissant la forme du mode et une constante horizontale de propagation. Dans le cas de
conditions aux limites impliquant une surface parfaitement rigide z=0 (sol) et une surface
parfaitement absorbante à la hauteur z=D donnée, on peut montrer que les modes sont
orthogonaux et forment une base complète. On peut alors représenter n'importe quelle
fonction sous la forme d'une somme de modes normaux. Dans le cas général, les modes
normaux ne forment pas une base complète, et l'on obtient un spectre "mixte" composé
d'une partie discrète et d'une partie continue, et une intégrale de branche vient s'ajouter,
dans la représentation du champ de pression, à la somme des modes discrets.
Dans le cas de la réfraction vers le bas, donné par le profil de vitesse du son eq. 3- 70, la
fonction de Green dépendant de la hauteur P(z,k), solution de eq. 3- 69, peut s'exprimer en
termes de fonctions de Airy et de leurs dérivées de la manière suivante :
( )[
+τ
τ+ττ+τ−
+τ+τπ−=
<
ππ
π<>
π
)y(Ai)(qAi)('Ai
)e(qAi)e('Ai
e)y(Ai)y(lAie2)z,K(P3/i23/i2
3/i26/i
eq. 3- 74
où( ) ( )
)z,zmin(z),z,zmax(z,l/zy,l/zy,l)kk()dz/dc/(cR,k2/Rl,Z/clikq),0(c/f2k
rsrs22
02
c
3/120c00
====−=τ==ρ=π=
<><<>>
eq. 3-
75
Rc est le rayon de courbure des rayons acoustiques (dont les trajectoires sont des arcs de
cercle dans le cas d'un profil linéaire de célérité), zs et zr les hauteurs de la source et du
récepteur.
En reportant cette expression dans l'intégrale eq. 3- 68, et en calculant cette dernière
grâce à sa série des résidus, on obtient (cf [Raspet, et al., 1992]) :
( ) ( ) ( ) ( )( )[ ] ( )[ ]∑
τ−ττ+τ+τπ=
n2
n'2
nn
nsnn10
AiAi
l/zAil/zAirkH
l
iz,rp eq. 3- 76
avec ( ) 220
2nn lkk −=τ eq. 3- 77
les zéros de ( ) ( ) 0qAi'Ai nn =τ+τ eq. 3- 78
kn représente le nombre d'onde horizontal du nième mode. L'expression eq. 3- 76 néglige
en fait la contribution du premier terme de eq. 3- 74 représentant le champ direct, ce qui
selon Raspet [Raspet, et al., 1992] conduit à une erreur minime à grande distance. En effet,
Chapitre 3 : La fonction de Green prenant en compte les effets météorologiques
- 106 -
à cette distance les contributions les plus importantes de l’intégrale eq. 3- 68 résultent des
pôles de P(K,z) qui proviennent du terme réfléchi par le sol. Le terme dû à l’onde directe
est alors négligeable en regard de la somme des résidus de l’intégrale et l’on considère que
l’expression eq. 3- 76 donne une valeur précise du champ de pression.
La série des résidus eq. 3- 76 dans le cas de la réfraction vers le bas, ne converge pas
rapidement du fait que la plupart des pôles sont situés près de l'axe des réels. Le nombre de
modes nécessaires pour évaluer le champ de pression avec une précision correcte peut être
approché par :
=
0max dz
dc/f
3
2n eq. 3- 79
où f représente la fréquence. Cette valeur est en fait déterminée en imposant à la
composante horizontale du nombre d’onde d’être imaginaire pour une surface d’impédance
infinie. Ainsi le nombre de termes est directement proportionnel à la fréquence et à
l’inverse du gradient de vitesse du son.
Notons que le profil de vitesse du son eq. 3- 70 n’est pas physique puisqu’à la hauteur
z=1/2a la célérité devient infinie. Par conséquent le profil de vitesse du son doit être
tronqué à une certaine hauteur. En général, la hauteur du nième rayon peut être approchée
par :
l)2/n3(h 3/1n π= eq. 3- 80
L'expression eq. 3- 76 du champ acoustique est particulièrement attractive puisqu'elle
offre l'avantage de présenter une formulation analytique où les variables de portée r et de
hauteur z sont découplées et par conséquent sous cette forme le champ de pression est
aisément dérivable par rapport aux deux variables. Cette solution apparaît donc très
intéressante en vue de l'insérer dans une méthode d'éléments finis de frontière 3D. On
obtient alors, pour le calcul des dérivées normales de la fonction de Green :
( ) ( ) ( )( )[ ] ( )[ ]∑
τ−ττ+τ+τπ−=
∂∂
n2
n'2
nn
nsnn11n
AiAi
l/zAil/zAirkHk
l
i
r
peq. 3- 81
( ) ( ) ( )( )[ ] ( )[ ]∑
τ−ττ+τ+τπ=
∂∂
n2
n'2
nn
nsnn10
2AiAi
l/z'Ail/zAirkH
l
i
z
peq. 3- 82
Chapitre 3 : La fonction de Green prenant en compte les effets météorologiques
- 107 -
( ) ( ) ( )( )[ ] ( )[ ]∑
τ−ττ+τ+τπ−=
∂∂
n2
n'2
nn
nsnn11
2n
2
2
AiAi
l/zAil/zAirk'Hk
l
i
r
peq. 3- 83
( ) ( )( ) ( )( )[ ] ( )[ ]∑
τ−ττ+τ+τ+τπ=
∂∂
n2
n'2
nn
nnsnn10
32
2
AiAi
l/zAil/zl/zAirkH
l
i
z
peq. 3- 84
( ) ( ) ( )( )[ ] ( )[ ]∑
τ−ττ+τ+τπ−=
∂∂∂
n2
n'2
nn
nsnn11n
2
2
AiAi
l/z'Ail/zAirkHk
l
i
zr
peq. 3- 85
Pour le calcul de eq. 3- 83, on peut utiliser la relation suivante pour la dérivée de la
fonction de Hankel d'ordre un [Abramowitz et Stegun, 1972] :
)z(Hz
1)z(H)z('H 101 −= eq. 3- 86
Notons qu'on a utilisé dans eq. 3- 84 la relation qui suit, pour la dérivée seconde de la
fonction de Airy [Abramowitz et Stegun, 1972] :
)z(zAi)z(''Ai = eq. 3- 87
Dans le cas du rayonnement d'une source cylindrique, en reportant l'expression eq. 3-
74 pour la fonction de Green dépendant de la hauteur dans l'intégrale eq. 3- 73, et en
calculant cette dernière toujours grâce à sa série des résidus, on obtient, avec les mêmes
notations que pour eq. 3- 76, eq. 3- 77 et eq. 3- 78 :
( ) ( ) ( )( )[ ] ( )[ ]( )∑
τ−ττ+τ+τπ=
n2
n'2
nnn
nsnxik
AiAik
l/zAil/zAie
l
i2z,xp
n
eq. 3- 88
Les formules eq. 3- 81 à eq. 3- 85 deviennent :
( ) ( )( )[ ] ( )[ ]∑
τ−ττ+τ+τπ−=
∂∂
n2
n'2
nn
nsnxik
AiAi
l/zAil/zAie
l
2
x
p n
eq. 3- 89
( ) ( )( )[ ] ( )[ ]( )∑
τ−ττ+τ+τπ=
∂∂
n2
n'2
nnn
nsnxik
2AiAik
l/z'Ail/zAie
l
i2
z
p n
eq. 3- 90
( ) ( )( )[ ] ( )[ ]∑
τ−ττ+τ+τπ−=
∂∂
n2
n'2
nn
nsnxik
n2
2
AiAi
l/zAil/zAiek
l
i2
x
p n
eq. 3- 91
( )( ) ( )( )[ ] ( )[ ]( )∑
τ−ττ+τ+τ+τπ=
∂∂
n2
n'2
nnn
nnsnxik
32
2
AiAik
l/zAil/zl/zAie
l
i2
z
p n
eq. 3- 92
Chapitre 3 : La fonction de Green prenant en compte les effets météorologiques
- 108 -
( ) ( )( )[ ] ( )[ ]∑
τ−ττ+τ+τπ−=
∂∂∂
n2
n'2
nn
nsnxik
2
2
AiAi
l/z'Ail/zAie
l
2
zx
p n
eq. 3- 93
Les équations ci-dessus prouvent que la solution des modes normaux peut donc être
adaptée simplement pour servir de fonction de Green pour l'introduction des effets
météorologiques dans une BEM bidimensionnelle, dans le cas de la réfraction vers le bas.
3.3.4.4 La série des résidus pour la réfraction vers le haut
De la même manière que pour la réfraction vers le bas, dans le cas de la réfraction vers
le haut, donné par le profil de vitesse du son eq. 3- 71, la fonction de Green dépendant de
la hauteur P(K,z), solution de eq. 3- 69, peut également s'exprimer en termes de fonctions
de Airy et de leurs dérivées (voir [Raspet, et al., 1991]). On peut alors écrire en conservant
les notations eq. 3- 75 :
( ) ( )[( )
−τ
τ−ττ−τ−
−τ−τπ−=
π<ππ
<π
>π
3/i23/i23/i2
3/i26/i
e)y(Ai)e(qAi)e('Ai
)(qAi)('Ai
yAie)y(Aile2)z,K(P
eq. 3- 94
En reportant cette expression dans l'intégrale eq. 3- 68, et en calculant cette dernière
grâce à sa série des résidus, on obtient (cf [Berry et Daigle, 1988]) :
( ) ( ) ( ) ( )( )[ ] ( )[ ]∑ −
−−π=πππ
n2
nn2
n
3/i2n
3/i2snn
10
6/i
bAibb'Ai
e)l/z(bAie)l/z(bAirkH
l
ez,rp eq. 3- 95
avec ( ) 3/i2220
2nn elkkb π−= eq. 3- 96
les zéros de ( ) ( ) 0bAiqeb'Ai n3/i2
n =+ πeq. 3- 97
L'expression eq. 3- 95, négligeant en fait la contribution du champ direct, est une
excellente approximation du champ acoustique à grande distance (voir [Raspet, et al.,
1991]). Dans le cas de la réfraction vers le haut, la convergence de la série est rapide
puisque l'absorption croît très rapidement pour les pôles d'ordre élevé. Cette solution
apparaît très puissante en situation de réfraction vers le haut, pour la prévision des niveaux
de bruit dans la zone d'ombre, car la propagation est alors presque entièrement régie par le
gradient de vitesse du son dans un intervalle de quelques mètres au-dessus du sol et n'est
que peu affectée par les effets météorologiques à des hauteurs plus élevées.
Chapitre 3 : La fonction de Green prenant en compte les effets météorologiques
- 109 -
L'expression eq. 3- 95, à l'instar de eq. 3- 76, offre l'avantage de présenter une
formulation analytique du champ de pression où les variables de portée r et de hauteur z
sont découplées. Elle permet par conséquent, sous cette forme, de dériver aisément le
champ de pression par rapport aux deux variables. Cette solution apparaît donc également
très intéressante pour servir de fonction de Green à une méthode d'éléments finis de
frontière 3D. On obtient alors, pour le calcul des dérivées normales de la fonction de
Green :
( ) ( ) ( )( )[ ] ( )[ ]∑ −
−−π−=∂∂ πππ
n2
nn2
n
3/i2n
3/i2snn
11n
6/i
bAibb'Ai
e)l/z(bAie)l/z(bAirkHk
l
e
r
peq. 3- 98
( ) ( ) ( )( )[ ] ( )[ ]∑ −
−−π−=∂∂ πππ
n2
nn2
n
3/i2n
3/i2snn
10
2
6/i5
bAibb'Ai
e)l/z(b'Aie)l/z(bAirkH
l
e
z
peq. 3- 99
( ) ( ) ( )( )[ ] ( )[ ]∑ −
−−π−=∂∂ πππ
n2
nn2
n
3/i2n
3/i2snn
11
2n
6/i
2
2
bAibb'Ai
e)l/z(bAie)l/z(bAirk'Hk
l
e
r
peq. 3- 100
( ) ( )( ) ( )( )[ ] ( )[ ]∑ −
−−−π−=∂∂ πππ
n2
nn2
n
3/i2n
3/i2n
3/i2snn
10
32
2
bAibb'Ai
e)l/z(bAie)l/z(be)l/z(bAirkH
l
i
z
peq. 3- 101
( ) ( ) ( )( )[ ] ( )[ ]∑ −
−−π=∂∂
∂ πππ
n2
nn2
n
3/i2n
3/i2snn
11n
2
6/i52
bAibb'Ai
e)l/z(b'Aie)l/z(bAirkHk
l
e
zr
peq. 3- 102
Ces formules peuvent être adaptées au cas du rayonnement d'une source cylindrique en
recourant à la même méthode que pour la réfraction vers le bas. En reportant ainsi
l'expression eq. 3- 94 pour la fonction de Green dépendant de la hauteur dans l'intégrale
eq. 3- 73, et en calculant cette dernière toujours grâce à sa série des résidus, on obtient,
avec les mêmes notations que pour eq. 3- 95, eq. 3- 96 et eq. 3- 97 :
( ) ( ) ( )( )[ ] ( )[ ]( )∑ −
−−π=πππ
n2
nn2
nn
3/i2n
3/i2sn
xik6/i
bAibb'Aik
e)l/z(bAie)l/z(bAie
l
e2z,xp
n
eq. 3- 103
Les formules eq. 3- 98 à eq. 3- 102 deviennent :
( ) ( )( )[ ] ( )[ ]∑ −
−−π=∂∂ πππ
n2
nn2
n
3/i2n
3/i2sn
xik6/i
bAibb'Ai
e)l/z(bAie)l/z(bAie
l
ei2
x
p n
eq. 3- 104
( ) ( )( )[ ] ( )[ ]( )∑ −
−−π−=∂∂ πππ
n2
nn2
nn
3/i2n
3/i2sn
xik
2
6/i5
bAibb'Aik
e)l/z(b'Aie)l/z(bAie
l
e2
z
p n
eq. 3- 105
Chapitre 3 : La fonction de Green prenant en compte les effets météorologiques
- 110 -
( ) ( )( )[ ] ( )[ ]∑ −
−−π−=∂∂ πππ
n2
nn2
n
3/i2n
3/i2sn
xik2n
6/i
2
2
bAibb'Ai
e)l/z(bAie)l/z(bAiek
l
e2
x
p n
eq. 3- 106
( )( ) ( )( )[ ] ( )[ ]( )∑ −
−−−π=∂∂ πππ
n2
nn2
nn
3/i2n
3/i2n
3/i2sn
xik
32
2
bAibb'Aik
e)l/z(bAie)l/z(be)l/z(bAie
l
i2
z
p n
eq. 3- 107
( ) ( )( )[ ] ( )[ ]∑ −
−−π−=∂∂
∂ πππ
n2
nn2
n
3/i2n
3/i2sn
xik
2
6/i52
bAibb'Ai
e)l/z(b'Aie)l/z(bAie
l
ei2
zx
p n
eq. 3- 108
De même que pour la réfraction vers le bas, on constate donc que la solution de la série
des résidus peut être modifiée simplement pour pouvoir être insérée dans une BEM
bidimensionnelle dans le but d'introduire des effets météorologiques.
Chapitre 3 : La fonction de Green prenant en compte les effets météorologiques
- 111 -
3.4 Conclusion : évaluation et comparaison des différents modèles
Ce paragraphe vise à résumer les limites et avantages des modèles présentés dans ce
chapitre. De manière générale, les modèles de prévision de la propagation acoustique en
milieu extérieur sont basés sur différentes approximations mathématiques qui induisent
chacune des hypothèses avec les limitations qui s'ensuivent. Le schéma de la figure 3. 3
montre la hiérarchie des principaux modèles existants. Les modèles souffrant de limitations
plus draconiennes en ce qui concerne le traitement de profils de vitesse du son, sont situés
en haut de la figure, les modèles capables de prendre en compte progressivement des
conditions de propagation de plus en plus complexes étant situés vers le bas.
Au premier niveau de cet échelle (en haut de la figure 3. 3), on retrouve les modèles
classiques qui considèrent l'atmosphère comme étant homogène (modèles de rayon et
apparentés comme la TGD, modèles dits d'effet de sol, BEM ...). Dans un ordre croissant
de complexité, on trouve alors les solutions basées sur les techniques spectrales comme le
Fast Field Program, la solution des modes normaux et de la série des résidus, reposant sur
l'hypothèse de milieux de propagation dont les propriétés ne varient pas avec la portée.
Parmi ceux-ci, la FFP offre l'avantage de pouvoir prendre en compte de profils de vitesse
du son plus compliqués, en fonction de l'altitude. Enfin, arrivent les méthodes capables de
prendre en compte des profils de vitesse du son quelconques : les méthodes de rayons et la
théorie de l'équation parabolique. Cependant, les méthodes de rayon sont limitées à haute
fréquence, c'est-à-dire pour des fréquences telles que la vitesse du son et l'amplitude de
l'onde ne varient pas de façon significative sur une distance de l'ordre de grandeur de la
longueur d'onde. Soulignons toutefois que l'efficacité de ces méthodes, lorsqu'il est
possible de les utiliser, n'est plus à démontrer.
Pour rendre l'exposé plus complet, bien que ce phénomène ne sera pas étudié par la
suite, il convient de garder présent à l'esprit que de nombreux modèles ont tenté de décrire
la turbulence (les modèles d'effet de sol cf [Daigle, 1979, Daigle, et al., 1978], la FFP
[Raspet et Wu, 1995], le modèle heuristique [L'Espérance, et al., 1992]), en introduisant
Chapitre 3 : La fonction de Green prenant en compte les effets météorologiques
- 112 -
figure 3. 3 : Les principaux modèles de propagation acoustique en milieu extérieur.
Chapitre 3 : La fonction de Green prenant en compte les effets météorologiques
- 113 -
des facteurs dans le calcul du niveau de pression moyen, qui prennent en compte la
décorrélation en phase et amplitude entre les rayons directs et réfléchis par le sol.
Seule l'approche de l'équation parabolique [Gilbert, et al., 1990] repose sur un modèle
de turbulence bidimensionnel où l'indice de réfraction est divisé en une partie déterministe
et une partie stochastique. Le son se propage à travers une réalisation "gelée" de
l'atmosphère turbulente. Pour obtenir des effets moyens de turbulence, il faut effectuer
plusieurs calculs pour différentes réalisations aléatoires de l'atmosphère. Dans la figure 3.
3, l’astérisque représente les solutions pouvant prendre en compte ce phénomène physique
de la turbulence.
En ce qui concerne la modélisation des phénomènes intervenant dans la propagation
acoustique en milieu extérieur, Galindo [Galindo Arranz, 1996] souligne par ailleurs que :
"The noise control researches point in the direction of new hybrid methods, where different
techniques are coupled to avoid limitations of the particular methods". C'est le cas de la
méthode des faisceaux gaussiens [Gabillet, et al., 1993], qui est une approche hybride entre
les modèles de rayon et l'équation parabolique ; le modèle heuristique [L'Espérance, et al.,
1992] est un autre exemple de méthode hybride, qui repose quant à lui à la fois sur la
théorie des rayons et la solution de la série des résidus. La nouvelle approche Météo-BEM
présentée au chapitre 6, procède de cette même idée.
Un certain nombre d'études ont été réalisées pour comparer les résultats de différentes
méthodes entre eux [White et Raspet, 1989] [Raspet, et al., 1995] [Attenborough, et al.,
1995] et aussi à des résultats de mesures expérimentales [Rasmussen, 1994], [Berry et
Daigle, 1988]. On peut globalement résumer les conclusions de ces travaux en soulignant
que généralement les algorithmes de type Fast Field Program et équation parabolique
donnent des résultats très voisins sous de nombreuses conditions différentes, et qu'ils sont
en accord avec les solutions analytiques, lorsque celles-ci existent.
En gardant le fil directeur de cette analyse critique des modèles existants, à savoir que
l'on cherche une solution susceptible de fournir une fonction de Green suffisamment
efficace sur le plan numérique en vue de l'insérer dans une méthode d'éléments finis de
frontière, il faut rappeler que parmi toutes les approches présentées, le modèle analytique
d'effet de sol, qui ne prend pas en compte à l'origine une vitesse du son qui varie avec la
position doit donc être modifié pour inclure la courbure des rayons due à la réfraction. On
Chapitre 3 : La fonction de Green prenant en compte les effets météorologiques
- 114 -
est également contraint dans ce cas de recourir à des techniques de dérivation numérique
pour calculer les dérivées première et seconde de la fonction de Green. Les méthodes de
rayon ainsi que la théorie de l'équation parabolique ne semblent pas non plus offrir une
solution intéressante en vue de l'inclure dans une BEM, du fait du recours nécessaire, là
encore, à des techniques de dérivation numérique. Les modèles basés sur des techniques
spectrales paraissent quant à eux jouir de propriétés attractives : les variables de portée et
de hauteur sont découplées, permettant d'accéder de manière relativement aisée à la valeur
des dérivées normales première et seconde. La formulation analytique de la solution, i.e la
solution des modes normaux pour la réfraction vers le bas et de la série des résidus pour la
réfraction vers le haut, semble toutefois plus avantageuse que le modèle de la FFP qui
implique un calcul numérique pour évaluer les dérivées en jeu, bien que cette dernière
approche permette de prendre en compte des profils quelconques de vitesse du son en
fonction de la hauteur, contrairement aux deux premières solutions, valables pour des
profils linéaires de célérité. On verra cependant au chapitre 5 que d'une part il est possible
de linéariser des profils de vitesse du son réels, et d'autre part, certains travaux ont été
effectués pour surmonter cette hypothèse de profils linéaires de vitesse du son sous
laquelle ont été initialement développées les solutions analytiques, en étendant la théorie à
des profils quelconques. Par conséquent, à ce stade de l'étude, on retiendra, parmi tous les
candidats admissibles à la fonction de Green de la méthode d'éléments finis de frontière,
les deux solutions analytiques que sont les modes normaux dans le cas de la réfraction vers
le bas, et la série des résidus pour la réfraction vers le haut. La figure 3. 3 fait apparaître en
gras les modèles utilisés dans ce travail : éléments finis de frontière en milieu homogène ;
modèle d’effet de sol avec courbure de rayons, série des résidus et modes normaux en
milieu inhomogène. Rappelons que le but de ce travail est de montrer qu'il est possible de
manière générale d'inclure des effets météorologiques dans une formulation de type BEM
et que par conséquent les résultats sont généraux et ne dépendent pas du choix de la
fonction de Green retenue en milieu inhomogène. A ce titre, d'autres modèles discutés
précédemment pourraient également servir de base à la fonction de Green de la BEM, en
intégrant les remarques de la partie 3.3. Pour finir, notons que le cas de la pression
acoustique en un point récepteur très proche de la source devra être traité avec précaution,
seule la FFP donnant exactement le champ proche alors que la solution des modes
normaux ou de la série des résidus est dans ce cas une approximation, le terme continu dû à
l'intégrale de branche ne pouvant plus, comme en champ lointain, être systématiquement
négligé.
- 115 -
Chapitre 4
La formulation en potentiels de couche adoptée en milieu
homogène : le modèle BEMAS2D
4.1 Introduction
En s'appuyant sur les éléments de théorie présentés au chapitre 2, cette partie expose les
principales étapes de l'élaboration du modèle d'éléments finis de frontière développé en
milieu homogène et basé sur une formulation en potentiels de couche : BEMAS2D (pour
Boundary Element Method for Acoustic Scattering in 2D). Pour des raisons de limitations
en taille mémoire, notamment à haute fréquence, et de coût numérique en temps de calcul
évoquées au paragraphe 2.6.6, on se restreindra au cas bidimensionnel, en gardant à l'esprit
que la démarche est adaptable et généralisable au cas 3D. Le but de ce travail étant de
prouver que l'on peut inclure de manière générale des effets météorologiques dans une
méthode d'éléments finis de frontière, il est également important de souligner que le succès
de cette approche ne sera pas, bien sûr, dépendant du choix de la formulation adoptée et
pourra donc être adapté à n'importe quel type de BEM en suivant le même schéma
méthodologique.
En guise d'illustration, et sans restriction de généralité, ce chapitre s'appuie sur le cas
d'un écran droit mince parfaitement réfléchissant (condition de Neumann). Ainsi les
différentes étapes de la méthode d’éléments finis de frontière sont explicitées précisément
sur un cas académique, mais les résultats sont généraux et applicables à des configurations
géométriques quelconques ainsi qu’à des matériaux d’absorption quelconque.
En outre, remarquons que dans de nombreux cas pratiques, l'objet diffractant est
relativement mince : c'est-à-dire que l'une de ses dimensions est faible à la fois devant ses
autres dimensions, et devant la longueur d'onde. Dans ces conditions on peut le modéliser
par un obstacle d'épaisseur nulle : l'effet de diffraction est alors pris en compte en
Chapitre 4 : Le modèle BEMAS2D en milieu homogène
- 116 -
représentant la pression par une fonction discontinue à la traversée de l'obstacle. Filippi
donne un exposé de la théorie des écrans minces dans [Filippi, 1994] et ajoute que pour
que le problème aux limites ait un sens, il faut adjoindre une condition dite condition aux
arêtes, qui stipule que le comportement de la pression acoustique à chaque extrémité de
l'écran s'annule suivant la loi :
p(M)=r lnr + fonction régulière eq. 4- 1
Il est commode d'exprimer la solution sous la forme d'un potentiel de double couche
dont la densité doit s'annuler aux extrémités de l'obstacle selon la loi ci-dessus. L'existence
et l'unicité de la solution sont alors assurées en précisant son comportement au voisinage
du bord de l'obstacle. Mentionnons, de plus, que quelques auteurs (voir [De Lacerda, et al.,
1997]) ont montré que les résultats de calcul pour un écran infiniment mince sont très
proche des résultats pour un écran épais d'épaisseur fine, de 5 cm par exemple, ce qui
justifie l'emploi de cette modélisation dans BEMAS2D. De même, l'écran acoustique
académique étudié sera rigide pour la démonstration, mais les résultats seront, bien sûr,
généralisables à des écrans absorbants. Certains auteurs ont par ailleurs montré que
l'influence du caractère absorbant de la surface d'un écran acoustique simple isolé était
minime devant les caractéristiques d'absorption du sol, ce qui n'est toutefois pas le cas pour
des configurations plus complexes d'écrans parallèles ou d'écrans interagissant avec des
bâtiments [Hothersall, et al., 1991], [Watts, 1996].
Posons le problème général de la propagation acoustique en milieu extérieur
homogène : on considère une source harmonique ponctuelle S dans un domaine semi-infini
Ω dont la frontière σ est le sol et un écran acoustique (cf figure 4. 1).
figure 4. 1 : Le problème général de la propagation acoustique en milieu extérieur.
Chapitre 4 : Le modèle BEMAS2D en milieu homogène
- 117 -
En se plaçant sous les hypothèses de l'acoustique linéaire, avec une dépendance
temporelle en exp(-iωt), le problème en atmosphère homogène peut être décrit par le
système suivant :
( )
=
−∂
∈→∈
∈=
+
ppourSommerfelddeconditions
0p(M)n
Z
!FikMp
Mn1P Mlim
M ,s/p2kû eq. 4- 2
eq. 4- 3
eq. 4- 4
p représente ici la pression acoustique totale, k le nombre d'onde, δs le rayonnement de
la source ponctuelle, ρ la densité de l'air, c la vitesse du son et Zn est l'impédance
acoustique normale de la surface σ, supposée à réaction localisée.
En adoptant une formulation en potentiels de couche (voir le chapitre 2), la pression
acoustique totale peut s'exprimer comme la somme de la pression incidente (la pression
rayonnée par la source en l'absence de la frontière σ) et une combinaison linéaire de
potentiels de simple et double couche (la pression diffusée par la frontière du domaine).
Afin d'illustrer le discours, la théorie est appliquée dans les paragraphes qui suivent au cas
d'un écran droit mince parfaitement réfléchissant, successivement en milieu infini, puis sur
un sol plan d'abord parfaitement réfléchissant et enfin sur un sol plan absorbant.
Chapitre 4 : Le modèle BEMAS2D en milieu homogène
- 118 -
4.2 Le cas académique d 'un écran droit, mince, rigide, en milieu infini
Dans le cas d'un écran acoustique rigide en milieu infini, la surface-frontière σ se
restreint à l'écran Γ (voir figure 4. 2), et la condition aux limites eq. 4- 3 devient une
condition de Neumann :
( ) ( ) 0MpMnPMlim =∂
Γ∈→Ω∈ eq. 4- 5
figure 4. 2 : Schéma pour la configuration de l'écran droit mince en milieu infini.
Il est alors commode d'écrire la solution sous la forme d'un potentiel de double couche :
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Ω∈∀Γ∂µ+= ∫ΓM PdM,PGPMpMp Pn0 eq. 4- 6
La fonction de Green G dans eq. 4- 6 est donnée ci-après :
))M,P(dk(H4
i)M,P(G 0−= eq. 4- 7
où H0 est la fonction de Hankel de première espèce et d'ordre zéro, d(P,M) la distance
entre P et M.
La pression incidente p0 due à la source S d'amplitude unitaire est donnée par :
)S,M(G(M)p0 = eq. 4- 8
En exprimant la condition de Neumann sur l'écran, l'équation intégrale suivante de
Fredholm de première espèce, qui représente la contribution de l'interaction entre la source
et l'écran, est obtenue :
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Γ∈∀Γ∂∂µ=∂− ∫ΓM PdM,PGPPFMp PnMn0Mn eq. 4- 9
Chapitre 4 : Le modèle BEMAS2D en milieu homogène
- 119 -
L'intégrale est à prendre au sens de la partie finie de Hadamard. La définition utilisée
est, d'après Filippi [Filippi et Dumery, 1969], la limite de la composante normale du
gradient du potentiel de double couche lorsque le point M approche de l'écran.
Pour résoudre cette équation intégrale, on subdivise l'écran Γ en N intervalles Γi, de
longueur égale au sixième de la longueur d'onde. On approche alors la densité µ du
potentiel de double couche par une fonction constante par morceaux sur chacun de ces
intervalles. On a donc N inconnues : µi, pour i variant de 1 à N. La méthode de collocation
consiste alors à choisir N points sur Γ. On prendra par commodité le milieu des intervalles
de discrétisation Γi. On aboutit alors au système linéaire suivant, de N équations à N
inconnues :
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ..N1jPd,PMGPF
Pd,PMG Mp
ijPnMni
ji ijPnMnij0Mn
=Γ∂∂µ+
Γ∂∂µ=∂−
∫
∑ ∫
Γ
≠ Γeq. 4- 10
On peut écrire sous forme matricielle :
[ ][ ] [ ]BA =µ eq. 4- 11
avec
[ ] [ ] [ ][ ] [ ]
[ ] [ ] ( ) ( ) ( ) ( )
Γ∂∂==
µ=µ
∂−==
∫ ΓijPnMnji
i
j0nj
Pd,PMGF.PAA
)M(pBB
eq. 4- 12
En adoptant un repère (O,y,z) tel que l'axe vertical des z est confondu avec l'écran Γ, de
hauteur H, explicitons les notations :
Γj=[zj-h/2, zj+h/2] où h=H/N eq. 4- 13
Les points P sont de coordonnées (0,z), les points de collocation Mj, milieux des Γj, de
coordonnées (0,zj) pour j de 1 à N. La source est située en (yS, zS). On a :
2PM
2PM )zz()yy()M,P(d −+−= eq. 4- 14
Le membre de droite de l'équation eq. 4- 11 s'écrit alors :
2SM
2S
2SM
2S1S
0M
j0)M(n)zz(y
))zz(yk(H
4
iky
jMM
))M,S(dk(H4
i
y)M(p
j
j
−+
−+=
=
−
∂∂−=∂−
eq. 4- 15
Chapitre 4 : Le modèle BEMAS2D en milieu homogène
- 120 -
Les éléments de la matrice ne posent pas de problème lorsque le point Mj n'appartient
pas à l'intervalle Γi, c'est-à-dire que les termes hors diagonale sont réguliers. De la même
manière que pour eq. 4- 15, on a :
2MP
2M
2MP
2M1M
0p
)P(n)zz(y
))zz(yk(H
4
iky))P,M(dk(H
4
i
yP)P,M(G
−+
−+−=
−
∂∂=Γ∈∂ eq. 4- 16
Par conséquent :
MP
MP12)P(n)M(n zz
)zzk(H
4
ik)M,P(
)P,M(G−
−−=Γ∈∂∂ eq. 4- 17
Et :
( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫∫ ΓΓΓ
−
−−=Γ∂∂
ijMP
jMP1
ijPnMn Pd
zz
)zzk(HPF
4
ikPd,PMGPF eq. 4- 18
Sur les éléments non diagonaux, on a bien sûr, Mi≠Mj donc P≠Mj. Les intégrales ont été
d'abord calculées selon un schéma de Gauss-Legendre adaptatif. Cependant des essais ont
montré que l'approximation simple suivante donnait des résultats très corrects, l'élément de
surface Γi étant suffisamment petit :
( ) ( ) ( ) ( )jMiM
jMiM1
ijPnMn
zz
)zzk(H
4
ikhPd,PMG
−
−−≈Γ∂∂∫Γ
pour i≠j eq. 4- 19
Lorsque les deux points P et Mj peuvent coïncider, c'est-à-dire que l'on a i=j, on
subdivise l'intervalle Γi pour isoler la singularité et l'on a donc, avec izzr −= :
( ) ( ) ( ) ( )
+
+−≈Γ∂∂
∫
∫ ∫∫ε+
ε−
ε−
−
+
ε+Γ
i
i
i
i
z
z
1
iz
2/hiz
2/hz
z
11
iiPnMn
dzr
)kr(HPF
dzr
)kr(Hdz
r
)kr(H
4
ikPd,PMGPF
eq. 4- 20
Les deux premiers termes du membre de droite eq. 4- 20 sont intégrés de la même
manière que les intégrales régulières ci-avant.
Quant au dernier terme, il est plus commode de revenir à sa définition en tant que partie
finie au sens de Hadamard. On doit alors comprendre la partie finie comme la limite de la
composante normale du gradient lorsque l'on fait tendre un point M de l'espace vers
l'écran :
∫∫ε+
ε−→
ε+
ε−−
∂∂
∂∂=− i
ii
i
i
z
z P0MM
z
z
1 dz))P,M(kd(H4
i(
)P(n)M(nlimdz
r
)kr(HPF
4
ikeq. 4- 21
Soit :
Chapitre 4 : Le modèle BEMAS2D en milieu homogène
- 121 -
∫∫ε+
ε−→
ε+
ε−−
∂∂
∂∂=− i
iM
i
i
z
z P0PM
0y
z
z
1 dz))P,M(kd(H4
i(
yylimdz
r
)kr(HPF
4
ikeq. 4- 22
Le détail du calcul est exposé dans l’annexe III. On peut montrer finalement que :
−
ε+ε
+ε
−
+−ε
+ε
π+
−ε
πε+
+
ε+ε−=−
∑
∑
∑∫
=
−−
=
+
=
+ε+
ε−
6
2n
1n2
n2
)1n(2n1
20
6
1n
1n2
n2
n2n
6
1n
1n2
n2
n2n
z
z
1
1n23
kB2
9
B2
k
B2
1n2
1)
2
kln(
1n2
2
3
kA21)
2
kln(
2ik
1n23
kA2k
4
ikdz
r
)kr(HPF
4
ik i
i
eq. 4- 23
Ayant calculé les éléments Aij de la matrice, on peut alors résoudre le système linéaire
eq. 4- 11 par une méthode de Gauss-Jordan avec pivot total (cf [Press, et al., 1992]) pour
obtenir la valeur de la densité µ du potentiel de double couche.
La pression acoustique peut ensuite être déterminée en tout point de l'espace de
propagation par la formule intégrale discrétisée comme suit :
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) Ω∈∀∂µ+≈
Ω∈∀Γ∂µ+≈
Ω∈∀Γ∂µ+=
∑
∫∑∫
=
Γ=
Γ
M M,MGhMp
M PdM,PGMp
M PdM,PGPMpMp
iPn
n
1ii0
Pn
n
1ii0
Pn0
eq. 4- 24
En guise d'illustration, la figure 4. 4 présente un résultat du code de calcul BEMAS2D,
auquel cette approche a donné naissance, pour le problème de la diffraction d'une onde
incidente plane par un écran droit mince rigide en milieu infini (voir schéma de la figure 4.
3) traité par Filippi et Dumery (figs. 4 et 5, [Filippi et Dumery, 1969]). La figure 4. 4
montre un très bon accord entre les résultats de BEMAS2D et ceux de Filippi et Dumery.
Ce paragraphe présentait la formulation du modèle BEMAS2D pour le cas académique,
et bien sûr non réaliste, d'un écran plongé dans un milieu de propagation infini. Dans la
partie suivante, le modèle va être étendu pour prendre en compte, cette fois, le cas d'un
écran sur sol plan rigide, en s'appuyant de façon simple sur les résultats précédents.
Chapitre 4 : Le modèle BEMAS2D en milieu homogène
- 122 -
figure 4. 3 : Schéma de la configuration étudiée par Filippi et Dumery.
k=2
k=3
Calcul BEMAS2D
Calcul de Filippi et Dumery
figure 4. 4 : Densité µ du potentiel de double couche pour le problème de Neumann de la diffraction d'uneonde incidente plane par un écran rigide (voir figure 4. 3), pour k=2 et k=3.
0
1
2
3
4
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Par
tie r
éelle
Distance sur l'écran (m)
-0.6
-0.4
-0.2
0
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Par
tie im
agin
aire
Distance sur l'écran (m)
0
1
2
3
4
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Par
tie r
éelle
Distance sur l'écran (m)
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Par
tie im
agin
aire
Distance sur l'écran (m)
Chapitre 4 : Le modèle BEMAS2D en milieu homogène
- 123 -
4.3 L'écran droit, mince, rigide, sur sol plan parfaitement réfléchissant
Considérons maintenant le cas d'un écran acoustique mince rigide sur un sol plan rigide
avec les notations de la figure 4. 5.
figure 4. 5 : Ecran acoustique droit, mince, sur sol plan.
La formulation du problème est la même qu'au paragraphe précédent et toutes les
équations (eq. 4- 5 à eq. 4- 12) restent valables à condition que la fonction de Green
prenne en compte les effets du sol rigide. Dans ce cas, on peut en effet réduire le domaine
d'intégration à l'écran anti-bruit Γ. En utilisant la théorie des sources images, cette fonction
de Green s'exprime de la manière suivante :
))M,'P(dk(H4
i))M,P(dk(H
4
i)M,P(G 00 −−= eq. 4- 25
où P'(yP,-zP) est la source image correspondant à P(yP,zP) par rapport au sol plan.
En exprimant la condition de Neumann sur l'écran, l'équation intégrale de Fredholm de
première espèce eq. 4- 9 est obtenue avec le nouveau noyau de Green et résolue de la
même manière qu'au paragraphe précédent, en prenant en compte le terme dû à la source
image. Cette équation représente en fait l'interaction entre la source en présence du sol et
l'écran.
On aboutit au système linéaire suivant, à résoudre :
[ ][ ] [ ]BA =µ eq. 4- 26
Chapitre 4 : Le modèle BEMAS2D en milieu homogène
- 124 -
avec
[ ] [ ] [ ][ ] [ ]
[ ] [ ] ( ) ( ) ( ) ( )
Γ∂∂==
µ=µ
∂−==
∫ ΓijPnMnji
i
j0nj
Pd,PMGF.PAA
)M(pBBeq. 4- 27
Le champ incident p0 est donné par la formule eq. 4- 8 en utilisant la nouvelle fonction
de Green. Les coefficients de la matrice A sont calculés comme suit pour i≠j :
( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫∫ ΓΓΓ
+
++
−
−−=Γ∂∂
ijMP
jMP1
jMP
jMP1
ijPnMn Pd
zz
)zzk(H
zz
)zzk(H
4
ikPd,PMG eq. 4- 28
On constate que les nouveaux éléments se déduisent aisément des éléments de la
matrice calculée au paragraphe précédent en ajoutant un terme dû à la source image. Ce
dernier terme ne présente pas de singularité puisque le point courant P(0,zP) appartenant à
l'intervalle Γi et la source image M'j(0,-zj) ne peuvent être confondus. Par conséquent, pour
les termes sur la diagonale, la singularité provient du terme développé dans le paragraphe
précédent et la théorie de la partie finie doit être seulement appliquée au terme dû à la
source et l'on a, pour i=j :
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
Γ
+
++Γ
−
−−=
Γ∂∂
∫∫
∫
ΓΓ
Γ
iiMP
iMP1
iiMP
iMP1
iiPnMn
Pdzz
)zzk(HPd
zz
)zzk(HPF
4
ik
Pd,PMGPF
eq. 4- 29
Tous les éléments Aij sont donc calculés de la même manière que dans la partie qui
précède en ajoutant le terme suivant, dû à la source image, et qui ne pose pas de problème :
( ) [ ]2
jMiM
jMiM1
ijMP
jMP1N1,j)(i,
zz
)zzk(H
4
ikhPd
zz
)zzk(H
4
ik ∈∀+
+−≈Γ
+
+− ∫Γ
eq. 4- 30
Le système linéaire est ensuite résolu toujours grâce à une stratégie de pivot total de
Gauss. Une fois que la densité du potentiel de double couche est connue, la pression
acoustique peut être calculée en tout point récepteur via la formulation intégrale de départ
(cf eq. 4- 24).
Les figure 4. 7 et figure 4. 8 comparent des résultats de Daumas (figs 7 et 8 [Daumas,
1978]) à des résultats du code de calcul BEMAS2D pour la configuration géométrique d'un
écran droit mince rigide sur sol plan parfaitement réfléchissant, représentée sur la figure 4.
6.
Chapitre 4 : Le modèle BEMAS2D en milieu homogène
- 125 -
figure 4. 6 : Schéma de la configuration étudiée par Daumas.
Les résultats sont présentés en termes d'efficacité définie comme suit :
Mpoint au libre champ 2
Mpoint au total champlog20Eff
×=
L'accord entre les résultats de mesure et de calcul de Daumas et les résultats de
BEMAS2D est très bon.
