48 Termodinamica

4 PRINCIPIUL AL DOILEA AL TERMODINAMICII.

CICLUL CARNOT DIRECT, REVERSIBIL

4.1 Entropia Entropia este o funcie de stare, care nu se poate defini pe baza fenomenelor fizice. Entropia nu se poate msura direct. Funcia aceasta de stare, notat cu S, pentru o mas oarecare i cu s pentru mas unitar, se stabilete pe calea deduciilor indirecte : Pornind de la relaia (2.25) scris sub forma: (2.25a) ( ) dpvdTcdpvdTcRq pv =+= se observ c q nu este diferenial total exact:

( )

T

v

p

c p

deoarece cldura specific la presiune constant, pc , este independent de

presiune

0

p

c p, pe cnd volumul unui gaz depinde de temperatur ,

( )

0T

v .

Dac nmulim fiecare membru al relaiei (2.25a) cu factorul integrant T

1 ,

obinem o diferenial total exact, pe care o vom nota cu ds:

(4.1) dpp

RdT

T

cdp

T

vdT

T

c

T

dqds

pp ===

(4.2) ( ) ( )plndRTlndcds p = Integrnd de la valorile iniiale 0T i 0p ale temperaturii i presiunii , pn la

valorile lor finale, obinem :

(4.3) 00

p0p

plnR

T

Tlncss =

0s este entropia iniial specific corespunztoare valorilor 0p i 0T . Valoarea 0s

nu intereseaz n calcule. Intereseaz doar variaia entropiei n timpul unei transformri oarecare. Relaia anterioar mai poate fi pus sub forma:

(4.4)

= pc

R

0

0p0

p

p

T

Tlncss

dar k

1k

c

R

p

= , deci :

Termodinamic 49

(4.5)

=

k

1k

0

0p0

p

p

T

Tlncss

Dar, din ecuaia de stare a gazelor perfecte, scris att pentru starea iniial

ct i pentru cea final, obinem:

=

=

0

0

000 p

p

vp

vp

TR

TR

Rezult c:

(4.6)

=

=

=

=

=

k0

0

kv0

k

0v

k

1

0

0v

k

1k

00

1

0v0

pln

plnc

p

plnc

p

plnck

p

p

p

plnckss

Din relaia (4.6) se observ c entropia rmne constant, 0ss o = , dac ntre presiune i densitate avem relaia:

(4.7) ctpp

k0

0

k==

Transformarea care ascult de aceast lege se numete transformare izentropic. In acest caz avem:

(4.8 a) 0T

qds ==

, pentru mas unitar, sau

(4.8 b) 0T

QdS ==

, pentru o mas oarecare,m.

Deci, cldura introdus n sistem din afar, sau scoas din interiorul sistemului, Q , este nul. Rezult c are loc o transformare adiabatic. Pentru fluidele ideale (cnd nu sunt pierderi prin frecare) transformarea adiabatic este

i izentropic .

Pentru fluidele reale intervine o serie de fenomene precum frecarea ntre straturi datorit vscozitii, micrile turbionare i turbulente, care conduc la o pierdere de energie mecanic numit energie de disipaie. Energia disipat se regsete n complexul energetic al fenomenului, fiind transformat n cldur, numit cldur de disipaie . 4.2 Efectul cldurii de disipaie Aplicnd principiul I al termodinamicii unui gaz real , vom constata c o parte din lucrul mecanic efectuat de gaz:

dvpl = va fi consumat sub form de energie disipat, care se transform n cldur . Cldura de disipaie rmne n interiorul gazului, dac acesta este izolat perfect. O vom nota cu iq .

