Principio de Saint Venant

Báes Ponce Jazmín, Castillo Gawalek Jorge Adrián, Hernández Hernández Eduardo y Rodríguez Ejarque Mauricio.

Principio de Saint Venant

Figura que representa dos casos; el primero donde es la forma correcta y el segundo cuando no es correcto.

PRINCIPIO DE SAINT-VENANT

• El principio de Saint-Venant, llamado así por el físico matemático Jean Claude B. Saint-Venant, (23 Agosto, 1797-

6 Enero, 1886). • Fue un matemático y científico mecánico francés que

contribuyó al nacimiento de la mecánica de medios continuos (tanto en la mecánica de sólidos deformables

como en la mecánica de fluidos).

EN EL CONTEXTO DE LA ELASTICIDAD PUEDE ENUNCIARSE COMO

• "... la diferencia entre los efectos de dos sistemas de cargas estáticamente equivalentes se hace arbitrariamente

pequeña a distancias suficientemente grandes de los puntos de aplicación de dichas cargas. "Es decir, el

principio establece que la equivalencia estática implica asintóticamente la equivalencia elástica

Esquema de las tensiones longitudinales en un prisma solicitado por fuerzas puntales. Cerca de los extremos la distribución no es uniforme, pero hacia el centro de la sección los esfuerzos tienden a ser exactamente iguales que se habrían obtenido bajo cargas uniformemente distribuidas, y estáticamente equivalentes a las cargas puntuales.

• Este principio permite el que podamos calcular las tensiones en fibras y estudiar las secciones en barras, en base a los diagramas de solicitaciones (axiles, cortantes, flectores y torsores).El procedimiento para obtener tales diagramas se basa en el concepto de reducción de un sistema de vectores en un punto desarrollado en la teoría de vectores y que puede verse en cualquier texto de Mecánica general.

• a) Esfuerzo Axial• b) Esfuerzo Cortante• c) Momento Flector• d) Momento Torsor

Conceptos:

“A una determinada distancia de la aplicación de la carga, las tensiones, deformaciones y desplazamientos, no dependen de la distribución de cargas sino de la fuerza resultante y del momento resultante de esa distribución de cargas”

• Según el principio de Saint-Venant, este Sistema de fuerzas se puede sustituir, a efectos de investigar las tensiones que producen en esa sección S, por un sistema equivalente.

• El sistema anterior será siempre equivalente por complejo que sea a una resultante (R) única y un momento (M) aplicados ambos en el centro de gravedad, G, de la sección S. Es decir que reducimos el sistema de fuerzas situado a la derecha de la sección S al punto G.

• Tenemos los ejes sean GX la normal a S orientada de (A) a (B) y , los ejes GY, GZ principales de inercia de esta sección. • La proyección R, sobre GX se

llama esfuerzo axial N correspondiente a la sección S. Este producirá tracciones, si es positivo y compresiones, en caso contrario.• La proyección de , sobre el plano

(S) se llama esfuerzo cortante.

Esfuerzo axial y cortante

Tracción y Compresión

• La figura muestra una pieza sometida a tracción. Debido a la acción de las fuerzas, ésta se ha alargado una cantidad δ, denominada deformación total. Cuando la carga es de compresión, la pieza se acorta en vez de alargarse. Nótese también que el elemento se adelgaza bajo carga de tracción y se ensancha bajo carga de compresión.

• Igualmente, el momento M se puede descomponer en su proyección sobre el plano S, llamada momento flector M y sobre la normal, (a este plano), la proyección se llama momento torsor.

Momento flector y torsor

EJEMPLOS

Consideremos una placa plana sometida a fuerzas puntuales en sus extremos de magnitud F como se

muestra en la Figura 3.43.

Imaginemos ahora que proponemos tres superficies de corte imaginario A−A, B−B y C−C como se muestran en la misma Figura 3.43, y que dichas superficies de corte se asumen a una distancia cada vez mayor del extremo izquierdo de la placa.La placa original esta en equilibrio, de modo que cualquier parte de ella que se extraiga con alguno de los cortes imaginarios mencionados anteriormente, debe también estar en equilibrio, y si consideramos la porción que queda en el lado izquierdo, tenemos tres posibilidades como se muestra en la Figura 3.44.Si el corte A−A se hace muy cerca del borde de la placa, es razonableasumir que en dicho caso la distribución de σno va a ser uniforme, sino mas bien probablemente se concentrara en la zona central, de modo de ser capaz de contrarrestar el efecto local de la fuerza puntual F.

Sin embargo para un corte mas lejano de F, como es el corte B−B, probablemente la distribución para σ sea mas menos uniforme. Finalmente, en una superficie ‘suficientemente’ alejada de F como es la superficie de corte C−C, es razonable asumir que σ es prácticamente uniforme en la manera como actúa en dicha superficie.