Un autre résultat de BEMAS2D (voir figure 4. 10), correspondant à la figure 5 de
l'article de Hothersall [Hothersall, et al., 1991] et étudiant l'influence de la hauteur d'un
écran rigide sur un sol plan réfléchissant, prouve que les résultats de calcul par la théorie
des potentiels de couche sont très proches de ceux donnés par une BEM basée sur une
formulation directe. Ces résultats sont donnés en termes de perte par insertion :
Mpoint au écran sans totalchamp
Mpoint au écran l' de présenceen total champlog20insertion par Perte =
Il faut noter que la pente de la perte par insertion en fonction de la fréquence est
légèrement plus forte dans le calcul de BEMAS2D que pour les résultats de la formulation
directe, un écart moyen de 2 dB apparaissant ainsi à 4000 Hz entre les résultats respectifs
des deux modèles pour une même configuration.
Chapitre 4 : Le modèle BEMAS2D en milieu homogène
- 126 -
Variation de l'efficacité sur D1
Variation de l'efficacité sur D2
Variation de l'efficacité sur D3
(a) Source au sol : x0= 0 m (b) Source élevée : x0= 1,47 λ (1m)
Résultats expérimentaux de Daumas pour une source ponctuelle
Calcul de Daumas
BEMAS2D
figure 4. 7 : Courbes de variation de l'efficacité sur D1, D2 et D3 (cf schéma figure 4. 6). .
-40
-35
-30
-25
-20
-15
-10
0 10 20 30 40 50 60 70 80
Effi
caci
té (
dB)
Distance rapportée à la longueur d'onde
-40
-35
-30
-25
-20
-15
-10
0 10 20 30 40 50 60 70 80
Effi
caci
té (
dB)
Distance rapportée à la longueur d'onde
-40
-35
-30
-25
-20
-15
-10
0 10 20 30 40 50 60 70 80
Effi
caci
té (
dB)
Distance rapportée à la longueur d'onde
-40
-35
-30
-25
-20
-15
-10
0 10 20 30 40 50 60 70 80
Effi
caci
té (
dB)
Distance rapportée à la longueur d'onde
-30
-25
-20
-15
-10
-5
0
0 10 20 30 40 50 60 70 80
Effi
caci
té (
dB)
Distance rapportée à la longueur d'onde
-40
-35
-30
-25
-20
-15
-10
0 10 20 30 40 50 60 70 80
Effi
caci
té (
dB)
Distance rapportée à la longueur d'onde
Chapitre 4 : Le modèle BEMAS2D en milieu homogène
- 127 -
(a) Source au sol : x0= 0 m (b) Source élevée : x0= 1,47 λ (1m)
Calcul de DaumasBEMAS2D
figure 4. 8 : Courbes de variation de l'efficacité verticalement sur D4 (cf schéma figure 4. 6).
figure 4. 9 : Schéma de la configuration de Hothersall.
Résultats de BEMAS2D Résultats de Hothersall
H= 2 m
H= 3 m
H= 4 m
H= 5 m
figure 4. 10 : Perte par insertion pour des écrans verticaux rigides sur sol plan réfléchissant (cf figure 4. 9).
0
10
20
30
40
50
60
70
80
-40 -30 -20 -10 0 10
Dis
tanc
e ra
ppor
tée
à
la lo
ng
ue
ur
d'o
nd
e
Efficacité (dB)
0
10
20
30
40
50
60
70
80
-40 -30 -20 -10 0 10
Dis
tanc
e ra
ppor
tée
à
la lo
ng
ue
ur
d'o
nd
e
Efficacité (dB)
-30
-20
-10
0
100 1000
Pe
rte
pa
r in
sert
ion
(d
B)
Fréquence (Hz)
-30
-20
-10
0
100 1000
Pe
rte
pa
r in
sert
ion
(d
B)
Fréquence (Hz)
Chapitre 4 : Le modèle BEMAS2D en milieu homogène
- 128 -
4.4 L'écran droit, mince, rigide, sur sol plan absorbant
On utilise toujours une formulation en potentiel de double couche comme aux deux
paragraphes précédents. Les notations (voir figure 4. 5) restent les mêmes. La condition
aux limites sur l'écran acoustique est toujours de Neumann mais le sol absorbant est décrit
maintenant comme une surface d'impédance supposée à réaction localisée. Pour un point
M situé sur le sol, en appelant β l'admittance normalisée, on a :
( ) 0p(M)ikMpMn
=β+∂
eq. 4- 31
Les équations eq. 4- 6 à eq. 4- 12 restent valables à condition que la fonction de Green
prenne en compte les effets du sol absorbant cette fois-ci. Dans ce cas, on peut alors
également réduire le domaine d'intégration à l'écran anti-bruit Γ. En utilisant les résultats
de la fonction de Green pour un sol plan rigide donnée ci-dessus (cf eq. 4- 25) que l'on
appellera G0, on peut calculer la nouvelle fonction de Green G pour un sol impédant (voir
[Chandler-Wilde et Hothersall, 1995]) :
20 P)(M, )M,P(P)M,P(G)M,P(G Ω∈∀+= β eq. 4- 32
Le calcul de la fonction Pβ est exposé en détail dans l’annexe IV. On peut écrire :
sPPP βΓ
ββ += eq. 4- 33
où le terme suivant représente l'onde de surface (on peut montrer que ce terme décroît
exponentiellement avec la hauteur au-dessus de la surface) :
=<ββ−
β
<<ββ−
β
= +−ρ
+−ρ
β+
+
sinon 0
0aRe0,Im si e12
0aRe0,Im si e1
P )a1(i
2
)a1(i
2
seq. 4- 34
avec :
0
222
cos01Re ,111a
θ=γ≥β−γ−β−βγ+=± #
eq. 4- 35
et :
Chapitre 4 : Le modèle BEMAS2D en milieu homogène
- 129 -
∫
∫∞ ρ−−
ρ
∞
∞−
ρ−ρ
Γβ
πβ=
πβ=
0
t2/1i
s2i
dt)t(fete
dse)s(fe
P2
eq. 4- 36
où :
02i)-tRe( avec ))(t)1(i2t(i2t
)it1()t(f
22>
γ+β−βγ+−−γ++β−= eq. 4- 37
L'expression eq. 4- 36 s'intègre aisément en utilisant un schéma de type quadrature de
Gauss :
∑=
ρΓβ ρ
ρπβ=
n
1jn,jn,j
i
)/x(fwe
P eq. 4- 38
où les wi,j pour i, j allant de 1 à n, sont les poids et xi,j les abscisses de la quadrature de
Gauss-Laguerre utilisée (voir [Press, et al., 1992]). Chandler-Wilde donne des détails
calculatoires et des approximations dans son article de référence [Chandler-Wilde et
Hothersall, 1995]. La formule ci-dessus (eq. 4- 36) donne lieu à des résultats précis si β est
proche de 1. Dans le cas contraire, Chandler-Wilde régularise l'intégrande par soustraction
du pôle et aboutit à une formulation plus performante faisant intervenir la fonction erreur
complémentaire erfc :
1pour )ae(erfc12
edt)t(get
eP 4/i
2
)a1(i
0
t2/1i
≠βρβ−
β+π
β= +π−
−ρ∞ ρ−−ρ
Γβ
+
∫ eq. 4- 39
avec :
0)a(Re),-1Re( avec )iat(12
ae)t(f)t(g 2
2
4/i
≥β−β−
−= +
+
+π−
eq. 4- 40
On peut utiliser le même type de quadrature de Gauss que ci-dessus (cf eq. 4- 38) pour
intégrer la fonction g. On adoptera le critère suivant donné par Chandler-Wilde pour
évaluer si β est proche de 1 ou non :
1.011
1.011
≥β−⇔≠β<β−⇔≈β
eq. 4- 41
La fonction de Green G décrivant la propagation acoustique au-dessus d'un sol plan
homogène d'admittance normalisée β est donc connue et évaluable numériquement.
Pour illustrer le propos, la figure 4. 11 compare les résultats donnés par la fonction de
Green 2D présentée dans cette partie à ceux d'une formulation classique basée sur
l'approche de Chien et Soroka [Chien et Soroka, 1980]. Les résultats, qui correspondent à
Chapitre 4 : Le modèle BEMAS2D en milieu homogène
- 130 -
la figure 4.4 de la thèse de Defrance [Defrance, 1996] sont donnés en atténuation par
rapport au champ libre et montrent l'influence de la variation du paramètre de résistance au
passage de l'air σ, paramètre utilisé pour calculer l'impédance du sol via la formulation de
Delany-Bazley [Delany et Bazley, 1970].
Fonction de Green 2D pour un sol absorbant Résultats de Defrance
sigma = 2000 cgs sigma = 600 cgs sigma = 100 cgs
figure 4. 11 : Spectres d'atténuation pour différents paramètres de résistance au passage de l'air σ.
En exprimant la condition de Neumann sur l'écran eq. 4- 5, l'équation intégrale suivante,
de Fredholm de première espèce est obtenue avec le nouveau noyau de Green pour sol plan
absorbant :
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Γ∈∀Γ∂∂µ=∂− ∫ΓM PdM,PGPPFMp PnMn0Mn eq. 4- 42
Cette équation représente en fait l'interaction entre la source en présence du sol
absorbant et l'écran. En utilisant toujours une méthode de collocation comme aux
paragraphes précédents, on exprime que cette équation est satisfaite en N points situés sur
l'écran acoustique. Cette fois, l'on a, pour le terme dû au champ incident, membre de
gauche de l'équation eq. 4- 9 obtenue :
( )j
MM)M,S(P)M,S(G
)M(n)M(p 0j0)M(n
=+
∂∂−=∂− β eq. 4- 43
La première dérivée normale a déjà été évaluée au paragraphe précédent. Reste à
déterminer la dérivée normale de la fonction de perturbation Pβ.
On a, en fait :
-20
-15
-10
-5
0
5
10
100 1000
Atté
nuat
ion
(dB
)
Fréquence (Hz)
-20
-15
-10
-5
0
5
10
100 1000A
tténu
atio
n (d
B)
Fréquence (Hz)
Chapitre 4 : Le modèle BEMAS2D en milieu homogène
- 131 -
)M,S(Pgrad)M(n)M,S()M(n
PM β
β •=∂
∂&
eq. 4- 44
Et les composantes du gradient ci-dessus sont :
∂∂∂∂
β
β
β
)M,S(z
P
)M,S(y
P
)M,S(Pgrad
M
MM eq. 4- 45
Dans le cas de l'écran droit de la figure 4. 5 n'intervient que la composante en y pour la
dérivée normale. En dérivant l'expression par rapport à yM et en suivant la même démarche
que pour le calcul de Pβ (voir l’annexe IV) on peut montrer de la même manière que :
s
M
'P'Py
Pβ
Γβ
β +=∂∂
eq. 4- 46
avec :
=<β−β−
<<β−β−
= +−ρ
+−ρ
β+
+
sinon 0
0aRe0,Im si e)yy(signik2
10aRe0,Im si e)yy(signik
)M,S('P )a1(iSM
)a1(iSM
seq. 4- 47
et :
∫∞ ρ−−
ρΓβ −γ−
πβ=
0
t2/1SM
2i
dt)t(fet)yy(sign1eik
'P eq. 4- 48
où :
02i)-tRe( avec ))(t)1(i2t(i2t
))it1(()t(f
22>
γ+β−βγ+−−γ++β−= eq. 4- 49
En fait, de même que pour la formule eq. 4- 36, l'expression eq. 4- 49 donne des
résultats précis lorsque β est proche de 1. Dans le cas contraire, une démarche similaire à
celle suivie pour obtenir eq. 4- 39 permet d'obtenir l'expression suivante :
1-1lorsque
)ae(erfce2
1dt)t(get
1)yy(signeik'P 4/iai
0
t2/1SM
i
≥β
ρ+
π−β= +
π−ρ−∞ ρ−−ρΓβ
+∫ eq. 4- 50
avec :
0)a(Re avec )iat(2
ae)t(f1)t(g
4/i2 ≥
−−γ−= +
+
+π−
eq. 4- 51
Là encore, selon la valeur de β, l'une ou l'autre des deux expressions eq. 4- 48 et eq. 4-
50 peut être employée et calculée en utilisant une quadrature de Gauss.
Chapitre 4 : Le modèle BEMAS2D en milieu homogène
- 132 -
L'équation eq. 4- 42 fait intervenir également la dérivée normale seconde de la fonction
de Green :
( ))P,M(P)P,M(G)P(n)M(n
)P,M(G 0)P(n)M(n β+∂∂
∂=∂∂ eq. 4- 52
Dans le cas de l'écran droit de la figure 4. 5 :
PM yy)P(n)M(n ∂∂≡∂∂
Le terme mettant en jeu la fonction de Green pour un sol rigide G0 est déjà connu (cf les
paragraphes précédents). Pour la dérivée normale seconde de Pβ, on trouve, en suivant
toujours la même méthode que précédemment :
)P,M(P)1(k)'kr(H'r
zz
2
k)'kr(H
2
ik)P,M(
yy
P 221
PM22
0
22
PM
2
ββ β−+
+β+β=∂∂
∂eq. 4- 53
où :
22P
2M
22P
2M
22P
2M
22P
2M
)zz()yy()P,'M(d'r
)zz()yy()P,M(dr
++−==
−+−==
Dans le cas où l'écran n'est pas droit, ni confondu avec l'axe vertical comme c'est le cas
de la figure 4. 5, on a besoin de connaître la valeur des dérivées normales obliques. Ce cas
ne sera pas traité dans cette étude, donnons cependant la valeur de dérivée par rapport à la
variable z et des dérivées secondes pour offrir la possibilité de développements ultérieurs.
En dérivant l'expression par rapport à zM et en suivant la même démarche que pour le
calcul de Pβ, on peut montrer de la même manière que :
)M,S(Pik)(H2
k)M,S(
z
P0
Mβ
β β−ρβ−=∂∂
eq. 4- 54
Quant aux dérivées secondes :
)P,M(Pk)'kr(H'r
zz
2
k)'kr(H
2
ik)P,M(
zz
P 221
PM22
0
22
PM
2
ββ β−
+β+β=∂∂
∂eq. 4- 55
)P,M(y
Pik)'kr(H
'r
)yy(
2
k)P,M(
zy
P
P1
MP2
PM
2
∂∂
β+−β−=
∂∂∂ ββ
eq. 4- 56
)P,M(zy
P)P,M(
yz
P
PM
2
PM
2
∂∂∂
−=∂∂
∂ ββ eq. 4- 57
Connaissant la valeur des dérivées successives de Pβ, on peut alors résoudre l'équation
intégrale de frontière eq. 4- 9 suivant la méthodologie exposée aux deux paragraphes
précédents.
On aboutit au système linéaire suivant, à résoudre :
Chapitre 4 : Le modèle BEMAS2D en milieu homogène
- 133 -
[ ][ ] [ ]BA =µ eq. 4- 58
avec
[ ] [ ] [ ][ ] [ ]
[ ] [ ] ( ) ( ) ( ) ( )
Γ∂∂==
µ=µ
∂−==
∫ ΓijPnMnji
i
j0nj
Pd,PMGF.PAA
)M(pBBeq. 4- 59
Le champ incident p0 est donné par la formule eq. 4- 8 en utilisant la nouvelle fonction
de Green. Les coefficients de la matrice A font intervenir le terme eq. 4- 52, dont la
première partie a déjà été calculée. Quant à l'intégrale de la seconde partie de l'expression,
impliquant la fonction Pβ, elle ne pose pas de problème pour les termes hors diagonale.
Lorsque le point courant P peut coïncider avec le point de collocation i.e sur la diagonale
(i=j), les deux premiers termes de l'équation eq. 4- 53 ne posent pas de problème de
singularité puisqu'ils mettent en jeu la distance r' à la source image qui ne peut s'annuler.
On peut alors vérifier aisément que le dernier terme, fonction directe de Pβ, n'est pas
singulier sur le petit intervalle d'intégration Γi. En effet, les formules eq. 4- 33 à eq. 4- 40
montrent que l'on a sur l'écran yM=yP=0 donc θ0=0, γ=1 et la fonction f de l'équation eq. 4-
37 se simplifie pour devenir :
02i)-tRe( avec )it1(i2t
1)t(f >
+β+−= eq. 4- 60
La formule ci-dessus est valable dans le cas où β est proche de 1. Dans le cas contraire,
il faut bien sûr utiliser eq. 4- 39 et eq. 4- 40, et la fonction g se simplifie :
0)1(Re),-1Re( avec ))1(it(12
1e)t(f)t(g 2
2
4/i
≥β+ββ+−β−
β+−=
π−
eq. 4- 61
L'intégrale eq. 4- 36 (ou eq. 4- 39 selon la valeur de β) se calcule facilement et pour
finir l'intégration du terme en Pβ ne pose pas non plus de problème. Les coefficients Aij de
la matrice sont donc bien tous définis. En s'appuyant sur les résultats du paragraphe pour le
sol rigide, on les calcule par la formule qui suit, valable pour tout couple (i,j) :
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )∫∫∫
Γ β
ΓΓ
Γ∂∂+
Γ∂∂=Γ∂∂
ijPnMn
ij0PnMn
ijPnMn
Pd,PMP
Pd,PMGPFPd,PMGPFeq. 4- 62
Le système linéaire est ensuite résolu toujours grâce à une stratégie de pivot total de
Gauss afin de déterminer la densité µ du potentiel de double couche. Cette dernière étant
connue, la pression acoustique peut alors être calculée en tout point récepteur via la
formulation intégrale de départ (eq. 4- 24).
Chapitre 4 : Le modèle BEMAS2D en milieu homogène
- 134 -
La figure 4. 13 montre les résultats du code de calcul BEMAS2D ainsi obtenu sur une
configuration de Isei (fig. 6 [Isei, et al., 1980], représentée par le schéma de la figure 4.
12). Les niveaux de pression sont rapportés au champ libre. L'accord entre les résultats de
BEMAS2D et ceux du calcul par le programme SCREEN utilisé par Isei, basé sur la
théorie de la diffraction de Mac Donald, est très bon. La figure 4. 14 donne plus
précisément les résultats pour une résistance au passage de l'air σ = 300 cgs et les compare
à des résultats expérimentaux donnés par Isei et à un résultat de calcul de Duhamel
[Duhamel et Sergent, 1998] par une méthode directe d'éléments finis de frontière. Sur cette
figure, on peut constater que les résultats donnés par les deux BEM sont confondus et
voisins des résultats de mesure. La figure 4. 16 compare pour finir des résultats du code de
calcul BEMAS2D à des résultats de la BEM de Chandler-Wilde (cf fig. 6 [Hothersall, et
al., 1991]) pour une configuration d'écran rigide au-dessus d'un sol plan parfaitement
réfléchissant puis absorbant (σ = 300 cgs) schématisée par la figure 4. 15. Les résultats des
deux BEM sont proches. Il faut toutefois souligner qu'un écart jusqu'à environ 2 dB
apparaît pour le sol rigide entre les deux méthodes, l'accord étant meilleur pour le cas du
sol absorbant sauf à haute fréquence où la différence entre les deux résultats avoisine là-
aussi les 2 dB. Mentionnons que pour la figure 4. 13, la figure 4. 14 et la figure 4. 16,
l'impédance du sol a été calculée, à partir de la résistance au passage de l'air σ, par le
modèle classique de Delany-Bazley [Delany et Bazley, 1970].
figure 4. 12 : Schéma de la configuration étudiée par Isei et Duhamel.
Chapitre 4 : Le modèle BEMAS2D en milieu homogène
- 135 -
Résultats de BEMAS2D Résultats de Isei
sigma = 20000 cgs
sigma = 2000 cgs
sigma = 1000 cgs
sigma = 500 cgs
sigma = 300 cgs
figure 4. 13 : Effet de la variation du paramètre de résistance au passage de l'air σ sur les niveaux depression calculés, pour une même configuration d'écran acoustique (figure 4. 12).
-30
-25
-20
-15
-10
-5
0
5
10
100 1000 104
Atté
nuat
ion
(dB
)
Fréquence (Hz)
Mesures de Isei
Calcul BEM de Duhamel
Calcul BEMAS2D
figure 4. 14 : Atténuation par rapport au champ libre pour la configuration de la figure 4. 12, σ = 300 cgs.
-30
-20
-10
0
10
100 1000 104
Niv
eau
de p
ress
ion
(dB
)
Fréquence (Hz)
-30
-20
-10
0
10
100 1000 104
Niv
eau
de p
ress
ion
(dB
)
Fréquence (Hz)
Chapitre 4 : Le modèle BEMAS2D en milieu homogène
- 136 -
figure 4. 15 : Schéma de la configuration de Chandler-Wilde.
-35
-30
-25
-20
-15
-10
-5
0
5
100 1000
Atté
nuat
ion
(dB
)
Fréquence (Hz)
Ecran sur sol rigide (BEMAS2D)Ecran sur sol absorbant (BEMAS2D)Ecran sur sol rigide (Chandler-Wilde)Ecran sur sol absorbant (Chandler-Wilde)
figure 4. 16 : Spectres d'atténuation en présence d'un écran au-dessus d'un sol rigide puis absorbant(σ = 300 cgs) pour la configuration géométrique décrite par la figure 4. 15.
Chapitre 4 : Le modèle BEMAS2D en milieu homogène
- 137 -
4.5 Conclusion
L'élaboration du code de calcul BEMAS2D a été présentée en détail dans les
paragraphes précédents pour un écran droit mince rigide en milieu infini tout d'abord puis
sur sol plan rigide et finalement sur sol plan absorbant. La figure 4. 17 résume les grandes
étapes de cette formulation aux éléments finis de frontière basée sur la théorie des
potentiels de couche.
Comme on l’a souligné au chapitre 2, la pierre angulaire de la méthode des éléments
finis de frontière est la fonction de Green du problème considéré qui permet, par la prise en
compte d'un certain nombre de conditions aux limites, de diminuer le domaine
d'intégration en jeu dans la formulation intégrale. Le tableau suivant récapitule les trois
fonctions de Green en milieu homogène apparaissant successivement dans ce chapitre aux
paragraphes 4.2, 4.3 et 4.4. Ces fonctions de Green permettent de ne mailler que l'écran
acoustique Γ en prenant notamment en compte les effets de sol dans le cas de la
propagation acoustique au-dessus d'un sol plan rigide, puis absorbant.
Problème physique Fonction de Green correspondante
propagation en milieu infini ))M,P(dk(H4
i)M,P(G 0−=
propagation en milieu infini au-dessusd’un sol plan rigide
))M,'P(dk(H4
i))M,P(dk(H
4
i)M,P(G)M,P(G 000 −−==
propagation en milieu infini au-dessusd’un sol plan absorbant
)M,P(P)M,P(G)M,P(G 0 β+=
∫∞+
∞ +−−
−−−+=
-22
PM2
PM
ds)s1(s1
)s)y(ys1)zik((ze
2
i
P
Tableau 4. 1 : Les différentes fonctions de Green intervenant dans la BEM en milieu homogène.
Le chapitre suivant présente la méthode suivie pour obtenir la fonction de Green en
atmosphère inhomogène.
Chapitre 4 : Le modèle BEMAS2D en milieu homogène
- 138 -
figure 4. 17 : Les étapes du code de calcul BEMAS2D.
- 139 -
Chapitre 5
La formulation retenue en milieu inhomogène : les
modèles DOWNMOD, UPGEOM et UPRES
5.1 Introduction
Dans cette partie, on expose en détail la solution retenue pour prendre en compte les
effets météorologiques dans la méthode d'éléments finis de frontière développée au
chapitre 4. L'introduction de ces effets météorologiques dans la BEM se fait via la fonction
de Green qui repose sur les modèles retenus à l'issue de l'étude des grands modèles de
propagation existant à l'heure actuelle, étude présentée dans le chapitre 3. Chacun de ces
modèles donne naissance à un code de calcul qui sera utilisé dans le nouveau modèle
Météo-BEM, présenté au chapitre 6.
Ainsi les modèles propagatifs retenus sont (le nom des codes de calcul correspondants
est donné entre parenthèses) : la solution des modes normaux pour la réfraction vers le bas
(code de calcul DOWNMOD), la solution géométrique (UPGEOM) et la série des résidus
(UPRES) dans le cas de la réfraction vers le haut, respectivement en région éclairée et en
zone d'ombre.
Le but de ce chapitre 5 est non seulement de présenter plus en détail les théories sous-
jacentes à ces solutions, mais aussi d'en étudier le comportement ainsi que le domaine de
validité. La dérivée du champ de pression sera notamment examinée.
Enfin, le paragraphe 5.4 précise la notion de profil linéaire de vitesse du son, hypothèse
sous laquelle ont été construits les modèles de ce chapitre, et le paragraphe 5.5 expose plus
précisément le concept de l'analogie propagation au-dessus d'un sol plan en milieu
inhomogène – propagation au-dessus d'une surface courbe en milieu homogène, concept
important pour le développement de la solution géométrique en milieu inhomogène et pour
la théorie des mesures sur modèles réduits au-dessus de surfaces courbées.
Chapitre 5 : Les modèles DOWNMOD, UPGEOM et UPRES en milieu inhomogène
- 140 -
5.2 Réfraction vers le bas : le modèle DOWNMOD
Dans le cas de la réfraction vers le bas, l'examen des avantages et inconvénients relatifs
à chaque modèle existant a mis en évidence l'intérêt de la solution des modes normaux en
vue de servir de fonction de Green à la formulation d'éléments finis de frontière.
Dans le cas d'un profil linéaire donné par l'expression eq. 3- 70, la solution des modes
normaux est donnée pour une source ponctuelle par la formule eq. 3- 76, et pour une
source linéique par eq. 3- 88. Cette dernière formule, qui servira de base pour fournir la
fonction de Green introduite dans le modèle bidimensionnel BEMAS2D détaillé dans le
chapitre 4, est rappelée ci-après :
( ) ( ) ( )( )[ ] ( )[ ]( )∑
τ−ττ+τ+τπ=
n2
n'2
nnn
nsnxik
AiAik
l/zAil/zAie
l
i2z,xp
n
eq. 5- 1
Le point délicat de la méthode des modes normaux consiste en la recherche des zéros τn
de l'équation eq. 3- 78 qui donnent, grâce à eq. 3- 77, les nombres d'onde horizontaux kn.
Ces zéros de eq. 3- 78 sont capturés dans le plan complexe à l'aide d'une méthode hybride
de Powell adaptée pour les solutions de système non-linéaires [Moré, et al., ], [Powell,
1970]. La méthodologie suivie est exposée en détail dans [Raspet, et al., 1992]. On part de
la solution pour le paramètre q égal à zéro, qui est en fait la valeur du zéro de la dérivée de
la fonction de Airy, et l'on incrémente le paramètre q de ∆q en l'utilisant comme solution
de départ. On cherche alors de nouveau la solution de eq. 3- 78 toujours grâce au schéma
de Powell adapté, puis ce processus est répété de manière itérative jusqu'à ce que l'on
atteigne la valeur réelle du paramètre q. On peut trouver dans [Raspet, et al., 1992] une
expression pour estimer la valeur du pôle τn en fonction de la valeur du paramètre q et de la
position du mode par rapport au mode d'impédance du sol. Cette expression permet
d'accélérer le processus de convergence vers la solution de eq. 3- 78.
En ce qui concerne l'implémentation numérique, une instabilité numérique significative
donne naissance à de petites oscillations rapides dans le champ acoustique dues au
comportement oscillatoire des fonctions de Airy pour les grands arguments. Ceci risque
d'être gênant pour le calcul des dérivées normales de la fonction de Green qui intervient
dans la BEM. Ce problème est surmonté en supposant que près de la verticale les gradients
Chapitre 5 : Les modèles DOWNMOD, UPGEOM et UPRES en milieu inhomogène
- 141 -
de vitesse du son n'affectent que très peu la propagation. Ainsi pour des petits nombres
d'onde horizontaux kn (propagation quasi-verticale) tout se passe comme si la propagation
se faisait en milieu homogène i.e. selon des trajectoires rectilignes (voir à ce sujet
[Rasmussen, 1990], [Taherzadeh, et al., 1998]). Le modèle obtenu a donné naissance à un
code de calcul baptisé DOWNMOD.
Les résultats obtenus avec la solution des modes normaux 3D (pour une source
ponctuelle), modifiée de manière à supprimer les oscillations, ont été comparés avec succès
à ceux donnés dans l'article de synthèse [Attenborough, et al., 1995], en termes de perte par
transmission. La perte par transmission est définie de la manière suivante :
m 1 à libre champ
Mpoint au total champlog20nransmissioTpar Perte =
La figure 5. 1 montre les résultats dans le cas 2 à 100 Hz de la publication (cf fig.6
[Attenborough, et al., 1995]) ; les hauteurs de source et de récepteur sont de 5 m et 1 m, la
portée varie de 0.1 à 10000 m, l'impédance spécifique de surface du sol vaut
Zc=(12.81,11.62) et le gradient vertical de vitesse du son 0.1 s-1. Les instabilités présentes
dans le résultat de la figure 6 [Attenborough, et al., 1995] avec la solution des modes
normaux à courte distance (jusqu'à environ 1000 m) ne sont pas visibles dans le résultat de
la figure 5. 1, obtenu par DOWNMOD. Ce meilleur résultat est obtenu à l'aide du
traitement des modes verticaux de la série eq. 3- 76 (source ponctuelle) ou eq. 3- 88
(source linéique) présenté ci-dessus.
-100
-90
-80
-70
-60
-50
-40
-30
-20
0 2 103 4 103 6 103 8 103 1 104
Per
te p
ar tr
ansm
issi
on (
dB)
Portée (m)
figure 5. 1 : Perte par transmission calculée par DOWNMOD en fonction de la portée (cf fig. 6
[Attenborough, et al., 1995]).
Chapitre 5 : Les modèles DOWNMOD, UPGEOM et UPRES en milieu inhomogène
- 142 -
Le modèle des modes normaux ainsi "amélioré", DOWNMOD, est confronté dans la
figure 5. 2 aux résultats de la FFP et de l'Equation Parabolique de la figure 12 du
"benchmark" [Attenborough, et al., 1995], rappelés figure 5. 3. On constate que les
résultats de ces deux modèles coïncident quasiment avec ceux du code de calcul
DOWNMOD en 3D. A 1000 Hz toutefois, le nombre de modes normaux nécessaires pour
que la série converge est de 6667 et l'on peut alors remarquer quelques différences entre les
résultats à grande distance.
Pour valider le modèle adapté au cas d'une source linéique (2D), les résultats en termes
d'atténuation par rapport au champ libre eq. 3- 76 ont été comparés à ceux obtenus par le
modèle classique valable pour une source ponctuelle eq. 3- 88 et à des résultats
numériques donnés par la FFP, l'Equation Parabolique ainsi qu'à des résultats
expérimentaux pour un grand nombre de cas. Les résultats du code de calcul DOWNMOD
en 3D se superposent rigoureusement dans tous les cas étudiés aux résultats du même code
adapté au 2D. La figure 5. 4 montre sur un exemple correspondant à la figure 7 de l'article
de Raspet [Raspet, et al., 1992] que le modèle pour la source cylindrique est robuste
puisqu'il fournit les mêmes résultats, en atténuation par rapport au champ libre, que le
modèle pour la source sphérique et que l'accord est très bon avec un résultat de calcul de la
FFP.
Chapitre 5 : Les modèles DOWNMOD, UPGEOM et UPRES en milieu inhomogène
- 143 -
10 Hz
100 Hz
1000 Hz
figure 5. 2 : Perte par transmission en fonction de la portée calculée par DOWNMOD (3D). Hauteurs de lasource et du récepteur : zS = 5 m, zR = 1 m. Le gradient de vitesse du son est donné par : dc/dz = 0.1 s-1.L'impédance spécifique normalisée du sol Zc vaut (38.79, 38.41) à 10 Hz, (12.81, 1162) à 100 Hz, (5.96, 2.46) à1000 Hz.
-80
-70
-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
0 50 100 150 200-80
-70
-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
0 2000 4000 6000 8000 1 104
-80
-70
-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
0 50 100 150 200
Per
te p
ar tr
ansm
issi
on (
dB)
-80
-70
-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
0 2000 4000 6000 8000 1 104
-80
-70
-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
0 50 100 150 200-80
-70
-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
0 2000 4000 6000 8000 1 104
Chapitre 5 : Les modèles DOWNMOD, UPGEOM et UPRES en milieu inhomogène
- 144 -
figure 5. 3 : Perte par transmission en fonction de la portée calculée par la FFP ou l'EquationParabolique, correspondant à la figure 5. 2 (cf fig. 12 [Attenborough, et al., 1995]).
Chapitre 5 : Les modèles DOWNMOD, UPGEOM et UPRES en milieu inhomogène
- 145 -
-10
-5
0
5
10
15
20
0 1000 2000 3000 4000 5000
Atté
nuat
ion
(dB
)
Portée (m)
DOWNMOD (2D)
DOWNMOD (3D)
FFP
figure 5. 4 : Atténuation comparée de DOWNMOD (2D), DOWNMOD (3) et de la FFP, en fonction de ladistance (cf exemple 2, fig. 7 [Raspet, et al., 1992]).
Le modèle DOWNMOD (2D) pour une source cylindrique est également comparé à des
résultats de mesure et de calcul selon une approche intégrale de Rasmussen pour des cas de
propagation acoustique au-dessus d'un sol herbeux en situation de vent portant
[Rasmussen, 1986]. Les résultats sont basés selon le modèle d'impédance de sol de Delany-
Bazley [Delany et Bazley, 1970] sur une résistance au passage de l'air σ = 200000 Nsm-4.
Le gradient de vent est pris en compte par l'intermédiaire d'un gradient équivalent de
vitesse du son donné par le paramètre a de l'expression eq. 3- 70, suivant la formule :
dz
dV
)0(c
1a =
La figure 5. 5 montre que les résultats du modèle DOWNMOD (2D) sont très proches
du modèle de Rasmussen et se comparent favorablement aux résultats expérimentaux, bien
qu'ayant été calculés sous l'hypothèse de gradients linéaires. Le modèle DOWNMOD (2D)
peut donc permettre de décrire des situations de vent portant.
Chapitre 5 : Les modèles DOWNMOD, UPGEOM et UPRES en milieu inhomogène
- 146 -
Distance de propagation d(S,R) = 40 m.
Distance de propagation d(S,R) = 80 m.
Hauteur de récepteur zR = 1,5 m Hauteur de récepteur zR = 0,5 m
Niveaux mesurés par Rasmussen
Calcul de Rasmussen
DOWNMOD (2D)
figure 5. 5 : Comparaison de DOWNMOD (2D) à des résultats de Rasmussen [Rasmussen, 1986]. Niveauxde pression relatif au champ libre en situation de vent portant au-dessus d'un sol herbeux (σ = 200000 Nsm-4),hauteur de source zS = 1,45 m, vitesse du vent 2,5 m/s à 10 m.
-30
-25
-20
-15
-10
-5
0
5
10
100 1000
Niv
eau
de p
ress
ion
rela
tif (
dB)
Fréquence (Hz)
-30
-25
-20
-15
-10
-5
0
5
10
100 1000
Niv
eau
de p
ress
ion
rela
tif (
dB)
Fréquence (Hz)
-30
-25
-20
-15
-10
-5
0
5
10
100 1000
Niv
eau
de p
ress
ion
rela
tif (
dB)
Fréquence (Hz)
-30
-25
-20
-15
-10
-5
0
5
10
100 1000
Niv
eau
de p
ress
ion
rela
tif (
dB)
Fréquence (Hz)
Chapitre 5 : Les modèles DOWNMOD, UPGEOM et UPRES en milieu inhomogène
- 147 -
Le modèle DOWNMOD étant cohérent dans ses résultats pour une source ponctuelle et
une source cylindrique en termes de niveau relatif, et se comparant favorablement à
d'autres résultats de mesure ou de calcul, on alors cherché à vérifier le comportement de la
dérivée du champ de pression calculée par ce modèle. Pour ce faire, on a confronté des
résultats du calcul de la dérivée horizontale par DOWNMOD (cf eq. 3- 89) à des résultats
expérimentaux réalisés par Wang [Wang, 1997] pour un dipôle horizontal au-dessus d'une
surface concave. En effet, la dérivée horizontale du champ de pression est égale à un
facteur multiplicatif près au champ de pression rayonné par un dipôle horizontal (voir
[Wang, 1997]). Les résultats de la figure 5. 6 sont présentés en termes de perte par
transmission suivant la définition donnée précédemment. Soulignons que le modèle
DOWNMOD (3D) pour une source ponctuelle a été utilisé. Cependant les résultats obtenus
en calculant la perte par transmission à partir du modèle DOWNMOD (2D) pour une
source cylindrique, selon la relation exposée ci-dessous (basée sur la propriété que les
atténuations relatives au champ libre sont identiques pour une source ponctuelle et une
source cylindrique) étaient rigoureusement superposables dans tous les cas de figure
étudiés. Etablissons la relation qui lie les pertes par transmission pour une source sphérique
et une source cylindrique. En appelant p3D et p2D le champ total de pression acoustique,
respectivement en 3D (source ponctuelle) et en 2D (source linéique), on a :
( ))M,S(dlog20A.E.1
e)M,S(d
e
)M,S(d
e
(M)plog20
m 1 à libre champ
Mpoint au total champlog20nransmissioTpar Perte
D3
1i
)M,S(ikd
)M,S(ikdD3
D3D3
−=
=
=
Ici E.A (pour Excess Attenuation) représente l'atténuation relative au champ libre.
Or, en considérant que l'on a : D2D3 A.EA.E ≡ , on peut écrire la relation suivante :
( )
( )( )
( ) ( )
( )( ) )M,S(d)M,S(kdH
kH log 20nransmissioTpar Perte
)M,S(dlog20)M,S(kdH4/i
.1 kH4/i
.1 kH4/i
(M)plog20
)M,S(dlog20A.EnransmissioTpar Perte
0
0D2
0
0
0
D2
D2D3
+=
−−
−−
=
−=
Chapitre 5 : Les modèles DOWNMOD, UPGEOM et UPRES en milieu inhomogène
- 148 -
-10
-5
0
5
10
15
20
25
30
0 0.5 1 1.5 2
Per
te p
ar T
rans
mis
sion
(dB
)
Distance de la source (m)
-10
-5
0
5
10
15
20
25
30
0 0.5 1 1.5 2
Per
te p
ar T
rans
mis
sion
(dB
)
Distance de la source (m)
Les résultats du calcul de la dérivée du champ de pression par DOWNMOD (2D),
exprimés via la formule qui précède, sont confondus avec ceux issus du calcul par
DOWNMOD (3D) montrés dans la figure 5. 6.
(a) sol rigide (b) sol absorbant
Mesures de WangDOWNMOD (3D)
figure 5. 6 : Comparaison de la dérivée du champ de pression calculée par DOWNMOD (3D) et derésultats de mesures de Wang pour un dipôle horizontal sur une surface concave de rayon de courbureRc = 2.5m, f = 2915 Hz. (a) surface rigide : zS = 0.02 m, zR = 0. m. (b) surface absorbante (modèle deporosité variable à deux paramètres) : σe = 38000 Pa s m-2, αe = 15 m-1, zS = zR = 0.10 m. Résultats donnés entermes de Perte par Transmission.
On constate que ces résultats sont proches des résultats de mesure de Wang, bien qu'un
écart d'environ 2 à 3 dB apparaisse pour le cas de la surface absorbante, lorsque l'on
s'éloigne de la source, à partir de 1.50 m environ du point-source. Cet écart peut s'expliquer
par le fait que rigoureusement, selon Wang, le profil de vitesse du son "équivalent" dans
l'analogie propagation en milieu homogène au-dessus d'une surface courbée – propagation
en milieu inhomogène au-dessus d'une surface plane, est plutôt exponentiel que bilinéaire,
profil sur lequel repose la solution des modes normaux.
En résumé, dans ce paragraphe la solution retenue pour la réfraction vers le bas, à savoir
la solution des modes normaux, a été validée par rapport à des résultats expérimentaux et
numériques. On a également vérifié la cohérence des résultats pour une source linéique par
rapport à une source ponctuelle en termes d'atténuation par rapport au champ libre. Le
comportement de la dérivée du champ de pression, nécessaire au calcul de la dérivée des
fonctions de Green de la méthode des éléments finis de frontière, a aussi été examiné.
Chapitre 5 : Les modèles DOWNMOD, UPGEOM et UPRES en milieu inhomogène
- 149 -
5.3 Réfraction vers le haut : les modèles UPGEOM et UPRES
La solution retenue dans le cas de la réfraction vers le haut est examinée avec plus de
précision dans ce paragraphe. Le paragraphe 3.3.4.4 a montré que l'on pouvait retenir dans
le cas d'un profil de vitesse du son linéaire à gradient négatif la solution de la série des
résidus dans la zone d'ombre. Cette solution, bien que convergeant plus lentement dans la
zone de pénombre acoustique, reste valable à la transition de la zone d'ombre vers la zone
éclairée. Puis, lorsque le récepteur est situé profondément à l'intérieur de la zone éclairée,
la série des résidus diverge. Il faut alors adjoindre à cette solution une autre formulation,
approchée, que l'on construit en utilisant les résultats du modèle analytique de l'effet de sol
présentés dans le paragraphe 3.3.4.1. Cette formulation, bien qu'approchée, a le mérite
d'être simple et de donner des résultats corrects. Elle conduit cependant à des dérivations
numériques pour le calcul des dérivées normales de la fonction de Green nécessaires à la
méthode des éléments finis de frontière.
5.3.1 La solution géométrique en zone éclairée : le modèle UPGEOM
A l'intérieur de la zone éclairée, la solution de la série des résidus exposée dans le
paragraphe 3.3.4.4 divergeant, il convient d'exprimer le champ de pression sous une autre
forme. Pour ce faire, on s'appuie sur le modèle géométrique présenté dans [Berry et Daigle,
1988], reposant sur l'équivalence propagation en situation de réfraction vers le haut au-
dessus d'un sol plan – propagation en milieu homogène au-dessus d'un cylindre convexe.
Cette analogie est présentée plus en détail au paragraphe 5.5.
La figure 5. 7 définit les différentes notations utilisées pour construire le modèle
géométrique, qui sont les mêmes que dans [Berry et Daigle, 1988].