50 Termodinamica

Notm el acea parte din lucrul mecanic care se efectueaz n exterior i vom avea : (4.9) ie qldvpl +== Notm cu eq cldura introdus din exterior, iar principiul nti va fi exprimat prin relaia: (4.10) iee qdvpdulduq +=+=

Fig.4.1 Ilustrarea principiului I al termodinamicii aplicat unui gaz real

Notm cu q suma dintre cantitatea de cldur exterioar, eq i cea interioar

iq :

(4.11) ie qqq += i obinem din nou relaia primului principiu al termodinamicii pentru sisteme nchise, sub forma cunoscut: (4.12) dvpduq += Rezult c relaia primului principiu al termodinamicii se aplic att gazelor ideale, ct i celor reale. Un efect important al pierderilor prin cldur de disipaie este modul n care se desfoar transformarea adiabatic la fluidele reale. Considerm nul cldura introdus din exterior ( 0qe = ) i atunci transformarea este adiabatic, dar nu i izentropic, deoarece cldura de disipaie nu este niciodat nul:

(4.13) 0T

q

T

q

T

q

T

qds iie =+==

Dac totui pierderile prin disipaie sunt foarte mici, aa cum este cazul frecrilor n stratul limit , care se refer la un procent mic din masa total a gazului, atunci ele pot fi neglijate:

du

el

eq

Sistem termodinamic nchis, gaz real

iq

l

du

Termodinamic 51

(4.14) eie qqqq += astfel nct transformarea adiabatic poate fi considerat n acelai timp i izentropic ( 0qqe = ) , ca i pentru fluidele ideale, unde avem riguros

0qi = ( 0qqe == ). a) b)

Fig.4.2 Ilustrarea transformrii adiabate n cazul unui gaz real

In mod general ns, micrile sunt foarte dezordonate, pierderile nu pot fi neglijate i, deci, nici cldura de disipaie ( 0qi ), astfel nct transformarea adiabatic nu corespunde unei transformri izentropice. In acest caz , observnd c aceste pierderi reprezint un lucru mecanic intern pozitiv ( 0li > ) , ceea ce corespunde la o cldur de disipaie tot pozitiv ( 0qi > ), se poate vedea c la o transformare adiabatic a gazelor reale ( 0qe = ), entropia crete:

(4.15) 0T

q

T

q

T

q

T

qds iie >=+==

Relaia (4.15) reprezint o concluzie corespunztoare celui de-al doilea principiu al termodinamicii.

4.3 Formularea principiului al doilea al termodinamicii

Principiul al doilea al termodinamicii afirm c: Entropia, ntr-un sistem izolat, niciodat nu poate descrete:

(4.16) 0T

qds =

Principiul a fost formulat dup ce s-a obsevat experimental c niciodat cldura nu poate trece, de la sine, de la o surs rece la una cald. Termenul de entropie are sens negativ, creterea entropiei indicnd faptul c o parte din energia disponibil la nceputul unui proces termodinamic, nu mai

Sistem termodinamic

nchis, gaz real

l

du

iq

Sistem termodinamic nchis, gaz real

du

qi

l0

52 Termodinamica

poate fi utilizat la sfritul acelui proces, pentru transformri ulterioare. Astfel, o interpretare intuitiv a principiului al doilea al termodinamicii ar fi aceea c, la sfritul unui proces termodinamic, energia utilizabil a sistemului izolat nu poate s fie mai mare dect la nceputul procesului, deoarece o parte din ea s-a disipat. Energia utilizabil a sistemului izolat poate fi aceeai, dac nu exist pierderi prin frecare, sau poate fi mai mic, atunci cnd apar pierderi prin disipaie. n concluzie, dac n decursul unui proces termodinamic entropia rmne constant, 0dS = , (deci nu exist disipri de energie), atunci procesul este reversibil. Dac n timpul procesului se genereaz entropie 0dS > (apar disipri), atunci procesul este ireversibil. n cazul n care, din calcule, rezult o scdere a entropiei unui sistem izolat, 0dS < , atunci procesul considerat este imposibil. El contravine celui de-al doilea principiu al termodinamicii.