Chapitre 5 : Les modèles DOWNMOD, UPGEOM et UPRES en milieu inhomogène
- 150 -
figure 5. 7 : Schéma pour la propagation en milieu homogène au-dessus d'un cylindre convexe.
Dans le cas d'une source ponctuelle au-dessus d'un cylindre rigide de rayon de courbure
Rc, la pression acoustique peut se décomposer de la manière suivante (dépendance en e-iωt
comme toujours sous-entendue) :
( ) )M(p)M(pMp ri += eq. 5- 2
où pi est le champ incident, et pr, le champ réfléchi.
pi est donné, au facteur 1/4π près, par :
d
e)M(p
ikd
i = eq. 5- 3
Quant au champ réfléchi pr, il faut prendre en compte, outre la perte d'énergie par
divergence géométrique, la déformation du tube d'énergie par la surface cylindrique,
schématisée par la figure 5. 8.
Chapitre 5 : Les modèles DOWNMOD, UPGEOM et UPRES en milieu inhomogène
- 151 -
figure 5. 8 : Déformation du tube de rayons lors de la réflexion sur la surface courbée.
On peut écrire dans ce cas, d'après [Pierce, 1991] :
)c/lt,M(p)l(A
)0(A)t,M(p)M(p i
2/1
rr −
== eq. 5- 4
où A(l) représente l'aire de la section du tube de rayons après avoir parcouru une
distance l le long du rayon après le point de réflexion où cette aire vaut A(0). On peut
montrer que pour une onde sphérique rencontrant une surface cylindrique avec un angle
d'incidence θ, dans un plan normal à la génératrice du cylindre, on a :
θ
+++=cosR
l2
R
l1)
R
l1(
)0(A
)l(A
cii
eq. 5- 5
Ri est le rayon de courbure de l'onde incidente au point de réflexion sur la surface.
Par conséquent, avec les notations de notre problème Ri = d1 et l = d2 (voir figure 5. 7),
le champ de pression réfléchi se présente sous la forme suivante :
2
1ikd
1
ikd2/1
c
2
1
2
1
2r e
d
e
cosR
d2
d
d1)
d
d1()M(p
−
θ
+++= eq. 5- 6
On peut réécrire cette expression de la manière suivante :
2
1ikd
1
ikd2/1
21c
12
21
1r e
d
e
cos)dd(R
dd21
dd
d)M(p
−
θ+
++
= eq. 5- 7
On voit alors apparaître dans le premier terme de cette formule le rapport des distances
d1/(d1+d2) qui représente la perte d'énergie de l'onde sphérique par divergence
géométrique. Le deuxième terme entre crochets représente quant à lui la perte d'énergie
due à la déformation du tube d'énergie pour une onde sphérique rencontrant une surface
cylindrique (i.e la déformation d'un tube parallèle d'énergie incidente qui se réfléchit en un
faisceau divergent sur la surface courbée), le dernier terme en eikd2 étant dû au déphasage
de l'onde après avoir parcouru la distance d2 après le point de réflexion.
Chapitre 5 : Les modèles DOWNMOD, UPGEOM et UPRES en milieu inhomogène
- 152 -
Les paramètres géométriques dans eq. 5- 3 et eq. 5- 6 sont déterminés de la manière
suivante (voir la figure 5. 7 pour les notations) :
β+α=θ eq. 5- 8
1
c
d
sinRarcsin
β=α eq. 5- 9
( ) ( ) β+−++= coshRR2RhRd Scc2c
22Sc
21
eq. 5- 10
( ) ( ) ( )β−+−++= ccc2c
22c
22 R/rcoshRR2RhRd eq. 5- 11
( ) ( ) ( )( ) ( )cScc2
c2
Sc2 R/rcoshRhR2hRhRd ++−+++= eq. 5- 12
Et β est la solution de :
( )hR
hR
d
d
sin
R/rsin
c
Sc
1
2c
++=
ββ−
eq. 5- 13
La valeur de β est trouvée en utilisant la technique de Brent (voir [Press, et al., 1992])
pour déterminer les zéros d'une fonction. Dans le cas où le sol n'est plus parfaitement
réfléchissant, on peut adopter la solution géométrique heuristique de [Berry et Daigle,
1988] qui reprend la forme de la solution analytique de l'effet de sol en milieu homogène
présentée dans le paragraphe 3.3.4.1 et l'on peut ainsi écrire :
( ) )M(Qp)M(pMp ri += eq. 5- 14
où Q est le coefficient de réflexion pour une onde sphérique donné par eq. 3- 63.
La solution donnée par eq. 5- 2, eq. 5- 3, eq. 5- 6 et eq. 5- 14 est valable pour une
source ponctuelle. Dans le cas du rayonnement cylindrique d'une source linéique, on peut
reprendre la même forme heuristique que eq. 5- 2 et eq. 5- 14 en écrivant cette fois le
champ incident de la manière suivante :
)kd(H4
i)M(p 0i −= eq. 5- 15
Pour le champ réfléchi, la formule eq. 5- 4 reste valable. Et l'on peut montrer, en
utilisant l'approche de Pierce [Pierce, 1991], que dans ce cas :
θ
++=cosR
l2
R
l1
)0(A
)l(A
ci
eq. 5- 16
Par conséquent eq. 5- 4 devient :
Chapitre 5 : Les modèles DOWNMOD, UPGEOM et UPRES en milieu inhomogène
- 153 -
( ) 2ikd10
2/1
c
2
1
2r ekdH
4
i
cosR
d2
d
d1)M(p
−
θ
++=−
eq. 5- 17
que l'on peut réécrire sous la forme :
( ) 2ikd10
2/1
21c
12
21
1r ekdH
4
i
cos)dd(R
dd21
dd
d)M(p
−
θ+
++
=−
eq. 5- 18
On reconnaît, comme dans eq. 5- 7, le premier terme de cette formule qui représente la
perte d'énergie de l'onde cylindrique par divergence cylindrique sous la forme de la racine
du rapport des distances. Le deuxième terme entre crochets représente toujours quant à lui
la perte d'énergie due à la déformation du tube d'énergie pour une onde rencontrant une
surface cylindrique, le dernier terme en eikd2 étant, de même que dans eq. 5- 7, dû au
déphasage de l'onde après avoir parcouru la distance d2 après le point de réflexion.
Il faut souligner qu'écrire eq. 5- 14 en utilisant les expressions eq. 5- 15 et eq. 5- 17
revient à faire l'hypothèse que le coefficient de réflexion d'une onde cylindrique
rencontrant une surface plane absorbante est voisin du coefficient de réflexion dans les
mêmes conditions mais pour une onde incidente sphérique (voir [Chandler-Wilde, 1985,
Chandler-Wilde, 1988]). En outre il faut garder présent à l'esprit que ce modèle,
géométrique, est une approximation haute fréquence.
Quoi qu'il en soit, la validité de ce modèle approché, aboutissant au code de calcul
nommé UPGEOM, a été testée sur de nombreux cas en confrontant les résultats en termes
d'atténuation relative au champ libre pour une source sphérique et une source cylindrique.
Dans tous les cas étudiés, les résultats entre modèle 2D (source cylindrique) et modèle 3D
(source ponctuelle) se sont avérés rigoureusement confondus. La figure 5. 9 compare les
résultats donnés par le modèle UPGEOM (2D) pour une source cylindrique – le modèle
UPGEOM (3D) donne des résultats exactement superposables - à des résultats
expérimentaux fournis par Wang (cf fig. 3.23 et 3.22 p93, [Wang, 1997]), mesurés au-
dessus d'une surface convexe parfaitement réfléchissante puis absorbante. On constate que
les résultats du modèle UPGEOM (2D) sont voisins des résultats de mesure pour les deux
types de sol, à moins de 2 dB près.
Chapitre 5 : Les modèles DOWNMOD, UPGEOM et UPRES en milieu inhomogène
- 154 -
surface rigide surface absorbante
Mesures de WangUPGEOM (2D)
figure 5. 9 : Comparaison du modèle UPGEOM (2D) en zone éclairée à des résultats expérimentaux deWang [Wang, 1997] au-dessus de surfaces courbées de rayon de courbure Rc = 5 m.
surface rigide : zS= 0.43 m, zR = 0.93 m, d(S,R) = 3.65 msurface absorbante : σ = 60000 kPa s m-2, zS= 0.30 m, zR = 1.46 m, d(S,R) = 3.43 m
Dans le contexte de cette étude, on a besoin de calculer les dérivées normales de la
fonction de Green dans la BEM. Or à cet égard les formules eq. 5- 2 et eq. 5- 14 ne sont
pas aisément dérivables directement de façon analytique et l'introduction dans la méthode
d'éléments finis de frontière des phénomènes de réfraction vers le haut nécessite alors le
recours à une dérivation numérique. Ceci est réalisé en utilisant la méthode de Ridders
[Press, et al., 1992]. Les résultats sont comparés, de la même manière que pour la
réfraction vers le bas, à ceux issus de la théorie des dipôles (voir paragraphe 5.3.3), et
montrent que l'accord est correct entre les différentes valeurs obtenues.
-10
-5
0
5
10
1000 104
Atté
nuat
ion
(dB
)
Fréquence (Hz)
-10
-5
0
5
10
1000 104
Atté
nuat
ion
(dB
)
Fréquence (Hz)
Chapitre 5 : Les modèles DOWNMOD, UPGEOM et UPRES en milieu inhomogène
- 155 -
5.3.2 La série des résidus en zone d'ombre : le modèle UPRES
Dans le cas de la réfraction vers le haut, à la solution des modes normaux pour la
réfraction vers le bas correspond la solution de la série des résidus, avec les mêmes
avantages et inconvénients, en vue de servir de fonction de Green à la formulation
d'éléments finis de frontière.
Dans le cas d'un profil linéaire donné par l'expression eq. 3- 71, la solution de la série
des résidus est donnée pour une source ponctuelle par la formule eq. 3- 95, et pour une
source linéique par eq. 3- 103. Cette dernière formule, qui servira de base pour fournir la
fonction de Green introduite pour la réfraction vers le haut dans le modèle bidimensionnel
BEMAS2D détaillé dans le chapitre 3, est rappelée ci-après :
( ) ( ) ( )( )[ ] ( )[ ]( )∑ −
−−π=πππ
n2
nn2
nn
3/i2n
3/i2sn
xik6/i
bAibb'Aik
e)l/z(bAie)l/z(bAie
l
e2z,xp
n
eq. 5- 19
Le point délicat de la série des résidus consiste, de même que pour la solution des
modes normaux, à rechercher les zéros bn de l'équation eq. 3- 97 qui donnent, grâce à eq.
3- 96, les nombres d'onde horizontaux kn. Ces zéros sont également capturés dans le plan
complexe à l'aide d'une méthode hybride de Powell adaptée pour les solutions de système
non-linéaires [Moré, et al., ], [Powell, 1970]. La méthodologie suivie est exposée en détail
dans [Raspet, et al., 1991] et [Berry et Daigle, 1988]. On part toujours de la solution pour
le paramètre q égal à zéro, qui est en fait la valeur du zéro de la dérivée de la fonction de
Airy, et l'on incrémente le paramètre q de ∆q en l'utilisant comme solution de départ. On
cherche alors de nouveau la solution de eq. 3- 97 toujours grâce au schéma de Powell
adapté, puis ce processus est répété de manière itérative jusqu'à ce que l'on atteigne la
valeur réelle du paramètre q. En ce qui concerne l'application à un code de calcul, on
retrouve le problème de l'instabilité numérique significative due au comportement
oscillatoire des fonctions de Airy pour les grands arguments qui donne naissance à de
petites oscillations rapides dans le champ. Pour surmonter ce problème épineux pour le
calcul des dérivées normales de la fonction de Green qui intervient dans la BEM, on suit la
même idée que pour la réfraction vers le bas : on suppose que près de la verticale les
gradients de vitesse du son n'affectent que très peu la propagation. Ainsi pour des petits
nombres d'onde horizontaux kn (propagation quasi-verticale), tout se passe comme si la
Chapitre 5 : Les modèles DOWNMOD, UPGEOM et UPRES en milieu inhomogène
- 156 -
propagation se faisait en milieu homogène i.e. selon des trajectoires rectilignes
[Rasmussen, 1990], [Taherzadeh, et al., 1998].
Les résultats obtenus avec la série des résidus ainsi modifiée de manière à supprimer les
oscillations, donnant naissance au code de calcul UPRES, ont été comparés avec succès à
ceux donnés dans l'article de synthèse [Attenborough, et al., 1995]. La figure 5. 10 montre
les résultats dans le cas 3 de la publication (correspondant à la figure 13, p.188). Les
hauteurs de source et de récepteur sont de 5 m et 1 m, la portée varie de 0.1 à 10000 m,
l'impédance spécifique de surface du sol vaut Zc=(12.81,11.62) et le gradient vertical de
vitesse du son -0.1 s-1. Les instabilités présentes dans le résultat de [Attenborough, et al.,
1995] avec la solution de la série des résidus à courte distance ne sont pas visibles dans le
résultat de la figure 5. 10. Ce meilleur résultat est obtenu à l'aide du traitement des modes
verticaux de la série eq. 3- 95 (source ponctuelle) ou eq. 3- 103 (source linéique) présenté
ci-dessus.
Chapitre 5 : Les modèles DOWNMOD, UPGEOM et UPRES en milieu inhomogène
- 157 -
10 Hz
100 Hz
1000 Hz
figure 5. 10 : Perte par transmission en fonction de la portée calculée par UPRES (3D). Hauteurs de lasource et du récepteur : zS = 5 m, zR = 1 m. Le gradient de vitesse du son est donné par : dc/dz = -0.1 s-1.L'impédance spécifique normalisée du sol Zc vaut (38.79, 38.41) à 10 Hz, (12.81, 1162) à 100 Hz, (5.96, 2.46) à1000 Hz.
-80
-70
-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
0 50 100 150 200-80
-70
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0 2000 4000 6000 8000 1 104
-80
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0 50 100 150 200
Per
te p
ar tr
ansm
issi
on (
dB)
-80
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0 2000 4000 6000 8000 1 104
Chapitre 5 : Les modèles DOWNMOD, UPGEOM et UPRES en milieu inhomogène
- 158 -
figure 5. 11 : Perte par transmission en fonction de la portée calculée par la FFP ou l'EquationParabolique, correspondant à la figure 5. 10 (cf fig. 13 [Attenborough, et al., 1995]).
Chapitre 5 : Les modèles DOWNMOD, UPGEOM et UPRES en milieu inhomogène
- 159 -
Pour valider le modèle adapté au cas d'une source linéique, on a recalculé les résultats
de la figure 5. 10 et de la figure 5. 11, en utilisant la relation du paragraphe 5.2, entre la
perte par transmission en 3D et la perte par transmission en 2D. Les courbes obtenues se
superposent à celles de la figure 5. 10. On a également comparé les résultats en termes
d'atténuation par rapport au champ libre, calculés dans le cas d'une source linéique (cf eq.
3- 103), à ceux obtenus par le modèle classique valable pour une source ponctuelle (eq. 3-
95), et à des mesures expérimentales dans de nombreuses configurations. Dans tous les cas
observés, les résultats du modèle UPRES (2D) pour une source cylindrique sont confondus
avec les résultats du même modèle pour une source ponctuelle UPRES (3D).
Distance de propagation d(S,R) = 40 m.
Distance de propagation d(S,R) = 80 m.
Hauteur de récepteur zR = 1,5 m Hauteur de récepteur zR = 0,5 m
Mesures de RasmussenCalcul de RasmussenUPRES (2D)
figure 5. 12 : Comparaison de UPRES (2D) à des résultats de Rasmussen [Rasmussen, 1986]. Niveaux depression relatif au champ libre en situation de vent contraire au-dessus d'un sol herbeux (σ = 200000 Nsm-4),hauteur de source zS = 1,45 m, vitesse du vent -2m/s à 10 m.
-30
-25
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-15
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5
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100 1000
Niv
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de p
ress
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rela
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dB)
Fréquence (Hz)
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100 1000
Niv
eau
de p
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ion
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tif (
dB)
Fréquence (Hz)
-30
-25
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5
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100 1000
Niv
eau
de p
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rela
tif (
dB)
Fréquence (Hz)
-30
-25
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5
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100 1000
Niv
eau
de p
ress
ion
rela
tif (
dB)
Fréquence (Hz)
Chapitre 5 : Les modèles DOWNMOD, UPGEOM et UPRES en milieu inhomogène
- 160 -
La figure 5. 12 illustre, sur un exemple donné par Rasmussen [Rasmussen, 1986], le
bon accord obtenu entre les résultats du modèle UPRES (2D) et des résultats
expérimentaux, pour une situation de vent contraire (-2 m/s à 10 m de hauteur), similaire à
la situation de vent portant présentée figure 5. 5.
-30
-25
-20
-15
-10
-5
0
0 20 40 60 80 100 120
Atté
nuat
ion
(dB
)
Distance par rapport au sommet de la surface (cm)
Mesures de WangUPRES (2D) rUPRES (2D) d
figure 5. 13 : Comparaison du modèle UPRES (2D) à des résultats expérimentaux dans la zone d'ombre[Wang, 1997]. Atténuation par rapport au champ libre à 4350 Hz le long de la ligne de vue, au-dessus d'unesurface convexe de rayon de courbure Rc = 2.5 m, caractérisée par les paramètres σe = 38000 Pa s m-2 et αe = 15m-1. Hauteur de source zS = 0.24 m. Le modèle UPRES (2D) d est identique au modèle UPRES (2D) r, enremplaçant la distance le long de l'arc de cercle r par la plus courte distance d entre source et récepteur (cf[Berthelot, 1996]).
La figure 5. 13 compare le modèle UPRES (2D) à des résultats expérimentaux de Wang
[Wang, 1997] et prouve que l'on retrouve redonne bien le comportement global de
l'atténuation montré par les mesures. Cependant, des écarts jusqu'à 5 dB entre le modèle et
la mesure, peuvent survenir, notamment à 1,20 m de la source. Berry et Daigle [Berry et
Daigle, 1988] ont montré par ailleurs que les résultats comparés de la mesure et du modèle
de la série des résidus sont moins bons dans la zone de transition dite zone de pénombre. Il
est toutefois possible, selon Berthelot [Berthelot, 1996], de les améliorer en utilisant la
valeur de la distance la plus courte entre la source et le récepteur à la place de la longueur
de l'arc le long de la surface courbée entre ces deux points (voir la discussion du
paragraphe 5.5). La figure 5. 13 prouve en effet que les résultats de la série des résidus
sont plus proches des résultats expérimentaux si l'on prend en compte cette modification
empirique.
Concernant la dérivée du champ de pression, les résultats sont toujours comparés, de
même que pour la solution géométrique, à ceux issus de la théorie des dipôles (voir le
Chapitre 5 : Les modèles DOWNMOD, UPGEOM et UPRES en milieu inhomogène
- 161 -
paragraphe 5.3.3), et la confrontation entre les différentes valeurs obtenues prouve que le
modèle UPRES donne des résultats d'une précision correcte.
5.3.3 Les critères de transition entre les modèles UPGEOM et UPRES
Il importe à ce stade de mieux cerner les limites d'utilisation des modèles UPGEOM et
UPRES, quant à leur domaine spatial de validité. Le changement de solution pour la
fonction de Green (série des résidus – solution géométrique) est gouverné par la limite
physique de la zone d'ombre. On peut écrire qu'un point M de coordonnées (yM, zM) est
dans la zone d'ombre réfractive pour une onde émise par une source S de coordonnées (yS,
zS) si (voir par exemple [West, et al., 1989]) :
2MMc
2SSco
oSM
zzR2zzR2d avec
dyy
−+−=
>−eq. 6- 1
On constate que la condition pour qu'un point-récepteur M donné soit dans la zone
d'ombre est fonction, outre du rayon de courbure de la trajectoire des rayons, de la hauteur
de la source et du récepteur, et de la distance source-récepteur.
A l'intérieur de la zone d'ombre, on utilisera le modèle UPRES.
En revanche, lorsque l'on s'éloigne de la zone d'ombre, Wang [Wang, 1997] a montré
que le modèle géométrique donne des résultats satisfaisants pour des points situés
suffisamment à l'intérieur de la zone éclairée, selon la relation suivante :
Se
eSM
Rz2d avec
dyy
=<−
eq. 6- 2
Par conséquent, pour ces points situés à l'intérieur de la zone éclairée, on adoptera le
modèle UPGEOM.
Pour la région de transition, dite zone de pénombre, pour laquelle :
2MMc
2SScSMSc zzR2zzR2yyzR2 −+−<−< eq. 6- 3
la série des résidus donne toujours, selon Wang [Wang, 1997], des résultats d'une précision
correcte si l'on augmente le nombre de termes de la série, bien que la solution de la série
des résidus ne soit rigoureusement valable que dans la zone d'ombre. De plus, dans cette
zone de transition, les résultats du modèle géométrique et de la série des résidus sont très
proches.
Chapitre 5 : Les modèles DOWNMOD, UPGEOM et UPRES en milieu inhomogène
- 162 -
Les critères retenus pour délimiter la transition du modèle UPGEOM au modèle UPRES
et présentés précédemment ont été vérifiés avec succès sur plusieurs configurations
différentes. La figure 5. 14 compare ainsi, dans la zone de transition, les résultats des
modèles UPGEOM et UPRES à des résultats de mesure de Wang [Wang, 1997]. On
constate bien que les résultats concordent dans cette région. Cependant des écarts non
négligeables entre la mesure et les modèles peuvent être relevés, notamment autour de
5000 – 6000 Hz dans le cas de la surface rigide (entre 2 et 4 dB d'écart avec la mesure,
selon le modèle), ou encore au-dessus de 10000 Hz pour la surface absorbante. Cette
observation laisse augurer de la difficulté de prévoir les niveaux de pression dans cette
région délicate de transition.
(a) sol rigide (b) sol absorbant
Mesures de WangUPGEOM (2D)UPRES (2D)
figure 5. 14 : Comparaison entre les résultats des modèles UPGEOM (2D) et UPRES (2D) et des résultatsexpérimentaux de Wang [Wang, 1997] sur surface convexe de rayon de courbure Rc = 2.5 m. (a) sol rigide :zS = 0.20 m, zR = 0.50 m et d(S,R) = 1.65 m. (b) sol absorbant (modèle de porosité variable à deux paramètres) :σe = 38000 Pa s m-2, αe = 15 m-1, zS = 0.68 m, zR = 0.12 m et d(S,R) = 1.65 m.
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rans
mis
sion
(dB
)
Fréquence (Hz)
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5
1000 104
Per
te p
ar T
rans
mis
sion
(dB
)
Fréquence (Hz)
Chapitre 5 : Les modèles DOWNMOD, UPGEOM et UPRES en milieu inhomogène
- 163 -
Afin de récapituler la solution retenue sur tout le domaine spatial, zone d'ombre, région
de transition et zone éclairée, les modèles ont été comparés à des résultats de mesure de
Wang [Wang, 1997].
-40
-20
0
20
40
0 0.5 1 1.5 2 2.5
Per
te p
ar T
rans
mis
sion
(dB
)
Distance de la source (m)
Mesures de Wang
UPRES
UPGEOM
Solution mixte (UPRES+UPGEOM)
figure 5. 15 : Comparaison des modèles UPRES et UPGEOM, du modèle mixte UPRES+UPGEOM, et derésultats de mesures de Wang [Wang, 1997] au-dessus d'une surface convexe rigide de rayon de courbureRc = 2.5 m, f = 2915 Hz, zS = 0.24 m, zR = 0.0 m.
-40
-20
0
20
40
0 0.5 1 1.5 2 2.5
Per
te p
ar T
rans
mis
sion
(dB
)
Distance de la source (m)
légende identique à figure 5. 15.
figure 5. 16 : Comparaison des modèles UPRES et UPGEOM, du modèle mixte UPRES+UPGEOM, et derésultats de mesures de Wang [Wang, 1997] au-dessus d'une surface convexe absorbante de rayon decourbure Rc = 2.5 m, σe = 38000 Pa s m-2 et αe = 15 m-1 (modèle de porosité variable à deux paramètres), f =2915 Hz, zS = 0.24 m, zR = 0.0 m.
Les résultats de la figure 5. 15 et de la figure 5. 16 ont été calculés, à partir des modèles
en 2D, en termes de perte par transmission, en suivant les mêmes considérations qu'au
paragraphe 5.2. Ils illustrent les domaines de validité des modèles UPRES et UPGEOM.
Chapitre 5 : Les modèles DOWNMOD, UPGEOM et UPRES en milieu inhomogène
- 164 -
Ainsi pour cette configuration géométrique, la zone d'ombre commence à la distance
d'environ 1.1 m de la source. Dans les deux cas de surface rigide et absorbante, on peut
constater que la série des résidus du modèle UPRES donne de bons résultats dans cette
région, au-delà de 1.1 m, très proches des résultats de mesure. Ce modèle reste précis dans
la zone de transition et même à l'intérieur de la zone éclairée où la série des résidus diverge
cependant brutalement, à une distance appproximative de 0.4 m. Dans cette région éclairée,
la solution géométrique donne alors de bien meilleurs résultats comparés aux résultats
expérimentaux, tandis qu'elle n'est plus valable au-delà de la limite d'ombre. Le modèle
mixte s'appuie donc sur le modèle UPRES en zones d'ombre et de transition, puis la
solution géométrique du modèle UPGEOM prend le relai. On constate toutefois à l'examen
de la figure 5. 15 et de la figure 5. 16, que des écarts importants - jusqu'à 5 dB - peuvent
survenir dans la région de transition et que par conséquent, lorsque cela est possible, il est
préférable d'utiliser la solution de la série des résidus le plus loin possible dans la zone
éclairée.
A ce stade, après avoir confronté les résultats des modèles UPRES et UPGEOM sur tout
le domaine spatial à des résultats expérimentaux, il importe d'examiner de plus près, de
même qu'au paragraphe 5.2, le comportement de la dérivée du champ de pression. Ceci est
réalisé en comparant, toujours selon la même démarche que pour le modèle DOWNMOD
dans le cas de la réfraction vers le bas, les résultats du calcul de cette dérivée par les
modèles UPRES et UPGEOM, à des résultats expérimentaux de Wang pour le
rayonnement de dipôles situés au-dessus de surfaces convexes [Wang, 1997].
-40
-20
0
20
40
0 0.5 1 1.5 2 2.5
Per
te p
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(dB
)
Distance de la source (m)
légende identique à figure 5. 15
figure 5. 17 : Comparaison des modèles UPRES et UPGEOM, du modèle mixte UPRES+UPGEOM, et derésultats de mesures de Wang [Wang, 1997] pour un dipôle horizontal au-dessus d'une surface convexerigide de rayon de courbure Rc = 2.5 m, f = 2915 Hz, zS = 0.24 m, zR = 0.0 m.
Chapitre 5 : Les modèles DOWNMOD, UPGEOM et UPRES en milieu inhomogène
- 165 -
-40
-20
0
20
40
0 0.5 1 1.5 2 2.5
Per
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mis
sion
(dB
)
Distance de la source (m)
légende identique à figure 5. 15
figure 5. 18 : Comparaison des modèles UPRES et UPGEOM, du modèle mixte UPRES+UPGEOM, et derésultats de mesures de Wang [Wang, 1997] au-dessus d'une surface convexe absorbante de rayon decourbure Rc = 2.5 m, σe = 38000 Pa s m-2 et αe = 15 m-1 (modèle de porosité variable à deux paramètres), f =2915 Hz, zS = 0.24 m, zR = 0.0 m.
Les mêmes remarques que pour les résultats pour un monopôle de la figure 5. 15 et la
figure 5. 16 s'appliquent à la figure 5. 17 et la figure 5. 18, dans le cas du dipôle
horizontal. La solution géométrique du modèle UPGEOM prend le relais, dans la zone
éclairée, du modèle de la série des résidus UPRES qui donne de bons résultats dans les
régions d'ombre et de transition. On constate que, hormis dans la région de transition,
délicate, les résultats de la dérivée par rapport à la portée du champ de pression donné par
le modèle mixte (UPRES+UPGEOM), modèle construit en utilisant les solutions
géométriques et de la série des résidus dans leur domaine de validité, sont proches des
résultats de mesure de Wang pour un dipôle horizontal. Les résultats de la figure 5. 17 et
de la figure 5. 18 rejoignent en outre les constatations de Wang qui souligne que les
résultats pour un dipôle horizontal sont très proches des résultats pour un monopôle, ceci
n'étant toutefois pas le cas pour le dipôle vertical.
Ce paragraphe montre donc que les solutions retenues pour la réfraction vers le haut,
dans la zone d'ombre, à savoir la solution de la série des résidus et la solution géométrique,
ont été validées par rapport à des résultats expérimentaux et numériques. On a également
vérifié la cohérence des résultats pour une source linéique par rapport à ceux obtenus pour
une source ponctuelle en termes d'atténuation par rapport au champ libre. Le
comportement de la dérivée du champ de pression, nécessaire au calcul de la dérivée des
fonctions de Green de la méthode des éléments finis de frontière, a fait aussi l'objet d'un
examen approfondi.
Chapitre 5 : Les modèles DOWNMOD, UPGEOM et UPRES en milieu inhomogène
- 166 -
5.4 La linéarisation des profils de vitesse du son
Les modèles présentés dans ce chapitre ont été développés sous l'hypothèse de profils de
célérité linéaires. Ce paragraphe résume brièvement la méthode suivie pour linéariser les
profils de vitesse du son.
En utilisant les résultats des travaux de Panofski et Dutton (voir [Panofski et Dutton,
1984], [L'Espérance, 1992, L'Espérance, et al., 1992], [Defrance, 1996]), on peut
représenter de manière générale les profils théoriques du vent u(z) et de température T(z)
sous une forme logarithmique. Le profil de célérité théorique c(z) s'écrit alors :
)z(T27305,20cos)z(u)z(c u ++α= eq. 5- 20
où αu (0≤ αu ≤π) est l'angle compris entre la direction du vent et la direction source-
récepteur.
Pour linéariser ce profil de célérité, quelques auteurs ont utilisé (voir [Raspet, 1988] par
exemple), dans le cas de la réfraction vers le haut, des procédures de tracé de rayons pour
déterminer la trajectoire du rayon limite (le rayon séparant la zone d'ombre de la zone
éclairée et tangent au sol) et son rayon de courbure associé Rc, et calculer ainsi la valeur au
sol du gradient supposé constant par la relation :
dz
dc/)0(cRc = eq. 5- 21
West [West, et al., 1989] suit le même type d'approche en se basant sur des données
micro-météorologiques et sur la théorie de la similarité de Monin-Obukhov [Dyer, 1974],
et en calculant un rayon de courbure moyen. L'Espérance suggère, quant à lui, de prendre
en première approximation la valeur de la pente du profil logarithmique de vitesse du son à
la hauteur moyenne entre la source et le récepteur [L'Espérance, et al., 1992] :
2/)zz( RSz
ccte
dz
dc
+δδ≈= eq. 5- 22
On peut aussi adopter la méthode proposée plus récemment par Gabillet et L'Espérance
[Gabillet, et al., 1993], [L'Espérance, 1992] et reprise par Defrance [Defrance, 1996], basée
sur le concept de la zone de Fresnel entre la source et le récepteur. Cette méthode est
présentée ici dans ses grandes lignes. Rappelons tout d'abord que dans le cas d'une source
Chapitre 5 : Les modèles DOWNMOD, UPGEOM et UPRES en milieu inhomogène
- 167 -
ponctuelle, la première zone de Fresnel est un ellipsoïde de foyers la source S et le
récepteur R, donné par l'équation :
2MRSM
λ=+ eq. 5- 23
Pour obtenir le gradient linéaire équivalent de vitesse du son, on calcule la valeur
minimale et la valeur maximale de la vitesse du son à l'intérieur du volume de Fresnel
associé au trajet source-récepteur (voir figure 5. 19). Ces valeurs sont rencontrées au
milieu du trajet, où le rayon r1max de la première zone de Fresnel est maximale. Les vitesses
correspondantes sont déterminées pour des hauteurs hmin et hmax données par :
max1RS
min r2
zzh −+≈
max1RS
max r2
zzh ++≈
eq. 5- 24
avec :
λ>>λ≈ ppmax1 dpour 2/dr eq. 5- 25
Dans le cas où r1max>(zS+zR)/2, hmin devient négatif ce qui n'est pas acceptable.
L'Espérance [L'Espérance, 1992] propose alors, à partir de résultats expérimentaux de
limiter la valeur de hmin à deux fois la hauteur moyenne des éléments constituant la rugosité
de la surface [Panofski et Dutton, 1984] ce qui a pour effet, conformément à la réalité, de
limiter l'effet des forts gradients proches du sol.
On peut finalement déterminer le gradient de célérité linéaire équivalent, a0, à l'aide de
la formule suivante :
)hh(c
)h(c)h(ca
minmax0
minmax0 −
−= eq. 5- 26
où c0 est la vitesse du son de référence à z=0.
figure 5. 19 : Linéarisation du profil de vitesse du son grâce au concept du volume de Fresnel.
Chapitre 5 : Les modèles DOWNMOD, UPGEOM et UPRES en milieu inhomogène
- 168 -
On constate donc qu'il est possible d'obtenir un profil de vitesse du son linéaire
équivalent, hypothèse sous laquelle ont été construits les modèles présentés dans ce
chapitre. La figure 5. 20 illustre cela sur un cas fourni par Gabillet en situation de vent
contraire [Gabillet, et al., 1994] et montre que les résultats du modèle UPRES (2D) pour un
gradient équivalent calculé à 500 Hz, soit un rayon de courbure équivalent de 400 m, sont
proches des résultats de mesure en soufflerie et du calcul par le modèle FFP réalisés par
Gabillet.
(a) sol rigide (b) sol absorbant
figure 5. 20 : Comparaison du modèle UPRES (2D), calcul effectué à partir du gradient équivalent à 500Hz (Rc = 400 m), à des mesures de Gabillet [Gabillet, et al., 1994] sur modèle réduit en soufflerie. Ladistance source-récepteur est d(S,R) = 80 m, les hauteurs de la source et du récepteur sont : zS = zR = 1 m. Le solest absorbant, caractérisé par : σ = 300000 Pa s/m2.
Il importe de remarquer, à ce stade, qu'en ce qui concerne les solutions des modes
normaux pour la réfraction vers le bas, et de la série des résidus pour la réfraction vers le
haut, l'hypothèse communément désignée par le terme "gradient constant de vitesse du
son" est en fait une approximation de l'hypothèse de départ selon laquelle le carré de
l'indice de réfraction du milieu varie linéairement avec la hauteur (voir eq. 3- 70 et eq. 3-
71). Li [Li, et al., 1997] a montré récemment que cette approximation peut induire des
erreurs, notamment à grande distance. En partant directement de la transformée de
l'équation de Helmholtz, cet auteur a prouvé que l'on pouvait aisément, moyennant un
-40
-30
-20
-10
0
10
0 200 400 600 800 1000
Niv
eau
de p
ress
ion
rela
tif (
dB)
Fréquence (Hz)
-40
-30
-20
-10
0
10
0 200 400 600 800 1000
Niv
eau
de p
ress
ion
rela
tif (
dB)
Fréquence (Hz)
Mesures de Gabillet
UPRES (2D) grad eq.
Mesures de Gabillet
Calcul FFP
UPRES (2D) grad eq.
Chapitre 5 : Les modèles DOWNMOD, UPGEOM et UPRES en milieu inhomogène
- 169 -
surcoût numérique raisonnable, obtenir la solution pour un profil de vitesse du son
"réellement" linéaire à partir de la solution classique présentée dans les paragraphes
précédents, et valable, en fait, pour des profils de célérité tels que le carré de l'indice de
réfraction varie linéairement avec la hauteur. Notons également que dans un autre article
[Li, 1995], Li calcule la pression acoustique dépendant de la hauteur, solution de eq. 3- 69,
dans le cas de la propagation en présence de réfraction au-dessus d'un sol à réaction
étendue. Cette dernière solution pourrait alors être utilisée pour donner une formulation du
champ de pression sous la forme d'une série de résidus valable dans ce cas, par un calcul
semblable à celui effectué pour la série des résidus et la solution des modes normaux (cf
paragraphes 5.2 et 5.3.2).
Une seconde remarque importante s'impose. L'hypothèse émise sur le profil de vitesse
du son, permettant de construire la solution de la série des résidus et des modes normaux,
peut apparaître restrictive, même si l'on a montré précédemment qu'il était possible de se
ramener à un gradient linéaire équivalent. Cependant des auteurs [Li et Wang, 1997] se
sont attachés récemment à calculer de manière générale la solution du problème de
propagation dans l'atmosphère supposée stratifiée verticalement, en présence de profils de
température et de vitesse du vent croissant dans le cas de la réfraction vers le bas, ou
décroissant dans le cas de la réfraction vers le haut, de façon monotone avec la hauteur.
Dans les deux cas de réfraction, ils aboutissent à la solution sous la forme d'une série de
résidus. Ces résultats prouvent que les solutions des paragraphes 5.2 et 5.3.2 peuvent être
étendues à des cas de profils de vitesse du son monotones quelconques. Notons que dans
l'article cité [Li et Wang, 1997], les auteurs étudient la validité de l'approximation d'un
profil de vitesse du son effectif pour prendre en compte les effets du vent, donnée par eq.
3-7. Ils montrent que dans la plupart des cas de réfraction vers le haut, cette approximation
donne des résultats d'une précision correcte, tandis qu'en situation de réfraction vers le bas
cette représentation approchée peut conduire à des erreurs notamment lorsque les distances
de propagation et la fréquence augmentent. On peut trouver également une discussion sur
la validité de l'hypothèse heuristique selon laquelle l'atmosphère en mouvement peut être
remplacée par une atmosphère statique avec une vitesse du son effective dans [Li et Wang,
1998].
Notons pour finir qu'un certain nombres d'approches ont été suivies pour généraliser les
solutions de type modes normaux à des cas de propagation où les propriétés du milieu,
donc le profil de vitesse du son, varient avec la distance : modes normaux couplés, modes
normaux couplés avec approximation adiabatique, modes normaux couplés en négligeant
Chapitre 5 : Les modèles DOWNMOD, UPGEOM et UPRES en milieu inhomogène
- 170 -
la rétrodiffusion (voir [Jensen, et al., 1994] et les références incluses dans cet ouvrage).
Pour élaborer ces modèles, on divise l'axe horizontal en segments à l'intérieur desquels les
propriétés du milieu de propagation sont indépendantes de la portée, et en utilisant des
conditions de continuité des pressions et des vitesses normales à l'interface, on recolle les
solutions. Cependant ces solutions sont très coûteuses sur le plan numérique et ne peuvent
donc raisonnablement être utilisées dans notre propos. Outre les développements en modes
normaux du champ de pression, mentionnons aussi les travaux de Jeng [Jeng et Liu, 1987]
qui détermine la fonction de Green d'un milieu de propagation à indice de réfraction
tridimensionnel quadratique.
Chapitre 5 : Les modèles DOWNMOD, UPGEOM et UPRES en milieu inhomogène
- 171 -
5.5 L’analogie propagation au-dessus d’un sol plan en milieu inhomogène –
propagation au-dessus d’une surface courbe en milieu homogène
L'analogie entre la propagation acoustique en milieu inhomogène au-dessus d'un sol
plan et la propagation en milieu homogène au-dessus d'une surface courbée est à l'origine
de l'élaboration du modèle développé dans le paragraphe 5.3.1. Ce concept sera également
repris pour l'approche expérimentale en milieu contrôlé, en laboratoire, présentée au
chapitre 7. Il convient donc d'examiner plus précisément ses fondements.
Pour Berry [Berry et Daigle, 1988], [Berry, 1987], (voir aussi [Embleton, 1985] et
[Pierce, 1991]), le champ de pression au-dessus d'un cylindre de grand rayon de courbure
en atmosphère homogène est analogue au champ de pression au-dessus d'un sol plan
lorsque le gradient de vitesse du son varie selon un profil bilinéaire c'est-à-dire que le carré
de l'indice de réfraction varie linéairement avec la hauteur comme suit (Rc est le rayon de
courbure) :
cR/z1/)0(c)z(c += eq. 5- 27
Dans l'article cité, l'étude concerne le cas de la réfraction vers le haut et de la surface
convexe. Les résultats en termes de série des résidus sont en bon accord avec les mesures
expérimentales dans la zone d'ombre mais s'en éloignent dans la zone de pénombre
acoustique. Pour améliorer ces résultats, Berthelot [Berthelot, 1996] a proposé de manière
heuristique de remplacer la longueur de l'arc le long de la surface courbée par la distance la
plus courte entre la source et le récepteur dans la formule de l'analogie bilinéaire. Almgren
[Almgren, 1987] a suggéré qu'une surface courbée sphériquement devrait être utilisée pour
représenter un gradient de vitesse du son induit par un gradient de température tandis que
l'on devrait employer une surface courbée cylindriquement dans le cas d'une réfraction
causée par un gradient linéaire de vitesse du vent. En utilisant des transformations
conformes, Di montre [Di et Gilbert, 1994] qu'il existe rigoureusement une analogie exacte
entre le cas d'une surface convexe courbée cylindriquement avec un profil de vitesse du
son constant, et le cas d'une surface plane avec un profil de vitesse exponentiel donné ci-
dessous :
cR/ze)0(c)z(c −= eq. 5- 28
Chapitre 5 : Les modèles DOWNMOD, UPGEOM et UPRES en milieu inhomogène
- 172 -
Dans le cas d'une surface concave, le profil correspondant, en situation de réfraction
vers le bas, est :
cR/ze)0(c)z(c = eq. 5- 29
On constate que lorsque le rayon de courbure R est grand devant la hauteur, on retrouve
bien, au premier ordre, la forme de profils linéaires de vitesse du son.
Li a étudié récemment [Li, et al., 1998], voir aussi [Wang, 1997] la propagation du son
au-dessus de surfaces absorbantes convexes. Il montre que si l'on désigne respectivement
par ps et pb le champ de pression au-dessus d'une sphère de grand rayon et le champ
acoustique donné par la série des résidus pour le profil bilinéaire eq. 5- 27, on a la relation
suivante :
ΘΘ≈ sin/pp bs eq. 5- 30
où Θ est l'angle formé par la source, le centre de la sphère et le point récepteur. Le facteur
de correction devant pb ne devient important que pour un récepteur situé profondément à
l'intérieur de la zone d'ombre. Par conséquent, le profil bilinéaire de vitesse du son devrait
être utilisé pour l'analogie avec la propagation au-dessus d'une surface sphérique, tandis
que le profil exponentiel correspond rigoureusement au cas de la propagation au-dessus
d'une surface cylindrique. En outre, Li remarque que l'on peut se servir d'une surface
sphérique pour simuler en laboratoire des cas de propagation où le gradient de vitesse du
son est dû à un gradient de température. Cependant contrairement à Almgren, cet auteur
considère qu'il serait erroné de vouloir simuler les effets d'un gradient linéaire de vitesse du
vent par l'emploi d'une surface courbée cylindriquement. Quoi qu'il en soit, des
comparaisons montrent [Li, et al., 1998] que dans la zone d'ombre les résultats donnés par
la théorie pour le profil bilinéaire sont en accord avec les résultats du calcul de la pression
pour un profil exponentiel développé dans l'article, ainsi qu'avec des résultats
expérimentaux au-dessus d'une surface cylindrique. En revanche dans la zone de transition
dite zone de pénombre, les résultats expérimentaux sont plus proches des résultats pour le
cas du profil exponentiel que pour le profil bilinéaire. L'auteur remarque également que la
modification heuristique apportée par Berthelot se compare dans ce cas favorablement aux
mesures.
Dans le cas de la réfraction vers le bas, les conclusions concernant l'analogie étudiée
sont les mêmes, en remplaçant les surfaces convexes par des surfaces concaves et les
profils exponentiels eq. 5- 28 par ceux donnés par la formule eq. 5- 29 (voir [Almgren,
Chapitre 5 : Les modèles DOWNMOD, UPGEOM et UPRES en milieu inhomogène
- 173 -
1987], [Gabillet, et al., 1993], et plus récemment [Wang, 1997], [Li et Wang, 1999]). Il
faut souligner que Li trouve que la solution des modes normaux pour un profil exponentiel
présentée dans [Li et Wang, 1999] se compare plus favorablement avec des résultats
expérimentaux que la solution pour un profil bilinéaire [Raspet, et al., 1992].
Ce paragraphe a permis de mieux cerner l'analogie entre la propagation en milieu
inhomogène au-dessus d'une surface plane et la propagation en milieu homogène au-dessus
d'une surface courbée, ainsi que ses limitations, en particulier lorsque les solutions utilisées
pour décrire le champ de pression sont rigoureusement valables dans le cas d'un profil de
vitesse du son bilinéaire.
Chapitre 5 : Les modèles DOWNMOD, UPGEOM et UPRES en milieu inhomogène
- 174 -
5.6 Conclusion
Ce chapitre a présenté les modèles de propagation retenus en vue d'inclure des effets
météorologiques dans une méthode d'éléments finis de frontière. Ces modèles ont donné
naissance à des codes de calcul : DOWNMOD pour la solution des modes normaux en
condition de réfraction vers le bas ; dans le cas de la réfraction vers le haut : UPRES pour
la solution de la série des résidus dans la zone d'ombre et la région de transition, et
UPGEOM pour la solution géométrique en zone éclairée. On dispose ainsi d'un panel de
fonctions de Green 2D (sources cylindriques) adapté à chaque type de conditions de
propagation, qui vient compléter les différentes fonctions de Green disponibles en milieu
homogène, présentées dans le tableau 4.1 du chapitre 4. Le Tableau 5. 1 résume l'éventail
de fonctions de Green dont on dispose à ce stade et qui vont pouvoir être utilisées dans le
modèle d'éléments finis de frontière BEMAS2D pour donner naissance à la nouvelle
approche Meteo-BEM exposée au chapitre 6.
Problème physique Fonction de Green correspondante
MILIEU HOMOGENEpropagation en milieu infini champ libre donné par la fonction de Hankel
propagation en milieu infini au-dessusd’un sol plan rigide
solution calculée par la méthode des images à partir duchamp libre
propagation en milieu infini au-dessusd’un sol plan absorbant
solution obtenue à partir de la solution au-dessus d'un solrigide et d'un terme correctif pour l'effet de sol
MILIEU INHOMOGENERéfraction vers le bas
propagation en milieu infini au-dessusd’un sol plan rigide
propagation en milieu infini au-dessusd’un sol plan absorbant
solution des modes normaux
Réfraction vers le hautpropagation en milieu infini au-dessusd’un sol plan rigide, zones d'ombre et
pénombrepropagation en milieu infini au-dessusd’un sol plan absorbant, zones d'ombre
et pénombre
solution de la série des résidus
propagation en milieu infini au-dessusd’un sol plan rigide, zone éclairée
propagation en milieu infini au-dessusd’un sol plan absorbant, zone éclairée
solution géométrique
Tableau 5. 1 : Les différentes fonctions de Green disponibles pour la BEM.
- 175 -
Chapitre 6
Le modèle Météo-BEM
6.1 Introduction
Dans les chapitres 2 et 4, on a souligné la puissance de la méthode des éléments finis de
frontière pour traiter les problèmes de propagation acoustique en milieu extérieur, où
entrent en jeu des propriétés d'absorption ainsi qu'une topographie accidentée quelconques
des frontières du domaine de propagation (obstacles, buttes, écrans acoustiques, matériaux
absorbants ou réfléchissants, discontinuités d'impédance...). La restriction majeure de ces
modèles concernant leur application à des problèmes réels en milieu extérieur réside
cependant dans le fait qu'ils ne prennent pas en compte les effets météorologiques
(gradients de température et de vent ; turbulence). Or il est aujourd'hui admis que ces effets
ne peuvent être négligés, notamment dans la propagation à grande distance. C'est pourquoi
ce travail vise à montrer qu'il est possible d'inclure des effets météorologiques dans une
BEM en s'appuyant sur une fonction de Green appropriée, issue de travaux récents,
discussion présentée dans les chapitres 3 et 5.
Dans le but d'illustrer la démonstration, le code de calcul BEMAS2D, développé au
chapitre 4, va être adapté à des cas de réfraction en utilisant les résultats du chapitre
précédent. Le présent chapitre expose la nouvelle formulation, appelée Météo-BEM,
combinant les avantages des deux approches (BEM et modèles propagatifs).
Le cas d'un écran mince rigide, successivement en situation de réfraction vers le bas et
vers le haut est examiné plus précisément. Rappelons que cette configuration académique,
dont le but est de prouver qu'une méthode d'éléments finis de frontière peut prendre en
compte des effets météorologiques, n'est pas restrictive et que le modèle peut être étendu à
n'importe quelle application présentée en particulier dans la partie 2.7. De plus,
Chapitre 6 : Le modèle Météo-BEM
- 176 -
remarquons que de manière rigoureuse, la réfraction prise en compte via les fonctions de
Green retenues à l'issue de l'étude du chapitre 4 concerne des phénomènes dus à des
gradients de température puisque l'interaction d'un écoulement avec un obstacle conduit à
des fonctions de Green qui ne sont pas aisément calculables, du moins sous une forme
analytique. Par conséquent, le cas d'un écran en présence d'un gradient de vent reste un
problème délicat, ainsi qu'en attestent les travaux exposés au paragraphe suivant, même si
quelques approximations rudimentaires peuvent être effectuées en décrivant par exemple
les phénomènes sous la forme d'un gradient de vitesse du son effectif dans une atmosphère
statique. En outre, rappelons que le phénomène de la turbulence ne sera pas abordé dans ce
travail.
Dans ce chapitre, après un tour d'horizon bibliographique au paragraphe 6.2, l'approche
BEM en potentiels de couche du chapitre 4 (BEMAS2D) est couplée aux modèles de
propagation du chapitre 5, valables pour la réfraction vers le bas (DOWNMOD) et la
réfraction vers le haut (UPGEOM et UPRES). Le paragraphe 6.3 présente le cas de la
réfraction vers le bas. L'écran rigide est placé successivement sur un sol rigide (cette
configuration a fait l'objet de deux communications [Premat et Gabillet, 1998a, Premat et
Gabillet, 1998b], et d'un article accepté pour publication [Premat et Gabillet, 2000], puis
absorbant (voir [Premat et Gabillet, 1999a, Premat et Gabillet, 1999b]). Le paragraphe 6.4
expose ensuite le cas de la réfraction vers le haut pour les deux types de sol, dans la région
éclairée, la région de pénombre acoustique, et dans la zone d'ombre. Enfin, dans le
paragraphe 6.5, le modèle Météo-BEM est confronté, pour validation, à des résultats
expérimentaux et numériques, issus de la littérature.
Chapitre 6 : Le modèle Météo-BEM
- 177 -
6.2 Revue bibliographique sur le problème de la propagation acoustique en
milieu inhomogène en présence d'un écran
Les performances d'un écran acoustique sur un sol donné peuvent être modifiées en
présence de gradients de température et de vent à cause de la possibilité que certains
rayons courbés par la réfraction passent au-dessus du sommet de l'écran. Un certain
nombre d'auteurs se sont penchés sur ce problème : De Jong [De Jong et Stusnick, 1976] a
effectué des mesures sur un modèle réduit dans une soufflerie à faible vitesse et a montré
l'importance des phénomènes de turbulence autour de l'écran dans ce cas. Salomons
[Salomons, 1996] a développé un modèle numérique pour décrire la propagation à grande
distance au-dessus d'un écran acoustique en présence de réfraction. Cet auteur utilise la
méthode de l'équation parabolique [Salomons, 1994] en imposant au champ de pression
d'être nul en un certain nombre de points de maillage correspondant à la position de l'écran.
Cette approximation présente cependant selon Salomons le défaut suivant : les propriétés
de réflexion de l'écran ne sont pas bien définies. De plus, du fait de la symétrie axiale du
modèle utilisé, l'écran est en fait circulaire, ce qui, en revanche, ne pose pas de problème
en des points de réception suffisamment éloignés de l'écran. Salomons montre dans un
autre article [Salomons, 1999] que la présence de l'écran a pour effet d'induire des
gradients de vitesse du vent qui affectent considérablement la zone d'ombre derrière
l'écran. Il donne des résultats numériques en utilisant des profils de vitesse du son
dépendant de la portée horizontale dans son modèle d'équation parabolique, et également
des résultats expérimentaux en soufflerie. On peut retrouver le même type d'approche basé
sur différents modèles d'équation parabolique dans les travaux de Delrieux [Delrieux,
1991], Rasmussen [Rasmussen et Galindo Arranz, 1998] Forssen [Forssen, 1998] ou
encore Barriere [Barriere et Gabillet, 1999]. Notons que ces auteurs donnent aussi des
résultats expérimentaux réalisés dans une soufflerie et ajoutent aux phénomènes déjà pris
en compte, les effets de la turbulence, mis en évidence dans un article de référence par
Daigle [Daigle, 1982]. Barrière [Barriere et Gabillet, 1999] prouve, quant à lui, par
comparaison avec les résultats expérimentaux, que des calculs effectués en utilisant un
gradient de vitesse du son équivalent constant donnent des résultats corrects.
Chapitre 6 : Le modèle Météo-BEM
- 178 -
Dans un autre article, Gabillet [Gabillet, et al., 1993] a réalisé des mesures en milieu
contrôlé au-dessus d'une surface concave sur laquelle est placée un écran et il a montré que
la réfraction vers le bas ne détruisait pas nécessairement l'efficacité de l'écran. Rasmussen
a également utilisé une soufflerie pour simuler l'effet d'un écran sur un sol absorbant dans
des conditions de réfraction vers le haut et vers le bas [Rasmussen, 1996]. Il compare ses
résultats expérimentaux à ceux donnés par un modèle voisin des modèles FFP combiné à
une méthode de type théorie uniforme de la diffraction [Rasmussen, 1985]. Une étude de
Muradali [Muradali et Fyfe, 1999] doit aussi être soulignée, utilisant un modèle de
diffraction allié à un modèle heuristique de propagation atmosphérique pour modéliser un
écran acoustique en présence d'effets atmosphériques. Enfin récemment, Wang a étudié
expérimentalement la diffraction du son par un écran rigide situé sur une surface convexe
ou concave [Wang, 1997]. Elle compare ses résultats à ceux donnés par une BEM en
milieu homogène en maillant la surface courbée et l'obstacle (voir aussi [Li et Wang,
1998]). Cette dernière approche, basée astucieusement sur l'analogie propagation
acoustique en milieu inhomogène au-dessus d'un sol plan - propagation en milieu
homogène au-dessus d'une surface courbée présentée au paragraphe 5.5, ne permet
cependant pas de prendre en compte la propagation acoustique en milieu inhomogène au-
dessus d'un sol présentant une topographie quelconque, puisque la courbure de la surface
est utilisée dans la BEM pour prendre en compte la réfraction.
Quelques auteurs ont depuis peu tenté de résoudre l'équation intégrale de Helmholtz-
Kirchhoff couplée à des modèles prenant en compte des profils linéaires de vitesse du son,
et ce, dans quelques configurations spécifiques où la surface du sol (ou le fond marin) est
supposée soit parfaitement réfléchissante, soit parfaitement absorbante, et où les obstacles
présentent une forme particulière. Mentionnons les travaux de Li [Li, et al., 1993] qui a
considéré le cas de la diffraction du son par une butte, ou un creux, de forme gaussienne en
atmosphère inhomogène caractérisée par un profil de vitesse du son linéaire. Ses
applications ne considèrent que le cas de surfaces parfaitement réfléchissantes ou
absorbantes. Uscinski et Spivack [Uscinski, 1995], [Spivack et Uscinski, 1993] ont
considéré un problème similaire au-dessus d'une surface rigide de rugosité aléatoire. Pour
finir, une tentative a été effectuée par Taherzadeh [Taherzadeh, et al., 1998], basée sur
l'utilisation de la FFP, pour introduire des effets météorologiques dans une méthode
d'éléments finis de frontière. Les résultats donnés par cette méthode se sont toutefois
avérés décevants.
Chapitre 6 : Le modèle Météo-BEM
- 179 -
Après le tour d'horizon bibliographique effectué dans ce paragraphe sur les travaux
concernant la modélisation des écrans acoustiques en milieu inhomogène, les paragraphes
qui suivent exposent le nouveau modèle Météo-BEM dans les deux cas de réfraction vers
le bas et réfraction vers le haut.
6.3 Réfraction vers le bas
6.3.1 Ecran mince rigide sur sol rigide
Dans la suite du chapitre, on adoptera la convention suivante, pour faciliter le propos :
les indices "inhom" et "hom" représenteront respectivement la propagation en milieu
inhomogène et homogène.
Considérons le cas décrit par la figure 6. 1 d'un écran acoustique mince rigide posé sur
un sol plan en présence de réfraction vers le bas.
figure 6. 1 : schéma de l'écran mince rigide sur sol plan en présence de réfraction.
Dans le cas d'une atmosphère inhomogène, l'équation eq. 4- 6 du chapitre 4 est réécrite
en conservant les mêmes notations :
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Ω∈∀Γ∂µ+= ∫ΓM PdM,PGPMpMp Pnhominhomin0 eq. 6- 1
Cependant la fonction de Green décrit maintenant la propagation acoustique en milieu
inhomogène, donc les résultats de la solution des modes normaux du chapitre 5, eq. 5- 1,
peuvent être utilisés, au facteur 1/4π près. En reprenant les notations définies dans le
chapitre 5, on peut écrire :
Chapitre 6 : Le modèle Météo-BEM
- 180 -
( ) ( ) ( )( )[ ] ( )[ ]( )∑
τ−ττ
+τ+τ−==
n2
n'2
nnn
MnsnSMnS
AiAik
l/zAil/zAi)yyikexp(
l2
i)M(z),M(yp)M,S(G eq. 6- 2
Puisque le sol est rigide, le paramètre q (eq. 4- 75) est égal à zéro. Ainsi l'équation eq.
4- 78 montre que les τn sont les zéros a'n de la dérivée de la fonction de Airy et nous
avons :
( ) ( )( )[ ]∑ ++−
=n
2nnn
MnsnSMn
'aAi'ak
l/z'aAil/z'aAi)yyikexp(
l2
i)M,S(G eq. 6- 3
La nouvelle équation intégrale qui suit, en milieu inhomogène, correspondant à eq. 4- 9,
doit être résolue avec comme fonction de Green la solution des modes normaux eq. 6- 3,
qui est aussi valable pour le champ incident.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Γ∈∀Γ∂∂µ=∂− ∫ΓM PdM,PGPPFMp PnMnhominhomin0Mn eq. 6- 4
En utilisant toujours la même méthode de collocation que pour la méthode d'éléments
finis de frontière du chapitre 4, l'écran acoustique Γ est discrétisé en sous-éléments sur
lesquels la densité inconnue du potentiel de double couche est approchée par une fonction
constante par morceaux. Ainsi eq. 4- 10 devient :
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ..N1jPd,PMGPF
Pd,PMG Mp
ijPnMnhomin,i
ji ijPnMnhomin,ijhomin0Mn
=Γ∂∂µ+
Γ∂∂µ=∂−
∫∑ ∫
Γ
≠Γ eq. 6- 5
La dérivée normale de la pression pour le membre de gauche de cette équation est :
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]∑ ++
−=∂
∂=∂=
Γ n2
nn
MnsnSn
0yMhomin0Mn
'aAi'a
l/z'aAil/z'aAiyikexp
l2
1
y
S,MGMp
M
eq. 6- 6
Pour le membre de droite de l'équation eq. 6- 5, une approximation basée sur l'idée de
Rasmussen ([Rasmussen, 1990], voir aussi [Taherzadeh, et al., 1998]) présentée ci-dessus
dans le chapitre 5 peut être effectuée, en considérant que la propagation verticale n'est que
très faiblement affectée par la réfraction ; ainsi ce terme peut de prime abord être approché
par le terme homogène présenté dans le chapitre 4. De la sorte, on obtient un nouveau
système linéaire recourant à la dérivée de la fonction de Green des modes normaux pour le
membre de droite, et à la même matrice que pour le système d'équations du milieu
homogène eq. 4- 11 et eq. 4- 12 :
Chapitre 6 : Le modèle Météo-BEM
- 181 -
[ ][ ] [ ]hominhominhomin BA =µ eq. 6- 7
avec
[ ] [ ] [ ][ ] [ ][ ] [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) [ ]
≈
Γ∂∂==
µ=µ∂−==
∫Γ homi
jPnMnhomin,jihomin
homin,ihomin
jhomin0nhomin,jhomin
APd,PMGF.PAA
)M(pBB
eq. 6- 8
La résolution de ce nouveau système linéaire inhomogène fournit la densité µ du
potentiel de double couche pour le milieu inhomogène, en utilisant les mêmes schémas
numériques que ceux décrits dans le chapitre 4. La dernière étape consiste alors à reprendre
la formule eq. 6- 1 avec la solution des modes normaux en tant que champ incident et
également pour la dérivée de la fonction de Green qui apparaît dans l'intégrale, de la même
manière que pour le membre de gauche de l'équation intégrale inhomogène eq. 6- 6. La
pression acoustique est alors calculée en tout point récepteur via l'équation suivante :
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∑ ∆Γ∂µ+≈∫ Γ∂µ+= Γ
iii)P(nhomin,ihomin0
Pnhominhomin0
)P,M(G)M(p
PdM,PGPMpMpeq. 6- 9
6.3.2 Ecran mince rigide sur sol absorbant
Dans le cas d'un écran placé sur un sol absorbant décrit par la condition aux limites eq.
4- 31, la démarche est la même que ci-dessus pour le sol parfaitement réfléchissant. La
seule différence réside dans le paramètre q de eq. 3- 75 qui, cette fois, n'est plus nul. Par
conséquent, les zéros τn de l'équation eq. 3- 78 ne coïncident plus avec les zéros de la
dérivée de la fonction de Airy. Ceci implique l'utilisation de la technique de recherche dans
le plan complexe des zéros en question, présentée au paragraphe 5.2, et a pour effet
d'accroître le coût numérique en temps de calcul. Il alors faut employer la formule de
départ eq. 6- 2 et l'équation eq. 6- 6, valable pour le sol rigide, devient :
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )[ ] ( )[ ]∑
τ−ττ
+τ+τ−=
∂∂=∂
=Γ n
2
n'2
nn
MnsnSn
0yMhomin0Mn
AiAi
l/zAil/zAi)yikexp(
l2
1
y
S,MGMp
M
eq. 6- 10
Le système linéaire eq. 6- 7 et eq. 6- 8 est le même, en prenant comme fonction de
Green la formule eq. 6- 2 et les considérations du paragraphe précédent s'appliquent, le
calcul final du champ de pression étant donné par eq. 6- 9.
Chapitre 6 : Le modèle Météo-BEM
- 182 -
6.4 Réfraction vers le haut
Dans le cas de la réfraction vers le haut, la démarche est semblable à celle exposée pour
la réfraction vers le bas. Cependant dans ce cas, deux fonctions de Green doivent être
considérées selon que la propagation acoustique a lieu en région éclairée, ou dans la zone
de pénombre et la zone d'ombre.
6.4.1 Ecran mince rigide sur sol rigide
On écrit toujours la pression acoustique sous la forme eq. 6- 1. La fonction de Green
intervenant alors dans cette formulation repose, en zone d'ombre, sur la série des résidus
eq. 5- 19, au facteur 1/4π près :
( )( ) ( )
( )[ ] ( )[ ]( )∑−
+−−=
=πππ
n2
nn
2
n'
n
3/i2Mn
3/i2snSMn
6/iS
bAibbAik
e)l/z(bAie)l/z(bAi)yyikexp(
l2
e
)M(z),M(yp)M,S(G
eq. 6- 11
Lorsque le sol est rigide, le paramètre q (eq. 3- 75) est égal à zéro. Ainsi l'équation eq.
3- 97 montre que les bn, de même que dans le cas de la réfraction vers le bas, sont les zéros
a'n de la dérivée de la fonction de Airy et nous avons :
( )( ) ( )
( )[ ]∑πππ +−−
−=
=
n2
nnn
3/i2Mn
3/i2snSMn
6/iS
'aAi'ak
e)l/z('aAie)l/z('aAi)yyikexp(
l2
e
)M(z),M(yp)M,S(G
eq. 6- 12
En exprimant toujours que l'écran est rigide, on obtient la même équation intégrale
inhomogène que ci-dessus (eq. 6- 4). Elle doit être résolue avec comme fonction de Green
la solution de la série des résidus eq. 6- 11, qui est aussi valable pour le champ incident.
En suivant toujours la même méthode de résolution de l'équation intégrale de frontière,
on aboutit au même système linéaire que eq. 6- 5, eq. 6- 7 et eq. 6- 8.
La dérivée normale de la pression pour le membre de gauche de l'équation
correspondant à eq. 6- 5 vaut, cette fois :
Chapitre 6 : Le modèle Météo-BEM
- 183 -
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( )[ ]∑
πππ=
Γ
+−−=
∂∂=∂
n2
nn
3/i2Mn
3/i2snSn
6/i
0yMhomin0Mn
'aAi'a
e)l/z('aAie)l/z('aAiyikexp
l2
ie
y
S,MGMp
M
eq. 6- 13
La même approximation pour le membre de droite de l'équation correspondant à eq. 6-
5 peut être faite, en approchant ce terme par le terme homogène présenté dans le chapitre 4.
Après résolution du système linéaire inhomogène obtenu, la densité µ du potentiel de
double couche est déterminée pour le milieu inhomogène à réfraction vers le haut. En
reprenant finalement la formule eq. 6- 9 avec la solution de la série des résidus en tant que
champ incident et également pour la dérivée de la fonction de Green qui apparaît dans
l'intégrale, de la même manière que pour le membre de gauche de l'équation intégrale
inhomogène eq. 6- 6, la pression acoustique est alors calculée en tout point récepteur.
Lorsque le point récepteur pénètre dans la zone d'ombre, la solution de la série des
résidus se dégrade en précision pour finalement diverger. Ainsi, même si elle reste valable
dans la zone de transition, il faut adopter en zone éclairée, à la place de eq. 6- 11, la
solution géométrique présentée au paragraphe 5.3.1 (eq. 5- 2, eq. 5- 15 et eq. 5- 17 pour la
solution géométrique et eq. 5- 23 pour la solution de la diffraction par un cylindre). Ainsi
dans le cas de la surface rigide, la fonction de Green s'appuyant sur la solution géométrique
peut s'écrire, avec les notations du paragraphe 5.3.1 :
( ) 2ikd10
2/1
c
2
1
20S e)kd(H
4
i
cosR
d2
d
d1)kd(H
4
i)M(z),M(yp)M,S(G
−
θ
+++−==−
eq. 6- 14
Les paramètres d, d1, d2 et θ sont calculés en utilisant les formules eq. 5- 8 à eq. 5- 13 et
en prenant : hS=zS, h=zM, r=|yM-yS|. Rc est le rayon de courbure de la trajectoire des rayons
(ou le rayon de courbure de la surface dans l'analogie présentée au paragraphe 5.5) donné
par l'équation eq. 5- 30.
Pour le calcul des dérivées normales du champ incident et de la fonction de Green,
comme les variables d, d1, d2 et θ sont fonctions de la géométrie, on peut recourir à la
technique de dérivation numérique de Ridders [Press, et al., 1992].
Il est important de souligner que le changement de solution pour la fonction de Green
(série des résidus – solution géométrique) est gouverné par la limite physique de la zone
d'ombre, conformément à la discussion du paragraphe 5.3.3. Le système linéaire eq. 6- 7 et
eq. 6- 8 est toujours valable, en prenant comme fonction de Green la formule eq. 6- 12, ou
Chapitre 6 : Le modèle Météo-BEM
- 184 -
eq. 6- 14 et les dérivées correspondantes, selon que la propagation s'effectue ou non en
zone d'ombre. Le calcul final du champ de pression, après détermination de la densité du
potentiel de double couche, est, de même que dans les cas précédents, donné par eq. 6- 9.
6.4.2 Ecran mince rigide sur sol absorbant
Dans le cas d'un écran placé sur un sol absorbant décrit par la condition aux limites eq.
4- 31, la démarche est la même que ci-dessus pour le sol parfaitement réfléchissant. La
seule différence réside dans le paramètre q de eq. 3- 75 qui, cette fois, n'est plus nul. Par
conséquent, les zéros bn de l'équation eq. 3- 97 ne coïncident plus avec les zéros de la
dérivée de la fonction de Airy. Ceci implique, comme dans le cas de la réfraction vers le
bas au-dessus d'un sol absorbant, l'utilisation, plus coûteuse sur le plan numérique, de la
technique de recherche dans le plan complexe des zéros en question, présentée au
paragraphe 5.3.2. Il faut employer la formule de départ eq. 6- 11 et l'équation eq. 6- 13,
valable pour le sol rigide, devient :
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( )[ ] ( )[ ]∑
−
+−=
∂∂=∂
πππ=
Γ
n2
nn
2
n'
3/i2Mn
3/i2snSn
6/i
0yMhomin0Mn
bAibbAi
e)l/z('aAie)l/z('aAiyikexp
l2
ie
y
S,MGMp
M
eq. 6- 15
Lorsque l'on est dans la zone d'ombre par rapport à la source, on utilise la fonction de
Green, alternative, de la solution géométrique donnée par les équations eq. 5- 14, eq. 5- 15
et eq. 5- 17 :
( ) 2ikd10
2/1
2
1
20S e)kd(H
4
i
cosR
d2
d
d1Q)kd(H
4
i)M(z),M(yp)M,S(G
−
θ
+++−==−
eq. 6- 16
Q est le coefficient de réflexion donné par l'équation eq. 3- 63.
Pour le calcul des dérivées normales du champ incident et de la fonction de Green, on
doit, comme pour le cas du sol rigide, à cause des mêmes variables fonctions de la
géométrie auxquelles vient s'ajouter le coefficient de réflexion, recourir à la technique de
dérivation numérique de Ridders [Press, et al., 1992].
On finit alors toujours suivant la même méthode en résolvant le système linéaire (eq. 6-
7 et eq. 6- 8) et en calculant le champ de pression par la formulation intégrale de départ
(eq. 6- 9).
Chapitre 6 : Le modèle Météo-BEM
- 185 -
6.5 Comparaison du modèle Météo-BEM à des résultats issus de la
littérature
Après avoir présenté la théorie du modèle Météo-BEM, on compare dans ce paragraphe
des résultats de calcul par ce modèle à des résultats issus de la littérature.
Tout d'abord, une campagne de mesures en laboratoire sur modèle réduit à l'échelle
1/20e, réalisée au-dessus d'une surface concave de rayon de courbure Rc=20 m, a été
effectuée par Gabillet et al. (voir [Gabillet, et al., 1993], [Gabillet, et al., 1992], [Schroeder,
1993]) Un écran rigide a été installé à 4 m de la source, située à 0.1 m au-dessus du sol. La
surface était rigide dans un premier temps et la hauteur de l'écran était de 0.15 m.
Chapitre 6 : Le modèle Météo-BEM
- 186 -
Meteo-BEM
Niveaux mesurés
figure 6. 2 : Comparaison entre les résultats de calcul du modèle Météo-BEM et les résultats de mesure deGabillet [Gabillet, et al., 1992, Gabillet, et al., 1993] au-dessus d'une surface concave rigide de rayon decourbure Rc = 20 m. Hauteur de l'écran H = 0.15 m, hauteur de la source zS = 0.10 m, distance de la source àl'écran d(S,Γ) = 4 m pour tous les cas. (a) hauteur du récepteur zR = 0.1 m, distance de propagation source –récepteur d(S,R) = 6 m. (b) zR = 0.15 m, d(S,R) = 6 m. (c) zR = 0.10 m, d(S,R) = 7 m.
-30
-20
-10
0
10
20
1000 104
(a)
-30
-20
-10
0
10
20
1000 104
(b)
Niv
eau
de p
ress
ion
rela
tif (
dB)
-30
-20
-10
0
10
20
1000 104
Fréquence (Hz)
(c)
Chapitre 6 : Le modèle Météo-BEM
- 187 -
La figure 6. 2 montre la comparaison entre les résultats de calcul de Météo-BEM et les
résultats expérimentaux de Gabillet. Ces résultats sont exprimés en termes de niveaux de
pression relatifs au champ libre. Le rayon de courbure Rc = 20 m correspond, à l'échelle
réduite, à un profil linéaire de vitesse du son caractérisé par le paramètre a = 0.05 m-1(les
grandeurs à l'échelle 1 sont Rc = 400 m et a = 2.5 10-3 m-1). La figure 6. 2 montre que les
résultats de calcul sont concordants, au dB près sur toute la plage de fréquences, avec les
résultats de mesure sur les trois cas étudiés. Seul un petit écart pour les 3 cas (a), (b) et (c)
apparaît dans le creux de l'interférence autour de 5000 Hz, où celle-ci est légèrement plus
marquée par le modèle que par la mesure. Quoi qu'il en soit, les courbes de la figure 6. 2
montrent que le modèle Météo-BEM donne des résultats d'une très bonne précision.
Afin de mieux cerner l'impact cumulé de l'implantation de l'écran et de la réfraction, et
également de confronter les résultats des modèles BEMAS2D et DOWNMOD sur lesquels
repose Météo-BEM, la figure 6. 3 et la figure 6. 4 étudient les 3 cas correspondant à ceux
de la figure 6. 2, respectivement en milieu homogène avec écran, et en milieu inhomogène
sans écran. La figure 6. 3 compare, en milieu homogène, les résultats du modèle
BEMAS2D à des résultats de calcul par le modèle de la Théorie Géométrique de la
Diffraction désignée par le vocable T.G.D (voir [Keller, 1962]). Ces résultats sont toujours
exprimés en niveaux de pression relatifs au champ libre. On constate que les courbes des
deux modèles sont superposées. La figure 6. 4 confronte, quant à elle, les résultats du
modèle DOWNMOD (2D), en milieu inhomogène sans écran, à des résultats de mesure de
Gabillet [Gabillet, et al., 1992, Gabillet, et al., 1993]. On peut remarquer que les résultats
du calcul sont proches de manière générale des résultats expérimentaux, cependant de
petits écarts apparaissent, notamment pour les cas (b) et (c), où la différence reste toutefois
inférieure à 2dB. Cette observation permet de déduire que si erreurs de précision il y a,
dans les résultats du modèle Météo-BEM, ces erreurs proviennent certainement du modèle
des modes normaux prenant en compte les effets météorologiques. Notons que la
comparaison de la figure 6. 2 et de la figure 6. 4 permet d'estimer la perte par insertion
(différence entre les niveaux de pression sans et avec écran) qui est un indicateur de
l'efficacité de l'écran. On constate que, contrairement à ce à quoi l'on pouvait s'attendre, la
courbure des rayons sonores vers le bas ne détruit pas nécessairement l'efficacité de l'écran.
En effet, les niveaux de pression de la figure 6. 2 en présence de l'écran sont inférieurs aux
niveaux sans écran de la figure 6. 4.
Chapitre 6 : Le modèle Météo-BEM
- 188 -
BEMAS2D
TGD
figure 6. 3 : Comparaison du modèle BEMAS2D à des résultats de calcul par le modèle de la TGD, enmilieu homogène sur sol rigide, avec écran. Les cas (a), (b) et (c) sont les mêmes que pour la figure 6. 2.
-30
-20
-10
0
10
20
1000 104
(a)
-30
-20
-10
0
10
20
1000 104
Niv
eau
de p
ress
ion
rela
tif (
dB) (b)
-30
-20
-10
0
10
20
1000 104
Fréquence (Hz)
(c)
Chapitre 6 : Le modèle Météo-BEM
- 189 -
DOWNMOD (2D)
Niveaux mesurés
figure 6. 4 : Comparaison du modèle DOWNMOD (2D) à des résultats expérimentaux de Gabillet au-dessus d'une surface concave rigide, sans écran. Les cas (a), (b) et (c) sont les mêmes que pour la figure 6. 2.Le rayon de courbure de la surface vaut Rc = 20 m.
-30
-20
-10
0
10
20
1000 104
(a)
-30
-20
-10
0
10
20
1000 104
Niv
eau
de p
ress
ion
rela
tif (
dB)
(b)
-30
-20
-10
0
10
20
1000 104
Fréquence (Hz)
(c)
Chapitre 6 : Le modèle Météo-BEM
- 190 -
Une explication de cette perte par insertion positive peut être avancée : les multiples
réflexions des rayons près du sol renforcent les niveaux sonores sans écran de la figure 6.
4, cependant la présence de l'écran bloque ces rayons dans la figure 6. 2.
Les résultats pour 6 autres points de mesure (cf [Schroeder, 1993]) au-dessus de la
surface concave rigide, en présence de l'écran, sont donnés dans la figure 6. 5. Ces
résultats sont donnés à l'échelle 1 comme dans [Schroeder, 1993], c'est-à-dire que les
fréquences sont divisées par 20 par rapport à la figure 6. 2 (elles varient donc de 50 à 500
Hz), et les distances multipliées par 20. On peut noter que le modèle Météo-BEM donne
des résultats très proches des résultats expérimentaux, bien que les interférences soient plus
marquées, notamment dans la figure 6. 5 (b). La figure 6. 5 (d) montre cependant un écart
un peu plus important entre les résultats du calcul et de la mesure, jusqu'à 3 dB. Aucune
explication valable n'a pu être avancée pour ce problème, qui est peut-être dû à des
incertitudes de mesure. En effet, Schröeder donne dans sa thèse [Schroeder, 1993] des
résultats par une méthode adaptée de faisceaux gaussiens, résultats qui ne sont pas montrés
ici mais qui suivent la même tendance que les résultats de Méto-BEM dans tous les cas de
figure étudiés.
Chapitre 6 : Le modèle Météo-BEM
- 191 -
(a) (b)
(c) (d)
(e) (f)
Mesures de Gabillet Météo-BEM
figure 6. 5 : Comparaison entre les résultats de calcul du modèle Météo-BEM et les résultats de mesure deGabillet (cf [Schroeder, 1993]) au-dessus d'une surface concave rigide de rayon de courbure Rc = 20 m.Configuration géométrique identique à celle de la figure 6. 2. A l'échelle de la maquette, la hauteur de l'écran estH = 0.15 m, la hauteur de la source : zS = 0.10 m, la distance de la source à l'écran : d(S,Γ) = 4 m pour tous lescas. (a) hauteur du récepteur zR = 0.15 m, distance de propagation source – récepteur d(S,R) = 5 m. (b) zR = 0.10m, d(S,R) = 5 m. (c) zR = 0.05 m, d(S,R) = 5 m. (d) zR = 0.05 m, d(S,R) = 6 m. (e) zR = 0.15 m, d(S,R) = 7 m. (f)zR = 0.05 m, d(S,R) = 7 m.
-30
-20
-10
0
10
20
50 100
Niv
eau
de p
ress
ion
rela
tif (
dB)
Fréquence (Hz)
-30
-20
-10
0
10
20
50 100
Niv
eau
de p
ress
ion
rela
tif (
dB)
Fréquence (Hz)
-30
-20
-10
0
10
20
50 100
Niv
eau
de p
ress
ion
rela
tif (
dB)
Fréquence (Hz)
-30
-20
-10
0
10
20
50 100
Niv
eau
de p
ress
ion
rela
tif (
dB)
Fréquence (Hz)
-30
-20
-10
0
10
20
50 100
Niv
eau
de p
ress
ion
rela
tif (
dB)
Fréquence (Hz)
-30
-20
-10
0
10
20
50 100
Niv
eau
de p
ress
ion
rela
tif (
dB)
Fréquence (Hz)
Chapitre 6 : Le modèle Météo-BEM
- 192 -
La surface était rigide dans un premier temps, dans les figures figure 6. 2 à figure 6. 5.
Gabillet et al. ont également effectué une série de mesures au-dessus de la même surface
concave recouverte cette fois d'une feutrine absorbante. La configuration géométrique était
la même, excepté pour la hauteur de l'écran qui était cette fois de 0.10 m. La surface
absorbante était caractérisée, au moyen du modèle de Delany-Bazley [Delany et Bazley,
1970], par une résistance au passage de l'air σ = 4000 cgs, à l'échelle 1/20e.
La figure 6. 6 montre la comparaison entre les résultats de calcul de Météo-BEM et les
résultats expérimentaux de Gabillet pour les mêmes points récepteurs que pour la figure 6.
2, toujours en termes de niveaux de pression relatifs au champ libre. Les fréquences en
abscisse sont données en grandeurs réelles et sont comprises entre 50 Hz et 500 Hz (ce qui
correspond à l'échelle maquette à une bande de fréquences comprises entre 1000 et 10000
Hz). L'impédance utilisée dans le code Météo-BEM a été calculée par le modèle simple de
Delany-Bazley [Delany et Bazley, 1970]. Le temps de calcul requis est plus long que dans
le cas du sol rigide. En effet, les fonctions de Green en milieu homogène (modèle de
Chandler-Wilde) et en milieu inhomogène (modes normaux) sont plus coûteuses
numériquement que leurs homologues pour un sol rigide, du fait respectivement du calcul
de la fonction de perturbation de Chandler-Wilde, et de la recherche dans le plan complexe
des pôles pour DOWNMOD (voir les chapitres 4 et 5). Pour diminuer les temps de calcul
en jeu, toutes les intégrales intervenant dans BEMAS2D ont été évaluées par la méthode
simple des rectangles. Les courbes de la figure 6. 6 montrent que les résultats de Météo-
BEM sont proches des résultats de mesure pour le sol absorbant, hormis à basse fréquence
où les résultats sont moins bons. Ceci est sans doute imputable au schéma numérique
d'intégration trop rudimentaire, utilisé sur les intervalles de longueur λ/6 de la méthode
d'éléments finis de frontière, intervalles trop grands sur cette plage de fréquences pour
obtenir une bonne précision avec ce type d'intégration.
La figure 6. 7 confirme ces résultats pour les 6 autres points de mesure correspondant à
la figure 6. 5. L'accord entre les résultats du modèles Météo-BEM et les résultats
expérimentaux est bon, l'écart le plus important étant inférieur à 2 dB, excepté à basse
fréquence où la différence entre les résultats est légèrement plus importante, pour les
mêmes raisons que ci-dessus.
Chapitre 6 : Le modèle Météo-BEM
- 193 -
-30
-20
-10
0
10
20
50 100
(a)
-30
-20
-10
0
10
20
50 100
Niv
eau
de p
ress
ion
rela
tif (
dB) (b)
-30
-20
-10
0
10
20
50 100Fréquence (Hz)
(c)
figure 6. 6 : Comparaison entre les résultats de calcul du modèle Météo-BEM et les résultats de mesure deGabillet (cf [Schroeder, 1993]) au-dessus d'une surface concave absorbante de rayon de courbure Rc = 20 m.A l'échelle de la maquette : sol absorbant caractérisé par σ = 4000 cgs, hauteur de l'écran H = 0.10 m, hauteur dela source zS = 0.10 m, distance de la source à l'écran d(S,Γ) = 4 m pour tous les cas. (a) hauteur du récepteur zR =0.1 m, distance de propagation source – récepteur d(S,R) = 6 m. (b) zR = 0.15 m, d(S,R) = 6 m. (c) zR = 0.10 m,d(S,R) = 7 m.
Mesures de Gabillet Météo-BEM
Chapitre 6 : Le modèle Météo-BEM
- 194 -
-30
-20
-10
0
10
20
50 100
Niv
eau
de p
ress
ion
rela
tif (
dB)
Fréquence (Hz)
-30
-20
-10
0
10
20
50 100
Niv
eau
de p
ress
ion
rela
tif (
dB)
Fréquence (Hz)
(a) (b)
-30
-20
-10
0
10
20
50 100
Niv
eau
de p
ress
ion
rela
tif (
dB)
Fréquence (Hz)
-30
-20
-10
0
10
20
50 100
Niv
eau
de p
ress
ion
rela
tif (
dB)
Fréquence (Hz)
(c) (d)
-30
-20
-10
0
10
20
50 100
Niv
eau
de p
ress
ion
rela
tif (
dB)
Fréquence (Hz)
-30
-20
-10
0
10
20
50 100
Niv
eau
de p
ress
ion
(dB
)
Fréquence (Hz)
(e) (f)
Mesures de Gabillet Météo-BEM
figure 6. 7 : Comparaison entre les résultats de calcul du modèle Météo-BEM et les résultats de mesure deGabillet (cf [Schroeder, 1993]) au-dessus d'une surface concave absorbante de rayon de courbure Rc = 20 m.Configuration géométrique identique à celle de la figure 6. 6. A l'échelle de la maquette, les grandeurs sont lessuivantes : sol absorbant caractérisé par σ = 4000 cgs, hauteur de l'écran H = 0.10 m, hauteur de la source zS =0.10 m, distance de la source à l'écran d(S,Γ) = 4 m pour tous les cas. (a) hauteur du récepteur zR = 0.15 m,distance de propagation source – récepteur d(S,R) = 5 m. (b) zR = 0.10 m, d(S,R) = 5 m. (c) zR = 0.05 m, d(S,R)= 5 m. (d) zR = 0.05 m, d(S,R) = 6 m. (e) zR = 0.15 m, d(S,R) = 7 m. (f) zR = 0.05 m, d(S,R) = 7 m.