4.4 Exergia

Ridicnd analiza energetic pe un plan superior celui oferit de entropie, se introduce noiunea de exergie. n timpul unui proces ireversibil, generarea de entropie determin scderea exergiei sistemului, adic scderea capacitii sistemului de a mai efectua, n continuare, un lucru mecanic.

Prin prisma noiunilor de entropie i exergie, principiul al doilea conduce la diferenierea calitativ a energiei, dup cum urmeaz:

! energie ordonat: energia mecanic, energia electric; ! energie dezordonat: energia termic.

n aceast idee, viteza de degradare a energiei ordonate n energie dezordonat (termic) poart numele de disipaie. Disipaia este nsoit de generare de entropie. coala de Bruxelles consider c, din punct de vedere cantitativ, disipaia este dat de produsul dintre temperatura absolut i generarea de entropie determinat de ireversibilitate [13].

Exergia, Ex, este, prin definiie, fraciunea maxim a unei forme de energie transformabil n energie ordonat.

Anergia An, este, prin definiie, fraciunea minim a unei energii care nu poate fi transformat n energie ordonat.

Considernd definiiile de mai sus, energia, E, este compus din: (4.17) AnExE +=

Astfel, pentru formele ordonate de energie avem ExE = i 0An = , iar pentru formele dezordonate EEx < i 0An > . Deci, o mai mic parte din energia dezordonat poate fi utilizat din punct de vedere tehnic.

Valoarea exergiei depinde att de parametrii agentului de lucru, ct i de parametrii mediului ambiant. Exergia unui agent termic este cu att mai mare, cu ct presiunea i temperatura acestuia sunt mai ridicate. Considernd o cantitate oarecare de cldur, Q, componentele ei vor fi de forma: (4.18) QoQQQ STExAnExQ +=+=

unde To temperatura mediului, mai mic dect temperatura agentului termic;

QS entropia generat din cauza ireversibilitii.

Termodinamic 53

4.5 Variaia entropiei n transformrile simple de stare

Considerm cazul general al transformrii politropice. Cantitatea elementar de cldur dTcq n= se nlocuiete n integrala

entropiei:

(4.29)

( )

( )1

2v

1

2v

1

2n

1

2n

1

2n

T

T

12

lnnkcp

pln

n

nkc

ln1ncp

pln

n

1nc

T

Tlnc

T

qss

2

1

=

=

==

===

n cazul transformrilor simple se obin urmtoarele relaii pentru calculul variaiei entropiei:

( )

1

2v12

12k

2

1

1

2v12

0p12

T

Tlncssctv;n

0ssctpv;kn

v

vlnRTln1kcssctpv;1n

T

Tlncssctp;0n

===

===

====

===

Reprezentarea grafic a variaiei temperaturii termodinamice n funcie de entropie poate fi urmrit n fig.4.3, pentru toate cele patru cazuri particulare de mai sus.

Fig.4.3 Reprezentarea n diagram caloric (n coordonate T-s) a proceselor

simple

4.6.Ciclul Carnot direct, reversibil Termenul de ciclu desemneaz un ansamblu de transformri de stare care conduc gazul la o stare final identic cu cea iniial i care se poate repeta apoi.

n=0

n=1

=n n=k

s

T

54 Termodinamica

Sadi Carnot a analizat condiiile optime de transformare continu a cldurii n lucru mecanic. Concluzia a fost c singurul ciclu care realizeaz aceast transformare la randament maxim este ciclul reversibil, compus din dou adiabate i dou izoterme, numit ciclul Carnot. Importana acestei observaii este c ciclul Carnot stabilete limita impus de natur pentru transformarea cldurii n lucru mecanic. Agentul termic se consider gaz ideal.

a) b)

Fig.4.6 Diagrama ciclului Carnot, n coordonate p-v (a) i T-s (b)

Fie un piston care se mic ntr-un cilindru perfect izolat adiabat. Fie dou surse foarte mari de cldur, una cald la temperatura cT i alta la temperatura mai

joas rT < cT . Problema studiat este scoaterea cldurii din prima surs i

transformarea ei n lucru mecanic, cu ajutorul sistemului piston-cilindru, utiliznd o transformare reversibil nchis..