Chapitre 6 : Le modèle Météo-BEM
- 195 -
Le modèle Météo-BEM a aussi été confronté à deux résultats de mesure de Rasmussen
[Rasmussen, 1996], réalisée en soufflerie pour un écran rigide au-dessus d'un sol absorbant en
situation de vent portant et de vent contraire. Li et Wang ont calculé les niveaux de pression
correspondant aux mesures de Rasmussen en utilisant une méthode d'éléments finis de
frontière en milieu homogène et en maillant la surface courbée correspondant à chaque cas de
réfraction étudié [Li et Wang, 1998]. Pour ce faire, ils ont considéré un gradient constant de
vitesse du son caractérisé par le paramètre a = 2.9 10-3 m-1 (cf eq. 3- 70) pour la situation de
réfraction vers le bas, ce gradient étant l'opposé pour la réfraction vers le haut. Ces valeurs ont
été entrées dans le code de calcul Météo-BEM. Les paramètres géométriques sont les suivants
: la source et le récepteur sont respectivement à une hauteur de 2 m et 1 m, la distance de
propagation entre la source et le récepteur est de 60 m, et l'écran mesure 2.5 m et est situé à 20
m de la source pour la situation de vent portant et 40 m pour le cas du vent contraire.
L'impédance du sol est calculée, à l'instar de Li, par un modèle de porosité variable à deux
paramètres : σe = 20000 Pa s-1m-2 et αe = 60 m-1. Les résultats sont présentés en termes
d'atténuation relative au champ libre.
La figure 6. 8 montre que la courbe donnée par Météo-BEM suit les mêmes tendances que les
mesures expérimentales de Rasmussen, l'écart maximal entre les résultats restant inférieur à 3
ou 4 dB, alors que le calcul effectué par Météo-BEM a été réalisé sur les bases d'un gradient
constant de vitesse du son équivalent au profil réel de vitesse du vent. On constate par ailleurs
que les résultats du modèle Météo-BEM sont très proches de ceux fournis par le calcul de la
BEM courbée de Li, basés sur la même hypothèse de gradient constant de vitesse du son.
La figure 6. 9 montre les résultats dans le cas du vent contraire. Même si le modèle Météo-
BEM donne approximativement, hormis la présence inexplicable à ce stade d'un point
complètement erroné entre 1000 et 2000 Hz, la tendance globale suivie par les résultats de
mesure de Rasmussen et de calcul de Li, ces résultats sont nettement moins bons. Ces
mauvais résultats fournis par Météo-BEM proviennent sans doute de problèmes survenant
dans le calcul de la fonction de Green et de sa dérivée pour la réfraction vers le haut,
notamment dans la région de transition, ainsi que cela été souligné au chapitre 5.
Chapitre 6 : Le modèle Météo-BEM
- 196 -
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0
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600 800 1000
Atté
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ion
par
rapp
ort a
u ch
amp
libre
(dB
)
Fréquence (Hz)
Calcul BEM courbée de LiMesures de RasmussenMétéo-BEM
figure 6. 8 : Comparaison du modèle Météo-BEM à des résultats expérimentaux de Rasmussen[Rasmussen, 1996] et un résultat de calcul de Li [Li et Wang, 1998] pour un écran sur sol absorbant ensituation de vent portant. sol absorbant caractérisé par σ = 20000 Pa s-1 m-2 et αe = 60 m-1 (modèle de porositévariable à deux paramètres), hauteur de l'écran H = 2.50 m, hauteur de la source zS = 2 m, distance de la source àl'écran d(S,Γ) = 20 m, hauteur du récepteur zR = 1 m, distance de propagation source – récepteur d(S,R) = 60 m.gradient constant de vitesse du son donné par a = 2.9 10-3 m-1.
-40
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600 800 1000
Atté
nuat
ion
par
rapp
ort a
u ch
amp
libre
(dB
)
Fréquence (Hz)
Calcul BEM courbée de LiMesures de RasmussenMétéo-BEM
figure 6. 9 : Comparaison du modèle Météo-BEM à des résultats expérimentaux de Rasmussen[Rasmussen, 1996] et un résultat de calcul de Li [Li et Wang, 1998] pour un écran sur sol absorbant ensituation de vent contraire. sol absorbant caractérisé par σ = 20000 Pa s-1 m-2 et αe = 60 m-1 (modèle deporosité variable à deux paramètres), hauteur de l'écran H = 2.50 m, hauteur de la source zS = 2 m, distance de lasource à l'écran d(S,Γ) = 40 m, hauteur du récepteur zR = 1 m, distance de propagation source – récepteur d(S,R)= 60 m. gradient constant de vitesse du son donné par a = -2.9 10-3 m-1.
Chapitre 6 : Le modèle Météo-BEM
- 197 -
6.6 Conclusion
Ce chapitre a présenté en détail comment inclure des effets de réfraction dans une
méthode d'éléments finis de frontière. Le code de calcul BEMAS2D, développé au chapitre
4, a été adapté, en intégrant les modèles du chapitre 5, aux cas de réfraction vers le bas (en
utilisant le code de calcul DOWNMOD) et vers le haut (codes de calcul correspondants :
UPRES et UPGEOM).
La figure 6. 10 illustre la construction du nouveau modèle baptisé Météo-BEM. Les
modèles encerclés en pointillés représentent les modèles utilisés pour construire Météo-
BEM. Cette nouvelle approche repose d'une part sur un modèle de propagation en milieu
homogène au-dessus de frontières complexes : la méthode d'éléments finis de frontière,
d'autre part sur des modèles de propagation en milieu inhomogène. Les descriptions en
milieu inhomogène et homogène sont couplées via la fonction de Green, et donnent le
modèle Météo-BEM.
Après avoir exposé dans ce chapitre la théorie de ce nouveau modèle, on l'a confronté
pour validation à des résultats numériques et expérimentaux issus de la littérature. Pour la
réfraction vers le bas, le modèle Météo-BEM se compare favorablement aux résultats
expérimentaux dans tous les cas étudiés. Toutefois, dans le cas de la réfraction vers le haut,
une comparaison avec un résultat de Rasmussen a montré que Météo-BEM achoppait pour
cette condition de propagation. Afin de mieux cerner les limites de ce nouveau modèle, une
campagne supplémentaire de mesures a été entreprise, qui est présentée au chapitre
suivant.
Pour finir, dans ce travail on n'a pas porté d'attention particulière sur le temps de calcul
puisqu'il s'agit ici avant tout de prouver que l'on peut prendre en compte des effets
météorologiques dans une méthode d'éléments finis de frontière. Notons cependant à titre
d'information que les temps de calcul sont restés raisonnables dans toutes les
configurations étudiées. En guise d'exemple, sur une station HP série 715 tournant à 75
Mégaflops et pour un cas d'écran d'une hauteur de 3 m sur sol rigide, les temps nécessaires
pour calculer l'atténuation relative au champ libre par pas de 100 Hz, sur une bande de
fréquences comprises entre 100 et 1000 Hz, sont de manière générale de l'ordre de
quelques dizaines de secondes tandis que dans les cas où le sol est absorbant ce temps est
plutôt de l'ordre de quelques minutes. En effet, dans ce dernier cas la fonction de Green est
Chapitre 6 : Le modèle Météo-BEM
- 198 -
alors beaucoup plus coûteuse sur le plan numérique aussi bien en milieu homogène
(fonction de sol de Chandler-Wilde), qu'en milieu inhomogène (avec la recherche des pôles
pas à pas dans le plan complexe pour le calcul des séries de résidus).
figure 6. 10 : Organigramme représentant la construction du modèle Météo-BEM.
- 199 -
Chapitre 7
Confrontation du modèle Météo-BEM à des résultats
expérimentaux
7.1 Introduction
Les résultats disponibles dans la littérature concernant la propagation acoustique en
milieu inhomogène au-dessus d'un écran sont peu nombreux. C'est pourquoi une campagne
de mesures supplémentaire a été réalisée. Dans ce chapitre, les résultats donnés par le
modèle Météo-BEM, exposé au chapitre précédent, sont donc confrontés à des résultats
expérimentaux de propagation acoustique en milieu inhomogène en présence d'écrans
acoustiques pour différentes situations de réfraction et des configurations géométriques
variées. Notons que dans le cas de conditions de propagation en milieu homogène, ce
modèle redevient, en fait, le modèle BEMAS2D du chapitre 2.
Deux campagnes de mesures effectuées en milieu contrôlé dans la salle des maquettes
du CSTB sont présentées. Ces mesures étudient trois configurations différentes, en utilisant
l'analogie propagation en milieu homogène au-dessus d'une surface courbée – propagation
en milieu inhomogène au-dessus d'une surface plane (voir le paragraphe 5.5) : sol plan, sol
cylindrique convexe et sol cylindrique concave. Quelques résultats obtenus en utilisant tout
d'abord les sources à jet d'air comprimé de la salle des maquettes sont donnés. Cependant
ces sources souffrent d'une limitation en puissance dans la gamme de fréquences étudiée,
c'est pourquoi une deuxième série de mesures, basée sur la technique de la TDS, est
également décrite.
Chapitre 7 : Confrontation de Météo-BEM à des résultats expérimentaux
- 200 -
7.2 Présentation des mesures sur maquettes
Les résultats de calcul de Météo-BEM ont été confrontés à des résultats expérimentaux
réalisés au Centre des maquettes du C.S.T.B à Grenoble, sur modèles réduits à l'échelle
1/20e. Le Centre des maquettes est en fait une salle semi-anéchoïque d'une taille de 100 m2
possédant un dispositif permettant de diminuer le taux d'humidité de manière à conserver
la similitude à l'échelle 1/20e de l'absorption acoustique de l'air. Un thermomètre permet de
mesurer la température ambiante dans la salle et d'en déduire la célérité moyenne dans la
zone de propagation. Le taux d'humidité est également relevé et contrôlé régulièrement.
Dans le modèle réduit à l'échelle 1/20e, toutes les dimensions sont divisées par 20, les
impédances restent constantes, la fréquence et la résistance au passage de l'air sont
multipliées par 20. On peut trouver une bonne présentation de la technique de la mesure
sur maquettes dans les travaux de Almgreen [Almgren, 1986, Almgren, 1986, Almgren,
1987].
Trois géométries de surfaces ont été utilisées. Une surface plane permet de simuler la
propagation acoustique en milieu homogène, une surface cylindrique convexe modélise la
réfraction vers le haut tandis qu'une surface cylindrique concave permet de représenter la
réfraction vers le bas (voir figure 7. 2 et figure 7. 3). La surface convexe, de rayon de
courbure de 5 m à l'échelle 1/20e équivaut à un gradient de célérité rapporté à la célérité au
niveau du sol (paramètre a) de 10-2 m-1 à l'échelle 1, tandis que pour la surface concave le
rayon de courbure de 10.2 m est équivalent à un gradient de vitesse du son relatif à la
vitesse du son au sol de 4.9 10-3 m-1 à l'échelle 1.
Toutes les mesures ont été effectuées avec et sans écran. L'écran droit rigide utilisé est
en PVC de 5 mm d'épaisseur et d'une hauteur de 15,25 cm. Le sol réfléchissant est
constitué d'une plaque de polystyrène souple reposant sur un socle lui donnant la courbure
recherchée. Pour obtenir un sol absorbant, la plaque de polystyrène souple a été recouverte
d'une couche de feutrine des Ardennes (OZ-30) de 1,7 mm d'épaisseur.
Chapitre 7 : Confrontation de Météo-BEM à des résultats expérimentaux
- 201 -
7.3 Mesures avec les sources à jet d'air comprimé
Une première série de mesures a été réalisée en utilisant les sources à jet d'air comprimé
du Centre des Maquettes du C.S.T.B, qui émettent dans les ultrasons. Les sources sont
situées au niveau du sol (cf figure 7. 4). Les mesures ont été effectuées sur 4 lignes
horizontales de 12 récepteurs soit 48 points de réception, plus deux points (le premier et le
dernier) à 20 cm au-dessus de la source. Le schéma de la figure 7. 1 montre la
configuration des mesures sur sol plan. Pour la surface convexe, ainsi que pour la surface
concave, on a suivi le même protocole, les hauteurs étant mesurées normalement à la
surface et les distances étant prises le long de l'arc (ie en coordonnées curvilignes). La
figure 7. 2 et la figure 7. 3 montrent les trois types de surfaces utilisées.
figure 7. 1 : Schéma des configurations étudiées dans les mesures avec les sources à jet d'air comprimé.
Trois positions différentes d'écran ont été étudiées dans tous les cas de réfraction, l'écran
rigide étant successivement placé à 0.25 m, 0.80 m puis 1.20 m de la source. Les mesures
aux 50 points de réception sont automatisées à l'aide d'un logiciel de contrôle spécifique.
Le microphone 1/8e de pouce B&K est positionné grâce à un pont roulant asservi par
l'ordinateur de contrôle (voir figure 7. 2). La fréquence de coupure de ce microphone,
supérieure à 100 kHz, permet une mesure précise jusqu'au 1/3 d'octave 5 kHz. Le signal
provenant du microphone est amplifié puis échantillonné par la carte son de l'ordinateur de
contrôle à 625 kHz. Pour chaque mesure, 10 signaux temporels sont acquis successivement
et leurs spectres en fréquence sont moyennés en énergie puis intégrés en 1/3 d'octave. A
chaque acquisition, une mesure automatique du bruit de fond permet de connaître la
dynamique de la mesure pour chaque 1/3 d'octave.
Chapitre 7 : Confrontation de Météo-BEM à des résultats expérimentaux
figure 7. 2 : Mesure avec les sourrigide sur sol plan rigide. La sondeautomatisé relié à un ordinateur de
figure 7. 3: Mesure avec les sourcrigide (réfraction vers le haut) et de
figure 7
ne
Sonde automatiséeportant le microphoneécran
acoustique
sol plan = milieu homogè
ces de jet d'air comprimé pour la configuration de l'écran droit mince qui supporte le microphone 1/8e de pouce est pilotée par un pont roulant contrôle.
aut
surface convexe = réfraction vers le has
surface concave = réfraction vers le b- 202 -
es de jet d'air comprimé pour les configurations de la surface convexe la surface concave rigide (réfraction vers le bas).
. 4 : source de jet d'air comprimé utilisée.
buse de la source
écran acoustique
Chapitre 7 : Confrontation de Météo-BEM à des résultats expérimentaux
- 203 -
Pour chaque configuration géométrique (sol plan, surface convexe, surface concave),
deux mesures successives, avec et sans écran, sont effectuées. Les résultats sont ensuite
présentés en termes de perte par insertion c'est-à-dire de différence entre les niveaux de
pression avec et sans écran au même point récepteur, ceci afin de s'affranchir au maximum
de la directivité et de l'amplitude de la source, ainsi que de l'absorption atmosphérique (tout
en utilisant également le dispositif de réduction du taux d'humidité de la salle).
7.3.1 Mesures sur sol plan
Des mesures ont été d'abord effectuées sur sol plan rigide, pour les trois positions
successives d'écran Γ1, Γ2, Γ3 respectivement à 0.25 m, 0.80 m et 1.3 m de la source. Les
calculs ont été effectués par tiers d'octave, en milieu homogène, avec le modèle
BEMAS2D, en prenant 10 points dans chaque tiers d'octave. Les valeurs de la température
et de l'humidité pour toutes les expérimentations réalisées avec les sources à jet d'air
comprimé sont relevées dans l'annexe V.
La figure 7. 5 montre les résultats pour les 4 récepteurs situés juste devant l'écran Γ1.
On constate que celui-ci vient perturber le champ direct, puisque des interférences dues à
la diffraction par l'arête horizontale de l'écran apparaissent, surtout pour les 3 premiers
points les plus près du sol. Pour le point le plus haut, l'écran joue un rôle négligeable. On
peut remarquer un bon accord global entre les résultats de BEMAS2D et ceux de la
mesure, même si les interférences sont moins marquées dans la mesure que dans le calcul.
Ceci peut provenir de deux sources : soit le phénomène de couche limite relevé par
Almgren [Almgren, 1986, Almgren, 1986] et qui n'a pas été pris en compte dans les calculs
entre en jeu, soit les niveaux de pression mesurés dans les creux interférentiels sont trop
faibles et voisins du bruit de fond pour pouvoir être évalués avec précision.
Chapitre 7 : Confrontation de Météo-BEM à des résultats expérimentaux
- 204 -
Point 2 Point 3
Point 4 Point 5
Mesures sources de jet BEMAS2D
figure 7. 5 : Comparaison des résultats du modèle BEMAS2D aux mesures sur modèle réduit avec lessources de jet d'air comprimé sur sol plan rigide. Distance source – écran d(S,Γ1) = 0.25 m, hauteur de l'écranH = 0.1525 m, source sur le sol, distance source – récepteur d(S,R) = 0.20 m. Point 2 : hauteur du récepteur zR =0.02 m, Point 3 : zR = 0.05 m, Point 4 : zR = 0.15 m, Point 5 : zR = 0.20 m.
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Fréquence (Hz)
Chapitre 7 : Confrontation de Météo-BEM à des résultats expérimentaux
- 205 -
Point 18 Point 19
Point 20 Point 21Légende identique à celle de la figure 7. 5.
figure 7. 6 : Comparaison des résultats du modèle BEMAS2D aux mesures sur modèle réduit avec lessources de jet d'air comprimé sur sol plan rigide. Distance source – écran d(S,Γ1) = 0.25 m, hauteur de l'écranH = 0.1525 m, source sur le sol, distance source – récepteur d(S,R) = 1.20 m. Point 18 : hauteur du récepteur zR
= 0.02 m, Point 19 : zR = 0.05 m, Point 20 : zR = 0.15 m, Point 21 : zR = 0.20 m.
La figure 7. 6 montre quant à elle, les résultats obtenus pour les 4 points récepteurs
situés derrière l'écran, à 1.20 m de la source. On peut noter cette fois l'effet important de
l'écran puisque la perte par insertion est nettement plus marquée que pour les points devant
l'écran. Là encore, les résultats de BEMAS2D se comparent favorablement aux résultats
expérimentaux, avec la même remarque concernant les écarts apparaissant dans les creux
d'interférence.
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Chapitre 7 : Confrontation de Météo-BEM à des résultats expérimentaux
- 206 -
Point 14 Point 15
Point 16 Point 17Légende identique à celle de la figure 7. 5.
figure 7. 7 : Comparaison des résultats du modèle BEMAS2D aux mesures sur modèle réduit avec lessources de jet d'air comprimé sur sol plan rigide. Distance source – écran d(S,Γ2) = 0.80 m, hauteur de l'écranH = 0.1525 m, source sur le sol, distance source – récepteur d(S,R) = 0.90 m. Point 14 : hauteur du récepteur zR
= 0.02 m, Point 15 : zR = 0.05 m, Point 16 : zR = 0.15 m, Point 17 : zR = 0.20 m.
La figure 7. 7 montre les résultats obtenus pour l'écran Γ2 à 0.80 m de la source et pour
les 4 points situés juste derrière l'écran, à la distance de 1.20 m de la source. Les résultats
du modèle BEMAS2D sont proches des mesures, avec cependant les mêmes restrictions
que ci-avant dans les plages de fréquences où les niveaux sont faibles et proches du bruit
de fond, et les interférences plus "creusées" par le calcul que la mesure.
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Chapitre 7 : Confrontation de Météo-BEM à des résultats expérimentaux
- 207 -
Point 30 Point 31
Point 32 Point 33Légende identique à celle de la figure 7. 5.
figure 7. 8 : Comparaison des résultats du modèle BEMAS2D aux mesures sur modèle réduit avec lessources de jet d'air comprimé sur sol plan rigide. Distance source – écran d(S,Γ3) = 1.30 m, hauteur de l'écranH = 0.1525 m, source sur le sol, distance source – récepteur d(S,R) = 2.80 m. Point 30 : hauteur du récepteur zR
= 0.02 m, Point 31 : zR = 0.05 m, Point 32 : zR = 0.15 m, Point 33 : zR = 0.20 m.
La figure 7. 8 donne des résultats pour la troisième position de l'écran, Γ3, à 1.30 m de
la source et pour des points éloignés de l'écran, à 2.80 m de la source. Bien que les niveaux
mesurés soient faibles, ce qui est source d'erreur ainsi que cela a déjà été écrit plus haut, les
résultats du calcul par BEMAS2D ont globalement la même allure que les résultats
expérimentaux. Concernant les creux interférentiels, la même remarque restrictive que ci-
dessus s'applique.
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Fréquence (Hz)
Chapitre 7 : Confrontation de Météo-BEM à des résultats expérimentaux
- 208 -
7.3.2 Mesures sur surface concave
Des mesures ont été ensuite effectuées sur sol concave, de rayon de courbure Rc = 10.2
m, pour simuler la réfraction vers le bas, pour les trois positions successives d'écran Γ1, Γ2,
Γ3 respectivement à 0.25 m, 0.80 m et 1.3 m de la source. De même que pour le sol plan,
les calculs ont été effectués par tiers d'octave, en milieu inhomogène, avec le modèle
Météo-BEM, en prenant 10 points dans chaque tiers d'octave. On peut trouver dans
l'annexe V les valeurs de la température et de l'humidité relative pour toutes les
expérimentations.
Chapitre 7 : Confrontation de Météo-BEM à des résultats expérimentaux
- 209 -
Point 18 Point 19
Point 20 Point 21
Mesures Météo-BEM
figure 7. 9 : Comparaison des résultats du modèle Météo-BEM aux mesures sur modèle réduit avec lessources de jet d'air comprimé sur sol concave rigide, de rayon de courbure Rc = 10.5 m. Distance source –écran d(S,Γ1) = 0.25 m, hauteur de l'écran H = 0.1525 m, source sur le sol, distance source – récepteur d(S,R) =1.20 m. Point 18 : hauteur du récepteur zR = 0.02 m, Point 19 : zR = 0.05 m, Point 20 : zR = 0.15 m, Point 21 : zR
= 0.20 m.
La figure 7. 9 compare les résultats de Météo-BEM pour la réfraction vers le bas aux
résultats expérimentaux au-dessus de la surface concave pour la première position d'écran :
Γ1 et 4 points situés à 1.20 m de la source. On constate que l'on retrouve bien par le calcul
les tendances observées par la mesure. De même que pour la surface plane, dans les plages
de fréquences où l'énergie est plus faible et proche du bruit de fond, les interférences sont
moins marquées dans les résultats expérimentaux que dans les résultats de Météo-BEM.
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Fréquence (Hz)
Chapitre 7 : Confrontation de Météo-BEM à des résultats expérimentaux
- 210 -
Point 22 Point 23
Point 24 Point 25
Légende identique à celle de la figure 7. 9.
figure 7. 10 : Comparaison des résultats du modèle Météo-BEM aux mesures sur modèle réduit avec lessources de jet d'air comprimé sur sol concave rigide, de rayon de courbure Rc = 10.5 m. Distance source –écran d(S,Γ2) = 0.80 m, hauteur de l'écran H = 0.1525 m, source sur le sol, distance source – récepteur d(S,R) =1.40 m. Point 22 : hauteur du récepteur zR = 0.02 m, Point 23 : zR = 0.05 m, Point 24 : zR = 0.15 m, Point 25 : zR
= 0.20 m.
La figure 7. 10 compare des résultats de Météo-BEM à des résultats de mesure pour
l'écran Γ2 et 4 points situés à 1.40 m de la source. Là encore, l'accord entre le modèle et la
mesure est bon, avec toujours les mêmes restrictions quant aux creux des interférences,
moins marqués dans les résultats expérimentaux que par le calcul.
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Pe
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Chapitre 7 : Confrontation de Météo-BEM à des résultats expérimentaux
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Point 38 Point 39
Point 40 Point 41Légende identique à celle de la figure 7. 9.
figure 7. 11 : Comparaison des résultats du modèle Météo-BEM aux mesures sur modèle réduit avec lessources de jet d'air comprimé sur sol concave rigide, de rayon de courbure Rc = 10.5 m. Distance source –écran d(S,Γ2) = 0.80 m, hauteur de l'écran H = 0.1525 m, source sur le sol, distance source – récepteur d(S,R) =3.85 m. Point 38 : hauteur du récepteur zR = 0.02 m, Point 39 : zR = 0.05 m, Point 40 : zR = 0.15 m, Point 41 : zR
= 0.20 m.
La figure 7. 11 montre les résultats obtenus, toujours derrière l'écran Γ2, mais cette fois-
ci pour 4 points éloignés, à la distance de 3.85 m de la source. Les tendances montrées par
la mesure se retrouvent bien dans le calcul par Météo-BEM, les interférences étant toujours
plus marquées par le modèle que par la mesure. On peut noter que la perte par insertion est
moins importante, notamment pour les 2 points les plus élevés (points 40 et 41), ce qui
montre que la réfraction vers le bas détruit dans ce cas l'efficacité de l'écran pour ces
récepteurs. Il faut souligner que l'accord entre mesure et calcul est meilleur pour ces 2
derniers points, ce qui confirme le fait que les écarts rencontrés dans les creux des
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Chapitre 7 : Confrontation de Météo-BEM à des résultats expérimentaux
- 212 -
interférences sont bien dus à une énergie mesurée trop faible, puisque pour les points 40 et
41 l'énergie est renforcée par la réfraction vers le bas et par conséquent la comparaison
entre les résultats est meilleure.
Point 30 Point 31
Point 32 Point 33Légende identique à celle de la figure 7. 9.
figure 7. 12 : Comparaison des résultats du modèle Météo-BEM aux mesures sur modèle réduit avec lessources de jet d'air comprimé sur sol concave rigide, de rayon de courbure Rc = 10.5 m. Distance source –écran d(S,Γ3) = 1.30 m, hauteur de l'écran H = 0.1525 m, source sur le sol, distance source – récepteur d(S,R) =2.80 m. Point 30 : hauteur du récepteur zR = 0.02 m, Point 31 : zR = 0.05 m, Point 32 : zR = 0.15 m, Point 33 : zR
= 0.20 m.
La figure 7. 12 montre des résultats pour l'écran Γ3 et 4 points situés à 2.80 m de la
source. Les mêmes commentaires que pour les résultats présentés ci-avant peuvent
s'appliquer. Les résultats de Météo-BEM sont proches de ceux de la mesure, hormis dans
les creux interférentiels. Remarquons également que pour le point 31 un léger décalage en
fréquence apparaît, pour lequel il n'a pas été trouvé d'explication valable. Pour finir, il faut
souligner que dans toutes les mesures effectuées, les résultats ont été de manière générale
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Fréquence (Hz)
Chapitre 7 : Confrontation de Météo-BEM à des résultats expérimentaux
- 213 -
meilleurs pour les 2 points les plus élevés, ce qui laisse penser que la mesure près du sol
est plus délicate et notamment plus sensible au positionnement exact des capteurs. De
même, la source à jet d'air comprimé n'est pas sphérique et il se peut que dans cette
direction rasante l'énergie sonore émise soit plus faible que pour des points plus élevés. En
outre le rayon de courbure des surfaces n'est pas rigoureusement constant, ce qui induit des
erreurs sans doute plus importantes pour des points proches du sol que pour des points plus
éloignés.
7.3.3 Mesures sur surface convexe
Des mesures ont également été réalisées au-dessus d'une surface convexe de rayon de
courbure Rc = 5 m pour modéliser la réfraction vers le haut. Afin d'étudier les résultats
dans la zone d'ombre, la région de transition et la zone éclairée, les trois différentes
positions d'écran Γ1, Γ2 et Γ3 adoptées ci-dessus ont été utilisées. En effet, dans la méthode
d'éléments finis de frontière deux régions de propagation sont à considérer, outre la
propagation du champ incident entre source et récepteur en l'absence d'écran : le domaine
compris entre la source et l'écran (voir figure 7. 13), qui correspond à l'écriture
mathématique de l'équation intégrale à résoudre sur l'écran en prenant en compte
l'excitation de la source dans le second membre (cf eq. 4- 9), et d'autre part le domaine
entre l'écran et le récepteur (voir figure 7. 14) qui correspond à la formulation intégrale du
champ de pression dû à la diffraction par l'écran apparaissant dans eq. 4- 6. L'écran est
alors considéré comme un ensemble de sources secondaires, excitées par le champ incident
rayonné par la source, et qui réémettent à leur tour en direction du récepteur. C'est
pourquoi, du fait de l'expression de la fonction de Green qui change, en réfraction vers le
haut, en fonction de la position spatiale relative des points source et récepteur considérés,
en zone éclairée ou en zone d'ombre, les manipulations ont été conçues de manière à
pouvoir examiner des cas différents de positions relatives source – écran et écran –
récepteur.
Chapitre 7 : Confrontation de Météo-BEM à des résultats expérimentaux
- 214 -
figure 7. 13 : Schéma représentant le domaine de propagation compris entre la source et l'écranacoustique. En conditions de réfraction vers le haut, le rayon limite issu de la source délimite une zone d'ombre.
figure 7. 14 : Schéma représentant le domaine de propagation compris entre l'écran et le récepteur. Enconditions de réfraction vers le haut apparaissent 3 zones définies par les 2 rayons limites issus des points situésau sommet et au pied de l'écran. Les 3 points récepteurs illustrent ces zones : R1 est situé dans une régionéclairée vis-à-vis de l'écran entier, R2 est dans une région éclairée pour les points en haut de l'écran mais en zoned'ombre pour les points du bas de l'écran, R3 est en zone d'ombre vis-à-vis de l'écran entier.
La première position, Γ1, représente une situation où quasiment tous les points sur
l'écran sont placés en zone éclairée vis-à-vis de la source (cf figure 7. 13), ce qui met en
jeu la solution géométrique UPGEOM en tant que fonction de Green dans la méthode
d'éléments finis de frontière, hormis pour les points tout en bas de l'écran situés en zone
d'ombre où la série des résidus UPRES doit être utilisée conformément à la discussion des
chapitres 5 et 6. Concernant le domaine de propagation entre l'écran et les récepteurs, à
partir du point 30, tous les points qui suivent sont dans la zone d'ombre réfractive vis-à-vis
de l'écran (cas du point R3 de la figure 7. 14), ce qui implique alors l'utilisation du modèle
UPRES, tandis que lorsque l'on se rapproche de l'écran, celui-ci doit être abandonné au
profit du modèle UPGEOM (cas du point R1 de la figure 7. 14).
La position Γ2 de l'écran permet quant à elle de considérer une situation où
approximativement la moitié supérieure de l'écran est en zone éclairée, les points en bas de
l'écran étant en zone d'ombre vis-à-vis de la source (voir figure 7. 13). Dans cette
Chapitre 7 : Confrontation de Météo-BEM à des résultats expérimentaux
- 215 -
configuration, les points récepteurs au-delà du point 38 sont également en zone d'ombre
réfractive vis-à-vis de l'écran.
Enfin la position Γ3 a été utilisée pour décrire une situation où quasiment tous les points
de l'écran sont en zone d'ombre par rapport à la source (cf figure 7. 13). Dans ce cas, seuls
les points 42 à 49 sont en zone d'ombre réfractive par rapport à l'écran.
Les calculs ont été effectués toujours en tiers d'octave par le modèle Météo-BEM. Les
données de température et d'humidité relative sont consignées en annexe V. Les résultats
du calcul par le modèle se sont avérés mauvais, ce qui confirme le résultat de la
comparaison avec les mesures réalisées en soufflerie par Rasmussen en situation de vent
contraire (figure 6. 9 du paragraphe 6.6). En effet, dans le cas de l'écran Γ1, le modèle
diverge, même pour les points récepteurs les plus loin, ce qui laisse à penser que le modèle
prenant en compte les effets météorologiques pose problème pour la propagation entre la
source et l'écran où les points sont principalement situés en zone éclairée. Cela signifie que
dans ce cas, le modèle UPGEOM ne convient pas. Pour les écrans Γ2 et Γ3, les résultats ne
sont pas bons non plus. Par conséquent, le problème de la divergence du modèle Météo-
BEM provient sans doute du changement de solution, de la solution de la série des résidus
en zone d'ombre à la solution géométrique en zone éclairée. Ce changement induit une
discontinuité dans le calcul de la dérivée de la fonction de Green qui intervient deux fois :
la première lors du calcul de l'excitation de l'écran par la source dans le second membre de
l'équation intégrale, et la deuxième fois lors du calcul du champ diffracté par la
formulation intégrale. Pour pallier le premier problème, un calcul a été essayé en
approchant le champ rayonné entre la source et l'écran, lorsque celle-ci est proche de ce
dernier dans la position Γ1, par la solution en milieu homogène. Ce calcul n'a toutefois pas
donné satisfaction. Deux enseignements sont à tirer : d'une part, la solution de l'équation
intégrale est sans doute très sensible à la précision du calcul de la dérivée du champ
incident, c'est-à-dire au calcul du second membre dans eq. 4- 11; d'autre part, le calcul du
champ diffracté qui est représenté par l'intégrale le long de l'écran dans eq. 4- 24, induit
certainement lui aussi des erreurs si la dérivée de la fonction de Green en jeu n'est pas
connue de façon suffisamment précise.
La figure 7. 15 illustre le mauvais comportement de Météo-BEM en conditions de
réfraction vers le haut, dans le cas des points 14 à 17 situés juste derrière l'écran Γ2. Les
niveaux de pression calculés par le modèle sont surestimés. De plus, plus le point récepteur
Chapitre 7 : Confrontation de Météo-BEM à des résultats expérimentaux
- 216 -
est élevé, plus la solution du calcul diverge, à haute fréquence. Ceci semblerait indiquer
dans ce cas que la solution géométrique UPGEOM pose problème puisque plus les points
sont élevés, plus ils sont dans la zone éclairée vis-à-vis de la réfraction par rapport aux
sources secondaires situées sur l'écran. Ces résultats se retrouvent de manière générale
dans tous les résultats expérimentaux obtenus au-dessus de la surface convexe. En outre
vient sans doute se greffer le problème de la puissance des sources : en effet, l'énergie
sonore trop faible que l'on a rencontré dans le cas de la surface plane et de la surface
concave est encore diminuée par la réfraction vers le haut, malgré le phénomène des ondes
rampantes qui achemine de l'énergie dans la zone d'ombre le long de la surface courbée.
Par conséquent, les résultats expérimentaux peuvent être eux aussi sujets à caution.
Point 14 Point 15
Point 16 Point 17
Mesures sources de jet Météo-BEM
figure 7. 15 : Comparaison des résultats du modèle Météo-BEM aux mesures sur modèle réduit avec lessources de jet d'air comprimé sur sol convexe rigide de rayon de courbure Rc = 5 m. Distance source – écrand(S,Γ2) = 0.80 m, hauteur de l'écran H = 0.1525 m, source sur le sol, distance source – récepteur d(S,R) = 0.9 m.Point 14 : hauteur du récepteur zR = 0.02 m, Point 15 : zR = 0.05 m, Point 16 : zR = 0.15 m, Point 17 : zR = 0.20m.
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Fréquence (Hz)
Chapitre 7 : Confrontation de Météo-BEM à des résultats expérimentaux
- 217 -
7.4 Mesures avec la T.D.S
Afin de compléter la première série de mesures présentée ci-dessus et notamment
d'utiliser une source qui convienne mieux en directivité et puissance, une seconde série a
été réalisée à l'aide de la méthode de Time Delay Spectrometry [1988, Villot, 1986, Villot,
1988]. Cette méthode repose sur l'hypothèse que la réponse en fréquence d'un système
acoustique est la superposition de plusieurs réponses élémentaires dont chacune est
affectée d'un retard propre correspondant à son chemin acoustique. La TDS permet d'isoler
par filtrage un (ou plusieurs) chemin de propagation particulier et d'obtenir des
caractéristiques relatives à ce dernier tels que la courbe temporelle en énergie, la réponse
impulsionnelle ou le spectre fréquentiel. Ainsi, les autres chemins acoustiques indésirables
(comme ceux provenant des bords des surfaces) peuvent être supprimés, pourvu que ces
bords soient toutefois à une distance suffisante de la manipulation. Mentionnons, de plus,
que la TDS présente une très bonne réjection au bruit de fond, permettant ainsi la mesure
en environnement bruyant.
La source émet un signal dont la fréquence décroît linéairement avec le temps. Le signal
capté au récepteur est filtré par un filtre suiveur passe-bande dont la fréquence et la largeur
centrale sont choisies pour isoler certaines raies de fréquence et en rejeter d'autres.
Le banc de mesures est constitué d'un tweeter AUDAX TWX 102 (diamètre 70 mm) et
d'un microphone ½-pouce Electret Condenser de type MK 224, montés chacun sur une
fixation dont la hauteur est réglable. Le signal en sortie de PC est amplifié avant d'être
transmis au tweeter grâce à un amplificateur de puissance B&K type 2706. L'acquisition
du signal est réalisée avec le microphone relié au convertisseur analogique-numérique 16
bits OROS du PC. Lorsque la source est trop proche du sol, pour des raisons pratiques, les
mesures ont été effectuées en réciprocité, les rôles de la source et du récepteur étant alors
interchangés.
Les mêmes surfaces qu'au paragraphe précédent ont été utilisées, cette fois-ci
successivement réfléchissantes puis absorbantes. Afin de respecter la similitude des
grandeurs physiques à l'échelle 1/20e, la résistance au passage de l'air σ de la feutrine
absorbante est multipliée par 20 sur la plage de fréquences de travail pour le modèle réduit.
Chapitre 7 : Confrontation de Météo-BEM à des résultats expérimentaux
Les résultats sont donnés dans ce paragraphe en termes d'atténuation c'est-à-dire de
différences entre les niveaux de pression du champ total et du champ libre.
Les figures 7. 16, 7. 17 et 7. 18 illustrent le dispositif expérimental utilisé pour la
mesure avec la TDS au-dessus de la surface plane parfaitement réfléchissante et des
surfaces convexe et concave recouvertes de feutrine.
figure 7. 16 : Dispositif expérimental pour la mesure avec la TDS au-dessus de la surface plane rigide.
figure 7. 17 : Mesu
figure 7. 18 : Mesu
o r
micrue feutrine
écran acoustiq- 218 -
re avec la TDS au-dessus de la surface co
re avec la TDS au-dessus de la surface co
tweete
nvexe recouverte de feutrine.
ncave recouverte de feutrine.
Chapitre 7 : Confrontation de Météo-BEM à des résultats expérimentaux
- 219 -
7.4.1 Mesures sur sol plan
Une première série de mesures a été réalisée au-dessus d'un sol plan d'abord
parfaitement réfléchissant puis absorbant. Ces mesures permettent de recaler les résultats et
de s'assurer du bon comportement du protocole expérimental.
Les cas (a) et (b) de la figure 7. 19 ont été choisis, car dans cette configuration
géométrique, ils font chacun apparaître des interférences très marquées. L'accord entre la
mesure et le calcul est bon, cependant un léger décalage apparaît à haute fréquence. Il peut
être dû soit au fait que la surface ne peut plus être considérée comme parfaitement
absorbante dans cette gamme de fréquences, le phénomène de couche limite déjà évoqué
dans les paragraphes précédents entrant alors en jeu, soit au fait que lorsque les
manipulations ont été effectuées, des problèmes pratiques ont émergé quant au
positionnement de la hauteur de la source et du récepteur, notamment à cause du fait que le
plateau de travail s'est avéré non rigoureusement plan et que la surface, constituée de la
plaque de polystyrène souple, se déformait légèrement lors de l'installation du microphone
et de la source, entraînant ainsi une erreur de positionnement. Notons que cette surface
s'est de plus déplacée quelque peu au fur et à mesure des expérimentations. Par ailleurs,
près du sol il apparaît difficile de trouver le positionnement exact de la source ponctuelle
équivalente utilisée dans les calculs. Cette source ponctuelle équivalente (ou le récepteur
équivalent dans la mesure par réciprocité) ne semble plus se trouver au centre de la
membrane du transducteur. C'est ainsi qu'en corrigeant les hauteurs d'une erreur de 4 ou 5
mm, l'accord obtenu dans la figure 7. 20 est meilleur.
La figure 7. 21 illustre également cette observation, dans le cas d'une source plus près
du sol. La figure 7. 22 montre, de même que la figure 7. 21, que les résultats sont moins
bons pour une source proche de la surface plane. Quoi qu'il en soit, ces résultats mettent en
lumière le fait que les résultats sont très sensibles à la variation de hauteur de la source et
du récepteur, variation qui se répercute sur l'angle d'incidence.
Chapitre 7 : Confrontation de Météo-BEM à des résultats expérimentaux
- 220 -
(a) (b)
Mesures TDS
Fonction de Green sol rigide
figure 7. 19 : Comparaison des résultats du calcul par la fonction de Green sur sol rigide (2D) aux mesuressur modèle réduit avec la TDS sur sol plan rigide. Distance source-récepteur d(S,R) = 1 m, hauteur de lasource zS = 0.2 m. (a) hauteur du récepteur zR = 0.10 m. (b) zR = 0.05 m.
(a) (b)
légende identique à celle de la figure 7. 19
figure 7. 20 : Comparaison des résultats du calcul par la fonction de Green sur sol rigide (2D) aux mesuressur modèle réduit avec la TDS sur sol plan rigide. Mêmes résultats de mesure que ci-dessus mais calcul avecles paramètres géométriques suivants : distance source-récepteur d(S,R) = 1 m. (a) hauteur de la source zS =0.205 m. hauteur du récepteur zR = 0.105 m. (b) zS = 0.204 m, zR = 0.054 m.
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Chapitre 7 : Confrontation de Météo-BEM à des résultats expérimentaux
- 221 -
(a) (b)
légende identique à celle de la figure 7. 19
figure 7. 21 : Comparaison des résultats du calcul par la fonction de Green sur sol rigide (2D) aux mesuressur modèle réduit avec la TDS sur sol plan rigide. Distance source-récepteur d(S,R) = 1.5 m, hauteur de lasource zS = 0.04 m, hauteur du récepteur zR = 0.10 m. Calcul : (a) zS = 0.04 m. (b) zS = 0.046 m.
(a) (b)
légende identique à celle de la figure 7. 19
figure 7. 22 : Comparaison des résultats du calcul par la fonction de Green sur sol rigide (2D) aux mesuressur modèle réduit avec la TDS sur sol plan rigide. (a) Distance source-récepteur d(S,R) = 2.5 m, hauteur de lasource zS = 0.04 m, hauteur du récepteur zR = 0.20 m. (b) d(S,R) = 1.5 m, hauteur de la source zS = 0.025 m,hauteur du récepteur zR = 0.20 m.
Après ces résultats sur sol plan rigide, on s'est attaché à étudier la même surface, mais
recouverte de la feutrine décrite ci-avant. L'analyse des caractéristiques de la feutrine a été
étudiée pour différentes positions de source et récepteur. Suivant la même approche que
Defrance [Defrance, 1996], le modèle de Delany et Bazley à un paramètre avec une
épaisseur infinie de matériau s'est avéré bien adapté pour décrire les mesures. La valeur
moyenne ainsi déterminée est σ = 2400 kPa s m-2 en échelle maquette, ce qui correspond à
120 kPa s m-2 en échelle fictive c'est-à-dire à un sol absorbant composé d'herbes hautes.
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Chapitre 7 : Confrontation de Météo-BEM à des résultats expérimentaux
- 222 -
(a) (b)
Mesures TDSFonction de Green sol absorbant
figure 7. 23 : Comparaison des résultats du calcul par la fonction de Green sur sol absorbant (2D) auxmesures sur modèle réduit avec la TDS sur sol plan absorbant. σ = 2400 cgs. Distance source-récepteurd(S,R) = 1 m, hauteur de la source zS = 0.2 m. (a) hauteur du récepteur zR = 0.10 m. (b) zR = 0.05 m.
(a) (b)
légende identique à celle de la figure 7. 23
figure 7. 24 : Comparaison des résultats du calcul par la fonction de Green sur sol absorbant (2D) auxmesures sur modèle réduit avec la TDS sur sol plan absorbant. σ = 2400 cgs. (a) Distance source-récepteurd(S,R) = 2.0 m, hauteur de la source zS = 0.04 m, hauteur du récepteur zR = 0.007 m. (b) d(S,R) = 1.5 m, hauteurde la source zS = 0.025 m, hauteur du récepteur zR = 0.20 m.
La figure 7. 23 présente les spectres comparés des mesures et du calcul par la fonction
de Green (2D) sur sol absorbant pour la valeur de σ = 2400 k Pa s m-2, dans la même
configuration géométrique que la figure 7. 19. On constate que la concordance entre
théorie et expérimentation est bonne, les interférences étant toutefois plus creusées dans le
cas de la mesure. Il se peut que cela provienne de la directivité de la source, non prise en
compte dans le calcul. Notons que dans le cas de la surface absorbante, les résultats sont
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Chapitre 7 : Confrontation de Météo-BEM à des résultats expérimentaux
- 223 -
moins sensibles à la moindre variation de hauteur de la source et du récepteur que leurs
homologues dans le cas de la surface rigide.
La figure 7. 24 montre les résultats obtenus pour deux positions de source proches du
sol. On peut remarquer que même si la tendance des mesures se retrouve dans le calcul, les
résultats sont cependant moins bons. Il se peut que cela provienne du fait que le modèle
simple d'impédance utilisé correspond moins à la réalité, pour de tels angles d'incidence.
Par ailleurs, lorsque l'on est très près du sol, l'interaction avec celui-ci est très forte et le
tweeter n'est alors peut-être plus équivalent à source ponctuelle. Mentionnons en outre
qu'un pic apparaît dans les mesures autour de 18000 Hz. Cet artefact de mesure n'a pu être
expliqué et réapparaît en fait dans toutes les acquisitions, ce qui limite le domaine de
validité des mesures à la plage de fréquences comprises entre 800 et 18000 Hz.
7.4.2 Mesures sur surface concave
La mesure sur la surface concave, de rayon de courbure Rc = 10.2 m, a été effectuée en
deux points récepteur, d'abord au-dessus de la surface concave parfaitement réfléchissante
puis au-dessus de la surface absorbante, sans écran puis avec écran acoustique.
La figure 7. 25 expose les résultats dans le cas de la surface parfaitement réfléchissante,
tandis que les mesures et le calcul par le modèle DOWNMOD (2D) pour la surface
absorbante sont montrés, pour la même configuration géométrique, dans la figure 7. 26.
Globalement, la concordance entre mesure et calcul est correcte. On peut noter, de même
que pour la surface plane, que les interférences sont nettement plus marquées dans les
résultats expérimentaux que dans les résultats du modèle. Ces derniers résultats subissent
par ailleurs quelques oscillations, notamment à haute fréquence, dues au nombre de modes
normaux entrant alors en jeu. On voit également apparaître le pic autour de 18000 Hz, que
l'on retrouve dans toutes les mesures, ainsi qu'on l'a souligné ci-dessus.
Chapitre 7 : Confrontation de Météo-BEM à des résultats expérimentaux
- 224 -
(a) (b)
Mesures TDSDOWNMOD (2D)
figure 7. 25 : Comparaison des résultats du calcul par le code de calcul DOWNMOD (2D) aux mesures surmodèle réduit avec la TDS sur la surface concave rigide, de rayon de courbure Rc = 10.2 m. Distance source-récepteur d(S,R) = 2 m, hauteur de la source zS = 0.04 m. (a) hauteur du récepteur zR = 0.007 m. (b) zR = 0.10 m.
(a) (b)légende identique à celle de la figure 7. 25
figure 7. 26 : Comparaison des résultats du calcul par le code de calcul DOWNMOD (2D) aux mesures surmodèle réduit avec la TDS sur la surface concave absorbante, de rayon de courbure Rc = 10.2 m. σ = 2400cgs. Distance source-récepteur d(S,R) = 2 m, hauteur de la source zS = 0.04 m. (a) hauteur du récepteur zR =0.007 m. (b) zR = 0.10 m.
Les mêmes mesures que pour figure 7. 25 et figure 7. 26 ont été effectuées, après avoir
installé l'écran acoustique parfaitement réfléchissant. Cet écran, de hauteur 0.1525 m, est le
même que celui qui a été déjà utilisé pour les mesures avec sources à jet d'air comprimé.
La figure 7. 27 compare les résultats de mesure à ceux du calcul par le modèle Météo-
BEM, pour la surface rigide. On constate que l'on retrouve bien les mêmes tendances.
Cependant un léger décalage en fréquence apparaît, qui peut être dû à des erreurs de
positionnement des hauteurs de la source et du récepteur, ainsi que cela a été montré dans
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Chapitre 7 : Confrontation de Météo-BEM à des résultats expérimentaux
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le cas de la surface plane. On peut remarquer également les oscillations apparaissant à
haute fréquence dans les résultats de calcul et qui sont imputables au modèle de modes
normaux DOWNMOD. En ce qui concerne la surface absorbante, on peut tirer les mêmes
conclusions de la figure 7. 28 avec en outre une remarque à propos de la modélisation de
l'absorption de la surface. En effet, là-aussi, le modèle simple d'impédance utilisé dans le
calcul n'est peut-être pas adapté au comportement réel en absorption du système feutrine +
surface, en particulier pour les incidences rasantes.
(a) (b)
Mesures TDSMétéo-BEM
figure 7. 27 : Comparaison des résultats du modèle Météo-BEM aux mesures sur modèle réduit avec laTDS, sur la surface concave rigide en présence d'un écran acoustique rigide. Rayon de courbure de lasurface Rc = 10.2 m. Hauteur de l'écran H = 0.1525 m, distance source-écran d(S,Γ) = 0.5 m, distance source-récepteur d(S,R) = 2.0 m, hauteur de la source zS = 0.04 m. (a) hauteur du récepteur zR = 0.007 m. (b) zR = 0.10m.
(a) (b)légende identique à celle de la figure 7. 27.
figure 7. 28 : Comparaison des résultats du modèle Météo-BEM aux mesures sur modèle réduit avec laTDS, sur la surface concave absorbante en présence d'un écran acoustique rigide.. Rayon de courbure de lasurface Rc = 10.2 m. σ = 2400 cgs. Hauteur de l'écran H = 0.1525 m, distance source-écran d(S,Γ) = 0.5 m,distance source-récepteur d(S,R) = 2.0 m, hauteur de la source zS = 0.04 m. (a) hauteur du récepteur zR = 0.007m. (b) zR = 0.10 m.
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Chapitre 7 : Confrontation de Météo-BEM à des résultats expérimentaux
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7.4.3 Mesures sur surface convexe
Une série de mesures a aussi été entreprise au-dessus de la surface convexe, de rayon de
courbure Rc = 5m. La figure 7. 29 et la figure 7. 30 comparent les résultats expérimentaux
aux résultats de calcul par le modèle mixte UPRES+UPGEOM, pour la surface
parfaitement réfléchissante, sans écran acoustique. L'accord entre la mesure et le calcul est
correct. On voit toujours apparaître le pic parasite autour de 18000 Hz, de même que pour
les surfaces plane et concave. Pour le cas (b) de la figure 7. 30 un autre pic peut être relevé
dans la mesure, qui n'a pas pu être expliqué. Notons que pour les deux figures, le passage
de la zone éclairée à la zone d'ombre se fait respectivement à la distance d(S,R) = 0.764 m
et d(S,R) = 0.896 m, pour les cas (a) et (b). Par conséquent, dans le calcul par le modèle
mixte, c'est la solution géométrique qui intervient pour la figure 7. 29, tandis que pour la
figure 7. 30, c'est la solution des résidus UPRES qui est utilisée.
La figure 7. 31 et la figure 7. 32 montrent les résultats correspondant à la figure 7. 29
et la figure 7. 30 dans le cas de la surface absorbante caractérisée par σ = 2400 k Pa s m-2.
La tendance observée pour la mesure se retrouve dans les calculs, avec toutefois un
décalage en fréquence qui peut provenir soit d'une erreur de positionnement des hauteurs
de la source et du récepteur, soit plus certainement du fait que le modèle simple
d'impédance utilisé dans le calcul n'est peut-être pas adapté au comportement réel en
absorption du système feutrine + surface, ou alors que la résistance au passage de l'air σ
ajustée pour le modèle de Delany-Bazley est sous-évaluée. La figure 7. 33 montre à cet
effet l'influence de ce paramètre sur les résultats de calcul et l'on peut constater que plus σ
est grand, ie plus le matériau est absorbant, plus l'interférence est décalée vers la droite. La
valeur σ = 5000 k Pa s m-2 permet alors d'obtenir dans ce cas de meilleurs résultats.
Chapitre 7 : Confrontation de Météo-BEM à des résultats expérimentaux
- 227 -
(a) (b)
Mesures TDSUPRES+UPGEOM (2D)
figure 7. 29 : Comparaison des résultats du calcul par le modèle mixte UPRES+UPGEOM (2D) auxmesures sur modèle réduit avec la TDS sur la surface convexe rigide sans écran acoustique, de rayon decourbure Rc = 5 m. (a) distance source-récepteur d(S,R) = 0.70 m, hauteur de la source zS = 0.04 m, hauteur durécepteur zR = 0.007 m. (b) d(S,R) = 2.05 m, zS = 0.007 m, zR = 0.025 m.
(a) (b)
légende identique à celle de la figure 7. 29.
figure 7. 30 : Comparaison des résultats du calcul par le modèle mixte UPRES+UPGEOM (2D) auxmesures sur modèle réduit avec la TDS sur la surface convexe rigide sans écran acoustique, de rayon decourbure Rc = 5 m. (a) distance source-récepteur d(S,R) = 3.40 m, hauteur de la source zS = 0.007 m, hauteur durécepteur zR = 0.025 m. (b) d(S,R) = 3.40 m, zS = 0.007 m, zR = 0.05 m.
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(a) (b)
légende identique à celle de la figure 7. 29.
figure 7. 31 : Comparaison des résultats du calcul par le modèle mixte UPRES+UPGEOM (2D) auxmesures sur modèle réduit avec la TDS sur la surface convexe absorbante sans écran acoustique, de rayonde courbure Rc = 5 m. σ = 2400 cgs. (a) distance source-récepteur d(S,R) = 0.70 m, hauteur de la source zS =0.04 m, hauteur du récepteur zR = 0.007 m. (b) d(S,R) = 2.05 m, zS = 0.007 m, zR = 0.025 m.
(a) (b)
légende identique à celle de la figure 7. 29.
figure 7. 32 : Comparaison des résultats du calcul par le modèle mixte UPRES+UPGEOM (2D) auxmesures sur modèle réduit avec la TDS sur la surface convexe absorbante sans écran acoustique, de rayonde courbure Rc = 5 m. σ = 2400 cgs. (a) distance source-récepteur d(S,R) = 3.40 m, hauteur de la source zS =0.007 m, hauteur du récepteur zR = 0.025 m. (b) d(S,R) = 3.40 m, zS = 0.007 m, zR = 0.05 m.
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Chapitre 7 : Confrontation de Météo-BEM à des résultats expérimentaux
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Mesures TDSUPRES+UPGEOM (2D)
sigma = 2400 cgsidem sigma = 5000 cgsidem sigma = 9000 cgs
figure 7. 33 : Comparaison entre les mesures sur modèle réduit avec la TDS sur la surface convexeabsorbante sans écran acoustique et le calcul par le modèle mixte UPRES+UPGEOM (2D) pourdifférentes valeurs de σ. Rayon de courbure de la surface Rc = 5 m. Distance source-récepteur d(S,R) = 075 m,hauteur de la source zS = 0.04 m, hauteur du récepteur zR = 0.007 m.
Pour finir, une série de mesures a été réalisée au-dessus de la surface convexe rigide en
présence d'un écran acoustique parfaitement réfléchissant. Les résultats du calcul par le
modèle Météo-BEM ne sont pas très bons, de même que lors des comparaisons avec les
mesures effectuées à l'aide des sources à jet d'air comprimé.
La figure 7. 34 et la figure 7. 35 donnent les résultats dans le cas où tout l'écran est
situé en zone d'ombre réfractive vis-à-vis de la source, c'est-à-dire que dans ce cas la
fonction de Green intervenant dans la BEM pour le calcul du second membre de l'équation
intégrale est basée sur la série des résidus UPRES, pour le domaine de propagation entre la
source et l'écran. En effet, la limite de la zone d'ombre par rapport à la source pour le point
situé en haut de l'écran se trouve à 1.49 m de la source. En revanche, en ce qui concerne le
domaine de propagation compris entre l'écran et le récepteur, dans les cas (a) et (b) de la
figure 7. 34 le point récepteur se situe en région éclairée vis-à-vis de l'écran tout entier
puisque la limite de la zone d'ombre pour un point situé au pied de l'écran se trouve à 0.499
m de l'écran, ce qui signifie que dans ce cas la fonction de Green repose sur le modèle
UPGEOM pour le calcul de l'intégrale représentant le champ diffracté. On constate que
dans le cas (a) le modèle Météo-BEM diverge, tandis que les résultats du cas (b)
concordent avec la mesure, hormis les problèmes que l'on a déjà rencontrés pour la mesure
au voisinage de 18000 Hz. Ceci peut s'expliquer par le fait que le modèle UPGEOM est
mis en défaut dans la configuration géométrique du cas (a), alors qu'il semblerait donner
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Chapitre 7 : Confrontation de Météo-BEM à des résultats expérimentaux
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des résultats corrects dans le cas (b). Notons que la figure 7. 29 (b) permet par
comparaison avec la figure 7. 34 (b) de prouver que l'écran acoustique a bien un effet pour
cette configuration géométrique.
Pour la figure 7. 35 (a), le point récepteur est situé en zone d'ombre réfractive vis-à-vis
de tout point situé sur l'écran. En effet, la limite de la zone d'ombre pour un point se
trouvant au sommet de l'écran, se situe alors dans ce cas à 1.72 m de l'écran. Donc pour
cette configuration géométrique, la fonction de Green repose sur le modèle UPRES pour le
calcul de l'intégrale représentant le champ diffracté. Pour la figure 7. 35 (b), la limite de la
zone d'ombre pour un point au sommet de l'écran est à 1.93 m donc au-delà du récepteur,
ce qui signifie que dans ce cas, pour les points situés en bas de l'écran, le récepteur est en
zone d'ombre, tandis que pour les points situés vers le haut de l'écran, le récepteur est alors
en zone éclairée. Par conséquent, le calcul de l'intégrale du champ diffracté nécessite le
recours à la solution mixte composée des modèles UPRES et UPGEOM, selon la position
du point courant sur l'écran. On peut observer que les résultats du modèle Météo-BEM sont
en bon accord avec les résultats expérimentaux. Mentionnons que les cas (a) et (b), avec
écran, de la figure 7. 35 correspondent aux cas (a) et (b), sans écran, de la figure 7. 30. On
constate que dans ce cas l'écran acoustique ne joue pas un rôle important. Ceci signifie que
le champ total (cf eq. 4- 6) est essentiellement dû au champ incident et que le terme
intégral représentant le champ diffracté est négligeable dans cette configuration.
Chapitre 7 : Confrontation de Météo-BEM à des résultats expérimentaux
- 231 -
(a) (b)
Mesures TDSMétéo-BEM
figure 7. 34 : Comparaison des résultats du modèle Météo-BEM aux mesures sur modèle réduit avec laTDS, sur la surface convexe rigide en présence d'un écran acoustique rigide. Rayon de courbure de lasurface Rc = 5 m. Hauteur de l'écran H = 0.1525 m, distance source-écran d(S,Γ) = 1.6 m, (a) distance source-récepteur d(S,R) = 1.9 m, hauteur de la source zS = 0.007 m, hauteur du récepteur zR = 0.025 m. (b) d(S,R) =2.05 m, zS = 0.007 m, zR = 0.025 m.
(a) (b)légende identique à celle de la figure 7. 34.
figure 7. 35 : Comparaison des résultats du modèle Météo-BEM aux mesures sur modèle réduit avec laTDS, sur la surface convexe rigide en présence d'un écran acoustique rigide. Rayon de courbure de lasurface Rc = 5 m. Hauteur de l'écran H = 0.1525 m, distance source-écran d(S,Γ) = 1.6 m, (a) distance source-récepteur d(S,R) = 3.4 m, hauteur de la source zS = 0.007 m, hauteur du récepteur zR = 0.025 m. (b) d(S,R) =3.40 m, zS = 0.007 m, zR = 0.05 m.
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Chapitre 7 : Confrontation de Météo-BEM à des résultats expérimentaux
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7.5 Conclusion
Le but de ce chapitre était de tester le code de calcul Météo-BEM développé au
chapitre 6, en le confrontant à des résultats expérimentaux. Une campagne de mesures a
donc été menée, en milieu contrôlé, au-dessus de surfaces courbées afin de simuler la
réfraction. Il ressort de ces confrontations que dans le cas de la réfraction vers le bas, les
résultats de Météo-BEM sont proches des résultats de mesure, de même que ceux fournis
par les codes de calcul DOWNMOD et UPRES utilisés dans la fonction de Green de
Météo-BEM. Dans le cas de la réfraction vers le haut, les résultats sont moins bons, ce qui
est dû sans doute au changement de modèle UPGEOM – UPRES, selon que l'on passe de
la région éclairée à la zone d'ombre, changement qui induit une discontinuité de la fonction
de Green et de sa dérivée. Cependant, quelques points de mesure, lors de l'expérimentation
par la TDS, ont permis de montrer que le nouveau modèle donne des résultats corrects, dès
lors que la fonction de Green repose sur la solution de la série des résidus UPRES. Ceci est
cohérent avec le cas de la réfraction vers le bas, puisque la série des résidus est le pendant
de la solution des modes normaux , pour la réfraction vers le haut. En revanche, le modèle
géométrique UPGEOM reste plus délicat, quant à son utilisation en tant que fonction de
Green, ce que les résultats du chapitre 5 pouvaient déjà laisser craindre.
Sur le plan de la campagne de mesures réalisée, plusieurs enseignements sont à tirer.
D'une part, la série de mesures menée grâce aux sources à jet d'air comprimé a donné de
bons résultats. Cependant le manque de puissance de ces sources ne permet pas de bien
mettre en évidence les interférences et les niveaux de pression dans les régions où l'énergie
est faible. De plus les caractéristiques de ces sources sont mal connues, notamment du
point de vue de leur directivité, et peu stables dans le temps, ce qui nécessite de moyenner
sur un grand nombre d'acquisitions les résultats de mesure. D'autre part, de bons résultats
ont été également obtenus en utilisant la méthode de la TDS, bien que dans le cas de points
trop proches du sol, ces résultats soient quelque peu plus "chahutés" que pour des points
plus élevés, où les interférences apparaissent plus nettement. En outre, notons pour finir
que dans les configurations étudiées, la mesure s'est révélée très sensible à la variation de
la hauteur de la source et du récepteur, surtout dans le cas des surfaces parfaitement
Chapitre 7 : Confrontation de Météo-BEM à des résultats expérimentaux
- 233 -
réfléchissantes. Pour les surfaces recouvertes de feutrine en revanche, l'absorption a
amoindri cette sensibilité.
Chapitre 7 : Confrontation de Météo-BEM à des résultats expérimentaux
- 234 -
- 235 -
Conclusion générale
L'objectif de ce travail était de montrer qu'il est possible d'introduire des effets
météorologiques dans une méthode d'éléments finis de frontière. Cet objectif a été atteint et
a abouti à l'élaboration d'un nouveau modèle : Météo-BEM.
La théorie des éléments finis de frontière a été rappelée dans un premier temps, puis la
formulation en potentiels de couche adoptée a été présentée, donnant naissance au code de
calcul BEMAS2D en milieu homogène. Ce modèle a été validé dans le cas d'un écran
droit, mince, rigide, successivement en milieu infini puis au-dessus d'un sol plan rigide
puis absorbant, en vue d'offrir une base rigoureuse pour pouvoir intégrer des effets
météorologiques.
Une étude critique sur les grands modèles propagatifs existants (méthodes de rayon,
Equation Parabolique, Fast Field Program et solutions analytiques) a été ensuite effectuée.
Chaque modèle, initialement développé pour une source sphérique, a été adapté au cas du
rayonnement cylindrique d'une source linéaire, en vue de pouvoir être utilisé comme
fonction de Green dans une méthode aux éléments finis de frontière 2D. A cet effet, on a
discuté de l'intérêt de chaque solution susceptible d'être adoptée en tant que fonction de
Green. Lorsque cela est possible, les formules donnant cette fonction de Green et ses
dérivées normales, qui interviennent dans une BEM, ont été développées à la fois pour une
source ponctuelle et une source linéique, afin de donner la possibilité de les utiliser dans
une méthode d'éléments finis de frontière 3D ou 2D. Finalement les solutions retenues sont
: la solution des modes normaux pour la réfraction vers le bas ; dans le cas de la réfraction
vers le haut, la solution de la série des résidus en zone d'ombre et de transition, et la
solution géométrique en zone éclairée. Chacun de ces modèles a donné naissance
respectivement à un code de calcul : DOWNMOD pour la réfraction vers le bas, UPRES et
UPGEOM pour la réfraction vers le haut.
Conclusion
- 236 -
Après validation des modèles choisis pour servir de fonction de Green à la BEM, le
nouveau modèle Météo-BEM a été développé. Le cas d'un écran droit mince rigide sur un
sol rigide puis absorbant, en situation de réfraction vers le bas puis vers le haut, a été
étudié. Le nouveau modèle a alors été confronté pour validation à des résultats numériques
et expérimentaux issus de la littérature.
Enfin, ces résultats ont été complétés dans le dernier chapitre par deux séries de mesures
sur modèle réduit, effectuées dans la salle des maquettes du CSTB sur trois types de
surfaces différentes, d'abord rigides puis absorbantes : une surface plane correspondant au
cas de la propagation acoustique en milieu homogène, une surface convexe pour le cas de
la réfraction vers le haut et une surface concave pour le cas de la réfraction vers le bas. La
première série de mesures a utilisé les sources de bruit de jet de compression de la salle des
maquettes. La seconde a été effectuée en recourant à la technique de la TDS.
Les résultats des comparaisons avec le calcul par Météo-BEM sont, de manière
générale, très bons dans le cas de la réfraction vers le bas. Dans le cas de la réfraction vers
le haut, les résultats suggèrent que le modèle peut diverger du fait du changement abrupt de
solution lorsque l'on passe de la région éclairée à la zone d'ombre, c'est-à-dire que la
fonction de Green repose respectivement sur la solution géométrique UPGEOM et sur la
solution de la série des résidus UPRES.
L'objectif que l'on s'était fixé a donc été atteint : on a prouvé qu'il est possible d'inclure
des effets météorologiques dans une méthode d'éléments finis de frontière. Il importe de
souligner que cette conclusion ne dépend pas du choix la formulation indirecte suivie dans
ce travail, mais peut être appliquée à n'importe quel type de BEM présentée au chapitre 2.
De même, les configurations étudiées en guise d'illustration, qu'elles soient bi- ou
tridimensionnelles, ne sont pas une limite et les applications de la méthode des éléments
finis de frontière présentées à la fin du chapitre 2 offrent autant de perspectives à ce travail.
La fonction de Green choisie dans cette étude, dans chaque cas de réfraction, pour prendre
en compte des effets météorologiques ne restreint pas non plus la généralité des résultats
aux seuls cas de profils linéaires, hypothèses sous lesquelles ont été construites les
solutions utilisées pour la fonction de Green dans la BEM. A cet effet, les formules
donnant la fonction de Green et ses dérivées normales basées sur chaque modèle propagatif
dans les cas de sources ponctuelles ou cylindriques, ont été données au chapitre 4, afin de
permettre d'insérer d'autres solutions dans une BEM 3D ou 2D.
Conclusion
- 237 -
De nombreuses perspectives se présentent de manière naturelle, à la suite de ce travail.
Tout d'abord, les modèles développés pourraient être améliorés sur le plan du temps de
calcul nécessaire, en recourant notamment à des techniques récentes de calcul, de stockage
et d'interpolation fréquentielle pour le calcul sur une gamme de fréquences étendue,
techniques présentées dans le chapitre 2. Le modèle d'éléments finis de frontière doit aussi
être généralisé à des cas d'écrans acoustiques de propriétés d'absorption et de géométrie
quelconques. Les cas des écrans épais, des écrans parallèles, des buttes, ou encore de
topographies accidentées restent à étudier en incluant l'influence des paramètres
météorologiques. Les formes diffractantes complexes que l'on peut trouver aujourd'hui au
sommet des écrans doivent également faire l'objet d'investigations plus poussées prenant en
compte les effets météorologiques. Le modèle Météo-BEM doit également être appliqué au
problème de la discontinuité d'impédance. Enfin, toutes les applications présentées au
paragraphe 2.7, de même que les possibilités d'extension à des cas tridimensionnels
évoquées au paragraphe 2.6.6, sont susceptibles d'être étudiées en milieu inhomogène avec
cette nouvelle approche. Pour finir, il serait intéressant de chercher ensuite à intégrer des
effets météorologiques dans le cas où les propriétés du milieu varient avec la portée en
s'appuyant par exemple sur une solution de type équation parabolique pour la fonction de
Green en milieu inhomogène. Les phénomènes de turbulence et de réfraction due à un
gradient de vent restent également délicats à prendre en compte et nécessitent des
développements futurs plus poussés.
Conclusion
- 238 -
- 239 -
Références Bibliographiques
M. Abramowitz et I. A. Stegun. Handbook of mathematical functions. 9th edition. NewYork : Dover Publications, 1972. 1046 p.
K. Aki et P. G. Richards. Quantitative Seismology : Theory and Methods. vol. 1. SanFrancisco : W.H. Freeman. 1980. 557 p.
M. Almgren . Acoustic boundary layer influence on scale model simulation of soundpropagation : experimental verification. Journal of Sound and Vibration, 1986, vol. 110, n° 2,p. 247-259.
M. Almgren . Acoustic boundary layer influence on scale model simulation of soundpropagation : theory and numerical examples. Journal of Sound and Vibration, 1986, vol.105, n° 2, p. 321-337.
M. Almgren . Simulation by using a curved ground scale model of outdoor sound propagationunder the influence of a constant sound speed gradient. Journal of Sound and Vibration, 1987,vol. 118, n° 2, p. 353-370.
H. Amini, C. Ke et P. J. Harris. Iterative Solution of Boundary Element Equations for theExterior Helmholtz problem. Journal of Vibration and Acoustics, 1990, vol. 112, p 257-262.
S. Amini et P. J. Harris. A comparison between various boundary integral formulations ofthe exterior acoustic problem. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering,1990, vol. 84, p. 59-75.
S. Amini et S. M. Kirkup . Solution of Helmholtz equation in the exterior domain byelementary boundary integral methods. Journal of computational Physics, 1995, vol. 118, p.208-221.
S. Amini et W. T. Wilton. An investigation of boundary element methods for the exterioracoustic problem. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 1986, vol. 54,p. 49-65.
F. Anfosso-Lédée et P. Dangla. Modélisation numérique du fonctionnement des écransantibruit routiers dans leur environnement. Bulletin des Laboratoires des Ponts et Chaussées,1996, vol. 203, p. 45-54.
- 240 -
F. Anfosso-Lédée, P. Dangla et P. Harlicot. Numerical prediction of the efficiency ofantinoise barriers. In Euronoise 95, Lyon, 1995. p. 257-262.
J. J. Angelini et P. M. Hutin. Problème extérieur de Neumann pour l'équation de Helmholtz.La difficulté des fréquences irrégulières. Journal de la recherche aérospatiale, 1983, vol. 3, p.187-196.
Anonymous. Advanced Sound Propagation in the Atmosphere. University : University ofMississippi, 1991, non paginé, rapport interne.
N. Atalla, G. Winckelmans et F. Sgard. A Multiple Multipole Expansion Approach forPredicting the Sound Power of Vibrating Structures. Acustica-acta acustica, 1999, vol. 85, p.47-53.
K. Attenborough. Acoustical impedance models for outdoor ground surfaces. Journal ofSound and Vibration, 1985, vol. 99, p. 501-544.
K. Attenborough. Review of Ground Effects on Outdoor Sound Propagation fromContinuous Broadband Sources. Applied Acoustics, 1988, vol. 24, p. 289-319.
K. Attenborough. Ground parameter information for propagation modelling. Journal of theAcoustical Society of America, 1992, vol. 92, p. 418-427.
K. Attenborough, S. I. Hayek et J. M. Lawther. Propagation of sound above a porous half-space. Journal of the Acoustical Society of America, 1980, vol. 68, p. 1493-1501.
K. Attenborough, S. Taherzadeh, H. E. Bass, X. Di, R. Raspet, G. R. Becker, A.Güdesen, A. Chrestman, G. A. Daigle, A. L'Espérance, Y. Gabillet, K. E. Gilbert, Y. L.Li, M. J. White, P. Naz, J. M. Noble et H. A. J. M. van Hoof. Benchmark cases for outdoorsound propagation models. Journal of the Acoustical Society of America, 1995, vol. 97, n° 1,p. 173-191.
A. Bamberger, B. Engquist, L. Halpern et P. Joly. Higher order parabolic wave equationapproximations in heterogeneous media. SIAM J. Appl. Math., 1988, vol. 48, p. 129-154.
N. Barriere et Y. Gabillet. Sound Propagation Over a Barrier with Realistic Wind Gradients.Comparison of Wind Tunnel Experiments with GFPE Computations. Acustica united withacta acustica, 1999. vol 85, n° 3, p 325.
H. E. Bass, L. C. Sutherland, A. J. Zuckerwar, D. T. Blackstock et D. M. Hester.Atmospheric absorption of sound : further developments. Journal of the Acoustical Society ofAmerica, 1995, vol. 97, n° 1, p. 680-683.
H. Bateman et Erdelyi A Tables of Integral transforms. New-York : Mc Graw-Hill, 1954,non paginé
M. Bérengier, G. Daigle et A. Berry. Etude du champ acoustique en présence d'unediscontinuité d'impédance et d'un effet de gradient de vitesse du son. Sans lieu : LaboratoireCentral des Ponts et Chaussées, 1989, 64 p., rapport de recherche LPC n° 155.
A. Berry . Etude de la propagation du son sur les surfaces courbées. Sherbrooke, Québec :Université de Sherbrooke, 1987, 159 p.
- 241 -
A. Berry et G. Daigle. Controlled experiments on the diffraction of sound by a curvedsurface. Journal of the Acoustical Society of America, 1988, vol. 83, n° 6, p. 2059-2068.
Y. H. Berthelot. A note on the acoustic penumbra behind a curved surface. Journal of theAcoustical Society of America, 1996, vol. 99, p. 2428-2429.
M. Bonnet. Equations intégrales et éléments de frontière : applications en mécanique dessolides et des fluides. Paris : CNRS Editions, Eyrolles, 1995, 316 p.
J. J. Bowman, T. B. A. Senior et P. L. E. Uslenghi. Electromagnetic and AcousticScattering by Simple Shapes. New York : Hemisphere Pub. Corp. 1987. 728 p.
A. Brandt . Multilevel computations of integral transforms and particle interactions withoscillatory kernels. Computer Physics Communications, 1991, vol. 64, p. 659-667.
C. A. Brebbia et R. Butterfield. The formal equivalence of the direct and indirect boundaryelement method. Applied Mathematical Modelling, 1978, vol. 2, n° 2.
L. M. Brekhovskikh et O. A. Godin. Acoustics of Layered Media I. Berlin : Springer-Verlag, 1992. 240 p.
L. M. Brekhovskikh et O. A. Godin. Acoustics of Layered Media II. Berlin : Springer-Verlag, 1992. 395 p.
M. J. Buckingham. Ocean-acoustic propagation models. Journal d'Acoustique, 1992, vol. 5,n° 3, p. 223-287.
A. J. Burton et G. F. Miller . The application of integral equation methods to the numericalsolution of some exterior boundary-value problems. In Royal Society London, London, 1971.vol 323 A, p. 201-210.
F. X. Canning. Improved impedance matrix localization method. IEEE Transactions onAntennas and Propagation, 1993, vol. 41, n° 5, p. 659-667.
V. Cerveny, M. M. Popov et I. Psencik. Computation of wave fields in inhomogeneousmedia-Gaussian beam approach. Geophys. J. R. Astron. Soc., 1982, vol. 70, n° p. 109-128.
S. Chandler-Wilde. Sound propagation above an inhomogeneous impedance plane. Journalof Sound and Vibration, 1985, vol. 98, n° 4, p. 475-491.
S. Chandler-Wilde et D. C. Hothersall. Efficient calculation of the Green function foracoustic propagation above a homogeneous impedance plane. Journal of Sound andVibration, 1995a, vol. 180, n° 5, p. 705-724.
S. Chandler-Wilde et D. C. Hothersall. A uniformly valid far field asymptotic expansion ofthe Green function for two-dimensional propagation above a homogeneous impedance plane.Journal of Sound and Vibration, 1995b, vol. 182, n° 5, p. 665-675.
S. N. Chandler-Wilde. Ground effects in environmental sound propagation. Ph. D. Thesis :University of Bradford, 1988. 608 p.
- 242 -
S. N. Chandler-Wilde, D. C. Hothersall, D. H. Crombie et A. T. Peplow. Efficiency of anAcoustic Screen in the Presence of an Absorbing Boundary. In Rencontres Scientifiques duCinquantenaire: Ondes Acoustiques et Vibratoires, Interactions Fluide-Structures Vibrantes,Publication du Laboratoire de Mécanique et d'Acoustique, CNRS, Marseille, 1991, n°126,p. 73-90.
C. I. Chessell. Propagation of the noise along a finite impedance boundary. Journal of theAcoustical Society of America, 1977, vol. 62, p. 825-834.
C. F. Chien et W. W. Soroka. Sound propagation along an impedance plane. Journal of theAcoustical Society of America, 1975, vol. 43, p. 9-20.
C. F. Chien et W. W. Soroka. A note on the calculation of sound propagation along animpedance surface. Journal of Sound and Vibration, 1980, vol. 69, p. 340-343.
P. G. Ciarlet. Analyse numérique matricielle et optimisation. Paris : Masson, 1982. 279 p.
R. D. Ciskowski et C. A. Brebbia. Boundary Element Methods in Acoustics. London :Elsevier Applied Science, 1991. 290 p.
J. F. Claerbout. Fundamentals of Geophysical Data Processing : with applications topetroleum prospecting. New-York : McGrawHill, 1976. 206 p.
M. Collins. Application and time domain solution of higher-order parabolics equations inunderwater acoustics. Journal of the Acoustical Society of America, 1989, vol. 86, p. 1097-1102.
M. Collins et R. Evans. A two-way parabolic equation for acoustic backscattering in theocean. Journal of the Acoustical Society of America, 1992, vol. 91, p. 1357-1368.
J. C. Craddock et M. J. White. Propagation of acoustic waves past an impedancediscontinuity : a parabolic equation approach. Journal of the Acoustical Society of America,1992, vol. 91, p. 3184-3191.
L. Cremers et K. R. Fyfe. On the use of variable order infinite wave envelope elements foracoustic radiation and scattering. Journal of the Acoustical Society of America, 1995, vol. 97,n° 4, p. 2028-2040.
D. H. Crombie, A. T. Peplow et S. N. Chandler-Wilde. Multiple road traffic noise barriers.In Proceedings of the Institute of Acoustics, 1991. vol 143, Part 1, p. 27-34
G. Daigle. Effects of atmospheric turbulence on the interface of sound waves above a finiteimpedance boundary. Journal of the Acoustical Society of America, 1979, vol. 65, p. 45-49.
G. Daigle, J. E. Piercy et T. F. W. Embleton. Effects of atmospheric turbulence on theinterference of sound waves near a hard boundary. Journal of the Acoustical Society ofAmerica, 1978, vol. 64, n° 2, p. 622-630.
G. A. Daigle. Diffraction of sound by a noise barrier in the presence of atmosphericturbulence. Journal of the Acoustical Society of America, 1982, vol. 71, n° 4, p. 947-854.
- 243 -
A. Daumas. Etude de la diffraction par un écran mince disposé sur le sol. Acustica, 1978, vol.40, p. 213-222.
R. De Jong et E. Stusnick. Scale model studies of the effects of wind on acoustic barrierperformance. Noise Control Engineering, 1976, vol. 6, n° 3, p. 101-109.
A. de La Bourdonnaye. High frequency approximation of integral equations modelingscattering phenomena. Modélisation Mathématique et Analyse Numérique, 1994, vol. 28, n°2, p. 223-241.
L. A. De Lacerda, L. C. Wrobel et W. J. Mansur. A dual boundary element formulation forsound propagation around barriers over an impedance plane. Journal of Sound and Vibration,1997, vol. 202, n° 2, p. 235-247.
L. A. De Lacerda, L. C. Wrobel, H. Power et W. J. Mansur. A novel boundary integralformulation for three-dimensional nalaysis of thin acousti barriers over an impedance plane.Journal of the Acoustical Society of America, 1998, vol. 104, n° 2, p. 671-678.
J. A. De Santo. Relation between the solutions of the Helmholtz and parabolic equations forsound propagation. Journal of the Acoustical Society of America, 1977, vol. 58, n° 6, p. 295-297.
J. Defrance. Méthode analytique pour le calcul de propagation de bruit extérieur. Thèse dedoctorat : Acoustique, Université du Maine, 1996. 190 p.
M. E. Delany. Sound Propagation in the Atmosphere : A Historical Review. Acustica, 1977,vol. 38, p. 201-223.
M. E. Delany et E. N. Bazley. Acoustical properties of fibrous absorbent materials. Appl.Acoust., 1970, vol. 3, p. 105-116.
M. E. Delany et E. N. Bazley. Monopole radiation in presence of an absorbing plane. Journalof Sound and Vibration, 1970, vol. 13, p. 269-279.
Y. Delrieux. Analyse de la propagation acoustique à basse altitude par l'équationparabolique tridimensionnelle. Ph. D. : Acoustique, Ecole Centrale, 1991. 178 p.
F. R. Di Napoli et R. L. Deavenport. Theoretical and numerical Green's function solution ina plane layered medium. Journal of the Acoustical Society of America, 1980, vol. 67, p. 92-105.
X. Di et K. Gilbert . An exact Laplace transform formulation for a point source above theground. Journal of the Acoustical Society of America, 1993, vol. 93, p. 714-720.
X. Di et K. E. Gilbert . The effect of turbulence and irregular terrain on outdoor soundpropagation. In 6th International Symposium on Long Range Sound Propagation, Ottawa,Canada, 1994. vol 1, p. 514.
G. D. Dockery. Modeling electromagnetic wave propagation in the troposphere using theparabolic equation. IEEE Trans. Antennas Propag., 1988, vol. 36, n° 10, p. 1464-1470.
- 244 -
R. J. Donato. Propagation of a spherical wave near a plane boundary with a compleximpedance. Journal of the Acoustical Society of America, 1976, vol. 60, p. 34-35.
D. Duhamel. Efficient calculation of the three-dimensional sound pressure field around anoise barrier. Journal of Sound and Vibration, 1996, vol. 197, n° 5, p. 547-571.
D. Duhamel et S. Sergent. Sound propagation over noise barriers with absorbing ground.Journal of Sound and Vibration, 1998, vol. 218, n° 5, p. 799-823.
A. J. Dyer. A review of flux profile relationships. Boundary Layer Meteorol., 1974, vol. 7, p.362-372.
T. F. W. Embleton. Analogies between nonflat ground and nonuniform meteorologicalprofiles in outdoor sound propagation. Journal of the Acoustical Society of America, 1985,vol. 78, n° 1, p. S86.
T. F. W. Embleton. Tutorial on sound propagation outdoors. Journal of the AcousticalSociety of America, 1996, vol. 100, n° 1, p. 31-48.