Agentul termic (gazul) este luat de la surs cald. Fazele transformrii sunt:

a)Expansiunea izoterm (T= cT ) de la starea 1 la starea 2 , timp n care

gazul se introduce n cilindru . b)Expansiunea adiabat ,de la starea 2 la 3 , timp n care intrarea gazului

din prima surs ( )cT este nchis, iar schimbul de cldur cu exteriorul este nul, sistemul fiind izolat. Temperatura scade de la valoarea

cT la rT , corespunztoare

sursei a II-a . c)Comprimarea izoterm (T=Tr) a gazului de la starea 3 la 4 , n care timp

gazul cu cldura coninut se scurge n sursa a-II-a. Sursa a-II-a este deschis i are loc evacuarea.

d)Comprimarea adiabatic, timp n care sursa a II-a este nchis i temperatura este ridicat din nou de la rT la cT .

Diagramele procesului sunt indicate n figura 4.6. n diagrama mecanic, fig.4.6a, suprafaa haurat este proporional cu lucrul mecanic extern n coordonate p-v. n diagrama caloric, fig.4.6b, suprafaa gri reprezint echivalentul de cldur absorbit de sistem, n coordonate T-s.

2

s

Tr

Tc

T

3 4

2 1

v

T=Tr

T=Tc

p

4

1

3

Termodinamic 55

O parte din cldura transportat de ctre gaz , s-a transformat n lucru mecanic, iar o parte s-a scurs n sursa a doua,

rT , odat cu gazul evacuat.

Gazul scos din sursa cald, cT , are coninutul total de cldur:

cpc TCH = ,

unde pp cmC = -poart numele de capacitate caloric.

n sursa rece, rT , este vrsat gazul cu coninutul de cldur:

rpr TCH = ,

Rezult c diferena de cldur care s-a transformat n lucru mecanic este: ( )rcprc TTCQHH ==

Eficiena cu care se realizeaz o transformare energetic ntr-o main este dat de randament. n cazul unei maini termice care ar lucra dup ciclul Carnot direct, reversibil, randamentul este raportul dintre lucrul mecanic produs i cldura extras n acest scop.

Randamentul constituie raportul dintre diferena de cldur scoas i coninutul total iniial de cldur:

(4.30) c

rc

T

TT =

Randamentul corespunztor ciclului Carnot reversibil direct este maxim. Nu exist alt ciclu care s dea o diferen mai mare de cldur utilizat.

Variaia entropiei sistemului, n timpul unui ciclu, este nul. Aceast variaie se poate calcula ca sum a variaiilor pe fiecare transformare component a ciclului. Rezult:

0T

Q

T

QS

r

r

c

c =+=

unde 0Qc > , cldura extras din sursa cald, la temperatura constant Tc, n

timpul expansiunii izoterme; 0Qr < , cldura evacuat n sursa rece, la temperatura constant Tr, n

timpul comprimrii izoterme. Gazul fiind ideal, transformrile adiabatice sunt i izentropice.

Se observa c n relaia (4.31) primul termen este pozitiv, iar al doilea este negativ. Sistemul nefiind izolat, entropia sa crete n faza de expansiune izoterm i scade, cu aceeai cantitate, n faza de compresiune izoterm. Are loc, deci, un schimb de entropie ntre sistem i mediu.

Expresia randamentului cu care se efectueaz transformarea cldur-lucru mecanic, ntr-o main termic ce ar lucra dup ciclul Carnot direct reversibil poate fi considerat o formulare a principiului al doilea al termodinamicii. De fapt, primul care a enunat acest principiu a fost Sadi Carnot, n anul 1824. Enunul este urmtorul:

Pentru ca o main termic s funcioneze, ea trebuie s primeasc o

cantitate de cldur de la o surs cu temperatur ridicat i s cedeze o parte din

cldura primit unei alte surse, cu temperatura mai sczut.