T. F. W. Embleton, J. E. Piercy et G. A. Daigle. Effective flow resistivity of groundsurfaces determined by acoustical measurements. Journal of the Acoustical Society ofAmerica, 1983, vol. 74, n° 1, p. 1239-1244.
T. F. W. Embleton, J. E. Piercy et N. Olson. Outdoor sound propagation over ground offinite impedance. Journal of the Acoustical Society of America, 1976, vol. 59, p. 267-277.
P. Filippi . Diffration et potentiels de multicouches. Acustica, 1972, vol. 26, p. 323-328.
P. Filippi et G. Dumery. Etude Théorique et Numérique de la Diffraction par un EcranMince. Acustica, 1969, vol. 21, p. 343-350.
P. J. T. Filippi. Layer potentials and acoustic diffraction. Journal of Sound and Vibration,1977, vol. 54, n° 4, p. 473-500.
P. J. T. Filippi. Extended sources radiation and Laplace type integral representation :application to wave propagation above and within layered media. Journal of Sound andVibration, 1983, vol. 91, n° 1, p. 65-84.
P. J. T. Filippi. Theoretical acoustics and numerical techniques. Wien : Springer Verlag,1983. 348 p.
P. J. T. Filippi. Acoustique générale. Les Ulis : Les Editions de Physique, 1994. 371 p.
P. J. T. Filippi. Boundary Element Methods in Acoustics and Vibrations : some non-classicalapplications. In Euronoise 95, Lyon, 1995. p. 373-382.
P. J. T. Filippi et D. Habault. Reflexion of a spherical wave by the plane interface between aperfect fluid and an porous medium. Journal of Sound and Vibration, 1978, vol. 56, p. 97-103.
J. Forssen. Calculation of sound reduction by a screen in a turbulent atmosphere using theparabolic equation method. Acustica - acta acustica, 1998, vol. 84, n° 4, p. 599-606.
- 245 -
S. J. Franke et G. W. Swenson. A brief tutorial on the Fast Field Program applied to SoundPropagation in the Air. Applied Acoustics, 1989, vol. 27, n° 3, p. 203-206.
L. N. Frazer et J. F. Gettrust. On the generalization of Filon's method and the computationof oscillatory integrals of seismology. Geophys. J. R. Astr. Soc., 1984, vol. 76, p. 461-481.
Y. Gabillet, F. Bonfil, A. L'Espérance et J. Colard. Traffic noise propagation under theinfluence of wind and temperature gradients. In Internoise 93, Leuven, 1993. p. 1739-1749.
Y. Gabillet, G. A. Daigle et A. L'Espérance. Sound Propagation in a Wind Tunnel :Comparison of Experiments with FFP and Residue Solution. Applied Acoustics, 1994, vol. 43,p. 321-331.
Y. Gabillet, H. Schroeder, G. A. Daigle et A. L'Espérance. Application de la méthode desommation de faisceaux gaussiens au calcul du champ sonore diffracté par un écran enatmosphère inhomogène. Journal de Physique IV. Colloque, 1992, vol. 2, n° 1, p. C1.553-C1.556.
Y. Gabillet, H. Schroeder, G. A. Daigle et A. L'Espérance. Application of the Gaussianbeam approach to sound propagation in the atmosphere : Theory and experiments. Journal ofthe Acoustical Society of America, 1993, vol. 93, p. 3105-3116.
M. Galindo Arranz . The parabolic equation method for outdoor sound propagation. Ph. D. :Acoustic Technology, Technical University of Denmark, 1996. 163 p.
R. Geiger. The climate near the ground. Cambridge, Masachussetts : Harvard UniversityPress, 1965, 611 p.
K. E. Gilbert et X. Di . A Fast Green's function method for one-way sound propagation in theatmosphere. Journal of the Acoustical Society of America, 1992, vol. 93, p. 714-720.
K. E. Gilbert, R. Raspet et X. Di. Calculation of turbulence effects in an upward refractingatmosphere. Journal of the Acoustical Society of America, 1990, vol. 87, p. 2428-2437.
K. E. Gilbert et M. J. White . Application of the parabolic equation to sound propagation in arefracting atmosphere. Journal of the Acoustical Society of America, 1989, vol. 85, p. 630-637.
C. Granat, M. Ben Tahar et T. Ha-Duong. Variational formulation using integral equationsto solve sound scattering above an absorbing plane. Journal of the Acoustical Society ofAmerica, 1999, vol. 105, n° 5, p. 2557-2564.
J. J. Grannell, J. J. Shirron et L. S. Couchman. A hierarchic p-version boundary-elementmethod for axisymmetric acoustic scattering and radiation. Journal of the Acoustical Societyof America, 1994, vol. 95, n° 5, p. 2320-2329.
L. J. Gray, L. F. Martha et A. R. Ingraffea. Hypersingular integrals in boundary elementfracture analysis. International journal of numerical methods in engineering, 1990, vol. 29, p.1135-1158.
R. R. Greene. The rational approximation to the acoustic wave equation with bottominteraction. Journal of the Acoustical Society of America, 1984, vol. 76, p. 1764-1773.
- 246 -
A. Güdesen. Application of the SAFARI model to the sound propagation in the atmosphere.Journal of the Acoustical Society of America, 1990, vol. 87, p. 1968-1974.
M. Guiggiani. The evaluation of Cauchy principal value integrals in the boundary elementmethod - a review. Math. Comput. Modelling, 1991, vol. 15, p. 175-184.
M. Guiggiani et P. Casalini. Direct computation of Cauchy principal value integrals inadvanced boundary elements. International Journal for Numerical Methods in Engineering,1987, vol. 24, p. 1711-1720.
D. Habault. Sound propagation above an inhomogeneous plane : boundary integral equationmethods. Journal of Sound and Vibration, 1985, vol. 100, n° 1, p. 55-67.
D. Habault. Propagation d'ondes dans un sol stratifié avec obstacle. Journal de Physique .Colloques, 1990. n°3, p. C3.83-C3.89
D. M. L. Habault . Some aspects of "boundary integral equation methods in acoustics". In15th International Congress on Acoustics, Trondheim, Norway, 1995. vol p. 61-64.
D. Habault. Etude de l'influence des sols sur la propagation sonore. Thèse de doctorat :Université de Provence - Aix Marseille I, 1984. 170 p.
J. Hadamard. Lectures on Cauchy's Problem in Linear Partial Differential Equations. NewHaven, CT : Yale University Press, 1923. 316 p.
M. A. Hamdi . Formulation variationnelle par équations intégrales pour le calcul de champsacoustiques linéaires proches et lointains. Thèse de doctorat d'état : Université de technologiede Compiègne, 1982, 213 p.
D. C. Hothersall, S. N. Chandler-Wilde et M. N. Hajmirzae. Efficiency of single noisebarriers. Journal of Sound and Vibration, 1991a, vol. 146, n° 2, p. 303-322.
D. C. Hothersall, D. H. Crombie et S. N. Chandler-Wilde. The performance of T-profileand associated noise barriers. Applied Acoustics, 1991b, vol. 32, p. 269-287.
D. C. Hothersall, K. V. Horoshenkov et S. E. Mery. Numerical modelling of the soundfield near a tall building with balconies near a road. Journal of Sound and Vibration, 1996,vol. 198, n° 4, p. 507-515.
D. C. Hothersall et S. A. Tomlinson. Effects of high-sided vehicles on the performance ofnoise barriers. Journal of the Acoustical Society of America, 1997, vol. 102, n° 2, p. 998-1003.
Q. Huang et T. A. Cruse. Some notes on singular integral techniques in boundary elementanalysis. International journal for numerical methods in engineering, 1993, vol. 36, p. 2643-2659.
U. Ingard. On the reflection of a spherical sound wave from an infinite plane. Journal of theAcoustical Society of America, 1951, vol. 23, p. 329-335.
T. Isei, T. F. W. Embleton et J. E. Piercy. Noise reduction by barriers on finite impedanceground. Journal of the Acoustical Society of America, 1980, vol. 67, n° 1, p. 46-58.
- 247 -
R. M. James. A contribution to scattering calculation for small wavelengths-the highfrequency panel method. IEEE Transactions on Antennas and Propagation, 1990, vol. 38, n°10, p. 1625-1630.
P. Jean. A variational approach for the study of outdoor sound propagation and application torailway noise. Journal of Sound and Vibration, 1998, vol. 212, n° 2, p. 275-294.
P. Jean et Y. Gabillet. A boundary element method program to study 2D noise barriers withground effects. In Euronoise 95, Lyon, 1995. p. 251-256.
S. K. Jeng et C. H. Liu. Wave propagation in media with three-dimensional quadraticrefractive index profile. Journal of the Acoustical Society of America, 1987, vol. 81, n° 6, p.1732-1740.
F. B. Jensen, W. A. Kuperman, M. B. Porter et H. Schmidt. Computational oceanacoustics. New-York : AIP Press, 1994. 612 p.
D. S. Jones. Integral equations for the exterior acoustic problem. Q. J. Mech. Appl. Math.,1974, vol. 27, n° 1, p. 129-142.
P. Juhl. A numerical study of the coefficient matrix of the boundary element method nearcharacteristic frequencies. Journal of Sound and Vibration, 1994, vol. 175, n° 1, p. 39-50.
P. Juhl. An introductory study of the convergence of the direct boundary element method. In5th International Congress on Sound and Vibration, Adelaide, South Australia, 1997. p. 825-832.
P. Juhl. A note on the convergence of the direct collocation boundary element method.Journal of Sound and Vibration, 1998, vol. 212, n° 4, p. 703-719.
D. Juvé. Simulations numériques de la propagation du son dans l'atmosphère. Journal dePhysique IV. Colloques , 1992, vol. 2, p. C1.537-C1.544.
D. Juvé et P. Blanc-Benon. Comparaison de trois équations paraboliques résolues parl'algorithme split step Fourier. J. Acoustique, 1988, vol. 1, p. 15-21.
J. H. Kane, D. E. Keyes et K. Guru Prasad. Iterative solution techniques in boundaryelement analysis. Int. J. Num. Meth. in Eng., 1991, vol. 31, p. 1511-1536.
T. Kawai, T. Hidaka et T. Nakajima. Sound propagation above an impedance boundary.Journal of Sound and Vibration, 1982, vol. 83, p. 125-138.
Y. Kawai et T. Terai. The Application of Integral Equation Methods to the Calculation ofSound Attenuation by Barriers. Applied Acoustics, 1990, vol. 31, p. 101-117.
J. B. Keller. Geometrical theory of diffraction. J. Opt. Soc. Am., 1962, vol. 52, p. 233.
S. M. Kirkup et D. J. Henwood. Computational solution of acoustic radiation problems byKussmaul's boundary element method. Journal of Sound and Vibration, 1992, vol. 158, n° 2,p. 293-305.
- 248 -
R. E. Kleinman et G. F. Roach. Boundary integral equations for the three-dimensionalHelmholtz equation. Society for Industrial and Applied Mathematics Review, 1974, vol. 16, n°2, p. 214-236.
G. Krishnasamy, L. W. Schmerr, T. J. Rudolphi et F. J. Rizzo. Hypersingular boundaryintegral equations : some applications in acoustic and elastic wave scattering. A.S.M.E. J. App.Mech, 1990, vol. 57, p. 404-414.
V. D. Kupradze. Potential methods in the Theory of Elasticity. Jerusalem : Israel Programmfor Scientific Translations, 1965. 339 p.
H. R. Kutt. The numerical evaluation of principal value integrals by finite-part integration.Numer. Math., 1975, vol. 24, p. 205-210.
J. G. Lachat et J. O. Watson. Effective numerical treatment of boundary integral equations :a formulation for three-dimensional elastostatics. International Journal for NumericalMethods in Engineering, 1976, vol. 10, p. 991-1005.
M. H. Lean et A. Wexler. Accurate numerical integration of singular boundary elementkernels over boundaries with curvature. International Journal for Numerical Methods inEngineering, 1985, vol. 21, p. 211-228.
C. Lecomte. Fast FRF prediction technique based on BEM and Padé approximations. InInternoise 98, Christchurch, 1998. [CD-Rom] n°226.
S. W. Lee, N. Bong, W. F. Richards et R. Raspet. Impedance formulation of the fast fieldprogram for acoustic wave propagation in the atmosphere. Journal of the Acoustical Societyof America, 1986, vol. 79, p. 628-634.
A. L'Espérance. Modélisation de la propagation des ondes sonores dans un environnementnaturel complexe. Thèse de doctorat : Génie mécanique, Université de Sherbrooke, 1992. 216p.
A. L'Espérance, P. Herzog, G. A. Daigle et J. Nicolas. Heuristic model for outdoor soundpropagation based on an extension of the geometrical ray theory in the case of a linear soundspeed profile. Applied Acoustics, 1992, vol. 37, p. 111-139.
K. M. Li et Q. Wang. Analytical solutions for outdoor sound propagation in the presence ofwind. Journal of the Acoustical Society of America, 1997, vol. 102, n° 4, p. 2040-2049.
K. M. Li et Q. Wang. A BEM approach to assess the acoustic performance of noise barriersin a refracting atmosphere. Journal of Sound and Vibration, 1998, vol. 211, n° 4, p. 663-681.
K. M. Li et Q. Wang. The Diffraction of Sound in a Stratified Moving Atmosphere Above anImpedance Plane. Acustica - acta acustica, 1998, vol. 84, p. 607-615.
K. M. Li et Q. Wang. Sound propagation over concave surfaces. Journal of the AcousticalSociety of America, 1999, vol. 106, n° 5, p. 2358-2366.
K. M. Li, Q. Wang et K. Attenborough. Sound propagation over convex impedancesurfaces. Journal of the Acoustical Society of America, 1998, vol. 104, n° 5, p. 2683-2691.
- 249 -
Y. L. Li. Efficient computation of sound field above ground in horizontally stratified mediausing a Wentzel-Kramers-Brillouin-type approximation with Airy functions. Journal of theAcoustical Society of America, 1995, vol. 98, n° 6, p. 3405-3411.
Y. L. Li, S. J. Franke et C. H. Liu. Numerical implementation of an adaptive fast-fieldprogram for sound propagation in layered media using the chirp z transform. Journal of theAcoustical Society of America, 1991, vol. 89, p. 2068-2075.
Y. L. Li, S. J. Franke et C. H. Liu. Wave scattering from a ground with a Gaussian bump ortrough in an inhomogeneous medium. Journal of the Acoustical Society of America, 1993,vol. 94, n° 2, p. 1067-1075.
Y. L. Li et M. J. White . A note on using the fast field program. Journal of the AcousticalSociety of America, 1994, vol. 95, n° 6, p. 3100-3102.
Y. L. Li, M. J. White et J. Tai . An improved approximation for wave propagation above animpedance ground in a medium with a linear sound-speed profile. Journal of the AcousticalSociety of America, 1997, vol. 102, n° 2, p. 1231-1234.
P. A. Martin et F. J. Rizzo. On the Boundary Integral Equations for Crack Problems. In Roy.Soc. London, 1989. vol A 421, p. 341-355.
A. W. Maue. Zur formulierung eines allgemeinen Beugungsproblems durch eineIntegralgleichung. Z. Phys., 1949, vol. 126, p. 601-618.
W. L. Meyer, W. A. Bell, M. P. Stallybrass et B. T. Zinn. Prediction of the sound fieldradiated from axisymmetric surfaces. Journal of the Acoustical Society of America, 1979, vol.65, n° 3, p. 631-638.
W. L. Meyer, W. A. Bell et B. T. Zinn. Boundary integral solutions of three dimensionalacoustic radiation problems. Journal of Sound and Vibration, 1978, vol. 59, n° 2, p. 245-262.
K. M. Mitzner . Acoustic scattering from an interface between media of greatly differentdensity. J. Math. Phys., 1966, vol. 7, p. 2053-2060.
J. J. Moré, B. S. Garbow et K. E. Hillstrom. User Guide for MINPACK-1. Argonne :Argonne National Laboratory, 1968, 152 p., ANL-80-74.
P. M. Morse et H. Feshbach. Methods of theoretical physics. New-York : McGraw Hill,1953. 1978 p.
R. L. Mullen et J. J. Rencis. Iterative methods for solving boundary element equations.Computers and Structures, 1987, vol. 25, p. 713-723.
A. Muradali et K. R. Fyfe. Accurate barrier modeling in the presence of atmospheric effects.Applied Acoustics, 1999, vol. 56, p. 157-182.
M. K. Myers et McAninch . Parabolic approximation for sound propagation in theatmosphere. AIAA J., 1978, vol. 16, p. 836-842.
J. C. Nédélec et Z. T. Abboud. Méthode des équations intégrales pour les hautes fréquences.Compte Rendu de l'Académie des Sciences, 1994, vol. 1, n° 318, p. 165-170.
- 250 -
J. M. Noble, H. E. Bass et R. Raspet. Effects of large-scale wind driven turbulence on soundpropagation. Journal of the Acoustical Society of America, 1990, vol. 87.
O. I. Panich. En Russe. (On the question of the solubility of the exterior boundary problemfor the wave equation and Maxwell's equation). Uspekhi Matematicheskikh Nauk, 1965, vol.20, p. 221-226.
H. A. Panofsky et J. A. Dutton. Atmospheric Turbulence, Models and Methods forEngineering Applications. New York : Wiley. 1984. 397 p.
P. H. Parkin et W. E. Scholes. The Horizontal Propagation of Sound from a Jet EngineClose to the Ground at Hatfield. Journal of Sound and Vibration, 1965, vol. 2, p. 353-374.
C. M. Piaszczyk et J. M. Klosner. Acoustic radiation from vibrating surfaces atcharacteristic frequencies. Journal of the Acoustical Society of America, 1984, vol. 75, p. 363-375.
A. Pierce. Acoustics. An introduction to its physical principles and Applications. Woodbury(N.Y.) : Acoustical Society of America. 1991. 678 p.
J. E. Piercy, T. F. W. Embleton et L. C. Sutherland. Review of noise propagation in theatmosphere. Journal of the Acoustical Society of America, 1977, vol. 61, n° 6, p. 1403-1418.
H. L. G. Pina et J. L. M. Fernandes. Some numerical integration formulae over trianglesand squares with 1/r singularity. Appl. Math. Modelling, 1981, vol. 5, p. 209-211.
M. B. Porter et H. P. Bucker. Gaussian beam tracing for computing ocean acoustic fields.Journal of the Acoustical Society of America, 1987, vol. 82, p. 1349-1359.
F. V. Postell et E. P. Stephan. On the h-, p- and h-p versions of the boundary elementmethod - numerial results. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 1990,vol. 83, p. 69-89.
M. J. D. Powell. A Hybrid Method for Nonlinear Algebraic Equations. New-York : Gordonand Breach, 1970, 92 p.
E. Premat. Etude d'un modèle récent de propagation acoustique au-dessus d'un solinhomogène et extension au cas réel. DEA : ENTPE/LASH, 1994, 80 p.
E. Premat. Une méthode d'approximation haute fréquence pour la résolution d'équationsintégrales. Marseille, Laboratoire de Mécanique et d'Acoustique, 1995, 19 p.
E. Premat et C. Aujard. La représentation de l'environnement sonore urbain.Cahier descharges d'un outil opérationnel d'aide à la décision. Lyon : ENTPE - METRAVIB, 1998,67 p., N°9701046.
E. Premat et Y. Gabillet. A new boundary element method for predicting outdoor soundpropagation. Journal of the Acoustical Society of America, 2000, à paraître.
E. Premat et Y. Gabillet. A new boundary element method with inhomogeneous Green'sfunction for predicting noise barriers efficiency with meteorological effects. In Internoise 98,Auckland, 1998a. 4 p. [CD-Rom] n°216.
- 251 -
E. Premat et Y. Gabillet. Using a Boundary Element Method for Predicting Noise BarriersEfficiency with Meteorological Effects. In 8th International Symposium on Long RangeSound Propagation, Penn State, 1998b. p. 139-152.
E. Premat et Y. Gabillet. Meteo-BEM, A New Hybrid Approach to Predict Noise BarriersEfficiency with Meteorological Effects, Theory and Comparison with Experimental Results.In ASA 99, Berlin, 1999a. [CD-Rom] n°3ANSC-7.
E. Premat et Y. Gabillet. Meteo-BEM: a new hybrid formulation for complex outdoorproblems. In 6th International Congress on Sound and Vibration, Copenhague, 1999b. p.705-712.
W. H. Press, W. T. Vetterling, S. A. Teukolsky et B. P. Flannery. Numerical recipes infortran, the art of scientific computing 2nd edition. Cambridge, USA. : Cambride UniversityPress, 1992. 963 p.
D. C. Pridmore-Brown. Sound Propagation in a Temperature- and Wind- Stratified Medium.Journal of the Acoustical Society of America, 1961, vol. 34, n° 4, p. 438-443.
K. B. Rasmussen. Sound propagation over grass covered ground. Journal of Sound andVibration, 1982, vol. 78, p. 247-255.
K. B. Rasmussen. On the effect of terrain profile on sound propagation outdoors. Journal ofSound and Vibration, 1985, vol. 98, p. 35-44.
K. B. Rasmussen. Outdoor sound propagation under the influence of wind and temperaturegradients. Journal of Sound and Vibration, 1986, vol. 104, p. 321-335.
K. B. Rasmussen. Sound propagation over ground under the influence of a sound speedprofile in the atmosphere. Journal of Sound and Vibration, 1990, vol. 139, n° 1, p. 71-81.
K. B. Rasmussen. Models experiments related to outdoor sound propagation over an earthberm. Journal of the Acoustical Society of America, 1994, vol. 96, p. 3617-3620.
K. B. Rasmussen. Sound propagation over screened ground under upwind conditions.Journal of the Acoustical Society of America, 1996, vol. 100, n° 6, p. 3581-3586.
K. B. Rasmussen et M. Galindo Arranz. The insertion loss of screens under the influence ofwind. Journal of the Acoustical Society of America, 1998, vol. 104, n° 5, p. 2692-2698.
R. Raspet. Residue series solution of impulse noise propagation into a shadow zone. Journalof the Acoustical Society of America, 1988, vol. 83, n° 5, p. 1964-1967.
R. Raspet, G. Baird et W. Wu. The relationship between upward refraction above a compleximpedance plane and the spherical wave evaluation for a homogeneous atmosphere. Journalof the Acoustical Society of America, 1991, vol. 89, n° 1, p. 107-114.
R. Raspet, G. Baird et W. Wu. Normal mode solution for low frequency sound propagationin a downward refracting atmosphere above a complex impedance plane. Journal of theAcoustical Society of America, 1992, vol. 91, n° 3, p. 1341-1352.
- 252 -
R. Raspet, S. W. Lee, E. Kuester, D. C. Chang, W. F. Richards, R. Gilbert et N. Bong.Fast-field program for a layered medium bounded by complex impedance surface. Journal ofthe Acoustical Society of America, 1985, vol. 77, p. 345-352.
R. Raspet, A. L'Espérance et G. Daigle. The effect of realistic ground impedance on theaccuracy of ray tracing. Journal of the Acoustical Society of America, 1995, vol. 97, p. 154-158.
R. Raspet et W. Wu. Calculation of average turbulence effects on sound propagation basedon the fast field program formulation. Journal of the Acoustical Society of America, 1995, vol.97, p. 145-153.
J. J. do Rêgo Silva. Acoustic and Elastic Wave Scattering using Boundary Elements.Southampton (UK) : Computational Mechanics Publications, 1994, 134 p.
J. J. Rêgo Silva, H. Power et L. C. Wrobel. The use of C0,α boundary elements in animproved numerical formulation for three-dimensional acoustic radiation problems. Journalof the Acoustical Society of America, 1994, vol. 95, n° 5, p. 2387-2398.
T. L. Richards et K. Attenborough. Accurate FFT-based Hankel transforms for predictionof outdoor sound propagation. Journal of Sound and Vibration, 1986, vol. 109, p. 155-167.
V. Rockhlin. Rapid solution of integral equations of scattering theory in two dimensions.Journal of Computational Physics, 1990, vol. 86, p. 659-667.
E. M. Rosen, F. X. Canning et L. S. Couchman. A sparse integral equation method foracoustic scattering. Journal of the Acoustical Society of America, 1995, vol. 98, n° 1, p. 363-375.
I. Rudnik . The propagation of an acoustic wave along a boundary. Journal of the AcousticalSociety of America, 1947, vol. 19, p. 348-356.
Y. Saad et M.H. Schultz. GMRES: a Generalized Minimal Residual algorithm for solvingnonsymmetric linear systems. New Haven : Yale University, 1983, 25 p, Research ReportYALEU/DCS/RR-254.
E. M. Salomons. Diffraction by a screen in downwind sound propagation : a parabolic-equation approach. Journal of the Acoustical Society of America, 1994, vol. 95, n° 6, p. 3109-3117.
E. M. Salomons. Noise barriers in a refracting atmosphere. Applied Acoustics, 1996, vol. 47,n° 3, p. 217-238.
E. M. Salomons. Reduction of the performance of a noise screen due to screen-induced wind-speed gradients. Numerical computations and wind-tunnel experiments. Journal of theAcoustical Society of America, 1999, vol. 105, n° 4, p. 2287-2293.
M. N. Sayhi et Y. Ousset. Solution of radiation problems by collocation of integralformulations in terms of single and double layer potentials. Journal of Sound and Vibration,1981, vol. 74, n° 2, p. 187-204.
- 253 -
H. A. Schenck. Improved Integral Formulation for Acoustic Radiation Problems. Journal ofthe Acoustical Society of America, 1967, vol. 44, n° 1, p. 41-58.
H. Schroeder. Anwendung der Methode der Gausschen Strahlen zur Untersuchung derSchallausbreitung in der bodennahen Atmosphäre. Ph-D : Umwelttechnik, TechnischeUniversität Berlin, 1993. 152 p.
A. P. Schuhmacher, E. U. Saemann et J. Hald. Noise source localization on tyres using aninverse boundary element method. In Internoise 98, Christchurch, New Zealand, 1998. p. 16-18.
A. F. Seybert, Z. H. Jia et T. W. Wu. Solving knife-edge scattering problems using singularboundary elements. Journal of the Acoustical Society of America, 1992, vol. 91, p. 1278-1283.
A. F. Seybert et T. K. Rengarajan. The use of CHIEF to obtain unique solutions for acousticradiation using boundary integral equations. Journal of the Acoustical Society of America,1987, vol. 81, n° 5, p. 1299-1306.
A. F. Seybert, B. Soenarko, F. J. Rizzo et D. J. Shippy. A special integral formulation foracoustic radiation and scattering for axisymmetric bodies and boundary conditions. Journal ofthe Acoustical Society of America, 1986, vol. 80, n° 4, p. 1241-1247.
R. Seznec. Diffraction of sound around barriers: use of the boundary elements technique.Journal of Sound and Vibration, 1980, vol. 73, n° 2, p. 195-209.
A. Sommerfeld. Uber die Ausbreitung der Wellen in der drahtlosen Telegraphie. Annalen derPhysik, 1909, vol. 28, p. 665-736.
M. Spivack et B. J. Uscinski. Numerical solution of scattering from a hard surface in amedium with a linear profile. Journal of the Acoustical Society of America, 1993, vol. 93, n°1, p. 249-254.
M. R. Stinson, G. A. Daigle et D. Havelock. Factors affecting atmospheric soundpropagation above an impedance surface. In Semaine canadienne d'acoustique, Ottawa, 1996.p. 48.
B. Stupfel, A. Lavie et J. N. Decarpigny. Combined integral equation formulation and nullfield method for the exterior acoustic problem. Journal of the Acoustical Society of America,1988, vol. 83, n° 3, p. 927-941.
S. Taherzadeh, K. M. Li et K. Attenborough. An Innovative Approach To Predict SoundField In A Complex Outdoor Environment. In 16th ICA - 135th ASA, Seattle, 1998. p. 475-476.
S. Taherzadeh, K. M. Li et K. Attenborough. Some Practical Considerations for PredictingOutdoor Sound Propagation in the Presence of Wind and Temperature Gradients. AppliedAcoustics, 1998, vol. 54, n° 1, p. 27-44.
F. D. Tappert. The parabolic approximation method. pp 224-287. in Wave Propagation andUnderwater Acoustics, édité par J.B. Keller et J.S. Papadakis, New-York : Springer Verlag,1977. 248 p.
- 254 -
F. D. Tappert et R. H. Hardin. Computer simulation of long-range ocean acousticpropagation using the parabolic equation method. In 8th I.C.A., Portland, 1974. p. 452.
A. Tekatlian et E. Premat. Computer cost of a 3D numerical model for noise barrierinsertion loss. In Internoise 96, Liverpool, 1996a. vol 6, p. 3075-3080.
A. Tekatlian et E. Premat. Computer cost of a 3D numerical model for noise barrierinsertion loss. In 7th Long Range sound Propagation, Ecole Centrale de Lyon, 1996b. vol 1,p. 307-321.
J. C. F. Telles. A self-adaptive co-ordinate transformation for efficient numerical evaluationof general boundary element integrals. International Journal for Numerical Methods inEngineering, 1987, vol. 24, p. 959-973.
T. Terai. On calculation of sound fields around three dimensional objects by integral equaitonmethods. Journal of Sound and Vibration, 1980, vol. 69, n° 1, p. 71-100.
S. I. Thomasson. Reflection of waves from a point source by an impedance boundary.Journal of the Acoustical Society of America, 1976, vol. 47, p. 780-785.
S. I. Thomasson. Sound propagation above a layer with a large refraction index. Journal ofthe Acoustical Society of America, 1977, vol. 61, p. 659-674.
D. J. Thomson et N. R. Chapman. A wide-angle split-step algorithm for the parabolicequation. Journal of the Acoustical Society of America, 1983, vol. 74, n° 6, p. 1097-1102.
W. Tobocman. Extension of the Helmholts integral equation method to shorter wavelengths.Journal of the Acoustical Society of America, 1986, vol. 80, n° 6, p. 1828-1837.
S. Tooms, S. Taherzadeh et K. Attenborough. Sound propagation in a refracting fluidabove a layered fluid-saturated porous elastic material. Journal of the Acoustical Society ofAmerica, 1993, vol. 93, p. 173-181.
F. Ursell. On the exterior problems of acoustics. In Camb. Phil. Soc, Cambridge, 1973. vol74, p. 117-125.
B. J. Uscinski. High-frequency propagation in shallow water. the rough waveguide problem.Journal of the Acoustical Society of America, 1995, vol. 98, n° 5, p. 2702-2707.
C. Vanhille et A. Lavie. An Efficient Tool for Multi-Frequency Analysis in AcousticScattering or Radiation by Boundary Element Method. Acustica- acta acustica, 1998, vol. 84,p. 884-893.
M. Villot . Analyse des chemins de propagation acoustique par une méthode temps-fréquence(Time Delay Spectrometry). Grenoble : C.S.T.B., 1986, non paginé, GA/86-361.
M. Villot . TDS measuring system developped for a personal computer. Noise ControlEngineering Journal, 1988, vol. 31, p. 154-158.
G. Wang. A hybrid wavelet expansion and boundary element analysis of eletromagneticsattering from conducting objects. IEEE Transactions on Antennas and Propagation, 1995,vol. 43, n° 2, p. 170-178.
- 255 -
Q. Wang. Atmospheric Refraction and Propagation over Curved Surfaces. PhD Thesis :Engineering Mechanics, The Open University, 1997. 253 p.
G. R. Watts. Acoustic Performance of Parallel Traffic Noise Barriers. Applied Acoustics,1996, vol. 47, n° 2, p. 95-119.
G. R. Watts, S. N. Chandler-Wilde et P. A. Morgan. The combined effects of porousasphalt surfacing and barriers on traffic noise. Applied Acoustics, 1991, vol. 58, p. 351-377.
M. West, K. Gilbert et R. A. Sack. A tutorial on the Parabolic Equation (PE) model used forlong range sound propagation in the Atmosphere. Applied Acoustics, 1992, vol. 37, p. 31-49.
M. West, R. Sack et F. Walkden. The fast field program. A Second tutorial : Application tolong distance sound propagation in the atmosphere. Applied Acoustics, 1991, vol. 33, p. 199-228.
M. West, F. Walkden et R. A. Sack. The Acoustic Shadow Produced by Wind Speed andTemperature Gradients Close to the Ground. Applied Acoustics, 1989, vol. 27, p. 239-260.
H. Weyl. Ausbreitung electromagnetischer Wellen uber einem ebenen Leiter. Annalen derPhysik, 1919, vol. 60, p. 481-500.
M. J. White et K. E. Gilbert . Application of the parabolic equation to the outdoorpropagation of sound. Applied Acoustics, 1991, vol. 27, n° 3, p. 227-238.
M. J. White et R. Raspet. Comparison of the Fast Field Program and Parabolic Equation asapplied to the atmosphere. In Internoise 89, Newport Beach, CA, USA, 1989. vol p. 1211-1216.
T. W. Wu et G. C. Wan. Numerical modelling of acoustic radiation and scattering from thinbodies using a Cauchy principal integral equation. Journal of the Acoustical Society ofAmerica, 1992, vol. 92, p. 2900-2906.
T. W. Wu et G. C. Wan. An efficient boundary element algorithm for multi-frequencyacoustical analysis. Journal of the Acoustical Society of America, 1993, vol. 94, n° 1, p. 447-452.
S. A. Yang. Acoustic scattering by a hard or soft body across a wide frequency range by theHelmholtz integral equation method. Journal of the Acoustical Society of America, 1997, vol.102, n° 5, p. 2511-2520.
X. Zeng, L. F. Kallivokas et J. Bielak. Stable localized symmetric integral equation methodfor acoustic scattering problems. Journal of the Acoustical Society of America, 1992, vol. 91,n° 5, p. 2510-2518.
- 256 -
- 257 -
Références Bibliographiques Personnelles
E. Premat. Etude d'un modèle récent de propagation acoustique au-dessus d'un solinhomogène et extension au cas réel. DEA : ENTPE/LASH, 1994, 80 p.
E. Premat. Une méthode d'approximation haute fréquence pour la résolution d'équationsintégrales. Marseille, Laboratoire de Mécanique et d'Acoustique, 1995, 19 p.
A. Tekatlian et E. Premat. Computer cost of a 3D numerical model for noise barrierinsertion loss. In Internoise 96, Liverpool, 1996a. vol 6, p. 3075-3080.
A. Tekatlian et E. Premat. Computer cost of a 3D numerical model for noise barrierinsertion loss. In 7th Long Range sound Propagation, Ecole Centrale de Lyon, 1996b. vol 1,p. 307-321.
E. Premat et C. Aujard. La représentation de l'environnement sonore urbain.Cahier descharges d'un outil opérationnel d'aide à la décision. Lyon : ENTPE - METRAVIB, 1998,67 p., N°9701046.
E. Premat et Y. Gabillet. A new boundary element method with inhomogeneous Green'sfunction for predicting noise barriers efficiency with meteorological effects. In Internoise 98,Auckland, 1998a. 4 p. [CD-Rom] n°216.
E. Premat et Y. Gabillet. Using a Boundary Element Method for Predicting Noise BarriersEfficiency with Meteorological Effects. In 8th International Symposium on Long RangeSound Propagation, Penn State, 1998b. p. 139-152.
E. Premat et Y. Gabillet. Meteo-BEM, A New Hybrid Approach to Predict Noise BarriersEfficiency with Meteorological Effects, Theory and Comparison with Experimental Results.In ASA 99, Berlin, 1999a. [CD-Rom] n° 3ANSC-7.
E. Premat et Y. Gabillet. Meteo-BEM: a new hybrid formulation for complex outdoorproblems. In 6th International Congress on Sound and Vibration, Copenhague, 1999b. p.705-712.
E. Premat et Y. Gabillet. A new boundary element method for predicting outdoor soundpropagation. Journal of the Acoustical Society of America, 2000, à paraître.
- 258 -
C. Marquis-Favre et E. Premat. Le bruit et ses effets - Une synthèse bibliographique sur lesaspects qualitatifs du son. Partie I : Notions et indicateurs acoustiques. soumis à ActaAcustica, 2000, 21 p.
E. Premat et C. Marquis-Favre. Le bruit et ses effets - Une synthèse bibliographique sur lesaspects qualitatifs du son. Partie II : Bruit et gêne. soumis à Acta Acustica, 2000, 41 p.
- 259 -
Annexe I
Les différentes équations paraboliques
( )ϕ−=∂ϕ∂
1Qikr 0 eq. AI- 1
L'équation eq. AI- 1 est en fait le point de départ de toutes les différentes équations
paraboliques développées pour la propagation acoustique. Chaque variante provient d'une
troncature différente du développement en série de l'opérateur pseudo-différentiel Q. On
peut ainsi utiliser par exemple un développement en séries de Taylor ou la forme générale
d'une approximation linéaire rationnelle [Tappert, 1977], [Claerbout, 1976], [Greene,
1984] :
qbb
qaaq1Q
10
10
++≈+= eq. AI- 2
avec
1zk
1nq
2
2
20
2 −∂∂+= eq. AI- 3
ou encore recourir à des développements en séries de Padé d'ordre m [Bamberger, et al.,
1988], [Collins, 1989] :
∑= +
≈+=m
1j m,j
m,j
qb1
qaq1Q eq. AI- 4
où
)1m2
j(cosbet )
1m2
j(sin
1m2
2a 2
m,j2
m,j +π=
+π
+= eq. AI- 5
Selon la valeur des coefficients réels (a0, a1, b0, b1) ou (aj,m, bj,m) on obtient différentes
équations paraboliques, jouissant chacune de propriétés particulières d'angles d'ouverture.
Le
Tableau AI. 1 donne les expressions des développements de l'opérateur pseudo-
différentiel Q employés pour les équations paraboliques les plus utilisées, ainsi que les
limitations angulaires associées à ces équations paraboliques d'après l'ouvrage de [Jensen,
1994 #116) dans lequel les auteurs étudient l'ouverture angulaire maximale pour que
l'erreur absolue commise sur la phase reste inférieure à 0.002.
Annexe I : Les différentes équations paraboliques
- 260 -
Développement de Q utilisé Equation parabolique dite de Limitation
angulaire
q5.01q1Q +≈+= Tappert [Tappert, 1977] 20°
q25.01
q75.01q1
++≈+
Claerbout [Claerbout, 1976]
Padé d'ordre 1 [Collins, 1989]
35°
q30102.01
q79624.099987.0q1
++≈+
Greene [Greene, 1984] 45°
q09549.01
q36180.0
q65451.01
q1382.01q1
++
++≈+
Padé d'ordre 2 [Collins, 1989] 55°
1nzk
11Q
2
2
20
−+∂∂+≈
Thomson et Chapman [Thomson et
Chapman, 1983]
__
Tableau AI. 1 : Equations paraboliques obtenues selon différents développements de l'opérateur Q.
Delrieux montre [Delrieux, 1991] que la décomposition de Thomson et Chapman
aboutit à une équation parabolique dite "grands angles" i.e qui réduit les erreurs pour des
angles de propagation supérieurs à 15°. Par ailleurs, il souligne que les améliorations
(Tappert, Thomson...) apportées à l'équation parabolique reposent sur le même principe, à
savoir développer l'opérateur racine carrée de Q de façon à s'approcher au mieux de la
solution exacte de l'équation de Helmholtz. Il existe cependant une autre méthode qui
consiste à établir une meilleure relation entre la solution de l'équation de Helmholtz et la
solution de l'équation parabolique [De Santo, 1977].
En incluant le développement de l'opérateur Q retenu dans l'expression générale de
l'équation d'onde parabolique eq. AI- 1, on obtient une équation aux dérivées partielles qui
peut être résolue de plusieurs manières selon la technique numérique employée.
La technique des différences finies peut ainsi être adoptée via le schéma de différences
finies implicite de Crank-Nicolson par exemple, suivi pour discrétiser l'espace de
propagation suivant la portée; tandis que pour la discrétisation suivant la hauteur, on peut
utiliser des éléments finis linéaires (voir [Galindo Arranz, 1996]). Dans cette méthode
appelée CNPE – pour Crank Nicolson Parabolic Equation - Galindo Arranz étudie
l'influence de quatre paramètres à optimiser : le champ initial basé soit sur une formulation
analytique soit sur des valeurs obtenues numériquement, la condition aux limites sur le sol,
Annexe I : Les différentes équations paraboliques
- 261 -
la condition aux limites à l'infini approchée grâce à une couche d'absorption artificielle, et
enfin la taille du maillage dont dépend l'efficacité numérique de la solution.
Pour résoudre l'équation aux dérivées partielles obtenue après introduction de
l'approximation de l'opérateur Q, on peut également recourir à une méthode de type split-
step Fourier [Tappert et Hardin, 1974], [Juvé et Blanc-Benon, 1988]. Elle consiste à
appliquer à l'équation parabolique une transformation de Fourier selon la direction z pour
pouvoir la résoudre plus facilement, et l'on obtient finalement le champ de pression pas à
pas à partir d'une distribution initiale par transformation de Fourier inverse. On retrouve
dans cette méthode comme pour la technique des différences finies abordée ci-dessus, le
problème de l'initialisation du calcul ainsi que de la prise en compte des conditions aux
limites.
Récemment une autre approche a été suivie pour pallier les inconvénients de temps de
calcul importants pour des grandes distances de propagation : la technique de la fonction
de Green ou GFPE – pour Green's Fast Parabolic Equation - développée par Gilbert et Di
[Gilbert et Di, 1992]. Cette méthode permet d'utiliser un pas qui peut être très grand devant
la longueur d'onde. L'idée de départ est d'exprimer le champ en un point (r1=r0+∆r, z1)
comme une intégrale sur la ligne verticale au point précédent en r=r0, grâce à l'équation
intégrale de Kirchhoff-Helmholtz. En utilisant une transformation de Fourier selon la
portée, on peut alors calculer le champ en r+∆r à partir du champ en r. L'expression du
champ de pression acoustique se présente sous la forme du produit d'un facteur de
réfraction exponentiel et de la somme de trois termes représentant l'onde directe, l'onde
réfléchie par le sol et l'onde de surface. Outre la possibilité d'adopter un maillage beaucoup
plus large suivant la portée pour des cas de propagation où les variations spatiales du
milieu sont suffisamment lentes, la GFPE offre l'avantage d'incorporer directement dans sa
formulation la condition aux limites sur le sol d'impédance finie. Dans la pratique les
transformations de Fourier sont évaluées par un algorithme de transformée de Fourier
rapide.
Annexe I : Les différentes équations paraboliques
- 262 -
- 263 -
Annexe II
Les variantes du Fast Field Program
Les différentes variantes de la méthode FFP se distinguent selon la manière dont la
vitesse du son est prise en compte dans chaque strate horizontale de l'atmosphère, ce qui
conditionne l'écriture de la solution analytique exacte pour le champ de pression (eq. 3- 40)
dans chacune de ces strates. Ainsi certains auteurs décrivent cette vitesse comme étant
constante dans chaque couche (modèles CERL-FFP [Lee, et al., 1986, Raspet, et al., 1985],
FFLAGS [Tooms, et al., 1993], d'autres prennent en compte un gradient de célérité
constant par strate (modèles CFFP [Li, et al., 1991], SAFARI [Güdesen, 1990]). Dans le
premier des cas, la solution de l'équation eq. 3- 39 s'écrit sous la forme d'une superposition
d'une onde plane entrante et une onde plane sortante, tandis que pour le dernier cas la
solution à l'intérieur d'une strate horizontale fait intervenir les fonctions de Airy Ai et Bi de
première et seconde espèce respectivement.
Par ailleurs, les modèles CERL-FFP et CFFP décrivent le sol comme une surface
d'impédance finie, tandis que le modèle SAFARI le considère comme étant multicouches
et élastique. Le modèle FFLAGS permet quant à lui de prendre en compte des sols
multicouches, élastiques et poreux.
La FFP développée par Di Napoli [Di Napoli et Deavenport, 1980] applique une
élégante technique récursive pour déterminer simultanément la solution dépendant de la
hauteur pour un grand nombre de couches horizontales de l'atmosphère. On peut trouver
des détails de l'algorithme dans deux articles de références : [Franke et Swenson, 1989] et
[West, et al., 1991]. Pour calculer la solution (voir [Raspet, et al., 1985], [Li, et al., 1991],
[Tooms, et al., 1993]), on part de la couche supérieure pour descendre à la position de la
source (technique dite "top-down"), puis on remonte depuis le sol à cette dernière
("bottom-up"). Les modèles CERL-FFP et CFFP utilisent cette technique appelée méthode
de la ligne de transmission. Sa nature récursive lui confère une grande efficacité mais a
pour contrepartie d'introduire des instabilités numériques et nécessite par voie de
conséquence des traitements numériques appropriés. De plus, le calcul est effectué pour
Annexe II : Les variantes du Fast Field Program
- 264 -
une position spécifique du récepteur, donc lorsque l'on a besoin de connaître le champ de
pression en plusieurs points, la méthode perd de son efficacité.
C'est pourquoi une alternative a été développée, connue sous le nom de méthode de la
matrice globale. Dans cette approche, le champ de pression dans chaque couche est la
superposition du champ généré par un nombre quelconque de sources et un champ inconnu
satisfaisant aux équations homogènes, déterminé par les conditions aux limites à toutes les
interfaces. Les conditions aux limites locales à chaque interface sont exprimées en un
système linéaire d'équations des transformées de Hankel des champs dans les couches
adjacentes. On assemble alors ces systèmes d'équations locales en un système global
d'équations exprimant les conditions aux limites à toutes les interfaces, la solution de ce
système fournissant en même temps le champ acoustique dans chaque strate horizontale de
l'atmosphère. Cette approche a été suivie par Rasmussen [Rasmussen, 1985 #155],
Güdesen [Güdesen, 1990] dans le modèle SAFARI ou encore Tooms et al. [Tooms, et al.,
1993] dans le modèle FFLAGS. Elle est très efficace lorsque le champ total est recherché à
différentes hauteurs, et l'on peut aussi traiter le cas de sources multiples. De plus, par
rapport à la méthode de la ligne de transmission, relativement plus facile à implanter
numériquement, elle offre l'avantage de présenter une stabilité inconditionnelle, au prix
toutefois d'un code de calcul compliqué pour assembler la matrice.
- 265 -
Annexe III
Calcul de la partie finie de Hadamard
Lorsque les deux points P et Mj peuvent coïncider, c'est-à-dire que l'on a i=j, on
subdivise l'intervalle Γi pour isoler la singularité et l'on a donc, avec izzr −= :
( ) ( ) ( ) ( )
+
+−≈Γ∂∂
∫
∫ ∫∫ε+
ε−
ε−
−
+
ε+Γ
i
i
i
i
z
z
1
iz
2/hiz
2/hz
z
11
iiPnMn
dzr
)kr(HPF
dzr
)kr(Hdz
r
)kr(H
4
ikPd,PMGPF
eq. AIIII- 1
Les deux premiers termes du membre de droite eq. AIIII- 1 sont intégrés de la même
manière que les intégrales régulières ci-avant.
Quant au dernier terme, il est plus commode de revenir à sa définition en tant que partie
finie au sens de Hadamard. On doit alors comprendre la partie finie comme la limite de la
composante normale du gradient lorsque l'on fait tendre un point M de l'espace vers
l'écran :
∫∫ε+
ε−→
ε+
ε−−
∂∂
∂∂=− i
ii
i
i
z
z P0MM
z
z
1 dz))P,M(kd(H4
i(
)P(n)M(nlimdz
r
)kr(HPF
4
ikeq. AIII- 2
Soit :
∫∫ε+
ε−→
ε+
ε−−
∂∂
∂∂=− i
iM
i
i
z
z P0PM
0y
z
z
1 dz))P,M(kd(H4
i(
yylimdz
r
)kr(HPF
4
ikeq. AIII- 3
Or en effectuant le changement de variable u=z-zi :
+
+∂
∂−=
+
+−
∂∂=−
∂∂
∂∂
∫
∫∫ε
ε−→
ε
ε−→
ε+
ε−→
duuy
)uyk(Hy
ylim
4
ik
duuy
)uyk(H
4
iky
ylimdz))P,M(kd(H
4
i(
yylim
22M
22M1
MM
0y
22M
22M1M
M0y
z
z P0PM
0y
M
M
i
iM
eq.AIII- 4
Posons 22M uykt += , on peut alors écrire :
+=
+
+∫∫∫
ε
ε−
ε
ε−
ε
ε−du
t
)t(Yidu
t
)t(Jkdu
uy
)uyk(H 11
22M
22M1
eq. AIII- 5
où J1 et Y1 sont respectivement les fonctions de Bessel et de Neumann.
Annexe III : Calcul de la partie finie de Hadamard
- 266 -
On peut utiliser le développement de J1(z)/z pour -3≤ z ≤3 (cf [Abramowitz et Stegun,
1972]) :
8-6
1n
n2n
1 10 3.1 avec )3
z(A
2
1
z
)z(J<εε++= ∑
=eq. AIII- 6
Les coefficients An sont donnés dans le tableau ci-dessous :
n An
1 -.56249985
2 .21093573
3 -.03954289
4 .00443319
5 -.00031761
6 .00001109
Tableau AIII. 1: Coefficients du développement de J1(z)/z.
On peut alors écrire :
∑ ∫∫=
ε
ε−
ε
ε−++ε=
6
1n
n22Mn2
n2n1 du)uy(3
kAdu
t
)t(Jeq. AIII- 7
En utilisant le développement du binôme de Newton, l'on aboutit à :
ε
ε−= =
+−ε
ε− ∑ ∑∫
+−
+ε=6
1n
n
0m
1)mn(2m2
Mmnn2
n2n1
1)mn(2
uyC
3
kAdu
t
)t(Jeq. AIII- 8
D'où :
+
ε+ε=
+−
+ε=
∂∂
∑
∑ ∑∫
=
+
ε
ε−= =
+−
→
ε
ε−→
6
1n
1n2
n2
n2n
6
1n
n
0m
1)mn(2m2
Mmnn2
n2n
0y
1M
M0y
1n23
kA2k
1)mn(2
uyC
3
kAklimdu
t
)t(Jky
ylim
MM
eq. AIII- 9
Appliquons la même démarche pour le terme en Y1(z)/z. En effet pour 0< z ≤3, l'on a
(cf [Abramowitz et Stegun, 1972]) :
7-6
0n2
n22n
11 10 1.1 avec
z)
3
z(
z
B)z(J)2/zln(
z
12
z
)z(Y<εε++
π= ∑
=eq. AIII- 10
Les coefficients Bn sont donnés dans le tableau ci-après.
Annexe III : Calcul de la partie finie de Hadamard
- 267 -
n Bn
0 -.6366198
1 .2212091
2 2.1682709
3 -1.3164827
4 .3123951
5 -0.0400976
6 .0027873
Tableau AIII. 2: Coefficients du développement de Y1(z)/z.
En intégrant :
∑ ∫∫∫=
ε
ε−
ε
ε−
ε
ε− ++
+π
=6
0n22
M2
n22M
n2
n2n11 du
)uy(k
)uy(
3
kBdu
t
)t(J)2/tln(
2du
t
)t(Yeq. AIII- 11
Le deuxième terme se calcule de la manière suivante :
∑ ∫
∫∫∑ ∫
=
ε −−
ε
ε−
ε
ε−=
ε
ε−
++
++
=+
+
6
2n0
1n22Mn2
)1n(2n
2122M
20
6
0n22
M2
n22M
n2
n2n
du)uy(3
kB23
duB
)uy(k
duBdu
)uy(k
)uy(
3
kB
eq. AIII- 12
Il s'ensuit :
∑ ∫∑
∑ ∫
=
ε −−−
=−
−=
ε
ε−
+
ε+ε=
++
6
2n0
)m1n(21n
0m
m2M
m1nn2
)1n(2n
1
MM2
06
0n22
M2
n22M
n2
n2n
duuyC3
kB29
B2)
yarctan(
yk
B2du
)uy(k
)uy(
3
kB
eq. AIII- 13
Quant au premier terme du membre de droite de l'équation eq. AIII- 11, en recourant au
développement eq. AIII- 6 :
+
++
+π
=π
∑ ∫
∫∫
=
ε
ε−
ε
ε−
ε
ε−
6
1n
n22M
22M
n2
n2n
22M1
du)uy)(2
uykln(
3
kA
du)2
uykln(
2
12du
t
)t(J)2/tln(
2
eq. AIII- 14
Annexe III : Calcul de la partie finie de Hadamard
- 268 -
Et l'on a :
ε
εε
ε−
+−++−
π=
++−
π=
+π ∫∫
0MM
22M
0
22M
22M
)y
uarctan(y2u2)uyln(u
2
1)2lnk(lnu
2
du)uyln(2
12lnkln
2du)
2
uykln(
2
12
eq. AIII- 15
Calculons la deuxième partie de l'expression eq. AIII- 14 :
∑ ∫
∑ ∫
=
ε
=
ε
ε−
+
++−
π=
++
π6
1n0
n22M
22Mn2
n2n
6
1n
n22M
22M
n2
n2n
du)uy()uyln(2
12lnkln
3
kA4
du)uy)(2
uykln(
3
kA2
eq. AIII- 16
Et :
( )
1)mn(2yC)2lnk(ln
duuyC)2lnk(lndu)uy(2lnkln
1)mn(2m2
M
n
0m
mn
0
)mn(2m2M
n
0m
mn0
n22M
+−ε−=
−=+−+−
=
ε −
=
ε
∑
∫∑∫eq. AIII- 17
Evaluons alors l'intégrale suivante :
∑∑ ∫∫=
−=
ε −ε=+=++
n
0mmn
m2M
mn
n
0m0
)mn(222M
m2M
mn0
n22M
22M KyCduu)uyln(yCdu)uy)(uyln( eq.
AIII-18
On peut montrer facilement par intégration par parties que :
1p
1p222
M
0 22M
2p2
0
1p222
M0
p222Mp
I1p2
2
1p2)yln(
duuy
u
1p2
2
1p2
u)uyln(duu)uyln(K
+
+
ε +ε+ε
+−
+εε+=
++−
+
+=+= ∫∫eq. AIII- 19
Calculons l'intégrale Ip+1. En recourant à une intégration par parties, l'on montre :
p2M
1p2
1p Iy1p2
I −+
ε=+
+ eq. AIII- 20
Et par récurrence :
01n2
M
1p2n
0p
pn2M1n I)y(
1p2)y(I +
+
=
−+ −
+ε−= ∑ eq. AIII- 21
Avec :
)y
arctan(y
1du
uy
1I
MM0 22
M0
ε=+
= ∫ε
eq. AIII- 22
Annexe III : Calcul de la partie finie de Hadamard
- 269 -
En résumé l'on obtient donc :
∑ ∑
∑
∑
∑ ∑∫
=
−
=
+−−
−
−
+−+−
=
−−
=
+−=
+−
=
ε
ε−
+−−
ε+
ε+ε+
ε+ε−ε+ε+−επ
+
ε−+
ε−+−
−
+−
εε++
+−ε−
π=
6
2n
1n
0m
1)m1n(2m2
Mm
1nn2
)1n(2n
1
MM2
0
MM
22M
MM
1mn2M
1p2mn
0p
pmn2M
n
0m
1)mn(222
Mm2
Mmn
6
1n
1)mn(2m2
M
n
0m
mnn2
n2n1
1)m1n(2yC
3
kB2
9
B2)
yarctan(
yk
B2
)y
arctan(y22)yln(2
1)2lnk(ln
2
)y
arctan(y
1)y(
1p2)y(
1)mn(2
2
1)mn(2)yln(yC
2
1
1)mn(2yC)2lnk(ln
3
kA4du
t
)t(Y
eq. AIII- 23
On peut alors déduire aisément de cette expression la valeur de la dérivée suivante :
[ ]
∑
∑∫
=
+−−
++
=
+ε
ε−→
+−
ε+
ε+
ε−
ε−εε+−ε
π+
+
ε+
−
+
εε+
+ε−
π=
∂∂
6
2n
1)1n(2
n2
)1n(2n
12
0
2
1n21n22
6
1n
1n2
n2
n2n1
MM
0y
1)1n(23
kB29
B2
k
B2
2)ln(2
1)2lnk(ln
2
1n21n2
2
1n2)ln(
2
1
1n2)2lnk(ln
3
kA4du
t
)t(Yy
ylimM
eq. AIII- 24
Soit, en réorganisant les termes de l'expression ci-dessus :
∑
∑∫
=
−−=
+ε
ε−→
−ε+
ε+
ε−
+−ε
+ε
π+
−ε
πε=
∂∂
6
2n
1n2
n2
)1n(2n1
20
6
1n
1n2
n2
n2n1
MM
0y
1n23
kB2
9
B2
k
B21n2
1)
2
kln(
1n2
2
3
kA21)
2
kln(
2du
t
)t(Yy
ylimM
eq. AIII- 25
Annexe III : Calcul de la partie finie de Hadamard
- 270 -
On peut alors remonter à l'expression de la partie finie :
+
∂∂−=
+
+−
∂∂=
−∂
∂∂
∂=
−∂
∂∂
∂=−
∫∫
∫
∫
∫∫
ε
ε−
ε
ε−→
ε
ε−→
ε+
ε−→
ε+
ε−→
ε+
ε−
dut
)t(Yidu
t
)t(Jky
ylim
4
ik
duuy
)uyk(H
4
iky
ylim
dz))P,M(kd(H4
i(
yylim
dz))P,M(kd(H4
i(
)P(n)M(nlimdz
r
)kr(HPF
4
ik
11M
M0y
22M
22M1M
M0y
z
z P0PM
0y
z
z P0MM
z
z
1
M
M
i
iM
i
ii
i
i
eq. AIII- 26
D'où, en rassemblant les résultats :
−
ε+ε
+ε
−
+−ε
+ε
π+
−ε
πε+
+
ε+ε−=−
∑
∑
∑∫
=
−−
=
+
=
+ε+
ε−
6
2n
1n2
n2
)1n(2n1
20
6
1n
1n2
n2
n2n
6
1n
1n2
n2
n2n
z
z
1
1n23
kB2
9
B2
k
B2
1n2
1)
2
kln(
1n2
2
3
kA21)
2
kln(
2ik
1n23
kA2k
4
ikdz
r
)kr(HPF
4
ik i
i
eq. AIII-27
- 271 -
Annexe IV
Calcul de la fonction de Green sur un sol absorbant
Le sol absorbant est décrit comme une surface d'impédance supposée à réaction
localisée. Pour un point M situé sur le sol, en appelant β l'admittance normalisée, on a :
( ) 0p(M)ikMpMn
=β+∂
eq. AIV- 1
En utilisant les résultats de la fonction de Green pour un sol plan rigide donnée au
paragraphe 4.3, que l'on appellera G0, on peut calculer la nouvelle fonction de Green G
pour un sol impédant (voir [Chandler-Wilde et Hothersall, 1995]) :
20 P)(M, )M,P(P)M,P(G)M,P(G Ω∈∀+= β eq. AIV- 2
En effet en reportant l'expression de G ci-dessus dans l'équation de Helmholtz, on
montre que la fonction Pβ vérifie l'équation suivante :
0M)(P,Pk)M,P(P 2M =+∆ ββ eq. AIV- 3
Elle vérifie également la condition aux limites ci-dessous pour un point M situé sur le
sol absorbant (zM=0) :
))yy(z(k(Hk2
1P)(M,ikG)M,P(Pik)M,P(
z
P 2PM
2P00
M
−+β−=−=β+∂∂
ββ
eq. AIV- 4
En appliquant alors une transformation de Fourier aux équations eq. AIV- 3 et eq. AIV-
4 et en utilisant le résultat suivant (voir [Erdelyi, et al., 1954]) :
22 tkiz
22
iyt2210 e
tk
2dye)yz(k(H −∞
∞− −=+∫ eq. AIV- 5
On obtient les deux équations suivantes, en notant βP~
la tranformée de Fourier de Pβ :
0P~
)tk(z
P~
22
M2
2
=−+∂∂
ββ
eq. AIV- 6
0)tk(Re),tkIm( avec etk
kP~
ikz
P~
2222tkiz
22M
2
222
P ≥−−−
β−=β+∂∂ −
ββ
eq. AIV- 7
La solution de l'équation eq. AIV- 6 satisfaisant aux conditions aux limites eq. AIV- 8
et à une condition de type Sommerfeld s'écrit sous la forme :
Annexe IV : Calcul de la fonction de Green sur un sol absorbant
- 272 -
)ktk(tk
eikP~
2222
tk)zz(i 22PM
β+−−
β=−+
β eq. AIV- 8
En appliquant alors la transformation de Fourier inverse :
dt)ktk(tk
eik
2
iP
2222
)t)yy(tk)zz(i PM22
PM
∫∞+
∞−
−−−+
ββ+−−
βπβ= eq. AIV- 9
Et en effectuant le changement de variable t=ks :
0)s1Im(),s1Re( avec ds)s1(s1
eik
2
iP 22
22
)s)yy(s1)zz((ik PM2
PM
≥−−β+−−
βπβ= ∫
∞+
∞−
−−−+
β eq. AIV- 10
Pour aboutir à une formule plus intéressante pour le calcul numérique on pose s=sinθ et
l'on obtient :
∫ =ρθβ+θπ
β=θ−θρ
β L
)cos(i
kR' avec dcos
e
2
iP
0
eq. AIV- 11
(On a R'= 2PM
2PM )yy()z(z −++ , zM+zP=R'cosθ0, |yM-yP|=R'sinθ0, notons que θ0
représente l'angle d'incidence voir figure AIV. 1 )
figure AIV. 1 : Notations pour le calcul de la fonction de Green pour un sol absorbant.
L est le chemin dans le plan complexe reliant -π/2+i∞ à -π/2 puis -π/2 à π/2 puis π/2 à
π/2 -i∞. En déformant alors le chemin d'intégration L en chemin de plus grande pente Γ
défini dans [Chandler-Wilde et Hothersall, 1995] (voir figure AIV. 2 ), on obtient alors en
effectuant le calcul des résidus :
sPPP βΓ
ββ += eq. AIV- 12
où le terme suivant représente l'onde de surface (on peut montrer que ce terme décroît
exponentiellement avec la hauteur au-dessus de la surface) :
Annexe IV : Calcul de la fonction de Green sur un sol absorbant
- 273 -
=<ββ−
β
<<ββ−
β
= +−ρ
+−ρ
β+
+
sinon 0
0aRe0,Im si e12
0aRe0,Im si e1
P )a1(i
2
)a1(i
2
seq. AIV- 13
avec :
0
222
cos01Re ,111a
θ=γ≥β−γ−β−βγ+=± #
eq. AIV- 14
et :
∫Γ
θ−θρΓ
β θβ+θπ
β= dcos
e
2
iP
)cos(i 0
eq. AIV- 15
On peut réécrire cette dernière équation sous une forme intéressante pour l'intégration
numérique :
∫
∫∞ ρ−−
ρ
∞
∞−
ρ−ρ
Γβ
πβ=
πβ=
0
t2/1i
s2i
dt)t(fete
dse)s(fe
P2
eq. AIV- 16
où :
02i)-tRe( avec ))(t)1(i2t(i2t
)it1()t(f
22>
γ+β−βγ+−−γ++β−= eq. AIV- 17
figure AIV. 2 : Déformation dans le plan complexe du chemin L en chemin de plus grande pente Γ.
Annexe IV : Calcul de la fonction de Green sur un sol absorbant
- 274 -
L'expression eq. AIV- 16 s'intègre aisément en utilisant un schéma de type quadrature
de Gauss :
∑=
ρΓβ ρ
ρπβ=
n
1jn,jn,j
i
)/x(fwe
P eq. AIV- 18
où les wi,j pour i, j allant de 1 à n, sont les poids et xi,j les abscisses de la quadrature de
Gauss-Laguerre utilisée (voir [Press, et al., 1992]). Chandler-Wilde donne des détails
calculatoires et des approximations dans son article de référence [Chandler-Wilde et
Hothersall, 1995]. La formule ci-dessus (eq. AIV- 16) donne lieu à des résultats précis si β
est proche de 1. Dans le cas contraire, Chandler-Wilde régularise l'intégrande par
soustraction du pôle et aboutit à une formulation plus performante faisant intervenir la
fonction erreur complémentaire erfc :
1pour )ae(erfc12
edt)t(get
eP 4/i
2
)a1(i
0
t2/1i
≠βρβ−
β+π
β= +π−
−ρ∞ ρ−−ρ
Γβ
+
∫ eq. AIV- 19
avec :
0)a(Re),-1Re( avec )iat(12
ae)t(f)t(g 2
2
4/i
≥β−β−
−= +
+
+π−
eq. AIV- 20
On peut utiliser le même type de quadrature de Gauss que ci-dessus (cf eq. AIV- 18)
pour intégrer la fonction g. On adoptera le critère suivant donné par Chandler-Wilde pour
évaluer si β est proche de 1 ou non :
1.011
1.011
≥β−⇔≠β<β−⇔≈β
eq. AIV- 21
La fonction de Green G décrivant la propagation acoustique au-dessus d'un sol plan
homogène d'admittance normalisée β est donc connue et évaluable numériquement.
Reste à déterminer la dérivée normale de la fonction de perturbation Pβ.
On a, en fait :
)M,S(Pgrad)M(n)M,S()M(n
PM β
β •=∂
∂&
eq. AIV- 22
Annexe IV : Calcul de la fonction de Green sur un sol absorbant
- 275 -
Et les composantes du gradient ci-dessus sont :
∂∂∂∂
β
β
β
)M,S(z
P
)M,S(y
P
)M,S(Pgrad
M
MM eq. AIV- 23
Dans le cas de l'écran droit de la figure 4.5, n'intervient que la composante en y pour la
dérivée normale. En dérivant l'expression par rapport à yM et en suivant la même démarche
que pour le calcul de Pβ, on peut montrer de la même manière que :
ds)s((1)s(1
s))yy)s)(1zexp(ik((z s.
2
k)ysign(yM)(S,
y
P1/221/22
SM1/22
SMSM
M
∫∞+
∞− +−−−+−+
−−=∂∂ eq. AIV-
24
Puis que :
s
M
'P'Py
Pβ
Γβ
β +=∂∂
eq. AIV- 25
avec :
=<β−β−
<<β−β−
= +−ρ
+−ρ
β+
+
sinon 0
0aRe0,Im si e)yy(signik2
10aRe0,Im si e)yy(signik
)M,S('P )a1(iSM
)a1(iSM
seq. AIV- 26
et :
∫∞ ρ−−
ρΓβ −γ−
πβ=
0
t2/1SM
2i
dt)t(fet)yy(sign1eik
'P eq. AIV- 27
où :
02i)-tRe( avec ))(t)1(i2t(i2t
))it1(()t(f
22>
γ+β−βγ+−−γ++β−= eq. AIV- 28
En fait, de même que pour la formule eq. AIV- 16 l'expression eq. AIV- 28 donne des
résultats précis lorsque β est proche de 1. Dans le cas contraire, une démarche similaire à
celle suivie pour obtenir l'équation permet d'obtenir l'expression suivante :
1-1lorsque
)ae(erfce2
1dt)t(get
1)yy(signeik'P 4/iai
0
t2/1SM
i
≥β
ρ+
π−β= +
π−ρ−∞ ρ−−ρΓβ
+∫ eq. AIV- 29
avec :
0)a(Re avec )iat(2
ae)t(f1)t(g
4/i2 ≥
−−γ−= +
+
+π−
eq. AIV- 30
Annexe IV : Calcul de la fonction de Green sur un sol absorbant
- 276 -
Là encore, selon la valeur de β, l'une ou l'autre des deux expressions eq. AIV- 27 et eq.
AIV- 29 peut être employée et calculée en utilisant une quadrature de Gauss.
L'équation eq. 4- 42 fait intervenir également la dérivée normale seconde de la fonction
de Green :
( ))P,M(P)P,M(G)P(n)M(n
)P,M(G 0)P(n)M(n β+∂∂
∂=∂∂ eq. AIV- 31
Dans le cas de l'écran droit de la figure 4.5 :
PM yy)P(n)M(n ∂∂≡∂∂
Le terme mettant en jeu la fonction de Green pour un sol rigide G0 est déjà connu (cf le
paragraphe 4.3). Pour la dérivée normale seconde de Pβ, l'on trouve, en suivant toujours la
même méthode que précédemment :
)P,M(P)1(k)'kr(H'r
zz
2
k)'kr(H
2
ik)P,M(
yy
P 221
PM22
0
22
PM
2
ββ β−+
+β+β=∂∂
∂eq. AIV- 32
où :
22P
2M
22P
2M
22P
2M
22P
2M
)zz()yy()P,'M(d'r
)zz()yy()P,M(dr
++−==
−+−==
Dans le cas où l'écran n'est pas droit, ni confondu avec l'axe vertical comme c'est le cas
de la figure 4.5, on a besoin de connaître la valeur des dérivées normales obliques. Ce cas
ne sera pas traité dans cette étude, donnons cependant la valeur de dérivée par rapport à la
variable z et des dérivées secondes pour offrir la possibilité de développements ultérieurs.
En dérivant l'expression par rapport à zM et en suivant la même démarche que pour le
calcul de Pβ, on peut montrer de la même manière que :
)M,S(Pik)(H2
k)M,S(
z
P0
Mβ
β β−ρβ−=∂∂
eq. AIV- 33
Quant aux dérivées secondes :
)P,M(Pk)'kr(H'r
zz
2
k)'kr(H
2
ik)P,M(
zz
P 221
PM22
0
22
PM
2
ββ β−+β+β=
∂∂∂
eq. AIV- 34
)P,M(y
Pik)'kr(H
'r
)yy(
2
k)P,M(
zy
P
P1
MP2
PM
2
∂∂
β+−β−=∂∂
∂ ββeq. AIV- 35
)P,M(zy
P)P,M(
yz
P
PM
2
PM
2
∂∂∂
−=∂∂
∂ ββ eq. AIV- 36
- 277 -
Annexe V
Fichiers de mesures
1/ Mesures avec les sources à jet d'air comprimé
-mesures sur sol plan rigide (mesures 1 à 14)
-mesures sur surface concave rigide (mesures 1 à 10)
-mesures sur surface convexe rigide (mesures 1 à 6)
2/ Mesures utilisant la technique de la TDS
noms de fichiers :
xyzn1sn2rn3
x est "f" (pour free) pour la mesure sans écran ou "e" (pour écran) pour la
mesure avec écran.
y est "p" (pour plan) pour la mesure sur sol plan, "u" (pour up) pour la mesure
sur la surface convexe, ou "d" (pour down) pour la surface concave.
z est "r" (pour rigide) pour la mesure sur surface rigide ou "i" (pour impédant)
pour la mesure sur surface absorbante.
configuration T (°C) HR (%) date heure commentaire
mesure 1 sol seul 25.2 13.4 29-avr 15H07
mesure 2 Γ1 simple 25.6 12.3 29-avr 16H22
mesure 3 Γ2 simple 25.6 11.6 29-avr 16H49
mesure 4 Γ3 simple 25.5 10.9 29-avr 17H20
mesure 5 Γ1 double 24.5 9.5 30-avr 12H01
mesure 6 Γ3 double 29.5 9.6 30-avr 15H41
mesure 7 Γ2 double 29.9 10.2 30-avr 16H54
mesure 8 Γ2 double 31.6 8.8 18-mai 16H21
mesure 9 sol seul 27 7.1 18-mai 18H19
mesure 10 sol seul 25.7 11.2 19-mai 17H43 saturation 22-49
mesure 11 sol seul 27.2 14.6 02-juin 16H20
mesure 12 Γ1 double 27.1 15.2 02-juin 17H07
mesure 13 Γ2 double 27.1 15.2 02-juin 17H42pt 10 sature
légèrement
mesure 14 Γ3 double 27.0 14.9 02-juin 18H23
configuration T (°C) HR
(%)
date heure commentaire
mesure 1 sol seul 25.6 12.2 19-mai 14H59
mesure 2 Γ1 double 24.8 14.7 20-mai 10H47
mesure 3 Γ2 double 25 12.8 20-mai 11H59
mesure 4 Γ3 double 26.3 12.6 20-mai 14H48
mesure 5 Γ3 double 26.4 12.3 20-mai 15H21
mesure 6 sol seul 26.2 11.7 20-mai 16H28
mesure 7 sol seul 27 14.4 03-juin 11H57
mesure 8 Γ1 double 29.2 13.2 03-juin 14H38
mesure 9 Γ2 double 29.8 12.5 03-juin 15H43
Mesure 10 Γ3 double 29.5 12.5 03-juin 16H27
configuration T
(°C)
HR (%) date heure commentaire
mesure 1 sol seul 26 15.1 28-mai 10H10 R1=0.20m
mesure 2 Γ1 double 26.9 13.7 28-mai 14H17 R'1=0.15m
mesure 3 Γ2 double 26.9 13.6 28-mai 15H36 pt 12 sature, R'1
mesure 4 Γ3 double 26.4 14.4 28-mai 16H44 R'1=0.15m
mesure 6 sol seul 26.6 13.8 28-mai 17H16 R'1=0.15m
Attention pour les distances de la première colonne de
récepteurs :
R1=0.20m tandis que R'1=0.15m à cause de la gêne de l'écran
pour le bras de mesure
Date
(N° mesure)Référence T°(C) H.R. (%) yS (m) zS (m) yM (m) zM (m)
distance S-
M (m)remarques
19/01/2000
mesure 1 res1 20.5 18.7 -0.50 0.10 1.00 0.185 1.502recalage
sol rigide seul
mesure 2 res2 20.5 18.7 0.00 0.20 2.00 0.29 2.002 idem
mesure 3 calib1 20.5 18.7 -0.50 0.10 1.00 0.185 1.502 idem
20/01/2000 0.000
mesure 1 calib1a -0.50 0.10 1.00 0.185 1.502idem avec
échelle
mesure 2 calib1b -0.50 0.10 1.00 0.185 1.502
idem avec
échelle, en
largeur
mesure 3 calib1c -0.50 0.10 1.00 0.185 1.502
idem avec
échelle, en
largeur,
nouveau micro
mesure 4 calib1d -0.50 0.10 1.00 0.185 1.502
idem avec
échelle, en
largeur,
nouveau micro,
nouveau
tweeter
mesure 5 calib1e -0.50 0.10 1.00 0.185 1.502
idem avec
échelle, en
largeur,
nouveau micro,
nouveau
tweeter,
bouchon niqué
31/01/2000 0.000
17H30
mesure 1fpr1s1r1 22.1 7.4 -0.5 0.04 1.0 0.10 1.501
18H00
mesure 2fpr1s1r2 22.7 7.0 -0.5 0.04 1.0 0.20 1.509
18H15
mesure 4fpr1s1r3 22.7 7.0 -0.5 0.04 2.0 0.10 2.501
18H10
mesure 3fpr1s1r4 22.7 7.0 -0.5 0.04 2.0 0.20 2.505
18H20
mesure 5fpr1s1r5 22.9 7.0 -0.5 0.04 0.20 0.007 0.701
micro sur la
surface
18H20 fpr2s1r5 22.9 7.0 -0.5 0.04 0.20 0.007 0.701 micro "décollé"
mesure 5bis
18H25
mesure 6fpr1s1r6 22.9 7.0 -0.5 0.04 0.25 0.007 0.751
micro sur la
surface
18H25
mesure 6bisfpr2s1r6 22.9 7.0 -0.5 0.04 0.25 0.007 0.751 micro "décollé"
18H30
mesure 7fpr1s1r7 22.9 7.0 -0.5 0.04 1.50 0.007 2.000
micro sur la
surface
18H30
mesure 7bisfpr2s1r7 22.9 7.0 -0.5 0.04 1.50 0.007 2.000 micro "décollé"
18H35
mesure 8fpr1s2r1 23.0 7.5 -0.5 0.025 1.00 0.10 1.502
18H40
mesure 9fpr1s2r2 23.0 7.5 -0.5 0.025 1.00 0.20 1.510
18H50
mesure 10fpr1s2r3 23.0 7.5 -0.5 0.025 2.00 0.10 2.501
18H45
mesure 11fpr1s2r4 23.0 7.5 -0.5 0.025 2.00 0.20 2.506
18H50
mesure 12fpr1s3r8 23.0 7.5 -1.6 0.007 0.30 0.025 1.900
18H50
mesure 13fpr1s3r9 23.0 7.3 -1.6 0.007 0.45 0.025 2.050
18H59
mesure 14fpr1s3r0 23.0 7.5 -1.6 0.007 1.80 0.025 3.400
02/02/2000 0.000
mesure 1fpi1s1r7 22.6 8.3 -0.5 0.04 1.50 0.007 2.000
mesure 1bisfpi2s1r7 22.6 8.3 -0.5 0.04 1.50 0.10 2.001
mesure 2fpi3s1r7 22.6 8.3 -0.5 0.04 1.50 0.007 2.000
idem que
fpi1s1r7 avec
laine de verre
sur micro
mesure 3fpi1s2r2 22.6 8.3 -0.5 0.025 1.0 0.20 1.510
mesure 4fpr2s2r2 22.6 8.3 -0.5 0.025 1.0 0.20 1.510
idem sans
feutrine
Date
(N° mesure)Référence T°(C) H.R. (%) yS (m) zS (m) yM (m) zM (m)
distance
S-M (m)remarques
01/02/2000
15H30
mesure 1fur1s3r8 22.4 7.3 -0.20 0.007 0.30 0.025 0.500 réciprocité
15H40
mesure 2fur1s3r9 22.7 7.0 -0.20 0.007 0.45 0.025 0.650 réciprocité
15H50
mesure 3fur1s3r0 22.7 7.0 -0.20 0.007 1.80 0.025 2.000 réciprocité
mesure 4fur1s1r5 22.7 7.0 -0.50 0.04 0.20 0.007 0.701
mesure 5fur1s1r6 22.9 7.0 -0.5 0.04 0.25 0.007 0.751
16H15
mesure 6fur1s1r7 22.3 7.4 -0.5 0.04 1.50 0.007 2.000
mesure 7fur2s3r8 22.9 7.0 -1.6 0.007 0.30 0.025 1.900
mesure 8fur2s3r9 22.9 7.0 -1.6 0.007 0.45 0.025 2.050
mesure 9fur2s3r0 22.9 7.0 -1.6 0.007 1.80 0.025 3.400
mesure 10fur3s3r0 22.9 7.0 -1.6 0.007 1.80 0.05 3.400
17H10
mesure 11fui2s3r0 22.2 7.0 -1.6 0.007 1.80 0.05 3.400
mesure 12fui1s3r0 22.2 7.5 -1.6 0.007 1.80 0.025 3.400
mesure 13fui1s3r9 23.1 6.5 -1.6 0.007 0.45 0.025 2.050
mesure 14fui1s3r8 23.1 6.5 -1.6 0.007 0.30 0.025 1.900
mesure 15fui1s1r5 23.1 6.5 -0.5 0.04 0.20 0.007 0.701
mesure 16fui1s1r6 23.1 6.5 -0.5 0.04 0.25 0.007 0.751
mesure 17fui1s1r7 23.1 6.5 -0.5 0.04 1.5 0.007 2.000
02/02/2000 0.000
mesure 18eui1s1r5 22.8 7.8 -0.5 0.04 0.2 0.007 0.701
mesure 19eui1s1r6 22.8 7.8 -0.5 0.04 0.25 0.007 0.751
mesure 20eui1s1r7 22.8 7.8 -0.5 0.04 1.50 0.007 2.000
mesure 21eui1s3r8 22.8 7.8 -1.60 0.007 0.30 0.025 1.900
mesure 22eui1s3r9 22.8 7.8 -1.60 0.007 0.45 0.025 2.050
mesure 23eui1s3r0 22.8 7.8 -1.60 0.007 1.80 0.025 3.400
mesure 24eui2s3r0 22.8 7.8 -1.60 0.007 1.80 0.05 3.400
mesure 25eur1s1r5 22.8 7.8 -0.5 0.04 0.20 0.007 0.701
mesure 26eur1s1r6 22.8 7.8 -0.5 0.04 0.25 0.007 0.751
mesure 27eur1s1r7 22.4 7.5 -0.5 0.04 1.5 0.007 2.000
mesure 28eur1s3r8 22.4 7.5 -1.6 0.007 0.30 0.025 1.900
mesure 29eur1s3r9 22.4 7.5 -1.6 0.007 0.45 0.025 2.050
eur1s3r0 22.6 7.6 -1.6 0.007 1.80 0.025 3.400
mesure 30
mesure 31eur2s3r0 22.7 7.5 -1.6 0.007 1.80 0.05 3.400
Date
(N° mesure)Référence T°(C) H.R. (%) yS (m) zS (m) yM (m) zM (m)
distance
S-M (m)remarques
02/02/2000
mesure 1fdr1s1r7 22.7 8.0 -0.50 0.04 1.50 0.007 2.000
mesure 2fdr2s1r7 22.7 8.0 -0.50 0.04 1.50 0.10 2.000
mesure 3fdi1s1r7 22.7 8.0 -0.50 0.04 1.50 0.007 2.000
mesure 4fdi2s1r7 22.7 8.0 -0.50 0.04 1.50 0.10 2.000
mesure 5edi1s1r7 22.6 8.1 -0.50 0.04 1.50 0.007 2.000
mesure 6edi2s1r7 22.6 8.1 -0.50 0.04 1.50 0.10 2.000
mesure 6bisedi3s1r7 22.6 8.1 -0.50 0.04 1.50 0.10 2.000
idem gain
plus fort
mesure 7edr1s1r7 22.6 8.2 -0.50 0.04 1.50 0.007 2.000 réciprocité
mesure 8edr2s1r7 22.6 8.6 -0.50 0.04 1.50 0.10 2.000 réciprocité
FOLIO ADMINISTRATIF
THÈSE SOUTENUE DEVANT L’INSTITUT NATIONAL DES SCIENCES APPLIQUÉES DE
LYON
NOM : PREMAT DATE DE SOUTENANCE
(avec précision du nom de jeune fille, le cas échéant) 23/06/2000
Prénoms : Éric Bernard
TITRE : Prise en compte d'effets météorologiques dans une méthode d'éléments finis de frontière
Nature : Doctorat Numéro d’ordre : 2000 ISAL 0039
Formation doctorale : Acoustique
Cote B.I.U. - Lyon : T 50/210/19 / et bis CLASSE :
RÉSUMÉ :
Dans le cadre de la lutte contre le bruit, il est important aujourd'hui de mieux connaître le comportement
du champ de pression acoustique à plus grande distance, en particulier des axes routiers et ferroviaires. Les
effets météorologiques sur la propagation deviennent alors non négligeables. Dans ce contexte, un nouveau
modèle a été développé : Météo-BEM, s'appuyant d'une part sur la méthode des éléments finis de frontière,
qui permet la prise en compte de propriétés quelconques de la géométrie et de l'absorption des frontières du
domaine de propagation, d'autre part sur des modèles récents de propagation en milieu inhomogène. La
formulation adoptée repose sur la théorie des potentiels de couche et recourt à une fonction de Green basée
sur la solution des modes normaux pour la réfraction vers le bas, et dans le cas de la réfraction vers le haut
sur la solution de la série des résidus en zone d'ombre et le modèle géométrique en région éclairée. Cette
nouvelle approche est illustrée sur le cas de l'écran acoustique mince, rigide, sur sol réfléchissant ou
absorbant, pour diverses conditions de réfraction. Le modèle est confronté pour validation à des résultats
numériques et expérimentaux issus de la littérature, complétés par une campagne de mesures réalisées en
milieu contrôlé sur modèle réduit. L'accord obtenu entre les résultats de calcul et la mesure, dans le cas de la
réfraction vers le bas, prouve qu'il est possible d'inclure des effets météorologiques dans une formulation aux
éléments finis de frontière.
MOTS-CLÉS : Acoustique Atmosphérique – Méthode Élément Frontière – Condition Météorologique –
Réfraction Onde Acoustique - Diffraction Onde Acoustique – Effet Sol - Écran anti-bruit – Étude
expérimentale
Laboratoire(s) de recherche : Laboratoire des Sciences de l’Habitat / ENTPE
Directeur de thèse : Yannick GABILLET
Président de jury : J-L GUYADER
Composition du jury : D. DUHAMEL, K.B. RASMUSSEN, Y. GABILLET, M. BERENGIER,
G. GUARRACINO, D. JUVÉ, J. ROLAND, J-L GUYADER