Se afirm, astfel, imposibilitatea crerii unui perpetuum mobile de spea a doua (termic), adic a unei maini termice care ar funciona cu o singur surs de cldur, de temperatur constant.

56 Termodinamica

Randamentul mainilor termice este strict mai mic dect randamentul ciclului Carnot direct, reversibil, care lucreaz ntre aceleai temperaturi extreme, deoarece vitezele de desfurare a ciclului mainii termice reale sunt finite. Randamentul poate fi ridicat prin creterea temperaturii calde Tc, i/sau prin scderea temperaturii reci, Tr. Se subliniaz c, temperatura Tc poate fi crescut numai n limitele permise de materialele din care este construit maina termic, iar temperatura Tr poate fi diminuat numai pn la valoarea temperaturii mediului ambiant. ntrebri test 1.Entropia unui gaz real care sufer o transformare adiabatic:

a) crete;.................................................................................................................. b) rmne constant; a) b) c)

c) descrete.

2. Entropia unui gaz ideal (lipsit de vscozitate) care sufer o transformare adiabatic: a)crete;....................................................................................................................

b)rmne constant; a) b) c) c)descrete. 3.Principiul al doilea al termodinamicii spune c:

a)Entropia, ntr-un sistem izolat, niciodat nu poate descrete;..... b)Entropia, ntr-un sistem deschis, rmne ntotdeauna constant; a) b) c) c)Cldura nu poate trece, n mod spontan, de la o surs rece , la una cald..

4.Ciclul Carnot reversibil este alctuit din : a)dou izobare i dou izentrope ;............................................................................. b)dou izoterme i dou izocore; a) b) c) c)dou izoterme i dou adiabate.

5.Ciclului Carnot reversibil direct i corespunde : a)randamentul maxim de transformare a cldurii n lucru mecanic;........................

b)randamentul minim de extragere a cldurii dintr-o surs cald; a) b) c) c)randamentul maxim de transformare a energiei cinetice n energie potenial.

6.n coordonate T-s, ciclul Carnot reversibil direct este reprezentat printr-un: a)pentagon regulat;...................................................................................................

b)dreptunghi; a) b) c) c)dreptunghi curbiliniu.

Problema 4.1

4.1.ntr-un detentor cu piston, aerul comprimat la presiunea bar2p1 = se destinde politropic, la presiunea bar1p2 = . Coeficientul politropic are valoarea medie 32,1n = . Cunoscnd c temperatura iniial este K298T1 = , iar cldura

specific sub volum constant este Kkg

kJ715,0cv = , s se calculeze:

a)temperatura final 2T ; b)variaia entropiei specifice a aerului, s . Rezolvare

a)Legea politropei ctpv n = se mai scrie:

Termodinamic 57

ct

p

T

n

1n=

Rezult

n

1n

2

2

n

1n

1

1

p

T

p

T

= , deci K252

2

1298

p

pTT

32,1

132,1

n

1n

1

212 =

=

=

b)Variaia de entropie specific:

( )1

2n

T

T

12nn

T

T

12T

TlncTlnTlnc

T

dTc

T

qss

2

1

2

1

====

unde cldura specific politropic este 1n

knc

1n

cncc v

pvn

=

=

Rezult

KkgJ95,29

298

252ln

132,1

4,132,1715

T

Tln

1n

kncs

1

2v =

=

=

Probleme propuse

4.2.Dioxidul de carbon, cu masa kg5,1m = , aflat ntr-o butelie, trece

printr-un proces izocor, pn cnd presiunea sa crete de 1,8 ori. Dioxidul de carbon este considerat gaz perfect, avnd cldura specific sub presiune constant

KkgkJ825,0c p = i constanta Kkg

J92,188R = . S se calculeze variaia de

entropie ntre starea iniial, 1, a sistemului i starea sa final, 2.

4.3. Gazul dintr-un cilindru cu piston se destinde suficient de rapid pentru ca transformarea s poat fi considerat adiabat. Gazul este perfect. Se cunosc masa gazului, kg1m = , cldura specific sub presiune constant,

KkgkJ8205,0c p = i constanta gazului, Kkg

J9,188R = . S se determine:

a)lucrul mecanic specific schimbat de sistem cu exteriorul, b)variaia de entropie.

4.4.Un gaz perfect, avnd cldura specific Kkg

J300c p = parcurge un

ciclu Carnot direct, reversibil, pentru care temperatura sursei calde este K750Tc = , iar temperatura sursei reci este K330Tr = . S se determine:

a)cldura transformat n lucru mecanic de ctre kg2 de gaz, n timpul ciclului; s se reprezinte grafic cldura schimbat;

b)randamentul ciclului.

58 Termodinamica

RSPUNSURI I REZOLVRI

ntrebri test

1.a; 2.b; 3.a, c; 4.c; 5.a; 6.b.

Probleme

4.2.Rezolvare Variaia de entropie a sistemului, n cazul acestui proces izocor:

===2

1 1

2v12

T

Tlncm

T

dQSSS

ntr-o transformare la volum constant, raportul presiunilor este egal cu raportul temperaturilor:

ctV = , 2

1

2

1

T

T

p

p= deci,

1

8,1

T

T

1

2 =

Cldura specific la volum constant se calculeaz din relaia Mayer: vp cRc +=

Kkg

J08,63692,18810825,0c 3v ==

Entropia sistemului variaz cu:

K

J82,5608,1ln08,6365,1SSS 12 === .

4.3. Rezolvare

Exponentul adiabatic, k, se poate afla din relaia:

299,19,188108205,0

108205,0

Rc

c

c

ck

3

3

p

p

v

p =

=

==

a)Lucrul mecanic specific este :

( )

( ) ( )kg

kJ48,189kg

J189480300600299,11

9,188TT

k1

R

k1

RTRT

k1

vpvpvv

1k

1vpdvvvp

v

dvvpl

1212

11221k1

1k211

2

1

2

1

kk11k

k1112

==

=

=

=

=

=

+=== ++

b)Cldura schimbat cu exteriorul este nul ntr-o transformare adiabat. n acest caz, pentru un gaz ideal (gazul perfect este i ideal, adic lipsit de frecare), entropia sistemului nu variaz:

0ds = , deci 21 ss = 4.4.Rezolvare

a)Ciclul Carnot direct, reversibil este alctuit din dou transformri izoterme i

dou adiabate. Cldura transformat n lucru mecanic este diferena dintre entalpia gazului scos din sursa cald, Hc, i entalpia gazului evacuat n susra rece, Hr.

( ) ( ) J2520003307503002TTcmHHQ rcprc ====

Termodinamic 59

Cldura schimbat este proporional cu aria dreptunghiului nchis de cele dou adiabate i cele dou izoterme din reprezentarea grafic n coordonate T-S.

Fig.4.5.Ciclul Carnot direct, reversibil, corespunztor problemei 4.5 b)Randamentul ciclului Carnot direct, reversibil este raportul dintre cldura

tansformat n lucru mecanic i entalpia (coninutul total de cldur ) extras din sursa cald. Randamentul devine:

%5656,0750

330750

T

TT

c

rc ==

=

=

p

s

Tr=330K

Tc=750K

T

3 4

2 1

Tr=330K

Tc=750K

v

4

1

2

3

Q

4.5 Variatia entropiei n transformarile simple de stareRezolvareProbleme propusentrebari testProbleme4.2.Rezolvare4.3. Rezolvare